UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL EQ UINOCCIAL CURSO PARA EGRESADOS DE PREPARACIÓN PARA EXAMEN COMPLEXIVO
ESTADÍSTICA Y DISEÑOS EXPERIMENTALES
Edis on Silva Cifuentes Ph. D.
Santo Domingo de los Tsáchilas, Ecuador Septiembre, 2014
Tabla de contenido INTRODUCCIÓN ................................................... ............................................................................ .................................................... ............................... ....10 REVISIÓN DE MÉTODOS ESTADÍSTICOS ÚTILES EN AGRICULTURA ....................12 DEFINICIONES. ................................................. ........................................................................... .................................................... .............................. ....12 MÉTODOS ESTADÍSTICOS DESCRIPTIVOS. .................................................... ............................................................. .........13 MEDIDAS DESCRIPTIVAS. ................................................ .......................................................................... ....................................... .............13 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (MTC). ................................................. .......................................................... .........14 VENTAJAS Y DESVENTAJAS. ................................................................. .................................................................................. .................14 CÁLCULO EN TABLAS DE FRECUENCIAS..................................................... ............................................................. .........14 PROPIEDADES. ................................................. ........................................................................... .................................................... .............................. ....15 MEDIANA (Me). .................................................. ........................................................................... .................................................... ............................... .... 15 MODA (Mo)...................................................................... .............................................................................................. ........................................... ..................15 ELECCIÓN DE MEDIDAS. .................................................. ............................................................................ ....................................... .............15 MEDIDAS DE DISPERSIÓN. .................................................. ............................................................................. ................................... ........16 LA DISTRIBUCION NORMAL. ................................................ ........................................................................... ................................... ........17 PRUEBAS DE HIPÓTESIS (Inferencia estadística) ...................................... ....................................................... .................18 DEFINICIONES. ................................................. ........................................................................... .................................................... .............................. ....18 HIPÓTESIS NULA (Ho). ................................................. ............................................................................ ............................................ .................19 HIPÓTESIS ALTERNATIVA (Ha, H1). ............................ ....................................................... ............................................ .................19 EJEMPLOS.................................................... ............................................................................. ..................................................... ................................... ........19 ERRORES DEL TIPO I Y DEL TIPO T IPO II. ..................................................... ...................................................................... .................20 LA DISTRIBUCION DE t (STUDENT). ..................................................... ........................................................................... ......................21 PRUEBA DE t PARA OBSERVACIONES PAREADAS. P AREADAS. ............................................. .............................................21 PRUEBA DE t PARA MUESTRAS INDEPENDIENTES Y VARIANZAS IGUALES. ...23 CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL ................................................. ...................................................................... .....................24 CORRELACIÓN LINEAL. .................................................... .............................................................................. ....................................... .............24 2
Tabla de contenido INTRODUCCIÓN ................................................... ............................................................................ .................................................... ............................... ....10 REVISIÓN DE MÉTODOS ESTADÍSTICOS ÚTILES EN AGRICULTURA ....................12 DEFINICIONES. ................................................. ........................................................................... .................................................... .............................. ....12 MÉTODOS ESTADÍSTICOS DESCRIPTIVOS. .................................................... ............................................................. .........13 MEDIDAS DESCRIPTIVAS. ................................................ .......................................................................... ....................................... .............13 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (MTC). ................................................. .......................................................... .........14 VENTAJAS Y DESVENTAJAS. ................................................................. .................................................................................. .................14 CÁLCULO EN TABLAS DE FRECUENCIAS..................................................... ............................................................. .........14 PROPIEDADES. ................................................. ........................................................................... .................................................... .............................. ....15 MEDIANA (Me). .................................................. ........................................................................... .................................................... ............................... .... 15 MODA (Mo)...................................................................... .............................................................................................. ........................................... ..................15 ELECCIÓN DE MEDIDAS. .................................................. ............................................................................ ....................................... .............15 MEDIDAS DE DISPERSIÓN. .................................................. ............................................................................. ................................... ........16 LA DISTRIBUCION NORMAL. ................................................ ........................................................................... ................................... ........17 PRUEBAS DE HIPÓTESIS (Inferencia estadística) ...................................... ....................................................... .................18 DEFINICIONES. ................................................. ........................................................................... .................................................... .............................. ....18 HIPÓTESIS NULA (Ho). ................................................. ............................................................................ ............................................ .................19 HIPÓTESIS ALTERNATIVA (Ha, H1). ............................ ....................................................... ............................................ .................19 EJEMPLOS.................................................... ............................................................................. ..................................................... ................................... ........19 ERRORES DEL TIPO I Y DEL TIPO T IPO II. ..................................................... ...................................................................... .................20 LA DISTRIBUCION DE t (STUDENT). ..................................................... ........................................................................... ......................21 PRUEBA DE t PARA OBSERVACIONES PAREADAS. P AREADAS. ............................................. .............................................21 PRUEBA DE t PARA MUESTRAS INDEPENDIENTES Y VARIANZAS IGUALES. ...23 CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL ................................................. ...................................................................... .....................24 CORRELACIÓN LINEAL. .................................................... .............................................................................. ....................................... .............24 2
CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE ( r)....................................... r)................................................................ .................................. .........25 CÁLCULOS. .................................................. ............................................................................ ..................................................... ................................... ........26 MÉTODO ESTANDARD O DE PRODUCTO MOMENTO. ..................................... ......................................... ....27 Ejemplo: ................................................. ........................................................................... .................................................... ....................................... .............27 SIGNIFICACIÓN ESTADÍSTICA. ................................................ ........................................................................... ............................... ....28 PROPIEDADES. ................................................. ........................................................................... .................................................... .............................. ....28 TRAMPAS.- (OBSERVACIONES). ............................................................... ............................................................................. ..............29 REGRESIÓN LINEAL SIMPLE ........................................................ ................................................................................... ...........................31 MODELO RLS.- .................................................. ........................................................................... .................................................... ............................... .... 31 PRUEBA DE SIGNIFICANCIA DE o 1.- .................................................... ................................................................. .............32 INTERPRETACIÓN DE LA ECUACIÓN DE REGRESIÓN ESTIMADA. ....................32 Interpretación de la ordenada al origen (a, o, ). ................................................... ...................................................32 INTERPRETACION DEL ESTIMADOS DE LA PENDIENTE O COEFICIENTE DE REGRESION (1 ó b).- ................................................... .............................................................................. ............................................ .................33 ANALISIS DE VARIANZA DE LA REGRESIÓN. REGRESIÓN. ................................................... ........................................................ .....33 ERRORES COMUNES EN LOS ANÁLISIS DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN EN INVESTIGACIÓN AGRÍCOLA. ................................................ ........................................................................... ................................... ........35 PUNTOS IMPORTANTES: .................................................. ............................................................................ ....................................... .............35 INTRODUCCIÓN ................................................... ............................................................................ .................................................... ............................... ....38 EL MÉTODO CIENTÍFICO. ................................................. ........................................................................... ....................................... .............38 EXPERIMENTO.................................................. ........................................................................... .................................................... .............................. ....38 CARACTERÍSTICAS DE UN EXPERIMENTO EX PERIMENTO BIEN PLANEADO. ............................ ............................39 PROCEDIMIENTOS PARA LA EXPERIMENTACIÓN .................................................. ..................................................40 ALGUNAS DEFINICIONES................................................ ........................................................................... ............................................ .................42 DISEÑO EXPERIMENTAL. ................................................. ........................................................................... ....................................... .............42 FACTOR. ................................................... ............................................................................. .................................................... ....................................... .............42 3
NIVELES DE UN FACTOR. ........................................................................................42 TRATAMIENTOS. .......................................................................................................42 UNIDAD EXPERIMENTAL (UE). ................................................................................43 UNIDADES EXPERIMENTALES HOMOGÉNEAS. ....................................................44 VARIABLE. .................................................................................................................44 EFECTO. ....................................................................................................................44 CLASES DE EXPERIMENTOS ......................................................................................45 EXPERIMENTOS PRELIMINARES. ...........................................................................45 EXPERIMENTOS SIMPLES. ...................................................................................... 45 EXPERIMENTOS FACTORIALES..............................................................................45 ENSAYOS REGIONALES. .........................................................................................46 LA NECESIDAD DE UN DISEÑO EXPERIMENTAL ......................................................46 ERROR EXPERIMENTAL (E.E.). ...............................................................................46 PRINCIPIOS BÁSICOS DEL DISEÑO EXPERIMENTAL...............................................48 REPETICIÓN. .............................................................................................................48 ALEATORIZACIÓN O MUESTREO ALEATORIO.- ....................................................48 CONTROL LOCAL......................................................................................................49 CONTROL DEL ERROR ................................................................................................49 BLOQUEAMIENTO.....................................................................................................49 UNIFORMIDAD DE LAS UNIDADES EXPERIMENTALES. .......................................49 ANÁLISIS DE DATOS. ...............................................................................................49 INTERPRETACIÓN ADECUADA DE LOS RESULTADOS ........................................50 MÉTODOS PARA INCREMENTAR LA PRECISIÓN (EXACTITUD) ..............................50 INCREMENTO DEL NÚMERO DE REPETICIONES. ................................................50 SELECCIÓN DE TRATAMIENTOS. ...........................................................................51 REFINAMIENTO DE LA TÉCNICA. ............................................................................51 4
SELECCIÓN DEL MATERIAL EXPERIMENTAL. .......................................................52 CONDUCCIÓN DEL EXPERIMENTO ............................................................................52 ANÁLISIS DE VARIANCIA .............................................................................................54 REQUISITOS DEL ANÁLISIS DE VARIANCIA ..............................................................55 INDEPENDENCIA DE LOS ERRORES EXPERIMENTALES. ...................................55 NORMALIDAD DE LAS VARIANCIAS........................................................................55 HOMOGENEIDAD DE LAS VARIANCIAS..................................................................56 ADITIVIDAD DE LOS EFECTOS................................................................................56 COMPONENTES DEL ANÁLISIS DE VARIANCIA ........................................................57 FUENTES DE VARIACIÓN. .......................................................................................57 GRADOS DE LIBERTAD. ...........................................................................................57 SUMA DE CUADRADOS Y CUADRADOS MEDIOS. ................................................57 ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS. ............................................................................58 DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA) ..............................................................58 VENTAJAS. ................................................................................................................59 DESVENTAJAS. .........................................................................................................59 MODELO MATEMÁTICO O MODELO LINEAL. .........................................................60 SORTEO Y DISPOSICIÓN DE LAS PARCELAS. ......................................................60 TABLA DEL ADEVA PARA EL DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR....................61 EJEMPLO. ..................................................................................................................62 CÁLCULOS. ...............................................................................................................63 CONCLUSIONES. ......................................................................................................64 DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON DESIGUAL NÚMERO DE REPETICIONES O UNIDADES POR TRATAMIENTO. .............................................................................65 ANÁLISIS DE VARIANCIA (ADEVA) ..........................................................................65 EJEMPLO. ..................................................................................................................65 5
CÁLCULOS: ...............................................................................................................66 ANÁLISIS DE VARIANCIA (ADEVA) ..........................................................................67 CONCLUSIONES. ......................................................................................................67 DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBUNIDADES POR UNIDAD EXPERIMENTAL............................................................................................................67 EJEMPLO: ..................................................................................................................69 CÁLCULOS: ...............................................................................................................70 ANÁLISIS DE VARIANCIA .........................................................................................70 CONCLUSIONES. ......................................................................................................71 DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (DBCA) .............................................71 VENTAJAS. ................................................................................................................73 DESVENTAJAS. .........................................................................................................74 SORTEO Y DISEÑO...................................................................................................74 MODELO MATEMÁTICO. ..........................................................................................75 ANÁLISIS DE VARIANCIA (ADEVA) EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR ..........76 EJEMPLO. ..................................................................................................................76 TRATAMIENTOS ....................................................................................................77 CÁLCULOS. ...............................................................................................................77 ANÁLISIS DE VARIANCIA (ADEVA) ..........................................................................78 CONCLUSIONES. ......................................................................................................79 EFICIENCIA DEL DBCA. ............................................................................................79 DISEÑO CUADRADO LATINO ......................................................................................80 VENTAJAS. ................................................................................................................81 DESVENTAJAS. .........................................................................................................81 SORTEO Y DISPOSICIÓN EN EL CAMPO. ..............................................................81 MODELO MATEMÁTICO. ..........................................................................................82 6
ANÁLISIS DE VARIANCIA (ADEVA) ..........................................................................83 EJEMPLO. ..................................................................................................................83 CÁLCULOS. ...............................................................................................................84 ANÁLISIS DE VARIANCIA (ADEVA) ..........................................................................85 PARCELA PERDIDA EN CUADRADO LATINO. ........................................................85 EFICIENCIA RELATIVA DEL DISEÑO CUADRADO LATINO. ..................................86 PRUEBAS DE SIGNIFICACIÓN ....................................................................................87 DIFERENCIA MÍNIMA SIGNIFICATIVA (DMS) ..............................................................88 EJEMPLO. ..................................................................................................................90 VENTAJAS DEL USO DE LA DMS. ...........................................................................91 DESVENTAJAS DEL USO DE LA DMS. ....................................................................91 PRUEBA DE TUKEY ......................................................................................................92 CONCLUSIONES. ......................................................................................................94 PRUEBA DE RANGO MÚLTIPLE DE DUNCAN ............................................................94 CONCLUSIONES. ......................................................................................................98 TRANSFORMACIONES.................................................................................................98 TRANSFORMACIONES A RAÍZ CUADRADA. ..........................................................99 TRANSFORMACIÓN LOGARÍTMICA. .......................................................................99 TRANSFORMACIÓN ARCO SENO. ..........................................................................99 EXPERIMENTOS FACTORIALES ............................................................................... 100 NOTACIÓN. .............................................................................................................. 101 VENTAJAS Y DESVENTAJAS. ................................................................................102 INTERACCIONES. ...................................................................................................102 CÁLCULO DE LOS EFECTOS SIMPLES Y PRINCIPALES EN UN EXPERIMENTO SIN INTERACCIÓN. .................................................................................................104 EFECTOS SIMPLES. ...............................................................................................104 7
EFECTOS PRINCIPALES. .......................................................................................105 CÁLCULO DE EFECTOS SIMPLES Y PRINCIPALES EN UN EXPERIMENTO CON INTERACCIÓN. ........................................................................................................ 105 EFECTOS SIMPLES. ...............................................................................................105 EFECTOS PRINCIPALES. .......................................................................................106 MODELO MATEMÁTICO. ........................................................................................106 ANÁLISIS DE VARIANCIA EN DBCA Y ARREGLO FACTORIAL A X B..................107 EJEMPLO. ................................................................................................................107 CÁLCULOS. .............................................................................................................109 ANÁLISIS DE VARIANCIA .......................................................................................110 CONCLUSIONES. ....................................................................................................110 FACTORIALES A x B x C .............................................................................................111 EJEMPLO DE UN FACTORIAL 2 3............................................................................111 DISPOSICIÓN EN EL CAMPO. ................................................................................112 DATOS DE CAMPO: ................................................................................................112 CÁLCULOS: .............................................................................................................113 ANÁLISIS DE VARIANCIA .......................................................................................114 OTRO EJEMPLO DE FACTORIAL A X B X C (2 X 3 X 4)........................................115 DATOS DE CAMPO. ................................................................................................116 CÁLCULOS. .............................................................................................................117 ANÁLISIS DE VARIANCIA .......................................................................................118 COMPARACIONES Y POLINOMIOS ORTOGONALES .............................................. 119 COMPARACIONES ORTOGONALES. ....................................................................119 EJEMPLO. ................................................................................................................120 ADEVA ..................................................................................................................120 CÁLCULO DE COMPARACIONES ORTOGONALES..............................................121 8
ANÁLISIS DE VARIANCIA .......................................................................................122 POLINOMIOS ORTOGONALES. ............................................................................. 122 POLINOMIOS
ORTOGONALES
DEPENDIENDO
DEL
NÚMERO
DE
TRATAMIENTOS. .....................................................................................................123 EJEMPLO. ................................................................................................................125 CÁLCULO. ................................................................................................................126 ANÁLISIS DE VARIANCIA .......................................................................................126 FACTORIALES A x B + N ............................................................................................ 127 EJEMPLO. ................................................................................................................127 EJEMPLO DE CÁLCULO. ........................................................................................128 CÁLCULOS . ............................................................................................................ 129 ANÁLISIS DE VARIANCIA .......................................................................................130 CONCLUSIÓN. ......................................................................................................... 130 DISEÑO DE PARCELAS DIVIDIDAS ...........................................................................131 GRADO DE PRECISIÓN. ......................................................................................... 131 TAMAÑO RELATIVO DE LOS EFECTOS PRINCIPALES. ......................................132 PRÁCTICAS DE MANEJO. ......................................................................................132 SORTEO Y DISEÑO.................................................................................................133 MODELO MATEMÁTICO. ........................................................................................134 ANÁLISIS DE VARIANCIA. ......................................................................................135 EJEMPLO. ................................................................................................................135 ANÁLISIS DE VARIANCIA. ......................................................................................139 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................141
9
MÉ TODOS ÉSTADÍ STÍCOS
INTRODUCCIÓN En el desarrollo de los trabajos de investigación se deben tener en cuenta ciertos principios generales, sobre todo considerar que la agronomía está muy lejos de ser una ciencia exacta. Es tal el número de factores diferentes (clima, suelo, manejo del cultivo y condiciones socio-económicas), que influyen en el resultado final de la producción agrícola, que es muy difícil predecir los volúmenes a obtenerse en un determinado año, cuando cambian algunos de estos factores; por lo tanto los problemas agronómicos se tienen que resolver por la vía experimental.
A través de la investigación se desea lograr una descripción, explicación y predicción de los procesos de la producción o problemas agronómicos. De manera general se puede indicar que existen dos tipos de investigación, la observacional y la experimental. La palabra experimento es usada de una manera más precisa para definir la investigación experimental, donde el sistema bajo estudio está bajo el control del investigador. Esto significa que los individuos o material investigado, la naturaleza de los tratamientos o tipos manejos en estudio y los procedimientos de medida, usualmente son definidos por el investigador. En contraste, en los estudios observacionales, algunas de las características y en particular la definición de los tratamientos, están fuera del control del investigador. Lo que es común para los dos tipos de investigación es que se genera información (datos), figura1, donde la Estadística juega un papel importante, porque si revisamos su definición: Es un conjunto de técnicas para la colección, manejo, descripción y análisis de información, de manera que las conclusiones obtenidas de ella, tengan un rango de confiabilidad especificado (Infante y Zárate, 2003); entonces, esta ciencia junto con los Diseños Experimentales, son herramientas fundamentales para realizar investigación en cualquier área y en nuestro caso, para solucionar los problemas agronómicos.
10
Formulació
Datos
Figura 1. Obtención de información en estudios experimentales y observacionales.
Para la planeación y ejecución de los experimentos, los investigadores toman en cuenta el método científico, y son utilizados para descubrir algo desconocido o para probar un principio o una hipótesis. Este no es un trabajo sencillo, y es necesario seguir estrictos lineamientos en todas sus fases, para obtener resultados satisfactorios. Un objetivo importante es diseñar experimentos que sean productivos, de costo efectivos y provean de información suficiente y de calidad. En la actualidad, se posee una capacidad ilimitada de facilidades con equipos computacionales y programas que ayudan analizar una gran cantidad de datos, pero es necesario mencionar que una gran cantidad de datos no necesariamente significa tener una gran cantidad de buena información, por lo que el uso métodos estadísticos y diseños experimentales incrementan la posibilidad de que los datos que se obtengan sea de buena calidad. Además, con el avance tecnológico en la actualidad se disponen de computadores personales de alta capacidad que pone al alcance del usuario, una gran variedad de paquetes estadísticos especializados que simplifican tremendamente los cálculos, que hace algunos años eran largos y tediosos, pero desgraciadamente también incrementan la probabilidad de cometer errores. Por lo que es necesario conocer el fundamento teórico y recordar algunos cálculos básicos para evitarlos. 11
Entre los programas estadísticos más conocidos en nuestro medio se pueden mencionar al MSTAT, INFOSTAT, MINITAB, SPSS, y SAS, entre otros. Para el presente curso se utilizarán el EXCELL (de Office) e INFOSTAT para resolver la mayoría de ejemplos, por ser éstos los más accesibles para obtenerlos, y se hará referencia a la similitud o diferencia en el procedimiento de cálculo con otros programas como MINITAB y SPSS.
REVISIÓN DE MÉTODOS ESTADÍSTICOS ÚTILES EN AGRICULTURA DEFINICIONES. Los datos son el centro de los estudios observacionales y experimentales (figura 1), estos datos están sujetos a una diversidad de factores que inducen variación en las medidas. Una de las características más importantes de los datos biológicos y entre ellos los agronómicos es la incertidumbre, la cual se produce debido a que casi siempre se estudia solo una muestra (fracción) o muestras de una población; además, los resultados obtenidos en diferentes muestras de una determinada población, no siempre producen resultados similares.
Un concepto muy importante en la Estadística es el de muestra aleatoria, o al azar, que es una porción del todo ( población) en la que cada individuo tiene igual oportunidad de ser incluido, generalmente se realiza por métodos mecánicos, para eli minar influencia subjetiva (sesgos individuales). Para ello se puede utilizar una tabla de números aleatorios, una calculadora de bolsillo o algún programa estadístico.
Las características que se miden en las muestras y presentan o están sujetas a variación se denominan variables. Se pueden mencionar dos tipos de variables: cualitativas y
cuantitativas. En las primeras, cada individuo pertenece a una de varias categorías mutuamente excluyentes (no se asigna a más de una) y generalmente no son numéricas, Ej.: color, sabor, etc. Algunas se pueden calificar en una escala numérica (relativa) con el fin de realizar un análisis cuantitativo. En las variables cuantitativas, las observaciones pueden medirse y poseen orden o rango natural Ej.: conteos, estaturas, pesos, etc. Pueden 12
ser de dos tipos: discreta y continuas; en las discretas los valores solo pueden tomar ciertos valores, usualmente enteros Ej.: conteos, plantas por surco, pétalos en una flor. En cambio en las variables cuantitativas continuas, es posible tener cualquier valor dentro de un cierto intervalo, números enteros o con decimales Ej.: Estaturas, pesos, etc. Todas estas medidas se las conocen como variables dependientes, siendo las más importantes, en una buena parte de los estudios, el rendimiento y la calidad del producto. Éstas se deben distinguir de las variables independientes, que son aquellas que son las que influyen o causan la variación en las variables dependientes, aquí podemos mencionar las variables del clima, suelo, manejo del cultivo.
MÉTODOS ESTADÍSTICOS DESCRIPTIVOS. La Estadística se divide en dos partes: Estadística Descriptiva que trata sobre el conjunto de técnicas para la colección, organización, manejo y descripción de un grupo de datos, y la Estadística Inductiva o Inferencial, que se refiere a la obtención sistemática de una o más conclusiones a partir de los datos, con una cierta confiabilidad. Ésta última es la más importante dentro de la investigación agrícola.
MEDIDAS DESCRIPTIVAS. Los histogramas y tablas de frecuencia se pueden presentar en forma muy variada, lo que hace difícil comparar dos conjuntos de datos. Además, con un alto número de clases (1520) no presentan una información concisa, por lo que se hace necesario obtener cantidades describan forma resumida el conjunto de datos, son de interés las cantidades que se localizan al centro de las observaciones, MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (MTC) y la dispersión o variabilidad de las mismas, que se conocen como MEDIDAS DE
DISPERSIÓN (MD).
13
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL (MTC). También conocidas como medidas de posición. Es un número que representa la central o la medición más representativa en un conjunto. Entre las medidas de tendencia central más utilizadas se encuentran la media, mediana y moda.
MEDIA (Aritmética).- es la más común de las utilizadas para describir una distribución de frecuencias y usualmente la mejor.
Simbología:
para la población (parámetro) x
para la muestra (estadístico)
x
x1
x1 x2 x3 .... xn N
x2 x3 ... xn n
xi
X i n
N
X n
VENTAJAS Y DESVENTAJAS. Ventajas: Fácil de calcular; excelentes propiedades teóricas desde el punto de vista de estadística inductiva
Desventajas: Por ser punto de equilibrio, muy sensible a la presencia de observaciones extremas
CÁLCULO EN TABLAS DE FRECUENCIAS. En ocasiones se presenta el problema de calcular la media a partir de una tabla de frecuencia. Esta situación puede ocurrir cuando: -
No se disponen de las observaciones originales
-
Número muy grande observaciones x
f v i
n
i
= x
pi vi
14
PROPIEDADES. Las desviaciones de un grupo de observaciones desde su media = 0. (xi – x)= 0 La suma de cuadrados (SC) de las desviaciones desde la media es mínimo (en comparación con la SC en relación a otros valores).
