Mecânica dos solos 2
Pressão lateral e Empuxo Teoria de Rankine . Profª Desireé Alves Engenharia Civil – UFERSA
Empuxo É a resultante das pressões laterais, de terra ou de água, que atuam contra uma estrutura de suporte (arrimo). Ou seja, é a força horizontal produzida pelo maciço de solo sobre as obras com ele em contato. • Essa força horizontal pode provocar escorregamento sobre uma estrutura de contenção, talude natural ou cortina. •
Exemplos de Aplicação: Muros de arrimo Cortinas de estacas prancha Escavações Dimensionamento de silos enterrados, túneis, encontros de pontes, subsolos, etc.
Empuxo • O valor do empuxo de terra, assim como a distribuição de
tensões ao longo do elemento de contenção, depende da interação solo-elemento estrutural durante todas as fases da obra. • O empuxo atuando sobre o elemento estrutural provoca deslocamentos horizontais que, por sua vez, alteram o valor e
a distribuição do empuxo, ao longo das fases construtivas da obra.
Empuxo • Para
determinar as pressões devido ao empuxo (horizontais) utilizaremos, inicialmente, os conceitos da teoria da elasticidade que relaciona os comportamentos das tensões e deformações em diferentes tipos de materiais. • De acordo com a lei de Hooke, ao aplicarmos uma tensão em um corpo, este estará sujeito a uma deformação, de acordo com seu módulo de elasticidade (ou módulo de Young).
• Considerando que o corpo de prova de solo sofre uma tensão de compressão, no sentido da altura, este sofre um encurtamento neste sentido e, consequentemente, um alongamento no sentido de seu diâmetro, logo:
Empuxo • A partir das deformações horizontais e verticais, podemos determinar o coeficiente de Poisson ( μ ou ν), que, neste caso, reflete o
quanto o solo se deforma no sentido horizontal em relação à deformação no sentido do carregamento (vertical), isto é:
• A deformação horizontal que deve ocorrer em cada partícula do solo
devido ao carregamento vertical (peso do solo sobre as partículas), é impedida pelas partículas vizinhas (estado de repouso) srcinando as tensões horizontais nas partículas.
Empuxo • Verifica-se que existe uma proporcionalidade entre a tensão efetiva vertical
e a correspondente tensão efetiva horizontal. Dentro deste princípio, qualquer valor de tensão efetiva horizontal será sempre calculado em função da tensão efetiva vertical. K = coeficiente de empuxo de terra.
• O empuxo no repouso é definido pelas tensões horizontais, calculadas para
condição de repouso. Neste caso para a condição de semi-espaço infinito horizontal, o empuxo é produto do coeficiente de empuxo lateral no repouso (ko) e da tensão efetiva vertical, acrescido da parcela da poropressão.
Empuxo • Diagramas das tensões horizontais: A pressão lateral, normal a um plano vertical, será σH que, sendo proporcional a σV, terá um diagrama de distribuição
de mesmo formato que o desta tensão.
Traçando-se o diagrama de pressões horizontais ou pressões laterais que age sobre o •
plano, teremos condição de calcular a força resultante horizontal. • O empuxo total por unidade de comprimento do muro de altura H contendo um solo seco com peso específico γ, corresponde à área do diagrama de pressões horizontais e age no centro de gravidade da área.
Empuxo Analisando-se a figura ao lado, vemos que a massa é limitada por um muro sem atrito de altura AB. Um elemento de solo localizado a uma profundidade z é submetido a uma tensão efetiva vertical σ’V=σ’0 e a uma tensão horizontal σ’h. Não há tensõesefetiva de cisalhamento nesses planos. A relação adimensional entre σ’H e σ’0 é chamado de coeficiente de empuxo, como já mostrado.
Três casos podem surgir em relação ao muro de arrimo: •
Figura 1 (a) – Pressão em repouso
Empuxo Caso 1: Se o muro AB for estático (não se
move nem para direita nem para esquerda), a massa de solo está em um equilíbrio estático. Nesse caso σ’H é denominada pressão de terra em repouso e K = K0, dessa forma:
• K0 = coeficiente de empuxo em repouso. Ex. de estrutura de contenção sem deslocamento:
Eo
Eo
(a) Paredes de subsolo
Figura 1 (a) – Pressão em repouso
Empuxo Caso 2: Se o muro girar em torno de sua base para uma posição A’B, então a massa de solo triangular ABC’
adjacente ao muro atingirá um estado de equilíbrio plástico e se romperá deslizando para baixo segundo um BC’. Nesse momento, a tensão plano efetiva horizontal, σ’H = σ’a, será chamada de pressão ativa:
Ka = coeficiente de empuxo ativo do solo. •
Figura 1 (b) – Pressão ativa
Empuxo Caso 2: As forças que o solo exerce sobre as estruturas sãode natureza ativa. O solo “empurra’ a estrutura, que reage, tendendo a afastar-se do maciço.Há
deslocamento da estrutura, provocando expansão do maciço, estando o maciço na iminência de ruptura.
