Espansione in onde piane
II – ESPANSIONE IN ONDE PIANE
II-1.
trasformata spaziale spaziale di Fourier
La trasformata di Fourier consente di rappresentare in forma integrale una funzione del tempo e(t) che soddisfi particolari requisiti e( t ) =
1 2π
∫
+∞
E (ω) e i t d ω = ω
−∞
∫
+∞
E ( f ) e i 2 ft df
(II-1)
π
−∞
nella quale ω è la pulsazione, f = 2πω è la frequenza e E(ω) è la trasformata di Fourier della funzione e(t) E (ω) =
1 2π
∫
+∞
e( t ) e
−∞
−iωt
d ω =
∫
+∞ −∞
e( t ) e
−i 2 π ft
df = E ( f ) .
(II-2)
La (II-1) esprime la funzione e(t) come sommatoria integrale di funzioni molto semplici (gli esponenziali eiωt ) ciascuna delle quali è moltiplicata con un “coefficiente peso” che è la funzione (complessa) E(ω). Una rappresentazione integrale simile alla (II-1) può essere data anche per una funzione e(x,y) e( x, y ) =
1 (2π )
=∫
2
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ ∫
E xy (k x , k y ) e
−∞
e
dk x dk y =
+∞ +∞
∫
− ik x x − ik y y
E xy ( f x , f y ) e
− i 2π f x x − i 2π f y y
e
−∞
(II-3)
df x df y
nella quale le quantità f x e f y sono le frequenze spaziali, k x = 2π f x e k y = 2π f y sono le pulsazioni spaziali e E xy(k x,k y) è la trasformata spaziale bi-dimensionale di Fourier della funzione e(x,y) +∞ +∞
∫ ∫ =∫ ∫
E xy ( k x , k y ) =
−∞
−∞
+∞
+∞
−∞
−∞
e( x, y ) e
e( x, y ) e
ik x x ik y y
e
dxdy
f y y i 2π f x x i 2π
e
(II-4)
dxdy = E ( f x , f y ). xy
In analogia alla (II-1), la (II-3) esprime la funzione e(x,y) come sommatoria integrale di − ik y funzioni molto semplici (gli esponenziali e−ik x , e ) ciascuna delle quali è moltiplicata con un “coefficiente peso” che è la funzione (complessa) E xy(k x,k y). Ovviamente la rappresentazione può riguardare solo una delle variabili x y, in tal caso nelle (II-3) e (II-4) compaiono integrali singoli nella variabile rispetto alla quale quale si trasforma. Perché esistano le (II-3) e (II-4), la funzione e(x,y) deve avere le seguenti caratteristiche: x
y
1
Espansione in onde piane
1. deve essere assolutamente integrabile sul piano ( x,y); 2. deve avere solo un numero finito di discontinuità ed un numero finito di minimi e massimi in un qualsiasi rettangolo finito sul piano ( x,y); 3. non deve avere discontinuità infinite.
II-1.
espansione in onde piane
Si consideri un mezzo lineare, isotropo, omogeneo non dispersivo e privo di perdite. Fissata la terna di assi cartesiani di figura 1, si supponga che le sorgenti siano tutte nel semispazio z < 0 e che si voglia determinare il campo in un punto generico del semispazio z > 0. In quest’ultimo la generica componente cartesiana del campo U(x,y,z) soddisfa l’equazione scalare di Helmholtz omogenea: ∇
2
U ( x, y, z ) + k 2U ( x, y, z ) = 0
(II-5a)
con k 2 reale (mezzo privo di perdite). Esplicitando il Laplaciano in coordinate cartesiane la (II-5) si scrive: ∂
2
U
∂ x
2
+
∂
2
U
∂ y
2
+
∂
2
U
∂ z
2
+
k 2U = 0 .
(II-5b)
Assumendo che sul generico piano z>0 sia definita la U xy, trasformata bi-dimensionale di Fourier della funzione U , è possibile trasformare rispetto a x e y la (II-5b) ottenendo: 2
xy
− k x U
2
xy
( k x k x , z ) − k yU ( k x , k y , z ) +
d 2U xy (k x , k y , z ) dz
2
2
xy
+ k U
( k x , k y , z ) = 0
(II-6)
nella quale U xy (k x , k y , z ) =
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ ∫
U ( x, y , z ) e
ik x x ik y y
e
dxdy .
