UNIVERZITET U BANJOJ LUCI ELEKTROTEHNI ČKI FAKULTET
ZADACI SA KVALIFIKACIONIH ISPITA
2001-2008.
Banja Luka 2008.
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
Dr Zoran Mitrović Mr Biljana Vojvodić
ZADACI SA KVALIFIKACIONIH ISPITA
2001-2008.
Banja Luka 2008.
1
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
Dr Zoran Mitrovi ć, Mr Biljana Vojvodi ć Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-200 8.
Izdavač Elektrotehnički fakultet, Banja Luka
2
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 02.07.2001.
1. Uprostiti izraz 2 x x 1
2 x 1 x 1 . 3 2 x 1 x x 1
3 x 2
2. Riješiti jednačinu
x 2
3. Riješiti nejednačinu
9 x
4. Riješiti nejedna činu
x 2
2 x 1.
91 x 8. 2 x 8
x 1.
5. Dokazati identitet 1
sin 2 1 ctg
6. Ako u trouglu vrijedi 7. Riješiti jednačinu
cos 2 1 tg
sin 2 2
.
a b c a b c 3ab , dokazati da je
1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x
3
.
0.
8. Odrediti jednačinu kružnice koja prolazi kroz tačku svaku od koordinatnih osa.
8,9
i dodiruje
9. U pravougli trougao upisana je kružnica. Tačka dodira te kružnice sa hipotenuzom dijeli hipotenuzu na odsječke dužine 5 i 12. Naći poluprečnik te kružnice. 10. Riješiti sistem: x y
4 y
x
32,
log 3 x y 1 log 3 x y .
3
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
Rješenja:
1. Vrijedi 2 x 3 x 2 x 1
2 x 1 x 1 x 1 2 x 3 x 2 2 x 1 2 2 3 2 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 2 x x 2 x 1 3 x 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 2 x 3 2 x 2 2 x 3 x 2 2 x 1 x 2 1 x 1 x 2 x 1 2 x 3 1 3 2, x 1. x 1
2. Pošto je x 2
x 2, x 2 , x x 2 , 2
razlikujemo dva slu čaja: a) za x ,2 data jedna čina je ekvivalentna jedna čini 1 x 2 2 x 1, odakle dobijamo x , i to je rješenje jednačine 3 1 jer ,2 ; 3 b) za x 2, data jedna čina je ekvivalentna jedna čini x 2 2 x 1 , odakle je x 3, što nije rješenje jedna čine jer
3 2, . 3. Data nejednačina je ekvivalentna nejedna čini x x 92 8 9 9 0 , koja se smjenom 9 x t , t 0 svodi na kvadratnu nejedna činu
8t 9 0, tj. t 1t 9 0 . Odavde dobijamo t ,1 9, , što uz uslov t 0 , daje t 9, . Dakle, 9 x 9, , odnosno x 1, . t 2
4
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
2 x 8 0 , tj. x 4 x 2 0 dobijamo (1) x ,4 2, . Ako je x 1 0, na osnovu (1) za x ,4 imamo
4. Iz uslova x 2
2 x 8 0 x 1. Ako je x 1 0, odnosno na osnovu (1) za x 2
x 2, , nakon kvadriranja
dobijamo x
2
9
2 x 8 x 2 2 x 1, tj. x .
4 Prema tome, rješenje date nejedna čine je 9 x ,4 , . 4 5. Vrijedi
sin 2
cos 2
sin 2 cos 2 1 1 cos sin 1 ctg 1 tg 1 1 sin cos 3 3 sin cos 1 sin cos cos sin
sin cos sin 2 sin cos cos 2 1 sin cos sin 2 sin 2 k , , n , k , n Z . 1 1 2 2 2 4 6. Iz uslova
a b c a b c 3ab , c
2
dobijamo a b
2
c 2 3ab, tj.
a 2 b 2 ab.
Iz kosinusne teoreme imamo c 2 a 2 1 cos , tj. . 2 3
b 2 2ab cos , pa dobijamo
7. Data jednačina je ekvivalentna slijede ćim jednačinama 1 sin x cos x 2 sin x cos x cos 2 x sin 2 x 0, 1 sin x cos x 2 sin x cos x 2 cos 2 x 1 0, cos x1 2 cos x sin x1 2 cos x 0,
cos x sin x 1 2 cos x 0. Odavde dobijamo cos x sin x 0 ili 1 2 cos x 0, 5
tj.
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
1 tgx 1 ili cos x . 2 Rješenja jednačine su 4 2m , x n x k k , xm 4 3 8. Neka je jednačina kružnice x p
2 3
2n , k , m, n .
y q 2 r 2 . Pošto kružnica dodiruje obe koordinatne ose, vrijedi p q r , i pošto prolazi kroz datu tačku vrijedi 8 p 2
2
9 q 2 r 2 .
Ako su p i q istog znaka, tj. p q, dobijamo jedna činu
8 p 2 9 p 2 p 2 , odnosno kvadratnu jednačinu 2 p 34 p 145 0 . Njena rješenja su 5 i 29. Ako su p i q suprotnog znaka, p
q, dobijamo jednačinu
8 p 2 9 p 2 p 2 , tj. jednačinu 2 p 2 p 145 0 , koja nema realna rješenja. Dakle, jednačine kružnica su x 52 y 52 9.
B
Trouglovi DAO i OAE su podudarni pa je DA=AE=5. Analogno je BE=BF=12. Primjenjuju ći Pitagorinu teoremu dobijamo
r 122 r 52 17 2 ,
12
12
F r
5 2 i x 292 y 292 29 2.
r
E
r O
5
r
C r D
tj. kvadratnu jedna činu 2 r 17r 60 0 . Poluprečnik kružnice je r=3.
5
A
6
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
10. Iz 2
x y y x
2
2 5 , x 0, y 0, dobijamo
Uvođenjem smjene 2t 2 čija
x y
x y
y x
5
. 2
t , dobijamo kvadratnu jedna činu
5t 2 0 ,
su rješenja 2 i
1
. 2 Iz druge jedna čine sistema, uz uslove x y
0 i x y 0 , dobijamo
log 3 x 2 y 2 log 3 3. Za t 2 dati sistem je ekvivalentan sistemu x 2 y x
2
y 2 3.
Uvrštavaju ći x iz prve jednačine u drugu, dobijamo jedna činu y 2 1 , čija su rješenja 1 i 1 . Odavde dobijamo rješenja sistema (2,1), (-2,-1), od kojih samo rješenje (2,1) zadovoljava postavljene uslove. Za t
1 2
dati sistem je ekvivalentan sistemu
2 x 2 2 x y 3. y
Uvrštavaju ći y iz prve jedna čine u drugu, dobijamo jedna činu x 1 koja nema realnih rješenja. 2
Dakle, rješenje sistema je x, y 2,1.
