Elementos de Análise Real - Bartle

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Robert G.

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Professor de Matemática Uníversity of lllinois Urbana- Champaign

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TRADU CÃO •

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Alfredo A. de Farias

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Professor do Instituto de Ciências Exatas UFMG

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EDITORA CAMPUS LTDA.

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Do origina! The Elements of Real Analysís, 2~ Edição .

Robert G. Bartle Copyright © 1964, 1976, by John Wiley & Sons, Inc. Todos os direitos reservados. Tradução autorizada da edição em idioma inglês pu b \i cada por 1olm Wiley & Sons, Inc .

© 1983, Editora Campus Ltda. Todos os direitos para a língua portuguesa reservados e protegidos pela Lei 5988 de 14/12/1973. Nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzída ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrônicos, mecânícos, fotográficos, gravação ou quaisquer outros . Capa

Otávio Studart

Diagramação, composição, paginação e revísão

Editora Campus Ltda. Rua Japeri 35 Rio Comprído Tel.:284 8443 PABX 20261 Rio de Janeiro RJ Brasil End. Telegráfico: CAMPUSRIO

ISBN 85-7001-113-X (Edição oliginal: ISBN 0-471-05464-X, John Wiley & Sons, Inc., New York.) Ficha Catatográfica CJP,Brasil. Catalogação-na-fonte Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ. B295e

Bartle, Robert G., 1927-

Elementos de análise real/ Robert G. Bartle ; tradução de Alfredo A. de Farias. -Rio de Janeiro :Campus, 1983.

Tradução de : The Elements of real analysis.

Bibl íografia ISBN 85-7001-113-X

1. Análises matemáticas 2. Cálculo 3. Funções de variáveis reaís. I. Título

82-0733

CDD- 515 CDU- 517 517.51

Aos meus parentes

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SUMARIO

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INTRODUÇÃO. UM ESBOÇO DA TEORIA DOS CONJUNTOS

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L A Álgebra dos Conjuntos, 16 Igualdade de conjuntos, interseção, união, produto cartesiano 2. Funções, 24 Representação tabular, transformações, restríções e extensões, composição, funções injetiva e inversa, funções sobrejetiva e bijetiva, imagens direta e inversa 3. Conjuntos Finito e Infinito, 33 Conjuntos finitos, numeráveis e não-numeráveis, a inumerabilidade deR e/

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CAPÍTULO 1. OS NúMEROS REAIS 4. As Propriedades Algébricas de R,38 Propriedades de corpo de R, irracionalidade de -/2 5 _ Propriedades de Ordem de R, 4 2 Propriedades de ordem, valor absoluto 6. A Propriedade de Comp1eteza de R.47 Supremos e ínfimos, propriedade arquimediana, a existência de .J2 7. Cortes, Intervalos e o Conjunto de Cantor~ 54 Propriedade do corte, ceias e intervalos, propriedades das celas encaixantes, o conjunto de Cantor, modelo para R CAPÍTULO 2. A TOPOLOGIA DOS ESPAÇOS CARTESIANOS

8. Espaços Vetoriais e Cartesianos, 59 Espaços vetoriais, espaços com produto interno, espaços normados, a desigualdade de Schwarz, o espaço cartesiano RP 9. Conjuntos Abertos e Conjuntos Fechados, 68 Conjuntos abertos> conjuntos fechados, vizinhanças 10. Celas Encaixantes e o Teorema de Bo1zano-Weierstrass, 73 O teorema das celas encaixantes, pontos de acumulação, o teorema de Bolzano-Weíerstrass 11. O Teorema de Heine·Borel, 77 Capacidade, o teorema de Heine+Borel, o teorema da interseção de Cantor, o teorema da cobertura de Lebesgue

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12. Conjuntos Conexos,84 A conexidade de íntervalos em R, conjuntos abertos poiigonalmente conexos são conexos, conjuntos conexos em S. são intervalos 13. O Sistema dos Números Complexos, 88 Definição e propriedades elementares

CAPITULO 3. CONVERGJ!NCIA 14. Introdução às Seqüências, 92

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Convergência, unicidade do limíte, exemplos Subseqüências e Combinações. 99 Subseqüências, combinações algébricas de seqüências Dois Critérios para Convergência, 104 Teorema da convergéncia monotõnica, o teorema de Bolzano-Weierstrass, seqüências de Cauchy, o critério de Cauchy Seqüências de Funções, 112 Convergência, convergência uniforme, a norma uniforrri.e, critério de Cauchy-para convergência uniforme O Limite Superior, 121 Umite superior e limite inferior de uma seqüência em R, seqüências não-limitadas, limites infinitos Outros Tópicos, 125 Ordem de grandeza, somação de Cesàro, seqüências duplas, lirrútes iterados

CAPÍTULO 4· FUNÇÕES CONTÍNUAS 20. Propriedades locais das Funções Contínuas, 132 Continuidade em um ponto e em um conjunto, o critério de descontinuidade, combinações de funções 21. Funções Lineares, 141 Funções lineares, representação matricial, a norma 22. Propriedades Globais das Funções Contínuas,144 Teorema da continuidade global, preservação da compacidade, preservação da conexão, teorema da continuidade da função inversa, funções contínuas limitadas 23. Continuidade Uniforme e Pontos Fixos, 151 Continuidade uniforme, condição de Lipschitz, teorema do ponto fi. xo para contrações, teorema de ponto fixo de Brower 24. Seqüências de Funções Contínuas, 156 Permuta de limite e continuidade, aproximação por funções escada e por funções parcialmente lineares, polinômios de Bersntein, teoremas de aproximação de Bernstein e Weierstrass 25. Limites de Funções, 164 Limites restritos e não-restritos, lirrúte inferior restrito e não-restrito, semícontinuidade 26. Outros Resultados, 171 Teoremas de aproximação de Stone e de Stone-Weierstrass, teorema

da aproximação polinomíal> teorema da extensão de de Arzelà-Ascoli

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CAPÍTULO 5. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 27. O Teorema do Valor Médío,180 A derivada, teorema do máximo interior, teorema de Rolle, teorema do valor médio 28. Outras Aplicações do Teorema do Valor Médio,l86 Aplicações, regras de l'Hôpital, permuta de limite e derivada, teore· ma de Taylor 29. A Integral de Ríemann·Stieltjes, 196 Somas e integral de Rlemann-Stieltjes, critério de integrabilidade de Cauchy, propriedades da integral, íntegração por partes, modificação da integral 30. Existência da Integral, 205 Critério de integrabílídade de Riemann, integrabilídade das funções contínuas, teoremas do valor médio. teorema da diferenciação, teo· rema fundamentai do cálculo integral, teorema da mudança de variável 3 L Outras Propriedades da Integral, 221 Pennuta de limite e integral, teorema da convergência ll:m.ítada, teorema da convergência monotônica, forma integral do resto, integrais que dependem de um parâmetro, fórmula de Leibniz, teorema da · permuta, teorema da representação de Riesz 32. Integrais Impróprias e Infinitas. 236 Integrais impróprias de funções não-limitadas, integrais infinitas, critério de Cauchy, critério da comparação, critério limite da comparação, critério de Dirichlet, convergência absoluta 33. Convergência Uniforme e Integrais Infinitas, 245 Critério de Cauchy para a convergência uniforme, o teste-M de Weierstrass, o teste de Dirichlet~ integrais infinitas que dependem de um par.âmetro, teorema da convergência dominada, integrais infinitas · iteradas CAPÍTULO 6. SÉRIES INFlNITAS 34. Convergência de Séries Infinitas, 262 Convergência de séries, critério de Cauchy, convergência absoluta, teorema de reagru pamen to . 35. Testes de Convergência Absoluta, 268 Teste da comparação, teste limite da comparação, teste da raiz, teste da razão, teste de Raabe, teste da in tegra1 36. Outros Resultados sobre Séries,278 Lema de Abel, teste de DirichJet, teste de Abel, teste das séries alternadas, séries duplas, multiplicação de Cauchy 37. Séries de Funções, 286 Convergência absoluta e uníforme, critério de Cauchy, o teste-M de Weierstrass, o critério de Dírichlet, critério de Abel, séries de potên-

c ias, teorema de Cauchy-Hadamard, teorema da diferenciação, teorema da unicidade, teorema da multiplicação, teorema de Bemstein, teorema de Abel,. teorema da Tauber 38. Séries de Fourier, 298 Desigualdade de Bessel, lema de Riemann-Lebesgue, teorema da convergência pontual, teorema da convergência uniforme, teorema da convergência em norma, igualdade de Parseval, teorema de Fejér, teorema da aproximação de Weierstrass '

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CAPÍTULO 7. DIFERENCIAÇÃO EM RP 39. A derivada em RP, 314 Derivadas parciais, derivadas direcionais, a derivada de f: RP

o jacobíano

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40. A Regra da Cadeia e os Teoremas de Valor Médio, 324 Regra da cadeia, teorema do valor médio, permuta da ordem de diferenciação, derivada de ordem superior, teorema de Taylor 41. Teoremas de Aplicação e Funções fmplícitas, 337 Classe C 1 , lema da aproximação, teorema da aplicação injetiva, teo· rema da aplicação sobrejetiva, teorema da aplicação aberta, teorema da inversão, teorema da função implícita, teorema da parametrização, teorema do posto 42. Problemas de Extremo, 355 Extremos relativos, teste da derivada segunda, problemas de extremos com vínculos, teorema de Lagrange, vínculos de desigualdade CAPÍTULO 8. INTEGRAÇÃO EM .RP 43. A Integral em RP, 369 Conteúdo zero, somas de Riemann e a integral, teste de Cauchy, propriedades ela integral, te ore ma da in tegrabílidade 44. Conteúdo e a Integral,377 Conjuntos com conteúdo, caracterização da função conteúdo, outras propriedades da integral, teorema do valor médio, integrais iteradas 45. Transformações de Conjuntos e Integrais,390 Imagens de conjuntos com conteúdo por aplicações C 1 , transformações por aplicações lineares, transformações por aplicações não· lineares, teorema do jacobiano, teorema da mudança de variáveis, coordenadas polares e esféricas, forma forte do teorema da mudança de variáveis REFERÊNCIAS, 407 SUGESTÓES PARA EXERCÍClOS SELECIONADOS,409 ÍNDICE ANALfTICO, 423

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PREFÁCIO

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Até algum tempo atrás, exigia-se do estudante de matemática a técnica na resolução de problemas e no manejo do cálculo, sem, entretanto, se dar ênfase a "sutilezas teóricas" tais como convergência uniforme e continuidades uniforme. Pressupunha-se a aplicação do teorema da função hnplícita sem o conhecimento de suas hipóteses básicas. Essa situação se modificou~ hoje considera-se indispensável que todo estudante de matemática - seja ele um futuro matemático ou um técnico em computação, ou físico, ou engenheíro, ou eco· nomista - assimile o aspecto teórico fundamental do assunto, de modo a compreender não só o alcance, como as limitações da teoria geral. Este Hvro. é o resultado de minha experiência no ensino de análise real na Universidade de Illinois desde 1955. Minhas turmas variaram de calouros excepcionalmente bem preparados a estudantes de pós-graduação. A maioría deles não era constituída de bacha· réis em matemática, mas havia estudado pelo menos três semestres de cálculo, inclusive derivadas parciais, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e séries infinitas. A fim de pre· parar o terreno para o presente curso, em que se demonstram teoremas de caráter analíti· co, seria conveniente que todo estudante tivesse cursado um semestre de álgebra linear ou álgebra moderna. Como; entretanto, isto nem sempre ocorre, resolvi preceder o estudo da análise por algumas demonstrações algébricas. Nesta edição, as propriedades algébricas e de ordem do sistema de n~meros reais são introduzjdas de maneira mais simples do que na primeira edição. Introduzem-se, além disso, na seção 8, as definições de espaço vetorial e espaço normado -de aplicação freqüen· te na matemática moderna. Por outro lado, diversas seções foram reduzidas, de forma não só a tornar o livro mais acessível, como para permitir maior flexibilidade em sua utilização como livro-texto. Muitos exercícios e projetos novos foram íncluídos, muito embora não nos tenhamos afastado do nível de sofisticação da primeira edição. Na primeíra seção fo· raro feitas apenas modificações de pequena monta. Quanto à diferenciação e à integração em Jl.P; entretanto, a experíência mostrou que seu estudo ficou demasiadamente abreviado na primeira edição. Assim é que, nesta edição, resolvi condensar a teoria das funções de uma variável em um único capítulo, desenvolvendo consideravelmente o tratamento das funções de várias variáveis. Nas seções 1 a 3 introduzimos a terminologia e a notação da teoria dos conjuntos empregadas subseqüentemente, bem como alguns conceitos básicos. É preciso notar, en· tretanto, que essas seções não constituem uma apresentação sistemática da teoria dos conjuntos (apresentação, de resto, desnecessária nesta altura dos acontecimentos). Essas seções devem ser estudadas rapidamente, para consulta posterior, quando necessário. O tex· to começa efetivamente na seção 4; a seção 6 introduz a "análise''. É possível estudar em um semestre as seções 4 a 12, 14 a 17 > 20 a 24.1 e a maior parte de 27 a 31. O professor poderá introduzir alguns outros tópicos (tais como séries) em troca da redução (ou mes-

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mo omissão) de resultados que não são essenciais para o estudo ulterior. Como o livro, em sua totalidade, contém maís tópicos do que os que poderiam ser normalmente estudados em um ano, o professor provavelmente limítará a discussão de algumas seções. É, entretanto, conveniente que o estudante disponha desse material adicional para referência futura. A maioria dos tópicos abordados em cursos de "cálculo avançado" é tratada aqui; a principal exceção são as integrais curvilínea.'> e de superfícies e o teorema de Stokes; este assunto foi excluído porque um estudo intuitivo pertence mais propriamente aos cursos de cálculo, ao passo que o estudo rigoroso exigíria discussão bastante extensa para atender a sua finalidade. O díagrama abaixo indica a dependência lógica das diversas seções do livro. Uma linha cheia indica dependência direta da seção precedente; uma linha tracejada indica dependência mais fraca. Todas as definíções, teoremas, corolários, lemas são nUlnerados de acordo com o número da seção. Sempre que apropriado, associei nomes aos teoremas mais írnportantes. As demonstrações são iníciadas pela palavra "DEMONSTRAÇÃO" e terminam com a expressão «Q. E. D!' (quod erat demonstrandum). Não se pode subestimar a grande importância dos exercícíos e projetos; só mediante sér:io e concentrado esforço na sua resolução é que o estudante poderá domínar o assunto. Os projetos desenvolvem um tópico específico em uma seqüência de exercícios e constituem característica partícularmente valiosa do livro; esperamos que eles contribuam para íncutír no estudante o sentido de prazer na realização de pesquisas matemáticas .

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Seções 4 a 10

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Na confecção deste

fui influenciado não só pela minha experiência didática) como por várias outras fontes. Foram extremamente benéficas as discussões com colegas e estudantes~ e desde o aparecimento da primeira edíção mantive extensa correspondência com estudantes e professores de_ outras universidades· e instituições. Agradeço a todos quantos ofereceram comentários e sugestões. Seu 'interesse em melhorar o livro encorajou· me a empreender a revisão. Os professores K. W. Anderson, W. G. Bade e A. L. Peressíni leram o manuscrito da primeira ediçao e fiz.eram interessantes sugestões. Agradeço particularmente ao meu colega Prof. B. C. Bemdt por seus extensos e incisivos comentários e sugestões. Sou grato ainda a Carolyn J. Bloemker por sua paciência e zelo na datilografia do manuscrito revisado. Finalmente~ fica aqui minha apreciação pela assístência e cooperação do pessoal da Wiley. livro~

Robert G. Bartle

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INTRODUÇAO

UM ESBOÇO DA TEORIA DOS CONJUNTOS A idéia de conjunto é básica em toda a matemática, e todos os objetos e construções matemáticas recaem, em última análise, na teoria dos conjuntos. Diante da impor· tâncía fundamental dessa teoria, apresentaremos a seguir um resumo das noções teóricas correspondentes, que serão usadas com freqüênCia no texto. Mas o objetivo deste livro é apresentar os elementos (e não os fundamentos) da análise real, o que nos leva a adotar um ponto de vista assaz pragmático. Contentar-nos-emas, poís, com uma discussão informal e encararemos a palavra "conjunto" corno entendida por si mesma e sinônima de "classe", «coleção", "agregado". Não pretendemos definir tais termos, nem tampouco apresentar uma lista de axiomas da teoria dos conjuntos. O leitor dotado de maior grau de sofisticação, que não se satisfizer com nosso desenvolvimento informal, deverá consultar as obras constantes da bibliografia no fim do texto. Ali ele verá como o assunto pode ser colocado em bases axiomáticas e constatará que essa axiomatização constitui importante instrumento para os fundamentos da matemática. Esses detalhes, entretanto, não nos preocuparão, pois os consideramos fora do âmbito do presente livro. Recomendamos ao leitor uma leitura rápida desta introdução, a fim de assimilar a notação que utilizaremos. Ao contrário dos outros capítulos, que devem ser estudados, a presente introdução deve ser considerada como matéria básica. O leitor não deve despender muito tempo nela.

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SEÇÃO 1 A ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS Se A denota um conjunto ex é um elemento, costuma·se escrever

xEA corno abreviação da afirmação de que x é um elemento de A, ou x é um membro do con· junto A, ou que o conjunto A contém o elemento x, ou que x pertence a A. Não nos de te•· remos mais nesta propriedade de "ser um elemento de um conjunto". Para a maior parte dos casos é possível utilizar o significado empírico da expressão "membro", sem necessidade de recorrer à caracterização axiomática. Se A é um corüunto ex é um elemento que não pertence a A, escrevemos

xEl:A. De acordo com nossa concepção intuitiva de conjunto, exigiremos que se verifique apenas uma das duas possibilidades, para um elemento :x: e um conjunto A: X

16

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Se A e B são dois conjuntos ex é um elemento, então há, em princípio, quatro possibílídades (c f. Figura L 1): (1) XEA

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(4)

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Se a segunda hípótese não pode ocorrer (isto é, se todo elemento de A é também elemen· to de B), então dizemos que A está contido em B, ou que B contém A, ou que !i é subconjunto de B, e escrevemos

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Se A S: B e existe pelo menos um elemento em B que não está em A, dizemos que A é subconjunto próprio de B. Note-se que a afirmação A ç: B não excluí automaticamente a possibilidade de A exaurir B. Quando tal ocorre, os conjuntos A e B se dizem iguais, no sentido que passamos a definir. 1.1 Definição. Dois conjuntos são iguais se contêm os mesmos elementos. Se os conjuntos A e B são iguais, escrevemos A = B.

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Figura 1.1 (4)

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Assim, para provar que os conjuntos A e B são iguais, devemos mostrar que as hipó· teses (2) e (3) não podem ocorrer, ou, equivalentemente, que A Ç B e B ÇA. A palavra "propriedade" não é fácil de se defin1r com prect$àO. Todavia, não hesitaremos em usá-la na acepção usual (informal). Se P denota uma propriedade válida para uma coleção de elementos, então escrevemos {x: P(x)}

o conjunto de todos os elementos x para os quais é válida aquela propriedaconjunto de todos os x tais que P(x)". Em geral é conveniente especificar que elementos estamos estudando quanto à propriedade P. Assim é que escreveremos pf~.ra denotar de~ lê-se: "O

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Exemplo. (a) Se N = {1, 2, 3, ... }denota o conjunto dos números naturais, então o conjunto

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consiste dos números naturais que verificam a equação dada. Mas as únicas sótuções da equação quadrática x 2 - 3x + 2 =O são x = 1 e x = 2. Logo, em lugar de escrever a ex.-

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para designar o subconjunto de S para os quaisP é válída.

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pressão acima Gá que temos informação detalhada quanto aos elementos do conjunto em estudo), denotaremos tal conjunto por {1, 2}, relacionando, assim, ou listando, seus elementos . . (b) Por vezes é possível utilízar uma fórmula para abrevíar a descrição de um conjunto. O conjunto de todos os naturais pares, por exemplo, pode ser escrito { 2x : x E N}, em lugar de{ y E N : y ::::: 2x, x E N }. (c) O conjunto { x E N: 6 < x < 9} pode representar-se explicitamente por { 7, 8 }, exibindo-se, assim, os elementos do conjunto. Naturalmente, há outras maneiras de descrever o mesmo conjunto; por exemplo: {xEN:40
{7 +X :X = 0

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(d) Além do conjunto dos números naturais {que consiste dos elementos denotados por 1, 2, 3, ... ), que será sistematicamente denotado por N, há alguns outros conjuntos para os quais introduziremos uma notação-padrao. O conjunto dos inteiros é

Z ={O, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...}. O conjunto dos números racionais é

Q = {m/n : m. n E Z

e

n;:é

O}.

Consideraremos os conjuntos N, Z e Q como entendidos por si mesmos, e não nos deteremos no estudo de suas propriedades. De importância fundamental para nosso estudo ulterior é o conjunto R de todos os números reais, que será estudado nas seções 4 -6. Subconjunto especial de R é o intervalo unitário J::::::{xeR:O
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1.2 Definição. Se A e B são conjuntos, sua interseção é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A e a B. Denotaremos essa interseção pelo símbolo A 11 B, que se lê "A interseção B". (Cf. Figura 1.2.) 1.3 Definição. Se A e B são conjuntos, sua união é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A, ou a B, ou a ambos. Denotaremos a união pelo símbolo A u B, que se lê "A união B''. (Cf. Figura 1.2.) Poderíamos também definir A n B e A U B por

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AUB={x:xEA

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Quanto à última, é importante notar que a palavra '"ou" é ali usada no sentido inClusivo, habitual na matemática e na lógica. Na terminologia legal, este sentido inclusivo é às vezes índicado por "e/ou". Admitimos tacitamelilte que a interseção e a uníão dé.. conjuntos são também conjuntos. Entre outras coísas, isto exige a existência de um conjunto desprovido de elementos (pois se A e 8 não têm elementos em comum, sua interseção não possui elementos).

1.4 Definição. O .conjunto desprovido de elementos é chamado conjunto vazio; de· nota-se pelo símbolo (/J. Se A e B são conjuntos que não têm qualquer elemento em co· mum (isto é~ se A n B =~)~dizemos que A e B são disjuntos.

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Figura 1.2 lntexseção e união de dois conjuntos.

Os resultados abaixo ilustram algumas propriedades algébricas das operações com

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conjuntos que acabamos de definir. Como as demonstrações dessas asserções são rotineiras, deixaremos a maior parte delascomo exercício. 1.5 Teorema. Sejam A, B, C conjuntos; então (a) (b) (c) (d)

A nA = A,

A U A = A; A n B = B nA, A u B = B U A; (A n B) n C= A n (B n C), (A U B) U C= A U (B U C); A n (B U C)= (A n B) U(A n C)) A U (B n C)= (A U B) n (A U C).

Essas igualdades costumam designar-se, respectivamente, como propriedades idempotente, comutativa, associtltiva e distributiva das operações de interseção e união de conjuntos. Como ílustração, demonstraremos a primeira equação de (d). Sejax um elemento de A n (Bu C), então x E A e x E B U C. Isto sígnifica que x E A, e ou x E B ou x E C. Logo, temos ou (i) x E A e X E 8, ou (Ü) x E A ex E C. Portanto, ou x E A n B ou x E.A fi C, de modo que x E (A 11 8} U (A n ().Isto mostra que A n (B u C) é subconjunto de (A n 8) u {A n C). Reciprocamente, seja y elemento de (A n 8) u (A n C). ~ntão, ou (iii) y E A n B, ou {i v) y EA í'l C. Segue-se que y EA, e ou y E 8 ou y E C Portanto, y EA e y EB U C de modo que y E A () (B u C). Logo, (A n 8) u (A n C) é subconjunto de A () (8 u C). Em vista da Definição Ll, concluímos que os conjuntos A () (B u C) e (A n B) u (A n C) são iguais. Como indicação de um método alternativo, notemos que há, em princípio, um total de 8(=2~) possibilidades para um elemento x em relação a três conjuntos A, B, C (cf. Figura 1.3):

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B,

(6) xí/1A,xeB,xí/1C; (8) xe 4-, xí/1 B, :xe C

: '

'

A demonstração consiste em mostrar que ambos os membros da prímeira equação de (d) contêm aqueles, e somente aqueles, elementos x que pertencem aos casos (1), (2) ou (3).

Em vista das relações no Teorema 1.5(c), costumamos orni tir os parênteses, escre~ vendo simplesmente AnBnc, AUBUC.

{A

B possível

mostrar que, se 1 , A 2 , ••• , An} é uma coleção de conjuntos, então existe um único conjunto A que consiste de todos os elementos que pertencem a ao menos um dos conjuntos Ahj = 1, 2, ... , n; e existe um único conjunto B que consiste de todos os elementos que pertencem a todos os conjuntos Ai> i= 1, 2,. , . , n. Omitindo os parênte· ses, escrevemos

B = A 1 n A2 n

· · · (l A ...

..'

Figura 1.3

Às vezes, para economizar espaço, imitamos a notação de somatório utilizada no cálculo, utilizando uma notação mais condensada, corno "

A=

U Aí= j ;..;-

B

n" Ai = n{A1 : j = 1, 2, ... , n}.

;::;=

1

i"'

U{Ai :j = 1, 2, ... , n},

I

Anal~amente, se para cada j em um conjunto

1 existe um conjunto Ai; então u{A i :j E J denota o conjunto de todos os elementos que pertencem a ao menos um dos

conjuntos i· Da·mesma forma n{Ai :j EJ} denota o conjunto de todos os elementos que pertencem a todos os conjuntos Ai para j EJ. Introduzimos agora outro processo de construção de um novo conjunto a partir de dois conjUntos dados. 1.6 Definição. Se A e B são conjuntos, então o complemento deB em relação a A é o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B. Denotamos tal conjunto por A\ B (leia-se "A menos B"); alguns autores usam também a notação A - B, ou A ,...... B. (CL Fígura 1.4.)

20

(

\

Com a notação introduzida acima, temos A\ B = {x E A: x e B}.

\

'

<

Por vezes o conjunto A já está subentendido, não havendo necessidade de mencioná-lo explicitamente. Em tais casos, referimo-nos simplesmente ao complemento de B e denotamos A\ B por í!!?(B). Voltando à Figura Ll, notamos que os elementos x que verificam (1) pertencem a A n B; os que verificam (2) pertencem a A\ B; e os que verificam (3) pertencem a B\ A. Mostremos que A é a união dos conjuntos A n B e A\ B.

{

\

( i '

{

'l

i

Figura 1.4 O complemento relativo.

\.

A'\.B ( '

1.7 Teorema. Os conjuntos A nB e A \B são disjuntos e

A = (A •'

(

\,

n B) u (A \ B).

Demonstração. Suponhamos que X EA ns e X EA \ B. A última asserção nos diz que x EA ex f::$) o que contradiz a relação x E A n B. Logo, os conjuntos são disjuntos. Se x EA, então ou x EB ou x 1/:.B. No primeiro caso, x EA ex EB de modo que X EA ns. Na última situaçao, X EA e X é.B de modo que X E A \B. Isto mostra que A é subconjunto de (A n B) U (A \B). Reciprocamente, se y E (A n B) U (A\ B), então ou y E A n B, ou y E A\ B. Em qualquer caso, temos que y E A, o que mostra que (A n B) U (A \B) é subconjunto de A. . Q.E.D. 1 Enunciaremos agora as leis de De Morgan relativas a três conjuntos; nos exercícios proporemos uma formulação mais geraL 1.8 Teorema. Sejam A. B, C conjuntos quaisquer; então

( (

f

'

.

(' \'

A \(BUC)=(A \B)n(A \C),

(

A \(BnC)=(A \B)U(A \C) .

.Demonstração. Demonstraremos a primeira relação, deixando a segunda corno exer· cício. Para estabelecer a igualdade dos conjuntos, mostraremos que todo elemento de A\ (B U C..) está tanto em (A \ B) como em (A\ C) e reciprocamente. Se x está em A\ (B U C), então x está em A mas x não está em B U C. Logo, x está em A, mas não está nem em B nem em C. (Por quê?) Portanto, x está em A mas não está em B, ex está em A mas não está em C. Isto é, x E A\ B ex EA \C, o que mostra que x E (A \ B) n (A \ C). 1

l

Augustus De Morgan (l806-1873) lecionou no University College, Londres. Foi matemático e lógico, e contribuiu para preparar o camil1ho da lógica matemática moderna.

''

í

\'·

/\

(

·'

( ( ·.,

21

{

'· '

( \

.I

. '

I.

,•'

L l'

I.

. .I

'

Reciprocamente, se x E (A \ B) n (A \ C), então x E (A \ B) ex E (A\ C). Assim, x EA ex f!:..B ex
PRODUTO CARTESIANO Definiremos agora o produto cartesiano 2 de dois conjuntos. 1.9 Definição. Se A e B são dois conjuntos não-vazios, ent~o o prqduto cartesiano A x B de A e B é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b), com a EA e b EB. (Cf. Figura 1.5.)

AxB B

\

/

b r----- 1 (a, b) l I I

I

:

l

Figura 1.5 O produto cartesiano. A

l

L

J .I: !

(A definíçâo que acabamos de dar é um tanto informal, já que não definimos prevíamente o que é um "para ordenado". Sem e.ntrar em maiores detalhes, diremos '}Penas que o par ordenado (a, b) - poderia ser definido como o conjunto cujos únicos elementos são{a}ta, b}. Pode-se então mostrar que os pares ordenados (a, b) e (a', b') são iguais sé e somente se a =a' e b = b'. Esta é a propriedade fundamental dos pares ordenados.)

Assim, se A ={1, 2, 3le B mentos são os pares ordenados

!

'

={4, s}, então o conjunto A

xB é o conjunto cujos ele-

(1' 4), (1' 5), (2, 4 ), (2, 5), (3, 4), (3, 5). Podemos visualizar o conjunto A x B como o conjunto de seis pontos do plano com as coordenadas que acabamos de relacionar.

l

I

. Costuma-se desenhar um díagrama (tal como o da Figura 1 .5) para indicar o produto cartesiano de dois conjuntos A, B. Não se deve, entretanto, perder de vista que um tal diagrama pode ser algo sim:Rlificador. Por exemplo, se A = { x E R : 1 < x < 2} e B ={x E R: O < x < 1 ou 2 < x < 3}, então, em lugar de um retângulo, devemos desenhar uma fi. gura corno a 1.6. Renê Descartes (1596-1650), criador da geometria analítica, foi um nobre francês, soldado, matemático, e um dos maiores filósofos de todos os tempos. ·

22

·-

3

2

AxB ,_

1

Figura 1.6 O produto cartesiano.

2

1

EXERCÍCIOS LA. l.B.

Faça um diagrama para representar cada um dos conjuntos mencionados no Teorema 1.5. Demonstre a parte (c)'do Teorema 1.5. l.C. Demonstre a segunda parte de (d) do Teorema 1.5. LD. ProvequeA C.BseesomenteseA nB=A. l.E. Mostre que o conjunto D de todos os elementos que pertencem a A, ou a8, mas não a ambos, é dado por

D={A \B)U(B\A). Este conjunto D costuma chamar-se díferença simétrica de A e B. Represente-o por um diagrama. l.F. Mostre que a diferença simétrica, definida no exercícío precedente, ta:mbém pode ser da~ da por D =(A u 8) \ (A n 8). LG. Se B CA, mostre que B =-A\ (A\ 8). l.H. Se A e 8 são conjuntos quaisquer, mostre que A n B =A \(A\ 8). LI. Se{A 1 , A 1 , • • • , A 11 uma coleção de conjuntos, e se E é um conjunto arbitrário, mos~ tre que

}é

E

"

n U A1 = j

tre que

LJ.

se{ A

1 ,

A1

~I

, ••• ,

.. U (E n Aí),

j-!

l.K. Sejam leis de De Morgan:

1),

1

,A 1

n AI = u (E\ AI), "

i- t

EU

~-~

, ••• )

1

i .. i

An} uma coleção de conjuntos. Estabeleça as

ft

i ..

n" Aí= n" (E U A1).

j-l

;- 1

Eum conjunto e tA E'

I~~

An} é uma coleção de conjuntos, e se E é um conjunto arbitrário, mos~

n A1 = n' (E nA j ... '

"

E U U A 1 = U (E U A 1}.

~

En

..

E\

U A1 = n (E\ Ai). "

1~

"

I

1~

I

Note~e que, se denotamos E\Ai por1tf'{Aj), estas relações tomam a forma

23

L L.

Seja J um conjunto arbitrário e, para cada j E J, seja A i contido em X. Mostre que

'C(n{A/ :j eJ}) = U{<€(A,):j EJ}, ~
=

nf~
1. M. Se B 1 e Bz são subconjuntos de B e se B

=B 1

u

B~

, então

'l

:r

SEÇÃO 2 FUNÇÕES Passaremos agora à discussão da noção fundamental de função, ou aplicação. Vere· mos que uma função é um tipo·especial de conjunto, embora haja outros enfoques mais sugestivos. Todas as seções ulteriores do livro tratarão de vários tipos de função que, en· tretanto, serão de natureza menos abstrata do que os tipos estudados nesta introdução. Para o matemático de há um século passado, a palavra "função" significava em geral uma fónnula definida, como

f(x) =x2

+ 3x- 5,

que associava a cada número real x outro número real f(x). Já era conhecido, naturalmen~ te, o fato que certas fórmulas, como g(x) =

.Jx- 5,

não originavam números reais para todos os valores reais de x, mais isto não era considera· do razão suficiente para exigir uma extensão do conceito de função. Provavehnente pode ter surgido controvérsia entre os matemáticos sobre se o valor absoluto

h(x)=lxl

)

de um número real era uma "função honesta" ou não; pois, afmal, a definição de !xl é da-

I

'i .I i

da "em partes" por

t

Jx I = {-x, x,

!

'

se se

x >O,

x <0.

Com o desenvolvimento da matemática, tomou~se cada vez mais claro que a simples exigência de que uma função fosse uma fórmula era extremamente restritiva, sendo neces· sária uma definição mais geral. Tomou-se também evidente a necessidade de fazer uma distinção nítida entre a função em si e os valores da função. Não será culpa do leitor se, a esta altura, "ele se encontrar na posição do matemático de um século atrás. Assim é que nos propomos atualizá·lo, mas o faremos em duas etapas. Nossa primeira defmiç:ão revisada de função seria: Uma função f de um conjunto A em um conjunto B é uma regra de correspondência que a cada x de certo subconjunto D de A assocía um único e bem determinado elemento f(x) de B.

':

Sem dúvida, as fónnulas explícitas do tipo mencionado acima estão incluídas nesta tentativa de definição. A definição proposta permite que uma função não seja definida para certos elementos de A, bem como da margem à consideração de funções para as

'I

! I,

•I'

l

24

f

\ {'

,.

i

quais os conjuntos A e B não são necessariamente constituídos de números reais {podendo mesmo ser mesas e cadeiras- ou gatos e cachorros). Todavia, por mais sugestiva que a definição proposta possa ser> ela tem um deteito sério: não é clara. Permanece a dificuldade de interpretação da frase "regra de correspondência". Sem dúvida o leitor pode cogitar de outras expressões que o satisfaçam mehor do que aquela, mas não é muito provável que consíga dissipar inteiramente a dúvida. A so· lução mais satisfatória se afigura definir "função" inteiramente em tennos de conjuntos e das noções introduzidas na seção precedente. Apesar da desvantagem de tal definição ser mais artificial e perder algo do conteúdo intuitivo da descrição anterior, ela ganha em clareza. A idéia-chave é cogitar do gráfico da função: isto é, uma coleção de pares ordenados. Notemos, de início, que uma coleção arbitrária de pares ordenados não pode ser o gráfico de uma função, pois, uma vez escolhido o primeiro membro do par, o segundo está univocamente deterrninado. 2.1 Definição. Sejam A e B conjuntos (não necessariamente distintos). Uma função de A para B é um conjunto f de pares ordenados em A x B com a pmpríedade de que, se (a, b) e (a. b') são elementos de f, então b = b'. O conjunto de todos os elementos de A que podem ocorrer como primeiros membros de el~inentos em/ é chamado domínio de f e será denotado por D(j). O conjunto de todos os elementos de B que podem ocorrer como segundos membros dos elementos de f é chamado contradomínio de f (ou conjwtto de valores de f) e será denotado por R (f). Se D (f) =A, costuma-se dizer que /leva A em B, ou que f é uma aplicação de A em B, e se escreve f: A _,. B. Se (a, b) é elemento de uma função f> costuma-se escrever

.,-'

'-

(

'

.-

"

I,

-''

<

( i

'

f

I

'

!

' (

\

(

(

'

''

(

'

'

('

'- ./ J

( I

'

I

\

( (

ou

b = f(a)

f:ar--:>b

'( t

'l

( I

? '

\'

r---------~·

B

f

R (f)

=

(a., b) ~

1_1: =-=---=r-.::.:: -=-=- ---:

I

I

I

I

'

I

t

-,

(

:

''

f

I I

( I \

Figura 2.1 Uma ftwçio como gráfic<).

•

\. ;

\

em lugar de (a, b) >.:::.f. Designaremos freqüentemente o elemento b como o valor de/no ponto a, ou como a imagem de a pela f

(

j

f '

( \;

25

'

(

'

( \

/

REPRESENTAÇÃO TABULAR

Uma forma de encarar uma função é como um gráfico. Outro enfoque importante e largamente usado é encará-la como uma tabela. Consideremos a Tabela 2.1, que pode ser encontrada em qualquer jornal esportivo. O domínio da função f de lances, ou jogadas, consiste dos nove jogadores

D(f)

=

{Anderson, Bade, Bateman, Hochschlld, Kakutani, Kovalevsky, Osbom, Peressini, Rosenberg},

enquanto que o contradomínio da função consiste dos seis números

R (f)

={o, 1, 2, 4, s, s}.

Os elementos da função são os pares ordenados (Anderson, 2), (Base, 0), (Bateman, 5) (Hochschild, 1), (Kakutani, 4 ), (Kovalevsky, 8) (Osbom, O), (Peressiní, 2), (Rosenberg, 4). Em tais representações tabulares, costumamos escrever apenas o domínio da função na coluna da esquerda (pois não há necessidade de mencionar os membros do time que não jogaram). Podemos então dizer que o valor da nossa função f em Anderson é 2, escrevendo f(Anderson) =2, ou Anderson H- 2, etc. Sem dúvida, estamos todos familiarizados com a utílização de tais tabelas para obter informação. São importantes exemplos de funções, cuja natureza dificilmente se expressaria em termos de uma fórmula. Tabela 2.1 Jogador

lAnces

Anderson Bade Bateman Hochschild Kakutani Kovalevsky Osborn Peressiní Rosenberg

2

o 5 1 4

8

o 2 4

f

I

Figura 2.2 Uma função como transformação.

j

t

26

TRANSFOIL.\1AÇÕES E MÁQUINAS Há outra maneira de encarar uma função·: como uma transformação de parte de um conjunto A em parte de um conjunto B. Em tal fraseología, quando (a, b) E/, cogitamos de f como tomando o elemento a do subconjunto D(f) de A e "transformando-o~'. ou Haplicando-o" em um elemento b = f(a) do subconjunto R (f) de B. Costuma-se então fazer um díagrama como o da Figura 2.2. Tal representação geométrica de uma função é de uso freqüente, mesmo quando os conjuntos A e B não são subconjuntos do plano. Ainda outra maneira de visualizar uma função: como uma máquina que aceita ele· mentos de D{f) como entradas e produz elementos correspondentes de R (f) como saída. Se tomarmos um elemento x de D(f) e o colocarmos em{, obteremos na saída o valor correspondente f(x). Se colocarmos como entrada um elemento diferente y de D(j), obteremos na saída f(y) (que poderá ou não diferir def(x)). Se procurarmos inserir em f algo que não pertença a D(f)~ veremos que tal elemento não será aceito, pois f pode operar somente sobre elementos que pertençam aD(f). (Cf. Fígura 2.3.)

f

Figura 2.3 Uma f•..tnção como máquina.

t

f(x)

Esta última forma de encarar uma função toma clara a distinção entre f e f(x): a primeira é a máquína, a segunda é o elemento que sai da máquína quando nela introduzimos x. Certamente é útil, e mesmo necessáríot distinguir entre uma máquina e o que ela produz. Ninguém confundiria um moedor de carne com carne moída; não obstante> não poucas pe~soas têm feito confusão entre funções e seus valores, de modo que nos senti· mos justificados em procurar estabe!~cer a distinção do ponto de vista da notação. RESTRIÇÕES E EXTENSÕES DE FUNÇÕES Se f é urna função com domínio D(J) e D 1 é um subconjunto de D(f), é útil definir· mos uma nova função / 1 com domínio D 1 por [ 1 (x) = f(x) para todo x ED 1 . Esta função / 1 é chamada a restrição de f ao conjunto D 1 • Em termos da Definição 2.2, temos f~

={(a, b)Ef:a eD~}.

Por vezes escrevemos [ 1 =f ID 1 para denotar a restrição da função f ao conjunto D 1 . , Construção análoga (que se afigura menos artificíal) é a notação de "extensão". Se g é uma função com domínio D(g) e D 2 .d D(g), então qualquer função g 2 com domínio D 2 , tal que g 2 (.."t) =g(x) para todo x E D(g), é chamada uma extensão de gao conjunto D'}.. . t

27

COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES

Desejamos agora "compor" duas funções, aplicando primeiro f a cada x em D(f) e em seguida aplicando g a f(x), sempre que isto seja possível (isto é, desde que f(x) pertença a D(g)). Faz-se então necessário certo cuidado quanto ao domínio da função resul· tante. Por exemplo, se f é defmida em R por f(x) =x 3 e g é definida para x 2: O por g (x) = .JX, então a composição g o f só pode ser defuüda para x 2: O, e para esses núme-ros reais ela deve ter o valor ..JXl_ 2.2 Definição. Seja f uma função com domínio D(f) em A e contradomínio R(f) em B, e seja g uma função com domínio D(g) em B e contradomínio R (g) em C. (Cf. fi. gura 2.4.) A composição g o f (observe a ordem!) é a função de A em C dada por

gof={(a,c)EA xC:existe umelementob EB tal que (a, b) E/e (b, c) Eg}. 2.3 Teorema. Se f e g são funções, a composição g

o

f é uma função com

D(g o f)= {x E D(f) :f(x) E D(g)}, R (g o f)= {g(f(x)): x

E

D(g o f)}.

/

g

f '

f

; l

il

h

jl I

!IIlliillJ])

l

Figura 2A Composição de funções.

I,,i I i

'i I

I

! ''

'

D(g,f)

2.4 Exemplos. (a) Sejam f, g funções cujos valores para x real são os números reais · dados por 3 f(x)=2x, g(x)=3x 2 -1. Como D(g) é o conjunto R de todos os reais e R (f) ç;,D(g), o domínio D(g o f) é também R e gof(x)=3(2x) 2 -1<=12x 2 -1. Por outro lado, D(jog)=R, mas fog(x)= 2(3x 2 -1)=6x 2 -2. (b) Se h é a função com D (h) x E R : x :;?: 1} definida por

={

h(x)=.Jx-1. Costuma-se escrever também f: x ...,. 2x e g : x - 3xl - 1 para x E R. I

28

...

I

e se f é tal como na parte (a), então D(hoJ)={xER:2x2:1}={xER:x~f}e h o f(x) = y2x- L Outrossim, D(fo h) ={x ER :x 2.: 1} e f o h(x} = 2yrx=l. Se g é a função da parte (a), então D(hog)={xER:3x2 -l>I}={xER:xs-.J-f ou x 2.: .J.f}e h o g(x) = V3x 2 - 2. TambémD(g<> h) ={x ER :x 2.: lf ego h(x) = 3x-4. (Note-se que a fórmula que exprime g o h tem sígnificado para valores de x outros que .não os do domínio deg <>h.) (c) Sejam F, G funções com domínios D(F) ={x ER :x 2.: o}, D (G) =R, tais que os valores de F e G no ponto x de seus domínios sejam . F(x) = ..fX~

2

G(x) = -x -l.

-':

·,

\

\

'

·, 1

;

(. {

\

(

I

\

FUNÇÕES INJETIVA E INVERSA Daremos ~seguir a construção de uma nova função a partir de uma função dada, no caso de a função original não tomar o mesmo valor duas vezes. 2.5 Definição. Seja f uma função com domínio D(/) em A e contradomínio R (f) em B. Dizemos que f é injetiva, ou um~a~um, se, sempre que (a, b) e (a', b) forem elemen~ tos de[, então a = at. Se f é injetiva, podemos dizer que f é umá injeção. Em outras palavras} f é injetiva se e somente se as duas relações f(a) =b,f(a') = b implicam a =.a'. Alternativamente, f~ injetiva se e somente se quando a e a'estão em D(f) e a ::f: a', entãof(a) -=F [(a'). Afirmamos que, se f é injetiva de A para B, então o conjunto de pares ordenados em B x A obtido pela permuta dos primeiros e segundos membros dos pares ordenados em/ origina uma função g que também é injetiva. Omitimos a demonstração, deixando-a como exercício; é um bom teste para o leitor. As ligações entre f e g são:

/

(

·,

{'

' '

/", \

D(g) =R(/),

•'"

{

Então D(GoF)={xER:x2.:0te GoF(x)=-x-1, enquanto que D(FoG)={xE D(G): G(x) ED(t)l Este últímo conjunto é vazio, pois G(x)
1

•''

'

..

.~

' _,

!·,

I

(

(.··,1 (

{

(

( (

{

R(g) =D(f)

(a, b) E/ se e somente se (b, a) Eg.

{

•.

'

A última afirmação pode ser escrita na forma mais comum b =f(a) se e somente se a =g(b ).

i

' I

't

2.6 Definição. Seja:( uma injeção com domínio D(f) em A e contradomínio R(/) em B. Se g ={(b,a) EB xA : (a,b )Eft entãog é uma injeção com domínio D(g) =R (f) em B e com contradomínio R (g) =D(/) em A. A função g é chamada função inversa de f e se denota por A função inversa pode ser interpretada do ponto de vista da aplicação. (Cf Figura 2.5.) Se f é injetiva, leva elementos distintos de D(f) em elementos distintos de R (f). As· sim, cada elemento b de R (j) é a imagem, pela/, de um único elemento a em D(j). A fun· ção inversaf- 1 leva, ou aplica} o elemento b neste elemento único,a.

r-l .

( {

' /

\

f

f

'

29

(.

.' '

.'

{ ( (

'•

gI

I

1j i'

I .H

-'

. .~

í

f

Figura 2.5 A função inversa . .li

;~I !I

li '~I i

~~

·'

Jl

2.7 Exemplos. (a) Seja F: x H x 2 a função com domínio D(F) =R, conjunto de todos os reais, e contradomúüo R tal que o valor de F, para o real x, é F(x) = x 2 • (Em outras palavras, F é a função{ (x, x 2 ) : x E R}.) Vê-se logo que F não é um·a-um; com efeito, os pares ordenados (2, 4) e (- 2, 4) pertencem ambos a F. Como F não é um-a~um, não possui inversa. (b) Seja f a função com domínio D(f) ={x ER :x ~o} e contradomínio R (f) =R cujo valor em x é dado por f(:x) ""'x 1 • Note-se ~ue f é a restrição a D(f) da função F da parte (a). Em termos de pares ordenados, f=t(x.x 2 ) :x ER,x ~o}. Ao contrário da função F da parte (a), f é injetiva, pois se :x 2 = y 2 com -']• y em D(j), entao x == y. (Por guê?) Portanto, f tem uma inversa g com D(g) =R(/) =1x ER: X> ü}e R(g) =D(j) = {x E R : x ::?:: Além disso, y =x 2 =f (x) se e somente se x =g (y ). Esta função inversa g é em geral des1gnada por função raiz quadrada positiva e se denota por

o}.

g(y):-JY,

yER,

j

i '

y>O.

(c) Se f 1 é a função{ (x, x 2 ): x E R, x :5: o}, então, tal como em (b),f1 ~um-a-um e tem domínio D (/1) = {x E R ; x ::;: O} e contradomínío R (f1) ={x E R : x 2: No te-se que [ 1 é a restrição a Dif1 ) da função F da parte (a). A função g 1 inversa de[ e chamada função raiz quadrada negativa e se denota por

o}.

gl(y) =

]I )

-JY,

y E R,

J

y 2: 0,

de modo que g 1 (y) :5: O. · (d)A funçao seno introduzida na trigonometria comD(F)=R eR(F)={y ER: -1 S,:y S + 1 }não é inJetiva (p. ex., sen O= sen 2n =O). Todavia, se restringirmos f ao conjunto D(f) ={x ER: -tr/2
FUNÇÕES SOBREJETIVA E BIJETIVA

ou

g(y):=sen- 1 y.

2.8 Definição. Seja fuma função com domínioD(j)CA e contradomínioR(f)CB. Dizemos que f é sobrejetiva, ou que f é. sobre B, se R (f) = B. Em tal caso, podemos dizer que f é uma sobrejeção. 30

f ' \ I'

I 1 í ~

·r

I

'

Ao definirmos uma função, é importante especificar o domínio da mesma e o con· junto em que se tomam os valores. Feito isto, é possível perguntar se a função é ou não sobrejetiva. 2.9 Definição. Uma função f com domínio D(j) Ç.A e contradomínio R (f) C B é bijetiva se (i) é injetiva (isto é, um-a-um) e (ii) é sobrejetiva (isto é, leva, ou aplica, D(f) sobre B). Em tal caso, podemos chamá-la uma bijeção. IMAGENS DIRETA E lNVERSA Seja fuma função arbitrária com domínio D(j) em A e contradomínio R (f) em R Não fazemos a hipótese de f ser injetiva. 2.10 Definição. Se E é um subconjunto de A, então a imagem.direta de E pela/ é o subconjunto de R(/) dado por

{f(x): x E E n D(f)}.

,.

Costumamos denotar por/(E) a imágem direta de um conjunto E pela/. (Cf. Figura 2.6.) Note-se que, se E n D(f) = 0, então f(E) = f/J. Se E contém um único ponto p em D(f),, então o conjunto [(E) contéf!1 um único ponto f(p). Como veremos a seguír, certas propriedades dos conjuntos são preservadas pela imagem direta.

2.1 1 Teorema. Seja f w1w: função com domínio em A e contradomínio em B, e se~ jam E, F subconjuntos de A. {a} se E c F, então f(E) ~f( F). (c) f($ U F)= f( E) U f( F).

(b) /(E n F) s f(E) n f(F). (d) f(E \F) s; f(E).

Demonstração. (a) Se x EE, entãox EFe daíf(x) Ef(F). Como isto é válido para todo x EE, inferimos quef(E) Cf(F). (b) Como E n F ç;; E, decorre da parte (a) que f(E n F) c /(E); analogamente, f(E n F) Cf(F). Portanto, concluímos que f(E n F) Ç,_f(E) nf(F).

f

•

Figura 2.6 Imagens diretas.

f I

(c) Corno E c EU F e F c Eu F, decorre da parte (a) que f(E) U f(F) c f(E U F). Reciprocamente, se y Ef(E U F), então existe um elemento x E EU F tal que y =f(?:).

l

31

Como x EE ou x EF, segue-se que ou y =[(x) Ef(E) ou que y Ef(F). Podemos, pois, conciuir que [(EU F) C f(E) U f(F), o que completa a demonstração de (c). (d) A parte (d) decorre imediatamente de (a). Q.E.D.

!J ''

no Exercício 2.1 que, em geral, não é possível substituir o sinal de inclusão em (b) pelo sinal de igualdade. Introduziremos agora a noção de imagem inversa de um conjunto por uma função. Note-se que não se exige que a função seja injetiva. 2.12 Definição. Se H é subconjunto de B, então a imagem inversa de H pela f é o subconjunto de D(f) dado por Veremc·~

{x :f(x) EH}. Costuma-se denotar a imagem inversa de um conjunto H pela f pelo símbolo f- 1 (H). (Cf. Figura 2.7.) /" 1

Mais uma vez, salientamos que f não é necessariamente injetiva, de modo que a função inversa nem sempre existe. (Todavia, se [" 1 existe, então /- 1 (H) é a imagem direta de H pela /- 1 .)

2.13 Teorema. Seja f uma função com domínio em A e contradomínio em B e se· jam G, H subconjuntos de B. (a) se G ç H, então r'(G)c f(H). (c) r'((; LI Hl= f- 1 ((T)Ur 1(H).

r

j

J

1

(GnH)=r'(G)nr 1(H). 1 (d)' r'(G\H) = r (G)\ 1 Ui). (b)

r

Demonstração. (a) Suponhamos x E/- 1 (G); então f(x) E G C H e, daí, x Ef- 1 (H). (b) Como G nH é subconjunto de G e H, decorre da parte (a) que

f

J

FJgura 2. 7 I.magens inversas.

Reciprocamente, se x E/- 1 (G) nf- 1 (H), entãof(x) E G ef(x) EH. Pon:anto,{(x) E G n H ex Ef- 1 (G nH). (c) Como C e H são subconjuntos de G U fi, decorre da parte (a) que

(

•

' (

32

Reciprocamente, se x E f- 1 (G uH), entãof(x) E G UH. Segue-se que ouf(x) E G don· de x Ef-t (G), ouf(x) EH caso em que x Ef-1 (1!). Logo

!J ''

r '(G UH) c r

(d) S.;: X E de decorre que

1

1

,·

'

(G) U f' (H).

r-! (G\H), então f(x) E G\H. Portanto; X E/- (G) e X fÊ/1

1

(lf), don-

,F I

( Reciprocamente, se w Ef- 1 (G) \f- 1 (H), entãof(w) E G ef(w) fÊ H. Logof(w) E G\H, decorrendo que

Q.E.D.

junto.

(

'

t

Prove que a Definição 2.2 efetivamente origina uma função, e não apenas um subcon·

2.B. Seja A = B = R e considere o subconjunto C=~ (x. y) : x 2 + y 2 = 1} de A XB. Este con· junto é uma função com domínio em R e contradomínio em~? 2.C. Considere o subconjunto de R X R defmido por D ={(x, y): !xl + IYI = 1}. Descreva em palavras este conjunto. É uma função? 2.D. Dê um exemplo de duas funções,/, g, de R em R tais que f* g, mas tais ~ue f o g = g o f. 2.E. Prove que se f é uma injeção de A em B, então [·1 ={(b, a) :(a, b) etté uma função. Prove então que é uma injeção. 2.F. Seja f uma injeção. Mostre que <> f(x) =X para todo X em D(j) e que f<> (y):::: y para. todo y em R (j). 2.G. Sejam'/ e g funções, e suponha que g o f(x) == x para todo x em D(j). Mostre que f é uma injeção e que R (f) ç__D(g) e R (g) _:1 D (j). 2.H. Sejam f, g funções tais que

rl

r-I

go f(x.) = x. para' todo x em D(f). Prove que g

\

\'

EXERCÍCIOS 2.A.

I

=F

fog(y)=y 1

( (

( (

{ {

pa.ratodoyem D(g).

(

:-i

•

'

Mostre que a imagem direta f (E} é vazia se e somente se E n D (j) = 0. 1.1. Seja f a função de R em R dada por f(x) = xl, e sejam E ~fx e R < x
J}. Lo~o,[(Ef:nA

(

n

( '

'I

t'

r

{(E\ F) c f(E) \ f(F). 2.L. Mostre que se f é urna injeção de D (f) em R (j) e se H é um subconjunto de R (f), então a imagern invers~ de H pela f coincide com a imagem direta de H pela inversa /- 1 • 2.M. Se f e g são tais como na Definição 2.2, então D (g o j) = 1 (D (g)).

r

f

\

f

\.

SECAO 3 · CONJUNTOS F.ú'HTO E INFINITO O objetivo desta seçao é assaz restrito: introduzir os termos "'finito", «numerável" e >

t

"infinito". Proporciona uma base para o estudo dos números cardinais, embora não abordemos o assunto aqui. Em que pese a beleza áas teorias sobre os números cardinais e ordi· '

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33

.1

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I

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n J!

nais, o fato é que muito pouco do assunto é realmente necessário para o material. deste Iivro. 4 Suporemos o leitor familiarizado ~m o conjunto dos números naturais. penotá-loemos pelo símbolo N; os elementos de N são os símbolos familiares

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1,2,3, ...

11

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Se n, m EN, temos uma idéia íntuitiva do que é dizer que n é menor do quem, ou é igual a m. Adotaremos esta noção, côncíos de que a precisão completa exige mais análise do que a que apresentamos. Admitiremos que todo subconjunto não-vazio de N tenha um elemento m(nimo. Esta é uma propriedade importante de N; dizemos às vezes que N é bem-ordenado, significando que N tem esta propriedade. Esta Propriedade da Boa Ordenação é equivalente à indução matemática. Sempre que necessário, utílizaremos argumentos baseados na indução matemática, com a qual supomos o leitor familiarizado. O conjunto de todos os números naturais menores do que ou iguais a um elemento fixo de N é chamado segmento iniCial de N. Assim, um segmento inicial Sn de N determi· na um elemento n de N, e é determinado por ele, como segue: Um elemento x de N pertence a Sn se e somente se x-;:;;. n. Por exemplo: o subcon· junto S 2 = { l, 2} é o segmento inicial de N determinado pelo natural 2; o subconjunto S4 1, 2, 3, 4} é o segmento ínicial de N determinado pelo natural 4; mas o subconjunto {I, 3, 5 } de N não é um segmento inicial de N, pois contém 3 mas não 2, e contém 5 mas não 4.

={

3.1 Definição. Um conjunto B é finito se é vazio ou se existe uma bijeção com domínio B e contradomínio num segmento inicial de N. Se não existe tal função, o conjunto é infinito. Se existe uma bijeção de B sobre N, então B se diz numeráveL Um conjunto finito ou numerável é chamado contáveL Quando existe uma função injetiva (um"a-um) com domínio B e contradomínio C, dizemos às vezes que B pode ser posto em correspondência um-a-um (ou biunívoca) com C. Com esta terminologia, podemos reformular a Definição 3.1, dizendo que B é finito se é vazio ou se pode ser posto em correspondência biunívoca, ou um-a-um, com um subconjunto de um segmento inicial·de N. Diremos que B é numerável se puder ser posto em correspondência biunívoca com todo o N. Note-se que, pela definição, um conjunto B é ou finito ou infinito. Entretanto,_à vista da descrição do conjunto, pode não ser trivial decidir selconjunto dado B é finito ou infinito. . Os subc~njuntos de N den~t~d?~ por 1,3,_5H2,_4,5,8,10},{2.3, .. :·:.l?O}, são finit.os, poiS, embora nao sendo segmentos mtc1rus de , estao contidos em segmentos m1cuus de N e, ass1m, podem ser postos em correspondência bíunívoca com subconjuntos de segmentos iniciais de N. O conjunto E dos naturais pares, E ={2, 4, 6, 8, ... }

f

I

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I

i i'

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i

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e o conjunto O dos naturais ímpares

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o "" {l ''3' 5' 7' ... }

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não são segmentos iniciais de N. Todavia, como podem ser postos em correspondência biunívoéa e.om todo o N (como?), são ambos numeráveis.

I I I

J

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4

O leitor interessado no assunto poderá consultar o livro de Ha.lmos citado nas Referências. )

34

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l

Quanto ao conjuntoZ de todos os inteiros,

'l'

. Z={, .. -2, -1, 0, 1~ 2, .. .}.

i l

·•

embora ele contenha o conjunto N, pode-se ver que Zé nuriierável. (Como?)

Enunciaremos agora alguns teoremas sem demonstrá~los. À primeira leitura, é me· lhor aceitá-los sem maior exame; mais tarde, será conveniente o leitor procurar demons· trá-los. Ao fazê-lo, ele sentirá a utilidade da propriedade indutiva do conjunto dos números naturais. s 3.2 Teorema. Um conjunto B é contável se e somente se existe uma injeção com domlnio B e contradomínio em N 3.3 Teorema. Qualquer subconjunto de um conjunto finito é finito. Qualquer subconjunto de um conjunto contável é contável. 3.4. Teorema. A união de uma coleção finita de conjuntos finitos é um conjunto finito. A união de uma coleção contável de conjuntos contáveis é um conjunto contdvel.