(II-7)
Mettendo in evidenza la funzione U xy , la (II-6) si scrive d 2U xy dz
2
2
2
2
xy
+ [k − (k x + k y )]U
=
d 2U xy dz
2
2
xy
+ k z U
=
0
(II-8)
dove si è posto k z2 = k 2 − ( k x2 + k y2 ) .
(II-9)
Un integrale particolare della (II-8) è
2
Espansione in onde piane
U xy ( k x , k y , z ) = U xy o ( k x , k y )e
− ik z z
(II-10)
con xy U xy o ( k x , k y ) = U ( k x , k y , z = 0)
(II-11)
Antitrasformando si ha u( x , y , z ) =
1 ( 2π )2
= =
1 ( 2π )2 1 2
( 2π )
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ ∫
U xy ( k x , k y , z ) e
+∞
∫ ∫
+∞
−∞
−∞
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ ∫
U xy o ( k x , k y ) e U xy o ( k x , k y ) e
− ik x x − ik y y
e
− ik z z
− i k ⋅ r
e
dk x dk y =
− ik x x − ik y y
e
dk x dk y =
(II-12)
dk x dk y =
avendo posto ˆ k y + zˆ k z . k = xˆ k x + y
k ⋅ k
=
(II-13)
k x2 + k y2 + k z2 = k 2 .
(II-14)
Passando al caso vettoriale la (II-12) si scrive E ( x , y , z ) =
1
+∞ +∞
2
( 2π )
∫ ∫ −∞
−∞
xy
E o
( k x , k y ) e
− i k ⋅ r
dk x dk y
(II-15)
in cui xy
E
( k x , k y , z ) = E xy o ( k x , k y )e
− ik z z
(II-16)
che mostra che nel semispazio z > 0 il campo (purchè trasformabile secondo Fourier) può esprimersi come sommatoria integrale di onde piane di ampiezza infinitesima − ( 2π ) 2 E xy ( k x , k y ) dk x dk y (il flusso del vettore di Poynting che attraversa un piano o
z=cost è finito) e vettore di propagazione k −∞ <
k y
< ∞
=
ˆ k x x
+
ˆ k y y
+
zˆ k z con
−∞ <
k x
< ∞
e
(entrambi reali). La (II-15) prende il nome di spettro di onde piane. Dalla
(II-9) si ha che k z =
k 2 − ( k x2 + k y2 )
(II-17)
che, in virtù degli intervalli di variazione di k x e k y, mostra che allo spettro appartengono: i) onde piane uniformi con k z reale (quando ( k x2 + k y2 ) < k 2 );
3
Espansione in onde piane
ii) onde piane uniformi con vettore di propagazione ortogonale all’asse z ovvero k z=0 (quando ( k x2 + k y2 ) = k 2 ); iii) onde piane evanescenti lungo z con k z=-i|k z| (quando ( k x2 + k y2 ) > k 2 ).
II-3.
completezza delle onde piane
Le equazioni di Maxwell in un mezzo omogeneo richiedono che ∇ ⋅ E ( r
)=
∂ ∂ x
E x ( x , y , z ) +
∂ ∂ y
E y ( x , y , z ) +
∂ ∂ z
E z ( x , y , z ) = 0
(II-18)
che nel dominio trasformato, utilizzando la (II-16) si scrive: xy
− ik x E x
( k x k x , z ) − ik y E y xy ( k x , k y , z ) +
xy ox
= −ik x E
( k x k x )e
−ik z z
xy oy
− ik y E
d dz
( k x , k y )e
E z xy ( k x , k y , z ) =
−ik z z
d xy −ik z E oz ( k x , k y )e z = 0 + dz
(II-18)
Dalla (II-18) si ottiene: xy xy k x E xy ox ( k x k x ) + k y E oy ( k x , k y ) + k z E oz ( k x , k y ) = 0
(II-19)
da cui xy oz
E = −
xy k x E xy ox + k y E oy
k z
xy
kt ⋅ Eot
=−
k z
(II-20)
avendo posto kt
= xˆ k x + yˆ k y
xy
Eot
xy xy ˆ xy = xˆ E ox + y E oy = F [ E ot ( x , y )] .