7
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 05.09.2001.
1. Uprostiti izraz 1 a 1 a 1 a 1 a
2. Ako je x x 1
1 a 1 a
1 a
1 a
1 a 1,
,
a
0.
1 a
a, izračunati x 3 x 3 .
3. Za koje vrijednosti parametra a jednačina a 1 x 2 2a 7 x 52a 7 0 ima bar jedan realan korijen. 4. Riješiti nejedna činu
3 2 x 2 x
1 .
5. Riješiti jedna činu log x log
6. Riješiti nejedna činu
1 x 1
log 2 log2 x 3 .
sin x 3 cos x
1.
7. Dokazati da za uglove , , proizvoljnog trougla vrijedi cos 2 cos 2 cos 2 2 cos cos cos 1. 8. Na jednoj težišnoj liniji trougla ABC odabrati ta čku M tako da zbir 2 2 2 s MA MB MC ima minimalnu vrijednost. 9. Ako su a i b paralelne stranice, c i d kraci trapeza, p i q dijagonale trapeza, dokazati da je 2 2 2 2 p q c d 2ab. 10. Sastaviti jedna činu kružnice koja prolazi ta čkama A 2,0 i B 1,1 a centar joj leži na pravoj x y 0 .
8
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
Rješenja:
1. Vrijedi 1 a 1 a 1 a 1 a
1 a 1 a 1 a
1 a 1
a
1 a
1 a 1 a 1 a
1 a
1 a
1 a
1 a 1 a
1 a 1 a 1 a 1 a 1 a
1 a 1 a
1 a
1 a 1 a
2
1 a
1 a
1 a
1 a 1 a
1
a
1 a
1 a
1 a
1 a
1 a
1 a 2 21 a 2 1 a 2 2 1 a 1 a 1 a 2 1 a 2 1 a2 2 2a 2 2 2a 2 1 1 1 0, 1 a 1, a 0. 4a
a
a
a
2. Vrijedi x 3 x
3
x x 1 3 x 2 x 1 3 x x 2 3
x x 1 3 x x 1 a 3 3a. 3
3. Jednačina ima bar jedan realan korijen ako vrijedi D 0, odnosno
2a 7 2 20a 12a 7 0. Ova nejednačina je ekvivalentna nejedna čini 2a 7 2a 3 0,
7 , 3 . 2 2
odakle se dobija a
(Za a 1 jednačina se svodi linearnu jedna činu 9 x 45 0, čije je rješenje x 5. ) 4. Data nejednačina je ekvivalentna nejedna čini x 5
2 x
3 2 x 2 x
1 0, odnosno
0. Rješenje nejednačine je x ,5 2, .
9
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
5. Iz x 0 x 1 0 2 x 3 0 dobijamo x 1, , i tada je jedna čina ekvivalentna jedna čini log x x 1 log 22 x 3 , odnosno jednačini 2 x x 4 x 6. Dobijamo kvadratnu jedna činu 2 x 5 x 6 0, su rješenja x1 1, x 2 6. Iz uslova x 1, dobijamo da je rješenje date jedna čine x 6. čija
6. Data nejednačina je ekvivalentna slijede ćim nejednačinama: 1 2
sin x
3 2
cos x
1
,
2 sin x cos cos x sin 3 3 1 sin x , 3 2 pa je rješenje nejednačine x
1
, 2
5 2k , 2k , 3 k Z 6 6
odnosno
k Z
x
2k , 2k . 6 2
7. Pošto je i cos cos dobijamo cos 2 cos 2 cos 2 2 cos cos cos
cos 2 cos 2 cos 2 2 cos cos cos cos 2 cos 2 cos cos sin sin 2 2 cos cos cos cos sin sin cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 cos cos sin sin sin 2 sin 2 2 cos 2 cos 2 2 cos cos sin sin cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 cos2 cos2 cos2 cos2 1 cos2 cos2 cos2 cos2 1.
10
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
8. Rješenje I:
Neka je M proizvoljna tačka na težišnoj duži AA1 . Uzimajući na
C
pravoj AA1 tačku M 1 tako da je A1
M
M1
A
B
A1 M 1 dobijamo paralelogram
MA1
MBM 1C . Pošto je u paralelogramu zbir kvadrata stranica jednak zbiru kvadrata dijagonala dobijamo
2 MB 2 MC 2 MM 12 BC 2 .
2 MA1 2 AA1 MA pa dobijamo 2 4 AA1 MA BC 2 2 MB 2 MC 2 , 2 4 AA1 8 AA1 MA 4 MA 2 BC 2 2 MB 2 MC 2 .
Dalje je MM 1
Odavde je 2 MB 2 tj.
MC 2 MA 2 6 MA2 8 AA1 MA 4 AA12 BC 2 , 2
s
MA MB MC 2
2
2
2 1 2 2 3 MA AA1 AA1 BC 2 . 3 2 3
Ovaj zbir će biti najmanji kada je MA
2 3
AA1 ,
tj. ako je tačka M
težište trougla. Rješenje II: C
A
Trouglovi QA1C i A1 BP su podudarni A1 P
M Q
B
pa je A1Q A1 P. Iz kosinusne teoreme imamo 2 2 2 MC MA AC 2 AC AM cos . AQ Dalje je cos , pa je AC AC cos AQ. Dakle 2
MC
MA 2 AC 2 2 AQ AM .
Analogno je MB
2
pa je 2 MB
MA 2 AB 2 2 AM AB cos , cos MA 2 AB 2 2 AM AP. 11
AP AB
,
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
Prema tome 2 2 2 2 2 2 s MA MB MC 3 MA AC AB Pošto je AP AQ AA1 A1 P AA1 A1Q 2 AA1 , dobijamo 2 2 2 s 3 MA 4 MA AA1 AC AB
2 AM AP AQ .
2
2 4 3 MA AA1 AC 2 AB 2 AA12 . 3 3
Ovaj zbir će biti najmanji kada je MA
2 3
AA1 , tj. ako je tačka M težište
trougla. 9.
b
D
d
p
x A
C
c
q
y a
B
Primjenom kosinusne teoreme na trouglove ABC, ACD, ABD, BCD redom, dobijamo p 2 a 2 c 2 2ac cos ,
b 2 d 2 2bd cos , q 2 a 2 d 2 2ad cos , q 2 c 2 b 2 2bc cos . Pošto je cos cos , sabiranjem dobijamo 2 p 2 q 2 2a 2 b 2 c 2 d 2 2ac cos 2bd cos 2ad cos 2bc cos p 2
odnosno (1) p 2
q 2 a 2 b 2 c 2 d 2 a b d cos c cos .
