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Distribucion uniforme
Descripción: Detectar mediante labview una esfera en 3D
Esfera dieléctrica sometida a un campo eléctrico uniforme
Analizaremos ahora el caso de una esfera de radio a que está hecha de un material dieléctrico aislante cuya respuesta dieléctrica se puede caracterizar por una función dieléctrica dependiente de la frecuencia de la forma:
A
B
2
j
La esfera es sometida a un campo eléctrico uniforme que oscila sinusoidalmente con una frecuencia ω, como se esquematiza en la siguiente figura
E o e
j t
La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas con simetría azimutal como ocurre en este caso es:
r r r r 2
1
1 2
r
2 0 2
Como se ha visto anteriormente, la técnica tradicional de resolver una ecuación diferencial de este tipo es mediante separación de variables, lo que en este caso da una solución matemática de la forma:
r , An r n Bn r n 1P n
en que An y Bn son coeficientes a determinar
n 0
considerando las condiciones de contorno; los P n ( θ ) son los polinomios de Legendre.
1
Veamos las condiciones de contorno: 1. para r grande el campo debe aproximarse al campo eléctrico incidente uniforme que asumiremos en la dirección z. Por lo tanto:
r ,
r
E o r cos cons tan te
Esto implica A1 = -Eo y que para n ≥ 2 los A n son nulos. 2. Procediendo en forma similar que para el caso de una esfera conductora, se obtiene que los potenciales interno y externo son del la forma:
2
ext r , A1r cos B1r
cos para r >
2
int r , A2r cos B2 r
cos
para
a
r ≤a
B2 = 0 debe ser 0 para que el potencial sea finito en r = 0 3. Condiciones de contorno para r = a: 3.1 Continuidad del potencial
3.2 Continuidad de las componentes radiales del vector
D
Efectuando los desarrollos se obtiene: A2
3 E o e
1a E oe j 3
j t
;
2
B1
t
2
En base a estos resultados se puede demostrar que la polarizabilidad dipolar de la esfera está dada por la expresión (la que se deja como ejercicio demostrar):
4 a
2
o
1
2
La potencia absorbida del campo externo se obtiene de:
d p
P abs
E
dt
en que p t
,
j t
E oe
es el momento dipolar inducido.
2
El valor promedio temporal de esta potencia se obtiene de: 2 d p P Re E Im E o dt 2 2
1
( demuestre esta expresión de acuerdo a lo visto
en clases). R: En general el valor promedio temporal de dos expresiones complejas: A Ao e
j t
y B Boe
j t
que representan dos variables que varían senoidalmente con
el tiempo con frecuencia ω, el valor medio de
Re A t Re B t
1
oscilación es:
2
en un período de
Re A B
Tarea: Considere esferas de plata con una función dieléctrica como la indicada en artículo entregado anteriormente. Grafique el valor medio de esta potencia en términos de la frecuencia ω expresada en eV equivalentes ( ¡!!!, qué extraño pero es una manera de hacerlo). Determine para qué valor de frecuencia se obtiene un peak en la absorción.
R: Si la función dieléctrica es de la forma
2
K b
p 2
i
con ε b = 3.6 , ω p= 9.41 eV y
Γ= 0.0585 eV parámetros
reales característicos de comportamiento dieléctrico del material a nivel microscópico reflejados a nivel macroscópico que se estudian en curso de Física de Sólidos. La parte imaginaria de la polarizabilidad se puede expresar como:
b 1 b 2 p b 2 b 1 p Im 4 o a p b 2 p b 2 2
2
2
2
3
2
2 2
2
2
2
Una frecuencia de 9.41 eV se puede llevar a radianes por segundo de la siguiente forma
3
6.63·10
9.41eV ->
34
9.41 /
/ 2 ·1.61·10
19
=
0.655*10 -15 [ Joule·seg]
Por lo tanto 9.41 eV equivalen a 9.41 / 0.655*10 -15 = 14.3·10 15 [ rad/seg] Es fácil verificar que se produce una resonancia para una frecuencia