MEDIANA (Me). Valor que divide a los datos en mitades, 50% de cada lado (cuando están ordenados), o media de dos valores centrales, cuando el número de observaciones es par). Cuando se presentan observaciones con distribuciones asimétricas es mejor medida de TC, que la media.
MODA (Mo). Valor con mayor frecuencia (si existe) de un grupo de datos, puede ser unimodal, bimodal, trimodal. Poco usada: a) Puede ocurrir que no exista. b) A menudo no es un valor único.
ELECCIÓN DE MEDIDAS. -
Distribución no muy asimétrica, media moda y mediana, casi igual en valor y reportar cualquiera.
-
En asimétricas, la mediana puede ser mejor medida.
-
En estadística inductiva la media es mejor, por propiedades teóricas
-
Para describir un conjunto reportar las tres medidas
15
MEDIDAS DE DISPERSIÓN. Las MTC no son suficientes para caracterizar la distribución o un conjunto de datos, debe tomarse en cuenta la variabilidad de las observaciones. observ aciones. Ejemplo: Grupos de observaciones con igual MTC, pero diferente variabilidad. 2, 4, 6 Media = 4.
4, 4, 4 Media = 4
La mejor medida de dispersión y la más generalizada es la varianza (VAR) o su raíz cuadrada, la desviación estándar (DE). La DE es una medida de dispersión en unidades de los datos originales.
Simbología: Población (parámetros): VAR= 2,
DE=
Muestra (estadísticos): VAR= s2, DE= s
X X ... X 2
2
2
1
2
2
3
N
X i
N
2
2
x x x x ... x x s n 1 1
2
i
2
2
3
2
2
S
x
i
n
x
2
1
Coeficiente de variación (CV).- medida relativa de variabilidad Propiedades:
a. Independiente de unidades de medición. b). Debido a), CV más apropiado para comparar la variabilidad de dos conjuntos de datos. CV
S
x100 100
X
En distribuciones normales: a) El 68,27 % de datos están comprendidos entre media - S y media + S B) El 95.45 % están comprendidos entre media - 2 S y media + 2 S B) El 99.73 % están comprendidos entre media - 3 S y media + 3 S 16
RANGO (AMPLITUD).- Da una idea sobre el grado de variación de los datos, Rango = Diferencia entre valor más alto y valor más bajo. Fácil de calcular.
LA DISTRIBUCION NORMAL. Es de gran importancia debido a que es un modelo adecuado para una gran diversidad de situaciones, entre estos tenemos: Física, Astronomía, Biología, Agronomía y Medicina.
fx(x)
x
y
x son
parámetros
La distribución normal es simétrica, continua y en forma de campana. Sugiere mayor concentración de datos alrededor de la media y a medida que éstos se aleja de él la frecuencia disminuye. a) El 68,27 % de datos están están comprendidos entre - y + b) El 95.45 % están comprendidos - 2 y + 2 c) El 99.73 % están comprendidos - 3 y + 3 Diferentes valores de en la forma de la distribución
Ilustración de curvas con diferente desviación e igual media
17
El cálculo de probabilidades es difícil en la distribución normal (integración, largo y tedioso), por lo que se usan tablas. Otro problema: se requeriría una tabla diferente para cada par d e valores de y 2. Entonces, la solución es transformar o estandarizar los datos de esa variable, mediante la fórmula z= (x - )/, mediante la cual se ajusta o transforma los datos a una media 0 y varianza 1 (variable aleatoria estandarizada), que es independiente de las unidades de medida. Esto puede comprobarse con un conjunto de datos y aplicando los teoremas sobre cambio de las observaciones y su influencia sobre la media y varianza, revisados anteriormente.. Aún así, el cálculo de probabilidades en la variable aleatoria Z no es fácil, por lo que se utiliza una tabla que proporciona esas probabilidades. El uso de la tabla se describe a continuación: En vista que en el eje eje de las X se tiene los los valores de Z, desde (Z=0), hasta el extremo de la curva + 3 (Z= 3.99), el valor derecho inferior de la tabla muestra la cifra 0.500 que corresponde justamente al área derecha bajo la curva. Cuando existen valores de Z negativos, negativos, por la propiedad de simetría de la curva, los valores tabulares tabulares son los mismos, pero corresponden al lado izquierdo de la curva. Así los valores de Z puede variar de – 3.99 a + 3.99
PRUEBAS DE HIPÓTESIS HIPÓTESIS (Inferencia estadística) Hemos visto los modelos probabilísticos: distribución de probabilidad. Si suponemos que un modelo probabilístico representa adecuadamente una situación dada, el siguiente paso es concluir usando los datos. Inferir sobre la población usando la muestra.
DEFINICIONES. HIPÓTESIS ESTADÍSTICA.- aseveración sobre un modelo probabilístico. Enunciado respecto a una población estadística (usualmente respecto a los parámetros y 2. Ejemplos: (Enunciados - Hipótesis) a) La altura media del ecuatoriano adulto es 1.74m () b) La longitud media de una cierta marca marca de reglas de 15 cm. es 14.975 cm y la desviación estándar es de 0.05 cm.( y 2). 18
Si queremos probar la validez de tales hipótesis se lleva a cabo un experimento o toma de datos (PRUEBA DE HIPOTESIS). Así, habrían dos caminos posibles: SI, NO. A este problema de decisión de dos caminos, se le llama prueba de hipótesis (método para determinar sobre la probabilidad de esa aseveración usando la muestra como guía). A los caminos se les llama hipótesis nula e hipótesis alternativa.
HIPÓTESIS NULA (Ho). Es la que queremos rechazar o desaprobar y es la que indica que no hay diferencia entre procedimientos. NOTA: la igualdad siempre se pone a la Hipótesis nula (teóricamente mejor). Ho: 1 = 2 = 3 = n Ho: 1.74 La negación, o hipótesis que difiere de una hipótesis nula se llama hipótesis alternativa.
HIPÓTESIS ALTERNATIVA (Ha, H1). Cuando una investigación está dirigida a probar una aseveración, ésta se toma como alterna, su negación será la nula. Ha: 1 2 3 n Ha: 1.74 EJEMPLOS. 1. Los ictiólogos sospechan que debido a la contaminación la longitud de la media del pescado blanco en el río Guayas es menor de 46 centímetros. Si demuestran que esto es verdad, propondrán una legislación para el control de la contaminación. Si la hipótesis es falsa no se tomará ninguna acción.
19
Solución:
Valores de los parámetros
Hipótesis
Proposición por probar
46
Ha
Proposición por rechazar
46
Ho
ERRORES DEL TIPO I Y DEL TIPO II. El objetivo de probar una hipótesis es tomar una decisión, si es posible una que sea corr ecta. Tomamos la decisión de aceptar o rechazar Ho. Si rechazo Ho, acepto Ha y viceversa. Cuando tomamos una decisión acerca de la hipótesis propuesta basados en datos de una muestra, corremos el riesgo de cometer dos tipos de errores. SITUACION REAL Ho ES CIERTA DECISION TOMADA
RECHAZAR Ho NO RECHAZAR Ho
Error tipo I (Probabilidad )
(DESCONOCIDA) Ho ES FALSA
Decisión correcta Error tipo II
Decisión correcta
Probabilidad ()
Debido a que el investigador desea cuantificar la evidencia para rechazar Ho, un concepto importante es la probabilidad de rechazo. En una prueba de hipótesis, el valor máximo o probabilidad máxima con la que se puede cometer un error del tipo I, se llama NIVEL DE SIGNIFICANCIA. En la práctica se acostumbra a utilizar niveles de significancia ( ) del 0.05 ó 0.01, aunque el nivel de significancia que se elija dependerá de la naturaleza del problema. Ejemplo: si escogemos un nivel de significancia del 0.05 ó 5%, para una prueba de hipótesis; entonces hay aprox. 5 ocasiones en 100 en que se rechazaría la hipótesis cuando debería 20
ser aceptada. Es decir se está con un 95% de confianza de que se toma la decisión adecuada.
LA DISTRIBUCION DE t (STUDENT).
Otra de las distribuciones que tienen mayor uso en el análisis de datos provenientes de experimentos científicos es la llamada t de Student. La distribución de t tiene una apariencia similar a la de la normal estándar, y se aproxima más cuando se tiene más g.l. (t tiene más área en las colas que la N (0,1)). Gosset determinó que el uso de la S para predecir no
era confiable para muestras pequeñas. Este autor ideó la estadística t, llamada “t de Student”. x Por definición t s x
s s x
n
En la práctica, esta prueba se aplica para probar la hipótesis nula de que no hay diferencia entre los promedios de dos juegos de muestras: t
X 1
S X 1
X 2
X 2
d
sd
Esta fórmula de t está dada por la diferencia entre medias de tratamientos, dividida por el error típico de la diferencia. En definitiva, la prueba de t resulta un análisis de variancia para dos tratamientos.
PRUEBA DE t PARA OBSERVACIONES PAREADAS. Un caso especial de la prueba de t para dos muestras ocurre cuando las observaciones de las dos poblaciones de interés se colectan en pares. Cada par de observaciones se 21
colectan en condiciones homogéneas, pero estas condiciones pueden cambiar de un par a otro. Esto quiere decir que los miembros de cada pareja son dependi entes uno de otro, pero cada pareja es independiente de todas las otras parejas. Así, podría compararse el porcentaje de aceite obtenido cuando se adicionaron micronutrientes y cuando no, en dos parcelas contiguas en 12 localidades diferentes. La hipótesis nula que se prueba es que la media de la población de diferencias es igual a cero, en otras palabras que los promedios de las dos poblaciones o muestras que se están evaluando son iguales. La hipótesis alternativa es que la media de la población de diferencia, no es igual a cero.
Peso de racimos en Kg por parcela (3 racimos) de dos híbridos de palma. Var A
Var B
A – B = D
D2
65
53
12
144
45
37
8
64
55
46
9
81
89
81
8
64
53
60
-7
49
64
54
10
100
84
89
-5
25
86
74
12
144
52
59
-7
49
32
29
3
9
A = 625
B = 582
D = 43
D2= 729
̅
= 62.5
̅
= 58.2
̅
= 4.3
Ho : A = B Ho : A B
22
D S d
2
2
D
2/ n
n n 1
729 184.9
10 9
544.1 90
6.04
S d 6.04 2.45 g .l . 10 1 9t .05(9 g .l .)
2.262 TABULAR
Este es el valor para una prueba de dos colas. t
d
S d
4.30 / 2.45
1.76 ns CALCULADO
T c t t ns Aceptamos Ho.
El peso de los racimos observado de los dos híbridos de palma es igual. Se revisará el cálculo a través de Excell e INFOSTAT
PRUEBA DE t PARA MUESTRAS INDEPENDIENTES Y VARIANZAS IGUALES. Es un procedimiento estadístico para decidir si las medias de poblaciones normalmente distribuidas son iguales o no, o si la diferencia entre las medias es un valor específico. Se supone que las varianzas desconocidas de estas muestras son las mismas, pero las medias pueden diferir Para observaciones no pareadas aplicamos la misma fórmula para calcular t, pero varían algunos de los cálculos: S d
2
S
Donde:
2
S
n1 n2 n1 xn2
SC ( X 2 )
SC X 1
(n1 1) (n2 1)
SC (X1) = X12 - ( X1)2/n1 y SC (X2) = X22 - ( X2)2/n1
23
Ejemplo: Altura de planta (cm) a los tres meses de edad, con y sin aplicación de microelementos, tomado en plantas de diferentes viveros en la misma plantación. A (sin suplemento)
B ( Con suplemento)
25
48
30
42
28
50
26
38
32
46
35
40
34
Se revisará el cálculo a través de Excell e INFOSTAT.
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL CORRELACIÓN LINEAL. Sus conceptos parecen ser complicados, pero las ideas básicas son tan sencillas que todo el mundo los utiliza en conversaciones diarias. "Cuanto mayor sea la altura, más fuerte será la caída", "Cuanto más haya, mejor" Esto implica dos cantidades variables: la magnitud de una dependiendo de la magnitud de otra (variables independientes (X) y dependientes (Y)). Se simboliza como Y a la variable de mayor interés (dependiente) y como X a la variable independiente o auxiliar. En investigación se tiene el interés de conocer el grado de relación entre dos o más variables. Generalmente se registran tres grupos de variables en ensayos de campo. 1) Tratamientos: Fertilizantes, variedades, control de malezas, etc. 2) Factores ambientales: precipitación, radiación solar, etc.
24
3) Respuesta: características biológicas o físicas que se espera sean afectadas por los tratamientos en estudio. Debido a que en la investigación agrícola el objetivo principal es estudiar el comportamiento de un determinado cultivo en un ambiente específico, las asociaciones de variables que generalmente se estudian son: 1. Asociación entre variables respuesta. 2. Asociación entre respuesta y tratamiento, (Tratamientos, cuantitativos). 3. Asociación entre respuesta y ambiente. Ensayos repetidos: precipitación, luminosidad, etc. Los procedimientos de correlación y regresión pueden clasificarse de acuerdo con el número de variables involucradas y la forma de la relación funcional entre la variable o variables independientes y la dependiente. Ésta clasificación es:
Correlación y regresión lineal simple. Correlación y regresión lineal múltiple. Correlación y regresión no-lineal simple. Correlación y regresión no-lineal múltiple En este curso se revisarán únicamente los procesos de correlación regresión lineal simple.
CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE ( r). Mide el grado de intensidad de asociación entre dos variables, o el grado en que dos variables cambian una con respecto a la otra. 0 = no existe relación alguna. 1 = existe relación perfecta positiva. -1= existe relación perfecta negativa. El diagrama de dispersión de los datos, dentro de los ejes X y Y nos da una idea rápida del grado de asociación entre las variables. 25
Positivo alto
Positivo bajo
r = + 0.8
r = + 0.1
Cero
Negativo medio
Negativo perfecto
r=0
r = - 0.5
r=-1
Positivo perfecto
r=+1
x x x
x
x x x
x x x
Es difícil y riesgoso tratar de interpretar visualmente un valor de correlación; si no se escoge escalas adecuadas (X y Y), se puede esconder una r falsa o una verdadera.
CÁLCULOS. Para establecer el grado de relación entre dos variables, se calcula el coeficiente coeficiente de determinación (r 2) y se determina el % de asociación entre dos variables. Es decir r 2 (100) denota el porcentaje de la variación de Y atribuible a X, el resto no se puede explicar. 26
MÉTODO ESTANDARD O DE PRODUCTO MOMENTO.
( x x ) y y
2
2
r
x x y y 2
2
Cov
xy
xy x y
Var x Var y
Fórmula opcional xy x y/ n x x / n y y 2
2
r
2
2
2
2
/n
Ejemplo: Ofertas y precios de cerdos. Período 1980 - 1989 Año
Cerdos vendidos (millones) Precio por animal (dólares) x y
1980
73
18.0
1981
79
20.0
1982
80
17.8
1983
69
21.4
1984
66
21.6
1985
75
15.0
1986
78
14.4
1987
74
17.8
1988
74
19.6
1989
84
14.1
Hipótesis: Ho = no hay hay correlación entre variables, la relación se debe a casualidad casualidad Ha = hay correlación entre variables.
x = 752
y = 179.7
xy= 13420.40 27
x2 = 56806 r
y2= 3297.53
xy x y x x / n y y 2
2
r
13420.40
2
56804.0 752
r 2 =
2
2
2
752
x179.7
/ 10 3297.53
/n
/ 10
179.7
2
xy x y
2
2
/ 10
(-93.04)2/ (253.6)(68.32)
r 2 = - 0.4996 r = - 0.707 Se mantiene el signo del numerador
SIGNIFICACIÓN ESTADÍSTICA. La significación depende del número de pares de observaciones, mientras mayor es el número, mayor es la probabilidad de obtener significancia (debido n-2). La razón comúnmente presentada para la sustracción de dos, es que se pierde un grado en el cálculo de la media y otro en la regresión. Así como una observación no tiene valor para detectar variabilidad, dos pares no indican nada de la correlación. El valor tabular con 8 grados de libertad y al 5 % de probabilidad es de 0.6319. Por lo tanto como el valor calculado (en valor absoluto) es mayor que el valor tabular, se indica que la asociación entre las dos variables es significativa al 5% de probabilidad. rtab (8 g.l, 0.05) = 0.6319 r c = -0.707*
Se procederá al cálculo en Excell e INFOSTAT.
PROPIEDADES. a.
Independiente del origen de las variables y de la escala.
28
b.
Independiente del número de medidas, aunque se considera que son necesarios por lo menos 20 (30) pares para tener confianza en un valor significativo de r.
c.
Las variables deben ser pareadas por alguna razón lógica.
d.
Las muestras deben ser tomadas al azar.
e.
Se debe tener mucho cuidado al inferir causa y efecto de un coeficiente r significativo.
TRAMPAS.- (OBSERVACIONES). 1.
El nombre completo es coeficiente de correlación lineal simple.
2.
Nada en la definición de correlación implica o indica que la relación entre dos variables sea de tipo causal.
- Una correlación baja no siempre significa ausencia de correlación. r = 0 X
Y
0
0
1
144
2
256
3
336
4
384
5
400
6
384
7
336
8
256
9
144
10
0
X = tiempo en segundos transcurrido después del disparo vertical de una flecha. Y = elevación de la flecha en pies.
Si calculamos r = 0, podríamos estar equivocados si concluimos que no existe relación entre x e y. 29
* La palabra lineal fue igno rada*
La ecuación: Y = 160X - 16X 16X2 da ajuste perfecto (correlación curvilínea) y corresponde a la ecuación de la parábola.
- Una alta correlación no siempre significa una relación de causa efecto. X
Y
295
73
339
78
343
85
344
91
357
100
359
109
368
119
395
125
414
129
406
135
385
142
394
139
404
140
420
147
446
156
En este ejemplo el coeficiente de correlación calculado es de r = 0.937 el cual es alto y podríamos indicar que existe asociación entre las dos variables. Pero cuando observamos cuales son las variables que estamos correlacionando: X = número de cigarrillos consumidos anualmente en EU (miles de millón), entre 1944 y 1958. Y = cifras del índice de producción por hora-hombre en cultivos de heno y forraje durante el mismo período.
30
Se puede observar que no existe una relación lógica lógi ca o de causalidad entre las dos variables, por lo que se puede indicar que el coeficiente mide la relación, pero no indica si ésta es de tipo causal. En este caso se obtiene un coeficiente alto de correlación pero por casualidad.
REGRESIÓN LINEAL SIMPLE La correlación lineal mide el grado de asociación entre dos variables, NO indica sobre la naturaleza de la asociación, ni tiene capacidad de predicción.
ANÁLISIS DE REGRESIÓN: Trata acerca del problema de establecer modelos matemáticos razonables para las relaciones entre las variables bajo estudio y obtener inferencias de ellos.
USOS DE RLS.- En muchas situaciones del quehacer humano y en muchas disciplinas, tales como agronomía, publicidad, administración, etc. Agronomía Agronomía (densidad (densidad de plantas plantas ---> rendimiento) rendimiento) Publicidad (gastos publicidad ---> ventas)
MODELO RLS.Primero, se puede elaborar un diagrama de dispersión de los datos, lo cual ayuda en la búsqueda del modelo más adecuado. En la regresión lineal simple es modelo corresponde al de la línea recta (geometría analítica) : y = a + bx ˆ
y ˆ
= o + 1x
y = + x ˆ
Donde: a ( 0 ó ) = valor de y cuando el valor de x = 0. Ordenada al origen. b ( 1 ó ) = pendiente de la recta, número de unidades que aumenta (o disminuye) y por cada unidad que aumenta x, b puede ser positiva, negativa o cero, entera o fraccionaria. 31
PRUEBA DE SIGNIFICANCIA DE o
1.-
La hipótesis nula a probarse es: Ho = 1 = 0 No existe relación entre las variables y por ende, X no es de utilidad para predecir a Y. Mientras que la hipótesis alternativa: Ha = 1 0 Se calcula un valor de t mediante el cual se acepta o rechaza la hipótesis nula. t b
2
S xy
b S 2 yx / X 2
y
2
xy / x 2
2
n2
INTERPRETACIÓN DE LA ECUACIÓN DE REGRESIÓN ESTIMADA. Interpretación de la ordenada al origen (a, (a ,
o,
).
A un un valor valor de X=0 le correspond corresponde e uno de Y, en este este caso caso la ecuación ecuación se reduce a: Y = a. ˆ
La ordenada al origen (a) no tiene interpretación práctica en muchos problemas. Ejemplo: En un estudio con personas jovenes se relacionaron las variables, X= peso en kilogramos, y Y= estatura en cms. Obteniéndose la siguiente ecuación: Y ˆ
= 125.1 + 0.591 X
Cuando X es es igual a cero (peso = 0 Kg) correspondería a un individuo de 125 cm. cm. De estatura, y esto no es posible. Entonces, ¿En qué condiciones se da una interpretación práctica de a o 0?. En dos condiciones: 1.
Debe ser físicamente posible que X tome el valor de cero.
2.
Deben tenerse suficientes datos alrededor de cero. 32
Otro Ejemplo: X= número de empleados Y= Ventas en cientos de miles de sucres. Y ˆ
= -0.5892 + 0.4159X
Y = ˆ
-0.5892 Esto no es razonable, pero se podría tener valores cercanos a cero para
realizar una buena estimación.
INTERPRETACION DEL ESTIMADOS DE LA PENDIENTE O COEFICIENTE DE REGRESION ( 1 ó b).Hay que tener en cuenta las características del fenómeno que se estudia. (interpretación matemática insuficiente). Volvamos al ejemplo pesos en Kg (X) y estatura en cm (Y). Y ˆ
= 125.1 + 0.591X
Se diría que al incrementar un kg de peso corresponde un incremento de 0.591 cm. Entonces, un hombre puede comer hasta 126.9 Kg, para así llegar a medir 2 metros. Esto es una interpretación absurda, que recalca los errores que se cometen. Además falta causalidad peso-estatura y pensar en un solo individuo. Lo correcto sería decir que individuos de poblaciones con una diferencia de 1 kg en promedio difieren en estatura por 0.591 cm.
ANALISIS DE VARIANZA DE LA REGRESIÓN. Su utilidad radica en que nos permite comprender con mayor profundidad el análisis de regresión. Se basa en: yi y ( yi yi ) ( yi y) ˆ
ˆ
Desviación total: Desviación debida al error + desviación debida a la regresión. 33
Desviación del error: Error que se comete al ajustar una recta a puntos que están sobre ella.
Desviación debido a la regresión: Depende de 1 (a mayor pendiente, mayor valor absoluto de Yi – Y). Por eso se llama desviación debido a la regresión. CME ó s 2e: es de mucha importancia debido a que la confiabilidad de los estimadores 0 y
1 y Y disminuyen a medida que aumenta el CME. S 2e depende de las unidades de medición y por lo tanto es inútil tratar de comparar dos situaciones. Se puede analizar el coeficiente de variación de Y,CV (Y). CV
Se / Y
S2e depende de dos factores: 1. Fenómeno tiene muchas variables 2 grande 2. Modelo empleado no es el apropiado.
S2e (CME) se usa para comparar dos modelos de regresión. Para comparar la precisión de ajuste.