S druge strane, iz pravouglih trouglova AED i FBC imamo x y cos , cos , d c 12
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
pa je
d cos c cos x y
a b.
Uvrštavanjem u (1) dobijamo p 2 q 2 a 2 b 2 i nakon sređivanja p 2 q 2 c 2 d 2
c 2 d 2 a b 2 , 2ab.
10. Neka je jednačina kružnice x p y q r 2 . Pošto centar kružnice leži na pravoj x y 0 , vrijedi p q 0, pa dobijamo 2
2
jednačinu kružnice x p y p r 2 . Pošto kružnica prolazi datim tačkama, dobijamo sistem jednačina 2
(1) (2)
2
2 p 2 p 2 r 2 1 p 2 1 p 2 r 2
Iz (1)-(2) dobijamo 31 2 p 2 p 1 0, 1 10 odnosno p . Uvrštavanjem u (1) dobijamo r . 2 2 Dakle, jednačina kružnice je 2
2
x 1 y 1 2 2
5 2
.
13
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 01.07.2002.
1. Uprostiti izraz 2
x
x 1 1 x 2
2. Pokazati da je
1 4 x 2 . : 1 2 x x 2 1 x x 2 x 3 x
29 12 5
29 12 5 cio broj. Koji je to broj?
3. Odrediti parametar m tako da zbir kubova korijena jedna čine x 2 x m 0 bude jednak 10. 4. Riješiti nejedna činu x
2
x 1 x 1 .
5. Riješiti nejedna činu 2 log 1 x log 1 x 6 0 . 2
2
6. Riješiti sistem 2 log x y log 9 3 x
2
9 y 39.
7. Riješiti jednačinu sin 2 2 x sin 2 4 x 1. 8. Ako za stranice a, b i ugao trougla vrijedi a 2b cos dokazati da je taj trougao jednakokraki. 9. Kružnice poluprečnika 2 i 1 dodiruju se spolja u ta čki T. Njihova zajednička unutrašnja tangenta sije če spoljašnju tangentu u ta čki A. Izračunati dužinu duži AT. 10. Odrediti jedna činu kružnice čiji je polupre čnik r 3 2 , a prave x y 4 0 i x y 7 0 je tangiraju.
14
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
Rješenja:
1. Vrijedi 2
1 4 x 2 : 1 x 1 x 2 1 2 x x 2 1 x x 2 x 3 2 x x 1 2 x 1 2 x : 2 2 x x x 1 1 1 x x x 1 1 1 x 2 4 x 2 x 2 x1 x x1 x 1 2 x 1 2 x : 1 x 1 x 2 1 x 2 1 x 1 x 2 1 x 21 2 x 4 x 2 2 x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 x 1 x
x
x
2
1 , x 1, x . 1 2 x 2
2. Neka je m 29 12 5 Kvadriranjem dobijamo
29 12 5 2 m 2 58 2 121 , 2 m 36 . Prema tome m 6. m2
29 12 5 . Očigledno je 29 2
12
5
2
29 12
m 0.
5,
3. Na osnovu Vietovih formula je x1 x 2 1, x1 x 2 m . Dalje je x13 x 23 x1 x 2 x12 x1 x 2
x 22 x1 x 2 x1 x 2 2 3 x1 x 2 1 3m. Znači, 1 3m 10, tj. m 3.
4. Nejednačina je uvijek definisana jer je x 2 x 1 0 x R . Ako je x 1 0 , vrijedi x 2 x 1 0 x 1 , pa je rješenje nejednačine x ,1 .
15
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
Ako je x 1 0 , nakon kvadriranja dobijamo nejednačinu 2 2 x x 1 x 2 x 1 , čije je rješenje x 0 , odnosno, uzimajući u obzir postavljeni uslov, x 1, . Prema tome, rješenje nejednačine je svako x R.
5. Nejednačina je definisana za x
0 x 6 0 , tj. za
(1) x 0 x 6 . Prema tome, za x 6,0 0, data nejednačina je ekvivalentna nejednačinama log 1 x 2 log 1 x 6 , 2
x
2
x 6,
2
x
2
x 6 0 .
Rješenje ove kvadratne nejednačine je x 2,3 . Uzimajući u obzir (1) dobijamo rješenje nejednačine x 2,0 0,3 .
6. Ako je x y
0 , dati sistem je ekvivalentan sistemu log x y log 3 2
3 x 2 y 39 , odnosno sistemu x y 3 x
2
2 y 9.
Uvrštavajući y iz prve jednačine u drugu, dobijamo kvadratnu jednačinu x 2 x 3 0 , čija su rješenja x1 1, x 2 3 . Odavde se dobija y1 4, y 2 0 . Oba rješenja zadovoljavaju uslov x y 0 , pa je rješenje sistema skup 2
1,4, 3,0. 7. Data jednačina je ekvivalentna slijedećim jednačinama sin 2 2 x 4 sin 2 2 x cos 2 2 x 1, sin 2 2 x 4 sin 2 2 x 4 sin 4 2 x 1, 4 sin 4 2 x 5 sin 2 2 x 1 0. 16
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
t , t 0, 4t 2 5t 1 0,
Stavljajući sin 2 2 x
čija
1,
su rješenja t 1
t 2
1 4
dobijamo kvadratnu jednačinu
. Odavde dobijamo
sin 2 x 1, sin 2 x
, xm
pa su rješenja jednačine x k
xn
12
n
2
4
1
, 2 k 2
5
12
, m
2
, k , n, m Z .
a 2 b 2 2ab cos i uvrštavajući da a 2 b 2 a 2 , tj. c b .
8. Iz kosinusne teoreme imamo c 2 je 2b cos a, dobijamo c 2
9. C A B D
O1
O2
T
1 Vrijedi AC AT AB (tangentne duži), tj, AT BC . Dalje je 2 CB O1 D , pa iz pravouglog trougla O1O2 D dobijamo O1 D 2 3 2 12 , odnosno O1 D 2 2 . Dakle, AT
2.
17
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
x p 2 y q 2 18. Iz uslova 2 prave i kružnice r 2 1 k 2 pk q n , dobijamo sistem 2 36 p q 4 2 36 p q 7 .
10. Neka je jednačina kružnice
dodira
Razlikujemo 4 slučaja: p q 4 6 1 ; p q 7 6 rješenje ovog sistema je p 2
3 2
,q
1 2
, pa je jednačina kružnice
2
x 3 y 1 18 , 2 2 2
p q 4 6 ; p q 7 6 rješenje ovog sistema je p 2
9
2
,q
11
2
, pa je jednačina kružnice
2
x 9 y 11 18, 2 2 3
p q 4 6 p q 7 6
;
rješenje ovog sistema je p 2
15 2
,q
11 2
, pa je jednačina kružnice
2
x 15 y 11 18, 2 2 4
p q 4 6 p q 7 6
;
rješenje ovog sistema je p 2
3 2
2
,q
x 3 y 23 18. 2 2
18
23 2
, pa je jednačina kružnice
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 01.07.2003.