Ka = coeficiente de empuxo ativo do solo.
Empuxo Caso 3: Se o muro girar em torno de sua base para uma posição A’’B, então a massa de solo triangular ABC’’
atingirá um estado de equilíbrio plástico e se romperá deslizando para cima segundo um plano BC’. Nesse momento, efetiva σ’hH= σ’p, aatensão chamada dehorizontal, pressão passiva:
Kp = coeficiente de empuxo passivo do solo. •
Figura 13.1 (c) – Pressão passiva
Empuxo Caso 3: Ao contrário, se a estrutura que é empurrada contra o solo, a força exercida pela estrutura sobre o solo é de natureza passiva. Um caso típico deste tipo de interação solo-estrutura é o de fundações que transmitem ao maciço forças de elevada componente horizontal, como é o caso de pontes em arco .
Empuxo Caso 3: Há deslocamento da estrutura, provocando compressão do maciço,
estando o maciço na iminência de ruptura. Outro caso típico deste tipo de interação solo-estrutura é o de paredes atirantadas.
deslocamento
Parede atirantada
Empuxo Caso 4: Em determinadas obras, a interação solo-estrutura pode englobar
simultaneamente as duas categorias referidas. É o caso da Figura 4, onde se representa um muro-cais ancorado.
Empuxo As pressões do solo suportado imediatamente atrás da cortina são equilibradas pela força Ft de um tirante de aço amarrado em um ponto perto do topo da cortina e pelas pressões do solo em frente à cortina. O esforço de tração no tirante tende a deslocar a placa para a esquerda, isto é, empurra a placa contra o solo, mobilizando pressões de natureza passiva de um lado e pressões de natureza ativa no lado oposto. Caso 4:
Empuxo O cômputo da resultante e da distribuição das pressões, quer as de natureza ativa, quer as de natureza passiva, que o solo exerce sobre a estrutura, assim como do estado de deformação associado, é quase sempre muito difícil. Contudo, a avaliação do valor mínimo (caso ativo) ou máximo (caso passivo) é um problema que é usualmente resolvido por meio das teorias de estado limite. Caso 4:
Empuxo no Repouso • Para se definir o coeficiente de empuxo K0 em
repouso, deve-se consultar a figura 13.3, que mostra o muro AB contendo um solo seco com um pesco específico Y. O muro é estático. A uma profundidade z, a tensão efetiva vertical será σ'0.γz e a horizontal K0. γz, visto que K0 = σ‘H/σ'0 (coeficiente de empuxo no repouso). Para solos grossos, o coeficiente de empuxo em repouso pode ser estimado usando-se a seguinte equação empírica (φ’ = ângulo de atrito drenado)
Empuxo no Repouso • Foi verificado que a equação 13.6 proporciona bons resultados quando o aterro
é de areia é fofa. Entretanto, quando o aterro é de areia compacta o compactada, a equação pode subestimar grosseiramente a pressão lateral de terra em repouso, por causa do processo de compactação do aterro. Dessa forma, deve-se utilizar a equação 13.7, que é uma correção da 13.6 para areias compactas ou compactadas.
(13.7)
Outra correção para a equação 13.6 ocorre para o caso de um solo sobreadensado, visto que há um aumento no K0 para esse caso, onde OCR é a razão de sobreadensamento do solo, logo: •
(13.8)
Empuxo no Repouso • Já para solos finos, normalmente adensados, a seguinte equação empírica
foram sugeridas para determinação do K0.
(13.9)
Para argilas sobreadensadas, o coeficiente de empuxo em repouso pode ser aproximado como •
(13.10)
Empuxo no Repouso Valores de Ko
Fonte: Terzaghi e Peck (1967).