EJEMPLOS: Pesos (X) y estaturas (Y): Y 161.3; Se = 5.087; C. V. (Y) = 0.0315
Humedad consumida (X) y pérdida esperada (Y): Y 1612.5143; Se = 523.4685; C. V. (Y) = 0.3246
Número de empleados (X) y ventas semanales (Y): Y 11.3333; Se = 1.1947; C. V. (Y) = 0.1054
Tiempo de exposición (X) y porcentaje de bacilos sobrevivientes (Y): Y 13.6798; Se = 26.8574; C. V. (Y) = 1.9633
34
ERRORES COMUNES EN LOS ANÁLISIS DE CORRELACIÓN Y REGRESIÓN EN INVESTIGACIÓN AGRÍCOLA. I. Relación impropia entre datos y objetivos. Ejemplo: Influencia de la infestación del picudo Rhynchophorus palmarum sobre el peso del fruto. Posibles fuentes de datos: A. Rendimiento e incidencia del picudo obtenida de varias fuentes secundarias, experimentos propios y de otros realizados para otros propósitos. B. Incidencia y rendimiento tomados de un muestreo en diferentes sitios y en uno o más campos de agricultores. C. Rendimiento e incidencia de varias subparcelas generadas de una gran parcela. En toda el área crece el híbrido HNN34 con manejo uniforme y sin aplicación de insecticida. D. Rendimiento e incidencia tomados de Unidades experimentales (UE) en un ensayo con repeticiones con diferentes medios de control del insecto. E. Rendimiento e incidencia de UE en donde los tratamientos son la variación del número de picudos por planta o por unidad de área. La correlación y regresión aplicables a todas las situaciones, pero el nivel de exactitud, estimación de la curva de regresión y la interpretación variarán notablemente de uno a otro caso. La exactitud variaría así: A < B < C < D < E; mientras que la complejidad de análisis y de interpretación: A > B > C > D > E
PUNTOS IMPORTANTES: 1.
El escoger la fuente de datos para la aplicación de la correlación y regresión es crítica (Y más crítica en interpretación.)
Las consideraciones a tomar en cuenta son: -
Exactitud de los resultados y costo estimado (tiempo y dinero) se deben balancear ambos). 35
-
Tener una mayor exactitud en estudios preliminares.
2.
Examinar críticamente la fuente de datos y la identificación de los posibles factores que puedan afectar los resultados e interpretación es esencial.
II. Amplia generalización de los resultados Uno de los errores más comunes es el de generalizar la cobertura de la relación funcional o asociación de 2 variables, más allá del alcance de los datos donde se fue aplicado el análisis. No se debe extrapolar los resultados fuera del rango de X. Ejemplo: Si se aplica entre 0 a 90 kg N, no debe extrapolar los resultados más allá de los 90 kg. Otra área propensa a la generalización es la identificación de métodos substitutos para medir alguna característica. Ejemplo: Peso de mazorca en maíz por rendimiento de grano; justificación altamente correlacionados y fácil de tomarlo. Siempre hay pérdida de información en proporción (1-r 2) Aún cuando se piense que la substitución es válida y racional, casi siempre se cometen 2 tipos de errores. -
Los resultados de un coeficiente de RLS obtenido de un grupo de datos es extendido para cubrir todo tipo de datos. Ej: Substitución de variable buena para ensayos de variedades, no aplicable a ensayos fertilización, etc.
-
El coeficiente de correlación lineal simple para método substituto debe ser estimado de datos con amplio rango. Ej: En el caso de la substitución de peso de mazorca, determinado de una muestra grande de razas maíz de Ecuador y n o solo de un grupo de variedades promisorias.
Para evitar los errores los resultados se deben presentar con la siguiente información: Rango de variables independientes; coeficiente de correlación o el r 2 con significancia; tamaño de muestra; fuente de datos y representación gráfica. 36
III. Mala interpretación de los análisis de regresión y correlación. Causa y efecto (ya descrito en análisis de correlación) La no significancia de r no significa falta de relación funcional (sólo lineal)
37
DÍSÉÑ OS ÉXPÉRÍMÉÑTALÉS
INTRODUCCIÓN
En la sección anterior se comentó que la agronomía está muy lejos de ser una ciencia exacta. Es tal el número de factores diferentes que influyen en el resultado final de la producción agrícola, que es muy difícil predecir los hechos cuando uno los cambia; por lo tanto los problemas agronómicos se tienen que resolver por la vía experimental. Las respuestas que formulan los técnicos o investigadores a esos problemas están generalmente en términos de hipótesis, las cuales deben ser verificadas o d esaprobadas a través de la experimentación. Estas hipótesis están usualmente sugeridas o derivadas de experiencias pasadas, observaciones y, algunas veces, por consideraciones teóricas.
EL MÉTODO CIENTÍFICO. El objetivo de la ciencia es lograr una descripción, explicación y predicción de los procesos o fenómenos naturales. Es conocido que los investigadores utilizan el método científico dentro de su trabajo diario y que generalmente contiene los siguientes elementos: Enunciado del problema Revisión de hechos y teorías Formulación de hipótesis Diseño del experimento Conducción del experimento Análisis de los datos e interpretación de resultados Publicación o divulgación de los resultados
EXPERIMENTO. Es un ensayo destinado a probar la validez de la hipótesis propuesta. El experi mento es un instrumento de investigación e importante paso del método científico, es utilizado para 38
descubrir algo desconocido o para probar un principio o una hipótesis. Para diseñar correctamente los experimentos, se requiere principalmente, de un conocimiento del cultivo y de las técnicas experimentales.
CARACTERÍSTICAS DE UN EXPERIMENTO BIEN PLANEADO. 1. Simplicidad.- La selección de los tratamientos y su disposición experimental deben hacerse del modo más simple posible y ser consistentes con los objetivos del experimento. 2. Grado de precisión.- Debe haber gran probabilidad de que el experimento sea capaz de medir diferencias de tratamientos, con los grados de precisión deseados por el experimentador. 3. Ausencia de errores sistemáticos.- Se debe planear el experimento para asegurar que las unidades experimentales que reciban un tratamiento, no difieran sistemáticamente de aquellas que reciben otro tratamiento, de modo que se pueda obtener una estimación imparcial del efecto de cada tratamiento. 4. Rango de validez de las conclusiones.- Las conclusiones deben tener un grado de validez tan amplio como sea posible. Un experimento repetido en tiempo y espacio incrementa el rango de validez de las conclusiones que se obtengan del mismo. 5. Cálculo del grado de incertidumbre.- En cualquier experimento existe siempre algún grado de incertidumbre en cuanto a la validez de las conclusiones. Un experimento debe ser concebido de modo que resulte posible calcular la probabilidad de obtener los resultados observados, debidos únicamente al azar.
39
PROCEDIMIENTOS PARA LA EXPERIMENTACIÓN
En la planeación y la conducción de un experimento, existe un gran número de consideraciones que deben analizarse cuidadosamente para obtener los resultados deseados. Algunos de los pasos más importantes son:
Definición del problema.- El primer paso en la resolución de un problema consiste en establecer clara y concisamente el problema que se está tratando. Si el proble ma no puede definirse, hay muy pocas probabilidades de que sea resuelto.
Determinación de objetivos.- Los objetivos deben redactarse en términos precisos y evitar la vaguedad o exceso de ambigüedad de los planteamientos.
Análisis crítico del problema y de los objetivos.- Los objetivos del experimento son realmente importantes para la solución del problema. La selección de un procedimiento o metodología para la investigación depende, en gran medida, del objeto en estudio, así como de los objetivos planteados.
Selección de tratamientos.- Parte del éxito que se logre con un experimento depende de la cuidadosa selección de los tratamientos, su evaluación debe responder las preguntas planteadas por el investigador y alcanzar los objetivos propuestos.
Selección del material experimental.- En la selección del material experimental, se deben considerar los objetivos del experimento y la población sobre la cual se harán las inferencias. El material utilizado debe ser representativo de la población sobre la cual se desea probar los tratamientos.
Selección del diseño experimental.-
Nuevamente, aquí es importante hacer una
consideración de los objetivos; pero una regla general podría ser elegir el diseño más simple que parece brindar la precisión requerida.
Selección de la unidad de observación y del número de repeticiones.- El tamaño de la parcela y el número de repeticiones deben ser elegidos, para obtener la precisión requerida en la estimación de los tratamientos.
40
Control de los efectos entre unidades adyacentes.- Esto suele llevarse a cabo a través de la utilización de bordes o callejones de demarcación y mediante la asignación al azar de los tratamientos.
Consideraciones acerca de los datos que se van a recabar .- Los datos obtenidos deben medir apropiadamente los efectos del tratamiento, de acuerdo con los objetivos del experimento.
Esquema del análisis estadístico.- En el análisis de variancia, deben indicarse las fuentes de variación y los grados de libertad asociados y las diversas pruebas F que se planean.
Conducción del experimento.- En la conducción del experimento, deben utilizarse procedimientos libres de sesgos personales o favoritismos. Algunos aspectos generales como evitar la fatiga en el acopio de una gran cantidad de datos, comprobar inmediatamente las observaciones que parecen fuera de lugar y organizar la recolección de datos, entre otros; pueden facilitar el análisis y evitar algunos errores que pueden cometerse en esta etapa.
Análisis de los datos e interpretación de los resultados .- Todos los datos deben analizarse tal como fueron planeados, los resultados se deben interpretar a la luz de las condiciones experimentales; se comprobará la hipótesis y deberá definirse la relación de los resultados con hechos previamente establecidos.
Elaboración de un completo, legible y correcto informe de la investigación .- El informe de la investigación debe redactarse en forma clara y precisa, indicando todos los pasos seguidos y resultados alcanzados, siguiendo las normas exigidas para su publicación. Nótese que la mayoría de los pasos anteriores no son estadísticos; sin embargo, el análisis estadístico constituye una parte importante de la experimentación. La Estadística y Diseños Experimentales ayudan al investigador a concebir un experimento y a evaluar objetivamente los datos numéricos resultantes.
41
ALGUNAS DEFINICIONES DISEÑO EXPERIMENTAL. Conjunto de teorías matemáticas
y de métodos de análisis, que permite a los
investigadores probar las hipótesis que se plantean. Consiste en una secuencia de pasos que el investigador debe tomar para asegurar que se van a obtener los datos apropiados, de tal forma que se les pueda hacer un análisis objetivo que conduzca a deducciones válidas, con respecto al problema establecido
FACTOR. Es una variable independiente que será estudiada en una investigación y está bajo el control del investigador. Ejemplo: dosis de nitrógeno. Los factores pueden ser cuantitativos (dosis de nitrógeno) o cualitativos (variedades, herbicidas, etc.).
NIVELES DE UN FACTOR. Son los diferentes niveles o categorías que toma un factor, Ejemplo: para el factor dosis de nitrógeno se pueden evaluar 100, 150 y 200 Kg/ha. La Simbología aplicada es: Factor A: Dosis de nitrógeno a1 = 100 kg/ha a2 = 150 kg/ha a3 = 200 kg/ha
TRATAMIENTOS. Conjunto particular de condiciones experimentales que se aplican a una parcela, de acuerdo al diseño seleccionado. En experimentos con un solo factor, el número de tratamientos es igual al número de niveles del factor. En experimentos factoriales los tratamientos se forman por la combinación de los niveles de dos o más factores, Ejemplos: 42
CON UN SOLO FACTOR. Factor A: Dosis de nitrógeno Niveles
Tratamiento
a1 = 100 kg/ha
T1 = 100 kg/ha
a2 = 150 kg/ha
T2 = 150 kg/ha
a3 = 200 kg/ha
T3 = 200 kg/ha
CON DOS FACTORES. Factor A: Variedades de caña Niveles
Factor B: Dosis de nitrógeno Niveles
a1 = Ragnar
b1 = 100 kg/ha
a2 = PR 67-1070
b2 = 150 kg/ha
a3 = C 128-83
b3 = 200 kg/ha
a4 = CC 85-92
Tratamientos : T1= a1b1
T5= a2b2
T9 = a3b3
T2= a1b2
T6= a2b3
T10= a4b1
T3= a1b3
T7= a3b1
T11= a4b2
T4= a2b1
T8=a3b2
T12= a4b3
UNIDAD EXPERIMENTAL (UE). Unidad a la que se aplica un solo tratamiento, dentro de una repetición o bloque del experimento. La unidad puede ser una parcela de terreno, un animal, una hoja, un árbol, una maceta, etc. Se debe tomar en cuenta la forma y tamaño de la U.E. En cuanto al tamaño ya se conoce el más adecuado para cada área de investigación, pero en nuevas temáticas 43
es necesario determinar su tamaño. Así, en fitomejoramiento se utilizan de 1 a 6 surcos de 5 a 10 m. de longitud, mientras que en fertilización se pueden utilizar de 5 a 10 surcos de hasta 15 m.
En investigaciones de labranza o riegos las parcelas son mucho más grandes y pueden ser de 400 a 500 m2. En resumen, el tamaño de la parcela deberá ser aquella que permita medir correctamente y eficientemente el efecto de los tratamientos y además debe permitir eliminar el efecto de borde, que es la influencia positiva o negativa producida por algún factor extraño como los tratamientos vecinos, temperatura, caminos, etc.; como consecuencia de aquello se debe establecer la parcela o unidad experimental útil o neta.
En lo que se refiere a la forma, por regla general la parcela experimental debe ser rectangular pero cuando se tiene o supone que el terreno a utilizarse para el ensayo es muy variable, la parcela debe ser lo más cuadrada posible.
UNIDADES EXPERIMENTALES HOMOGÉNEAS. Dos U.E. son homogéneas si tienen la misma capacidad de respuesta a un mismo tratamiento. (homogeneidad es diferente a igualdad).
VARIABLE. Es una característica medida en una unidad experimental. Son las variables dependientes en el experimento a través de la cual se mide el efecto de los tratamientos, también se la conoce como variable respuesta. Ejemplo: altura de planta, incidencia de roya, producción, etc.
EFECTO. Los efectos de un factor son medidos en el cambio en respuesta producidos por la variación en los niveles de un factor. Diferencia en respuesta entre niveles. 44
CLASES DE EXPERIMENTOS
Existen diferentes clasificaciones para determinar las clases de experimentos, sin embargo una clasificación práctica podría ser la siguiente: Experimentos preliminares, simples, factoriales y regionales.
EXPERIMENTOS PRELIMINARES. El investigador empieza con un gran número de tratamientos, los que le darán una pauta para el trabajo futuro. Así, un fitomejorador inicia su trabajo con miles de líneas o clones, de los cuales se seleccionarán una a tres como nuevas variedades. En fertilización, se combina en un experimento factorial múltiples tratamientos, para luego reducirlos a unos pocos con los que se siguen las evaluaciones. Estos experimentos son los más sencillos en cuanto a la planificación y en muchas ocasiones no se requiere de un análisis estadístico complicado.
EXPERIMENTOS SIMPLES. Se utilizan cuando se analizan factores independientes, ejemplo: investigaciones sobre riego, fertilización o variedades, cada factor es estudiado por separado en diferentes ensayos. Si bien estos experimentos requieren una mayor complejidad en la planificación que el tipo anterior, sin embargo los análisis estadísticos son simples aunque ya se utilizan diseños experimentales.
EXPERIMENTOS FACTORIALES. Son aquellos en que se evalúan dos o más factores y permiten obtener información de cada uno de los factores y de la interacción entre ellos. Reflejan en mejor forma que los experimentos simples la realidad de la muestra o población en estudio. Requieren de una mayor planificación que los tipos anteriores y los análisis estadísticos son más complicados.
45
ENSAYOS REGIONALES. Son aquellos que utiliza el investigador para confirmar los resultados obtenidos en la estación o granja experimental. Para tener confianza en los resultados y ampliar el alcance de las inferencias es necesario repetir el ensayo en diferentes lugares, sobre distintos suelos y en condiciones climáticas variables. Se establecen los ensayos en localidades representativas de grandes zonas, a la que se espera beneficiar con la nueva tecnología o práctica agropecuaria.
LA NECESIDAD DE UN DISEÑO EXPERIMENTAL Se demostrará con un ejemplo: Un especialista de suelos desea probar el efecto de diferentes dosis de fertilización en el cultivo de palma. El problema general es la selección de un diseño en particular, sin embargo las siguientes preguntas pueden ayudarle: 1.
Cuáles de esos factores se estudiarán en esta investigación?. Los más relevantes al problema. Nitrógeno, Fósforo y Potasio.
2.
Cómo se va a medir el efecto de la dosis? Es decir, cuales son las características de la palma que se va a analizar? Altura de planta, diámetro de tallo, producción, etc.
3.
Qué factores afectan a las características que se van a analizar? Ejemplo: la producción puede verse afectada por: la textura de suelo, plagas y enfermedades, etc.
Las respuestas a estas interrogantes determinarán la selección de un determinado diseño experimental, lo cual es materia de esta cátedra.
ERROR EXPERIMENTAL (E.E.). Si dos unidades experimentales homogéneas reciben un mismo tratamiento y producen respuestas o mediciones diferentes, a la diferencia se le llama error e xperimental. El término 46
error no es sinónimo de equivocación, sino que incluye todos los tipos de variación extraña, que puede ser de dos fuentes:
1. Variación inherente al material experimental al cual se aplican los tratamientos como: heterogeneidad del suelo, constitución genética, competencia, etc.
2. Falta de uniformidad en la conducción física del experimento, en cuanto a cualquier factor de manejo: labranza, densidad, riegos, errores de observación, errores de medición, etc. Los diseños experimentales tienen como objetivo disminuir el error experimental y estimarlo lo más preciso; mientras más pequeño sea éste, más precisa será la estimación de los efectos de los tratamientos y se obtendrán resultados confiables. Ejemplo:
CR 74250
725 kg
Unidades experimentales homogéneas 60 m2
CR 74250
710 kg
Error Experimental = 725 – 710 = 15 kg CR 74250
725 kg
Unidades experimentales homogéneas 60 m2
Ragnar
690 kg
725 – 690 = 35 Kg = Error Experimental + Efecto de tratamientos
47
PRINCIPIOS BÁSICOS DEL DISEÑO EXPERIMENTAL Se han establecido tres principios básicos:
REPETICIÓN. Significa que un tratamiento se prueba dos o más veces en las unidades experimentales. Su función es suministrar una estimación del error experimental y brindar una medición más precisa de los efectos de tratamiento, incrementar el alcance de las inferencias y ayudara a controlar el error experimental.
ALEATORIZACIÓN O MUESTREO ALEATORIO.Es la asignación al azar de tratamientos a las unidades experimentales, de modo que todas las U.E. tengan iguales probabilidades de recibir un tratamiento. Su función es asegurar estimaciones imparciales de medias de tratamientos y del error experimental. Para su implementación pueden utilizarse tablas, calculadoras, fichas, computadora, etc.; este procedimiento debe realizarse de tal forma que no influya el criterio del investigador en la asignación de los tratamientos a las parcelas.
A B
A
A
A
A
A
B
B
B
B
B
Gradiente de fertilidad
Si existiese gradiente de fertilidad o un manejo desigual (ejemplo riegos) y si no se sortean los tratamientos, uno de ellos se encontrará en mejores condiciones o estaría en ventajas sobre el otro .
A
B
B
A
B
A
B
A
A
B
A
B
Disposición adecuada de los tratamientos (después del sorteo).
48
CONTROL LOCAL. Se refiere a la cantidad de balanceo, bloques y agrupamiento de las U.E. que se emplean en un diseño experimental. Ejemplo: en el Diseño de Bloques Completos Al Azar, los tratamientos son agrupados en bloques que se espera tengan un desempeño diferente, pero dentro de cada bloque las unidades experimentales deben ser homogéneas.
CONTROL DEL ERROR
Debido a que la habilidad para detectar las diferencias existentes entre tratamientos crece cuando el tamaño o medida del error experimental decrece, un buen diseño experimental incorpora todas las medidas posibles para minimizar el error experimental. Las técnicas más comunes son:
BLOQUEAMIENTO. Dependiendo del tipo de diseño utilizado, los tratamientos se agrupan en conjuntos de unidades experimentales homogéneas (bloques o subbloques), para que la medición del efecto de tratamientos sea más preciso
UNIFORMIDAD DE LAS UNIDADES EXPERIMENTALES. Para casi todos los experimentos, es esencial que todos los demás factores que no se han considerado en los tratamientos se mantengan uniformes para todas las U.E. Ejemplo: En el ensayo de variedades, se debe mantener uniforme la fertilización, control de plagas, población, etc.
ANÁLISIS DE DATOS. En los casos en que el bloqueamiento no es suficiente para realizar un adecuado control del error experimental, el escoger un análisis de datos adecuado puede ayudar 49
grandemente. Ejemplo: covarianza (tomando otros caracteres adicionales). En un ensayo de variedades que presentó problemas en la germinación, se podría utilizar la población como covariable para el cálculo de producción.
INTERPRETACIÓN ADECUADA DE LOS RESULTADOS . Debe tenerse muy en cuenta los límites de aplicabilidad y generalización de los resultados. Estos son estrictamente aplicables cuando las condiciones sean similares a la del experimento. Ejemplo: variedades mejoradas que se comportan bien en las estaciones experimentales pero que en otros campos pueden comportarse de manera diferente.
MÉTODOS PARA INCREMENTAR LA PRECISIÓN (EXACTITUD) Los términos precisión y exactitud suelen emplearse como sinónimos, aunque en estadística tengan significados ligeramente distintos. Exactitud se refiere a la proximidad con que puede hacerse una medición en particular comparando con la real; mientras que,
precisión se refiere a la magnitud de la diferencia entre 2 tratamientos que un experimento es capaz de detectar. Ejemplo: Pesos de niños en una báscula que tiene un sesgo de 0.5 kg. Así, si un niño tiene un peso verdadero o real de 23 kg, las pesadas repetidas darán alrededor de 23.5 kg (promedio).
Exactitud .- es la cercanía con la cual la medición se aproxima al peso verdadero de 23 Kg. Precisión.- es la cercanía con la cual la medición se aproxima al promedio de 23.5 kg, de una serie de medidas hechas en condiciones similares. A mayor sesgo, alta precisión pero baja exactitud. Por simplicidad se toman como idénticos. Los métodos para mejorar la precisión son:
INCREMENTO DEL NÚMERO DE REPETICIONES. La precisión de un experimento puede incrementarse mediante el incremento del número de repeticiones. No existe una regla fácil de determinar el número adecuado de repeticiones pero podemos tomar en cuenta algunos factores en su determinación. 50
Precisión.- Incrementa cuando se incrementa el número de repeticiones (se tienen más grados de libertad en el error experimental).
Naturaleza del material experimental.- a mayor variabilidad del material experimental (suelos, genética) se debe aumentar el número de repeticiones.
Recursos disponibles.- Se debe tomar en cuenta el tamaño del ensayo y los recursos disponibles.
Número de tratamientos y tipos de diseño.- De acuerdo al punto anterior y al control local que ejerza el diseño. Las repeticiones de los tratamientos no solo deben hacerse en el sitio experimental, sino que pueden hacerse en diferentes localidades, se pueden repetir un grupo de tratamientos (una repetición completa), sino todo el experimento. Además, las repeticiones pueden ser en diferentes épocas del año o en diferentes años. En forma general se utilizan de 4 a 6 repeticiones con límites de 2 y 10. En cultivos perennes, por razones de costo, es difícil establecer experimentos con mas de cuatro repeticiones
SELECCIÓN DE TRATAMIENTOS. Tiene gran importancia en la precisión de un experimento. Ejemplo: Se puede incrementar la precisión al probar más de un factor. En lugar de diseñar un e xperimento por factor, puede realizarse con dos factores, fertilización y densidad, y se obtiene información de los factores individuales y de la interacción de los dos.
REFINAMIENTO DE LA TÉCNICA. La técnica es responsabilidad del experimentador, quien debe asegurar su precisión, especialmente en los siguientes puntos:
Asegurar uniformidad en la aplicación de los tratamientos. En las aspersiones, se debe aplicar correctamente a cada U.E. la dosis adecuada o prevista en el tratamiento, o un control de los factores internos como la aplicación de riegos, insecticidas, etc.
51
Proyectar medidas convincentes y no sesgadas de los efectos de los tratamientos. Algunas veces el desarrollo de un método satisfactorio de medida, requiere años de investigación. Ejemplo: La estandarización de técnicas para aplicar marcadores moleculares en una determinada especie.
Ausencia de errores sistemáticos. Periódicamente se debe calibrar los aparatos de lectura, vigilar el trabajo de asistentes y cotejar mediciones (Caso de calificaciones).
SELECCIÓN DEL MATERIAL EXPERIMENTAL. Para ciertos tipos de estudio resulta deseable un material uniforme y cuidadosamente seleccionado; sin embargo, en la selección debe tenerse en mente la población acerca de la cual deseamos hacer inferencias. Es importante usar el material que se empleará en la producción real. Ejemplo. En un ensayo de fertilización se debe usar el material o variedad más cultivada de la zona.
