Estadistica

Fundamentos de Estadística Introducción a la Estadística Prof.

Dr.

´ Eduardo Va Valenzuela Do Domınguez ınguez [email protected]

´ ica Federi Universidad Tecn ecnica Fed erico co Santa Sa nta Mar´ M ar´ıa ıa

Introducción Modelación Realidad versus Modelo


•

Modelos Deterministicos


• •

Modelos Deterministicos Modelos no-Deterministicos


• •

Modelos Deterministicos Modelos no-Deterministicos

Toma de decisiones bajo Incertidumbre

Definición Estadistica: Mezcla entre ciencia y arte que entrega herramientas para modelar fenómenos no-deterministicos Algunas aplicaciones:


•

Ingeniería


• •

Ingeniería Compañías de Seguros


• • •

Ingeniería Compañías de Seguros Estudios de Mercado


• • • •

Ingeniería Compañías de Seguros Estudios de Mercado Control de Calidad


• • • • •

Ingeniería Compañías de Seguros Estudios de Mercado Control de Calidad Instrumentos Financieros


• • • • • •

Ingeniería Compañías de Seguros Estudios de Mercado Control de Calidad Instrumentos Financieros Medicina

Algunos Términos •

Población: Colección completa de todas los individuos de interes para el investigador.

•

Parámetro: Valor que caracteriza un aspecto de la población.

•

Muestra: Subconjunto de la población y que es representativa de esta.

•

Estadistico: Medida descriptiva de la muestra que se utiliza para estimar al respectivo parámetro poblacional.

•

Variable: Caracteristica de la población que se analiza en el estudio estadistico.

Técnicas de Muestreo •

Muestreo Aleatorio simple: Procedimiento mediante el cuál todas las muestras de un determinado tamaño, poseen la misma "chance" de ser extraidas.

•

Muestreo Aleatorio Estratificado: Esquema de muestreo que primero particiona a la población en diversos "estratos" y posteriormente extrae una mustra aleatoria simple en cada uno de ellos.

Muestreo •

Error muestral: Diferencia entre el valor del parámetro poblacional y el producido por el estadistico o estadigrafo basado en una muestra.

•

Sesgo muestral: Tendencia a favorecer la selección de determinados individuos de la población.

Muestreo

• • •

Población vs Muestra Muestreo implica Error muestral Acotar la probabilidad de cometer errores

Estadistica

• •

Descriptiva Inferencial

Tipos de Variables •

Variables cualitativas: Caracteristica que representa una cualidad de los individuos poblacionales.

•

Variables cuantitativas: Caracteristica que corresponde a una magnitud asociada a los individuos de la población.

Escalas de Medición •

Escala nominal: Nombres o clases que se utilizan para organizar los datos en categorias separadas y distintas.

•

Escala ordinal: Mediciones que jerarquizan los datos en categorias, ordenadas en virtud de un determinado criterio.

Escalas de Medición •

Escala de intervalos: Mediciones respecto de una escala numerica en la cual la diferencia entre valores tiene interpretación y la ubicación del cero es arbitrario.

•

Escala de proporciones: Mediciones respecto de una escala numerica en la cual tanto la diferencia como los cuocientes tienen interpretación y la ubicación del cero es absoluto.

Estadistica Descriptiva Proporciona procedimientos que permiten organizar, procesar y presentar los datos muestrales con el fin de extraer información relevante que este contenida en ellos. Datos Muestrales Clasificación A1 , A2 , . . . , Ak : clases

Número de clases Si se dispone de n datos muestrales, se suele usar la regla de “Sturges”:

·

k = [3, 3 log n] + 1

Ejemplo: Para n = 1000, usar:

·

·

k = [3, 3 log 1000] + 1 = [3, 3 3] + 1 = 9 + 1 = 10

clases

Observaciones y Preguntas •

Las clases deben ser excluyentes y todo elemento muestral debe pertenecer a una de ellas.