1. Uprostiti izraz 92a 3 27 a 3
3a
3a 9
a2
a a3
.
2. Dokazati da je
4
15
10 6
4 15
2.
3. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m su oba korijena jednačine x 2 4 x 2m 0 pozitivna. 4. Riješiti jedna činu x
4
x 1
3
x
3
1 2
5. Riješiti nejednačinu log 5 x x 20
2 2 x1 .
x x log 2 .
6. Riješiti jednačinu cos 3 x sin 3 x cos x sin x . 7. Izračunati uglove pravouglog trougla ako je razlika kateta jednaka
c 2
2
,
gdje je c hipotenuza. 8. Stranica jednakostraničnog trougla je a . Oko njegovog težišta opisana je a kružnica poluprečnika . Odrediti površinu dijela trougla koji se nalazi 3 van ove kružnice. 9. Neka su d 1 i d 2 dijagonale paralelograma i ugao između njih. Odrediti površinu paralelograma. 10. Tačka M 1,3 je unutrašnja tačka kružnice x 3 Odrediti jednačinu najmanje tetive koja sadrži M .
19
2
y 52 25.
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
Rješenja: 1. Vrijedi 92a 3
3a
a
3a 9 a 3 92a 3 3a a 2 2 3 a 9 3a a a 3a 9 a 3 18a 27 3a3 a a a 2 3a 9 3 a a 2 3a 9 18a 27 9a 3a 2 a 3 3a 2 9a 3 a a 2 3a 9 27 a 3 1, a 3. 27 a 3
27 a 3
a2
4 15 10 6 2. Neka je nakon kvadriranja dobijamo m
4 15
2
4
15
2
4
15 16 15 16 2 60
odnosno m Dakle, m 2.
10 2
m. Očigledno je
2
60
6 4
m 0 , pa
15 ,
44
15 4 15
4.
3. Da bi oba korjena jednačine bila pozitivna treba da budu ispunjeni uslovi D 0, x1 x 2 0, x1 x 2 0 . Koristeći Vietove formule, odavde dobijamo sistem nejednačina m 0,16 8m 0 . Rješenje ovog sistema je m 0,2 .
4. Data jednačina je ekvivalentna sljedećim jednačinama: x
1
x
1
4 3 2 3 x 1 , 1 1 1 1 x x 4 2 4 2 1 3 2 3 3 2 , x
4
2
20
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
x
4 3 x
1 2
1 2
3 3 1 3 3
log 4 3
,
3 3
1
3 3
.
Odavde dobijamo x
log 4 1 2 3
1
3
. 9
5. Uz uslov 5 x x 20 0 , data nejednačina je ekvivalentna nejednačinama log 5 x x 20 log 10 x log 2 x ,
log5
x
x 20 log 5
x
Odavde je 5 x x 20 5 x , tj. x
.
20.
Rješenje nejednačine je
x 20, .
6. Data jednačina je ekvivalentna slijedećim jednačinama: cos x sin x cos 2 x cos x sin x sin 2 x cos x sin x 0,
1 cos x sin x 1 sin 2 x 1 0, 2 cos x sin x sin 2 x 0. Odavde dobijamo cos x sin x 0 ili sin 2 x odnosno tgx 1 ili sin 2 x 0. Rješenja jednačine su n , k , n Z . x k k , xn 4 2
7.
Iz pravouglog trougla dobijamo a b sin , sin , c 2 c odnosno
a b c 2
sin sin
0,
c
- 2 2
21
.
a
b
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
Primjenjujući formulu za transformaciju razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod dobijamo 2 cos
4
sin
2
4
2
,
odnosno
sin
Odavde dobijamo 8.
1
. 4 2 5 12
,
12
.
C
T
E
D F
A
Jasno je da je P
3P1 , gdje je
tjemenom u B. Iz DF
FBET
a
6
B
P1 površina dijela trougla van kružnice sa 2
trugla DFT dobijamo DF
. Odavde se dobije da je FB romb. Prema tome, P1
a
a
2 a 3 a 3 6
a
a 2 a 3 sin 60 6 3
Nakon sređivanja dobijamo P
a
, tj.
, pa je četverougao 2 6 3 Pr Pk , gdje je Pr površina romba
FBET, a Pk površina kružnog isječka FET, sa uglom 60 , pa je
P1
2
2
2
18 22
3
a2 3
18
3 .
a 2
54
.
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
9.
C
D
O
d 1
d 2
A
B
Površina trugla ABO je P1
1 d 1 d 2
sin
2 2 2 1 d 1 d 2
d 1 d 2
8 d 1 d 2
sin 2 2 2 8 Prema tome, površina paralelograma je d d d d P 2P1 P2 2 1 2 sin 1 2 sin . 4 2 a površina trougla BCO je P2
10.
sin ,
sin .
C M
A
B N
r
r
O
D
Najmanja tetiva kružnice je ona za koju je tačka M središte.Naime, neka je AB tetiva čije je središte tačka M i CD bilo koja tetiva koja sadrži M. Neka je N središte tetive CD. Iz pravouglog trugla ONM je očigledno OM ON ( OM je hipotenuza a ON kateta). Iz trougla OMA imamo 2
2
1 AB r 2 OM 2 , 2
1 a iz trougla OCN je CD r 2 ON 2 . 2 Odavde i iz nejednakosti OM ON dobijamo AB CD .Pošto je tetiva AB okomita na pravu određenu tačkama M i S imamo k
1 k MS
k 1. Prema tome, jednačina tražene prave je y 3 x 1, x y 4 0.
23
, tj. tj.
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 01.07.2004.
a3
1. Uprostiti izraz
b3
2. Riješiti nejednačinu
ab
ab
a
ab
2 x 5
a3
b3
b
ab
.
ab
x 2 .
3. Riješiti jednačinu
5 x 2
4. Riješiti jednačinu
log 2 9 2
7 4 x 3 x 2
x
x
x
2 . x 3
x
3 x .
5. Riješiti sistem x 1
27 2
y x
44
16
1 sin 2
6. Dokazati identitet
sin cos
2 y 1
.
. 4
2 cos
3 5 sin 2 x cos 4 x .
7. Riješiti jednačinu 8. Dokazati da je
243 3 4 y 1
2t a2
b2 c 2
1
a2 ,
2 gdje su a, b, c stranice trougla ABC , a t a težišnica iz vrha A.
