´ nonc´e E
` Probleme eme
Ensembles normaux pour une application Soient E et F deux ensembles finis de mˆeme eme cardinal. Soit f une application de P (E ) dans P (F ) v´erifiant erifiant les deux conditions suivantes suivantes : f (∅) = ∅
et ∀ (A, B ) ∈ P (E )2 ,
f (A ∪ B ) = f (A) ∪ f (B )
1. Montrer Montrer l’implication l’implication : ∀ (A, B ) ∈ P (E )2 , A ⊂ B ⇒ f (A) ⊂ f (B ). [ ). [ S ] 2. En d´eduire eduir e : ∀ (A, B ) ∈ P (E )2 , f (A ∩ B ) ⊂ f (A) ∩ f (B ). [ S ] On suppose, dans la suite su ite du probl`eme, eme, que f satisfait `a la troisi` trois i`eme eme condition condi tion :
∀ A ∈ P (E ), Card(f (A)) ≥ Card(A) 3. On dit que A est normal (sous-entendu pour f ) si Card(f (A)) = Card(A). (a) Montrer que ∅ et E sont normaux. [ S ] (b) Montrer que si A et B sont normaux, A ∪ B et A ∩ B sont normaux. [ S ] (c) Montrer que si A et B sont normaux, f (A ∩ B ) = f (A) ∩ f (B ). [ S ] 4. Parmi tous les sous-ensem sous-ensembles bles normaux non vides de E , soit A0 de cardinal minimum. (a) Soit A un sous-ensemble normal de E . Montrer que A ⊃ A 0 ou A ∩ A0 = ∅. [ S ] (b) Soient α un u n ´el´ement de A0 et β un u n ´el´ement de f ({α}). On pose E = E − − {α} et F = F − {β }.
On d´efinit efinit une application applic ation g de P (E ) dans P (F ) par :
∀ C ∈ P (E ), g (C ) = f (C ) ∩ F
Montrer que g v´erifie erifie les trois conditions analogues a` celles de f . Indication Indic ation : pour p our la troisi` trois i`eme eme condit c ondition, ion, on o n pourra p ourra consid´erer erer une partie p artie A de E et discuter suivant que A est ou n’est pas normal pour f . [ S ]
(c) En d´eduire eduire qu’il existe une bijection b ijection ϕ : E → F telle que : ∀ x ∈ E , ϕ(x) ∈ f ({x}). Indication Indic ation : proc´ pro c´eder eder par r´ecurrence ecur rence sur l’entier n = Card E = = Card F . [ S ]
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Probl` eme
Corrig´e
Corrig´ e du probl` eme 1. Soit A et B deux parties de E telles que A ⊂ B . Cette inclusion s’exprime aussi en ´ecrivant que A ∪ B = B . On en d´eduit f (B ) = f (A ∪ B ) = f (A) ∪ f (B ). Autrement dit, on a l’inclusion f (A) ⊂ f (B ). [ Q ] f (A ∩ B ) ⊂ f (A) A ∩ B ⊂ A 2. On a donc . f (A ∩ B ) ⊂ f (B ) A ∩ B ⊂ B On en d´eduit l’inclusion f (A ∩ B ) ⊂ f (A) ∩ f (B ). [ Q ]
3. (a) On a toujours f (∅) = ∅. Donc ici Card f (∅) = Card ∅ = 0. Par hypoth`ese, Card f (E ) Card E . Or f (E ) ⊂ F et Card E = Card F . Il en d´ecoule f (E ) = F , et donc Card f (E ) = Card F = Card E . Conclusion : les ensembles ∅ et E sont normaux. [ Q ] (b) Soient A et B deux sous-ensembles normaux de E . – On a successivement : Card f (A ∪ B ) = Card (f (A) ∪ f (B )) (car f (A ∪ B ) = f (A) ∪ f (B )) = Card f (A) + Card f (B ) − Card(f (A) ∩ f (B )) (cardinal
d’une r´ eunion )
Card f (A) + Card f (B ) − Card f (A ∩ B ) (car f (A ∩ B ) ⊂ f (A) ∩ f (B ))
On en d´eduit : Card f (A ∪ B ) Card A + Card B − Card f (A ∩ B ) (car A, B sont normaux)
Card A + Card B − Card(A ∩ B ) (car Card f (A ∩ B ) Card(A ∩ B ))
On a donc obtenu Card f (A ∪ B ) Card A ∪ B . Mais l’in´egalit´e inverse est toujours vraie. On en tire Card f (A ∪ B ) = Card A ∪ B . La r´eunion de deux ensembles normaux est donc un ensemble normal. – On a prouv´e l’in´egalit´e Card f (A ∪ B ) Card (A ∪ B ) en utilisant entre autres choses l’in´egalit´e Card f (A ∩ B ) Card(A ∩ B ). Mais puisqu’on a l’´egalit´e finale Card f (A ∪ B ) = Card(A ∪ B ), toutes les in´egalit´es utilis´ees deviennent des ´egalit´es. On en d´eduit en particulier Card f (A ∩ B ) = Card (A ∩ B ). Cela signifie que l’intersection de deux ensembles normaux est un ensemble normal. [Q]
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Probl` eme
Corrig´e
(c) Soient A et B deux parties de E . On a toujours f (A ∩ B ) ⊂ f (A) ∩ f (B ). Si A et B sont normaux, on sait que Card f (A ∩ B ) = Card (f (A) ∩ f (B )) (c’est en effet l’une des ´egalit´es qui r´esultent de la question pr´ec´edente). On en d´eduit alors l’´egalit´e f (A ∩ B ) = f (A) ∩ f (B ). [ Q ] 4. (a) On sait que A ∩ A0 est une partie normale de E . On a Card(A ∩ A0 ) Card A0 . La d´efinition de Card A0 implique alors : – Ou bien A ∩ A0 est vide. – Ou bien A ∩ A0 est de mˆeme cardinal que A0 : Cette derni`ere ´eventualit´e signifie que A ∩ A0 = A 0 c’est-`a-dire A0 ⊂ A . [Q] (b) – On a tout d’abord g (∅) = f (∅) ∩ F = ∅ ∩ F = ∅.
