EXAMEN FINAL DE FÍSICA I_ (25/06/2013) Escuela Superior de Ingeniería Universidad de Cádiz 1a. Deducir mediante el análisis dimensional una expresión que relacione la presión de un fluido con su densidad y la velocidad de movimiento del mismo 1b. Obtenga la expresión en coordenadas polares de la aceleración de un punto con movimiento plano
Solución: 1a. La relación genérica puede ser del tipo: " #
P = K ! c
Siendo K una constante adimensional, P la la presión, ! la densidad y c la velocidad del fluido Tomando dimensiones de cada una de las magnitudes por separado: -3
[P] =MLT -2 L-2;
Por tanto:
-1
! ]=ML [ ! ; -3 "
[c] = LT ;
-1 #
+# ) " (-3" +
[P] = M L-1T -2 = K ·(M L ) ·( LT ) = K M L
=1 " =1
·c P = K·! K·! ·c
# = = 2
T
-#
2
1b. r d er
d " r d er
dt r d e"
=
=
dt
La velocidad de la partícula es:
r v
d =
=
Y la aceleración :
r a
(
dt r r &e
r r er
)=
d r er dt
+
r
r d er
dt
=
d r er dt
+
r d e"
r e"
=
r
d "
r d er d "
d " dt r d e" d " d " dt
=
=
=
r d " e" dt r d "
!er
d " r e" dt
r &e + r " "
=
d " r % ( dr r & er + r e" # dt ' dt dt $
=
2 d r r e 2 r dt
d
=
+
r dr d er
dt dt
(r && ! r " & 2 ) er
+
+
(r " &&
dr d " r e" dt dt +
r
2r &" & )e"
2 d " r e + r 2 " dt
+
r
r
!er
r d " d e"
dt dt
dt
2. Un punto P en el plano Oyz gira alrededor del eje Oy con velocidad angular !1, y todo el sistema de referencia gira alrededor del eje Oz con velocidad angular !2. Hállese la velocidad y aceleración absolutas del punto P en el instante en que está en la posición de la figura. Indíquese cuál es el movimiento relativo y cuál el de arrastre.
Solución: !
La velocidad absoluta de P se calcula:
Dónde ,
!
v0
!
!
!
!
v = v0 + w2 ! r´ + vR
´
0
=
!
!
!
i j
k
!
!
w2 ! r´ = w2 k ! !
!
0
0
w2
0
b
a
!
=
"
!
!
!
; debida al movimiento de arrastre
!
vR´ = w1 ! r ´ = w1 j ! b j + a k !
w2 bi
; debida al movimiento relativo
w1a i
!
=
!
v = ( w1a ! w2b ) i !
La velocidad absoluta del punto P es :
Por otra parte, la aceleración absoluta de P es:
Dónde,
!
a0
=
w2 ! w2 ! r´ =w2k ! (" w2b ) i !
!
! ! r´ = !
!
!
!
!
!
!
!
!
!
+a
!
´
0
!
!
a = a0 + w2 ! w2 ! r´ + ! ! r ´ + 2 w2 ! vR
b w2 j w2 ! w2 ! r´ =w2k ! (" w2b ) i
!
!
=
2
"
!
!
!
!
!
!
0
=
2
b w2 j
"
; aceleración de arrastre !
!
!
i
j
k
0
0
w2
w1a
0
0
!
2 w2 ! !
vR = 2 !
!
a
!
R
2 w1w2 a j
!
;aceleración de Coriolis
!
!
w1 ! w1 ! r´ = w1 j ! w1 a i !
=
=
!
=
"
;aceleración relativa
a w12 k
Por lo que, la aceleración absoluta de P es:
!
!
a =(2w1w2a ! bw22 ) j ! a w12 k !
!