9. Osnovice jednakokrakog trapeza razlikuju se za 10, krak je aritmetička sredina osnovica, a visina 2 3 duže osnovice. Naći površinu trapeza.
10. Prava y kx siječe kružnicu x 1
2
y 2 1
u tačkama A i B . Odrediti ____
koordinate tačaka A i B i izračunati k ako je AB 2 .
24
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
Rješenja: 1. Vrijedi a3 b3 b3 2 2 ab ab a b ab a b ab ab a b ab a b ab ab 2 2 2 (a b)a ab b a b (a b)a ab b 2 ( a b) 2 2 2 2 a ab b a ab b a3
b3
a3
b3
a3
a 2 b 2 a 2 b 2 0 , uz uslov
a
b .
5 data nejednačina je ekvivalentna nejedna čini 2 2 x 5 x 2 , tj. nejednačini x 7 , pa je u ovom slučaju rješenje x ,7 .
2. Za x ,
5 , data nejednačina je ekvivalentna nejedna čini 2 2 x 5 x 2 , tj. nejedna čini x 1 , pa u ovom slučaju rješenje x 1, . Za
x
Dakle, rješenje nejedna čine je x ,7 1, .
x 5
Pošto je
0
x 4
0
x 2
0 dobijamo da je jednačina x 2 x 3 x 3 x ,3 5, . Uz uslov x 2 0 , nakon definisana za kvadriranja i sre đivanja dobijamo ekvivalentnu jedna činu
3. Iz uslova
x 5 x 4 x 2 2 x 36 . x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 0 mora biti i x 2 2 x 36 0 ,
odakle
dobijamo (uz gornja ograni čenja ) da x 5,1 37 . Kvadriranjem i
sređivanjem dobijamo kvadratnu jedna činu x 2 2 x 24 0 , čija su x1 6 i x2 4 . Rješenje x 6 pripada definicionom rješenja područ ju jednačine i to je jedino rješenje jedna čine.
25
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
0 dobijamo da je za x log 2 9 x x ekvivalentna jedna čini 9 2 2 3 . Smjenom dobijamo kvadratnu jedna činu t 2 9t 8 0 , čija su t 2 8 . Odavde dobijamo 2 x 1 , odnosno 2 x 8 , jednačine x 0,3.
4. Iz uslova 9 2
x
data jednačina
t ,
t 0
rješenja t 1
1 i
2 x
pa su rješenja
5. Vrijedi x 1
27 2
4 4 y x
243 34 y 1
16 2 y 1
33( 2 x 1) 41 y x
354 y 1 4 2 y 1
6 x 4 y
1 . x 3 y 0
3 , 1 . 22 22
Rješenje sistema je x, y
6. Vrijedi 1 sin 2
sin 2 2 sin cos cos 2
sin cos 2 sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin 2 sin cos 4 2 4 2 cos , 4 uz uslov sin cos 0 , tj.
4
k ,
k Z .
7. Data jednačina je ekvivalentna jedna čini 3 5 sin 2 x cos2 2 x sin 2 2 x , tj. jednačini 2 sin 2 2 x 5 sin 2 x 2 0 . t 1,1 dobijamo kvadratnu jedna činu Smjenom sin 2 x t , 1 2t 2 5t 2 0 , čija su rješenja t 1 2 i t 2 . 2 Zbog ograničenja za t ( x sin 2 x je ograničena funkcija) uzimamo 1 samo rješenje t 2 . Jednačina sin 2 x ima rješenja 2 7 n , k , n Z . xk k , xn 12 12 26
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
8. Iz trougla ADC imamo 2
b
2
t a
2
a a 2 t a cos , tj 2 2
1
b
t a 2
2
a2
4
a t a cos .
Analogno iz trougla ABD dobijamo 2
c
2
t a
2
a a 2 t a cos , tj. 2 2 2
Sabiranjem (1) i (2) dobijamo
2t a2
c
1
b2 c 2
2
2
t a 2
a2
4
a t a cos .
a2 .
C a/2 b
D -
t a
A
9. Iz
a/2
c
a b 10 c
ab
2
B
dobijamo c=a-5. Primjenjujući Pitagorinu
teoremu na trougao AED dobijamo
a 5 5 2
2
2 a 3
a=18. D
c
A
Dalje je b 8,
C
h
E
B
h 12 , pa je
27
P 156.
2
, odakle je
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
10. Odredimo koordinate presje čnih tačaka prave i kružnice. Iz jedna čine 2 x 12 k 2 x 2 1 dobijamo x1 0, x2 . 1 k 2 y
y=kx
x 1
2
2 , 2k . Iz uslova 1 k 2 1 k 2
Odavde je A0,0 i B 4
4k 2
1 k 1 k 2 2
2 2
2 , pa je
Dakle, prave y x i y tetivu dužine
2
k
____
AB 2 dobijamo
1 , tj. k 1.
x odsjecaju na kružnici x 12 y 2 1
2.
28
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 06.09.2004.
1 1 xy 1 1 . x y x y x y x y xy
1. Uprostiti izraz
2 x 3 x 5 .
2. Riješiti nejedna činu
3. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m jednačina
m 2 x m
8 x 2 1
ima jednake korijene. 4. Riješiti jedna činu
x
4
4 x1 4 x2 7 x1 7 x1 .
5. Riješiti sistem
3log y 19 . 2 log x 2 log y 4 3 247 4 log x
6. Riješiti jedna činu
4 sin 2 x cos x 3 cos x 0 .
7. Stranica romba je a 5 , a zbir dijagonala d 1 d 2 romba.
14 . Odrediti površinu
8. Naći uglove trougla čije su stranice date jedna činama a 2 b 2 a 2 b 2 18 , b : c 1 : 2 .
36 ,
9. Visina i težišna linija povučene iz tjemena C trougla ABC dijele ugao kod tjemena C na tri jednaka dijela. Odrediti uglove trougla ABC . 10. Naći jednačinu prave koja sadrži ta čku M(3,1) i čiji je odsje čak na x osi dva puta veći nego na y osi.
29
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
Rješenja:
1. Vrijedi xy
1 1 xy 1 1 xy y x xy y x x y x y x y x y x y xy x y xy 1 (1) 2 ako je x 0, y 0, x y .
2. Za x ,
3
data nejednačina je ekvivalentna sa 2 x 3 x 5 ,
2
tj. sa x 8 pa je u ovom slu čaju rješenje x 8,
3
.
