ESTRUTURAS DE CONCRETO – TORÇÃO – EXERCÍCIO 5 Aluno(s): Prof.: Libânio M. Pinheiro 14 de setembro de 2017
EXERCÍCIO 5 – TORÇÃO Nome(s)
Concreto
he
Daniel et al.
C25
8
45
Davi et al.
C25
10
45
Fernando
C25
8
30
Herbert et al.
C45
8
45
Mariana
C45
10
30
Rafael B.
C35
8
45
Ulana
C35
10
30
1 Dados Seja a viga V1 da marquise esquematizada na Figura 1, a qual está submetida à torção de equilíbrio, além de flexão e cisalhamento. O cálculo da laje L1, engastada na V1, não será aqui apresentado. Ela aplica nessa viga um momento torçor de 21,45 kN.m/m, uniformemente distribuído. A reação de apoio da L1, somada ao peso próprio da V1 e à carga de parede sobre a V1 perfazem um carregamento uniformemente distribuído de 19,23 kN/m.
430
320
A V1
V1 - 35 x 50 P1
P2
30 x 35
30 x 35
0 2 3
35
285
0 5
8 16
L1 h = var. 0 0 3
430
FORMA ESTRUTURAL SEM ESCALA
A
CORTE A-A SEM ESCALA
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas
Torção
Figura 1 – Forma estrutural da marquise Os cálculos dos esforços na viga também não serão apresentados. Admitir os valores indicados na Figura 2, na qual se pode observar o esquema estático da viga V1, considerada biapoiada nos pilares, para o cálculo de esforços cortantes e de momentos fletores, e biengastada para o cálculo de momentos torçores. Para estes foi utilizada a convenção de vetor momento, na qual se emprega a regra da mão direita para indicar o sentido da rotação do momento. V1 - 35 x 50
0,15 m
V1 - 35 x 50
M vig =
0,15 m
0,15 m
4m
4m
M vig =
p = 19,23 kN/m
8,89 kN.m
0,15 m
M T = 21,45 kN.m/m
8,89 kN.m
35,58 39,68
31,12
38,46
42,90
d/2
DMT [kN.m]
DEC [kN]
2m
d/2
31,12 2m
38,46
42,90 39,68
35,58 DMF [kN.m]
8,89 8,24
8,89 8,24
29,57 30,22
Figura 2 – Diagramas de esforços solicitantes
2 Verificação da biela comprimida Foi adotado f ck = 25 MPa, cobrimento de 2,5 cm e, provisoriamente, foram admitidas barras longitudinais de diâmetro 10 mm e estribos de 6,3 8 mm para o cálculo da altura útil (Fazer as alterações necessárias, daqui em diante) : 2
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Torção
= 50 2,5 1,02 0,63 = 46,37 Para não haver esmagamento da biela comprimida, de acordo com a eq. (22):
≤ 1 , , Segundo o item 17.4.2.1 da ABNT NBR 6118:2014, os cálculos devem considerar as forças cortantes nas respectivas faces dos apoios, ou seja, nas faces dos pilares:
= 1,4 ∙ 35,58 = 49,81 = 1,4 ∙ 39,68 = 55,55 = 5555 . Considerando a inclinação = 45o, na eq. (16):
= 0,27 ∙ ∙ ∙ ∙ ) = (1 25 ) = 0,9 = (1 250 250 = 0,27 ∙ 0,9 ∙ 2,5 1,4 ∙35 ∙46,37 = 704,24 A determinação da seção vazada equivalente baseia-se nas eqs. (17) e (18):
∙ ℎ 35 ∙ 50 1750 ℎ ≤ = 2 ∙ ℎ = 2 ∙ 35 50 = 170 = 10,29 ℎ ≥ 2 ∙ = ∅2 ∅ = 1,02 0,8 2,5 = 3,63 ℎ ≥ 2 ∙ = 2 ∙ 3,63 = 7,26 Adotou-se, ℎ = 7,0 valor próximo de 7,26 cm. Na Figura 3, pode-se observar a espessura ℎ e a área limitada pela linha ,
tracejada, que é a linha média da parede da seção vazada.
3
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5 , 3 m c 3 4
Torção
e
h m c 0 5
A e
h e = 7 cm
5 , 3 28 cm
35 cm
Figura 3 – Seção transversal da viga V1 Com base nessa figura, obtém-se:
= 28 ∙43 = 1204
= 2 ∙ 2843 = 142
Tem-se, então, a partir da eq. (21):
, = 0,50 ∙ ∙ ∙ ∙ ℎ ∙ 2 ) = (1 25 ) = 0,9 = (1 250 250 , = 0,50 ∙ 0,9 ∙ 2,5 1,4 ∙ 1204 ∙7 ∙ 2 ∙ 45 , = 6772,5 . Conhecidos esses valores, pode ser feita a verificação:
≤ 1 , , 49,81 5555 = 0,89 < 1 704,24 6772,5
∴
!
