Rousseau, Emile, Education, Liberal Arts, Allan Bloom, J.J. Rousseau
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Eseu Individualism - Luis Dumont (Antropologie Culturala)
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Descrição: Dumont, Louis. O individualismo
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Rousseau coloca la base para una educación capaz de formar a un hombre verdadero, porque ante todo hay que formar al hombre. Formar al hombre es la primera tarea, la segunda es formar al ciu…Description complète
Emile Coue AutosuggestionDescription complète
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Hechos sociales-Emile Durkheim
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Descripción: Teorias de Emile Durkheim resumido
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Rousseau coloca la base para una educación capaz de formar a un hombre verdadero, porque ante todo hay que formar al hombre. Formar al hombre es la primera tarea, la segunda es formar al ciudadano,...
COURS COMPLET DE MATHEI\IATIQUES à I'usage
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à l'École ltlilitaire et des Élèves des
Athénées royaux
TRIGoITOMÉtnM RECTIIrGNE A. SpUÉRTQUE PAIT
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Emile DUM0NT c^prÎÀrNE-coMMÀNDÀNT DU GÉNIE, DU oÀDRE DE RÉsERl.E .\NCINN PNOFESSIUR À L INSTITUT ilICHOT.ITONCENÀSî
'frolelèrr. e édltlon La
ou)rage a eté inseite par le Gouaa,nernant publications d,ont I'emploi est autorisé dans les clnlces d,e |tv et %le seiaûifquæ des Alhénéæ royauu
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OOURS COMPLET
DE
MATHÉMATIQT]ES
à I'usage des Candidats à t'Écote lllilitaire et ees Étèves des Athénées royaux
TRIGONOMÉTRTE REcTrurGiïE &. SPHÉnIQIJE PAR
Émile DUMONT caprrarNn-conrraNDANT ou cÉxrn, DU cÀDRE DE nÉsrnvn ,INCIEN PROFESSEUR A I-,INSTITUT MICHOT-MONGENAST
Troisièrne I'a
édition
deuæiènte tld,ition d,e cet ouur&ge a été inserite par" Ie Gau'uernem,ent
au nomltrb des publi,cations dont I'emploi, est autorisé dans les classes de 'lre et %de sci,entifiques d,es Athénées roya,un SerrJ ouarage recom,mand,é Ttur le jrwy d,'ud,ntission à, L'Iicole fuIilitaire
BRUXELLES
MÀISON D'ÉDITIOIV
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265, RUE ROYALE
r920
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Anithmétique Génénalè. - Grandeurs et Nombres (absotrtrs, quali,fiés, comgtlenes, tern,i,ons et quaterni,ons). Un volume in-8o de xvrr-275 peges ayee figures; broché
Qouns d'Anithrnétiquc théonique à l'usage des candidats
et pnatieuê,
à l'École Militaire et des élèves
IIn volume in-8o de xvl-501 pages,
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Sun les bases de I'Analyse vector.ielle, étude écrite au front belge de I'Yser et publiée dans l'Enseignement mathémati,q%0, revue internationale, paraissant à Paris, tome
XVII, lglb.
Théonie génénate des nom bros. Défi nitione fondamentates. g2 - Brochure de pages, publiée en 1915, dans Scientia, no 85. Paris, Glurumn-YTLLARS & Ctu, éditeurs.
Décomposition des seErnents de dnoite en panties égalês. - Étude écrite au front belge de I'Yser en avril lgl7 et publiée dans l'Ensei,gnement rnathématique (XIX" année, nos 4-5-6).
Tous drolts d.e reprod,uetlon, de tradnetion et dredaptation r{scrvél pour tous les éorits et otlehés dn Cap.-Comdt Enlle l)lnont,
LIVRE PREMIER f'OR,If Uï/nS (}ÉrÉR,AI/ES Ctreprrnn PREMIER. IDéfinitlon dee nonbres ,S l. Définitions . . . . .
Sz.Dusinus . . SS.Ducosinus o . S4.Delatangente . ,SS.Delacotangentg.
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trigonométriques .
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33
. . . 56.Delasécantg ? r . . . . . r . o . . . . ST.Delaeosécantg . . Crreprrnnll.Formnlesfond.amentales . . . . . . Eæerci,ces.....r..r.. CH.rplrnn III. BelationÊ entre les nombres trigonométriqner d?ares égaux et de signes oontraires, suBplémentaires, etc. . Eæerci,ces,.......... Culplrnn IV' llombres trlgonométriqncÊ do somnoË et de difiércrle,eB d,tare; ; nombreË trllpnenétriqros des mutrttpl;r dtun8r€ . . . . . . . . . . . . . . . . . . S l. Sinus (a*b) . . . . . . . . , . ,o o . S 2. Cos (a*b) .
31
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35 36 38 39 41
42
12 43
TÀBLE DES MATIùRES.
, . . . . s3. Tg(a*.b).' s4. Somme de plusieurs arcs........ s5. Multiples d'un arc
.
,
.
.
.
44 44 41
Eæerci,ces
46
Cneprrnn V. lTombres trlgonométriques des sorrs-multiptes d.tun g,rç. S l. Cas général.
S2. Casparticuliers. .
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.
.
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47 47
.
.
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VL Trd,nsfonnation de sornmes en prod.nits .
.
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S 1. Transformation en sommes des produits de sinus et d.e cosinus S 2. Transformation en produits de sommes et de différences de
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Eæerci,ces.......r..
Cgnplrnn
49 56
sinus et de cosinus . S 3. Transformation en produits de sommes de lignes autres que le sinus et le cosinus S 4. Transformation en monômes d'expressions quelconques.
Emploid'inconnuesauxiliaires .
.
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Eæerci,ces
58 60
6t 66
LIVRE
II
rf,qunrrous TnreiororrÉTnreu.Eg of logrrithmiques. s l. Constructiondestables . . . . . . . s2. Disposition des tables de Bouvart et Ratinet. . e . . r . . . s3. Emploidestables . . Clraprrnn If.Caleulslogarithmiqueg . t . . . o ,Sl' Règlesdecalcul.Approximations. . , . . 'sz. Applications . . r . . . . . . Etnercices .. . . . . . . . . . CrIeptrnn rREMITR. Tables trigonométrirlues
IIL
ç . S 2, Équations simultanées à plusieurs inconnues. . r . . . . S 3. Équations circulaires. . Eægrcicgs....,......
Cneplrnn
S l.
Bésolution d.es équations trigonométriqueË Résolution d.'une équation. à une inconnue .
LIVRE
. . . .
.
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110
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rat, \22
III
vaBrarroNs DEs Folrcrroils rBrG:oNoilÉTnrQrIEB CHeptrnn pREMIER. trfaximurm Eæerci,ces.
Sl. l'ormulesdestrianglesrectangles. S 2. Résolution des triangles rectangles . .Crreprrnnll.Trianglesqueleonqnee . . .: . . Ç Ç S t. Formulgs . S2.Équivalenced.esgroupes. . .
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143 145
. L "l . L47 1 f5t S 3. Aire, Rayons des cercles circonscrit, inscrit et ex-inscrit, ete. 156 . . . Ç . f59 . . . . '. .Eæerci,ces . o f6l S 4. Résolution des triangles quelconques. Cas classiques . . . . 168 S 5. Résolution des triangles. Cas non classiques . Eægrci,cgs.'........o.184 CHeptrnnIII.Quadrilatèr'eseonvexes . . . . . . . 187 E&grcî,ces........-f1197 .CneplrnnlV.Applicationstopographiques . . . . . . 199 Eæe,yçi,6gg........204 Troisième partie TBTANGmS SPnBRISU}]S
-CHeplrnr:pREMIER.Trianglesqueleonqueg
.
. SL.Équivaleneedesgroupes. . Sl.Formules .
cruprr
i:ïi::"r"'
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*.**o*u* .* **..r"*e*u"
"Sl.Formulesdestrianglesrectangles. . S2.Formulesdestrianglesrectilatères. o
s'iiii;"1"'triangres":'*"1*tu':
: : : :
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. : : :
III. Bésolutlon des triangles queleonques . Eoercices....o......Z5g CrnpttnnIV.Âpplications. ô . o . . . Eægrcices...r.......260 CHeprrnn
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Zffi 206
223 i?1,
ZBI Zgg
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Z4Z
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254
C,gaPtrnn V. Des trlangles rectrrtgnog ltmites ùes trtangles sphdrlqnes 26L F-eroiocsdeldoaptturatlon . . . . . . . , . 266 Norn L Approxfunatlons d,ans les catcuts lognrtthmiquee. . . 275 NornII. ltôrtcdesgrand.eurgdtrtgé,es . . . . 7 . zg8 Norn IIf. Appltortion de la théorle des nonbres eornplexet o . 306 '.NornIY.rlenetlonshyperbollqnes. . - . . . . . B0g
ERRATA Page 10 : 21. Théorème
l, rectifier
les formules:
seizième ligne AB.CD : AB.prsCD. dix-septième ligne prrOD : praCD -- CD BA prsCD AB dix-huitième ligne 't
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Page 182, rectî,fi,er les formules:
,^.
- d! d1 :Bt*Cr GCAI
.^\
GAIC: n3 d,2:Ar*Ct
et
CGA| : d2 fl3:Ar*Br.
Page 183, première ligne, li,re Les côtés.... Page I88, formule au bas de la pâge, li,re ./
(*.
rooe done
,i"f t
o)
Page 192. Au dixième alinéa, première formule : au lieu de rn' + ?12 : (a' * b'). lire m, * n2 :2 (a' + b,).
Troisième partie, page 206, âu parâgraphe 26A. tonvention, ajouter i.n fi,ne: Unité de l,ongueur: l,e rayon de la sphère.
3992.
I*p. J. CEYSENS,
Hasselt.
Avant-propos ile
la douxième éilition
f. La Théorie vectorielle, ou tout au moins la partie purement géométrique de cette théorie, est actuellement devenue classique. Jadis son exposé appartenait exclusivement au cours de Mécanique rationnelle. Mais rtÊpuis que les cours élémentaires subissent la même rénovation que les cours supérieurs de Mathématiques, il n'est plus possible de s'en passer en Géométrie analytique, tri même en Géométrie élémentaire. La ptace naturelle de cette théorie est et doit rester en tête du cours de Trigonométrie, puisque c'est celui-ci qui en fait le premier emploi.
J'ai conservé mes appellations e,ûe et uecteur (,), auxquelles plusieurs auteurs préfèrent semi,-droite et segment. Je trouve que semi-droite ressemble trop à demi-droite le préflxe sem'i, signifie d'ailleurs demi (ex. : semi-circulaire); - or, sur un axe, il n'y a généralement pas d'origine fixe ; et même, lorsque par hasard il y en a une, c'est le mot ane qui est employé par tout le monde ; ainsi on dit un a,fre polaire, des e,fies de coordonnées ; on dit également un afie de rotati,on ; je ne vois donc rien qui justifie le terme semi-dro'ùte. Dans mon vocabulaire, un segnzent est une simple portion de droite; dans segmenter il n'y a en effet aucune idée de direction ; Ie mot oecteur au contraire, qui vient du tatin oectoren?, (conducteur, porteur, de aehere) exprime mieux que tout autre l'idée que
I'on a en vue. (t) Ce sont les appellations employées par l'Encyclopédî.e des Sciences rnathémati,ques.
AVANT-PROPOS.
Je n'aime pas non'plus I'expression grandeu{e" d'un uecteur, à cause de la signification diftérente que posslde déjà le mot grand,lu,cî ; je préfère et je continue d'employer I'expression Inesu,re d,'un uectezcl", à laquelle on substituera le mot tenseur lorsque l'on fera l'étude des nombres complexes et des quaternions. Le module est la valeur absolue du tenseur d'un vecteur : je n'ai pas eu à utiliser ces deux mots. Enfln, j'âi jugé inutile et même nuisible de définir la notion d'angle
d'un aecteur et d'un
a,fre, ou de deun uecte?rs. La notion si simple de l'angle de deufi o ffes suffit amplement à tous les besoins et n'amène jamais d'ambiguïté quand on la combine avec les mesures (nombres positifs ou négatifs) des vecteurs. Comme professeur, mon attention à étê attirée sur I'importance
qu'il y a'à bien distinguer un vecteur de sa mesure, si I'on veut éviter des confusions, Qui n'existent d'abord que dans le langage, mais qui s'emparent bientôt des idées mêmes. Le mot segment employé dans des ouvrages même récents, ne se pr'êbe malheureusement que trop à de telles confusions, grâce à la double signification qu'on lui donne : tantôt un segment est un vecteur, tantôt c'est la mesure d'un vecteur ; et il arrive de ce fait qu'on ne sait plus
toujours clairement de quoi I'on parle. Ainsi par exemple, dans le théorème relatif à la projection orthogonale d'un vecteur, c'est la mes?,tî"e de la projection du aecteur" qui est égale a,u produi,t de la nuesLu"e du aecteur 1)q,r" le cos'i,nus de l'angle des afies qui portent le vecteur et sa projection ; tandis que la projecti,on d,u aecteur est ?,cn uecteur, ltroduit d,u uecteur considéré par lcn nombre complefre. Je précise (t) : Considérons un vecteur AF porté par un axe u,, et soit À$]' la projection de ce vecteur sur un axe fi ; soit enfin
ffiu:
Zk-r"
f
a.
(t) Cette explication ne peut être comprise que par les lecteurs au courant de la définition des nombres complexes comme rapports d.e veeteurs. Pour de plus amples détails, voir mon Arithmétique générale, $me partie.
AVANT-PROPOS.
XI
aura ArB, : prrAB : AB . cos et A,rB, - prrffi: IF X cos d..e-io: ÂF x cosa(co*a -isin6r). Donc A"B, * Æ.cosry.. Il ne faut pas oublier Que, dans la notion de vecteur, il y a non On
a.
seulement la notion du sens, mais encore la notion de la flirection; cela apparaÎt clairement dans la définition de la sont?ne géométyique
des vecteurs; et AB.cosa. est un vecteur porté par le même axe que
le vecteur AB lui-même.
If. Cette seconde édition (1) de mon cours ne diffère guère de la première, malgré de notables augmentations. Quelques modiflcations ne touchent qu'à des détails peu importants.
Les caractéristiques du livre restent donc les suivantes :
l. Défi'ni'tions rationnelles des nont,bres trigonométri,ques d'angles, montrant nettement qu'un sintcs, par exemple, ne dépend pas du rayon de la circonférence portant I'arc dont la mesure est égale à celle de I'angle (pour des étalons correspondants). 2. Emploi systématique de la théorie d,es aecteurs pour les démonstrations géométriques, cê qui n'exige aucun efiort de mémoire; supprime des généralisations laborieuses, êt prépare les démonstrations analogues des principales formules d'Analytique. 3. Énoncé du plus grand nombre possible de règles gé,nérales, permettant aux élèves peu habiles de traiter tous les problèmes sans hésitations : ceci conformément aux excellentes méthodes suivies à l'École Militaire. 4. Précision apportée dans I'emploi de la noéthode des limites. 5'
Prédominance accordée à la subd,,iui,si.on centésimale sur la subdivision sexagésimale de la circonférence.
6. Suppression des discussions géométri,ques dans les résolutions de triangles.
Spécialement, à propos des triangles sphériques, emploi systématique d'un nouveau théorème relatif à l'équiaalence des systômes d'équations employés et du groupe fondamental. (t) De même que l'édition actuelle. (lIote de l'éditeur.)
xil
AVÀNT-PROPOS.
7. Méthodes générales pour les résolutùons de triangles et pour les disgussions dans les cas non classiques. 8. Théorie nouvelle sur les a,pprouirnatdons dans les calculs logat"ithmi,tl?res, théorie flgurant en note à la fin du livre. III. J'ai introduit dans le chapitre des calculs logarithmiques une petite règle très simple pour les réductions au premier quadrant. De plus, cédant aux exigences de s examens officiels acûuels, j'ai introduit également les procédés pratiques de calcul, procédés qui ne tiennent aucun compte des approximations. J'ai montré par des exemples combien sont fantaisistes les résultats fournis par ces procédés.
J'ai traité en détail deux exemples de calculs numériques ; le premier, en adoptant la subdivision centésimale, le second, etr adoptant la subdivision sexagésimale. Dans ces deux calculs j'ai sacrifié la analogues à ceux qui sont proposés aux examens
question des approximations et observé le dispositif réglementaire imposé par l'École Militaire; ce dispositif est extrêmement pratique et propre à réduire au minimum les écritures et les causes d'erreurs.
IV. Je laisse au cours d'Algèbre dont la théorie des fonctions élémentaires devrait être la principale préoccupation le soin de représenter graphiquement la varialion des fonctions circulaires fondamentales,
sinr etc., ainsi que le calcul des dériaées de ces
fonctions et des fonctions composées. Quant aux séri,es h"igonométriq?,ces, c'est au cours d'Analyse supérieure qu'elles appartiennent; ce que I'on peut en diie dans un cours comme celui-ci ne saurait être qu'incomplet et fort peu rigoureux. Mieux vaut n'en pas parler. J'ai réuni à la fin du livre quelques énoncés de problèmes,. pouvant servir d'exercices de récapitulation. Y. On trouvera en Annexe, à la suite de la -D{ote I sur les approximations numériques, une Note II qui ne figurait pas à la première édition, ot, à première vue, elle semblera faire double emploi avec la théorie vectorielle du début. Voici la raison d'être et la nature de cette note supplémentaire. En réfléchissant aux bases de l'Arithmétique, j'ai dù constater quelle place prépondérante devrait tenir, dans le cours de
ÀVANT-PROPOS.
XIII
Géométrie, l'étude de certaines grandeurs dites directenomt rnesurables. Les ouvrages classiques actuels ne signalent pas ces grandeurs. Leur importance est pourtant capitale ; leur consid êration établit un lien solide entre les théories éparses des débuts des mathématiques élémentaires, of amène celui qui a I'esprit sufflsammeut synthétique, à substituer à ces théories isolées une théorie unique et générale, féconde en résultats inattendus. C'est ce que j'ai essayé de faire dans un traité d'AnlrHuÉrreun cÉxÉnÀLu, dont la note II est extraite. Une fois qu'on a subi la fascination de ces idées,
il
est presque
impossible de s'en affranchir; aussi n'ai-je pu me dispenser d'exposer cette fois la théorie vectorielle, ou mieux la théorie des grandeurs
d,iri,gées, dans toute sa généralité.
