Estadística Aplicada en Hidrología

ESTADÍSTICA ESTADÍSTIC A APLICADA EN HIDROLOGÍA UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE INTEGRANTES • • • •

CERNA FERNÁNDEZ JUNIOR SALINAS DÍAS CARLOS SIGUENZA RUBIO LUIS  TORRES MEDINA DIANA

PROFESOR: •

ING. SPARROW, EDGAR GUSTAVO  TRUJILLO – PERÚ 20!

 TABLA DE CONTENIDO ESTADÍSTICA APLICADA EN LA INGENIERÍA CIVIL """""""""""""""""""""""""""" IMPORTANCIA DE LA ESTADÍSTICA EN LA HIDROLOGÍA...............................................



. CONCEPTOS FUNDAMENTALES""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ..

PERÍODO DE RETORNO...........................................................................................

.2.

RIESGO DE FALLA.................................................................................................... #

2. FUNCIONES DE PROBABILIDAD USADAS EN HIDROLOGÍA"""""""""""""""""""""$ 2..

DISTRIBUCI%N NORMAL..........................................................................................$

2... 2.2.

DISTRIBUCI%N LOG&NORMAL................................................................................... '

2.2.. 2.).

APLICACI%N EN HIDROLOGÍA............................................................................(

DISTRIBUCI%N PEARSON TIPO III O DISTRIBUCI%N GANMA TIPO )........................0

2.).. 2.#.

APLICACIONES A LA HIDROLOGÍA.....................................................................!

APLICACI%N EN LA HIDROLOGÍA.....................................................................)

DISTRIBUCI%N GUMBEL O DE VALORES E*TREMOS TIPO I....................................)

FIGURA + + C-/1 341 567541 ...............................................................................2 FIGURA 2+ P3844  3943:4 ;3 193-<9-31 5:431......................................................) FIGURA )+ P344  3943:4 ;3 193-<9-31 <=/1 : >:3/........................................) FIGURA #+ ;344  3943:4 ;3 4?31 @36-/<1 : <33931......................................) FIGURA $+ P3844  3943:4 1>: 631  ;349>3..........................................................) FIGURA !+ P3844  3943:4 ;3 / 14  =39341  5?/11.............................# FIGURA '+ F-:<:  :1  / 193?-<: :435/.....................................................! FIGURA (+ F-:<:  :1  / 193?-<: /4>&:435/...............................................( FIGURA + F-:<:  :1  / 193?-<:  P314: T;4 III.................................0 FIGURA 0+ F-:<:  :1  193?-<:  G-5?/..............................................)

HIDROLOGÍA GENERAL

ESTADÍSTICA APLICADA EN LA INGENIERÍA CIVIL E: / <5;4  / :=19><: <:98< 1 <45: / :-9- ;43 :9:93 7;313 / =4/-<:  -: 935:4 :5:4 5:9 -: 13  51, - / 93-<: / /:>-  /41 :5341. E1 ;43 194 - / 19819< 1 <4:=39 : -: @335:9 - ;359 4?9:3 / 5675 -9/ : /1 ;/<<4:1 ;36<9<1  ;393  3>19341  =3141 9;41 - 1 1;4: : 1;</ <-/1  ;3<;9<4:1. 

IMPORTANCIA DE LA ESTADÍSTICA EN LA HIDROLOGÍA

L 5438  /1 <-11 - <9: : /41 <<41 1-;3</1 14:  <36<93 59434/><4  / ;34; 59434/4>8 1 1334// -:5:9/5:9  / E19819<,  - 1 5- 8</ //>3  -: 19-4 59569<4  ;3<14  /41 ;34?/51 81<41 - <4:<4:: /41 ;34?/51 81<41 - <4:<4:: /41 :5:41 @34/><41. L 3<4;/<:  941 @34/><41,  1- 43:5:94 19819<4, 9:: <454 : ;36<9<4 1- 5;/<: ;3 5:14:3, <4: / 543 <394 ;41?/, /1 4?31 - @:  -9/3 /41 3<-3141. . CONCEPTOS FUNDAMENTALES .. PERÍODO DE RETORNO E/ P344  R943:4 T, 1 : <454 / 95;4 4 /;14 ;3454 :93 / 4<-33:<  -: =:94 >-/ 4 543  -: 5>:9- , <@4  493 435, 1 / :93=/4  3<-33:< ;3454 ;3 -: <394 =:94. E19819<5:9 / P344  R943:4 1 / :=31  / ;34??/  7<:<, 1 <3+ 1 T =  P ( X ≥ x