Empuxo no repouso para um solo parcialmente submerso • Veremos agora a situação onde o muro ultrapassa o nível do lençol freático,
tendo assim a influência da água na pressão lateral;
Empuxo no repouso para um solo parcialmente submerso • Até a altura H1, como podemos ver a pressão e o K são calculados como vimos
anteriormente, a partir da altura H1 temos a influência da poropressão no cálculo vejamos;
Empuxo no repouso para um solo parcialmente submerso
Empuxo no repouso para um solo parcialmente submerso •
Estados de Equilíbrio Plástico • Diz-se que a massa de solo está sob equilíbrio plástico quando todos
os pontos estão em situação de ruptura. • Seja uma massa semi-infinita de solo seco, não coesivo, mostrada na Figura 5. O elemento está sob condição geostática e as tensões atuantes em uma parede vertical, imaginária será calculada com base em:
Estados de Equilíbrio Plástico • Como não existem tensões cisalhantes, os planos vertical e horizontal são
planos principais. Supondo que haja um deslocamento do diafragma, haverá uma redução da tensão horizontal (σh), sem que a tensão vertical sofra qualquer variação. Se o deslocamento do diafragma prosseguir, a tensão horizontal cairá até que ocorra a condição de ruptura. Neste caso, diz-se que a região está em equilíbrio plástico e σh atingirá seu limite inferior (condição ativa).
Estados de Equilíbrio Plástico • Caso o diafragma se desloque em direção oposta a tensão horizontal irá
aumentar até atingir seu valor máximo na ruptura (condição passiva). Neste caso haverá rotação de tensões principais , isto é :
estado limite ativo: mantendo-se a tensão efetiva vertical constante e diminuindo-se progressivamente a tensão efetiva horizontal ; estado limite passivo: mantendo-se a tensão efetiva vertical constante e aumentando-se progressivamente a tensão efetiva horizontal.
No
caso de muros, os movimentos são localizados e só produzem mudanças nas vizinhanças da estrutura. A região afetada será função do tipo de movimento e das condições de contorno do problema. No caso de muro liso e solo seco, a superfície de ruptura atende as condições mostradas nas figuras a seguir.
Estados de Equilíbrio Plástico
Estados de Equilíbrio Plástico
Estados de Equilíbrio Plástico Condições de D eformação:
Resultados experimentais mostraram que os estados de equilíbrio plástico se desenvolvem quando o deslocamento do muro é uniforme ou quando há rotação pela base (Figura 9). Por outro lado, se a rotação for pelo topo haverá possibilidade de formação de uma superfície não planar, sem que toda região atinja equilíbrio plástico.
Estados de Equilíbrio Plástico Condições de D eformação:
O tipo de deslocamento afeta a forma da superfície de plastificação e conseqüentemente interfere na distribuição de tensões. A Figura 11 mostra os diagramas de empuxo para o caso de solos não coesivos, para diferentes condições de deslocamento. Observa-se que sempre que a superfície for plana a distribuição também é linear. Para outros casos a distribuição de empuxos passa a ter a forma parabólica.
Estados de Equilíbrio Plástico Condições de D eformação:
Estados de Equilíbrio Plástico Mobilização dos estados ativo e passivo
Resultados experimentais indicaram que as deformações associadas à trajetória ativa são significativamente menores que as observadas em trajetórias passivas. A Figura 12 mostra resultados de ensaios onde observa-se que:
estado limite ativo: são necessárias deformações muito pequenas, da ordem de 0,5%; deformações horizontais da ordem de 0,5% são necessárias para mobilizar metade da resistência passiva; estado limite passivo: são necessárias deformações da ordem de 2%.
Estados de Equilíbrio Plástico Mobilização dos estados ativo e passivo
Estados deEquilíbrio Plástico • De certa forma, as deformações necessárias para mobilizar o
estado ativo são menores do que as necessárias para mobilizar o estado passivo. No estado ativo, o solo sofre uma solicitação de tração. No estado passivo, ocorre a compressão do solo. Os solos possuem resistência à compressão, mas não suportam esforços de tração. Sendo assim, basta um pequeno alívio de tensões horizontais para que ocorra a ruptura do solo por tração.
Estados deEquilíbrio Plástico • Para atingir os estados limites ativo e passivo é necessário haver
deslocamento da estrutura. • Geralmente nos muros de arrimo de altura limitada, o movimento do muro pode ocorrer por simples translação ou, mais frequentemente, pela rotação sobre a base (DAS, 2014).