Je ne me dissimule cependant pas que cet exposé synthétique n'est pas à la portée de la majorité des élèves. J'ai donc conservé mon ancien exposé élémentaire en tête du livre, avec toutes les répétitions qu'il comporte ; et je me suis contenté de développer
le nouYcau en annexe. Outre les différences fondamentales que I'on trouvera à mes deux thêories vectorielles, il en est une au sujet de laquelle je dois fournir quelques explications.
Il
Il
s'agit du théorème de Môbius.
Je dois, pour être bien clair, reprendre la question d,'un peu haut. y a quatre manières de déflnir un nombre qualifié (1).
lo La première est celle qui nous a éfê enseignée, je pense, à tous : par généralisation algébrique de la différence ('). qo La deuxième est celle que I'on a adoptée presque partout aujourd'hui : le nombre qualiflé est un symbole composé d'un (t). nombre absolu précédé d'un signe f ou d'un signe
-
1t; Le mot quali,fié, employé par B, NmwnNGLowsKI et par L. Coutune.r, est préférable au mot algëbriçpe. Un nombre algébrique est, dans Ia terminologie scientiûque ac[uelle, ûtr nombre qui peut être raeine d'une
équation algébrieue, e'est-à-dire où les deux membres sont des polynômes entiers en @, à coefficients entiers.
(t) E. IIuTuBERT, Traité d,'Arithméti.que, p.30. Paris, Vuibert et Nony, 1908, (r) Con et RrnuaNN, Trai,té d,'Algèbre ëlërnentai,re, ibid.. B. NrnwnNer,owsKr, Cours d,'Al,gèbre. Paris, Armand Colin, 1909.
xrv
AVÀNT-PROPOS.
On soumet conventionnellement ce symbole à des règles de calcul arbitraires. L'une de ces règles est que (+ a) g.
+ (- a):
La troisième manière est Ia suivante : un nombre qualifié est un groupe de deux nombres absolus, auxquels on associe I'ord,re dans lequel on les écrit. 30
On représente ce nombre par les symboles
(a,
b)
ou
a,
b.
-
On pose, arbi'trairement, les relations suivantes, à titre de déft.,niti,,ons de l'égalité, de la somme et du produit de ces nombres
:
(a,b):(a',b') si a, + b, : &t * b; (a,b) + (c,d):(a+c,b + d); (a, b) x (c, d): (ac + bd, a,d + bc). 40 La quatrième méthode est, à mon avis, la seule rationnelle : elle consiste à associer aux grandeurs directement mesurables d'une môme classe le sens de leur génération, sens que I'on exprime par I'ordre dans lequel on considèt'e les deux extrémités. Le rapport de deux grandeurs est alors qualifté gtosi,ti,f oa négatif, suivant que ces grandeurs sont de même sens ou de sens opposés (t).
J'estime que c'est la seule méthode rationnelle, parce que seule elle donne aux nombres qualifiés une raison d.'être suffisamment plausible. Mais ce n'est pas ici I'endroit qui convient à une telle discussion.
à Ia première méthode basée sur le fort peu respectable principe de perrnq,nence des formes opératoires, ni à la troisièilo, trop artificielle, j'ai démontré le théorème de Sans m'arrêter
Môbius dans I'exposé élémentaire, êo observant la deuxième déflnition, et dans ma note annexe, en observant la quatrième. En cela (t) C. BouRl,tlt, Colin, 1909.
Leçon.s d,'Atgèbre élémentqit.e,
pp, g et 10. Paris, Armand.
L. CcruruRer, De l'Inf.ni, mathématiq.ue. Paris, Félix Alcan, Ig96, E. DultoNT, Aritlr,métique général,e,2u partie. Paris, Hermann et fils,
E.
lgll.
ÀVANT-PROPOS.
xv
j'ai été conséquent : I'exllosé élémentaire
s'adresse à des élè.res auxquels on a enscigné la deuxième définition des nombres qualiflés; tandis que la nouvelle note est destinée à un public plus âgé, que I'on peut initier progressivement à toutes ces discussions de principes et de définitions.
VI. J'ai eu un moment I'intention de donner, également en annexe, à I'exemple de plusieurs auteurs, la théorie rationnelle des nombres complexes (dits fort improprement i,mugùnaires). J'ai traité cette question dans mon Arithmétique générale, d'une façon fort détaillée, et par conséquent je n'ai pas jugé utile de dépouiller ce dernier livre au bénéfice d'un ouvrage classique oir cette théorie ne serait pas à sa place naturelle. On n'en flni.rait évidemment jamais, s'il fallait exposer, dans un cours de Trigonométrie, toutes les applications classiques de la Trigonométrie. Il faut laisser aux autres cours le soin de les développer au moment opportun. Je n'ai pourta,nt pas pu résister au plaisir de présenter dans une l.[ote III des démonstrations fort simples de quelques formules principales de Trigonométrie, par la méthode des nombres complexes et des quaternions. On me pardonnera, je I'espère, cette petite faiblesse, dont la seule excuse est mon désir de voir mes collègues de I'enseignement s'initier à l'étude des quaternions. VII. Enfi.n, dans une l{ote IV, j'ai esquissé une théorie élémentaire des fonctions hyperboliques, théorie basée sur I'analogie que présente leur représentation graphique avec celle des fonctions circulaires. Les quatre notes qui clôturent ainsi le livre sont, bien entendu, sans aucune influence sur la théorie destinée aux élèves. A celle-ci je me suis efforcé de conserver son caractère élémentaire et classique, mais cn même temps rigoureux. Je rtre suis surtout attaché à développer le jugement et le raisonnement des jeunes gens, €D ne leur présentant que des solutions naturelles, obtenues toujours par I'emploi des méthodes générales. Celui qui possède bien ces priucipes peut résoudre avec aisance tous les problèmes qu'on lui proposera, tandis que celui qui a consacré beaucoup de temps à traiter des centaines de problèmes particuliers au moyen de
xvI
AVANT-PROPOS.
procédés ingénieux que I'auteur
lui présentait tout trouvés, celui-là,
à moins d'être exceptionnellement doué, sera bien souvent incapable de résoudre un exercice imprévu.
J'ai évité avec soin la profusion des théorènes et des formules que I'on trouve dans la plupart des cours classiques belges. Je pense
qu'il est autrement utile de former des esprits judicieur et méthodiques, Que de farcir les cerveaux d'une érudition éphémère, factice,
et en déflnitive bien
mince.
Éuu,n DUMONT.
GENÉRATITES
l. Définitlon. -
Le cours de Trigonométrie a pour but d'établir ensemble méthodique de formules, permettapt d'introduire les
un angles dans les calculs. La Trigonométrie est donc un outil mis
\
à la
disposition du
"calculateur. On apprend, en Géométrie élémentaire, à mesurer les grandeurs géométriques. Toutes les mesures se ramènent à des mesures de segments rectilignes et d'angles. Malheureusement il n'existe, dans le domaine élémentaire, aucune relation générale entre les mesures "des angles et les mesures des segments rectilignes d'une môme flgure. Les relations en question sont du domaine de I'Analyse inflnitésimale, parce qu'elles ne contiennent pas un ûombre fi.ni de termes. On a" remédié à cet inconvénient en remplaçant les nombres qui expriment des mesures d'angles par d'autres nombres qui déterminent les angles avec autant de précision que leurs mesures, et que I'on a appelês nombres ,ra,pports , ou li,g nes trig onométriques .
2.
I)ivlsion drr courso Ë Le cours de Trigonométrie
"comprend trois parties, savoir
I"e partie. 2e partie. 3e partie.
:
FONCTIONS OIRCULÀIRES.
TRIaNcLES REcTILIGNES. TRIaNGLEs spsÉnleuns.
prernière partie a pour but de confectionner I'outil ; les .deuxième et troisième parties montrent le parti que I'on peut en tirer au point de vue des triangles rectilignes et sphériques. Avant d'entamer la première partie du cours, il est nécessaire de donner un aperçu sommaire de la Théorie vectorielle, Qui sera utile
La
également au cours de Géométrie analytique. C'est I'objet, de I'Introduction. Nous ne donnons de cetie théorie que ce qui est strictement indispensable à ces deux cours; nous laissons au cours de Mécanique ' rationnelle le soin de la reprendre dans tous ses détails. €ouas os
TnrcoxorÉrnrr,
I
INTRODUCTION
THÉonrE vEcToRIELLE
s |.
vEcTEu Rs
ou
sEcM ENTS
RECTT LtGN Eg.
3. Définitions. Étant donnés une droite et un point A sur cette" droite (fig. l), si I'on veut porter sur la droite un segment AB dont la longueur esl, le nombre absolu a, il est nécessaire de spécifler le" sens dans lequel on veut porter ce segment. A cet effet, considérant qu'il existe sur la droite deux sens de parcours possibles, on convient de les distinguer a,u rloyen des mots ltositif et négatif ; et I'on choisit arbitrairement le sens positif ; I'autre est alors le sens négatif. On place vers I'une des extrêmités" de la droite une petite lettre d, fi, a... ; le sens positif est alors le' sens de parcours vers I'extrémité marquée de la lettre. IIne droite sur laquelle on a ainsi spécifié le sens positif prend le' nom d'aûe. On affecte le nombre absolu a; longueur du segment, du signe + que I'on veut porter AB dans le sens positif orl du signe - suivant ou dans le sens négatif. Dans ces conditions, si I'on considère sur Lrn axe deux points A et B, il importe, pour déterminer Ie signe dont la longueur de AB doit être afrectêe, dc savoir quel est le point qui a été placé en premier lieu et par rapport auquel on a placé I'autre. Dans ce but, on convient d'attrlbuer une signification à I'ordre dans lequel on énonce les lettres A et B : si on énonce AB, otr stipule qu'on a porté le segment de A vers B ; si on énonce BA, cela indique qu'on a porté le segment de B vers A. On est amené ainsi à considérer des segments de droite en attribuant une signification à I'ordre dans lequel on énonce les lettres représentant ces segments ; ceux-ci prennent dès lors le nom da aecteurs.
rnÉonrn
vEcToRIELLE.
3
4. En résumé, un aecteur est un segryt ent de droite AB auquel on a,ssocie l'o?"dr"e dans lequel on écrit les lettres L et B. Le point que I'on écrit en premier lieu s'appelle orùgi,ne du vecteur; I'autre point s'appelle entrémâté. Orr appelle sens du aec{,eur le sens suivant lequel il faudrait déplacer I'origine pour I'amener sur I'extrémité. Le vecteur ayant A pour origine et B pour extrémité se représente par la notation ÂF. Deux points A et B déterminent deux vecteurs : m et m.
B
A
IV
M !'rc. l.
rnesznre d,u qsecteou" m se note AB ; c'est un nombre !rualifré (L) que I'on détermine comme suit : lo On détermine I'axe qui porte le vecteur ; lo On détermine la longueur a du segment par rapport à un étalon ; 30 On place devant ce nombre Ie signe * ou le signe - suivant que le sens du vecteur coïncide avec le sens positif ou le sens négatif de. I'axe. Soit un vecteul' m (flg. l). Déterminons l'axe n; mesurons le segment AB; nous trouvons
La
un nombre
a,.
mesffi:AB: {a. Nous avons Si nous considérons le vecteur BT, nous avons
:
mestsA:BA--a. On a aussi
et
(2)
AB+BA:(+ e)+(-a) -0 r.: tsA
-
AB.
(r) Les nombresqu,alifids sont les norhbres positi,fs et,négatefs (l{m\MENGLowsKr,
Couruner, etc.). (r) Voir définition d'une somme de nombres égaux eb de signes contraires Nmwnxcr,owsKr, BounLET, etc.).
,
4
couR.s DE
rnreoroinf,rnln.
5. VuctebrLdlreeteur. - On convient de mesurer tous les veeteurs d'une même figure par rapport à un même étalon. On appelle ùecteur-d,irecteur d'un axe ar, un vecteur ilÎfi portê par cet axe et tel, quo sa mesuro MN: * l. Un vectcur-directeur détermine complètement I'axe qui le portg puisqu'il en indique la direction, le sens positif et I'étalon. Si nous désignons parôle vecteur-directeur de l'axe o,le veôteur IF pourra se représenter par ô.1n. 8. La noti,on d,e la mesut"e d'un Decteur a,-B nous permet d,e détermi.ner le point B sur un aûe lorsque le poi,nt A y a été arbi.tr airetnent placé. ?. Théorème de llôbius. - Étant d,onnés trois points A, B, C sur un aae, iI eoiste entre les rnesures d,es oecteurs d,éterminés par ces trois poônts la relation: AB
+
BC
lr CA:0.
En effet, I'un des trois points se trouve nécessairement entre les deux autres; soit A compris entre B et C. On aura lcAl+ laBl: lCBl D'autre part, il est évident que eÂ, ÂE et ôB sont trois vecteurs de même sens. Donc les nombres qualifiés CA, AB et CB ont le même signe. Par conséquent, le nombre CB est la sornme des nombres CA et AB, puisqu'il a pour valeur absolue la somme de leurs valeurs absolues et que son signe est le signe commun à ces deux nombres (t). On peut écrire : ca + ÀB: cB. Aux deux membres de cetie égalité ajoutons le nombre BC: cÀ + ÀB + BC: CB + BC:0. On vériflera de la même manière I'exactitude de la formulo si c'est B ou C qui est le point intermédiaire (3). 8. Remarque I. On utilise souvent les formules suivantes :
(')
-
et
AB-AC+CB
BC:AC-AB
qui se déduisent immédiatement de la formule
AB+BC+CA:0. (r) D'après la déflnition tl'une somme de nombres absolus: mesurs de la soûrme des grandeurs dont ces nombres sont les mesures. (!) Définition d'une somme de nombres qualifiés (Nrnwnrar.owsn, Bounr,nr). (8) Ou mieur: ïra formule êtanr, symëtri.que en A, B et C, est généralo.
I
rrrnonln
vEcToBIELLE.
6
- On généralisera aisêment pour le cas de n ÀrÀ, * ÀrAg * ... + L*-rA, + A"Ar : 0. Définition, 10. VoeteurË équtpollenls. Deux yecteurs ÀF et m- (fig. 2) sont dits équipollents lorsque les axes qui les 9. $emarque If. lpints :
portent sont parallèles, et qu'ils ont même longueur et même sens. I-,?équipollence s'écrit : Â3 : ffi.
R-X A D
Frc.
Remarque.
2.
On adopte toujours le même sens positif sur deux
Il résulte de 1à que si F: ffi AB: CD. ,,t. Sornme géométr.ique, Définition. - Considérons deux veeteurs IB- et m (fig. 3).
exes parallèles. on aura
'
Par un point O quelconque de I'espace, menons un
ffi: IF; puis par M un vecteur MN - ffi;
vecteur enfin joignons ON.
c
^/'
\,
lvt
FrG.
3.
!e vecteur N est appeté sornrne géomëtri,qoce o\ résultq,nte des deux vecteurs Æ et ffi; ceux-ci sont appelês comltoscûntes. Le poirrt O est appelé pôle. La somme géométriQue s écrit
:
_
oN-AB+CD.
6
couRs DE TnrcoNomtrmq.
Remarque I. - il résulte de cette définition que 0N est la somme géométrique de tous les systèmes de vecteurs équipollents
àÂFetffi.
Remarque If. Si I'on change Ie pôle, la somme géométrique reste équipollente à elle-même. Remarque llf. dans lequel on envisage les deux vecteurs - L'orâre n'importe pas. En effet, soit 0F - ffi. Joignons PN. La figure OPMN est un parallélogramme puisque deux côtés MN et OP sont égaux et parallèles;
FN:ffi-TB
donc,
ÔT-6.F+PN ON:- CD + AB.
et par . suite, devient
Remarque IV. Étant donnés trois points A, B, C dans I'espace, oo a, toujours la- relatioo
_ AB: AC + Cts.
12, Remarque V. vecteurs.
'13.
-
On généralisera facilement pour plus dç deux
Projeetlons.
- I)éfinitions. - Étant donnés (ûg. 4) un et un point A non situé Sur I'axe, on appelle projecti,on de L sur l'a,,æer le point de percée de I'axe et d'un plan mené par A parallèlement à un plan a appelé plan directe?ir. Lorsque le plan directeur est perpendiculaire à loaxeo la projection est' dite axe
fi
orthogonale.
appelte projecti,on d,'un aecteur ÂFlsur I'axe, le vecteur -qp ArB, déterminé sur I'axe par les projections do AetdeB. De môme m,. est la projection de m,. On ecrit: æ; : pr,5E et ÀrB, : prrAf,: mes prrffi.
.r
j'
\t
tnÉ:oruq
vEqroRIELLE.
7
La tlroite qui joint un poùt à sa projeciion s'appelle proietante' Ies mesures sont des nombres 14. Remarque. - Des vecteurs dont qualiflés 6, i p, peuvent se représenter par les notations 5' T; F' Les projections de ces vècteurs sur un axe û peuvent se repré' .senter par tes notations 8,, T', fi*. Les mesures de ces derniers oe"trot-t seront alors représentées par les notations 2 6,, In, Fn'
l. - Lorsqu'on proiette une ft,gure plane sur a,fie situë tlans son plan,toutes les proietantes sont parallèles
t5.
Théorème
un .à l'i,ntersecti'on
d,u
plan
la fi'gure aaec
d,e
le
plan dàrecteur'
En effet, ces droites sont les intersections du plan de la f'gure avec 'des plans parallèles au plan directeur. f6. Théorème II. - Les proiect'i,ons d'un oecteur sur d'euæ ^aaes parallèles sont d,eun oecteurs équiptollents. Soient (fig. 5) deux axes parallèles a of y et un vecteur ffi
Soient
pr,Â-B:
ÂFr A{
# On aura lÀrBrl
:
et PrÂ-B: Âæe. ,- -/B
A'.F. fiÉ.
5.
lArBrl comme mesures de segments $e parallèles
compris entre deux plans parallèles. De plus, les vecteurs Artsr et FoB, sont de même sens, sans quoi les plans projetants se couperaient.
Donc, IS, : IlBs. ou Pr"ÂlE: PrrI5. t?. Théorème ltr. - Les proiect'i'ons sur un même aæe, de d,eua oecteurs équipollents, sont deuo oecteurs équ$tollents. Soient (tg. 6) los vecteurs équipollents: ÂB: ilD, et un axe at' SOient S1- Pr,ffi et @, - Pr'0D. Je dis que ffir:6Pr. Menons par À et C deux axes Y et z parallèles à æ. Soiont Br et D, leurs pôints de percée avec les plans p et ô projetant B et D. On aura
ou
(t6)
pr"[B: PrrÂ3 et Pr,eD: Pr,ffi et @, :65r. ISr:;3,
Iæs triangles ABB, et CDD' sont semblables comme ayant leuç côtés parallèles; en effet, les plaus de ces triangles sont parallèles;
,(
I
couns DE TnrcoNouÉTnm.
donc BB, et DD, sont parallèles comme intersections de plans parallèles deux à deux.