O 95?K: ;- 13 3;31:94 ;43 / ;34??/  :4 7<:< <454 1 5-193  <4:9:-<:+ T =

P6>: 

1 1 − P ( X ≥ x

HIDROLOGÍA GENERAL O93 435  3;31:93 / 95;4  3943:4 1 5:9 / 1>-:9 >36<+ E: / 5>: :9343 1 <4:13 ;43 5;/4 / =3?/ <-/ 56754 / 4,  57 ;3 : 41 :  #Q. L 5 @193<  19 13  # 41 31-/9 #. 5 )1. A@43

FIGURA 1: : Caudales diarios máximos 1

<4:133 ;43 5;/4 / =/43 20 5)1. T33 -: 3<9  20 5)1 : / >36<4. R/3 / <4:94  41 93:1<-3341 :93 =:941 5431  20 5)1+ U: = - 1 ;31:9 / =:94 20 5)1 : / 1>-:4 4, 93:1<-3334: 2 41 :91  - 1 =4/=3  ;31:93 <@4 =:94. L->4 93:1<-3334: $ 41, /->4 2 41, 9<. E:94:<1 / ;344  3943:4 T 136 / =/43 1;34  141 /;141  95;4. E:94:<1 : / 5;/4 1<394 T ;- 13 1954 <454 1>-+ 2 + 5 + 2+ 6 + 2 + 2 + 1 + 8 + 5 T = =3.80 años 10

L4 - 1>:< -+ C4:13:4 =31 <:9:1  41, / =/43  20 5)1 1 7<4 : ;3454 -: = < ).( 41, 1 <3, / ;344  3943:4 / =/43  20 5)1 1  ).( 41. C4: 4931 ;/?31, : / 93:1<-314  -: 4 <-/-3 <-/-3 1 9: -: ;34??/  -:4 : ).(  -  57 1 >-/ 4 543  20 5)1.

P6>: 2

HIDROLOGÍA GENERAL E/ ;344  3943:4  4;93 ;3 / 14  -: 193-<9-3 @36-/< ?38 13 / 31-/94 / :6/11 <4194&?:<4. A 543 ;344  3943:4 543 / 4?3  : <4:1<-:< 561 <3  / ?:<4. S: 5?3>4 / =/-<:  /41 ?:<41 1 3<-:95:9 5- 8</  -9/3, ;43 /4 - : / ;36<9< 1 4;93: ;3441  3943:4 : ?1  / ;36<9< -1-/.

FIGURA : Per!odo de re"or#o $ara es"ru%"uras me#ores

FIGURA &: Periodo de re"or#o $ara es"ru%"uras %i'iles e# (e#eral

P6>: )

HIDROLOGÍA GENERAL

FIGURA ): $eriodo de re"or#o $ara o*ras +idráuli%as e# %arre"eras

FIGURA ,: Per!odo de re"or#o se(-# áreas a $ro"e(er

.2. RIESGO DE FALLA FIGURA .: Per!odo de re"or#o $ara el dise/o de 'er"ederos de em*alses

S : / 31>4  //4 R  -: 14 <454 / ;34??/  - / =: ;3 / <-/ 1 1 / 4?3 1 7< : / 93:1<-314  N 41, 194 1 <4:134 <454 -: 19-<:  31>4, ;-1 / 4?3 1 1 ;3 14;4393 <39 =: 5675,  <3<:91 5431 ;438: @<3/ 4 4 :4 =1 @-5:1  :3193-<9-31 - 196: >-1 ?4. D 435 561 1:<// 1 :9: ;43 31>4  //4  / ;34??/  - -: =:94 <4: -: ;344  3943:4  T 41

P6>: #

HIDROLOGÍA GENERAL 4<-33 / 5:41 -: = : N 41. E/ 31>4  //4 1 ;- 1<3?3 <454+  R= P ( X ≥ xal menos unavez al añoen N años )=1 −1− P X ≥ x  R= P ( X ≥ x al menos una vez en N años)=1 −