R
´
3. Un punto material P se mueve según una trayectoria plana definida en un sistema ortogonal de coordenadas cartesianas mediante:
x = A [kt - sen(kt)] y = A [1- cos(kt)] donde A y k son constantes positivas. (a) (b) (c) (d) (e)
Obtener las componentes cartesianas de la velocidad de P y el módulo de dicha velocidad, en función del tiempo t Calcular las componentes cartesianas de la aceleración de P y el módulo de dicha aceleración, en función de t Determinar las componentes normal y tangencial de la aceleración en función de t Calcular la ley horaria, s(t) , adoptando s(0) =0 Calcular el radio de curvatura de la trayectoria en el instante t = ( $ / k) y expresar los vectores del triedro intrínseco mediante sus componentes cartesianas
Solución: (a) dx dt dy dt
=
A k (1 ! coskt ) !
v =
=
kA 2(1 ! coskt) kA 2!2sen2 =
A k senkt
kt 2
=
2kAsen
kt 2
(b) d2 x 2
=
dt d2 y dt
2
!
a =
2
2
A k senkt =
k A
2
A k coskt
!
!
a v
(c) La aceleración tangencial puede obtenerse mediante:
a
t
=
!
!
v
=
kt 2 k A cos 2
(se llega al mismo resultado derivando el módulo de la velocidad respecto del tiempo)
La aceleración normal puede determinarse ahora a partir de los valores de a y a t:
a
n
2
=
2
2
a -a
=
t
k Asen
kt 2 t
(d)
s
! ds ! v dt s
0
=
0
" ( kt kt % kt + s(t)-s(0)= 2kAsen dt = $-4Acos ' =4A *1-cos 0 2 2 &0 2 , # ) t
t
;
!
(e) El radio de curvatura puede obtenerse de la aceleración normal:
!(t )
v =
kt 2 kt k 2Asen 2
4k 2 A 2sen2
2 =
a
n
=
!
4Asen
kt 2
!( "
k
) 4A =
!
!
v kA[(1-coskt) i+senkt j] e t = = v kt 2kAsen 2 !
!
;
e t
( k) !
!
= i
!
a
El vector normal tiene la misma dirección y sentido que la aceleración normal:
Y en el instante dado:
!
a t =0
!
;
a n
=
Por tanto:
e n
( k )= - j !
!
El vector binormal es:
!
!
!
!
2
2
!
!
!
a - a
t
'! kt $ ! kt $ * a k A )#sen & i+ #cos & j ,=-k 2 A j !
=
n
!
=
e b = e t ! e n = - k
!
2
!
4. Un bloque de masa m = 5 kg se deja caer partiendo del reposo desde el punto más elevado A de un carril en pendiente a h = 4 m de altura (véase figura). El carril tiene tres tramos, AB, BC y CD, de los cuales únicamente en el tramo BC , de longitud d BC= 5 m, existe rozamiento apreciable. Al final del trayecto (tramo CD) hay un tope unido a un resorte cuya constante elástica es k= 4000 N/m . Cuando el bloque alcanza el tope, el resorte se comprime 25 cm. Suponiendo un choque perfectamente elástico, calcúlese el coeficiente de rozamiento dinámico del tramo BC
Solución: A lo largo de AB (tomando E p(B) =0:
!E = - !E C
h
p
;
1 mv B 2 = - 0-mgh 2
v B
(
)
v B =
2gh
B En el tramo BC la velocidad va disminuyendo a causa de la fuerza de rozamiento, de manera que v C < v B. El DCL en un punto intermedio del intervalo de ese trayecto puede representarse de la siguiente manera:
Aquí aplicamos el Teorema del trabajo y la energía:
1 2 m v C 2 -v B =-F R !d BC 2
(
)
= - µ
!E = W C
mg !d BC
D
Y sustituyendo el valor de v B, se llega a:
µ
D
2 1 ! v C $ #h- & = d BC #" 2g &%
Para calcular v C consideraremos el balance de energía del sistema en el tramo CD:
Como en CD no hay rozamiento, debe cumplirse que:
vC
C
C
k
x v final 0
D
# & 1 1 2 1 ! mv C 2 = - "E P(Resorte) =- %0 - kx 2 ( mv final 2 2 2
k
D
µ
D
=
1 ! k x 2 $ 1 ! 4000 ! 0.25 2 $ ##h- && = ##4 - && = 0.29 d BC " 2 m g % 5 " 2 !5 !9.8 %
2
2
v C =
k x
m
5. Una semiesfera y un cono, ambos macizos y homogéneos, construidos con el mismo material y del mismo radio, están soldados por sus bases. Calcular el centro de masas del conjunto
Solución: Centro de masas de un cono de radio R y altura H:
Eje axial Z ; V = (1/3)!$ !R 2 !H ; M = ! !V El centro de masas del cono está situado sobre su eje de simetría, a una distancia zC desde la base:
z C =
Teniendo en cuenta que:
dm
=
! dv
Y la relación de semejanza entre triángulos:
1 M
! z dm
2
=
!" r dz
r
R = H-z H
R r = H-z H
(
!