CONDUCCIÓN DEL EXPERIMENTO La ejecución de las operaciones de campo comprende el desarrollo y la aplicación sobre el terreno de la planificación, en esta etapa se debe tomar todas las precauciones necesarias para asegurarse la perfección del trabajo a fin de evitar influencias extrañas.
En todo experimento agronómico, al medir el rendimiento o la calidad de los distintos tratamientos sometidos a la experimentación, se observa una variación más o menos intensa; esta variación está integrada por variaciones parciales, debidas a diversas causas, que pueden clasificarse en dos grupos: Las variaciones pertinentes y las variaciones no pertinentes. a). Son variaciones pertinentes las ocasionadas exclusivamente por el elemento o tratamiento sometido a evaluación.
52
b). Son variaciones no pertinentes las determinadas por causas ajenas al tratamiento en estudio, las cuales vienen a interferir con las variaciones pertinentes y a enmascarar su intensidad, intensificando o atenuando las diferencias entre los distintos tratamientos.
Como se indicó anteriormente, son muchos los factores que influyen en el resultado final de un experimento agronómico, por lo que es esencial dar a los tratamientos del ensayo condiciones muy similares. Por ejemplo: si se trata de determinar cuál es la mejor variedad para una región determinada, cada parcela debe ir sembrada con semilla de una variedad, y todas las demás condiciones: suelo, fecha de siembra, intensidad y fecha de los riegos, labores culturales, etc., deben ser exactamente las mismas para todas las parcelas, si se quiere que las diferencias de rendimiento entre unas y otras se deban exclusivamente a la variedad que se haya sembrado en ellas, en este caso, lo único que debe variar de una parcela a otra, en las condiciones que intervienen en el experimento, es la variedad. Si, por el contrario, se desea determinar la densidad de siembra, estando sometidas todas ellas a los mismos riegos, idénticos abonos, iguales labores, las parcelas deben ser sembradas todas con la misma variedad. Una gran parte del éxito de una experiencia agrícola, se debe al grado de uniformidad que se haya logrado obtener en aquellos factores ajenos al que es objeto de experimentación.
Es indispensable atender de un modo minucioso a todos los detalles prácticos de la ejecución del trabajo, asegurándose de que el tamaño de las parcelas es el previsto, las semillas son las elegidas, sin que haya sustituciones o confusiones, las labores se realicen oportunamente y con la perfección y uniformidad requeridas, los aparatos de peso y medida de las cosechas o los destinados a determinar su calidad funcionen correctamente y las anotaciones de las observaciones y resultados sean las debidas. Esta precisión exige la colaboración de técnicos y obreros sumamente hábiles e identificados con el trabajo que se está realizando y al mismo tiempo, una supervisión permanente del técnico a cargo del ensayo o experimento; ambas exigencias hacen que la experimentación agrícola sea en general costosa, pero permitirán sacar conclusiones y ofrecer reco mendaciones con un alto grado de probabilidad que estos se repitan al aplicarse en forma comercial. 53
Otros aspectos que se deben tomar en cuenta en la conducción del experimento, son que los investigadores deben aplicar procedimientos libres de riesgos personales o favoritismos, por lo que es necesario tomar ciertas precauciones en la identificación de los tratamientos o parcelas, para que la evaluación sea lo más imparcial. De igual manera, debe tomarse en consideración la calificación de algunas variables con escalas subjetivas, para lo cual se deberá solicitar el apoyo de otros técnicos y definir una calificación promedio.
En la recolección de los datos debe evitarse el cansancio por el acopio de una gran cantidad de datos, que evita que se produzcan errores. Además, debe organizarse la recolección de los datos que eviten esos errores y faciliten la tabulación y análisis de la información. Cuando sea necesario copiar los datos de un libro a otro, deben comprobarse que s e hayan copiado los números en forma exacta. Cuando se observan anotaciones que aparecen fuera de lugar, se deben comprobar en las parcelas donde se obtuvieron esos datos.
Todas estas consideraciones demuestran la importancia de los problemas que tiene que resolver el experimentador agrícola, para obtener conclusiones valederas y justifican la necesidad de utilizar técnicas especiales y relativamente complejas, para la realización de los experimentos de campo.
ANÁLISIS DE VARIANCIA Si estudiamos la variación de un grupo de tratamientos, la variación total obs ervada será el resultado de la variación entre los tratamientos en evaluación, la variación por la agrupación de tratamientos (de acuerdo al diseño utilizado) y la variación del error experimental.
Este análisis que se llama análisis de variancia (ADEVA, ANDEVA, ANAVA o ANOVA) fue introducido por Ronald Fisher y es en esencia un procedimiento aritmético que consiste en desdoblar la variación total (suma de cuadrados totales) en fuentes de variación conocidas, incluyendo la variación proveniente de la variabilidad inherente del 54
material experimental, de la falta de homogeneidad en el manejo o del ambiente en que se realizó el experimento y que se lo conoce como error experimental. Así, en un diseño de Bloques Completos al Azar, la variación total se desdobla en aquellas provenientes de la agrupación de los tratamientos en bloques o repeticiones, la variación causada por los tratamientos y la variación del error experimental. El empleo del ADEVA se ha generalizado extensamente para la interpretación de los resultados de los experimentos agrícolas y de diversos estudios biológicos y en otros campos de la investigación, por ser el método más preciso, más flexible y de más fácil aplicación de los que puedan utilizarse para este fin.
REQUISITOS DEL ANÁLISIS DE VARIANCIA La aplicación de un procedimiento estadístico, dentro de una investigación, es apropiada y eficiente únicamente cuando los datos cumpl en ciertos requisitos, los mismos que son: Independencia de los errores experimentales, Normalidad de las variancias, Homogeneidad de las variancias y Aditividad de los efectos.
INDEPENDENCIA DE LOS ERRORES EXPERIMENTALES. Esto requiere que el error de una observación no esté relacionado o dependa de otra. Este requisito es asegurado con un uso adecuado del sorteo, los tratamientos deben ser asignados al azar a las unidades experimentales. Una manera simple de detectar la no independencia de los errores es revisar el plano del experimento y observar si hay un patrón de arreglo sistemático de los tratamientos de una repetición a otra.
NORMALIDAD DE LAS VARIANCIAS. El procedimiento del análisis de la variancia es aplicable cuando los datos que se toman provienen de variables que se distribuyen normalmente, de no ser así, las variaciones de los errores experimentales pueden ser demasiado grandes o pequeñas, lo que da lugar a que se podría rechazar un experimento en el primer caso o se podría aceptar una investigación en el segundo caso, lo cual conduciría a un sesgo en la información 55
deseada. El procedimiento más simple para averiguar si los datos se distribuyen o no normalmente es graficar y establecer la similitud con relación a la curv a de Gaus. En caso de que no se distribuya normalmente, previo al análisis de la variancia hay que utilizar transformaciones de datos.
HOMOGENEIDAD DE LAS VARIANCIAS. Otro requisito básico para el análisis de variancia es que los tratamientos escogidos provengan de poblaciones de igual variancia, aún cuando sus medias poblacionales sean diferentes. Cuando se considere que no hay homogeneidad en una investigación o que no provenga de poblaciones con igual variancia, los datos previos al análisis deben ser revisados utilizando la prueba de Barlett, con el afán de homogenizar las variancias.
ADITIVIDAD DE LOS EFECTOS. Para la realización del análisis de variancia, se hace necesario que los tratamientos investigados y los efectos medio ambientales sean aditivos, o sea que los efectos de los tratamientos deben ser iguales en cualquier sitio de la investigación; en otras palabras, que el efecto de los tratamientos y de las repeticiones no interaccionen. La presencia de la no aditividad hace crecer el error experimental. Si se sospecha que los datos no cumplen este requisito previo al análisis de variancia se debe utilizar la prueba de aditividad de Tukey.
Ejemplo: Repeticiones
Tratamientos
Efecto de tratamiento
T1
T2
I
180
160
20
(180 – 160)
II
120
100
20
(120 – 100)
Efecto de
60
60
Repetición
(180 – 120)
(160 – 100)
56
COMPONENTES DEL ANÁLISIS DE VARIANCIA FUENTES DE VARIACIÓN. Como ya se indicó anteriormente, el ADEVA permite desdoblar la variación total observada en el experimento en diferentes fuentes, como la variación debido a las repeticiones, a los tratamientos y al error experimental; a éstos se les denomina fuentes de variación.
GRADOS DE LIBERTAD. Fisher introdujo en el proceso de análisis de variancia el concepto de grados de libertad o de independencia, que se aplica a otros tipos de estudios estadísticos. Se llama grados de libertad al número de comparaciones independientes menos uno, que puedan hacerse de un grupo de datos. Así, cuando se trata de la su ma de cuadrados de las desviaciones de cierto número de observaciones respecto a su media aritmética, el número de grados de libertad es igual a n-1. Este número se justifica fácilmente, si se determina la media aritmética de n observaciones, la suma de las n desviaciones respecto a la media debe valer cero, , por lo tanto determinadas n-1 de esas desviaciones, la i 0
restante queda determinada automáticamente para que la suma pueda ser nula, es decir solo pueden variar libremente n-1 desviaciones, y una vez calculadas, la restante viene impuesta por los valores que tomaron las otras.
Ejemplo: Para un experimento de cinco variedades con cuatro repeticiones que tiene un total de 20 parcelas, los grados de libertad del total serán, 20 - 1 = 19, los grados de libertad para las variedades serán 5 - 1 = 4 y para repeticiones 4 - 1 = 3.
SUMA DE CUADRADOS Y CUADRADOS MEDIOS. Mediante el análisis de variancia se determinan las variancias o más precisamente los cuadrados medios de las denominadas fuentes de variación. Cuadrado medio es el
57
cociente que resulta de dividir la suma de cuadrados para el número de grados de libertad.
ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS. Una de las maneras más comunes para organizar los datos de un experimento es empleando las tablas de doble entrada de acuerdo a dos criterios de clasificación, de la siguiente manera:
Repeticiones
Σ Rep.
Tratamientos
1
2
3
. .
t
1
x11
x21
x31
xt1
Σx.1
2
x12
x22
x32
xt2
Σx.2
3
x13
x23
x33
xt3
Σx.3
r
x1r
x2r
x3r
xtr
Σx.r
Σ Tratamiento
Σx1.
Σx2.
Σx3.
Σxt.
Σx..
Rep.
.1
.2
.3
.
Tratamiento
1.
2.
3.
t .
.r
..
Cada una de las observac iones denotadas como x ij i = 1, 2, 3, ..., t observaciones del primer criterio de clasificación (tratamientos) j = 1, 2, 3, ..., t observac iones del segundo criterio de clasificación (repeticiones) Σx 1 . = sumatoria de cada una de las observaciones de x ij , cuando j = varía de 1 a r. Σx.1 = sumatoria de cada una de las observaciones de x ij , cuando i = varía de 1 a t .
DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA) Al diseño completamente al azar se le conoce como diseño completamente azarizado o diseño completamente aleatorio. Es el más simple de todos los diseños experimentales, es el diseño básico que da lugar a los demás diseños mediante la adición de restricciones o condiciones que se deben cumplir. En este diseño no hay restricción alguna ni en los bloques completos, ni en los incompletos, lo único que se debe cumplir es que los 58
tratamientos se distribuyan al azar en todas las unidades experimentales; es decir, cada unidad experimental tiene la misma oportunidad de recibir a cualquier tratamiento y el número de observaciones o unidades por tratamiento puede ser igual o diferente. Es apropiado para experimentos, métodos y técnicas de trabajo en el laboratorio, estudios de invernadero y en investigaciones de ganadería, donde los efectos ambientales son relativamente fáciles de controlar.
El DCA es muy útil y conveniente cuando la variabilidad está uniformemente distribuida en el material experimental, existe esta característica cuando las unidades tienen igual origen, igual raza, peso, edad, igual sistema de crianza, etc. Este tipo de diseño también se aplica a estudios de carácter socioeconómico.
VENTAJAS. 1. Fácil de ser planificado y sencillo de ser ejecutado. 2. Es flexible en cuanto al número de tratamientos y observaciones para cada uno de ellos. 3. El número de repeticiones puede variar de tratamiento en tratamiento, sin embargo, es preferible que se tenga igual número de repeticiones por tratamiento. 4. No existe pérdida de la simplicidad en el análisis estadístico si algunas o todas las unidades experimentales de un tratamiento se pierden o tienen que rechazarse. 5. Este tipo de diseño permite tener el máximo de grados de libertad para el error experimental.
DESVENTAJAS. 1. Para ser usado requiere de material experimental muy homogéneo. 2. Se aplica efectivamente sólo cuando se emplea un número reducido de tratamientos. 3. Es el menos eficiente de todos los diseños, de allí que no se recomiende en experimentación de campo.
59
MODELO MATEMÁTICO O MODELO LINEAL. En diseño experimental la respuesta de cualquier observación está sujeta a un modelo matemático y una observación cualquiera, es el resultado del efecto del tratamiento más el efecto del error experimental. Xij = µ + T i + Єij
Donde: i = 1, 2,....., t j = 1, 2,....., r
tratamientos observaciones (repeticiones)
Para los diferentes diseños existen diferentes tipos o modelos de análisis, los más utilizados son:
MODELO I O FIJO. De acuerdo al cual, el conjunto de tratamientos estudiados constituye toda la población y las inferencias obtenidas de los resultados son válidas sólo para esa población o experimento. La repetición del experimento incluirá el mismo juego de tratamientos.
MODELO II O AL AZAR. La repetición del experimento incluiría un nuevo juego de tratamientos, pero d e la misma población. Es decir, que los tratamientos estudiados constituyen una muestra sacada de una gran población y las inferencias obtenidas se aplican a esta última. Además existen modelos mixtos, la adopción de cualquiera de los modelos depende del criterio del investigador, el modelo más usado es el I, pero en algunas investigaciones de genética y fitomejoramiento, el modelo usado es el II.
SORTEO Y DISPOSICIÓN DE LAS PARCELAS. Los pasos a seguirse para el sorteo y disposición de parcelas en el campo son:
60
Determinar el número de unidades experimentales (n), producto del número de tratamientos (t) y el número de observaciones (repeticiones, r).
n=t xr
- Asignar un número a cada a parcela de una manera conveniente, por ejemplo de 1 a 20, si son 20 las parcelas necesarias en el ensayo. - Asignar los tratamientos a las unidades experimentales de acuerdo con algún esquema de sorteo, como utilización de números aleatorios, pedazos de papel, o computadora.
TABLA DEL ADEVA PARA EL DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR Fuente de variación Total
Grados de libertad tr – 1
Tratamientos t – 1
t (r –1)
F calculada
ij
2
ij i.
2
rt
2
r
Error
Cuadrados Medios
Suma de Cuadrados
SCTratamientos
FC
Diferencia
G. L.Tratamient os
CMTratamientos CME . Experiment al
SCE . Experiment al G. L. E . Experiment al
El cálculo del valor F sirve para probar la significancia de los tratamientos. A continuación se observan los valores tabulados de F, con f 1 = G.L.tratamientos y f 2 = G.L. error experimental para los niveles de 5 % y 1 % de significancia. Se compara el valor calculado de F con los tabulares y se determina la significancia de los efectos entre tratamientos de acuerdo a las siguientes reglas: Si el valor de F calculado es mayor que el valor tabular de F al 1 % de nivel de significancia, se dice que la diferencia entre tratamientos es altamente significativa o la diferencia entre tratamientos es significativa estadísticamente al 1 % de probabilidad. En el cuadro se colocan dos asteriscos en el valor de F calculado. 61
Por otro lado, si el valor de F es mayor que el valor tabular de F al 5 % de nivel de significancia, pero menor o igual que el valor tabular de F al 1 % de nivel de significación, se dice que la diferencia entre tratamientos es significativa y se coloca un asterisco en el valor de F calculado en el ADEVA.
Por último, si el valor de F calculado es menor o igual que el valor tabular de F al 5 % de nivel de significancia, se dice que la diferencia entre tratamientos es no significativa y se coloca ns en el valor calculado de F en el ADEVA.
EJEMPLO. Evaluación de cinco variedades de raigrás anual, bajo condiciones de invernadero en la provincia de Pichincha Ho: V1 = V2 = V3 = V4 = V5 Ha : V1 ≠ V2 ≠ V3 ≠ V4 ≠ V5
Variable: Peso de materia verde a los 30 días después de la siembra (gr)
TRATAMIENTOS Maceta
1
2
3
4
5
1
101
51
83
67
29
2
93
61
68
40
45
3
93
59
72
46
51
4
96
58
75
52
42
i.
383
229
298
205
167
95.75
57.25
74.5
51.25
41.75
i.
Σx.. = 1282
.. =
64.1 62
CÁLCULOS. Factor de corrección =
ij
FC =
Suma de Cuadrados Total =
rt
ij
2
2
1282
2
=
4 X 5
= 82176.2
FC
= 1012 + 932 + . . . + 51 2 + 422 – FC = 90344 - 82176.2 = 8167.8 i. Suma de Cuadrados de Tratamientos =
2
r
2
=
383
229
2
. . . 167
4
FC
2
82176.2
= 89462 – 82176.2 = 7 285.8 Suma de Cuadrados del Error Experimental = SC total – SC tratamientos. = 8167.8 – 7285.8 = 882.0
AN LISIS DE VARIANCIA (ADEVA) Fuente de variación
Grados de libertad
Suma de cuadrados
19
8 167.8
Tratamientos
4
Error Experimental
15
Total
Cuadrados medios
F calculada
7 285.8
1 821.5
30.98 **
882.0
58.8
La F calculada se obtiene de la relación: F
C . M .Tratamient os C . M . Error Experiment al
F
1821.5 58.8
= 30.98 **, con 4 y 15 grados de libertad. 63
Comparando el valor de F calculado (30.98) con los valores tabulares para los niveles de 5 y 1 %, 3.06 y 4.98, respectivamente; Se puede observar que los supera ampliamente, por lo que se indica que a través del ADEVA se han detectado diferencias altamente significativas entre tratamientos, por lo tanto se rechaza la H 0 y aceptar la H 1: existen diferencias entre tratamientos.
El valor significativo de F implica que los tratamientos no pertenecen a poblaciones con
μ común. Nos dice que los tratamientos difieren en forma significativa, pero no indica cuál de ellos es el mejor y cómo difieren unos de otros. Para poder saberlo, apelamos a las pruebas de significación. Se calcula el coeficiente de variación, mediante la fórmula :
CM Error Exp.
X 100
X 58.8 64.1
X 100 =
11.96 %
CONCLUSIONES. En el análisis de variancia se observa que existen diferencias altamente significativas entre variedades, para el peso de materia verde a los 60 días después de la siembra; por lo tanto se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa que las variedades son diferentes. El coeficiente de variación es aceptable (11.96 %).
Otra manera de concluir es: En el ADEVA se detectaron diferencias estadísticas significativas al 1 % de probabilidad entre clones para el peso de materia verde a los 60 días después de la siembra, aceptándose la hipótesis alternativa de que las variedades son diferentes. El coeficiente de variación es aceptable (11.96 %).
64
DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON DESIGUAL NÚMERO DE REPETICIONES O UNIDADES POR TRATAMIENTO. En muchas ocasiones no es posible obtener igual número de observaciones por tratamiento, lo cual ocurre con relativa frecuencia, sobre todo en experimentos de ganadería, porque algunos animales pueden enfermar o morir. En otros ensayos, el material experimental puede que no alcance por igual a todos los tratamientos; o que en el laboratorio o invernadero se tomen algunos datos equivocadamente o se olvide de tomarlos. En ocasiones existe daño en las unidades experimentales, por lo que no se puede considerar esas observaciones o valores para el análisis estadístico; aunque éste es poco o casi nada afectado; sin embargo, cuando se realicen comparaciones entre medias de tratamientos, serán menos precisas aquellas que consideran tratamientos con menos repeticiones. La única variación en el cálculo estadístico, es la manera de calcular los grados de libertad y la suma de cuadrados, tal como se muestra en el ADEVA:
ANÁLISIS DE VARIANCIA (ADEVA) Fuente de variación Total Tratamientos
Grados de libertad
r i. – 1 t – 1
Suma de cuadrados
ij i.
2
ri
Error
Diferencia
ij
2
2
ri
FC
Diferencia
EJEMPLO. En el presente ensayo se determinó la eficiencia para transmitir a la descendencia de tres reproductores vacunos, mediante la evaluación del peso (en Kg) de los terneros hijos de cada reproductor, a los cuatro meses de nacidos. 65
Ho : Los tres reproductores son igualmente eficientes para transmitir sus características a la descendencia.
A= B = C
Ha : Los reproductores presentan diferencias en la transmisión de sus características a A≠B≠ C
la descendencia.
Terneros (Observaciones)
Reproductores (Tratamientos) A
B
C
1
90
73
101
2
92
99
96
3
100
90
64
4
83
101
103
5
84
92
6
81
93
7
76
.
606
548
364
Xij = 1518
7
6
4
Σr i = 17
i
r i
86.57
i.
91.33
91.00
.. 89.29
CÁLCULOS: Factor de corrección = FC =
ij
Suma de Cuadrados Total
=
1518
2
2
=
ri
ij
2
= 135548.47
17
FC =
902 + . .. . + 103 2 – 135548.47
= 137512 – 135 548.47 = 1963.53
i.
2
Suma de Cuadrados de tratamientos = 606 548 364 = 6 4 7 2
2
2
r i
FC
135548.47 = 88.48
Suma de Cuadrados del Error Experimental = SC total – SC tratamientos 66
.=
1963.53 – 88.48 = 1875.05
ANÁLISIS DE VARIANCIA (ADEVA) Fuente de variación
Grados Suma de Cuadrados F F.tab. de cuadrados medios calculada. 5% libertad
Total Tratamientos (reproductores)
16
1963.53
2
88.48
44.24
Error Experimental
14
1875.05
133.93
Coeficiente de variación =
133.93 89.29
X 100
0.33 ns
3.74
F.tab. 1%
6.51
= 12.96 %
CONCLUSIONES. En el ADEVA para el peso de los terneros a los cuatro meses de nacidos, no se observaron diferencias estadísticas significativas para reproductores; por lo tanto se acepta Ho, de que los tres reproductores son eficientes para transmitir a la descendencia sus características. El coeficiente de variación de 12.96 % es aceptable.
DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR CON SUBUNIDADES POR UNIDAD EXPERIMENTAL Se le conoce también como DCA con submuestras. En algunas ocasiones se registran varias observaciones dentro de cada unidad experimental, o la parcela está constituida por varias plantas o animales, en las que se hacen observaciones individuales. Estas observaciones se conocen como submuestras o unidades de muestreo. Así por ejemplo, en un ensayo en que se está probando varios fungicidas, se sembraron cuatro plantas por maceta, lo que permitiría realizar las observaciones en algunas o todas las plantas dentro de cada maceta. El escogimiento de las muestras deberá realizarse siguiendo las 67
leyes del azar o de algún criterio preestablecido, por ejemplo: sólo aquellas plantas ubicadas del lado derecho de la maceta.
Existen dos fuentes de variación que contribuyen a la variancia y que se aplica a comparaciones entre medias de tratamiento y son: La variación entre unidades experimentales de un mismo tratamiento y cuyo cuadrado medio se conoce como error experimental y, la variabilidad entre subunidades o muestras de una misma unidad experimental y cuyo cuadrado medio se conoce como error de muestreo.
El modelo matemático para este tipo de diseño experimental se expresa de la siguiente manera:
Xijk = µ + T i +
ij +
ijk
i = 1, ..., t tratamientos j = 1,..., r observaciones (repeticiones) k = 1,..., m muestras (subunidades)
En función de este modelo matemático, el esquema del an álisis de variancia del DCA con submuestras será el siguiente: Fuente de variación
Suma de Cuadrados
Total
Grados de libertad rtm – 1
Tratamientos
t – 1
SC tratamiento
CM tratamientos CMtrat./CMerror exp.