D2
c tr'rc. 6.
De plus, puisque lABl : lCn1, les deux triangles sont égaux ;" donc, lABrl l0Drl. Enfin, puisque ÀE et m sont de même sens, m, et m, le sont aussi. Donc, Â8, : ffi, ou pr*ÂF : pr,CD. Corollaire. De là résulte que I'on a aussi pr*AB - pr*CD. {.8. Théorème IV. La (mesure de la) projection d'u,ne résultante s?.tr' un a,fre- est égale ôL la so?wne des (mesures des), proj ections des coynposa,ntes. Soient (fi$. 7) deux vecteutr E etÆ, et leur résultante : ON: AII + CD. M ts
A,
e, B,
o''n D,
o,
ïvf,
N,
A
iD
tr''rc. 7. suffit de démontrer le théorème pour ôT[, puisque toutes les résultantes sont équipollentes. il faut prouver que
il
:
pr*ON-pr*AB+prr0D.
It
TIIÉJORIE
VECTORIELLE.
Etr vertu du théorème de Mônrus : o,M, * MrNr -l- N,O,:
ou ou enc0re
Q
o,N,: orMr * MrN, prroN : pr*OM + pr#MN.
Or, en vertu du Théorème III (corollaire) prrAB : prroM et pr,,CD Donc,
9
:
-
prrMN.
pr,ON-.pr*AB+pr',CD.
19. Théorème V. Étant d,onnés d,eun ates et ?tn aecteur si'tués dans un même plan, si l'on. projette le Decteur sulr chaque afie, parallèIentent ù l'autre a,{te, le uecteut" est ta résulta,nte de ces deun projections. soient (flg. 8) les axes fi et y et le vecteur ffi. il faut prouver qo"_ Par
ày.
AB:pr*Atsfpr,rAB. A menons un axe æt parallèle à" n et par B un axe yt parailèle
soit c le point de renconrr*"iàt*, et de a,. on a (ll) IE:.M+CF. Or (16) m-pr*,IE-pr..ffi et 0B_: pr,,,ffi *- prrÂE le théorème est donc démontré. 2A. Produiû géométriqrreo Définition. On appelle, produit géométrique de deux vecteurs, le produit de la mesure d.e l'un par la mesure de la projection de I'autre sur I'axe qui porte le premier. . Soient (flg. 9) deux vecteurs Æ-et CD', portés respectivement par les axes $ et y. Pour que Ia définition donnée soit complète il faut prouver que AB.prrCD
-
CD.prnAB.
couRs DE TRIGoT{ouftuE.
10
Par un point quelconque de I'espace, pal' exemple O, menons deux vecteurs Soient
Onfr-ffi et N-m.
æ:pr,OIi:
OO : prrOlfi:
et
pn
ffi
pfrffi-.
Le quadrilatère PNQM est inscriptible dans une circonférence dont MN est le diamètre. Le point O peut être à I'cxtérieur'estou à I'intérieur de cette démontré en géométrie circonférence. Dans les deux cas, it élémentaire que sa puissance est constante
*
Ks
:
OP.OM
:
:
ON.OQ.
AB.prrCD - CD.proAB. Le produit géométrique se représente par la notation AB.OI). Le prod,,uit géométràque de deuæ aecteurg 2t.. Théorème I.
Donc
égui,pollents est égal 0,u carcé de leur rnes?r?^e. ÂE: ffi Soient (fig. I0) AB.pr*CD' m.m'On aura
" CD T- - - I- -
E
+,".
'ï
-A3
B
étant p4ratlèles, prp : prnffi : 6 - ^friF prr0D AB, donc = I3'.CD AB.AB .Â3:. et par suite Le produit géométri,que d'une résultante 22. Théorème II. et d'un tecteur est égal à la solnrne des gtrodui,ts géométriques des cornposontes et de ce uectezcr. Les axes
û et y
tgrûonrn
1t
vEcToRIEr.,r,E.
Soit une somme géométrique
:
ÊC:BT +IC. Projetons sur I'axe æ qui porte le vecteur MN:
pr*BC:prrBA+pr,AC. Multiplions les deux membres par Ml\ : MI.[.pr*BA + MN.pr,AC MI{.prrBC
-
ou
IIII.BT W.m + I[N.m. c.q.f.d. 23. Théorème III. carcé d'une résultante de deufr aecteurs - Ledes est ëgal à la sowtrne carcés des co?nposantes et d,e leur 'double produit géométrique. Soit une somme géométriquu:
BC:BA+AC. En vertu du théorèm:- tt (22) :i "oî BC.BC: BU.tsA + BC.AO Ef.m + BEIC + BT.m + ÂC.m.
:
m'_-M'+Fe'
d'où
S
2.
+LBT.ÂT.
ARcs TBlcoNoM Érnteu Es.
24. I)éfinitions. Considérons une circonfércnce de centre C ; un point A de cette circonférence (fig. ll). Si I'on veut porter à partir de A un arc dont la longr-reur est un nombre déterminé a, on est conduit à faire exactement les mêmes conyentions que lorsqu'il s'agissait d'une droite. On distingue donc les deux sens de parcours par les noms respectifs positil (ou direct) et négatif. Une fois le sens posi[if choisi, la circonférence est dite orientée; on indique le sens positif à l'aide d'une flèche courbe placée autour du centre.
On convient de
traire
prendre
sauf avis corr-
comme sens positif, le sens inverse de celui suivant lequel se déplacent les aiguilles d'une montre urarchant normalement ; cette convention nous dispense d'indiquer le sens
positif à I'aide de la flèche. On afiecto
le nombre q,, longueur de I'ars
considér,ê, du signe + ou du signe suivant - le que I'arc doit être porté dans le sens positif ou dans sers Frc. I J.
négatif
.
12
couns DE TRTGoNoMÉTRrE.
Si donc, on nous dit gue I'arc AB a pour mesure le nombre + a, le point B est bien déterminé sur la circonfôrence ; it en serait de même si I'on nous disait que I'arc a pour mesure le nombr e o,;
par exemple, le point A est déterminé par rapport au poinr B, -grâce au nombre
- a. Jusqu'ici il n'y a pas de différence avec ce que nous avons dit à
propos d'une droite. 25.
Bxpression générale de la rnesure dtun
rFGo
Supposons qu'un point A ait été placé arbitrairement sur une circon-
férence orientée, et qu'un point B ait et"é placé ensuite, grâce à ce renseignement, que I'arc Ats a pour mesure un nombre positif * a; supposons encol'e que ce renseigncmerrt ait étê perdu e[ qu'on veuille le retrouver. Il suffira de mesurer le chemin qu'il faut faire décrire à A pour I'amener sur B et de noter le sens dans lequel ce chemin a êté parcouru. On fera alors précéder la mesure du chemin du signe
+ ou du sigrre suivant gue I'on a fait tourner A dans le sens positif ou dans le sens négatif. Mais aussitôt on constate que la circonférence est unc ligne telle, Que I'on peut faire tourner A dans les deux sens pour I'amener sur B ; et que, de plus, dans chacun de ces deux sens, il y a une inflnité de' chemins de différentes longueurs, En efiet, soit c la mesure d'une cir,conférence. Considérons un mobile qui, partant de A, décrive
la circonférence passera au point B après avoir parcouru un chemin a. Il y passerA une deuxième fois après avoir décrit en plus une circonférence, soiû un chemin tota I a * c ; une troisième fois après avoir décrit une deuxième circonférence, soit un chemin total a * 2c; d'une façon générale, il passera en Il après avoir décrit un chemin total a * kc, lt, étant un nombre entier positif. f)e même, si le mobile partant de A décrif la circonférence dans le sens négatif, il passera une première fois en B après avoir décrit un chemirr dont la mesure est (c a) ou ct, c ; une deuxième fois, après une - circonférence de plus dans le sens négatif, soit un chemin totat a-c-c ou a-Zc; une troisième fois, après un chemin a,-3c; en général, il pessera en B après avoir décrit un chernin dont la mesure est a- h'c, kt étant un nombre entier positif, ou a * hc, dans le sens direct.
k
Il
étant un nombre entier négar,if. Tous ces nombres, pris individuellement, sont les mesures d'arcs ayant A pour origi,ne et B pou r entréntité. Représentons I'ensemble de tous ces arcs par la notation a,rc (AB) et I'ensemble de leurs mesures par .G.
t3
THEOR1E V"ECTORIELLE.
Ce symbole ÂÈ représente une infinité de nombres, eD progression arithmétique de raison ci tous cclnteuus dans I'expression hc * a. C'est à cel, enseinble de nombres, noté &, que nous convenons de donner le nom de tnesu?"e de l'arc (AB) ; et cela parce que, à cet ensemble de nombres ne coruespond qu'un seul point B, bien déterrminé par rapport à A grâce à la connaissance de I'un quelconque dt;s nombres lzc { a.
Nous dirons que ÂÈ
:
kc * a est zcn nombre déterminé,
si
a,
est déterminé, sans que k le soit, toujours parce quc la connaissance de a suffit à fi.xer la position rela[ivc des points A et B ; c'est cette position relative qui est caractérisée par L'&rc (AB). 26. En résumé, un a,r"c trigonométrique est une noti,on cornpleue
cornprenant : Io la figuî"e consti,tuée par deur poi,nts d'une c'i,rconférence; 20 l'ordre dans lequ,el on énonce ces deuæ points. Le point que I'on énonce en premier lieu en est I'or"igine; I'autre point est I'entrémité. L'arc trigonométrique ayant A pour origine et B pour extrémité est noté cLrc (AB). Deux points A et B d'une circonférence déterminent deux arcs trigonométriques : e,rc (AB) et a?"c (BA). La mesure de l'a,t^c (AB) se note (È. C'est un ensemble de nombres compris dans la formule générale kc { a, qlle I'on détermine comme suit : Io On oriente la circonférence ; 20 On mesure I'un des chemins qu'il faut faire décrire à A pour I'amener sur B ; 30 On place devant ce nombre a le signe + ou le signe < suivant que I'on a fait tourner A dans le sens positif ou rlans le '
sens négatif ; 40 On mesure
la circonférence à I'aide du même étalon et I'on multiplie le nombre obtenu par k. La mesure cherchée est I'une cles expressions kc * a ov fuç - 6. Soit un o,r"c (AB) ; et soit mes
a,r'c(AB):G:kc*d.
Pour I'a,rc (BA) on aura mes a,rc (BA)
d'où
.^.,^.-
^' BA
:
AB+BA:hc.
kc
-
a,
COURS
T4
On a, d'autre
DE TRIGONOMETRIE.
part,
ÉÀ
:
- G
relation qui exprime que tout nombre de I'ensemble fi est un des nombres de I'ensemble ,G, changé de signe, et réciproquement. Par aualogie avec la formtrle AB + BA : 0, relative aux mesures de vecteurs, on convient d'écrire iÈ + Éi : 0 au lieu de kc (t), lorsque I'on ne doit pas se servir de cette formule pour des calculs ultérieurs 27. Théorème.
férence, on a, la relation ^Cs'+
Soient
:
+ iÀ - I&c:0. ,G:kcfa ÉÈ: kc*g û: hc*"{ É^c
I
d, p et T étant trois nombres positifs, mesures des plus petits arc$ AB, BC et CA décrits dans le sens positif, €f chacun moindre qrie c par conséquent. On aura évidemment a*9+T: cauZc p) + (hc -F T) kc (kc + 4 + d'où AB + BC f Cr\ : kc - 0. ou encore 28. Remarque I. On utilise fréquemment les formules
(y+
G:t
-
+.{È .-\
AB:OB-OA déduites directement de
la formule
û,.+,.G-rÉô:o et qui signiflent que toute valeur dr-r Ie" membre est une des valeurs du 2d membre, et réciproquement. 29. Remarque II. On généralisera facilement pour plus de trois
-
points. S
g.
-
ANcLES TRTGoNoMÉrnteuEs.
30. Définitions. cette droite, si nous voulons mener par O une droite faisant avec e) Cela ne signifie
done pas quc hc soit nul', mais cela rappelle que l'extré-
srité de l'arc hc eoïncid.e avec son origine.
15
THEORIE VECTORIRLLE.
la droite donnée uD angle donné, nous sommes encore obligés de faire des conventions analogues à celles faites dans les deux paragraphes précédents. Nous pouvons faire tourner æ autour de O dans deux sens directenent opposés. L'un est appelé sens positif oa direct,' I'autre, sens
nëgatif. Lorsque le sens positif est choisi, le plan est dit orienté. On garde le nême sens positif pour tous les points du plan. On prend, sauf avis contraire, comme sens direct, le sens inverse du sens de rotation des aiguilles d'une montre. Soit fi un axe obtenu en choisissant un sens positif sur la droite {t,. soit y un deuxième axe passant par O.
On appelle angle trigonométriqzte une notion complexe comprenant : lo la figure constituée pa?" les deuæ afres fr et A ; 20 I'or"d?"e dans lequel on énonce ces deuæ affes. L'axe que I'on énonce en premier lieu en est l'ane ori,gine ; ïautre est l'a,æe efitrême. tr 'âilgle trigonométrique ayant fi pour axe origine et y pour axe extrême est noté angle (ny); on I'appelle aussi angle q.ue fait y uuec ff,. Deux axes æ et
y dêLerminent deux angles
trigonométriques
:
(ny) et angle (yn). La lnes'uî'e de l'angle (n-01) se note ;ù. C'est un ensemble de nombres compris dans la formtrle générale kc * a que I'on déterangle
mine comme sui[ : lo On oriente le plan des axes û et y. 20 On mesure I'un des anglcs dont il faut faire tourner fr pour I'amener sur y. 30 On place devant le nombre d. ainsi trouvé le signe + ou le signe suivant que I'on a fait tourner fi dans le sens direct ou dans I'autre.
L6
couns DE TRTGoNoMÉrnrc.
40 On mesure I'angle
d'un tour (quatre droits) par rapport au
môme étalon, et I'on multiplie le nombre c obtenu par I'entier k. La mesure cherchée est I'une des expressions kc * a ou kc æ. Soit un angle (oy), êt soit mes angle (æA) : 6ù Pour l'angle (yæ) on aura :
hc
*
d.
: fu:
fuç
-
a
mes angle (yæ) ,^.
d'où
: hc -
fiy + yfr
On convient encore d'écrire
d'où on a
:
kc. 0
ûr+fr-o.
aussi
û
îù.
fu estun des nombres îy cnangé de signe, et réciproquement. Le nombre A : kc * a et l'angle (rù sont déterminés C'est-à-dire que tout nombre cle l'ensernble
de l'ensemble
lorsque æ est déterminé; en effet, a fixe la position de y par rapport à n, et c'est uniquement cette position que les définitions et conventions précédentes ont pour but de déterminer. 31. t'héorème.
Êtant
d,onnés
trois afres x, y et z situés
- eniste entre les rnesures un mêtne plan,'ùl mi,nés p&?" ces
trois a,tes, ta relation.-
d,ans
des angles déter-
ù +fr + à:o.
Menons par un point O quelconque tlu plan, trois axes parallèles aux axes ,r, y et z.
frr,Ar et zg
En vertu d'un théorème de Géométrie nous poumons écrire : ,/r
précédente. ,qui se déduisent directement On généralisera aisément pour plus de trois 33. Remarque II.
:
âXOS.
s 4. g4.
Étrtorls.
"étalons distinccs
MESURE DES ARCS.
On rapporte couramment les arcs
à
trois
:
Considérés comme çyrand,eurs d,irectenzent nùesurables,les se mesurer en prenant la circonférence comme étalon. peuvent ârcs nombres fractionnaires, on a donné des noms partiles Pour éviter parties aliquotes de cet étalon ; on a crêê, ainsi à certaines culiers : sous-multiPles de systèmes deux o A I La circonférence comprend g0O degrés, notés ; le degré, ,60 tninutes (t) ; la minute 60 secondes (tt). La mesure d'un arc en degrés est représentée de la façon .suivante :
lo
350 42t 26u r7
,le dernier chifire (7) exprime des dixièmes de seconde. Ce système constitue la subdiuision sefiagési,male; il y manque un échelon initial qui vaut 60 degrés; c'est l'arc dont la corde est .égale au rayon. Bl La circonférence est subdivisée en 400 grades, notés * ou "; le grade est subdivisé en décigrades, centigra,,des, mi,Ili,grades etc., 'd'après le système décimal. La mesure d'un arc en grades sera notée : L27c,45913.
Originairement, le quart de circonférence ou qlca,drant comprenait f 00 grades ; le grade, 100 minutes (') ; la minute, 100 secondes (tt) ;
I'arc L2"1e,45913 devrait dans ces conditions être noté Lq27"45rgltr,3. -C'est ce qui explique que ce système s'appelle subdiuision centésitna,Ie. Seulement la notation décimale est autrement simple. 2o Considérés comme a,rcs de courbe,les arcs sont aussi rapportés au rayon de la circonférence. Le cours de Géométrie élémentaire .définit ce qu'il faut entendre par longueur d'un arc par rapport àL 'Couns nn TnrcoxouÉrnrr.
r8
couRs DE TnrcoNomÉrnm.
un étalon rectiligne. La longueur de la circonférence par rapport au rayon est le nombre Ztr. L'arc ayant pour longueur le nombre I s'appelle rad,àan (t). La longueur d'un arc quelconque par rapport au rayon est égale. à la mesure de cet arc en radians. 35. Remarque. - La subdivision sexagésimale présente I'avantage de donner des nombres simples pour les arcs des polygones réguliers usuels ; I'arc de 30o en particulier est très utile en Trigonométrie. La subdivision centésimale est avantageuse en principe, les calculs se faisant dans le système de numération décimale. Elle a, êtê imaginée par Laczu,NGE, en même temps que I'on adoptait le mètre" comme étalon rectiligne ; sur un grand cercle de la Terre supposée sphériQtro, le centigratle a une longueur de r kilomètre. Cette relation simple est fort utile en Géodésie. On a imaginé également un système mixte où le degré est l'étalon principal, et on lui a appliqué la subdivision décimale ; seulement le mot grade devrait être préféré au mot degré, car celui-ci se prête mal à la formation des noms des sous-multiples décimaux. Des tables de logarithmes ont êté établies pour ce dernier système ; mais cette innovation n'a pas eu de succès. Dans tous les calculs théoriques, c'est le radian qui est utilisé pour mesurer les arcs, à cause de la simplicité que ce choix apporte" dans le calcul des dérivées. 36. Conventions. I.{ous représentons la mesure d'un arc en radians par une petite lettre a; la mesure d'un arc en grades par une. grande lettre A ; la mesure d'un arc en degrés par une grande lettre afrectée de l'exposant o : Ao. Dans la première partie du cours nous prendrons le radian pour étalon. Dans la deuxième et la troisièrê, nous prendrons le grade. Les lettres grecques seront employées indifféremment dans les trois systèmes. Dans la troisième partie, nous devrons d'ailleurs faire de nouvelles conventions relatives à la représentation des mesures des arcs. 37. Problème. Connaissant la rnesure d,'un arc dans u,n système, calcu,ler ta rvùesure d,u même a,rc dans un des d,eun' autres systèmes. Soient a,, Ao et A les mesures d'un arc par rapport au radian" au degrê et au grade. Le rapport des mcsures de deux grandeqrs de même espèce est indépendant de l'étalon choisi. De là résulte (t) Néologisme; ce mot n'est pas encore admis par l'Académie.
ni dans LtrrnÉ ni dans BnscsrRELLE.