Teoria de Rankine Hipóteses e Formulação Geral
De acordo com a teoria de Rankine, o deslocamento de uma parede irá desenvolver estados limites, plásticos. No momento da ruptura surgem infinitos planos de ruptura e ocorre a plastificação de todo o maciço;
Em resumo, o método de Rankine (1857) considera o solo em estado de equilíbrio plástico e baseia-se nas seguintes hipóteses: • Solo isotrópico; • Solo homogêneo; • Superfície do terreno plana; • A ruptura ocorre em todos os pontos do maciço simultaneamente; • A ruptura ocorre sob o estado plano de deformação; • Muro perfeitamente liso (atrito solo-muro: δ = 0): os empuxos de terra atuam paralelamente à superfície do terreno ; • A parede da estrutura em contato com o solo é vertical .
Teoria de Rankine •No caso do afastamento da parede, haverá um decréscimo deσh, sem
alteração de σv; as tensões verticais e horizontais continuarão sendo as tensões principais, máxima e mínima, respectivamente. •Este processo tem um limite (Figura 6) , que corresponde à situação para a qual o maciço entra em equilíbrio plástico e, por maiores que sejam os deslocamentos da parede, não é possível reduzir mais o valor da tensão principal menor (σ’ha). •Neste caso, o solo terá atingido a condição ativa de equilíbrio plástico. Nesta condição, a razão entre a tensão efetiva horizontal e a tensão efetiva vertical é definida pelo coeficiente de empuxo ativo, ka, ou seja:
Teoria de Rankine •Com o deslocamento da parede de encontro ao maciço, se observará
um acréscimo de σh, sem alteração de σv. O ponto B se deslocará para a direita, mantendo-se fixo o ponto A (Figura 6). •Em determinado instante, a tensão horizontal se igualará à tensão vertical, instalando-se no maciço um estado de tensões hidrostático ou isotrópico. Nos estágios seguintes, a tensão principal maior passa a ser horizontal, ou seja, ocorre uma rotação das tensões principais. •Com a continuidade do movimento, a tensão σh aumentará até que a razão σh/σv atinja o limite superior e, consequentemente, a ruptura. Neste caso, o solo terá atingido a condição passiva de equilíbrio plástico. Nesta condição, a razão entre a tensão efetiva horizontal e a tensão efetiva vertical é definida pelo coeficiente de empuxo passivo, kp, ou seja:
Teoria de Rankine •Ainda pode-se determinar as direções das superfícies de ruptura nos estados de equilíbrio limite ativo e passivo, ou seja, as direções dos planos onde a resistência ao cisalhamento do solo é integralmente mobilizada. Em ambos os casos, as superfícies de ruptura fazem um ângulo de (45°- ϕ’/2) com a direção da tensão principal máxima (que no caso ativo é a tensão vertical e no caso passivo é a tensão horizontal).
Teoria de Rankine • Direções das superfícies de ruptura nos estados de equilíbrio limite ativo e passivo:
Fonte: Rideci Farias (2014)
Teoria de Rankine para pressão ativa • O solo sofre uma distensão ao reagir contra esta ação de afastamento do
plano interno da estrutura de contenção, provocando na massa uma resistência ao longo do possível plano de escorregamento. A massa desenvolve, em seu interior, toda a resistência ao cisalhamento ao longo do plano de ruptura, aliviando, até certo ponto, a ação do solo sobre o paramento interno da estrutura.
Teoria de Rankine para pressão ativa • Este plano de ruptura faz um ângulo α com o traço do plano principal maior,
caracterizando um estado de tensões, como mostra a figura abaixo limitando-se com a superfície do terrapleno e com o paramento interno da estrutura, formando assim uma região que é denominada cunha instável. Esta cunha está passível de movimento, portanto, onde se desenvolverá a resistência ao cisalhamento e onde cada movimento ocorrente não terá condição de retrocesso, isto é, nessa região o equilíbrio é plástico (Figura abaixo).
Teoria de Rankine para pressão ativa • Como já vimos o comportamento de um solo em estado de empuxo ativo,
agora vamos mostrar como Rankine deduziu o cálculo para o empuxo ativo a partir de analises do circulo de Mohr.
Teoria de Rankine para pressão ativa •
Teoria de Rankine para pressão ativa •
Teoria de Rankine para pressão passiva • Estado de tensões passivo:
Desenvolve-se quando o movimento relativo entre o solo e a estrutura de contenção causa uma compressão no maciço contido, levando ao equilíbrio plástico (LINS, 2014).