Error exper.
t (r –1)
SC error experimental
CM error
CMe.e./CMerror
experimental
muestreo
Error de muestreo
Cuadrados F calculada Medios
SC total
tr(m-1) ó SC error muestreo diferencia (diferencia)
CM error muestreo
68
EJEMPLO: Se evaluaron cuatro soluciones nutritivas en soya bajo invernadero. Se midió la altura de planta a los treinta días de la siembra; se sembraron tres macetas por tratamiento y dentro de cada maceta se evaluaron dos plantas de cuatro que crecieron en cada maceta, entonces tenemos: Tratamiento : 4 soluciones nutritivas Observaciones o U.E.: 3 por tratamiento Muestras: 2 por U.E. Variable: Altura de planta en cm, al mes de la siembra. Ho : Sol 1 = Sol 2 = Sol 3 = Sol 4 Ha : Sol 1 ≠ Sol2 ≠ Sol3 ≠ Sol 4
Tratamientos Unidad Experimental Muestras
U. Experim. tratamientos Total
Sol. 1
Sol. 2
Sol. 3
I
II
III
I
II
III
1
27
32
33
24
27
2
30
29
35
20
57
61
68
44
186
II
III
I
20 30
22
24
21 18 15
26
22 27
21
21
19 17 14
53
42 57
43
45
40 35 29
139
I
Sol. 4
145
II
III
104
574
69
CÁLCULOS:
Xijk
2
FC =
rtm
SC Total =
574 =
2
3 X 4 X 2
Xijk
2
= 13728.17
FC = = (27 2 +
Xi..
2
SC tratamientos =
rm
186
FC =
2
302 +…+ 142) - 13728.17 = 751.83
2
... 104
3 x 2
Xij. SC unidades experimentales =
13728.17 = 564.83
2
m
FC =
= [(57 2 + 612 + ...+29 2)/2] – 13728.17 =717.83
SC error experimental = SC unidades experimentales – SC tratamientos = 717.83 – 564.83 = 153.0
SC error muestreo = SC total – SC tratamientos – SC error experimental = 751.83 – 564.83 – 153.0 = 34.0
ANÁLISIS DE VARIANCIA Fuente de variación Total
Grados de Suma de Cuadrados libertad Cuadrados Medios
F calculada
F Tab. 5%
1%
23
751.83
Tratamientos
3
564.83
188.28
9.58**
4.07
7.59
Error exper.
8
153.00
19.12
6.76**
2.85
4.50
Error de muestreo
12
34.00
2.83
En los experimentos con muestreo, el Error experimental es igual: Error Experimental = (CMError Exp - CMError
muestreo)/
m = 70
=
19.12 2.83 2
= 8.145
De esta manera se calculan dos coeficientes de variación.-
CV (E) =
CV(M)=
8.145 x
100
23.92
2.83 23.92
= 11.93 % y,
X 100 = 7.03 %
La F calculada para el Error Experimental indica si la variación observada dentro de las unidades experimentales de un mismo tratamiento es significativa o no.
CONCLUSIONES. En el ADEVA se observa que existen diferencias altamente significativas, tanto para tratamientos como para el error experimental; es decir, se rechaza la hipótesis nula de que las soluciones nutritivas actúan de igual forma en el crecimiento de las plantas. Además, se observa que hay variación entre unidades experimentales dentro de un mismo tratamiento. El C.V. de 7.04% refleja el grado de precisión y exactitud con que se ha manejado esta investigación y es muy bueno.
DISEÑO DE BLOQUES COMPLETOS AL AZAR (DBCA)
También se le conoce como Diseño de Bloques Randomizados o Diseño de Bloques Completos Aleatorizados y es uno de los diseños más utilizados en investigación agrícola, se le utiliza también en experimentos del sector pecuario. Este diseño está especialmente adaptado para experimentos de campo, donde el número de tratamientos no es grande y el área experimental tiene una gradiente de fertilidad predecible. Los tratamientos se asignan al azar, a un grupo de unidades experimentales denominado bloque o repetición. Una característica fundamental del DBCA es que los bloques deben 71
ser de igual tamaño y cada uno de ellos debe contener a todos los tratamientos una sola vez.
El objetivo principal del Bloque es reducir el error experimental, para lo cual se agrupan las unidades experimentales homogéneas dentro de cada bloque, minimizando la variabilidad tanto como sea posible y maximizando las diferencias entre bloques. La variación entre bloques no afecta claramente a las diferencias entre medias de tratamientos, ya que cada tratamiento aparece el mismo número de veces en cada bloque. Una condición necesaria es que no exista interacción entre l os tratamientos y los bloques o repeticiones.
En este diseño el bloqueo es más efectivo cuando el área experimental tiene un patrón predecible de variabilidad. Con un patrón predecible, la forma de la parcela y la orientación del bloque pueden ser escogidas para maximizar la diferencia entre bloques y minimizar la variabilidad entre unidades experimentales de un mismo bloque. Después de identificar la fuente de variabilidad, el tamaño y forma del bloque deben ser seleccionados de acuerdo a estos lineamientos: 1. Cuando la gradiente es unidireccional (existe sólo una gradiente) usar bloques largos y angostos; además los bloques deben estar orientados de tal forma que su longitud sea perpendicular a la dirección de la gradiente. 2. Cuando la gradiente de fertilidad ocurre en dos direcciones, con una dirección más fuerte que otra, ignorar la gradiente más débil y seguir las instrucciones del punto anterior. 3. Si la gradiente de fertilidad se presenta en dos direcciones, con las dos gradientes igualmente fuertes y perpendiculares una a otra, escoger una de estas alternativas: - Use bloques que sean tan cuadrados como sea posible. - Utilice bloques largos y angostos con su longitud perpendicular a la dirección de una gradiente (punto 1) y use la técnica de covarianza par a controlar a la otra gradiente. - Use el Diseño Cuadrado Latino. 72
4. Cuando el patrón de variabilidad no es predecible, los bloques deben ser cuadrados y compactos. En cultivos perennes si el terreno es relativamente homogéneo se puede bloquear por fisonomía de árbol. Otra opción es bloquear por producciones similares de los árboles. En ocasiones es particularmente útil debido al efecto de manejo, sobre todo en situaciones tales como: el material se transplanta por lotes, y no alcanza para toda la plantación. También por periodo de cosecha, si esta es prolongada y se debe hacer bloque por bloque.
En ensayos de campo, todo cambio en la técnica u otra condición que pueda afectar los resultados debe hacerse en todo el bloque. Por ejemplo, si la cosecha de las parc elas se extiende en un periodo de tiempo, todas las parcelas de un bloque deberán cosecharse el mismo día. Los bloques pueden estar ubicados uno al lado del otro, o uno debajo del otro, separados o aún se podrían disponer en campos experimentales diferentes, o en épocas diferentes. Como ya se indicó, mientras mayor sea la variación entre bloques y se incrementa la homogeneidad dentro de ellos, se reducirá el error experimental.
VENTAJAS. 1.
Es más preciso que el DCA porque renueve la variabilidad total existente en todas las unidades experimentales pertenecientes a un mismo bloque o repetición.
2.
Se caracteriza por ser flexible, puesto que se puede usar un amplio número de tratamientos y bloques o repeticiones por tratamiento.
3.
El análisis estadístico es relativamente sencillo, quizá un poco más complicado que el DCA.
4.
Si por algún motivo se pierde datos de las parcelas, pueden usarse técnicas como la fórmula de Yates para su cálculo, sin que ello complique el análisis estadístico.
73
DESVENTAJAS. 1.
No es el diseño más adecuado cuando el número de tratamientos sobrepasa los 20, ya que aumenta el tamaño del bloque y por consiguiente hay problemas con la heterogeneidad del suelo.
2.
No es el diseño más conveniente, cuando existe heterogeneidad dentro de los bloques, o cuando hay alta variabilidad en el material experimental.
SORTEO Y DISEÑO. El proceso de sorteo para un DBCA es aplicado separadamente e independientemente para cada uno de los bloques. Se usará un ejemplo de un experimento de campo con seis tratamientos y cuatro repeticiones, para lo cual deben seguirse los siguientes pasos: 1. Divida el área experimental en r bloques iguales, donde r es el número de repeticiones, siguiendo la técnica de bloqueo descrita anteriormente. Para el ejemplo, el área experimental es dividida en cuatro bloques. Asumiendo que hay una gradiente de fertilidad unidireccional a lo largo del campo experimental, la forma del bloque se hace en forma rectangular y perpendicular a la dirección de la gradiente. 2. Subdivida el primero bloque en t parcelas o unidades experimentales, donde t es el número de tratamientos. Numere las t parcelas en forma consecutiva de 1 a t, (101 –10t), y asigne los tratamientos al azar a las parcelas siguiendo cualquiera de los esquemas ya discutidos en el diseño completo al azar. Para el ejemplo indicado en el punto anterior, el bloque I es dividido en seis parcelas de igual tamaño, las que son numeradas consecutivamente de arriba abajo, y de izquierda a derecha, y los seis tratamientos son asignados al azar a las parcelas.
3. Repetir el paso dos completando para todos los bloques y la distribución final sería como el figura 2.
74
Bloque I
Bloque II
Bloque III
Bloque IV
1
2
12
2
13
6
24
1
2
5
11
6
14
4
23
6
3
3
10
5
15
3
22
2
4
4
9
4
16
5
21
4
5
1
8
1
17
2
20
3
6
6
7
3
18
1
19
5
Figura 2. Disposición final en el campo de un experimento con seis tratamientos y cuatro repeticiones, en diseño de Bloques Completos al Azar.
MODELO MATEMÁTICO. El DBCA se ajusta a un modelo matemático en el que una observación cualquiera es igual a:
ij =
+ i + j +
ij
i = 1, ...., t tratamientos j = 1, ...., r repeticiones (bloques) Nótese que se adiciona una fuente de variabilidad (de repeticiones) que corresponde a la variabilidad entre bloques, si comparamos con el diseño completamente al azar.
75
ANÁLISIS DE VARIANCIA (ADEVA) EN BLOQUES COMPLETOS AL AZAR Fuente de variación Total Tratamientos
Grados de libertad rt – 1 t – 1
Suma de Cuadrados
Error Exper.
r-1
F calculada
SCTratamientos G. L.Tratamient os
CMTratamientos CME . Experiment al
SC Re peticiones
CM Re peticiones
GLRe peticiones
CME . Experiment al
ij
2
ij
2
i.
rt
2
FC
r
Repeticiones (bloques)
Cuadrados Medios
. j t
2
FC
(t-1)(r –1) Diferencia diferencia
SCE . Experiment al G. L. E . Experiment al
En este diseño se realiza una prueba de F adicional a la ya analizada en el diseño Completamente al Azar, mediante la cual se prueba si las repeticiones o bloques son iguales o diferentes. Si se obtiene significancia en esta fuente de variación, se puede indicar que las repeticiones o bloques son heterogéneos por lo tanto fue acertado utilizar este diseño. Mientras que, si no se presenta significación estadística en el ADEVA para repeticiones, se puede indicar que el lugar del experimento o bloques son homogéneos de acuerdo a este experimento y la variable analizada. En cuanto a la significancia para la prueba de F, casi siempre se utiliza al 5 y 1 %.
EJEMPLO. En un experimento se evaluaron cuatro variedades de sorgo forrajero en Nuevo León, México. Se registró el rendimiento del forraje seco (heno) en Kg/ parcela.
Ho : V1 = V2 = V3 = V4 Ha : V1 ≠ v2 ≠ V3 ≠ V4 Factor : Variedades de sorgo forrajero 76
Repeticiones : 5 Niveles: a1 = Honey (testigo)
Tratamientos: T1 = Honey (testigo)
a2 = Milk Maker
T2 = Milk Maker
a3 = Silo King
T3 = Silo King
a4 = Beef Builder
T4 = Beef Builder
Datos: TRATAMIENTOS Repetición T1 T2
T3
T4
Σ Repet.
I
32.3
33.3
30.8
29.3
125.7
II
34.0
33.0
34.3
26.0
127.3
III
34.3
36.3
35.3
29.8
135.7
IV
35.0
36.8
32.3
28.0
132.1
V
36.5
34.5
35.8
28.8
135.6
Σ tratam.
172.1
173.9
168.5
141.9
X..= 656.4
34.42
34.78
33.70
28.38
X .. 32.82
X Tratam.
CÁLCULOS. Factor de corrección =
FC =
Suma de Cuadrados Total =
ij
ij
2
rt 2
656.4
2
=
5 X 4
= 21543.05
FC
= 32.3 2 + 33.32 + . . . + 35.8 2 + 28.82 – FC = 21725.22 – 21543.05 = 182.17
77
i. Suma de Cuadrados de Tratamientos =
2
r
2
=
172.1
. . . 141.9
FC
2
5
21543.05
= 21677.50 - 21543.06 = 134.44 . j Suma de Cuadrados de Repeticiones =
t
=
125.7
2
. . . 135.6 4
2
FC
2
21543.05
= 21564.5 - 21543.06 = 21.46
SC Error Experimental = SC Total - SC Tratamientos- SC Repeticiones = 182.17 - 134.44 - 21.46 = 26.27
ANÁLISIS DE VARIANCIA (ADEVA) Fuente de Variación
Grados de
Suma de Cuadrados F F. cuadrados Medios Calculada Tabular
libertad Total
5%
F. Tabular 1%
19
182.17
Tratamientos
3
134.44
44.81
20.46 **
3.49
5.95
Repeticiones
4
21.46
5.37
2.45
3.26
5.41
Error exper.
12
26.27
2.19
C. V. =
2.19 32.82
X 100 =
4.51 %
78
CONCLUSIONES. En el análisis de variancia se observa que existen diferencias altamente significativas para tratamientos, por lo tanto se puede indicar que existe diferencias en el comportamiento de las variedades en esta variable, por lo tanto se rechaza la hipótesis nula y se acepta la alternativa. No se detectó ninguna significación estadística para repeticiones. El coeficiente de variación de 4.51 %, es aceptable.
EFICIENCIA DEL DBCA. La eficiencia de este diseño se mide en función del diseño completamente al azar, la única justificación para usar un diseño más completo es que sea más eficiente que los anteriores. Esta eficiencia relativa se expresa en porcentaje usando la siguiente fórmula:
R
(r 1)CMR r (t 1)CMEE (tr 1)CMEE
x 100
Donde: r = Número de repeticiones t = Número de tratamientos CMR = Cuadrado medio de repeticiones CMEE = Cuadrado medio del error experimental
En el ejemplo anterior la eficiencia relativa sería igual a:
Σ R =
(5 1) x5.37 5(4 1) x2.19 x 100 = 125 % ((4 x5) 1) x2.19
Es decir, que la eficiencia relativa de 125 % significa que debiendo haber obtenido 100 % en el diseño completo al azar, se ha obtenido con el Diseño de Bloques Completos al Azar un incremento del 25 %. Es decir, que al haber usado DBCA se ganó en eficiencia.
79
DISEÑO CUADRADO LATINO La principal característica del diseño Cuadrado Latino (DCL) es la capacidad de manejar simultáneamente dos fuentes de variación entre las unidades experimentales. Este diseño trata a las fuentes como dos criterios independientes de bloqueo, en comparación a uno que maneja el DBCA. El bloqueo en dos direcciones en un DCL comúnmente se refiere a un bloqueo de hileras y a un bloqueo de columnas, esto debe asegurar que cada tratamiento se muestre una sola vez en cada hilera y una sola vez en cada columna. Este procedimiento hace posible estimar la variación entre hileras, así como de columnas y removerlas del error experimental. Algunos ejemplos donde el diseño Cuadrado Latino puede ser usado apropiadamente son: Ensayos de campo en la cual el área experimental tiene dos gradientes de fertilidad dispuestos una perpendicular a la otra, o tiene una gradiente de fertilidad unidireccional, pero también efectos residuales de años pasados.
Ensayos de campo con insecticidas, donde la migración del insecto tiene una dirección predecible y que es perpendicular a la gradiente de fertilidad dominante en el campo experimental.
En ensayos en invernadero en donde las parcelas experimentales (macetas) están arregladas en línea recta y perpendicular a las paredes de vidrio o de plástico, y la diferencia entre hileras de macetas y la distancia de las paredes de plástico se espera sean las dos mayores fuentes de variación entre macetas.
En ensayos de laboratorio con repeticiones en el tiempo, así la diferencia entre unidades experimentales conducidas al mismo tiempo y entre aquellas conducidas en diferentes épocas constituyen las dos fuentes de variación conocidas.
La presencia del bloqueo en hileras y bloqueo en las columnas en el DCL es muy útil para controlar dos fuentes de variación independientes, esto también constituye su mayor 80
restricción en el uso de este diseño. Esto se debe al requerimiento de que todos los tratamientos deben aparecer en cada hilera y en cada columna, esto se puede alcanzar si el número de repeticiones es igual al número de tratamientos. Como resultado de esto, cuando el número de tratamientos es grande, el diseño se vuelve impracticable, debido al gran número de repeticiones requeridas. Por otro lado, cuando el número de tratamientos es pequeño, los grados de libertad asociados con el error experimental son muy bajos para estimar con precisión el Error Experimental. Así, en la práctica, el DCL es aplicable sólo para experimentos en los cuales el número de tratamientos es no menor a cuatro y no mayor a ocho o diez. Debido a esta limitación el DCL no ha sido ampliamente usado en experimentos agrícolas, pese a su gran potencial para controlar el error experimental.
VENTAJAS. La estratificación en
hileras y columnas permite eliminar una mayor cantidad de
variabilidad, incrementando la precisión del experimento. 1. Análisis estadístico sencillo, un poco más complicado que el DBCA. 2. Más eficiente que el DCA y el DBCA.
DESVENTAJAS. 1. El número de tratamientos está limitado por el número de columnas e hileras, no debe ser mayor de 10 ni menor de 4.
SORTEO Y DISPOSICIÓN EN EL CAMPO. Al cuadrado latino se lo denota por una multiplicación, ejemplo 5 x 5. El proceso de sorteo se muestra para un experimento con cinco tratamientos: A, B, C, D, y E, para lo cual se usa patrones de cuadrado latino que se encuentran establecidos en los libros de estadística o de diseño experimental, y se sigue el siguiente procedimiento:
81
1. Seleccionar un plan o patrón para un DCL 5 x 5 de un libro que para este caso es:
H1 H2 H3 H4 H5
Col1 A B C D E
Col2 B A D E C
Col3 C E A B D
Col4 D C E A B
Col5 E D B C A
Nótese que en la primera colu mn a e hilera, los tratamiento s se encuentran o rdenados y n ingún tratamiento se repite en hileras o co lumn as.
2. Sortear el arreglo de las hileras del patrón seleccionado, siguiendo cualquier metodología ya conocida. En este ejemplo, al sortear quedó de la siguiente manera: H3 H4 H2 H5 H1
C D B E A
D E A C B
A B E D C
E A C B D
B C D A E
3. Sortear el arreglo de las columnas, del esquema obtenido en el punto 2, usando el mismo procedimiento anterior. La disposición final será: # Hilera H3 H4 H2 H5 H1
Col4 E A C B D
Col1 C D B E A
Col5 B C D A E
Col3 A B E D C
Col2 D E A C B
MODELO MATEMÁTICO. Una observación cualquiera es igual a la media poblacional de la variable más el efecto de tratamientos, más el efecto de hileras, más el efecto debido a columnas y más el error experimental. Xijk = + i + j + k +
ijk
i = 1 .... t tratamientos j = 1 ....h hileras k = 1 .... k columnas
82
ANÁLISIS DE VARIANCIA (ADEVA) Fuente de variación Total Tratamientos
Grados de libertad t2 – 1
Suma de Cuadrados
ijk
2
t – 1
t=h=c
G. L.Tratamient os
CMTratamientos CME . Experiment al
SC Hileras
CMHileras
G. L. Hileras
CME . Experiment al
SC Columnas
CMColumnas
G. L. Columnas
CME . Experiment al
t 2
i..
2
FC
h-1
. j.
2
FC
c -1
..k
2
t
Error exp.
SCTratamientos
2
t
Columnas
F calculada
ijk
t
Hileras
Cuadrados Medios
(t-1)(t –2) ó diferencia
FC
Diferencia
SCE . Experiment al G. L. E . Experiment al
t2 = número de parcelas en el ensayo.
EJEMPLO. Rendimiento de grano (ton/ha) de cuatro líneas endogámicas de maíz.
Disposición en el campo: B
D
C
A
C
A
D
B
A
C
B
D
D
B
A
C
83
Datos (t/ha) Hileras
Col1
Col2
Col3
Col4
hileras
H1
1.640
1.210
1.425
1.345
5.620
H2
1.475
1.185
1.400
1.290
5.350
H3
1.670
0.710
1.665
1.180
5.225
H4
1.565
1.290
1.655
0.660
5.170
columnas
6.350
4.395
6.145
4.475
TOTAL
21.365
Se calcula adicionalmente las sumatorias y medias para tratamientos en un cuadro aparte:
TRATAMIENTO
T1
1.345 + 1.185 + 1.670 + 1.655
= 5.855
1.464
T2
1.640 + 1.290 + 1.665 + 1.290
= 5.885
1.464
T3
1.425 + 1.475 + 0.710 + 0.660
= 4.270
1.068
T4
1.210 + 1.400 + 1.180 + 1.565
= 5.355
1.339
CÁLCULOS.
ijk
2
FC =
2
21.365
=
t 2
= 28.528952
2
4
ijk
2
SCtotal = ijk 2
2
t
. j. SCTratamiento =
= (1.6402 + …..+ 0.660 2)2 – 28.528952 = 1.413923
2
t
FC =
5.8552 ...... 5.3552 4
28.528952 =
0.426842
84
. j. SChileras =
2
t
5.620
FC =
..k SCcolumnas =
...... 5.170
4
2
t
2
FC =
6.350
2
......
2
4.475
28.528952 =
0.030154
2
4
28.528952 =
0.827342
SC E.E. = SCtotal - SChileras - SCcolumnas - SCTratamiento SC E.E. = 1.413923 – 0.426842 – 0.030154 – 0.827342 = 0.129585
ANÁLISIS DE VARIANCIA (ADEVA) F cal
Fuente de
Grados de
Suma de
Cuadrados
variación
libertad
Cuadrados
Medios
Total
15
1.413923
Tratamientos
3
0.426842
0.142281
6.59 *
Hileras
3
0.030154
0.010051
0.465 ns
Columnas
3
0.827342
0.275781
12.77 **
Error exp.
6
0.129585
0.021598
C.V. =
0.021598 1.3353
X 100 =
F tab 5%
4.76
1%
9.78
11.0 %
PARCELA PERDIDA EN CUADRADO LATINO. El más común es el método de Yates, el cual es similar al que se describió en el DBCA; es decir, se aplica una fórmula para las parcelas perdidas, que para este diseño es:
X
h(T H C ) 2G (h 1)(h 1)
85
Donde: h = Número de hileras T = Total de tratamientos donde se perdió la unidad experimental H = Total de la hilera donde se perdió la unidad experimental C = Total de la columna donde se perdió la unidad experimental G = Gran total sin considerar la unidad experimental perdida
Una vez calculado el valor por la fórmula, se reemplaza en la tabla de datos, se realiza el ADEVA y se resta una unidad a los grados de libertad del total y del Error Experimental.
Cuando se han perdido dos o más unidades experimentales, el procedimiento es exactamente igual al seguido en el DBCA, realizando cálculos en varios ciclos. Pero cuando se pierden varias U. E., es preferible no calcular por Yates, sino que se podría realizar el análisis en DBCA o si el esquema lo permite, calcular como un cuadrado latino de un grado o nivel inferior.
EFICIENCIA RELATIVA DEL DISEÑO CUADRADO LATINO.
1. Eficiencia relativa del DCL en comparación al DCA:
ER.( DCA)
CMh CMc (t 1)CMEE
(t 1)CMEE
Donde, CMh = Cuadrado medio de hileras CMc = Cuadrado medio de columnas CMEE
= Cuadrado medio del error experimental
86
t
= Número de tratamientos
2. Eficiencia relativa del DCL en comparación al DBCA: Puede ser calculado de dos maneras: a. Cuando las hileras son consideradas como bloques del DBCA. ER ( DBCA, hilera)
CMh (t 1)CMEE t CMEE
b. Cuando las columnas son consideradas como bloques del DBCA. ER ( DBCA, columna)
CMc
(t 1)CMEE
t CMEE
Cuando los grados de libertad del error experimental son menores a 20, el valor de la Eficiencia Relativa debe ser multiplicado por el factor de ajuste (K), definido como:
t 1 t 2 1t 1 K t 1t 2 3 t 1
2 2
3
1
PRUEBAS DE SIGNIFICACIÓN
Dentro del análisis funcional, que no es más que la obtención de información más detallada del análisis de variancia y de la comparación de los promedios de tratamientos que se están evaluando en un experimento, se establecen de manera general tres procedimientos a saber: pruebas de significación, polinomios ortogonales y las comparaciones ortogonales, los dos últimos se revisarán más adelante.