Uma conseqüência da segunda parte do Teorema 3.4 é 'que o conjunto Q de todos os números racionais é contável. (Recordemos que um número racional é uma fração mfn, onde me n são inteiros e n ::F O.) Para verificar que Q é contável, formamos os conjuntos AI)= {O}, -{l_!~_;tJ,_:!} A ~b 1,1, t,l, t, . . . •

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.........................

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I' '

1

Note-se que cada um dos conjuntos An é contável e que sua união é todo o Q. Logo, o Teorema 3.4 afirma que Q é contável. De fato, podemos enumerar Q pelo «processo da diagonal":

Utilizando este tipo de argumento, o leitor deve ser capaz de construir uma demonstração do Teorema 3.4. Ver também o Exercício 3.K.

i

I !

~

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1

R E/NÃO SÃO CONTÁVEIS . A despeito do fato de o conjunto dos racionais ser contável, 6 conjunto R dos reais não o é. Na realidade, o conjunto I dos reais x tais que O
Consulte os livros de. Halmos e de Hamílton-Landin citados nas. Referências.

j

i'

l I;

35

monstrá-lo, utilizaremos o elegante argumento "diagonal'' de G. Cantor.6 Admitiremos conhecído o fato que todo real x tal que O x 1 admite uma representação da forma x =0. a 1 ,a 2 ,a 3 ••• , onde cada Ok denota um dos algarismos O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Naturalmente, certos racionais admitem duas representações desta forma (por exemplo, o racional 1/1 O admite as representações

s s

0,1000 ...

e

qw pri·

'

jun

0,09999 ... ).

jun to'

Poderíamos escolher uma dessas duas representações, mas não precisaremos fazê-lo. Corno há infinitos racionais no intervalo O x 1, (por quê?) o conjunto I não pode ser finito. Mostraremos que tal conjunto não é numeráveL Suponhamos que exista uma enumeração x 1 , x 2 , x 3 , ••• de todos os reais que satisfaçam O < x < 1 dada por

s s

de

in i<

mE

Seja agora y 1 um algarismo diferente de O,a 1 e 9; seja y 1 um algaris!Tio díferente de O, b1 e 9; sejay 3 um algarismo diferente de O, c 3 e 9 etc. Consideremos o número y com repre'sentação decilpal que satisfaz obviamente O ~y ~L O número y não é um dos números com duas representações decimais, pois Yn *O, 9. Ao mesmo tempo,y ::Fxn para qualquer n (pois os dígitos de ordem n nas representações decimais de y e Xn são diferentes). Portanto, qualquer coleção numerável de reais neste intervalo omitirá pelo menos um real pertencente a este intervalo. Assim, este intervalo não é um conjunto contável. Suponhamos que um conjunto A seja infinito; admitiremos que exista uma correspondência um-a-um entre um subconjunto de A e todo o N. Em outras palavras, admitiremos que todo conjunto infinito contenha um subconjunto numerável. Esta asserção é uma forma fraca do chamado "Axioma da Escolha", que constitui um dos axiomas usuais da teoria dos conjuntos. Ao ternünar o estudo deste livro, o leitor poderá passar ao tratamento axiomático dos fundamentos que discutimos de maneira bastante informal. Por ora, aconselhamos a aceítar a afirmação acima como um axioma temporário. Mais tarde, poderá ser substituído por um axioma de maior alcance da teoria dos conju11tos.

'

EXERCÍCIOS 3.A. Exiba uma correspondência um-a-um entre o conjunto E de naturais pares e N. 3.B. Exiba uma correspondência um-a-um entre o conjunto O dos naturais ímpares e N. 3.C. Exiba uma correspondência um-a-um entre N e um subconjunto próprio de N. 3.D. Se A está contido em algum segmento ínicíal de N, use o principio da boa ordenação de N para definir uma bijeção de A sobre algum segmento inicial de N. j 6

Georg Cantor (1845-1918) nasceu em S. Petersburgo, estudou em Berlim com Weierstrass e ie· cionou em Halle. Sua grande contribuição à matemática é a sua teoria dos conjuntos, desenvol-

vida durante os anos de 1874 a 1895.

36

3.E. Dê um exemplo de uma coleção c
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37

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CAPÍTULO

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1

OS NÚMEROS REAIS Estudaremos neste capítulo as propriedades do sistema de números rea.ls. Embora pudéssemos construir este sistema a partir de um conjunto mais primítivo (tal como o conjunto N dos naturais ou o conjunto Q dos raciona.ls), não o faremos. Em lugar disso, exibiremos uma lista de propriedades assocíadas ao sistema de números reais e mostraremos como delas se podem deduzir outras propriedades. . Por questão de clareza, preferimos não enunciar de uma só vez todas as propriedades do sistema de números reais. Introduziremos primeiro na seção 4 as "propriedades algébricas", baseadas nas duas operações de adição e multiplicação, discutindo rapidamente algumas de suas conseqüências. Em seguida, introduziremos as "propriedades de ordem". Na seção 6 daremos o passo finaJ, introduzíndo a "propriedade de completeza". Há várias razões que justificam tal procedimento. Primeiro, há um bom número de propriedades a estudar, e é conveniente considerar umas poucas de cada vez. Além disso> as demonstraçt?es nos estágios algébricos preliminares são mais naturais do que certas demonstrações ulteriores. Finalmente, como há vários processos de introduzir a "propriedade de comp1eteza '\ interessa-nos isolá-la das outras hipóteses. As seções 4 e 5 têm por objetivo, em parte, proporç:ionar exemplos de demonstrações de teoremas elementares que se deduzem de suposições exp1icítas. É nossa experiên· cía que o leitor ainda não muito familiarizado com demonstrações rigorosas pode apreen· der os argumentos apresentados nessas seções, passando então à seção 6. Entretanto, o leitor familiarizado com o método axiomátíco e a técnica de demonstrações pode passar à seção 6 após rápida leitura das seções 4 e 5. Na seção 7 introduzimos a noção de corte no sistema de números reais e definimos vários tipo~ de celas e intervalos. Estabelecemos a importante propriedade das Celas En· caixantes de R e discutimos rapidamente o conjunto de Cantor.

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I''

SEÇÃO 4 AS PROPRIEDADES ALGÉBRICAS DE R

Abordaremos nesta seção a estrutura "algébrica" do sistema de números reais. Diremos que os números reais constituem um "corpo" no sentido da álgebra abstrata, e veremos o que isto significa. Uma operação binária em um conjunto F é uma função B com domínio F x F e contradomínio em F. Em 1ugar de usar a notação B (a, b) para denotar o valor da operação binária B no ponto (a, b) em F x F, convencionaremos usar uma notação como ABb,

oua+b,oua ·b. (

li

li r

38

i'

4.1 Propriedades Algébricas de R~ No conjunto R dos reais há duas operações binárias (denotadas por + e • e· chamadas adição e multiplicação, respectivamente), que satis~ fazem as seguintes propriedades:t .•.

i'

(Al)a +b =b +a para todoa,b em R; (A2)(a +b) +c=a +(b +c) para todoa,b,cemR; (A3) existe um elemento O em R com O + a =a e a + O =a para todo a em R; (A4) para cada elemento em R existe um elemento -a em R tal que a +(-a)= O e (-a) +a =O~ (M 1) a • b =b • a para todo a, b em R ;

(M2)(a • b) • c'=a • (b ·c) para todo a, b, c em R; (M3) o elemento 1 em R é díferente de O e tem a propriedade que 1 ·a =a e a • 1 = a para todo a em R; (M4) para cada elemento a .:#0 em R existe um elemento 1/a em R tal que a ·l/a= 1 e (l/a) • a = 1; (D) a· (b + c)=(a • b) +(a· c) e (b +c) ·a =(b ·a)+ (c ·a) para todo a, b,c em R. O leitor já está sem dúvida familiarizado com essas propriedades. Obteremos delas agora algumas conseqüências fáceis (mas importantes). Em primeíro lugar devemos mostrar que O é o único elemento em R que satisfaz (A3) e 1 é o único elemento que satisfaz (M3).

Teorema. (a) Se z e a são elementos de R tais que z +a =a, então z =O. (b) Se w é b -:f:. O são elementos de R tais que w • b = b, então w = 1.

4.~

j

Demonstração. (a) A lúpótese é que z +a ""a. Somando -a a ambos os membros e utilizando (A4), (A2), (A4) e (A3), obtemos • O= a+ (-a)= (z +a)+ (-a)= z +(a+ (-a))

=z+O=z. Deixamos como exercício a demonstração da parte (b ). Note-se que ela utílíza a Q.E.D. hipótese b :f: O. Mostremos agora que os elementos -a e 1/a (quando a :fo O) ficam unívocamente detenninados pelas propriedades (A4) e (M4). 4.3 Teorema. (a) Se a e b são elementos de R e a+ b =O, então b =-a.

(b) Se n

O e b são elementos de R e a • b = 1, então b = 1/a.

Demonstração. (a) Se a + b =O, adicionando --a a ambos os membros, obtemos (-a)+ (a + b) =-a+ O. Utilizando agora (A2) no membro esquerdo e (A3) no membro direito. vem ((-a)+ a)

+ b = -a.

Utilizando (A4) e (A3) no membro esquerdo, obtemos b =-a.

' 1

Esta lista não pretende ser "mínima". Assim é que as segundas asserções em (A3} e (A4) decorrem das primeiras asserções, u t ili::.a ndo -se (A 1 ).

39

'

':

'

f ;

.,

.,

Deixamos como exercício a demonstração de (b). Note-se que é necessária a hipóte-

se a=/= O. tipo

Q.E.D.

As propriedades (A4) e (M4) garantem a possibilidade de resolução de equações do .i

a + x =O,

a • x· = 1

(a =/= 0),

em relação a x, e o Teorema 4.3 implica a unicidade das soluções. Mostremos agora que os membros direitos dessas equações podem ser elementos arbitrários de R. 4.4 Teorema. (a) Sejam a, b elementos arbitrários de R. Então a equação a tem a solução única x = (-a) + b.

+ x;;;:; b

(b) Sejam a :fi: O e b elementos arbitrários de R. Então a equação a · x = b tem a solução única x =(l/a) · b. Demonstração. Como a+((-a)+b)=(a+(-a))+b=O+b=b, é claro que x = (-a) + b é uma solução da equação a + x = b. Para estabelecer a unicidade, seja x 1 uma solução qualquer desta equação; então

a+x 1 =b. Adicionando -a a ambos os membros da equação, obtemos

(-a)+ (a+ x 1 ) =(-a)+ b. Utilizando (A3), (A4) e (A2), obtemos

= (-a) + (a + .x 1) = (-a) + b. Logoxl =(-a)+b. Deixamos como exercício a demonstração da parte (b).

4.5 Teorema. Se a e b são elementos arbitrários de R, então (a) a ·O= O; (c) -(a+b)=(-a)+(-b); (e) (·-1) · (·~1) =L

(b) -a "" (-1) - a; {d) -(-·a)= a;

Demonstração. (a) De (M3), sabemos que a · 1 =a. Logo

a+ a · O= a · 1 +a · O= a · ( 1 +O)

=a · 1 =a. Aplicando o Teorema 4.2(a), ínferimos que a ·O =0.

{b) Vê-se que

a+ (-1) . a = 1 . a + (- n . a = ( 1 + (-1)) - a

l

=O· a= O.

'

40

Q.E.D.

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f

..~·

\.

'

t' ~·

Decorre do Teorema 4.3(a) que ( -1) (c) Temos

:SteLD.

·a= -a.

-(a+b)=(-1) · (a+b).=(-1) · a+(-1) · b

:do

I

..... ·

\

( ( '

.. ~·

=(-a) +(-b). (d) Por (A4) temos (-a) +a= O. De acordo com a asserção de unicidade do Teore- ( ·. ma 4.3(a), deco.rre que a=-( -a). ·

que

(e) Em (b), façamos a= -1. Temos:

=b

-(-1)=(-1) ·(-1). Logo, a afinnação decorre da parte ( d) com a = 1.

so-

4.6 Teorema. (a) Se a ER e a:# O, então l/a =f.: O e 1/(1/a) =a.

(b) Se a, b ER e a • b =O, então ou a= O ou b =O.

(c)Sea, b ER, então (-a)· (-b) =a· b. (d)Sea ER e a =f.: O, então 1/(-a) = -(1/a).

<

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'

( ("

Q.E.D. , _

('

c·· .

/

( /

Demonstração. (a) Se a 1= O, então l/a* O, pois, de outra forma, 1 =a ·(l/a) =a · \. · O =0, o que contraria (M3). Como (1/a) "a= 1, decorre do Teorema 43(b) que a= ( ·

1/(1/a).

..

(b) Suponhamos a • b =O e a *O. Multiplicando por l/a, obtemos

b = 1 · b =((lia)· a)· b = (1/a) ·(a· b) =(1/a)·O=O.

(

(

(

Argumento análogo vale se b 1= O. (c) Do Teorema 4.5, temos -a = (- 1) ·a e - b = (- 1) • b; logo

.D.

(

(

(-a)· (-b) = ((-1) ·a)· ((.-1) · b)

(

=(a· (-1)) · ((-1) · b)

(

=

a · (( -1) · ( -1)) · b = a · 1 · b

=a · b.

(

(

(d) Se a 1= O, então 1/a =F O e -a :F O. Como a· (l/a)= l, decorre de (c) que (-a)· ( (-·(l/a))= 1. Aplicando o Teorema 4.3 (b), deduzimos que 1/(-a) = --(1/a). Q.E.D. ( (

'·

;

.NúMEROS_ RACI~NAIS . . • . . _ ( Daqu1 por diante omttlremos o "ponto> para denotar a multiphcaçao, escrevendo '· simplesmente ab em lugar de a • b: Como de costume, escreveremos a 2 para denotar a •a, r a3 para aaa =(a 2 )a, e se n E N definiremos an + 1 = (an )a. Segue-se, por indução matemáti· ~.. ca, que, sem, n EN, então (

(*)

/•1 I' .

.!jl

I

r

,Mil

Jll

:•ti

para qualquer a ER. Analogamente, escreveremos 2 para denotar 1 + 1, 3 para 2 ( 1 + l) + 1 etc. Outrossim, escreveremos geralmente b - a em lugar de (-a) + b (-a) e, se a #:O, escreveremos

)li .• ! i , I

Jll

!

. iTI

f

~

b

)li

a

'

=b +

b a

em lugar de (1/a) ~ b =b • (lfa). Denotaremos também 1/a, pora- 1 e 1/an pora-n. Podese então mostrar que a fórmula(*) vale param, n E Z quando a#: O, desde que adotemos as convenções a0 = 1, a 1 =a. · Os elementos de R da fonna

li Ii

l

ou

b!a

i

+ 1=

ou

-b a

'

li i

.!li. Il';j

com a, b EN, a #:0, são chamados números racionais; denotaremos o conj':mto de todos os números racionais em R pela notação-padrão Q. Os elementos de R que não são racionais, dizem~se números irracionais. Conquanto esta tenninologia não seja muito feliz, é praticamente padronizada; por isso, adotá·la-emos. Encerraremos esta seção com uma demonstração de que não existe um número ra· cional cujo quadrado seja 2. 4.7 Teorema. Não existe um número racional r tal que r2 = 2.

=

li

Demonstração. Suponhamos (pjq) 2 2, com p e q ínteiros. Sem perda de generalidade, podemos supor p e q primos entre si. (Por quê?) Como p 2 =2q 2 , decorre que p deve ser um inteiro par [pois, se p = 2k + 1 é ímpar, então p 2 = 4k 2 + 4k + 1 =2 (2k2 + 2k) + 1 é ímpar]. Portanto, p = 2k para algum inteiro k e, daí, 4k 2 = 2qz. Decorre que q 2 = 2k 2 , donde q deve também ser par. Portanto, p e q são ambos divisíveis por, contrariamente à hipótese. Q.E.D.

tI

I:

EXERCI CIOS 4.A. 4.B. 4.C. 4.D. 4.E. 4.F.

Demonstre a parte (b) do Teorema 4.2. Demonstre a parte (b) do Teorema 4.3. Demonstre a parte {b) do Teorema 4.4. Utiiiumdo a indução matemática, mostre que, se a E R em, n E N, então am+n =aman. Mostre que se a E R, a* O, em, n E Z, então am+n = aman. Use o argumento do Teorema 4.7 para mostrar que não existe um número racional s tal

4 .G. t tal que t 2 4.H.

Modifique o argumento do Teorema 4 .7 para mostrar que não existe um número racional 3. Se I; E R é irracional e r E R, r *O, é racional, mostre que r+ ~e r~ são irracionais.

ques1 l

i

=6.

=

i

'

\

'

SEÇÃO 5 PROPRIEDADES DE ORDEM DE R

I I

Introduziremos nesta seção a ímportantc propriedade de "ordem" de R, que desempenha papel relevante em seções subseqüentes. A maneira mais simples de introduzir esta propriedade é utilizar a noção de "positividade estrita", que passamos a explicar.

I ;

·.

42

5.1 As Propriedades de Ordem de R. Existe um subconjunto P, não-vazio, de R, chamado conjunto dos números reais estritamente positivos, que satisfaz as seguintes propriedades: . (i) Se a, b pertencem a P, então a + b pertence ã P. (ii) Se a, b pertencem a P, então ab pertence a P. (iii} Se a pertence a R, então se verifica precisamente uma das seguintes relações:

a EP,

a =0,

-a EP.

A condição (üi) é por vezes chamada propriedade da tricotomia. Implica que o con~ junto N=l-a: a EP}, por vezes chamado conjunto dos números reais estritamente nega~ tivos, não tem elementos em comum com P. Na realidade, o conjunto R é a união dos três conjuntos disjuntos P, {o}, N.

5.2 Definição. Se a EP, dizemos que a é um número real estritamente positivo, e escrevemos a> O. Se a ou está em P, ou é O, dizemos que a é um número real positivo e es~ crevemos a~ O. Se -a EP, dizemos que a é um número real estritamente negativo e escrevemos a< O. Se -a ou está em P ou é O, dizemos que a é um número real negativo e escrevemos a S O. Note-se que, de acordo com a terminologia que acabamos de introduzir, o número b é tanto positivo como negativo; é o único número com este status dual À primeira vista, esta terminologia pode parecer um tanto estranha; mas é conveniente, como veremos. Alguns autores reservam o termo "positivo" para os elementos do conjunto P e usam a expressão "não-negativo" para os elementos dePU {o}. Passamos a introduzir as relações de ordem. ·

5.3 Definição. Sejam a~ b elementos de R. Se a- b EP, escrevemos a> b. Se -(a b} E P~ escrevemos a b. E se -(a- b) EP u {o}, escrevemos a < b. Às vezes convém inverter os sinais, escrevendo-se respectivamente. Além disso, se a

beb


a < b
ou

c > b >a.


ou

c >b

Se aS b e b
a -::;;. b

~ a.

PROPRIEDADES DE ORDEM Estabeleceremos a seguir as propriedades básicas da relação de ordem em R. São as ''leis" familiares das desigualdades que o leitor sem dúvida já encontrou em cursos ante· riores. Serão utilizadas freqüentemente em seções ulteriores, e são de grande ímportâncía. 5.4 Teorema. Sejam a. b, c elementos de R.

(a) Se a > b e b >c, então a >c. (b) Vale exatamente uma das seguintes relações:a

> b, a =b, a
(c) Se a '>-_b e b >a, então a= b. 43

Demonstração. (a) Se a - b e b- c pertencem a P, então, de 5.1 (i) inferimos que a -c= (a- b) + (b -c) também pertence a P. Logo, a> c. (b) Confonne 5.1 (iii), verifica-se exatamente uma das seguintes possibilidades: a- b EP,a- b=O,b -a =-(a- b)EP. (c) Se a if::.b, então, por (b), devemos ter ou a- b ou b -a em P. Logo, ou a> b ou b >a. Em qualquer caso, uma das hipóteses é contrariada. Q.E.D.

5.5 Teorema. (a) Se O =f::. a ER, então a1 >O.

(b) 1 >o.

.

I

(c) Se n EN, então n >O. Demonstração. (a) Ou a ou -a pertence a P. Se a EP, então, por 5.1 (ii) temos a =tlllEP. Se -aEP, então, pelo Teorema 4.6(c) temosa 2 =(-a)(-a)EP. Logo, em qualquer caso, a 2 E P . 2

.I

I!

'' f1 ' ·. i

I !I Ii

11i l

p

(b) Como 1 = (1) 2 , a conclusão decorre de (a). (c) Usaremos a indução matemática. A validade da asserção para n = 1 é a parte (b). Se a asserção é verdadeira para o número natural k (isto é, admitindo k E P), então, como 1 E P, decorre de 5.1 (i) que k + 1 E P. Logo, a afirmação é verdadeira para todos os nú· meros naturais. Q.E.D. O leitor sem dúvida já conhece as propriedades que seguem.

I'

5.6 Teorema. Sejam a, b, c, d elementos de R.

(a) Se a> b, então a +c> b +c. (b) Se a> b e c> d, então a +c> b

+ d.

(c) Se a> b e c> O, então ac > bc. (c~) Se a> b e c O, então 1/a >O.

r

f

(d')Sea
~'

II I

(b) Se a- b e c- d pertencem a P, então, por 5.1 (i), concluímos que (a+ c)(b + d) = (a - b) + (c - d) também pertence a P. ,

I

(c) Se a- b e c pertencem a P, então, por 5.1 (ü), ac- bc =(a- b) e também per-

i ;'

I

Demonstração. (a) Note-se que (a+ c)- (b +c) =a·- b.

tence aP.

(c') Se a- b e -c pertencem aP, então, por 5.1 (ií), bc- ac =(a- b)( -c) tàmbérn pertence a P. (d) Se a> O, então, por 5.1 (iii) a=/= O, de modo que o elemento 1/a existe. Se 1/a=O, então 1 :::;a(l/a)=O, o que é uma contradição. Se l/a< O, então (c'), com c= l/a implica que 1 =a (l/a) O, já que as outras duas possibilidades foram excluídas. (d') Demonstra-se por argumento análogo ao de (d). Ou, também, podemos apelar Q.E.D. para o Teorema 4.6(d) e usar (d) diretamente. 5.7 Teorema. Se a> b, então a> ; (a+ b) > b. 44

I

/1 Demonstração. Como a> b, decorre do Teorema 5 .6(a), com c =a, que 2a >a+ b e do Teorema 5.6(a), com c =b, que a+ b > 2b. Pelo Teorema S.S(c); sabemos que 2 >O, e do Teorema 5.6(d), que f> O. Aplicando o Teorema 5.6(c) com c= deduzi· mos que a>; (a+ b) e+ (a+ b) > b. Logo, a>·; (tz + b) > b. Q.E.D.

-h

.

!

O teorema que acabamos de demonstrar (com b =O) implica que, dado um número a estritamente positivo, existe outro número estritamente menor e estritamente positívo (a saber ta). Assim, não existe um número real estritamente positivo mínimo. Já vimos que se a >O e b >O, então ab .>O. Também, se a O. Mostremos agora que a recíproca é verdadeira. 5.8 Teorema. Se ab >O, então ou a> Oe b >O, ou a< O e b
5.9 Corolário. Se ab O e b O.

5.10 Definição. Se a E R, definimos o valor absoluto de a (denotado por !ai) como

=-a

/

·.

l .

c··· (

' ..

(

(

'

(

(

VALOR ABSOLUTO A propríedade de tricotomia 5.1 (üi) afirma que, se a* O, então um dos números, a ou -a, é estritamente positivo. Define-se o valor absoluto de a* O como o elemento estri· tamente positivo·do par{a, -a}; o valor absoluto de O é O, por definição.

'

\

(

Deixamos a demonstração como exercício.

la!= a

I

(

Demonstração. Se ab >O, então a::/= O e b -::fo O. (Por quê?) Se a> O, então, pelo Teorema 5.6(d), inferimos que 1/a >O e de 5.6(c), que b = ((1/a)a)b = (1/a)(ab) >O. Por outro lado, se a
l

....

se

a

se

a
O,

c (

{ (~

Assim, o domínio da função valor absoluto é todo o conjunto R, e seu contradomínio é P u{o}; a função leva os elementos a, -a no mesmo elemento.

5.11 Teorema. (a) la!= O se e somente se a= O. (b) 1- a I = la I para todo a E R.

(

:

(

f \

(c) lab·l = Jallbl para todo a, b E R.

(

. (d) Se c~ O, então ja I s;, c se e somente se -c-::;;. a :::;;: c. (e) -[a! ,Sa la! para todo a E R.

(

s

Demonstrt1ção. (a) Se a =0, então, por definição, 101 =0. Se a :?O, então também -a::/= O, de modo que la I* O.

(

(b) Se a= O, então 101 =O= 1-0l. Se a> O, então la! =a = 1-a!. Se a< O, então ]ai~ -a= 1-al.

\

(c) Se a> O e b >O, então ab >O, de modo que jabl =ab = latlbl. Se a< O e b >O, então ab
'

(

( ( {

'

( 45

J

(

'

'

!li

I!! i

s

IH

(d) Se la! c então a:::;: c e -a< c. (Por quê?) Da última desigualdade e do Teorema 5.6(c'), inferimos que -c
Jll

til

{

!

(e) Utilize a parte (d) com c= !al2 O.

fii Ili

O próximo resultado será utíiizado com freqüência no que se segue. (Recorde o leitor que a ± b significa tanto a + b como a - b).

li!

llal-lb! I::;; la± bl s la I+ lbJ.

5.12 A Desigualdade Triangular. Se a, b são reais quaisquer, então

IH

Demonstração. Pelo Teorema 5.11 (e), temos -lal Aplicando 5.6(b), inferimos que

JU

. ,!i•

l

lii

lil 111

·

-lbl

< ±b < lb!.

Do Teorema sigualdade. Como la[= !(a - b) + b I :S: la - b I+ lbl (por quê?), segue-se que !ai - lbl :S: lab!. Analogamente, lbl- lal:::;: la- bl. (Por quê?) Combinando estas duas desigualdades, deduzimos que !la! - !bll :S: la - b !, que é a primeira parte da desigualdade, com o sinal menos. Para obter a desigualdade com o sinal mais, substituímos b por -b. Q.E.D.

IH

'

sa :5: la!_ e

-(la! +lbi) = -lal-!bl
:]H

! '

Q.E.D.

5.13 Corolário. Se a 1 , a2 , ••. , an são n números reais, então

Ia 1 + a,+ · · · + a"! s Ia d+I azl +· · · + Ia,J Se n = 2, a conclusão é precisamente 5 .12. Se n > 2, utilizamos a

. '

Demonstração. indução matemática e o fato que

ti '

!a~+ a2 + · · ·+a"+ a~<·•ll = j(at + a2 +- · · + a~c) + al<.+d

:::;; la1 + a1+ · · · + ad +lak .. t\. Q.E.D.

'r.t

.•

EXERCÍCIOS

S.A. Sea,bER ea~ + b 2 ::::O,mostrequea=b=O. 5 .B. Se n E N. Mostre. que n2 > n e, daí, que ljn'l < 1/n. S.C. Se a> -1, a ER, mostre que (1 +a)"> 1 +na para todo n EN. Esta desigualdade é conhecida como desigualdade de Bernoulli'. (Sugestão: Use a indução matemática.) · S.D. Se c> 1, c E~. mostre que cn >c para todo n EN. (Sugestão:c 1 +a com a> O.) 5.E. Se c> !,c E R, mostre que em> cn param> n, m,n EN. S.F. Suponha O O, a E R. Mostre que a- 6 < x
=

2

46

Jacob Bernoulli (1654-1705) era membro de uma famflía suíça da qual se originaram vários matemáticos que desempenharam papel relevante no desenvolvimento do cálculo.

.' ; '

l

J

"'';

'I ;

'

5. N. Grafe, no plano R XR, os pontos (x, y) tais que Ix! + IYI = 1. 5.0. Se x, y, z pertencem a R, então x < y :S z se e somente se Jx- yl + IY - zl = lx- zJ. 5.P. Se O O, então li 5,.b. S.R. Mostre que, se a -e b para todo B >O, então a< b. Mostre também que não decorre

que a< b.

~

tI ;

SEÇÃO 6 A PROPRIEDADE DE COMPLETEZA DE R Apresentaremos agora mais uma propriedade do sistema de números reais, comumente chamada "propriedade de completeza", pois garante a existência de elementos em R quando são satisfeitas certas hipóteses. Há várias versões desta propriedade; escolhemos a que constitui provavelmente o método mais eficiente, admitindo que os conjuntos limitados em R tenham um supremo. SUPREMOS E ÍNFIMOS Vejamos em que consiste a noção de cota superior de um conjunto de números . reais. Esta idéia será da máxima importância em seções ulteriores. 6.1 Definição. SejaS um subconjunto de R. (a) Diz-se que um elemento u E R é cota superior deSses:::;: u para todos E S. (b) Um elemento w E R é cota inferior de S se w ~ s para todos E S. Note-se que nem sempre um conjuntoS c R tem uma cota superior (basta tomar, por exemplo, S -.R). Todavia, se um conjunto tem uma cota superior, então admite uma infinidade delas, pois, seu é uma cota superior de S, então também o é u + n, para qualquer n EN. O conjunto S 1 ={x ER :0 o conjunto vazio go:r.a da propriedade singular que todo número real é cota super}or dde; também, todo real é cota ínferior de 0. Isto pode parecer artificial, mas é uma conseqüência lógica' de nossas definíções e, assírn, devemos

aceitá-la,

.~

Por questão de terminplogia, quando um conjunto admite cota superior, dizemos que ele é cotado superiormente, e quando admite cota inferior, dizemos que é cotado in.~ feriormente. Um conjunto dotado de cota superior e cota inferior diz-se simplesmente cotado. Um conjunto que não admite cota superior, ou inferior, diz-se não- cotado. Os con-

,

Cotas inferiores de S i ' t

'

Figura 6.1 Supremos e ínfimos.

47

juntos s, e S 2 descritos anteriormente são ambos cotados. Mas o conjunto P ER : x >o }de R e não-cotado, pois não admite ~ota superior: An~ogamente, o conjunto R é não-cotado, poís não admite nem cota supenor nem cota mfenor.

={x

1

6.2 Definição. SejaS um subconjunto de R. (a) Se S é cotado superiormente, uma cota superior deSse diz supremo (ou menor cota inferior) de S se é menor do que qualquer outra cota superior de S. (b) Se S é cotado inferiormente, uma cota inferior deSse diz ínfimo (ou maJ..e:;r cota inferior) deSse é maior do que qualquer outra cota inferior de S. (Cf. Figura 6.1.) Em outras palavras, um número u E R se diz supremo de um subconju:·;Jo S de R se satisfaz as duas condições: (i)

s S. u para todos E S;

(ii) se v é um número tal.que s $v para todos E S, então u $v. De fato, pela condição (i), u é uma cota superior de S, e pela (ii), u é menor do que qual-

quer outra cota superior de S. É claro que só pode haver um supremo para um dado subconjuntoS de R. Pois, se u 1 e u 2 são supremos de S, então ambos são cotas superiores de S. Como u 1 é supremo de S e u 2 é cota superior de S, devemos ter u 1 < u 2 • Argumento análogo mostra que deve· mos ter u 2 ~u 1 . Portanto, u 1 =u 2 . De modo análogo mostra-se que só pode haver um ínfimo de um subconjuntoS de R. Quando tais números existem, denotamo-los por supS

inf S.

e

Pode ser conveniente dispormos de outra caracterização do supremo de um subconjunto deR.

6.3 Lema. Um número u E R é o supremo de um subconjunto não·vazio S Ç,_R se e somente se goza das seguintes propriedades: (i) Não hd elementos s E S com u

i

< s.

(ii) Se v< u, então existe um elemento

Sv

E S tal que

., u


Demonstração. Suponhamos que u satisfaça (í) e (ii). A condição (i) implica que ué cota superior de S. Se v é tal que v < u, a propriedade (i i) mostra que v não pode ser cota superior de S. Logo, u é o supremo de S. Reciprocamente, seja u o supremo de S. Como ué cota superior de S, vale a condição (i). Se v< u, então v não é cota superior de S. Portanto, existe um elemento sv E S tal que v
. !

.i

Ê uma propriedade profunda e fundamental do sistema de números reais que todo subconjunto não-vazio de R cotado superiormente tem um supremo. Faremos uso freqüente e essencial desta propriedade; que consideramos como nossa hipótese final sobre

R.

I !;

I

!

48

i

I

I

I

..

'·

6.4 Propriedade do Supremo. Todo conjunto não-vazio de reais cotado supen'ormente tem um supremo. Estabelece-se facilmente a propriedade análoga para o ínfimo. 6.5 Propriedade do Ínfimo. Todo conjunto não-vazio de reais cotado inferiormente

tem um infimo.

Demonstração. Seja S cotado inferiormente e consideremos o conjunto S 1 ={- s: sE S }cotado superionnente. A Propriedade do Supremo afinna que S 1 tem um supremo u. Deixamos ao leitor mostrar que-ué o fufuno de S. Q.E.D.

{ \

(

.

~i

\

(

'

(

l A PROPRIEDADE ARQUlMEDJANA 3 Conseqüência importante da Propriedade do Supremo é que o subconjunto N dos números naturais não é cotado su períormente em R. Em particular, isto significa que, dado um real x, existe um número natural n que é maior do que x (pois, de· outra fonna, x seria cota superior de N). Demonstremos esta afirmação.

(

{

(

< nx.

(

Demonstração. Se a conclusão falha, então x é cota superior de .N. Portanto, pela Propriedade do Supremo, N tem um supremo u. Como x é cota superior de N, segue-se que u ::.;:x. Como u- 1
\

6.6 Propriedade Arquimediana. Se x ER, existe um natural nx EN tal que x

<

6.7

Corolár~o.

Sejam y e z reais estritamente positivos.

ntal que ny > z. (b) Existe um número natural n tal que O< l/n < z. (c) Existe um número natural n tal que n- 1 sy
I

(

\.

t' ( (

{a) Exi'ite um número natural

(

Demonstração. (a) Como y e z são estritamente positivos, então x =zjy também é estritamente positivo, Seja n EN tal que zfy = x < n. Então, z
(b) Seja n EN tal que O< 1/z < n. Então O< 1/n
( {

\

\

_i

{

(c) A Propriedade Arquimediana afirma que existem números naturais m tais que y < m. Seja n o menor desses números naturais (v. seção 3). Então n - 1 S:y < n. Q.E.D.

Pelo Teorema 5.7, vímos que não existe um real estritamente positivo mínimo·. O

Corolário 6.7(b) mostra que, dado z >O arbitrário, existe um raCional da forma 1/n, com O < 1/n z. Costuma-se dizer que "existem números racionais, arbitrariamente pequenos, da forma 1/n''.

<

.,

.,

'

"

(

( ..

( (

i

A EXISTENClA DE ...fi Uma característica importante da Propriedade do Supremo é que ela assegura a exis· tência de certos números reais. Utilizá-Ja-emos muitas vezes. Por ora} mostraremos que as-

I

3

'

{

\

(

( Esta propriedade é chamada "arquimediana" em honra de Arquimedes (287-212 A.C.), considerado "a maior inteligência da Antiguidade'' e um dos fundadores do método cientifico.

f

•

(

49

"• \

.

'

I

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Jll fl!

lu

lu

Ili jll

jll IH

jlí"

segura a existência de um número real positivo x tal que x? = 2; isto é, uma raiz qwdrada positiva de 2. Este resultado complementao Teorema 4.7.

6.8 Teorema. Existe um número positivo x E R tal que x 2

Demonstraçã?· Seja S ={y E R :O :::;;_y ,y2 :::;;: 2}. S é cotado superiormente por 2, pois, do contrário, existiria um elementos E S tal que 2 < s, donde decorreria que 4 < s2 :::;;: 2,- uma contradição. Pela Propriedade do Supremo, o conjuntoS tem um·supremo. Seja x =sup S. Obviamente x >O. Afirmamos que x 2 = 2. Em caso contrário, ou x 2 < 2 ou x 2 > 2. Se x 2 < 2, seja n E N tal que 1/n < (2 - x 2 )/(2x + 1). Em tal caso,

'li

[lti li!

\'

Jll

'

o que implica x + 1/n E S, contrariando o fato de que x é cota superior de S. Se x 2 > 2, escolhemos m EN tal que 1/m < (x 2 - 2)/2x. Como x = sup S, existe um s0 E S com x- 1/m
1 2x 2x 1 ( 1 )
I!

[ií

•

1

2 1 ) 2x 1 1 =x 2 +-+-,:s;x + 2x + 1
.ll

li

=2.

Logo,

s5 > 2, contrário ao fato de que s 0 E2 S.

Como excluímos as possibilidades x

< 2 e x 2 > 2, devemos ter x 2

= 2.

Q.E.D.

Modificando ligeiramente o argumento do Teorema 6.8, o leitor mostrará que se a ;c O, entãc. existe um único número b > O tal que b ~ =a. A raiz quadrada positiva de a é b e se denota por

ou

~~

b = am.

\

li'

}l

)i

li ]f

jr

li

....ti

Sabemos agora que existe pelo menos um elemento irracional, isto é, (raiz qua· drada positiva de 2). Na realidade, existem "mais~' números irracionais do que números racionais, no sentido de que (como vimos na seção 3), o conjunto dos racionais é enume~ rável, enquanto que o conjunto dos irracionais não o é. Mostraremos que existem núme* ros irracionais arbitrariamente pequenos; este resultado complementao Corolário 6.7.

6.9 Corolário. Seja ~>O um número irracional e seja z >O. Então existe um núme~ ro natural m tal que o irracional ~/m satisfaz O< ~Jm < z. Demonstração. Como ~>O. z >O, decorre dos Teoremas 5.6(d) e 5.6(c) que t;/z >O. Pela Propriedade Arquimediana, existe um número natural m tal que O< Uz < m. Portan· to, O< ~fm
Q.E.D.

!1

jl '

Mostremos agora que entre dois reais d'stintos quaisquer existe nm racional e um irracional (na realidade, infinitos racionais e infinitos irracionais!).

I!

6.1 O Teorema. Sejam x e y números reais, com x

"

'

< y.

(a) Então existe um racional r tal que x O é um í'rracional, emão existe um racional s tal que o irracional s~ veri-

fk.a x



Demonstração. Não há perda de generalidade se supusermos O
l

(a) Como y- x >O, decorre do Corolário 6.7(b) que existe um natural m tal que O < 1/m < y - x. Pelo Corolário 6.7 (c} aplicado a mx > O, existe um natural n tal que n-1 - < x
n-1

·

,•' '

m

n

sx
o que implica y- x ::5: 1/m, contrariando a escolha de m. Portanto, x

< njm
(b) Supondo O O, temos xj~
6.B. 6.C. 6.D. 6.E. 6.F.

Prove que um conjunto não-vazio, finito, de rerus, tem supremo e ínfimo. Se um subconjuntoS de R admite uma cota superior, então esta é o supremo de S. Dê exemplo de um conjunto cotado de racionais que não admita supremo racional. Dê exemplo de um conjunto de irracíonais que admita um supremo racional. Prove que a união de dois conjuntos cotados é cotada. Sejam X não-vazio e f: X,..,... R e g ~X-+ R funções co?} contradomfnios limitados. (a) Se {(x) < g(x) para todo X E X, mostre que inf1f(x) :x Ex}< inf{g(x): X E que sup{7(x): X E sup{g(x) :x E

X}$

X}.

x}e

(b) Mostre que sup{lf(x)-/(Y)!:x,yex}=sup{f(x)-f(y):x,yex}=sup{fCx):

:x: ex}- mr{t(Y) :y e xf.

6.G. Se Sé um conjunto cotado em R e S 9 é um subconjunto não-va:r.io de S, mostre que inf S

~

inf So

~

sup So :S sup S.

Às vezes convém exprimir este fato de outra maneira. Seja D ofo f/1 e consideremos f: D _,.R com contradomínio límita:do. Se D 0 é um subconjunto não-vazío de D. então

ínf {f(;x;): x e D} s inf {f(x): x 6.H. R. Sejam

E

Do} s sup {f(x): x E Do} s; sup ff(x): x E D}

Sejam X e Y conjuntos não-vazios e seja f: X X Y-+ R com contradomínio limitado em

f,(x)

=sup {f(x, y): y E Y},

f~(y) ""'sup

{f(x, y): x E X}.

Estabeleça o Princípio do Supremo Iterado: sup {f{x, y): x E X, y E Y}= sup {f,(x): x E X}

= sup {fiy): y E Y}. Simbolicamente:

'

sup f{x, y) = sup sup f(x, y) = sup sup f{x, y). x. 't

6.I.

•

r

Sejam f e f 1 como no exercício precedente, e seja

gz(y) = inf {f(x. y): x E X}. Prove que

51

Mostre que a desigualdade estríta pode ocorrer. Esta desigualdade às vez.es é expressa como

sup inf f(x., y) :S in f sup f(x, y ). ,.

X.

J,

,

6. J. Sejam X um conjunto não·vazio e f; X....,. R uma função com contradomínio limitado em R. Se a ER, mostre que

·1

sup {a+ f(x): x E X}= a+ sup {f(x.); x E X}, in f {a + f(x) : x

E

X}= a +in f {f(x) : x

E

X}.

6.K. Sejam X um conjunto não-vazio e[ e g funções definidas em X com contradomínios liml· tados em R, Mostre que

inf {f(x):x eX}+ inf {g(x) :x. eX} :S: inf {f(x)+ g(x) :x eX}

::;; inf {f(x): x E X}+ sup {g(x): x e X} <

sup {f(x) + g(x): x

.:S

sup {f(x): x E X}+sup {g(x):x eX}.

E

X}

De exemplos para mostrar que as desigualdades podem ser estritas. 6.L. Se z >O, mostre que existe n E N tal que 111n < z. 6.M.

Modifique o argumento no Teorema 6.8 para mostrar que se a >O, então o número

b=sup{yeR:Osy,

y2

a}

existe e goz.a da propriedade bl =a. Denotvemos este número por .Jã ou a 11 ~, e o chamaremos raíz. quad:rada positiva de a. 6.N. Use o Exercício 5.P para mostrar que se O
PROJETOS4 6.e<:.

Se a e b são reais extrita:mente positivos e se n E N, já definimos a 11 e b 11 • Por indução matemática decorre que, sem, n E N, então

(ii)

(a~Y=am";

(iii) (abt"""afib"; (i v)

a< b se e somente se

a~<

b".

=

Adotaremos a convenção a 0 . == 1 e a-n 1/a 11 • Temos assim definido a:x para x em Z, veriflcando--.se facilmente que as propriedades (i)-{íii) permanecem v-álidas. Queremos definir ax para racionais x de tal modo que (i)·(iii) se verifiquem. Poderemos seguir os passos abaixo. Admitiremos que a e b sejam números reais maiores do que 1.

I I

x

11

4

52

(a{ Se r é um racional dado por r= m/n, m, n inteiros e n >O, definimos Sr(a) ={x E R :0 < amt· Mostre que Sr(a) é um subconjunto não-vazío, cotado, de R, e defina ar= sup S,(a ).

<

Os projetos constituem como que um desafio para o leitor, mas diferem entre sí consideravel· mente quanto ao grau de dificuldade, Estes três projetos (assaz difíceis) foram incluídos aqui porque pertencem logicamente a esta seção. O leitor deve voltar a eles mais tarde, quando já tiver maior experiência com supremos.

~

I

'

(h) Prove que z ar é a única ral:t. positiva da equação z~'~ =am. (Sugestão: Existe uma constan· te K tal que, se O< e< 1. então (1 + eY1 < 1 + Ke. Logo, se xn < am < yn, existe um e> O tal que

x"(l +e)"< a"'< y"/(1 te)".)

(d) Mostre que, se r, s, E Q, então aras= ar+s e (a~")S = ars.

• ,•

I

j

,.

\

.

(f) Ser E Q,r >O, então a< b se e somente se ar< br.

{

(g) Se r, sE Q, então r< s se e somente se ar< as.

( '

T,.{a)={a':reQ,

r-sul.

ll"

}

(

'

( /

\..

( (

e indicar seu valor no número reaJ u por exp0 (u) ao invés de au.

6.7.

Utiliz.ando as propriedades da função exponencial estabelecidas no projeto precedente, mostre que exp0 é função injetiva com domínio R e contradom(nio{y e; R :y > 0). Sob a hipótese de que a > 1, esta função exponencial é estritamente crescente no sentído de que se x < u, então exp0 {x) < expa(u). Portanto, a ínversa existe, com domínio{ vER :v> contradomínio R. Esta invecsa é chamada logaritmo (base a) e denotamo-la por

o}e

(

\

..

{

•

I;

'

(

lo~.

(

Mostre que lo& é uma função extritumente crescente e que

log.(exp,(u)) =

t(

para u e R

(

Mostre tanlbém que io&:x(l);:;;:; O, lo& (a)= 1, e que

< 1,

(

'

l

exp0

Iog,. (o) < O para v

·•

(

Mostre que esta defmição dá o mesmo resultado que o anterior quando u é racionaL Estabeleça as propriedades correspopdentes às afirmações feitas nas partes (d}-(g) do projeto precedente. A função muito importante - definida em R neste projeto é chamada:,~. função exponencial (com base a). Mais adiante daremos deHnições alternativas. Às vezes convém denotar esta função pelo símbolo

parau>O,

{

'•

=sup T,.(a).

>

...

(

Mostre que Tu(a) é subconjunto não-vazio cotado de R e defina

exp,(log.(v))=v

!'

'·

(h) Se c é um número real que satisfaz O < c < 1, definimos cr = (1/c)-r. Mostre que as partes (d) e (e) pennanecem válidas, e que também se verifica resultado análogo a (g), com a desigualdade invertida. 6.(J. Definido ax para x racional, desejamos agora defini-lo para x reaL Para tanto, poderemos utili:r.ar Uvremente os resultados do projeto precedente. Como anteriormente, sejam a e b reais maiores do que L Seu e R, seja

.

f

(

(e) Mostre que arbr == (ab y_

í

lo g.(o} > O para u > 1 .

..

l\

Prove que, se o, w >O, então

f

log.(ow) =log.(o)+ log. . {w).

(

Além disso, se v> O ex E R, então

..

,,J ''

(

53

\ I

~

í\

\.

(c) Mostre que o valor de ar dado na parte (a) não depende da representação de r na forma m/n. Mostre também que, se r é inteiro, então a nova definição de ar dá o mesmo va{or que a definíção anterior.

~

..

I\ I 1

SEÇÃO 7 CORTES, INTERVALOS E O CONJUNTO DE CANTOR

Dedekind idealizou outro método para completar os números racíonais, a fim de obter R; tal método baseia·se na noção de "corte". 5

7 .I Definição. Díz-se que um par ordenado (A, B) de subconjuntos não-vazios de R constitui um corte se~ nB =0,A U B =R, e a
. do

A~{xeR:x<~},

B

= {x e R: x > ~}.

Alternativamente, poderíamos tomar A~={xeR:x<~},

H H

'

<

B1 = {x e R : x ;:;:;

ÇJ

Propriedade importante de R é que todo corte em R é determinado por um número reaL Estabeleceremos esta propriedade. ~

.H

--------~A____________fr---------------B~------------

)li '•

IH Figura 7.1 Um corte de Dedekind,

\!! .

li! 111

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11·

i

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H. il

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li li

li

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I

7.2 Propriedade do Corte. Se (A, B) é um corte em R, então existe um só número ~ E R tal que a ::;;, ~ para todo a E A e ~ ~ b para todo b E B. Demonstração. Por hipótese, os conjuntos A e B são não-vazios. Qualquer elemento de B é cota superior de A. Logo, A tem um supremo~ que denotaremos por~· Como~ é cota superior de A, então a S ~ para todo a E A. Se b E B, então, da definição de corte, a ::;;, b para todo a E A. L.ogo, b é cota superior de A e, assim,~ Sb. Demonstra-se, pois, a existência de úm número com as proprie· dades indicadas. Para estabelecer a unicidade de ~. seja 17 E R tal que aS 17 para todo a EA e 11 < b para todo b E B. Segue-se que 17 é cota superior de A ; logo, ~ 11. Se ~ < 17, então existe um número t = (~ + 17)/2 tal que~< t < TJ. Mas, ou t EA ou tE B. Se t EA, temos uma contradição do fato de que a < ~ para todo a E A: Se ~E B, temos uma contradição do fa· to de que 11 '!{, b para todo b E B. Portanto. devemos ter~ = TJ. Q.E.D.

s

Na realidade, o que Dedekind fe:;. foi, em essência, definir um número real como um corte no sistema de números racionais. Este processo permite ''construir" o sistema de números reais R a partir do conjunto Q de números racionais.

CELAS E INTERVALOS

Se a E R, então os conjuntos

l

{xeR:x
l 5

' 54

{xER:x>a}

Richard Dedekind (1831-1916) foi aluno de Gauss, Deu contribuições à teoria dos números, mas é muito mais conhecido por seu trabalho sobre os fundamentos do sistema de números reais.

i

se dizem raios abertos, definidos por a. Analogamente, os conjuntos {x E R : x ''

<

{x E R : x ~ a 1

a},

se chamam raios fechados definidos por a. O ponto ã se chama extremidade do raio. Costuma-se denotar tais conjuntos por (-co a) ) [a, +oo), (-co, a], (a, +oo), ' 1

respectivamente; aqui,

R.

-oo

e +=são meros símbolos; não são considerados elementos de

Se a, b ER e a -::;;.b, então o conjunto

{xeR:a
{x E R : a

< x :s;

b}

é chamado cela fechada definida por a e b e se denota por [a, b ]. Os conjuntos

{x

E

R: as x < b},

{x E R: a< x

< b}

chamam-se celas semi-abertas (ou semifechadas) definidas por a e b e se denotam por

[a ~ b),

(a , b },

respectivamente. Os pontos a, b chamam-se pontos extremos dessas celas. Um intervalo em R é um raio, ou uma cela, ou todo R; assim, temos dez tipos de intervalos em R, a saber:

0, (a, b],

(-oo, a), (a, b),

(-oo, a],

[b, +oo),

[a,b], (b, +ooL

[a,b), R,

onde a, q E R e a < b. Cinco desses intervalos são limitados. Dois são limitados acima mas não abaixo, dois são limitados abaixo mas não acima. A cela unitária (ou intervalo unitário) é o conjunto [O, 1] ={x E R : O S x S 1}. Denotá-lo-emas por I. Diremos que uma seqüência de intervalos In, n EN, é encaixante se a cadeia de in-

clusões

I 1 :::) l z => I 3 :::> · · · :::) In ::) I. . + 1 :::> •

• •

se verifica. É importante notar que uma seqüência de intervalos encaixantes não tem necessariamente um ponto comum. Deixamos como exercício mostrar que, se In. = (n, +=), n EN, então a seqüêncía de intervalos obtida é encaixante mas não tem ponto comum. Analogamente, se In ~(o, l/n), então a seqüência é encaixante mas não tem ponto comum. Propriedade importante de R, entretanto, é que toda seqüência encaixante de celas fechadas tem um ponto comum. Demonstremos este fato.

7.3 Propriedade das Celas Encaíxantes. Se n EN, seja In uma cela não-vazia em R e suponhamos que esta seqüência seja encaixante, no sentido que I1 2

I2 :::> • • ·:::>I.. =>·· · .

Então existe um elemento que pertence a todas essm; celas. 55

I•

Demonstração. Suponhamos In =fa n, b n], com a n :::;, b n para todo n E N. Notemos que In C I 1 para todo n, logo an :;;,b 1 para todo n. Então, o conjunto{an : n EN} é cota· do superiormente. Seja~ seu suprerno;então,an :;:;,~para todon. Afirmamos que t 5, bn para todo n EN. Caso contrário, existe algum mENtal que bm <~.Como~ é o supremo de{an: n ENf, deve existiraP tal que bm
s

Notemos gue, pela hipótese 7 .3, pode haver mais de um elemento comum. De fato, fazendo 'f/ = inf {bn : n E N}, deixamos como exercício para o leitor mostrar que

rs. 11J = n r,. "E N

O CONJUNTO DE CANTOR Introduziremos agora um subconjunto da cela unitária I de grande interesse e útil freqüentemente na construção de exemplos e contra·exemplos. Designaremos tal conjun· to por F e o chamaremos conjunto de Cantor (embora, por vezes, ele possa ser chamado tríada de Cantor, óu descontínuo de Cantor). Uma forma de descrever F é como o conjunto dos reais em I que admltem desenvolvimento ternário (=base 3) utilizando apenas os algarismos O, 2. Defini-lo-emos, entretanto, de modo diferente. Em um sentido que tornaremos mais preciso adiante, F consis· te dos pontos de I que pennanecem após removidos sucessivamente os intervalos "terços médios". Mais explicitamente, removendo o terço médio aberto de/, obtemos o conjunto

F1 =[O, i]u[%, 1]. Removendo o terço médio de cada um dos intervalos fechados em F 1 , obtemos o conjunto Logo, F 2 é a união de 4(= 2:2) intervalos fechados, todos da forma [k/3 1 , (k + 1 )/3 2 ]. Obtemos a seguir F 3 removendo o terço médío de cada um desses cor1juntos. Em geral, construído Fn como união de 2n intervalos da forma [k/3n, (k + 1)/3"J, obtemos Fn+l removendo o terço médio de cada um desses intervalos. O conjunto de Cantor é o que resta após aplicar este processo para cada n em N. 7.4 Definição. O conjunto de Cantor F é a interseção dos conjuntos Fn. n EN, obti dos através da remoção sucessiva dos terços médios abertos.

4

À primeira vista, pode parecer que todos os pontos acabarão sendo removidos por tal processo. Mas isto não é o caso, pois os pontos O, f, ~, 1 pe.rtencem a todos os conjuntos Fn, n E N e, assim, ao conjunto de Cantor. De fato, vê-se facilmente que há ínfinhos pontos em F, mesmo que F seja relativamente magro em outros aspectos. Na realidade, não é difícíl mostrar que há uma quantidade não-<:nu· meráve! de elementos de F e que os pontos de F podem ser postos em correspondência biunívoca com os pontos de/. Logo, o conjunto F contém um "grande" número de elementos.. Indicaremos agora dois sentidos em que F é "magro". Primeiro, notemos que F não contém nenhum intervalo não-va7.ío. Poís se x pertence a F e (a, b) é um intervalo aberto que contém 'X, então (a, b) contém algum terço médio removido para obter F. (Por quê?) Logo, (a, b) nao é subconjunto do conjunto de Cantor, mas contém infinitos pontos em seu complemento~(F).

56

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1

Fl--~0------------------------------------------~------~-...

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Fz.--·--..--~--......- - - - - - - - - - - -.. · - - - - - - - - -

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F3--------------------------------------------------------F4

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------------~--------------~----------------------------

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Figura 7.2 O conjunto de Cantor.

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Um segundo sentido em que F é magro se refere ao "comprimento". Embora não seja possível definir comprímento para subconjuntos arbitrários de R, é fácil convencermo-nos de que F não pode ter comprimento positivo. Com efeito, o comprimento de F 1 é 2.., o de F 2 é : , e, de modo geral, o comprimento de F n. é (~ )n. Como F é subconjunto de F11 , não poâe ter comprimento que exceda o de F,•. E como isto deve ser verdadeiro para cada n em N, conclu{mos que F, embora não-enumerável, não pode ter comprimento positivo. Por mais estranho que o conjunto de Cantor possa parecer, eie é "bem-comportado" em muitos aspectos. Mostra~nos quão complicados podem ser certos subconjuntos de R e quão pouco podemos confiar em nossa intuição. Serve também como teste dos conceitos que introduziremos mais adiante e que não podem ser apreendidos em termos de intervalos e de outros subconjuntos elementares.

Nas seções 4~6 introduzimos R axiomaticamente, indicando algumas propriedades supostamente inerentes a ele. Mas isto suscita a questão se tal conjunto realmente existe e se é univocamente determinado. Conquanto não pretendamos resolver tais problemas, julgamos adequadas algumas observações a respeito. A existência de um conjunto que é um corpo ordenado completo pode ser demonstrada por construção efetiva. Admitindo o leitor suficientemente familiarizado com o corpo racional Q, podemos definir os números reais como subconjuntos especiais de Q e definir a adição, a multiplicação e as relações de ordem entre esses subconjuntos de modo a obtermos um corpo ordenado completo. Há dois processos para isto: um é o método dos "cortes" de Dedekind, abordado no livro de Rudin citado nas Referências~ outro é o método das "seqüências de Cauchy", de Cantor, estudado no livro de Hamilton e Landin. No último parágrafo afirmamos que é possível construir um modelo de R a partir de Q) de duas maneiras peio menos. É possível também construir um modelo de R a par· tir do conjunto N dos números naturais; este é, na realidade, o ponto de partida dos que, corno Kronecker, 6 consideram os números naturais corno dados por Deus. Mas como o próprio conjunto dos naturais tem suas sutilezas (cornv, p. ex., o princípio da boa ordenação), adw.mos que o processo mais satísfatórío é construir primeiro o conjunto Na partir 6

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MODELOS DER

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Leopold Kronecker (1823-1891) estudou com Dedekind em Berlim e com Kummer em Bonn. Após fazer fortuna antes dos trinta anos, voltou à matemática. É conhecido por seu trabalho em álgebra e teoria dos nt.'uncros e por sua oposição às idéias de Cantor sobre a teoria dos conjun· tos.

57

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de conceitos teóricos primitivos, passando em seguida ao conjunto Z dos inteiros, cons~ truir Q a partir daí e, finalmente, construir o conjunto R. Este processo não é difícil, mas é assaz longo. :E: apresentado no livro de Hamilton e Landin e, assim, não será dado aqui. Pelas observações já feitas, é claro que os corpos ordenados completos podem ser construídos de várias maneiras. Assim, não podemos dizer que existe um (mico corpo ordenado completo. Em certo sentido, todos os métodos de construção que !:!Cabarnos de sugerir conduzem a corpos ordenados completos "isomorfos". (Isto significa que se R 1 e R 2 são corpos ordenados completos obtidos por tais construçõe~, então existe urna aplicação um-a-um cp de R 1 sobre R 2 tal que {í) cp leva um elemento raçionaJ de R 1 no correspondente elemento racional de R 2 , (ii)

(b ), (íií) r.p leva ab. em r.p(a)cp(b) e (iv) cp leva um elemento positivo de R 1 em um elemento positivo de R 2 .) Dentro da teoria elementar dos conjuntos, podemos exibir um argumento de que dois corpos ordenados completos quaisquer são isomorfos no sentido que acabamos de descrever. Se tal argumento pode ser formalizado segundo determinado sistema lógico, depende das re. gras de inferência utilizadas no sistema. Assim, a questão de até onde o sistema de núme~ ros reais pode ser considerado como determinado univocamente é um problema assa;Z delicado de lógica. Para nossos propósitos, entretanto, esta unicidade (ou a falta dela) não é importante, pois podemos escolher qualquer corpo ordenado completo como modelo para o sistema de números reais .

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!I : Hi 11 :

li : li !

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EXERCfCIOS

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a2 < ' ' '

::!f

a,.

Fazendo I;= sup{an: n E N }e 11 == inf {bm: m E

)! ·~

=

7 .A. Se (A, B) é um corte em R, mostre que sup A ínf B. 7 .B. Se os cortes (A, B) e (A', B') detenninam os reais t e t', respectivamente, mostre que i;< t' implica A C A',A -4: A'. 7 .C. l! v;dadeira a recíproca do exerdcio pr~cedente? 7.D. Sejam A ={xe R: x O ex,.> 2}. Mostre que (A, B) é um corte em R, 7 .E. Seja In.= (n, + "") para n E N. Mostre que a seqtiencia de intervalos é encaixante, mas que não existe nenhum ponto comum. 7.F. Seja ln = (0, 1/n) para n EN. Mostre que esta seqüência de intervalos é encaixante, mas que não existe nenhum ponto comum. 7. G. Se f n ""· [an, bnl• n E N, é uma seqüência encaixante de celas fechadas, mostre que

~ . !

•••

bm < • • '

'$

h7

bl •

N}, mostre que [' Ç, 11J = .Q 1,..