Teoria de Rankine para pressão passiva • Estado de tensões passivo:
É a pressão limite entre o solo e o muro quando existe uma tendência de movimentação no sentido de comprimir o solo horizontalmente (LINS, 2014). Para que se ocorra o deslizamento, o empuxo deverá ser maior que o peso do terrapleno, assim, a pressão principal maior será a horizontal e a menor a vertical (FARIAS, 2014).
Teoria de Rankine para pressão passiva • Empuxo para solos não coesivos:
FONTE: Cecilia Silva Lins (2014)
Teoria de Rankine para pressão passiva • Circulo de Mohr para empuxo passivo de solos não coesivos:
FONTE: Cecilia Silva Lins (2014)
Teoria de Rankine para solos coesivos •No caso de solos coesivos, as tensões horizontais ( σ’ha e σ’hp)
representativas do estados ativo e passivo, podem ser obtida a partir das expressões:
Teoria de Rankine para solos coesivos • No caso ativo, a distribuição de empuxos se anula a uma determinada
profundidade Zo , As tensões horizontais sendo acima dessa profundidade são negativas, conforme mostra a Figura 16. Como o solo não resiste a tensões trativas, surgem trincas nesta região.
Teoria de Rankine para solos coesivos
Pelo fato da região superficial apresentar tensões negativas (Z
Teoria de Rankine para solos coesivos A região de tração não deve ser considerada em projeto, reduzindo a tensão horizontal. Ao contrario, deve-se assumir que a sua existência pode acarretar num possível preenchimento por água de infiltração. Neste caso, a presença da água gera um acréscimo de tensão horizontal igual a γw . Zo . Recomenda-se nestes casos, considerar no mínimo um diagrama aproximado,conforme mostrado na Figura 16.
Exemplo Resolvido • 1 - Desenhe o diagrama para a parede de 6,5m de altura. Parâmetros do solo :ϕ´=10°, c´= 10,5kPa e γ=17,52kN/m3.
Exemplo Resolvido • 1 - Desenhe o diagrama para a parede de 6,5m de altura. Parâmetros do solo :ϕ´=10°, c´= 10,5kPa e γ=17,52kN/m3.
Neste exemplo, a solução com saturação da trinca apresenta valores intermediários e a solução com o diagrama aproximado é a mais conservativa.
Teoria de Rankine para solos coesivos No caso passivo, a distribuição de empuxos está apresentada na Figura 17
e o empuxo é obtido a partir da expressão:
Distribuição de empuxos passivos (c≠0)
Teoria de Rankine para solos coesivos • Círculo de Mohr para empuxo passivo de solos coesivos:
Teoria de Rankine para solos coesivos • Equações de empuxo de solos coesivos:
Teoria de Rankine Maciços com superfície inclinada Face do muro inclinada • Tabela 5. • Valores de ka e kp para
muros e retroaterros inclinados e ϕ =30º. As equações apresentadas nos itens anteriores são válidas para situações em que o empuxo atua em superfícies verticais; isto é, estruturas de contenção com face interna vertical. Caso esta face não seja vertical os valores do coeficiente de empuxo ativo são alterados. A Tabela 5 mostra os valores de coeficiente de empuxo para varias situações.
UM CASO GENERALIZADO PARA A PRESSÃO ATIVA E PASSIVA DE RANKINE– ATERRO GRANULAR • Caso ativo de Rankine:
Pressão lateral de terra (s‘a) a uma profundidade z:
(13.23)
Onde
(13.24)
UM CASO GENERALIZADO PARA A PRESSÃO ATIVA E PASSIVA DE RANKINE– ATERRO GRANULAR
Figura 13.10 - Caso geral das pressões de Rankine ativa e passiva.
