ESTADO DEL ARTE DEL DISEÑO A CORTANTE EN VIGAS DE CONCRETO REFORZADO SEGÚN EL REGLAMENTO NSR-10 (ACI - 318) Y PERTINENCIA DEL USO DEL MÉTODO MODIFIED COMPRESSION FIELD THEORY (MCFT)
Elaborado por: OSCAR ALEJANDRO OSORIO VELÁSQUEZ DANIEL ZAMUDIO LÓPEZ
Asesor: ALEJANDRO PARDO RAMOS
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA ESPECIALIZACIÓN EN ANÁLISIS Y DISEÑO DE ESTRUCTURAS 2016
TABLA DE CONTENIDO 1 2
RESUMEN ........................................................................................................ 5 INTRODUCCIÓN ............................................................................................ 6 2.1 ESQUEMA GENERAL DEL INFORME ....................................................... 7 2.2
3
OBJETIVOS DEL PROYECTO ................................................................... 8
2.2.1
OBJETIVO GENERAL ......................................................................... 8
2.2.2
OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................. 8
MARCO TEÓRICO ......................................................................................... 9 3.1 DESARROLLO HISTÓRICO DEL DISEÑO A CORTANTE ......................... 9 3.2 10
MÉTODO DE DISEÑO A CORTANTE USADO EN EL REGLAMENTO NSR................................................................................................................. 15
3.2.1
DESCRIPCIÓN CONCEPTUAL DEL MÉTODO ............................... 15
3.2.2 RESISTENCIA A CORTANTE PROPORCIONADA POR EL CONCRETO .................................................................................................. 16 3.2.3 RESISTENCIA PROPORCIONADA POR EL REFUERZO PARA CORTANTE .................................................................................................... 34 3.2.4
PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DEL ELEMENTO A CORTANTE ..... 39
3.3 MÉTODO DE LA TEORÍA MODIFICADA DEL CAMPO DE COMPRESIONES (MODIFIED COMPRESSION FIELD THEORY - MCFT) ....... 42 3.3.1
CAMPOS DE COMPRESIONES ...................................................... 43
3.3.2 TEORÍA DEL CAMPO DE COMPRESIONES (COMPRESSION FIELD THEORY) ........................................................................................................ 44 3.3.3 RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN PARA CONCRETO FISURADO DIAGONALMENTE .................................................................... 47 3.3.4
MODIFIED COMPRESSION FIELD THEORY (MCFT) ...................... 49
3.3.5 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO BASADO EN MODIFIED COMPRESSION FIELD THEORY ................................................................... 52 4
COMPARACIÓN NUMÉRICA ENTRE MÉTODOS DE DISEÑO A CORTANTE ....................................................................................................................... 56 4.1 DISEÑO A FLEXIÓN DE LA VIGA .......................................................... 57 4.2
5 6
DISEÑO A CORTANTE DE LA VIGA ...................................................... 58
4.2.1
MÉTODO NSR-10 (BASADO EN ACI-318)..................................... 58
4.2.2
DISEÑO POR MCFT ......................................................................... 60
CONCLUSIONES .......................................................................................... 65 BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................. 67
LISTADO DE FIGURAS Figura 3.1 Estado de esfuerzos en el plano (modificada de: Rochel, 2007) ................................................................................................................................ 9 Figura 3.2 Variación de los esfuerzos de cortante en vigas de concreto reforzado (modificada de: Wight y MacGregor, 2012) .............................. 11 Figura 3.3 Planteamiento general de la resistencia a cortante en vigas de concreto reforzado según el reglamento NSR-10 ........................................ 15 Figura 3.4 Fuerza cortante, flujo de cortante y esfuerzos cortantes en una viga elástica, isotrópica y homogénea (modificada de Park y Paulay, 1980) ..................................................................................................................... 17 Figura 3.5 Trayectorias de los esfuerzos principales en una viga isotrópica homogénea (modificada de Park y Paulay, 1980)...................................... 17 Figura 3.6 Trayectorias de los esfuerzos de tensión en una viga de concreto reforzado (modificada de Rochel, 2007) ..................................... 18 Figura 3.7 Esfuerzos cortantes en una sección idealizada agrietada de concreto reforzado (modificada de Park y Paulay, 1980) ......................... 18 Figura 3.8 Esfuerzo cortante nominal en vigas de concreto reforzado para la formación de fisuras por tensión diagonal (modificada de: ACI, 1962) .............................................................................................................................. 20 Figura 3.9 Inclinación de las fisuras potenciales en una viga simplemente apoyada (modificada de: Rochel, 2007)...................................................... 20 Figura 3.10 Efecto de la cuantía de refuerzo longitudinal, 𝜌, en la capacidad a cortante, 𝑉𝑐, de vigas construidas con concreto de peso normal y sin estribos (modificada de: Wight y MacGregor, 2012) ............ 21 Figura 3.11 Efecto de la relación 𝑎/𝑑 en la capacidad a cortante de vigas sin estribos (modificada de Wight y MacGregor, 2012) .............................. 22 Figura 3.12 Efecto de las fuerzas axiales en la carga de cortante de fisuración inclinada (modificada de Wight y MacGregor, 2012) .............. 23 Figura 3.13 Fuerzas de transferencia de cortante en una viga sin refuerzo en el alma (modificada de: Park y Paulay, 1980) ........................................ 25 Figura 3.14 Efecto arco en una viga (modificada de Wight y MacGregor, 2012).............................................................................................. 28 Figura 3.15 Modos de falla de vigas de gran altura, 𝑎/𝑑 = 0,5 𝑎 2,0 (modificada de: Wight y MacGregor, 2012) ................................................. 31 Figura 3.16 Modos de falla de tramos cortos de cortante, 𝑎/𝑑 = 1,5 𝑎 2,5 (modificada de: Wight y MacGregor, 2012) ................................................. 31 Figura 3.17 Comparación de la Ecuación 3-20 y la Ecuación 3-21 con los resultados experimentales (modificada de: Park y Paulay, 1980)............. 33 Figura 3.18 Analogía de la cercha (modificada de: Rochel, 2007) .......... 34 Figura 3.19 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT ................................ 42 Figura 3.20 Teoría del campo de compresiones (Compresión Field Theory). (Modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999) ............................................. 44 Figura 3.21 Teoría del campo de compresiones (Compresión Field Theory). (Modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999 - Repetición)....................... 45
Figura 3.22 Teoría del campo de compresiones (Compresión Field Theory). (Modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999 - Repetición)....................... 46 Figura 3.23 Esfuerzo máximo de compresión en función de la deformación principal ε1 (modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999) ........................ 48 Figura 3.24 Relaciones de esfuerzo-deformación de compresión para concreto fisurado diagonalmente: (a) 𝜀1 y 𝜀2 incrementan proporcionalmente; (b) aumentando primero 𝜀1 y posteriormente 𝜀2 (modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999) ............................................. 48 Figura 3.25 Relaciones del MCFT (Compresión Field Theory). (Modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999) ............................................. 50 Figura 3.26 Influencia del espaciamiento de las fisuras en la predicción de la resistencia a cortante (modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999). 51 Figura 3.27 Valores de β y θ para miembros que contienen la cantidad mínima de estribos (tomada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999) ................. 54 Figura 3.28 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT ................................ 55 Figura 4.1 Geometría y carga de viga empotrada a analizar .................. 56 Figura 4.2 Diagrama de momentos ................................................................ 56 Figura 4.3 Diagrama de cortantes .................................................................. 56 Figura 4.4 Diagrama de áreas ......................................................................... 57 Figura 4.5 Despiece a flexión de viga ............................................................ 58 Figura 4.6 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT (Repetición) ........... 61
1
RESUMEN
En Colombia, las especificaciones para diseñar elementos de concreto reforzado sometidos a esfuerzos cortantes se encuentran en el capítulo C.11 del reglamento NSR-10. Estas especificaciones han dado buenos resultados a través del tiempo y por el momento la normativa colombiana no deja abierta la posibilidad de implementar nuevas metodologías de diseño como por ejemplo la Modified Compression Field Theory (MCFT). En el presente trabajo se realizó una revisión bibliográfica acerca de los métodos de diseño tradicional (implementados en el reglamento NSR-10) y de diseño basado en la MCFT. Apoyados en la información recopilada acerca de los dos métodos de diseño, se realizó una comparación objetiva entre estos con el propósito de concluir acerca de la pertinencia del uso del método Modified Compression Field Theory; lo anterior, se efectuó diseñando por ambas metodologías un elemento de concreto reforzado tipo viga, cargado uniformemente y empotrado en ambos extremos. Finalmente, con los resultados obtenidos al realizar los respectivos diseños por ambas metodologías, se concluyó acerca de la pertinencia del uso e inclusión del método MCFT en la normativa colombiana actual y de las diferencias que existen entre ambas metodologías. PALABRAS CLAVE: cortante, tensión diagonal, campo de compresiones, Modified Compression Field Theory (MCFT).
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INTRODUCCIÓN
Los lineamientos presentados en las normativas de diseño como el reglamento NSR-10 y el ACI-318 (entre otras normas), se basan en investigaciones desarrolladas a principios del siglo pasado para el cálculo de la resistencia a esfuerzos cortantes en elementos de concreto reforzado y simple. Dichas metodologías utilizadas para diseñar elementos de concreto reforzado a cortante han ido evolucionando a lo largo de la historia y en ocasiones han sido poco satisfactorias en casos prácticos.-esto se debe básicamente por la poca comprensión que se ha tenido de la interacción entre fuerzas cortantes, fuerzas axiales, momentos torsionales y momentos flexionantes. Actualmente se han desarrollado metodologías de diseño a cortante más exactas que están empezando a ser acogidas por diferentes normativas en el mundo, las cuales pueden ayudar a realizar diseños más precisos, económicos y seguros; sin embargo, se continúan utilizando las metodologías clásicas como por ejemplo, en el contexto colombiano, los métodos presentados (basados en el ACI-318). . La existencia de nuevas metodologías que cuentan con un mejor grado de aproximación a los resultados experimentales como la Modified Compression Field Theory (MCFT) y que brindan un mejor entendimiento del problema, genera cierta inquietud y un cuestionamiento acerca de la no implementación en las normas que nos rigen actualmente; esto teniendo presente que otras normas por el contrario ya cuentan con su aplicación de manera directa o simplificada como son los casos de las normas canadiense, noruega y la norma estadounidense de puentes (AASHTO LRFD). Por lo tanto, en el presente trabajo se realizó una selección del material bibliográfico más relevante acerca de las metodologías del diseño a cortante en estructuras de concreto reforzado las cuales se estudian y se exponen de forma paralela para así compararlas y concluir acerca de la pertinencia del uso de cada uno de estos métodos.
2.1 ESQUEMA GENERAL DEL INFORME En la primera etapa del presente trabajo se realizó una recopilación de información acerca del métodos clásico de diseño a cortante en elementos de concreto reforzado (vigente y usado hoy en día en varias normativas del mundo y basados en el ACI-318) y del método Modified Compression Field Theory (MCFT). Posteriormente en el capítulo dos se realiza una reseña histórica que muestra la evolución de las metodologías de diseño y se realiza un análisis de la información recopilada explicando las bases teóricas de las metodologías de diseño a cortante que son objetivo de estudio del presente trabajo, en este caso el método de diseño clásico del reglamento NSR-10 (basado en ACI - 318) y el método MCFT. En el capítulo tres se hace un paralelo entre los resultados de un diseño realizado por ambas metodologías. El objetivo de este paralelo es el de comparar aspectos importantes de ambos tipos de metodologías. Por último en el capítulo cuatro se presentan las conclusiones.
2.2 OBJETIVOS DEL PROYECTO 2.2.1 OBJETIVO GENERAL Realizar una revisión bibliográfica del método de diseño clásico del reglamento NSR-10 (basado en el ACI-318) y el método MCFT (Modified Compression Field Theory) para analizar la pertinencia de su uso en el diseño a cortante de vigas. 2.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Seleccionar el material bibliográfico más relevante acerca del estado del arte de la metodología de diseño a cortante en vigas de concreto reforzado presentada en el reglamento NSR-10 (basado en ACI-318) y la metodología Modified Compression Field Theory (MCFT).
Realizar un paralelo entre el método clásico de diseño a cortante del reglamento NSR-10 y el método Modified Compression Field Theory (MCFT).
Argumentar por medio del paralelo realizado acerca de la pertinencia del uso del método Modified Compression Field Theory como alternativa a los actuales métodos de diseño presentados en el reglamento NSR-10 (basado en el ACI-318).
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MARCO TEÓRICO
El diseño a cortante de vigas de concreto reforzado se puede realizar por medio de dos métodos, el primer método es el presentado en el reglamento NSR-10 (basado en el ACI-318) y el segundo es la Teoría Modificada de los Campos de Compresión (MCFT, por su sigla en inglés). Para entender el comportamiento de las vigas frente a esfuerzos cortantes se plantea realizar un repaso histórico de cómo se ha estudiado el cortante a lo largo de los años y luego se procede con el desarrollo de ambas metodologías para finalmente realizar un ejercicio numérico comparativo. 3.1 DESARROLLO HISTÓRICO DEL DISEÑO A CORTANTE Alrededor del año 1900 había ambigüedad respecto al diseño a cortante y se tenían dos formas principales para interpretar el mecanismo de falla de los elementos de concreto reforzado frente a las fuerzas de cortante; una primera forma era considerando la cortante horizontal como la causa básica de falla a cortante y cuyos esfuerzos eran calculados con la Ecuación 3-1. Esta ecuación se deduce en la mecánica de sólidos para el análisis de los esfuerzos cortantes adoptando el comportamiento de materiales (homogéneos, elásticos y no fisurados) para las vigas de concreto reforzado (ACI, 1962).
Figura 3.1 Estado de esfuerzos en el plano (modificada de: Rochel, 2007)
𝑣=
𝑉𝑄 𝐼𝑏
Ecuación 3-1
donde: 𝑣 = Esfuerzo cortante horizontal a la distancia 𝑦 desde el eje neutro 𝑉 = Cortante vertical total en la sección que se analiza 𝑄 = Momento estático respecto al eje neutro de la sección externa a la fibra que se analiza
𝐼
= Momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al eje
𝑏
= Ancho de la sección transversal a una distancia 𝑦 desde el eje neutro
neutro
La segunda forma de interpretar el cortante consideraba que la causa básica de falla de una viga de concreto reforzado frente a fuerzas cortantes se daba por la tensión diagonal. W. Ritter en 1899 presentó una explicación acerca de la tensión diagonal y sugirió el diseño de estribos verticales para resistirla por medio de la Ecuación 3-2 (ACI, 1962). 𝑉=
𝐴𝑣 𝑓𝑣 𝑗𝑑 𝑠
Ecuación 3-2
Donde: 𝑉 𝐴𝑣 𝑓𝑣 𝑗𝑑 𝑠
= = = = =
Cortante vertical total en la sección que se analiza Área de la sección transversal total de un estribo Esfuerzo admisible en los estribos Brazo de momento interno Espaciamiento de los estribos en la dirección del eje del elemento
Alrededor de diez años después de lo presentado por Ritter, con pruebas de laboratorio efectuadas por E. Mörsch en Alemania y apoyadas por pruebas de F. Von Empergery y E. Probst, se confirma que la falla por cortante se da bajo tensión diagonal y se presenta la Ecuación 3-3 desarrollada por E. Mörsch para el cálculo del esfuerzo cortante nominal (ACI, 1962). 𝑣=
𝑉 𝑏𝑗𝑑
Ecuación 3-3
Donde: 𝑣 𝑉 𝑏 𝑗𝑑
= = = =
Esfuerzo cortante Cortante vertical total Ancho de la sección transversal Brazo de momento interno
Cabe anotar que el desarrollo de la Ecuación 3-3, correspondiente a la tensión diagonal clásica, se ha basado en los siguientes supuestos (ACI, 1962): 1. 2. 3. 4.