7 .H. Mostre que todo número do conjunto de Cantor admite um desenvolvimento ternário (=base 3) utiliz.ando apenas os algarismos O, 2. 7. I. Mostre que a coleção dos pontos extremos "direitos" de F é numeráveL Mostre que, se todos esses pontos extremos forem removidos de F, então o que resta pode ser posto em correspondên· cia biunívoca com todo o intervalo [0, 1). Conclua daí que o conjunto F não é numeráveL 7.J. Todo intervalo aberto (a,b) que contém um ponto deFtambém contém todo um con· . junto "terço médio" que pertence aiS(F). Logo, F não contém nenhum intervalo aberto não-vazio. 7 .K. Removendo conjuntos de amplitude cada vez menor, mostre que podemos construir: um conjunto ''tipo Cantor" de amplitude positiva. Quão grande pode ser a amplitude de tal conjunto? 7. L. Mostre que F não é a união de uma coleção numerivel de intervalos fechados.

58

j

.,. ''

CAPÍTULO 2

A TOPOLOGIA DOS ESPAÇOS CARTESIANOS As seçoes do Capítulo I forâm devotadas ao desenvolvimento das propriedades algéi;rlcas, das propriedades de ordem e da propríedade de completeza do sistema de números reais. Utilizaremos amplamente tais propriedades neste capítulo e em capítulos ulteriores. Conquanto pudéssemos passar imediatamente à discussão de seqüências de números reais e funções reais contínuas, preferimos postergar um pouco o estudo desses tópicos. Introduziremos aqui as noções de espaço vetorial, espaço nonnado e espaço com produto interno. não só porque são noções de fácil apreensão, mas também porque tais espaços surgem em toda a análise (para não falar de suas aplicações à geometria, à física, â engenharia etc.). Os espaços cartesíanos RP terão grande interesse para nós. Felizmente, nossa intuição acerca de R 2 eR 3 nos leva, sem muita alteração, ao espaço RP e o conhecimento desses espaços nos auxiliará na análise de espaços mais gerais. '

SEÇÃO 8 ESPAÇOS VETORIAIS E CARTESIANOS Um "espaço vetorial'? é um conjunto em que podemo.s somar dois elementos e multíplicar um elemento por um número real, de tal forma que certas propriedades familiares permaneçam válidas. Procuremos ser mais precisos. 8.1 Definição. Um espaço vetorial é um conjunto V(cujos elementos são chamados vetores) munido de duas operações binárias chamadas adição vetorial e multiplicação por escalar. Se x,y E V. existe um elemento x + y em V? chamado vetor soma de x e y. Esta operação de adição vetorial verifica as seguintes propriedades: (Al) x (A2)

+ y = y + x para todo x,y em

V;

(x+y)+z=x+(y+z)paratodox~y,zem V;

(A3) existe urri elemento O em V tal que O + x =x ex + O =x para todo x em V; (A4) dado x em V, existe um t;!lemento -x em V tal que x + ( -x) =O e ( -x) X

+

=0.

Se a E R e x V existe um elemento ax em V, chamado produto de a e x. Esta multiplicação por escalar satisfaz as seguintes propriedades: (Ml) lx = x para todo x E V;

(M2) a(bx) = (ah )x para todo a, b E R ex E V;

(D) a(x+y)=ax+ay e (a+b)x=ax+bxpara todos os reais a, bER ex,

yE V.

59

11

l:,,

1 I

l

i :

.

'

. i :~

':

t

.i

nru.s .

Daremos a seguir alguns exemplos elementares, mas importantes, de espaços veto-

8.2 Exemplos. (a) O sistema de números reais é um espaço vetolial em que a adição e a multiplicação por escalar são as operações usuais de adição e multiplicação de números rea1s. (b) Seja R 2 o produto cartesiano R x R. Logo, R 2 consiste de todos os pares arde· nados (x l, x 2 ) de números reais. Definindo a adição vetorial e a multiplicação por escalar por (xJ, x2) + (y~> y2) = (x1 + y1, X2 + y2),

,'

a(xh x2) = (ax~, ax2), ·' .! ·'•'

['

veremos facilmente que as propriedades da Definição 8.1 são satisfeitas. [Aqui O= (0, O) e -(x 1 , x 2 ) = (-x 1 , -x2 ).J Logo,R 2 é um espaço vetorial em relação a essas operações.

I

(c) Sejap EN e denotemos por RP a coleção de todas as p·uplas ordenadas

r

!i

(xt,x2, ... ,xp)

.,i

com xi E R para i= l, ... , p. Definindo a adição vetorial e a multiplicação por escalar por (x1, x2, ... , x")+(y~, ))2, ••• , y") = (x1 + y, x2+ y2, ... , Xr + y")

.ti

a ( x ~, x 2,

. . • , Xp) ""' ( ax , ,

a x 2,

• • • ,

axp),

'vê-se que RP é um espaço vetorial em relação a essas operações. rA qui' o ; : : : (o' o'

... , o) e

-(x 1,x2 , ... ,xp)=(-x 1, -x:2> ... , -xp).] (d) SejaS um conjunto e denotemos por Rs a coleção de. todas as funções u com domínioS e contradomínio em R. (Logo, R 8 é a coleção de todas as funções com valores reais definidas em S.) Definindo u + v e au por (u

Í.

i

'

I

.

J

I .

'

!I !

fr l

' I

Ii I :

;

para todo s E S, pode-se verificar que Rs é um espaço vetorial em relação a essas operações. fAqui, O é a função identicamente igual a O, e -ué a função cujo valor em sE Sé -u(s).J Mais adiante encontraremos muitos outros espaços vetoriais. Em geral, escreveremos x - y em lugar de x + (- y ). PRODUTOS INTERNOS E NORMAS O leitor já terá notado que a multiplicação por escalar em um espaço vetorial V é uma função com domínio R x V e contradomínio V. Muitos espaços vetoriais são também munídos àe uma função assaz importante, com domínio V x V e contradomínio R. 8.3 Definição. Se V é um espaço vetorial, então um produto intemo (ou produto escalar) é uma função de V x V em R, denotada por (x,y) r-> x · y, e que satisfaz:

~

(i) x • x

I I!

"!] I'

II

~O

para todo x E V;

(ti) x · x =O se e somente se x

I

I!

= u(s) + u(s),

(au)(s) = au(s),

I

i

+ v)(s)

=O~ l

60

(iii)

X •y

= y • X para todo X, y E

(i v) x • (y

V~

+ z) =x · y + x • z e (x + y) • z =x • z + y • z para todo x,y, z E

V;

(v) (ax) ·y=a(x •y)=x ·(ay)paratodoaER,ex,yE V.

Um espaço vetorial em que está definido um produto interno chama-se espaço com produto in temo. É possível definir diferentes produtos internos para um mesmo espaço vetorial (v. Exercício 8.D).

8.4 Exemplos. (a) A multíplicação or~inária em R satisfaz as propriedades acima, de modo que R é um espaço com produto interno. (b) Definindo, em R 2 , (XttX:z) ·(yt,Yz)=xlYt +x:zYz,

é fácil ver que se tem um produto interno ém R

2

•

(c) Definindo) em RP, (x,, X2, ... , Xp) · (ylt y2, ... , yp) = XtYl + XzY2+ · · · + Xpyp, é fácil ver que se tem um produto interno em RP.

85 Definição. Seja V um espaço vetorial; uma norma em V é uma função de Vem R, denotada por x H- !lx 11 e que satisfaz: (i) !lxllz O para todo x E V; (ü) llx ll =o. se e sqmente se X= O;

= la I h

ll para todo a E R, x E V; (iv) Ux + y!l S:: llxll + l{y!l para todo x,y E V.

(iii) l!ax 11

Um espaço vetorial com uma norma definida nele é chamado espaço nomu1do.

Como veremos nos exercícios, um mesmo espaço vetorial pode ter várias normas in-

teressantes.

8.6 Exemplos. (a) A função valor absoluto em R verifica as propriedades de 8.5.

(b) Definindo; em R 2

1

!l(x t, x2)/l = (x /

+ x:/r' 2.

verificam-se facilmente as propriedades (i)~ (ii) e (üí). A propriedade (iv) é um pouco mais complicada. (c) Definindo, em RP, ll(xb

x2, ••• ,

Xp)jj = (x 1 2 + x/ + · ·. + x/) 112 •

verificam-se facilmente as propriedades (i), (ii) e (iií). Daremos agora um teorema que afirma que sempre se pode usar um produto interno para definir uma norma, de maneira assaz naturaL

8.7 Teorema. Seja V um espaço com produto interno e definamos llx 11 por

Jlx li = -IX.-:-;.

para x

E V.

t

'

61

'n11 -~~'I •~~ I

'

I

Então x

~-+

llxll é uma nonna em V e satisfaz a propriedade

x ·y <

Jll j

'u !I 111 j

)11 i '

Jll

i:

'fí!.,l

IJx IIIJ v11.

Além disso, se x e y são não-nulos (diferentes de zero}, então a igualdade se verifica em (*)se e somente se existe algum número real estritamente positivo c, tal que x =cy. Demonstração. Como x • x'2: O para todo x E V, então a raiz quadrada de x • x existe, de modo que llxl! é bem definida. As três primeiras propriedades da norma são conseqüência direta de 8.3 (i), (ii) e (v). Para provar (*),sejam a, b ER, x, y E V, e z = ax- by. Usando as propriedades 8.3(i), (üi) e (v), obtemos

f1

I l I

~

·,

;,. 11 i j

::

I!I ~

!

\11

Os =

~li .I

X •

!I

\1

!

X •

2

y + b y · y.

Logo, a igualdade (*)é verificada. Se x ""'cy com c> O, então llx !I= c lly 11 e assim

'

IL 1

2 ab

I!YW Jlxll 2 - 2IIYill!xll x · Y + !lxW IIYII 2 2 li X 11 li YI! (l!x 1111 Y11- X ' Y) ·

!

I! I

X • X-

Fazendo a : : : lly 11 e b = llx 1!, obtemos

lil I ·j.ilr i,

a2

() < Z • Z =

IJI i

y = (c y) . y = c ( y . y ) = c li YW =

l!x llllYII

de modo que vale a ígualdade em(*). Reciprocamente, se x • y'= l!xli l!y!l, o cálculo do parágrafo precedente mostra que z = l!y 11 x - 11x 11 y tem a propriedade z · z =O. Portanto, z =O e, como x e y são vetores não-nulos, podemos tomar c = llx llj !ly IL Para estabelecer 8.5(iv), usamos(*) para mostrar que

Ii

l!x + Yll~ = (x + y) · (x + y) =x·x+x·y+y·x+y·y

I: JI

llxl!2 + 2(x · Y) + IIYII 2 :S llxW + 2 !lxiiiiYII + UYW < (ilx li + I! Yli?•

=

donde decorre que !lx

+ y 11 s llx 11 + lly 11 para todo x, y E

V.

Q.E.D.

Deixamos como exercício a demonstração do corolário seguinte.

8.8 Corolário. Se x, y são elementos de V. então

,.~ I

I I

lx · YI :::;Jixlll!Yii ·

!\

Além disso, se y =F O, então a igualdade se verifica em(**) se e somente se existe um real c tal que x-= cy.

ll

I \.

I

i

62

i

I '~

Ambas as igualdades (*)e(**) são chamadas desigualdade de Schwartz ou de:~igual­ dade de Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz. 1 Serão usadas com freqüência. A desigualdade 8.5 (v) é chamada desigualdade triangular. Deixamos ao leitor o trabalho de mostrar que

lllxii:-IIYIII s !lx ±:yjj s llxii+IIYII·

{

I I

para quaísquer x, y em um espaço nonnado.

,

O ESPAÇO CARTESIANO RP O espaço cartesiano real pwdimensional é o conjunto RP munido da adição vetorial e da multiplícação por escalar definidas. no Exemplo 8.2(c) e do produto interno definido no Exemplo 8.4(c}. Como vimos, este produto interno induz a norma

i!(xl, x2, ... , Xp)JI =

.J x/' + Xa2+ · · · + x/.

Os números reais x 1 , x 2 , •••• Xp são chamados primeira, segunda, ... , pa coordenadas (ou componentes) do vetor x = (x 1 , x 2 , • •• , Xp ). Em RP >o real llxl! pode ser encarado seja como o ("comprimento>• de x, seja como a distância de x a O. De modo mais geral, encaramos llx - y 11 como a distância de x a y. Com esta interpretação, a propriedade 8.5 (ii) afirma que a dístância' de x a y é zero se e somente se x =y. A propriedade 8.5 (iii), com a =-1, afirma que llx - y I! =lly - x 11, o que significa que a distância de x a y é igual à distância de y a x. A desigualdade triangular implica

Jlx- Yll < Jlx- zll+l!z- Yl!,

o que signífica que a distância de x a y não supera a soma das distâncias de x a z e dez ay.

f

8.9 Detinição. Seja x ERP e seja r >O. Então o conjunto{y ERP: llx- yll
r.

A noção de bola depende da norma. Veremos, nos exercícíos, que há bolas que não

sao muito "redondas". Ê conveniente estabelecer relações ·entre a norma de um vetor emRP e a magnitude de suas componentes. · 8.10 Teorema. Se x = (x 1> x 2

l

I t

1,

' I

II

, ••• ,

xp) é elemento de RP, então

Augustín-Loujs Cauchy {1789-1857) foi o fundador da análise moderna, mas também deixou profundas contribuições em outras áreas da matemática. Serviu como engenheiro sob Napoleão, seguiu Charles X no exílio e foi afastado de sua posição no Coilege de France durante os anos da monarquia de julho, por se ter recusado ajurar lealdade. Apesar de suasatividades polúicas e religiosas, conseguiu escrever 789 trabalhos matemáticos. Victor Bunyakovskii {1804-1889), professor em S. Petersburg, estabeleceu uma generalização da desigualdade de Cauchy para integrais em 1859. Sua contribuição foi esquecida pelos matemáticos ocidentais e .descoberta maís tarde independentemente por Schwarz. Hermann Amandus Schwarz (1843·1921) foi o sucessor de We!erstrass em Berlim. Deu numerosas contribuições à matemática, especialmente no campo da análise complexa.

~

63

Demonstração. Como !lx 11 =xi + xi + · · · + x~, é claro que !x i! s;: l!x ll para todo i. Anaio_gamente, se M=sup{lx 1 l,lx2 l, ... ,.lxp!}, então llxiF::;:pM"l, de modo que !lx!l S: ..,JpM. Q.E.D. 2

'

I

I I I

Bola aberta de cemro x

Bola fechada

de centro x

Figu:ra 8.1

A desigualdade que acabamos de estabelecer afirma, de modo quantitativo, que se a norma de x é pequena, as magnitudes de suas componentes são também pequenas, e reciprocamente. EXERCÍCIOS 8.A. Se V é um espaço vetorial e se x + z = x, para x e z em V, mostre que z =O. Logo, o elemento zero é único em V, 8. B. Se x + y = O para x e v em V, mostre que y =- x . 8.C. Seja S = { 1, 2, ... , para algum E N. Mostre que o espaço vetorial R 5 é ''essencialmente o mesmo" que o espaço RP. 8.D. Se w 1 e w 1 são estritamente positivos, mostre que a definição

p},

i

H

H ''H li" H

H "

p

(x 11 x2) · (y,, y.)""' x 1Y1 wl + x,y2w2, gera um produto intemo em R 2 • Generaliz.c para RP. 8.E. A definição não gera um produto interno em R 2 • Por quê? 8. F. Se x"' (x 1 , :x"', ..• , xp) E RP, definamos ~xl1 1 como

llxll~ = lx~l + lx2l + · · · + l:x;,l. Prove que

x

8.G.

Uxli 1 é uma norma em RP. Se x (x 1 , xl , ... , xp) E RP, definamos llxli"" como

~-+

=

l!xiJ..,"" sup {lx,l, !x2!,. Prove que :x r- !lxll,., é uma norma em RP. 8.H. Descreva, em .R~, os conjuntos

64

··, I.J;..l}.

I I

;'

i

f

I '. •

I

I

'

\

I

I

8.1.

Se x, y E RP, a norma definida em 8A(c) verifica a Identidade do Paralelogramo:

\

1 '

llx + Y!r'+ !Jx- YW = 2(l!xll + IIYW}. 1

Prove este fato e mostre que pode ser interpretado como a afinnação de que a soma do~ quadrados dos comprimentos dos quatro lados de um paralelogramo é igual à soma dos quadrados das diagonais. 8.1. Mostre que as normas definidas nos Exercícios S. F e 8.G não verificam a Identidade do Paralelogramo. 8.K. Mostre que existem constantes positivas a, b tais que

i I

'

f

\

(

t

\"' Determine a maior constante a e a menor constante b com esta propriedade. 8 .L Mostre que existem constantes positivas a, b tais que a

!JxU, s !JxjJ., s b llxl!

1

para todo

i

(

l: F RP.

f

\

Determine a maior constante a e a menor constante b com esta propriedade. B.M. Sex,y pertencem aRP, é verdade que

(

e

I

\.

8.N. Se x, y pertencem a .RP, é verdade que a relação l!x + y 11 =

{

'

(

(

vale se e somente se x = cy ou y =ex com c> O? 8.P. Sex,ypertencemaRP,então

!'

!lx + YW = llxW + Jlylf'

vale se e somente se x • y:... O. Neste caso, dizemos que x e y são ortogonais, ou perpendiculares. B.Q. Diz-se que um subconjunto K de RP é convexo se sempre que x, y pertencem a K e tê um real tal que O< t
(1-t)x+ty =x+c(y-x)

. i

.

( '•

1},

i

'

''

Kl={(Ç, 1?)ERl:0<~<11}, {(~.

l

/

também pertence a K. Interprete esta condição geometricamente e mostre que os subconjuntos

K, =

'

\.

!Jx + yl!.. = Jlxllw + l!y!l..

={x E Rl: Jlxll

I

J

llxll + !IYII

vale se e somente se x""" cy ou y =ex ~om t?! O? 8.0. Sex,y pertencem aRP, é verdade que a relação

Kt

...

I

'\

7}) E R 2 : o< 11 < ~.:::; 1},

{

são convexos, mas que o subconjunto

i'

- o e.' nao 8.R. A interseção de qualquer coleção .de subconjuntos convexos de RP é convexa. A união de dois subconjuntos convexos de RP pode não ser_ convexa. 8.S. SejaM um conjunto ~ubitrário. Uma função d:MXM-+R é chamada métrica emMse satisfaz: (í) d (x,y) :2::. O para todo x, y em M, (íi) d (x, y) =O se e somente se x = y;

'\ i

\

{

' f

f

1,

( 65

f

(

'l

'

I

J 1: ·.

I

1

I

.]

Ir 1 I'

(iii) d (x,y) =d(y,x) para todo x,y em M; (i v) d (x, y) S,d (x, z) + d (z,y) para todo x,y, z em M. ·

. I I,

=

Mostre que se x ~-+ llxll é uma norma num espaço vetori.al V e se definimos d como d(x, y) Ux- yll, para x,y E V, então d é uma métrica em V. 8. T. Seja d uma métrica num conjunto M. Tomando a Definição 8.9 como modelo, defina uma bola aberta de centro x EM e raio r. Interprete os conjuntosS 1 e S.,. do Exercício 8.H como bo· las abertas em R~ em relação a duas métricas diferentes. Interprete o Exercício 8.1< como uma afirmação de que uma bola de centro O relativa à métrica d 2 (deduzida da norma em 8.6(b)) contém, e está contida em, bolas de centro O relativas à métrica d 1 deduz.ida de !I 11 1 • Dê·interpretações análogas ao Exercfcío 8.L e ao Teorema 8.10. 8. U. SejaM um conjunto arbitrário e definamos d em M XM como

; J

~

I

lll

]' j ),

d(x, y) =

{~

~e

se

y, x# y.

X""

.,

r

Mostre que d dá uma métrica em M, no sentido d~fmido no Exerc(cio 8.S. Se x é um ponto de M. en~ tão a bola aberta com centro x e raio 1 (relativa ii métrica d) consiste precisamente de um ponto. En· tretanto, a bola aberta de centro x e raio 2 (relativa a d) consiste de todo o M. Esta métrica d é por vezes chamada métrica discreta no conjunto M.

I!

li

'

.

PROJETOS S.o:.

JI

Estabeleceremos neste projeto algumas desigualdades importantes.

(a) Sejam a e b reais posítívos. Mostre que

I!

lí Ii

.I ! ~

ab

b 2 )/2,

t 1

e que a igualdade vale se e somente se a= b. [Sugestão: Considere (a - b )~ .J (b) Sejam a 1 e az reais positivos. Mostre que

.Ja1a2 <.(ar+ a~)/2

e que a igualdade vale se e somente se a 1 =a z . (c) Sejam a 1 , az, .. . , am, m

I

ll

<(a~+

{*)

Í'

l

=2" reais positivos. Mostre que

(a 1 a~ • • · a.,.)

11 "' ::::;

(a:+ az + · · ·+a.,. )1m

e que a ígualdade vale se e somente se a~=··· =am. (d) Mostre que a desígualdade (*) entre a média geométrica e a média aritmética vale mesmo quando m não é potência de 2. (Sugestão:Se 2n-t < m < 2n, sejabJ =ai paraj = 1, ...•. me faça

b; =(at+a2+· · ·+a,.)/m para i= m + l, ... , 2". Aplique então a parte (c) aos números b 1, bz, . .. , b·m.) (e) Sejam a 1 , a~ , ... , an e b 1 , b 2 grange2

, ••• ,

bn dois conjuntos de reais. Prove a Identidade de La!

I ~

i

~·Joseph-Louis l..agrange (1736-1813) nasceu em Turim, onde se tornou professor aos de2'.enove anos. Foi mais tarde para Berlim, onde ficou vinte anos como sucessor de Euler, e depois para Paris. É mais conhecido por seus trabalhos sobre o cálculo das variações c a mecânica analítica. ) i

66

'

J' '

(Sugestão: Experimente primeiro os casos n = 2 e ri = 3.) (0 Use {e) para estabelecer a Desigualdade de Cauchy

J'

í

Mostre que a igualdade vale se e somente se os conjuntos ordenados (o 1 ,az , •.• , a n> e (b 1 , b 2 , bn) são proporcionais.

'

(g) Use (f) para estabelecer a Desigualdade Triangular

1

{f (C4+bS!}

i

l '

112

::S

1~1

l

.,

••• ,

8 .(I.

Neste projeto, sejam{a 1 , a1 ,

{f a/}'n+{f. b

2 1 }

1~1

••• ,

1

a

1~1

an} etc. conjuntos de n números reais positivos.

(a) Pode-se provar (usando, por exemplo, o Teorema do Valor Médio) que, se a e b são positivos e O < a < 1, então e que a igualdade vale se e somente se a= b. Nesta hipótese, sejam r> 1 e s satisfazendo

!+!=1 r s ' (de modo que s > 1 e r

+ s = rs). Mostre que se A

e B são positivos, então

A'

B'

AB :s;; -+r s ' e que a igualdade vale se e somente se A~"= ss. (b) Sejam {a 1 , ••• , .an} e { b 1 , a Desigualdade de Holder 3

••• ,

b 11 } reais positivos. Se r, s > 1 e (ljr) + (1/s}

f Cltbl s {t Clt'}ll'{f 'b/} J .... .t

j- '

[Sugestão: Sejam A= {x:aj

=1, estabeleça

1 ''

i .... t

}ur e B = {i::hj} 1's; aplique (a} aa;/A

e b;/B.I

(c) Usando a Desigualdade-de Holdcr, estabeleça a desigualdade de Minkowski 4

{f (G.t +bi)'}

1 ''

{t ~'} '' +{i b(}"'. 1

S

1-1

j-1

(Sugestão: (a+ b)' =(a+ b)(a + b)d• = a(a + b) 11'

1-1

+ b(a + b )'~<.)

{d) Usando a desigualdade de Holder, prove que

·. (1/n) J~

~s

{ (1/n)

··

Jt ri' a{

(e) Se a~ 0 e da{a 1 b 1 +a 1 h~ >_a 1 b:z +a.b,. Mostrequesea 1 .:S_a, <···
ljJ=l

3 4

Otto Holder (1859·193 7) estudou em GOttingen e ensinou em Leipz.ig. Trabalhou em álgebra e aná.lise. Herrnann Minkowski (1864-1909) foi professor em Konigsberg e Gottingen .. B mais conhecido por seus trabalhos sobre conjuntos convexos e a "geometria dos números".

67

de modo que

(f) Suponhamos O ~a 1

gualdade de Tchebichev

'.

5

< a 1 < · · · < an e O < b 1 < b 2 :5. · · · ~ bn e r> 1.

Estabeleça a Desi-

·

f

{ (1/n) jwl

~'} "{(1/n) f. bt} 1

jwJ

1 "

s {(1/n.)

Mostre que a desigualdade deve ser invertida se{ai}é crescente

f (alb1Y}

1"1

1 ''

e{bi} é decrescente.

SEÇÃO 9 CONJUNTOS ABERTOS E CONJUNTOS FECHADOS Muitas das mais profundas propriedades da análise real dependem de certas noções topológicas. Nas próximas seções introduziremos os conceitos básicos e estabeleceremos algumas das mais importantes propriedades topológicas do espaço RP. Tais resultados serão usados com freqÜência nos capítulos que seguem.

9.1 Definição. Diz·se que um conjunto G em RP é um aberto em RP (ou simples· mente aberto) se, para cada ponto x de G, existe um real r>O tal que todo pontoy de RP que satisfaça llx - y 11
9.2 Exemplos. {a) O conjunto RP é aberto, pois podemos tomar r= 1 para qualquer X.

I ) i.

i

i

i I'

II

Figura 9.1 Um conjunto aberto.

j

i i

I'

s

'''

1·! '

!I· I.

;

68

'· Pafnutí L. Tchebichev (1821-1894) foi professor em S. Petersburg. Deu importantes contribuições à matemática. mas seu trabalho mais importante está relacionado com a teoria. dos números, probabilidade e teoria da aproximação.

i

(b) O conjunto G ={x ER: O
sx

em R =1?.. 1 • O conjunto F={x E ·

\ {

r

'

(c) Os conjuntos G =~(x,y) ER 2 :x 2 +)1 2 ·< 1} e H ={(x,y): O
(

(d) O conjunto G ={(x,y) ER :0 o}~ aberto em R 3 , assim como o conjunto 1 3 H=l(x,y,z)ER :x>O,y>O, z>o}. Por outro lado,~ conjuntoF={(x,y,z)ER 3 : x =y = z }não é aberto. .

í

2

s

2

2

(f) O conjunto vazio f/J é aberto em RP, pois não contém nenhum ponto, fica.(ldo, assim, trivialmente satisfeita a exigência da Definição 9 J . (g} Se B é·a bola aberta de centro z e raio a> O e se x EB, então a bola de centro x e raio a - llz - x 11 está contida em B. Assim, B é aberto em RP. Enunciamos agora as propriedades básicas dos conjuntos abertos em RP. Nos cursos de topologia, sintetiza-se o próximo resultado dizendo-se que os conjuntos abertos, tais como definidos na Definição 9. I, formam uma topologia para RP. 9.3 Propriedades dos Conjuntos Abertos. (a) O vazio tos em RP.

. j'

{

0 e todo o.espaço RP são aber-

(

( { (

'

I

'

'

·~'

'

i '

'·''

'

(b) A interseção de dois abertos quaisquer é um aberto em RP.

(

(c) A união de qualquer coleção de abertos é um aberto em RP.

(

'•

Demonstração. Já comentamos sobre o caráter aberto dos conjuntos f/J e RP. Pata demonstrar (b), sejam G 1 , G2 abertos e G 3 = G 1 n G2 • Para mostrar que G3 é aberto, seja x E 0 3 • Como x pertence ao aberto G 1 , existe r 1 >O tal que se !lx- z 11 O tal que se llx- wll decorre da propriedade (b) acima que a interseção de qualquer coleção finita de conjuntos abertos é também aberta em RP. Já a interseção de uma coleção in fi· nita de abertos pode não ser aberta, como se vê pelo exemplo · · . _ ·

(9 .1)

I

G ..

=:: { x E

R :-

~ < x < 1 + ~},

(

( r

\ I

'

I

( i ',

(

n E N. i'

I

••

A interseção dos .conjuntos G" é o conjunto F ={x E .R: O

sx :S: 1}, que não é aberto.

t

\

CONJUNTOS FECHADOS

{

Introduziremos a seguir uma noçãq importante~ a de cÓnjunto fechado. em RP,

'·

(

69

l

·_I!

f'1

-11

I

• 11

I

nl I

Jl

J! i

li I .

Jil i

.11

li I I! I

li i ~I

l

II

!I ' .li '

II .

I! h !i

li .I!

It Ii <~

9.4 Definição. Um conjunto F emRP é fechado em RP'(ou simplesmente fechado) se seu complementarW(F) = RP \F é aberto em RP. '

9.5 Exemplo. (a) O próprio RP é fechado em RP, pois seu complementar, o conjunto vazio, é aberto em RP, conforme vimos em 9 .2(f). (b) O conjunto vazio (/J é fechado em RP, pois seu complementar RP é aberto em RP, conforme vimos em 9 .2(a).

(c) O conjunto F ={x E R : O< x < 1} é fechado em R. Basta notar que o complementar de F em R é a união dos dois conjuntos h ER :x 1}, cada um dos quais é aberto. Analogamente, o conjunto{x Ê R: O < x} é fechado.

( d) O conjunto F= 1(.~, y) E R 2 : x 2 em R 2 é o conjunto

+y 2 < Jlé

que é aberto. (e) O co?junto H={(x,y,z)ER 3 :x o conjunto F=í(x,y, z) E R 3 : x =y = z}.

>-:ü}é

fechado, pois seu complementar

fechado em R 3 , corno também o é

(f) A bola fechada B 'de centro x em RP e raio r> O é um conjunto fechado de RP. Com efeito, se z f!:B, então a bola aberta de centro z e raio !lz - xll -r está contida em

~{B). Portanto,~f'(B) é aberto e B é fechado em RP

Na linguagem usual, quando aplicada a portas,janeias etc., as palavras "aberto" e "fechado" são antônimas. Não o são, porém, quando aplicadas a subconjuntos do RP. Assim é que o vazio~ e o próprio RP são abertos e fechados em RP (~ e RP são, aliás, os únicos subconjuntos do RP com esta pe~ culiaridade). Por outro lado, há muitos subconjuntos do RP que não são abertos nem fechados; na ver· dade, a maioria dos subconjuntos do RP apresentam esse caráter neutro. Como exemplo, cítemos o conjunto

A= {x E R: O < x < 1}.

(9 .2)

Este conjunto não é aberto em R, pois contém o ponto O. Analogamente, não é fechado em R, porque seu complementar em R é o conjunto { x E R ; x
Enunciemos agora a propriedade fundamental dos conjuntos fechados. A demonstração decorre diretamente do Teorema 9.3, utilizando-se as leis de DeMorgan (Teorema 1.8 e Exercício l.L). 9.6 Propriedades dos Conjuntos Fechados. (a) O conjunto vazio f/J e todo oRP são feclw.dos em RP.

(b) A união de dois conjuntos fechados quaisquer é fechada em RP. (c) A interseção de qualquer coleção de conjuntos feclw.dos é fechada em RP.

I!'

VIZINHANÇAS.

Introduziremos a seguir algumas noções topológicas adicíonaís, que nos serão úteis para a caracterizaçlro de abertos e fechados em outros termos.

''' I'I

70

'

I

9.7 Definição. (a) Se x E RP, então qualquer conjunto que contém um aberto conH tendo x é chamado vizinhança de x. · (b) Um ponto x E RP é chamado ponto interior de um conjunto A C RP se existe uma vizinhança de x inteiramente contida em A. (c) Um ponto x ERP é chamado ponto fronteira de um conjunto A CRP se toda vizinhança de x contém um ponto de A e um ponto de"€ (A). (d) Um ponto x ERP é chamado ponto exterior de um conjunto A C RP se existe uma vizinhança de x inteiramente contída em 4Z (A).

~

Note-se que, dados x E RP e A c RP, há três possibilídades mutuamente excludentes: (i) x é ponto interior de A, (Ü) x é ponto fronteira de A, ou (ili) x é ponto exterior de A.

9.8 Exemplos. (a) Um conjunto Ué uma vizinhança de um ponto x se e somente se existe uma bola com centro x inteiramente contida em U. (b) Um ponto x é ponto interior de A se e somente se existe uma bola de centro x inteiramente contida em A. (c) Um ponto x é ponto fronteíra de A se e somente se, para cada número natural n, existem pontosa11 EA e b" E4e(A) tais que llx -anil< 1/n e llx- b 11 11 < 1/n.

(d) Todo ponto do intervalo (O, I) c R é ponto interior. Os pontos O e 1 são os pontos fronteira de (O, 1). (e) Seja A= [Ot 1] C. R. Então os pontos interiores de A são os pontos do intervalo aberto (O. 1). Os pontos O e 1 são os pontos fronteira de A.

J

(f) Os pontos fronteira das bolas aberta e fechada de centro x E RP e raio r> O são os pontos da esfera de centro x e raio r. (V. Definição 8.9.)

I

....enores. . Caracterizaremos agora os conjuntos abertos em termos de vizinhanças e pontos in· 9.9 Teorema. Se BC RP, então as seguintes afirmações são equivalentes: (a) B é aberto;

(b) todo ponto de B é ponto interior de B; (c) B é uma vizinhança de cada um de seus pontos.

Demonstração. Se (a) vale, ex E B, então o conjunto aberto B é uma vizinhança de x e x é, assim~ ponto interíor de B. Que (b) implica (c), é trivial. Se (c) vale, então para cada x E B existe. um conjunto aberto G:x: C 8 com x E Gx. Logo. B = U{Gx: X E decorrendo. assim, do Teorema 9 .3(c) que E é aberto em RP. Q.E.D.

sl.

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Do que acabamos de mostrar, decorre que um conjunto abertô não contém nenhum dos seus pontos fronteira. Os conjuntos fechados constituem o outro extremo a este respeito. 9 J O Teorema. Um conjunto F seus pontos fronteira.

c RP

é fechado se e somente s,e contém todos os

71

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DemonStração. Seja F fechado e x ponto fronteira de F. Se x fi.. F, então o aberto ír (F) contém x e não contém nenhum ponto de F~ o que contraria a hipótese de que x é ponto fronteira de F. Logo, devemos ter.x EF. Reciprocamente, suponhamos que F contém todos os seus pontos fronteira. Se y F, então y não é nem ponto de F nem ponto fronte ira de F; logo, é ponto exterior. Portanto, existe uma vizinhança M de y inteiramente contída em15(F). Como isto ê verdadei· ro para todo y fÉ F, inferimos que<"€(F) é aberto, e, daí, que F é fechado ein RP.

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CONJUNTOS ABERTOS EM R

Encerraremos esta seção caracterizando a forma de .um subconjunto aberto, arbitrário, de R. 9 J 1 Teorema. Um subconjunto de R é aberto se e somente se é a união de uma co-

leção numerável de intenalos abertos. ·

Demonstração. Como um intervalo aberto é aberto (por quê?) decorr~ de 9.3(c) que a união de qualquer união numerável de intervalos abertos é um aberto. Reciprocamente, sejam G =J:. f/J um aberto de R e {r n: n EN}uma enumeração de to· dos os pontos racionais de G. Para cada n EN, seja ml) o menor número natural tal que o intervalo ln = (rn -· 1/mn,rn + 1/m 11 ) esteja inteiramente contido em G, Decorre que

u J,. ~ G.

.I .,

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Sejam então x um ponto arbitrário de G em EN tal que (x- 2/m, x + 2/m) C G. Do Teorema 6 .1 O decorre que existe um número racional y em (x - 1 /m, x + 1/m); logo y E G e, assim, y =r 11 para algum número natural n. Se x não pertence a ln. =(r n - 1/mn, T 11 + 1/m,J, então devemos ter 1/mn < 1/m; mas como é imediato que

'2) c O (r .-m-1 r +-m1) c: (x -m-2 x +m rt

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isto contradiz a escolha de m 11 • Portanto, devemos ter x Eln para este valor de n. Como x E G é arbítrário, inferimos que

G Portanto, G é igual a. esta união. i

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Q.E.D.

Do Teorema 9.11 não decorre que um :mbconjunto de R seja fechado se e somente se for' a interseção de uma coleção numerável de intervalos fechados. (Por quê?) Não decorre que a união numerável de intervalos fechados deva ser fechada, nem que toqo conjunto fechado tenha esta propriedade. O Exercicio 9. G. constitui urna generalização deste resultado . ., EXERCÍCIOS 9.A. Justifique a asserção feita a propósito dos conjuntos G, Fno Exemplo 9.2(b) . . 9.B. Justifique as asserções do Exemplo 9.2(c). 9.C. Prove que a interseção de qualquer coleção finita de conjuntos abertos é aberta em RP. (Sugestão: Use 9.3(b} e indução.! 9. D. Quais são os pontos interiores, fronteira e exteriores em R, do conjunto {O, 1)? Conclua que o conjunto não é aberto nem fechado.

72

ção.

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9 .E.

Dê um exemplo de conjunto em RP que não é ~em aberto nem fechado. Prove sua asser·

9.F. Dê os detalhes da demonstração do Teorema 9.~6. 9.G. Mostre que um subconjunto de RP é aberto se e somente se é a união de uma coleção nu· merável de bolas abertas. (Sugestão: O conjunto de todos os pontos de Jt.P cujas coordenadas são todas números racionais é numeráveL) · 9.H. Todo subconjunto aberto de RP é a união de uma coleção numerável de conjuntos fecha.· dos. ' 9.1. Todo subconjunto fechado de RP é a interseção dé uma coleção numerável de conjuntos abertos. 9.J. Se A é um subconjunto de RP, seja A 0 a união de todos os abertos contidos em A; o conjunto A 0 é chamado interior de A. Note-se que A 0 é um conjunto aberto; prove que A 0 é o maior conjunto abertÕeontido. em A. Pio've que . ,

A

0

!:,';;;;

(A")" = A 0

A,

Dê um exemplo para mostrar que a igualdade (A u B)a =A 0 u 8° nem sempre se verifica. 9.K. Prove que um ponto pertence a A 0 se e somente se é ponto interior de A. 9. L. Se A é um subconjunto de RP, denotemos por A- a interseção de todos os conjuntos f e:. -----:-"'?·-----.......--.. ---..o#"l"''"'-""'" chados que contêm A; o conjunto A- é chamado fecho de A. Note que A- é um conjunto fechado; prove que A:- é-oméiiõr conjunto fech~niém A. Prove que

A s.; A ,

(A

(AuBt=A-uB-,

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-r =A

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W=0.

Dê um exemplo para mostrar que a igualdade (A n B)- =A- n s- nem sempre se verifica. 9.M. Prove que um ponto pertence a A- se e somente se ou é ponto interior ou é ponto fron~ te ira de A. 9.N. Dê exemplo de um conjunto A em RP tal queA 0 =. 0 e A-=. RP. Pode tal conjunto A ser numerável? 1 9.0. Sejam A e B subconjuntos não-vazios de R. O produto cartesiano A XB é aberto em R se e somente se A e B são abertos R. 9.P. Sejam A e B subconjuntos não~vazios de R. O produto cartesiano A XB é fechado em R" se e !;O mente se A e B são fechados em R. 9.Q. Interprete os conceitos introduz.ídos nesta seção para o.conjuntoFde Cantor da Defín~' ção 7.4. Em particular: (a) Mostre que F é fechado em R. {b) F não tem pontos interiores. (c) Não existem subconjuntos não-vazios, abertos, contidos em F. (d) Todo ponto de F é ponto fronteira. (e) O conjunto F não pode ser expresso como união de uma coleção numerávet de interv.alos fechados. (f) o complementar de F pode ser expresso como a. união de uma coleção numerável de intervalos abertos. '·

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SEÇÃO lO CELAS ENCAIXANTES E O TEOREMA DE BOLZANO-WElERSTRASS. Nesta seção apresentaremos d()is res.ultados impprtantíssi~os •. que ~erão freqüenterriente utilizados em capítulos ulteriores, Em certo sentido. podem ser en~arados C5JmO a

Propriedade de Completude para RP quando p

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Lembremos, da seção 7, que, se a '5:, b, então a cela aberta em R, denotada por (a, b ), é o conjunto definido por (a, b) = { x E R : a

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< x < b}.

Vê-se imediatamente que tal conjunto é aberto em R. Analogamente, a cela fechada [a, b Jem R é o conjunto [a, b] = {x E R : a :::=; x ::::; b}, que é fechado em R. O produto cartesiano de dois intervalos costuma chamar·se um·re~ tânguJo e o produto cartesiano de três intervalos é chamado paralelepípedo. Por uma questão de simplificação, usaremos o termo "cela" independentemente da dimensão do espaço.

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10.1 Definição. Uma cela aberta J em RP é o produto cartesiano de p celas abertas de números reais. Logo, J tem a forma

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a;< x, < b,, para i= 1, 2, ... , p}.

Analogamente, uma cela fechada I em RP é o produto cartesiano de p celas fechadas de números reais. I tem, assim, a forma I={x=(x~,

... ,xv)ERP:a;
Um subconju~to de RP é limitado se está contido em alguma cela. Como exercício, mostre que uma ceia aberta em Q_P é um conjunto aberto e uma cela fechada é um conjunto fechado. Outrossim, um subconjunto de RP é limítado se e somente se está contido em alguma bola. Note-se que esta terminologia para conjuntos limitados é consistente com a introduzida na seção 6 para o caso p = 1.

Da seção 7, o leitor se recordará de que a Propriedade do Supremo do sistema de números reais imptic'!- que cada seqüência encaixante de celas fechadas não-vazias em R tem um ponto comum. Provaremos que esta propriedade também é válida no espaço RP. 10.2 Teorema das Celas Encaixantes. Seja (Ik) uma seqüência de celas fechadas nãovazias em RP, encaixantes, isto é, I 1 -:::;I2 :J · · · -;)/k-::::; ····.Então existe um ponto em RP que pertence a todas as celas. Demonstração. Sejaik a cela

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={x = (x

I~<= {(x1, ... , xr>): akl :s; xl S b"~>

... , a~:v s x,

S

b;.;p}.

É fácil ver que as celas [a~r 1 , bk 1 ], k EN, formam uma seqüência encaíxante de celas fechadas, não-vazias, de números reais e, daí, pela Propriedade de Completude, sistema R de números reais, que existe um real y 1 que pertence a todas essas celas. Aplicando este argu. ?'lento a cada coord_:nada, obtemos um ponto y =(y 1 , •••. , yp) de RP}tal que se j satisfaz ; = 1; 2, .... , p, entao y 1 pertence a todas as celas{ lakb b~;: 1 J: k EN . Logo, o ponto y pertence a todas as celas (/k). Q.E.D.

PONTOS DE ACUMULAÇÃO E O TEOREMA DE BOLZANO~WEIERSTRASS 10.3 Definição. Um ponto x ERP é ponto de acumulação de um subconjunto A C RP se cada vizinhança de x contém ao menos um ponto de A distinto de x. Consíderemos alguns exemplos.

74

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10.4 Exemplos. (a) Um ponto x ERP é ponto de acumulação de A se e somente se, para todo número natural n, existe um elementoan EA tal que O< !lx- an I!< 1/n, . .!-

(b) Se um ponto fronteira de um conjunto. não pertence ao conjunto, então é ponto de acumulação do conjunto.

(c) Todo ponto do intervalo unitárío I de R é ponto de acumulação de I.

(d) Seja A = (0, 1). Então todo ponto de A é ponto interior e ponto de acumulação de A. Os pontos O, 1 são pontos de acumulação (mas não pontos interiores) de A. (e) Seja B =ln Q o conjunto dos racionais do intervalo unitá.rio. Todo ponto de I é ponto de acumulação de Bem R, mas não há pontos interiores de B.

quê?)

(f) Um subconjunto finito de RP não tem pontos de acumulação. (Por quê?) (g) O conjunto infinito de inteiros Z C R não tem pontos de acumulação. (Por lO.S Teorema. Um conjunto F C RP é fechado se e somente se contém todos os

seus pontos de acumulação. Demonstração. Suponhamos F fechado ex ponto de acumulação de F. Se x é. F, então o conjunto abertoC€(F) é uma vizinhança de x e, assim, deve conter ao menos um ponto de F. Mas isto é impossível} donde conclufmos que x E F. Reciprocamente, se F contém todos os seus pontos de acumulação, mostraremos queC€(F) é aberto. Com efeíto, se yE'tg(F), então y não é ponto de acumulação de F. Portanto, existe uma vizínhança Vjl de y tal que F n V>' =-~.Assim, Vy c
O próximo. resultado é um dos mais importantes resultados deste livro. É fundamental e será utilizado freqüentemente. Note-se que a conclusão pode falhar se removermos uma das hipóteses [v. Exemplo 10.4 (f, g)J.

10.6 Teorema de Bolzano-Weierstrass. 6 Todo subconjunto limitado, infinito, de RP tem um ponto de acumulação. Demonstração. Se B é um conjunto limitado com um número infinito de elementos, seja 11 uma cela fechada contendo B. Dividamos 11 em 2P celas fechadas mediante bíssecção de cada um de seus lados. Como 1 1 contém infinitos pontos de B, pelo menos uma parte obtida com esta subdivisão também conterá infinitos pontos de B. (Pois, se cada uma das 2P partes contivesse apenas um número finito de pontos de s·, então B deveria ser um conjunto finito, contrariamente à hipótese.) Seja ! 2 uma das partes resultantes da subdivisão de 11 , que contém infinitos elementos de B. Dividamos agoraf.l em 2P celas fechadas .riJ.ediante bissecção de cada um de seus lados. Novamente, uma dessas subcelas de 1z deve conter um número infinito de pontos de B, pois, doutra forma, 12 só poderia conter um número finito de elementos, contrariamente à sua construção. Seja ! 3 uma subcela 6

Berna.rd Bolzano (1781~1848) foi professor de filosofia da religíão em Praga, mas tinha idéias profundas acerca da matemática. Como Cauchy, foi pioneiro na 'introdução de um maior padrão de rigor na análise matemática. Seu tratado sobre os paradoxos do infinito apareceu após sua morte. Ka.rl Weierstrass {1815-1891) foi durante muitos anos professor em Berlim e exerceu ptOfWlda in· fluência no desenvolvimento da análise. Sempre insístindo em demonstrações rigorosa'), elaborou, mas não publicou, uma introdução ·ao sistema de números reais. Deu também importantes contribuições à análise real e complexa, às equações diferenciais e ao cilculo das variações.

75

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de 12 contendo infinitos pontos de B. Prosseguindo desta maneira, obtemos uma seqüência encaixante. (lk) de celas fechadas não-vazias de RP. De acorda com o Teorema das Celas Encaixantes, existe um ponto y que pertence a todas as celas/h, k = 1, 2, ... Mostraremos que y é ponto de acumulação de B e isto completará nossa demonstração. Notemos primeiro que se 11 = [a 1 ,b 1 ] X·· ·X [ap, bp] com ak O é o comprimento do maior lado de 11. De acordo corq a construção acima da seqüência (/k), temos

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1 o< l(Ik) =. 2k-l l(It)

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para k EN. Seja V uma vizinhança do ponto comum y e suponhamos que todos os pontos z de RP com lly - z Ir< r pertençam a V. Escolhemos agora k suficientemente grande para que Ik C V; tal escollia é possível, pois se w é qualquer outro ponto de Ih, então, do Teorema 8.1 O, decorre que

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Figura 10.1

Conforme o Exercicio 6. L, temos que, se k é suficientemente grande, então

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Para tal valor de k temos Ik C V. Como Ik contém infinitos elementos de B, segue-se que V contém ao menos um elemento de B diferente de y. Portanto,y é ponto de acumulação de B. Q.E.D.

EXERCÍCIOS

lO.A. Sejam In S.. RP as celas abertas dadas por In = (0, 1/n) X· · ·X (O; 1/n). Mostre que estas celas são encaixantes mas que não contêm nenhum ponto em comum.

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lO.B. Sejam 1 71 c RP os intervalos n~chados dados por ln: {n, +."")X·· .x [n, +""').Mostre que estes intervalos são encaixantes mas que não contêm nenhum ponto em comum. lO. C. Um ponto x é ponto de acumulação de um c,pnjunto A c Jl.P se e somente se cada vizinhança de x contém infinitos pont?s de A. 10. D. Sej~ A = { 1/n : n E Nt· Mostre que todo ponto de A é um ponto fronteira em R, mas que O é o único ponto de acumulação de A em R. lO.E, Sejam A, B subconjuntos de RP ex ponto de acumulação de A n Bem RP. Prove que x é ponto de acumulação tanto de A como de B. lO. F. Sejam A, B subconjuntos de RP ex ponto de acumulação de A u 1J em RP. Prove que x ou é ponto de acumulação de A, ou o é de B. lO.G. Mostre que todo ponto do conjunto F de Cantor é ponto de acumulação tanto de F co· mo de46(F). lO. H. Se A é subconjunto de RP, existe um subconjunto numerável, C, de A tal que, ~ex EA e e> O, então existe um elemento z E C tal que llx- zU
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PROJETOS lO. o:. Sejam M um conjunto e d uma métrica em M tal corno definida no Exercício S.S. Reexamine as definições e teoremas das seções 9 e 10 a fim de determinar quais podem aplicar-se a conjuntos que têm uma métrica. Ver-se-4, por exemplo, que as noções de aberto, fechado e limitado são aplicáveis. O Teorema de Bot:r.ano-Weierstrass, entretanto, pode falhar, conforme a escolha de Me d. Sempre que poss{vel, mostre que o teorema pode ser apltcado, ou dê um contra·exemplo que mostre que ele pode falhar. . 10./1. Sej.a.9úma família de subconjuntos de um conjunto X que (i) contém 0 e X, (ü) contém a interseção de qualquer famílía finita de conjuntos em.9."e (iii) contém a união de quatquerfamília de conjuntos emY.Dizemos que..9'é uma topologia para X, e os conjuntos emYsão chamados abertos. Reexamine as definições e teoremas das seções 9 e 10 e procure determinar quais são aplicáveis a conjuntos X que tenham uma topo!ogiaY.

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SEÇÃO 1 I O TEOREMA DE HEINE-BOREL

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O Teorema das Celas Encaixantes, 10.2, e o Teorema de Bolzano-Weierstrass,. 10.6, estão intimamente relacionados com a, importante noção de compacidade a ser discutida nesta seção. Conquanto seja possível obter grande parte dos resultados das seções posteriores sem o conhecimento do Teorema de Heine-'13orel, não poderemos aprofundar-nos muito na análise sem o seu concurso; seria, pois, uma falsa economia evitar a sua apresen· tação a esta altura. Definição. Diz-se que um conjunto K é compacto se, sempre que estiver contido na união de uma coleçaos;;' Gá. de abertos; estiver contido também na união de um número finito de conjuntos de~ Uma coleção :9' de abertos cuja união contêm K é chamada uma cobertura de K. Assim, para que K ~eja compacto, exige-se que toda cobertura de K possa ser substituída por uma cobertura finita de K, obtida apenas com conjuntos de :9' . Notemos qúe, para aplicar esta definição na demonstração de. que um conjunto K é compacto, devemos examinar uma coleção arbitrária de abertos cuja união contenha K e mostrar que K está contido na união de alguma subcoleção finita de cada uma de tais coleções. Por outro lado, para mostrar que um conjunto H não é compacto, é suficiente exibir uma cobertura que não possa ser substituída por uma subcoteção finita que ainda cubra H.

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1 L2 pxempJos. (a) Seja K ={x l> x 2 , .•. , um subconjunto finito de RP. É claro que$=1 Ga uma coleção de abertos em RP e se cada ponto de K pertence a algum subconjunto de .:ifentão no máximo m subconjunto~ de g;· cuidadosamente escolhidos terão também a propriedade de que sua união contém K. Logo, K é um subconjunto compacto de RP.

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(b) Consideremos, em R, o subconjunto H={xER :x:?:O}. Seja G" =(-l,n), n EN, de modo que :if ={Gn : n EN}é uma coleção de subconjuntos ab_ertos de R cuja união contém H. Se { Gn , Gn , ..• , Gn k é uma subcoleção finita de :§', seja M"" sup {n 1 ,n 2 , ••• ,nk}de modo qu~ Gn.r;;;;.GM, paraj=l,2, ... ,k. Segue-se que GM é a união de{ Gn,, Gnz, ... , Gnh}. Toàavía, o número real M não pertence a GM e, assim, não pertence a

t

Portanto, não há união finita de conjuntos :?que contenha H e, assim, H não é compacto. (c) Seja H= (0, 1) em R. Se Gn = (1/n, 1 - 1/n) para n > 2, então a coleção de abertos é uma cobertura de H. Se:if ={Gn :n >2}é uma subcoleção finita de:?, seja M = sup{n 1 , .•. , nk de modo que Grr C GM paraj =- ~, 2, ... ·, k. Segue-se que GM é a união dos conjuntos 1Gn,, ... , Gnk}- Mas o número real 1/M pertence a H mas não pertence a GM. Não há, assim, subcoleção fmita de J7 que forme uma cobertura de H, de modo que H não é compacto .

L

(d) Considere o conjunto I= [0, 1]; mostremos que l é compacto. Seja g::::: {G) uma coleção de subconjuntos abertos de R cuja união contém I. O número real x pertence a algum conjunto aberto na coleção .g; , o mesmo ocrrendo com números x gue satisfaçam o O, a cela [x*- e,x* + €] está contida em um conjunto G 0 da coleção G. Mas (pela definição de x*) a cela [0, x* -e] está contida na união de um nlÍmero fmito de conjuntos de :9'. Logo, acrescentando-se apenas o conjunto G 0 ao número finito já necessário para cobrir [0, x* - €], inferimos que o conjunto [0, x* +e] está contido na união de um número finito de conjunto em Jf . Assim, x* = 1, e I é compacto. . Em geral, não é fácil provar que um conjunto é compacto, utilizando apenas a definição. Apresentamos a seguir um notável e importante teorema que caracteriza completamente os subconjuntos compactos de RP. De fato, a importância do Teorema de Heine~ Borel decorre, em parte, da símpHcidade das condições de compacidade em RP.

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11.3 Teorema de Heine-Borel 7 . Um subconjunto de RP é compacto se e somente se

é fecktdo e limitado.

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Eduard Heine (1821-1881) estudou em Berlim com Weierstrass e ensinou posteriormente em Bonn e Halle. Em 1872, provou que uma função contínua num intervalo fechado é uniforme-· mente contínua aí. (F. E. J.) l!miUe Bore! (1871·1956), aluno de Hermite, foi professor em Paris e um dos matemáticos mais influentes de sua época. Deu numerosas e profundas contribuições à análise e à teoria das probabilidades. Em 1895, provou que se uma coleção nurnerável de intervalos abertos cobre um intervalo fechado, então existe uma cobertura finita nessa coleção .

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Demonstração. Mostremos primeíro que, se K é compacto em RP, então K é fechal do. Seja x E ~(K) e, para cada nómero natural m, definamos

o... = {y E R": 11Y- xll >1/m}.

Vê-se logo que cada conjunto Gm, m EN, é aberto em RP. Outrossim, a união de todos · os conjuntos Gm, m EN, consiste de todos os pontos de RP exceto x. Como x f/:. K. cada ponto de K pertenç:e a algum conjunto Gm. Em vista da compacidade de K, segue-se que existe um número natural M tal que K está contido na união dos conjuntos

Gt;G 2 ,

•••

,GM.

Como os conjuntos G aumentam com m, K está contido em GM. Logo, a vizinhança {z E RP: llz- xll < 1/Ml não intercepta K, o que mostra que~(K) é aberto. Logo, K é fechado em RP. (V. Figura 11.1, onde se destacam as bolas fechadas complementares dos Gm.)

Mostraremos a seguir que, se K é compacto em RP, então K é limitado (isto ê, K es· tá contido em algum conjunto{x ERP: llx 11
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Figura 11.1 Um conjunto compacto é fechado.

De fato, para cada número natural m, seja H rn o conjunto aberto definido por

H,.,={x

R~':!lx!l
O espaço inteiro RP - e, daí, K- está contido na união dos conjuntos crescentes Hm, m EN. Como K é compacto, existe um número natural M tal que K CHM. Isto prova que K é limitado. Para completar a demonstração deste teorema, devemos mostrar que se K é um conjunto fechado e limitado que está contido na união de uma coleção Jf de con-

={Ga}

juntos abertos em RP, então está contido na união de. um número finito de conjuntos de g:. Como K é limitado, podemos incluí*lo numa cela fechada / 1 em RP. Por exemplo, podemos tomar 1 1 ={(x 1 , ••• ,xp): lxhl S,r, k 1, ... ,p tpara r convenientemente grande, r> O. Para obter uma contradição, suporemos que k não está contido na união de qualquer número finito de conjuntos emg'. Portanto, ao menos uma das 2P celas fechadas obtidas por bissecção dos lados de 1 1 contém pontos de K e é tal que a parte de K que está nela não está contida na união de nenhum número finito de conjuntos g'(pois, se cada uma das 2P partes de K estivesse contida na união de um número finito de conjuntos em 5:, então K estaria contido na união de um número finito de conjuntos em :?f, contra-

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11

Figura 11.2

riarnente à hipótese). Sejal2 uma qualquer das subcelas desta subdivisão de I 1 tal que o conjunto não-vazio K nf2 não esteja contido na união de qua]quer número finito de conjuntos em?. ProsseguindO processo, bisseccionemos os lados de I 2 para obter 2P subce· las fechadas de 12 ; seja 13 'um~ A~ssas subcelas tal q\le o conjunto não-vazio K n, I 3 não esteja contido na união de um número finito de conjuntos em?; e assim por diante. Obtemos assim uma seqüênda encaixante (In) de celas não-vazias (v. Figura 11.2); de acordo com o Teorema das Celas Encaixantes, existe um ponto y comum aos In. Como cada In. contém pontos em K, o elemento comum y é ponto de acumulaçífo de K. Como K é fechado, então y pertence a K e está contido em algum aberto G.,.._ em:?/. Portanto, existe um número e> O tal que todos os pontos w, com Uy- wl! 2, se obtêm mediante bissecção sucessiva dos lados da cela I 1 ={(x 1 ••• ,xp):lxJI~r}de modo que o comprimento do lado de ih é r/2k- 2 • Do Teorema 8.1 O decorre que se w E h, então lly - w 11
o

80

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1tos de

lo, po~ gran.ião de :hadas 1ue estOis, se juntos :ontra-

ALG.UMAS APLICAÇÕES Como conseqüência do Teorema de Heine-Borel, obtemos o próximo resultado, de-1: vído a Cantor. Trata-se, na realidade de uma ampliaçao do Teorema das Celas Encaixan- ·· tes, pois consideraremos aqui conjuntos fechados gerais. e não apenas celas fechadas. (. 11.4 Teorema da Interseção de Cantor. Seja F 1 um conjunto fechado, limitado;{ niío-vazio de R P e ( 1

t

\

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j

{

uma seqüência de conjuntos fechados não-vazios. Entao existe um ponto que pertence ar todos os conjuntos {Fk: k EN}. . ' ,· Demonstração. Como F 1 é fechado e limitado; é compacto (Teorema de Heine-\ Borel). Para cada k EN, seja Oh o complemento de Fk em RP. Como se supõe Fn fecha-:, do, Gk é aberto em RP. Se, contrariamente ao teorema, não existe nenhum ponto qué . pertença a todos ôS conjuntos Fk, k E N, então a união dos conjuntos Gh; k E N, contêm i' ~~ o conjunto compacto F 1 • Portanto, o conjunto F 1 está contido na união de um número, . finito dos conjuntos Gk; digamos, em 0 1 ~ G2 , ••• , Gk. Como os Gk aumentam, temos\ G1 U .. ·UGk =Gn.. E como F 1 ~Gh.segue-se queF 1 nFK =0. Porhipótese,F 1 d.FK,( de modo que F 1 n FK =FK. Nossa suposição conduz à conclusão de que FK. = 0, o que ' contradiz a hipótese e estabelece o teorema. ( !.,. •

'!