UM CASO GENERALIZADO PARA A PRESSÃO ATIVA E PASSIVA DE RANKINE– ATERRO GRANULAR A pressão σ‘a estará inclinada a um ângulo b com o plano desenhado no ângulo reto com a face posterior do muro e
(13.25) O empuxo ativo Pa para a unidade de comprimento do muro pode então ser calculado por
(13.26)
UM CASO GENERALIZADO PARA A PRESSÃO ATIVA E PASSIVA DE RANKINE– ATERRO GRANULAR Com isso temos
(13.27)
A localização e a direção do empuxo resultante Pa são mostrados na figura seguinte, além da cunha de ruptura, ABC. BC será inclinado a um ângulo η. Ou
(13.28)
UM CASO GENERALIZADO PARA A PRESSÃO ATIVA E PASSIVA DE RANKINE– ATERRO GRANULAR
UM CASO GENERALIZADO PARA A PRESSÃO ATIVA E PASSIVA DE RANKINE– ATERRO GRANULAR Em casos especiais, para uma face posterior vertical do muro (ou seja, θ = 0), como mostra na figura as Equações (13.26)aoe lado, (13.27) são simplificadas para
Figura 13.12 - Muro de arrimo vertical sem
atrito com aterro inclinado
UM CASO GENERALIZADO PARA A PRESSÃO ATIVA E PASSIVA DE RANKINE– ATERRO GRANULAR Onde
(13.29)
Tabela 13.2 Valores de Ka(R) [Equação (13.29)] ’
(graus)
a(graus)
28
30
32
34
36
38
40
0
0,361
0,333
0,307
0,283
0,260
0,238
0,217
5
0,366
0,337
0,311
0,286
0,262
0,240
0,219
10
0,380
0,350
0,321
0,294
0,270
0,246
0,225
15
0,409
0,373
0,341
0,311
0,283
0,258
0,235
20
0,461
0,414
0,374
0,338
0,306
0,277
0,250
25
0,573
0,494
0,434
0,385
0,343
0,307
0,275
Para esse caso, o ângulo b será igual a a. A variação de Ka(R) determinada na Equação 13.29 com a e ∅’ é determinada na tabela 13.2
UM CASO GENERALIZADO PARA A PRESSÃO ATIVA E PASSIVA DE RANKINE– ATERRO GRANULAR • Caso passivo de Rankine:
De uma forma parecida com o caso ativo, para o caso de Rankine, podemos obter as seguintes relações:
(13.30) Onde,
(13.31)
UM CASO GENERALIZADO PARA A PRESSÃO ATIVA E PASSIVA DE RANKINE– ATERRO GRANULAR A inclinação β de σ‘p, como mostra a Figura 13.10, é
(13.32) A força passiva por unidade de comprimento do muro é
UM CASO GENERALIZADO PARA A PRESSÃO ATIVA E PASSIVA DE RANKINE– ATERRO GRANULAR Onde
(13.33)
A localização e a direção de Pp juntamente com a cunha de ruptura são mostrados na Figura 13.11b. Para muros com face posterior vertical, θ = 0,
UM CASO GENERALIZADO PARA A PRESSÃO ATIVA E PASSIVA DE RANKINE– ATERRO GRANULAR
UM CASO GENERALIZADO PARA A PRESSÃO ATIVA E PASSIVA DE RANKINE– ATERRO GRANULAR Onde
(13.34)
A variação de K p(R) em relação a a e ∅’, como expresso na Equação (13.34), é dada na Tabela 13.3. Novamente, para esse caso especial, o ângulo Pp com a normal traçada na parte posterior do muro será igual a a (ou seja, b=a)
UM CASO GENERALIZADO PARA A PRESSÃO ATIVA E PASSIVA DE RANKINE– ATERRO GRANULAR Tabela 13.2 Valores de Kp(R) [Equação (13.34)] ’
a(graus)
(graus)
28
30
32
34
36
38
40
0
2,770
3,000
3,255
3,537
3,852
4,204
4,599
5
2,715
2,943
3,196
3,476
3,788
2,136
4,527
10
2,551
2,775
3,022
3,295
3,598
3,937
4,316
15
2,284
2,502
2,740
3,003
3,293
3,615
3,977
20
1,918
2,132
2,362
2,612
2,886
3,189
3,526
25
1,434
1,664
1,894
2,135
2,394
2,676
2,987
ATERRO – SOLO NÃO-COESIVO OM C SUPERFÍCIE HORIZONTAL
Caso Ativo: Para o estado ativo de Rankine, a pressão de terra, a qualquer profundidade, sobre o muro de arrimo pode ser expressa pela equação:
′ = (13.35)
O empuxo total por unidade de comprimento do muro é igual à área do diagrama de pressão portanto, temos:
= (13.36)
Caso Passivo: A distribuição da pressão lateral sobre o muro de arrimo da altura H para o estado passivo de Rankine, é mostrado na figura acima. A Pressão lateral de terra a qualquer profundidade é:
′ = (13.37) O empuxo total por unidade de comprimento do muro é :
= (13.38)
ATERRO – SUBMERSO NÃO-COESIVO SOLO SUPORTANDO UMA SOBRECARGA Caso Ativo: A figura ao lado mostra um muro sem atrito de altura h e um aterro de solo não – coesivo. O nível do lençol freático está localizado a uma profundidade H1 abaixo da superfície do solo, e o aterro está suportando uma pressão de sobrecarga de q por unidade de área. Obs.: Nesse caso, pode-se transformar essa sobrecarga em uma altura equivalente de solo da camada. Sendo:
= . (13.39) , Logo a altura equivalente é:
= (13.40)
Assim, a pressão lateral no ponto Z =0, é:
′ = . (13.41) Com a alteração da profundidade, observa-se modificações na pressão lateral, na profundidade Z = H2, encontramos o solo submerso.