• • •

¿Existen clases que concentren mas datos?. ¿Se presenta un comportamiento uniforme?. ¿Se visualiza mas de un punto de concentración?.

Construcción de clases Si los datos muestrales estan medidos por lo menos al nivel de intervalos y si los representamos por: x1 , x2 , . . . , xn

entonces la amplitud de las clases es de: c=

max xi

− min x

i

k

Construcción de clases con esto se determinan los limites superior e inferior inf erior de cada clase: clase limites relacin A1 [a1 b1 ] b1 = a1 + c A2 ]a2 b2 ] b2 = a2 + c .. .. .. . . . Ak ]ak bk ] bk = ak + c

→ → →

en donde a1 = min xi y ak+1 = bk

Continuación Ejemplo min xi = 50 y max xi = 102, por lo que c = 1026−50 = 8, 7 redondeando redondeando,, tomaremos c = 9, con lo que las clases quedan: clase limites marca de clase [50 59] 54, 5 A1 ]59 68] 63, 5 A2 ]68 77] 72, 5 A3 ]77 86] 81, 5 A4 ]86 95] 90, 5 A5 104] 99 5 A6 ]95

→ → → → → →

Gráfico de Tallo y Hoja Una for forma ma alternativ alter nativa a de visualizar los datos, es mediante el gráfico de tallo y hoja: La coma decimal esta un digito a la derecha de los dos puntos: 5 6 7 8 9 10

: : : : : :

079 0567899 0011 00 1122 2234 3445 4567 6778 7889 8999 99 001233344456 01233457 12

Distribuciones de Frecuencias Para descubrir como se “reparten” los datos entre las clases, consideraremos las frecuencias

•

Frecuencia absoluta: Es el número de observaciones muestrales que caen en cada clase: ni , para i = 1, . . . , k .

•

Frecuencia relativa: Es la proporción de datos con respecto a toda la muestra que pertenecen a cada clase: f i , para i = 1, . . . , k.

•

Se tiene que: f i =

ni n

Distribuciones de Frecuencias •

•

•

Frecuencia absoluta acumulada: Es la suma acumulada de las frecuencias absolutas hasta cada clase: N i , para i = 1, . . . , k . con i N i = j=1 nj , para i = 1, . . . , k



Frecuencia relativa acumulada: Es la suma acumulada de las fercuencias relativas hasta cada clase: F i , para i = 1, . . . , k. con i F i = j=1 f j , para i = 1, . . . , k



Se tiene que: F i =

N i n

Ejemplo clase limites [50 59] A1 ]59 68] A2 ]68 77] A3 ]77 86] A4 ]86 95] A5 104] A6 ]95 total

→ → → → → →

ni N i

3 5 15 17 7 3 50

3 8 23 40 47 50

f i 0, 06 0, 10 0, 30 0, 34 0, 14 0, 06 1, 00

F i 0, 06 0, 16 0, 46 0, 80 0, 94 1, 00

Representaciones Gráficas Otra forma de representar la información muestral, es mediante gráficos

•

Histograma: Se grafican las frecuencias con respecto a las diversas clases.

•

Poligono de frecuencias: Representa las frecuencias en las marcas de clases unidas por segmentos de rectas.

•

Distribucion de frecuencias acumuladas: Aqui se representan las frecuencias acumuladas hasta cada clase.

Representaciones Gráficas •

Ojiva: Poligonal que une las frecuencias acumulativas en cada clase.

•

Gráfico de barras: Las frecuencias se representan por barras proporcionales a ellas.

•

Gráficos circulares: Las frecuencias se muestran como sectores circulares.