11.5 Teorema da Cobertura de Lebesgue. Seja

-·

:9'={ Ga.} uma cobertura de um sub*t.:

conjunto compacto K de RP. Existe um número estritamente positivo À tal que, .se x, y '· pertencem a K e l!x - y !I < f... então existe um conjunto em :9"que contém x e y. ( Demonstração. Para cada .ponto u em K existe um aberto Ga. em g'contendo U.( Seja ô(u) >{ O tal que, se llv- u!l < 2ô(u), então v pertence a Ga.
que o ~ con-

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anto, il G'A. i cela . Do ksu-

:onti· 1 que ·ntra-

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.E.D.

J

Se x,y pertencem aK e llx- yll <À, então x pertence a S(ui) para algumj com 1
Um número positivo À com a propriedade enunciada no teorema costuma chamar·se

número de Lebesgue 8 da cobertura:?/.

. ( Conquanto só venhamos a utilízar os argumentos baseados em compacidade em se"(

ções ulteriores, é conveniente introduzirmos aqui dois resultados que se afiguram intuiti· vamente claros, mas cuja demonstração exige um certo, tipo de argumento de compach1 · nade. ' I

\ .·

\

Henri Lebesgue (1875-1941) é mais conhecido por seu trabalho pioneiro na moderna teoria da(

integral que leva seu nome e que é básica na análise atual.

.

8l· t

,, !J ;

11.6 Teorema do Ponto mais Próximo. Seja F um subconjunto fechado, não-vazio, de RP e seja x um ponto não~pertencente a F. Então existe ao menos um ponto y perten- · cente a F e tal que llz - x I! :;:;:; I!Y - x Upara todo z E F, .

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11.3 .)

Tem considerável importância na teoria das funções analíticas uma variante do próximo. teorema. Enunciaremos o resultado apenas para p = 2 e utilizaremos idéias intuitivas . quanto ao que significa o fato de um conjunto ser circundado por uma curva fechada (isto· é, uma curva que não tem extremos).

I I I .

Demonstração. Corno F é fechado ex é F, então (cf. Exercício ll.H) a distância de x a F, definida corno d ínf { llx - z li: z E F}, satisfaz >O. Seja Fr. ={z E F: l!x - z 11::;;: · d + 1/k} para k EN. De acordo com o Exemplo 9.5 (f), esses conjuntos são fechados em RP e é obvio que F 1 é limitado e que F 1 ::> F 2 :J · · · :J Fk ::> • • •• . ' Além disso, pela definição de de Fk, vê-se que Fk é não-vazio. Decorre do Teorema. da Interseção de Cantor 11.4 que existe um ponto y que pertence a todos os Fn, k EN. Vê-se imediatamente que l!x - y 11 = d, de modo que y satisfaz a conclusão. (V: Figura ·

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f

'.

'·.

11.7 Teorema do Contorno Circunscrevente. Seja F um conjunto fechado e limita-. do em R 2 e seja G um aberto que contém F. Então existe uma curva fechada C, inteira-· mente contida em G e composta de arcos de um número finito de círcuos, tal que F é circundada por C.

Demonstração Parcial. Se x pertence a F c G, existe um número o(x) >O tal que se !iy- xll <ô(x), então y também pertence a G. Seja então G(x)=~y ER 2 : lly -xll < ~.

ó(x)}para cada x em F. Como a coleção?={G(x):xEF}constitui uma cobertura do· conjunto compacto F, F está contido na união de um número finito de conjuntos deg',

Figura 11.3

F

.I

I

Fig\J:ra 11.4

82

-

.

digamos G(x 1)) •.• ~ G(xk). Utilizando arcos dos círculos com centros Xí e raios ~ ó(xi), 1 perten- • obtemos a curva C desejada. (V. Figura 11.4.) Não daremos aquí'a construção detalhada da curva. Q.E.D. lO-VGZlO,

:ância de t-zi!S: •ados em

feorema.

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EXERCÍCIOS 1 LA. Mostre, diretamente peia definição (isto é, sem utilizar o teorema de Heine-Borel), que a bola aberta{ (x, y): x 2 + y 2 < 1} não é compacta em R-:. · . ,

·.

ll.B. Mostre diretamente que o espaço R 2 não é compacto. . 1 L C. Prove diretamente que se K é compacto em RP e F c K é um conjunto fechado, então F

,kEN. ·:Figura· é compacto' em ~olf:P.

ll.D. Prove que se K é um subconjunto compacto de R, então K é compacto quando encarado :do pró-. como subconjunto de Rl. . . . . ntuitivas . ll.E. Modificando o àrgumento do Exemplo 1L2(d), prove que o intervalo J={(x,y) :0 < ada (isto· x .$.~.O ;S;y < l}é compacto e~ f!""J.. , . • · • .• ·~LF. Indtque onde as htpoteses de que K e lumtado e que e fechado foram ubhzados na demtmstração do Teorema de Heine-Borel. e limita- . ll.G, Prove o teorema da Interseção de Cantor escolhendo um ponto xn de Fn e aplicando em , inteira-· seguida o Teor~?la de ~lzano-Weierstrass, 10.6, ao conjunto{xn: n E N}. ~F é cirll.H. Se'F: o#. 0 e fechado em RP e se

d(x, F).-= i~f {ljx- z\!: z E F}= O.

ü que se ent~o x pertence a F. -xll <.!.. 2 . · · ~ l. L O Teorema do Ponto mais Próximo em R :1carreta a existência de um número real estrirtura do . tamente 1positivo mais próxirnt/de zero? os deJf, 11. j; Se F é um conj~nto fechado não-vazio em RP e se X e F, existe um único ponto de F . . " .. que esta mats proxtmo de x? ~

&

.

'

11. K. 9.e K é um subconju!ltO compacto de RP ex é um ponto de RP, então o conjunto Kx = + y :y E Kttampém é compact(). (Costuma-se chamar este conjunto Kx de translação do conjunto

K{'Or x.J

.

· 11. L. A inte~seção de dois apertos é compacta se e somente se é vazia. Pode a interseção de uma coleÇão infinita (j.e abertq~ ~e;·r u'[n compacto não·vazio? 1 LM. Se F é um subconjunto. compacto de R 1 e G é um aberto que contém F, então exi_s.te uma poligonal fechada C, inteír,fuente 'contida em ·c. que circunda F. . ll.N. S(:(ja { Hn Ul E N famítía de subconjuntos fechados de RP com a propriedade de que nenhum Hn contém um a fi:rlO não 7vazío. (Por exemplo, Hn é um ponto ou uma reta em R 2 ,) Se· ja G (/> um ab~rto. ' (a) Se x t E G \H 1 , mostre quf! existe uma bola fechada 8 1 com centro x 1 tal qu~ B l C G e

uma

*

. . . (b) Se x 1 $. H 2 pertence ao interi9r de B 1 , mqstre que existe uma pola fechada Bz com centro x 2 tal que B, está contida no interior d~·J.? 1 e H% n B: = (/J. · (c) Continua.noo q proces:·:..>, obtenha uma família encaixante de bolas fechadas tais que Hn n Bn = 0. Pelo TeoreO:.a da Imerseção de Cantor, 11.4, existe um ponto x 0 comum a todos os Bn. Conclua que x 0 E G \ n Hn. de modo que G não pode estar contido em VHn. Este resultado é uma forma H

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· · do chamaào "Teorema da Categoria de .Baire". 9 lLO. Uma reta em R.z é um conjunto de pontos (x,y) que satisfazerp uma equaç<'i'o da forma ax + by +c= O. onde (a, b)-:#. (0, 0). Use o ~xerdcio precedente para mostrar que Rl não é a união de uma coleção numerávet de retas.

9

René Lo uh; Baire aná!Jse real.

(1874-~ 932) foi professor em Díjon. Trabalhou em teoria dos conjuntos e

83

ll.P. O conjunto'GtQ) dos irracionais em R não é a união de urna família numerável de conjuntos'fechados, nenhum dos quais contém um aberto não-vazio. ll.Q. O conjunto Q dos racionais não é a interseção de uma coleção numerável de abertos em

R.

l 1

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SEÇÃO 12 CONJUNTOS CONEXOS ; Introduziremos agora a noção de conjunto conexo. ocasionalmente utilizada no que ~ segue. 12.1 Definição. Diz·se que um subconjunto D C RP é desconexo se existem dois abertos A, B tais que A n D e B n D são disjuntos, não-vazios, e têm D como união. Diz~ se então que o par A, B constitui uma desconexão de D. Um subconjunto que não é des- : conexo é chamado conexo. (V. Figura 12.1.) · · 12.2 Exemplos. (a) O conjunto N C R é desconexo, pois podemos tomar A ={x E

R:x< ;}eB=íxER:x>

if·

(b) O conjuntoH={l/n :n EN}é desconexo. (c) O conjuntoS ~ue consiste de ~odos os racionais posVivos é desconexo em R, pois podemos tomarA =1x ER :x < ...J2t.B ={x ER :x > Vit :·

::

(d) Se O< c< l, então os conjuntos A :={x ER, x =5:c}, B "='{x ER, x > c}dividem o intervalo unitário I ={x E R :O:::;: x s;: 1} em conjuntos dtsjuntos, não-vazios, tendo I como união. Todavia, como A não é aberto, o exemplo niio prova que I seja desconexo. Na realidade, mostraremos abaixo que I é conexo.

R.

17.3 Teorema. O intervalo fechado unitário I= [0, 1] é um subconjunto conexo de

Demonstração. Procederemos por contradição, supondo A, B abertos que formam uma desconexão de I. Assim, A ni e B nJ são conjuntos disjuntos, limitados, não~ vazios, cuja união é 1. Como A e B são abertos, os conjuntos A n I e B n I não podem consistir de um único ponto. (Por quê?) Por uma questão de precisão, suporemos que

84 .,'

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existam pontos a EA, b EB, tais que O
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que a mesma demonstração ê válida para provar que o intervalo aberto (O, 1) é conexo em .R.

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Figura 12.2

( ( 12.4 Teorema. O espaço RP é conexo. l.

lividem endoJ o nexo. :exode

ormam s, nãopodem .os que

(

Demonstração. Se não fosse, então existiriam dois abertos não~va:dos, disjuntos, A, B, cuja união seda RP. (V. Figura 12.2.) Sejam x E A e y E B e consideremos o segmento de reta S ligando x e y; isto é,

(

S = {x + t ( y - x) : te I}.

(

Sejam A 1 ={tER :x + t(y- x) EA} e B 1 ={tER: x + t(y- x) EB}. Vê-se facilmente que A 1 e B 1 são subconjuntos abertos, não-vazios, disjuntos de R e constituem uma desconexão de/, contrariamente ao teorema 12.3. Q.E.D.

(

12.5 Corolário. Os únicos subconjuntos de RP que são ao mesmo tempo abertos e fechados são C/J e RP. Demonstração. Com efeito, se A é aberto e fechado em RP, então B = RP \A também o é. Se A não é vazio e não é todo o RP, então o par A, B constitui uma desconexão de RP, contradizendo o teorema. Q.E.D .

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85

( (

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CONJUNTOS ABERTOS CONEXOS

Em certas áreas da análise, os conjuntos abertos conexos desempenham papel espe- , cialmente relevante. Utilizando a definição, é fácil estabelecer o próximo resultado. · 12.6 Lema. Um subcoiijunto aberto de RP é conexo se e somente se não pode ser ! expresso como unifio de dois conjuntos disjuntos, não-vazios. ]

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Às vezes {coiweníente dispormos de o~tra caraeterlz.açã,~ d~s conjuntos abertos c~­ nexos. Para darmos tal caracterização, introduziremos a terminologia adequada. Se x e y são dois pontos de RP, então uma poligonal que une x e y é um conjunto P obtido como :, união de .um !1Úmero finito de segmentos ordenados de reta (L i, L 2 , ••• ~L,.,) em RP tais i que o segmento L 1 tem extremos x, Zt; o segmento L 1 tem ex treinos z 1 , z;;. - . ; e· o segmento Ld tem extremos Zn~ 1 ,y. (V:Figura 12.3.) •

'um aberto em RP. Então (;é conexo se e somente se qualquer pai- de pbnú;s· x; y·dil G pode ser iú?Jdo pdnmia poligôhàl i'ri.te'i.ràn?Júue contida em . ; ,;.· ' .. ·. . 12.7 Teorema. Seja G.

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Demonstração._Suponhamos G não-conexo, e que A, E seja l,lrha desconexão de G: Seiarri x ·EA rtG ·y·. E B. h 'G ·d p:. (L,,.l•.'l• L · .':·: ..' ·L-" ) ;ürna 'p-olí&dnal irttéitamente cbntida J ... _, b em (; ~n1:do e)'· k b 'm,eriot,'n~J:il~ro n~turallál q~e o pont~ exttémo:*k -l de Lk p~rtença ~ A 0 G e o porito extremo z'k pe'rtençâ a B n G (v. Fig'ura 12.'4). Definindo A 1 e B i. . . . . .. . . ' . . . . . ·

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vê-se facp.m,f(J!t€1 qJ.!-e, 4 1 e Q1 são subc;()njun.~os ab~rtq~, ri,~o~yaz.ios~ disjuntos de R. Logo, o pàr A f. ,1J.'i. cqq:~t~tuj uma ·cte-~corie~o·-q~ ~nte:ry~~ imffãrio'!, q q-q·e c~mtrl+diz o Teorema 12.3'. ·pqítantq, ~~ q n.ãq ê q:mexo, existe~ dois ponto$ q~ G qpe não podem ser uni· ···· ' · · · · dos por uma poligonal en:i G, •

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. . Suponhamos em 'segufçla G a~rto COfl.êXO ~m RP ~ q).l~ X P.értef).Ça a G. Seja Gl o subconj'!,i'ilto de. G cb~sütii(do ·,9e tpdos o~' poqtos de G que podem ser ligados aX pqr

uma poligonal inteiramente éontidaem O; seja G:z ó cp.njunto qe todos os pontos de G quê n'ãQ podem ser ligados a X .por uma poligpnql ínteirainente contida em G. Ê claro que G 1. h G~ = ~. Q conjunto G 1 não é va:liô, pois c()ntém à ponto~- Mostraremos agora que G 1 é ab~rto erri S~ y pertence ii G~, dec~?rre do fato 'de G s~r aberto 'que, para algum real r> O, llw - y 11
Ji.P.

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::>como ', RPtais i e o seg·e qua(~ ~ida

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o de G: xmtiuà

Figura 12.4

deLk 1doA1

contrariamente à hipótese de qlle G é conexo. Portanto, G2 ser ligado a x por timà poligonaHnteirarriimte contida em G.

::::~.e todo ponto de Gpôde

Q.E.D. l'

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·a G 1 o l .x ppr

s de G Lro que 1ra que àlgurh [gado a ~~

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rtoem 'de G~

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CONJUNTOS CONEXOS EM R ·. EnterrareiJtos esta seção·tnostrando que os subconjuntos conexos de R são precisaI.ri,~nt~pslh.têrv~q~(y.s~ção7).' ·,·:··' · · · > '·.; ·. · :·

'·

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12.8.. Te~rema. Um subconjunto de R é conexo se e someme se é um intervalo. . .... '

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Demofkstr:açã9 ~tciat. 4 d~monstra,ç.[o d~dà nó Teore!n~ }2. .3 pod~ ~et fác~Írri~nte modificada para: estabelecer a conexão de um intervalo não-V(!Zio arbitrário. Deix(l.rhos ao leitor os detalh(;Ís. · · · · · · · ' , ·· ·· · · · ·· .. · .. ReÚpr~êameqte, seja Ç C/(( Ç;pnéxo e supqppamo;; C =F f/J~ ~o~e~os que Çterp a prqpriedade de ·que., se a~ 'b E C e a c} constituem uma des,conexão de C. _

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(i) Supon~artios ~go~a C limitado acima e abaixo, e seja a= inf C e b = :mp Ç. Mostr?-re~n(>s que C 4eve s~r de uma das quatro formas [a, b],

[a, b),

(a, b],

(a, b).

D~ f~to, se a~ Ç e .l!. C, então, cçnf~rme parágraf(J pr~ceden~e, [a, b] S: C e i? fato qile Ç Ç. [à, b] deê<>rte dô fato de que a'e l) sâo l~mites inferior~ superipr 9-e C, respectivamen-

E.

te.

=

_ Se a E C mas p 11:. G, seja b' um número ~rbitrário çom a ~ b' < b~ Corno p s~g C, deve existir mn elemento b"EC tal que a ~br
<

An~ogament~t se (1 ~ Ç qul§ b E C, if1.ferimos q\1~ Ç ::- (q.> ~ b ~C, deduz@o~ que C {çc, b ). ·

P, ]. ~nquan~q qye, ·

·

s~ q. 11:. C

87

,·'

' l

(íi) Suponhamos agora C limitado abaixo mas não acima, e seja a =inf C, de modo que C C [a, +=). Se a E C ex é um real qualquer tal que a :S x, então, como C não é limitado acima, existe c E C tal que x :S c, donde decorre, pela propriedade acima, que x E C. Como x é arbitrário, a < x, condu ímos que C= [a, +<><>). Analogamente, se C não é limitado abaixo mas o é acima e se b sup C, então exis. tem dois casos C =(-oo, b] ou C=(-=, b) conforme b E C ou b é C.

'R 2

EXERCf CIOS

:· Se 2

=

I

í

:e a , :

l bidl

(iv) Finalmente, se C não é limitado nem abaixo nem acíma, temos o caso C= (-oo, : ?8 r +oo). Q.E.D. JUn1 12.A. Se A e B são subconjuntos conexos deRP, de exemplos para mostrar que A u B,A n B, l bol< A \ B podem ser conexos ou desconexos. 12.B. Se C f;;.RP é conexo ex é ponto de acumulação de C, então C u{x} é conexo. 12.C. Se C C RP é conexo, mostre que seu fecho c- (v. Exercício 9.L) também é conexo. 12.D. Um conjunto D c RP é desconexo se e somente seD =Eu F, onde E, F são não·va:t.ios eEnF-""-0,E- nF=~. . elen 12.E. Se K C RP é convexo (v. Exercício 8.Q), então K é conexo. prol 12.F. O conjunto de Cantor F é fortemente desconexo. Mostre que se x,y E F, x y, então tuíd ' existe urna desconexão A, B de F tal que x E A, y E B. nun 12.G. Se C 1 e C~ são subconjuntos conexos de R, então o produto C 1 X C~ é um subconjunto 1 o p2 conexo de R 1 • 12. H. Mostre que o conjunto

*

A= {(x, y) E R 2 :0< y < x", x ;é O}U{(O, O)}

:'i '

i .·

. i

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~

~

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é conexo em R • Entretanto, não existe nenhuma poligonal inteiramente contida em A ligando (0, 0) a outJ:os pontos do conjunto. 12J. Mostre que o conjunto

I 1

2

S = { (x, y) E

R y = sen ~ , x,: O} U {(O, y): -1 ;:s; y ~ 1} 2

:

1

qual

men

é conexo em R'. Entretanto, nem sempre é possível ligar dois pontos de S por uma poligonal (ou por : real qualquer curva "contínua") inteiramente contida em S.

SEÇÃO 13 O SISTEMA DE NúMEROS COMPLEXOS Dispondo do sistema de números reais, é fácil criar o sistema de números comple·

xos. Mostraremos nesta seção como se pode construir o corpo de complexos. 10 Como vimos, o sistema de números reais é um corpo que satisfaz certas proprleda· des acidionais. Na seção 8, construímos o espaço cartesiano RP e introduzimos algumas operações algébricas no p~produto cartesíano de R. Entretanto, não tomamos RP um corpo. Pode parecer uma surpresa a impossibilidade de definir uma multiplicação que torne RP, p:?. 3, um corpo. Não obstante, é possível defmir uma operação de multiplicação em R x R que tome este conjunto um corpo. Introduziremos agora as operações deseja· das.

!' ;

l3J Definição. O sistema de números complexos C consiste de todos os pares ordenados (x,y) de números reais, com a operação de adição defirúda por

Con pies intr• mos

Alér

_L

(x, y)+(x', y 1 )=(x+x',y+y'), lG

88 ~

.

Esta seção pode ser omitida em uma primeira leitura.

tem prec

\ . ...,.....,

.

.

r' '!.

.

{

aodo :e a operação de multiplicação definida por

!~-: .

(

(x,y)·(x ,y )=(xx -yy',xy'+x y). 1

1

1

1

'

os .

de números complexos c tem, assim, mesmos elementos que o espaço exis- I bidimensional R 2 • Tem a mesma operação de adição, mas possui uma multiplicação que 'R 2 não tem. Portanto, considerados apenas como conjuntos, C e R 1 são iguais, pois têm -= : os mesmos elementos; todavia, do ponto de vista da álgebra, eles não são o mesmo conB.D: junto, pois possuem operações distintas. Um elemento de C é chamado número complexo, e costuma denotar-se pela letra z. ; Se z = (x, y ), então dizemos que x é a parte real de z e y é a parte imaginária de z; em s ím· I n B · bolos ' x=Rez, y=Imz. !

o sistema

(

( (: ...

( (

O número complexo z =(x, -y) é o conjugado dez= (x,y). ~zios É um fato importante que a definição de adição e multiplicação d;tda acima para os . elementos de C tomam-se um "corpo" no sentido da álgebra abstrata; isto é, satisfaz as propriedades algébricas relacionadas em 4.1 ~desde que o número O em (A3) seja substi· ntão tuído pelo par (O, O), o elemento correspondente a -a em (A4) seja o par (-x, -y), o . número 1 em (M3) seja substituído pelo par (1, O) e o número correspondente a 1/a seja

1nto

1

0

( (

( (

\

par

(

I

}, 0)

.i

( quando (x,y) *(O, 0). Às vezes é conv:eniente adotar parte da notação da seção 8 e escrever az

por

,3

...~a-

uts 1m

( '

(

= a(x, y) = (ax, ay),

(

onde a é um número real e z =(x,y) está em C. Com esta notação, é claro que cada ele· 1 rnento de C admíte uma representação única como soma de dois produtos -um, de um : real por ( 1, 0), outro, de um real por (0, 1). Podemos, assim escrever

(

f

z = (x, y)

= x(l, O)+ y (O, 1).

(

Como o elemento (1, O) é o elemento identidade de C, é natural d-enotá-lo por 1 (ou sim-

plesmente suprimi-lo quando figurar como fator). Por uma questão de abreviação, convém introduzir um símbolo para (O, 1)~ i é a escolha convencionaL Com esta notação, podemos escrever z = (x, y) = x + iy.

( ( (

'

(

::>rão Ja·

Além disso, temos z = (x, -y) =x- iy e z+z x=Rez = - 2 '

.e-

Pela Definição 13.1, temos (0, 1)(0, 1)=(-1,0), que se pode escrever como {l. = -1. Assim, em C, a equação quadrática

y

(

z -z

= Im z = 2 i •

(

z + 1 =O 2

tem solução. A razão histórica do desenvolvimento do sistema de números complexos foi precisamente obter um sistema de '•números'' no qual toda equação quadrática tivesse

89

(

'·

( ( (

'·

( (A '. \.

(

I ! '

l I

I

uma solução. Ora, constatou-se que nem toda equação com coeficientes reais tinha uma solução real; daí, a criação dos números complexos para preencher tal lacuna. :É sabido que os números complexos não só dão solução para toda equação quadrática córn coeficientes reais, mas são também suficientes para garantir a existênciã dê soluções para qualquer equação polinomial de grau arbitrário com coeficientes que podem ser números complexos. Este resultado constitui o Teorema Fundamental da Álgebra, e foi demonstrado pela primeira vez pelo grande matemático Gauss 11 em 1799. Embora C não goze das propriedades de ordem díscutidas na seção 5, é fácil dotá-lo da métrica e da estrutura topológica das seções 8 e 9. Com efeito, se z = (x,y) pertence a C, definimos o valor absoluto de z como

lz] = (x2+ Yzrn._

Vê-se logo que tal valor absoluto gozà das propriedades:

lzl2:: O;

(í) (ii) (iii)

I' ''

ii i

lzl =O

se

e somente se z =O;

lwz] = jw]!z]; (iv) llwl-lzllslw±zlslwl+lzl.

Observe-se que o valor absoiuto do número complexo z = (x,y) é precisamente o mesmo que a norma· do eleinento (.X,:y) em R 2 • Portanto, todas as própriedàdes topológicas dqs espaços cartesi'anàs introdUzidas e estudadas nas seções 9 a 12 têm sentído e validade ertl ' C. Em particular; as noÇões de conjunto aberto e conjunto fechadó em C são exatamente as mesmas que ·para o espaço cartesiano R'-. Além disso, o Teorema de Bolzano·Weiers~ trass, 1O.6, e: o Teorema de Heine·Borel, 11.3, e suas conseq üêncías também são válidos '

I

! :

erriC,como':também()é'oTeorem~ 12.7.

:' o leitor deve "th estás'

' l

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i

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I'

I

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l

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I I

'Ii

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"! i' i

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i

·· ·. . : obsetyaçõ~s em mente ~urant!;! as seçõe~ restàntes

do livro.

Y:eremos que tud.o quantos~ aplica aO$ espaÇos·Çartf;sii;rrlQS.de dimensão su"p.érior à um vale"'igiuiln:zeni~ p~rà o s~stemà de números complexos. AssiÍri, a maioria dos résú1tados i:elat!y?~ a ·séquênciás, funÇões contí~uas, derivadas, integrais e séries infinitas são igq~mente válicl~S em C; sem quálquer modificação, sej~ quantO ~ enuncia~Ós Óu a demonstrâções. As U:rúcàs exceções sã'(fas propriedades baseadaS: rilis ptopiiedádes de. ordem de R. . . : ·. : Neste sentido, a análise complexa é um caso especial da análise real; todavia, há vá* rias características novas, profundas e importantes para o estudo das funções analíticàs, ql.l~ nãQ têm c;orrespondente no âmbito da análise réal. Assim é que levaremos em conta e1n nos~o· eiú:uqo apenas bs :;tspectos mais ou menos superficiais da ânálisé pomplexa. · ·

EXERCÍCIOS Ü.~: Jy[os~re que ~e ,P94e 0:t1ter p ca:mpl~xo íz e part!~ de z me~iant~ rotaç4P i}l:ti·h~t4ria p.e

'· . .

rr{2 rqdtanos (=::9,0:!) ~iri tpmo i!~ qrigem. · 13. JL Se c= (CQs fJ, sen e), = cos ·e + i sen f7, entfj:Q o número cz se obtém de z mediante rota~ ção an~i-ho~~~ (je ~ ra~jano~ tomo da prigem. . .. . ' . . . . ' ·. . . ~

'

,• •

.

\

••

•

'

'

"

',.

•

•

l.•

.

'.

em

"~

·)

Carl Friedrich Gauss (1777-lB?S), fiipo proqigioso !]e urn traballiador, fqi 1Jm dos maiores ma· remátjcos de top!)& os tempo~, send9 le~bra~o também por seus trabalhos em astronomia, ffsi~ ca e geodési11:. Foi professor e diretor do Observatório de Çõttingen.

l

.i I

I

i

'

:i

;·f

:l

;, '

I

90

(

r

(

uma

bido )e fi* p1al:om-

rado

;

,,l3.C. Descreva a relação geométrica entre os números complexos z eaz + b 1 coma* O. Mostre que a aplicação definida para z E C por f(z) = az + b leva círculos em círculos e retas em retas. . p.J:? . Rescreva as relaçõ~s :,;eométrícas entre os complexos .z, z e 1/z para_ z
'

'.

~

. ' .,

.

'

.

'

-

I

'

-

•

•.. •

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.'

.,

... . .

'

'· .

e os cucnlos tz 1= constante.

R~~

.. éo~sta.nte,·•

Im z = cónstante

..

smo dos .,,, :em ente iers~

idos

vro. va-

t

rela~

mte ões.

.L va-' càs, mta

ia de '

•

I,

'

ma· fi si-

91

I

.

'i '

CAPÍTULO

3

CONVERGÊNCIA Os dois capítulos precedentes devem proporcionar ao leitor uma compreensão adequada do sistema de números reais e dos espaços cartesianos. Com esses fundamentos al" gébricos e topológicos, estamos em condições de abordar questões de natureza mais analítica. Começaremos com um estudo da convergêncía de seqüências. Alguns dos resultados deste capítulo podem já ser do conhecimento do leitor, através de outros cursos de análise, mas a apresentação dada aqui é mais rigorosa e contém certos resultados mais profundos do que os que habitualmente se díscutem em cursos mais básicos. Introduziremos inicialmente o sigitificado de convergência de uma seqüência de elementos em RP e estabeleceremos alguns resultados elementares (porém úteis) sobre seqüênci48 convergentes. Passaremos então a alguns critérios de convergência. Em seguida estudaremos a convergência e a convergência uniforme de seqüências de funções. Após uma breve seção sobre limite superior, acrescentaremos uma seção final que, embora in· teressante, pode ser omitida sem perda de continuidade, uma vez que os resultados não serão utilizados posteriormente. Diante das limitações lineares inerentes a um livro, decidimos introduzir, após este capítulo, um estudo da continuidade, diferenciação e integração. Isto tem o inconveniente de postergar bastante a apresentação das séries. Recomenda"se que o professor dê pelo menos uma breve introdução ao estudo das séries, juntamente com o presente capítulo, podendo também - se preferir - ir diretamente à primeira parte do Capítulo 6 após a seção 16.

SEÇÃO 14 INT.R.ODUÇÃO ÀS SEQÜÊNCIAS

Conquanto a teoria da convergência possa ser abordada em um nível assaz abstrato, preferimos estudar a convergência de seqüências num espaço cartesiano RP, dando aten· ção especial ao caso da reta reaL Cabe ao leitor interpretar as idéias fazendo diagramas em R e R 2 • 14.1 Definição. Se S é um conjunto qualquer, uma seqüência em Sé uma função definida no conjunto l, 2, ... } dos números naturais, cujo contradomínio está em S. Em particular, uma seqü~ncía em RP é uma função cujo domínio é N e cujo contradomínio está contido em RP. Em outras palavras, uma seqüência em RP associa a cada número natural n = 1, 2, ... , um único e bem determinado elemento de RP. Tradicionalmente, o elemento de RP associado a um número natural n. se denota por um símbolo como Xn e, embora esta notação esteja em desacordo com a notação empregada para a maioria das funções, adotaremos o simbolismo convencionaL [Para sermos consistentes com a notação anterk , se

N={

I

i

j

.

I'

92

(\ '

X: N--+ RP é uma seqüência, o valor de X em n

lalíLdos

1álifun-

ele-

: se-

lida .pós

.

l In·

) seeste jen-

:'.lelo ' ulo, • JS a

·ato,

ten-

mas

lÇãO

{

(

.

( ( (

'·

( ( f

(2n:neN).

l

Na prática> é mais conveniente espeLificar o valor x 1 e uma relação que permita obter Xn+I, n 2: 1, uma vez. conhecido Xn. De modo ainda mais geral, podemos especificar x 1 e uma regra para obtenção de Xn + 1 a partir de x 1 , x 2 ~ . . • • Xn. Referir~nos-emos a qualquer um desses dois métodos como definições indutivas da seqüência. Dessa fonnat poderia· mos definir a seqüência de números naturais pares por X,..-L

=

Ã,

+ 2,

( ( ( (

n ;;,:: 1.

'

(

ou então pela expressão (aparentemente-mais complicada) n~

(

L

É claro que existem muitos outros métodos para definir esta seqüência.

(

Introduziremos a seguir alguns métodos para construção de novas seqüências a par· tir de seqüências dadas.

l (

14.2 Definição. Se X= (xn) e Y =(y,) são seqüências em RP, então definimos sua soma como a seqüência X+ Y = (xn + Yn) em RP) sua diferença como a seqüência X - Y = (xn - y n), e seu produto interior como a seqüência X • Y =(x n. • Yn) em R que se obtém tomando o produto interior dos termos correspondentes. Analogamente, se X= (xn) é uma seqüência em R e se Y = (y 11 ) é uma seqüência em RP, definimos o produto de X e Y como a seqüência em RP denotada por XY= (XnYn) ou, se c ER e X= (xn), definimos eX= (cxn). Finalmente, se Y = (y 11 ) é uma seqüência em R comyn #:-O, podemos definir o quociente de uma seqüência X= (xn) em RP por· Y como a seqüência

(

X/Y =(xn./Yn). . Por exemplo, se X. Y são seqüências em R dadas por

.em

X=(2,4,6, ... ,2n, ...),

:tdol, 2,

(

por X(n)

em lugar de Xn.] Embora aceitando a notacão tradicional, faremos distinção entre a função X e seus •·' valores X(n) =xn. Assim, denotando os elementos da seqüência (isto é, os valores da fun· ção) por x n, denotaremos a função pela notação X= (xn ), ou por X= (xn : n E N). Utili- · zamos parênteses para salientar a importância da ordem induzida pela ordem em N. Assim é que distinguimos notacionalmente a seqüência X= (xn: n E.N) do conjunto{ Xn : n EN}de valores desta seqüência. Ao definirmos uma seqüência, em geral relacionamos os elementos da mesma, pa· rando quando a regra de formação se torna evidente. Assim é que podemos escrever (2, 4, 6, 8, ' ..) para a seqüência de inteiros pares. Um processo mais satisfatório, entretanto, consiste em especificar a fónnula do termo geral da seqüência, tal como .....

ades al-

EN deveria ser simbolizado

(

Y=(l,;,~, .... ~, ... )~

então temos

RP

(

no-

(

:are. se

1t

( 93

(

( /

'

•'

XY = (2, 2,

2~

... , 2, ... ),

3X = (6, 12, 18', ·... , 6n, .. .), ·

X y

... = (2, 8' 18, ' ' . ' 211 2 ,

••• ) •

Analogamente, se Z denota a seqüência em R dada por

'

z = ( 1' o, 1' ' .. '

1- ( -1)"

2

)

' ... '

então estão definidas X+ z. X- Z e XZ; mas X/Z não é definida, pois alguns elementos deZ são zero. · · Chegamos agora à notação de limite de uma seq üêncía.

'

..

14.3 Definição. Seja X= (xn) uma seqüência em RP. Diz-se que um elemento x de RP é limite de X se, para cada vizinhança V de x, existe um número natural Kv tal que, para todo n ';;::.K v, Xn. pertence a V. Se x é limite 'de X, podemos dizer que X converge pára x. Se u~a seqüência tem limite, dizemos que a seqüência é convergente. Se a seqüência não tem liinite, chamamo-la divergente·. · Usa-se a notação K v para sugerir ql..J.e a escolha de K depende de V. É claro que uma vizinhança 'pequena V exigirá, em geral, um grande valor de K v a fim de garantir qúê x~ E Vpara todon ~Kv. . Definimos o limite de uma seqüência X= (xn) em termos de vizinhança. Pode ser conveniente também usar a norn1a em RP para dar uma definição equivalente, que enun-

l

(

j (

(

ciamos a seguir, fOmo teorema.

i

14.4 Teorema. Seja X"" (xn) uma seqüência em RP. Um elemento x de RP é limite de X se e somente, se, 'pará c~da e> O, exis(e um número natural K(e) taJ que para todo n 2.K(t:) então l!xn- xll Oe consideremos a bola aberta V(t:) ={y E RP: lly- xll O; devemos mostrar que a Definição 14.3 é satisfeita. Para tanto, seja V uma vizinhança de x; então existe um número e> O tal que a bola aberta V( e) com centro x e niío e está contida em V. De acordo com a propriedade do teorema, existe um número natural K(e) tal que, se n ;c;K(e), então llxn - xll
( (

(

14.5 ÜJÚddade dos Limites. Uma seqüência em R,_P poqe ter n.o máximo um limite. '

Demonstração. Suponhamos, ao contrário, que x', x" sejam limites de X= (xn) e que x' -.:Fx". Sejam V', .V" vizinhanç~s disjuntas de x', x", respectívamente, e K', K'~ números naturai~ tais que se n > K', então Xn E V' e se n Z:.K'~ então Xn E V". Seja K = sup {K'. K"}4e mo9o que x K E V' e x K E V". Inferimos que x K pertence a V' n V", contrariamente à suposição que V' e V" são disjuntas. · Q.E.D.

94

1

}

Quando 1:1ma seqüência X= Cxn) em RP tem um limite x J costumamos escrever

x = lim X,

x = lím (x,.),

ou

"

ou, às vezes, usar o simbolismo Xn .....:,~- x. . , Dizemos que uma seqüência X= (xn) em RP é limitada se existe M> O tál que llxnll
.tos

de 1ue,

.pa·

ICia

1ma

Demonstração. Seja x = lím (x11 ) e e= 1. Pelo Teorema 14.4, existe um número natural K =K(I) tal que, se n C.K, então Uxn- xll S: 1. Utilizando a Desigualdade Triangular, inferimos que, se n > K, então llxn 11 S: !lxll + 1. Se fizermos M =sup { !lx 1 11, llx 2 11, ... , llxk _1 11, llxll + 1}, então llxnll S:Mpara todon EN. Q.E.D. Poderíamos suspeitar que a teoria da cof1vergência de seqüências em RP fosse mais complicada do que _em R·, mas tal não é o caso (exceto quanto à questão da notação). De fato, a importâncit; do próximo resultado reside no.fato de que ele mostra que questões de convergêncía em RP podem reduzir~se a questões idênticas em R para cada uma das seqüências de coordenadas . '

'

Antes de enunciarmos tal resultado, lembremos que urri elemento típico x de RP é represéntado, em coordenadas, por um p·upla

'E

1

ser

un-

zite

Logo, cada elemento numa seqüência (xn.) em RP tem representação análoga; assiin. xn = (xw, X:m ~ .. , xpn), Desta forma, a seqüência (x 11) gera p seqüências de números reais, a saber (x 1 n). (x1.n) • • . . • (Xpn). Mostraremos agora que a convexgência da seqüência (x") é fielmente refletida pela convei* gência dessas p seqüências de coordenadas.

•do

14.7 Teorema. Uma seqüência (xn) em RP com nE

N,

converge para um elemento y =(y 1 ,y 2 , •.• ,yp) se esomenteseaspseqüênciasdereais correspondentes ·· · · · · · · ··

3ex-•

rtital

IE

(14.1)

convergem para y 1 , y 2 , ••• , Yp· respectivamente. Demonstnição. Se Xn -+ y, então ilxn-:- yll< lé para 7,t >{((e). Em ~sta po T~pçemji 8.10,paracadaj=~,2 •... ,p,terrios · ~· .... '

.D. e.

)e

lÚ-

up ra-

.D.

.

lx1"- yJ!

IJxn- yli< ?•

paça :">~{e) .

Logo cada !7ma das p seqüências qe coordena~ as d~ve ~onvergir par~ Q púmt?ro re~~ co~respondente.'. ' . . Reciprocamente, suponhamos que ~s seqüências ~m (14.1) co11vir~a~ p~a Yi P!l~a j= L 2; ... ,p. Dado e >O, existe um número natur~lM(e) tal que? sen ?M(e), erHão 1

~ara

j

>

= 1? 2, ...• p . ••

95

\! r

L

Daí decorre que, quando n ~M(e),

!Jx,.- YW

I.

I

ll

~.

=f lxi"- Yjl

2

i-1

:::;;

e

2

,

Q.E.D.

de modo que a seqüência (xn) converge paray.

ALGUNS EXEMPLOS

il i'' '

)·

Apresentaremos agora alguns exemplos que estabelecem a convergência de uma seqüência apenas com auxt1io dos métodos de que dispomos até aqui. Note-se que, para proceder, devemos primeiro "estimar" o valor do limite, mediante exame prévio da seqüência. Todos os exemplos que segue:m exigem certa habilidade de manipulação, e mesmo certa "malícia", mas os resultados que vamos obter serão úteis para estabelecer a çonvergência de outras seqüências. Assim, é que nos interessam tanto os resultados como os métodos.

14.8 Exemplo. (a) Seja {xn) a seqüência em R onde Xr: = l in. Mostremos que lim (1/n) =O. Para tanto, seja e> O; de acordo com o Corolário 6.7(b) (da Propriedade Arquimediana), existe um número natural K(e) tal que 1/K(e)
temos

'

·\

O
'~ I

I l ' l

donde se segue que lim {1/n) =O. lim

lxn

=;;< 1

1 K(e)
-OI< e para n ~K(e). Como e> O é arbitrário, isto prova que

(b) Seja a> O e consideremos a seqüência X== (1/(1 +na)) em R. Mostrerno.s que

X= O. Notemos primeiro que

0<

1 1 <--. 1+ na na

Queremos que o termo dominante seja menor do que um dado e> O para n suficiente· mente grande. Novamente pelo Corolário 6.7(b), existe um número natural K(é) tal que 1/K(e)
O< donde se segue que va que limX=O.

1

1 +na

<_!_-< 1
11/(1 +na)- O!< e para n Z.K(e). Como e> O é arbitrário, isto pro-

(c) Seja b E R, O < b < 1, e consideremos a seqüência (b" ). Mostremos que lim . (b") =O. Para tanto, é conveniente escrever b na forma

1 b=1+a onde a> O, e utilizar a Desigualdade de Bernoulli (1 Exercício S. C.) Logo

O
96 ·j' \

1

<

1

(1 +a)" - 1 +na

+ a) 11 <-!__ na

~ 1 +na para

n EN. (Ver

r·

' -.. ~

Como no exemplo precedente, dado e> O, existe um número natural K (e) tal que [bn OI< e quando n ~K(e). Temos, portanto, lim (b") =0. (d) Seja c> O e consideremos a seqüência (e 11"). Mostremos que lim (c 11n) = 1. Suponhamos primeiro c> 1. Então c 1111 = l + dn. com dn >O e daí, pela Desigual~ dade de Bernoulli, c = (1 + d,)" ~ 1 + nd,..

,. I

( [

Segue-se que c- 1 "?.ndn. Como c> 1, temos c - l >O. Logo, dado e> O, existe um nú~ mero natural K (e) tal que se n ':?:. K (e), então

o< c l / t t - 1 = d,.

:S

c-1 < 6. n

Portanto, lc 1111 -11 O, donde, pela Desigualdade de Bernoulli,

c=

1 (1 +h,.)

,.:::;:;

1

1 + nhn

( l

= 1/( 1 + hn) com

1-

C 11"

1

nh,.

= 1 +h,. h.,. < h" < 1_ nc < "'

c..

Portanto, lc 11n -ll O para n > 1; logo, n = (1 + knY'. Pelo Teorema Binomial, quando n > 1, temos

n=l+nk .. +n(n;l) k,2+·. ·>n(n2-1) k/. Segue~se

que k~

(

<-.

Segue-se que O< hn < 1/nc. Mas como c> O, dado e> O, existe um número natural K(E) tal que, se n > K (e), então Ü<

(

(

\

.('

l

c l (

l (

< 2/(n- 1), de modo que

knO dado. Então existe K(e) tal que se n :?:K(e), então 1/(n -l)
O< n

11

" -

1 = k,. < e

para n ~K(e). Como e> O é arbitrário, isto prova que lim (n 11n.) =L Estes exemplos mostram que um conjunto de resultados que tornasse desnecessários os artifícios empregados aqui seria de grande utilidade. Obteremos tais resultados nas duas seções seguintes; mas antes desejamos encerrar esta seção com um resultado de utili· dade freqüente.

{ \ (

t. (

'

( '

t

\

( (

'

..

lll) '·'

v'· "

14.9 Teorema. Seja X "" (xn) uma seqüência em RP ex E RP. Seja A qüência em R tal que

ll'

!r

I!

li

Demonstração. Seja e> O. Como lim (a,.) =0, existe um número natural K(e) ta que, se n ?:.K(e), então

li

/

·

(i) lim (a.. )::::;: O, . (ii) l!x,- xll : O e todo n EN. Então lim (x.. ) = x.

li ,·

=(an) uma s~

C

I

la...!= C ja.. -

OI< e.

Segue-se que

I.

l

para todo n ?:_K(e). Como e> O é arbitrário, inferimos que lim {xn) · x.

Q.E.D

l EXERCÍCIOS

I

14.A. Seja b E R; mostre que lim (b/n) =O. 14.B. Mostre que lim (1/n - 1/(n. + 1)) =O. 14.c.· Seja X;:::; (x 11 ) uma seqüência em RP que converge para x, e seja cER. Mostre que lim

I I

!! 11

I

: ~

I!

!: ~;

i'

''

(Sugestão: Use a Desigualdade do Triângulo.} 14.E. Seja X= (xn) uma seqiiência em RP e lim (llxnll) =O. Mostre que lim (x,.) -=0. Entretan to, dê um exemplo em R que mostre que a convergência de (!x,ll) não implica necessariamente a con vergência de (Xn). 14. F. Mostre que lim (1/.,fii) O. De fato, se (xn) é uma seqüência de números positivos e lin (Xn) =O, então lim (~)=O. 14.G. Seja dE R, d > L Use a Desigualdade de Bernoulli para mostrar que a seqüência (d" não é límitada em R. Logo, não é convergente. 14.H. Seja b E R, O < b < 1. Mostre que lim (nbn) =O. [Sugestão: Use o Teorema Binomial co mo no Exemplo 14.8 (e).) , 14.!. Seja X :=o (xn) uma seqüência de reais estritamente po~ítivos, tal que lim (xn+tfxn) < 1 Mostre que, para algum r, O< r< 1, e algum C> O, temos O< Xn < 0" para todo n E N suficiente mente grande. Use este fato para mostrar que lim (xn) =O. 14.J. Seja X"' (xn) uma seqüência de reais estritamente positivos tal que lim (xn +dxn} > 1 Mostre que X não é uma seqüência limitada e, daí, que não é convergente. 14.K. Dê exemplo de uma seqüência convergente (xn) de reais estritamente positivos tal que lim {Xn + 1/xn);:;;;. 1. D~ exemplo de uma seqüência divergente com esta proprled~de. 14. L. Aplique os resultados dos Exercícios 14 J e 14 .J às seguintes seqüências (aqui O 0).

=

(a)

j

'

.

14.D. Seja X= (xn) uma seqüência em RP que converge para x. Mostre que Um (Hxnll) = llxll

1: l .,

(cxn) ==ex.

I ~j

.I .r

(a~),

(b)

{na~),

(c) (bk),

(d) (bh/n),

(e)

(f)

(c~/n!),

(Zlrt/32~).

14. M. Seja X= (Xn) uma seqüênCia de reais estritamente positivos tal que lim (x 1~ 11 ) < 1. Mos tre que, para algum r, O
98

an) uma Se1

14.N. Seja X= (xn) uma seqüência de reais estritamente positivos tal-que 1im (:xUn) >L Mos: tre que X não é lunitada e, assim, não é convergente. · 14.0. Dê exemplo de uma seqüência convergente (~n) de reais estritamente posítivos tal que ;: Um (X ~ 11 ) == 1. Dê exemplo de uma seqüência divergente corit esta propriedade. 14.P, Reexamine a convergência·das seqüências do Exercício 14.L à luz dos exercícios 14.M • e 14.N. 14. Q. Examine a convergência das seguintes seqüências em R:

ral K(e)

ta

(a)

(<-;)),

(b)

(c)

(n ~: J},

(d) ((-lt).

(~),

Q.E.D. SEÇÃO 1S SUBSEQÜÊNCIAS E COMBINAÇÕES

Esta seção aborda a convergência de seqüências obtidas de várias maneiras, a partir de seqüências sabidamente convergentes, permitindo·nos aumentar substancialmente nossa coleção de seqüências convergentes.

< ·· ·

· . 15.1 Definição. Se X= (Xn) é uma seqüência em RP e se r 1
,fixnll) = llxll.

O. Entretan· ·

mente a con ·.~ chamada subseqüência de X.

· Será talvez Ótil relacionar a noção de subseqüência com a de composição de duas funções. Seja )Sltivos e lirr !J uma função com domínio N e contradomínio em N, e seja g estritamente crescente, no sentido de "-t}Ue. se n < m, então g(n)
::tüência

(d~'~)

X o g = (xtt<">: n E N).

·

Binomial co~ Reciprocamente, toda subseqüência de X tem a forma X"' g para alguma fun'ção g estritamente cres· . cente com D(g) N e R (g) c N. ·

y.+J(;.r~

=


s Icten

1+

dxn) > 1. . citemos.

tivos tal que.

ui o< a < 1 ,

15.2 Lema. Se uma seqüência X em RP converge para um elemento x, então qualquer subseqüência de X também converge para x.

Demonstração. Seja V uma vizinhança do elemento limite x; por definição, existe ·. um número natural K v tal que, para todo n ":2::. K v. Xn pertence a V. Seja agora X' uma ··subseqüência de X, digamos, . Como rn ":2::. n, então rn • ge para x.

'?:. K v e, daí ,Xrn pertence a V. Isto prova que X' também conver· Q.E.D.


.· . também converge para x.

99

Demonstração. Como X' é subseqüência de X, o resultado decorre diretamente do lema precedente. Q.E.D. I'

l

Os resultados precedentes tiv~ram como objetivo precípuo provar que uma seqüên* cia converge para um dado ponto. É igualmente importante sa'Qer precisamente o que sig· nifica dizer que uma seqüência X não converge parax. O próximo resultado é elementar, mas não trivial, e sua verificação constitui parte importante da formação de todo estudioso. Assim é que deixamos ao leitor a demonstração. 15.4 Teorema. Se X= (xn) é uma seqüência em RP, então as afirmações seguintes são equiva Zen tes: (a) X não converge para x. (b) Existe uma vizinhança V de x tal que, se n é um número natural, então existe um número natural m = m(n) Z.n tal que Xm não pertence a V:

(c) Existe uma vizinhança V de x e uma subseqüência X' de X tais que nenhum.elemento de X' pertence a V. 15.5 ·Exemplos. (a) Seja X a seqüência em R que consiste dos naturais

X= (1, 2 •... , n, ...). Seja x -qm real qualquer e consideremos a vizinhança V de x que consiste do intervalo aberto (x - l, X+ 1). De acordo com a Propriedade Arquimediana, 6.6, existe um número natural k 0 tal que x + 1 < k 0 ; logo, se n 2: k 0 , decorre que Xn = n não pertence a Portanto, a subseqüência X'= (k 0 ; k 0 + 1, ...) de X não tem pontos em V, o que mostra•. que X não converge para x.

v..

(b) Seja Y

=(Yn)

a seqüência em R que co~siste de Y = ( -1, 1,' ... , ( -1)11 , • • • ). Deixamos ao leitor mostrar que nenhum ponto y, exceto possivelmente y = ± 1, pode ser · limite de Y. Mostraremos que o ponto y = -1 não é limite de Y; o caso y = + 1 é inteira mente análogo. Seja V uma vizinhança de y ""'-1, consistindo do intervalo aberto ( -2, O). · ' Então, se n é par, o elemento Yn =(- l f = + 1 não pertence a V. Portanto, a subseqüén~ ·• cia r de Y correspondente a rn = 2n, n E N, evita a vizinhança V, o que mostra que y ~·-·· -1 não é limite de Y. · ' 4

i '

J !! 11

·

(c) Seja .Z =(z n) uma seqüência em R com z n 2. O para n 2 1. Concluímos que ne~ ·•·• nhurn número z < Opode ser limi~e de Z. De fato, o aberto V ={x E R : x
(

.1

J

~

.X

Is

COMBINAÇOES DE SEQÜ11:NCIAS

O próximo teorema permite a utilização das operações algébricas da Definição 14.2 para forrnar novas seqüências, cuja convergência pode ser prevista a partir da convergência das seqüências dadas. · 15.6 Teorema; (a) Sejam X e Y seqüências em RP que convergem para x e y, respectivamente. Então as seqüências X + Y, X - Y e X • Y convergem para x + y, x - y e x • y; respectivamente.

(b) Sejam X= (xn) uma seqüência em RP que converge para x e A =(an) uma seqüência em R que converge para a. Então a seqüência (an.xn) em RP converge para ax. 100

Sej

·.·---~-~-·-·.

-···

(c) Sejam X= Cxn) uma seqüência em RP que converge para x e B

,,

. , -··· , ...

. ··-

...

=(bn.) uma se-

qüência de reais não~nulos que converge para um numero b dzferente de zero. Então a seqüência (b;; 1 Xn) em RP converge para b -I x. ,..

Demonstração. (a) Para mostrar que (xn + Yn) ~ x + y, precisamos avaliar a magnitude de ll(xn +Yn)- (x + y)IL Para tanto, utilizamos a Desigualdade do Triângulo, obtendo !l(x,. + Yn)- (x + y )!\ = !l(x"- x) + (yn- Y)I! (15.1) :=;;

, ......

/

\

/

(·

.-

'·"

I . '· '

l!x.. - xil+!ly,.- Yll-

Por hipótese, se e> O; podemos escolher K t tal quet se n "?:,.K 1 , então llxn - xll < e/2 e escolhemos K2 tal que, se n "?:,.K 2 , então ·IIYn - yll < e/2. Logo, se Ko = sup{ K l• K.2} e n ?:.Ko, concluímos de (15.1)que . ·

(

'

\l(.x,.. + y,.)- (x + y )1\ < e/2 + e/2 =e. Como isto pode ser feito para E >O arbitrário, inferimos que X + Y converge para x + y. Precisamente o mesmo argumento é válido para mostrar que X- Y converge para x- y. Para provar que X • Y converge para x • y, fazemos a estimativa jx,. • y.,-x · y!=l(x, · y"-x" ·.y)+(x., · y-x · y)\ ::;; !x" · (y"- Y)I+ l(x"- x) · Y\. Utilizando a Desigualdade de Schwarz, obtemos

(15.2)

lb

llbl~- X".-~· :11 = ll(t

Xn

!•

- Ib.. b I

•

Seja agora M

.

c. I \. '·

/

''

'

1

(

!lx. 11 + fb111x .. - X n.

I

'' (

-lbl . lvf ~::

/

\

> O tal que 1

.

.

(

X

l li:1 b 11 !lx.. 11 + fbi1 nx. - X li

_lb- b,J

c;

'

:S I

'

''

I

-i X.,)+(~ i )\1 Xn-

r,

,.

Isto prova que X * Y converge para x · y. A demonstração da parte (b) é análoga. Para demonstrar (c), fazemos a seguinte estimativa:

•.·..·

j

i

< M(2~ +2~1) =e.

·.:·

(

\

Yll + M !lx,.- xll

1" -

.

I

De acordo com o. Lema 14.6, existe um número M >O que é cota superior de { llx,JI, llyll}. Além disso, da convergência de X, Y, concluímos que, dado e> O, então existem números ~aturais K1 , K 2 tais que, se~> K 1 , então !lfn - yll
jx,. · Yn- X • YI < M

( '

!x,. · Yn- X • Yl :5 llx,~l! IIYn- Yll +!lx.. - xi!IÍYl\-

1

(

e

i

·!lxll < M.

( 101

f

l'

• ' '

'

''

''

t\

'I

Segue-se que existe um número natural K 0 tal que, se n ";::.K 0 , então

li

e

<

llx .. ll < M.

ti>

í·· pk

Logo, se n ~ K 0 , a estimativa acima dá

r.~

~~ Xn- xll $

l! ·,~~~·

i

M

!I

'

lb.,- bl + M llx..- x[].

Portanto, se e> O é um número real prefixado, então existem números naturais K 1 , K2 tais que, se n ~ K 1 , então lbn - b I< e/2W e se n ";::;. K 2 , então llxn - x!l
I~" x, - t xl <

u:

3

3

M 2:r 3 + M

2~ = e,

o que prova que (xnfbn) converge para xjb. 15.7 Aplicações. Novamente aqui restringir·nos-emos a seqüências em R. (a) Seja X= (xn.) a seqüência em R definida por

ii

2n+1 x.,= n+S'

tli.

Notemos que pode-se escrever Xn sob a forma

'1'

.

,:

Ji

): Ir

J! J: •

t ,, i

l l l .I

I I !I

I

neN.

2+ lfn x, = 1 + 5/n i

assim, X pode ser encarado como o quociente de Y:::;: (2 + 1/n) e Z =(1 + 5/n). Como a última seqüência consiste de termos não-nulos e tem limite 1 (por quê?), o teorema prece· dente permite concluir que

.

lim Y

ltm X = lím Z

2

= 1 = 2·

(b) Se X= (xn) é uma seqüência em R que converge para x e se p é um polinômio, então a seqüêjlcía definida por (p(xn):n EN) converge para p(x). (Sugestão: Use o Teo· rema 15.6 e a indução.)

(c) Sejam X= (xn) uma seqüência em R que converge para x, e r uma função racional; isto é, r(y) = p(y)fq(y), onde p e q são polinômios. Suponhamos q(xn) e q(x) nãonulos; ~ntão a seqüência (r(xn): n EN) c~mverge para r (x). [Sugestão; Use a parte (b) e o Teorema 15.6.] Concluiremos esta seção com um resultado que é útil freqüentemente, e que costuma interpretar-se como uma "passagem ao limite numa desigualdade" .

15.8 Lema. Seja X= (xn) uma seqüência convergente em RP com limite x. Se existe um elemento c em RP. e um número r > O tais que l\xn - cll S r para n suficientemente grande, então llx - c li
}é

Demonstração. O conjunto V ={y E RP: l!y -cU> r um aberto de RP. Se x E V, então V é uma vizinhança de x e, assim, Xn E V para valores suficientemente grandes de n, contrariamente à hipótese. Portanto, X di V e, daí, temos l!x- cll sr. Q.E.D.

102

É importante notar que, neste resultado, supusemos a existência do límite; as hipóteses restantes não são suficientes para prová-la. EXERCÍCIOS

lS.A. Se (.xn) e (yn) são seqüências convergentes de números reais, e se Xn < Yn para todo n E N, en_tão Hm (Xn) < lim (yn). lS.B. Se X= (Xn) e Y == (yn) são seqüências de reais que convergem ambas para c e se Z = (Zn) é uma seqüência tal que Xn ,Szn .SYn para n EN, então Z também converge para c. 15.C. Para Xn dado pelas fórmulas abaixo, estabeleça a convergência (ou divergência) da seqüência X= (xn):

(a) x,.=

n

(b)

n+ 1' 2n (c) x.. = 3n + 1 ~

(d)

(e) x .. =

(f)

n~-

n,

= ( -l)"n

Xn

n+l, 2nl+3 =Jn"+ 1'

X"

=senn~

Xn

15.0. Se X e Y são seqüências em RP e se X+ Y converge, é verdade que X e Y convergem e que lim (X + Y) = lim X + lim Y? lS.E. Se X e Y são seqüências em RP e se X • Y converge, é verdade que X e Y convergem e que lim X • Y'= (lim X) .. (lim Y)? lS.F. Se X= (Xn) é uma seqüência positiva que converge para x, então(~) converge para .fi. [Sugestão: = (xn- x)/($n +...[i:) quando x .P 0.] l5.G. Se X= (xn) é uma seqüência de números reais tal que Y = {x~) converge para O, é verdade que X converge para O? 15. H. Se .xn ..J,-n-+--:1- -Jíi, é verdade que as seqüências X= (.xn) e Y -Jíixn) CQnvergem? 15.1. Seja (.xn) uma seqüência em RP tal que as subseqüências (X;w) e (xl n+ 1 ) CQnvergem para x E RP. Prove que (xn) converge para x. 15.J. Sejam (.xn} e Ú'n) seqüências em R tais que lim (xn.} O c tim (XnYn) exb;te. Prove que

..JXn- Jx =

=(

Hm (yn) existe.

lS.K. O Exercício lS.J permanece válído em R 2 ? 15.L. Todo número irracional em R é o limite de uma seqüência de números racionais. Todo número racional em R é o limite de uma seqüência de números irracionais. 15 .M. Se O
lim (a.. )= x = lim (b.,).

15.0. Sejam A <;:;_RP e xE RP, Então x é ponto de acumulação de A se e somente se existe uma seqüência (an) de elementos distintos em A tal que x = lim (an). 15.P. Se x = lim {xn) e se ilxn - c!l
PROJETOS

15.c. Seja d uma métrica num conjunto M no sentido do Exercício B.S. Se X= (xn) é uma seqüência em M, então um elemento x EM é chamado limite de X se, para cada e > O, existe um número K(tt) em N tal qtie, para todo n > K(e), d(xn, x)
103

! '

lS./3. Sejam a coleção de todas as seqüências limitadas em R; denotemos por c a coleção de todas as seqüências convergentes em R; e denotemos por c 0 a coleção de todas as seqüências em R que convergem para zero. (a) Com a soma X+ Y e o produto eX definidos conforme a Definição 14.2, mostre que cada uma das cúleções acima é um espaço vetorial em que o elemento zero é a seqüência O= (0, O, ... ). (b) Em cada uma das coleções m, c, c 0 , defina a norma de X= (Xn) por sup{ lxnl: n E

tre que esta definição origina realmente uma norma.

