Tema II. Las muestras y la teoría paramétrica
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2.1. Muestras y muestreos: - La mues muestr tra: a: . Subconjunto de elementos de la población . Necesidad práctica: . Motivos económicos . Imposibilidad (práctica/teórica) (práctica/teórica) de estudiar TODA la población . Inconveniencia práctica o ética (al destruir o afectar la muestra) . Representativa de la población - Estrategi Estrategias as de muestreo muestreo:: . Muestreo aleatorio aleatorio (conocemos la p de la población población en la muestra) muestra) . Muestreo opinático opinático (criterios subjetivos; subjetivos; experiencia experiencia del investigador investigador)) . Muestreo piloto (previo a un estudio)
Ejemplo de muestra?
1
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2.1. Muestras y muestreos: - Tipos de muestreo aleatorio (representativo): . Simple con reemplazamiento (o con N grande) . Simple sin reemplazamiento . Estratificado (en función de la estructura de la población) . Por áreas (geográficas, por ejemplo)
Ejemplo de estratificación
2
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2.2. Muestras, estadísticos y estimadores: - Normalmente SIEMPRE se trabaja con muestras (estadísticos y estimadores): . Estadístico: cualquier función que resume propiedades de la muestra . Estimador: cuando un estadístico pretende inferir el valor de la población: . μ (x) . σ2 (s2) - Estimación puntual (por intervalos)
x=
∑xi n
s2 =
∑(xi-x)2 (n-1)
3
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2.3. Las muestras y la distribución muestral: - La distribución de probabilidad del estadístico (estimador) cambia en la muestra - El procedimiento de inferencia parámetrico (empírico): - Se obtiene una muestra - Se mide el estadístico - Se imagina uno ∞ muestras idénticas sobre las que se calcula el estadístico - Se obtiene la distribución muestral (ejemplo Excel) Distribución Población 1.2
Población 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Muestra 1 = 2, 6, 9
(5,67)
Muestra 2 = 1, 3, 6
(3,33)
1 0.8 0.6 0.4 0.2
Muestra 3 = 4, 5, 5
(4,67)
Muestra 4 = 7, 7, 8
(7,33)
Muestra 5 = 1, 7, 9
(5,67)
Muestra 6 = 1, 5, 5
(3,67)
Muestra 7 = 6, 6, 8
(6,67)
Muestra 8 = 1, 2, 3
(2,00)
Muestra 9 = 8, 9, 10
(9,00)
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Distribución de Frecuencias Clase 1-2: Clase 3-4: Clase 5-6: Case 7-8: Clase 9-10:
1 2 4 2 1
Distribución m uestral 4.5 4
Muestra 10 = 4, 5, 5
(4,67)
3.5 3 2.5 2 1.5 1
¡¡La distribución muestral ES normal!!
4
0.5 0 1
2
3
4
5
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Tema II. Las muestras y la teoría paramétrica 2.3. Las muestras y la distribución muestral: - Obtención de la distribución muestral de la media: . Procedimiento inferencial teórico N1 = 10 . Tamaño de muestra (N) . Media muestral (xs) . Varianza muestral (s2s) 1
Distribución de la Población
a s t r e M u
σ2
μ Fórmula General
xs1 = μ
S2 Var m =
N2 = 100
N
xs2 = μ
s2 S2s1 =
10
s2 S2s2 =
100
5
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2.3. Las muestras y la distribución muestral: - El uso de tablas de referencia (distribución t): - Obtención de IC - Test de Hipótesis
±
×
6
Tema II. Las muestras y la teoría paramétrica 2.3. Las muestras y la distribución muestral: - Aplicación a muestras, la distribución t: . Ejemplo de muestra (IC)
±
×
Ejemplo de Muestra (N = 8) ALUMNOS DE UNA CLASE: 10,2 9,7 10 9,6 8,7 11 10,5 10,9 Estadística descriptiva: Media de muestra ( μ) Varianza de muestra ( σ2) Desviación típica de muestra ( σ)
= 10,07 = 0,571 = 0,755
s2
OBTENCIÓN DE INTERVALO DE CONFIANZA N NC 8 8
CÁLCULO
95% 10,07 ± 0,63 (2,36 x 0,755/ √8) 99% 10,07 ± 0,93 (3,50 x 0,755/ √8)
INT1
INT2
9,4 9,1
10,7 11,0
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Tema II. Las muestras y la teoría paramétrica 2.3. Las muestras y la distribución muestral: - Aplicación a muestras, la distribución t: . Ejemplo de muestra (Test de hipótesis) Ejemplo de Muestra (N = 8) ALUMNOS DE UNA CLASE: 10,2 9,7 10 9,6 8,7 11 10,5 10,9 Estadística descriptiva: Media de muestra ( μ) Varianza de muestra ( σ2) Desviación típica de muestra ( σ)
Método General = 10,07 = 0,571 = 0,755
x – μ (H0)
σ/√n
Nivel significación 5% (p una cola 0.025) N = 8, si X = 10,5; H0 = pertenece a la población; H 1 =no (10,5 – 10,07)/(0,755/√8) = 1,61 : p en tabla t > 0.05; (>0,1 dos colas) Según NS del 5% se acepta H 0
8
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Tema II. Las muestras y la teoría paramétrica Método General