Il
ne figure
THEORIE
l'égalité des rapports de
la
VECTORIELLE.
mesure de I'arc
à la
19
mesure de la
circonférence.
aAoA
%: s0: m' la soh-rtion du problème. Calculer en grades la mesure du radian.
Ces relations donnent
Exemple
I.
1X
%: d,ot\ x
- ry:200 x *:200 x 0,Br8g0 98861 8g790 6?151... X-
etenfin
Exemple
I[.
d'ori Exemple
III.
63",662.
Calculer en raclians I'arc l0rr.
-
æ10 %:=ffi n
:
-
'|+SOO: Calculer en radians I'arc 0",0025.
0,00004 84813 68I...
û2ô :
2,
d'où 38.
aoo
,r
:
sôË0ô
Déftnltlons.
contraàres lorsque
la-
:
A.o0o.ooo
0,00008 92699 08t69 82...
Deux
arcs
sont. ùits égo:u,n
et d,e signes
somme de leurs mesures en radians vaut
2hæ.
Deux arcs sont dits complémentaires lorsque la somme de leurs
mesures est 2kæ
g |.
Deux a.rcssont
mesures est 2hæ |
aitl sup4ttémentaires
Deux arcs sont
lorsque la sommc de leurs
æ.
dits d,iamétralement
rence de leurs mesures est 2àæ
* r.
opgtosés lorsque
Ia diffé-
39. Théorème. - Deuæ arcs x et y, ayant même ori,gdne et d,ont la sorwne x * y :2kæ | a, ont leurs eatrémi,tés symétriques pd,r ra,pport à, ta bi,ssectrice d,e l'angle d.
a étant le plus petit nombre positif de I'ensemble 6À (fig. fS), sera la mesure de I'arc géométrique OÀ décrii dans le scns positif. Soit M lo milieu de cet arc.
et si I'on pose I\îX Zhæ * p positif, étant un nombre mcsLr re du plus petit arc géomôtrique P MX décrit dans lc sens positif, on allra :
fM :
û^y zkn- p. De là résulte évidemment qlre les arcs géométriqucs MX et MY ayant tous deux pour mesure p, sont symétriques par rapport au diamètre CM, ainsi que les points X et Y. 40. Corollaire f. et de signes contraires ont - Deux arcsparégaux leurs extrémités symétriques rapport au diamètre qui passe par leur origine commune. En effet, pour ces arcs, d:0, et le point M est confondu avec les points O et A. Si I'un des arcs a pour mesure
& = Zkn * & : ?kn -
uo
- fi
mesure ûo 41. Gorollaire II. Deux arcs complémentaires qui ont même
I'autre aura pour
origine, ont leurs extrémités symétriques par rapport à la trice du premier quadrant.
bissec-
îHEORIE
pour ces arcs
VECTORINLLE.
2I
o:!n.
Si I'un a pour mesure C,x: Zn" * fro: n I'autre aura pour mesure îy -zn"+i-no:1,-*. 42. Corollaire IU. arcs supplémentaires ont leurs extré- Deux mités sur uue parallèle au diamètre de I'origine (a: n). Si I'un a pour mesure
ô.x: I'autre aura pour mesure
zn*
* ûo: n
6ï:2kæ*ft-ûo:ic-û. 43. Remarque. - Les extrémités de deux arcs diamétralement opposés sont aux extrémites d'un mêmc diamètre.
6È:æ et ôy -y, aveclacondition û-y:Zkn*n. Il en résulte û:Zhn * n * A, Soient
ce qui démontre le théorème. S S.
. .
:r-
_ MESURE DEs ANGLES.
44. Thérème I. Un angle au centre a la même rnesure erù oaleur absolue et- en signe, que l'arc qu'i,l ântercepte sur Ia circonférence, à, cond,i.tion d,e prendre corntne ëtalon d,'angle, I'angle au centre qui intercepte l'étalon d,'arc, et le même sens positi.f pour les angles et pour les arcs. Itrtalons. - Aux trois étalons d'arc correspondent donc trois étalons d'angle : I'angle radian, I'angle degré et I'angle grade. Remarque, Dans la suite du cours, afln d'éviter des complica-
-
tions de discours, Ies expressions angle d, atc q,, mesure de I'angle a, mesure de l'atc a, devront être considérées comme équivalentes. 45. Théorème II. Si. l'on prend, pour étalon d,'arc un arc d,e
longueur
I, et-comme étalon d,'angle
I'angle radian, la
rnesure d,'un arc est égale au prod,ui.t d,e la mesure d,e I'angle par la rnesure d,u rayon. Soit (tg. 14) un angle ny qui intercepte un arc O'At sur une circonférenee dont le rayon a pour mesure COr : Re Àvec l'étalon rectiligne pour rayon, décrivons du point C comme centre une circonférence.
couRs DE TRIGoNouÉrRm.
22
I\ous aurons la proportion a,rc
otar orat
ffi:oA:m
col
CO:*l
Or
OrAr-OAXCOf.
donc
Soit a la mesure de I'angle géométrique fry. En vertu du théorème I (44) on aura OA
N. B.
-
: a.
Donc, OrAf : s.ft.
Ce théorème ne sera invoqué que dans
de la Trigonométrie
sphérique.
le Chapitre Y '
EXENCICES.
1. Traduire en grades
:
32" 43t 9", 7 960 27t ffiit, 2 295" 4t 3lrt. 2. Traduire en degrés, minutes et secondes
:
26e,53289
102",2L454 321c,45679,
3. Traduire ces arcs en radians dans la circonférence trigonométrique.
4, Traduire ces arcs en.lieues belges, à la surface de la Terre et de rayon 6400 kilomètres.
supposée sphérique
rnÉonm
5. Traduire nadians sont 22
T'
en grades
et en degrés les arcs dont les mesures en
:
3,vt
+ Vâ
f,6 T'
2,
2-r_m'
6. Comment sont placés sur la circonférenc 'mesures en radians sont
d., o + l,
a
23
vECToRIELLE.
les arcs
dont les
:
* ';,
ces arcs ayant même origine
?
7. Calculer les compléments et suppléments des arcs des nos l, 2 et 5. 8. Évaluer en radians I'arc dont la mesure en degrés est égale à la mesure de son supplément en grades.
Définition des nombnes tnigonométniques, 46. Les nombres trigonométriques ou foncti,ons circulaires principales sont au nombre de six, savoir : le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente, la sécante et la cosécante.
S l. - oÉrlNtTloNg. 47. Théorème. ,Si l'on ltrojette orthogonaletnent un aecteur Kf, -Ç. KL srtr -un q,fre quelconque x et sut" ,ttr,n a,fie y tel, çI,rre. ^. : + ;, les ,"û,pports tA pr,KL KL sont indépendants du nombre KL. Menons (fig. t5) par le point de rencontre C de æ et y un vecteur
erw
eM-Kt; m, -
soient
pr*CM:
prrm
et
Wr: prrffi: prrffi.
Le théorème revient à démontrer que les rapports
#
et
#
sont indépendants du nombre CM. Or les triangles CMMr et CMM, restent homothétiques à euxmêmes, quelle que soit la position du point M sur I'axe ur. Pour
un point N, le rapport d'homothétie est S. LIM
DET'INITION DES NOMBRES TnrcoNolrÉrnlguns.
25,
CN,
Sg CN CM,: CM, :- CM
D'où
gI:9S' CM
ou
CI{
et
cI{, _ cMr.
CN
CM
Le théorème est donc établi.
48.
Définitions. Les rapports consta rnts nr-KL et fr- ef. PÉL ffi
s'appellent respectivement cosinus et sinus de I'angle (uu).
on les représente par les symboles cos ât et sinâc, Les axes fi et y sont appelés afies trigonométriques pour tous les angles d'origine fi. L'axe æ est l'aæe d,es cos'inus, I'axe y est Y ane Soit KH * l, c'est-à-dire Ktr
-
d,es s,i,nu,s.
-Tc.
on aura cos ;"- pr*KH eb sin nu _ prrKH. peut que On donc dire : . 49. On apgtelle sinus et cosinus d'ren angle, les rnesures des projecti,ons respectiaes du uecteur-directeou de I'ane entrême sr,cr" les afres trigonométriques corr"espondant ù l'ane ot"igine de l'a,ngle.
' Posons â, - Zltæf a : . On appelle tangente, cotangentg, sécante et cosécante de I'angle a les nombres respectifs g, t et $ stn 4 ==l; cos 4 3ry, cos 4 srn A e,,.
on les représente par les symboles tga, cotga, sê,ca et coséca.
26
couRs DE TRIcoNoMÉTRIE.
50. Théorème. La lnesure de la projection orthogonale d'orn Decteu,r .s?ri" un a,fie est égale ccu produi,t de la rnesure du ',*ecteztr pa,r le cosinus de l'angle d,es a,fies. Ce théorème esb une conséquence immédiate de la définition du cosinus (fig. 16). On a) en effet, pour It, -Tî.KL, pr,KL : KL cos n?.1.
bf,. Théorème. Le proar),,
iîr*étt
est égal au produit de leu,rs rnesures
de leurs aûes. Soient deux vecteurs On a:
AI}.CD :
:
ÂE
:
î.r\B
AB.prrCD :
i,que de d,euæ uecteurs le cosinus de l'ang\e
per
et m -lucD. ,^.
AB.CD.cosl,c'l)
: CD.proAB : CD.AB.cos îr. â2. Remarque. r Il résulte accessoirement de ce théorèreo que cos uu - cos au. 53. Cerele trlgonométrique. - Çe1sidérons un angle (nu\ et menons l'axe y par le point de rencontre des axes æ et u (fr9. I7). Soit
fr?,e 'î.- A,
-
Zkr, * a.
Soit 6.: u le vecteur-directeur de I'axe ?r. Si nous faisons d. de 0 à 2æ, le point A décrit une circonférence appetée
varier
circanfé,rence trig onont étrique, Sur cette circonférence, û : âr: e, : ukn f a. L'arc (OA) et I'angle (mu) sont parfois dits corcespondants. On appelle nombres tri.gonométriques de l'arc (OA) Ies nombres trigonométriques de I'angle (æu). 54. trteprésentation grephlque des nornbres trlgo-
lrornôtrtqnoBo
Le nombre a, rnêsure de I'angle géométrique nu,, est représenté graphiquement par I'arc OA à l'échelle CO l.
-
pÉrnrrroN
DES NoMBREs
TRIGoNoUÉrnIQUEs.
2'f
Les six nombres trigonométriques peuvent être représentés graphiquenent à la même échelle. En vertu de leur définition, CD
Menons en O et en P deux axes t et z respectivement parallèles aux axes trigonométriques ; soient T et Z les points de rencontre de ces axes avec I'axe ?r.
:I u
L
ïù 7-'
7
) o
B
S
æ
T
Les triangles COT, CPZ, CÀD, CAB, sont homothétiques; leurs côtés homologues sont des vecteurs de même sens ou de sens contraires; donc les rapports des mesures sont égaur en valeur absolue et en signe. oT _ co cf Pz _ cP.
Or, donc et Les axes
CD DA DA CD : CB CO: CP: l; or: cD: sina : r8o
DA
eB
*':
CB: ol
ô"57
cosa
sitra
:
cot8{l'
t et a s'appellent aoe des tangentes et aoe d,es
cotangentes.
En A menons la tangente à la circonféreûce. Par définition du produit géométrique (r):
CS.CA:
CA2
:
CS.CB.
(t) Or bim, dans le triangle rectangle CAS.
couRs DE TRIcoNoMÉrnm.
?Â
.Donc CS.CB:l ou CS:rL: CB
I :
cosa
même CR.CA : CAZ - CD.CR. DOnc CD.CR:I ou CR:::CD sin,I a
vvv sêca,,
De
:coséca.
55. Théorème. Le sinus et le cosinus d'u,n a,ngle ou de l'arc correspondant sont les mesures des projectdons du rayon entrême de I'arc ,"especti,uement s?rr' les afies des sùnus et des cos'incts, 56. Théorème. - La tangente et la cotangente d,'un angle ou de l'a,rc corc;espondant sont les rnesures des oecteurs làmi,tés par le rayon eætrême de l'a,rc sur les afies des tangentes et
des cotangentes. 57. Théorème. F
La sécante et la cosécante d,'un angle ou l'arc corcespondant sont les rnesures d,es aecteurs ti,mités par ta tangente géométrique ù l'eutrémi,té d,e I'a,l"c, sur les d,e
et des s'i'nu,s. 58. Remarque. Cette représentation graphigue des nombres trigonométriques fait que souvent ces nombres sont appelês li,gnes tri,gonométriques, ou plus simplement lignes d'un arc.
a,fies des cos'inus
59. Remarque.
-
En vertu du
theorè.* (l9) on a !
KL:pr,KLfprrKl u.wr - fi.KL cos î" + A.t
DU SINUS.
Lorsque le point A se trouve dans le premier 60. Signe. ou le deuxième quadrant, sina est positif ; dans le troisième et le quatrième, sina est négatif. 61. Variations. Il résulte de la définition, QUê sina est ' indépendant de k; sina sin(Zkæ * a) : sine. q:0, Lorsque A est en O, D est en C, sina - 0. A mesure que d. croît, D s'éloigne de C dans le sens positif de I'axe U; donc sina croît ; lorsqr-re A arrive en P, * : l, et sina atteint sa valeur maximum qui est * l.
nÉrnrrroN
DES NoMBRES TRrcoNollÉrnreuns
,
Zg
Lorsque A décrit le second quadrant, le point D revient vers C; a diminue.
sin
Pour
d:
ns
A est en O', D en C et sinæ -
O.
Lorsque A décrit le troisième quadrant, D s'éloigne de sens négatif , donc sin a est négatif et décroît de 0 à
-
dans le
C
I, valeur
minimum qu'il prend lorsque A est en Pr, c'est-à-dire lorsque
a-Z'3æ
Lorsque A enfi.n décrit le quatrième quadrant, D revient vers C, a croît, et redevicnt nul lorsque a revient en o. Le sinus est une fonction périodique de I'arc, continue pour toutes les valeurs ; l'amplitude de la période est 2æ. Sin a peut prendre toutes les valeurs comprises entre + I et l. Exercice. Représenter analytiquement- la fonction y sin #.
sin
62.
Problème. Étant
mules des
a.,r'cs
dont
il
d,,onné un not?zbre est le s,irtus.
l.
lml
2.
lml-L.al D?,:+I bl rn-
a,-Zhæ*
-
m, étabtir les for--
tt
ç)
a,-2kæ-;.
-I
3. lrnl v a
\
Nr'
/i t
lml
\
D
;
o
c
/
\ Frc.
18.
aaa
.Lt
fir -zkn*æ -a
répondent seuls à ta question (a est
I'une des valeurs de 6À;.
f. Le sinus d'un la corde de I'arc double.
63. Remarque mesure de
A
des sinus, à partir du point C, dans le sens indiqué par son signe. Soit CD : fi?,. Par D menons une parallèle à I'axe lr ; elle coupe la circonférence trigonométrique en deux points A et Ar qui seuls ont D pour projection (fig. l8). Les arcs 6À : Zkæ l- a
arc
Les sinus de 18o, 30o, 36o, 45o, 54o, 60o, 72o sont les moitiés des mesures des côtés des polygones réguliers étudiés en Géométrie élémentaire-
couRs Dn rRlcoNotuÉrntn.
30
64. Remarque suivantes :
Il
I[.
faut connaître par cæur les
valeurs :
nl sin 30o sin 62 sin
45o
:
sin
60o
-.^ :SlDo:
s
3.
sin 50"
-
7r
ù2
sin
T:\12
42
V5
DU COS|NUS.
le point A se trouve dans le premier ou 65. Signe. - Lorsque le quatrième quadrant, cos a est positif ; daus le deuxième et le troisièile, cos a est négatif . 66. Var.lations. cos e, -- cos (Zltn + a) - cos a. Lorsque d:0, A est en O; B est en O, cos a - + l. A mesure que d. croît, B se rapproche de C, donc coS.e décroît; lorsque
À arrive en P, o -_ T, et B est en C, donc
cos
î:
0.
Lorsque A décrit le aeo"iJme quadrant, le point B .'Joigo, de C dans le sens négatif de I'axe fi, donc cosa décroît de 0 à - l, valeur minimum qu'il prend lorsque A est en Of c'est-à-dire pour cL
:
TE.
Lorsque A décrit le troisième quadrant, B revient vers C, donc
cosa croît et redevient nul pour
o:ff,
A étant alors en Pf .
Lorsque enfin, A décrit le quatrième quadrant, B s'éloigne de C le sens positif de l'axe fi, donc cosa croÎt de 0 à + l, valeur maximum qu'il atteint lorsque A étant revenu en O , d.: 2æ. Le cosinus est une fonction périodique de I'arc, continue poûr toutes les valeurs ; I'amplitude de la période est Ztr. Cos a peut prendre toutes les valeurs comprises entre + 1 et - l. Exercice. Représenter analytiquement la fonction U : cos ri.
dans
6?. Probtème. Étant d,onné un nonzbre m, ëtablir les formules des e,rcs dont il est le cosinzt s.
l.
pnl
2. lrnl: 3. lrnl cosinus,'
l. al tlù: + t b/ TJ?,--l
&
-
2kæ.
a:=Zkn,f
æ.