El concreto y el acero son materiales homogéneos e isotrópicos. Los esfuerzos no superan los límites proporcionales. Las vigas tienen secciones transversales constantes. La distribución de los esfuerzos de cortante es uniforme en todo el ancho de la viga. 5. El concreto no soporta ninguna tensión a la flexión por debajo del eje neutro.
El esfuerzo cortante de la Ecuación 3-3 alcanza su valor máximo en el eje neutro y permanece constante hasta el refuerzo longitudinal de flexión, consecuente con el supuesto 5, puesto que se desprecia el aporte del concreto en la zona de tracción y allí el momento estático es constante. Por encima del eje neutro, en la zona de compresión, la intensidad del esfuerzo cortante disminuye de forma parabólica hasta llegar a cero en la superficie superior, como se observa en la Figura 3.3 (ACI, 1962). En vista que 𝑗 varía cercanamente alrededor del valor de 7/8, la expresión elástica de diseño dada por la Ecuación 3-3 por mucho tiempo se simplificó tomando dicho valor, pero como en realidad la suposición 5 es teórica porque el concreto puede soportar un porcentaje del esfuerzo cortante antes de la fisuración; la variación real de los esfuerzos cortantes es un tanto diferente e irregular, por lo que resulta aconsejable recurrir al uso del esfuerzo cortante promedio y no justifica el refinamiento que implica considerar el brazo de momento interno 𝑗𝑑. Así, la expresión para el cálculo del esfuerzo cortante promedio en toda la sección transversal efectiva estará dada por la Ecuación 3-4 (ACI, 1962).
Figura 3.2 Variación de los esfuerzos de cortante en vigas de concreto reforzado (modificada de: Wight y MacGregor, 2012)
𝑣= donde: 𝑣 𝑉 𝑏 𝑑
= = = =
𝑉 𝑏𝑑
Ecuación 3-4
Esfuerzo cortante Cortante vertical total Ancho de la sección transversal Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo longitudinal en tracción
Para entender como una viga resistía a cortante, tradicionalmente se han utilizado los modelos basados en lo que propusieron a principios del siglo XX, independientemente, W. Ritter y E. Mörsch acerca de la analogía con una cercha de cuerdas paralelas. El modelo original consideraba que
luego de la fisuración de una viga de concreto reforzado debida a las tensiones de tracción diagonales, ésta se puede idealizar como una cercha de cuerdas paralelas con diagonales comprimidas a 45° con respecto al eje longitudinal de la viga (Herreros, 2004). En estos modelos de la cercha, donde no se considera la contribución a tracción del concreto, las diagonales comprimidas de concreto intentan separar las superficies superior e inferior del concreto, mientras que los esfuerzos de tracción en los estribos tratan de unir ambas superficies. Para que exista equilibrio, los dos efectos deben ser iguales y de acuerdo con el modelo de la cercha con diagonales comprimidas a 45°, la capacidad máxima del elemento frente a los esfuerzos de cortante se logra cuando los estribos exceden el límite de fluencia (Herreros, 2004). Luego de aceptarse la formulación de E. Mörsch acerca de que la falla por cortante en vigas de concreto reforzado se debe a una tracción, se especificó para los diseños que el esfuerzo cortante nominal se calcularía con la Ecuación 3-3 para obtener la magnitud de la tensión diagonal y se relacionó únicamente con la resistencia a compresión del concreto; además, se dio para los elementos sin estribos un esfuerzo cortante máximo como límite para el diseño (ACI, 1962). Fundamentado en los resultados de las pruebas de 106 vigas sin refuerzo para cortante, A. N. Talbot en 1909 concluyó que en vigas de este tipo, el esfuerzo cortante nominal variará con la cantidad de refuerzo, con la relación entre longitud y profundidad, con la calidad y resistencia del concreto, y con otros factores que afectan a la rigidez de la viga. Tiempo después, en la década de 1940, cuando 0. Morretto realiza una serie de pruebas con vigas, adopta una ecuación empírica para la resistencia al cortante que incluye el refuerzo para la flexión como una variable (ACI, 1962). Como un acto de negligencia, en el intervalo entre 1920 y principios de 1950, fue olvidado el consejo conservador de A. N. Talbot y otros pioneros. Aunque dejaron en evidencia que el valor de la tensión diagonal era generalmente indeterminado; pero como desafortunadamente sus hallazgos no se expresaron en términos matemáticos como ecuaciones de diseño, las falencias expuestas acerca de los procedimientos de diseño para la tensión diagonal que consideraban la resistencia a la compresión del concreto como una única variable principal, fueron olvidadas. Durante ese tiempo se continuó con el uso de estos procedimientos bastante imprecisos que cada vez fueron menos conservadores puesto que el valor máximo de esfuerzo cortante (límite para el diseño) se había incrementado a través de los años (ACI, 1962). En el año de 1950 se conformó la Comisión mixta 326 del Instituto Americano del Concreto (ACI, por su sigla en inglés) y la Sociedad
Americana de Ingenieros Civiles (ASCE, por sus sigla en inglés) que contó inicialmente con Charles S. Whitney como presidente por nueve años y cuya finalidad consistía en desarrollar métodos para el diseño de elementos de concreto reforzado para resistir cortante y tensión diagonal, en consonancia con los nuevos métodos de diseño de resistencia última (ACI, 1962); la comisión fue conformada puesto que la metodología de la época se basaba en los esfuerzos admisibles, hecho que se podía evidenciar con el supuesto 2 para el desarrollo de la Ecuación 3-3 de la tensión diagonal clásica, donde los esfuerzos no debían superar los límites proporcionales. La investigación que se produjo a partir de 1950 luego de la conformación de la Comisión mixta 326 del Instituto Americano del Concreto generó conciencia de que la cortante y la tensión diagonal eran un asunto complejo en el que existen diversas variables involucradas, algo que ya se sabía de años atrás pero que se había olvidado. Sumado a esto, en el año 1955, se produjo la falla por cortante de los almacenes de Wilkins Air Force Depot en Shelby, Ohio. Se trató de una falla frágil por cortante que permitió relacionar las investigaciones teóricas y de laboratorio con las fallas de estructuras a gran escala e intensificó dudas y preguntas acerca de los métodos tradicionales de diseño a cortante (ACI, 1962). Esta falla estructural más los datos de laboratorio entonces disponibles, impulsaron el estudio de la cortante y la tensión diagonal en elementos de concreto reforzado entre 1950 y 1960, generando un aumento de investigaciones para la solución de los problemas planteados por el desconocimiento de dichos temas (ACI, 1962). A partir de ese momento fue cuando se desarrollaron las teorías de cortante/compresión, basadas en el hecho de que la falla a cortante de una viga se debe al aplastamiento del hormigón en la zona comprimida al reducirse la altura de ésta debido al crecimiento de la fisuración diagonal (Herreros, 2004). Dentro de las investigaciones se estudian los efectos de la tracción y compresión axial sobre la resistencia a cortante; se efectúan variaciones en las cargas aplicadas a diversos tipos de vigas: cargas concentradas individuales, simétricas de dos puntos, cargas multipunto y cargas uniformes; sobre vigas simples, continuas, con voladizos. Se evalúa el efecto de los tipos de agregados; de las variaciones en la sección transversal, incluyendo vigas rectangulares, vigas en I, vigas T; el resultado de introducir la carga por otros medios distintos que a través de placas de apoyo; el efecto de obligar a que las fallas se produzcan en varios lugares específicos; y el efecto de refuerzo de alta resistencia en la resistencia a la cortante (ACI, 1962). También se llevaron a cabo estudios sobre modelos de la cercha con ángulos de inclinación variable (Herreros, 2004).
Como resultado de un estudio sistemático de datos de más de 440 pruebas con vigas sin refuerzo para cortante, que refleja la multitud y variedad de ensayos a cortante efectuados en la década de 1950, se proponen varias ecuaciones para la resistencia a cortante utilizando el esfuerzo a cortante promedio y el criterio de que la falla por tensión diagonal representa la resistencia máxima utilizable en vigas sin refuerzo a cortante; donde la capacidad a cortante depende principalmente de tres variables, a saber, el porcentaje de refuerzo longitudinal para flexión 𝜌, la cantidad adimensional 𝑀/𝑉𝑑, y la calidad del concreto tal como se expresa por la resistencia a la compresión 𝑓𝑐′ . Mientras que otras variables tienen efectos menores sobre la resistencia a cortante (ACI, 1962). Mitchell y Collins en 1974 desarrollan la Teoría del Campo Diagonal de Compresiones para elementos sometidos a torsión pura, que después ampliaron para analizar elementos sometidos a esfuerzo cortante. Estos modelos consideran la respuesta carga/deformación de miembros en que la armadura de refuerzo trabaja a tracción uniaxial y el concreto presenta un estado biaxial de tracción/compresión. Tiene como hipótesis que las tensiones y deformaciones principales son coincidentes. Las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad y las relaciones tensión/deformación del refuerzo y el concreto, tanto en tracción como en compresión, permiten obtener las tensiones y deformaciones medias, y el ángulo 𝜃 para cualquier nivel de carga hasta la falla. Ésta puede estar gobernada no por las tensiones medias, sino por las tensiones locales en la fisura. Por este motivo es necesario efectuar una comprobación en la fisura que supone la parte crítica de la Teoría Modificada del Campo de Compresiones (MCFT, por sus sigla en inglés) y de las teorías derivadas a partir de ella. La comprobación en la fisura implica limitar las tensiones medias principales de tracción en el concreto a un valor máximo determinado, considerando la tensión del refuerzo en la fisura y la capacidad de la superficie de la fisura para transmitir tensiones tangenciales (Herreros, 2004). Hsu y sus colegas de la Universidad de Houston entre 1994 y 1995 presentaron el modelo de la cercha con rotación del ángulo. Al igual que la MCFT, este método supone que la inclinación de las tensiones principales de compresión (𝜃) coincide con las deformaciones principales. Al aumentar el esfuerzo cortante, para miembros convencionales 𝜃 disminuye. De aquí el nombre de rotación del ángulo. Pang y Hsu en 1995 limitaron la aplicabilidad de este modelo a los casos en que la rotación del ángulo no se desvía más que 12º respecto al ángulo fijo. Fuera de este rango ellos recomiendan el uso del modelo del ángulo fijo en 1996, que considera que las fisuras a cortante son paralelas a la dirección principal de tensiones de compresión definidas según las cargas aplicadas. El modelo del campo de tensiones perturbado desarrollado por Vecchio entre 2000 y 2001 como una extensión de la MCFT, incluye explícitamente en las relaciones de compatibilidad un
deslizamiento rígido a lo largo de la superficie de fisura. Esto permite una divergencia entre los ángulos de inclinación de las tensiones medias principales y las deformaciones aparentes medias en el concreto (Herreros, 2004). 3.2 MÉTODO DE DISEÑO A CORTANTE USADO EN EL REGLAMENTO NSR-10 El siguiente diagrama de flujo tiene por objeto situar al lector con relación al procedimiento que la normativa actual (NSR-10) dispone para el cálculo de la resistencia a cortante en vigas de concreto reforzado: RESISTENCIA A CORTANTE Método del Reglamento NSR-10 (3.2.1)
Resistencia proporcionada por el refuerzo para cortante (“Analogía de la cercha”) (3.2.3)
Resistencia proporcionada por el concreto (3.2.2)
Diseño (3.2.4) Figura 3.3 Planteamiento general de la resistencia a cortante en vigas de concreto reforzado según el reglamento NSR-10
3.2.1 DESCRIPCIÓN CONCEPTUAL DEL MÉTODO El cortante en elementos de concreto reforzado se manifiesta como una tensión diagonal generada por la combinación de los esfuerzos cortantes y de los esfuerzos flexionantes presentes en el alma del elemento. Debido a la presencia de la tensión diagonal, se generan fisuras inclinadas en los elementos de concreto y para evitar estas fisuras se debe disponer de un refuerzo transversal que estará bajo los efectos de la tracción y no a cortante como se podría pensar (Wight y MacGregor, 2012). En principio, para el diseño de la viga reforzada se procede con la determinación de la geometría de la sección transversal y la cantidad de refuerzo longitudinal con el propósito de garantizar la resistencia a flexión adecuada y asegurar que la falla será dúctil, puesto que muestra grandes deformaciones antes del colapso, se aprovecha más el acero y brinda un mejor comportamiento frente a eventos sísmicos; estas características resultan evidentemente ventajosas frente a una falla frágil como sería la que se generaría por fisuración por cortante. Por lo tanto
es importante estar seguros que la resistencia del elemento a cortante sea algo mayor que la resistencia máxima a flexión que éste podría desarrollar (Herreros, 2004). Para el diseño a cortante de vigas de concreto reforzado, en este caso, se recurre al método presentado en el reglamento NSR-10 (basado en el ACI-318) que acepta que la falla por cortante se debe a una tracción que en caso de exceder la resistencia del concreto deberá proporcionarse un refuerzo transversal para que absorba esta diferencia (ACI, 1962). Debido a las diversas variables que están comprometidas en la resistencia del concreto al cortante, cuantificar el aporte de los distintos mecanismos de resistencia a cortante resulta imposible de deducir de manera matemática o analítica; por esto, se recurre al uso de ecuaciones empíricas o semi-empíricas producto del trabajo realizado alrededor del año 1950 (ACI, 1962). El aporte de la resistencia del refuerzo que trabaja a cortante radica en modelos propuestos a inicios del siglo xx que se basan en la analogía con una cercha de cuerdas paralelas, con la que se obtienen las expresiones para el cálculo realizando un procedimiento lógico y racional, que han sufrido muy poca variación a pesar de los aspectos que se cuestionan al respecto; quizás porque conllevan a resultados conservadores a pesar de lo costoso que podría resultar (ACI, 1962). 3.2.2 RESISTENCIA A CORTANTE PROPORCIONADA POR EL CONCRETO Una viga de concreto reforzado sometida a fuerzas externas resiste las solicitaciones con la aparición de momentos y cortantes internos (Herreros, 2004). La suma de los esfuerzos cortantes en una sección transversal debe equilibrar la fuerza cortante externa en esa sección; de allí que las intensidades del esfuerzo cortante vertical y horizontal deben ser las mismas en cada elemento (Park y Paulay, 1980). Los esfuerzos cortantes horizontales a lo largo de cualquier fibra de una viga homogénea, isotrópica y no agrietada se pueden deducir a partir de las consideraciones de equilibrio interno de los esfuerzos a flexión usando la notación de Figura 3.4 para llegar a la Ecuación 3-5 y a las trayectorias de los esfuerzos principales que se muestran en la Figura 3.5 (Park y Paulay, 1980).
