Universidad de La Laguna Facultad de Física
Relatividad General
TEMA 1: TEORIA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD
Transformación de Lorentz Equivalencia masa-energía Conservación del momento lineal Hasta este momento, nos hemos limitado a consideraciones cinemáticas. La cinemática es solamente una pequeña parte de la Física. Quedan por revisar, a la luz de los postulados de la Relatividad, la validez de la dinámica o de las teorías de campos, entre otras. En este apartado, y como fin de esta pequeña introducción a la asignatura, nos limitaremos a estudiar la validez de la dinámica. Consideremos, por tanto, una colisión elástica entre dos esferas de masas iguales, que denominaremos A y B, en el plano x y del sistema S’. Con respecto a dicho sistema, consideremos que las esferas tienen, antes de la colisión, velocidades u ' Ai = (−v, u y ) y u ' Bi = (v,−u y ) , donde v sigue siendo la velocidad relativa de S’ con ’
’
respecto a S, a lo largo del eje x, en sentido positivo, y se han omitido las componentes en z , que son nulas. En el mismo sistema S’, después de la colisión, suponiendo que la colisión es simétrica (Figura 2, arriba), y por el teorema de conservación del momento, las esferas tienen u ' A f = ( −v,−u y ) y u ' B f = (v, u y ) . Se ha producido un intercambio de momento en el eje y’ y las velocidades según x’ son las mismas (Figura 2, arriba). Visto por S, la colisión se produce en el plano xy, al ser una transformación lineal de coordenadas, tanto en el caso clásico como en el relativista, pero ahora la esfera A no tiene componente x en dicho sistema, sino solamente componente y. Es decir: ui A = (0, u y ) y ui B = ( 2v,−u y ) . Como las dos esferas tienen la misma masa según S, y también se debe
verificar la conservación del momento lineal (Figura 2, abajo), resulta u f A
= (0, −u y ) y
u f B = ( 2v, u y ) .
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Figura 2.- Arriba, choque elástico galileano entre dos masas iguales en el sistema S’, que se mueve según S a lo largo del eje x, en sentido creciente, a una velocidad v. Abajo, el mismo choque visto en el sistema S.
En estos razonamientos se ha considerado que las masas son las mismas en S que en S’, que el momento se conserva en ambos sistemas, y se ha aplicado el teorema de suma de velocidades de Galileo. Ahora bien, si se aplican las ecuaciones relativistas de transformación de las componentes de la velocidad transversales al movimiento relativo entre S’ y S, o sea, (23) para las componentes y’ de las velocidades finales de A y B con respecto a S, teniendo en cuenta que la componente x de la velocidad de A según S es cero, resulta, A A 2 ′ ' = u fy 1 − v u fy
u
B ′ fy '
=
(32)
2 u B fy 1 − v
1 − u B fx v
Luego, después de la colisión, si se conserva el momento según S, es u A fy
B
= −u fy ,
pero según
(32) entonces no se verifica la conservación según S’, que requiere u ' A fy ' = −u ' B fy ' . La única solución que permite la conservación del momento lineal en ambos sistemas (primer postulado) a pesar de aplicar las ecuaciones de transformación de la velocidad relativistas, es que las masas no sean las mismas en S que en S’, y que dependan de la velocidad según la relación, m B =
m A 1 − u x B v
,
(33)
válida en el sistema S. Teniendo en cuenta (32), se consigue la conservación del momento, suponiendo que las masas de A y B en S’ sean iguales dado que se mueven a la misma velocidad en ese sistema. Como u ' xB = v y se verifica la relación inversa de (22), resolviendo para v y sustituyendo dicho valor en (33), se obtiene la relación de masas independiente de la velocidad relativa entre ambos sistemas inerciales, m B =
m A B2 x
(34)
1− u
Si ahora se considera el caso particular en que las esferas no choquen y que sus velocidades según y e y’ sean nulas, entonces seguirán trayectorias paralelas según x, donde en S’ ambas esferas tienen las misma masas y se mueven según x’ con velocidades opuestas e igual a v, mientras que en S la esfera A está en reposo y B se mueve según x a velocidad 2v. En el sistema S la masa de A será igual a la masa newtoniana ordinaria, que se denotará con el subíndice 0 y se denominará masa en reposo o masa propia : m=
m0 1− u
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(34)
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Luego, cuando el cuerpo está en reposo su masa coincide con la newtoniana, lo mismo que cuando u <<1 (en nuestras unidades). Con este cambio en la definición de masa, se sigue verificando la conservación del momento lineal p , que ahora se define p = mu =
m0u 1− u
(35)
2
y la masa sigue siendo un escalar independientemente de la dirección de la velocidad y del sistema de referencia en que se mide, puesto que solamente depende de la magnitud de la velocidad1. No depende, por tanto de la aceleración, y se verifica la generalización de la segunda ley de Newton según la expresión, F =
d p
=
dt
d m0u
(36)
dt 1 − u 2
Puesto que hemos impuesto que en ausencia de fuerzas externas, la cantidad de movimiento se conserva. Eso si, es importante señalar que (36) NO es equivalente a m0
F = ma =
1− u
d u 2
(37)
dt
Energía cinética Si se impone la misma definición de energía cinética K en la mecánica relativista que en la newtoniana, puede escribirse, r
∫
K ≡ F d r = r =0
r
d p
r
d
u
d r
u
∫ dt d r = ∫ dt (mu )d r = ∫ d (mu ) dt = ∫ (mu d u + u
r =0
r =0
u =0
u =0
m
2
dm) =
∫ dm = m − m
0
,
(38)
m= m0
donde la penúltima igualdad se obtiene de elevar al cuadrado y diferenciar (34). Hay que tener en cuenta que en nuestras unidades c = 1, así que, en unidades físicas (38), se escribe K = mc 2 − m0c 2 . Finalmente, utilizando (34),
K = m0
1
2 1 − u
− 1 .