Histograma Histograma de x

3 0 . 0

2 0 . 0

1 0 . 0

0 . 0

50

60

70

80 x

90

100

110

Ojiva Ojiva de x 0 . 1

8 . 0

6 . 0 c e r F 4 . 0

2 . 0

0 . 0

50

60

70

80 x

90

100

Pastel Grafico circular de x

Estadistica descriptiva bivariada Analisis descriptivo conjunto de dos o mas variables. Si (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ) es una muestra bivariada de las variables X e Y . Si k es el número de clases para X y l, para Y , se definen:

•

Frecuencia absoluta conjunta: El número de observaciones muestrales que caen en la clase Ai segun X y en la clase Bj segun Y . ni,j , i = 1, . . . , k , j = 1, . . . , l

•

Frecuencia relativa conjunta: Proporción

Tablas de contingencia Se definen las frecuencias marginales de X e Y respectivamente por: l

ni,.

 = j=1

k

ni,j , n.,j

 =

ni,j

i=1

y las respectivas frecuencias relativas conjuntas y marginales por: ni,j ni,. n.,j f i,j = , f i,. = , f .,j = n n n

Ejemplo

[1000;2000] ]2000;3000] ]3000;4000] ]4000;5000] n.,j

[10;30] ]30;50] ]50;70] 15 8 4 5 12 9 2 13 10 1 16 18

ni,.

113

Ejemplo

[1000;2000] ]2000;3000] ]3000;4000] ]4000;5000] n.,j

[10;30] ]30;50] ]50;70] 15 8 4 5 12 9 2 13 10 1 16 18

ni,. 27 26 25 35 113

Ejemplo

[1000;2000] ]2000;3000] ]3000;4000] ]4000;5000] n.,j

[10;30] ]30;50] ]50;70] ni,. 15 8 4 5 12 9 2 13 10 1 16 18 23 49 41 113

Ejemplo

[1000;2000] ]2000;3000] ]3000;4000] ]4000;5000] n.,j

[10;30] ]30;50] ]50;70] ni,. 15 8 4 27 5 12 9 26 2 13 10 25 1 16 18 35 23 49 41 113

Medidas de tendencia central Son estadisticos que proporcionan valores representativos de la muestra, de tal manera que todos los datos muestrales caen en torno a estos valores.

• • • •

Moda Mediana Media ( geométrica ) Media ( aritmética )

Si los datos muestrales han sido agrupados en clases y estas marcas de clase son x1 , . . . , xk con frecuencias relativas f i . Se define la media de x por k

 ¯=

x

i=1

k

f i xi

1 = n

i=1

ni xi

Medidas de variabilidad Las medidas de variabilidad o de dispersión, pretenden cuantificar el grado de homogeneidad presente en la muestra; determinan que tan concentrados o dispersos estan los datos. Algunas medidad de dispersión son:

• • • •

Rango Desviación media Rango intercuartílico Varianza y Desviación estandar

La varianza se define por: k

S x2

 = i=1

k

f i (xi

1 − ¯) = x

2

n

i=1

y la desviación estandar por: S x

 =+

S x2

ni (xi

2

− x¯)

Observación Cabe hacer notar que cuando la varianza muestral se usa como un estimador de la varianza poblacional, su definición se modifica levemente en la forma:

1

2

S =

n

−1

k

 i=1

ni (xi

2

− x¯)

Esta varianza modificada es preferible como estimador, pues posee mejores propiedades que S x2 .

Desigualdad de Tschebyscheff Una interpretación interesante de la desviacion estandar es la proporcionada por la “Desigualdad de Tschebyscheff”, que plantea intuitivamente que: En todo conjunto de observaciones y para todo numero real r > 1, se tiene que al menos 1 r1 de ellas caen en el intervalo:

−

x [¯

− rS ; x¯ + rS ] x

x

2

Gráficamente: • • • • •

Resumen Las principales medidas descriptivas de la muestra son:

•

Resumen de $x$ Min. 1st Q. Med. Mean 3rd Q. Max. 50.00 71.00 78.50 78.36 84.00 102.00 N = 50 Median = 78.5 Quartiles = 71; 84

Que pueden representarse gráficamente por:

Gráfico de Cajón 0 . 1

5 . 0

0 . 0

5 . 0 -

0 . 1 -

Elementos de Inferencia Estadística Al modelar un fenómeno en la vida real, las variables que nos interesan generalmente son de naturaleza no-deterministica y en consecuencia pueden representarse por variables aleatorias. Para poder obtener probabilidades asociadas a estas variables aleatorias X , podemos ocupar su funcion de distribucion F X : F X (x) = P [X

≤ x]

Problema Pero en la mayoria de los casos, esta función, dependerá de parámetros desconocidos θ, es decir tenemos: F X (x; θ) = P [X

≤ x]

y para que estos modelos sean de alguna utilidad, se requiere previamente estimar estos parametros a partir de informacion empírica recopilada a partir de una muestra aleatoria de X .

Problemas Esto nos lleva a los principales problemas de la inferencia estadistica:


•

Estimacion puntual.


• •

Estimacion puntual. Estimacion por intervalos de confianza.


• • •

Estimacion puntual. Estimacion por intervalos de confianza. Prueba de hipotesis.

Estimacion puntual En el ámbito de la estimacion puntual se han desarrollado diversos metodos para “construir” estimadores puntuales, entre ellos:

Lo que hace necesario definir cualidades de los estimadores, para asi poder seleccionar el “mejor” entre varios posibles.


•

Método de momentos.



• •

Método de momentos. Método de minimos cuadrados.



• • •

Método de momentos. Método de minimos cuadrados. Método de máxima verosimilitud.


Propiedades Entre las principales propiedades de los estimadores se cuentan:


•

Insesgamiento


• •

Insesgamiento Varianza minima


• • •

Insesgamiento Varianza minima Error cuadratico minimo


• • • •

Insesgamiento Varianza minima Error cuadratico minimo Eficiencia


• • • • •

Insesgamiento Varianza minima Error cuadratico minimo Eficiencia Consistencia

Ejemplo Supongamos que la variable aleatoria X esta distribuida normalmente: X

2

∼ N (µ, σ )

Se dice que X 1 , . . . , Xn es una Muestra aleatoria de X , si:

• •

Los X 1 , . . . , Xn son independientes Cada X i posee la misma ditribucion que X

Ejemplo Usando estos “datos” se pueden obtener estimadores puntuales de los parametros µ y σ 2 , los cuales poseen varias de las propiedades anteriores; ellos son: n

¯n X

S n2

=

1 =

1 n

−1

n

X i

i=1

n

(

X i

i=1

− X ¯ ) n

2

que son la media y varianza muestral.

Ejemplo Notemos que los valores que estos estimadores producen, dependen de los valores muestrales y en consecuencia cambiaran de una a otra muestra. Esto nos lleva a considerar las distribuciones muestrales de estos estimadores.

Distribuciones muestrales Bajo la suposicion de que: X

2

∼ N (µ, σ )

se puede verificar que la distribucion empirica de la media muestral a partir de una muestra aleatoria de tamaño n es:

¯n X

σ2 (µ, ) n

∼ N

que es nuevamente una normal.

Distribuciones muestrales Analogamente la distribucion empirica de la varianza muestral es:

(n

2 n

− 1)S ∼ χ (n − 1) σ 2

2

−

que se denomina Chi cuadrado con n 1 grados de libertad y que para usarla al igual que la normal, hay que recurrir a tablas estadisticas

Otras distribuciones Ademas de estas distribuciones, es necesario considerar otras mas que aparecen en los procesos de estimacion y prueba de hipotesis, ellas son:

•

La distribucion t de student con k grados de libertad, que se simboliza por t(k ).

•

La distribucion Fisher con k y l grados de libertad , que se representa por F (k, l).

Otras distribuciones Analogamente a la distribucion normal y chi-cuadrado, para evaluar probabilidades asociadas a ellas, es necesario obtener los valores usando una tabla estadistica, una calculadora que las tenga implementadas o un programa computacional adecuado.