Figura 3.4 Fuerza cortante, flujo de cortante y esfuerzos cortantes en una viga elástica, isotrópica y homogénea (modificada de Park y Paulay, 1980)
𝑣=
𝑉𝑄 𝐼𝑏
Ecuación 3-5
donde: 𝑣 = Esfuerzo cortante horizontal a la distancia 𝑦 desde el eje neutro 𝑉 = Cortante vertical total en la sección que se analiza 𝑄 = Momento estático respecto al eje neutro de la sección externa a la fibra que se analiza
𝐼
= Momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al eje
𝑏
= Ancho de la sección transversal a una distancia 𝑦 desde el eje neutro
neutro
Figura 3.5 Trayectorias de los esfuerzos principales en una viga isotrópica homogénea (modificada de Park y Paulay, 1980)
Las trayectorias de los esfuerzos de tensión en una viga de concreto reforzado son como las indicadas en la Figura 3.6.
Figura 3.6 Trayectorias de los esfuerzos de tensión en una viga de concreto reforzado (modificada de Rochel, 2007)
Cuando los esfuerzos principales de tensión son excesivos, se desarrollan grietas aproximadamente perpendiculares a estas trayectorias; por lo que se hace necesario adecuar el resultado de los esfuerzos cortantes teniendo en cuenta la sección idealizada agrietada, utilizando los conceptos de la Figura 3.4 y basándose en la Figura 3.7 para obtenerse la Ecuación 3-6 para el cálculo del esfuerzo cortante nominal (Park y Paulay, 1980).
Figura 3.7 Esfuerzos cortantes en una sección idealizada agrietada de concreto reforzado (modificada de Park y Paulay, 1980)
𝑣= donde: 𝑣 𝑉 𝑏 𝑗𝑑
= = = =
Esfuerzo cortante Cortante vertical total Ancho de la sección transversal Brazo de momento interno
𝑉 𝑏𝑗𝑑
Ecuación 3-6
La Ecuación 3-6 corresponde a la expresión elástica de diseño que se empleó durante muchos años con la simplificación de tomar para "𝑗" el valor de 7/8. La variación de las tensiones cortantes unitarias tiene forma parabólica en la zona de compresión, mientras que en la zona de tracción se desprecia el aporte del concreto y allí el momento estático es constante, por lo que la tensión cortante no varía y el diagrama es rectangular como puede apreciarse en la Figura 3.7. En realidad esta conclusión es teórica porque el concreto puede soportar un poco de tensión cortante antes de la fisuración y entonces la variación real de las tensiones cortantes sería un tanto diferente e irregular (Rochel, 2007); por lo que, para el planteamiento del criterio de diseño a esfuerzos cortantes de vigas, sin refuerzo transversal, se empleará el esfuerzo cortante promedio como una medida de la tensión diagonal, determinada a partir de la Ecuación 3-7 que se deduce de la Mecánica de Sólidos (Herreros, 2004). 𝑣=
𝑉 𝑏𝑑
Ecuación 3-7
donde: 𝑣 𝑉 𝑏 𝑑
= = = =
Esfuerzo cortante Cortante vertical total Ancho de la sección transversal Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo longitudinal en tracción
Luego de aceptarse la formulación de E. Mörsch acerca de que la falla por cortante en vigas de concreto reforzado se debe a una tracción, se especificó para los diseños que el esfuerzo cortante nominal se calcularía con la Ecuación 3-7 para obtener la magnitud de la tensión diagonal y se relacionó únicamente con la resistencia a compresión del concreto; hecho que A. N. Talbot en 1909 demostró no ser correcto y que luego de la investigación que se produjo a partir de 1950 se confirmaría, obteniendo resultados como lo mostrado en la Figura 3.8 que indica que el procedimiento de diseño clásico no se correlaciona bien con los resultados de las pruebas, generando conciencia de que la cortante y la tensión diagonal es un asunto complejo en el que existen diversas variables involucradas (ACI, 1962). No obstante, la formulación obtenida por E. Mörsch, correspondiente a la Ecuación 3-6, para la distribución de los esfuerzos de cortante en una viga de concreto reforzado con fisuras de flexión era una simplificación ya que no consideraba la fuerza transversal que se podía transmitir mediante la inclinación de la compresión, ni tampoco la fuerza de dovela introducida por el refuerzo longitudinal para flexión (Herreros, 2004).
Figura 3.8 Esfuerzo cortante nominal en vigas de concreto reforzado para la formación de fisuras por tensión diagonal (modificada de: ACI, 1962)
Las vigas sin refuerzo en el alma fallarán cuando se produce la fisuración inclinada o poco después. Por esta razón, la capacidad a cortante de tales elementos se toma igual a la cortante por tensión diagonal. La resistencia a cortante de vigas sin refuerzo en el alma se ve afectada por diversas variables (Wight y MacGregor, 2012). A continuación se presentan las principales variables, algunas incluidas en las ecuaciones de diseño. 1. Resistencia a la tracción del concreto. La falla por cortante se debe a la tensión diagonal que se presenta cuando los esfuerzos principales de tensión generados por la combinación de flexión y cortante agotan la capacidad de resistencia a la tracción del concreto, produciéndose fisuras como puede verse en la Figura 3.9. En la región de grandes momentos flexionantes, se producen fisuras de flexión que son perpendiculares al eje del elemento. En la región de elevada fuerza cortante se puede generar tensión diagonal, lo que puede producir fisuras inclinadas (Hernández y Gil, 2007).
Figura 3.9 Inclinación de las fisuras potenciales en una viga simplemente apoyada (modificada de: Rochel, 2007)
2. Cuantía de refuerzo longitudinal. En la Figura 3.10 se presentan las capacidades al cortante (unidades psi) de vigas simplemente apoyadas sin estribos como una función de la cuantía de refuerzo longitudinal. Dentro del rango práctico de cuantía, entre 0,0075 a 0,025, para el desarrollo de la falla por cortante de las vigas, la resistencia al cortante del concreto, 𝑉𝑐 , es aproximadamente como se indica para la línea discontinua horizontal en la Figura 3.10, dada por la Ecuación 3-8. Como puede observarse, en la Figura 3.10, se tendrá mayor resistencia al cortante a medida que aumente la cuantía de refuerzo longitudinal. La Ecuación 3-8 tiende a sobreestimar 𝑉𝑐 para vigas con pequeñas cuantías de refuerzo longitudinal; lo cual, se debe a que para una cuantía menor de refuerzo longitudinal, las fisuras de flexión se abren más y se extienden hasta una altura mayor en el alma de la viga provocando que la fisuración inclinada aparezca antes de lo usual por una disminución en la efectividad de algunos mecanismos de resistencia que conllevan a reducir los valores máximos de resistencia a cortante (Wight y MacGregor, 2012).
Figura 3.10 Efecto de la cuantía de refuerzo longitudinal, 𝜌, en la capacidad a cortante, 𝑉𝑐 , de vigas construidas con concreto de peso normal y sin estribos (modificada de: Wight y MacGregor, 2012)
𝑉𝑐 =
2√𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑
√𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑 (𝑙𝑏) = (𝑁) 6
Ecuación 3-8
donde: 𝑉𝑐 𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑
= = = =
Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto Resistencia especificada a la compresión del concreto Ancho del alma Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo longitudinal en tracción
3. Relación a/d. La relación entre el claro de cortante y la profundidad, 𝑎/𝑑 o 𝑀/𝑉𝑑, influye muy significativamente en el tipo de rotura y en el modo de resistir los esfuerzos cortantes que presenta la viga, como puede verse en la Figura 2-11. Los elementos con cocientes inferiores a 2 son los más afectados porque presenta fisuras más profundas (Wight y MacGregor, 2012).
Figura 3.11 Efecto de la relación 𝑎/𝑑 en la capacidad a cortante de vigas sin estribos (modificada de Wight y MacGregor, 2012)
4. Concreto de agregado liviano. El concreto de agregado liviano tiene una resistencia a la tracción más baja que el concreto de peso normal para una resistencia a la compresión de concreto dado. Debido a que la resistencia a la cortante de un elemento de concreto sin refuerzo para cortante está directamente relacionada con la resistencia a la tracción del concreto, la Ecuación 3-8 debe ser modificada para elementos construidos con concreto de agregado liviano. Esto se maneja en el Reglamento NSR-10 (basado en el ACI-318) a través de la introducción del factor 𝜆, que representa la diferencia para la resistencia a la tracción del
concreto liviano; con lo que se obtiene la Ecuación 3-9 (Wight y MacGregor, 2012). 𝑉𝑐 = 2𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑 (𝑙𝑏) = donde: 𝑉𝑐 𝜆
= =
𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑
= = =
𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑 (𝑁) 6
Ecuación 3-9
Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto Factor de modificación que tiene en cuenta las propiedades mecánicas reducidas del concreto de peso liviano, relativa a los concretos de peso normal de igual resistencia a la compresión Resistencia especificada a la compresión del concreto Ancho del alma Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo longitudinal en tracción
5. Tamaño de la viga. La fisuración inclinada se producirá antes a medida que aumenta el canto de la viga. Esto se debe a que, a medida que aumenta el tamaño de la viga, el ancho de fisura en los puntos por encima del refuerzo longitudinal para flexión tiende a aumentar, produciendo una disminución en la trabazón entre los agregados en la fisura y reduciendo su capacidad de resistir el esfuerzo cortante. Este efecto del tamaño es bastante apreciable para elementos sin refuerzo para cortante pero no lo es tanto para elementos con estribos ya que estos impiden, en parte, la apertura de las fisuras (Herreros, 2004). 6. Fuerzas axiales. La carga de fisuración inclinada disminuye para elementos sometidos a fuerzas axiales de tracción, y tiende a aumentar si los elementos están sometidos a fuerzas axiales de compresión, como puede observarse en la Figura 3.12 (Wight y MacGregor, 2012).
Figura 3.12 Efecto de las fuerzas axiales en la carga de cortante de fisuración inclinada (modificada de: Wight y MacGregor, 2012)
para fuerzas axiales de compresión: 𝑁𝑢 𝑉𝑐 = 2 (1 + ) 𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑 (𝑝𝑠𝑖) 2000𝐴𝑔 𝑉𝑐 = 0,17 (1 +
𝑁𝑢 ) 𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑 (𝑀𝑃𝑎) 14𝐴𝑔
Ecuación 3-10
Ecuación 3-11
Para fuerzas axiales de tracción: 𝑉𝑐 = 2 (1 + 𝑉𝑐 = 0,17 (1 +
𝑁𝑢 ) 𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑 (𝑝𝑠𝑖) 500𝐴𝑔
0,29𝑁𝑢 ) 𝜆√𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑 (𝑀𝑃𝑎) 𝐴𝑔
Ecuación 3-12
Ecuación 3-13
Donde: 𝑉𝑐 𝑁𝑢
= =
𝐴𝑔 𝜆
= =
𝑓𝑐′ 𝑏𝑤 𝑑
= = =
Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto Carga axial mayorada normal a la sección transversal, que ocurre simultáneamente con 𝑉𝑢 o 𝑇𝑢 ; debe tomarse como positiva para compresión y como negativa para tracción Área bruta de la sección de concreto Factor de modificación que tiene en cuenta las propiedades mecánicas reducidas del concreto de peso liviano, relativa a los concretos de peso normal de igual resistencia a la compresión Resistencia especificada a la compresión del concreto Ancho del alma Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo longitudinal en tracción
7. Tamaño del agregado grueso. A medida que el tamaño (diámetro) de los agregados gruesos aumenta, la rugosidad de las superficies de las fisuras aumenta, lo que permite esfuerzos de cortante más altos para ser transferidos a través de las fisuras. En vigas de concreto de alta resistencia y algunas vigas de concreto liviano, las fisuras atraviesan piezas del agregado en lugar de ir a su alrededor, lo que resulta en una superficie de fisura más suave. Esta disminución en la fuerza cortante transferida por la trabazón del agregado a lo largo de las grietas reduce la resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto, 𝑉𝑐 (Wight y MacGregor, 2012). La investigación efectuada desde 1950 luego de la conformación de la Comisión mixta 326 del Instituto Americano del Concreto, como resultado de un estudio sistemático de la multitud y variedad de ensayos a cortante en vigas sin refuerzo en el alma, condujo al desarrollo de estudios en los que se evidenciaban las variables que afectan la resistencia a cortante y se analizaba la importancia relativa entre los mecanismos de resistencia
a cortante en vigas de concreto reforzado, sin refuerzo en el alma, sometidas a esfuerzos cortantes (Herreros, 2004).
Figura 3.13 Fuerzas de transferencia de cortante en una viga sin refuerzo en el alma (modificada de: Park y Paulay, 1980)
Para entender la manera en la que actúan estos mecanismos de resistencia a cortante en las vigas de concreto reforzado, sin refuerzo en el alma (estribos), se recurre al estudio del equilibrio en el claro de cortante de una viga (distancia entre el apoyo y el punto de aplicación de la carga, indicada como 𝑎); para lo cual se acude a la Figura 3.13, donde se muestra parte de una viga simplemente apoyada en la que la fuerza cortante es constante y se consiguen identificar las fuerzas internas y externas que mantienen el equilibrio del cuerpo libre, limitado en un extremo por una fisura diagonal (Park y Paulay, 1980). La fuerza total transversal externa 𝑉 del apoyo está equilibrada por tres fuerzas, una fuerza cortante a través de la zona de compresión 𝑉𝑐 , una fuerza de dovela transmitida a través de la fisura mediante el refuerzo de flexión 𝑉𝑑 y las componentes verticales de los esfuerzos cortantes inclinados 𝑉𝑎 transmitidos a través de la fisura inclinada por medio de la trabazón de las partículas del agregado (Park y Paulay, 1980). Agrupando los esfuerzos de cortante transmitidos por la trabazón del agregado en una sola fuerza 𝐺, se obtiene un polígono de fuerzas que representa el equilibrio del cuerpo libre (Figura 3.13b) y se puede expresar en la forma de la Ecuación 3-14 (Park y Paulay, 1980).
Ecuación 3-14
𝑉 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑎 + 𝑉𝑑 donde: 𝑉 𝑉𝑐 𝑉𝑎 𝑉𝑑
= = = =
Fuerza total transversal externa Fuerza por contribución de la zona de compresión Fuerza por trabazón del agregado Fuerza por el efecto dovela
A continuación se explican cada uno contribuyentes para la resistencia a cortante:
de
estos
mecanismos
La fuerza cortante en la zona de compresión es la producida en el concreto no fisurado. No constituye un mecanismo muy importante para vigas esbeltas sin refuerzo longitudinal en la zona de compresión dado que la zona comprimida es relativamente pequeña. Por lo tanto, luego de que el refuerzo longitudinal para flexión presente una significativa plastificación en los puntos de momento máximo, gran parte del cortante es resistido a través de este mecanismo (Herreros, 2004).
La fuerza de dovela (efecto dovela o efecto pasador) introducida por el refuerzo longitudinal para flexión no será muy importante en elementos sin refuerzo para cortante, ya que el cortante máximo en una dovela está limitado por la resistencia a tracción del concreto que soporta la dovela. No obstante, este efecto puede ser significativo en elementos con grandes cantidades de refuerzo longitudinal para flexión, especialmente si éste se distribuye en capas (Herreros, 2004).
