´ nonc´e E
` Probleme eme
Une Une ´ etud et ude e de suit suite e r´ ecur ecurre rente nte On pou pourra rra admettre admet tre le r´esultat esult at suivant (´egalit´ egalit´e des accroissem accr oissements ents finis) : Soit I un intervalle de R et soit f : I
app licatio tion n d´ erivable. erivab le. → → R une applica
Soient x et y deux d eux ´el´ el´ements eme nts de l’inte l’i nterval rvalle le I , avec x < y . Alors il existe un r´ eel eel c dans ]x, y [ tel que f (y )
− f (x) = (y − x)f (c).
Soit λ un nombre n ombre r´eel eel strictement stric tement positif. pos itif. Soit f l’applicatio l’appl ication n d´efinie efinie sur
R par
: f (x) = x + λ
1
3
− x . Soit a un r´eel. eel . On d´efinit efin it une suite suit e u par u = a et e t : ∀n ∈ N, u 8
0
+1
n
= f (u ). n
1. (a) (a) Si la suit suitee u est convergente dans R, quelle est sa seule seule limite limite possible possible ? (b) Montrer Montrer que pout tout tout x de
R
:x
1 2
⇒ f (x) x et x 12 ⇒ f (x) x.
2. Dan Danss les questions questions 2, 3, 4, on suppose 0 < λ 47 , et 0 a 1. (a) Montrer Montrer que que 0 x
1 2
⇒ f (x) 12 et que 12 x 1 ⇒ 12 f (x).
(b) Pr´eciser eciser la monotonie monotonie et la limite limite de la suite u, suivant les valeurs de a. 3.
1 (a) (a) Mon Montrer trer que que si si x 1 alors a 0 f (x) − x− f 2 . 3 1 1 1 (b) En d´eduire eduir e que qu e si 2 a 1 alors : ∀n ∈ , 0 u − 2 2 1 − 4 λ . 1 1 1 (a) (a) Mon Montrer trer que que si si 0 x 2 alors a 0 2 − f (x) 2 − x f (x). 3 1 1 1 1 2
1 2
1 2
n
N
4.
n
(b) En d´eduire eduire que si 0 a 2 alors : n
∀ ∈ N , 0 2 − u
5. Dan Danss cette question, question, on suppose que
4 7
∗
n
2
1
1
n−
3
− 64 λ
.
< λ 87 , et toujours 0 a 1.
(a) Effectuer une ´etude etude soign´ee ee des variations de d e l’application f sur [0, 1]. On pr´eciser eci seraa notamm not amment ent les r´eels eel s β, γ tels que 12 < β < γ , f (β ) = 0 et f (γ ) = 12 .
(b) Montrer Montrer que tous les termes termes u de la suite u appartiennent au segment [0, 1]. n
´ (c) Etudier la suite u suivant les valeurs de u0 = a . On pr´ecisera ecisera en particulier si la suite u est monotone, monot one, ´eventuellement eventuelle ment a` partir d’un certain rang. 6. Dan Danss cette question, question, on suppose que
8 7
4
< λ < 3 , et toujours 0 a 1.
On pourra r´eutiliser eutiliser les calculs calculs de la question question (5), et notamment notamment les notations notations β et γ . ´ (a) Etudier les variations de f sur le segment
−
1 ,1 6
.
On notera δ (sans (s ans chercher `a le calculer) calcu ler) le r´eel eel de ]γ, 1[ tel que f (δ ) = 0. ´ (b) Etudier la suite u suivant les valeurs de u0 = a . 7. En supposan supposantt toujours toujours 0 a 1, ´etudier etudi er la suite u quand λ = 43 . On illustrera illustrer a graphiquement gr aphiquement la convergence pour p our une valeur donn´ee ee de u0 = a .
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´ Enonc´ e
Probl` eme
Corrig´ e 1. (a) Si la suite u converge vers un r´eel , alors, on obtient f () = par passage a` la limite dans la relation u +1 = f (u ) (en effet f est d´efinie sur R, et continue.) n
n
Mais on a les ´equivalences : f () =
1
3
⇔ = + λ 8 − ⇔
3
1 8
=
Donc si la suite u converge, sa limite est n´ecessairement 12 . (b) Pour tout x de
R,
f (x)
1
− x = λ 8 − x
3
=
λ
4
1
(4x2 + 2x + 1).
− x
2
⇔ = 12 .
Le trinˆ ome 4x2 + 2x + 1 = 3x2 + (x + 1) 2 reste strictement positif sur R.
− x a le signe de 12 − x. Autrement dit : x 12 ⇒ f (x) x et x 12 ⇒ f (x) x. 1 1 (a) Pour tout x de R, on a f (x) − 2 = x − 2 1 − 4 (4x + 2x + 1) . On en d´eduit (puisque λ > 0) que f (x)
2.
λ
Pour tout x de [0, 1], on a
λ
4
Autrement dit : 0 x
1 2
7λ 1. 4 quantit´e f (x) 12 a le signe de x 12 . 1 f (x). f (x) 12 , et 12 x 1 2
(4x2 + 2x + 1)
On en d´eduit que sur [0, 1], la
⇒
2
−
−
⇒
(b) On utilise les r´esultats obtenus dans les deux questions pr´ec´edentes. On a en particulier l’implication 0 x De mˆeme,
1 2
x1
1 2
⇒ 12 f (x) x 1.