à partir du point C, dans le sens indiqué par
son signe.
3I
nÉn'tNrTloN DES NoMBRES TRIGoNoNTETRIQUES.
So it Qfi, : yy;,. Par B rnenons une parallèle à l'axe y ; elle coupe la cir.conférence trigonométrique en deux points A et At qui seuls ont B pour projection (fig. l9). OA :2kæ * a Les arcs v
r
OAf
A
\
-nr
I'une des valeurs de
68. Remarque
'æ
o
c
absolue,
d.
û.;.
I. - En
valeur
le cosinus ù'un arc <
est I'apothème de la corde de double.
A Frc.
T 2
I'arc
19.
n faut connaître par cæur les valeurs
69. Remarque II. suivantes
-
répondent seuls à la question (a est
B
\
:Zkn
:
cos 30o : cos
cos
45o:
cos 60o
:
r:v5 62
Cos
50"
cos
î: ùa'
:
cos
r -\12 42
*-
s 4. - DE LA TANGENTE. Lorsque le point A se trouve dans le premier 70. Signe. ou le troisième quadrant, sin a et cos a ont le même signe, donc tga est positive; dans le deuxième et le quatrième, sina et coso ont des signes contraires, donc tg a est négative. De sin a : sin (Zkn * o) : sin a 7r,. Yarlations.
et
de
cos
cos (Zkn
Q,
tga -
*
:
tg (Zkn * on déduit Faisons varier d. de 0 à 2æ. Pour or:0, sina:0, cos q.: L, donc Lorsque a croît de 0
cos d
") tgo.. ") -
tgo:
Q.
à Tr, le numérateur sina croît de 0 à + Ét
le dénominateur
cos a décroît de
* I à 0, donc tg o croît.
l;
COURS
3?, ,n,tt!ÂN
tg
;
se présente sous
signiflcation,
DE TRIGONOMEIRIE.
la forme du symbole
i. Pour établir sa, voyons quelle est la limite de tg (: pour ). -. s \É/-L)/
(I étant un nombre positif voisin de 0). Nous savons par I'algèbre qu'une fraction dont le numérateur a une limite flnie, et dont le dénominateur diminue et a pour limite 0, croît en valeur absolue sans limite ; nous dirons donc conaentionnellement : r*
lim ts (; - - ).)^ ,.)\*0^: f oo ou tgT:+oo. ".) f)ans le deuxième quadrant, tg o est lrégative ; voyons comment varie sa valeur absolue : Iorsque c/- diminue et a pour limite æ' 2' -t
le numérateur augmente, le dénominateur diminue en valeur absolue et a pour limite 0. Donc, lim
E oo. r* (î * t)r.*o: - oo ou tsi.:
Lorsque, au contraire, a âugûrente et a pour limite æ, le numérateur diminue et a pour limite 0, le dénominateur augmente et r pour limite I (en valeur absolue) ; donc tg o diminue en valeur absolue et a pour limite 0 ; par conséquent, dans le deuxième quadrant, tg o croît de - oo à 0. Dans le troisième quadrant, sin e prend, dans Ie même ordre mais en signe contraire, les mêmes valeurs que dans le premier; cos e également, donc tg o reprend, dans le même ordre et avec Ie même signe, les mêmes valeurs que dans le premier, c'est-à-dire que tgo croît de 0 à + oo. Dans le quatrième quadrant, sin aet cose., oot, dans le même ordre mais en signe contraire, les mêmes valeurs que dans le deuxième ; donc tgo reprend, dans le même ordre et avec le même signe, les même valeurs que dan s le deuxième quadrant ; tg o cr.oît donc de oo à 0. Dottc, tg (tt * a) : tg o. Nous pouvons écrire : tgO
Donc tg o est une fonction périodique et croissante, continue pour
toute valeur autre que
kæ
a|;
l'arnplitude de la période est
Elle peut prendre tous frJ valeurs Exercice.
-
de
-
oo à
f
æ.
oo.
Représenter analytiquement Ia fonction A
: tgn.
oÉrrutrroN DES NoMBRES TRIcoNoMÉTRIQUES.
3S
Etant donné un nornbre m, établir 'les 72. Problème. - dont il est la tangente. a,rcs des formules Portons Ie nombre m,, à partir b ôT de O, sur I'axe des tangentes, à I'échelle du dessin, et dans le sens indiqué par son signe. m ,_/ Soit (fig. 20) I I
I I
I
a
I I
I
I I I I
c
\/ \/
o
I/?,.
Joignons TC, qui rencontre la circonférence trigonométrique en A
et Ar.
)
û. -àkn*a
fi, -Zkæf
Frc.
admettent seuls
il.
Remarque. tg 45o - tg 50' :
s 5. 7
:
Les arcs
vH
73.
OT
I I
I
4. Signe.
|
tcr
æ
*a
rn pour tangente.
,t
-4
DE LA COTANGENTE.
La cotangente étant I'inverse de la
tangente,
a. le même signe qu'elle ; elle est donc positive dans le premier ,et le troisième quadrant, négative rlans le d.euxième et le quatrième,
?5.
I'ariationsr -
Puisque cotg
o,
- &, . cotg (Zhn* o) - cotg c - -1tga
Dans le premier et le troisième quadrant, tg a croît de 0 à -f oo, donc cotg a décroît de * oo à 0. Dans le deuxième eb le quatrieme quadrant, tge croif fls - oo à 0, c
f tt\ cotghæ-,*oo et cotglk"+;) -0. \ É,r//
La cotangente est une foncfion périodique, décroissante, continue 'pour toute valeur autre que kn. L'amplitude de la période est î8. La cotangente peut prendre toutes les valeurs, de - oo à f o,o. Tlxercice. Représenter analytiquement la fonction !/ : coigæ.
-
Couns pn TnrcoxouÉrnrn,
3
g4
couRs DE TRlcoNouÉrnm.
Etant donné un nombre m, 76. Probtème. - dant il est la cotangente. arcs des formules Cela revient à établir les formules des arcs dont
Ces arcs
û.. :Zkn *
sont
'17. Remarque.
;} ln
étabtir les
e*t la tangente-
a
ffr:zknf æ To.. - cotg5O" - tg50" - l. s €t.
DE LA SECANTE.
78. Slgne. La sécante, inverse du cosinus, a le même signe que lui ; elle est positive dans le premier et le quatrième quadratrt"
négative dans le deuxième et le troisième. 79.
séca-COSI A : COSI :séca. : séce.. séc (Zltæ *
Variaiions.-
Donc
æ
Faisons varier a de 0 à
".)
2æ.
+ I à 0, donc séc a croîtde+1à*oo , Dans le deuxième quadrant, cos e décroit de 0 à - l, donc séc a croît de'- oo à - l. Dans le troisième quadrant, cos a croît de - I à 0, séc a décroît de-1à-oo. Dans le quatrième quadrant, cos croît de 0 à + l, séc a décroît, de -J- oo à + l. Dans le premier quadrant, cos e décroît de
oû
Donc
sêc?kæ: s
La
* I e"
séc(Zkn
* r): - ],
: (n.+ 3) z/ + oo. \
sécante est une fonction périodique de
toutes les valeurs autres que kæ
t |;
l'arc, continue pour
I'amplitude de la période
esù
Lt
?tr,. Séca peut prendre toutes les valeurs plus grandes que I en valeur absolue. Exercice. Représenter analytiquement la fonction y - sécfr, 80. Problème. - Iltant d,onnë un nombre m, étabtir les formules des &rcs d,ont il est la sécante.
TRIGOI{OMETRIQUES.
DIIFINITION DES NOMBRES
Cela revient à établir les formules des arcs dont
l.
lml
2. lnz,l:
l.
al bl
m:+l m: - I
35
I ,! rnest le cosinus.
a,-2hæ.
a,,:
3. lml
2k,æ
f
æ.
ffr -zkæ 'a. S z.
DE LA cosÉcnNTE.
-
81, Siglle. - La cosécante, inverse du sinus, a le même signe que lui; elle est donc positive dans le premier et le deuxième quadrant, négative daTls le troisième et le quatrième. 82.
Yarirtlonsr -
coséca
coséc (Zkn
donc
Faisons varier a de 0 à
i* l-
*
,= ,l , . : -]sina: sin, (2Êæ sinæ -F t)
cr)
-
coséc z.
3æ.
Dans le premier quadrant, sin z croÎt de 0 à décroît de * oo à + 1. Dans le deuxième quadrant, sine décroit de
croîtde*1à+oo.
Dans le troisième quadrant, sin
t
+ I , donc coséc
+ I à 0, donc cosécæ
dê,croit de 0 à
- I, donc coséc e
- I
à 0, donc coséc a
- oo à - l. Dans le quatrième quadranb. sine croit
croif de
décroitde-là-oo. coséc/eæ
: * oo; coséc
\
(nn,*
cr
de
/-\ : I \ + ;./ ) +
coséc (Zkæ
/
1\ -- r)
La cosêcante est une fonction périodique de I'arc, continue pour toutes les valeurs autres que kn; l'arnplitude de la période est 2æ. Coséca peut prendre toutcs les valeurs supôrieures à I ell valeur absoluc.
Refirésenter analytiqucment la fonctio tr U : cosécn, 83. Problème. - Étant donné Qtn nombre m, étalttir les forntules des ar"cs dont il est Ia cosécante Exercice.
-
t
couns DE TRrGoNouÉtRin.
36
Ces arcs sont ceux
t est le sinus. dont rn
l.
lnzl
2.
a,-Zkn +3. lml-I.al rn:+I 2 bl m: - I e, -, Zkæ -;.
3. lml
fir:zkæ*c CHAPITBA
II
, FoFmules fondamentAles. 84. Théorème
f.
Sinza
+
cosea
_ l.
En effet (fig. 2L)
v
CA:proj*CA+proj,,CA ou (59)
+I:;ïnrr+coM. B
Donc, on aura (23) 1 - sinza f cosra * Z m7. ôô;Z..
{,
t/ t/ ,l t/
\\
or (5!)
\ 3{ D_/' j
ffia.ffi:0.
t,/
t
D'otr
I I ,l I
Fro.
21.
Remargue. - Plus simplement, oo apptique au triangle rectangle caB le théorème relatif aLl carré de I'hypothénuse :
cB-.+nar-çaa + sinza : 1. Théorème I[. Séc?a - tg'a - 1. (=g)' sécza trn effet cos'.a \cos al - tgza,, - :-=sinza t : c*-osz a,,- cosza, : r (Th. rl. \- -coszï?'o a : Théorème"Ill. - Cosécz a, - coLgza l. sinza : I - cosza :s;6: cosecza ' cosza , ,1, sinea - cot gr&: sin94 æ-
ou
cos?a
l
I
37
FORMULES J'ONDAMBNTÀLES.
on appelle formules fondamentales, les 85. Déftnltlon. cinq formules suivantes : sin2a tg
*
cos26: I
a:
:i,1
cos
(r)
1a
(2)
c[-,# l séc acos 4
(3)
cotg
coséc a,
(4)
.l- sm4
(5)
Les trois formules suivantes sont également très importantes:
: I
tga.cotg a
(6)
(7) -- I + tg'a :cosécz e, I + cotgz a . (8) Calculer les nombres trigonométriques séce a,
86. Problème f. d,'u,n arc en fonction de l'u,n d'e'u,û. Les cinq formules fondamentales constituent un système de cinq équations
à cinq inconnues.
A. En fonction de cos a : sina
tga:
- cos?a cos a sécû,- 1Vt
e
cos
On voit qu'il pOUr
g--1.
- e Vt -
4
(e)
cosra cos a
cotga,-vvwt)w e!I-COS2a coséca-
y a deux solutions, I'une
eVI-cosea pour
€-*t,
I'autre
Ces deux solutions sont acceptables, puisque les conditions de rêalité, db grandeur et de signe sont satisfaites, et que I'on n'a pas introduit de solutions étrangères. B. En fonction de tga:
.t al
cotg
COS
ff,
- *rg& --
Il y a deux
eVt +tgre
- r Vt + tgta
(10)
séc a,
(12)
sina:&
solutions, I'une pour
€
e
Vl +
rgza
- + l, I'autre pour E - -
(Il) (tg) l',
38
COURS
DE TRIGONOMÉTRIE. EXERCICES.
I . Quelle relation existe-t-il entre n?,
: '?Tt, et tg a : n. I 2r l séc a - l?L et cotg a, .- n. 3'l tga f cotg a, : n?, et tg, a l"
et n, si :
cos a,
cotgz
a
-
2. Vérifier les formules suivantes : sinza--coszC( ' L"l
3. Calculer les lignes trigonométriques d'un arc en fonction : L'l du siuus, Zrl de la sécante. 4. Démontrer que 2(cos' a * sin6 a) B(cosa a * sinaa) est -
indépendant de &.
5. vérifi.er Que, quel que soit n, positif, oo a, pour a ) 0:
Arc*iove:ârc rr/i.
'
6. En désignant pâr a un angle d'un triangle, on demande de discuter Ia nature et le signe des racin'es de l'équation g l6nz sina -24æ - sina + Z - 0. 7. Déterminer q. de façon que les 4 racines de l'équation I ç+ +' soient en progression
I
+ ft-, cos$ : o arithmétique ; puis calculer ces racines.
;
sincr.æ2
8. calculer en fonction de a, et b I'expression a'' J- b cos0
sactrant
que
-ï-
sinT
3r;
tgO
: t 12. Va
:
:
RELÀTIONS ENTRE LES LTGNES D'ARCS SUPPLÉMENTAIRES,
ETC, s9
'.t
CHAPITRE
III
Relations èntne les nornbnes tnigonolnétniques d'arcs égaux et de signes contnaines, supplémentainesr Gornplémentaines, etc. premier 87. Remarque. - Nous avons démontré dans le chapitre que les arcs ayant même sinus ou même cosécante sont représentés par les lormules générales : &L:Zttæ * a
C[2:7kn f
æ
-o.'
Ceux qui ont même cosinus ou même sécante
&t:2kæ { &?': Zhn -
:
a q"
Ceux qui ont même tangente ou même cotangente
:
aL: Zkn * a az:2kæ*æ {a.
'
88. Théorème f. Deun ar^cs égauæ et d,e signes contraires ,ont le même cosi,nus ; lettt"s sinus sont égauæ et de signes ,contraires, ai,nsi que leu,t"s tangentes. Cela résulte de ce que ces arcs ont leurs extrémités symétriques, origine cofllmun€. cos (- a) : cos 4 On a, donc : sin (- û): sina
par rapport à I'axe des cosinus correspondant à leur
tg (- a)
: - tga. -
Les nombres inverses ont les mêmes propriétés
:
(- a) : séca (- a): - cosêca cotg (- a) : - cotga,. séc
coséc
89. Théorème
II. É Deun arcs supryttémentaires ont te même
s'i,nus; leurs cosinus sont égauæ et de signes contraires, ainsi, que leurs tangentes. Cela résulte de ce que ces arcs ont leurs extrémités symétriques Bar rapport à I'axe des sinus correspondant à leur origine commune.
On a donc
:
sin
(æ
*
a,)
:
cOS(rr- AI:
sin
a
-COSA tg(,t-a)--tga.
40 .
couRs DE TRIcoNoMÉTRIE.
Les nombres inverses ont les mêmes propriétés': coséc (æ e) : coséc a - a) séc (æ
cotg(æ-
a):-cotga,.
Deuæ a,?"cs d,i,amétraletnent otrtposés onf 90. Théorème II[. l"e ntêm,e tangente; leurs sinus sont égaun et de signes contraires, ainsi çpe leurs cosi.nus. Cela résulte de ce que les extrémités de ces arcs sont symétriques. par rapport au centre, lorsqu'on leur donne même origine. tg (r + a,) Iga On a donc :
'sin(** a):-sin4. cos (tt
*
:
a)
-
cos 4.
Les nombres inverses ont les mêmes propriétés cotg (tt * e) : cotg a cos êc a coséc (tt {- a) : séc (æ
+ a): -
:
sëca,.
91. Théorème IV. - Lorsque deufi a,rcs sont complémenta,ires,. le sinus et Ia tangente de l'otn sont égauæ respectioement a,u" cosinus et ù la cotangente de l'a,ztt,re. Nous savons que deux arcs complémentaires, de même origine, ont leurs extrémités A et A' s;'pétriques par rapport à la bissectrice'
du premier quadrant. Les vecteurs 0[ et ffit le sont donc aussi. D'autre part, les axes des sinus et des cosinus sont symétriques en direction et sens par rapport à cette bissectric€.
Donc,
PrrCAr
:
PrrCA
sr"(Z-ô:cos,
ou
\a,
on en déduit :
/
fî\- - ")/ t* /æ\ [t - ) -
cor
a,
sin 0
eotsa
Et pour les nombres inverses :
s
coséc
(Z -o) : \i/
séc q,
/
\ coséca ,(æ a): séc(;[æ\, cotg(;-a):tga. ' \(/ /
:
ETC. 4l
BELATIONS ENTRE LES LTGNES D'ARCS SUPPLÉMENTAIRES,
Remarque. Le cosinus, la cotangente et la cosécante sont appelés nombres complémentaires du sinus, de la tangente et de la sécante, et réciproquement. Problème. Réduire un a,rc a,u premier
92.
quadro,,nt.
On entend par là, trouver un arc compris entre 0 et 3 qoi ait les ZI
mêmes nombres trigonométriques que I'arc proposé, au signe près.
Soit o, un arc quelconque. On peuù d'abord trouver un arc c compris entre O et 2æ et ayant même extrémité que a,, en ajoutant ou en retranchant à a un nombre convenable de fois 2æ. Quatre cas peuvent alors se présentcr
Pl
0
q.
f
?,0t
î
q.
L'arc
llr
3æ
3"1 n 4't
:
a répond à la question (Th. II).
-
L'arc
€)
T
7c
L'arc 2n
2æ.
répond à la question (Th.
æ
III).
a répond à la question (Th. I).
-
EXERCICES.
l.
Exprimer les nombres trigonométriques
des nombres trigonométriques de
Utî * a en fonction
a,.
2. Réduire au premier quadrant : sin 740', sin 290", sin
170o,
sin 950o, cos 500o, cos 318", tg 350', cotg 870o, séc 1000o, coséc 1556",
tg
(-
3.