Las componentes verticales de los esfuerzos cortantes inclinados entre las caras de la fisura están basados en el engranamiento o trabazón que proporcionan los agregados. Los cuatro parámetros básicos que controlan la fuerza por trabazón del agregado son los esfuerzos normal y tangencial en la fisura, el ancho de fisura y el deslizamiento de la misma. Al producirse deslizamiento, la matriz se deforma plásticamente en la superficie de contacto con el agregado. Los esfuerzos en las zonas de contacto son una presión constante 𝜎𝑝 , y un cortante también constante 𝜇 𝜎𝑝 . La geometría de la superficie de la fisura se describe de forma estadística en términos del contenido de agregados de la dosificación, y de la probabilidad de que los agregados se extiendan más allá de la superficie de la fisura. Para concretos de alta resistencia este mecanismo tendrá menor importancia dado que presentará superficies de rotura más lisas (Herreros, 2004).
El momento de resistencia de la viga ignorando el aporte de la fuerza de dovela a la resistencia a flexión, por fines de diseño y especialmente porque no hay refuerzo para cortante, está dado por la Ecuación 3-15 (Park y Paulay, 1980). 𝑀 = 𝑇𝑗𝑑
Ecuación 3-15
Donde: 𝑀 𝑇 𝑗𝑑
= Momento externo = Fuerza interna de tracción = Brazo de momento interno
Combinando las relaciones entre el momento externo y el momento interno de resistencia con la relación entre cortante y la razón de cambio del momento flexionante a lo largo de una viga, resultan los modos de resistencia a cortante interna de la Ecuación 3-16 (Park y Paulay, 1980). 𝑉= donde: 𝑉 𝑀 𝑇 𝑗𝑑
= = = =
𝑑𝑀 𝑑 𝑑𝑇 𝑑(𝑗𝑑) (𝑇𝑗𝑑) = 𝑗𝑑 = +𝑇 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
Ecuación 3-16
Fuerza cortante externa Momento externo Fuerza interna de tracción Brazo de momento interno
El término 𝑗𝑑(𝑑𝑇/𝑑𝑥) expresa el comportamiento de un elemento totalmente prismático a flexión en que la fuerza interna de tracción 𝑇 que actua con un brazo de palanca constante 𝑗𝑑 cambia de punto a punto a lo largo de la viga, para balancear exactamente la intensidad del momento externo. El término 𝑑𝑇/𝑑𝑥, la razón de cambio de la fuerza de tensión interna, se denomina la fuerza de adherencia 𝑞 aplicada al refuerzo de flexión por longitud unitaria de la viga. Si el brazo de palanca interno permanece constante (una suposición aceptada normalmente en la teoría elástica de los miembros prismáticos a flexión) de manera que 𝑑(𝑗𝑑)/𝑑𝑥 = 0, se obtiene la Ecuación 3-17 de “efecto viga” perfecto (Park y Paulay, 1980). 𝑑𝑇 𝑉 = 𝑗𝑑 = 𝑞𝑗𝑑 Ecuación 3-17 𝑑𝑥 donde: 𝑉 𝑇 𝑗𝑑 𝑞
= = = =
Fuerza cortante externa Fuerza interna de tracción Brazo de momento interno Fuerza de adherencia
Se creía generalmente que en ausencia de refuerzo para cortante, el “efecto viga” resistía al cortante por medio del flujo de cortante 𝑞 que consiste en la fuerza de adherencia por longitud unitaria del miembro; pero dicho comportamiento es posible si se puede transferir con eficiencia el flujo de cortante o fuerza de adherencia entre el refuerzo para flexión y el concreto que lo rodea. Cuando por cualquier razón se destruye la adherencia ente el acero y el concreto en toda la longitud del claro de cortante, no puede cambiar la fuerza 𝑇 de tensión, por lo que 𝑑𝑇/𝑑𝑥 = 0. Bajo tales circunstancias, la única manera de resistir al cortante externo es mediante compresión interna inclinada, caso externo que puede denominarse “efecto arco.” Su resistencia a cortante se expresa mediante el segundo término del miembro derecho de la Ecuación 3-16, obteniéndose la Ecuación 3-18, donde se sustituye la tracción interna 𝑇 mediante la fuerza interna de compresión 𝐶, para indicar que es la componente vertical de una fuerza de compresión, con pendiente constante, la que equilibra la fuerza cortante externa, como puede apreciarse en la Figura 3.14 (Park y Paulay, 1980). 𝑉=𝑇
𝑑(𝑗𝑑) 𝑑(𝑗𝑑) =𝐶 𝑑𝑥 𝑑𝑥
Ecuación 3-18
donde: 𝑉 𝑇 𝐶 𝑗𝑑
= = = =
Fuerza cortante externa Fuerza interna de tracción Fuerza interna de compresión Brazo de momento interno
Figura 3.14 Efecto arco en una viga (modificada de: Wight y MacGregor, 2012)
Seguidamente, se ampliará la explicación de los principales mecanismos de resistencia a cortante: Efecto de arco. Aquellas zonas del elemento donde no es válida la teoría general de flexión para aplicar las hipótesis de Bernouilli-Navier o Kirchhoff, se conocen como zonas o regiones de discontinuidad y se dan por cambios bruscos de la geometría (discontinuidades geométricas), donde se aplican cargas concentradas y reacciones (discontinuidades estáticas), o pueden estar constituidas por el conjunto de la estructura debido a su forma o proporciones (discontinuidades generalizadas). Para estas regiones, el efecto arco es uno de los mecanismos de transmisión de cortante más importantes; mientras que para las regiones restantes la distribución de deformaciones es lineal y la respuesta será principalmente tipo viga porque el brazo mecánico (𝑗𝑑) se mantendrá constante (ver la Figura 3.14) o también podrá ocurrir que lo que se mantenga constante sea el esfuerzo en el refuerzo longitudinal; lo cual, ocurre cuando el flujo de cortante no puede ser transmitido por la pérdida de adherencia del refuerzo longitudinal o cuando el flujo de cortante está impedido por la presencia de una fisura inclinada que se extienda desde el apoyo. En este último caso, el cortante será transmitido por el efecto arco, efecto que se desarrolla generalmente en los extremos de vigas con una relación 𝑎/𝑑 pequeña (Herreros, 2004).
La resistencia disponible del efecto arco depende principalmente de que se pueda dar lugar a los esfuerzos de compresión diagonal resultantes. Para una fuerza de acero y ancho de viga dada, la intensidad de los esfuerzos de compresión diagonal depende de la inclinación de la línea de empuje. La relación del claro de cortante al peralte es una medida de esta inclinación que también puede expresarse en términos del momento y el cortante como se muestra en la Ecuación 3-19 (Park y Paulay, 1980). 𝑎 𝑉𝑎 𝑀 = = 𝑑 𝑉𝑑 𝑉𝑑
Ecuación 3-19
donde:
𝑎 𝑑
= Distancia entre el punto de apoyo y el punto de aplicación de la carga = Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del
𝑉 𝑀
= =
refuerzo longitudinal en tracción Fuerza cortante externa Momento externo
Efecto de viga. Cuando ocurre desplazamiento cortante a lo largo de una fisura inclinada, cierta cantidad de cortante se transfiere por el efecto dovela del refuerzo para flexión. En los puntos donde las
barras se apoyan contra el concreto de recubrimiento, la resistencia a tracción del concreto limita la capacidad de dovela. Una vez que ocurren fisuras por desgajamiento, se reduce considerablemente la rigidez, y en consecuencia la efectividad del efecto dovela. Este desgajamiento también afecta adversamente el funcionamiento de la adherencia de las barras. A su vez, la resistencia al desgajamiento del concreto depende del área efectiva del concreto entre las barras de una capa a través de la cual se debe resistir la tensión. De especial importancia es la posición relativa de una varilla en el momento en que se vierte el concreto. Debido a la elevada sedimentación y a la ganancia de agua bajo las barras en la parte superior de la viga, éstas requieren desplazamientos cortantes considerablemente mayores que las barras inferiores de la viga para ofrecer la misma resistencia de dovela. El efecto dovela es más significativa cuando se utilizan estribos, debido a que una barra para flexión puede apoyarse con mayor efectividad contra un estribo que esté doblado estrechamente contra ella. Las capacidades máximas de los tres mecanismos del efecto viga (efecto dovela, trabazón del agregado y la resistencia a flexión del extremo empotrado del voladizo) no necesariamente se suman cuando la falla es inminente (Park y Paulay, 1980). Se sabe que estos dos mecanismos resistentes interactúan y que la importancia relativa de cada uno de ellos depende de la esbeltez de la viga. El comportamiento de las vigas que fallan por cortante será función de las contribuciones relativas entre el efecto arco y el efecto viga que se produzcan, y de la cuantía de refuerzo que tengan (Herreros, 2004). Inmediatamente después del inicio de la fisuración inclinada, el aporte resistente de 𝑉𝑎 y 𝑉𝑑 puede alcanzar un valor entre el 40 y el 60% del valor total del cortante aplicado. A medida que se va abriendo la fisura, la contribución de 𝑉𝑎 va disminuyendo mientras se incrementa la fracción de cortante resistida por 𝑉𝑐 y 𝑉𝑑 . El efecto dovela 𝑉𝑑 conducirá, a la larga, a que aparezca una fisura a lo largo del refuerzo longitudinal para flexión provocada por la presión que éste ejerce. Al producirse esta fisura, desaparecerá la contribución 𝑉𝑑 y el mecanismo resistente pasará a ser el que aporta 𝑉𝑐 (Herreros, 2004). No obstante, lo anterior no es el único mecanismo de falla a cortante posible a desarrollar para vigas sin refuerzo para cortante. Los momentos y cortantes necesarios para que se produzca la fisuración inclinada y la falla dependen principalmente de la relación 𝑎/𝑑. En la Figura 3.11 se puede observar la influencia de este cociente en la fisuración inclinada y en los distintos tipos de falla. Se debe destacar que aún no está clara la importancia relativa que tiene cada uno de estos factores en la resistencia total del elemento a cortante, y que dicha importancia relativa será función de la tipología de viga analizada (Herreros, 2004).
Los mecanismos de falla a cortante de vigas simplemente apoyadas (ver Figura 3.15 y Figura 3.16), con cargas concentradas, sin estribos y con propiedades de los materiales casi idénticas son según Park y Paulay (1980) de tres tipos:
Tipo I: Falla del mecanismo de viga en la aplicación de la carga de agrietamiento diagonal, o poco después de ella cuando 3 < 𝑎/𝑑 < 7. El mecanismo subsecuente de arco no puede soportar la carga de agrietamiento. Tipo II: Falla de compresión por cortante o falla de tensión por flexión de la zona a compresión por encima de la carga de agrietamiento diagonal, lo que generalmente es una falla de efecto arco, cuando 2 < 𝑎/𝑑 < 3. Tipo III: Falla por aplastamiento o desgajamiento del concreto (es decir, una falla de efecto arco) cuando 𝑎/𝑑 es menor que 2,5.
Figura 3.15 Modos de falla de vigas de gran altura, 𝑎/𝑑 = 0,5 𝑎 2,0 (modificada de: Wight y MacGregor, 2012)
Figura 3.16 Modos de falla de tramos cortos de cortante, 𝑎/𝑑 = 1,5 𝑎 2,5 (modificada de: Wight y MacGregor, 2012)
En los tipos de falla a cortante se ve que el mecanismo de falla a cortante, especialmente el de vigas con 2,5 < 𝑎/𝑑 < 7, depende considerablemente de la resistencia a tracción del concreto. En consecuencia, no es de sorprender que haya gran dispersión de los datos de prueba de miembro aparentemente semejantes. Para vigas sujetas a carga distribuida uniformemente a lo largo del borde de compresión, se obtienen resultados ligeramente más favorables. Por otra parte, la relación 𝑎/𝑑 en las vigas continuas no representa la misma situación que se encuentra en vigas simplemente soportadas, debido a que las secciones no coinciden con los soportes en que se aplican las reacciones. Por este motivo se ha adoptado una ecuación de diseño semiempírica relativamente simple, con base en los resultados de numerosas pruebas, Ecuación 3-20 o Ecuación 3-21. Dicha ecuación predice conservadoramente la resistencia a cortante de las vigas en la mayoría de los casos. También toma en cuenta los principales factores que influyen en la resistencia a cortante, tal como la resistencia a tracción del concreto, medida por el parámetro √𝑓𝑐′ , el control de las grietas expresado por 𝜌𝑤 = 𝐴𝑠 /𝑏𝑤 𝑑, y la relación del claro de cortante al peralte 𝑀/𝑉𝑑 (Park y Paulay, 1980). 𝑉𝑐 𝑉𝑢 𝑑 = 1,9𝜆√𝑓𝑐′ + 2500𝜌𝑤 ≤ 3,5𝜆√𝑓𝑐′ (𝑝𝑠𝑖) 𝑏𝑤 𝑑 𝑀𝑢 𝑉𝑐 𝑉𝑢 𝑑 = (0,16𝜆√𝑓𝑐′ + 17𝜌𝑤 ) ≤ 0,29𝜆√𝑓𝑐′ (𝑀𝑃𝑎) 𝑏𝑤 𝑑 𝑀𝑢
Ecuación 3-20
Ecuación 3-21
donde: 𝑉𝑐 = 𝑏𝑤 = 𝑑 = 𝜆 = 𝑓𝑐′ 𝜌𝑤 𝑉𝑢 𝑀𝑢
= = = =
Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto Ancho del alma Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo longitudinal en tracción Factor de modificación que tiene en cuenta las propiedades mecánicas reducidas del concreto de peso liviano, relativa a los concretos de peso normal de igual resistencia a la compresión Resistencia especificada a la compresión del concreto Cuantía del área de refuerzo 𝐴𝑠 evaluada sobre el área 𝑏𝑤 𝑑 Fuerza cortante mayorada en la sección Momento mayorado en la sección
Al calcular 𝑉𝑐 por medio de la Ecuación 3-20 o Ecuación 3-21, 𝑉𝑢 𝑑/𝑀𝑢 ≤ 1,0 se limita con ello el valor de 𝑉𝑐 cerca de los puntos de inflexión, pero esta limitante no debe considerarse cuando se presenta compresión, y 𝑀𝑢 ocurre simultáneamente con 𝑉𝑢 en la sección considerada (NSR-10). Según Rochel (2007), la Ecuación 3-20 o Ecuación 3-21 ha sido deducida por I. M. Viest basado en los resultados experimentales obtenidos por J. Morrow y relaciona el esfuerzo cortante con las variables más importantes
que influyen en él. Los parámetros usados en dicha ecuación se determinaron experimentalmente en vigas de sección transversal constante sin refuerzo transversal, con una o dos cargas concentradas mediante 194 ensayos. Representando en un sistema de coordenadas rectangulares los resultados de los ensayos se observa que la tendencia central de estos puede expresarse mediante dos líneas rectas, como se muestra en la Figura 3.17. A menudo no se justifica la utilización del segundo término de la Ecuación 3-20 o Ecuación 3-21 y mejor se supone que es igual a 0,01√𝑓𝑐′ (véase el área sombreada de la Figura 2.11), de manera que puede obtenerse un diseño igualmente satisfactorio usando la expresión más simple y ligeramente más conservadora, dada por la Ecuación 3-9 (Park y Paulay, 1980).