(II-21) (II-22)
Assegnate quindi le condizioni al contorno sul piano z=0 (la componente tangente del xy campo) per ogni coppia di valori di k x e k z sono noti k t (II-21), E oz (II-20) E xy ot (II-22) e per la (II-15) il campo in un generico punto del semispazio z > 0. Per il teorema di unicità la soluzione è unica. Le onde piane costituiscono quindi un insieme completo di soluzioni dell’equazione di Helmholtz. Sebbene determinate a partire da una ipotesi di tipo particolare (la separabilità delle soluzioni) la (II-15) mostra che con esse è possibile descrivere un campo con andamento spaziale molto più generale.
4
Espansione in onde piane
APPENDICE
A1.
alcune proprietà della trasformata spaziale di Fourier
∫ F [ e( x , y )] = E ( x , k ) = ∫ F x [ e( x , y )] = E ( k x , y ) = y
y
F xy [ e( x , y )] = E ( k x , k y ) =
+∞ −∞
e( x , y ) e
ik x x
+∞ −∞
e( x , y ) e
+∞
∫ ∫ −∞
dx
ik y y
dy
+∞ −∞
(A1-1)
e( x , y ) e
(A1-2)
ik x x ik y y
e
dxdy
(A1-3)
Derivate
∂e( x , y ) ∂ 1 = ∂ x ∂ x 2π =
y
1
∫
+∞
2π − ∞
∫
+∞ −∞
E ( k x , y )e
− ik x x
dk x =
1
2π ∫
+∞ −∞
∂ − ik x E ( k x , y )e x dk x = ∂ x
[
]
∂e( x , y ) [− ik x E ( k x , y )] e −ik x x dk x ⇒ F x = −ik x E ( k x , y ) ∂ x
∂e( x , y ) = −ik y E ( x , k y ) ∂ y
(A1-5)
F
∂ 2 e( x , y ) ∂ ∂e( x , y ) ∂ 1 = = ∂ x ∂ x ∂ x 2π ∂ x 2 =
y
1
+∞
∫ [−
2π −∞
2 k x E ( k x , y
(A1-4)
]
)e
∫
+∞
[− ik x E ( k x , y )] e −ik x dk x = x
−∞
−ik x x
∂ e( x , y ) 2 dk x ⇒ F = −k x E ( k x , y ) 2 ∂ x x
2
∂ 2 e( x , y ) 2 = −k y E ( x ,k y ) 2 ∂ y
F
(A1-6)
(A1-7)
Linearità x x x F [ α g( x , y ) + β h( x , y )] = α F [ g( x , y )] + β F [ h( x , y )]
(A1-8)
Scalatura xy F [ e( ax ,by )] =
k x k y , ab a b 1
E
(A1-9)
5
Espansione in onde piane
Traslazione spaziale xy F [ e( x − a , y − b )] = E ( k x ,k y )e
− i( k x a + k yb )
(A1-11)
Uguaglianza di Parseval +∞
+∞
−∞
−∞
∫ ∫
2 e( x, y ) dxdy =
+∞
+∞
−∞
−∞
∫ ∫
2 E ( f x , f y ) df x df y
(A1-12)
Convoluzione
+∞ +∞
∫ ∫
F g (ξ ,η )h( x − ξ , y − η )d ξ d η = F −∞ −∞ xy
xy
[g ( x, y)] F xy [h( x, y )]
(A1-13)
Funzioni separabili g ( x, y ) = g x ( x) g y ( y)
⇔ F xy [ g ( x, y )] = F x [ g x ( x)]F x [ g y ( y)]
(A1-14)
Riferimenti
P. Bassi, G. Bellanca, G. Tartarini, Propagazione ottica libera e guidata, CLUEB, Bologna. J. W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill
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