A pressão lateral da água nos poros sobre muro entre Z = 0 e H1 é 0, e para Z> H1, ela aumenta linearmente com a profundidade, Em Z=H, temos:
= (13.42) O empuxo ativo total por unidade de comprimento do muro é a área do diagrama da pressão total.
= +
+ + ( + ) (13.43)
Caso Passivo: Para o caso passivo, temos que o empuxo total é dado pela equação:
= +
+ + ( + ) (13.44)
ATERRO – SOLO COESIVO COM ATERRO HORIZONTAL Caso Ativo:A figura ao lado mostra um muro sem atrito, com um aterro de solo coesivo. A pressão ativa sobre o muro a qualquer profundidade abaixo da superfície do solo pode ser expressa por:
′ = −
′(13.45)
Observe também que por causo do efeito da coesão, ′ é negativo na parte superior do muro de arrimo. A profundidade Z0 na qual a pressão ativa torna-se igual a 0 pode ser encontrada pela equação:
=
(13.46)
Para a condição sem drenagem – ou seja , = 0, = 2 45° = 1 = (coesão não-drenada), a eq. 13.46, ficar assim:
=
(13.47).
Empuxo total ativo é dado por:
= − ′(13.48) Para a condição = 0 ,
= − (13.49)
Para o calculo do empuxo ativo total, é prática comum levar-se em conta as fendas de tração. Como não existe contato entre o solo e o muro até uma profundidade z0 após o desenvolvimento das fendas de traça, somente a distribuição da pressão ativa contra muro entre z0 e H é considerada.
= − +
(13.50)
Para a condição = 0 ,
= − +
(13.51)
Caso Passivo: nesse caso, a pressão de Rankine contra o muro na profundidade z pode ser dada por:
′ = +
′(13.52)
Onde em z=0
′ = ′(13.53) E em z=H:
′ = +
′(13.54)
O empuxo passivo por unidade de comprimento de muro pode ser encontrado com base na área dos diagramas de pressão como:
= + (13.55) Para a condição = 0 , = 1:
= + (13.56)
PRESSÃODE RANKINE PARA SOLOc’- ′ - Aterro
Inclinado A figura ao lado mostra um muro de arrimo com a parte posterior superior vertical com um aterro inclinado de solo c’ - ′. A análise para a determinação da pressão de terra ativa e passiva de Rankine essa condição foi fornecida para por Mazindrani e Ganjali (1997). De acordo com essa análise, Pressão ativa:
′ = () = ′()(13.57) Em que () = Coeficiente de empuxo ativo de Rankine
′() =
()
(13.58)
PRESSÃODE RANKINE PARA SOLOc’- ′ - Aterro
Inclinado De maneira similar, Pressão Passiva:
′ = () = ′ ()(13.59) Em que () = Coeficiente de empuxo passivo de Rankine
′() =
()
(13.60)
PRESSÃODE RANKINE PARA SOLOc’- ′ - Aterro
Inclinado De maneira similar, Pressão Passiva:
′ = () = ′ ()(13.59) Em que () = Coeficiente de empuxo passivo de Rankine
′() =
()
(13.60)
Exemplo de Fixação • 1 – O muro apresentado abaixo tem 15 ft de altura e está
impedido de se movimentar, determine o empuxo lateral de Rankine, P, por unidade de comprimento do muro e a localização da resultante. Represente a distribuição da pressão ativa de terra de Rankine contra o muro de arrimo. Assuma que para a areia o OCR = 2.