(-
l75o), sin (- 7000"). Simplifler les expressions :
Lot
50o), séc
m sin(; * ") +zsin('-;)
+
poos
(T+ ") -çrcos(?
2"
i
s"l
Zabséc
(400c
msin(æ
-
A)
a) cos
+
(;
(a
*
b)'cos (300"
+ " ")
4. Réduire au premier quadrant 105",23L2,
psin (æ
+, -
-
*
A)
-
a)cos
(a
e\É/ ")-
500', 2l3o 20',
- 3, ry, ffi.
-")-
b)'séc A.
42
COURS
5. Calculer les lignes
DE TRIGONOI\IBTRIE.
des arcs
n*
5n, æ *
tion des lignes de fi.
7nîfi i,
Ë'.o
fonc-
I
6. Étant donné un arc a) calculer les arcs \I. cosmus, - cosa smus , cos a, ayant pour \t ( cotangente,
7. Résoudre : lo sinzel : coszæ 2" sin (a: + a)
30 tg
(n'- I) :
y) :
cos 40".
- 3y):
sin 600.
sin (n
(n -* y) - tg 10c. séc (2n * SA) : coséc?0o.
40
cotgæ
-tga.
cotg:
5o
cos (2n
CHAPITRE IY
Nombnes tnigonométnigues de sornmes et de difféFences d'arcs. Nombnes tnigonométniques des multiples d'un atrc.
S
r.
srN (a
93. Soient deux arcs quelconques ,de o, cornme
aurons û,. : a,, et(28) a*b-6À+fB
n et y n, et y,
On aura
a, et
B).
b. Prenons I'extrémité À
origine de b (flg. 22)
I{ous
Soient
*
,CB
-
fi,
les axes trigonométriques des arcs d'origine O; les axes trigonométriques des arcs
d'origine A.
:
1\ na: +i,
ûtVt:
+i,
fifit:
Q.
SOMMES
ET DIF'FÉRENCES D'ARCS.
43
On a également
+ b): prrCB.. Or, on a vu au no 59 que G peut se décomposer en une somme sin (a
géométrique de ses projections sur les axes fir et
0B
yr:
yr.sinb offi + sm. -âr.cosb + -
En appliquant à la projection de ffi sur y le théorème du no 8, oo obtient sin (a + b): pr,cosb * prysinD. Les projections des vecteurs r,cosÔ et yrsinô se calculent à I'aide du théorème du no 50: prycos b
-
î*, et prrsin b fu, û 1ù, en employant
cosô cos
Ér,aluons les angles
Ufrt ou
*
,/ærrc
Ufit ,,t\
+ ûy:
sinô
cos
ùr.
la formule du no 3l
:
0
- a'-i;
//\
,rt\
UUt*Ytæt*nrA-0 UUt - a"
et ou
On obtient finalement pr,/cos b
prrsinb
et
D'où on tire sin (a
+ l)):
-
cosô sina
sinôcosa.
sin o, cosb
+ cos a sinb.
(l)
par b, nous obtenons: sin (a (2) - b): sina cos b - cosa sinÔ.
Si dans cette formule nous remplaçons b
2. cos (e * B). cos (a + b) : pr,CB : pr, cos b + pr* sinÔ S
94.
pr*cosb-- cosbcosàr, Or, ,d'où
pr, sinô ,/r-
sin
b corlyr.
nyr*yr:nr*fitû-0; ,^\ tUt - Q' +;'
couns DE TRIcoNoMÉrnm.
44
pr, cos b : pr* sinô :
On a donc
d'où l'on a
cos
b
-
sinô sina;
cos a,
:
cos (a + b) cosA cos b sina sinÔ. dans Si, cette formule, nous remplaçons b par b, cos (a
-
b)
-
:
cosa cos b
+
-
(3)
il vient :
sina sinô.
(4)
Tc(a*B).
S3.
*
95.
Divisons haut et bas par
-
cos e, cosb.
sinD cosa -r, cosa ôiM
cos a'sinb si11 a sin ô
a
sina cosô
tg(a+b):
co$acos,A
., sina sinô I--
De même
cos
tg (a
s 4.
-
b)
a cosb
tga
*
tgb _.
I - tga tgb
tgb : I=tg,o \ga -. + : ISb
(5)
(6)
SOMME DE PLUSTEURS ARCS.
9ô,'On décomposera la somme totale en deux termes, otr appliquera les formules précédentes, et on opérera de même sur chaque terme jusqu'à ce qu'il n'y ait plus que des lignes des arcs simples qui figurent dans la formule. Exemple : cos (a + b c) : cos l(" + b) cl : cos (a * -ô) cos c * sin (a + b)- sinc : (cosa cosb sina sinÔ) cos c * (sina cosb + cosa sinô) sinc
=
-
sin a sin
b cosc.
s 5. - MULTIPLES D'UN AHC. 97. Fornnules de Simpson. - Dans les formules de (a +0> faisonsb--a,.Ilvient sin
- 2 sin a, cos'a,. -sinza,- I 2sinza -Zcosza,- I (au moyen de la relation -sinza f cosza, : l.) 2 tga tg 2a ': T -tgza'
cos2a,
cosza,
2 a,,
(7)
(8) (e)
NoMBREs rRlcoNouÉrnreuns DEs MULTIpLES D'uN
aRc,
46
Les différents multiples entiers de & constituent une progression
arithmétique ? a. 2a. 3a... (m - L) a. rna,. (m + t) o,... I{ous pouvons calculer les lignes d'un de ces arcs en fonction des lignes des arcs précédents. Calculons les lignes de I'arc (m + L) a. sin (rz + l) a: sin (ma * a) : sin tna cos a * cos rn& sina, rno, sin 4' a, sin (rn - I) a, - sin (zz a, - a) - sin ma cos - cos Additionnant membre à membrc et faisant passer sin (ra - L) a dans le second membre : sin rna cos a sin (m+- I ) o - sin (m- l) a. =2 trn faisant successivement 7v1, - l, 2, 3, etc., otr trouve les sinus de 2a, 3&, etc. sin 3a :2 sin 2a cos o, - sin a - 4 sin a cosea - sia 4 (10) sin 3a ou - 3 sina - 4 sin3a. sin 4a - 2 sin 3a cos6u - sin 2a cos 4 2
: ('j'i
mêDê,
i#.il;'Ii"ffi ?jiii
+ L) a -
sinma sin a, a * sinma sin a cos (m - 1) a, cos (m + 1) a d'ou - 2 cos rna cos a, - cos (m - L) a. ffù-2, cosSa-Z cos 2acosa'-cosa (tI) cos3a,-4coszs-Scosa; d'otr :2 : cos 3a cos a' 3, cos 4a rïù - cos 2a cos a)-2 coszz+ l:8 cos[a., 2 cos a, (4 cossa -3 - 8 cosza, * l; et ainsi de suite. + tga tg(rn+L)a: I tgnza tgma tga De
cos (m
cos rna, cos a'
--:- cos nua., bos
-
donne
+ tga, Ig2a- I-IgZaIga 1g2a
:
tg
d'où
tg'4a
=ry'
3a:
t"** o^
;
2Iga,
t
tga - rg'&+
I_.219'q^ I trg'a
-
, 1g'a '
tg\a + tg,a _9tgq, -tgsa * tga - 3tg3a I - I -tgSatge -3tgza -3lg'a+tgta 4tga,-4tg?a I-6tgza+tgoe
et, ainsi de suito.
couRs DE TRIcoNoMÉtRlu.
,46
EXERCICES.
1. Déterminer les nombres trigonométriques de a déduire des formules trouvées, ceux de 3e,. 2. Déduire cos (a + b) de sin (a + b). 3. Déterminer fi à I'aide des formules :
+ b*
c
;
i2 Isina*cosb:i I
10 (.,
3
)sinb+cosa-_-
l4 Itg(a*b)-n.
sin (a + b):0,8 c)o I sin (a b) :0,28 { I sin !,q - s. 12.
lcosro:i I , ,\ -', )cos (a-b):'' I
v30 ;
.3
4
Icos(a*b):n.
4. Calculer les nombres trigonométriques de 15o ,75o, 93o i 20", 30", l0:, 40", 5o.
LZo,48o, 3o,
,
50 Calculer les nombres trigonométriques de
h,: + - +
,r-oæTCæ
er ûe
LZ: Z_l_ O. 6. Sachant que tg a et tg b sont les racines de l'équation nz * pû + q: 0, calculer, en fonction de p et g, I'expression sina (a + b) +p sin (a t ô) cos (a + b) + q cosz (a * b). 7. Démontrer I'identité sina sin (ô c) * sinô sin (c a) tJ. Vérifier les formules suivantes :
l6 sin 20o.sin
.
+
sinc sin (a
40o.sin 60o.sin 80o
-
-
3,
t6 cosz0o.cos40o.cos60o.cos80o : l,
I
-
^:_ îZ&. - a)_= $ln
tgz (50'
9. Simplifier les expressions
:
+ c) sin (a cos(a*b-c)+ sin û sin (r + y) -F cos (n-y) cos (b
sin(æ-y)fcos(n*y)
b)
b)
-
0.
NoITTBRES
aRc.
TRrcoNouÉrnreuns DES sous-MULTIpLES D'uN
+ arc *g * + arc r* à :74, 1,1 arc tï,àp ,l Arc tgi,,-l +L ll. coszæ -Z costr cosa cos (a * n) + cosz (a * est indépendant de n.
lo.
Arc tg
47
à
12. Calculer tg 3a en fonction de sina (a est du
æ)
3u quadrant).
CHAPITRB Y
Nombnes tnigonométr.iques des sous-multiples d'un erc,
S
f.
cAs eÉn ÉRAL.
Représentons un nombre trigonométrique quelconquc de l'arc par la notation générale l((a). 98. Problème.
-
Catculer
les
*\ t" \rn/
sin nombres îC(
du nombre lÇ\a).
o,
fonction
- On pose a, - mb oa *rn - b. On écrit la formule donnant ïLr(a): T(rlttzb) en fonction des TqD. On joint à cette formule Règle.
les cinq formules fondamentales entre les
97,(b). _On a" ainsi un 9I(b), que I'on résoud. Discussion. Il y aura, pour chaqtre )L(b), 2M ou /yt, valeurs réelles et diftrentes. En effet, à un lÇ(a) donné, correspondent les arcs : qr : Zkæ * q. Az:2kæ, { P, p ayant une des trois valeurs : (æ - a), - a. ou (tt * a), suivant que 9(r(a) est sin 0,, cosA ou tga.,.
système ds six équations à six inconnues, les
Donc, b
- #a
pour expressions
:
br-&r.:k'n + 'rnlnrn 0'' b,ernnù'ln - : ltzn +
a
ri
P.
â peut prendre m valeurs différentes pour lesquelles Ô, prend m, valeurs diftrentes ; il suffit de faire successivement : k: nln, nrn + l, nrù * 2r.,. wïù * pr... nmi{ (m - l).
48
coURS DE TRIGoNoMÉInTn.
bL prend les valeurs successives znæ
* rn *,
...ZnT'
:
++rn + rn+,
znæ
Znæ
I
6)2æ o -r|
rn
q.
n'"'
9æ.
d'.
+' 4P2'rn.' **ù""Ztt'æ +(m- t)A+ t
De mème pour
rn
bz. I'n
-::;
Les rn valeurs de b, difièrent chacune de la précédente, de
celles de b, également; la valeur initiale pour b,' est 3 : pour b,. P' 9ryù'rù Or p # a; donc toutes les valeurs sont différentes et sont en nombre 2m. Néanmoins les arcs b, et les arcs brpeuvent être supplémentaires ou égaux et de signes contraires, oo encore diamétralement opposés.
Pour prouver ce point, nous devons prendre un cas particulier
:
Si lLr(a):sina, p:N-o". Les valeurs générales sont alors ô,
:
pfr + #
+
/,y2ç
b,-2næ+' qT I rn r'7rù +*-alu Nous allons voir
bL*b,:Zttæ + Si rn est pair, lz (p puisque
b, +
que dans ceriains cas,
2(p + q) +
(p+t)fi+
+ q) {- L] #
1
bz
:
Zkæ
+
lE.
#.
ne peut pas être égal à
7Ë
n'est pas entier.
Mais si rn est impair, er prenan t p * q : no-l on obtient b, * h, :Zltæ f æ. Or, si deux valeurs particulières sont supplémentaires, elles le seront toutes deux à deux, puisque, pour pt:F retqt:g*t, on aura encore b, + bz f)onc, si I'on donne sina,
il y a pour sin9,Zmvaleurs
difiérentes
si tn est pair, rn valeurs différentes si m est impair. 620 bn + br est toujours différent de Zkæ.
Car l'égalité b,
*
b,
impossible puisque 2 (p
:
2kæ
*
+trq[+ I
lz (p
+
q)
est impair.
+
rJ,#
-
Zktæ
est,
N6MBRES TRrcoNouÉrnreuos DES sous-MULTIpLES D'uN
I)onc, si I'on donne sin a,
pour 30
cos
49
it y a toujours 2m valeurs différentes
A'
*.
br-brpeut b,
,
aRc.
être égal àZkn bz
-
:
Ùkr
+
f
æ.
LZ
(P
-
'rn - Ll:'
q)
Si m est pair, cet arc ne peut pas être égal à
æ.
Sitttestimpair,€[prenantp_8.:ry,b,_b2-2k,nfæ. fr]
b, ont même tangente. Donc, si l'on donne sina, iI y a pour W*,2m valeurs si tn est pair, m valeurs différentes si ra est impair. On examinera de la même façon les cas où I'on Exercice. .donne eosa- ou tga. Si, en même temps que lLr(a), on donne la valeur Remarque. Dans ce cas bt et
1??,
-
particulière au * dont on désire les lignes trigonométriques, une rn seule solution sera admissible.
2.
s 99. Problème I. en fonction de
cAs PART|cu
Calculer les nombres trigonométriques
-
a- cos22:lJzsin'* --- 2 Z
sinfd'
,d'oti
cos a, ,d.'oùr
-
cos
en résulte
:
lL-cosa. :eV-r:' cost-2 2?-
:2-
cosz vvv
? 2
(r)
- I^
l!+""'"' t ' z!-e't V--
tsi:ry-*,Vffi
- A. Réali,té des ra,ci'nes. trouvées sont réelles. valeurs donc les trois I;
Jo DtsCuSSIoN Ar,CÉsRIeUE.
Couns nn TnraoNoxÉrnn.
(z)
.A'
cost
[cos a! (
,Qt otz
cos a.
cos
n
Ll ERS.
(B)
50
couRs DE TRrcoNotuÉrnrn.
B. Sàgnes des ra,cines. Les deux signes conviennent à nombres trigonométriques. C. Grandeur des raci,ne.s. lnl
Donc
lsin#l
t
t .t
< l, I *
Puisque fcos al
-
lt.-#l <
t.
Wl
Pou'
cos
a
des.
{
Z"
toutes tes vateurs
conviennent.
D. Soluti,ons étrangèr"es. Aucune solution étrangère n'a ét6 introduite au cours de la résolution. 20 DtscussloN TRIcoNouÉrnIeuE. Quand on donne cos a, on ne donne pas a.
Les arcs a sont représentés par les formules
At:2kæf a
et Az:Lleæ-d.;
, d' n*Z %:k Z
d'oir
:
-, et
Q', 7. Z:ll,rv-1-
d-
k peut être pair ou impair, ce qui donne les quatre valeurs
(Znn+* -r
:
tZt 2 +:\'nn-2 +':\"'' z lZn-,-tq. z r/,næ,t?i-2.. -T:æ-r q lyr- t.r_! Et par
s
a
ûteu'. a
smz .
srrr
4.,
2
:
.a ,sm .a
sln
.d.
srn
z
t
a
Io! "o2
a
,d t8z
cos ., <)
f
cos
A.,
2:
-cos6)'t
io& "oz -
a COS;
_tg,a
Ét
_tg
a
t
-cos2
z q.
z
II y a donc poLrr chaque nombre deux valeurs égales et de signes contraires.
- Étant a'donnê un atc ' e, - 2kæ * e, les diverses déterminations des arcs f auront leurs 3o DrscussloN oÉonrÉTnleun.
-
Lemme.
extrémités au point Br milieu de a et all point Bz diamêtralement
opposé à Br (flg. 23). i En effet, les diverses déterminations de a s'obtiennent en ajoutant à d. un nombre entier dc circonférences ; donc, les diverses déter-
minations de
i
s'obtiendront en aioutant à
i,""
nombre entier de
NoMBRES TRIGoNoUÉrnIeuEs DES sous-MULTTpLES D'uN
demi-circonférences
; si ce nombre est pair, I'arc !
mité confondue avec celle du
.) *,
donc en Br; si ce
uur^ son extré-
ol-nre
est impair,
ttt
' I'extrémité de
a
sera distante de I'extrémité de
;
férence, c'est-à-dire en P,2. Soit cos a,: ?7t, (fig. 23). Les arcs
Ar et en
aRc. 5l
Az.
i
de Uz circon-
a auront leurs extrémités ?4,
Les arcs
E
en
auront donc leurs
extrémités en Br, Rr, Bs et Bn i Br étant au milieu de OAr, Bu
--t 1l.t I
11
/
a-
'-: I'r^
-
2
Frc.
bx; -r--l rl l'l---J
-*.r.
|
,,4
étant au milieu de OOrAz. Par conséquent 84 sera au milieu de OAr, c'est-à-dire symétrique de Br, et B, B, B, Bo sera un rectangle ; par suite les arcs a" auront deux sinus égaux et de
!
signes contraires, CM, et CMr; deux cosinus égaux et de signes contraires, Cl{, et CNs; deux tan-
23. 4
gentes égales et de signes contraires, OT,
et OTr.
Remarq?,ce. Si I'on donne g en même temps que cosa, une seule solution est admissible. On verra facilement dans quelle série figure I'arc
I "t on prendra h'/
les valeurs correspondantes. Exemple. Calculer les nombres trigonométriques de I'arc
-^-r^--1 g sacnant que rr,
COS
ir==Vr-. n
z
Catczrler les nombres trigonométriques dtT de sina.