2
3 , data nejednačina je ekvivalentna sa 2 x 3 x 5 , 2 2 3 2 tj. sa x , pa u ovom slučaju rješenje x , . 3 2 3 2 Dakle, rješenje nejedna čine je x 8, . 3 Za x
m 2 x m 8 0 imala jednake korijene mora 2 biti ispunjen uslov D 0 , tj. m 2 32m 8 0 . Odavde dobijamo kvadratnu jedna činu m 2 36m 260 0 , čija su rješenja m1 10 i m2 26 .
3. Da bi jedna čina 8 x 2
4. Data jednačina je ekvivalentna sa
4 x1 4 42 43
7 7 x 1
2
odakle dobijamo x 1
4 7
48 84
4
, 7
pa je x 1 1 , tj. x 2 .
30
1
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
x y 3log 5. Ako uvedemo smjenu 4log u, dobijamo sistem u v 19 (1)
u2
(2)
Iz (2) imamo Dakle
v , uz uslov
x 0, y 0 ,
v 2 247.
u v u v 247 , pa koristeći (1)
dobijamo u v 13 .
u v 19
u v 13 v 3. odakle lako dobijamo da je u 16, Vraćajući se na smjenu dolazimo do 4 log x 16, 3log y 3 , tj. log x 2,
log y 1 .
x, y 100,10 .
Rješenje sistema je
2 6. Data jednačina je ekvivalentna jedna čini cos x(4 sin x 3) 0 , odakle
dobijamo cos x 0 sin x Rješenja jednačine su
3
.
2
xk 2k ,
xn
7. Za površinu romba koristimo formulu P 2
n , 3
d 1d 2
2
2
k , n Z .
.
d d 2 Pošto je a 1 2 dobijamo 4a 2 d 1 d 2 2 d 1 d 2 . 2 2 Uvrštavaju ći d 1 d 2 i a dobijamo d 1d 2 48 , tj. P 24. 2
C a D
d 1/2
d 2 /2 B
A 31
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
8. Za stranice trugla vrijedi a 2 b2 (1)
36 2 2 a b 18 b : c 1: 2 .
(2)
3
Sabiranjem (1) i (2) dobijamo 2a 2 54, tj. a 3 3 . Sada se lako dobija b 3 , a zatim iz (3) c 6. Primjenom kosinusne teoreme dobijamo b2 c 2 a 2 cos , pa je . 3 2bc Analogno dibijamo i . 2 6
9. Uočimo da je trougao DBC jednakokraki.
(Visina hc je ujedno i
simetrala ugla.) Odavde je DE EB i pošto je DB DE EB
c
4
c
2
, dobijamo
. C
b
A
a
t C
hC B
A
A
c/2
Prema tome AE AEC je tg 2
D
3c 4
3c 4hc
1 3
A
. Iz trougla EBC imamo tg . Stavljajući
tangens dvostrukog ugla tg 2 je x
E
A
. Dakle, tg
1 3
c
2tg 1 tg 2
32
4hc
, a iz trougla
x i primjenjuju ći formulu za
4hc
, pa je
c
6
, dobijamo 3 x
2 x 1 x 2
, odakle
. Prema tome, ugao
2
.
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
Pošto je trougao DBC jednakokraki i ugao u C jednak 2 , tj. zaključujemo da je taj trougao jednakostrani čni, pa je ugao
3
3
,
.
10. Pošto je odsje čak na x osi dva puta ve ći nego na y osi, možemo zapisati jedna činu prave u segmentnom obliku x y 1. 2m m 3 1 5 Pošto prava sadrži ta čku M, dobijamo 1 pa je m . 2m m 2 Jednačina prave je x 2 y 5 0 .
33
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 01.07.2005.
1. Pokazati da je
1 1 a 1 a 1 a 1 a 2 1 a 1 a a
1 a
2
1 1,
0 a 1.
2. Odrediti koeficijente kvadratne jedna čine x 2 px q 0 tako da njeni korijeni budu p i q . 1
3. Riješiti nejedna činu
x 3 x 2
9 x
4. Riješiti jedna činu
5. Riješiti jedna činu
6. Riješiti jedna činu
7. Dokazati identitet
2 x 1
x 2
4 x 3
1
1 2 log 2 1 x 1 4 1
1 sin x 2
cos 2 x ctg x tg x 2
3 x 2
.
4 x 332 x 6 x .
log 2 1
cos x
3 x 2
2
1 4
. x 2 2
.
sin 2 2 x .
8. Izračunati stranice i uglove trougla ako je stranica a jednaka poluprečniku, a stranica b prečniku opisane kružnice i visina hc jednaka 3. 9. U romb čija je stranica a i oštri ugao
upisana je kružnica. Odrediti 3 površinu pravougaonika čiji vrhovi leže u ta čkama dodira kružnice sa stranicama romba.
10. Odrediti jedna činu sječice konstruisane iz ta čke A(15,-5) na kružnicu x 2 y 2 50 tako da dužina odgovaraju će tetive iznosi 10.
34
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
Rješenja:
1. Vrijedi
1 1 a 1 a 12 1 1 a 1 a a 1 a 2 1 a a 1 a 1 a 1 1 a 2 2 a a a a a a a 1 1 1 1 ( 1 ) 1 1 a 2 1 a ( 1 a )2 a a a a a a 1 1 1 1 1 1 a 1 a 1 1 a2 a 1 a 1 a
1 a 1 a
1
2a
2 1 1 a2 2a
2
1 1 a2 a
1 a2 a
1 1 a 2 a2
1,
0 a 1.
2. Iz Vietovih formula dobijamo p q p pq q. Iz druge jedna čine dobijamo q 0 p 1 . Za q 0 dobijamo p 0 , dok za p 1 dobijamo q 2.
3. Iz uslova x 3 0 x 2 nejednačina definisane ekvivalentna sa
3 x 2 0 x 2 4 x 3 0 dobijamo da je za x R \ 1,2,3. Data nejednačina je
2 x 1 x 3 3 x 2 x 2 x 1 x 2 0, x 1 x 2 x 3 odakle sređivanjem dobijamo
6 x 9 0. x 1 x 2 x 3 4 x 2
3 3 5 3 3 5 ,1 2, 3, . 4 4
Rješenje ove nejedna čine je x
35
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
4. Nakon dijeljenja sa 6 x dobijamo jednačinu x
x
x
3 2 3 3 3 . 2 3 2 x 3 1 Nakon smjene t , t 0 data jednačina postaje 2t 3 0 , t 2 tj. 2t 2
3t 1 0 . Rješenja ove jedna čine su
dobijamo rješenja polazne jedna čine x log 3 2
1
5. Iz uslova x 1 0 x 0 1
1
t 1
1 2
, t 2
1 , odakle
i x 0 .