Figura 3.17 Comparación de la Ecuación 3-20 y la Ecuación 3-21 con los resultados experimentales (modificada de: Park y Paulay, 1980)
3.2.3 RESISTENCIA PROPORCIONADA POR EL REFUERZO PARA CORTANTE Para el cálculo del aporte de la resistencia del refuerzo que trabaja a cortante se ha recurrido a la analogía con una cercha de cuerdas paralelas. Según los trabajos publicados independientemente en 1899 y 1902 por el ingeniero suizo W. Ritter y el ingeniero alemán E. Mörsch, respectivamente (Wight y MacGregor, 2012). En la analogía se considera que la viga se comporta internamente como una cercha en la que los elementos de compresión (cordón superior y diagonales) están constituidos por el concreto presente en la viga, y los elementos a tracción están constituidos por el refuerzo longitudinal inferior de flexión actuando como tirante y el refuerzo de cortante transversal actuando como montante (Hernandez y Gil, 2007). Esta analogía consiste en cuatro supuestos básicos (ACI, 1962): 1. Los elementos de compresión, correspondientes al cordón superior y las diagonales, sólo soportan esfuerzos de compresión. 2. Los elementos a tracción, que se constituyen por el refuerzo longitudinal inferior de flexión, únicamente resisten esfuerzos de tracción. 3. Todos los esfuerzos de tracción inclinados y verticales son atendidos por el refuerzo de cortante transversal (estribos y barras dobladas). 4. Una grieta de tensión diagonal se extiende desde el refuerzo longitudinal inferior de flexión hasta una altura vertical igual a 𝑗𝑑 que corresponde al brazo efectivo del momento interno.
Figura 3.18 Analogía de la cercha (modificada de: Rochel, 2007)
donde: 𝛼 𝛽 𝑛 𝑠 𝐴𝑣 𝑓𝑦𝑡 𝑉𝑠
𝑗𝑑
= = = = = = = =
Inclinación de los estribos y/o barras dobladas Inclinación de las fisuras en el concreto Número de barras transversales que cortan una fisura Separación horizontal del refuerzo transversal Área de la sección del refuerzo que trabaja a cortante Resistencia especificada a la fluencia 𝑓𝑦 del refuerzo transversal Fuerza cortante que resiste el refuerzo transversal Brazo de momento interno
Del polígono de fuerzas dibujado para un nudo en la Figura 3.18 se obtiene la Ecuación 3-22, usada para una barra individual o un grupo de barras paralelas, todas dobladas a la misma distancia del apoyo (Park y Paulay, 1980). 𝑉𝑠 = 𝐶𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑇𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝐴𝑣 fyt 𝑠𝑒𝑛 𝛼
Ecuación 3-22
donde: 𝑉𝑠 𝐶𝑑 𝛽 𝑇𝑠 𝛼 𝐴𝑣 𝑓𝑦𝑡
= = = = = = =
Fuerza cortante que resiste el refuerzo transversal Resultante de las compresiones de las bielas de concreto Inclinación de las fisuras en el concreto Resultante de las tracciones del refuerzo para cortante Inclinación de los estribos y/o barras dobladas Área de la sección del refuerzo que trabaja a cortante Resistencia especificada a la fluencia 𝑓𝑦 del refuerzo transversal
Para la cercha pueden determinarse sus fuerzas con consideraciones de equilibrio y obtenerse la ecuación general (Ecuación 3-23) basándose en la Figura 3.18 (Park y Paulay, 1980). 𝑉𝑠 =
𝐴𝑣 𝑓𝑦𝑡 𝑠𝑒𝑛 α (cot 𝛽 +cot α) 𝑑 𝑠
Ecuación 3-23
donde: 𝑉𝑠 𝐴𝑣 𝑓𝑦𝑡 𝛼 𝛽 𝑑
= = = = = =
𝑠
=
Fuerza cortante que resiste el refuerzo transversal Área de la sección del refuerzo que trabaja a cortante Resistencia especificada a la fluencia 𝑓𝑦 del refuerzo transversal Inclinación de los estribos y/o barras dobladas Inclinación de las fisuras en el concreto Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo longitudinal en tracción Separación horizontal del refuerzo transversal
La Ecuación 3-24 se obtiene de la Ecuación 3-23 suponiéndose que la pendiente de las diagonales a compresión es de 45° respecto al eje del elemento; esta suposición es conservadora porque aunque por medio de los diferentes ensayos se ha observado que la pendiente de las grietas diagonales es variable a lo largo de la viga. Si se tuviera un valor para 𝛽 menor a 45° se reduciría la cantidad de acero necesaria debido a que para una grieta plana habría un mayor número de estribos atravesándola. Por otro lado, la pendiente de las diagonales a compresión mayor a 45° se da en la cercanía a cargas concentradas donde el efecto arco mejora la capacidad de los otros mecanismos de resistencia a cortante (Park y Paulay, 1980).
𝑉𝑠 =
𝐴𝑣 𝑓𝑦𝑡 (𝑠𝑒𝑛 𝛼 + cos 𝛼) 𝑑 𝑠
Ecuación 3-24
donde: 𝑉𝑠 𝐴𝑣 𝑓𝑦𝑡 𝛼 𝑑
= = = = =
𝑠
=
Fuerza cortante que resiste el refuerzo transversal Área de la sección del refuerzo que trabaja a cortante Resistencia especificada a la fluencia 𝑓𝑦 del refuerzo transversal Inclinación de los estribos y/o barras dobladas Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo longitudinal en tracción Separación horizontal del refuerzo transversal
Para obtenerse la Ecuación 3-25, se supone también que la pendiente de las diagonales a compresión es de 45° respecto al eje del elemento y que aplica para el caso en que el refuerzo para cortante estará perpendicular al eje del elemento (𝛼 = 90°) (Park y Paulay, 1980). 𝑉𝑠 =
𝐴𝑣 𝑓𝑦𝑡 𝑑 𝑠
Ecuación 3-25
donde: 𝑉𝑠 𝐴𝑣 𝑓𝑦𝑡 𝑑
= = = =
𝑠
=
Fuerza cortante que resiste el refuerzo transversal Área de la sección del refuerzo que trabaja a cortante Resistencia especificada a la fluencia 𝑓𝑦 del refuerzo transversal Distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el centroide del refuerzo longitudinal en tracción Separación horizontal del refuerzo transversal
La obtención de estas expresiones para el cálculo del aporte de resistencia a cortante proporcionada por el refuerzo para cortante es un procedimiento lógico y racional; sin embargo, existen algunos aspectos que se cuestionan respecto a los supuestos implicados en la analogía de la cercha (ACI, 1962): 1. Todas las tracciones inclinadas se consideran resistidas por el refuerzo de cortante y no se considera la resistencia que tiene el concreto del alma ante la tensión diagonal. 2. Se supone que las grietas diagonales están inclinadas en un ángulo de 45 grados; sin embargo, como ya se explicó esta suposición es algo conservadora aunque la metodología debería permitir que el ingeniero calculista elija el ángulo a su criterio. 3. El supuesto de que la grieta de tensión diagonal se extiende hasta una altura vertical igual a 𝑗𝑑, es a conveniencia y no cuenta con el respaldo de los resultados experimentales. El refuerzo de cortante transversal actúa únicamente después de que se forman las grietas por la tensión diagonal. La altura alcanzada por una grieta diagonal,
que regula el número de estribos necesarios para resistir la tensión diagonal, depende de muchos factores. Por lo tanto, esta suposición es cuestionable. 4. No se tiene claridad de la manera como se distribuye la fuerza de cortante entre el refuerzo de cortante, el refuerzo longitudinal de flexión y la zona de compresión; aunque se sabe que los dos últimos elementos contribuyen considerablemente porque con pruebas de laboratorio se ha obtenido que la capacidad a cortante total de una viga es mayor que lo que se calcula como la contribución del refuerzo de cortante; pero, esta dificultad se ha superado con el procedimiento actual que considera el complemento que se da entre las resistencias del mecanismo de cercha y el mecanismo de viga. 5. El análisis de la analogía con la cercha se basa en la suma de fuerzas verticales. Los efectos del refuerzo para cortante para la capacidad a flexión o la afectación a momento generada por el mismo refuerzo para cortante, se ignoran. Ampliando el cuarto aspecto, según Park y Paulay (1980) la presencia de refuerzo para cortante tal como estribos aporta a los mecanismos principales de la resistencia a cortante, mencionados en el numeral 3.2.2, una fuerza de adherencia conocida como “efecto cercha” y les mejora aspectos tales como: 1. Por el hecho de poder sostener el refuerzo longitudinal a pesar de la aparición de grietas, el refuerzo para cortante contribuye al mecanismo del efecto dovela. 2. Al generar, producto de la configuración, una especie de triangulo de fuerzas (cercha), cambia el comportamiento de tensión por flexión que se tenía en el bloque de voladizo por una compresión diagonal que efectivamente es más favorable para un elemento de concreto. 3. Las aberturas de las grietas que se generan entre los bloques de voladizo resultan limitadas por el refuerzo para cortante que dificulta la separación entre dichos bloques y conserva la transferencia de cortante que se da mediante el mecanismo ocasionado por la trabazón del agregado. 4. El confinamiento que puede generarse en el concreto con el refuerzo para cortante en forma de estribos, mejora la capacidad a compresión muy conveniente en zonas afectadas por el efecto arco. 5. Impide la ruptura de la adherencia cuando se desarrollan grietas de desgajamiento en las zonas de anclaje debido a las fuerzas de dovela y anclaje. Otros aspectos importantes para considerar respecto al refuerzo de cortante son: Las ecuaciones obtenidas con la analogía de la cercha consideran que todos los estribos que atraviesan una fisura inclinada se plastifican al
momento de la falla; pero para que esto pueda darse deben estar correctamente anclados y como la distancia de anclaje disponible entre la fisura en el extremo del elemento puede ser muy pequeña, se recomienda usar barras de diámetro pequeño (Herreros, 2004). Para que los estribos puedan desarrollar su resistencia a cedencia en toda su longitud es importante que se doblen alrededor de fuertes barras longitudinales y que se extiendan una adecuada longitud de desarrollo (Park y Paulay, 1980). El refuerzo transversal cumplirá con su función de resistir el esfuerzo cortante si es atravesado por la fisuración diagonal y por ese motivo se deberá limitar la separación máxima del refuerzo para cortante a una distancia menor que la altura útil del elemento, 𝑑 (Herreros, 2004). Efectivamente, tanto el refuerzo longitudinal como el transversal evitan que las fisuras se amplíen más de lo necesario para que el mismo refuerzo empiece a trabajar a tensión axial (Wight y MacGregor, 2012). Pero la capacidad del modelo de la analogía con la cercha depende de la posición adoptada para el refuerzo transversal porque aunque lo ideal sería disponer el refuerzo de manera que siga las trayectorias de los esfuerzos principales de tracción, es poco práctico por lo complicado que resultaría seguir esas trayectorias; y si así se colocara, no sería bueno para vigas que deban soportar cargas que se invierten (como en eventos sísmicos) debido a que las grietas llegarían a ser paralelas al refuerzo inclinado, lo que lo dejaría inservible. Además, usando estribos inclinados no se cumpliría con la compatibilidad de las deformaciones puesto que el acero se deformaría más que el concreto, generándose fisuras y ocasionando redistribución de esfuerzos (Rochel, 2007). El estribo en las esquinas debe asegurarse ajustadamente a una barra longitudinal, de refuerzo para flexión, de tal manera que se dé el efecto cercha con la transferencia de carga que le hace el estribo al pasador en la unión con el refuerzo longitudinal y evitar que la concentración de esfuerzos en este lugar produzca el aplastamiento local del concreto (Park y Paulay, 1980. Según Park y Paulay (1980), en caso de tener un elemento sometido a compresiones altas que cuenta con un alma estrecha o un elemento con demasiado refuerzo transversal para cortante, la falla no sería seguramente por tensión sino por compresión o sea aplastamiento en el alma. Y evaluar la resistencia a compresión del alma en las vigas es complicado porque deben tenerse en cuenta factores adicionales como: 1. Los puntales diagonales o bielas de compresión también presentan momentos flexionantes. 2. Los estribos que cruzan los puntales, les transmiten esfuerzos por la adherencia.
3. Las fuerzas de compresión en los nodos según la analogía con la cercha, no se distribuyen uniformemente en el alma con lo que se pueden generar excentricidades y esfuerzos transversales de tensión. 4. Algunas diagonales a compresión pueden estar inclinadas con un ángulo mucho menor de 45° con respecto al eje del elemento; lo cual, produce un aumento en los esfuerzos de compresión diagonal. Lo anterior indica que los esfuerzos diagonales, para prevenir falla por aplastamiento, deben limitarse bastante respecto a la resistencia por aplastamiento del concreto. Por este motivo el reglamento NSR-10 limita la contribución del mecanismo de la cercha a resistencia a cortante a un valor muy conservador: 0.25√𝑓𝑐′ cuando el refuerzo para cortante consiste en una barra individual o un solo grupo de barras paralelas, todas dobladas a la misma distancia del apoyo; y 0.66√𝑓𝑐′ para los demás tipos de refuerzo para cortante. 3.2.4 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DEL ELEMENTO A CORTANTE Debe tenerse presente que el diseño de la viga se hace separando la flexión y la cortante; con la flexión se dan los requisitos necesarios de sección transversal y se refuerza menos que a cortante para que la falla sea por flexión y no por cortante puesto que esta última es repentina y frágil (Park y Paulay, 1980). El diseño de secciones transversales sometidas a cortante debe estar basado en la Ecuación 3-26 (NSR-10). 𝜙𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢
Ecuación 3-26
donde: 𝜙 𝑉𝑛 𝑉𝑢
= Factor de reducción de resistencia = Resistencia nominal al cortante = Fuerza cortante mayorada en la sección considerada
La metodología actual para el diseño a cortante de vigas reforzadas es consciente de lo complejo que resulta el problema porque aunque se acepta el trabajo simultáneo, para soportar los esfuerzos cortantes, entre el concreto y el refuerzo para cortante como se aprecia en la Ecuación 3-27, el aporte de cada uno de ellos se calcula por separado (Rochel, 2007). 𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠
Ecuación 3-27
donde: 𝑉𝑛 𝑉𝑐 𝑉𝑠
= Resistencia nominal al cortante = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto = Resistencia nominal al cortante proporcionada por el refuerzo de cortante
En un elemento sin refuerzo para cortante, se supone que el cortante lo resiste el alma de concreto. En un elemento con refuerzo para cortante se supone que una parte del cortante la proporciona el concreto y el resto el refuerzo para cortante (NSR-10). La resistencia al cortante proporcionada por el concreto 𝑉𝑐 , se supone que es la misma para vigas con y sin refuerzo para cortante, y se toma como el cortante que produce un agrietamiento significativo inclinado; teniéndose por tanto diversas ecuaciones que se mostraron en el numeral 3.2.2 aplicables a diferentes casos, como: cuando los elementos están sometidos únicamente a cortante y flexión; cuando los elementos están sometidos a compresión axial; o cuando los elementos están sometidos a tracción axial (NSR-10). Una vez determinada la resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto 𝑉𝑐 , se procede a determinar la resistencia nominal requerida para ser proporcionada por el refuerzo que trabaja a cortante 𝑉𝑠 de tal manera que esta última sea el complemento necesario para satisfacer las solicitaciones, como se expresa en la Ecuación 3-28 (NSR10). 𝜙𝑉𝑠 ≥ 𝑉𝑢 − 𝜙𝑉𝑐
Ecuación 3-28
donde: 𝜙 𝑉𝑠 𝑉𝑢 𝑉𝑐
= = = =
Factor de reducción de resistencia Resistencia nominal al cortante proporcionada por el refuerzo de cortante Fuerza cortante mayorada en la sección considerada Resistencia nominal al cortante proporcionada por el concreto
Para el cálculo de la resistencia nominal al cortante porporcionada por el refuerzo de cortante se recurre a diversas ecuaciones que se proporcionaron en el numeral 3.2.3 aplicables a diversos casos, como: donde se utilice refuerzo para cortante perpendicular al eje del elemento; donde se utilicen estribos inclinados como refuerzo para cortante; o donde el refuerzo para cortante consiste en una barra individual o en un solo grupo de barras paralelas, todas dobladas a la misma distancia del apoyo (NSR-10). Debe colocarse un área mínima de refuerzo para cortante cuando 𝑉𝑢 > 0,5𝜙𝑉𝑐 ; esto debido a que una viga sin refuerzo para cortante es muy
vulnerable a las sobrecargas accidentales que pueden generar fallas violentas e imprevistas, y con esta exigencia se podrá controlar la propagación de las fisuras diagonales e incrementar con ello la ductilidad de la estructura, previéndose una falla frágil (Rochel, 2007). Para el refuerzo para cortante también existe un límite máximo debido a que cuando una viga de concreto reforzado debe resistir una fuerza cortante muy alta se presenta una tensión diagonal de compresión muy elevada en la parte superior de la fisura y puede ocasionarse una falla del concreto por aplastamiento. Por lo tanto, para prevenir esta falla se limita la tracción cortante que puede absorberse con estribos y en caso de no cumplirse con este límite, necesariamente deben incrementarse las dimensiones del elemento (Rochel, 2007). Y finalmente se debe cumplir con unos límites para el espaciamiento del refuerzo para cortante; lo cual se da para asegurar que una fisura intercepte al menos un estribo (Rochel, 2007).