100. Problème IL
en fonction
sina-sinzl:zsinfi"ori
(t)
I:sin,fi+cos'T.(2) Additionnons et soustrayons (l) et (2) membre à membre: (rio fi+cos i)'-- I f sina, d'oir sinlf cos l,: e Vl + sina (3) ( a a\2 t . (srnZ-cosZ) - I-slna,
a
smZ
(r
-cosZ:
e'Vl
-
sina (4)
52
couns DE TRrcoNowrÉrnm
Additionnons et soustrayons (3) et (4) membre à membre
sin$:L(. ln
a, t( E: z ['
cos
:
-f;", * VËffi) er
*sinq,-el
et par suite : n..& _ e Vt UEZ:
+ sina * e'\[-
sina
_ \fTdrna :@
-i-
lyf sina I sina
ee'
-
10 DrscussloN
quatre pour
al,cÉsRleun Il y a quatre
"orf;
A. Réalité.
lsinal (
B.
I ; donc,
Signe.s.
-
et deux pour
valeurs
pour
sin$,
tgi
Toutes les valeurs trouvées sont réelles; en effet,
It
sina
>
0.
Les deux signes conviennent
à
des nombres
trigonométriques.
C. Grande?.rr. absolue, stnf, et
-
Pour être admissibles,
"orf,
soient
de ces deux nombres est
:
Élevons les deux membres aLt carré 1
ou
ou encore
+
il faut que, etr valeur
+t-
*
:
Vl - sinza 14 2+2lcosal<4 lcosal < l, cc qui est vérifié.
sina
sin a
2
D. Solutions étrangères. - Aucune solution étrangère n'a été introduite au cours de la résolution. 20 DrscussroN TRrcoNoivrÉrnreun. On don ne sma; on ne donne - par pas e,. Les arcs & sont représentés les formules a
e:\
t zkrfI a--
I
zn** æ - d.
\'À \"1{ d,Où
*: 2
\u"+i
I u*+i -,
a
D'UN ARC. 53
NOMBRES TRIGONOMETRIQUES DES SOUS-MULTIPLES
pouYant être
pair ou impair :
lz"*+i
iln sr:
l(r-- ,' r, +; ,q & lznæ* 2- ) znn{: Y -'-" ' 2 2
- si: iin
.a srDz:
I
a
ht ht
-co -2d.
lznæ+T-z
2
I
le
.l
I cost lu. _ l-cost A'I :1 I
d. I
1S:
2
,4, \92
I
-
lco,1gl
srnz
lco,1si2
2 q.
I
DrscussroN cÉouÉrnreun.
So it SID4
-
.l' E
/
|itr /
D.C i/l/l.z ztl
'--
?7?
:l =
CE
(fig. 24).
/
-'I
|
t,
rJF
Lftt
,l
rlri
Frc.
Ar et Az sont les extrémités
"rr,
/
:
/B 3
q lt-:
extrémités des
q.
smz
I 3o
a
tg: 2
d.
ta
a
2
co OS '- c) ,,
fr3æd.
cost
q
2
?, z
24.
des
arcs
a; Br Be Bs Rl sont les
54
couns DE TRTGoNoMÉTRrE.
Br est le milieu de I'arc géométrique Bs est le milieu de OAr. Donc,
oB,
puisque
ArO'
: : Q*' 222 9g -
et par suite
:
OAr.
: OA, :- OOf OAr, 9& : oP oBa PBu ;
DrB,
:
BsBa
:
-
-
CDr.
il y donc quatre valeurs pour sinf, égales deux à deux et de signes contraires; les mômes quatre valeurs prises dans un autre
ordre, pour
et deux valeurs pour
"orfi, R,emarq2re. Si l'on
donne
pour chaque nombre.
{0t.
Problème
III.
De
tga
tgz
là on tire
:
une seule valeur est admissible
Z,
Calculer tga
d'où
a'
tgl, oT, et OTr.
Wl
en fonction d,e tga.
2wl tgzqz
1- Wrl,
fi+zEl -
tga,
-
0.
,A'
t8
lo DrscussroN L. Réalité.
-
z: -t+rVt+tgra. tga
ar,cÉeRreun.
Les deux racines sont réelles puisque
I+
tg,a.
> 0.
B. S'àgnes. L'une des racines est positive et I'autre négative, puisque leur produit vaut
C. Grand,e?m.
-
tg
- l.
l,o'u
pas de
limite; donc à ce point de vue,
les deux racines conviennent également.
D. Solutions étrangères. En chassant le
t - W'1, nous pouvons
dénominateur
avoir introduit lcs solutions de l'équation
fu'*-l:Q. -o2 A or,
' tg
cc
Z * t
t
t.,
..
. r
a,
n'est pas solution de l'équation qui donne tS Z; donc nous n'avons pas introduit de solutions étrangères.
\A
NoMBRES TRrcoNouÉrnreuEs DES sous-r\[ULTIpLES D'uN
On donne
20 DrscussloN TRIGoNoUÉrnreuE.
pas
ARc,
56
tga. On ne donne
o. Les arcs a, sont représentés- par les formules :
rgi : I 2kæ* a d,où g:\u"'+i d,cù r*g-l t8 2: I n, +T, +îu z: I cots$. I zlzn | * t' Ùu
æ
30 DtscussloN cÉouÉrRleun.
> 0 (fiS. 25).
- Soit tga:r/ù, et par exemple
Soit OT
:
a
tg a. Les extrémités des arcs
sont Ar et Az I donc, les moitiés ont pgur extrémités Br et Br, Bs et 84. Donc
wl=:
orr
et rsl- orr.
B, Bn est perpendiculaire à Br Br; en efiet,
OAr:
OAr
t
+;
circonférence
;
donc Frc.
Remarque.
,a
pour tg
OBr-OBr+lquadrant.
25.
-
Si on
-a donne
;,
une seule valeur est admissible
z
102. Problème IV.
.aa a etc., , e%
i,;, fr
-
Calcu,ler les nombres tri,gonométri,ques de
foncti,on de I'otn des nombres trigonométriques
de a. L'application de la méthode générale conduit à des équations d'un degré supérieur au second, qu'il n'est pas possibld de résoudre par les procédés de I'Algèbre élémentaire.
(a\ en fonction /a\ ' rction des *l; I'on connaît '* )r QUo lZ ) êt en fonction de !X,(a) ; puis les *G) en fonction des *(i), on calculera les 9[
ainsi de suite. 103.
Théorème. Les nombres trigonométri,ques de
d,es foncti,ons
rationnelles d,e tg?,.
a, sont
couns DE
56
TRTGoNoMÉrntn.
Nous connaissons la formule tg a
:
zwg (r)
I
W',l
D'autre part, sina
2'
- z sinficos l,:ztg|ucos=?r:
a,
(zt
#.
Par suite,
sina:-. t - rg'l, [gA r , ,rz9 rtïg z
wùSw.:
(3)"
EXERCICES.
l.
Vérifier fu, égalités suivantes :
tgua-tgQ,:affi. tg}a*séc
,
Za,,:W. cosa-sln4
* cos 44. * cotgza : 2? -1-cos4a sinàa cos 0 a, r + cosza x i + cosa - ts Z tg
;a' ts2c + ts2B tg ;c - l. sin 2A * sin 28 + sin 2C - 4 sin A sin B sin C. cos 4A + cos 48 + cos 4C + I - 4 cos 2A cos 28 cos 2C. tg
3. Calculer sinfr en fonction de tga.
- Discuter.
È
4. Calculer tr, îombres trigonométriques des arcs l5o et 7o3O sachant que sin 30o :
) )
*.
TRANST'ORMATION
5.
DE SOMMES EN PRODUITS.
Calculer les nombres trigonométriques de
tgZa
l6
i
57
sachant que
- Ë.
6. De la déduire
relation
cos a
WlrlD fonction de Wg.
7. Les angJ.es 0 et u vérifiant l'égalité démontrer
la
:
(1 +ecos0)(l-ecoseo) formule :
w,*:-w,1. 8. Démontrer que l'on a : Zarc tg
àf
arc tg
+
: î.
CHAPITR}] YI
TnarnsfoFlnation de sommes en pnoduits. S
I.
TFANSFORMATION EN SOMME D'UN PRODUIT
DE SINUS ET DE COSINUS, 104. Des formules
:
+ b) : sin a, cosb + cos a sinb b): sina cos b - eos a sinb cos (,t * b) : cosa cos b - sina sinô tos (a b):cos(' cosb + sina sinÔ on déduit , : sirr (a * ô) + sin (a - b) Zsina cosô. sin(a +b) siin (a-b): sin(a + b) * sin (b a):2sinb cosa. -cos (a + b) + cos (a - b): Zcosa cosô. cos (a - b) - cos (a + b) : 2 sin a sinb. l. Un doub'le produi,t de cosinus est égat à la sornwùe d,u sin (a sin (a
cosinus de la solnrne et du cosinus de la d,ifférence d,es a,rcs. 2. Un double prod'uàt de sinus est égat ù ta d,ifférence d,u cosinus de la différence et du cosinus d,e ta somme d,es a,rcs.
58
COURS
DE TRIGONOIIIETRIE.
TRANSFORMATTON EN PRODUITS DE SOIYIMES s 2. ET DE DrFrÉnENcEs DE stNUs ET DE costNUs. 105. Si dans les formules précédentes on pose
a*b:P e,--P!q 2
d'où
on trouve : sinp + sing
et a-b:I eu u: et b-P-q2
:2 r6t-8.cos ry
sinp-sing:2sin rycos
+ cosp f cosq : 2cos rycos ry L)
cos
q
-coslo
:2 si"ff
rtoÇ.
l. La sorn?ne de deua s'inus est égate au do,uble produit du
sinus de la
demi,-sorn???,e
par le cosinus de la demi-différence
des a?"cs. 2. La di,fférence de deun sinus est égale e,u double. produi,t du si,nus de la demà-dàfférence par le cosinus de la demi-sornrne des a,rcs. 3. La solnrne de deun cosinus est égale a,u double pt"odui,t d,u cosànus de la demi-sorn'me pa?" le cosinus de la dem'i,différence des a,rcs. 4. La différence de deun cosi??,uE est égale au double produit du si,nus de la demi,-somme per le sinus de la demi-différence des a,rcs (en ayant so'iu, de soustraire le [ut' erc du 2d). 106. Ces règles permettent de transformer des expressions telles que les suivantes :
q) + .i" (] \Â/- ./ /P-a\ cosiit; ' + -E#)'z ) -.-rio(t\; TJ sinp + cos F : sinp {- si" (} \Â/- ô./ : zsin 14 cos (; - p) : Vt cos (î p). sinp
L07. Si nous combinons les formules du no {05 par voie de division, nous rrbtenons :
sinp sinp
* -
2sinrycosry
sin q sin q
2sinÇcosry
sinff rr"ry wry
"*ff
cosry
h,
l1 sinp * sin q _zsin i(P cos P + cos q 2cos àro
* cos çI sinp
sin
+oP-I -o c)
*
q)cosà(P
+ q)cos àro -
q _ 2sinlro +
q)cos
*W
a) q)
- tgLr, + q)
* q)
2sin*o+q)sin|@-q) -
cosp
sinq
,_L
- sinq: cos q
cotg
slnp
,
cots
*fo
-
q)
ffi-tgà(P-q)
sinp
-cosp
^^
I
à(P
+ q)
cO;S{-cOS/0_to.t cos q
+cosp
t
".;(P + q)tsà@ -
q)'
108. Lorsque I'on a à transformer en produit une somme de plus de deux te:nmes, or les groupe par deux. Exemple : sin l\ * sin B + sin C sin (A + B + C) : p.
Y-a*bt.... Yl- al* bl+.... Puis le numérateur et le dénominateur
:
z- a*B*.o..+vY
zt- af* Bt* .... + V7 \ZZ
et on a finalement
^:
zt'
Proeédés partieulieFso ,,12. Soit I'expression
On aura
d,où
X-
H+'
À:ffi
\r a(t*i)
on
pose *:q?
x:=+Ëi:ffi:ffi sin (50" + :ffi:tg(5oc+.9)' ca\
ll3.
* B cosa. on aura X - A (sina + * cosa). on pose * x:a (rioa+*H.oro) d'où cos? / \ e siq (g * ?). : *cos? (sina cosc + cosa sin,.g) \ cos ? Soit I'expression X -= A sin a
64
couRs DE TRTGoNoMÉrnru.
1,r,4.
Soit I'expression X
si lal
-
-
2 sin ?
A
+ sina.
yc cos ?; zz
o.
si lal . ll5. Problème. - Rendre monômes les ra,cines de l'équatian axz * bx * c -- 0, dans taquette x est',un nombre trigonométrique d,'un a?"c inconh%, e,t a, b, c, des rnonôtnes tl"igonomé-
conn'Lcs. +Vb, - Aac ,,: -b -Vm ,>.t _-b w:-r*W
trùques, foncti,ons d'ar'cs
10 bz
-
:ïi
4ae
calcule pas.
:0 : ût : firt Le problème est résolu. - 4:e,c 2a - !. 30 b2 - 4ac Ire MÉrHonn. I. c g). ( : d'abord monôme le binôme R : bz - ac vbz \^, - br) 4ac Posons : pr.risque0 ( #:sinzcs' eû ff .-I; 20 bz
d,où
ï:î:î:;:sre' I
ût--ôtl4costi 2a
et nr- -b
!l
cos ?
2a
! z(L-bcos? : -bftgglr er nn: h e -za b l-cos? "nsing ouencore (nr:-AX ou
ær
lfcosg b fr>:-à b x' ---:-Acos'..â. I[. c
l
_"?
-
posons
bz d'où R: cos2g W:-tgr?; , lbl , lbl *lt --a ' -l par suite : :xt et n": :2at*tl 2a c:oz? *â Q ou ûr: --42acos? cosy et ûz: - 2a cosg-
b
TRANSFORM.ITTION
',ou encore
DE
SOMMES
r
cos?
lYr wl-
-
I
EN PRODUITS.
n-
OD
sin'à
-b4 COSa I
-a ùl w2-
-b.l*cos? :-u"o"t,. 4 COSQI
I
116. 2. MÉrHoDE.
- fii et ntr satisfont aux relations ætfi,
_
9
(r)
A,
fi' + fiit :
-2.a
l. c > 0, Les deux racines doivent être
(2)
de même signe.
çt- r\Ærs?
Posons
(3)
l; nll w ^t --sVàcotgc
d'où
* li (@ç û' + ntt :- eY=o(rg?
(4)
cotgl,: -2 * cotg'ç)
-
a,,
Donc, e - + 1 ou - I suivant que b < 0 ou ô De cette relation on déduit t Æ . 2 :lbl V a, sin 29 a,
ou
sin2'9
-W-
(5)
Les relations (3) (a) et (5) résolvent la question.
ll. c < 0. Les deux racines
seront de signes contraires.
Soit ætt la plus grande en valeur absolue. Posons
ffit
-
fitv:
d'oti
n'+ n'Ït :
f
e
e
lrts?
fgcotgç ,lgcolg? - tgf)
(6) !
(7)
: -1-
Puisque cotg ç b Couns on TnrcoNouÉrnlp.
5
66
couRs DE TRIcoNoMÉrnm.
Cette relation donne
,Va rg2ro a
r /lsl
_o"r tsz?:?Wl.
d'où
.
(8)
lbl
Les relations (6) (7) et (8) résolvent le problème. EXERCICES
I,
Rendre monômes les expressions
I+
sina * sin 3a * singa - sin 5a; ts (a + b + c)- (tg a * tsb * Isc)
;
f cosz b + coszc * 2 cos e, cosb cosc; ts@-b) *tg (b-c)+tg(c -a); sin 32c * cos 26"; sin 70o * cos 40" ; sinza - sinzô ; sinzA - coszb ; sina cos a t sinô cosô; cosza,
sina*sin?a*sin3a. 2.
De la
formule sinr * siny -
sinæ siny
déduire (*r7-sinry)'-1. 3. Prouver que I'on a, quel que soit fi
,(*+ +) ar/ * \ / *cos (*
sin
(n \
:
**) - o' '
3)
o-\
-\2
1
4æ\ / *î ) f cos(* + .r/) :Q. ù/ \ \ " 4. Sachant que A + B + C - 200", rendre monômes les expressions sinA f sinB * sinC; cosæ
tgA+tsB+tsC;
sinzA+sinzB-sinzC; cotg
ào
*
cotgàu
*
cotglc.
TRANSFORMATION
DE
SO]VIMES
EN PRODUITS.
5. Sachant que A+B+C-100", démontrer la formtrle tgA tgB + tgB tg0 + tgC tgA: I
67
;
rendre monôme
cosA+cosB+cos0. 6. Rendre monôme I'expression g'- A cos (rf J- o) + B sin (r/ dans laquelle
t
est
+
p)
la seule variable.
7. Rendre monôme I'expression
Vt+a-Vt-o VI+alIt-a dans laquelle
8. Étant
Q,
donnée
rendre monômes
:
-:
011234.
une suite d'arcs en progression arithmétique,
la somme des sinus, la sornme des cosinus, la somme des carrés des sinus, la sotnme des carrés des cosinus.
LIVRE II EQUATTONS TRrcOrrOtU ÉTRTQUES
CflAPITRD PREMINR
Tables tniEonométniques et loganithmiques. coNsTRucTloN DEs TABLES. s t. On appelle table trùgonométrique l,ll . Déffnitlon.
un
tableau donnant les nombres trigonométriques des arcs. Ceux-ci y fi.gurent mesurés en degrés ou en grades. Dans les calculs courants on ne se sert pas de tables trigonométriques; on emploie ptutôt des tables de logat"'i,thmes, qui donnent, en regard des arcs, les logarithmes de leurs nombres trigonométriques. IJne table de logarithmes trigonométriques se construit à I'aide d'une table trigonométrique et d'une table de logarithmes pour les noinbres. Nous allons exposer la construction d'une table trigonométriQuer dans laquelle les arcs sont exprimés en grades. La construction des tables repose sLrr les théorèmes suivants :
ll8.
I. - [In a,rc a cornpris entre 0 et f, entre son sirrus et sa, tangente. Théorème
r
Soit OA
-
(L (fiS
est
compris
. 26).
I{ous pouvons écrire les inégalités surf .
triangle
CAO
sect. CAO Passant aux aires
:
11l ;CO.BA <:CO.OA <:CO.OT
Frc.
26.
l{9. Théorème II. lorsque
a, a,
zzz BA
, sina tt-,tga ont pou?" limi,te I ff T
Les ?"epports
pour limi,te 0.
69
TÀBLES TnrcoNouÉtnreuns DT LoGARITHMIQUES.
Remarquons d'abord que ces deux rapports sont indépendants du signe de a lorsqu e lal
Le théorème
I
ai; il suffit donc d'examiner
donne
sina
or, sina > 0;
le cas où a > 0.
ht
(
a {tga;
donc,
!