1 1− T 

 N 

D4:+  T  P3844  3943:4 N  A41  P X ≥ x   P34??/  7<:<  R=¿  R1>4  //  ;34??/  - -: =:94 <4:

;344  3943:4 T 41 4<-33 / 5:41 -: = : N 41. D / 515 5:3 1 ;- :3 / <4:?/ - =:  13 / <45;/5:94 / 31>4  //4, - 1 : <454 / ;34??/  - -: =:94 <4: ;344  3943:4  T 41 :4 4<-33 : N 41, / <4:?/ 1 ;- 7;313  / 1>-:9 5:3+  P ( X < xcada añoduranteN años )=1 − P X ≥ x  P ( X < x cada año durante N años) = 1−

1 T 

 N 

= F ( x )

 T5?K: 1 ;41?/ </<-/3 / ;344  3943:4  ;393 / 31>4  //4  / :534  41, <454 1>-  <4:9:-<:+ T =

1 ln 1− r 1 −exp  N 

(

2. FUNCIONES DE PROBABILIDAD USADAS EN HIDROLOGÍA 2.. DISTRIBUCI%N NORMAL  T5?K: :45: 193?-<: >-1:. S < - -: =3?/ /943 * 9: -: 193?-<: :435/, <-:4 1-:<:  :1  ;34??/ 1+ f  ( x )=

D4:+

P6>: $

1

√ 2 ∏ S

( )

´ 2 −1  x − X 

e

2

S

HIDROLOGÍA GENERAL f x   -:<:  :1 :435/  / =3?/ 7

 x   =3?/ :;::9  X   ;365934  /4</<:, >-/  / 5 395K9<

 7 S =¿  P365934  1</ >-/  / 1=<: 196:3   x e =¿  B1 / /4>3954

C-:4 / =3?/ /943 1 193?- :435/5:9 <4: 5  X   =3:, S  X = N   X´ , S

1 :49  / 1>-:9 435+

2

P3 1- ;/<<: /4 FIGURA 0: Fu#%i# de de#sidad de la dis"ri*u%i# #ormal

561

6</

1

/

-9/<:  -: 9?/ - 3/<4: Z =31-1 .  x − X  Z = S

D4: / -:<:  :1  Z, 1 :45: -:<:  :1  / 193?-<: :435/ 196:3 4 19:3, - 9: / 1>-:9 7;31:. f  ( Z )=

− Z 

1

√ 2

S

e

2

U: <3<93819< 5;439:9  / 193?-<: :435/ 196:3 1 - 9: / 5 <34  / =3: >-/  -:4. L -:<:  193?-<: <-5-/  / 193?-<: :435/ 1+ f  ( x )=

P6>: !

1

√ 2 ∏

 x

e ∫ S −∞

 ´ 2 − 1  x − X  2

S

dx

HIDROLOGÍA GENERAL O 1- -=/:9+  F ( x )= F ( Z )=

1

Z 

∫e

√ 2 ∏ S −∞

−Z 2 2

dZ 

2...APLICACIONES A LA HIDROLOGÍA L 193?-<: :435/ 1  >3: -9/ : @34/4>8, 1:4 />-:1  1-1 ;3:<;/1 ;/<<4:1+  E/ -19  193?-<: 5;83<  =3?/1 @34/><1 51 :-/1, 5:1-/1, 19<4:/1, 9<., 4 95?K: =3?/1 <-5-/1 :-/1, 5:1-/1, 9<., - ;-: 

13 <-/1 ;3<;9<:, 95;39-3, :93 49341. C454 33:< ;3 <45;33 =31 193?-<4:1 93<1



 -19 <4: -: 193?-<: 5;83<. A:6/11  33431 /94341 : /1 4?13=<4:1 4

5<4:1 @34/><1.  P3 ;/<3 :3:< 19819<. P3 3/3 / -19 1 -9/ / ;;/  ;34??/1  / / :435/ -:94  1- 3<9 93 :/89<5:9. 2.2. DISTRIBUCI%N LOG&NORMAL L1 =3?/1  :93K1 : @34/4>8 14: >:3/5:9 ;419=1, ;43 /4 - 1 -1-/ - ;31:9: 193?-<4:1  3<-:< 15K93<1, ;43 /4 - 1 ;34;4: ;/<3 -: 93:1435<: /4>3895<  / =3?/  :93K1  /->4 -9/3 / 54/4  193?-<: :435/ ;3 / =3?/ 931435, / 193?-<: 18  4?9: 1 :45: /4>&:435/, ;43 5;/4 1 / =3?/ /943 *, 9: -: 193?-<: /4>&:435/, 194 1>:< -