•

N}. Mos-

(c) Se X e Y pertencem a m, ou a c, ou a c0 , então o produto XY também pertence a m, ou a c, ou a C0 , e IIXY!I < li XII 11 Yll. Dê um exemplo em que a igualdade pode ser válida nesta última relação, e um exemplo onde ela falha. (d) Mostre que a métrica induzida pela norma defmida em (b) nesses espaços é dada por d (X, Y) = sup l1xn- Yrll :n E

N}.

(e) Mostre que, se uma seqüência (Xn) converge para Y relativamente à métrica em (d), então cada "seqüência de coordenadas" converge para a correspondente coordenada de Y. (Atenção: Xk é uma seqüência em R, enquanto que (Xk) é uma seqüêncía em m, c ou c 0 , isto é, uma "seqüência de seqüências" em R). (f) Dê um exemplo de uma seqüência (Xk) em c 0 em que cada seqüência de coordenadas con· verge para zero, mas d (X h, O) não converge para O.

'

i

i: '

'

i

'I I

, .I

i

!

SEÇÃO 16 DOIS CRITÉRIOS PARA CONVERGÊNCIA Até agora o método básico de que dispúnhamos para mostrar que uma seqüência é convergente consiste em identificá-la com uma subseqüência ou uma combinação algébrica de seqüências convergentes. Quando pudermos proceder dessa forma, estamos em condições de calcular o limite utilizando os resultados da seção precedente. Isto, entretanto, nem sempre é possível; recaímos então na Definição 14.3 ou no Teorema 14.4 para estabelecer a existência do limite. A utilização destes dois últimos instrumentos tem a notória desvantagem de que devemos de antemão saber (ou ao menos suspeitar) o valor correto do limite, para então verificarmos se nossa suspeita é correta. Há muitos casos, entretanto, em que não temos nenhum candidato óbvio para o limite de determinada seqüência, mesmo que uma análise preliminar nos leve a suspeitar da convergência. Nesta seção apresentaremos alguns resultados, mais profundos do que os da seção precedente, para estabelecer a convergência de uma seqüência quando não se apresenta nenhum elemento em particular como valor do limite .. O primeiro resultado neste sentido é muito importante. Conquanto possa ser generalizado para RP, é conveniente restringi-lo ao caso de seqüências em R.

'4

16.1 Teorema da Convergência Monotônica. Seja X= (xn) uma seqüência de mí.me-

ros reais, crescente, monotônica, no sentido que

Então a seqüência X converge se e somente se é limitada e, neste caso,

iim (Xn) = sup {x.. }. Demonstração. Vimos no Lema 14.6 que uma seqüência convergente é limitada. Se x =lim (xn) e e> O, então existe um número natural K(e) tal que, s~ n > K(e), então

.I

X- ê :S X,. ::::;; X+ E:. '

104

'

(

.:q

'

'

/1~

Figura 16.1

.i

;

'l

.•'

(

.i

'

{

...

f

.,

/

Como X é monotõnica, esta relação dá x-e :s; sup{xn} :s; x +a,

\

(

~onde decorre que lx - sup{xn}1.5: e. Como isto é válído para todo e> O, inferimos que hm (xn) = x = sup {xn}. Reciprocamente, suponhamos X= (xn) uma seqüência c~escente, monotônica, limi· tada de números .reais. De acordo com o Princípio do Supremo, o supremo x* = sup{xn} existe; mostremos que ele é o limite de X. Como x* é uma cota superior dos elementos de X, então Xn .5:x* para n EN. Como x* é o supremo de X, se e> O> o número x*- e não é cota superior de X, e existe um número natural K(e) tal que x*- e< XK<.:>· Em vista do caráter monotônico de X, para todó n X* 'l

'"

i

'

(

( (

\

r.

S

;

·"

\


donde decorre que lxn - x*! O, existe um número natural K(e) (que depende de e) tal que lxn - x*l K (e). Isto mostra que x* = lim X. Q.E.D. 16.2 Corolário. Seja X={xn) uma seqüência de números reais, monotônica decres~ cente no sentido que

i

'

,<

/

\

l (

1.

Então a seqüência X converge se e somente se é limitada, e, neste caso,

'•

lim (x~) = ínf {x,..}. Demonstração. Seja Yn = -xn para n EN. Vê-se então facilmente que a seqüência Y = CYn) é monotônica crescente. Além disso, Y é limitada se e somente se X é limitada. A conclusã"o decorre, pois, do teorema. Q.E.D. 16.3 Exemplos. (a) Voltemos à seqüência X= (1/n) discutida no Exemplo 14.8(a). 1:1 claro que ·

.!.>.!.> ...

"

I f

> K(e), então

I'

1..> .. ·>O·

1 2 n ' decorre, portanto, do Corolário 16.2 que X= (1/n) converge. Poderemos estabelecer o va· lor de Hm (1/n) se pudermos calcular inf (1/n). Alternativamente, uma vez garantida a convergência de X} podemos em geral calcular seu limite valendo-nos do Lema 15.2 e do Teorema 15.6. No caso em foco, se X'= (1/2, l/4, ... , 1/2n, ... ), segue-se que lim X= lim X'=~ lim X.

\ ! \

'

i ' {.. {

(

( (

105

'.

(

i

Concluímos, assim~ que lirn X= O.

'•.

!11' 'l

~~l: i]

'

:h\! l

(b) Seja Y

:'OI'" .

=Ó'n) a seqüência em R Yl =

• . ,1

1,

Yn+l =

definida índutívamente por

(2y, + 3)/4

para

n E N.

Umcálculodíretomostraquey 1
,JI f

2Yn-l+3<2y,..+3<2 • 2+3,

~11 ·'

donde decorre que Yn
!ril i I

"•'h.h ••
1m :

llil :

li i: : ~

'i

'!i

!

.I ,,. , ~~:

lit

Condu ímos, assim, que

=(zn) a seqüência em R definida por para nE N. z1 = 1, Zn+l = JZ;;, É claro que z 1
:

!

:'

Jíi. ·.

J!i : I!:.. . , l

Ili l '

.' tl

ca crescente, cotada superiom)ente por 2; logo Z converge para um número z. Pode-se mostrar diretamente que 2 = sup{zn} de fonna que o limite é z = 2. Alternativamente, podemos utilizar o método do exemplo precedente. Sabendo que a seqüência tem um limite z, concluímos. da relação z11 + 1 = que z deve satisfazer z =...;2i. Elevando ao qua~ drado, encontramos as raízes O e 2. Evidentemente, O não pode ser o limite procurado (por quê?); então, o limite deve ser igual a 2.

...;rz;;,

(d) Seja U= (un) a seqüência de números reais definida por n E N. Aplicando o Teorema Binomial, podemos escrever

i

ht

.

+·. ·+

!

l; I ' .j

I"I.

Simplificando, temos:

I

I! i

'

I!! I~

~ ~ ' !

I~

Expressando

·'

!i;

li·. ;l;,.

l'

.• j,

J

I

n.

-;.

n

2 + +-\ (1-l)+-\ (1-l)(l2. n 3. n n)

+"·+n!1(1-;;1)(1-n2) ... (1- n -1) n .

i

"1

n(n -1) · · · 2 · 1 1

u,. = 1 1

I

A

Un

. n 1 n(n -1) 1 n(n -1)(n- 2) 1 1 u,. = +-1-+ 21" '"""'1+ 3'~ n3 n n

~ f I.li 'Jl '

l

11

11

jí) (

\

y = (2y + 3)/4.

;

106

U 11 + 1

na mesma forma,

u,.+t=l+l+i/1- n!J+ill- n!l)(l- n!l) 1 )(1- 2 ) ... (t-"-i) +·. ·+l(tn! n+l n+l n+ +(n11)!( 1 n!l)(t-n!l)·· ·(t-n:l).

=(1 + 1/n)n

para

Note-se que a expressão de Un contém n + 1 termos, e a de Un+l contém n + 2 termos. Um exame elementar mostra que cada termo em Un não supera o termo correspondente em Un., 1 e o último tem mais um termo posítivo. TemÇJS,,,portanto, Ut < U:1. < " · · < U,. < U:,<-1 < ... · Para mostrar que a sequência é limitada, observemos que se p =i, 2, ... , n; então (1 pjn)
1 1 1 2
n>2.

Segue-se que a seqüência monotônica Ué cotada superiormente pelo número 3. O Teorema da Convergência Mono tônica implíca que a seqüência U converge para um número real não superior a 3. Como o leitor já deve saber, o limite deU é, na realidade, o importante número e. Refinando nossas estimativas, obtemos aproximações racionais cada vez melho· res para o verdadeiro valor de e, mas não podemos calculá-lo exatamente, porque se trata de um número irracional - embora possamos levar nossa aproximação tão longe quanto queiramos. {Isto ilustra que um resultado como o Teorema da Convergência Monotônica, que apenas estabelece a existência do limite, pode ter grande utílidade mesmo quando não se pode obter facilmente o valor exato do limite.) O TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSTRASS O Teorema da Convergência Monotônica é extraordinariamente útil e importante, mas tem a desvantagem de se aplicar somente a seqüências monotônicas. Cabe-nos, então~ enco.ntrar uma condição que implique convergência em R ou RP sem apelar para a propriedade de monotonícidade. Tal condição é o Critério de Cauchy, que íntroduziremos a seguir. Daremos, entretanto, antes uma forma do Teorema de Bolzano·Weierstrass, 10.6, particularmente aplicável a seqüências. 16.4 Teorema de Bolzano-WeierStrass. Uma seqüência limitada em RP tem urna subseqüência convergente.

Demonstração. Seja X= (xn) uma seqüência limitada em RP. Se há apenas um número finito de valores distintos na seq üêncía X, então ao menos um destes deve ocorrer um número infinito de vezes. Se definirmos uma subseqüência de X escolhendo este ele· mento cada vez que ele aparece, obteremos uma subseqüência convergente de X. Por outro lado, se a seqüência X contém um número infinito de valores distintos em RP, então, como esses pontos são cotados, o Teorema de Bolzano-Weierstrass, 10.6, para conjuntos ímplica que existe ao menos um ponto de acumulação, digamos x*. Seja Xnt um elemento de X tal que ·

I!Xn

,)

. I

I

. 1

•. i

1-

X

*11 < 1.

Consideremos a vizinhança V ={y .: lly - x* 11 < t}. Como o ponto x* é um ponto de 1 acumulação do conjunto S 1 = 1Xm: m ~ 1}, é-o também do conjunto S 2 = {xm :m > n t} que se obtém omitindo um número finito de elementos de S 1 • (Por quê?) Portanto, existe Ufll elemento Xnl de s2 (donde n1 > nl) que p,ertence a v2. Seja' agora v3 a vizinhança V3 =ty: lly -x*ll < S3 =txm :m >n 2 }. Como x* é ponto de acumulação de

;fe seja

107

S3, deve existir um elementOXn 3 de S3 (donde n3 > n 2 ) que pertence a V3 • ProsseguindqSe a seq desta maneira, obtemos uma subseqüência X'= (Xn 1 , Xn 1 , • • . ) de X com : cente ao

f!

'

'' '

de modo que lim X'

I

'

llx... -x*JI< 1/r,

Q.E.D!Seja ago;

=x*.

· 16.5 Corolário. Se X= (xn) é uma seqüência em RP ex* é ponto de acumulação ad!or de n' conjunto { Xn : n E então existe uma subseqüência X' de X que converge para x*. ;

N}, '

Isto é, na realidade, o que a segunda parte da demonstração de 16.4 estabelece.

;'

jquando j )da subse1 I

'

Es:

SEQÜÊNCIAS DE CAUCHY ,monstra 1 Introduziremos agora a importante noção de seqüência de Cauchy em RP: A conte: trabalho. ce que uma seqüência em'RP é convergente se e somente se é uma seqüência de Cauchy. 16 16.6 Definição. Diz-se que uma seqüência X= (xn) em RP é uma seqüência de Caq .... ~amem chy se, para todo e> O, existe um número natural M(e) tal que, para todos m, n ::?:Mlt:J, se tem l!xm - Xn 11
o

ma

16.7 Lema. Se X= (xn) é uma seqüência convergente em RP, então X é uma se-no-Weier qüência de Cauchy. 'Lema 16 Demonstração. Se x =lím X. então, dado e> O, existe um número natural K(e/2) 16 tal que, se n ::.?:K(e/2), então llxn- xl! < e/2. Assím, se M(é) =K(e/2) e sem, n LM(e { então

Pode-se 1

!jx,.-,_ x,.l! ~ !lxm- x!l + flx- x,.U < e/2 + e/2 = e. Q.E.D.

Logo, a seqüência convergente X é uma seqüência de Cauchy. do.

mas a se Para aplicar o Teorema de Bolzano-Weierstrass, necessitaremos do seguinte resulta· verdade , !termos c ; 16.8 Le.ma. Uma seqüência de Cauchy em RP é límitada. !qüêncía: ~

'

'

Demonstração. Seja X= (xn) uma seqüência de Cauchy e e= 1. Sem =M(l) e n :2:M(l )~então l!xm - x 11 !! < 1. Pela Desigualdade do Triângulo, isto impUca que !lxnll
Q.E.D.

16.9 Lema. Se uma subseqüência X' de uma seqüência de Cauchy X em Jl.P conver· ge para um elemento x, então a seqüência X converge para x.

Demonstração. Como X== {x n) é uma seqüência de Cauchy, dado e > O, existe um Dado E : número natural M(e/2) tal que, sem, n :2:,M(e/2), então se que

l!x... - x.. !l < s/2 .

. i •. ! '·

1

108

'.

r \

iqSe a seqüência X'= (x,_i) converge para x, existe um número natural K > M(e/2), perten· ;cente ao conjunto{ n 1 , n 2 , .•• } tal que

Ux- xK!I < s/2.

'

· ···

o! seja agora um número natural n tal que n "?:,M(e/2). Decorre que(*) é válida para este vatd lor de n e para m = K. Assim, · Jlx- x,IJ:::; llx- XK!I + llxK- Xnll < B,

.

jquando n > M(e/2). Portanto, a seqüência X converge para o elemento x, que é o limite ;da subseqüência X'. Q.E.D. I

' Estamos agora em condições de obter o importante Critério de Cauchy. Nossa de.monstração será extremamente curta, mas o leitor se aperceberá de que a maior parte do e: trabalho já está feita; estaremos apenas coordenando os resultados. 16.10 Critério de Convergência de Cauchy. Uma. seqüência em RP é convergente se lh· "tO mente se é uma seqüência de Cauchy. !),

Demonstração. Vimos no Lema 16.7 que uma seqüência convergente deve ser uma Íâseqüência de Cauchy. • Reciprocamente, suponhamos que X seja uma seqüência de Cauchy em RP. Decorre do Lema 16.8 que a seqüência X é limitada em RP. De acordo com o Teorema de Bolza· e-no-Weierstrass, 16.4, a seqüência limítada X tem uma subseqüência convergente X'. Pelo 'Lema 16.9, toda a seqüência X converge para o limite de X'. Q.E.D. 1

I

16.11 Exemplos. (a) Seja X= (xn) a seqüência em R definida por

)

.

'mas a seqüência X não é nem monotônica decrescente nem :monotônica crescente. (Na a·verdade, os termos com fndice ímpar formam uma seqüência crescente, enquanto que os ;termos com índice par constituem uma seqüência decrescente.) Como os termos da se:qüência são formados de médias, vê-se logo que

.

( \' f

'

( '

f

\

( I•

r., (

(

..

)

.

Ix.. -

Xn-t-

1 d= -:-.,.~ .

para n

E

N.

'Assim, se m

> n, obtemos, pela Desiguald-ade do Triângulo,

=

€

\ r

i

2~:_1+ · · · + 22-z = 2!-,( 1 +~+···+ 2 m~ -~)< 2 l2.

>O. e escolhido n

., -\ ,,'·

(

lxn- X,. I :::; lx,..- X,.+ li+ ... + lxm-1 ·- Xm I

).

i {

""'

se que

I

( .,

para n E N, .

n Dado

(

(

Pode-se mostrar por indução que 1 ::$ x.. :::; 2

'

l

para n > 2.

t

\,

r

J

i

21

l

{

..

{

suficientemente grande para que l/2n. < e/4 e sem "?:.,n, segue~

)

( i

jx,.- x"'l
( 109

(

(

..'

'jl,: Jli;

j::

h t:

,, l

l X é uma seqüência de Cauchy em R e, pelo Critério de Cauchy, a seqüência X converge para um número x. Para calcular o limite, notemos que a passagem ao limite na

I

x =Hx+x).

!

Todavia, como a seqüência X converge, também converge a subseqüência com índices ímpares. Por indução, pode-se estabelecer que

Ir

Portanto~

regra de definição dá o resultado, válido porém pouco informativo,

Xs

1

~

!l 'i

I

~

= 1 +2,

1 I

~

!

I'

l; .I ,

1)

1 1-1/4" 2( =!+2·1-1/4 =l+3 l-4".

J;

L }i

u

Portanto, a subseqüência com índices ímpares converge para ~ ; logo, toda a seqüência tem o mesmo limite.

~

'

~

1

J:

I;

1 xl=l!'

j;:

.,

I. .I

1

1

1 1 (-1)"+ 1 x.. = -1., - 21. + . . . + n~! • . ..

x:~=lf-2!'····

(-1)"+ 2 (-1)"+3 (-l)"'+l Xm- X... = (n + 1)! + (n + 2)! + ... + m! Lembrando que 2r-t Sr!, obtemos

1

1 lx,,- x,j s (n + 1)! + (n + 2)! + · · · + m! 1

1

l;

I,

'

Convergência Monotônica. Note-se que~ sem> n, então

I' i

;

Como esta seqüência não é monotônica, não se pode aplicar diretamente o Teorema da

'

I

''t

(b) Seja X= (xn) a seqüência real dada por

!!

J!.

i

1

1

<2,+2 .. + 1+· · ·+2....

1

l
. Portanto, a seqüência é uma seqüência de Cauchy em R. (c) Se X=(xn) é a seqüência em R definida por 1 1 1 x,. = l + + · ' · +;; para n E N, 2 e sem >n, então 1

1

1

x -x = + +· · ·+-. '" " n+l n+2 m Como cada um desses m- n termos excede 1/m, esta diferença excede (m- n)/m = 1 njm. Em particular, sem= 2n, temos

110

I

:'

i

I 'I

I

! ;•

~!

Isto mostra que X não é uma seqüência de Cauchy, donde concluímos que X é divergente . (Acabamos de provar que a "série harmônica, é divergente.)

EXERCÍCIOS

~

l

lr ;'

g

l

I ''

~

•\ i

16.A. Seja x 1 E R tal que x 1 > 1 e Xn +I = 2 - 1/xn para n E N. Mostre que a seqüência (Xn) é monotônica e limitada. Qual é seu limite? l6.B. Sejamy, 1 eyn+t (2 + Yn) 112 para n EN. Mostre que{yn) é monotônica e limitada. Qual é seu limite? 16.C. Seja a> O e Z 1 >O. Defina z11 + 1 =(a+ zn)m. para n EN. Mostre que (zn) converge. 16.D. Se a é tal que O< a< 1, mostre que a seqüência X= {a") é convergente. Como Y =(a'") é uma subseqüência, temos Um X= lim Y = (lim XY2 e lim X= O. 16.E. Mostre que toda seqüência em R ou tem uma subseqüência monotônica crescente, ou tem uma subseqüência monotônica decrescente. 16.F. Use -o Exercício 16.E para provar o Teorema de Bol7.ano-Weierstrass para seqüências em

=

=

R. 16.G. Determine a convergência ou divergência da seqüência (xn), para x:,.=

1

1 1 + +·. ·+n+l n+2 2n

neN.

para

16.H. Sejam X= (xn)e Y= (yn) seqüências em RP e sejaZ = (zn)a seqüência "mista" definida por z 1 = X 1 , Z 1 = y 1 , ••• , z-.m = Xn, z1.ru l = Yn• ••• É verdade que Zé convergente se e somente se X e Y o são e Um X = lim Y? 16.L Mostre diretamente que as seqüências seguintes são de Cauchy: (a)

(~).

(b)

(n: 1),

(c)

(t+t+· · ·+ ~ 1 ).

ló.J. Mostre diretamente que as seqüências abaixo não são de Cauchy:

(a) ((-1)"),

•

16. K. Sejam X= (Xn) uma seqüêncía de reais estritamente positivos, lim (Xn + 1 /xn.) =L, e O< e< L. Mostre que existem A> O, B >O e KE N tais que A (L- e)" .S.xn :5.,B(L + e)n para n ?;.K. Mostre então que (xhm) =L. 16.L. Apíique o Exemplo 16.3(d) e o exercício precedente à seqüência (nn/n!) para mostrar que lim (n/(n!) 1m) ==e. 16.M. Estabeleça a convergência e os limites das seqi.iêncías seguintes:

(a) ((1 + 1/n)" .. 1).

(b) ((1 + 1/2rt)").

(c) ((1 + 2/n)"),

(d) ((1 + 1/(n + 1))3 ").

I

''

(b) (n + (-1)''/n),

16.N. Seja O< a 1

< b, e definamos, para n E N,

Por indução, mostre qucan < b 11 • Mostre que {tttt) e (bn) convergem pa.ra o mesmo limite. 16.0. Dê uma demonstração do Teorema da Interseção de Cantor, 11.4, tomando um ponto Xn E Fn e aplicando o Teorema de BQlt.ano·Weierstrass, L6.4. l6.P. Demonstre o Teorema do Ponto mais Próximo, 1 1.6, utilizando o Teorema de Bolzano· Weierstrass, 16.4. 16.Q. Prove que, se K 1 e K'1. são subconjuntos CÓmpactos de RP, então existem pontos xt E K 1 ,x,. eK, taisque,sez 1 K*'z 1 EK:t,então llz 1 ~z.HLHX 1 -xlll.

111

PROJETO

Neste projeto, designemos por m, c e c0 as coleções de seqüências reais. introduzidas no P;ojeto 15 ..8 e denotemos por da métrica definida na parte (d) daquele projeto. 16.~.

ii '

{a) Se r E 1 e r= O, r 1 r1 • • • rn · · · é sua representação decimal, considere o elemento Xr=
;

(b) Seja B um subconjunto de c com a propriedade que, se X e Y são elementos distintos de B, então d (X, Y) ?:. 1. Prove que B é nurnerável.

: '

'' . i ; ~

(c) Se j E N, seja Zj = (Znj: n E N) a seqüência cujos j primeiros elementos são 1 e os restantes são zero. Note que lj pertence a cada um dos espaços métricos m, c e C0 e que d(Zj, ZJd = l para j '* k. Mostre que a seqüência (Zj :j E N) é monotõnica no sentido em que cada seqüência de coordenadas (Znj :j E N) é mono tônica. Mostre que a seqüência (Zj) não converge em relação à métrica d em nenhum dos três espaços. (d) Mostre que existe uma seqüência (Xj) em m, c e c 0 que é limitada (no sentido em que existe uma constante K tal que d(Xj, 0) < K para todo j E N) mas que. não possui nenhuma subseqüência convergente. (e) Se d é uma métrica num conjunto M, dizemos que uma seqüência (Xj) em M é uma seqüên· cia de Cauchy se, para todo e> O, existe K(ç)EN tal qued(Xj,Xk)
,i

. i '

'

I

I

não-nulos, e definamos d como anteriormente. Mostre que d é u.ma métrica em/, mas que f não é com· pleta em relação a d.

I

I

SEÇÃO 17 SEQÜÊNCIAS DE FUNÇÕES Nas três seções precedentes consideramos a convergência de seqüências de elementos em RP; estudaremos agora a convergência de seqüências de funçoes. Após algumas preliminares, introduziremos a noção, sutil porém fundamental, de convergência uniforme de uma seqüência de funções. Seja D C RP e suponhamos que, para cada número natural n E N, exista uma função In com domínio D e contradomínio em Rq; diremos que ifn) é uma seqiiência de funções em D C RP tomando valores em Rq. Deve ficar claro que, para qualquer ponto x de D, tal seqüência de funções origina uma seqüência de elementos em Rq, a saber, a seqüência

(17.1)

1

I

~

'

•' .f' i'

'

I

ifn(x))

que se obtém calculando cada uma das funções no ponto x. Para certos pontos x de Da seqüência (17 .1) pode ser convergente, enquanto que, para outros pontos x de D, pode di· vergir. Para cada um dos pontos x em que a seqüência (17 .1) converge, existe, pelo Teorema 14.5, um ponto de Rq univocamente determinado. Em geral, o valor deste limite, quando existe, depende da escolha do ponto x. Dessa forma, origina-se uma função cujo domínio consiste de todos os pontos x de D C RP para os quais a seqüência (17 .1) é convergente em Rq. Sintetizaremos esta introdução numa definição formal de convergência de uma seqüência de funções. 112 ·

...

''

í

! i

';

'i

'I

I·

I

17 J Definição. Seja ifn) uma seqüência de funções definidas em D C RP e tomando valores em Rq ~ seja D 0 um subconjunto de D, e/uma função com domínio contendo Do e contradomínio em Rq. Dizemos que a seqüência ifn) converge em D0 par.d/se, para cada x em D 0 , a seqüência ifn(x)) converge em R5 para f(x). Neste caso, dizemos que a função f é o limite em D0 da seqüência ifn ). Quando tal função f existe, diz-se que a seqüência ifn) converge para f em D 0 , ou simplesmente que a seqüência é convergente em

/

í {'

/ \

Do.

Decorre do Teorema 14.5 que, a menos que haja uma eventual mudança no domí• nio Do, a função limite é determinada univocamente. Em geral escollie-se.D 0 o maior conjunto possível, isto é, o conjunto de todos os x em D para os quais (17.1) é convergente. Para simbolizar que a seqüência ifn) converge em Do para/, costuma-se escrever f= lím lfn) em D 0

ou

fn -+f em Do.

Vejamos alguns exemplos. Por simplicidade, trataremos o caso especial p =q =L

17.2 Exemplos. (a) Para cada número natural n, sejafn definida para x em D =R por fn(x) = xfn. Seja f definida para todo x em D =R por f(x) =O. (Ver Figura 17 J .) A afirmação de que a seqüência ifn) converge em R para f equivale ã afinnação de que, para cada número real x, a seqüência numérica (xfn) converge para O. Para verificar, aplique. mos o Exemplo 14.8(a) e o Teorema 15.6(b ). . (b) Seja D ={x E R : O s x < 1} e para cada número natural n, seja { 11 defi.rúda por fn(x) =xn paia todo x em D, e f definida por f{x) =O, O:;.; x < 1,

I

\

( j

f

\.

f(x)= 1 x= L ' 0f. Figura 17.2.) Ê claro que, quando x = 1, então fn(x):::: fn(l) = 1n = 1 de modo que /n0) 4 /(l). Mostramos no Exemplo l4.8(c) que, se Osx<1, entãofn(x)=xn--+0. Concluímos, portanto, que ifn) converge em D para f. [Não é difícil provar que, se x > 1, então ifn(x)) não converge.]

I

/

/

\ (

(

\ / \

I ;

(

(

Figw:a 17.1

\

113

f

\' I

I

\

;

I!i

.·

m I"\{

(c) Seja D =R e, para cada número natural n, consideremos a função fn definida para x em D por z /n(x}=x +nx n '

IF

f ,l:

f.

t

ri&

y ..

pa

e seja/(x)=x. (V. Figura l7.3.)Comofn(x)=(x 2 jn) +x,decorre do Exemplo 14.8(a)e do Teorema 15.6 (b) que ifn(x)) converge paraf(x) para todo x ER.

Se tal

(d) Seja D '""R e, para cada número natural n, consideremos a função fn definida por fn(x) =(1/n) sen (nx + n). (V. Figura 17.4.) (Não necessitamos aqui de uma definição

'I

'

''

I

(l,f(l))

l l

i

' !i

'' I'

jI !

f. i' I

i

.,

I i' 4' ) I·

Figura 17.2

'

'

'

~

;

qu

'•

qu f(;.

gj

de

I;

r:

k

'

f

em em

.Ij I

!

(1'

I de1 de

I ·'.

ate

'

dej

jj

(1~

a;

Figura 17.3

I

gra

de ec

114

·~...

'

rigorosa da função seno; tudo quanto necessitamos é que lseny! ~ 1 para qualquer real y.) Se definimos f como a função zero[(x) =O,xER. então/=lim(fn)em.R. De fato, para qualquer real x, temos ·· "' lf,.(x)_:.f(x).l=!lsen(nx

n

1 n

Se e> O, existe um número natural K(e) til que, se n C::,K(e), entao 1/n
1

lf,Jx)- f(x)! < s

)

Figura 17.4

qualquer que seja x. Inferimos, portanto, que a seqüência ifn) converge para f. (Notemos que, escolhendo-se n suficientemente grande, poderemos tornar as diferenças lfn(x)f(x)l menores do que e para todos os valores de x simultaneamente!] Não só para reforçar a Definição 17 .I , como para preparar o caminho para a noção de convergêncía uniforme, refonnularemos como segue a Definição 17.1. .

/

-

n)l

'

.

'

Lema. Uma seqüência ifn) de funções definidas em D C RP e tomando valores em Rq converge para função f em D 0 ÇD se e somente se, para cada E> O, e cada x em D0 , existe um mímt::ro natural K (e, x) tal que, para todo n >:. K (e, x ), se tem 17.~

uma

(17.2)

!lf.. (x)- f(x)IJ
. Como se trât.a apenas de uma reformulação d.a Definição 17.1, não entraremos nos detalhes da demorÜtração, deixando-os ao leitor. Deséjamos apenas salientar que o valor de n na desigualdade (17.2) depende, em geral, tanto de e> O como de x ED0 • O leitor I atento já terá notado> nos Exemplos 17.2(a-c), que o vàlor de n exigido para ob~er (17.2) ~ depende do fato de € >O e de x ED0 . Entretanto) no Exemplo 17.2(d). a desigualdade 1 (17 .2) pode ser satisfe,ita para todo x em D0 • desde que se escolha n suficientemente ! grande, e dependendo apenas de e. · É precisamente, esta diferença assaz sutil que estabelece a distinção entre as noções de convergência "ordinária" de uma seqüêncía de funções (no sentido da Definição 17.i) e convergência "uniforme", que passamos a definir. 1

115

17.4 Definição. Diz-se que uma seqüência ifn) de funções definidas em D C RP e tomando valores em Rq converge unifonnemente em um subconjunto D 0 de D para uma função/, se, para cada e> O, existe um número natural K(€), dependendo de e mas não de x ED 0 , tal que, para todo n 2.K(e) ex ED 0 , :''{ '\

. '

.' ': '

~

''

~ j

'' .

'

'

Uf.. (x)- f(x)l!< e.

(17.3)

Dizemos então que a seqüência é uniformemente convergente em D0 • (Ver Figurá 17 .5.) Segue~se imediatamente que, se a seqüência (fn) converge uniformemente para f em Do, então esta seqüência de funções também converge para f no sentido da Definição 17 J. Um exame atento dos Exemplos 17 .2(a-c) mostra que a recíproca não é verdadeira; daremos abaixo outros exemplos, Antes de prosseguirmos, convém dar uma condição necessária e suficiente para que a seqüência ifn) não convirja uniformemente para/ em D0 •

17.5 Lema. Uma seqüência lfn) não converge uniformemente em D 0 para f se e somente se, para algum e0 >o. existe uma subseqüência ifnk) de ifn) e uma seqüência (xk) em D0 tais que (17 .4)

para k EN.

'

: :

f-e Figura 17.5

A demonstração deste resultado exige apénas que o leítor negue a Definição I 7 .4. Fica, pois, a seu cargo, como um exerclclo essencial. O lema precedente é útil para mos· trar que os Exemplos 17.2(a-c) não convergem uníformemente nos conjuntos dadosD 0 • 17.6 Exemplos. (a) Consideremos o Exemplo 17.2(a). Se fn.(Xk) = 1, de modo que

nk

=k

e

Isto mostra que a seqüência ifn) não converge uniformemente em R para/.

(b) Consideremos o Exemplo 17 .2(b ). Se n,11 = k e Xh =(~}in~, então

116

Xk

= k, então

/

l

,,

l

'

'

Inferimos, assim, que a seqüência Cfn) não converge uniformemente em [O, 1] para f. (c) Seja o Exemplo 17.2(c).Senk =kexk =k,então l/~<(x~c)-f(xl<)!=

I

!

k;

!

o que mostra que ifk) não converge uniformemente em R para f.

.

( \

(d) Consideremos finalmente o Exemplo 17.2(d). Como ••

lf,.(x)- f(x)l s 1/n

(

para todox em R, a seqüencia lfn)converge uniformemente em R para/.

I

l

A NORMA UNIFORME . No estudo da convergência uniforme, convém em geral utilizar certa norma num es· paço vetorial de funções. Se D ~RP e f: D-"' Rq, dizemos que f é limitada se existeM> O tal que !lf(x)l! ~ · M para todo x E D. Se f:D--+ Rq é limitada, então decorre que o número ll[IID definido por

(17.5)

(

llfllo = sup {ilf(x)ll: x E D}

existe em R. (Notemos que a norma no membro direito desta equação é a norma no espa· ço Rq .) 17.7 Definição. Se D C RP. então a coleção de todas as funções limitadas definidas em D e tomando. valores em Rq se denota por Bpq(D) ou (quando p e q se subentendem) . · por B(D). No espaço Bpq(D) definimos a soma vetorial de duas funçõesf,g e o produto does~ calar c E R por f por (17 .6) (f+ g)(x) = f(x) + g(x)~ (cf)(x) = cf(x)

\

r

\ ( (

para todo x E D. Definimos a função zero como a função O : D -+ Rct, definida para todo x ED, por O(x) =O. Estabeleçamos então uma conexão desta terminologia com as noções apresentadas na seção 8.

l

17.8 Lema. (a) O conjunto Bpq(D) é um espaço vetorial sob as operações vetoriais definidas na equação (17 .6).

\

(b) A função /H- l!fllv definida em Spq(D) na equação (17.5) é uma nomuz em Bpq(D). Demonstração. A demonstração de (a) exige apenas cálculos rotineiros.

(

( (

'I

Para demonstrar (b ), devernos.estabelecer as quatro propriedades de uma nonna da· das na Definição 8.5. (i) É claro, por (17.5), que II[IID 2_0. (ií) Obviamente, IIOIIv =sup {UO(x)ll :xED}=o. Reciprocamente~ se llfllv =O, então, como Os !1/(x)ll < 11/l!n =O, in· ferimos que llf(x)!l =O e, dai, f(x) =O para todo x ED, de modo que f= O. (iii) O fato que !icfiiD =lclllfllv é imediato. (iv) Como

(

<

!I (f+ g)(x )li= !lf(x) + g (x )li :S !lf(x)l! + llg (x )!I !I filo +li& !lo

f

·,

( ;

ll7

/

. t .

'•

·. I•

í<

iI

. '.

i.j l '.

í,:

.

i:.

'

Às vezes a norma f~-+ llj!ID é chamada norma uniforme [ou norma ào supremo em Spq (D).] Mostraremos que a convergência uniforme de funções em Bp·q(D) equivale à convergência na norma uníforme. · -,.,. ,,

;

..

\;'""'

I : ·. '

I ..

·: .'

i

'

I

.

I

17.9 Teoreína. Uma-seqüência ifn) em Bpq(D) converge uniformemente em D para /EBpq(D) se e somente se ·-

!]f,.- filo -+O.

Demonstração. Se a seqüência ifn) converge uniformemente pata/em D, então~ pa~ ra qualquer e> O, existe um número natural K(e) tal que, se.n > K(e) ex E D, então !lfn(x)- f(x)!l < e.lsto implica ·

llfn- fl]o =

sup {!j(f,. -.f)(x)ll: x E D} ~ s.

,:o.

_,_ . '

Como e> Oé arbitrário, ísto implica llfn - f!ID __

'

, Reciprocamente, se !!fn:~ f!lD ->-O, então, dado € >O, existe K(e) tal que, se n K(E),então !lfn -fiiD:::_; e.Istoimplicaque,-sexED,então

2:

l!f,.(x}- f(x)J!-= ll(f,- f)(x)-!1 < l!f.,- filo~ e. "

Portanto, a seqüência ifn) converge uniformemente em D par3:f. ,

•,

úso

.

'

;

.

Q.E.D.

o

•

• r.'

'

Ilustremos a seguir o deste lema para exame da convergência uniforme de urna seqüência de funções. Observemos primeiro que a norma foi defmida apenas para funções limitadas; logo, só podemos utllizá.la (diretamente, pelo menos) quando a seqüência consistir de funções limitadas.

17 .I O Exemplos. (a) Não podemos aplicar o Lema 17.9 aos exemplos estudados em 17.2(a) e 17.6(a) porque as funções{n, definidas comofn(x) =x/n, não são limitadas em

R, que foi considerado como domínio. Para fins de ilustração, restrinjamos o domínio a E= fO, 1J. Conquanto a seqüência (xfn) não convergisse uniformemente para a função zero no domínio R [conforme vimos no Exemplo 17.6(a)], a convergência é uniforme em E= [0, I]. Para constatá-lo, calculemos ;

11~" - flls = sup { ~-O

i

donde 11/n -

O

x

:S:

~} = ! ;

1/n -+O.

(b) Consideremos agora a seqüência discutída ~os Exemplos 17.2(b) e 17.6(b). Aqt.:i, D =·ro.l], fn (x) =xn '-e ~ função limite f é iguat" a o para o< X< 1 e igual a l para x"" 1. Calculando a norma da diferençafn -f, ternos ·

. ;

l

tll.i<: =

l: ~

llfn- fll~ = ~~~ {x~-, p < x <'!} = 1

..

··

,

,

0

t

'

X

'

'

-1

para n E N. .,

Como esta norma não converge p~ra zeró, inferimos que a seqüência ifn) não converge ur-íformerpente em D = [0, I] para f. Isto reforça nossas considerações ài1teríores. . . I . • . •

118

~

' l

•

'

'~

'

j

'

.

{c) Seja o Exemplo 17.2{c). Novamente aqui não podemos aplicar o Lema 17.9; porque as funções não são limitadas. Escolhemos então um domínio menor, E= [O, a] coma> O. Como · '

•

J

temos

l!f.. - fl!s = sup {lfn(X)- f(x)l: O :'f X<

a'2

a}=-. n

Logo, a seqüência converge uniformemente para f no intervalo [O~ a]. [Por que razão isto não contradiz o resultado obtido no Exemp·Io 17 .6(c)?] .. . ,.,

(d) Com referência ao Exemplo 17.2(d). ~onsideremos a função fn(x) =(1/n) sen (nx + n) em D =R. Aqui a função limite éf(x) -:-0 para tod0,x ED. Par!\ estabelece~mos a convergência uníforme desta seqüência, notemos que .,

llfn- filo= sup {(1/n) Jsen(rix + n.)j: x E R}. Mas como !sen Yl < 1, conCluímos que l!fn - fll~ = 1/n. Logo; ifn) converge uniforme~ mente em R, conforme havíamos. estabelecido no Exemplo 17.6(d). . Um dos aspectos mais úteis da norma é que facílita a formulação de Critério de Cauchy para a convergência uniforme de uma seqüência de funções Ilimitadas ..

urn

17.11 Critério de Cauchy para Convergência Uniforme. Seja ifn) urna seqüência de funções em Bpq(D). Então existe uma função f E Bpq(D) para a qual ifn) converge uniformemente em D se e somente se, para cada e> O, existe um númerd natural M(e) tal que, para todo m, n > M(e), se tem l!fm - fn !In< e. · .· .)

Demonstração. Suponhamos a seqüência ifn) uniformemente convergente em D para uma função fESpq(D). Então, para e> O, há um número natural K(e) tal que, se n > K(e). se tem llfn- fllv < e/2. Logo, sem, n 2K(e), concluímos que

llfm- fnl!o s llf... - filo+ llt -J.,IJo
Reciprocamente, suponhamos satisfeito o Critério de Cauchy, e que, para e> O, exista um número natural M(e) tal que l!fm - fn llv
(17.6)

m, n 2': M(s}.

Logo, a seqüência lfn(x)) é uma seqüência de Cauchy em RCl e, assim, converge para algum elemento de Rq. Definamos f píua x em D ·por , · .· f(x.) = ({r.'(x.)).

Iim

Por (17.6), concluímos que, sem é um número natural fixo tal quem ~iVf(e) e se n ~um número natural arbitrário tal que n 2M(e), então, p~rá todo x em'D; terno·s :· ··. ', · .. : l!fm (x) -f., (x )li< s. .

'

Aplicando o Lema 15 .8, segue-se que, sem ~M(e) ex E D, então l!fm(x)- Jt~)!l < e. Como fm é uma funçl'{o limitada, segue-se imediatam~nte (c'omo?) que f é limiiada e; •

'

., f

119

assim, pertence a Bpq(D). Além disso, concluímos que ifn) converge uniformemente para femD. Q.E.D.

'' .,~ ~ !.

EXERCfCIOS

Nos exercícios que seguem, o leitor pode utilizar as propriedades elementares das funções trigo· nométricas e exponenciais dos cursos básicos.

,,

17. A. Para cada n E N definamos fn para x >O por fn(:x) te lim ifn(x))? 17 .B. Para cada n E N, definamos gn para x L O por

'

g. (x) = nx,

..

:. '

'

1/(nx). Para que valores de x exis·

O ::;;; x < 1/n,

1 =-nx'

.

=:

1/n < x.

Mostre que li.m (g11 (x))-:- O para todo x >O. 17. C. Mostre que lim ((cos 11'X) 1 n) existe para todo x. Qual é esse limite? 17.D. Mostre quefn definida em R por

nx fx(x) = 1 + n~x2' converge em R. 1 7. E. Definamos hn no intervalo I::::: {0, 1] por

h,(x)"" 1- nx,

O::;;; x

<

1/n,

1/n.
=O, Mostre que lim (hn) existe em I.

17 .F. Seja Kn defmida em I por

O< x

gh(x) = nx,

=

11

n-1

(1- x),

=:;;;:

1/n,

1/n< x::;;; 1.

Mostre que lim (gn) existe em L 17 .G. Mostre que, paxafn definida em R por

2 fn(x) =-Are tan (n.x), 71'

;

.

f= lim (fn) existe em R. Na verdade, o limite é dado por f(x)

í

''

; .

''

:'

.

~

'I

'i

i

.: i .1 J

r. ~

=O

x=O '

'

X

-KO.

17. H. Mostre que lim (e-n.'lt) existe para x;;;;:. O. Estude também a existência de li.m (xe-rlX) . 17.L Seja (;~n) uma seqüência convergente de pon}os que, juntamente com seu limite .x, está num conjunto D C [(P. Suponhamos que
·,

'

x >O,

=-1.

~

;

= 1,

I '

. ' . !

17 .J. Considere o exercício pJecedente com a hipótese adicional de que a convergência das (fn.) é uniforme ern D. 17. K. Prove que a convergência no Exercício 17.A não é uniforme em todo o col\iunto d~ convergência, màs que o é para x L 1. 17 .1.. Mostre que a convergência no Exercício 1 7. B não é uniforme no domínio x ;;;;:, O, mas o ê num conjunto x;;;;:. c, onde c> O. I

120

'· /'

\

17.M. A convergência no Exercício 17.D é uniforme em R? 17.N. A convergência no Exercício 17.E é uniforme em I? 17.0. A convergência no Exercício 17.F é uniforme em I? E-o em (c, 11 pa.ra c >O? l7.P. A seqüência (xe-nx) converge uniform.emêhtff'para :x O? 17. Q. A seqüência (x 2 e~nx) converge 'uníformente para x ;:;;:, Q? 17. R. Seja ifn) uma· seqüência de funções que converge em D para uma função/. Se A e B são subconjuntos de D e se sabemos que a convergência é uniforme em A e também em B, mostre que a convergência é uniforme em A u B. 17.S. Dê exemplo de uma seqüência ifn) em Bpq(I) tal que ll/niii .S. 1 para todo n. E N, que não possua uma subseqüência uniformemente convergente. (Assim, o Teorema de Bob:ano-Weierstrass não é válido em Bpq(I}.J

\

f

(

i. '

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l

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I'

.

(

f SEÇÃO 18 O LIMITE SUPERIOR Na seção 6 introduzimos a noção de supremo de um conjunto limitado não-vazio de números reais, e utilizamo·la com freqüência. Ao lidarmos com um conjunto infinito limitado S C R, pode ser conveniente considerar o maior ponto de acumulação s* de S. Este pontos* é o ínfimo de todos os números reais que são superados no máximo por um nú· mero finito de elementos de S. Adaptaremos esta-noção às seqüências limitadas em R, a fim de obtermos o conceito de "limite superior". 18.1 Definição. Seja X= (xn) uma seqüência limit:' :·1 em R.

lim sup (x .. ),

ou

lim inf X

(

'

;

.,

l,

l

·r

.,

'{ '•

(b) O limite inferior de X, que se denota por lim inf (x .. ),

I

'\

l

lim (x"),

é o ínfimo do conjunto V de v E R tal que existe no maxano um número finito de n EN tal que u
lim inf X,

'

(

(a) O limite superior de X, que se denota por limsup X,

(

•'

t'·

ou

I'

lim sup

I ..

X\

'

í I

\

(

Figura 18.1

(

·,,

•

é o supremo do conjunto W de w E R tal que existe no máximo um número finito de mENtal quexm
{

{ I' (

'

j

\

l

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121

f

~. ('

I

[H i i

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.,, 1..'.

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j

il

"''I ; I'

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18.2 Teorema. Se X= (xn) é uma seqüência limitada em R, então as seguintes afirmações são equivalentes para um número real x*. (a) x* = lim sup (xn).

(b) Se E > O, existe no máximo um número finito de n E N tais que x* + e < x ,, mas um número infinito de n E N tais que x* - e < Xn. (c) Se Vm =suplxn :n >mt, então x* =inf{vm ::;>EN}. (d) Sevm =sup Xn:n2m},entãox*=Iim(vm). (e) Se L é o conjunto dos v E R tais que existe urna subseqüência de X que converge para v, então x* = sup L. Demonstração. Seja x* = lim sup (xn) e e> O. Pela definição 18.1, existe um v E V com x* O, entfo, para todo m suficientemente grande, ternos . vm S: x* + e:; portanto, ínf { vm : m E N J::;; x*+ €. Mas. como existe um número infinito I de n E N tais que x* - e< Xn, então x - e < vm para todo m EN e, daí, x* - e < inf {vm : m E N}. Como e >O é arbitrário, deduzimos que x* =inf { vm : m E N} e (c) é válida. Definindo a seqüência (vm) como em (c), ela é monotõníca decrescente e, daí, inf (um)= lim (vn), de modo que (c) implica (d). Suponhamos agora que x* satisfaça (d) e X'= (xnk) seja uma subseqüência convergente de X; como nh 2: k temos Xnh < Vk e, daí, lim X'::;;: iim (v h)= x*. Reciprocamente, notemos que exíste n 1 E N tal que v1 - 1 < Xn, S: v 1 • Escolhamos indutívamen te n k + 1 > nk tal que

Como lim (vk) =x*, segue-se que x* =lim (Xnn)- Portanto (d) implica (e). Finalmente, seja w ;;:;; sup L. Dado e > O, só pode existir no máximo um número finito de n EN com w +e O é arbitrário, ínferimos que w =lim sup X. Portanto, (e) implica (a).

Q.E.D.

Ambas as caracteri:t.ações (d) e (e) podem ser encaradas como justificativa da expressão "limite superior". Existem caracteriz.ações correspondentes para o límíte ínferior de uma seqüência limitada, que o leltor deve enunciar e provar.

Estabelecemos a seguir as propriedades algébricas básicas do limite superior e do lí· mite inferior de urna seqüência limitada. '

''!.

183 Teorema. Sejam X=(xn) e Y=(yn) seqüências limitadas de números reais, Vdem então as seguintes relações: (a) lim inf (xn) < lim sup (xn ). (b) Se c:?: O, então lim inf (cxn) =c hm in f (xn) e lirn sup (ex,.)"" c Iim sup (xn). (b')Se c
122

(c) lim inf (xn) + lirn inf CYn) = Ü1U. inf (xn + Yn).. '.... .

1 "

(d) Íim S!!P.(Xn + Yn) ::S:Hm sup (xn)+.~im sup (Yfl)::··~ · (e)' Se Xn. ~Yn para todo n, então lim inf(x~) :S:lim inf(yn), e também lim sup (xn) :S:·Iim sup (yn)., ·· "· .' l ' • •'

•

•

~

' ,

• •

t

' «'

•

, ..

.

t:

f :

• '

'

;

~

Demonstração. (a) Se w < lim inf (xn) e v> lim sup (xn), então existem. infinitos n's ("enes"), n EN; tais qúe w < Xn, enquanto que existe:.apenas um número finito desses n's tais que v
I

•

•

I

(b') Se c lím sup (xn.) eu> lim sup CYn); por definíção, existe apenas um número finito de n's:, it·EN> tais que v lim sup Ó'n)> então existe apenas um número finito de números naturais n tais.que u
..

.

.Podemos usar eada uma das cond~ções do Teorema 18.2 para demonstrar o Teorema 18 3. Sugerern~se como exercício algumas dessas demonstrações alternativas. •'

.

'

Ocorre perguntar se as desigualdades no Teoreml'!- L!?.3 podem ser substituídas por igualdades. Em geral, a resposta é negativa; pois, se X= (( _,1 )"). então tím infX = -1 e Hm sup X=+ L Se Y = ((-1)" ""'),então X+ Y= (0), de modo que

lim inf X+ Iim inf Y = -2

O= tiro inf (X+ Y),

Hm sup (X+ )I')= 0< 2 ""'lim sup X+ lím sup Y.

Vimos que o limite inferior e o limíte superior existem para qualquer seqüência li-

mitada, independentemente do fato de a seqüência ser convergente. Mostremos agora que a existência de lím X equivale à igualdade de lim inf X e Um sup X. 18.4 Lema. Seja X urna seqüência limitada de números reais. Então X é convergente se e somente se lim in f syp X= lim sup X, e então lim X é o valor comum,

Demonstração. Se x = lim X, então, para cada E> O, existe um número natural N(e) tal que n > N(e). x - e < x., < x + e,

A segunda desigualdade mostra que lim sup X< x + e e à primeira desigualdade mostra que x ...:.·e< lirn in f X. Logo, O :Ç lim sup X -lim inf X< 2e. e como e> O é arbitrário,

temos a igualdaqe .' .·· Reciptocainente, suponhamos que x =lim in f X= Hrn sup X. Se e >O, decorre do Teorema 18.2(b) que existe um. número natural N 1 (e) tal que se n :2:N1 (e), então ·xn < X+ E. Analogamente, existe um número hatural N2 (€) tal que, se' n >-N2 (e) então X e< ~n.. Seja N( e") . :. : sup {N1 (e), N 2(e)}; se n ?;N(€), então xl
!xn -

123

SEQÜÊNCIAS NÃO-LIMITADAS · Convém às vez.es dispormos da definição de limite superior e limite ínferior para se· qüências arbitrárias (isto é, não necessariamente limitadas) em R. Para tanto devemos introduzir os símbolos +oo e -oo, mas devemos salientar que não os consideramos como números reais, e sim apenas como símbolos convenientes. Se S é um conjunto não-vazio em R, que não é limitado superiormente, definimos sup S =+co; se T é um conjunto não-vazio em R não-limitado inferiormente, definimos inf T = -=. Como observamos após a De.finição 6.1, todo número real é cota superior do conjunto vazio (/J, de modo que definimos sup (/J = -=. Analogamente, como todo real é cota inferior de f/J, definímos inf0 = +=. Seja agora X= (xn) uma seqüência em R não-limitada superiormente; então o conjunto V de números vER tais que existe no máximo um número finito de n's, n EN, tais que v< Xn, é vazio. Logo, inf V= +oo. Assim, se X= (xn) é uma seqüência em R não-limitada superiormente, temos lim sup (x,.,J = +co.

Te

qu

X'

Analogamente, se Y"" Ó'rt) é uma sequência em R não-limitada inferiormente, temos lim inf (y,) =-co.

SE

Note·se que, se X} (xn) é urna seqüência em R não·limitada superionnente, então os conjuntos{xn: n L. m não são limitados superiormente e, assim, Vm

ou me qu: en1

= sup {x,..: n;;;::: m} = +oo

para todo m E N.

(y~

dar

LIMITES IN FINITOS Se X=::: (xn) é uma seqüência em R, dizemos que X= (xn) diverge para+=, e escre· vemos lim (xr,) =+OQ, se, para todo Ct. E R, existe um K(C<) EN tal que, se n 2:K(a:), então Xn Ct.. Analogamente, dizemos que X= (xn) diverge para -oo, e escrevemos lím (xn) = -=, se para todo a: E R existe um K (Ct.) E N tal que, se n 2: K (a.), então Xn < Ct.. Deixamos como exercido mostrar que X= (xn) diverge para +oo se e somente se

mo

>

Op mo

lim ínf (xn) = lim sup (xn) = +=,

e que X= (Xn) diverge para -=se e somente se

lim inf (x,.) = lim sup {x,.)

se 1

= -co.

se l

EXERCÍCIOS

18 .A. Determine lim sup e lim inf para as seguintes seqüências limitadas em R:

se a

(a) ((-lt),

nas

(c) ((-1)"

+ 1/n),

(b) ((-1Y/n), (d) (sen n),

1 &. B. Se X= (xn) é uma seqüência limitada em R, mostre que existe uma subseqüência de X que conv~rge para lim inf X.

124

I

1

18.C. Formule e demonstre diretamente, para o limite inferior, o teorema correspondente ao Teorema 18.2. 18.D. Demonstre diretamente o Teorema 18.3(c). , ..,. 18.E. Demonstre o Teorema ·l8.3(d), Jltilit.ando l8.2(b) cÇ>mo definição do limite superior. Idem usando 18.2(d} e 18.2(e). 18.F. Se X-: (x,t) é uma seqüência limitada de elementos estritamente positivos em R, mostre que lim sup (x~01 )
(a) ((-l)"n), (c) (n(sen n) 1 ),

r

\.

i . \

(b) {nsen n), .I ••

....

~-··,.

.. r.~,

. i

.

(d) (n tan n) .

18.H. Mostre que a seqüência X= (xn) em R diverge para+"" se .e somente se lím ínf X=+"""· 18.!. Mostre que lim sup X=+""' se e somente se existe urna subseqüência X' de X tal que lim

x· = + ""·

{

(

18.. 1. Interprete o Teorema 18.3 para seqiíêndas não-limitadas.

SEÇÃO 19 OUTROS TÓPICOS Em geral é importante em análise estimar a ~·ordem de grandeZ~ ' de uma seqüência ou comparar duas seqüências em relação à sua magnitude. Para tanto, desprezamos os termos que não trazem ucontribuição essencial". Por exemplo, se Xn = 2n + 17, então, quando n EN é grande, a contribuição dominante provém do termo 2n. Seyn =n 2 - Sn, então, quando n EN é grande, o termo dominante é n 2 • E embora os primeíros termos de Ú'n} sejam menores.-do que os de (xn), os termos de (Yn) na realidade crescem mais rapidamente do que os de {xn). Introduziremos agora uma terminologia para tomar mais precisa esta idéia, bem como uma notação, bastante útil, devida a Landau. 1 ~ 1

19.1 Definição. Seja X=(xn) e Y=(Yn) seqüências em R e suponhamosqueyn '# O para todo n EN suficientemente grande. Dizemos que X e Y são equivalentes, e escrevemos (x>~)- (y.,) X-Y ou selim (:xn/Yn) = L Dizemos que X tem ordem de grandeza inferior às de Y, e escrevemos

X= o(Y)

ou

ou

r

c ( ( ( ( <

(

x,. = o(y,.)

(

se Iim (xnfy.,:) =O. Dizemos que X é dominada por Y, e escrevemos X= O(Y)

(

(

x .. = O(y.. )

se a seqüência (xn/Yn) é limitada. . .Ê claro que ou X . . . . Y ou X::::: o (Y) imP.lica X==. O(Y). Daremos nos exercícios várias propriedades desta notação.

(

!

i

I

)

Edmund (G. R) Landau (1817·1938) foi professor em Gottingen e é conhecido por suas pes· quisas e livros sobre teoria dos número:; c análise - notáveis pelo rigor e síntese de estilo (bem como por sua linguagem elementar).

\

( I

\.

125

r

SOMAÇÃO DE CESÀRO

. ·,:,

: '·'·· · ' ; . Já definimos o que significa a convergência de uma seqüência X= (xn) em RP para um elemet}tO x. f possível, entretanto, associar x à seqüência X corno uma espécie de "limite generalizado"; mesmo que ·a seqüência X não !±on virja para x no sentido da Definição 143. Há várias maneiras de generalizar a idéia d.e limite, e o estudo de algumas delas nós levarià muito além do escop9 deste livro. Entretanto,. existe um método que é não só de natureza elementar, como útil nas aplicações às seqüências oscilantes. Como se trata de um método de relativa importância, e como a demonstração do resultado principal é típica de mujtos argumentos analíticos, damos uma rápida introdução da teoria da sornabili~ dade de Cesàro. 2

19.2 Definição. Se ciaS= (on) definida por

X= (xn) é uma seqüência de elementos em RP, então a seqüên,. ....... '

u"=

XJ

m~

AI !

i

I l

t

Se

x!1 ver1 çõe

ma son rerr

+ X2 + · · · + Xr1 , ... , n

SE:

é chamada seqüência de médias aritméticas de X. Em outras p;llavras, obtêm-se os termos de S tomando as médias .dos termos de X. Como esta média tende a eliminar flutuações ocasionais em X, é ra?.oável esperarmos que a seqüência S. tenha, maior chance de convergir do que a seqüência original X. Se a seqüênciaS de médias aritméticas con· verge para um elemento y, di7.emos que X é somável segundo Cesàro em relação a y, ou que y é o limíte-(C, 1) da seqüência X. Seja, p. ex., a seqüência real não-convergente X= (1, O, 1, O, •.. ) ; vê-se imediatamente que, se n é um número natural par, então àn =.!. e se 11 é ímpar, então an = (n + l)f2n. Como 2. = lim (an), a seqüência X é somável segundo Cesàrd em relação a que não é o limite de X, mas s~ apresenta co· mo o "limite generali:r.ado" mais natural que podemos associar a X. . .. .

+,

.

'

..

tu r pOl

zes

'

Parece razoável, ao generalízarmos a noção de limite de uma seqü.~ncia, exigir que o limite generalizado dê o mesmo valor usual do limite quando a seqüência é convergente. Veremos que o método de Cesàro goza desta propriedade.

19.3 Teorema. Se a seqüência X= (xn) converge para x, então a seqüénciíl S

me XI cor

(lS

~ (an)

de médias aritméticas também converge para x. :

Demonstração. Devemos estimar a ordem de grandeza de

(19.1)

1 =-{(x1- x) +(xz-x)+ · · · + (x"- x)}. n

Como x =lim (xn), então, dado e >O, exJste um número natural N(e) tal que, sem 2: N(e), então llxm - xil
Ernesto Cesàro O 859-1906) estudou em Roma e ensinou em Nápoles. Deu contribuições à geometria, à álgebra e à análise.

126

No

elei meJ que

mo

ex i: den dos

Cau

ao I

ma à direita de (19.1) em uma sorna de k = l a k =N, e uma soma de k =N +I ak =n. Aplicando a estimativa llxk - xll
i

I l

'

tr

'

!

n-N

Jlo-., - xlI < - n + n

!

para n ;:e: N(s).

e

Se n é suficientemente grande, então NA/n

llanQ.E.D.