⇒ 0 x f (x) 12 .
Compte tenu de la relation u +1 = f (u ), et par des r´ecurrences ´evidentes, on en d´eduit alors les r´esultats suivants, en fonction de la valeur de u0 = a : n
n
– Si 0 a 12 , alors pour tout n, on a les in´egalit´es : 0 u
u
n
+1
n
1 . 2
La suite u, croissante et major´ee, converge vers 12 (seule limite possible.) – Si
1 2
a 1, alors pour tout n, on a les in´egalit´es :
1 2
u
+1
n
u n
1.
La suite u, d´ecroissante et minor´ee, converge vers 12 (seule possibilit´e.) – Bien sˆ ur, si a = 12 , la suite u est constante en 12 . 3. (a) Le r´esultat est ´evident si x = 12 . On suppose donc
1 2
< x 1.
On utilise l’´egalit´e des accroissements finis, rappel´ee dans l’´enonc´e.
1
1 1 Il existe donc c dans 2 , x tel que : f (x) − = f (x) − f 2 = x − 2 f (c ). 1 Or f : t → 1 − 3λx est d´ecroissante sur [0, 1]. Ainsi f (c ) f 2 . 1 1 1 1 Puisque f (x) 2 , on a donc obtenu : 0 f (x) − 2 x − 2 f 2 . 1 1 1 (b) Si 2 u = a 1, on sait que ∀n ∈ , 2 u 1. De plus f 2 = 1 − 34 λ. 1 1 1 Les ´egalit´es u = f (u ) impliquent alors : ∀n ∈ , 0 u − 2 u − 2 f 2 . 1 3 1 3 1 x
1 2
x
2
x
N
0
+1
n
n
N
n
+1
n
n
n
Ainsi, par r´ecurrence : n
∀ ∈ N, 0 u − 2
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n
u0
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−2
1
− 4λ
n
2
1
− 4λ
.
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´ Enonc´ e
Probl` eme
4. (a) C’est comme dans la question pr´ec´edente. L`a encore, on se limite a` 0 x < 12 .
1
Il existe c dans x, 2 tel que : x
1
1 2
0
− f (x) = 2 − x
f (c ) x
1
− x
2
f (x)
On a bien sˆur utilis´e l’in´egalit´e f (c ) f (x), dˆ ue a` la d´ecroissance de f sur [0, 1].
x
(b) On suppose 0 u0 = a
1 . 2
On sait qu’alors 0 u
En particulier, pour tout n 1, on a f (0) u
n
Les ´egalit´es u
+1
n
u
n
1 pour 2
1 c’est-`a-dire λ8 2
∀ ∈ N, 0 12 − u
= f (u ) donnent : n n
+1
n
+1
n
1 2
N.
1 u 2. n
− u
tout n de
n
f (u ). n
Si n 1, la d´ecroissance de f donne alors les in´egalit´es :
0 Mais f
λ
8
1 2
− u
= 1
+1
n
−
3 3 λ . 64
1
− u
2
n
f (u ) n
1
− u
2
On a donc : n 1, 0
∀
n
1 2
1
f (u1 )
− u
+1
n
− u
2
n
1
− u
2
n
λ
f
1
8
−
3 3 λ 64
.
On en d´eduit par une r´ecurrence ´evidente : ∗
∀n ∈ N , 0
1 2
1
3 3 λ 64
1
n−
− u 1 − 2 3 1 1 1 1 Puisque 0 2 − u 2 , on trouve enfin : ∀n ∈ N , 0 2 − u 2 1 − 64 λ (a) – L’application f : x → 1 − 3λx est strictement d´ecroissante sur [0, 1]. 1 On a en particulier f (0) = 1, f 2 = 1 − 34 λ > 0 et f (1) = 1 − 3λ < 0. − u
n
1
1
5.
1
n−
3
∗
n
.
2
On constate que l’application f s’annule en β =
√ 1
3λ
, avec
1 2
< β < 1.
On a donc f (x) > 0 sur [0, β [ et f (x) < 0 sur ]β, 1].
Ainsi f est strictement croissante sur [0, β ] et strictement d´ecroissante sur [β, 1]. – Puisque f
1 2
= 12 , on a f (β ) > 12 . D’autre part, f (1) = 1
Il existe donc un r´eel γ de ]β, 1[ tel que f (γ ) = 12 . On trouve γ en r´esolvant 0 = f (x)
1 2
−
= x
−
1 2
1
λ
− 78 λ < 12 car λ > 47 . 2
− 4 (4x
+ 2x + 1) = 0.
Ainsi γ est solution de P (x) = 0, avec P (x) = 4λx2 + 2λx + λ Le discriminant (r´eduit) de P est ∆ = λ 2
√ −λ + 16λ − 3λ
2
On en d´eduit γ =
4λ
− 4. − 4λ(λ − 4) = λ(16 − 3λ) > 0.