En el ADEVA, la prueba de F indica en primera instancia y de forma general, si los efectos de los tratamientos en evaluación son diferentes o similares estadísticamente, pero no 87
establece cuál o cuáles de los tratamientos son iguales o diferentes. Para conocer esto, se usa las pruebas de significación o pruebas de separación de medias; a continuación se revisarán las pruebas más comúnmente usadas.
DIFERENCIA MÍNIMA SIGNIFICATIVA (DMS)
La DMS es la prueba más fácil de calcular, es una prueba eficiente, recomendable y probablemente la más comúnmente usada para comparar pares de medias de tratamientos. El procedimiento de la DMS calcula un valor, a un determinado nivel de significancia, el cual sirve de límite entre diferencias significativas y no significativas entre un par de medias de tratamientos; en otras palabras, el valor de DMS es el mínimo que tiene que cumplir la diferencia entre dos promedios de tratamientos, para que sea declarado significativo. Así, los dos tratamientos son declarados diferentes, si su diferencia excede el valor calculado de DMS; de no hacerlo, será declarado como no significativo, o iguales.
La DMS es la más apropiada para realizar pares de comparaciones, entre tratamientos, pero no es válida para comparar todas las combinaciones posibles, especialmente cuando el número de tratamientos es grande, debido al alto número de combinaciones posibles que se forman. Así, para diez tratamientos tendríamos 45 combinaciones en pares, mientras que para 15 tratamientos se llegaría a las 115 comparaciones.
Un problema que presenta esta prueba es que a mayor número de tratamientos, la probabilidad de que al menos un par de tratamientos tenga diferencias que excedan el valor calculado de DMS, solamente debido al azar, crece rápidamente. Por ejemplo, en experimentos donde no existen diferencias reales entre tratamientos, podrían observars e diferencias numéricas entre tratamientos, por el azar, y excediendo el valor de DMS al 5% de nivel de significancia, el 29% de veces, cuando cinco tratamientos están involucrados; cuando se comparan 10 tratamientos crece a 63 % y con 15 tratamientos al 83 %. Por esta razón debe evitarse usar la DMS para todas las posibles comparaciones 88
entre un grupo de medias de tratamientos. Por otra parte, si la prueba va ha ser utilizada, debe aplicarse sólo cuando la prueba de F en el ADEVA es significativa o altamente significativa.
El procedimiento para aplicar la prueba de DMS para comparar cualquiera de los tratamientos (en pares), es el siguiente:
1. Calcular la diferencia entre medias de los tratamientos a comparar: Ejemplo:
d 12 1 2 ;
d 35 3 5
2. Calcular el valor de DMS al nivel de significancia de mediante la siguiente fórmula: DMS
t
X S d
, glEE
Donde : (t
, glEE)
= Valor tabular de t a nivel de significancia y grados de libertad
correspondientes al error experimental.
S d
Error estándar de la diferencia de medias, que se calcula de la misma
manera para los diseños Completamente al Azar, Bloques Completos al Azar y Cuadrado Latino:
S d
2CMEE r
Cuando los dos tratamientos no tienen el mismo número de repeticiones, el error estándar es calculado así:
S d
CMEE 1
r 1
1
r 2
Donde: r 1 y r 2 = números de repeticiones de los dos tratamientos en comparación.
En la aplicación para los diferentes diseños experimentales, es importante que se calcule el valor apropiado para el error estándar de la diferencia entre pares de 89
medias de tratamientos, que están siendo comparadas. Éste es afectado por el diseño experimental usado, el número de repeticiones de los tratamientos en comparación y el tipo específico de media a ser comparada.
3. Comparar la diferencia entre medias de tratamientos calculada en el paso 1, con el valor de DMS calculado en el paso 2, si el valor absoluto de la diferencia entre tratamientos es mayor o más grande que el valor calculado de DMS, indicar o declarar a los dos tratamientos como diferentes. Si la diferencia entre medias es menor que el valor calculado para DMS, entonces se indica que es no significativo, o en otras palabras que los dos tratamientos son similares.
EJEMPLO. Datos obtenidos en el ensayo de cinco variedades de raigrás donde se evaluó el peso de materia verde a los 30 días después de la siembra en Diseño Completamente al Azar. Para este ejemplo tomamos al tratamiento cinco como el testigo, por lo que realizamos las comparaciones de los otros cuatro tratamientos con relación a éste (T5). Promedios
T1
T2
T3
T4
T5 (Testigo)
95.75
57.25
74.50
51.25
41.75
CMEE = 58.8
g.l.EE = 15
S d
2 x 58.8 4
Repeticiones = 4
5.42
Para el presente ejemplo se determinó calcular al 5 % de probabilidad. Generalmente un investigador escoge el nivel, por el grado de seguridad o estrictez que el desee en sus comparaciones de medias : DMS5% = (t 5%, 15) x (5.42) = 2.131 x 5.42 90
= 11.55
Comparaciones
Diferencias
5%
T1 vs T5 =
95.75 – 41.75 = 54.00
*
T2 vs T5 =
57.25 – 41.75 = 15.50
*
T3 vs T5 =
74.50 – 41.75 = 32.75
*
T4 vs T5 =
51.25 – 41.75 = 9.50
ns
Al realizar la prueba de DMS al 5 % de probabilidad, se observa que los tratamientos T1, T2 y T3 son diferentes al testigo, debido a que sus diferencias con este tratamiento (T5) superaron al valor calculado (11.55). El tratamiento cuatro en cambio tiene un comportamiento similar al testigo.
VENTAJAS DEL USO DE LA DMS. a. Es un valor fácil de calcular y de simple utilización. b. La prueba es válida cuando se hacen comparaciones planeadas de antemano, comparaciones que se identifican con los objetivos del experimento. c. La DMS da resultados satisfactorios cuando se compara cada una de las medias con el testigo.
DESVENTAJAS DEL USO DE LA DMS. a. La DMS no toma en consideración el número de tratamientos dentro de un experimento; es decir, no ofrece protección cuando el número de medias aumenta. Puede darse la situación de que demasiadas medias aparecen como significativas por lo que se considera una prueba demasiado liberal. b. No se debe usar la DMS a menos que la prueba de F del ADEVA sea significativa o altamente significativa. 91
c. Al usar esta prueba, la probabilidad de cometer un error tipo I aumenta.
PRUEBA DE TUKEY Es una prueba de separación de medias de tratamientos considerada como honesta y es una de las más usadas en investigación. Se aplica cuando se quiere comparar más de dos tratamientos. El procedimiento de cálculo es similar al de la DMS, en cuanto se refie re a que es necesario calcular un solo valor para determinar la significación de las diferencias entre medias de tratamientos.
Es una prueba de gran adaptabilidad, que a diferencia de la DMS, toma en cuenta el número de tratamientos. Se considera una prueba más estricta que DMS y la de Rango Múltiple de Duncan (a revisarse posteriormente), la fórmula de cálculo es:
T Q
,
p glEE ,
S d
Donde: Q(,p, glEE) se obtiene de la tabla de Amplitudes Estudentizados Significativos, con = nivel de probabilidad (5 % ó 1 %), p = t = número de tratamientos y g.l. EE = grados de libertad del error experimental. El error estándar entre medias de tratamientos se calcula así:
S d
CMEE r
Donde: CMEE = cuadrado medio del error experimental r = número de repeticiones. Si se aplica esta prueba, a los datos utilizados en la prueba de DMS se obtiene: 1. Se debe ordenar todas las medias de tratamientos en orden descendente o ascendente. 92
Tratamiento T1 T3 T2 T4 T5 (Testigo)
Promedio 95.75 74.50 57.25 51.25 41.75
Orden 1 2 3 4 5
2. Calcular el valor de Tukey, que es el mínimo valor que tiene que cumplir las diferencias entre medias de tratamientos para que sea declarada significativa. T Q5%, 5, 15
58.8 4
T = 4.37 x 3.834 T = 16.76 3. Se comparan las diferencias entre las medias de tratamientos, con el valor calculado; al igual que en la DMS, si la diferencia entre medias supera al valor calculado se declara significativa o se indica que los tratamientos son diferentes, ejemplo: (T1) 95.75 – (T3) 74.50 = 21.25 *
Al ser diferente del segundo tratamiento (T 3) en orden descendente va ha ser diferente de los demás, se coloca la letra a en el promedio de T 1 y luego seguirán con las siguientes comparaciones: (T3) 74.50 – (T2) 57.25 = 17.25* Nuevamente al ser diferente del tercer tratamiento (T 2) en orden descendente va ha ser diferente de los demás, se coloca la letra b en el promedio de T 3 y se continúa: (T2 ) 57.25 – (T4) 51.25 = 6.00 ns (T2 ) 57.25 – (T5) 41.75 = 15.5 ns
93
Al comparar el tratamiento 2 con el 4 y 5, se observa que son iguales estadísticamente, se coloca la letra c a los dos tratamientos (T 2 y T4). Finalmente se realiza la última comparación entre T 4 y T 5 que es no significativa, por lo que se coloca la letra c, que significa que son iguales estadísticamente y la tabla de promedios quedaría así:
Tratamiento
Promedio
T1 T3 T2 T4 T5
95.75 74.50 57.25 51.25 41.75
Rango de significación a b c c c
CONCLUSIONES. Al realizar la prueba de significación de Tukey al 5 % de probabilidad, se detectaron tres rangos de significación, en el primer rango se muestra el tratamiento 1 con un promedio de 95.75 g., y es diferente y superior de los demás tratamientos. El tratamiento 3 se presenta en el segundo rango con un promedio de 74.5 g. y es superior a los tratamientos 2, 4 y 5. Los tratamientos o variedades 2 y 4 comparten el último rango con el testigo que presentó un promedio de 41.75 g.
PRUEBA DE RANGO MÚLTIPLE DE DUNCAN Para experimentos que requiere la comparación de todas los posibles pares de medias de tratamientos, la prueba de DMS ya no es la adecuada a utilizarse, especialmente cuando el número de tratamientos es grande, en tales casos la prueba de Duncan, además de la de Tukey son las más recomendadas.
El procedimiento para aplicar la prueba de Duncan es algo similar al aplicado para la DMS, sin embargo, a diferencia de la prueba de DMS, donde se calcula un solo valor para cualquier par de comparaciones a un determinado nivel de significancia; la prueba 94
de Duncan requiere del cálculo de una serie de valores, cada uno corresponde a un grupo específico de pares de comparaciones.
El procedimiento para el cálculo de los valores de la prueba de Dun can depende primero del valor específico de
S d
del grupo de tratamientos que están siendo comparados. Así,
para el ejemplo revisado con la prueba de DMS, se sigue el siguiente procedimiento: 1. Ordenar todas las medias de tratamientos en forma decreciente o creciente. Así, para rendimiento se ordena desde el tratamiento que presenta la media más alta, hasta finalizar con el tratamiento que presenta la media más baja. Para datos de incidencia de plagas o enfermedades se ordenan normalmente, desde el tratamiento con menor incidencia, hasta el tratamiento con mayor infección o infestación.
Tratamiento T1 T3 T2 T4 T5 2. Calcular el valor de
S d que
Promedios 95.75 74.50 57.25 51.25 41.75
es igual al calculado para la prueba de Tukey.
S d
CMEE = 3.834 r
3. Calcular los (t-1) valores de rangos mínimos significativos; es decir, para 2, 3, 4 y 5 tratamientos, de acuerdo a la siguiente fórmula: Rangos Mínimos Significativos RMS = RMD
, 2.... P , glEE
S d
Donde RMD = Valores obtenidos de la tabla de Rangos Mínimos de Duncan .Para nuestros ejemplos, los valores de RMD con = 5 % y 15 grados de libertad del error son: 95
Número de medias
RMD(5 %)
RMS
2 3 4 5
3.01 3.16 3.25 3.31
11.53 12.10 12.45 12.68
4. Identificar y agrupar todas las medias de tratamientos que no difieren significativamente unas de otras de la siguiente manera: a. Calcular las diferencias entre el tratamiento con la media más alta y los otros tratamientos. Diferencia
Comparación T1 – T3 = 95.75 – 74.50 =
Valor 21.25
T1 – T2 =
95.75 – 57.25 =
38.5
T1 - T4 =
95.75 – 51.25 =
44.5
T1 - T5 =
95.75 – 41.75 =
54
b. Comparar las diferencias obtenidas, con el valor obtenido para el rango mínimo significativo (RMS) con cinco tratamientos (12.68). Si la diferencia entre medias supera al valor de RMS se declaran significativas o diferentes las medias de los tratamientos. En el presente grupo; el tratamiento 1 es diferente a todos los demás tratamientos, entonces, colocamos la letra a, sólo al tratamiento 1 y la letra b al tratamiento 3
c. Calcular las diferencias entre el segundo tratamiento (T 3) y los restantes tratamientos. T3 – T2 = 74.50 – 57.25 =
17.25
T3 - T4 = 74.50 – 51.25 =
23.25
T3 - T5 = 74.50 – 41.75 =
32.75
96
d. Comparar las diferencias obtenidas, con el valor de RMS para 4 tratamientos (12.45); nuevamente, si las diferencias entre medias superan el valor de RMS se declaran diferentes. En este segundo grupo, el tratamiento 3 también es diferente que los otros tratamientos (T 2, T4 y T5). El tratamiento 3 sigue con la letra b y los otros tratamientos con la letra c. e. Continuamos con el proceso con la tercera media más alta (T 2) y luego con la cuarta, hasta completar todas las comparaciones posibles. T2 - T4 = 57.25 – 51.25 =
6.00
T2 - T5 = 57.25 – 41.75 =
15.50
En este grupo el tratamiento 2 es igual que el tratamiento 4, ya que su diferencia no supera el valor de RMS para tres tratamientos (12.10), mientras que la diferencia con el tratamiento 5 sí es significativa, por lo tanto, se declara a los dos tratamientos diferentes. Entonces, colocamos la letra c a los tratamientos 2 y 4 y la letra d al tratamiento 5. f. Se finaliza con el último grupo o comparación: T4 - T5 = 51.25 – 41.75 =
9.5
Este valor no supera al RMS para los tratamientos (11.53), por lo tanto, se declara a los dos tratamientos iguales, se coloca a la letra d a los dos. Con esta información se conforma un Cuadro que debe contener lo siguiente: Promedios para peso de materia verde a los 30 días de la siembra en cinco variedades de raigrás y prueba de Duncan al 5 % de probabilidad.
Tratamiento
Promedios para Materia verde (g)
T1 T3 T2 T4 T5
95.75 74.50 57.25 51.25 41.75
Rangos 1/ a b c cd d
1/ Promedios seguidos por una misma letra no difieren estadísticamente Duncan P (0.05)
97
CONCLUSIONES. En el Cuadro anterior se presentan los promedios y prueba de Duncan al 5% de probabilidad, para el peso de materia verde (g) de cinco variedades de raigrás, observándose que existen cuatro rangos de significación. En el primer rango se presenta el tratamiento 1 con un promedio de 95.75 g.; en el segundo rango se presenta el tratamiento 3 con un promedio de 74.50 g. En el último rango (d) se encuentran los tratamientos 4 y 5 que presentan los promedios más bajos y son los peores de acuerdo con esta variable.
TRANSFORMACIONES Entre las suposiciones básicas o requisitos para el ADEVA, los errores experimentales de las variables deben ser independientes y las varianzas deben distribuirse normalmente y ser homogéneas. Hay ocasiones en que esto no sucede; en Entomología, por ejemplo, las parcelas tratadas con insecticidas van a presentar un rango amplio en la cantidad de insectos presentes, debido al control producido por ellos. En este caso, las suposiciones de independencia y normalidad no se cumplen. Para realizar el ADEVA, hay que transformar los datos, en cuyo caso, la prueba de F es mucho más sensitiva para detectar diferencias reales entre tratamientos.
En los ejemplos mencionados anteriormente,
existe dependencia entre medias de
tratamientos y sus variancias. Al transformar los datos, estos se convierten a una nueva escala, resultando un nuevo grupo de datos, que se espera cumplan con los requisitos básicos para realizar un ADEVA. Debido a que la transformación es aplicada a todos los datos, los valores comparativos entre tratamientos no se alteran y las comparaciones entre ellos se mantienen válidas.
98
TRANSFORMACIONES A RAÍZ CUADRADA. Es apropiada cuando los datos son números enteros pequeños, como por ejemplo datos de conteos de eventos raros, tales como: número de insectos o huevos de insectos en un área dada, número de plantas infestadas en una parcela, número de insectos capturados en una trampa, número de malezas por parcela. En estos ejemplos, la variancia tiende a ser proporcional a la media. El procedimiento para transformar los datos consiste en extraer la raíz cuadrada de cada observación antes de proceder con el ADEVA. Para valores muy pequeños (varios ceros), se codifica añadiendo a cada observación 0.5, en cuyo caso la raíz cuadrada queda como
x
.
0.5
Se recomienda este tipo de transformaciones cuando las observaciones están expresadas como porcentajes y éstos van de cero a 30 ó de 70 a 100. Si el rango de observaciones va de 30 a 70, generalmente no es necesario transformar los datos.
TRANSFORMACIÓN LOGARÍTMICA. Esta transformación es la más apropiada para datos donde la desviación estándar es proporcional a la media o donde los efectos son multiplicativos. Los efectos multiplicativos en la escala original, se convierten en aditivos en la escala logarítmica. Se usa este tipo de transformación cuando las observaciones son números enteros que tienen un rango amplio. Datos del número de insectos por parcela o número de masas de huevos por planta o por unidad de área son ejemplos típicos. Para transformar los datos en escala logarítmica, simplemente obtenemos el logaritmo de cada una de las observaciones de esa variable. Para cantidades pequeñas (menos de 10), se añade uno a cada observación y, en lugar de log x, se toma el log (x+1).
TRANSFORMACIÓN ARCO SENO. Aplicable para los datos que están expresados como fracciones o proporciones obtenidos de conteos, como por ejemplo el porcentaje de tallos barrenados o perforados por un insecto. Por regla general tales datos tienen una distribución bino mial, en vez de una normal. 99
Esta transformación se obtiene mediante la determinación del ángulo cuyo seno es la raíz de cuadrada del dato (porcentaje) ó en fórmula: arcoseno
x
. También se puede encontrar
en los libros de Estadística y de Diseños Experimentales, una tabla de valores transformados para los diferentes porcentajes de cero a cien. En general para transformar se deben utilizar las siguientes reglas: 1. Para porcentajes en un rango de 30 a 70 %, no se necesita transformación. 2. Para porcentajes de 0 a 30 % ó de 70 a 100%, ya se indicó se debe utilizar la transformación de raíz cuadrada. 3. Para porcentajes que no siguen los rangos indicados en los puntos 1 y 2, se debe utilizar la transformación de arcoseno. En una publicación en que se presente los resultados de un ensayo, se debe presentar los datos originales, explicando que, para su análisis, han sido transformados.
EXPERIMENTOS FACTORIALES Los experimentos de un solo factor se han convertido en el modelo típico de la investigación científica, sin embargo, en el campo de la biología. Los diversos factores no actúan única y exclusivamente en forma independiente, sino que interaccionan entre sí de forma complicada e inesperada, por lo cual los experimentos con un solo factor son frecuentemente criticados por su estrechez y limitaciones.
A diferencia de los experimentos que se realizan en DCA, DBCA o DCL, los experimentos factoriales no son diseños experimentales, sino constituyen arreglos de tratamientos o factores que se disponen en cualquiera de los diseños experimentales conocidos u otros. Por ejemplo, se indica que se está usando un diseño de Bloques Completos al azar en arreglo factorial 3 x 4 (Factor A con tres niveles y Factor B con cua tro niveles), con cuatro repeticiones.
100
NOTACIÓN. Como ya es conocido, los factores se definen con letras mayúsculas que pueden ser las primeras letras del alfabeto o las iniciales del factor en estudio (Ej., N, P, K). Los niveles dentro de cada factor se identifican con letras minúsculas acompañados con subíndices numéricos, Ejemplo: Variedad (3)
FA = a1, a2 , a3
V = v1, v2 , v3
Épocas (4)
FB = b1, b2 , b3
E = e1, e2 , e3
Tratamientos = 3x4 T1 = a1 b1
T5 = a2 b1
T9 = a 3 b 1
T2 = a1 b2
T6 = a2 b2
T10 = a3 b2
T3 = a1 b3
T7 = a2 b3
T11 = a3 b3
T4 = a1 b4
T8 = a2 b4
T12 = a3 b4
En algunos experimentos se acostumbra a definir la notación de los niveles empezando desde cero, para indicar la no aplicación de un elemento o producto: N=2
P=3
K=2
Factorial: 2 x 3 x 2
n0 = 0 kg/ha
p0 = 0 kg/ha
k0 = 0 kg/ha
n1 = 60 kg/ha
p1 = 60 kg/ha
k1 = 80 kg/ha
p2 = 120 kg/ha También se utiliza la identificación por potenciación, donde la base igual a los niveles y el exponente igual al número de factores: = 23 = 2 x 2 x 2 = 8 tratamientos = 53 = 5 x 5 x 5 = 125 tratamientos = 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 tratamientos 101
VENTAJAS Y DESVENTAJAS. Los experimentos factoriales dependiendo del tipo de diseño experimental que se use, se ajustarán a las ventajas y desventajas de dichos diseños experimentales, al igual que deberán respetarse y considerarse todas las características que se han especificado en cada uno de ellos para su implementación.
Se puede indicar como ventaja general y muy importante al hecho de que al estudiar algunos factores, simultáneamente se obtiene información de cada uno de ellos en forma independiente, además de las posibles interacciones que se puedan presentar.
Sin embargo, si se consideran muchos factores, no solo q ue el análisis se complica, sino que las inferencias, conclusiones y recomendaciones que puedan hacerse pueden ser confusas y no valederas. Además, como el número total de tratamientos en un experimento es el resultado del producto de los factores por sus niveles, su número aumentará grandemente si se añaden más factores o más niveles. Así, en un experimento donde se evalúan 10 variedades, cuatro niveles de fertilización con N y control de plagas con tres productos diferentes, el número de tratamientos será: 10 x 4 x 3 = 120. Obviamente, el experimento se convierte en muy complejo y costoso. En casos como éste, es mejor hacer experimentos previos que nos reduzcan el número de factores o niveles, por ejemplo, evaluar las variedades y escoger los cinco mejores y se reduce a 60 tratamientos.
INTERACCIONES. Se dice que existe interacción de dos factores, si el efecto entre los niveles de uno de los factores cambia, mientras cambian los niveles del otro factor. Ejemplo de interacción y no interacción entre factores: Si tenemos dos factores, dos variedades (V1 y V2) y dos niveles de nitrógeno (N0 y N1) y representamos el rendimiento en t/ha. t/ha
t/ha 102
4-
V2
4-
3-
V1
3-
2-
2-
1-
1-
n0
n1
V2
V1
n0
No interacción
n1
Interacción intermedia
t/ha
t/ha 4-
V2
3-
4-
V2
3-
2-
V1
1-
2-
V1
1-
n0
n1
Interacción intermedia
n0
n1
Interacción fuerte
La interacción entre dos factores puede ser medida solamente, si los dos factores se evalúan conjuntamente en el mismo experimento. Cuando no existe interacción, el efecto simple de un factor, es el mismo para todos los niveles de los otros factores e igual al efecto principal. Cuando la interacción está presente, el efecto simple de un factor, 103
cambia mientras cambia los niveles del otro factor. Por lo tanto, el efecto principal de un factor es diferente de los efectos simples.
CÁLCULO DE LOS EFECTOS SIMPLES Y PRINCIPALES EN UN EXPERIMENTO SIN INTERACCIÓN. Nitrógeno Variedad
0 kg N ha
60 kg N ha
Promedios
X
1.0
3.0
2.0
Y
2.0
4.0
3.0
Promedios
1.5
3.5
EFECTOS SIMPLES. Efecto simple de variedad a n0: = 2.0 – 1.0 = 1.0 t/ha Efecto simple de variedad a n1: = 4.0 – 3.0 = 1.0 t/ha Efecto simple del nitrógeno en X: = 3.0 – 1.0 = 2.0 t/ha Efecto simple del nitrógeno en Y: = 4.0 – 2.0 = 2.0 t/ha
Como puede observarse en los cálculos anteriores, los efectos simples del factor variedad en no y n1 son iguales ( 1.0 t/ha). De igual manera, los efectos simples del factor nitrógeno son iguales en las variedades X y Y (2.0 t/ha), esto nos indica que no existe interacción entre los dos factores.
