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Es f uer z ohor i z ont al pr oduc i doporunac ar gar ec t angul arhor i z ont al uni f or meapl i c adaenel i nt er i ordeunamas ades uel o Hor i z ont al s t r es spr oduc edbyhor i z ont al r ec t angul aruni f or ml oadi nt hei nt er i orofs oi l J . Me d i n aM. M.
Ma es t r o ,Un i v e r s i d addeSo no r a ,He r mo si l l o ,So no r a ,Mé xi c j o,os e. medi na@pr ol as . c om. mx
RESUMEN: Se expone brevemente un procedimiento para estimar el incremento en el esfuero !oriontal" producido por una carga rectangular !oriontal uniformemente distribuida" actuado en el interior de una masa de suelo# $%S&R$'&: $ procedure is briefl( exposed to determine t!e increase in t!e !oriontal stress produced b( !oriontal rectangular uniformed load in t!e interior of soil#
1
)N&R*+U''),N
En el anál anális isis is ( dise dise-o -o de un unaa pila pila de cime ciment ntac aci. i.nn someti sometida da a carga carga !orio !orionta ntal" l" es necesa necesario rio estima estimarr los desplaamientos laterales de la pila de cimentaci.n ( la presi.n de contacto !oriontal suelo cimentaci.n" ( para ello es necesario calcular el incremento en el esfuero !ori !orio ont ntal al prod produc ucid idoo po porr un unaa car carga rect rectan angu gula larr" uniformemente distribuida" actuando en el interior de la masa de suelo /Medina" 023 4eevaert 152# 0
>
S*7U'),N +E M)N+7)N
Mindl Mindlin in /15>6 /15>6"" median mediante te la teor;a teor;a de la elasti elasticid cidad" ad" calcul. el incremento en el esfuero !oriontal" producido por una carga puntual aplicada en el interior de un medio !omog< !omog
S*7U'),N +E %*USS)NES8
%oussines9 /122" mediante la teor;a de la elasticidad" obtuvo el incremento en el esfuero vertical producido por una carga puntual aplicada en la superficie de un medio !omog< !omog
=igura 0# 'arga !oriontal puntual aplicada en el interior de una masa semi infinita# ∆σ x =
=igura 1# 'arga puntual aplicada en la superficie de una masa semi infinita#
+
>/> − ?ν x 0 R 0:
+
?/1 −ν /1 − 0ν R 0 / R 0 + z + C 0
×[ >−
x 0 /> R 0 + z + C R 00 ( R 0 + z + C
)
]−
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−
6C : x z >C − /> − 0ν / z + C + : 0 R0 R0 0
[
/0
]
0 1@ 0
R1 = x 0 + ( z − C )
/>
[
0
R 0 = x + ( z + C )
]
0 1@ 0
S*7U'),N $PR*B)M$+$ +E 4EEA$ER& 4eevaert /152> obtiene una soluci.n aproximada para estimar el incremento en el esfuero !oriontal producido por una carga !oriontal rectangular" uniformemente distribuida" actuando en el interior de una masa de suelo" figura ?: ∆σ x = qa I FZx
es la relaci.n de Poisson del material#
/C
ν
?