Exemplo de Fixação • 2 - Para o muro apresentado abaixo, determine o empuxo
ativo de Rankine, Pa, por unidade de comprimento do muro e a localização da resultante. Represente a distribuição da pressão ativa de terra de Rankine contra o muro de arrimo. • H= 6 m; H1= 3 m; γ1= 15,5 kN/m³; γ2= 19 kN/m³; ϕ1= 30°; ϕ2= 36°; q= 15 kN/m³;
Exercício de Fixação • 3 - Calcule o empuxo em um muro de 6m de altura que está
contendo um solo arenoso, para o caso de o muro não ter deslocamento, para o caso em que o mesmo se desloca para à esquerda e para o caso em que ele se desloca para à direita. O γ do solo é 16 KN/m³ e o Ângulo de atrito é de 35°. Determine a inclinação das cunhas de ruptura e represente os círculos de Mohr correspondentes a cada caso e a envoltória de resistência na ruptura.
Exercício de Fixação 4. Para um muro com paramento vertical e retroterra inclinada de 14,5°. Pede-se, para um ponto situado a 2,8m de profundidade. Considere como parâmetros do solo γ=18kN/m3, c=0 e ϕ=35º. • i) desenhar os círculos ativo e passivo • ii) determinar os planos de ruptura para as condições
ativa e passiva • iii) determinar a direção dos planos principais
Exercício de Fixação • paramento vertical; β = 14,5°; z = 2,8m • parâmetros do solo γ=18kN/m3, c=0 e ϕ=35º. • i) desenhar os círculos ativo e passivo • ii) determinar os planos de ruptura para as condições ativa e passiva • iii) determinar a direção dos planos principais • Condição ativa • σ3 = 14,48 atua num plano a 63º com o plano horizontal. • σ 1 = 53,42 atua num plano a 153º com o plano horizontal
Exercício de Fixação • paramento vertical; β = 14,5°; z = 2,8m • parâmetros do solo γ=18kN/m3, c=0 e ϕ=35º. • i) desenhar os círculos ativo e passivo • ii) determinar os planos de ruptura para as condições ativa e passiva • iii) determinar a direção dos planos principais • Condição passiva • σ 3 = 47,53 atua num plano a 70º com o plano vertical. • σ 1 = 175,36 atua num plano a 20º com o plano vertical
Exercício de Fixação • 5. Sabendo-se que o muro de arrimo sofre um
deslocamento para a direita, calcular pelo método de Rankine, o valor do empuxo, seu ponto de aplicação sobre o muro e representar a distribuição da pressão de terra sobre o muro. Determine a inclinação das cunhas de ruptura e represente o círculo de Mohr correspondente e a envoltória de resistência na ruptura.
Exercício de Fixação • 6. Para um muro de altura 3,66m, com paramento
inclinado a +20 e retroterra inclinada de +20°. Para o aterro granular, é dado que γ = 18,08 kN/m³ e ϕ = 30 . Determine o empuxo ativo por unidade de comprimento do muro, assim como a localização e a direção da resultante. °
°
Exercício de Fixação • 7. Um muro de arrimo que tem um
aterro de argila saturada é mostrado ao lado. Para uma condição sem drenagem (ϕ = 0) do aterro, determine: • a) a máxima profundidade da fenda de tração; • b) Pa antes de ocorrer a fenda de tração; • c) Pa após ocorrer a fenda de tração.
Exercício de Fixação • 8. Para um muro construído no perfil apresentado abaixo,
determine o empuxo ativo e passivo de Rankine, por unidade de comprimento do muro e a localização da resultante. Represente a distribuição da pressão ativa de terra de Rankine contra o muro de arrimo.
Exercício de Fixação • 9. As condições de solo adjacente a uma cortina estão
dadas na figura abaixo. Plote as distribuições de empuxo ativo e passivo.
Referências ORTIGÃO, J. A. R. Introdução à Mecânica dos solos dos estados críticos. 3ª ed. 2007 (www.terratek.com.br) PINTO, C. S. Curso Básico de Mecânica dos Solos em 16 aulas. 3ª ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2006. DAS, B. M. Fundamentos de Engenharia Geotécnica. São Paulo: Cengage Learning, 2014. GERSCOVICH, D. M. S. Empuxos de Terra. Notas de Aula. PGECIV/UERJ, 2010.
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Fim
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