Observación Cabe hacer notar que si bien es cierto estos estimadores puntuales, al evaluarlos en los datos muestrales, nos proporcionan una estimacion puntual, que sirve para aproximar el valor desconocido del parametro en estudio; ellos no entregan idea alguna sobre el error que se produce en este proceso de estimacion.

Observación Para poder cuantificar este error, se requeriria estimar los parametros por medio de un intervalo de confianza, que nos indique una region que pudiera contener al parametro buscado, mas una evaluacion de la proporcion de veces que tomaremos una decision correcta al usar este procedimiento, para estimar los parametros; esto se conoce como el coeficiente de confianza

Estimacion por intervalos de confianz Llamaremos un intervalo de confianza para el parametro θ con coeficiente de confianza γ , a un intervalo del tipo:

[T 1 (X 1 , . . . , Xn ); T 2 (X 1 , . . . , Xn )] que cumpla: P [T 1

≤ θ ≤ T ] ≥ γ 2

Estimacion por intervalos de confianz Se puede ver que si X (µ, σ 2 ), entonces el intervalo de confianza para µ con coeficiente de confianza γ esta dado por:

∼ N

ˆn [X

S n t(1+γ )/2 (n n

−√ ·

−

S n ˆ 1); X n + t(1+γ )/2 (n

√n ·

− 1)]

Observación Existen algunas situaciones en las cuales la varianza σ 2 se conoce y por lo tanto no se requiere previamente estimarla. Tambien en aquellos casos en que el tamaño muestral n crece tendiendo a infinito n , se puede verificar que la distribucion t de student se aproxima en un cierto sentido a la distribucion normal.

→∞

Observación Para estas situaciones, que se denominan muestras grandes, el intervalo de confianza para ˆ n se transforma en: la media muestral X

ˆn [X

σ σ ˆ z(1+γ )/2 ; X n + z(1+γ )/2 ] n n

−√ ·

√ ·

Continuación Analogamente se puede obtener el intervalo de confianza para σ 2 con coeficiente de confianza γ , resultando:



(n

− 1) ·

χ(1+γ )/2 (n

S n2

− 1)

;

(n

− 1) ·

χ(1−γ )/2 (n

S n2

− 1)



El uso de estos intervalos de confianza nos permite estimar los parametros de interes, indicando la “precision” que permiten obtener los datos disponibles.

Prueba de Hipótesis Existen situaciones en las cuales se tiene algun conocimiento previo sobre los parametros de una distribución ( Hipotesis ) y se desea analizar si este supuesto es consecuente con los datos muestrales. Esto lleva a una Prueba de Hipótesis, para lo que se necesita:

Prueba de Hipótesis

Prueba de Hipótesis •

Una hipotesis nula H 0 .

Prueba de Hipótesis • •

Una hipotesis nula H 0 . Una hipotesis alternativa H 1 .

Prueba de Hipótesis • • •

Una hipotesis nula H 0 . Una hipotesis alternativa H 1 . Una funcion de los datos T (X 1 , . . . , Xn ), cuya distribución bajo H 0 se conozca.



•

Un nivel de significancia 0 < α < 1.

Una hipotesis alternativa H 1 . Una funcion de los datos T (X 1 , . . . , Xn ), cuya distribución bajo H 0 se conozca.



• •

Un nivel de significancia 0 < α < 1.

Una hipotesis alternativa H 1 . Una funcion de los datos T (X 1 , . . . , Xn ), cuya distribución bajo H 0 se conozca. Una región de rechazo.

Acciones Al tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula sobre la base de los datos muestrales, se producen las siguientes posibilidades: acción ; realidad

H 0 verdadera

H 0 falsa

rechazar H 0

Error I

Correcto

no rechazar H 0 Correcto Error II La idea es limitar a valores pequeños las probabilidades de estos errores.

Estadistica

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