On sait que
l>tilo>cosa. a, : I.
Or, une variable qui est constamment comprise entre une constante
et une autre variable qui a cette constante pour limite, a la même limite.
a\I r. ----" lim(/sin
Donc,
) sina. a, . I tga wl
De même, puisque tg a
\ a ,/o*o
:1.
0,
t -tga r ou cosa>î lim f+=) : t; e,/ o_.0
or,
\cos
lim/l'ff\ a
donc,
./o*o -1. d,i,fférence entre u,n
e.q.f.d.
\
120. Théorème
III. La
arc
(O
\,
a
"
et son sinus est moindre q.ue le quart du cube de I'a,rc,
0< a-sina aT-
C'est-à-dire sina
-
zsinf,cos
or, d'où
l:
rsl> i sinz
I
donc,
-
ztei('-
\
Donc, ou
z4f;cos,l,:
sin
a)
a,
sinz
ztei(r-
et sinfi < i.i i, r-l-
si',fi) > zi(,
- l, 0< a,.
9,
- i)
d'ailleurs sina
sinz
si na, ! I
1a;
?),
a î)
70
couRs DE TRrçoNoiuÉrnrn.
a
Corollaire.
est une valeur approchée par excès de
une erreur moindre que
sin a,, avec
l.
t21,. On établit, dans le cours d'Analyse, le développement de
en Lrne série, fonction de n:
sinr ,L_L_L_
sin;r
nu +{-{ + ... -n1-t3-rE-Tï
Nous venons, pâr un procédé de fortune, d'obtenir deux valeurs : u 'et (f æ æ3\) upptochées de sinæ ; seulement, la seconde valeur
\ -7 +/
n'appartient pas au développement de sinff. I{ous allons démontrer, toujours par un procédé de fortune, que I'on a également les relations
+Bsina fi+Bzsins D'où, remplaçant les sinus par les arcs :
r'
: [(i)' +'(#)' +
ou bien
"(#)'
+
+ sn-'(#)']
+
{- (*')"-'] r' : (i)'[' * ] + (#)' +(])' et B, sin &- 4Z' ( sin æ { B'sin #" a g- # ou æ.
TABLES TRrcoNonrÉrnreuns ET LocaRrrHMreuES
.
7I
Faisons croître n sans limite. Le ler membre est une différence de .deux termes ayant chacun une limite :
/ \-
sir
gn. æ\ : lim (r **rin $) tr \* "n *) "t'"/n*a
M-,-r\ lim "* (B',srn ,r?? /
tLu wntim
- fr i -o T I'_n
r- I /r\z+ ... + rl\ n,-tl
lim l-r + + L vô
(r, \v/ )**_:,-T J, r_o
[r, \v/
fi
s"
Ë.
Donc, ce I"" mernbre a une limite, égale à la différence des limites 'de ses 2 termes; or, cette limite ne saurait être sinæ,car la différence
>t- > croît avec rL. on a ennn
:
æ
ou I22. Théorème
I
est
- 4(i)' $ .
IV.
sinr
y-f r E\
I
Les cas'inus d'u,n a'rc cornpris entre A et
tui,-même cornvris entî e r
Nous saYons
( û,
-T et I - I *#.
que cosa-_l-Zsint*; Z'
et en vertu du théorème
précédent
:
a, I (a\t
z- 4\z) rc -ot\' \Z-gz)
D'où
a, -a
\v^s z \
Q'*t-Æ 1- TT i6-@ 4z ou enfin r - .T
4
.et
n2
'€. -L Corollair
&2 - 1 est une valeur approchée par défaut 6a .coso, aYec une erreur moindre que 16'
tLg. Le dêveloppement de cos
û
cos
-g -{
rr en série, fonc[ion de fr,
*ry!
de
est
-gu
Les premières valeurs approchées de coser sont donc rationnellement
?Jo:û, ' t,c\:l-E' 2rr:l- gz =-[g-1,
ocz:l-É*?+t. ,E
72
couns DE TRIGoNoUÉtnln.
On démontrera les inégalités
t 4
-{V (\'v'\rvvvn
par le procédé utilisé au no ,,22 qui précède, en employant les. valeurs approchées de sin r trouvées au no 1,21,, au lieu de celles" trouvées au no 1.20. 124, Caleul des nornbres trigonométriques de 26 en 26 secondes eentéslmales.
Yoici comment, en se hasant sur ces théorèmes on peut établir les tables trigonométriques. IrTous avons établi précédemment les formules de Simpson, qui permettent de calculer les sinus et cosinus d'arcs en progression arithmétique, connaissant le sinus et le cosinus de I'arc raison. Si nous prenons cette raison suffisamment petite, les corollaires. des théorèmes III et IV nous donnent des valeurs approchées du sinus et du cosinus de cette raison ; supposons que la raison' choisie soit I'arc 0o,0025 ou 25tt. Nous avons trouvé (Introduction, S 4) pour mesure en radians de cet arc q
0.00003 92699 08169 8724L 548... Si nous adoptons cette valeur pour sinus Zl",l'erreur comrûise par"
excèssera
-
lr 4\3 oumc' 16 €<*.(o'oooo4)B '4 - 4 oua(m/
o< q-sinaa#r.
Donc
(l)
Si à la valeur a, longueur exacie de I'arc 0o,0025, nous substituons' la valeur approchée er
:0,00003 92699 0816
nous commettons une nouvelle erreur, par défaut cette fois,
Jg I0l5-
rl,li#,{r.:. :#.,i
Des conditions
à membr.
qt
:
w
*r
lOrb
(l) et (2) nous déduisons, en soustrayant membre' d,-sina sinz
-
( **-#
ou
#
dr
excès par défaut, est donc I €r:lo,-sinal
L'erueur définitive, par
TaBLES TnlcoNouÉrnreuns ET
rocaRrruMreuns.
Si nous prenons pour cos a. la valeur approchée L est par défaut
-*
7g
l'emeur
f _ C_) . oo .- (0,00004)1 f6 cos"-(t ou z) \ 16 rg*. -1uSeulement, au nombre p : L -l nous devons substituer un
nombre décimal limité 9,.
En prenant les 2I premières décimales de a nous pourrons calculer a,2 par défaut à moins dc
d'ou 9r par excès à moins de U#.
#
On obtient, tous calculs faits d12
:0,00000
9, :
:
0001
5
42L25 686
0,99999 9999228937 L57
avec les conditions
lq -P l0* t _\2 a a\z 456. Pt-P
0<
cos
7.-Q z \
ZJgm
d'où
1gn;
cos F, < #. #
et
P,
-
cosa
( #*.
:
L'eI.reurdéfinitive,pardéfautouparexcès,estdonc
€z: lp,-cosel( UjO. Pour le calcul des sinus et cosinus de 251t en 25", les formules de Simpson sont mises sous uno forme plus pratique : sin (m + l)A - 2 sinraA cosA - sin (ra - l)4, cos (m + t)A ?cos mA, cos A cos (ttt, I)A.
-
-
-
!'aisons A - 2511. Nous avons vu que la valeur approchée adoptée pour cos2Stt est
d'où
l-{. 2', 2cosA-2*d.72:2-K; K - 0,00000 00015 42125 686.
Les formules deviennent sin (m * t)25" - 2 sinm2511- sin (m - l)25" - K sinrn2blt cos (m * l)25lt - ?cos m26'\ cos (ttt, l)25tt- K cos rn?É\r
-
-
74
DE TRIGONOMETRIE.
COURS
ou
:
et
sin (rz sin m251\
+ 1)25\1'- sinm25\1
sin (m
-
l) 25\1
-
-
K sinm25\1
(3)
+ 1) 25\' - cos m25\l : cos m25" cos (m 1)251\ K cos m25'\ cos (m
(4)
Les formules (3) et (4) donnent les difiérences successives des sinus et cosinus de 25 en 25 secondes centésimales. On ??e calcule
En effet,
pas au delù de 50 grades. sin (50c + A) : cos (50" -,.A)
A) : sin (50" A). L'emploi répété des formules de Simpson accumule les erreurs ; aussi calcule-t-on directen-rent les sinus et cosinus des arcs de
+
cos (50"
5c en 5":
---
tti coszo"-Vto+zVb et sin2o":V5, I, d'où sin I0" et cos l0', puis sin 5" et cos 5"; vv
v'r'-v
)
4
4
sin (50" -et20"), puis
sin 30"
d'où
sin 15"
et cos 15",
sin 40"
sin 35o
-
sin (2
x
cos 35";
20').
Pour les tangentes on se sert de la formule tgA -o --
- *"+. cosA
t25. Caleul des logarithrnes des nornbres trigotlor métrlques. Pour établir la table des logarithmes des nombres trigonométriques, on peut calculer ces logarithmes par la lormule de Koralek : log (a
* n):log a*m,
dans laquelle a est le nombre formé par les quatre premiers chiffres à gauche du nombre (& + n) ; a > 103 et n { l;
le
module M -
- 0,43429 448L9 0325L 82765.... log tgA : log sinA - log cosA. : log cosA log cotgA - log sinA. Pour les arcs supérieurs à I00", on fait la réduction au log e
1""
quadrant.
il existe à la bibliothèque de I'Observatoire de Paris des tables inédites et manuscrites dues à Prony, donnant les logarithmes des nombres trigonométriques avec 14 décimales. Remarque. En pratique, I'Analyse infinitésimale met d'autres moyens à la disposition du calculateur pour l'établissement d'une table logarithmique.
TÀBLES TRIGONOMETRIQUES ET LOGARITHMIQUES.
s 2.
etle
ID
DISPOStTtON DES TABLES.
1,26. Tables cle Bouvart et Ratinet, Ces tables sont celles adoptées pour I'examen d'entrée à l'École militaire. C'est une reproductioq, sous un format plus pratique, des Tables du Service géographiqr-re cle I'armée f rançaise, lesquelles sont une réduction des Tables de Prony. Elles donnent avec cinq décimales les logarithmes des nombres trigonométriques des arcs du I"" quadrant de minute en minute centésirnale (centigrade). Pour trouver les logarithmes des nombres trigonométriques d'arcs compris entre 0 et 50 grades, or prend les grades au haut des pages, les minutes dans la première colonne de gauche, et les logarithmes des sinus, tangentes, cotangentes et cosinus, respectivement dans les colonnes marqltées en haut.'Sin., Tang., Cotg. et Cos. Ainsi I'on a: Iog sin 34c,67 l,7l4gg
log cotg 34,67 log cos 34c,57 tog
tg
34.,67
1,78225 0,2L775 1,932L4.
La caractéristique et le premier chiflre de reproduits que de lOt en l0'.
la mantisse ne sont
Pour trouver les logarithmes des nombres trigonométriques d'arcs compris entre 50" et 100o, on prend les grades au bas des pages, les minutes dans la colonne de droite et les logarithmes des sinus, tangentes, cotangentes et cosinus, dans les colonnes marquées en bas.' Sin., Tang., Cotg. et Cos. Ainsi I'on a: log sin 72",24 : t,95ZBg log tg 72",24 0,8g164 log cotg 72",24 : t,OOggO log cos 72",24 : T ,6}b6g. Les colonnes marquées D donnent les différences qui existent entre deux logat'ithmes consécutifs; it y a une colonne D pour les logsin et une pour les logcos ; pour les logtg et les logcotg la colonne D est commune et marquée D.C. En efiet, de la formule tgA cotgA : I on déduit log tgA * log cotgA : 0. Donc, si A augmente de I centigrade, log tg A augmente de D et log cotg A diminue de D. De même log sin A * log coséc A : 0 log cos A + log sécA : 0. Les tables ne contiennent pas les log séc ni les log coséc.
76
couRs DE rRrcoNoMÉTRrE.
Remarque. - Il convient de faire observer que les logarithmes du sinus et de la tangente augmentent avec I'arc; I'inverse a lieu pour les logarithmes du cosinus et de la cotangente
En marge se trouvent des tableaux donnant les neuf premiers multiples de chaque différence D. S
3. - FMPLOI DES TABLES.
f. fnterpolation linéalre. 127. Pour trouver les logarithmes des nombres trigonométriques des arcs qui comportent une fraction de minute, oD admet le principe
suivant
f
:
Les di,fférences entre les logarithmes sont proportionnelles a,ut différences entre les &?'cs. Soit un arc lL + h, A étant un nombre entier de minutes, et nombre quelconque compris entre 0 et l. Soit à calculer log sin (A On trouve dans
log sinA
- E
la
la un
+ h).
table
et
D
-
llog sin(A
+ l) -
log sinA]
105.
En vertu du principe énoncé ci-dessus, on aura: lossin(a
n
*lz)-E+#'
étant calculé par Ia proportion
i:?t
h.D lossin(a+h)-E+fr;' Ce principe est inexact. En effet, soient L- h, A et lL + h, trois
d'où arcs.
En vertu du principe de la proportionnalité on a:
: A+h-L :zr
log sin (A + h) - log sin A log sin (A + h) log sin (A h) , ^.- sin (A + h) rosË I ouencore [sin(A
re:Z rosffi
+ h)1, sin(a +h)
Lffi:@
TABLES TRIGONOMETRIQUES ET
sin (A
+
h) sin (A
sinzA coszh
-
-
LOGARITHMIQUES, 77
h)
: sinzA : sinzA
sinzâ coszA
et flnalement, en remplaçant les cosinus en fonction des sinus sinzA
* gi12h:
:
sinzA,
ce qui est faux, à moins que la soit nul.
Si I'on représente (fig. 27) la courbe y : log sinX, I'application du principe de la proportionnalité revient à remplacer, entre les valeurs Xl A et Xz: À + l', la courbe par une droite.
-
On commet donc de ce
fait une erreur sur roà.
X
log sin (A
+ h).
L'opération de calcul qtri consiste à déterminer la valeur numérique d'une fonction F(X) pour une valeur X 2 ' comprise entre deux valeurs X, et X, suffirA samment rapprochées et pour lesquelles ___) on connaît les valeurs numériques F(Xt) N I et ts(Xr), constitue ce qu'on appelle une àntet"polation, Le procédé d'interpolation adopté pour les calculs de logarithmes est appelé interpolatian linéa'ire, I
précisérnent parce que ce procédé revient à remplacer la courbc A : log 9T(X) par une droite entre les
points Mr et
M2.
I[. Procédô des petits ûr€so t28. pour les arcs voisins de 0, les différences tabulaires pour les logarithmes des sinus et des tangentes sont très grandes et très variables d'un intervalle au suivant. La corde MrM, est presque parallèle à I'axe A ; par suite, I'erreur commise en prenant le point D au lieu du point C affecte les logarithmes jusque dans la troisième décimale.
abandonner le procédé d'interpolation linéaire. (r'oir Note I, annexe) que ce dernier procédé peut êire démontre On conservé jusque I",05 pour les logarithmes des sinus, jusque Ic,07 pour les logarithmes des tangentes. Sans raison plausible on abandonne cependant ce procédé à partir de 3c,0O. En deçà de 3c,00 on interpole de la manière suivante.
il faut donc
78
couRs DE TRrcoNonfÉrnln.
Soit A la mesure de I'arc en centigrades.
sina-sinaa-s^.a AA---
d'où
log sin A
-t'o log So -F log A. tgA:ïA-To.À log tg A : log To * log A. À
De mêrne,
d'où
l2g. Remarque f. - Lorsque A augmente, log S diminue et log T augmente. Log S et log T sont donnés avec 6 décimales ; de 0 à 8", ils ont les trois premiers chiffres communs : 4,19. En effet, si a, est la mesure de A en radians, Pour oc :
_ n .sinA. S:siilA:a.sinA A a a' 2oooo a lim s,-.
et
o
: #'
rim
(Y)
lim logSo--0- log limso*0: logri
a_+
o: 20frô
IogZ- 4 - +,tg6tZ.
g.tga- - r .lgê Demême 1.,:194A A a, 20000 a,
d'ot\ ou
æ- -20000 /n_.0 *o : lim log Sr.* o : 4 ,lg6LZ.
rimTo.*o: *.lim --*\fې) 20000 & lim log
Pour s grades
:
log S
logll -
T
o
s
sin3c
-
log sin 3"
logag 3c -
m-' lcrg
800
log300
:
4,l gbg6, 4,19644.
Ces chiffres oommuns 4,19 ont êté placés dans la table, en haut des colonnes des log S et log T ; Ies quatre chiffres variables seuls
figurent en regard des centigrades. Les logA se calculent à I'aide de la table des logarithmes des nombres de 103 à 101. 130. Remarque IL - I{ous avons dit que log S diminue lorsque A augmente ; il en résulte Quê, pour calculer log Se+h, on prendra dans la table log S^ *, auquel on ajoutera le terme correctif (1 h)D,
ËleIIappelantDlladifférencetabulaire;celle-cir'aut O ou 0.1 ; donc, si Dr : 0, logS^r+h : logsa : lOgSe+r i I si Dr : 0.1 log Sa* h -log Sr*, * ;3. 106
79
CALCULS LOGARITHMIQUES.
Log T, au contraire, augmente avec A ; par conséquent, pour calculer logT..*z on prendra dans la table logTo auquel on ajoutera " ^ hD' I on constate que D, vaut 0, 0.1 ou 0.2. le terme correctif
ït
CHAPITBE
II
Galculs loganithmiques. S
|
.
nÈe
LEs DE cALcu L.
AppRoxt MATtoNs.
I. Interpolation linéalre. A. Caleul des logarithrn€so l3f . Problème f. - Déternt'i,net" l'appronimation que I'on peut attei,nd,t"e d,ans le calcul de log %(L + h) en apptiquant Ie principe de la proporti,onnalité. (A : nombt"e entier de centigrades; 0 < h D'une étude trop étendue pour trouver sa place ici, mais que I'on trouvera annexée à Ia fin de cet ouvrage, il résulte qu'en se servant des tables à cinq décimales, on peut toujo't/,?"s obtenir log fL6 + h) r -lre avec une erreur moinr' que si I'on a soin de suivre les règles
fr,
énoncées ci-dessous.
|BègIe pour calculer log sin (A + h).
3",00
et
A+lf<100",00.
lo On prend dans la table log sinA Er.; diff. tab.: p; 20 On forme le produit lt.D au moyen des tables de parties proportionnelles 30 On 40
la
;
fait la somme Er*H;
Si la partie décirnale qui suit le 5e chiffre est : a) inférieure ou égale à r (t), otr la supprime ; p) comprise en 6 et 0.5, on la rernplace par 0.5 ; y) égale ou supérieure à 0.5, or Ia supprime et on ajoute