Não avançaremos mais na teoria da somabilidade, mas indicamos ao leitor livros sobre séries: divergentes e somabllidade. Por exemplo, o livro de Knopp relacionado nas Referências. Uma das aplica· ções elementares mais interessantes da somabilídade de Cesàro é o célebre Teorema de Fejér que aftr· ma que uma função contínua pode ser reconstituída a partir de sua série de Fourier pelo processo da somabilidade de Cesàro, emboca nem sempre o possa com auxílio da convergência ordinária. (V. Teorema 38.12.)

i

f i

SEQÜÊNCIAS DUPLAS E ITERADAS Lembremos que uma seqüência em RP é uma função definida 'no conjunto N de números naturais e com contradomínio em RP. Urna seqüêncía dupla em RP é uma função X com domínio N x N, que consiste de todos os pares ordenados de números naturais, e contradomínio em RP. Em outras palavras, em cada par ordenado {m, n) de números naturais, o valor da seqüência dupla X é um elemento de RP que denotaremos tipicamente por Xmn· Em geral usaremos um símbolo como X=(xmn) para representar X, mas às vezes é conveniente relacionar os elementos em um quadro como

.. .

X:n

(19.2)

X=

..

...

l X~~

. ...

. .

~m.2

•. •

.. ..

.

...

• • • • • •

..

. ...

~~~

..

~

..

• • '• • '

Note-se que, neste quadro, o prímeiro índice se refere à linha em que figura o elemento Xmn e o segundo índice se refere à coluna. 19.4 Definição. Se X= (Xmn) é uma seqüência dupla em RP, então dizemos que um elemento x é limite (ou limite duplo) de X se, para cada número positivo e, existe um número natural N(t:) tal que, para todos m, n > N(t:), l!xmn - xil
ou

x =llmX.

Grande parte da teoria elementar dos límites de seqüências se aplica, com pouca modificação, às seqüências duplas. Em particular, o fato de que o limite duplo (quando existe) é único se demonstra exatamente da mesma maneira como no Teorema 14.5. Po· demos analogamente definir operações algébricas para seqüências duplas, obtendo resúltados exatamente paralelos aos discutidos no Teorema 15.6. Existe também um Critério de Cauchy para a convergência de uma sequência dupla; enunciá-lo-emas apenas, deixando ao leitor a demonstração. 127

19.5 Critério de Cauchy. Se X::::: (Xmn) é uma seqüência duplo. em RP, então X é convergente se e somente se, para cada e> O, exis'te um número natural M(€) tal que, para todos m, n, r, s 2M(e),

!lx.,.,- x.,!l
lim

toe

;

!'

I

l'

Y, = (x1 .. : n E N), ... , Y,.,. = (x,,. : n E N), ...

tem um límite. Logo, não pode existir nenhum dos limites iterados, já que nenhum dos li· mites "ínteriores" existe. A próxima pergunta é: se existe o limite duplo e se um dos limites iterados existe, então este é igual ao limite duplo? Aqui a resposta é afirmativa. De fato, podemos estabelecer um resultado um pouco mais forte.

19.6 Teorema do Limite Duplo. Se existe o limite duplo x = 1immn (Xmn) e se para cada número natural m existe o limite Ym =lirnn (Xmn), então o limite iterado limm Iimn (Xmn) existe e é igual a x. Demonstração. Por hipótese, dado e> O, existe um número natural N(e) tal que, se m, n > N(€), então Uxmn - xl! dstem os limites Ym = 128

exi

ex i pli(

a se

m'

To·

y = lim lim (xm,). "' " Referir-nos-emas a y como um limite iterado da seqüência dupla (ou, mais precisamente, como o limite linha iterado da seqüência dupla). O que fizemos para linhas podemos fazer igualmente para co]unas. Formamos assim as seqüências Zz = (x,.:~; mE N), Zt = (x,1: mE N),

etc. Supondo que os limites z 1 = lim Z 1 , z 2 = lim Z':l. , ... , existam, podemos então consi· derar z . lim (zn). Quando este último existe, denotamo-lo por z = lim lim (xm .. ), ... "' e o designamos limite iterado, ou limite coluna iterado da seqüência dupla X= (Xmn} A primeira pergunta que podemos formular é: se o lirrúte duplo da seqüência X= (Xmn) existe, então existirão também os limites iterados? Embora possa parecer surpreendente, a resposta é negativa. Com efeito, seja X a seqüência dupla em R, dada por Xmn = ( -1 )m <~- n(1 fm + I/n ). Vê-se facilmente que o limite duplo desta seq üêncía existe e é igual a O. Todavia, nenhuma das seqüências

po( nã(

dU]

que

ver: llx1 tên

qm

imJ

í 'I

;. .,

~

t

i;

níu un~

N(1 nE

ent

J. '·

' '

Ale um

Fa:

lo r

\ '

limn (xmn), e pela desigualdade acima e pelo Lema 15.8, segue-se que !lym - x!! :S.: e para todo m 2:.N(e). Concluímos, portanto, quex =lím CYm). Q.E.D.

I '

O resultado precedente mostra que, se o limite duplo existe, então a única coisa que pode impedir os limites iterados de existirem e serem iguais ao linúte duplo é a eventual

não-existência dos limites "interiores". Mais precisamente> temos o seguinte resultado~

I

"

f

\

ç

"'

(

~

{

existem e são iguais ao limite duplo. Podemos perguntar agora se a existência e a igualdade dos dois limites iterados implica a existência do limite duplo. A re::;posta é negativa, como se pode ver examina~do a seqüência dupla X= (Xmn) em R definida por Xmn .= 1 quando m z#. n e Xmn .=O quando m n. Aqui, ambos os limites iterados existem e são iguais, mas o limite duplo não existe. Todavia, com algumas condições adicionais, podemos estabelecer a existência do limite duplo a partir da existência de um dos limites iterados.

(

19.8 Definição. Para cada número natural m, seja Y m =(fmn) a seqüência em RP que converge para Ym. Dizemos que as seqüências {Ym: mE Nt são uniformemente convergentes se, para cada e> O, existe um número natural N(e) tal que, se n 2:.N(e), então l!xmn - y mil
c

=

'I

(

(

existam para todos os números naturais m; h. Então, os limites iterados lim lim (Xmn), lim lim (x,.,.) n n m

·~

1.

'

19.7 Corolário. Suponhamos que exista o limite duplo e que os limites Ym = lim (x..,..,.), z.. = lim (Xmn.)

l'

J

19.9 Lema. Se existe o limite duplo da seqüência dupla X= (xmn) e se, para cada número natural m, a seqüência Y m = (xmn.: n EN) é convergente, então esta coleção é uniformemente convergente.

Demonstração. Como o limite duplo existe, dado e> O, existe um número natural N(e) tal que se m, n > N(e), então llxmn - x!l
IJxmt>- Ym 11 S

!lx"'"- x!l + llx

- y,..!l < 2s.

I

\.

í '\.

f í (

c f

I ( (

r

Além disso. para m =1, 2, ... , N( e) - 1, a seq üêncía Y m converge para y m ; logo, existe um número natural K(e) tal que, se n 2:.K(e), então

m = 1, 2, ... , N ( s) - 1.

'

r'

I

(

'

Fazendo .M(e) = sup{N(e), K(e)}, concluímos que, se n :?;M(e), então, para qualquer valor de m) temos

j'

( Isto estabelece a uniformidade da convergênCia das seqüências {Ym : n E

N}.

Q.E.D.

( I

129

\

í

O lema precedente mostra que, sob a hipótese de convergência das seqüências Ym, a convergência uniforme desta coleção de seqüências é uma condição necessária para a existência do limite duplo. Estabelecemos agora um resultado na díreção oposta.

\

19.10 Teorema do Limite Iterado. Suponhamos que os limites ''simples"

y..,

=

lim (x,.,.), n

Zn

= lim (x,.,.), m

existam para todos m, n EN, e que a convergência de uma dessas coleções seja uniforme. Então existem tanto os dois limites iterados como o limite duplo, e todos os três são

iguais.

se

Demonstração. Suponhamos uniforme a convergência da coleção { Ym : m EN}. En· tão, dado E> O, existe um número natural N(e) tal que, se n ";c.N(e), então

m

(19.3)

llx,,.-ym!J
I I I

para todos os naturais m. Para mostrar que lim (rn) existe, tomemos um número fixo q >-N(e). Como Zq =lirn (xn:;: r EN) existe, sabemos que, se r, s ":?:.R(e, q), então

Jly,- y.JI :s lly,- X,qll + IJ:x.rq- X,qn + nx.q- y.!l < 3 8.

su

n;;: Xn

)

l?ortanto, CYr) é urna seqüência de Cauchy e converge para um elemento y em RP, o que estabelece a exístência do limite iterado

y = Iim (y.,) = lim lim (x,."). "' "' " Mostremos agora que o lirn]te duplo existe. Como y = lim (ym), dado e:> O, existe um M(e) tal que, se m ~M(e), então llym - yll
Xn

'

I

I!Xmn - Yfi < Jlx,., - y.,. 11 + lfYrn - YIJ < 2e.

',

Isto prova que o limite duplo existe e é igual a y. Finalmente, para mostrar que o outro limite iterado eXiste e é igual a y, utilizamos o Teorema 19.6 ou seu corolário. Q.E.D.

N, m

Pode·se conjecturar que, embora a demonstração que acabamos de dar utiliz.e a existência de ambas as coleções de llmltes "simples" e a uníformldade de uma delas, a conclusão decorra da exístên· cía (e uniformidade) de apenas uma das coleções de limites "simples". Deixamos ao leitor a investiga· ção da veracidade, ou não, de tal conjectura.

EXERCfCIOS 19.A. Estabeleça as seguintes relações: (a) (n'+2)-(n 2 -3), (c) ((-1Yn 2 ) = O(n~), (e) (.Jn +i -.../ri)- (1/2-Jn),

(b) (n 2 +2)=o(n 3 ), (d) ((-ltn~) =o(n'), (f) (sen.n) = 0(1).

19.B. Sejam X, Y e Z seqüências com elementos não-nulos. Mostre que:

x-x.

(a) (b) SeX-- Y,então Y-X. (c) SeX~Y e Y~Z,entãoX-Z.

130

'!

I

I l

'

l '

l l ~

19 .C. Se X 1 ""'O(Y) e X 2 ""O{Y), conduímos que X 1 ±X, :::: O(Y) e tais fatos na "equação" (a) O(Y) ± O(Y) = O(Y). (b) o(Y) ± o(Y) = o(Y).

Dê,interpretações análogas e demonstrações para

··· ·' " (c) Sec~O.entãoo(cY)'=o(Y) e O(cY)=O(Y). (d) O(o(Y)) ~ o(Y), o(O(Y)) = o(Y). (e) O(X)O(Y) O(XY). O(X)o(Y) = o(XY), o(X)o(Y) = o(XY).

=

j

I I '

i I l

19. D. Mostre que X= o (Y) e Y =o (X) não podem ser simuttaneamente válidas. Dê exempto de seqüências taís que X= O(Y) mas Y
•

'

notônica crescente? 19.H. Se uma seqüência X= (xn) em RP é somável segundo Cesàro, então X=o(n). {Sugestão: Xn = nan - (n - 1) Gn_ 1 .J 19.!. Seja. X uma sequência monotôníca em R. ~ verdade que X é somável segundo Cesàro se e ~omente se é convergente? 19.J. Dê uma demonstração do Teorema 19.5. 19.K. Considere a existência dos limites duplos e íterados das seqüências duplas {Xmn}. onde Xmn é dado por (a) ( -1)"' ...",

1 m+n'

(b) - -

{c)

1

1

-+m n •

(f)

'

I I

I

19.L. Uma seqtlência dupla convergente é limitada? 19 .M. Se X= (Xmn} é uma seqíiência dupla convergente de números reais, e se, para cada m

N, existe Ym =Um supn (Xmn), então temos limmn (Xmn) = timm (ym). 9.N. Quais das seqüêncías duplas do Exercício 19.K são tais que a coleção m ~ !im (Xm.n): m E N é uniformemente convergente? 9. O. Seja X= (x mn.) uma seqüência dupla limitada em R, com a. propriedade que, para cada mE N, a seqüência Y m = (xmn: n E N) é monotõníca crescente e para cada n E Na seqüência Zn = (Xmn: mE N) é monotônica crescente. f verdade que os limites iterados existem e são iguais? Existe necessariamente o limite duplo? 19.P. Discuta o problema posto no parágrafo final desta seç-Jo.

{Y

f

'!

I

I ll

l31

(

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I (

CAPÍTULO

4

FUNÇÕES CONTÍNUAS Iniciamos agora o estudo da classe mais importante de funções na análise: as funções contínuas. Combinaremos neste capítulo os resultados dos Capítulos Il e III para obter uma rica coleção de teoremas de considerável profundidade e utilidade. Na seçlro 20 introduzimos e examinamos a noção de continuidade. Na seção 21 introduzimos a classe das funções lineares. A seção 22, fundamental, estuda as propriedades das funções contínuas em conjuntos compactos e conexos, e na seção 23 discutimos o conceito de continuidade uniforme. Os resultados dessas quatro seções serão utilizados consistentemente no restante deste livro. As seqüências de funções contínuas serão estuda,das na seção 24, e os limites superiores e inferiores na seção 25. Na seção final apresen· taremos alguns resultados importantes e interessantes, que não sera:o, entretanto, utilizados em seções posteriores. Não supomos o leitor familiarizado com um tratamento rigoroso das funções contínuas. Todavia~ em alguns exemplos e exercícios, utilizamos as funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, a fim de dar alguns exemplos não·triviais.

} (

I

l (

l I

SEÇÃO 20 PROPRIEDADES LOCAIS DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS Seja fuma função com domínio D(f) contido em RP e contradomínio R (f) contido em Rq. Em geral, não exigiremos que D(f) = RP ou que p = q. Definiremos primeiro a continuidade ·em termos de vizinhanças, passando então a algumas noções equivalentes.

1

20.1 Definição. Se a ED(f), dizemos que f é contínua em a se, para toda vizinhança

c

r r t t t

1 '.J

(

d f

fi

p Figura 20.1

132

'

V de f(a), existe uma vizinhança U {dependendo de V) de a tal que~ se x é um elemento deU nD(j))entãof(x) é elemento de V. (Ver Figura 20.1.) Se A CD(f); dizemos que/é contínua em A se o é em cada ponto de A. .'

-~ ~~ I'

Constuma.-se diz.er às vezes que uma função contínua "associa pontos viz.inhos a pontos vizi· nhos''. Deve-se evitar esta expressão intuitiva quando ela leva a crer que a imagem de uma vizinhança de a deve ser uma ví:dnhança de f(a). (Considere x-"' \XI em x = 0.)

20.2 Teorema. Seja a um ponto do domínio D(j) da função f As afirmações seguintes se equivalem:

f é continua em a.

(b) Se e> O, existe um número ó(e) >O tal que, se x E D(f) é um elemento tal que llx- a 11 < ô{e), então l!f(x)- f(a)l!
qüência (f(xn)) converge para f(a). Demonstração. Suponhamos (a) válida e E> O; então a bola V" ={y E Rq: \ly f(a)l! < t:} é uma vizinhança do ponto f(a). Pela definiçao 20.1 ~existe uma vizinhança U de a tal que, se x EU n D(f). então f(x) E V e. Como Ué uma vizinhança de a, existe um número real positivo o(e) tal que a bola aberta de raio ó (e) e centro a está contida em U. Portanto~ a condição (a) implica (b). Suponhamos agora (b) válida e seja (xn) uma seqüência de elementos em D(f) que converge para a. Seja e>O e invoquemos a condição (b) para obter um ô(t:)>O com a propriedade enunciada em (b). Em virtude da convergência de (xn) para a~ existe um nú· mero natural N(ó (e)) tal que se n ?:.N(o (e)), então llx 11 -ali< ó (e). Como cada xn E D(f), segue-se de (b) que 11/(xn)- f(a)ll < e, o que prova a validade de (c). Finalmente, argumentaremos de modo indireto para mostrar que, se a condição (a) não é válida, então também não o é a condição (c). Se (a) falha, então existe uma vi2i· nhança V0 de f(a) tal que, para qualquer vizinhança U de a, existe um elemento xu per· tencen te a D (j) nU mas tal que f(.xu) não pertence a V0 • Para cada número natural n, consideremos a vizinhança Un de a definida por Un = {x E RP: llx -ai! < 1/n}; pela sen· tença precedente, para cada n em N existe um elemento x pertencente a D(f) n Un mas tal que f(xn) não pertence a V0 • A seqüência (xn) que acabamos de construir pertence a D(j) e converge para a, todavia, nenhum dos elementos da seqüência (f(xn)) pertence à vizinhança V0 de f(a). Construímos, assim, uma seqüência para a qual não vale a condíção (c). Isto mostra que (c) implica (a). Q.E.D. O critério de descontinuidade dado a seguir é uma conseqüência do que acabamos de fazer. 20.3 Critério de Descontinuidade. A função f não é contínua num ponto a de D(f) se e somente se existe uma seqüência (xn) de elementos de D(f) que converge para a mas tal que a seqüência (f(xn )) de imagens não converge para [(a). O próximo resultado é urna simples reformulação da deijnição. Lembremos, da Definição 2 . .12, que a imagem inversa f- (f[) de um subconjunto H de Rq por f é'.definída por

r

(H) ={x

1

E

. •'/

. I.,' \

'I

r \ '

'1, j

'i

I

\

r' \

Damos a seguir duas afirmações que poderiam ter sido utilizadas como definição.

(a)

\

D(f) :Í(X)EH}.

( I

'

r ( !

I

Í,

(

( (

(

( ( (•,

(

I < ( •í

( ( (

!'· 133

(

\

20.4 Teorema. A função f é contfnua num ponto a em D(f) se e somente se, para toda vizinhança V de f(a), existe uma vizinhança V 1 de a tal que (20.1)

V1 n D(f) =

r

1

d

8

(V).

n n

Demonstração. Se V 1 é uma vizinhança de a que verifica esta equação, então podemos tomar U = V1 • Reciprocamente, se a Definição 20.1 é satisfeita, então tomamos V1 = U U f- 1 (V) para obter a equação (20.1 ). Q.E.D.

'-······'

Antes de avançarmos com a teoria, façamos uma pausa para alguns exemplos. Por questão de simplicidade! a maioria deles será para o caso RP =Rq =R. 205 Exemplos. (a) Sejam D(j) =R e f a função-"constante", isto é, igual ao número real c para todo x. Então f é contínua em todo ponto de R; de fato, podemos tomar a

!

1

s

õ

s

f(a) +e f(a) f(a)- e

a.-ô

a a+ô Figura 20.2

vizínhança U da Definição 20.1 igual a R para qualquer ponto a em D(f). Analogamente, a função g definida por g(x) = 1,

= 2,

0
:S

s

v

li (J

3,

é contínua em cada ponto de seu domínio.

(b) Sejam D(j) =R e f a função "identidade" definida por f(x) = x, x ER. (V. Fi· gura 20.2.) Se a é um número real dado, seja e> O e éi (e)"" e. Então, se lx -ai < ô (e), temos if(x)- f(a)l ==!x-a!< e. (c) Sejam D(j)==R e f a função ''quadrado" definida por f(x)=x 2 ,xER. Se aER e e>O, então lf(x)-f(a)t=!x 2 -a 2 l=lx-a11x+al. Desejamos tomar a expressão acima menor do que e fazendo lx -a! suficientemente pequeno. Se a= O, escolhemos ó(e) = .J€. Se a =FO, devemos obter uma cota para lx +a] numa vizinhança de a. Por exemplo, se lx -ai
!f(x)- f(a)l :S 3jallx- ai,

s

v r:

c

d

-

I

desde que lx-ai< lal. Assim, definimos ô(e) =inf{!al, e/3 !a1L então, quando !x-ai< ó(e), a desigualdade (20.2) se verifica e temos lf(x)- /(a)l
Aplicando a Desigualdade do Triângulo, obtemos lf(x)- f( a)!< lx- ajz + 2lallx- a!.

lx-ai< o, então lx- al 2 < o2 S: o e o termo à direita +21al o = ó (I + 2 Iai). Somos assim levados a escolher

Se ó

o~ 1

e

é dominado por

ace) = int {1, 1+ ~ la I}.

(e) Consideremos D(f) ={x ER: x :I= O}e seja f definida por f(x) = 1/x, x E D(/). Se a E D(j), então

lf(x)- f(a)l = 11/x -1/al =

lj:Xfl.

Novamente, devemos achar uma cota para o coeficiente de lx-a! que seja válida numa vizinhança de a :r& O. Notemos que se lx-ai<; !aL então ; la I< lxl. donde lf(x)- f( a)! s Somos, pois, levados a tomar o(e)= inf\

i

2 fãr lx-a[.

!ai, ; e lar:~.}.

(f) Seja f definida para D(j) E R por

f(x)=O.

x:s;O,

=1; x>O. Vê-se quefé continua em todo ponto a #:O. Mostraremos que/não é contínua em O, uti-

lizando o Critério de Descontinuidade 20.3. De fato, se (f(lfn)) = (l) não converge para/(0). (V. Figura 20.3.)

Xn

= l/n,

então a seqüência

(g) Sejam D (f) =R e f a função descontínua de Dirichlet 1 definida por

[(:X) = 1, se x é racioQal = O~ se x é irracional. Se a é um número racional, seja X= (xn) uma seqüência de números irracionais que converge para a. (O Teorema 6.10 assegura a existência de tal seqüência.) Como f(xn) =Opara todo n EN, a seqüência (J(xn}) não converge para /(a)= 1 e f não é contínua noracional a. Por outro lado, se b é um número irracional, então existe uma seqüência Y·=:{yn) de racionais, que converge para b. A seqüência if(yn)) não converge para[(b)~ de modo I

Peter Custav Lejeune Diríchlet {1805-1859) nasceu na Renânia e ensinou em Bedím durante quase 30 anos, antes de se transferir para Gõttingen, como sucessor de Gauss. Deu contribuições fundamentais à teoria dos números e à análise.

135

SE

T~

Figura 20.3

1

que

f

pr te

'

,.

não é contínua em b. Portanto, a função de Dirichlet não é continua em ponto

Se 1' as:

algum. (h) Seja D (f) = { x E R : x > O}. Para qualquer irracional x >O, definamos f(x) =O; para um racional da forma m/n, com os naturais m, n primos entre si, definamos f(m/n) = I/n. Mostraremos que f é contínua em todo irracional em D (f), e descontínua em todo racional em D (f). Obtemos a última afirmação tomando uma seqüência de irracionais que

converge para o número racional dado e aplicando o Critério da Descontinuidade. Sejam a um irracional e e> O; então existe um número natural n tal que 1/n
o

Fa

f(x, y)= (2x + y, x -3y).

Seja (a, b) um ponto fixo de R 1 ; mostraremos que f é contínua aí. Para tanto, devemos mostrar que é possível tomar a expressão

se

co

llf(x, y)- f( a, b)ll = {(2x + y- 2a- b) +(x -3y- a+ 3b?rn 2

arbitrariamente p~uena escolhendo-se (x, y) suficientemente próximo de (a, b ). Como {p 2 + q 2 } lf:2 <: y2 sup {lpl, lql }, basta mostrar que é possível tornar os tennos

j2x+y-2a-bl,.

da

!x-3y--a+3bl,

arbitrariamente pequenos, escolhendo (x, y) suficientemente próximo de (a, b) em R 2 . De fato, pela Desigualdade do Triângulo, · [2x + y- 2a- b! = j2(x- a)+ (y- b)[

Mas !x-a! :s:;; { (x- a) 2 logo, temos

+ (y- b) 2 } 112 =

<

g:

.

2lx- aj + !Y- bj.

!l(x,y)- (a, b)ll, e analogamente para IY- bl; ·

ca

!2x + y - 2 a - b[ :::;; 31!( x, y) - (a, b )IJ.

A1 tr< pe

!x- 3y- a+ 3bj:::;; lx-ai+ 3[y- bl :s; 4i!(x, y)- (a, b )!l-

Er

Da mesma forma,

DI

Portanto, se e> O, podemos tomar 8 (e)= e/( 4 -J2); então, se ll(x ,y) ~-(a, b) 11 < ó (e'), é certo que llf(x, y)- f(a, b )li< e, embora se possa atingír um valor maior de õ mediante

análise mais refinada (usando, por exemplo, a Desigualdade de Schwarz, 8,7),

136

rn~

Co 1

',•,

'\

!

(j) Novamente, sejarn D (f) =R e f deftnida por

(

2

Se (a, b) é um ponto fLXo em R então !lf(x, y)- f( a, b)!l = {(x 2 + y 2 -

2

\ f

2

',.

(

a~-

b2 ) 2 + (2xy- 2ab}~}

1

n.

f

Se o ponto {x, y) está a uma distância não superior a 1 do ponto (a, b ), então lxi.S !ai+ 1, donde lx + aj < 2lal + 1 e lyi.S lbl + 1, de modo que IY + bl S: 2lbl + L Temos,

(

t

<.

I '·

\'

(

lx- aj (2lal+ l)+jy- bl (2lbl+ 1) ;:; ; 2(Jal + lbl + 1} l!(xi y)- (a; b )11.

'

I

'

De modo análogo, temos

{

i,

l2xy- 2abl ~ 2!xy- xb + xb -- ab! :S 2lxiiY- bl + 2lbflx- a!

t

2(1a! + lb! + 1) l!(x, y)- (a, b )11.

<

(

Façamos, portanto,

'

ô(e)'="inf{l

e

(

}·

'2J2(1al + lbl + 1) '

se ll(x, y)- (a, b)l! < ô(e), teremos então !lf(x, y)- f(a, b)ll < €, o que prova que f é contínua no ponto (a, b ). COMBINAÇÕES DE FUNÇÕES Como o próximo resultado é conseqüência direta dos Teoremas 15.6 e 20.2(c), não daremos os detalhes. Alternativamente, poderfamos prová-lo diretamente usando argumentos paralelos aos utilizados na demonstração do Teorema 15.6. Lembremos que, se f e g são funções com domínios D(f) e D(g) em RP e contradomínios em RP, então defini. mos sua soma como f+ gt sua diferença como f- g e seu produto interno como f· g para cada x em D(j) n D(g), mediante as fórmulas f(x) + g(x), f(x)- g(x), f(x) · g(x)<

~

\

{

!x2 + l- a 2 - b 2 !s

..

'

(

Tal como em (i), examinemos separadamente os dois termos da direita. Veremos que é preciso obter' estimativas elementares da magnitude. Pela Desigualdade do Triângulo temos Ix 1 + y l - a:>! - b21 :::;; Ix 2 - a 11 + !y 2 - bz!.

assim,

·•

'

I

f(x, y) = {x + y , 2xy) 2

(

( ( (

\, I

\

"I,' (

i

' í

(

Analogamente, se c é um número real e se ;pé uma função com domínio D(..p) em RP e contradomínio em R, definimos os produtos cf para x em D(f) e ..pf para x em D(..p) nD(f) pelas fórmulas cf{x), q>(x)f(x).

(

Em particular, se .p(x) 4: O para x E D 0 , então podemos definir o quociente f/..p para x em D(f) n D 0 por

\'

f(x)/q>(x).

\

í \

J \

f

(

Corn estas definições, podemos enunciar o resultado.

'

I

\. 137

{ I \

I·

20.6 Teorema. Se as funções[, g, ções algébricas

I'

I,,

f+ g,

I I

I, !

'

:

I

I j

I

; '•

f/q;

2(J

lfl.

Demonstração. Da Desigualdade do Triângulo, temos

I j

e


20.7 Teorema. Se f é conttnua em um ponto, en,tão também o é

.,,.;

J

'I

cf,

en

Há outra combinação algébrica de interesse. Se f é definida em D(j) C RP e toma valores em RP, então definimos o valor abso1uto 1!1 como a função com contradomínio em R, cujo valor em x E D(j) é dado por lf(x)l.

i

1

f · g,

são conttnuas em um ponto, então as combina-

também o são a f.

i

·~···'

f- g,

tfJ

f(J

llf(x)l-lf(a)ll ~ !f(x)-f(a)l,

x=

Q.E.D.

donde decorre imediatamente o resultado.

Recordemos a noção de composíção de duas funções. Sejam as funções f com domí· nio D(f) em RP e contradomínio em Rq e g com domínio D(g) em Rq e contradomínio em R r. Na Definição 2. 2, definimos a composição h = g o f como uma função com domí· nio D(h) ={x ED(f):f(x)ED(g)}e, para x em D(h), h(x) =g[[(x)]. Assim, h =go fé uma função que leva D(h) - que é um subconjunto de D(f) C RP -em Rr. Estabeleçamos agora a continuidade de tal função.

g

o

f

20.8 Teorema. Se f é continua em a e g é contfnua em b é conUnua em a.

pa;

R

=f(a), então a composta

e' c

c

Demonstração, Seja W uma vizinhança do ponto E g (b ). Como g é contínua em b, existe urna viz.inhança V de b 'tal que, se y pertence a V n D(g), então g(y) E W. Como f é contínua em a, existe uma vizinhança U de a tal que, se x pertence a U nD(j), então f(x) está em V. Portanto, se x pertence a U n D(g o f), então f(x) está em V nD(g) e g {f(x)] pertence a W. (V. Figura 20.4.) Isto mostre que h =g o f é contínua em a. Q.E.D.

Me

De f pru

R. XE

Figura 20.4

I

<

Me

guJ

EXERCfCJOS

·,

20.A. Prove que, se f é definida para x;;:: O pQr f(x)::::. .ji, então f é contínua ~m todo ponto de seu domínio. 20. B. Mostre que urna "função polinômio", isto é, uma função f da forma

f(x) = a.,x" + a.,_,x·-~ + · · · + a,x +a()

.i

é contínua em todo ponto de R.

138

para x E R

.

'

:zo·.c.

Mostre que uma "função racional" (isto é, o quociente de dois polinômios) é contínua em todo ponto. de seu domínio, 20.D. Usando a Desigualdade de Schwarz, mostre qu~ se pode tomar ó(e) = e./.Jf3 no Exemplo 20.5 (i). . . ,..

20.E. Seja f a função de R em R definida por

f(x)

= x,

x irracional,

= 1 - x,

x racionaL

Mostre que fé contínua somente em x =.!... :I; 20.F. Seja f contínua de R em R. Mostre que se /(x) =O para x racional, então {(x) =O para todo x em R. 20.C. Sejam f e g contínuas de R em R. É verdade que f(x) :::: g (x) para x E R se e somente se f(y) = g(y) para todo racional y em R? 20.H. Usando a desigualdade !sen x!.:S.lxl parax E R, mostre.que a função sem1 é contínua em x = O. Use este fato, juntamente com a identidade sen x- sen u

= 2 ~en Hx- u) cos Hx + u),

para provar que a função seno é contínua em todo ponto de R. 20J. Usando·os resultados do exercício precedente, mostre que a função g, definida de R em R por g(x) = x sen (1/x),

=o,

é contínua em todo ponto. Esboce um gráfico desta função. 20.J. Seja h definida para x .P O, x E R, por

h(x)=sen(l/x),

x:;r.O.

Mostre que h é sempre descontínua em x =O, independentemente da maneira como a definamos aí. 20. K. Seja F:R 1 -~R definida F{x, y) = x~ + y 2 se ambos x, y € Q, =O em caso contrário.

Determíne os pontos em que F é continua.

20. L. Diz-se que uma função/, de R em R, é aditiva, se ~tisfaz

f(x + y) = f(x) + l(y) para todo x E R. Mostre que uma função aditiva contínua em x =O é contínua em qualquer ponto de R. Mostre que uma função aditiva monotônica é contínua em todo ponto. 20. M. Seja f uma função aditiva contínua em R. Se c= [(1), mostre que f(x} =ex para todo x E R. [Sugestão: primeiro mostre que se r é um número racional, então f(r) cr.J 20.N. Sejag :R.....,. R ta[ que

=

g(x+y)=g(x)g(y)

;

parax,yeR

Mostre que, se g é cóntínua em x =O, então é contínua em todo ponto. Outrossim. se g(a) ""O para ai· gum a E R, então g(;x) =O para todo x E R. 20.0. Se lfl é contínua em um ponto, então é verdade que f é contínua nesse ponto? 20.P. Sejam/, g :RP-+ R contínuas em um ponto a E RP e h, k funções de RP em R definidas por h(x) = sup {J(x), g{x)}, k(x) = ínf {f(x), g(x)}. Mostre que h e k são contínuas em a. {Sugestão: Note que sup { b, c} =

{b~ c}=+

+ (b +c+ !b- c!) e lnf

(b +c- lb _.:. cl).j

139

20. Q. Se x E R, costuma-se definir !xJ como o maior inteiro n E Z tal que n S. x. A aplicação x -lx] é chamada função maior inteiro. Esboce os gráficos e determine os pontos de continuidade das funções definídas para x E R por

(a) f(x) = [x], (c) h(x)

(b) g(x} ""x- [x ], (d) k(x)=sen~1r[x].

=[2 sen x],

ce

20. R. Diz-se que uma função f definida em um íntervalo I C R e tomando valores em R é <.-rescente em 1 se x < :x', x, x' E I implica f(x} < f(x'). Será estritamente crescente se x < x', x, x' E/ implicar f(x) < f(x'). Valem definições análogas para funçõe!' decrescentes e estritamente decrescentes. Uma função que é ou crescente ou decrescente num intervalo é chamada função monotônica nesse intervalo. (a) Se f é crescente em J, então f é contínua em um ponto interior c E I se e somente se para todo e >O, existem pontos x 1 , x~ E/, x 1
l

ta

(h} Se f é crescente em I, então f é contínua em um ponto interior c E f se e somente se

sup {f(x): x c}.

Sl

20. S. Seja f crescente em I= [a, b] no sentido do e.xercício precedente. Seja

te

ti·

j, =inf{f(x):x>c}-sup{f{x):x
fl{

Se i c> O, dizemos que f tem um salto do valor h no ponto c. (a) se n E N, mostre que há no máximo um número finito de pontos em I onde f tenha um sal-

to que excede

1/n:

lu

(b) Mostre que uma função crescente pode ter no máximo um conjunto numerável de pontos

(2

de descontinuidade.

PROJETOS nal

20.a. Seja g u'fi1a função de R em R, não identicamente :z.ero, e que satisfaz a equação funcio· g(x

+ y) = g(x)g(y)

para x. y E R.

O objetivo deste projeto é mosttar queg deve ser uma função "exponencial". (a) Mostre que g é contínua em todo ponto de R s.e e somente se é contínua em x (b) Mostre que g(x)

y,

=O.

ra

lir

> O para todo x E .R.

=

.(c) Prove que g(O) 1. Se a :: g (l ), então a > O e g(r) "'ar para. todo r E Q. (d) A função g é estritamente crescente, constante ou estritamente decrescente conforme se tenhag(l) > l,g(l) = 1, ou O< g(l) < 1, quandog é contínua.

er. X;.

(e) Se g(x) > 1 para todo x em algum intervalo (0, o), ó >O, então g 6 estritamente crescente e contínua em~(f) Se a (g) Seja

> O, então existe no máximo uma função

contínua g, que satíafaz (*), tal que g(l) =a.

a > 1. Com referência ao projeto 6./3, mosíre que existe uma úrúca função contínua

que satisfaz(*}, tal que g (1)

(2

=a.

. 20.1). Seja P ={x E R :x >O }e consíderemos a função h :P ..... R não identicamente z.ero, que satisfaz a equação funcional (**) h(xy)=h{x)+h(y) parax.yEP. O objetivo deste projeto é mostrar que h deve ser uma função "logarítmica". (a) Mostre que h é contínua em todo ponto de P se e somente se o é no ponto x "" 1.

140

en.

J

\

\

'

I.

(b) Mostre que h não pode ser definida em x =O de modo a satisfazer (,..*) para {x

e R : x ~o}.

(d) Mostre que se h (x) > O em algum intervalo (l, s\ côm 5 > 1, então h é estritamente cres· cente e contínua em P. (e) Se h é contínua, mostre que h {x) >O para x h (x) < O para x > L

*L

Também, ou h (x) >O para x > 1, ou

(f) Se b > 1, mostre que existe Q.O máximo uma função contínua em P que verifique (**)e tal que h (b) == L

(g) Seja b

l \

(c) .Prove que h (l) =O. Se x >O e r E Q, então h (x') = rh (x).

l

'

é

> 1. Com referência ao projeto 6.-y, mostre que existe uma única função contínua

que verifica(**) e é tal que h (b) = L

t (

'

( ' t

\

\ i

'"

( (

\

SEÇÃO 21 FUNÇÕES LINEARES

Na seção precedente estudamos funções arbitrárias definidas em uma parte de RP e tomando valores em Rq. Antes de prosseguirmos, convém introduzirmos uma classe rela· tivamente simplest porém extremamente importante, de funções, a saber, as ·~funções lineares", que surgem em muitas aplicações.

f com

21.1 Definição. Diz-se que uma função

linear se

(21.1)

domínio RP e contradomínio Rq é

+ by) = af(x)+ bf(y)

f(ax

(

para todos a; bem R e x,y em RP.

De (21.1) decorre, por indução, que, se a, b, ... , c são n E N números reais, e x,

y, ... , z são n elementos de RP, então

f(ax + by + · · · + cz)

21.2 Teorema. Se f é uma função linear com domínio RP e contradominio em Rq, então existem pq números reais (cií), 1 S.i S,q, 1 S.j-5:.p, tais que, se x;::;;(x 1 ,x2 , ••• , xp) é um ponto arbitráno de RP, e se y =(y 1 ,y 2 , ••• ,yq)=f(x) é sua imagem pela[. então

(21.2)

+ C12X:z + · · · + ci,.Xp, Y2 = CHX 1 + C:r2X2 + · · · + C::tpXp, ~

.

(

( (

= af(x) + bf(y) + · · · + cf(z).

Vê-se imediatamente que as funções dos Exemplos 20.6(b) e 20.6(i) são lineares pa· ra p = q = 1 e p = q = 2, respectivamente. Na realidade, não é difícil caracterizara função linear mais geral de RP em Rq.

Yt =

l'

(

{

CnXt

.

.

..

.

.

..

.

..

..

.

'

..

(

.

J

Reciprocamente, se (c0 ) é uma coleção de pq números reais, então a função que associa a x em RP o elemento y em Rq de acordo com as equações (21.2)) é uma função linear com dom(nio RP e contradomínio em Rq. 141

I

\.

(

'

I

I I I I

=

Demonstração. Sejam e 1 , e 1 , •.. 1 ep os elementos de RP dados por e 1 (1, O, ... , 0), e 2 ={O, 1, ... , O), ... , ep =(O, O, ... , 1). Examinemos as imagens desses vetores pela f. Suponhamos que

;

f(e,)

1

f(e'l) = (c1:z,

{2L3)

I

=(cll, C:u, ... , Cql), Cn, ... ,

f

c,.z),

r

l

i

f (ep) = (c c;zp, • • • , Cqr): 1 "'

'i

Assim, o número real Cii é a ima. coordenada do ponto f(eJ). Um elemento arbitrário x = (x 1 , x 2 , .•• , Xp) de RP pode exprimir-se de

'

.!

simples em termos dos vetores e 1 , e2 ,

x

••• ,

ep; de fato,

.. (

maneira~

= x1e1 + x2ez + · · · + x;,ep.

Como f é linear, segue-se que

f(x) = xt{(ei) + x2[( e2) + · ··· + xpf(ep). Se utilizarmos a equação (21.3), teremos

f(x) = xl{cn,

C2;, •.. ,

Cql) + Xz(cl2, C·n, ...

r

l I, I !

'

l I

(

1 (

~

I

Mencione-se que o quadro retangular de números

J

'

I

(21.4)

C:u

C:n

• •

. . . .

..

Cql

Cqz

]

Cz 11 Cqp

que consiste de q linhas e p colunas, é chamado matriz da função linear f. Existe uma cor· respondência biunívoca entre as funções lineares de RP em Rq e as matrizes q x p de números reais. Como vimos, a ação de f fica descrita de modo completo em termos de sua matriz. Não é necessário desenvolver uma teoria extensa de matrizes; entretanto, encara· remos a matriz (21.4) como uma representação abreviada de uma descríção mais elabora· da da função f. 142

1

C1p

.

i

1

1

Isto mostra que as coordenadas def(x) são dadas pelas relações (21.2), como afirmamos. Reciprocamente, é fácil verificar, por cálculo direto, que, se utilizamos as relações (21·2) para obter as coordenadas Yi de y a partir das coordenadas XJ de x, então a função resultante satisfat â relação (21.1) e, assim, é linear. Omitimos os cálculos, que são ime· diatos. Q.E.D.

.. '

(

(

•

C12

(

, Cq:z)

+ • • · + Xp(Ctp; C;zp, •.• , Cqp) = (CuXl, C::uXt, ••• , Cq1X1) + (Ct:
Cu

c

j

j

i

I Ir i

!' i

t

f

j

i

' '

i ~

!

Provaremos agora que uma função linear de RP em Rq é automaticamente contínua. Para tanto, reformulemos como segue a Desigualdade de Schwarz: ja1b1 + a2b:z + · · · + apbpl 2 < {at 2 +a/+···., +tt/} {bt 2 + b:/ + · · ·+ b/}.

f

I I

!

Aplíquemos esta desigualdade a cada expressão na equação (21.2) para obter para 1 S: i S: q, a estimativa

Somando estas desigualdades, temos

I!

I'

donde concluímos que

'

t

(21.5)

i

21.3 Teorema. Se f é uma função linear com domínio RP e contradomínio em Rq, então existe uma constante positiva A tal que, se u, v são doís vetores quaisquer em RP, então

I

!

r

1

l j

(2L6)

!lf(u)-f(u)l!·< A llu-vjj.

Portanto, uma função linear de RP em Rq é contínua em todo ponto.

Demonstração. Vimos~ ao deduzir a fórmula (21 :5), que existe uma constante A tal que, se x é um elemento arbitrário de RP, então llf(x)ll S:A l!xll. Façamos x = u - v e utilizemos a linearidade de f para obter f(x) = f(u- v)= f(u) -f( v). Resulta a fórmula (2.16), É claro que tal relação implica a continuidade de f. pois podemos fazer llf(u)f(v)ll < € tomando !lu -vil< e/A, se A >O. Q.E.D.

Deixamos como exercício para o leitor: a) Mostrar que, se f e g são funções lineares de· RP em Rq, então f+ g é uma função linear de RP em Rq. Analogamente, se c E R, então c[ é uma função linear. (b) Mostrar que a coleção .5:' (RP t Rq) de todas as funções lineares de RP em Rq 'é um espaço vetorial em relação a essas operações. Nos exercícios mostraremos como definir uma nonna nesse espaço vetoriaL

EXERCi CIOS

i r

I

ir

'

''

t

i

k !' i '

'

2LA. Mostre que f: RP ~ Rq é uma função linear se e somente se /(ax) =af(x) e f(x + y)"" /(X)+ {(y) para todo a E R e todos x, y E RP. . 21.B. Se f é uma função linear de RP em Rq, mostre que as colunas da representação matricial (2 1.4) de f indicam os elementos de Rq nos quais são levados, pela[, os elementos e 1 -:- (l, O, ... , O), e'l = (0, 1, .•. , 0), ... , ep = (0, O, ... , 1) de RP. 21.C. Seja f uma função linear de Rz em R 3 que leva os elementos e 1 = (1, 0), e1 = (0, 1) de R 1 nos vetores f(e 1 ) = (2, 1, 0), f(e 1 ) = (1, O, -1) de R 3 • Dê a representação matricial de/. Que vetores de R' .<>ão imagens, pela/, dos elementos (2, O), (1, 1) e (1, 3 )'? 21 .D. Se f denota a função linear do Exercício 21.C, mostre que nem todo vetor de R~ é imagem, pela{, de um vetor de R 2 •

143

N1 ne

2LE. Seja g uma função linear de Rl em R 3 • Mostre que nem todo elemento de R 3 é imagem, pelag, de um vetor de R', 2l.E. Seja h uma função linear de R 3 em R~. Mostre que existem vetores não-nulos em R 3 que são levados, por h, no vetor zero em R 1 • 21. G. Seja f uma função linear de R 2 em R 2 e suponhamos a representação matricial de f dada por

se

cia

I '

Mostre quef(x) *O quando x *O se e somente se lê. =ad- bc *O. 21.H. Seja f a função do Exercício 2l.G. Mostre que f leva R 2 sobre R 2 se e somente se 1::. =ad- bc *O. Mostre que, se LI. *O, então a inversarl é line.ar e admite a representação matricial

f

d/Á

l-e/A

i~

! ' '

,RJ

-b!AJ a/A

R1 nu

21.1. Seja g uma função linear de RP em Rq. Mostre que g é um-a-um se e so.mente se g(x) =O implica x =O. 21.J. Se h é uma função lint•ar um-a-um de RP sobre RP, mostre que a inversa h" 1 é uma função linear de RP sobre RP. 21. K. Mostre que a soma e a composição de duas funções lineares é uma função linear. ·2LL Seja/uma aplicação linear de RP em Rq; definamos

Es

reJ (b

nh qu zir Ist

Mostre que a aplicação f_.. 11/!lpq defme uma norma no espaço vetorial .sf'(RP, .Rq) de todas as funções lineares de RP em R'l. Mostre que llf(x)ll < 11/llpq llx!l para todo x E RP. 2LM. Seja fuma aplicação linear de RP em Rq. Deflnamos

se

M(f) = inf {M >O; !jf(x)!!:::.:; M llx!l, x E RP}.

(2

Mostre que.M(j)"" 11/llpq· 21.N. Se f e g pertencem a Y(RP, RP), mostre que f<> g também pertence a .sf'(RP ,RP) e que I![ o g~PP < 11/llpp llgllpp. Mostre que a desigualdade pode_ ser estrita para certas/eg. 21.0. Dê exemplo de uma aplicação linear f em S/' (RP, Rq) com representação matricial tciJL onde se tenha

Se

/-

(2'

As

trc

2LP. Se (21.4) dá a matriz de/, mostre que Jcul

< 11/llpq para todos i ,i.

SEÇÃO 22 PROPRIEDADES GLOBAIS DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS Na seção 20 consideramos a continuidade "local", isto é, continuidade em um pon· to. Aqui, vamos estudar algumas propriedades mais profundas das funções contínuas; isto é., estudaremos a continuidade "global", no sentido de que suporemos as funções contí· nuas em todos os pontos de seu domínio. Salvo menção expressa em contrárío, f denotará uma função com domínio D{j) contido em RP e contradomínio em RCJ. Lembremos que, se B é subconjunto do contra· domínio Rq, a imagem inversa de B pela f é o conjunto

r 144

~.

)

!··~! •,

r•

j

.I

j I

1

(B) = {x E D(f): f(x) E B}.

de

'

1

afi

.'

Note-se que /- 1 (B) é automaticamente um subconjunto de D(f) mesmo que B não seja necessariamente um subconjunto do contradomínio de f Em cursos de topologia, onde as propriedades globais int~,~essam mais do que as locais, costuma· se tomar o resultado que segue como definição de continuidade (global). Logo veremos sua importân-

\

22.1 Teorema da Continuidade GlobaL São equivalentes as seguintes afirmações:

(a) f é contínua em seu domínio D(j) . {b) Se G é um aberto em Rq, então existe um aberto G1 em RP tal queG1 nD(f)= ~-~ (G).

•

i~'

''

(c) Se H é um conjunto fechado em Rq, então existe um conjunto fechado H 1 em RP tal que H 1 n D (j) = f- 1 (H). Demonstração. Suponhamos primeiro que (a) se verifique e seja G um aberto de RP. Se a pertence a /- 1 (G), entao, como G é uma vizinhança de f{a), segue-se da continuidade de f em a que existe um aberto U(a) tal que se x E D(j) n U(a), então f(x) E G. Escolhamos U(a) para cada a em f- 1 (G) e seja G 1 a união dos conjuntos U(a). Pelo Teo~ rema 9.3(c), o conjunto G 1 é aberto e é claro que G 1 n D(f) = ! 1 (G). Logo, (a) implica (b). Mostremos agora que (b) implica (a). Se a é ponto arbitrário de D(f) e G é uma vizinhança aberta de f(a), então a condiçao implica a existência de um aberto G1 em RP tal que G 1 n D(j) = /- 1 (G). Como f(a) E G, segue-se que a E G 1 , de modo que G 1 é uma viM zinhança de a. Se x E G1 nD(j), então f(x) EG, donde decorre que f é contínua ema. Isto prova que (b) implica (a). Provemos em seguida a equivalência das condições (b) e (c). Notemos primeiro que seB é um subconjunto de Rq. e se C=Rq \B, então temos/71 (B) nt- 1 (C)=$ e (22.1)

D(f) ~

r

1

CB) u rlc c).

Se B 1 é um subconjunto de RP tal que B 1 n D(j) ;:::::f-1 (B) e 1 / - (B) =(/1 e

J! ~.

··~! ~l l'

' "

l J I

cl

=RP \ B 1' então cl n

( ( I

\ I

\.

(

( (

\ /

\.

~.

( (

(

D(f) = (Bt n D(f)) U(C1 n D(J)) = f- 1(B) U(C1 n D(j)).

(

As fómlUlas (22.1) e (22 .2) são duas representações de D(f) como união de f- 1 (B) e ou· tro conjunto com o qual não tenha pontos comuns. Temos, portanto, C 1 n D(j) = [ 1 (C). Suponhamos (b) válida e H fechado em Rq. Apliquemos o argumento que acaba~ mos de completar ao caso emqueB::.:::Rq\He C::::::H.EntãoBeB 1 são abertosemRq e RP, respectivamente, de modo que C 1 =RP \ B 1 é fechado em RP: Isto mostra que (b) implica (c). Para verificar que (c) implica (b), utiliza-se o argumento acima com B =RQ \a: on~ de G é um aberto em Rq. Q.E.D.

(

(22.2)

J.

( /

cia.

I

I

\

'·

{ ( l

'

'

(

(

\

(

Se D(f) =RP, o resultado precedente se símp!ifica urn pouco. 22.2 Corolário. Seja f definida em todo RP e com contradomínio em Rq. Então as afirmações seguintes são equivalentes:

(a) fé continua emRP;

(b) se G ê aberto em R
I

' \

(.,

(c) se H é fechado em R(/, então f- 1 (}{) é fechado em R P. 145

i ''

Saliente-se que o Teorema da Continuidade Global 22 J não afirma que, se f é contínua e se G é um aberto emRP, então a imagem diretaf(G)={f(x) :x EG}é aberta em Rq. Em geral, uma função contínua não leva necessariamente abertos em abertos e fechados em fechados. Por exemplo, a função f de R em R definida por

-c t

e

1

f(x)=l+x" é contínua em R. [De fato, vimos nos Exemplos 20.5 (a) e (c) que as funções/1 (x);;::: 1 e l.~.(x) =x 2 , para x ER, são contínuas em todo ponto. Do Teorema 15.6 decorre que

f:;(x)=l+x",

XE

R,

I

•

I

é contínua em todo ponto e, como f nunca se anula, o mesmo teorema implica que a fun· ção f dada acima é contínua em R.J Se G é o aberto G;;::: ( -1, 1), então f(G) = (+, 1}, que não é aberto em R. Analogamente, se H é o conjunto fechado H E R : x;;;:: 1}, então f(lf) = (0, J, que não é fechado em R. De modo análogo, a função [leva o conjunto R, que é tanto aberto como fechado em R, no conjunto f(R) =(O, 1], que não é nem aberto nem fechado em R.

f E

={x

i

t

c

é

e

O qtte se depreende .das observações acima é que a propriedade de um conjunto ser aberto ou fechado não é preservada em uma transformação por função contínua. Há, entretanto, propriedades importantes de um conjunto que são preservadas por uma aplicação contínua. As propriedades de conexão e compacidade, por exemplo, apresentam esta característica.

q p c

~

c

PRESERVAÇÃO DA CONEXÃO

u

Lembremos da Definição 12.1 que um conjunto H em RP é desconexo se existem abertos A, B em RP tais que A í1 H e B í1 H são conjuntos não-vazios, disjuntos, cuja união é H. Um conjunto se diz conexo se não for desconexo.

f f

22.3 Preservação da Conexão. Se H C D(f) é conexo em RP e f é contz'nua em H, então f(H) é ponexo em Rq. --

p

si (

Demonstração. Seja h a restrição de f ao conjunto H. de modo que D(h) =H e h (x) =f(x) para todo x E H. Notemos que /(H) = h(H) e que h é contínua em H. Se f(lf) =h (H) é desconexo em R q, então existem ê!?..~!?S A, B em Rq tais que A n h (H) e B n h (H) são conjuntos não-vazios, disjuntos, cuja união é h (H). Pelo Teorema da Continuidade Global, 22.1, existem abertos A 1 , 1J 1 em RP tais que

AtnH=h- 1 (A),

o

B1nH=h-t(B).

~

c

Essas interseções são não-vazias, e o fato de serem disjuntas decorre do fato de o serem também os conjuntos A n h(H) e Bn h(H). A hipótese de que a união de A n h(lf) e B n h(H) é h(H) implica que a união de A 1 n H e B 1 nH é H. Portanto,/(H) =h(H) desconexo ímplica H desconexo, Q.E.D. A própria palavra "contínua" sugere que não há "interrupções" no gráfico da função; não é, pois, de surpreender o resultado seguinte. Não obstante, o leitor deve tentar uma demonstração diferente do teorema, de maneira a melhor apreciar o seu alcance.

146

(

d

f

p

u

p r: \

22.4 Teorema do Valor Intermediário de Bolzano. Sejam H Ç.D(f) um subconjunto conexo de RP e f cont{nua em H e tomando valores em R. Se k é um número real que sa· tisfaz in f {f(x): x E H}< k < sup {f(x): x E H},

l

então existe ao menos um ponto de H no qual f torna o valor k. Demonstração. Se k f!:](H), então os conjuntos A ={tER: t k},B ={tER: t > k }constituem uma desconexão de f(H), contrariamente ao teorema anterior. Q.E.D.

<

PRESERVAÇÃO DA COMPAClPADE Demonstremos agora que a importante propriedade de compacidade é preservada por uma aplicação contínua. Lembremos que uma conseqüêncía do Teorema de HeineBorel, 11.3, é que um subconjunto K de RP é compacto se e somente se é fechado e limi· tado'em RP. O resultado abaixo poderia então ser reformulado, dizendo-se que se K é fechado e limitado em RP e se f é contínua em K e com contradomínio em Rq, então {(K) é fechada e limitada em Rq.

22.5 Preservação da Compacidade. Se K çD(f) é compacto; e se f é continua em K, então f(K) é compacta. Primeira Demonstração. Suporemos K fechado e limitado em RP e mostraremos que f(K) é fechada e limitada em Rq. Se f(K) não é limitada, para cada n EN existe um ponto Xn em K com lif(xn.)ll n, Como K é limitado, a seqüência X= (xn) é límitada; decorre, assim, do Teorema de Bolzano-Weíerstrass, 16.4, que existe uma subseqüência de X que converge para um elemento~· Como Xn EK para todo n EN, o ponto x pertence ao c6rijuhto fechado K. Logo', f ec'Ontiriuâ em x', de mo'do que f é cotada por 11 f(x)ll + I em um'a' vlzi!lhança de x. Como isto contradiz a hipótese de que l!f(xn)l! 2,n, o conjunto f(K) é 'limitado. Provàremos que /(K) é fechado mostrando que qualquer ponto de acumulação y de f(K) deve estar contido neste conjunto. De fato, se n é um número natural,, existe um ponto Zn em K tal que ll[(zn)- yll < 1/n, Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, 16.4, a s~qüência Z =(zn) tem uma subseqüência Z' = (Zn(h)) que ç.onverge para um elemento z, Cómo K é fechado, enfão z EK e fé contínua em z. Portanto, . '

z

'

f(z) = lim (f(Zn{k})) = y,

"'

o que prova qu~ y pertence a/(K). Logo f(K) é fechado. Se~unda Demonstração. Restringindo f a K, podemos supor D(j) :::= K. Seja então ~={G~t uma família de abe(tos em Rq, cuja união contenha f(K). Pelo Teorema da Continuidade G~obal, 22.1, para· cada conjunto G~ em gcxiste um subconjunto aberto Co: de RP tal que c~() D =f-I (G~). A família (ca} consiste de subconjuntos abertos de RP; afinnamos que a união desses conjuntos contém K. Com efeito, se x E K, então f(x) está contida em'!(.{(); logo f(x) pertence a algum conjunto Ga e, por construção, x pertencé a~ conjunto C~ ~orrespondente. Como K é compacto, está contido na união de um número finito de conjÜntos em ~e sua imagemf(K) está contida na união do correspondente número finito de conjuntos em&'. Como isto é válido para uma família arbítráría de abertos cobrindo f(K), o 2onjunto f(K) é compacto em Rq. Q.E.D.

e=

147

Quando o contradomínio da função é R, pode-se reformular o teorema que segue dizendo-se que uma função continua, com valores reais, num conjunto compacto atinge seu máximo e seu mínimo. 22.6 Teorema do Valor Máximo e Valor Mínimo. Seja K

c D(f) compacto em RP e

f uma funçiio continua com valores reais. Então existem pontos x* e x * em K tais que f(x*) = inf {f(x): x E K}.

f(x*) = sup {f(x): x e K},

Primeira Demonstração. Como K é compacto em RP, decorre do teorema precedente que f(K) é limltada em R. Sejam M""' sup f(K) e (x n) uma seqüência em K tal que f(x.,)

?.:

M- 1/n,

nEN.

Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, 16.4, alguma subseqüência (xn(h)) converge para · um limite x* E K. Como f é contínua em x*, devemos ter f(x*) """'lim (/(xn(k))) =M. A demonstração da existência de X* é análoga. Segunda Demonstração. Restringindo f a K, podemos supor D(f) =K. Façamos M=supf(K). Então, para cada n EN, seja Gn ={u ER :u
C nK ={x E K :f(x)< M -1/n}. Se o valor M não é atingido, então a união da famllia ~:;:;{Cn} de abertos contém a totali-

dade de K. Como K é compacto e a farm1ia { Cn n K} é crescente, existe um r E N tal que K C C,.. Mas então temos f(x)
> 1, o corolário que segue pode ser útil.

f uma função de D (f) r;;, R P em R q e K r;;. D(f) compacto. Se f

'

I

é contínua em K, então existem pontos x* ex* tais que

1:

flf(x*)JI = sup {l!f(x)!l: x E K},

I' i ~

I I

1

! ''

i;

!lf(x*)ll = inf {l!f(x)!l: x E K}.

'l

l

l

Decorre do Teorema 21.2 que sef:RP ~Rq é linear, então existe uma constante M> O tal que llf(x)II.;::;;:M l!xll para todo x E RP. Entretanto, nem sempre é verdade que existe uma constante m > O tal que llf(x)112:. m llxll para todo x E R P • .Mostraremos que tal é o caso se e somente se f é uma função linear injetiva. 22.8 Corolário. Seja f :RP ~ Rq uma função linear. Então se existem> O tal que llf(x)ll > m llx!l para todo x ERP.

I

!

={

f é injetiva se e somente

1l

Demonstração. Suponhamos f injetiva e S x E R P : llxll = a esfera unitária compacta em RP. Pelo Corolário 22.7, existe x* E S tal que 11/(x*)ll =m = inf{ llf(x)ll :x E Como f é injetiva, m = l!f(x *)ll > O. Logo 11/(x)li ::?: m > O para todo x E S. Ora, se u E RP, u :#:O, então u/llull pertence aS e, pela linearidade de/, temos

s}.

~~~~~ llf(u)n = t(u~u)

I>

m,

donde decorre que llf(u)l!::?: m llull para todo u E RP (pois o resultado é trivial para u =O). 148

l

1 1

Reciprocamente, suponhamos llf(x)ll':?.m l!xll para todo x E RP. Sef(xr) =f(x 2 ),

O= llf(xt)- f(x2)!1 = Jlf(xl- x2)ll > m l!xt- x:dl, o que implica x 1 = x 2 • Portanto, f é injetiva.

Q.E.D.

Uma das mais importantes conseqüências do Teorema 22.5 é que, se f é contínua e

injetiva num domínio compacto, então a inversaf- 1 é automaticamente contínua.

22.9 Continuidade da Função Inversa. Seja K um subconjunto c.ampacto de RP e f uma função injetiva continua com domínio K e contradomínio f(K) emRq. Então a fim.ção inversa é contínua com domlnio f(K) e contradomínio K.