3.3
MÉTODO DE LA TEORÍA MODIFICADA DEL CAMPO DE COMPRESIONES (MODIFIED COMPRESSION FIELD THEORY - MCFT)
La Teoría modificada del campo de compresiones (MCFT) presentado por Vecchio y Collins (1986) está siendo acogido como metodología de diseño a cortante por distintas normativas del mundo ya que es una herramienta con una interpretación física más analítica si lo comparamos con la metodología clásica presentada en el Reglamento NSR-10. El método del campo modificado de compresiones trabaja con esfuerzos promedios y tiene en cuenta la capacidad de las fisuras diagonales para transmitir a través de ellas esfuerzos cortantes. Esta resistencia a esfuerzos cortantes de la sección se da en función del refuerzo longitudinal y transversal que posee la sección. A continuación se presenta un diagrama de flujo en donde se muestra el procedimiento que se debe seguir para un adecuado diseño por el método del MCFT.
Determinar dv y bw, y la relación de esfuerzo cortante y f´c:
Suponer una deformación inicial longitudinal
Determinar θ de la fig.1.8 (Vecchio and Collins)
Determinar β de la fig. 1.8 (Vecchio and Collins)
La resistencia nominal a cortante está dada por:
Figura 3.19 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT
donde: 𝑉𝑛 𝑓´𝑐 𝜀𝑥 𝜃 𝑉𝑐 𝑉𝑠 𝑉𝑢 𝛽
= = = = = = = =
Resistencia nominal al cortante de la sección de concreto fisurado Resistencia a la compresión del concreto Deformación longitudinal de la sección fisurada Ángulo de inclinación de las fisuras del concreto Resistencia a esfuerzos cortantes proporcionada por el concreto Resistencia a esfuerzos cortantes proporcionada por el acero de refuerzo Cortante última que siente la sección por fuerzas externas y peso propio Factor que indica la capacidad del concreto de transmitir cortante a través de las fisuras diagonales
3.3.1 CAMPOS DE COMPRESIONES Un elemento de concreto reforzado debe de soportar una combinación de esfuerzos generados por momentos, cortantes y torsiones que hacen que se generen fisuras cuyas trayectorias y anchos son complejos de predecir; esto es debido a que las fisuras dependen tanto de la magnitud de dichos esfuerzos como de la geometría y calidad de los materiales del elemento de concreto. Según los modelos de cercha de Ritter (1899) and Mörsch (1920,1922) de los cuales se derivan los métodos actuales de diseño, la contribución que tiene el concreto dentro de la capacidad de un elemento de concreto reforzado totalmente fisurado es nula o despreciable, una expresión conservadora para representar matemáticamente el esfuerzo cortante máximo que resiste una sección está dada por: 𝜈= donde: 𝐴𝑣 𝑏𝑤 𝑆
= = =
𝑓𝑦 𝜌𝑣 𝑣
= = =
𝐴𝑣 𝑓𝑦 = 𝜌𝑣 𝑓𝑦 𝑏𝑤 𝑠
Ecuación 3-29
Área de refuerzo de cortante a una distancia s (mm2) Ancho del alma de la viga (mm2) Separación del refuerzo de cortante o torsión paralelo al refuerzo longitudinal (mm) Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo (MPa) Área de refuerzo de corte a una distancia s (mm2) Resistencia de la sección a esfuerzos cortantes (MPa)
La expresión anterior se considera conservadora ya que se supone que las fisuras que se forman debido a los esfuerzos de compresión diagonal se generan a 45 grados con respecto al eje longitudinal, sin embrago, los ángulos son típicamente menores y una expresión más general estaría dada por: 𝜈 = 𝜌𝑣 𝑓𝑦 cot(𝜃)
Ecuación 3-30
donde 𝜃 es el ángulo de inclinación de la fisura generada en el concreto.
3.3.2 TEORÍA DEL CAMPO DE COMPRESIONES (COMPRESSION FIELD THEORY) Collins y Mitchell (1974) y Collins (1978) basados en el trabajo de Wagner (1929), quien estudió el cortante en la superficie de aeronaves, desarrollaron un método para hallar el ángulo en el cual se formaban las fisuras mencionadas en la sección anterior (ángulo) en miembros sometidos a torsión y a cortante. El método desarrollado es conocido hoy en día como COMPRESSION FIELD THEORY (CFT) o Teoría del campo de compresiones. Los esfuerzos cortantes producen tracciones tanto en el refuerzo longitudinal (𝑓𝑠𝑥) como en el transversal (𝑓𝑠𝑦) y un esfuerzo de compresión 𝑓2 en las fisuras inclinadas que se forman en el concreto, muestra las relaciones del método de la teoría del campo de compresiones:
Figura 3.20 Teoría del campo de compresiones (Compresión Field Theory). (Modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999)
Teniendo en cuenta el diagrama de cuerpo libre y el circulo de esfuerzos de las Figura 3.20 (a) y Figura 3.20 (b) respectivamente, se observa que para que exista un equilibrio se debe cumplir que las tracciones inducidas por el esfuerzo cortante 𝑣 en el refuerzo longitudinal 𝑓𝑠𝑥 deben de equilibrarse con una fuerza de compresión 𝑓𝑐𝑥 , similarmente las fuerzas en el refuerzo transversal 𝑓𝑠𝑦 se deben de equilibrar con una fuerza de compresión 𝑓𝑐𝑦 , las cuales se pueden relacionar geométricamente con el esfuerzo cortante de la siguiente manera:
𝜌𝑣 𝑓𝑠𝑦 = 𝑓𝑐𝑦 = 𝑣 𝑡𝑎𝑛𝜃
Ecuación 3-31
𝜌𝑥 𝑓𝑠𝑥 = 𝑓𝑐𝑥 = 𝑣 𝑐𝑜𝑡𝜃
Ecuación 3-32
En donde 𝜌𝑣 y 𝜌𝑥 son respectivamente las cuantías de refuerzo transversal y longitudinal. Teniendo en cuenta lo anterior y la Figura 3.20 (b), podemos deducir que el esfuerzo a compresión inducido a la sección de concreto, el cual está inclinado un ángulo 𝜃 con respecto a la horizontal (o el refuerzo longitudinal) está dado por la superposición de las dos ecuaciones anteriores, lo que se traduce en un esfuerzo igual a: 𝑓2 = 𝑣 (𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃)
Ecuación 3-33
Según Wagner (1.929) la dirección del esfuerzo de compresión principal que puede ser derivada del círculo de Mohr de deformaciones Figura 3.20 (d) la cual se repite a continuación:
Figura 3.21 Teoría del campo de compresiones (Compresión Field Theory). (Modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999 - Repetición)
y está dada por: 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 =
𝜀𝑥 + 𝜀2 𝜀𝑦 + 𝜀2
Ecuación 3-34
La anterior ecuación es utilizada para calcular el ángulo de la fisura 𝜃, sin embargo, hay que tener en cuenta que se necesitan conocer las relaciones de esfuerzo-deformación del concreto y del refuerzo, adicionalmente la ecuación anterior es válida bajo la suposición de que las deformaciones y los esfuerzos en el refuerzo están relacionados por una relación lineal como se presenta en las Figura 3.20 (e) y Figura 3.20 (f). Posterior a una serie de ensayos en diferentes vigas, Collins (1978) postuló que a medida que la deformación del círculo de Mohr se hace más
grande, el esfuerzo de compresión requerido para fallar el concreto 𝑓2𝑚𝑎𝑥 se hace más pequeño como se ven en la Figura 3.20 (h). Las relaciones propuestas fueron: 𝑓2𝑚𝑎𝑥 =
3,60𝑓´𝑐 1 + 2(𝛾𝑚 /𝜀´𝑐 )
Ecuación 3-35
donde: 𝛾𝑚
= Diámetro del circulo de deformaciones (ε1 + ε2)
𝜀′𝑐
=
Deformación que alcanza el concreto en la prueba de cilindro cuando este ya tiene su resistencia máxima f´c
Para valores de f2 menores que 𝑓2𝑚𝑎𝑥 se tiene que: 𝜀2 =
𝑓2 𝑓´𝑐 𝜀´𝑐
Ecuación 3-36
Como es de esperarse, si las deformaciones 𝜀1 y 𝜀2 aumentan, también lo hace el ancho de la fisura en el concreto; debido a que la resistencia a compresión diagonal es inversamente proporcional al diámetro del círculo de esfuerzos como se puede apreciar en la Ecuación 3-35 se puede observar que la capacidad del concreto para transmitir esfuerzo cortante a través de las fisuras depende del ancho de estas, las cuales, a su vez, está relacionadas con el esfuerzo a tracción del concreto. Del círculo de deformaciones presentado la Figura 3.20 (d) se puede deducir (por medio de relaciones de triángulos y propiedades trigonométricas) que la deformación principal de tracción 𝜀1 se puede expresar en términos de las deformaciones 𝜀𝑥 , 𝜀2 y 𝜃 como se presenta en la Figura 3.22 y la Ecuación 3-37 :
Figura 3.22 Teoría del campo de compresiones (Compresión Field Theory). (Modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999 - Repetición)
𝜀1 = 𝜀𝑥 + (𝜀𝑥+ 𝜀2 )𝑐𝑜𝑡 2 𝜃
Ecuación 3-37
Una expresión para el ángulo puede ser derivada por la reordenación de las ecuaciones anteriores para obtener para obtener la siguiente expresión: 1 1 𝑡𝑎𝑛4 𝜃 = (1 + ) / (1 + ) Ecuación 3-38 𝑛𝜌𝑥 𝑛𝜌𝑣 La anterior expresión es para esfuerzos cortantes menores a los de la fluencia del acero en donde 𝑛 es la relación modular definida como 𝐸𝑠/𝐸𝑐; y 𝐸𝑐 es tomado como 𝑓´𝑐/𝜀´𝑐. 3.3.3 RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN FISURADO DIAGONALMENTE
PARA
CONCRETO
Vecchio y Collins (1986) propusieron que la máxima tensión de compresión 𝑓2𝑚𝑎𝑥 que el concreto puede resistir en función de la deformación principal ε1 es: 𝑓2𝑚𝑎𝑥 =
𝑓´𝑐 ≤ 𝑓´𝑐 0,80 + 170𝜀1
Ecuación 3-39
Belarbi y Hsu (1995) sugirieron la siguiente expresión: 𝑓2𝑚𝑎𝑥 =
0,90𝑓´𝑐 √1 + 400𝜀1
Ecuación 3-40
El enfoque de campo de compresión requiere el cálculo de la deformación de compresión en el concreto 𝜀2 asociado con el esfuerzo de compresión 𝑓2 (Ecuación 3-34). Para este propósito, Vecchio y Collins (1986) sugirieron la siguiente relación de esfuerzo-deformación: 𝑓2 = 𝑓2𝑚𝑎𝑥 [2 ( En donde 𝑓2𝑚𝑎𝑥 anteriormente.
𝜀2 𝜀2 2 )−( ) ] 𝜀´𝑐 𝜀´𝑐
Ecuación 3-41
está dado por la Ecuación 3-40 mencionada
A continuación se muestra una comparación entre varios métodos para hallar el esfuerzo de compresión máximo 𝑓2 y una serie de resultados experimentales que se realizaron. En la Figura 3.23 se puede observar que de las curvas que se muestran la que mejor se adapta a la dispersión de datos experimentales es la de Veccio y collins (1986), (Ecuación 3-40).
Figura 3.23 Esfuerzo máximo de compresión en función de la deformación principal ε1 (modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999)
En la Figura 3.24 se muestra las relaciones de esfuerzo-deformación a compresión para el concreto fisurado diagonalmente:
Figura 3.24 Relaciones de esfuerzo-deformación de compresión para concreto fisurado diagonalmente: (a) 𝜀1 y 𝜀2 incrementan proporcionalmente; (b) aumentando primero 𝜀1 y posteriormente 𝜀2 (modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999)
Se puede decir que antes de la fluencia del refuerzo, la deformación principal a compresión 2 y la deformación principal a tracción 1 se incrementan proporcionalmente a medida que hay un incremento de fuerzas cortantes, por lo tanto la relación 1/2 permanece aproximadamente constante. Una de las falencias que se encontró en este método fue que el CFT asume que después de la fisuración no habrá esfuerzos de tracción en el concreto; esto como se verá en la MCFT no es cierto.