2
2
0 1
x 1 je jednačina definisana za x 1 . Imamo
x
2
0 dobijamo da
x
log 2
x x
1
x
log 2
x
2
x
2 log 2
x x
pa je
1 2
2
2 4 . Rješenje jednačine je x 4. x 1
x
6. Pošto je 1 sin x 0 za svaki realan broj, uz uslov cos x 0 , nakon kvadriranja dobijamo jedna činu 2 cos2 x 1 sin x , odnosno jednačinu 2 sin 2 x sin x 1 0 . Stavljaju ći sin x t , t 1,1 dobijamo kvadratnu jedna činu 2t 2 t 1 0 , čija su rješenja t 1
1,
Za sin x 1 dobijamo xk cos x 0 , dobijamo x n
6
2
2n,
t 2
1
. 2
1
2k , a za sin x , uz uslov 2
k , n Z .
36
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
7. Vrijedi cos 2 x ctg 2 x tg 2 x
cos 2 x sin 2 x cos 2 x
sin 2 x
sin 2 x
cos x sin xcos
uz uslov sin x
2
2
cos 4 x sin 4 x
cos 2 x
sin 2 x cos 2 xcos 2 x sin 2 x 2
sin 2 x cos 2 xcos 2 x sin 2 x
x sin x 2
sin 2 x cos 2 x
1 4
sin 2 2 x,
0 cos x 0 cos x sin x .
b
8. Iz sinusne teoreme imamo
2 R , tj sin 1 , pa je . Takođe
sin 2 a 1 2 R , pa je sin , . Odavde dobijamo da je . je 2 sin 6 3 C a
b
hC
A
c
B
Iz pravouglog trougla ADC dobijamo sin
hc b
, pa je b 6. Sada lako
dobijamo da je a 3 i c 3 3 .
9. Površina pravougaonika je P 4 xy . Trougao DBC je jednakostranični pa je DB a OP OC
i
OC
a 3
sin , odakle dobijamo 6
2
. Trougao OPC je pravougli pa je
OP
37
a 3
4
.
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
C
Pošto je x visina pravouglog trougla OPC , vrijedi x 2 OE EC y EC . (1)
6 6 Q
E
x
Iz pravouglog trougla EPC je
P B
O
N
M
EC
tg , 6
pa je EC 3 x . Uvrštavajući u (1)
y D
x
dobijamo x y 3 . Sada primjenom Pitagorine teoreme na trougao OPE 3a 2 2 2 2 2 dobijamo x y OP , tj. 4 y . 16 Dobijamo y
a 3
Površina je P
A
8
,
x
3a 2 3 16
3a 8
.
.
10. Sječice na kružnicu su tangente na koncentri čnu kružnicu, poluprečnika 2
10 50 , tj. na kružnicu 2
x
2
y 2 25 . Iz uslova da sje čica sadrži
tačku A(15,-5) i uslova dodira prave i kružnice dobijamo sistem 5 15k n 25 k 2 1 n 2 ,
odakle dobijamo jedna činu 8k 2 6k 0 , čija su rješenja 0 i
Jednačine sječica su y 5 0 i 3 x 4 y 25 0 . C B
O(0,0)
38
A(15,-5)
3 4
.
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 05.09.2005.
1. Uprostiti izraz 3 2 a 2 a a a . 2 : 2 2 2 a b a ab b a b a b 2
x 1
2. Riješiti nejedna činu
x 1
2 .
3. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m jednačina 8 x 2 m 2 x m 8 0
ima pozitivne korijene.
4 3 x 3 0 .
4. Riješiti jednačinu
32
5. Riješiti jedna činu
1 log10 log 271 3 3
x
6. Odrediti x 0,2 tako da vrijedi
2 sin x
5 x
2 .
sin x
5 2
7. U jednakokrakom trapezu sa paralelnim stranicama sijeku pod pravim uglom. Odrediti dužinu kraka.
ctgx .
a i b dijagonale se
8. Naći uglove trougla čije su stranice date jedna činama b2 c 2
36 ,
b2 c2
18 , c : a 1 : 2 .
9. Visina i težišna linija povučene iz tjemena C trougla ABC dijele ugao kod tjemena C na tri jednaka dijela. Odrediti uglove trougla ABC . 10. Naći jednačinu prave koja sadrži ta čku M(1,3) i čiji je odsje čak na y osi dva puta veći nego na x osi.
39
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
Rješenja:
1. Vrijedi
a 2 a a3 a 2 : 2 2 2 2 a b a b a ab b a b 2 a 2 a 3 a a2 : 2 a b a b a b a b a b a 2 a
a b a b a 2b b a 3 a a b a 2 : a b a b a b 2 ab a b 2 a a b a 0, b 0. , uz uslove a b, ab 2. Vrijedi
x 1 x 1
2
x 1 x 1
20
-x -3 x 1
0,
odakle dobijamo x ,3 1, . 3. Da bi jedna čina imala pozitivne korijene, mora biti diskriminanta nenegativna i zbir i proizvod korijena pozitivni. Dakle, D 0 x1 x 2 0 x1 x 2 0 . Koriste ći Vietove formule dobijamo sistem nejedna čina m2 m 8 m 2 2 32m 8 0 0 0. 8 8 Iz prve nejedna čine je m 2 36 m 260 0 , tj. m ,10 26, , dok iz druge i tre će nejednačine dobijamo m 8, . Prema tome, korijeni jedna čine će biti pozitivni za m 8,10 . 4. Uvodeći
smjenu
3 x
t ,
t 0
dobijamo
kvadratnu
jedna činu
4t 3 0 , čija su rješenja t 1 1, t 2 3 . Odavde dobijamo rješenja polazne jednačine x 0 i x 1. t 2
x 5. Jednačina je definisana za x 0 (jer je 271 3 5 0 ). Imamo 1 log 10 log 271 3 5 x 2 log 271 3 5 x 3 3 36 271 3 5 x 1000 3 5 x 36 5 x 6, tj. x . 5
40
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
6. Nakon množenja sa sin x ( sin x 0 ) i sre đivanja dobijamo jedna činu 2 cos2 x 5 cos x 2 0 , koja se smjenom cos x t , t 1,1 , svodi na jednačinu 2t 2 5t 2 0 . Rješenja ove jedna čine su 1 t 1 2, t 2 . Zbog uslova t 1,1 , odbacujemo rješenje t 1 , pa 2 1 tražimo rješenja jedna čine cos x koja pripadaju intervalu 0,2 . 2 5 . Dobijamo x , 3 3 kvadratnu
7. Pošto je trougao ABO jednakokrako pravougli, ugao OAB je x
a
2
b
. Analogno dobijamo da je y
imamo c
2
x y , pa je 2
2
a2
c
2
b2 2
D
c
.
x
y O
A
c x
B
8. Vidjeti zadatak 8. od 06.09.2004. 9. Vidjeti zadatak 9. od 06.09.2004. 10. Kao i u zadatku 10. od 06.09.2004. imamo x y 1 3 1 1 m 2m m 2m 5 odakle dobijamo m , pa je jedna čina prave 2 x y 5 0 . 2
41
4
pa je
. Iz pravouglog trougla AOD
C y
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 04.07.2006.