)
2
R 2 2 r = H + z -2 z H 2 H 2
1
2
R
(
)
H
2
R
# z ! " H (H + z -2 z H ) dz = ! " MH # (H z+ z -2 z H ) dz =
z C = M
2
2
2
2
3
2
0
) 2 2 R + H z + = !" # ! "R 2H & + 2 2 * H % % 3 (( 2
4
z 4
3
-2 H
z 3
H
, . .0
H =
4
2
Centro de masas de una semiesfera de radio R :
Eje axial Z ; V = (2/3)!$ !R 3 ; M = ! !V El centro de masas de la semiesfera está situado sobre su eje de simetría, a una distancia zCe desde la base:
z Ce =
dm
Teniendo en cuenta que:
=
! dv
1 M
! z dm
2
=
!" r dz
1 z = Ce M
# z ! " r dz
r
Verificándose la relación:
1
2
+ z
2
2
= R
$ z !" (R
z Ce = M
2
2
#z
2
!"
R
) dz = M $ (z R
2
# z3
) dz
=
0
R
=
4( % ! " ' z 2 R 2 z * # ' M 4 * & 2 )0
3R =
8
El centro de masa del cuerpo compuesto estará situado (tomando el punto O como referencia):
'
z CM =
z Cono M Cono +z semiesfera M semiesfera
+
Q
H
*
= 4
z CM
!V Cono +
M cono +M semiesfera 3 8
R!V semiesfera
V cono +V semiesfera
2
H =
(
! 3R2
)
4 H + 2R
6. Un tablero rectangular uniforme, de longitud 25 cm se apoya sobre un cilindro de 5 cm de radio y sobre el suelo, como se indica en la figura. Tanto el tablero como el cilindro pesan 5 kgf . ¿Cuánto deben valer, como mínimo, los coeficientes estáticos de rozamiento entre cilindro y tablero, entre cilindro y suelo y entre tablero y suelo para que el sistema esté en equilibrio?.
34 +0 4 +0
DEF
Solución: Para que el sistema esté en equilibrio tienen que estarlo el cilindro y el tablero por separado. Por tanto debemos analizar las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos. (En color azul sobre el tablero y en color rojo sobre el cilindro)
N 3
f 3
P
5 cm
E 25 cm
N 3
C
N 1 P
B
x
+
D f 3 N 2
Tablero:
y
15º
N 3 sen30 = f 1+ f 3 cos30
Eje y:
N 1+N 3 cos30 + f 3 sen30 = P (2)
Y tomando momentos en A:
15º
A
f 2
L N 3 AD = P cos30 2
f 1
Cilindro: Eje x:
f 2 + f 3 cos30 = N 3 sen30
Eje y:
N 2 = P +N 3 cos30 + f 3 sen30 (5)
Y tomando momentos en C:
(4)
(6)
f 3R = f 2R
Si calculamos la distancia AD , dispondremos de 6 ecuaciones con 6 incógnitas (N 1, N2, N3, f 1, f 2 y f 3). A partir de la figura puede calcularse como:
AD =
R
= 18.66 cm tg 15
Resolvemos el sistema y obtendremos las incógnitas y los coeficiente de rozamiento pedidos, que son:
1
f1 N1
0.78 2.10
0.37
(1)
Eje x:
2
f 2 N2
0.78 7.90
0.10
3
f 3 N 3
0.78 2.90
0.27
(3)