(39)
Expresión que se reduce al resultado clásico cuando v << 1 (o sea c). Por tanto, a medida que u → c, K → ∞. Es decir: se requiere una cantidad infinita de trabajo para que una partícula con masa alcance la velocidad de la luz.
Energía total 1
Aunque no se demuestra, es claro que puede efectuarse la generalización a velocidades con cualquier componente xyz , por el principio de isotropía del espacio-tiempo.
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En una colisión inelástica se conserva el momento pero no la energía cinética. Sin embargo, la energía total sí se conserva. Consideremos dos cuerpos de la misma masa en reposo m0 que chocan frontalmente con el mismo módulo de velocidad u’ = v cada uno, a lo largo del eje x’, pero en sentidos opuestos en el sistema S’, y que luego permanecen pegados. Su velocidad final es nula puesto que se conserva el impulso. En el sistema S, antes de la colisión uno de los cuerpos estará en reposo, mientras que el otro se moverá a una velocidad u. En este mismo sistema S, el cuerpo resultante final se moverá con una velocidad v (la velocidad relativa entre ambos sistemas inerciales) en sentido creciente del eje x. De acuerdo con la transformación de velocidades (22), u=
2u′ u′ + v = 1 + u ′v 1 + u′2
(40)
Y este mismo cuerpo tendrá una masa antes de la colisión, según (34), m0 (1 + u′2 ) m= (1 − u′2 )
(41)
Aplicando el teorema de conservación del momento en S, m0u 1− u
= 2
M 0 v 1− v
2
,
(42)
donde el primer miembro es el momento del cuerpo que se mueve con velocidad u en S antes de la colisión, y el segundo el momento del cuerpo conjunto después de la colisión. Combinando con (40) teniendo en cuenta que u’ = v, se deduce, M 0 =
2m0 1 − u'
(43)
2
O sea que la masa en reposo del cuerpo combinado no es la suma de las masas en reposo de los cuerpos originales sino que es mayor en una cantidad,
M 0 − 2m0 = 2m0
1
2 1 − u '
− 1 =
2 K ,
(44)
Donde 2 K es la energía cinética total en S’ antes de la colisión, de acuerdo con (39). Sin embargo, en S’ toda la energía cinética desapareció en la colisión. En su lugar, esa energía se transforma en una forma de energía interna calorífica o de excitación. En consecuencia, esa es la energía adicional a la masa en reposo de ambos cuerpos combinados que muestra (44), ecuación que representa, por tanto, un balance de energía: la energía cinética en el choque totalmente inelástico se ha transformado en una ganancia de energía interna, que viene expresada por la diferencia entre las masas en reposo finales e iniciales. Como consecuencia, la masa en reposo constituye la energía interna, y por tanto la energía total E , que al contrario que la cinética siempre se conserva, será igual a la suma de la energía
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cinética más la masa en reposo , denominándose a esta última energía en reposo, y correspondiendo a la energía interna, o sea, E = m0 + K = m ,
(45)
como se deduce de (44). Por consiguiente, en dinámica relativista, la conservación de la energía total se reduce a la conservación de la masa relativista . Masa y energía son, por tanto equivalentes, forman una única invariante que se puede denominar masa-energía. En consecuencia la energía se puede expresar en unidades de masa y viceversa, y la energía cambia con la velocidad como la masa (34). Este hecho ya se refleja en nuestro uso de unidades, como muestra (45), que pone de manifiesto que “nuestra” masa se mide en unidades de energía. Como corolario, los principios de conservación de masa y energía clásicos, se funden en el principio de conservación de masa-energía en relatividad . Además, combinando (35) con (39), resulta una relación útil, E = p 2 − m02 .
(46)
Aceleración Puede revisitarse el concepto de aceleración relativista (ecuación de transformación 24) a la luz de la fuerza relativista. Para ello, se desarrolla (36), teniendo en cuenta (35), F = m
d u dm +u dt dt
(47)
Como (45) permite escribir, dm dt
=
dE
=
dt
d ( K + m0 ) dt
=
dK dt
= F ⋅
d r dt
= F ⋅ u
,
(48)
haciendo uso de las primeras igualdades de (38), resulta, finalmente, F = m
d u + u ( F ⋅ u ) dt
(49)
Lo que implica que la aceleración en relatividad es: a≡
d u F u ( F ⋅ u ) = − dt m m
(50)
Por tanto, no es paralela a la fuerza, como en el caso galileano, porque el último término de (50) es en la dirección de la velocidad.
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