Demonstração. Notemos que, como K é compacto, então o Teorema 22.5 implica que f(K) é compacto e, assim, fechado. Como f é injetiva, por hipótese, a função inversa g = /- 1 é definida. Seja H um conjunto fechado em RP e consíderemos H n K; como este conjunto é limitado e fechado (pelo Teorema 9.6(c)), o Teorema de Heine-Borei assegura que H n K é um subconjunto compacto de RP _ Pelo Teorema 22.5) concluímos que H 1 =!(H n K) é compacto e, portanto, fechado em Rq. Ora. se g =f-i, então Ht = f(H n K) = g- 1(H).

Como H 1 é um subconjunto de f(K)

=D(g)~

( /

\

(

( ( \.'

( (

( \.

podemos escrever a última equação corno

H1 n D(g) = g- 1(H).

(

Do Teorema da Continuidade Global, 22.1 (c), inferimos que g = {- 1 é contínua.

Q.E.D.

(

Encerraremos esta seção introduzindo algumas notações convenientes. 22.1 O Defin.ição. Se D C RP, então a coleção de todas as funções contínuas de D em Rq se denota por Cpq(D). A coleção de todas as funções contínuas limitadas de D em Rq se denota por BCpq(D). Se não houver risco de confusão, denotaremos essas coleções simplesmente por C(D) e BC(D). A primeira parte do resultado que segue é conseqüência do Teorema 20.6, e a segunda parte é demonstrada da mesma maneira como o foi o Lema 17.8. 22.11 Teorema. (a) Os espaços Cpq(D) e BCpq(D) são espaços vetoriais em relação às operações vetoriais

(

(f+ g)(x) = f(x)

+ g(x);

(cf)(x)

~

cf(x)

para x E D.

( ( ( (

( (

(b) O espaço BCpq(D) é um espaço normado em relação à norma

( \

llf!lo = sup {ljf(x )!I: x E D }. Naturalmente; no caso especial de D ser um subconjunto compacto de RP, então Cpq(D) = BCpq(D).

( '

(

EXERCÍCIOS 22.A. Interpretar o Teorema da Continuidade G!oba!, 22.1, para as funções de valores reais /(x) = xl e g(x) == l!x, x *O. Considerar vários abertos e fechados, e determinar suas imagens inve(sas por /e por g. 22. B. Seja H :R ...,. R definida por

h(x)=l.

"" O,

Ü:SX:$1,

I

\

( \. f

\.

(

nos demais casos

( 149

í' (

I,

I I

I.

!

l

j••·····

Exiba um aberto G tal que h- 1 (G) não seja aberto em R, e um fechado F tal que h- 1 (F) não seja fe· chado em R, , '· 22.C. Se[, de RP em R, é limitada e contínua, e se[(X 0 ) >O, mostre que fé estritamente positiva em alguma viz.inhança de xt>. Tal conclusão é válida se f é apenas contínua em X 0 ? 22. D. Se p : R 2 -R é um polinômio e c E R, mostre que o conjunto{ (x, y) :p(x, y)
}é

(

d

n

e

1.

I

v

Mostre queg 2 egl são contínuas, 22.H. Sejam/, g 1 , gl dadas pelas fórmulas do exercício precedente. Mostre que, da contínuidade de g 1 e g, em t :::O, não se pode dedu:r.ir a contín uídade de f em (0, 0). 22.I. Dê exemplo de uma função de 1 "' [0, 1] em R que não seja funítada. 22.J. Dêt exemp,ro de umaiunçâo limitada f .de I em R que não tome nenhum dos valores 1 supl{(X) ; x E f f OU ínf /{X) :X E . · . · . · 22.K. Dê exemp o de uma unção limitada e contínuag de R em R que não tome nenhum dos valores sup{g(x):x E ou ínf{g(x) :x ER}. .: . . · 2 2. L. Mostre que todo polinômio de grau ímpar e coeficientes reais tem uma raiz real. Mostre que o polinômio p(x) X 4 + 7x 9 -·9 tem ao menos c\uas rah.es reais. 22.M. Se c> O e n é um número natural, existe'um único número nositivo b tal que bn =c. 22.N. Seja f contínua de I em R com /(0) O. Se N ={x E I :f(x)
R} =

=

em

p

s e

p

n

A

e

=1}.

n p

PROJETO : · · · 2::i.a, Finalidade: Mostrar que muitos dos resultados da seção 22 v-alem para funções contínuas cujos domínios e 'contradomíníós estão conÜdos em espaçps métricos. (Ao estapelecerrpos tais resuhados, poderrios observar que as definições anteriores ou são diretan1ente aplicáveis aos espaços métrieos., ou IJode~

ser refomiii\adas para que o sejam.)

.

1,

m

{a) Mo~tre que o Teorema 20.2 pqde ser refornwlado para uma f;mção de um espaço métrico em outro. ·. · '

•

.

'

'

•

'

'

•

'

'

.

.•• 1

.•

'

"

·:

'

'

•

•

'''

(b) Mostre que o Teorema da Continuidad~ Global, 22.1, é àplícável sem qualquer modificação. '

'

(c) Prove que o Teorer;a 22.3 da Pre~ervação da Conexão permanece válido. (d) Prove Q\lC o Teorema 22.5

150

pa Preservação da Compacidade permanece válídp.

'

L

te

SEÇÃO 23 CONTINUIDADE UNIFORME E PONTOS FIXOS Seja f: D (f) C RP -+ Rq. Vê-se imediatamente que as seguintes afirmações se equivalem: (i) f é contínua em todo ponto de D{j). (ii) Dados e> O eu ED(f), existe ô (e, u) >O tal que se x pertence a D(j) e llxull < ô, então llf(x) -f(u)ll
podemos, assim, escolher ó (e, u) = e/2 para todos os valores deu. Por outro lado, se g(x) = 1/x para x >O~ então g(x)- g(u) =

Se O < ó


u

u-x . ux

<ó, deixamos a cargo do leitor mostrar que 8 Jg(x}-g(u)j < u(u-ô)

e que esta desigualdade não pode ser melhorada. pois a igualdade efetivamente se verifica para x = u- ô. Se quisermos fazer !g(x)- g(u)l ~e, então o maior valor de oque podemos escolher é

eu 2 o( e, u) = 1 +eu . Assim, se u >O, entãq g é contínua em u porque podemos tomar o(e, u) = eu 2 /{l +eu), e este é o maior valor que podemos escolher. Como

in~ { 1:u:u: u>O}=~· não podemos obter um ô (e, u) >O que seja independente da escolha deu ·para todos os pontos u >O. · Restringiremos agora g a um domínio menor. De fato, seja a> O e definamos h(x) = 1/x para x ~a. Então, a análise que acabamos de f~zer mostra que podemos utilizar o · · mesmo valor de o(e, u). Mas aqui o domínío'"é menor e . mf

} eu 2 ---. : u ;>a { 1 +eu

Logo, se definimos ô (e)= ea 2 f(l tos u :;;:: a.

+ a:z),

=

ea 2

1 + ea

>O.

podemos utilizar este número para todos os pon~ · ·: I 51

Para fixar essas idéias, recomenda-se que o leitor retome aos Exemplos 20.5 e pro· cure detenninar em quais deles 8 depende do ponto em questão, e em quais é independen· te do ponto. Com estas preliminares, podemos introduzir a definição fonnal. !

i ·~ i

23.1 Defirúção. Seja f com domínio D(f) em RP e contradomínio em Rq .Dizemos que f é unifonnemente contínua num conjunto A Ç.,D(f) se, para cada e> O, existe um 5 (e)> O tal que se x eu pertencem a A e llx- u!l < ô (e), então 1(/(x)- f(u)l! O e duas seqüências X= (xn) e Y = (yn) em A tais que se n EN, então llxn- Ynl! < 1/n e llf(xn)- f(yn)ll > e0 • Corno exercício, o leitor deve aplicar este critério para mostrar que g(x) = 1/x não é uniformemente contínua em D(g) =1x :x >o}. Apresentamos agora um resultado bastante útil, a saber, que uma função continua é uniformemente contínua em qualquer conjunto compacto do seu domínio. 23.3 Teorema da Continuidade Uniforme. Seja f uma função contínua com domínio D(f) em RP e contradomínio em Rq. Se K C D(j) é compacto, então f é uniformemente continua em K. •

Primeira Demonstração. Suponhamos f não uniformemente contínua em K. Pelo Lema 23.2, existem e0 >O e duas seqüências (xn) e CYn) em K taís que se n EN, então

(23.1)

!lx,.- y,.JI <

1/n,

T·

de 1!:

re

tr

p;

t~

h L se

C< vi

i!f(x .. )- f(y,JII >e o.

Como K é compacto em RP, a seqüência X é limitada; pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, 16.4, existe uma subseqüêncía (xn(k)) de (x 11 ) que converg~ para um elemento z. Co· mo K é fechado, o limite z pertence a K e f é contínua em z. E claro que a subseqüência correspondente (y n(h)) de Y também converge para z. Do Teorema 20.2(c) decorre que ambas as seqüências (f(xn(l~})) e (f(ynf.;n)) convergem para f(z). Portanto, quando k é suficientemente grande, temos llf(xn(k))- f(yn(k))l! < e0 • Mas isto contradiz a segunda relação em (23 .1 ). Segunda Demonstração. (Poderíamos obter uma demonstração mais curta baseada no Teorema da Cobertura de Lebesgue, 11.5, mas preferimos utilizar a definição de compacidade.) Seja f contínua em todo ponto do compacto K. De acordo com o Teorema 20.2(b), dados e> O eu em K, existe um número õ(-4-e, u) >o~ tal que se x E K e llxull < õ (~e, u), então !lf(x) - f(u)!l <;e. Para cada u em K fonnernos a bola aberta G(u) lx ERP; llx- ull e, u)}; então o conjunto K certamente está contido na união Ja famma :!f'= { G (u): u E K}, pois a cada ponto u em K corresponde uma bola aberta G(u) que o contém. Como K é compacto, está contido na união de um número fi· nito de conjuntos da família g;, digamos, G(ut), .. , , G (uN). Definamos agora

<+óG

T rr:

P• n: p

rc

R

(2

-2 I •i.

e mostremos que 5 (e) tem a propriedade desejada. Suponhamos que x, u pertençam a K e 152

(

s s

que Ux - u 11 < õ (e). Então existe um número natural k, 1 k < N, tal que x pertence ao conjunto G(ure)~isto é, llx- ukll < e,uk). Como o(e) ~ ô\; e,uk), segue-se que

;,aq

!lu- uk 11 s

!lu- x!l + !lx- u~<;ll <:··8(!e, uk).

(

11/(x)- f(uk)JI
donde llf(x) - f(u)ll
s

A idéia de continuidade uniforme será utilizada com freqüência em seções posteriores, de modo que não daremos nenhuma aplicação aquL Apresentaremos, entretanto, ou· tra propriedade suficiente para garantir a continuidade uniforme. 23.4 Definição. Se f tem domínio D(/) contido em RP e contradomínio em Rq, dizemos que f satisfaz uma condição de Lipschitz2 se existe uma constante A >O tal que

l!f(x)- f(u)IJ

A

llx- ull

para todos os pontos x, u em D(f). Se a desigualdade (23.2) se verifica para uma cons· tante A• < 1, a função se chama uma contracão. • E claro que se a relação (23 .2) se verifica, então, fazendo ó (e)= e/A, pode-se estabelecer a continuidade uniforme de f em D(f). Portanto, se f satisfaz uma condição de Lipschitz, f é uniformemente contínua. A recíproca, entretanto, não é verdadeira, como se pode ver considerando a função definida em D(f) =I por f(x) = .fi. Se (23.2) se verifica, então, fazendo u =O, devemos ter 1/(x)l
( (

( ( ( \

(

(

( ( (

( ( (..

(

TEOREMA DE PONTO FIXO

Seja f uma função com domínio D(f) e contradomínio no mesmo espaço RP. Então, um ponto u em D(/) é ponto fixo defse/(u) =u. Pode-se ~emonstrar um grande nú· mero de resultados importantes com base na existência de pontos fixos de funções; é, pois; importante dispormos de alguns critérios aftrmaEívos nesse sentido. O primeiro teorema que daremos tem caráter elementar, mas apresenta a vantagem de proporcionar um processo de construção do ponto fixo. Por questão de simplicidade~ enunciaremos primeiro o resultado quando o domínio da função ê todo o espaço.

23.5 Teorema do Ponto Fixo para Contrações. Seja f uma contração com domínio RP e contradornfnio em RP. Então f tem um único ponto fixo.

Demonstração. Estamos supondo a existência de uma constante C, O< C< 1, tal que Jl[(x)- f(y)ll C llx- y!l para todo x, y em RP. Seja Xt um ponto arbitrárío em RP e ponhamosxz ==f{x 1);façamos indutivamente ·

s

(?3.3)

( (

Temos, portanto, as relações

(23.2)

(

Xn+t

= /(x,),

(

( ( ( ( ( (

'·

<

nEN.

Rudolph Llpschitz (1832-1903) foi professor em Bonn. Deu contribuições à álgebra, à teoria dos números, à geometria diferendal e à análise.

( (

( 153

( (

Mostraremos que a seqüência (xn) converge para um único ponto fixou de f e avalíare· mos a rapidez da convergência. Para tanto, notemos que

llx3- Xzll = l!f(x2)- f(xl)ll s

e, indutivamente, que

(23.4)

llxn+l- x.. n=

llf(x,)- f(Xn-l)ll S

C

de

llxz- x1ll,

Pc qu

C jjx,- X"-1!1 S C"'- llx~- X11!· 1

pc

Se m 2. n, a aplicação iterada de (23 .4) dá

tó

l]xm- x, li silxm- x... -11! + llxm-l- x,-:ziJ + · · · + !lx..... J - x,l!

/

ve Br de

s {C"'- 2 + C"'- 3 + · · · + C"- 1} l!x•- xdJ. Decorre daí que, param

2. n,

(23.5)

cn

Como O< C< 1, a seqüência ( -I) converge para zero. Portanto, (xn) é úma seqüência de Cauchy. Se u =lim (xn), então, por (23.3), ê claro que ué um ponto fixo de f. De (23.5) e do Lema 15.8 obtemos a estimativa

p:

e-n

SlS

(23.6) ;

'•.

(

E),, •.

para a rapidez da convergência.

\

!• .• '

Fínalmente, mostremos que há apenas um ponto fixo para f. De fato, sejam u e v dois pontos fixos distintos de f; então

!lu- vil= l!f(u)- f( v)li s

C

!lu- vil.

um

'

tur j

em

Como u *v, então l!u- vil* O, de modo que esta relação implica 1
.

.

23.6 Corolário. Se f é uma contração com constante C< 1, se x 1 é um ponto arbitrário em RP e se a seqüência X= (xn) é definida pela equação (23.3), então X converge para o ponto fr:xo (único) u de f com a rapidez estimada por (23.6). /

)

No caso de a função f não ser definida em todo o RP, é preciso certo cuidado para assegurar a possíbilidade de aplicação da definição iterativa (23.3) da seqüência, sem que os pontos saiam do domínio de f. Embora haja oútras maneiras de formular o problema, é suficiente a que segue.

RP

:

c

~a

23.7 Teorema. Seja f uma contração com constante C e definida para D(f) ={x E 11 x I! ::.;;: B} e tal que l!f(O)li :::;: B ( 1. - C). Então a seqüência X1

=O,

X2""'

f(x1), ... , Xn .. l =f(x,.). · · ·

converge para um ponto fixo único de f que está no conjunto D(f).

154

sãc

3

·r r

l

I j l

Demonstração. Realmente, se x ED =D(f), então llf(x) -/{0)11 5:CIIx- 011 s;:CB~ donde· decorre que ·.

llf(x)l! s llf(O)!I + CB <

(1- C)'B '4 CB = B.

Portanto f(D) ÇD. Assim a seqüência (xn) pode ser definida e permanece em D, de forma que a·demonstraç~o prévia. é aplicáveL Q.E.D~ . . ·· · .; O Teorema ·aa Contração estabelecido acima tem certas vantagens; é construtivo, pode-se estímar o érro de aproximação~ e garante a unicidade do ponto fixo. Apresenta, tódavia, a desvantágem·cte·exigicquefseja uma contração, o que é uma restrição assaz severa::. Resultado importante e profundo, demonstrado pela primeira vez em 1910 por L. E. Bro·uwer,3 é que·qualquer função contínua com domínioD..;..{x ERP: ilxll ::;;:B}econtra~ domínio contído ·em D·deve ter ao menos um ponto fi.!(o. . · ·.. 23.8 Teorérria do Ponto Fixo de Brouwer. Seja J3 >O e D = {x E RP : !lx 11 5: B}. En~ tão· qualquer funÇão cont!'nua com domínio De contradomínio contido em D tem ao me~ nàs um ponto fixo. Deixamos'<'6omo exercício a demonstração deste resultado, para p = 1. Para o caso p > 1, a demonstração nos levaria longe demais. Para uma demonstração baseada apenas e-rii· noções elementares, consulte Dunford-Schwarz. págs. 467-470. Para um estudo mais siStemático do,ponto fixo, e teoremas relacionados, consulte o livro de Lefschetz. ....

'

"

EXERCÍCIOS .. ,

t

'· · 23.A. Examine. cada uma das funções do Exemplo 20.5, mostrando que a função é (ou não é) uniformemente ·contínua em seu domínio. · ~· 23.B. I;>emonstre o Teorema da Continuidade Uniforme, 23.3, utilizando o Teorema da Cobet· tur~ de Lebesgue, 11.5. 23.C. Se B é limitado em RP e f: B-+ Rq é uniformemente contínua, mostre que f é !imitada em B. Mostre que esta conclusão falha se B não é limitado em RP. · 23.D. Mostre que as funções definidas parax ER por

1 f(x}=l+x2•

g(x) = sen x,

são uniformemente contínuas em R. 23.E. Mostre que as funções, definidas para D ={x E R : x

h(x) ~ão

=x, ·

>o}, por

k(x) = e-•,

uniformemente contínuas em D. 23. F. Móstre que as funções seguintes não são uniformemente contínuas em seus domínios. . . .. '

(a) · (b) (c) (d) 3

f(x)=l/xl, g(x) = tan x, h(x) =e\ k(~) = (1/x),

D(f)={xeR:x>O}, D(g) = {x E R: Os i< n/2}, D(h)"" R b(k)={xeR :x>'O}.

sen

L. E. J. Brouwer (1881-1966} foi professor em Amsterdam e decano da escola matemática holandesa. Além de suas contribuições para a topologia, merece destaq4~ seu trabalho sobre fundamentos da matemática.

os

'

'

'

L55

23.G. Uma função g: R -• Rq é periódica se existe um número p >O tal que g(x + p) = g(x) para todo x E R. Mostre que uma função contínua periódica é limitada e uniformemente contínua em

Te( usa

R.

23 .H. Seja f uma função de D ç;_RP em Rq e suponhamo-la uníformemente contínua em D. Se (x 11 ) é uma seqüência de Cauchy em D, .mostre que (f(xn)) é uma seqüência de Cauchy em Rq. 23.1. Suponhamos f: (ú, l)-. R uniformemente contínua em (0, 1). Mostre que é possível de· flnir f em x ""O ex= 1 de tal maneira que ela se torne contínua em IO, ll. ;z3.J. Seja 1? E RP :}iixll < 1}. Mostre quef:D-> Rq pode ser estendida a uma função con~ tínua deD 1 ==~x E RP: llxll.::;: 1 em Rq se e somente se é uniformemente contínua em D. 23.K. ~e f e g são funções uniformemente contínuas de R em R, mostre que f+ g é uniformemente contínua em R, mas fg não o é, necessariamente, mesmo quando uma das funções f e g é limi· tada. 23.L. Se f: 1-+l é contínua, mostre que f tem um ponto fixo em I. (Sugestão: Considere

Lel

me

ll[n

={x

!lfn

PE.

g(x) = f(x)- x.]

tín 17.

PROJETO

As:

23.M. Dê exemplo de uma função f: RP- RP tal que U/(x) - f(u)ll < nx - ull para todos x, u E RP, que não tenha um ponto fixo. (Por que isto não contradi;>. o Teorema 23.5?) 23.N. Sejam f e g funções contínuas em [a, b] tais que o contradomínio R (f) c R (g) = 10, lj. Prove que existe um ponto c E {a, b J tal que f(c) ::= g (c).

23.o:. Este projeto introdu::>. a noção de "oscilação" de uma função num conjunto e num ponto. Sejam I= {a, b 1 c R e f :f ....... R limitada. Se A C f, A 0. definimos a oscilação de f em A como o

*

' numero

!lf(A) = sup {f(x)- f(y):

X,

(a) Mostre que O< Or(A) < 2 sup{lf(x)! :x e A}. Se fJ

y

E

"tF A

w1(c) X 01

'

A}.

c fJ c/, então

(b) Se c E f, definimos a oscilação de f em c como o núme..-o

onde Ns ={x E 1 : !x -

n 1(A) < nr(B).

= inf Ür(Na) 6

<~>}.Mostre que (cf. seção 25) Wt(C)""

={x e/: wr(x) ;;;:._o}~ fechado em R. Mostre que

D=

cia

Iim n,(Nt.)·

(d) Se ex. > O e se wf(x) < "' para todo .x E 1, então existe li > O tal que se A C f é tal que seu diâmetro d(A) = sup{lx- Yl :x,y e A} é menor do que 5, então nr(A) O, então o conjunto Do:

sej< ad ser der adi

t-(1

Também, se w 1(c) < "'• então existe õ > O tal que Or(Ns)
U D.,.""' U D". 0!11:>0

em

um um

tra

(2~

nt(jll..'

é o conjunto de pontos de descontinuidade de f. Logo, o conjunto de pontos 'de descontinuidade de uma função é a união de uma faml1ia numerável de conjuntos fechados. (Tal conjunto é chamado conjunto F 0 .) (f) Estenda estas definições e resultados a uma função definida em uma cela fechada de RP,

SEÇÃO 24 SEQÜÉNCIAS DE FUNÇÕES CONTÍNUAS Freqüentemente devemos considerar uma seqüência de funções contínuas. Nesta seção apresentaremos vários teoremas interessantes e importantes sobre tais seqüências. O 156

COl

Co xE f(a c ia

qW qw

.

'

( ..'• '

':'·

..

•!

I

Teorema 24.1, que será usado muitas vezes é um resultado-chave. Os demaís não serão usados com tanta freqüência, mas o leitor deve conhecer pelo menos seus enunciados. No que se segue, tomar-se-á mais clara a importância da convergência uniforme. Lembremos que uma seqüência (/n.) de funções de D C RP em Rq converge uniforme· mente em D para f se, para todo e >O, existe umN(e) tal que se n ';!:.N(ê) e.x ED, então l!fn(x)- f(x)!l
'· ..•: (

~

\'

(

)'

( (

:

(

'·

i

'

,, ;

(

PERMutA DE LIMITE E CONTINUIDADE

Observemos que o limite de uma seqüência de funções contínuas pode não ser contínuo. É muito fácil ver isto; para n EN e x El; seja fn(x) =xn. Vimos, no Exemplo 17.2 (b ), que a seqüência (/n) converge em 1 para a função [definida por f(x) =O,

= 1,

.,

1.

(

X=

24.1 Teorema. Seja F= ifn) uma seqüência de ftmções continuas com dominio D em RP e contradomínio em Rq e suponhamo~la unifonnemente convergente em D para uma função f Enttío f é continua em D.

Demonstração. Como ifn) converge wtiforrnemente em D para/, dado e> O, existe um número natural N =N(e/3) tal .que li[N(X)- /(x)ll e/3 para todo x ED. Para mos~ trar que f é contínua num ponto a de D, notemos que !!f(x)- /N(x )I!+ llfN (x)- /N(a)ll

•

'

Conquanto o alcance da descontinuidade da função limite no exemplo acima não seja muito grande, é evidente que podemos construir exemplos mais complicados em que a descontinuidade é mais abrangente. Seria interessante investigar quão descontfnuo pode ser o limite de uma seqüência de funções contínuas, mas tal investigação nos levaria longe demais. Além disso; para a maioria das aplicaçoes, é mais importante encontrar condições adicionais que garantam a continuidade da função limite. Estabeleceremos o fato importante de que a convergência unifonne de uma seqüên· cía de funções contínuas é suficiente para garantir a continuidade da função limite.

<

.

(

j

llf(x)- f(a)ll

(

Q
Assim, em que pese ao caráter simples das funções contínuas [n a função limite não é contínua no ponto x =L

(24.1)

\'

+ llt~ (a)- f(a)l!

( '

\

'

(

(

: f•

( (

~.

'

( ( ( '

l

(

(

\

(

s/3 +llfN(x)- /N(a)ll+ B/3.

(

Como !N é contínua, existe um número o ;ó(e/3, a,fN) >O tal que se llx -ali <õ e x E D, então 11/N(x)- fN(a)ll < e/3. (V. Figura 24.1.) Portanto, para tal x, temos llf(x)f(a)!l
Q.E.D .

Notemos que, embora suficiente para a continuidade da função limite, a convergên· cía uniforme da seqüência de funções contínuas não é necessária. Assim, se (fn) é uma se· qüência de funções contínuas que converge para uma função contínua f, não decorre daí que a convergência seja necessariamente uniforme (v. Exercício 24.A).

(

';

\ i:

(

''

( (

( (

157

'

r\ (

~' '

l

f '

~

i

i

:

I

'

'

,.

e

u f-

f./3---~

e

Figura 24.1

lt Ir

l,I' 1'1

r

li !

[I I IJ '·,

f.

Como vimos no Teorema 17.9, a convergência uniforme, num conjunto D. de uma seqüência de funções, é conseqüência da convergência na norma urli(oime emD. Assiffi; o Teorema 24.1 admite a seguinte reformulação. · ·· ''·',' .. 24.2 Teorema. Se ifn) é uma seqüência de funções em BCpq(D) tal que llfn -fllv ~ O, então fEBCpq(D). ' ..

t

f t 1'

'l

k q

i)

n

'

! (

TEOREMAS DE APROXIMAÇÃO Em muitas aplicaÇões, é conveniente

)

funções .ccmtínuas por funções de natureza elementar. Conquanto haja várias definições razoáveis que tomam ma!s'precisa a palavra «aproximar",'üma das mais naturais e, ao mesmo tempo, mais'impor'tantes, consiste em exigir que, em todo ponto do domínio dado, a função aproximadora não di~ fira da função dada poi'mais do que um erro p~edeterminado. Neste sentido é cóstume referirmo-nos à "aproxi:niação uniforme", conóéito que está intímamen te relacionado com o de convergência unifo~m~·· S~ja f uma função dada, com domínio D =D (f) contido em RP e contradomínio em'Rq. Dfz~mos que uma função g aproxirria f uniformemente emDamenosde€>O,sé · · · · · ~~aproximar"

·i

~

t:

c

ou, o que é o mesmo, se €.

Usamos aqui a nonna introduzida na equfição ( 17 .5). Pizemos que a função f pode ser aproximada unifonnemente em D por funçq~s de uma cl~~se :!f se, para cada E> O, existe urna função ge emJí"tal que llg.,- -II!v
158

p

c

l!&(x) :- f(x)l! ~ e para todo x E D;

tl&- filo= sup {!Jg(x)- f(x)j]: x E D} <

p d

v

.1

I )

t!

II l '

!

'

t i

i

l

!

i r

!

Por exemplo. se p

=q = 1, a função g definida explicitamente por g(x)

=o~

l

!l

=

I

=3

I

=-5

'

'

-2, ",'

1,

~.,,.t

-2 < x·::::;; O, O
'

=O,

t

X :;S;;

'

1
>3.

é uma função escada.

Mostraremos que uma função contínua cujo domínio é uma cela compacta pode ser uniformemente aproximada por funções escada.

24.4 Teorema. Seja f uma função COfftÍnua cujo domínio pé uma cela compqctq em RP e que toma valores em Rq. Então f pode ser aproximada uniformemente em D por funções escada.

i(

.i r l

Demonstração. Seja e >O; como f é uniformemente contínua (Teorema 23 .3), existe um número ô(e)>O Jal que se x,y pertencem aD e l!x -ylt<ô(e), então llf(x)f(y)ll <:e. Dividamos o domínio D de f em celas disjuntas 11 , ••• , In taís que. se x. Y pertencem a /n, então l!x- yll < ô(e). (Como?) Seja Xk um ponto pertencente à cela lk, k = 1, ... , n e definamosge(x) = f(xk) para x E [j.{. e ge(x) =O para x f!:D. É claro então que llge(x) -f(x)ll
É natural esperar que uma função contínua possa ser aproximada uniformemente por funções simples que sejam também contínuas (o que não ocorre com as funções escada). Por questão de simplicidade, estabeleceremos o próximo resultado apenas para o caso p =q =l, embora seja evidente a generalização para maiores dimensões. Dizemos que uma função g definida numa cela compacta J = [a, b Jde R, tomando valores em R, é parcialmente linear, se existe um número finito de pontos Ck com a= co
k:=O,l, ... ,n.

Se g é contínua em J, então as constantes An, Bk devem, naturalmente, satisfazer certas condições.

I' l l ' ''

1

f+ e

!'

i

'' !

!r

Figora 24.2 Aprox:"imação por uma função escada.

•

159

I

i

I i

I

24.5 Teorema. Seja f uma função contínua cujo dominio é urna cela compacta J em R. Então f pode ser uniformemente aproximada em J por funções continuas parcialmente lineares. . Demonstração. Como anterionnente, f é uniformemente contínua no conjunto compacto J. Portanto, dado e> O, dividamos J =[a, b] em celas acrescentando pontos intermediários Ck,k=O,l, ... ,n, com a=c 0
I

APROXIMAÇÃO POR POLINÓMIOS

. Demonstraremos a seguir um resultado mais profundo, mais útil e mais interessante relativo à aproximação por polinômios. Provaremos primeiro o Teorema da Aproximação de Weierstrass para p = q = 1, utilizando os polinômios de S. Bernstein.4

24.6 Definição. Seja f uma função com domínio I= {0, 1] e contradomínio em R. Define-se o n:r' 0 polinômio de Bernstein para f como segue:

(24.2)

Bn(x) =

]

B~(x; f)= kto f(~)(~)xk(l- x)"-k.

(

Esses polinômios d~ Bernstein não são tão complicados como podem parecer à primeira vista. O leitor com alguma experiência em cálculo de probabilidades vislumbrará, por trás dos mesmos, a dis· tribuição binomial. Mesmo sem tal experiência, entretanto, o leitor deve notar que o valor Brl(x;f) do polinômio no ponto x é calculado a partir dos valores f{0),/(1/n),/(2/n), ... ,{(1). com certos fatores de ponderação não-negativos \Pk(x)

I

I

=()xk {1 - x)n-k que são muito pequenos para os valores de

k tais que kjn está muito distante de x. De fa.tq, a função
Recordemos o Teorema Binomial:

(24.3) onde (

(s + t)" =

~) denota o coeficiente binomial

(

f (")skt"-\ k

k"'O

( {

(~)= k!(nn~k)! ·

I r

I

Por inspeção direta, vemos que

(24.4) (24.5)

-1) n-2) =(k-2)!(n-k)!=n(n-1) (n-2)1 k(k-l)(n) (k-2 k ·

(n -1)! k(n) n ( k-1 =(k-I)!(n-k)I=n k'

c )

,I !

f

4

160

Serge11 N. Bernstein (1880-1968) deu contribuições profundas à análise, à teoria da aproxima· ção e à teoria das probabilidades. Nasceu em Odessa e foi professor em Leningrado e Moscou.

..j

'~

''

t

1

r

'

'

(

(

1 = kto(~)xk(l-~)~.~k·

( l ''

"tl(n -. l)xi(1- xr·-t-J. i-O

{ ''

}

(

Multiplicando esta última relação por x e aplícando a identidade (24.4), vem x

=I' j +n 1(.1+n 1)xi+l(li"' o

Façamos agora k ;::;;.j +L donde

x

(

x)"-
'·.

/

l (

k

=L -(n)xr.:(l-x)"-k. n k '

n

'

í

r.; ... 1

\.

Podemos incluir o termo correspondente a k =O, pois ele se anula. Temos, pois,

k(") .. o n k

f.

(24.7)

X=L,..-

~.:

'

'

Substituindo n por n - 1 e k por i em (24.6), temos

1=

'

I

Façamos agora s =.x e t = 1 - x em (24.3), obtendo (24.6)

·'

{ \

X k.(1 -X )"-k •

(

Cálculo análogo. baseado em (24.6) com n substituíd
( • \

( Concluímos, pois, que (24.8)

(

(1-l)x n

2

+1:n x =f (k) (")xk(1x)"'-~~:. r.:-o n k

(

2

(

Multiplicando (24.6) por x 2 , (24.7) por -2x e adicionando-as a (24.8), obtemos (24.9)

(1/n.)x (1- x)

=~<.to (x- k!n) ~)x r.:( 1- x)"2

(

'·

•

''

I

\

1 \

.

{ \,

que é uma estimativa de que necessitaremos a seguir. Examinando a Definição 24.6) a fórmula (24.6) nos diz que o n 1!" 0 poHnômio de Bemstein para a função constante [ 0 (x) = 1 coincide com fo. A fórmula (24.7) nos diz a mesma coisa para a função [ 1 (x) =x. A fórmula (24.8) afirma que o nl!l 0 polinômio de Bemstein para a função [ 2 (x) = x 1 é B ... (x; !2) = (1-1/n)x 2+ (1/n)x,

que converge unifonnemen te em I para f 2 . Provaremos agora que se f é uma função con· tfuúa de I em R, então a seqüência de polinômios de Bemstein converge uniformente em I para f. Isto nos dará uma prova construtiva do Teorema da Aproximação de Weierstrass. No decorrer da demonstração deste teorema, necessitaremos da fórmula (24 .9 ). 1

24.7 Teorema da Aproximação de Bemstein. Seja f uma função continua em I com valores em R. Então a seqüência de polinômios de Bemstein para f definida na equação (242), converge uniformemente em I para f

/

l

( \

' '

f ( (

' i

(

( •

( ( { /

161

'

\, (

'

r •

'

)li

l,ll

[!i

Demonstração. Multiplicando a fórmula (24 .6) por f(x ), obtemos

:li

I! li'

f(X) = Temos, portanto, a relação

li

.•

Xi

f(x)- B,(x)

li

ktO f(x)(~)x"(l- X(-".

=to

{f(x)- f(k/n.)}(~ )x~< (1- x)"-k

donde decorre que

(24.10)

é

lf(x)- B~(x)l :S ~
(~)x"(l- x)"-~c.

Mas f é limitada, digamos por M~ e também uniformemente contínua. Note-se que, se k é tal que k/n está próximo de x, então o termo correspondente na soma (24 .1 O) é pequeno em virtude da continuidade de f em x; por outro lado, se kjn está distao te de x, o máximo que podemos dizer quanto ao fator que envolve f é que é menor do que 2M; a sua "pe· ' quenez" deve decorrer de outros fatores. Somos, assim, levados a decompor (24.10) em duas partes: os valores de k para os quais x - k/n é pequeno, e aqueles para os quais xkfn é grande. Seja e> O e o(e) tal como na definição de continuidade uniforme de f. Convém escolhermos n suficientemente grande para que

(24.11)

n > sup {(S(e)t

4

,

UI

Ul

fc

d(

le st ft

CC

tã

M 2/s'},

e decompor (24.10) em duas somas. A soma sobre os valores de k para os quais lxkfnl < n- 114 :5:ó (€) dá a estimativa

~ s(~)xk(l- xr-k se tl (~)xk (1- xr-k = s.

A soma sobre os valores de k para os quais ]x - k/n I 2: n - 114 , isto é, (x - kjn )'- 2: n -tn,

pode ser estimada por meio da fórmula (24.9). Para esta parte da s.oma em {24.10), obte· mos a cota superior

tll'

fo

pa

ur

D~

~ 2M(~)xk(Í- x)"-k =2M~~~=~~:~: (:)xk(l- xt-k s 2M..ht s:

J;l (x- klnY~(~ )x"'(l- xr-k "

2MJ;;{~ x(l- x)} s: ~,

!.

pois, no intervalo I, x(l - x) :5: Recordando a determinação (24.11) para n, concluí· mos que cada uma dessas duas partes de (24.10) é cotada superiormente por e. Logo, para n escolhido em (24.11), temos independentemente do valor de x. Isto mostra que a seqüência (Bn) converge uniforme· mente em I para f. Q.E.D.

~ '.

.'' .. !: ~"

: .!

fu

CC

m

1/{x)- B,.(x)l < 2e,

I

1

D'

162

Se qt

ké eno mo 'pe· em

x:-

. es~

:lui·

>ara

me~.D.

Corno corolário direto do teorema de Bemstein, temos o seguinte resultado. 24.8 Teorema da Aproximação de Weierstrass. Sejafumafun.ção continua num in·

tervalo compacto de R, e tomando l->alores em R. Então f pode ser 'uniformemente aproximada por polinômios. Demonstração. Se fé definida em [a. b ], então a funçãog definida em I= [0, 1Jpor g(t) = f((b- a)t +a),

tE I.

é contínua. Logo, g pode ser uniformemente aproximada por polinômios de Bernstein, e uma simples mudança de variável dá uma aproximação polinomial para f. Q.E.D. Decidimos entrar nos detalhes do Teorema de Bernstein, 24.7, porque ele nos dá um método construtivo para determinar uma seqüência de polinômios que converge uniformemente em I para a função contínua dada. Além disso; o método de demonstração do Teorema 24.6 é característico de muitos argumento~ analíticos, e é importante que o leitor compreenda bem tais argumentos. Finalmente, embora venhamos a estabelecer resultados de aproximação mais gerais na seção 26, necessitamos saber, de antemão, que a função valor absoluto pode ser uniformemente aproximada por polinômios num intervalo compacto. Embora seja possível provar este caso especial diretamente, o argumento não é tão simples. Para uma discussão mais completa do problema da aproximação, o leitor poderá consultar o livro de E. Cheney, indicado nas Referências.

EXERCÍCIOS

24.A. Dê exemplo de uma seqüência de funções contínuas que converge para uma função con· tínua , mas onde a convergência não é uniforme. 24.B. Dê exemplo de uma seqüência de funções descontínuas em toda parte, que converge uni~ fonnemente para uma. função contínua. 24.C. Dê exemplo de uma seqüência de funções contínuas que converge em um conjunto com· pacto para uma função que tem um número infinito de descontinuidades. 24.D, Seja ifn) uma seqüência de funções contínuas de D ç_RP em Rq tal que ifn) converge uniformemente para f em D, e seja (xn) uma seqüência de elementos em D que converge para x E D. Decorre que ifn(xn)) converge para/(x)? 24.E. Considere as seqüências (/n) de D E R :x :;?:.O}em R definidas pelas seguintes fórmulas: x" x" x" (c) - (b) (a) , n +x"' 1 + x" ' n

={x

x:Zn

(d)

l+x"'

(e)

x"

X ->In . (f} -e

l+xz" •

n

Discuta a convergência e a convergência uniforme destas seqüências, bem como a continuidade das funções limite. Em caso de convergência não-uniforme em D; considere intervalos adequados em D. 24. F. Seja ifn) uma seqüência de D C RP em Rq_ que converge em D para f. Suponha cada fn contínua em c e a seq üêncía uniformemente convergente em uma vi:r.inhança de c. Prove que f é contÍ· nua em c. 24.G. Seja ifn) uma seqüêncía de funções contínuas de D c R.P em R, monotônica decrescente no sentido de que, se x E D, então f~(x) ~ {1(x);;:?:: · · • 2: f,. (x)

;'2:

f,.-~-~(x) 2:: • · •

Se lim ifn(c)) =O para algum c E D e e> O; mostre que existem mE N e uma viúnhança U de c taís que, se n >mexEU() D, então fn(X) < €,

163

,... 24. H. Use o exercício precedente para p.ovar o seguinte resultado devido a U. Dini. 5 Se lfn) é .) urna seqüência rnonotôníca de funções contínuas, que converge em cada ponto de um conjunto compacto K em RP para uma funçãQLcon#nJJª ~ITI };, então a convergência é uniforme em K. \.,__ 24.1. Mostre, por meio de um exemplo, que o Teorema de Dini não se verifica, se omítimos uma das hipóteses de compacidade de K ou de continuidade de 1. 24.J. Prove o seguinte teorema de G. Pólya." Se, para cada n EN a função In de 1 em R é monotônica crescente e se f(x) lim 0, exis" tem m EN e uma vizinhança U de c tais que, sex eD nU, então 11/m(x) -f(x)U
f

i

=

~ I (

=

t

e

};

f e

(b) Mostre que toda função contínua paicialmente linear pode ser escrita como uma soma de um número finito de funções '{) 1 , • • • ,
(c) Supondo que, em qualquer intervalo compacto, a função valor absoluto A (x) == lxl seja o li· mite uniforme de uma seqüência de polinômios em x, use a observação da parte (b) para obter outra demonstração do Teorema da Aproximação de Weierstrass. (Este método de demonstração é devido a Lebesgue.) 24.R. Prove que a função x ..... ex não é o limite uniforme em R de uma seqüêncía de polinômios. Logo, o Teorema da Aproximação de Weierstrass pode falhar em intervalos infinitos. 24.S. Mostre que o Teorema da Aproximação de Weierstrass não se verifica para intervalos abertos limitados.

SEÇÃO 25 LIMITES DE FUNÇÕES Conquanto não se possa dar uma definição precisa, entende-se geralmente o campo da "análise matemática" como sendo a parte da matemática em que se faz uso sistemático dos vários conceitos de limite. Se tal é realmente o caso, pode parecer estranho ao leitor que tenhamos chegado até aqui sem inserir uma seção relativa a limites. Há várias razões para isto, e a principal é que a análise elementar lida com vários tipos diferentes de opera" ções com limites. Já discutimos a convergência de seqüências e o processo limite implícito no estudo da continuidade. Nos próximos capítulos, introduziremos as operações-limite 5

6

164

Ulisse Dini (1845-1918) estudou e lecionou em Pisa. TrabaDJOu em geometria e análise; particularmente séries de Fourier. ) nasceu em Budapeste e lecionou em Zurique e Stanford. ~ampla­ George Pôlya (1887· mente conhecido por seus trabalhos nos campos de análise complexa, probabilidade, teoria dos números e teoria da ínferênêía.

v. 'I

'

p

(~

te

se do

mf

co

(2.

( relacionadas com a derivada e a í11tegral. Embora todas essas noções de limite constituam casos especiais de um caso mais geral, a noção geral de limite tem caráter assaz abstrato. Preferimos, por isso> introduzir e discutir as noções·separadamente, ao invés de desenvol· ver primeiro a idéia geral para então particularizar. Bem compreendidos que sejam os casos especiais, não será difícil assimilar a noção abstrata. Para uma excelente exposição do assunto.• poderá o leitor consultar o artigo qe E. J. McShane citado nas Referências. Nesta seção abordaremos o limite de uma função em um ponto e algumas extensões ligeiras da idéia. Em geral, esta idéia é estudada antes da continuidade; de fato, a própria definição de função contínua é expressa em termos desse limite ao invés de usar a definição dada na seção 20. Uma das razões que nos levaram a estudar a continuidade separadamente do limite é que iremos introduzir duas definições ligeiramente diferentes do limite de uma função exn um ponto. Como ambas as definições são amplamente usadas, apresen~ taremos ambas, procurando relacionar uma com a outra. Salvo menção explícita em contrário, f será uma função com domínio D contido em RP e tomando valores em Rq e consideraremos o limite de f em um ponto de acumulação c de D. Portanto, toda vizinhança de c conterá infinitos pontos em D. 25.1 Definição. (i) Díz-se que um elemento b de Rq é o limite restrito de f em c se, para cada vizinhança V de b, existe uma vizinhança U de c tal que, se x pertence a U n D ex !:fo.c, então{(x) pertence a V. Escrevemos então

(25.1)

b=limf

b=limf(x).

ou

c

z-c

(ii) Diz-se que um elemento b de Rq é o limite não-restrito de[ em c se, para toda vizinhança V de h, existe uma vizinhança U de c tal que, se x pertence a UnD, então f(x) pertence a V. Escrevemos então • ou b = Lím.f(x). (25.2) b-=:Limf <; É importante observar que a diferença entre essas duas noções se baseia no fato de considerarmos, ou não, o valor f(c)- quando ele existe. Note-se também a sutil distinção de notação introduzida nas equações (25.1) e (25.2). A maioria dos autores utilíza apenas uma dessas noções, designando-a então simplesmente como "o limite" e empregando geralmente a notação de (25.1). Como o limite restrito é, digamos, mais popular, resolvemos manter o simbolismo convencional ao nos referinnos a ele. Estabelece-se sem dificuldade a uníddade de qualquer um dos limites, quando existe. Bastar-nos-á o seguinte. 25.2 Lema. (a) Se existe um dos limites lime f ou Lime f, então ele é único.

( (

'

(

' ( (

J

!

'

(

( I

I

( ( /

\

(,,

(

'

'

í

'

"

'\'

'

(

(

(

(b) Se existe o limite não-restrito, então existe também o limite restrito. e

Iim f= Limf.

(

(c) Se c não pertence ao dominio D de f. então existe o limite restrito se e somen'te se existe o limite não-restrito.

(

<:

c

A parte (b) do lema mostra que a noção de limite não-restrito é algo mais restritiva do que a de limite restrito. A parte (c) mostra que os dois limites podem ser diferentes somente no caso de c pertencer a D. Para dar um exemplo em que essas noções diferem, consideremos a função f de R em R definida por

(25.3)

f(x)=O, =1 >

,/'

,\

( (

xr=O, X= O.

( 165

.

i

'

!(!t

'

\,

·,

Se c= O, então existe e é igual a ó o limite restrito de f em c, enquanto que não existe o : limite não-restrito. Damos a seguir algumas condições necessárias e suficientes para a existência dos limites, deixando ao leitor a demonstração. Note-se que, na parte (c) de ambos os resulta~ dos, o 1imite se refere ao limite de uma seqüência, discutido na seção 14. 25.3 Teorema. As seguintes afinnações, relativas ao limite restrito, sfio equivalentes.

1\

li

(a) Existe o limite restrito b =lime f.

i\

(b) Se € >O, existe ó >O tal que, se x ED e O< llx- cU <ó, então llf(x)- bU
ll

{c) Se (xn) é uma seqüência em D tal que Xn i= c e c = lim (xn ), então b = lim (f(xn)).

~

25.4 Teorema. As seguintes afirmações, relativas ao limite não-restrito, são equiva~

. ~.

lentes.

l'

(a) Existe o limite não-restrito b = Lime f

(b) Se e> O, existe um õ >O tal que, se :x: ED e lLx- cl!

I

< õ, então llf(x)- bll < ~;.

(c) Se (xn) é uma seqüência em D tal que c= Iím (xn), então temos b =lim (f(xn)).

I

O próximo resultado constitui uma ligação instrutiva entre esses dois limites e a continuidade de/ em c.

;

\'

25.5 Teorema. Se c é ponto de acumulação pertencente ao dominio D de f, então as seguintes afirmações são equivalentes.

'

(

(a) A função f é contl'nua em c. (b) O limite restrito lime f existe e é igual a f( c).

\

(c) O limite não-restrito Lime f existe.

Demonstração. Se (a) se verifica e V é uma vizinhança def(c), então existe uma vi~ zinhança U de c tal que, se x pertence a U n D, então f(x) pertence a V. .h claro que isto implica que Lim f existe em c e é igual a f(c ). Analogamente, f(x) pertence a V para todo x =fo c para o qual x E U n D, caso em que lím f existe e é igual a f(c ). Reciprocamente, vê-se logo que (b) e (c) implicam (a). · Se f e g são duas funções que têm limites restritos (não-restritos) num ponto de acumulação c de D(f + g) = D(f) nD(g), então sua soma/+ g tem limite restrito (não-restrito) em c, e lim (f+ g) := lim f+ lim g, e c e (respectivamente, L~m (f+ g) =

Ltm f+ L~m g).

Valem resultados análogos para outras comb1naçõe..'i algébricas de funções. O resultado que segue, relativo à composição de funções, é um pouco mais profundo e constitui um caso em que o limite não-restrito é mais simples do que o lim.ite restrito.

25.6 Teorema. Suponhamos que f tenha dom~hio D(f) em RP e contradomínio em Rq e que g tenha domínio D(gJ em R
e a ""lime g o f.

166 ........·

:xiste o : dos Jí.

·esulta-

rentes.

dl < €. """lim

se a

(b) Se ambos os limites não-restritos b =Lime f e a= Limo g existem, então existe

o limite não-restrito de g o f em c e

a = Lim g o f. ·. : ,;, (:

Demonstração. (a) Seja W uma vizinhança de a em R r; como a =lim g em b, existe uma vizinhança V de b tal que, sey pertence a VnD(g)ey*b,entãog(y)EW.Como b = lim f em c~ existe uma vizinhança U de c tal que, se x pertence a U n D (f) e x >::f=. c, en · tão f(x) E V. Logo, se x pertence ao conjunto, possivelmente menor, U n D(g o{) ex >::f=. c, então f(x) E V nD(g). Se f(x) >::f=. b em alguma vízinhança U1 de c~ decorre que, para x ofo c em (U 1 !lU) nD(g o{), então (g <> f)(x) E W, de modo que a é o limite restrito de g o f em c. Se g é contínua em b, então (g o f)(x) E W para x em U nD(g o f) ex >::f=. c. Para demonstrar (b ), notemos que não são mais necessárias as exceções feitas na de· monstração de (a). Logo, se x pertence a U nD(g o f), então f(x) E V n D(g) e, assim, (g o f) (x) E W. Q.E.D. A conclusão na parte (a) do teorema precedente pode falhar se omitirmos a condição de g ser contínua em b, ou f(x) >::f=. b numa vizinhança de c. Para corroborar esta observação, seja f a função de R em R definida na fórmula (25 .3) e seja g =f e c= O. Então, g o f é dada por (go f)(x) = 1, X~ O,

=o.

~as

X=

O.

Além disso, temos limx -r 0 {(x) =O, e limy ...... 0 g(y) =O, enquanto que, é claro, lirnx-+o(g o /) (x) = 1. (Note-se que os límites não-restritos não existem para estas funções.)

: v.i" sto

IdO

te, ri-

.].

.

li

r

LIMITES SUPERIORES EM UM PONTO No restante desta seção, consideraremos o caso q = 1. Assim, f ê uma função de De RP em R e o ponto c em RP é ponto de acumulação de D. Definiremos o límite supe· rior ou o limite inferior de/ em c. Novamente aqui defrontamo-nos com duas possíbilídades) conforme consideremos vizinhanças ·restritas ou não-restritas; discutiremos ambas. É claro que podemos definir de modo análogo o limite inferior. Uma coisa que se deve notar é que, embora a existência do limíte (restrito ou não) em R seja um assunto relativamente delicado, o limite· superior que vamos definir tem a vantagem de que, se f é limitada, sua existência está garan tí da. As idéias aqui correm paralelamente à noção de limite superíor de uma seqüência em RP introduzida na seção 19. Mesmo assim, não suporemos o leitor familiarizado com o que foi feito lá, exceto em alguns exercícios. 25.7 Definição. Suponhamos f limitada numa vízinhança do ponto c. Se r> O, definamos <{J(r) e cl>(r) por (a)

cp(r) = sup {f(x); O< !lx-c!]< r, x E D},

(b)

(r) = sup {f(x): ]lx- cll
e ponhamos (c)

Iim sup f= inf {q>(r): r> O}, "-c

(d)

Lim sup f= inf { O}. x-e

167

Essas quantidades são chamadas, respectivamente, limite superior restrito e limite superi~ não-restrito de f em c. ~ Como essas quantidades são definidas como ínfimos da imagem, pela[, de vizinha[ ças sempre decrescentes de c, não parece evidente que mereçam a designação de .,limi~ superior''. o lema seguinte justifica a terminologia.

r

25.8 Lema. Se <.p, Q? são definidas conforme acima, então

;,(

lim sup f= lim tp(r), ,x-("

(a)

1'~0

'r'

{b)

:(' ' ' ;~·

Demonstração. Notemos que, se O
e> O, existe um re> O tal que cp(r.) < lim sup f+ e. ·-~ .

,e 'C Portanto, se r satisfaz O
Q.E.D.

25.9 Lema. (a) SeM> lim supx _,.c f. então existe uma vizinhança Ude c tal que

f(x)
r

t;

c ;i X E D nu.

para

2

(b) Se i11> Lim supx-> c/, então existe uma vizinhança U de c tal que

II

f(x)
\

para

xeD

nu.

Demonstração. Por 25.7(c), temos inf{(j?(r)':r·> Logo, existe um número real r 1 > O tal que o.p(r 1 ) < M e podemos tomar U x E RP : 11 x -- dl
""f

of<:M.-

lim sup (f+ g) :s; lim sup f+ lim sup g

(a}

x_,.c

~-+c

a:

x ....... c

'

i '

~

~

s~

Lim sup (f+ g) ::;:; Lim sup f+ Lim sup g. .x-e ;w:..-.c x.....,.c

(b)

I,

\

Demonstração. Em vista da relação

\

\

sup {f(x) + g(x): x E A}:;:::; sup {f(x): x E A}+ sup {g(x): x.

E

A},

é claro que, utilizando a notação da Definição 25.7, temos

cp1... g(r):;:::; cp1(r) + cp 11 (r). Aplicando agora o Lema 25.8 e fazendo r-+ O, obtemos (a).

Q.E.D.

No Exercício 25. F o leitor encontrará resultados relativos a outras combinações algébrica~.

168

ite superi~ Em algumas áreas da análise, é conveniente dispormos da seguinte generalização da ihoção de continuidade. ~~;i~,~7:t 25.11 Definição. Diz-se que uma função f de D em R é semicont ínua superiormente ~um ponto c de D se " :.'.X25 .4) f( c) ::::: Lim sup f. x-e

) será sernicontínua superiormente emD se o for em toda ponta deD. Em lugar de definir a semicantinuidade superior por meio da equação (25.4), pode· :,riamos valer-nos da condição equivalente (porém menos elegante)

;(25.5)

f(c) ~ limx-e sup

!:'

(

r

iQ lema seguinte - que pode ser comparado com o Teorema da Continuidade Global,

(

\

;;22.1 - constitui a chave da impo'rtância e utilidade das funções s,emicontínuas superlor;mente.

/

(

\

25.12 Lema. Seja f uma Jimção semicontínua superionnente com dom(nio V ç;;;:RP e seja k um número real arbitráno. Então existem um aberto G em um fechado F tais que (a).Ade.~(25.6)

Q.E.D.

11 que

GnD:z{xeD:f(x)

k};

.FnD={xeD:f(x)

(

k}.

(

Demonstração. Seja c um ponto de D tal que f( c)< k. De acordo com a Definição 25.11 e o Lema 25.9(b), existe uma vizinhança U(c) de c tal que f(x) < k para todo x em D n U(c). Sem perda de generalidade, podemos escolher U(c) como uma vizinhança aberta; fazendo G= U{U(c):ceD},

l (' ·,,

(

temos um aberto com a propriedade enunciada em (25.6). Se F é o complemento de G, então F é fechado em RP e satisfaz a condição mencionada. Q.E.D.

número 1emons-

Q.E.D.

e c sefa

'

(

(

Pode-se mostrar, usando o lema que acabamos de provar (cf. Exercício 25.M), que, se K é um subconjunto compacto de RP e f é semicontínua superiormente em K, então/ é limitada superiormente em K e existe um ponto em K onde f atinge seu supremo. As· sim, as funções semicontínuas superiormente em conjuntos compactos possuem algumas das propriedades já estabelecidas para funções contínuas, muito embora uma função semicontínua superiormente possa ter muitos pontos de descontinuidade, Já deve ter ocorrido ao leitor a possibilidade de estender a noção de limite superior ao caso em que a função não é limitada, utilizando idéias análogas às dadas no final da seção 18. Analogamente, podemos definir o limite superior quandox -> +oo. Tais idéias são úteis, mas as deixaremos como exercícios.

I

t,

{ {

\

I

\

( EXERCÍCIOS

(

25 .A. Discnta a existência dos limites restritos e não-restritos das seguintes funções no ponto X

(

=0.

2-E.D.

(a) f(x.} = jx!, (c) f(x) = x sen (1/x.),

5es al-

(e) f(x.)""' {x sen (1/x), 1,

X~

O,

X""' O,

x.=O •

(b) f(x} = 1/x, x >'"O, (d) f(x)="sen(l/x), x~O (f) f{x) =

{0,1,

/\

O, >0 .

x ::s; X

( (

169

~:oPil\~~liiiiDit

~

:

1'

"""H·~·

( '

!'(i""••

••

·:-·I.~·

.

i

/

\

'''

i

n' I '' I ;

~

I

2 5 .B. Prove o Lema 25 .2. 25.C. Se f denota a função definida na equação (25.3), mostre que o limite restrito em x =o é igual a O, mas que o limite não-restrito não existe naquele ponto. Discuta a existência desses dois limites para a composição f" f. 25.D. Prove o Lema 25.4. 25.E. Mostre que as afirmações 25.5 (b) e 25.5 (c) il:nplicam a afirmação 25.6 (a). 25. F. Mostre que se f e g têm límítes restrítos num ponto de acumulação c do conjunto D (j) n D(g), então a soma f+ g tem limite restrito em c e

lim (f+ g) = lim f+ lim g. <

<

Sob as mesmas hipóteses, o produto interno f

li~ (f.

fir

ur

gu

•

.Pr

• g lem limite restrito em c e

g) =

da1 os

(!i;n t) . (li~ g ).

pl

25.G. Seja f uma função de D(j) Ç,.R em Rq. Se c é ponto de acumulação do conjunto V= m x E R : x E D (j), x >c e se f 1 é a restrição de f a V, então definimos o limite restrito de f à direita no ponto c como lime f 1 , quando tal limite existe. Por ve~.es denota-se tal ümite por lime+ f ou por [(c + 0). Formule e prove resultado análogo ao Teorema 25.3 para o limite restrito à direita. (Pode-se dar definição análoga para o limite não-restrito à direita e para ambos os limites à esquerda em c.) n 25.H. Seja f uma função deD e R >R. Diz.emos que um número L é o limite de fl f em +co se, para cada lf > O, existe um número real m (e) tal que se x >-. m (~;), então lf(x) -LI< e. q Neste caso, escrevemos L= limx-> +-f. Formule e prove resultado análogo ao Teorema 25.3 para tal e limite. f . · 25.1. Séja f uma função definida em D(j) .k. R e tomando valores em R. Se c é ponto de acumulação deD(j), então dil.emos quef(x)-+ +""'quando x--~ c, ou que

s

={x

:x o}em

(

*

f

se, para cada número positivo M, existe uma vizinhança U de c tal que, se x E U n D (j), x c, então f(x) > M. Formule e prove resultado análogo ao Teorema 25.3 para tal limite. 25.1. Com base nos Exercícios 25.H e 25.1, dê uma definição do que significam as expressões: ,.

lim

:t-+m

f=

+oo,

lim f = -oo. ,::-(

25.K. Estabeleça o Lema 25.8 para o limite superior não-restrito. Demonstre o Lema 25.9(b). 25. L. Defina o que significa lim supx-+ + oo f= L, e lim infx -+ oo f== - "". 25 .M_ Mostre que, se f é uma função semicontínua superiormente num subconjunto compacto K de RP com valores em R, então f é limitada superiormente e atinge seu s~premo em K. 25.N. Mostre que uma função semícontínuii superiormente num conjunto compacto pode não ser limitada inferiormente e pode não atingir seu ínfimo. 25. O. Mostre que, se A é um aberto de RP e f é uma função de RP em R, definida por f(x) 1 para x e A, e /{.f.l) O para x e A, então f é uma função semícontínu.a ínferíormente_ Se A é subcon· junto fechado de RP, mostre que/ é semícontínua superiormente. 25.P. Dê exemplo de uma função semicontínua superiormente que tenha um número infinito de pontos de descontinuidade. 25.Q. I!. verdade que uma função deRP em R é contínua num ponto se e somente se é semicontínua superiormente e inferiormente aí? 25.R. Se ifn) é uma seqüê~cia limitada de funções contínuas de RP em R e se f* é definida em RP por f*(x) sup{fn(x); n eNfpor x RP, então é verdade que f* é semicontínua superíormente

=

=

=

emRP?