1. Uprostiti izraz 1
1
a b a 3 b 3
a 2 b2 1 : 2 . 2a 2 2a a ab b 2
1
4
2. Riješiti nejedna činu
x 1
5 x .
3. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra k nejednakost x 2
24k 1 x 15k 2 2k 7 0
vrijedi za svako realno x. 1 x
4. Riješiti jedna činu
5. Riješiti jedna činu
3
2 x 2 5 x 3
. 9 1
log 5 x log 25 x
2
log 0, 2
3.
6. Riješiti sistem jedna čina
24 0 log 2006 y x 1 0.
3 x 2 y
7. Riješiti jedna činu
3sin2 x – cos4 x – 1 = 0.
8. Dužine stranica trougla su a= p2+ p+1, b= p2+2 p, c=2 p+1. Izračunati srednji po veli čini ugao tog trougla. 9. U jednakostrani čni trougao stranice 2 cm upisana su 3 jednaka kruga, koji se dodiruju. Svaki od njih dodiruje dvije stranice datog trougla. Odrediti površinu krivolinijskog trougla odre đenog ovim krugovima. 10. Napisati jedna činu kružnice najmanjeg polupre čnika koju kružnica 2 2 x + y - 2 x - 12 y + 29 = 0 dodiruje iznutra, i koja dodiruje pravu x - y - 3 = 0.
42
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 31.08.2006.
1. Uprostiti izraz
1 x
x 1
: 1 x x 1 1
3 x 2
2. Riješiti nejedna činu
x 1
x 1 , x x 1
1.
2.
3. Za koje vrijednosti realnog parametra k oba korijena kvadratne jedna čine
k 2 x 2 2kx k 3 0 su pozitivna? x
4. Riješiti nejedna činu 5. Riješiti jedna činu
25
124 5 x 125 .
log 3 x log 9 x log 1
3.
3
6. Riješiti sistem jedna čina x y
y x
5 2
7. Dokazati identitet
x y
5.
cos 2 2 sin 2 sin 2 tg 2
1 cos 2
.
8. U krugu su date tetive AB 4cm i AC 7cm . One grade ugao od 60 . Izračunati poluprečnik kružnice. 9. U jednakokraki pravougli trougao upisan je kvadrat tako da mu dva tjemena pripadaju hipotenuzi, a po jedno katetama. Odrediti dužinu stranice kvadrata ako je dužina katete 8cm . 10. Napisati jedna činu kružnice koja je koncentri čna sa kružnicom x 2 y 2 6 x 2 y 5 0 i sadrži ta čku M 1,4 .
43
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 21.09.2006.
1. Uprostiti izraz 1
1
a b a 3 b 3
1 a2 b2 : 2 . 2a 2 2a a ab b 2 1
3 x 5
2. Riješiti nejedna činu
21 x .
3. Za koje vrijednosti realnog parametra k oba korijena kvadratne jedna čine
k 2 x 2 2kx k 3 0 su negativna? 3 x
4. Riješiti jedna činu
2
4 x
9 1
log 2 9 2 x
5. Riješiti jedna činu
2 x7 2
.
3 x .
6. Riješiti sistem jedna čina x y
y x
10
7. Riješiti jedna činu
3
x y
10 .
3 sin 2 x cos 4 x 1 0.
8. Dužine stranica trougla su a p 2 p 1 , b p 2 2 p , c 2 p 1 . Izračunati srednji po veli čini ugao tog trougla. 9. U jednakostrani čni trougao stranice 5cm pisana su 3 jednaka kruga, koji se dodiruju. Svaki od njih dodiruje dvije stranice datog trougla. Odrediti površinu krivolinijskog trougla odre đenog ovim krugovima. 10. Napisati jedna činu kružnice koja je koncentri čna sa kružnicom x 2 y 2 8 x 2 y 8 0 i sadrži ta čku M 1,4 .
44
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 10.07.2007.
1. Uprostiti izraz a 3 b3 ab ab ab
a 3 b3 . ab a b a b
2 x 1 3 x 2 .
2. Riješiti nejedna činu
3. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m su rješenja jedna čine
m 1 x 2 mx 2 0 negativna. 4. Riješiti sistem jedna čina
5 y 14 9 x 25 y 106. 3 x
5. Riješiti jedna činu
log5 x 2 log 25 x 1 log5 2 0 .
6. Riješiti sistem jedna čina log 2 x 2
y 2 5 log 2 x 2 log 4 y 4. 7. Dokazati identitet
cos 4 4 cos 2 3 8 cos4 .
8. Riješiti jedna činu
1 sin x cos x sin 2 x cos 2 x 0.
9. U trouglu ABC je b
6, c
3
3 i
. Izračunati stranicu 4
a i
ugao . 10. Krajnje ta čke duži su (-1,4), (1,0). Iz koje se ta čke na simetrali ove duži data duž vidi pod pravim uglom?
45
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 30.08.2007.
1. Uprostiti izraz 1 a 1
1 2a 4a 2 1 3 : 2 2 . a a a a a a a 4 2 8 1 4 2 1 2 1 4 4 1 x 1 3 x
2. Riješiti nejedna činu
3 x 2 .
3. Odrediti za koje vrijednosti realnog parametra m su rješenja jedna čine
2m 1 x 2 2mx 2 0 realna. 4. Riješiti jedna činu
11
x
11 11 x 99 . 2
5. Riješiti sistem jedna čina 3 x 2 y
576 log 2 y x 2.
6. Riješiti jedna činu
log 3 x log 9 x log 27 x log 81 x
7. Dokazati identitet
ctg 2 cos 2 cos2 ctg 2 .
8. Riješiti nejedna činu
sin 2 x
1 2
2 3
.
.
9. U krugu su date tetive AB 4cm i AC 7cm . One grade ugao od 60 . Izračunati poluprečnik kružnice. 10. Napisati jedna činu kružnice koja je koncentri čna sa kružnicom x 2 y 2 10 x 4 y 5 0 i sadrži tačku M 2,4 .
46
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 07.07.2008.
47
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
Rješenja:
48
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
49
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
50
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
51
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
52
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
53
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
54
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
55
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 27.08.2008.
56
Zadaci sa kvalifikacionih ispita 2001-2008.
KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE 11.09.2008.
57