104
EFECTOS PRINCIPALES. Los efectos principales de cada factor se calculan obteniendo un promedio de los efectos simples, dentro de cada uno de ellos, en el caso sin interacción el efecto principal es igual a:
Efecto principal de Variedad: = (1/2) (Efecto simple de variedad a n0 + Efecto simple de variedad a n1) = (1/2) (1.0 + 1.0) = 1.0 t/ha
Efecto principal de Nitrógeno: = (1/2) (Efecto simple de nitrógeno a X + Efecto simple de nitrógeno a Y) = (1/2) (2.0 + 2.0) = 2.0 t/ha
CÁLCULO DE EFECTOS SIMPLES Y PRINCIPALES EN UN EXPERIMENTO CON INTERACCIÓN. Nitrógeno Variedad
0 kg N/ ha 60 kg/ N ha
Promedios
X
1.0
1.0
1.0
Y
2.0
4.0
3.0
Promedios
1.5
2.5
EFECTOS SIMPLES. En un experimento de dos factores con interacción, los efectos simples y principales de un factor ya no son iguales. Efecto simple de variedad a n0: = 2.0 – 1.0 = 1.0 t/ha Efecto simple de variedad a n1: = 4.0 – 1.0 = 3.0 t/ha 105
Efecto simple del nitrógeno en X: = 1.0 – 1.0 = 0.0 t/ha Efecto simple del nitrógeno en Y: = 4.0 – 2.0 = 2.0 t/ha
EFECTOS PRINCIPALES. Efecto principal de Variedad: = (1/2) (Efecto simple de variedad a n0 + Efecto simple de variedad a n1) = = (1/2) ( 1.0 + 3.0) = 2.0 t/ha
Efecto principal de Nitrógeno: = (1/2) (Efecto simple de nitrógeno a X + Efecto simple de nitrógeno a Y) = (1/2) (0.0 + 2.0) = 1.0 t/ha
En el análisis de variancia se calculan los efectos principales de cada factor y además su interacción:
MODELO MATEMÁTICO. Está en función del diseño estadístico que se use, así: Utilizando un D.C.A.: Unifactorial
Xij = + i + Eij
A x B
Xij = + i + j + ()ij + Eij
A x B x C
Xijkm = + i + j + ()ij + k + (ik) + ( jk) + (ijk) + Eijk
106
En un DBCA Unifactorial
Xij = + i + j + Eij
A x B
Xijk = + i + k + (ik) + β j + Eijk
A x B x C
Xijkm = + i + j + ()ij + k + (ik) + ( jk) + (ijk) + β j + Eijk
ANÁLISIS DE VARIANCIA EN DBCA Y ARREGLO FACTORIAL A X B. Fuente de variación Total Repeticiones
Grados de Suma de Cuadrados Cuadrados Medios libertad rab – 1 ijk 2
ijk
2
r-1
t 2
..k
ab – 1
ij.
a – 1 b –1
i..
Error exp.
CME . Experiment al
SCTratamientos G. L.Tratamient os
CMTratamientos CME . Experiment al
FC
SC Factor A G. L. Factor A
CM FactorA CME . Experiment al
FC
SC Factor B G. L. Factor B
CM Factor B CME . Experiment al
SC A B
CM A X B
G. L. A X B
CME . Experiment al
2
. j.
2
ra
AXB
GLRe peticiones
FC
rb
Factor B
CM Re peticiones
FC
2
r
Factor A
SC Re peticiones
2
ab
Tratamientos
(a-1)(b-1) SCTrat – SC A – SC B (t-1)(t –2) ó diferencia
F calculada
Diferencia
SCE . Experiment al G. L. E . Experiment al
EJEMPLO. En una investigación utilizando un D.B.C.A. se evaluaron tres variedades de arroz y tres niveles de nitrógeno siembra con cuatro repeticiones. La variable evaluada fue altura de planta en cm., a los 90 días después de la siembra. 107
Factor A =
Variedades de arroz Niveles: a1 = INIAP – 11
Factor B =
Niveles de Nitrógeno Niveles: b1 = 80 Kg/ha
a2 = INIAP – 12
b2 = 120 Kg/ha
a3 = Donato
b3 = 140 Kg/ha
Tratamientos: T1 = a1 b1
T4= a2 b1
T7 = a3 b1
T2 = a1 b2
T5= a2 b2
T8 = a3 b2
T3 = a1 b3
T6= a2 b3
T9 = a3 b3
TRATAM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a1 b1 a1 b2 a1 b3 a2 b1 a2 b2 a2 b3 a3 b1 a3 b2 a3 b3
I 56 60 66 65 60 53 60 62 73
555
REPETICIONES II III 45 43 50 45 57 50 61 60 58 56 53 48 61 50 68 67 77 77 530
496
Trat
Prom.
IV 46 48 50 63 60 55 53 60 65
190 203 223 249 234 209 224 257 292
47.5 50.75 55.75 62.25 58.5 52.25 56 64.25 73
500
2 081
57.81
Se realiza o construye una tabla adicional
108
B b1
b2
b3
F.A.
12/
4/
A
∑ Factor A
a1
190
203
223
616
51.33
a2
249
234
209
692
57.67
a3
224
257
292
773
64.42
12/
36/ 663
694
724
55.25
57.83
60.33
∑ F.B.
F.B
2 081 57.81
Para este tipo de experimentos se plantearán tres hipótesis nulas y tres alternativas: H01: a1 = a2 = a3
H02: b1 = b2 = b3
H03: No hay interacción entre factores
Ha1: a1 ≠ a2 ≠ a3
H02: b1 ≠ b2 ≠ b3
H03: Si hay interacción entre factores
CÁLCULOS. 2
Factor de corrección =
2081 36
= 120193.36
36 = r x a x b
SC.total = (562 + 602 + …+ 652 ) – FC = 2 627.64 190
SC.tratam. =
616
2922
665
... 724
12
= 1947.89
FC
2
... 773
12
2
SCB =
4
2
SCA =
2
FC
= 1027.39
2
FC
= 155.06
SCAxB = SCtratam. – SCA – S B = 765.44 109
2
SC Repeticiones =
555
... 500
2
9
= 255.64
FC
= 2627.64 – 1947.89 – 255.64 = 424.12
SCerror exp.= SC.total - SC. tratam. - SCrepet
ANÁLISIS DE VARIANCIA Fuente de variación Total
Grados de libertad (axbxr) – 1 35
Tratamientos
(axb) – 1
A (Variedad)
a – 1
B (Niveles N)
Suma de Cuadrados Cuadrados Medios 2 627.64 (1 947.89)
(243.49)
(13.78)**
2
1 027.39
513.70
29.07**
b-1
2
155.06
77.53
4.39*
AxB
(a – 1)(b – 1)
4
765.44
191.36
10.83**
Repeticiones
r –1
3
255.64
85.20
4.82**
Error exp.
Diferencia
24
424.11
17.67
CV =
17.67 57.80
100
8
F calculada
= 7.27 %
CONCLUSIONES. En el ADEVA se observan diferencias estadísticas altamente significativas para variedades, la interacción variedades por épocas y repeticiones. Además, se observa diferencias al 5% de probabilidad para épocas de siembra. Se aceptan las hipótesis alternativas de hay diferentes respuestas entre varied ades, al igual que en épocas y estos dos factores no actúan independientes, sino que existe interacción entre ellos, el CV de 7.27 es aceptable para este tipo de variable.
110
Para las pruebas de significación cambia el error estándar de las medias S d de
acuerdo al factor que se esté analizando. CMEE
S d A
r x b
CMEE
S d B
r x a
CMEE
S d AXB
r
FACTORIALES A x B x C EJEMPLO DE UN FACTORIAL 2 3. En una investigación en lechuga, usando un DBCA, se analizó el efecto de la fertilización nitrogenada, fosfórica y potásica empleando en cada una de ellas dos niveles, el número de repeticiones que se usó en la investigación fue de cinco, la variable evaluada fue rendimiento en Kg/parcela neta.
Hipótesis
Factores y niveles
H0 = No hay diferencia en respuesta entre niveles
N : n0 = 0 Kg/ha; n1 = 80 Kg/ha
de N, n0 = n1 Ha = n0 ≠ n1
P : p0 = 0 Kg/ha; n1 = 180 Kg/ha
H0 = p0 = p1
K: k0 = 0 Kg/ha ; k 1 = 40 Kg/ha
Ha = p0 ≠ p1 H0 = k0 = k1 Ha = k0 ≠ k1 H0 = No hay interacción entre factores Ha = Si hay interacción entre factores
Diseño Experimental DBCA en arreglo factorial 2 x 2 x 2, con 5 repeticiones Variable: Rendimiento Kg/parcela
111
Tratamientos: T1 = n0 p0 k0
T5 = n1 p0 k0
T2 = n0 p0 k1
T6 = n1 p0 k1
T3= n0 p1 k1
T7 = n1 p1 k0
T4 = n1 p0 k0
T8 = n1 p1 k1
DISPOSICIÓN EN EL CAMPO.
I
II
III
IV
V
1 2 3 4 5 6 7 8
8 1 4 6 5 2 7 3
3 7 5 8 2 1 4 6
5 1 7 3 4 2 6 8
8 4 7 5 2 1 6 3
DATOS DE CAMPO: Tratamientos 1. n0 p0 k0 2. n0 p0 k1 3. n0 p1 k0 4. n0 p1 k1 5. n1 p0 k0 6. n1 p0 k1 7. n1 p1 k0 8. n1 p1 k1 ∑ Repet.
I 5 5 4 4 6 3 6 9 8/ 42
II 7 10 7 9 7 7 9 10 66
III 3 5 3 4 6 5 7 9 42
IV 3 4 4 3 5 3 4 8 34
V 2 1 2 0 6 2 4 9 26
∑ NPK
5/ 20 25 20 20 30 20 30 45 40/ 210
_ X NPK 4 5 4 4 6 4 6 9 5.25
Se organizan tres tablas de doble entrada: N x P, N x K y P x K, que se presentan a continuación:
112
N n0 ∑N
40 20/ 85
n1 50 75 125
_ XN
4.25
6.25
P
p0 p1
10/
45
∑P
20/ 40/
95 115 210
_ XP 4.75 5.75
N n0 K
k0 k1
∑N
10/ 20/
40 45 85
n1 60 65 125
∑K
20/ 100 110 40/ 210
_ XK 5.00 5.50
Los valores de los factores deben ser iguales en las diferentes tablas
P K
k0 k1
∑p
p0 10/ 50 45 20/ 95
p1 50 65 115
∑K
20/ 100 110
CÁLCULOS: FC =
210 40
2
= 1102.50
SCTotal = 52 + .....+ 92 – FC = 259.5 202 .... 452 SCTratam. = FC = 107.5 5 852 1252 SCN = FC 40.0 20 2
SCP =
95
115 20
r=5
r x p x k = 20
2
FC 10.0
452 752 SCNxP = 10
– FC – SCN - SCP = 22.5
r x n x k = 20
r x k = 10
113
NOTA: Cuando se calcula suma de cuadrados de interacciones en factoriales de 3 ó más factores, a más de restarle el FC deben disminuirse las sumas de cuadrado de sus componentes. 1002 1102 SCK = FC 2.5 20 2
SCNxK =
40
2
65
10
2
SCPK =
50
FC
– SCN - SCK = 0.00
r x p = 10
SCP - SCK = 10.0
r x n = 10
2
65
10
r x n x p = 20
FC –
SCNPK = SCTratam. – SCN – SCP – SCNP – SCK – SCNK – SCPK = 22.5 422 .... 262 SCRepet. = 8
FC
= 112.0
axbxc=8
Error experimental = SCTotal - SCTratam. - SCRepet. = 40.0
ANÁLISIS DE VARIANCIA F de V
G.L.
SC
CM
Fcal. 5%
Total 39 Tratamiento (7)
259.5 (107.5)
N P NP K NK PK NPK Repetición
4
40 10 22.5 2.5 0 10 22.5 112
Error Exp.
28
40
1 1 1 1 1 1 1
F tab. 1%
(15.36) 40 10 22.5 2.5 0 10 22.5 28
27.99** 6.99** 15.73** 1.75ns 0.00ns 6.99* 15.73** 19.58**
4.2 4.2 4.2 4.2 4.2 4.2 4.2 2.71
7.64 7.64 7.64 7.64 7.64 7.64 7.64 4.07
1.43
114
1.43
C.V. =
x
100
5.25
= 22.78 %
OTRO EJEMPLO DE FACTORIAL A X B X C (2 X 3 X 4).
En una investigación en porcinos en la que se evaluaron dietas que contenían cuatro niveles de lisina, tres niveles de metionina y dos niveles de prote ína, se usó un diseño de bloques completos al azar utilizando dos repeticiones. La variable evaluada fue aumento de peso diario.
FACTORES Y NIVELES: L = l0
M = m0
P = p1
l1
m1
p2
l2
m2
l3
TRATAMIENTOS: T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12
l0m0p1 l0m0p2 l0m1p1 l0m1p2 l0m2p1 l0m2p2 l1m0p1 l1m0p2 l1m1p1 l 1m1p2 l 1m2p1 l 1m2p2
T13 T14 T15 T16 T17 T18 T19 T20 T21 T22 T23 T24
l 2m0p1 l 2m0p2 l 2m1p1 l 2m1p2 l 2m2p1 l 2m2p2 l 3m0p1 l 3m0p2 l 3m1p1 l 3m1p2 l 3m2p1 l 3m2p2
115
DATOS DE CAMPO. Tratam.
I
II
∑ LMP
Tratam.
I
II
∑ LMP
1
1.11
0.97
2.08
13
1.22
1.13
2.35
2
1.52
1.45
2.97
14
1.38
1.08
2.46
3
1.09
0.99
2.08
15
1.34
1.41
2.75
4
1.27
1.22
2.49
16
1.40
1.21
2.61
5
0.85
1.21
2.06
17
1.34
1.19
2.53
6
1.67
1.24
2.91
18
1.46
1.39
2.85
7
1.30
1.00
2.30
19
1.19
1.03
2.22
8
1.55
1.53
3.08
20
0.80
1.29
2.09
9
1.03
1.21
2.24
21
1.36
1.16
2.52
10
1.24
1.84
3.08
22
1.42
1.39
2.81
11
1.12
0.96
2.08
23
1.46
1.03
2.49
12
1.76
1.97
3.73
24
1.62
1.27
2.89
∑ Repet. 24/ 31.50
24/ 30.17
48/ 61.67
HIPÓTESIS: H0 = l0 = l1 = l2 = l3
Ha = l0 ≠ l1 ≠ l2 ≠ l3
H0 = m0 = m1 = m2 = m3
Ha = m0 ≠ m1 ≠ m2 ≠ m3
H0 = p1= p2
Ha = p1≠ p2
H0 = No hay interacción entre factores Ha = Si hay interacción entre factores L M
m0
l0 4/ 5.05
5.38
4.81
m1
4.57
5.32
m2
4.97 12/ 14.59
5.81
∑L
X L
1.22
l1
∑M
l2
l3
X M
4.31
16/ 19.55
1.22
5.36
5.33
20.58
1.26
5.38
5.38
1.30
16.51 15.55
15.02
21.54 48/ .. =61.67
1.28
1.30
1.25
116
L ∑P
l0 p1 P p2 ∑L
6/ 6.22 8.37 12/ 14.59
l1
l2
_ XP
l3 24/
6.62
7.63
7.23
27.70
1.15
9.89
7.92
7.79
33.97
1.42
16.51
15.55
48/ 15.02 .. 61.67
M ∑P
m0 p1 P p2 ∑M
8/ 8.95 10.60 16/ 19.55
m1
m2
9.59
9.16
10.99
12.38
20.58
21.54
24/ 27.70 33.97 48/ .. 61.67
CÁLCULOS. 61.67
FC =
48
2
= 79.23
SCTotal = 1.11 2 + .....+ 1.27 2 – FC = 2.845 2
2.08
.....
SCTratam. =
2
2
2.89
– FC = 1.2756
14.592 15.022 SCL = – FC = 0.171 12
SCM =
19.552 ..... 20.842 – FC = 0.124 16
SCLM =
SCP =
5.022 ..... 5.382 4
– FC – SCL - SCM = 0.180
27.702 32.772 – FC = 0.819 2
117
2
8.22
SCLP =
.....
6
2
SCMP =
8.95
2
7.79
– FC – SCL - SCP = 0.490 2
..... 11.68
8
– FC – SCM - SCP = 0.122
SCLMP = SCTratam. – SCL – SCM – SCLM – SCP – SCLP – SCMP= 0.097 2
SCRepet. =
31.50
2
28.97
– FC = 0.037
24
SC Error experimental = SCTotal - SCTratam. - SCRepet. = 0.805
ANÁLISIS DE VARIANCIA F de V
C.V. =
G.L.
SC
CM
Fcal.
F tab. 5% 1%
Total
47
2.845
Tratamiento
(23)
2.003
0.087
2.49
1.98
2.66
Lisina
3
0.171
0.057
1.63
3.03
4.76
Metionina
2
0.124
0.062
1.77
3.42
5.66
LxM
6
0.180
0.030
0.85
2.53
3.71
Proteína
1
0.819
0.819
23.39
4.28
7.88
LxP
3
0.490
0.163
4.67
3.03
4.76
MxP
2
0.122
0.061
1.74
3.42
5.66
LxMxP
6
0.097
0.016
0.46
2.53
3.71
1.05
4.28
7.88
Repetición
1
0.037
0.037
Error
23
0.805
0.035
0.035 x 100 = 14.56 % 1.285
118
COMPARACIONES Y POLINOMIOS ORTOGONALES Las comparaciones y polinomios ortogonales son parte del análisis funcional, mediante las cuales, dentro del análisis de variancia, se busca respuestas a preguntas previamente establecidas (comparaciones ortogonales), o tratando de mostrar tendencias (polinomios ortogonales) en la representación de los datos.
COMPARACIONES ORTOGONALES. Este procedimiento estadístico es aplicable a cualquier tipo de diseño experimental o arreglo factorial y puede realizarse aún cuando no se observen diferencias significativas para tratamientos o en los factores en estudio. Las comparaciones ortogonales deben ser establecidas con anterioridad a la ejecución del experimento y debe responder a preguntas lógicas, además deben cumplir dos requisitos fundamentales: 1. La suma algebraica de los coeficientes dentro de cada comparación debe ser igual a cero (0). ∑ Ci = 0 2. La suma del producto de los coeficientes entre dos comparaciones también debe ser igual a cero (0), a éstos se les conoce como requisitos de ortogonalidad. ∑ (Ci1 x Ci2) = 0
La suma de cuadrados de cada comparación ortogonal es igual a :
Scco =
Qi
2
r C i
2
Donde: Qi2 = Sumatoria de los productos entre los coeficientes con sus respectivos signos, por los totales de tratamientos. r = Número de repeticiones Ci2 = Números o coeficientes enteros que deben ser establecidos por el investigador. 119
Habrá tantas comparaciones ortogonales como tantos grados de libertad existan para tratamientos o el factor o factores en estudio. Al calcular la Suma de Cuadrados (SC) de las comparaciones ortogonales, lo que se hace es un desdoblamiento de la SC de los tratamientos o factores en estudio. Algo similar ocurre con los grados de libertad, donde a cada comparación ortogonal se le asigna un grado de libertad. Para establecer comparaciones ortogonales los tratamientos no requieren ningún requisito, es decir, se pueden establecer comparaciones ortogonales con tratamientos (factores) cualitativos, así como también cuantitativos.
EJEMPLO. En una investigación en diseño de bloques al azar con seis repeticiones se evaluó el comportamiento de cuatro variedades de algodón, siendo el ADEVA de la variable rendimiento el siguiente:
ADEVA Fuente de variación Total
Grados de libertad 23
Suma de Cuadrados F cal Cuadrados Medios 1 927
Tratamientos
3
637
212.33
3.37 *
Repetición
5
345
69.00
1.10 ns
Error exp.
15
945
63.00
Tratamientos ∑ Tratamientos I1 624 I2 618 H 569 Testigo 552
_ X Tratamientos 104.0 103.0 94.8 92.0
120
CÁLCULO DE COMPARACIONES ORTOGONALES.
Total de tratamientos T H I1 I2 552 569 624 618 -3 +1 +1 +1 0 -2 +1 +1 0 0 -1 +1 0 -2 +1 +1 0 0 -1 +1 0 0 -1 +1
Comparaciones C1 T vs I1, I2, H C2 H vs I1, I2 C3 I1 vs I2
∑ (Ci1 x Ci2) = 0
Qi
Qi2
155 104 -6
24 025 10 816 36
R ∑ Ci2
6 x 12 = 72 6 x 6 = 36 6 x 2 = 12
QiC1= (-3)(552) + (+1)(569) + (+1)(624) + (+1)(618) = 155 QiC2= (-2)(569) + (+1)(624) + (+1)(618) = 104 QiC3= (-1)(624) + (+1)(618) = -6
∑ C12 = (-3)2 + (1)2 + (1)2 + (1)2 = 12 ∑ C22 = (-2)2 + (1)2 + (1)2 = 6 ∑ C32 = (-1)2 + (1)2 = 2 Scc1 =
Scc2 =
Scc3=
Q1
2
r C 1 Qi
2
=
2
r C i
2
Qi
=
2
r C i
2
=
24052 72
10816 36
36 12
= 333.68
= 300.44
= 3.00
TOTAL: 333.68 + 300.44 + 3.00 = 637.12
121
ANÁLISIS DE VARIANCIA F de V
GL 23
SC 1 929
Tratamiento
3
637
212.3
3.37*
T vs H, I1, I2
1
333.7
333.7
5.30*
H vs I1, I2
1
300.4
300.4
4.77*
I1 VS I2
1
3.0
3.0
0.05ns
Repeticiones
5
345
69.0
1.10ns
Error experim.
15
945
63.0
Total
CM -
F
POLINOMIOS ORTOGONALES. Los polinomios ortogonales son ecuaciones de regresión de diferente orden que permiten determinar la tendencia que tendrían los tratamientos en la respuesta de una determinada variable. Al igual que las comparaciones ortogonales, los polinomios se aplican en cualquier tipo de diseño experimental e independientemente de que exista o no diferencias estadísticas significativas o altamente significativas para las fuentes de variación de tratamientos o factores en estudio.
En un ADEVA se pueden determinar tantos polinomios ortogonales como grados de libertad existen para tratamientos o los factores en estudio. Los factores en los que se calculen polinomios ortogonales, a diferencia con las comparaciones ortogonales, necesariamente deben ser factores cuantitativos y obligatoriamente los niveles de cada tratamiento o cada factor cuantitativo deben estar igualmente espaciados.
122
Ejemplo: Con factor nitrógeno (igualmente espaciado entre niveles) Igualmente espaciado
No igualmente espaciado
n1 = 0 Kg/ha
n1 = 0 Kg/ha
n2 = 40 Kg/ha
n2 = 20 Kg/ha
n3 = 80 Kg/ha
n3 = 60 Kg/ha
n4 = 120 Kg/ha
n4 = 150 Kg/ha
El segundo ejemplo está mal espaciado donde el cálculo es complejo. Revisar Gómez y Gómez pp. 229 – 233.
POLINOMIOS
ORTOGONALES
DEPENDIENDO
DEL
NÚMERO
DE
TRATAMIENTOS.
No. de Tratamiento o nivel de 1 factor 2 3 4
5
G.L. 1 (2) 1 1 (3) 1 1 1 (4) 1 1 1 1
No. de polinomio ortogonal 1 2
Identificación del No. de polinomio ortogonal Lineal Lineal Cuadrático
3 Lineal Cuadrático Cúbico 4 Lineal Cuadrático Cúbico Cuártico
123
Variable respuesta
Niveles LINEAL
Niveles CUADRÁTICO
Variable respuesta
Niveles CÚBICO
Niveles CUÁRTICO
Por lo general en un ADEVA se llega a calcular hasta la tendencia o efecto cúbico o cuando más cuártico, el resto de efectos si se tiene más grados de libertad se agrupan en una sola denominación conocida como residuo, que involucra el resto de grados de libertad, así como el resto de las sumas de cuadrados.
Los polinomios ortogonales se calculan bajo los mismos conceptos o requisitos de la ortogonalidad que las comparaciones ortogonales.