Las investigaciones de Vecchio y Collins (1986) y de Belarbi y Hsu (1994) concuerdan en que después de la fisuración el esfuerzo promedio principal de tracción en el concreto disminuye a medida que las deformaciones principales a tracción (1) aumentan, sin embargo, este aporte no es nulo como se asume en la metodología de CFT. Collins y Mitchell (1991) sugieren que una relación adecuada es la que se presenta a continuación:
𝑓1 =
0,33√𝑓´𝑐 1 + √500𝜀1
Ecuación 3-42
Mientras Belarbi y Hsu (1994) sugieren:
𝑓1 =
0,31√𝑓´𝑐 (12.500𝜀1 )0,4
Ecuación 3-43
Las tracciones tomadas por el concreto, incluso cuando existe fisuración tienen un efecto favorable en la capacidad del concreto reforzado para resistir esfuerzos cortantes; estos efectos son considerados en la teoría del MCFT desarrollada por Vecchio y Collins en 1986, a continuación se realiza una descripción del método del MCFT. 3.3.4 MODIFIED COMPRESSION FIELD THEORY (MCFT) Desarrollada por Vecchio y Collins en 1986 la MCFT es una versión modificada de la teoría de campos de compresión (CFT), que como se mencionaba anteriormente tiene en cuenta la influencia de la resistencia del concreto fisurado en la capacidad a cortante de una sección. Análogamente a la teoría del campo de compresiones (CFT), la Teoría Modificada de los Campos de Compresión (MCFT), se deduce del análisis de las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad de deformaciones y las relaciones de esfuerzo-deformación tanto del acero como del concreto, tal como se muestra en la Figura 3.20; la diferencia radica en que en este método se tiene en cuenta el aporte del concreto fisurado a resistir fuerza cortante debido a una resistencia a esfuerzos de tracción "𝑓1 ”. Estas mencionadas anteriormente se pueden derivar de las Figura 3.25 (a) y (b) que se presentan a continuación:
Figura 3.25 Relaciones del MCFT (Compresión Field Theory). (Modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999)
𝜌𝑣 𝑓𝑠𝑦 = 𝑓𝑐𝑦 = 𝑣 𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝑓1
Ecuación 3-44
𝜌𝑥 𝑓𝑠𝑥 = 𝑓𝑐𝑥 = 𝑣 𝑐𝑜𝑡𝜃 − 𝑓1
Ecuación 3-45
𝑓2 = 𝑣(𝑡𝑎𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝜃) − 𝑓1
Ecuación 3-46
Según Vecchio y Collins (1986) el patrón de las grietas se puede idealizar como una serie de grietas paralelas, en donde estas se generan en un ángulo con respecto al refuerzo longitudinal y con un espaciamiento s. De las Figura 3.25 (c) y (d), se puede deducir que el esfuerzo en el refuerzo en una grieta se puede determinar como: 𝜌𝑣 𝑓𝑠𝑦𝑒𝑟 = 𝑣 𝑡𝑎𝑛𝜃 − 𝑣𝑐𝑖 𝑡𝑎𝑛𝜃
Ecuación 3-47
𝜌𝑥 𝑓𝑠𝑥𝑒𝑟 = 𝑣 𝑐𝑜𝑡𝜃 − 𝑣𝑐𝑖 𝑐𝑜𝑡𝜃
Ecuación 3-48
Se debe tomar el valor máximo posible de VCI (Bhide y Collins 1989), este valor está relacionado con el ancho de la grieta (𝑤) y el tamaño total máximo del agregado (representado como 𝑎) dicha relación se ilustra en la Figura 3.25 (f) y está dada por: 𝑣𝑐𝑖 ≤ (0,18√𝑓´𝑐 )/ (0,30 +
24𝑤 ) 𝑎 + 16
Ecuación 3-49
El ancho de fisura 𝑤 se toma como el espaciamiento de la grieta multiplicado por la deformación principal a tracción 1. Igualando los lados derechos de las Ecuación 3-44 y Ecuación 3-47 y sustituyendo Vci de la Ecuación 3-49 se tiene que:
𝑓1 ≤ (0,18√𝑓´𝑐 𝑡𝑎𝑛𝜃)/ (0,30 +
24𝑤 ) 𝑎 + 16
Ecuación 3-50
A continuación se presenta una tabla que representa la influencia del espaciamiento de la fisura en la capacidad para resistir esfuerzos cortantes:
Figura 3.26 Influencia del espaciamiento de las fisuras en la predicción de la resistencia a cortante (modificada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999).
3.3.5 PROCEDIMIENTO DE DISEÑO BASADO EN MODIFIED COMPRESSION FIELD THEORY Basados en las relaciones del MCFT (Figura 3.25) y en las Ecuación 3-44 a Ecuación 3-46 se pueden obtener expresiones para calcular la resistencia a cortante de un elemento, si se supone que el esfuerzo cortante en el alma es igual a la fuerza de cortante dividida por el área efectiva de cortante (𝑏𝑤 𝑑𝑣 ), y que, al momento de la falla los estribos entrarán en fluencia, dicha resistencia a cortante del elemento está dada por: 𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 +𝑉𝑝 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑 𝑐𝑜𝑡𝜃+𝑉𝑝 𝑠 𝑣
Ecuación 3-52
𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑𝑣 𝑐𝑜𝑡𝜃 + 𝑉𝑝 𝑠
Ecuación 3-53
𝑉𝑛 = 𝑓1 𝑏𝑤 𝑑𝑣 𝑐𝑜𝑡𝜃 +
𝑉𝑛 = 𝛽√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑𝑣 +
Ecuación 3-51
donde: 𝑉𝑐
=
𝑉𝑠 𝑉𝑝 𝑏𝑤 𝑑𝑣
= = = =
𝛽
=
Resistencia al cortante que aporta el concreto por esfuerzos de tracción en el concreto fisurado. Resistencia al cortante que aporta el acero transversal (estribos). Componente vertical de la fuerzas de presforzado. Esfuerzo de fluencia del acero de refuerzo (MPa). Profundidad efectiva de cortante tomada como la distancia media al centroide del refuerzo pero no menor a 0.9d. Factor que indica la capacidad del concreto fisurado diagonalmente a resistir esfuerzos de cortante
El esfuerzo a cortante que el alma de una viga puede resistir es una función de la deformación longitudinal del elemento, se hace evidente con lo visto anteriormente que cuanto más grande es esta deformación longitudinal mayor se hace el tamaño de la grieta y por lo tanto el esfuerzo de corte necesario para fallar la sección será menor. Para los cálculos de diseño, 𝜀𝑥 se puede aproximar como la deformación en la cuerda de tensión de la cercha equivalente. Por lo tanto:
𝜀𝑥 =
𝑀 ( 𝑢⁄𝑑 ) + 0.5𝑁𝑢 + 0.5𝑉𝑢 𝐶𝑜𝑡𝜃 − 𝐴𝑝𝑠 𝑓𝑝𝑜
Pero no mayor a 0.002.
𝑣
𝐸𝑠 𝐴𝑠 + 𝐸𝑝 𝐴𝑝𝑠
Ecuación 3-54
donde: 𝑓𝑝𝑜
= Esfuerzo en el cable cuando el concreto circundante no tiene esfuerzos,
𝐴𝑠 𝐴𝑝𝑠 𝑀𝑢 𝑁𝑢
= = = Momento último que siente la sección tomado como positivo = Fuerza axial en la sección tomada como positiva en tracción y negativa en
este puede ser tomado como 1.1 veces el esfuerzo efectivo en el acero preesforzado después de todas las pérdidas. Área de refuerzo convencional colocado en la zona a tracción Área del refuerzo longitudinal tensado colocado en la zona a tracción
compresión
Si 𝜀𝑥 y el espaciamiento de fisuras s son conocidos, la capacidad de resistir corte correspondiente a una cantidad dada de estribos se puede calcular, ver Figura 3.26. Esto es equivalente a encontrar y reemplazar los valores de y en la Ecuación 3-53. Para determinar los valores de and se utiliza la teoría del campo de compresión modificado (Vecchio y Collins 1986), esto es correcto utilizarlo en miembros con un refuerzo mínimo en el alma, dichos valores se dan en la Figura 3.27. En la determinación de estos valores, se supuso que la cantidad y el espaciamiento de los estribos limitarían la separación de las fisuras a aproximadamente 300 mm. Los valores de se dan en la Figura 3.27 asegurándose de que la deformación por tracción en los estribos, v, es por lo menos igual a 0.002 y que el esfuerzo de compresión, 𝑓2 , en el concreto no supere la resistencia al aplastamiento 𝑓2𝑚𝑎𝑥 . Dentro del rango de valores de que satisfacen estos requisitos, los valores indicados en la Figura 3.27, son un resultado de la cantidad más pequeña de refuerzo cortante total que se requiere para resistir un esfuerzo cortante dado. El refuerzo mínimo especificado en el ACI-318 y en la AASHTO-LRFD-2014, para proporcionar ductilidad y utilizar los ábacos del MCFT se da como: 𝐴𝑣 𝑓𝑦 ≥ 0,083√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑠 𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑏𝑤 𝑆 𝑓´𝑐
= = = = =
Ecuación 3-55
Área del refuerzo transversal colocado en la sección de concreto (mm2). Esfuerzo de fluencia del acero (MPa). Ancho de la sección de concreto (mm). Separación del refuerzo transversal de la sección de concreto (mm). Resistencia a la compresión del concreto (MPa).
Es importante resaltar que en el Reglamento NSR-10 el refuerzo mínimo dado es menor que en las normas que consideran un diseño por MCFT, por esta razón la anterior fórmula es basada en los reglamentos que se mencionan y no en el Reglamento NSR-10.
Figura 3.27 Valores de β y θ para miembros que contienen la cantidad mínima de estribos (tomada de: ACI-ASCE Comité 445, 1999)
A continuación se presenta un diagrama de flujo en el cual se resume el procedimiento de diseño basado en la Teoría de campos modificada desarrollada por (Vecchio y Collins, 1986).
Figura 3.28 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT
4
COMPARACIÓN NUMÉRICA ENTRE MÉTODOS DE DISEÑO A CORTANTE
Con el objetivo de realizar una comparación entre las cantidades de refuerzo que se debe de colocar a una viga bajo cierto estado de cargas, se realizará el diseño a cortante de una viga de concreto reforzado por el método tradicional de diseño y por el método del MCFT. Las condiciones de apoyo bajo las que se diseñará será empotradaempotrada y se diseñará para un cortante localizado a una distancia 𝑑𝑣 de la cara del apoyo. A continuación se presenta un diagrama de la geometría y cargas bajo las que se analizará la viga:
Figura 4.1 Geometría y carga de viga empotrada a analizar
Para la viga anteriormente mostrada se supondrá que sus extremos están en condiciones de empotramiento, condición a la cual se puede llegar con una rigidez adecuada de las columnas, esta viga está sometida a una carga 𝑊 = 75 𝑘𝑁/𝑚 la cual representa la carga última de diseño (incluyendo carga muerta). Para una viga con esta geometría y bajo estas condiciones de carga se tiene que la distribución de momento y cortante está dada por:
Figura 4.2 Diagrama de momentos
Figura 4.3 Diagrama de cortantes
4.1 DISEÑO A FLEXIÓN DE LA VIGA Para el diseño a flexión de la viga anteriormente presentada se utilizarán los lineamientos clásicos y las hipótesis de diseño tradicionales. Para este caso y teniendo en cuenta las especificaciones de la NSR-10 se tiene que la resistencia última para una viga rectangular está dada por: 𝑎 𝜑𝑀𝑛 = 𝜑𝐴𝑠 𝑓𝑦 (𝑑 − ) 2
Ecuación 4-1
en donde el término 𝑎 está dado por:
𝑎=
𝐴𝑠 𝑓𝑦 0,85 𝑓´𝑐 𝑏
Ecuación 4-2
donde:
As fy f´c d
= = = =
a
= =
φ
Área de acero colocada a flexión Esfuerzo de fluencia del acero (420 MPa) Resistencia última a compresión del concreto (28 MPa) Altura efectiva de la viga (distancia desde la fibra superior hasta la localización del esfuerzo a tracción) Altura del bloque de compresión de Whitney Factor de subresistencia para diseño por resistencia última (NSR-10)
Para que el diseño de la viga sea adecuado se requiere que los momentos resistentes en cualquier sección de la viga sean menores a los momentos resistentes en dichas secciones, a continuación se presenta un diagrama de áreas el cual muestra el área mínima de refuerzo necesaria para suplir el momento actuante en varios puntos de la viga:
Figura 4.4 Diagrama de áreas
A partir del diagrama de áreas anteriormente mostrado se puede proceder a realizar el despiece del refuerzo longitudinal de la viga, como se muestra a continuación:
Figura 4.5 Despiece a flexión de viga
Una vez realizado el diseño a flexión de la viga se puede proceder a realizar el diseño a cortante. 4.2
DISEÑO A CORTANTE DE LA VIGA
A continuación se realiza el diseño a esfuerzos cortantes por las metodologías vistas en el presente documento: 4.2.1 MÉTODO NSR-10 (BASADO EN ACI-318) Para el diseño de la sección bajo la metodología tradicional, la cual ha sido aceptada por muchas normas de diseño alrededor del mundo, se seleccionará como es común en este tipo de vigas un cortante último leído a una distancia 𝑑 = 0.45 𝑚 de la cara de la columna. El valor del cortante corresponde a 191,25 kN; para el cálculo de la resistencia se tiene que la resistencia nominal al cortante está dada por: 𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 En donde el diseño está basado en que la resistencia última del elemento está dado por la resistencia nominal a cortante multiplicado por un factor de reducción de resistencia, el cual, debe ser mayor al cortante último en la sección: 𝜑𝑉𝑛 ≥ 𝑉𝑢
A continuación se calcularán las resistencias proporcionadas por el concreto y el acero, estás resistencias están dadas por: 𝑉𝑐 = 0,17𝜆√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑𝑣 = 0,17 × 1 × √28 × 0,40 × 0,45 × 1000 𝑽𝒄 = 𝟏𝟔𝟏, 𝟗𝟐 𝒌𝑵 𝑉𝑠 ≥
𝑉𝑢 191,25 𝑘𝑁 − 𝑉𝑐 = − 161,92 𝜑 0,75 𝑽𝒔 ≥ 𝟗𝟑, 𝟎𝟖 𝒌𝑵
Seleccionando una barra #3 para los estribos de la viga tenemos que el espaciamiento que requiere es igual a: 𝑠=
𝐴𝑣 𝑓𝑦𝑡 𝑑𝑣 (71 × 2) × 420 × 450 = 𝑉𝑠 93,08 × 1000 𝒔 = 𝟐𝟖𝟖. 𝟑 𝒎𝒎
El refuerzo requerido para suplir dicho cortante es un estribo #3 (dos ramas) cada 290 mm. El refuerzo mínimo que debe tener la sección para que sea válida la anterior metodología de diseño está dada por: 𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛 = 0,062√𝑓´𝑐
𝑏𝑤 𝑠 400 × 290 = 0,062 × √28 ∗ 𝑓𝑦𝑡 420
𝑨𝒗,𝒎𝒊𝒏 = 𝟗𝟎, 𝟔 𝒎𝒎𝟐 Pero no debe ser menor a: 𝐴𝑣,𝑚𝑖𝑛 =
0,35𝑏𝑤 𝑠 0,35 × 400 × 290 = 𝑓𝑦𝑡 420
𝑨𝒗,𝒎𝒊𝒏 = 𝟗𝟔. 𝟔𝟔 𝒎𝒎𝟐 Debido a que la sección posee un refuerzo de 142 mm² se cumple el refuerzo mínimo.