S*7U'),N +E 4EEA$ER&
I FZx
4eevaert /152> mediante la integraci.n de la ecuaci.n de %oussines9" ecuaci.n 1" obtiene el incremento en el esfuero vertical producido por una carga rectangular" uniformemente distribuida" aplicada en la superficie de una masa semi infinita" =ig# >:
×
>
> =
( sen α −
0π
{ (ψ 1 − ψ 0 6 +
sen
{ (ψ E1 − ψ E 0 6 +
>
)×
/ψ 1 − ψ 0 6 × cos (ψ 1 + ψ 0 )} D
> D ( sen α E 0π ×
sen α
sen
sen
−
>
α E
>
)×
/ψ E1 −ψ E 0 6 × cos (ψ E1 +ψ E 0 )} /2
α
=igura ># 'arga rectangular" uniformemente distribuida" aplicada en la superficie de una masa semi infinita#
∆σ z = qa I FZ
I FZ
> =
0π
×
( sen α −
{ (ψ 1 − ψ 0 6 +
>
sen
α
ψ 1
x + B @ 0 = tan −1 z
ψ 0
x − B @ 0 = tan −1 z
+ z 0
)
1@ 0
(
1@ 0
ψ 0
( C − z ) − L @ 0 = tan −1 x =
tan
r 0 0 ( C + z ) + x
−1
ψ E1 = tan
ψ E 0
/6
)
( C − z ) + L @ 0 = tan −1 x
)×
/ψ 1 − ψ 0 6 × cos (ψ 1 + ψ 0 )} /
L @ 0
r 0 0 ( C − z ) + x
−1
ψ 1
α E
sen α
= tan −1
0
tan
/? >
( x
=
(
)
1@ 0
−1 ( C + z )
+ L @ 0 x
( C + z ) − L @ 0 = tan −1 x
/5
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=igura # =igura auxiliar para el estudio de la soluci.n aproximada de 4eevaert
=igura ?# Soluci.n aproximada de 4eevaert para carga rectangular uniforme en el interior de una masa de suelo#
ES&U+)* +E 7$ S*7U'),N $PR*B)M$+$ +E 4EEA$ER&
4eevaert" para estimar el incremento en el esfuero !oriontal producido por una carga rectangular uniforme" actuando en el interior de un suelo /ecuaciones C" 2 ( 5" utilia la soluci.n obtenida a partir de la ecuaci.n de %oussines9 para carga rectangular" actuando en la superficie del suelo /ecuaci.n ( le suma el efecto producido por la misma carga rectangular aplicada a una distancia ' por arriba de la superficie del s.lido# Para estudiar la aproximaci.n de este m
[
> P x > 1 0 π
R1 = x
0
1 : + : R1 R 0
+ ( z − C )
En la figura 6 se muestra las comparaciones entre las ecuaciones de Mindlin" %oussines9 ( la soluci.n aproximada de 4eevaert /ecuaci.n 1# Se consider. P de 1 N3 x de 1" m3 ' de " m3 F de ">3 ' 1 de "?1 ( ' 0 de ">1# 'omo se puede observar de la figura 6" el incremento en el esfuero !oriontal" obtenido con las ecuaciones de %oussines9 ( la soluci.n aproximada de 4eevaert /ecuaci.n 1" son mu( grandes" en comparaci.n con la ecuaci.n de Mindlin# 6
S*7U'),N $PR*B)M$+$ +E ME+)N$
Puede lograrse una meGor aproximaci.n en la estimaci.n del incremento en el esfuero !oriontal" producido por una carga !oriontal" actuando en el interior de una masa de suelo" con la introducci.n de los coeficientes ' 1 ( '0# 7a aproximaci.n para una carga puntual es: ∆σ x =
> P x 0 π
>
C 1 C 0 : + : R1 R0
/10
'1" '0 son funci.n de la relaci.n de Poisson del material" figura C#
/1
]
0 1@ 0
/11
[
0
R 0 = x + ( z + C )
]
0 1@ 0
=igura 6# 'omparaci.n de la ecuaci.n de Mindlin" con la soluci.n aproximada de 4eevaert para carga puntual#
Página ? de 6
I ZM
=
×
> C 1 0π
>
( sen α −
{ (ψ 1 − ψ 0 6 +
sen
sen α >
)×
/ψ 1 − ψ 0 6 × cos (ψ 1 + ψ 0 )}
D D
> C 0 0π
×
>
( sen α E −
{ (ψ E1 − ψ E 0 6 +
sen
sen α E >
)×
/ψ E1 −ψ E 0 6 × cos (ψ E1 +ψ E 0 )} /1?