– D’autre part, pour toutes parties A et B de E , on a :
g (A ∪ B ) = f (A ∪ B ) ∩ F = (f (A) ∪ f (B )) ∩ F
= (f (A) ∩ F ) ∪ (f (B ) ∩ F ) = g (A) ∪ g (B ).
– Il reste a` montrer que pour toute partie A de E , on a Card A Card g (A).
Il faut discuter suivant que A est ou n’est pas un sous-ensemble normal pour f .
Si A est un sous-ensemble normal pour f : On sait qu’on a A0 ⊂ A ou A ∩ A0 = ∅. Mais A0 ⊂ A est ici impossible car α appartient a` A0 mais pas a` A. Par cons´equent f (A) ∩ f (A0 ) = f (A ∩ A0 ) = f (∅) = ∅. D’autre part, β appartient a` f ({α}) et { α} est inclus dans A0 . On en d´eduit f ({α}) ⊂ f (A0 ) : β est donc un ´el´ement de f (A0 ). Or β n’est pas un ´el´ement de f (A) car f (A) ∩ f (A0 ) = ∅. Il en r´esulte que g (A) = f (A) ∩ (F \ {β }) = f (A). Ainsi g (A) = f (A) et finalement Card g (A) = Card f (A) = Card A.
Si A n’est pas un sous-ensemble normal pour f : On a n´ecessairement Card f (A) Card A + 1. D’autre part, f (A) est inclus dans g (A) ∪ {β }. On a donc ´egalement Card f (A) Card g (A) + 1. Finalement : Card A Card f (A) − 1 Card g (A). Ainsi, pour toute partie A de E , on a : Card(A) Card g (A).
L’application g poss`ede donc les trois mˆemes propri´et´es que f . [Q]
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Probl` eme
Corrig´e
(c) On proc`ede par r´ecurrence sur l’entier n = Card E . – Supposons n = 1. E est r´eduit a` un singleton { x} et F a` un singleton { y }. On a n´ecessairement f ({x}) = {y } a` cause de la propri´et´e Card f (A) Card A. L’application ϕ d´efinie par ϕ(x) = y (d’ailleurs la seule application possible de E vers F ) convient visiblement : elle est en effet bijective et on a ϕ(x) ∈ f ({x}). – Soit n un entier sup´erieur ou ´egal a` 2. On suppose que la propri´et´e a ´et´e d´emontr´ee au rang n − 1. On suppose donc maintenant que Card E = Card F = n . On se donne une partie A0 de E comme dans la question pr´ec´edente. Soit α un ´el´ement de A0 et β un ´el´ement de f ({α}). NB : on sait que Card f ({α}) Card {α} 1, ce qui prouve l’existence de β . On pose ensuite E = E \ {α} et F = F \ {β }.
Les ensembles E et F sont tous les deux de cardinal n − 1.
On sait qu’il existe une application g de P (E ) dans P (F ) satisfaisant aux trois conditions.
On en d´eduit (hypoth`ese de r´ecurrence) l’existence d’une bijection ψ de E sur F telle que : ∀ x ∈ E , ψ (x) ∈ g ({x}).
On prolonge alors ψ en une application ϕ : E → F , en posant ϕ(α) = β . Il est clair que l’application ϕ est une bijection de E sur F . D’une part, on a bien ϕ(α) = β ∈ f ({α}). D’autre part, si x est un ´el´ement de E distinct de α, c’est-`a-dire un ´el´ement de E , on sait que ϕ(x) = ψ (x) ∈ g ({x}).
Or g ({x}) = f ({x}) ∩ F ⊂ f ({x}). On a donc encore ϕ(x) ∈ f ({x}).
On a ainsi construit ϕ : E → F , bijective, telle que : ∀ x ∈ E , ϕ(x) ∈ f ({x}). Ceci prouve la propri´et´e au rang n et ach`eve la r´ecurrence. [Q]
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