2.4. Aplicación del test t en muestras: - Diferencias entre dos muestras: . Ejemplo en el Hospital . Análisis descriptivo . Test t (H0 y H1) - Con comparaciones múltiples se usa ANOVA
t=
x1 – x2 – (μ1- μ2; H0=0)
σ2p 1 n1 √
1 n2
Porcentage de HDL en sangre Muestra 1 (10 enfermos): 120, 107, 110, 116, 114, 111, 113, 117, 114, 112 Muestra 2 (10 sanos): 110, 111, 107, 108, 110, 105, 107, 106, 111, 111 Estadística descriptiva: Media (μ) Varianza (σ2) Desviación típica (σ)
σ2ponderada
=
(n1-1) σ21 + (n2-2) σ22 n1 + n2 – 2
t = 3,484 GL = n1 + n2 -2 = 18
Muestra 1 113,4 13,822 3,72
Muestra 2 108,6 5,155 2,27
(9x13,822) + (9x5,155) =
= 9,488 (3,08) 18
Valor de probabilidad asociado a dicha t < 0.01 Valor de t al límite del 5% = 2,109 9
por ello se puede rechazar la h 0
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Método Gen 2.5. Aplicación del test t en muestras: - Diferencias entre dos muestras apareadas: . Ejemplo en el Hospital . Test t (H0 y H1)
D–δ t=
√(σ2p
Porcentage de HDL en sangre Muestra 1 (10 enfermos): 120, 107, 110, 116, 114, 111, 113, 117, 114, 112 Muestra 2 (los mismos sanos): 110, 111, 107, 108, 110, 105, 107, 106, 111, 111 Diferencia: 10, -4, 3, 8, 4, 6, 6, 11, 3, 1 Estadística descriptiva: Media (μ) Varianza (σ2) Desviación típica (σ) H0 = D no es distinto de 0;
D 4,8 19,73 4,44 H1 = Si lo es
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2.6. Estimación y test de hipótesis con otros estadísticos: - Diferencias entre dos varianzas: . La razón de varianzas (s21/s22) . La distribución F: . GL1 (numerador-1) y GL2 (denominador-1) . Puede ser asimétrica o no . Test de una cola
Casos de la distribución F: F(1, ∞) = Distribución Normal F(1, n2) = Distribución t F(n1, ∞) = Distribución χ2
11
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2.6. Estimación y test de hipótesis con otros estadísticos : - Diferencias entre dos varianzas: . Uso de la distribución F: . Se elige NS . Se busca valor F GL 1 y GL2 . Se determina rechazo o no de H 0
NS = 5%
Ejemplo: F = 3,45 GL1 = 3 GL2 = 17 Como 3,45 < 3,59 No significativo Se acepta H0
12
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Tema II. Las muestras y la teoría paramétrica 2.6. Estimación y test de hipótesis con otros estadísticos : - Diferencias entre dos varianzas: . Ejemplo en el Hospital . Conclusión
Porcentage de HDL en sangre Muestra 1 (10 enfermos): 120, 107, 110, 116, 114, 111, 113, 117, 114, 112 Muestra 2 (10 sanos): 110, 111, 107, 108, 110, 105, 107, 106, 111, 111 Estadística descriptiva: Media (μ) Varianza (σ2) Desviación típica ( σ)
Muestra 1 113,4 13,822 3,72
Muestra 2 108,6 5,155 2,27
H0 = no hay diferencias en varianzas H1 = si las hay F = Mayor/Menor = 2,68
F5%(9,9) = 3.18
Fprueba < Ftabla = se acepta H 0 13
Muestra 1 y 2 con iguales varianzas
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2.6. Estimación y test de hipótesis con otros estadísticos : - Diferencias entre dos varianzas: . La razón de varianzas (s21/s22) . La distribución F: . GL1 (numerador-1) y GL2 (denominador-1) . Asimétrica . Test de una cola
Casos de la distribución F: F(1, ∞) = Distribución Normal F(1, n2) = Distribución t F(n1, ∞) = Distribución χ2
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2.7. Otros tests de hipótesis: - Evaluación de proporciones, frecuencias, etc: . Métodos no paramétricos (análisis de frecuencias): . Χ2 (conjunto de distribuciones; asimétricas; de una cola) . Test G - Métodos NO-Paramétricos de aleatorización/remuestreo empírico, etc. df\upper tail area
0.99
0.95
0.90
0.10
0.05
0.01
1
0.00016
0.0039
0.016
2.706
3.841
6.635
2
0.020
0.103
0.211
4.605
5.991
9.210
3
0.115
0.352
0.584
6.251
7.815
11.34
4
0.297
0.711
1.064
7.779
9.488
13.28
5
0.554
1.145
1.610
9.236
11.07
15.09
10
2.558
3.940
4.865
15.99
18.31
23.21
15
5.229
7.261
8.547
22.31
25.00
30.58
20
8.260
10.85
12.44
28.41
31.41
37.57
25
11.52
14.61
16.47
34.38
37.65
44.31
df > 30: use z = sqrt(2chi2)-sqrt(2df-1)
15
Referencias Bibliográficas
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LIBROS: Daniel, W.W. 1989. Bioestadística. Base para el análisis de las ciencias de la salud. Limusa, México. Sokal,R.R., Rohlf, F.J. 1995. Biometry. Freeman and co., New York PÁGINAS WEB: http://www.statsoft.com/textbook/sttable.html (tablas en línea para ver probabilidades de la distribución t) http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/excel/excel.htm (programación de cálculos estadísticos en EXCEL) http://statpages.org/ (Página que permite análisis estadísticos interactivos) 16