Es de aclarar que el diseño presentado anteriormente no tiene en cuenta los requisitos mínimos para estructuras sismos resistentes ni los espaciamientos mínimos del refuerzo para estructuras en concreto no pretensado. Lo anterior se debe a que posteriormente se realizará una comparación entre las dos metodologías, la cual tiene como objetivo evaluar las diferencias entre los resultados de dos metodologías de diseño y no las diferencias entre los requisitos mínimos bajo condiciones sísmicas de las diferentes normas de diseño. 4.2.2 DISEÑO POR MCFT Para realizar el diseño a cortante de la viga presentada anteriormente se seguirá el diagrama de flujo presentado en la Figura 3.28. Para este diseño se seleccionará la misma sección localizada a una distancia 𝑑 = 0,45 𝑚 de la cara del apoyo como se realizó en el método anterior, esto con el objetivo de comparar el diseño por ambos métodos para un mismo estado de esfuerzos. Como se mencionó anteriormente, el valor del cortante último en una sección a una distancia “𝑑” de la cara de la columna corresponde a 191,25 kN con un momento concomitante de 132,20 kN.m. A continuación se calcula paso a paso (según diagrama de flujo anteriormente presentado), el diseño a cortante por la metodología del MCFT. Para facilitar la realización y comprensión del ejemplo a continuación se presenta nuevamente el diagrama de flujo presentado en la Figura 3.28: 𝑃𝑎𝑠𝑜 1 La relación entre el esfuerzo máximo de la sección y el esfuerzo resistente a la compresión del concreto como paso inicial del diseño (como se presenta en el diagrama anteriormente presentado): 𝜈𝑢 𝑉𝑢 191,25 = = 𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑𝑣 𝑓´𝑐 0,40 × 0,45 × 28000 𝝂𝒖 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟕𝟗 𝒇´𝒄
𝑃𝑎𝑠𝑜 2 Debido a la magnitud de las cargas, se supondrá una deformación unitaria 𝜀𝑥 en el refuerzo de aproximadamente 0,0013. 𝑃𝑎𝑠𝑜 3 Con lo anteriormente planteado y según la Figura 3.27 los valores de β y θ toman los siguientes valores: 𝛽 = 0,17 ; 𝜃 = 38.50°
Figura 4.6 Diagrama de flujo para diseñar por MCFT (Repetición)
𝑃𝑎𝑠𝑜 4 Siguiendo con el diagrama de flujo se recalculará la deformación del refuerzo longitudinal como se muestra a continuación:
𝜀𝑥 =
𝑀 ( 𝑢⁄𝑑 ) + 0.5𝑁𝑢 + 0.5𝑉𝑢 𝐶𝑜𝑡𝜃 − 𝐴𝑝𝑠 𝑓𝑝𝑜 𝑣
𝐸𝑠 𝐴𝑠 + 𝐸𝑝 𝐴𝑝𝑠
Teniendo en cuenta que no existe fuerza axial en la sección, que no se tiene refuerzo presforzado y un módulo de elasticidad del acero igual a 200000 MPa, la deformación está dada por: (132200000⁄450) + 0.50 × 191250𝐶𝑜𝑡(38.50) 𝜀𝑥 = 200000 × 1617 𝜺𝒙 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟖
𝑃𝑎𝑠𝑜 5 Debido a que la deformación calculada es menor a la asumida (y muy similar) continuaremos con el procedimiento de diseño, se aclara que entre más aproximada sea la deformación supuesta a la calculada más económico va a ser el diseño, sin embargo la proximidad de estos valores quedan a criterio del ingeniero diseñador. 𝑃𝑎𝑠𝑜 6 Se tiene que la resistencia nominal a cortante está dada por: 𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 + 𝑉𝑝 𝑃𝑎𝑠𝑜 7 A continuación se calcularán cada una de las componentes de esta ecuación teniendo en cuenta que 𝑉𝑝 = 0: Cálculo de 𝑉𝑐 : 𝑉𝑐 = 𝛽√𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑑𝑣 =
0,17 × √28 × 400 × 450 1000
𝑽𝒄 = 𝟏𝟔𝟏, 𝟗𝟎 𝒌𝑵
Cálculo de 𝑉𝑠: 𝑉𝑠 ≥
𝑉𝑢 191,25 − 𝑉𝑐 − 𝑉𝑝 = − 161,90 − 0 𝜑 0.75 𝑽𝒔 ≥ 𝟗𝟑, 𝟎𝟖 𝒌𝑵
Teniendo en cuenta que utilizaremos barras #3 para el diseño se tiene que: 𝑠=
𝐴𝑣 𝑑𝑣 𝐶𝑜𝑡𝜃𝑓𝑦 71 × 2 × 450 × cot(38.50) × 420 = 𝑉𝑠 93080 𝒔 = 𝟑𝟔𝟐, 𝟓𝟎 𝒎𝒎
El refuerzo requerido para suplir dicho cortante es un estribo #3 (dos ramas) cada 360 mm. Debido a que no se tienen fuerzas de pretensado la resistencia proporcionada por la fuerza de este es cero: 𝑉𝑝 = 𝐹 𝑆𝑖𝑛𝛼 = 0 Ahora se procederá a calcular la resistencia total de la sección a cortante: 71 × 2 × 450 × cot(38.50) × 420 𝑉𝑛 = 161,90 + +0 360 × 1000 𝑉𝑛 = 255,62 𝑘𝑁 El factor de reducción de resistencia considerado para el cortante será de 0,75 para ser consecuentes con el ejemplo anterior, con lo cual se tiene que la resistencia última a cortante es: 𝜑𝑉𝑛 = 255,62 ∗ 0,75 = 191,71 𝑘𝑁 > 191,25 𝑘𝑁 𝝋𝑽𝒏 = 𝟏𝟗𝟏, 𝟕𝟏 𝒌𝑵 > 𝟏𝟗𝟏, 𝟐𝟓 𝒌𝑵 → 𝑪𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 𝑃𝑎𝑠𝑜 8 El procedimiento anterior se realizó bajo la hipótesis de que la sección de concreto a diseñar posee un refuerzo mínimo, el cual otorga ductilidad a la sección. Existen también ábacos para el cálculo de β y θ para secciones que tienen menos de este refuerzo mínimo mencionado, sin embargo este tema no está dentro del alcance de este trabajo y se invita al lector que consulte las referencias adjuntas para profundizar en el tema. Para realizar el diseño por el método MCFT es necesario que la sección tenga un refuerzo transversal mínimo, en este caso los reglamentos ACI-318-14 y AASTHO LRFD-2014 concuerdan en que en elementos de concreto no presforzado el refuerzo mínimo está dado por: 𝐴𝑣 𝑓𝑦 > 0,083 √𝑓´𝑐 𝑏𝑤 𝑠
Ecuación 4-3
El ACI-318-14 tiene otra restricción y limita el refuerzo a: 𝐴𝑣 𝑓𝑦 > 0,35 𝑏𝑤 𝑠
Ecuación 4-4
Lo cual, es equivalente a tener un concreto de 35 MPa en la Ecuación 4-3, debido a que los pórticos de concreto están regidos por el ACI-318 más que por la AASTHO se respetarán los dos límites establecidos por esta. Con el refuerzo anteriormente presentado se garantiza que la variación de β y θ cumplen con los ábacos presentados en la Figura 3.27. Para un concreto de 28 MPa gobierna la Ecuación 4-4, con lo cual se obtiene un refuerzo de 133.4 mm2 cada 400 mm. Dicho refuerzo se suple con un estribo #3 (dos ramas) espaciados cada 400 mm. Debido a que el refuerzo colocado es mayor al mínimo, concluimos que la cantidad de refuerzo puesto en la sección es adecuada. 𝑃𝑎𝑠𝑜 9 Como se puede observar la resistencia última a fuerzas cortantes en la sección de análisis es mayor que la solicitación. A continuación se realiza la verificación de las fuerzas en el refuerzo longitudinal considerando los efectos combinados de momento, fuerza axial y cortante: 𝑀𝑢 0.5𝑁𝑢 𝑉𝑢 𝐴𝑠 𝑓𝑦 + 𝐴𝑠𝑝 𝑓𝑝𝑠 ≥ + + ( − 0.5𝑉𝑠 − 𝑉𝑝 ) 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝜑𝑑𝑣 𝜑 𝜑 1617 × 420 132200 191,25 +0≥ +0+( − 0,50 × 93,10 − 0) cot(38,50) 1000 0.9 × 450 0,75 𝟔𝟕𝟗, 𝟏𝟒 𝒌𝑵 ≥ 𝟔𝟏𝟏, 𝟕𝟗 𝒌𝑵 → 𝑪𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆 Es de resaltar que según los lineamientos del reglamento AASTHO-2014 los valores de β y θ pueden ser calculados con las ecuaciones presentadas allí y no con ábacos, no obstante en el apéndice B5 del mismo se encuentran estos valores tabulados según los resultados obtenidos por Collins and Mitchell (1991).
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CONCLUSIONES
En este trabajo se realizó una recopilación de información acerca de los métodos de diseño a cortante en vigas de concreto reforzado basadas en dos metodologías, la primera consta de la metodología clásica que se viene utilizando tradicionalmente en las diferentes normativas de diseño, la cual está basada en las investigaciones y publicaciones realizadas por el ACI-ASCE Comité 326 (1962), y en la cual se basa el reglamento NSR-10; la segunda es la metodología desarrollada por Vecchio y Collins (1986) llamada Modified Compression Field Theory (MCFT). Se puede observar en el presente trabajo que la metodología de la MCFT posee un desarrollo más analítico que la metodología que se utiliza actualmente en el Reglamento NSR-10, esto debido a que el método tradicional se basa en una serie de ensayos y estudios empíricos que se desarrollaron el ACI y el ASCE en la década de los sesenta, contrario a la MCFT que aunque también se basa en ciertas relaciones obtenidas experimentalmente posee un desarrollo físico y matemático más completo, el cual tiene en cuenta la compatibilidad de deformaciones y de esfuerzos en su desarrollo teórico. Observando los resultados obtenidos en los ejemplos numéricos realizados en el presente trabajo, se observó que al diseñar un elemento sometido a cortante por medio del método del MCFT se obtuvo un 20% menos de refuerzo con respecto al diseño por el método tradicional. La disminución del refuerzo requerido diseñando un elemento por la MCFT, en la mayoría de los casos es de esperar, esto debido a que el aporte del concreto a la resistencia a cortante también depende de la cantidad de refuerzo longitudinal que posea el elemento, lo cual no es considerado en la metodología tradicional; sin embargo esto no es así en todos los casos ya que para ciertos estados de cargas el método tradicional arroja resultados muy similares a los del MCFT. El Reglamento NSR-10, el cual regula los métodos para diseñar estructuras de concreto a fuerzas cortantes, aún no incluye dentro de sus lineamientos la metodología desarrollada por Vecchio y Collins (1986); sin embargo en los últimos años se ha notado una tendencia a nivel mundial de incluir la metodología del MCFT dentro de sus métodos para diseñar concreto sometido a fuerzas cortantes; la norma canadiense, noruega y la estadounidense de puentes AASTHO LRFD sobresalen en este sentido. A pesar de que actualmente las normativas de diseño tienden a incluir los métodos basados en la MCFT dentro de sus especificaciones para diseñar elementos de concreto a cortante, hoy en día se utiliza más la metodología tradicional desarrollada por el ACI, sin embargo, se pueden
observar una serie de ventajas del método MCFT con respecto al tradicional ya que dependiendo de la cantidad de refuerzo longitudinal puede haber una reducción significativa de la cantidad del refuerzo a cortante. Básicamente, la diferencia entre las metodologías de diseño que fueron objeto de estudio del presente documento radica en el cálculo de los parámetros β y θ, estos parámetros definen la capacidad del concreto para soportar fuerzas cortantes y son función del refuerzo longitudinal ya que considera el aporte de este al aumentar la capacidad del concreto para resistir tensión diagonal, consideración que no se tiene en cuenta dentro de la metodología tradicional. Esta consideración, como se ha ilustrado en el presente trabajo, tiene en cuenta el aporte del refuerzo longitudinal, el cual también “cose” las fisuras generadas por esfuerzos cortantes, generando así una resistencia a la separación en los planos generados por las fisuras del concreto; esto genera una resistencia del concreto a separarse debido a un efecto de trabazón entre agregados o “fricción”. Según los resultados obtenidos y analizando las teorías que fueron objetivo de estudio en el presente trabajo, ese considera pertinente empezar a incursionar en las metodologías basadas en la MCFT (simplificadas y analíticas) debido a que puede resultar conveniente por economía y exactitud.
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BIBLIOGRAFÍA
ACI Committee 318 (2008). Building code requirements for reinforced concrete (ACI 318-08). American Concrete Institute, Farmington Hills, Mich. ACI-ASCE Committee 326 (1962). Shear and diagonal tension-Part 1. ACI Journal, Proceedings, 59(1), Jan., 1-30. ACI-ASCE Committee 326 (1962). Shear and diagonal tension-Part 2. ACI Journal, Proceedings, 59(1), Jan., 277-344. ACI-ASCE Committee 326 (1962). Shear and diagonal tension-Part 3. ACI Journal, Proceedings, 59(1), Jan., 352-396. ACI-ASCE Committee 445 (1999). Recent approaches to shear design of structural concrete. Manual of Concrete Practice, 1-55. Belarbi, A. y Hsu, T. T. C. (1994). Constitutive laws of concrete in tension and reinforcing bars stiffened by concrete. ACI Structural Journal, 91(4), July-Aug., 465-474. Bhide, S. B. y Collins, M. P. (1989). Influence of Axial Tension on the Shear Capacity of Reinforced Concrete Members. ACI Structural Journal, 86(5), Sept.-Oct., 570-581. Collins, M. P. (1978). Toward a rational theory for RC members in shear. Journal of Structural Division, ASCE, 104(4), 649-666. Collins, M. P. y Mitchell, D. (1991). Prestressed concrete structures, PrenticeHall, Englewood Cliffs, N.J. Hernández Montes, E. y Gil Martín, L. M. (2007). Concreto reforzado y preesforzado. (1a ed.) Granada, España: Grupo de Investigación TEP190 Ingeniería e infraestructuras. Herreros Perelló, S. (2004). Resistencia a esfuerzo cortante en losas de hormigón armado unidireccionales. (1a ed.) Barcelona, España: Universidad Politécnica de Cataluña. Recuperado de http://upcommons.upc.edu/handle/2099.1/5562 Mitchell, D. y Collins, M. P. (1974). Diagonal compression field theory—a rational model for structural concrete in pure torsion. ACI Journal, Proceedings, 71, 396-408.
Mörsch, E. (1920). Der eisenbetonbau-seine theorie und anwendung (Reinforced concrete construction—theory and application). (5a ed.) Wittwer, Stuttgart, 1(1). Mörsch, E. (1922). Der eisenbetonbau-seine theorie und anwendung. (5a ed.) Wittwer, Stuttgart, 1(2). Park, R. y Paulay, T. (1980). Estructuras de concreto reforzado. (1a ed.) Ciudad de México D.F., México: Limusa, S.A. Reglamento colombiano de construcción sismo resistente, NSR-10 (2010). Título C – Concreto estructural. (1a ed.) Bogotá, D.C., Colombia. Ritter, W. (1899). Die bauweise hennebique. Schweizerische Bauzei-tung, 33( 7), 59-61. Rochel Awad, R. (2007). Hormigón reforzado. (1a ed.) Medellín, Colombia: Fondo Editorial Universidad EAFIT. Vecchio, F. J. y Collins, M. P. (1986). The modified compression field theory for reinforced concrete elements subjected to shear. ACI Journal, Proceedings, 83(2), Mar.-Apr., 219-231. Wagner, H. (1929). Ebene blechwandträger mit sehr dünnem stegblech (Metal beams with very thin webs). Zeitschrift für Flugtechnik und Motorloftschiffahr, Berlin, 20, 8–12. Wight, J. K. y MacGregor, J. G. (2012). Reinforced concrete mechanics and design. (6a ed.) New Jersey, United States: Pearson Education, Inc.