∑ Ci = 0 ∑ (Ci1 x Ci2) = 0
124
La suma de cuadrados de los polinomios ortogonales es igual : SCpo =
Qi
2
r C i
2
Donde: Qi = Es el producto de la sumatoria de los productos entre los coeficientes de cada P.O., por los totales de tratamientos o factores en estudio. Ci = Coeficientes positivos o negativos (Números enteros) que se obtienen de tablas, dependiendo del grado o nivel del polinomio. r = Número de repeticiones en experimentos simples, o es el número de observaciones que involucra los totales de un factor en los experimentos factoriales.
EJEMPLO. En una investigación de siembra usando 5 tratamientos de distancias de siembra se obtuvo el siguiente ADEVA para la variable rendimiento en Kg/parcela.
ADEVA F de V
gl 29
SC 204.99
CM
Tratamiento
4
125.66
31.42
Repeticiones
5
5.41
20
73.92
Total
Error experim.
T1 T2 T3 T4 T5
Distancia (cm) 18 24 30 36 42
F -
1.08
8.51** 0.29
3.69
∑ Tratamiento
210.9 189.8 181.0 177.2 180.2
Trat 35.15 31.63 30.16 29.53 30.03
125
CÁLCULO. Polinomios
18
24
30
36
42
Sumatorias 210.9 189.8 181.0 177.2
Qi2
Qi
r ∑ Ci2
SCPO
180.2
Lineal
-2
-1
0
+1
+2
- 74.0 5 476.0 6 x10 = 60
91.27
Cuadrático
+2
-1
-2
-1
+2
+ 53.2 2 830.2 6 x 14= 84
33.69
Cúbico
-1
+2
0
-2
+1
- 5.5
30.3 6 x10 = 60
0.50
Cuártico
+1
-4
+6
-4
+1
+ 9.1
82.8 6 x70=420
0.20 125.66
Ejemplo de cálculo del Q i : Qp01= -2(210.9) -1(189.8) + 0(181.0) + 1(177.2) + 2(180.2) = -74
ANÁLISIS DE VARIANCIA Fuente de variación Total Distancias
Grados de libertad 29 4
Suma de Cuadrados Cuadrados Medios 204.99
F cal
125.66
31.42
8.51 **
Lineal
1
91.27
91.27
24.73 **
Cuadrático
1
33.69
33.69
9.13 **
Cúbico
1
0.50
0.50
0.14 ns
Cuártico
1
0.20
0.20
0.05 ns 0.29 ns
Repetición
5
5.41
1.08
Error exp.
20
73.92
3.69
126
FACTORIALES A x B + N En algunas ocasiones dentro de una investigación, a más de analizar 2 ó 3 factores a diferentes niveles, se hace necesario incluir uno o más tratamientos independientes a los factores en estudio con el afán de establecer comparaciones que permitan visualizar mejor la problemática en estudio. Normalmente este tipo de experimentos se emplea en investigaciones con pesticidas, fertilizantes, dietas alimenticias, entre otros. En estos experimentos se incluye además de los factores en estudio uno o dos tratamientos que no son sino, testigos que se emplean en dicha investigación.
EJEMPLO. Factor A: Herbicida
Factor B: Dosis
Tratamientos adicionales
a1 = Glifomat
b1 = Dosis comercial – 20%
Testigo absoluto (sin control)
a2 = Roundup
b2 = Dosis comercial
Testigo mecánico
a3= Roundup 747
b3= Dosis comercial + 20%
a4= Glifocor
Tratamientos = 4 x 3 + 2 Generalmente N hasta 2, con tres ya se usaría como otro factor A x B x C. Con fertilizantes: Factor A: Dosis de N
Factor B: Dosis de P
a1 = 0 kg/ha
b1 = 0 kg/ha
a2 = 20 kg/ha
b2 = 60 kg/ha
a3 = 40 kg/ha
b3 = 120 kg/ha
Tratamientos: 3 x 3 + 1 (abono orgánico) 3 x 3 + 2 (abono orgánico y compost)
Los cálculos en este tipo de experimentos realmente son los mismos que para un experimento factorial, con excepción de que se debe añadir una fuente de variación 127
cuando se añade un tratamiento, ésta es testigo vs otros, y dos fuentes de variación cuando se añaden dos tratamientos adicionales que son: Testigos (T1, T2) vs otros y T 1 vs T2.
EJEMPLO DE CÁLCULO. En una investigación en maíz utilizando tres niveles de nitrógeno y dos de fósforo añadiendo un tratamiento adicional con M.O., se usó un Diseño de Bloques Completos al Azar con tres repeticiones. La variable evaluada fue rendimiento de granos en kg/parcela neta. DBCA, 3 repeticiones: Factor A: Dosis de N
Factor B: Dosis de P
a1 = 0 kg/ha
p1 = 0 kg/ha
a2 = 40 kg/ha
p2 = 60 kg/ha
a3 = 80 kg/ha
Materia orgánica
Tratamientos 3 x 2 + 1
Tratamiento
I
II
III
1
n1p1
20
18
17
2
n1p2
21
21
18
60
20.00
3
n2p1
21
22
20
63
21.00
4
n2p2
22
20
20
62
20.67
5
n3p1
23
21
22
66
22.00
6
n3p2
25
23
23
71
23.67
7
Testig. M.O.
15
17
15
47
15.67
147
142
135
∑ Repet.
7/
∑ Trat.
3/
X trat.
55
21/ 424
18.33
X
20.19 128
TABLA SOLO DEL FACTORIAL. N n1 p1 p2
P
∑N
n2
55 60 6/ 115
63 62 125
19.17
20.83
X N
n3
∑P
66 9/ 184 71 193 137 18/ 377
X P
20.44 21.44
22.83
CÁLCULOS . FC(a) =
2
424 21
= 8 560.76
r(n x p + 1) = 21
SCTotal = (202 + .....+ 15 2 ) – FC(a) = 143.24 2
55
SCTratam. =
SCP =
47
2
3
2
SCN =
.....
115
.... 137
6
2
– FC(a) = 1120.57 377
18
2
= 40.46;
377 18
2
= FC(b)
1842 1932 – FC(b) = 4.50 9 2
SCNP =
55
3
2
71
– FC(b) – SCN - SCP = 4.0
3772 472 – FC(a) = 71.63 * ó por diferencia, solo cuando n = Testigo vs otros = 18 3
1 (A x B + 1). SCRepet. =
147
2
2
.... 135
7
– FC(a) = 10.38
SC Error experimental = SCTotal - SCTratam. - SCRepet. = 12.29 129
Polinomios ortogonales para N:
P. O. Lineal Cuadrático
n1 N2 115 125 -1 0 +1 -2
n3 137 +1 +1
Qi + 22 +2
Qi2
r ∑ Ci2 *
484 6 x 2 = 12 4 6 x 6 = 36
SC 40.33 0.11 40.44
* r ∑ Ci2 = 3 x (p)
ANÁLISIS DE VARIANCIA Fuente de variación Total
Grados de libertad 20
Tratamiento
6
N
2
Suma de Cuadrados 143.24
Cuadrados Medios
F cal
120.57
20.10
40.44
20.22
19.82**
Lineal
1
40.33
40.33
39.54**
Cuadrático
1
0.11
0.11
0.11ns
P
1
4.50
4.50
4.41ns
NxP
2
4.00
2.00
1.96ns
Testigo vs otros Repetición
1
71.63
71.63
70.23**
2
10.38
5.19
5.09*
12
12.29
1.02
Error exp.
C.V. =
1.02 20.19
X 100
= 5.0 %
CONCLUSIÓN. En el ADEVA se observan diferencias estadísticas altamente significativas para el factor N, para su efecto lineal y para la interacción Testigo vs otros. El Nitrógeno tiene efecto en la producción en forma lineal, la aplicación de materia orgánica causa una aparente disminución en la producción con respecto a la fertilización química e inferior al testigo absoluto n1p1 (sin aplicación del fertilizante). El CV de 5.05 es muy bueno. 130
DISEÑO DE PARCELAS DIVIDIDAS
Este diseño está especialmente formulado para experimentos con dos factores, donde a uno de los factores, por razón de su naturaleza, es asignado a parcelas o unidades experimentales grandes (parcela principal), este factor es llamado factor principal. Esta parcela principal es dividida en subparcelas en donde se evalúan los niveles del otro factor. Así, cada parcela principal se convierte en un bloque para los niveles del factor evaluado en las subparcelas.
Una unidad experimental bajo este tipo de diseño (parcela grande o principal) puede ser una parcela de terreno, una camada de cerdos, un grupo de árboles, mientras que las subparcelas pueden ser una fracción de la parcela de terreno, cada cerdo dentro de la camada, cada árbol del grupo de árboles.
En el diseño de parcelas divididas, la precisión para la medida de los efectos del factor principal es sacrificada para mejorar la precisión en la medida de los efectos del subfactor. La medida del efecto del subfactor y de la interacción entre los dos factores es más precisa que la que se puede obtener en un diseño de Bloques Completos al Azar, mientras que la medida del efecto del factor principal es menos precisa que la que se puede obtener en el diseño de Bloques Completos al Azar.
Debido a que la medida de los efectos de los dos factores es diferente, el escoger cuál de los factores se evalúa en la parcela principal y cuál en la subparcela es muy importante. Para escoger o decidir esto se sugiere seguir los siguientes lineamientos:
GRADO DE PRECISIÓN. Si el investigador requiere más precisión en la medida de los efectos de un factor, asigne ese factor a las subparcelas y el otro factor a la parcela principal. Por ejemplo: un fitomejorador que planea evaluar diez variedades promisorias de arroz con tres niveles 131
de fertilización en un experimento factorial 10 x 3, probablemente desea tener mayor precisión para la comparación entre variedades que para la respuesta a los fertilizantes. Así, el fitomejorador deberá asignar las variedades a la subparcela y los niveles de fertilización a la parcela principal.
Por otro lado, un edafólogo desea estudiar la respuesta a la fertilización de diez variedades promisorias, probablemente quiere mayor precisión en la respuesta a los fertilizantes que la comparación entre variedades y asignaría las variedades a la parcela principal y los niveles de fertilización a la subparcela.
TAMAÑO RELATIVO DE LOS EFECTOS PRINCIPALES. Si el efecto principal de uno de los factores (factor B) se espera sea más grande y más fácil de detectar que el del otro factor (factor A), el factor B debe ser asignado a la parcela principal y el factor A a las subparcelas. Esto incrementa la oportunidad de detectar las diferencias para el factor A, el cual tiene el efecto más pequeño. Por ejemplo, si en un experimento de fertilización x variedad el investigador puede a signar las variedades a las subparcelas y la fertilización a la parcela principal debido a que él espera que el efecto para fertilización sea más grande que el efecto varietal.
PRÁCTICAS DE MANEJO. Las labores culturales requeridas para un factor pueden orientar o definir el uso de parcelas grandes. Por conveniencia práctica, un factor puede ser asignado a la parcela principal. Por ejemplo, en un experimento en que se desea evaluar el manejo de agua y variedades, sería deseable asignar el manejo de agua (riego) a la parcela principal para minimizar el movimiento de agua entre parcelas adyacentes, y reducir el efecto de borde. En un experimento para evaluar algunas variedades de arroz con diferentes dosis de fertilización, el investigador puede asignar la fertilización a la parcela grande para minimizar la necesidad de separar parcelas que reciban diferentes niveles de fertilización.
132
SORTEO Y DISEÑO. Se deben realizar dos procesos de sorteo en un diseño de parcela dividida, uno para parcela principal y otro para las subparcelas. En cada nivel, el procedimiento de sorteo en un Diseño de Bloques Completos al Azar e aplicable. En cada repetición, los niveles del factor principal son sorteados primero y son asignados a las parcelas principales al azar; luego, los niveles del subfactor son sorteados y asignados a las subparcelas.
A continuación se muestran los pasos del proceso de sorteo y diseño usando “a” como el número de niveles del factor principal, “b” como el número de niveles del subfactor y “r” como el número de repeticiones. Para elaborar se describe un experimento con seis niveles de nitrógeno (Factor principal) y cuatro variedades de arroz (subfactor) con tres repeticiones. 1. Dividir el área experimental en tres bloques (repeticiones) y cada uno de ellos dividirlo en seis parcelas principales. 2. Siguiendo el procedimiento de sorteo para un DBCA con seis tratamientos y repeticiones, asignar los seis niveles de nitrógeno a las seis parcelas principales en cada uno de los tres bloques (repeticiones).
Repetición I
Repetición II
Repetición III
n4 n3 n1 N6 N5 n2
n1 n6 n5 n2 n4 n3
n6 n1 n4 n5 n3 n2
3. Dividir cada una de las seis parcelas principales, dentro de cada repetición, en cuatro subparcelas y siguiendo el procedimiento de sorteo en un DBCA con cuatro tratamientos, asignar las cuatro variedades a las cuatro subparcelas dentro de cada parcela principal.
133
n4 n3 n1 N6 n5 n2 V2 V1 V1 V2 V4 V3
n1 n6 n5 n2 n4 n3 V1 V4 V3 V1 V1 V3
n6 n1 n4 n5 n3 n2 V4 V3 V3 V1 V2 V1
V1 V4 V2 V3 V3 V2
V3 V1 V4 V2 V4 V2
V2 V4 V2 V3 V3 V4
V3 V2 V4 V1 V2 V1
V2 V2 V1 V4 V2 V4
V1 V1 V4 V2 V4 V2
V4 V3 V3 V4 V1 V4
V4 V3 V2 V3 V3 V1
V3 V2 V1 V4 V1 V3
I
II
III
Nótese que: a. El tamaño de la parcela principal es b veces el tamaño de la subparcela. En el ejemplo, cuatro variedades (b = 4) el tamaño de la pa rcela principal es cuatro veces el tamaño de la subparcela.
b. El nivel de cada parcela principal es evaluado r veces, mientras que los niveles de cada subparcela son evaluada (a)(r) veces. Así, el número de veces que el nivel de una subparcela es evaluada siempre será mayor que el de la parcela principal. Y es la razón principal para la mayor precisión en la evaluación del efecto del subfactor con relación a los niveles del factor principal. En el ejemplo, cada uno de los seis niveles de nitrógeno es evaluado tres veces, pero cada una de las cuatro variedades fue probada 18 veces.
MODELO MATEMÁTICO. Toda vez que en el DPD existe diferente grado de precisión en la evaluación de los factores en estudio, se hace necesario el que exista dos tipos de error experimental. El error tipo A para evaluar el factor principal el que tiene menor precisión y el error tipo B para evaluar el subfactor. Yijk =
+ j +
i+
ij +
k +
(
)ik +
ijk
i = 1 ... a niveles del factor A j = 1 ... r repeticiones k = 1 ... b niveles del factor B
134
ANÁLISIS DE VARIANCIA. F. de V.
G.L.
S.C.
C.M.
Fcalc.
Total
rab – 1
SCTotal
Repeticiones
r – 1
SCRepet.
SCRepet./ GLRepet.
CMRept./CMError (a)
Factor A
a – 1
SC A
SC A/GL A
CM A/CMError (a)
Error tipo (a)
(r – 1)(a – 1)
SC Error (a)
SC Error (a)/GLError (a)
Factor B
b – 1
SC B
SC B/GL B
CM B/CMError (b)
A x B
(a – 1)(b – 1)
SC AxB
SC AxB/ GL AxB
CM AxB/CMError (b)
Error (b)
a (r – 1)(b – 1) SC Error (b)
C.V.(a) =
CME ( A)
SC Error (b)/GLError (b)
X 100
X
C.V.(b) =
CME ( B )
X 100
X
EJEMPLO. Rendimiento de grano de cuatro variedades de arroz evaluados con seis niveles de nitrógeno en un diseño de parcela divididas con tres repeticiones. Factor A: Dosis de nitrógeno
Factor B: Variedades
n1 = 0 kg/ha
v1 = INIAP - 11
n2 = 60 kg/ha
v2 = INIAP - 12
n3 = 90 kg/ha
v3 = Donato
n4 = 120 kg/ha
v4 = Blanca
n5 = 150 kg/ha n6 = 180 kg/ha
135
DATOS: Variedad
Rep. I
V1 V2 V3 V4
4430 3944 3464 4126
V1 V2 V3 V4
5418 6502 4768 5192
V1 V2 V3 V4
6076 6008 6244 4546
V1 V2 V3 V4
6462 7139 5792 2774
V1 V V4
7290 7682 7080 1414
V1 V2 V3 V4
8452 6228 5594 2248
3
Rep. II N1 4478 5314 2944 4482 N2 5166 5858 6004 4604 N3 6420 6127 5724 5744 N4 7056 6982 5880 5036 N5 7848 6594 6662 1960 N6 8832 7387 7122 1380
Rep. III
Σ
3850 3660 3142 4836
12758 12918 9550 13444
6432 5586 5556 4652
17016 17946 16328 14448
6704 6642 6014 4146
19200 18777 17982 14436
6680 6564 6370 3638
20198 20685 18042 11448
7552 6576 6320 2766
22690 20852 20062 6140
8818 6006 5480 2014
26102 19621 18196 5642
Construcción de dos tablas: Primero la construcción de la tabla de dos vías de totales de repetición x factor A. Con los totales de repetición, totales del factor A, como se muestra en l a siguiente tabla:
136
Producción total (RA)
Nitrógeno
itrógeno
Rep. I
Rep. II
Rep. III
N1
15964
17218
15488
48670
N2
21880
21632
22226
65738
N3
22874
24015
23506
70395
N4
22167
24954
23252
70373
N5
23466
23064
23214
69744
N6
22522
24721
22318
69561
REP
128873
135604
130004
Suma Total
394481
Construir la tabla de dos vías del factor A x factor B, como se ve en el siguiente cuadro:
Nitrógeno V1
Variedades V2 V3
V4
N1
12758
12918
9550
13444
N2
17016
17946
16328
14448
N3
19200
18777
17982
14436
N4
20198
20685
18042
11448
N5
22690
20852
20062
6140
N6
26102
19621
18196
5642
∑ Variedad
117964
110799
100160
65558
Calcular el factor de corrección y la suma de cuadrados del análisis de las parcelas : F.C. = (394481)2 / (3) (6) (4) = 2161323047 SC Total = (4430 2 + ..............+ 2014 2) - 2161 323047 = 204747916 137
SC Repeticiones = 1082577 SC A (nitrógeno) = 30429200 SC Error (a) = – F.C. –SC Repetición –SC A SC Error(a) = (159642 +.......+ 22318 2 )/4 - 2161323047 - 1082577 - 30429200 = 1419678
Calcular la suma de cuadrados para subparcelas: SC B(variedad) = (B2/ra) – F.C. = 89888101 SC (A x B) = (AB)2/r – F.C. –SC B –SC A = 69343487 Error (b) SC = total SC – ( suma de todos los otros SC) = 12584873
Para cada fuente de variación, se calcula calcular los cuadrados medios de la manera convencional, dividiendo la SC, con sus correspondientes grados de libertad. Así: CM Repetición= SC Rep/(r-1)
= 1082577/2 =
541288
CM (A) = SC (A) / (a-1) = 30429200 / 5 = 6085840 CM Error (a) = Error (a) SC / (r-1) (a-1 = 1419678 / 10 = 141968 CM (B) = SC (B)/ (b-1) = 89888101 / 3 = 29962700 CM (A x B) = SC (A x B) /(a-1)(b-1) = 69343487/15 = 4622899 CM Error (b)= SC Error (b) / a(r-1) (b-1) = 12584873/36 = 349580
Se calcular los valores de F para cada fuente de variación, dividiendo cada cuadrado medio por su correspondiente error experimental: F (A) = CM (A) / CM Error (a) = 6085840/141968 = 42.87 F (B) = CM (B) / CM Error (b) = 29962700/349580 = 85.71 138
F (AxB) = CM (A x B) / CM Error (b) = 4622899/349580 = 13.22
Se calculan los coeficientes de variación, uno para calificar el factor que se evaluó en la parcela grande y el otro del factor evaluado en la subparcela C.V.(a) = √ (CM(Error (a) / prom. general) x 100 C.V.(a) = √ (141968/5479) (100) = 6.9 % C.V.(b) = √ (Error (b) CM/ prom. general) x 100 C.V.(b) = √ (349580/5 479) (100) = 10.8 % En este ejemplo, los tres efectos (los dos efectos principales y el efecto de la interacción) son altamente significantes. Hay que tener precaución cuando hay una interacción significante al momento de interpretar los resultados.
ANÁLISIS DE VARIANCIA. Fuente de variación Total
G. L.
Sumas de cuadrados
Cuadrados medio
F calculada
F tabulada 5% 1%
71
204747916
Repetición
2
1082577
541288
3.81 ns
4.10
7.56
Nitrógeno A)
5
30429200
6085840
42.87 **
3.33
5.64
10
1419678
141968
3
89888101
29962700
85.71 **
2.86
4.38
A x B
15
69343487
4622899
13.22 **
1.96
2.58
Error (b)
36
12584873
349580
Error (a) Variedad (B)
139
Para la separación de medias de tratamientos por las diferentes pruebas de significación debe contemplarse los cambios en el cálculo de los Errores estándar de las diferencias entre medias:
Medias en comparación
Error estándar Sd *
Niveles del factor evaluado en la parcela grande: a1- a2
CM Error (a)/ r b
Niveles del factor evaluado en las subparcelas: b1- b2 Niveles del factor evaluado en las subparcelas, para el mismo nivel del factor de la parcela grande: a1b1 – a1 b2 Niveles del factor de las subparcelas, para diferentes niveles del factor de la parcela grande: a1b1 – a2 b1 ó a1b1 – a2b2
CM Error (b)/ r a CMError (b)/ r ( b-1)CMError(b)+CMError (a) rb
* Nótese que para comparaciones en pares el error estándar cambiará a
2CM Error (a)/ r b y de igual manera para las otras medias en comparación
Para el cálculo en otros diseños experimentales y variantes de los revisados en este curso, consultar los libros indicados en la Bibliografía.
140
BIBLIOGRAFÍA 1. Calzada B. J. 1970. Métodos Estadísticos para la Investigación. La Molina, LimaPerú. 644 p. 2. Cochran, W. y Cox, G. M. 1987. Diseños Experimentales. Editorial Trillas, México. 661 p 3. De la Loma, J. L. 1982. Experimentación Agrícola. UTEHA, México. 493 p. 4. Gómez, K. and Gómez A. A. 1984. Statistical Procedures for Agricultural Research. Second Edition. John Wiley and Sons, Inc., Singapore. 680 p. 5. González B., G. 1974. Métodos Estadísticos y Principios de Diseño Experimental. Universidad Central del Ecuador, Quito. 331 p. 6. Infante G., S. y Zarate de Lara, G. P. 2003. Métodos Estadísticos. Un enfoque interdisciplinario. Trillas. México. 643 p. 7. Little, T. M. and Hills, F. J. 1978. Métodos Estadísticos para la Investigación en la Agricultura. Traducido por Anatolio de Paula Crespo. Editorial Trillas, México. 270 p. 8. Martínez G., A. y Castillo M., A. 1987. Teoría de la Regresión con aplicaciones Agronómicas. Colegio de Postgraduados, Chapingo, México. 490 p 9. Martínez G., A. 1988. Diseños Experimentales. Métodos y Elementos de Teoría. Editorial Trillas, México. 756 p 10. Martínez G., A. y Martínez D., M. A. 1996. Diseño de Experimentos con Fertilizantes. Publicación Especial 5. Sociedad Mexicana de la Ciencia del Suelo A.C. y Colegio de Postgraduados. México 155 p. 11. Montgomery, D. C. and Runger, G. C. 2008. Probabilidad y Estadística aplicadas a la Ingeniería. Segunda edición. Limusa Wiley. México. 817 p. 12. Ostle, B. 1986. Estadística aplicada. Editorial Limusa, México. 629 p. 13. Padrón C. Emilio. 1996. Diseños Experimentales con Aplicación a la Agricultura y Ganadería. Editorial Trillas, México. 215 p. 14. Pearce, S. C. 1976. Field Experimentation with Fruit Trees and other Perennial Plants. Second edition. Commonwealth Agricultural Bureaux. England. 182 p. 15. Pimentel G. Frederico. 1987. Curso de Estatistica Experimental. Universidade de Sao Paulo. Piracicaba, Brasil. 467 p. 141