C =igura C# Relaci.n entre los coeficientes ' 1 ( '0 con la relaci.n de Poisson#
En la figura 2 se muestra una comparaci.n de la ecuaci.n de Mindlin con la soluci.n aproximada de Medina /ecuaci.n 10 para carga puntual# Se consider. P de 1 N3 x de 1" m3 ' de " m3 F de ">3 ' 1 de "?1 ( ' 0 de ">1#
=igura 2# 'omparaci.n de la ecuaci.n de Mindlin" con la soluci.n aproximada de Medina para carga puntual#
+e lo anterior se tiene 9ue el incremento en el esfuero !oriontal" debido a una carga rectangular uniforme" actuando en el interior de una masa de suelo" se puede estimar mediante la siguiente ecuaci.n: ∆σ x = qa I ZM
/1>
'*MP$R$'),N +E 7$S $PR*B)M$')*NES +E 4EEA$ER& H ME+)N$
'on el fin de comparar la implicaci.n práctica del uso de las ecuaciones aproximadas de 4eevaert /ecuaci.n 2 ( Medina /ecuaci.n 1?" se efectu. el cálculo de interacci.n suelo estructura de cimentaci.n" para la pila mostrada en la figura 5# En ambos casos se utili. el procedimiento de interacci.n suelo estructura planteado por Medina /023 empleándose en el cálculo de los valores de influencia: en un caso la ecuaci.n 23 ( en el otro la ecuaci.n 1?# En las figuras 1 ( 11 se muestran los resultados obtenidos en los desplaamientos laterales ( en las reacciones de contacto !oriontales sueloIpila de cimentaci.n" respectivamente# +e las figuras 1 ( 11 se observa 9ue los desplaamientos obtenidos con los valores de influencia de 4eevaert son significativamente más grandes 9ue los obtenidos con los valores de influencia de Medina3 mientras las reacciones de contacto son mu( similares en ambas ecuaciones#
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=igura 5# Pila de cimentaci.n sometida a carga lateral ( momento# =igura 11# 'omparaci.n en reacciones de contacto entre influencias de 4eevaert ( Medina para cargas rectangulares#
2
=igura 1# 'omparaci.n en desplaamiento lateral entre las influencias de 4eevaert ( Medina para cargas rectangulares#
'*N'7US)*NES
7a disipaci.n de esfueros mediante la ecuaci.n de Mindlin" es muc!o más fuerte" en comparaci.n con la ecuaci.n de %oussines9" (a 9ue en el interior de la masa de suelo la carga se encuentra confinada en todo su alrededor3 lo cuan no sucede con la carga aplicada en la superficie del medio" como lo considera %oussines9# Por lo tanto" si 9ueremos aproximarnos a la soluci.n de Mindlin mediante la ecuaci.n de %oussines9" el valor de influencia de %oussine9 debe disminuirse# El procedimiento propuesto por 4eevaert" de sumar el efecto de una carga imaginaria" para aproximarnos mediante la ecuaci.n de %oussines9 a la soluci.n de Mindlin" es adecuado" siempre ( cuando se reducan las influencias" tanto de la carga actuando en el interior de la masa de suelo3 como de la imaginaria actuando por arriba de la superficie del suelo3 es decir 9ue se afecten los valores de influencia obtenidos por 4eevaert con los coeficientes ' 1 ( '0" como a9u; se expuso# 7os desplaamientos laterales obtenidos con la expresi.n de 4eevaert /ecuaci.n 2" pueden ser mu( grandes en comparaci.n con la expresi.n a9u; expuesta /ecuaci.n 1?3 con respecto a las reacciones de contacto" la diferencia puede no ser significativa# 7a expresi.n propuesta a9u; /ecuaci.n 1?" para estimar el incremento en el esfuero !oriontal producido por una carga rectangular uniforme" actuando en el interior de una masa de suelo" presenta las siguientes ventaGas:
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a# Es una aproximaci.n bastante satisfactoria a la
soluci.n propuesta por Mindlin" la cual se obtuvo a partir de la teor;a de la elasticidad# b# 7a ecuaci.n es relativamente sencilla ( fácil de programar en una computadora# c# Se evit. la integraci.n de la ecuaci.n de Mindlin" con lo 9ue se obtendr;a una expresi.n mu( complicada" (a 9ue la ecuaci.n propuesta tiene como referencia la ecuaci.n de %oussines9 para carga puntual" 9ue es una expresi.n mu( sencilla con respecto a la ecuaci.n de Mindlin /comparar ecuaciones 1 ( 0# d# 7a ecuaci.n obtenida es amigable para ser utiliada en la estimaci.n de las presiones de contacto laterales suelo cimentaci.n ( desplaamientos laterales en pilas de cimentaci.n sometidas a fuera lateral ( momento" en los procedimientos propuestos por Medina /02 ( 4eevaert /152 ( 152># RE=EREN')$S
%oussines9" Josep!# /122# $pplications des potentiels K lLetude de lLe9uilibre et du mouvement des solides 6# Force at a point in the interior of a semi-infinite solid " 'olumbia Universit(" Ne( Hor# 4eevaert" 7eonardo# /152># Foundation engineering for difficult susoil conditions" Aan Nostrand Rein!old" NeQ Hor: 6C6 p# 4eevaert" 7eonardo# /152# Interacci!n suelo estructura de cimentaci!n" Editorial 7imusa" M