(la seule racine positive de P .)
− 78 λ 0 car λ 87 . – Enfin, on a toujours f (x) − x 0 si 0 x 12 , f (x) − x 0 si 12 x 1. – On remarque ´egalement que f (1) = 1
Cela r´esulte en effet des calculs effectu´es dans le question (1b).
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Probl` eme
Les r´esultats pr´ec´edents sont r´esum´es dans le tableau de variations de f :
L’in´egalit´e f (β ) < 1 est une cons´equence de f (β )
− β < 0 et de β < 1.
(b) On sait que u0 = a est ´el´ement de [0, 1] et pour tout n on a u
+1
n
= f (u ). n
Pour montrer que les u sont dans [0, 1], il faut montrer que [0, 1] est stable par f . n
Or cela r´esulte imm´ediatement des variations de f : – D’une part pour tout x de [0, β ] on a 0 f (0) f (x) f (β ) 1. – D’une part pour tout x de [β, 1] on a 0 f (1) f (x) f (β ) 1. (c) La discussion suivante se d´eduit des variations de f et de l’´etude du signe de f (x) i. 0 a <
1 2
−x :
Si 0 x < 12 on a 0 x < f (x) < 12 . On en d´eduit 0 u0 < u1 < 12 . Une r´ecurrence ´evidente donne alors n
∀ ∈ N, 0 u
n
+1
n
< 12 .
La suite u, strictement croissante et major´ee, converge vers 12 (seule possibilit´e.) ii. a =
1 2
La suite u est constante (donc convergente) en 12 . iii.
1 2
a < γ
Si 12 < x < γ on a
1 2
1 2
< f (x) < x < γ . En particulier
Une r´ecurrence ´evidente donne alors n
∀ ∈ N,
1 2
u
+1
n
u1 < u0 < γ .
< u < γ . n
La suite u, strictement d´ecroissnte et minor´ee, converge vers 12 (seule possibilit´e.) iv. a = γ Dans ce cas u1 = f (a) est ´egal a` 12 , et donc u = 12 pour tout n 1. n
Ainsi la suite u est stationnaire donc convergente en 12 . v. γ < a 1 On a alors 0 u1 = f (a) < 12 . On est ainsi ramen´e au premier cas. La suite u est donc convergente vers 12 (et strictement croissante pour n 1.) Conclusion : dans tous les cas, la suite u converge vers 12 . Math´ ematiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard
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Probl` eme
6. (a) On a toujours f
Le r´eel β =
1 2
1 est 3λ
√
= 1
− 34 λ > 0 et f (1) = 1 − 3λ < 0.
donc encore dans
1 2
1 , 1 , et on a f (β ) > 2 .
− 78 λ. Comme 87 < λ < 43 , il en r´esulte − 16 < f (1) < 0.
On a f (1) = 1
On en d´eduit encore l’existence de γ dans ]β, 1[ tel que f (γ ) = 12 . De plus il existe δ dans ]γ, 1[ tel que f (γ ) = 0.
− 16 x < 12 , on a f (x) − x > 0 et f (x) = 1 − 3λx > 0. 1 On en d´eduit le tableau de variations de f sur − 6 , 1 : Si
2
(b) La discussion suivante se d´eduit des variations de f et de l’´etude du signe de f (x) Par commodit´e, on a ´etendu a` i.
− 16 , 1
le domaine des valeurs possibles de a.
− 16 a < 12 Si − 16 x < 12 on a − 16 x < f (x) < 12 . On en d´eduit − 16 u < u Une r´ecurrence ´evidente donne alors ∀n ∈ N, − 16 u < u < 12 . 0
n
1
− x.
< 12 .
+1
n
La suite u, strictement croissante et major´ee, converge vers 12 (seule possibilit´e.) ii. a = iii.
1 2
1 2
Comme dans (5.c.ii), la suite u est constante en 12 . 1
a < γ Comme dans (5.c.iii), lim u = 2 (suite d´ecroissante.) n
n→∞
iv. a = γ Comme dans (5.c.iv), la suite u est stationnaire en 12 . v. γ < a 1
− 16 u
On a alors
1
= f (a) < 12 . On est ainsi ramen´e au premier cas.
La suite u est donc convergente vers 12 (et strictement croissante pour n 1.) Conclusion : dans tous les cas, la suite u converge vers 12 .
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Probl` eme
1
3 7 1 = 0 et (1) = 1 = . − − − λ f λ 2 4 8 6 1 Voici quelles sont les variations de f sur − 6 , 1 :
7. On a maintenant f
= 1
L’´etude de la suite u est alors assez simple : (a)
− 16 a < 12
Comme dans 6.b.i, la suite u (strictement croissante et major´ee) converge vers 12 . (b) a = (c)
1 2
1 2
La suite est constante.
− 16 u
On a alors
1
= f (a) < 12 . On est ainsi ramen´e au premier cas.
La suite u est donc convergente vers 12 (et strictement croissante pour n 1.) Conclusion : dans tous les cas, la suite u converge vers 12 . Voici une illustration de la convergence de la suite u, avec a = 0.98 :
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