Nota-se certa folga, o que permitiria uma redução da inclinação da biela. Como consequência, haveria uma redução da área necessária da armadura transversal, e um acréscimo da área de armadura longitudinal. Observa-se, entretanto, que esse procedimento é mais eficiente nos casos em que o esforço cortante é grande, e a redução da área dos estribos é maior que o acréscimo das barras longitudinais. Em geral, nos demais casos, não compensa adotar valores menores de . 4
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Torção
3 Dimensionamento à flexão Para o momento máximo positivo:
+ = 1,4∙3022 = 4230,8 . ∙ 35 ∙46, 3 7 = + → = 4230,8 → = 17,8 + ∙ ∙4230,8 → + = 2,19 + = → + = 0,02446,37 Para o momento máximo negativo:
− = 1,4∙824 = 1153,6 . ∙ 35 ∙46, 3 7 = − → = 1153,6 → = 65,2 − ∙ ∙1153,6 → − = 0,57 − = → − = 0,02346,37 Entretanto, a ABNT NBR 6118:2014 prescreve a área mínima de aço, que deverá ser respeitada tanto para a armadura positiva quanto para a negativa. Para seções retangulares com f ck = 25 MPa:
, = , ∙ ∙ ℎ = 0,0015 ∙35 ∙ 50 = 2,63
4 Dimensionamento ao cisalhamento
= = 0,6 ∙ ∙ ∙ ( = na flexão simples) / 0,2 1∙ √25 0,7 ∙ 0,7 ∙ 0,3 ∙ , = = 1,4 = 1,4 = 1,4 = 1,28 = 0,6∙ 0,128 ∙35 ∙ 46,37 = 124,642 ≤ = 49,81 ≤ = 124,642 49,81 = 124,642 = 74,83 ∴ não é necessária armadura para força cortante. A partir das verificações realizadas no dimensionamento ao cisalhamento, também para = 45o, observa-se que a própria seção já resistiria ao cortante atuante. É necessário que a peça tenha apenas uma armadura mínima, dada por:
∙ ∙ ( ) = 0,2 ∙ 0,3∙ √25 ( ) = 0,2 ∙ 500 ∙35 ∙ 90 = 0,036 5
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( ) = 0,036 = 0,036 = 0,036 10− = 0,036 ∙ 10 ( ) = 3,60
Torção
é a inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, portanto, 90 . 5 Dimensionamento à torção Considera-se também a inclinação da biela comprimida = 45o.
a) Cálculo da armadura longitudinal A partir das eqs. (23) e (24):
≤ , = ( ) ∙2 ∙ ∙ ∙ 50 ∙45 5555 ≤ , = ( ) ∙ 2 ∙1204 ∙ 1,15 5555 ≤ ( ) ∙104695,65 ( ) ≥ 0,053 = 0,053 = 0,053 10− = 0,053 ∙ 10 ( ) ≥ 5,30 b) Cálculo dos estribos Utilizando-se as eqs. (25) e (26):
≤ , = ( )∙ 2 ∙ ∙ ∙ 50 ∙ 45 5555 ≤ , = ( ) ∙ 2 ∙ 1204 ∙ 1,15 5555 ≤ ( )∙104695,65 ( ) ≥ 0,053 = 0,053 = 0,053 10− = 0,053 ∙ 10 ( ) ≥ 5,30 6
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Torção
6 Detalhamento a) Armadura longitudinal A área total da armadura longitudinal é obtida pela soma das parcelas correspondentes à flexão e à torção, que deve ser feita para cada uma das faces da viga. Na face superior, a flexão exige A s - = 0,57 cm2. A parcela da torção é dada por A 5,30 (0,35 0,07) 1,48 cm2 . A área de aço total nessa face vale, então:
s
As ,tot = 0,57 + 1,48 = 2,05 cm2
Observa-se, entretanto, que esta área é menor que a mínima prescrita na ABNT NBR 6118:2014. Portanto, para a face superior, a área de aço vale: As ,tot = As min = 2,63 cm2 (4 10)
Na face inferior, a flexão exige A s - = 2,19 cm2. A parcela da torção é a mesma anterior, A 1,48 cm2 . A área de aço total nessa face vale, então:
s
As ,tot = 2,19 + 1,48 = 3,67 cm2
(5 10)
que já supera a área de aço mínima exigida pela flexão. Nas faces laterais, como a altura da viga é menor que 60 cm, não é necessária a utilização de armadura de pele. Há apenas a parcela da torção, cuja área de aço vale A 5,30 (0,50 0,07) 2,28 cm 2 , ou seja, s
As ,tot = 2,28 cm2
(3 10)
b) Estribos A área final dos estribos é dada pela soma das parcelas correspondentes ao cisalhamento e à torção,
A sw s
A 90 s
, mas neste exemplo, como já foi visto, não é
necessária armadura para cisalhamento. Há apenas a parcela da torção, que já supera a área de aço mínima exigida. Assim, em cada face deve-se ter: cm A90 5,30 m s TOTAL
2
8 C/ 9
que obedece ao espaçamento longitudinal máximo entre estribos, segundo a Norma: Vd 0,67 VRd,2 smáx = 0,6d 30 cm smáx = 27,8 cm O detalhamento final da seção transversal é apresentado na Figura 4.
7
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4 N3
Torção
10 N4
3 N2
10
8 C/9
3 N2
5 N1
10
10
Figura 4 - Detalhamento final da Viga V1(35 x 50)
8
