ERROR ESTÁNDAR DE LA MEDIA Esta medida estadística mide el grado de dispersión de las medias muéstrales de tamaño n, alrededor de la media poblacional; y se representa por
cuando es
estimado estimado con los datos datos de una una muestra muestra se representa representa por por S . En otras otras palabras, palabras, el error estándar de la media es una desviación estándar de la distribución muestral de las medias.
FORMULA:
Se conoce y n/N * 100 > 5%
= √ √ Se conoce y n/N * 100 < 5% = √ Se desconoce la y n/N * 100 > 5% = √ √
<
Se desconoce la y n/N * 100 5%
SIMBOLOGIA:
σ = Erro Errorr está estánd ndarar de la medi media =Media de cada muestra μ =Media poblacional N =Número de muestras S =Desviación estándar X =Valores de la variable
= √
Ejemplo: Tomando los datos de ejemplo, el cálculo del error estándar de la media puede calcularse sin necesidad de extraer todas las muestras posibles de una población y que en la práctica no se hace, se calcula así:
X
X-
( )
1
-2
4
2
-1
1
3
0
0
4
1
1
5
2
4
15
0
10
CÁLCULO DE LA MEDIA POBLACIONAL
Μ= 15/5 = 3
CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTANDAR DE LA MEDIA POBLACIONAL
= √ =. = (−) = Por lo tanto, habiendo conocido el valor de la desviación estándar de la media de la población, entonces se aplica la fórmula correspondiente en este caso será
= √ √ √ = √ . . √ = . . = ∗. R//
.
TAMAÑO ÓPTIMO DE LA MUESTRA El tamaño de la muestra o sea el número de elementos a seleccionar no deber ser a criterio del investigador puesto ue existen varias fórmulas para calcular el tamaño óptico de una muestra. El tamaño depende de 4 factores: Variabilidad de los datos en análisis (Desviación estándar). Nivel de confianza o probabilidad de acertar. Error de muestreo que se requiere. Tamaño de la población.
Cuando la desviación estándar no se conoce o no es posible determinarla, entonces se puede obtener de una muestra piloto. Una de las fórmulas es la siguiente:
∗ ∗ = ∗ +()
DONDÉ: N = Tamaño óptimo de muestra Z = Representa al número de desviaciones estándar, de acuerdo a la probabilidad o nivel de confianza. (Los más utilizados 95% y 99%)
= Varianza de la población N = Total de elementos de la población Ea = Error absoluto de muestreo.
Los niveles de confianza más usados son 95 y 99%, que les corresponde los valores de Z de 1.96 y 2.58 respectivamente. Sin embargo, pueden usarse otros, la manera de obtenerlos es la siguiente: para 95% de probabilidad entonces 0.95/2 = 0.4750, este valor de probabilidad se busca en la table de área bajo la curva norma para encontrar el valor de Z que le corresponde. (en este caso dada la probabilidad encontrar el valor de Z)
Ejemplo: Se desea seleccionar una muestra de una población de 30 casos, según una
investigación total realizada en una variable clave, la desviación estándar es de = 4, se desea estimar con una probabilidad de aceptar del 95 % y un error absoluto de muestreo de Q. 2.00
∗ (4) ∗30 (1. 9 6) = (1.96) ∗(4) +30(2)
3.8416 ∗ 16 ∗30 = 3.8416∗6 +30(4)
1,843.968 = 61.4656+120 843.968 = 1,181. 4656 = 10 R// se requiere una muestra de 10 casos
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS Después de haber seleccionado una muestra, hay necesidad de estimar parámetros, estos pueden ser: Promedio o media aritmética, totales y porcentajes. En general existen dos métodos para estimar la media de la población con base a los resultados de una muestra. a) Estimación punctual, la media muestral es una estimación de la media poblacional:
= b) Estimación por intervalo de confianza de la media. En el ejemplo de la distribución muestral de la media, se señaló que la media obtenida con una muestra difiere de la verdadera media poblacional, debido al error que se comete al aplicar el muestreo; por lo que conviene calcular entre un intervalo, es decir establecer límites dentro de los cuales probablemente esté el verdadero valor de la población con determinado coeficiente de confianza (95%, 99%, 90% etc.)
Formula:
Cuando se conoce
Cuando no se conoce
= ± ( )
= ± ()
Z representa al número de desviaciones estándar, de acuerdo al nivel de confianza de probabilidad que se requieran las estimaciones. ESTIMACIÓN TOTAL Estimación puntual
= ∗ Estimación por intervalo
= ∗ Donde X = es el total o suma total de la variable Ejemplo: Se le proporciona los datos proporcionan los siguientes datos n = 5 y N = 18, en base a la muestra muestral
= 111.60
Se pide: Determinar por intervalo de confianza el consumo promedio poblacional, con un nivel de confianza del 80%.
(n/N)*100 > 5%
(5/18)*100
= 27.78 > 5%. Por lo tanto, debe aplicarse un factor
de corrección.
n σ = √ σn √ NN1 1 85 σ = √ 105 √ 181 σ = (4.472136) (0.87447) σ = 3.91 Ahora bien, se debe encontrar el valor de Z, si el nivel de confianza es 80% entonces 80/2 = 0.40 ubicándose en la tabla de “Áreas bajo la curva normal de probabilidad”. Entonces Z es igual a 1.28.
= 111.6 + (1.28) (3.91) = 116.60 = 111.6 (1.28) (3.91) = 106.50 La media puede ubicarse entre Q116.6 y Q106.59 con una confianza del 80%
Bibliografía Reyes Donis (cuarta edición 2013). Estadística 1, Guatemala, Centroamérica