Y =lnX  , 9:

-: 193?-<: :435/. S < - -: =3?/ /943 * 9: -: 193?-<: /4>&:435/, <-:4 1- -:<:  :1  ;34??/ 1 : <454+ P3 −∞< x < ∞ f  ( x )=

P6>: '

1

 x √ 2

∏ σ 

(

−1 lnx −  y

e

2

σ  y

)

2

HIDROLOGÍA GENERAL P3 −∞< < ∞ f  (  y )=

−1  y −  y

1

 x √ 2

∏ σ 

2

e

2

σ  y

D4:+ f x   -:<:  :1 /4>&:435/  / =3?/ 7

 x   =3?/ :;::9  

 5 395K9<  /41 /4>39541 :9-3/1  7

σ  =¿  P365934  1</ >-/  / 1=<: 196:3 

 x e =¿  B1 / /4>3954

= ln x L -:<:  193?-<: <-5-/  / 193?-<: /4>&:435/ 1 5-193  <4:9:-<:+  x

∫

 F ( x )= f  ( x )= 0

− 1 lnx −  y

 x

1

√ 2 ∏ σ 

∫e

2

σ  y

2

dx

0

O 1- -=/:9+  y

 F ( y )=

∫ f ( x )=

−∞

S+

Z =

 y −  y σ 

=

lnx −  y σ 

1

√ 2

∏

−1  y−  y

 y

σ 

∫e

2

σ  y

2

dy

−∞

 1 4?9: / 193?-<: :435/ 196:3 f  ( Z )=

1

√ 2 ∏

Z 

e ∫ ❑

−Z  2

dZ 

−∞

FIGURA 2: Fu#%i# de de#sidad de la dis"ri*u%i# lo(3#ormal

P6>: (

HIDROLOGÍA GENERAL U: = 3/ / 93:1435<: <4: / =3?/ 19:3 Z, -9/3 /1 9?/1  / / :435/ ;3 / <6/<-/4  / ;34??/ 4 / -:<: <-5-/. 2.2..APLICACI%N EN HIDROLOGÍA L 193?-<: /4>&:435/ 1  >3: -9/ : @34/4>8, 1:4 />-:1  1-1 ;3:<;/1 ;/<<4:1+  C454 33:< ;3 <45;33 =31 193?-<4:1 93<1

P6>: 



 -19 <4: -: 193?-<: 5;83<. A:6/11  33431 /94341 : /1 4?13=<4:1 4



5<4:1 @34/><1. P3 ;/<3 :3:< 19819<

HIDROLOGÍA GENERAL

P6>: 0

HIDROLOGÍA GENERAL 2.). DISTRIBUCI%N PEARSON TIPO III O DISTRIBUCI%N GANMA TIPO ) E19 1 -:  /1 193?-<4:1 561 -9/1 : @34/4>8, 1 < - -: =3?/ /943 *, 9: -: 193?-<: G5 4 P314: 9;4 III, 1 1- -:<:  :1  ;34??/ 1+ −  x − x 0

f  ( x )=

( x − x 0 )

! − 1

! 

 "

e

ℾ(

−∞# x 0 # ∞

 x 0 # x # ∞

P3+

0#

#∞

0#

#∞

L -:<:  193?-<: <-5-/  / 193?-<:  P314: 9;4 III, 1 1- -:<:  :1  ;34??/ 1+ −  x − x 0  x

∫

 F ( x )=

 x

! − 1

( x − x 0 )  "

! 

e

 "

ℾ ( ! )

D4:+ f x   -:<:  :1  / =3?/ 7

 F x  -:<:  193?-<: <-5-/  x =¿  V3?/ /943  x 0  43>:  / =3?/ 7, ;365934  ;41<:

=¿  P365934  1</ =¿  P365934  435 ℾ

=¿  F-:<: >5 <45;/9

FIGURA 4: Fu#%i# de de#sidad de la dis"ri*u%i# de Pearso# Ti$o III

P6>: 

HIDROLOGÍA GENERAL P3 / ;/<<:  19 193?-<:, 1 3<45:?/ -9/3 / <943  3<-:<, 4: 1 5-193 - / 5438  /1 -:<4:1  3<-:<1 ;-: 13 >:31 ;43+  X = X + $ ∗σ  x D4:+  X =¿  V3?/ :/, <4: -: ;34??/   X =¿ M  / 13  941 σ  x =¿  D1=<: 196:3  / 13  941

 $ =¿  F<943  3<-:< :4 ;3 <

193?-<: P3 / 193?-<: P314: 9;4 III, 1 ?36 </<-/3 / 5, / 1=<: 196:3  / <4<:9  15938 M D1=<: 196:3 C4<:9  15938

´=  X 

X %  N  σ  x =

√

∑ ( x − X ´ )

& s= ' =

2

%

 N − 1

∑ ( x − X ´ )

N 

3

%

( N −1 ) ( N −2 ) σ  x 3

P3 935:3 / <943  3<-:<, 1 :<13 / -9/<:  / 1>-:9 9?/, ;3 /4 <-/ 1 :<134 </<-/3 / <4<:9  15938  / ;34??/ 4 ;3844  3943:4 31;<9=4 ;3 / =3?/ :/. E: / <14  / 193?-<: /4>&P314: 9;4 III, / ;34<5:94 1 / 5154, /4 :<4 - <5? 1 - 1 ?36 93?3 <4: /41 /4>39541  /1 =3?/1,  1 -9/36 / 515 9?/ ;3 935:3 / <943  3<-:<.

P6>: 2

HIDROLOGÍA GENERAL

P6>: )

HIDROLOGÍA GENERAL

P6>: #

HIDROLOGÍA GENERAL 2.)..APLICACI%N EN LA HIDROLOGÍA L 193?-<: P314: 9;4 III 1  >3: -9/ : @34/4>8, 1:4 />-:1  1-1 ;3:<;/1 ;/<<4:1+  C454 33:< ;3 <45;33 =31 193?-<4:1 93<1 

 

 -19 <4: -: 193?-<: 5;83<. A:6/11  33431 /94341 : /1 4?13=<4:1 4 5<4:1 @34/><1. P3 ;/<3 :3:< 19819<. P3 3/3 -191  193?-<: 5;83<  =3?/1 @34/><1  ;3<;9<:, <-/1, 95;39-3, 9<., 9/1 <454 =/431 :-/1, 5:1-/1 4 =/431 <-5-/41

:-/1, 5:1-/1 2.#. DISTRIBUCI%N GUMBEL O DE VALORES E*TREMOS TIPO I L 193?-<: G-5?/ 1 95?K: //5 193?-<:  V/431 E793541 T;4 I 4 193?-<: 4?/ 7;4::</. S < - -: =3?/ /943 * 9: -: 193?-<: G-5?/, <-:4 1-:<:  :1  ;34??/ 1 : <454+ 1 f  ( x ) =  e ( 

− x −  − e

− x −   

( 

D4:+ f x  =¿ F-:<:  :1  G-5?/  / =3?/ 7

7  =3?/ :;::9 ( =¿  E1 / ;365934  1</

=¿ 54

E1 / ;365934  ;41<:, 95?K: //54

  B1 / /4>3954

FIGURA 15: Fu#%i# de de#sidad de dis"ri*u%i# de Gum*el

L -:<:  193?-<: <-5-/  / 193?-<:  G-5?/+

P6>: $

HIDROLOGÍA GENERAL − x− 

−e

 F ( x )=e

( 

D4:  F x  1 / -:<:  193?-<: <-5-/  / / G-5?/. U: 435  </<-/3 (  

1 <4: /1 <-<4:1 1>-:91,  196: :

-:<:  /41 ;3659341  / 5

 X   / 1=<: 196:3

 / 5-193. ( =

6 S * 0.78 S ) 

= X −0.57721 (     0.57721 ( 

P6>: !

 E1 / <4:19:9  E-/3

S