. 25 .S. Se (fn) é uma seqüência de funções contínuas de RP em R e se. f* é definida em RP por f*(x) = inf~fn{x): n E N}por x E RP, então é verdade que f* é semi contínua superiormente em RP1 25. Seja f definida num subconjunto D de RP XRq e tomando valores em R r. Scj a (a, b)

f.

ponto de acumulação de D. Por analogia com a Definição 19.4, defina o limite duplo e os dQis limites iterados de f em (a, b). Mostre que a existência do limite duplo e dos limites íterados implica sua igual-

170

I

l

d:tde. Mostre que o limite duplo pode existir sem que ambos os limites it~rados existam, e que ambos x =O é os limites iterados po.dem existir e serem iguais sem que exista o limite duplo. ois limi· 25. U. Seja f a função do exercício precedente. Por analogia com as Definições 17.4 e 19.8, de· fina o que significa dizer que

1

g(y)=limf(x, y) .,._ .. > D(j)

n uniformemente para y num conjunto. Formule e prove resultado análogo ao Teorema 19.10. 25. V. Seja f como na Definição 25.1 e suponha que existe o limite restrito em c e que, para al· gum elemento A de Rq e r > O, se verifique a desigualdade 11/(x) -Ali
:Pode-se

Nesta seção, apresentaremos alguns teoremas que não serão aplicados neste livro, mas que, não obstante, são úteis na topologia e na análise. Os primeiros resultados dizem imite de respeito a extensões do Teorema da Aproximação de Weierstrass; segue·se urri teorema LI< e. que dá condíçoes sob as quais uma função contínua admite um prolongamento contínuo~ para tal e o resultado final é análogo ao teorema de Bolzano-Weierstrass no espaço Cpq(K) das de acu· funções contfuuas num conjunto compactoK.

~.então

essões: .9(b). mpacto

r(x) == 1 mbcon-

ínfinito

. e' sem1· lida em 'rmente

O TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS Para facilitar, in traduziremos a seguinte terminologia. Se f e g são funções com domínio D em RP e tomando valores em R, então as funções b e k definidas para X em D por h(x) = sup {f(x), g(x)}, k(x) = inf {f(x)r g(x)}, são chamadas supremo e ínfimo, respectivamente, das funções/ e g. Se/ e g são contínuas em D então também o são h e k. Este fato decorre do Teorema 20.7 e da observação de que, se a e b são reais, então sup {a, b} = Ha + b +la- bl}, 1

inf {a; b} =H a+ b -la- b!}.

Damos a seguir uma forma da generalização de Stone do Teorema da Aproximação de Weierstrass. A despeito de ter sido descoberto recentemente, já se tornou ••clássico". e deve fazer parte dos conhecimentos básicos de todo estudante de matemática. O leitor deve consultar o artigo de autoria de Stone, citado nas Referências, para extensões, aplicações e uma discussão muito mais completa. 26.1 Teorema de Aproximação de Stone. 7 Sejam K um subconjun,co compacto de RP e.9!uma coleção de funções cont{nuas de K em R com as propriedades: (a) Se f. g pertence a 2', então sup

RPpor

t.t: g} e inf{.t: g} perten~em a5e

tRP1

a

(a, b)

limites a igual-

7

MarshaU H. Stone (1903) estudou em Harvard e lecionou em Harvard e nas Universidades de Chicago e Massachusetts. Filho de um magistrado, tem dado contribuições fundamentais à análise moderna, especialmente às teorias dos espaços de Hilbert e álgebras de Boole.

171

(b) Se a, h E R e x f(y) =b.

::f::;

y E K, então existe uma função f em !/tal que f(:x) ==a,

Então qualquer função contínua de K em R pode ser aproximada uniformemente em K por funções em 2'. Demonstração. Seja Fuma função contínua de K em R. Se x,y pertencem a K, seja gxy EXtal que g.x-y(X) =F(x) e g.xy(y) =F(y). Como as funções F, Ex:r são contínuas e têm o mesmo valor em y, dado e> O, existe uma vizinhança aberta U(y) de y tal que, se z pertence a K n U(y) então

(?6.1)

·.

g~y(z)>F(z)-e.

Fixemos x, e para cada y E K, escolhamos urna vizinhança aberta U(y) com esta propriedade. Da compacidade de K decorre que K está contido em um núme10 finito de tais vizi· nhanças: U(y1), ... , U(yn). Se hx = sup{ gx;Y 1 , • •• , gx:rn}, segue·se então da relação (26.1) que ·

(26.2)

h,(z) > F(z)- e

para z E K.

Como gxyj(x) = F(;x), vê-se que hx(x) = F(;x) e, daí, que existe uma vizinhança aberta V(x) de x tal que, se z pertence a K n V(x), então

(26.3)

h,(z) < F(z) +e.

Utilizemos mais uma vez a compacidade de K para obter um número finito de vizinhanças V(x 1 ), ••• , V(xm) e façamos h""' inf{h.x 1 , • • • , hxm}· Então h pertence a..?'e, de (26.2), decorre que ·

h(z) > F(z)- e

para z E K.

h(z)
paraz E K.

l

e de (26.3) que

Combinando esses resultados, temos Ih (z) - F(z )I < e, z E K, o que dá a aproximação de~ sejada. Q.E.D. O leitor terá observado que, no resultado precedente, não se utilizou o Teorema da Aproximação de Weierstrass. No resultado seguinte, substituímos a condição (a) acima por três condições algêbricas no conjunto de funções. Aqui fazemos uso do Teorema de Weierstrass clássico, 24.8, para o caso especial da função valor absoluto t.p definida para t em R por lfl(t)""' ltl. para concluir que IP pode ser aproximada por polinômios em todo conjunto compacto de números reais.

26.2 Teorema de Stone-Weierstrass. Sejam K um subconjunto compacto de RP e si' uma coleção de funções cont(nuas de K em R com as propn'edades:

(a) A função consr:ante e (x) = 1, x E K, pertence a.!#.. (b) Se f, g pertencem aN, então af + (3g pertence a..!#para todos a, {3 em R. (c) Se f, g pertencem as/, então fg pertence as/. (d) Se x::?: y são dois pontos de K, existe uma função f em .Wtal que f(;x) ::f::; f(y). Então toda função contínua de K em R pode ser aproximada unifqrmemente em K por funções em Si'. 172

I

I

r ';

I

•

·.'

Demonstração. Sejam a, b ER ex* y pertencentes aK. De acordo com (d), existe uma função f em$1"tal que f(x)-::/::. f(y). Como e(x) = 1 =e(y). segue~se que existem nú· meros reais a, {3 tais que af(y)+{3e(y)= b. af(x) + f3e(x) =a, Portanto, de acordo com (b), existe uma função g ES;f tal que g(x) =a e g(y) = b. Seja agora..?a coleção de todas as funções contínuas em K que podem ser aproXimadas uniformemente por funções em.W. .'É claro que$1"Ç~ de modo que~goza da propriedade (b) do Teorema de Aproximação de Stone, 26.1. Mostraremos que, se h E2; então Ih I E!l'. Como sup {f, g} =~(f+ g + lf- gl),

inf {f, g} =

Hf + g -!f- gl),

Segue~se,

para Iti

::5

o

portanto, que

/

I

i

'

l,

/

( (

( '

hn pertence a.ifem virtude de nossas hipóte~es (a), (b) e (c). Como

llh(x)j-jh,.(x)!J

'

t

M + 1.

para x e K Ora, Pe

I

!

~~

isto implica que~tem a propriedade 26.1 (a) e, daí, que toda função contínua de K em R pertence a.SC: Como h é contínua e K é compacto, segue-se que existe M>O tal que l!hiiK S.M. Como h E.5t, existe uma seqüência (ftn) de funções em..Wque converge uniformemente para h em K, e podemos supor !lhni!K -S,.M + 1 para todo n EN. (Por quê?) Dado e> O, podemos agora aplicar o Teorema de Aproximação de Weíerstrass, 24.8, à função valor absoluto no inte;valo [-(M + l ), M + 1 Jpara obter um polinômio tal que

lltl- p. ( n! :s:; i e

r

\

!Ih- h., I!~<

\ i. ;

\

segue-se que, se n é suficie~temente grande, então temos

!

para x E K.

t

Como e> O é arbitrário, inferimos que Ih! EXe o resultado decorre então do teorema

Q.E.D. Corno caso especial do Teorema de Stone-Weierstrass. obteremos agora uma forma mais forte do Teorema 24.8. Este resultado reforçará o último resultado de duas maneiras: (i) permite que o dornínio seja um subconjunto compacto arbitrário de RP e não apenas .uma cela compacta em R, e (ii) permite que o contradomínio esteja em qualquer espaço Rq e não apenas em R. Para bem compreender a assertiva, lembremos que uma função f com domínio D em RP e contradomínio em Rq pode ser encarada como q funções de D em R mediante a representação coordenada.

'·

precedente.

(26.4)

parax E D.

Se cada função coordenada fj é um polinômio nas p coordenadas (x l zemos que f é uma função polinomial.

·1

\

{' ( \

, ... ,

x P ), então di-

(

. 263 Teorema da Aproximação PolinomiaL Seja fuma função contínua cujo domínio K é um subconjunto compacto de RP e cujo contradornfnio pertence a Rq e seja

,.

\

:

ac em

e> O. Então existe urna função polinomial p de RP em Rq tal que 11/(x)- p(x)ll
I.

(

obtemos uma função polinomial de RP em Rq que dá a aproximação desejada, em K, da função consíderadaf. · Q.E.D.

'

j

EXTENSÃO DE FUNÇÕES CONTiNUAS

Às vezes é conveniente estender o domínío de uma função continua a um conjunto maior, sem modificar os valores no domínio original. De maneira trivial, ísto sempre se pode conseguir, atribuindo-se o valor O à função fora do domínio original; mas tal método em geral não origina uma função contínua. Após alguma reflexão, o leitor verá que nem sempre é possível obter uma extensão contínua. Por exemplo, se D ={x ER :x ::fo o}ef é deflnlda, para x ED, porf(x) = 1/x, então não é possível estender f de modo a obter uma função contínua em todo o R. Todavia, é importante saber que sempre se pode obter uma extensão quando o domínio é um conjunto fechado. Além disso, não .é necessário aumentar o limite da função (no caso de ela ser limitada). Antes de provar este teorema de extensão, observemos que, se A e B são dois subconjuiltos fechados, disjuntos, de RP ~ então existe uma função contínua tp definida em RP e com valores em R, tal que

cp(x)=O,

xeA;

cp(x)=l,

xeB;

O
xeRP.

De fato, se d(x,A)=inf{llx -yll:yEA}e d(x,B)=inf{l!x -yll:yEB}, então podemos definir tp para x E RP pelá equação

Fei sup RP (2E

par (26 cor oq den con

gn( nall

_ d(x, A) cp(x)- d(x, A)+ d(x, B) · ' .

26.4 Teorema da Extensão de Tietze. 8 Seja fuma funçfio contínua, limitada, definida num subconjunto fechado D de RP e tomando valores em R. Então existe uma função contínua gde RP em R tal que g(x) = f(x) para x em De tal que· sup {llg(x)ll: x

E R~'}=

sup {l!f(x)ll: x

E

D}.

={

Demonstração. Seja M = supl lf(x)l: x ED} e consideremos A 1 x E D :f(x)-::;, -M/3} B 1 ED :f(x) ~M/3}. continuidade de f e do fato que D é fechado, decorre do Teorema 22.1 (c) que A 1 e B 1 são subconjuntos fechados de RP. De acordo com

e ={x

Da

con

mo:

Cor

8

l

'f.

174

Heínrich Tietze (1880-1964) foi professor em Munique e deu contribuições à topología,àgeometrla e à álgebra. O presente teorema da extensão data de 1914.

RP

des

ra

a observação que precede o enunciado do teorema, existe uma função contínua .p 1 de RP em R tal que

m

((

)1~

é

façamos agora/2

TM.

t Prosseguindo~ defmimos.A 2 ={x ED :f2 (;c)-::;,- iM}e B2 M f e obtemos uma função contínua tp2 de RP em R tal que ·

i


.a

)

)

=f- tp 1 e notemos que[~ é contínua em De que sup{ 1!2 (x)t :x ED~

x E Az;

-~~M::::::;
cpix) =


-t JM,

..

={x ED :{2 (x) d:: i i

X E Bz;

x E R~'.

Feito isto; tomamos { 3 =[2 - '{J2 e notamos que { 3 =f- I{J1 - lfJ1. é contínua em De que sup{lf3(x)l:xED~~(f)2M. · Procedendo desta maneira~ obtemos uma seqüência (IPn) de funções definidas em RP e com valores em R tais que, para cada n, · (26.5)

lf(x)- [cpt(X) + cpz(x) + · · · + cp,.(x)]j s (i)"M,

l

para todo x em De tais que

l

(26.6)

jcpn(x)l s

G)Ot-tM

para x E RP.

.

Seja gn uma função de RP em R definida por gn = 'Pl + r.p2 + · · · + '{Jn, donde decorre que gn é contínua. Da desigualdade (26.6) inferimos que. sem> n ex E RP. então jg,~(x)- g, (x )]

= j
ct)(Jr' M[l + J+(!) 2+ · · ·] S OtM,

o que prova que a seqüência (gn.) converge uniformemente em RP para uma função que denotaremos por g. Como cada gn. é contínua em RP, o Teorema 24.1 implica que g é contínua em todo ponto de RP. Vê-se~ outrossim, da desigualdade (26.5) que lf(x)gn (x)l S: Ei )nM para x E D. Concluímos, portanto, que f(x) = g(x) párà todo x em D. Fi-· nalrnente, a desigualdade (26.6) implica que, para qualquer x em RP, se iem ·

lg.. (x)J

~M(l+~+· · ·+(j)"-

1 ]

M,

Q.E.D.

o que demonstra a asserção final do teorema.

26.5 Corolário. Seja f uma função contínuo. limitada, definida num subconjunto fe* chado D de RP e com valores em Rq. E11tão existe uma função continua g de RP em RQ. com g(x) =f(x) para x em D e tal que

sup {!Jg(x)ll: x ~ RP} s

.fq sup {l!f(x)!l: x E'D}.

Demonstração. Acabamos de provar este resultado para q = 1. No caso geral, notemos que f define q funções coordenadas contínuas com valores reais emD, digamos,

f(x) = (ft(x), f2(x), ... , fq(x)). Como cada uma das fj, 1 ;:;;.; < q, tem extensão continua Ki de RP em R, definimos g de RP em Rq por g(x) =(g 1 (x), g 2 (x)~ ... ,gq(x)). Vê-se que a funÇão g tem as propriedades desejadas. Q.E.D. 175

EQÜICONTlNUIDADE Fizemos uso freqüente do Teorema de Bolzano-Weierstrass, 10.6 (que afirma que todo subconjunto infinito limitado de RP tem um ponto de acumulação), e do teorema correspondente, 16A, para seqüências (que assegura que toda seqüência limitada em RP tem uma subseqüência convergente), Apresentamos agora um teorema inteiramente análogo ao de Bolzano-Weierstrass, a menos, apenas, pelo fato de que ele se refere a conjuntos de funções contínuas, e não a conjuntos de pontos. Por uma questão de simplicidade, daremos apenas a forma seqüencial desse teorema. No que segue, seja K um subconjunto compacto fixo de RP; interessar-nos-ão fun· ções que sejam contínuas em K e tenham seu contradomínio em Rq. Em vlsta do Teorema 22.5, cada uma dessas funções é limitada, e daí, Cpq(K) =BCpq(K). Dizemos que um conjuntoYem Cpq(K) é limitado (ou uniformemente limitado) emK se existe uma cons· tante M tal que !lf!lx
={/

un

gu

en

·I

!!x

err qu

M = sup {llfd!;,, llf2IIK, · · · , llf.. lhdEm geral, um conjunto infinito de funções contínuas de K em Rq não será limitado. To-

yE

davia, uma seqüência uniformemente convergente de funções contínuas é limitada. (Cf. Exercício 26.M.) Se f é urna função contínua do compacto K em RP, então o Teorema 233 implica que ela é uniformemente contínua. Logo, se e> O, existe ó (e)> O tal que, se x, y pertencem a K e llx- yl! < ô(e), então 11/(x)- f(y)!l
en 16 de

mi

qu qu

obtemos um ó que "funciona" para todas as funções de tal conjunto finito. 26.6 Definição. Diz-se que um conjunto Yde funções de K em Rq é unifonnemenM te eqüicontínuo em K se, para cada real e> O, existe um número ó (e)> O tal que, se x,y pertencem a K e llx - yU < o (e) e f é uma função em 9; então 11/(x) - f(y )ll < e. Vimos que um conjunto finito de funções contínuas em K é uniformemente eqilicontínuo. Também é verdade que uma seqüência de funções contínuas que converge uni· formemente em K é uniformemente eqüícontínua. (Cf. Exercício 26.N.) Segue-se que, para que uma seqüência em Cp;z(K) seja unífonnemente convergente em K, é necessário que a seqüência seja limitada e uniformemente eqüicontínua em K. Mostraremos a seguir que essas duas propriedades são necessárias e suficientes para que um conjunto .:7 em Cpq (K) tenha a propriedade de que toda seqüência de funções em Y admita uma subseqüência que converge uniformemente em K. Este fato pode ser encarado como uma generalização do Teorema de Bolzano-Weierstrass a conjuntos de funções contínuas, e desempenha papel relevante na teoria das equações integrais e diferenciais.

él

fu1

t01

ve1

C\

ô( co

Da

26.7 Teorema de Arzelà-Ascoli. 9 Sejam K um subconjunto compacto de RP e Y l

176

€o

de

fn},

Ces:ue Arzelà {1847-1912) foi professor em Bolonha. Deu condiçôes neces.'lárias e suficientes para que o limite de uma seqüência de funções contínuas num intervalo fechado seja contínuo, e estudou tópicos relacionados. Giulio AscoU (1843·1896), professor em Milão, formulou a definição de eqüicontinujdade num contexto geométrico. Deu também contribuições às séries de Fourier.

é( tO I ge!

f o! pa

/., . f

uma coleção de jimções contlnu.as em K com valores em Rq. Então as propriedades seguintes são equivalentes:

·I

i

i

(a) A família !Té limitada e uniformemente eqüicq,r.ztinua em K. (b) Toda seqüência de Ytem uma subseqüência uniformemente convergente emK. · Demonstração. Mostremos primeiro que, se a condição (a) é falsa, então também o é (b ). Se .9'não é limitada, então existe uma seqüência (/n) em .7tal que llfn llx ~ n para todo n E N. Mas então nenhuma subseqüência de (/n) pode ser unifomtemente convergente. Outrossim, se o conjunto Y não é uniformemente eqüicontfnuo, então, para algum e0 >O, existem (por quê?) uma seqüência lfn) em Ye seqüências (xn) e (yn) em K com l!xn - Ynll < 1/n, mas tais que !l[n(xn)- f,.(y 11 )11 > fo. Mas então nenhuma subseqüência de ifn.) pode ser uniformemente convergente em K. Mostremos agora que, se o conjunto 9"satisfaz (a), então, dada uma seqüência ifn) emY, existe uma subseq üêncía que converge uniformemente em K. Para tanto, notemos que, do Exercício lO.H, decorre que existe um conjunto numerável C em K tal que, se y E K e e> O, então existe um elemento x em C tal que !lx- yll
(

í

'

I

\

( '

( 1.

(f/(xt), f2l(x1), · .. , [n 1(X1), ...)

de ifn(x 1)) que é convergente. Notemos em seguída que a seqüência mitada em Rq; logo, tem uma subseqüência

í

ifk (x2): k EN) é li-

\

(

(N~(x.2), f/(x2), · .. , fn\X~;),. · .)

(

que é convergente. Novamente, a seqüência~ (x 3 ):n EN) é limitada em Rq, de modo que alguma subseqüência ([1\xJ); f/(x:~), ... , f/(x.J), · · .) é convergente. Procedendo desta maneira, fazemos gn =f~ de modo que gn. seja a nl?a função na nf!l_a subseqüência. É claro, por construção, que a seqüência (gn) converge em todo ponto de C. . Provaremos agora que a seqüência (gn) converge em todo ponto de K e que a convergência é uniforme. Para tanto, sejam e> O e o(€) >O como na Definição 26.6. Seja C\ urn subconjunto finito de C tal que todo ponto de K esteja a menos de 1 , ... , o(e)de algum ponto de Ct. Como as seqüências

={y

'

\.

\

\

Yk}

(g,.(yt)), (gn(y2)), · • •, (g,..(yk)) convergem, existe um número natural M tal que, sem, n 11 g,, ( Y•)

l 1' i l

(

- g,. ( y.)!i < s

I

)

> M, então

? para L. --1 , -·

'''

• • ••

(

k•

'·

Dado x E K, existe um y i E C 1 tal que llx - nll < õ (E). Logo, pela eq ilicon ti nu idade uniforme, temos llgn (x) -~ g n(y; )U M. Temos, pois,

!

llg, (x) - gm (:x )!I :S !lg.. (x)- g,. ( Yi )!I+ !Jg, (yi) - g... (YI )!I

r ;

''

(

+ lig,,(yi)-- g,.(x)l!< s +e+ e= 3e, 177

( ( \

'

desde quem, n 2M. Isto mostra que

!jg,- gon!JK

<

3e

para m, n ;::::: M,

de modo que a convergência uniforme da seqüência fin) em K decorre do Critério de

Cauchy para a convergência uniforme> dado em 17 .11.

Q.E.D.

•'

Na demonstração deste resultado, construímos uma seqüência de subseqüências de funções, escoThendo então uma seqüência "diagonal" (gn), onde gn ""'fli. Tal construção costuma chamar-se "pro· cesso díagonal" ou "método diagonal de Cantor", e é util freqüentemente. O leitor deve lembrar-se de que utílízamos um tipo semelhante de argumento na seção 3 para provar que o conjunto dos ·números reais não é numerável.

EXERCÍCIOS

,

26.A. Mostre que a condição (a) do Teorema 26.1 é equivalente à condição: (a') Se f pertence a 2, então lfl pertence a !f. 26.B. Mostre que toda função contínua com valores reais no intervalo {0, rr] é o limite uniforme de uma seqüência de "polinômios em cos x" [isto é, de funções (Pn), onde Pn(x) =Prl(cos x) para algum polinômio Pnl· 26. C. Mostre que toda função contínua com valores reais em {0, 1r] é o límíte uniforme de uma seqüência de funções da forma

x ,_, an + a, cos x + a, cos 2x + · · · + a,. cos nx .

.

'.

.; ',

26.D. Explique por que o resultado do Exercício 26.B não. se verifica se substituímos cos kx por sen kx, k E N. 26.E. Use o Exercício 26. C para mostrar que toda função contínua com valores reais f em (0, n) comf(O) /(n) é o limite uniforme de uma seqüência de funções da forma

=

x

~

bo + b 1 sen x + b~ sen 2x + · · · + bn sen nx.

26.F. Use os Exercícios 26.C e 26.E para mostrar que toda função f contínua com valores·· reais em [-n, n] com f( -rr) = f(tr) é o limite uniforme de uma seqüência de funções da forma

x ~ a 0 + a 1 cos x + b 1 sen x + · · ·+a,. cos nx + bft sen nx.

=+

[Sugestão: Decomponha f na soma f= [p + ft de uma função par fp(x) {f{x) +f( -x)) e uma fun· ção ímparfi(X) if(x)- f(-x)).J 26.G. Dê uma demonstração do exercício precedente baseada no Teorema 26.3 aplicado ao cú· culo unitál:io T = {
=;

f~(x)gl(y)+ · · · + f"(x)g~(y).

onde fí, g; pertencem a si. 26.1. Mostre que o Teorema de Tietze, 26.4, pode faThar se o domínio não é fechado. 26.1. Use o Teorema de Tietze, 26.4, para most;:ar que, seD r:,.RP é fechado c se fé uma função contínua não-limitada D-+ R, então existe uma extensão contínua de f a todo o RP. [Suge.stão: Considere a composição tP" f, onde cp(x)::::: Are tan x ou O,existe um s (c, e) tal que se x E De Ux - c \I < 6 (c, e),então Qf(x)- f(c)il
178

,.'

•

c= lim (Xn ). então {(c)= lim {f(xn)) uniformemente para/ eY.(Às vezes diz-se queYé eqüicontinua

•''

em c E D quando esta propriedade é satisfeita.) 26. L. SejaYtal como no Exercício 26.K. Se D é cempacto e a propriedade do Exercício 26.K é satisfeita para todo c E D, mostre queYé uniformed;erife eqüicontínua no sentido da Definição 26.6. 26.M. Se K c RP é compacto e ifn) é uma seqüência de funções contínuas de K em Rq que é uniformemente convergente em K, mostre que a família{ In Hmitada em K (no sentido de que existe M > Otal que llfn(x}ll ~ M para todo x E K. n E N (ou Sfn.IIK < M para n E N). 26.N. Se K C RP é compacto e ifn) é uma seqüência de funções contínuas de K em Rq que é uniformemente convergente em K, mostre que a famllía{tn} é uniformemente eqüicontínua em K no sentido da Definição 26.6. . 26.0. SejaYuma coleção limitada e uniformemente eqüícontínua de funções de D r;;..RP em R e seja f* definida em D -+R por

}é

f*(x)

= sup {f{x): f e$1}.

Mostre que f* é contínua de D em R. 26.P. Mostre que a conclusão do exercício precedente pode falhar se elíminarmos a hipótese de eqüicontinuidade uniforme deY. 26.Q. Considere as seguintes seqüências de funções, que mostram que o Teorema de Arz.elà· Ascoli, 26.7, pode falhar se se eljminam as diversas hipóteses. , (a) f,.(x) (b) f, (x)

=x. + n =x"

para x e [O, 1 ]; para x e [O, 1];

1 {c) f,.(x)=l+(x-n)1

para

XE

~~~

{0, +co),

. 26. R. Seja ifn} uma seqüência de funlões contínuas de R em Rq que converge em cada ponto do conjunto Q dos. racionai5. Se o conjuntoi/n} é uniformemente eqüicontínuo em R, mostre que a seqüência converge em todo ponto de R e que a convergência é uniforme em todo conjunto compacto de R, mas não necessariamente uniforme em R. ')

179

"" CAPITULO

5

FUNÇOES DE UMA VARIÁVEL

'

. j

Iniciaremos aqui o estudo da diferenciação e integração de funções. Trataremos primeiro o caso das funções de uma variável; nos capitules 7 e 8 abordaremos as funções de várias variáveis. Veremos, ao comparar esses capítulos, que o caso das funções de várias variáveis é análogo, em suas linhas básicas, ao que vamos fazer aqui, embora possam surgir ali certas complicações. Além disso, como a teoria geral utiliza resultados do caso de uma variável, é recomendável estudar primeiro este caso. Nas seções 27 e 28 introduziremos a derivada de uma função definida num intervalo real e estabeleceremos o importante Teorema do Valor Médio e alguns de seus corolários. Na seção 29 abordaremos a definição de integral de Riemann (e Riemann*Stieltjes) de funções limitadas em um intervalo [a, b]. As propriedades básicas da integral serão estabe· lecidas nesta seção e nas seções 30 e 31. Nas duas últimas seções, discutiremos as integrais "impróprias" e infinitas. Conquanto não façamos muito uso dos resultados dessas seções, eles têm importância em muitas aplicações.

SEÇÃO 27 O TEOREMA DO VALOR MÉDIO

l ;

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.

'

Como supomos o leitor familiarizado com a relação entre a derivada de uma função de R em R e o coeficiente angular de seu gráfico, e com a noção de taxa instantànea de variação, focalizaremos nossa atenção unicamente nos aspectos matemáticos da derivada, sem entrar em suas aplicações à física, economia etc. Nesta seção e na próxima consídera· remos uma função com domínio De contradomínio contido em R. Conquanto estejamos interessados precipuamente na derivada em um ponto interior, defmi~la-emos de maneira um tanto mais geral, de forma a possibilitar, por exemplo, a consideração dos pontos extremos do iQtervalo. Exigiremos, todavia, que o ponto em que estamos definindo a derivada seja ponto de acumulação de D e pertença a D . 27.1 Defmição. Seja c um ponto de acumulação de D, pertencente a D. Dizemos que um número real L é a derivada de f em c se, para todo e> O, existir um número ó (e)> O tal que, se x pertence aD e O< lx- cl < ó (e), então

(27.1)

f(x)- f( c)- L

x-e

Escrevemos então f'( c) em lugar de L. Alternativamente, poderíamos definir f'(c) como o limite

. f(x)-f(c) 1lffi •-< X- C

180

(x

E

D, xr' c).

'

.,( I

(

Note·se que, se c é ponto interior de D, então, em (27 .1 ), consideramos os pontos .:x: tanto à esq ue.-da como à direita de c. Por outro lado, se D é um intervalo e c é o ponto extremo inferior de D, então na relação {2 7.1) só podemos tomar x à direita de c.

Sempre que a derivada de f em c existe denot'âínos. seu valor por f'(c). Obtemos assim uma função f' cujo domínio é um subconjunto do domínio de f. Mostraremos que a continuidade de f em c é condição necessária para a existência da derivada em c. f

27.2 Lema. Se f tem derivada em c, então f é contínua em c.

Demonstração. Seja e = 1 e tomemos ó

\

=ô (I) tal que

If(xl=~(c)_f'(c)

para todo x E D que satisfaça O < lx - cl que, para esses valores de x,

'

<1,

< ô. Pela desigualdade

do triângulo> inferimos

.

'

)

lf(x)- f( c)! ;S lx- cl {lf'(c)l + 1}. Podemos tomar a expressão à esquerda menor do que e se tomarmos x em D com lxc I< inf{ o, e/(lf'(c)I + 1}· Q.E.D. Vê-se facilmente que a continuidade em c não é condição suficiente para a existência da derivada aí. Por exemplo, se D =R e f(x) =!XI, então f é contínua em todo ponto de R, mas tem derivada em um ponto c se e somente se c :# O. Partindo de combinações algébricas símptes, é fácil construir funções contínuas que não tenham derivada em um conjunto finito, ou mesmo n.umerável, de pontos. Em 1872 Weierstrass <::hocou o mundo matemático com um exemplo de função contínua em todo ponto, mas que não possui derivada em ponto algum. (Na realidade, pode-se provar que a função definida pela série

r: \ {

(

I

apresenta tal propriedade. Não entraremos em detalhes a respeito;o leitor ínteressado poderá consultar os livros de Titchmarsh e Boas para maiores detalhes e referências.)

27.3 Lema. (a) Se f tem derivada em c e f'(c)> O;existe um número ô >O tal que, se x ED e c< x
(b) Se f'(c)
o> O tal que, se x

I

\,

\ /

'

D e c- ó < x
i.

Demonstração. (a) Seja Eo tal que O< e0
Eo

1•.

I'

(

-c> O, esta relação implica

O< (f'(c)- so)(x- c)< f(x)- f( c),

o que demonstra (a). A prova de (b) é análoga.

(

r

-eo
l

/ '•

Q.E.D.

Lembremos que a função f tem máximo relativo em um ponto c de D se existe um ô >O tal que f(x) <[(c) quando x E D satisfaz jx- cl < 8. Definição análoga aplica-se ao mínimo relativo.

< (

l (

181

I

\

{

O próximo resultado constitui a justificativa teórica do processo familiar de deter, minação .dos pontos em que f tem máxímo (ou mínimo) relativo, estudando os zeros da derivada. Note-se que tal processo é aplicável somente a pontos interiores do intervalo. De fato, se f(x) = x em D = [O, 1], então o ponto extremo x =O dá o único mínimo relativo, e o ponto extremo x = 1 dá o único máximo relativo de f, mas nenhum desses valores é raiz da derivada. Por questão de simplificação, daremos o resultado apenas para máximos relativos, de.ixando ao leitor a formulação do resultado correspondente para mínimos re* lati vos.

2 7.4 Teorema do Máximo Interior. Seja c um ponto interior de D em que f tem máximo relativo. Se a derivada de f existe em c, então ela deve ser zero ai. Demonstração. Se f'( c}> O, então, pelo Lema 27 .3(a), existe um ô >O tal que, se c < x < c + ó e x E D, se tem f( c)
Figura 27.1

,-

t'.

! •

i'

'·

'·

27.5 Teorema de Rolle. 1 Suponhamos que f seja continua em um intervalo fechado J =[a, b ], que a de1ivada f' exista no intervalo aberto (a, b ), e que f(a) =f(b) =O. Então existe um ponto c em (a, b) tal que f'( c) =O.

Demonstração. Se f se anula identicamente em J, podemos tomar c= (a + b)/2. Su~ poremos então que f não se anule identicamente; substituindo f por -f. se necessário, po· demos supor que f só tomr valores positivos. Pelo Teorema do Valor Máximo, 22.7, a função f atinge o valor supif(x):x El}em algum ponto c de J. Comof(a) ""f(b) =0, o ponto c satisfaz a< c< b. Por hipóteseJ'(c) existe e, como f tem ponto de·máxímo relativo em c, o Teorema do Máximo Interior implica f'(c) ""'O. . Q.E.D.

Conseqüência do Teorema de Rolle é o Teorema do Valor Médio, fundamental na análise.

27.6 Teorema do Valor Médio. Seja f continua num intervalo fechado J =[a, b] e dotada de derivada no intervalo aberto correspondente (a, b ). Então existe um ponto c em (a, b) tal que f(b)- f( a)= f'(c)(b- a). 1

182

Este teorema é geralmente atribuído a Michel Rolle (1652-1719), membro da Academia France· sa, que deu contribuições à geometria analítica e aos trabalhos iniciais que deram origerh ao cálculo.

.. '

ll

Demonstração. Consideremos a função ..p definida em J por

cp(x) = f(x)- f( a) _f(b) ~f( a) (x-a). b- a,..

•••

[Vê-se facilmente' que 1fJ é a diferença entre f e a função cujo gráfico consiste do segmento de reta que passa pelos pontos (a~f(a))e (b,[(b)); v. Figura 27.2.] Decorre das hipóteses que tp é contmua emJ= [a, b] e se verifica facilmente que ..p tem derivada em (a, b). Além disso, temos !f'(a) =VJ(b) =O. Aplicando o Teorema de Rolle, vê-se que existe um ponto c interior a J tal que

Figura 27.2 O teorema do valor médio.

c

b

O= cp'(c) = f'(c)-f(b)- [(a)

b-a

donde decorre o resultado desejado.

..

Q.E.D.

27.7 Corolãrio. Se f tem derivada em J =[a, b J, então extste um ponto c em (a, b) tal que f(b)- f( a)= f'(c)(b- a) . ' As vezes é conveniente dispormos de uma versão mais geral do Teorema do Valor

Médio envolvendo duas funções.

27.8 Teorema do Valor Médio de Cauchy. Sejam f, g continuas em J =[a, b Je dotadas de den·vadas em (a, b ). Então existe um ponto c em (a, b) tal que

f'(c)[g(b)- g(a)] = g'(c)[f(b)- f( a)].

Demonstração. Quando g(b) =g(a), o resultado é imedíato, desde que tomemos c .tal que g'(c) =0. Se g(b) :zfog(a), consideremos a função 1fJ definida emJ por

cp(x) = f(x)- f(a)- f(b)- f~ (g(x)- g(a)]. g(b)- g(a) Aplicando a VJ o Teorema de RoHe, temos o resultado desejado.

Q.E.D.

Conquanto a deri.vada de uma função não necessite ser contínua, existe um teore· ma, elementar porém de grande alcance, devido a Darboux, 2 que afirma que a derivada[' toma todos os valores entre f'(a) ef'(b) no íntervalo (a, bJ. (V. Exerdcío 27.H.) Gaston Darboux (1842-1917) foi aluno de Hermite e professor no Colh~ge de France. Conquan- . to seja conheddo principalmente como geômetra,·deu importantes contribuições à análise.

183

É fácil lembrar o enunciado do Teorema do Valor Médio traçando diagramas adequados. Trata,se, entretanto, apenas de um processo auxiliar, que tende a sugerir que a importância do teorema tenha raizes geométricas, o que é bastante enganoso. De fato, o· Teorema do Valor Médío é um lobo em pelo de ovelha, e é o Teorema Fundarpental do Cálculo Diferencíal. Encerraremos esta seção com algumas conseqüências elementares deste resultado. Nas próximas seções prosseguiremos.

27.9 Teorema. Suponhamos que

exista em (a, b ).

f seja contínua em J = [a, b] e que sua derivada

(i) Se f'(x) =O para a
(ii) (iíi) (iv) (v) (vi) ( víi)

Sef'(x) =g'(x) para a O para a Oparaa O para a< x
Deixamos a demonstração a cargo do leitor.

EXERCÍCIOS 27.A. Usando a definição, calcule a derivada (quando existe) das funções dadas por:

f(x) = X 1 (b) g(x) ""'xK

i

i

(a)

'!

(c) h(x) =./X (d) F(x) 1/x (e) G(x) ""!x! (f) H(x) = 1/x 2

,.'

=

,,t· ;

... I

para para para para para para

XER,

xER, X ;;::: 0, x#-0, XER, x;;
27.B. Se f e g são funções com valon:s reais definidas em um intervalo J, e sê são diferenciáveis em um ponto c, mostre que seu produto h, definido por h (x) =f(x)g(x), para x E J, é diferendável em c, e

'

.,''

h '(c)= f'(c)g(c) + f(c)g'(c) .

27. C. Mostre que a função definida para x
f(x) =sen (1/x)

~

'

.:

é diferenciável em cada ponto real não-zero. Mostre que sua derivada não é limitada na vi:t.inhança de x =O. {Pode"Se lançar mão de identidades trigonométricas, da continuidade das funções seno e co"Seno, e da relação elementar de limite (sen u)/u...., 1 quando u _,. 0.] 27.D. Mostre que a função definida por g{x)

=X

1

""' o,

sen (1/x),

X~

0,··

x=O '

é diferenciável para todos os pontos reais, mas queg' não é contínua em x"" O.

184

\.

(

27 .E. A função h: R -.;.R definida por h (x) = .x::t para x E Q e h (x) =O para x e: Q é contínua exatamente em um ponto. f: diferenciável aí? 27.F. Seja cED ponto de acumulação deD ef:D-R. Mostre que /'{c} existe se e somente se, para toda seqüência (xn) em D com Xn 6 para n EN'tat•·que lim (Xn) =c, o limite da seqüência

\

*

(

f(x .. ) -- f(c))

I

\

X.,- C

existe. Neste caso, os limites de todas essas seqüências são iguais a /'(c). · · 27.G. Se f :D- R é diferenciável em c De se c+ 1/n E D para todo n E N, mostre que

f'(c) = lím ( n{f(c + 1/n)- f( c)}). Mostre que, entretanto, a exístência do limite desta seqüência não implica a existência da derivada. 27. H. (Darboux) Se f é diferenciável em [a, b), se f'(a) =A, f'(b) = B, e se C está entre A e 8, então existe um ponto c em (a, b) para o qual f'(c) =C. [Sugestão: Considere o limíte inferior da função g(x) = f(x} - C(x- a).J 27. L Se g(x) =O para x < O e g(x) l para x?::. O, ptove que não existe uma função f: R-" R tal que f'(x) = g(x) para todo x E R. · 27.1. Dê exemplo de uma função contínua com um único ponto de máximo relativo, mas tal que a derivada não exista em tal ponto.

(

\

( \

=

27 .L. Seja f: {a, b] -• R diferenciável em c E [a, b}. Mostre que para todo e> O, existe um 5(e) >O tal que, se O < lx- Y! < ô(e) e a :;;;.x S.. c< y S: b, então

l /

(

(

·,

f(x)-f{y)_f(c)
l

27 .M. Seja f: [a, b i-~ R diferenciável em [a, b]. Mostre que f' é contínua em (a, b] se e somente se, paxa todo e> O, existe um ô(e) >O tal que, se O< lx- Yl < ó(e), x, y E [a, b], então

í

x-y

•.

f(x)-f(y) -f'(x)
x-y

27.N. Seja f: [a, b]....,. R contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b). Se timaf'(x) =A, mostre que /'(a) existe e é igual a A. 27.0. Se f: R....,. R e se existe f'(a), mostre que

f

'( a )-l' f(a+h)-f(a-h) - .,_(1 1m . 2h

(

\

Dê, todavia, um exemplo para mostra~ que a existência deste ümíte não implica a existência da derivada. 27.P. Diz·se qt1e uma função f:R-"'R é par se f(-x)=.f(x) para todo xER;{:R-R é Ímpar se f(-x} = -f(x) para todo x E./?.. Se f é diferenciável em R e é par (ímpar), mostre que f' é Ímpar (par}. 2 7. Q. Seja f: (a, b)...,. R e c E (a, b ). Façamos {(c+)= lim.x- -•c f{x) (limite de f à. direita em c). Se o limite à direita

A,= lim

.,...

•-•

[

I

( '

t

(

f.0:)- f(c+) X- C

ex.iste em R, d ízemos que f tem derivada à direita em c e denota.rnos Ar por f~ (c). Analogamente para a derivada à esquerda. Mostre que, se f é contínua em c, então /'(c) existe se e somente se{; (c) e {:(c} existem e são iguais. Mostre, entretanto, q uc podemos ter g :(c) = g.;. (c) sem que g '(c) exista. . 27.R. Sejam I e· J intervalos em R, f:!_., R e g :J.....,. R tais que g é diferenciável num ponto b E J e f é diferenciável num ponto interior a= g (b) de /. Mostre que a composição h =f o g definida

185

..··'

\

( J

\

(

'•

{

para{ xEJ:g(x)El} é diferenciável em beque h'(b)=f'(a)g'(b).[Sugestão: Seja H definida em D(h) por H(x) = t!J;_(x))- f{g(b)) . g(x)-g(b) = f'(a)

se

g(x)

se

g(x) = g(c).

;f.

g(c), ,

Mostre que limb H(x) == f'(a). Use então o fato de que (g(x) - g(b ))H (x);::: f(g(x)) - f(g (b)) para todo x em D(h).} 27.S. Seja[: [0, +"")....,.R diferenciável em (0, +«>). (a) Se f'(x}....,. b ER quando x....,. +""',mostre que, para todo h> O, se tem

lim f(x +h)- f(x)= b.

.í

h

x,..-.«.

.

{b) Sef(x)....,. a E R ef'(x) _,. b ER quando x _..+"",então b =O.

(c) Se f'(x).:... b E R quando

X....,.+"", então [(x)/x-+ b quando x

......

+""'·

27. T. Seja f; (a, bJ-> R difeÍenciável com O < m SJ'(x) < M para x E {a, b] e f(a)
''

x~+~

1

= x.,.- M

f(x.,.),

nEN.

Prove que esta ·seqüência é bem definida e converge para a raiz (única) [a, b] e que

x da

equação [(x) =O em

l

para n E N. (Sugestão: Seja op :[a, b]-+ R definida por op (x) ""x - f(x)/M. Mostre que op é crescente e é uma contração (v::23.4) com constante I - mjM.) 27. U. Seja f: R-+ R dotada de derivada contínua e tal que f(a) = b e /'(a) >1:. O. Seja ó >O tal que se jx- ai.::;;. o.então lf'(x) - f'(a)l < lf'(a)l e seja TI =-!-6 lf'(a)l. Prove que se IJ'- bl < 71, então a seqüência (xn) definida por x i ""'a e _ f(xh)~y neN X""' - Xn - · f'( a) ,

+

converge pam o ponto (único) x em [a- tl,a + tl} tal que[(X) =·Y. (Sugestão: Mostie que a função de· ftnida por op(x) =x- (f(x) - Y)ff'(a) é uma contração com constante t no intervalo Ia - õ, a+ ôJ,) : '

:

'

SEÇÃO 28 O'J]TRAS APL!ÇAÇÕES DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO

!,'

' l

. 1

. I

.

Nunca é demais enfatizarmos a importânêia do Teorema do Valor Médio, que de· sempenha papel relevante e~ inúmeras considerações teóricas, ao mesmo tempo que en· contra aplicaç~o útil em muitas questões práticas. No item 27.9 indicamos algumas de suas conseqüênCias imediatas. Sugeriremos agora outras áreas de aplicação para o mesmo; vafer-nos-emos então, mais ·ainda, da .experiêncía passada do leitor e de seu conhecimento das derivadas de certas funções usuais. 28.1 Aplicação. O Teorema <;le Rolle pode ser utilizado para localizar as raízes de uma função. éom efeito, uma função g pode ser identificada corno a derivada de urna função[, então entre duas raízes de f existe ao menos urna raiz de g. Seja, por exemplo, g (.x) = cos x; g é a derivada de f(x) = sen x. Logo, entre· duas raízes· de sen x há pelo me·

se

186

l

,

nos uma raíz de cos x. Por outro lado,g1(x) = -s~n x = -f(x), de forma que outra aplicação do Teorema de Rolle nos diz que entre duas raízes de cos x existe ao menos uma raiz de sen .: . Concluímos, portanto, que as raízes de sen x ecos x se intercalam. Esta conclusão provavelmente não constitui novidade para o leitor; todavia, o mesmo tipo de argu· mento pode ser aplicado às funçoes de Bessezl ln. de ordem n =O, 1, 2, ... utilizando-se as relações

O leitor dará os detalhes deste argumento. 28.2 Aplicação. Podemos aplicar o Teorema do Valor Médio para cálculos aproximados e para obter estimativas de erros. Suponhamos) por exemplo, que se deseja calcular .JIOS. Aplicando o Teorema do Valor Médio com[(x) = yx, a= 100, b = 105, obtemos 5

"'li os- Jlõõ = 2 Jê, c

para algum número demos afirmar que

c tal

que 100
5

vlfõ5 < v'f2i = 11, po-

5

2 (ll} < .J105 -10 < 2(lO)

r

donde decorre que 10,22 < yTõ5 < 10,25. Esta estimativa pode não ter a precisão desejada. É claro que a estimativa -./é < yTõ5 < YT2T pode ser melhorada valendo-nos da conclusão que v'Tõ5 < 10,25. Assim, v'C < 10)25> detemúnando-se então facihnente que

5 0,243 < 2(10,25) < .J1õ5 -10. Nossa estimativa, agora melhorada, é 10,243 < viOS < 10,250. Podemos obter outras estimativas ainda mais precisas por este mesmo processo. 28.3 Aplicação. Podemos utilizar o Teorema do Valor Médio e seus corolários não

só para estabelecer desigualdades, como para estender a valores reais desigualdades válidas para valores inteiros ou racionais. Por ex~mplo, a desigualdade de Bernoulli S.C afirma que, se l + x >O e n EN, en· tão (1 + x)n :2: 1 + nx. Mostraremos que esta desigualdade vale para qualquer expoente real r~ l. Seja f(x) = (1 + xy, de modo que f'(x) =r(l +xy-t. Se -1 < x O, f'(x) >r. Aplicando o Teorema do Valor Médio a ambos esses casos, obtemos o resultado (l+x)'

l+n:,

quando 1 + x >O e r~ 1. Além disso, se r> l, então a igualdade se verifica se e somente se x =O. Resultado semelhante se obtém com a real tal que O< a:< l eg(x) =o:x- xa para x ~O. Então g'(x) = o:(l - xa -• ), de forma que g'(x) O para

---·--··-3

Frederích WilhelmJ3es;;el (1784-1846) foi astrônomo e matemático. Amigo íntimo de Gauss, é conhecido prindpáimente pela equação diferencial que tem seu nome.

187

1

'

x > 1. Conseq4entemente, se x ~ O, então g(x) :?.: g(l) e g(x) =g (J) se e somente se x Portanto, se x 2 O e O
Í

X,. :S
+(1 -

=l.

a) .

/ J Se a 2 O e b > O, fazendo x = ajb e multiplicando por b, obtemos a desigualdade '

/ I 1,

II

·~

•

a"b 1-"'

onde a igualdade se verifica se e somente se a =b. Esta desigualdade pode ser tomada como ponto de partida para estabelecer a ímportante Desigualdade de Holder (cf. Pojeto

8./3).

. J'

I

•

1.

I

'

(

.,

c t

1

f'(x) =~= -x _.,.O g'(x) -1 '

quando

Seja e > O. Escolhamos um número fixo O < x 1 < 1 tal que se O < x g'(x)l
I

I=

.

l

f(x)

g(X) 4

188

J (

r.

t

I

f'(x'.l) \ < 8 g'(x:<) •

1-f(~ [(x) 1

1.

< x 1 , então lf'(x )/

com x 2 satisfazendo O < .x < x 2 < x 1 • Como f (;c) =f:. O e g(x) ::f. O para O< x < x 1 , podemos escrever a expressão à esquerda na forma (mais conveniente) ·

'

a

r. L

x ->O.

X

f(x)- f(x,) g(x)- g(xt)

._

! f

c

Se as funções se tornam infinitas em x =a, ou se o ponto em que se toma o limite é infinito, ou se há uma "indeterminação" de alguma outra forma, em geral podemos tomar logarítmos, ou exponenciais, ou recorrer a outra manipulação análoga. ·Por. exemplo, se a =O e se queremos calcular o limite de h (x) = x log x quando x-+ O, não podemos aplicar o argumento acima. Escrevemos então h(x) na forma [(?c)/ g(x), ondef(x) = log x e g(x) = 1/x, x >O. Vê-se que

'

.!

(

. f(x) -li f'(x) I,_, trn g ( X ) - ~-., m g '( X ) .

.' I . ·j

:I I

1

Segue-se que, se lim"' ...... a f'(x )/g'(x) existe, então

J

'i

I

28.4 Aplicação. As conhecidas "regras âe l'Hôpital" 4 para cálculo de "formas indeterminadas" podem ser estabelecidas por meio do Teorema do Valor Médio de Cauchy. Suponhamos, com efeito, que f e g sejam contínuas em [a, b] e tenham derivadas em (a, b), que f(a) =g(a) =O, mas que g, g' não se anulem para x ::f. a. Então existe um ponto c,a
i

"'I

aa + (1- a)b,

:<5

_ _g(xl) g(x)

Guiltaume François L'HôpitaJ (l661·1704) foi aluno de João Bernoulli (1667·174.8). O Mar· quês de l'Hôpital publicou as aulas de seu mestre sobre cálculo diferencial em 1696, dando ao mundo, assim, o pdmeiro livro-texto de cálculo.

d t c r

c

Mantendo x 1 fixo, façamos x -+0. Como a quantidade entre chaves converge para 1, ela para x suficientemente pequeno. Inferimos daí que excede

f

lh(x)l =

i~:~

I< 2ã,

r'

\

f

para x suficientemente próximo de O. Assim) o limite de h em x =O é O.

\

i

\

PERMUf A DE LIMITE E DERNADA

Seja (/n) uma seqüência de funções definida em um intervalo J de R e tomando valores em R. É fácil dar exemplo de uma seqüência de funções dotadas de derivadas em todo ponto de J e que converge em J para uma função f que não tem derivada em alguns pontos de J. (Faça-o!) Além disso, podemos usar o exemplo de Weierstrass já mencionado para ilustrar o caso de uma seqüência de funções que possuem derivadas em todo ponto de R e que converge uniformemente em R para urna função contínua que não tem deri· vada em ponto algum. Não se pode, pois, em geral, diferençar o limite de uma seqüência convergente de funções deriváveis, mesmo que a convergência seja uniforme. Se a seqüência de derivadas é uniformemente convergente) então tudo bem, Acrescentando-se a hipótese de continuidade das derivadas, é possível dar uma rápida demonstração desse fato baseada na integral de Riemann. Entretanto, se não se supõem contínuas as derivadas, deve-se apelar para um argumento um tanto mais _delicado. l.

t. ( I

\

1.

(

\

28.5 Teorema. Seja ifn) uma seqüência de funções definidas em um intervalojinito J de R e com valores em R. Suponhamos que exista um ponto x 0 em J no qual a seqüência ifn(x 0 )) converge, que as den·vadas f~ existam em J. e que a seqüência (f~) seja uniformemente convergente em J para urna função g. Então a seqüência lfn) converge unifomze~ mente em J para uma função f que tem derivada em todo ponto de J, e f'= g.

Demonstração. Sejam a e b, a < b, os pontos extremos de J, ex um ponto de J. Se m) n são números naturais) aplicamos o Teorema do Valo.r Médío à diferençafm -[r~ no intervalo com extremos x 0 , x e concluímos que eYJste um ponto y (que depe(lde de m, n) tal que f,, (x) -f.. (x) =f,. (xo)- f" (xo) + (x- Xo){f:,.(y)- f~(y )}-

·'

\

( f\

Daí inferimos que

li f,,. -f,. 1!1 s If"' (xo)- f.. (xo)l + (b -

a)

l!f;,.- f ~~~J

de modo que a seqüência (fn) converge uniformemente em J pa.ra uma função que denotaremos por f. Como as fn são cont (nuas e a convergência de ifn) para f é uniforme, f é contínua em J. Pará estabelecer a existência da derivada de f em um ponto c de J, aplicamos o Teorema do Valor Médio à diferençafm -f,.. em um intervalo com extremos c,x, para inferir que existe um ponto z (dependendo de m, n) tal que

í

{f,. (x)- f.. (x)}- {f,..(c)- f"( c)}= (x- c){f;..(z)- f~(z)}.

l

1.

\

Então, quando c ::fox,

(

&J!;) -- {m(c) _f,.(x)- f,.(c) sllf;,.- f~IIJ. x-e x-e

I

(

189

;

'\

{

I l

1

Em virtude da convergência uniforme da seqüência (f~). a expressão. à díreita é dominada por e quando m, n :?:M(e). Tomando o limite em relação a m·, inferimos do Lema 15.8 que f(x)- f( c) fn(x) -:fn(c) se,

I

x -c

x-e

! ! ''

e

.,

quando n 2M( e). Como g(c) = lim (j;' (c)), existe um N(e) tal que, se n Z..N(e), então 1/~(c) -g(c)l
I<

[:K(x) -[K(c)- f'K(c) x-e

e. '

l

Portanto, segue-se que se O< lx- cl < óK{€), então

[(x)- f( c)

x-e f Isto mostra que f'( c) existe e é igual a g(c).

l !

I

t}

g(c) < 3 e.

i

Q.E.D.

í

)

•'

c(

'·

i

TEOREMA DE TAYLOR

1.

Se a derivada f'(x) de f existe em todo ponto x de um conjunto D, podemos considerar a existência da derívada da função f' em um ponto c ED. Se f' tem uma derivada em c, denominamos o número result.ante derivada segunda de f em c, representando-o em geral por f"( c), oufO>(c). Definem-se de modo análogo a derivada terceira f'"( c) -j<3 >(c), . , . , e a derivada de ordem n, desde que. existam. .. · 5 Estabeleceremos agora o célebre teor.ema atribuído a Brook Taylor, que desempenha papel relevante em muitas investigáÇões e que pode ser considerado corno uma extensão do Teorema do Valor Médio.

· 28.6 Teorema de Taylor. Seja n um ~umero natural, e suponha~s que f e suas derz"vadas [', f", . .. , t exista em (a, b ). Se a, /) peHencem a J, então existe número 1 entre a e/) tal que f(/3} =f( a)

+['i7) (J3-

um

a) +f'á~) ((3- aY

r·-l}c -1)1.)(J3-a)"-l+ t")
+·. ·+(n

Demonstração. Seja P o número real definido pela relação

(28. 1)

((3- a)" P =f({;)- {f(a) +f'(a) n! 1!

,{n-1)(

ca- )"-l (n-1)! "" a a

)

i

\

da

pa

pa

(2

II

\ l!

F-s

na

co

m•

te• j

EJ de

}

'

Brook Taylor (1685-1731) foi um matemático ínglês. Em 1715. deu o desenvolvimento em série infinita, mas - de acordo com o espírito da época - não discutiu a convergêncía. O trabalho restante foi feito por Lagrange. .

190

(2

(J3- o:) + ... + f

.I

t

t

Us

SOl

p'(

e consideremos a funçao

•

I{J

definida em J por


1!

(n-1)!

n!

É claro que I{J é contínua em J e tem derivada em (a, b). É, outrossim. evidente que !()(13) =O,. decorrendo da definição de P que IP(a) =O. Pelo Teorema de Rolle, existe um ponto 1 .entre ~ e {3 tal que 'P'Cr) =O. Calculando a ded vada (mediante a fórmula usual da derívada de uma soma'e do produto de duas funções) obtemos a soma telescópica cp'(x)

= -{f(x)- f(x) + f"(x) ·

.

+-t" (~) ({3-xr-~--P

1

'

l

(n-1)!

l

~

= P -j<"l(x) ({3 _

''

(n-1)!

~

i

I

)

({3- x) + ... + (-1) r·-t>(x) (/3- xt-7. (n-2)!

1!

x

)n-t

(n-1)!

({3-x)"-1}

·

Como IP'(y) =O, então P =t (-y}, o que prova a asserção.

Q.E.D.

Observação. O termo

il l

(28.2) dado acima é em geral chamado forma de Lagrange do resto. Há várias outras expressões para o re·sto;mas, no momento, mencionamos apenas a forma de Cauchy, que afirma que, para algum número < 1~ se tem ''

e' o
(28.3)

I \ I

!

R,= (1- e)"- 1 f"'((l(: ~)DI+ 0{3) ({3- a)".

F..sta forma pode ser estabelecida da mesma maneira que a anterior, à exceção do fato que, na expressão à esquerda da equaÇão (28 .1 )~ escrevemos ({3 - a.)Q/(n - I)! e definimos ifi como:acima a menos do último termo, que é (13- x)Q!(n- 1)! Deixamos os detalhes como e·xercício. (Na seção 31 obteremos outra forma para o resto, utilizando o cálculo integral.)

.

EXERCÍCIOS

28.A. Aplicando as fórmulas (28.1), mostre que se n =O, 1. 2, ... , então as raízes das funções de Besselln eJn~l em (0, +<><>)se intercalam. 28.B. Mostre que, se x > O, então X

.J2.

>

X-

r:;--:--

X

1+ -8s:vl+x::;;t+ . 2 2

28.C. Calcule .../1.2 e Qual a melhor precisão que se pode garantir? 28.D. Obtenha estimativ-as análogas às do Exercício 28.B para (l + x) 10 no intervalo [O, 7]. Use-as para calcular .ifi:5 e-.(/2. · 28.E. Seja O< r< 1 e -l < x. Mostre que (1 + x)r < l + rx e que a igualdáde se verifica se e SC~mente se x =O. ·' · 28.F. Díz-se que uma raiz X 0 de um polinômio pé simples (ou que tem multiplicidade um) se p'(x 0 ) :P O, e que tem multiplicidade n se p(x 0 ) = p'(x 0 } = · · · = p(x 0 ) *O.

191

Se a < b são raí1.es consecutivas de um polinômio, então existe um número Ímpar (inclusive as · multiplicídades) de raíz.es de sua derivada em (a, b). 28.G. Mostre que se as raíz.es do polinômio p são todas reais, então as raít.es de p' todas reais. Se, além disso, as raí:t.es de p são todas simples, então as raíz.es. de p' sã.o todas simples. 28.H. Se f(x) ""(xl - 1 Y1 e se p é a derivada de ordem n de[, então pé um polinômio de grau n, cujas raít.es são símples e estão no intervalo aberto (-1, 1). 28.1. Estabeleça a forma de Cauchy pala o testo Rn do Teorema de Taylor, dada na fórmula (28.3). 28. I. Pode-;;e obter uma demonstração do Teorema de Taytor, 28.6, utilizando o Teorema do Valor Médio de Cauchy, faz.endo-se

mo

são

R(x)::::: f(x)-

[t(a) +X ~!a f'(a) + ... +<~;_a{;;· rK-I}(o:) l

Mostre que R (o:)"" R '(a)= · · · =R (n- t) (o:) que

=O e R
entre et e 11 tal

na!

[St

1

Lo

=

Prossiga, até determinar R ((3) (p -o:)" /(n.) hrr.)/n! para algum In entre a e (3. 28.1<.. Se f(x)::::: é', mostre que o resto no Teorema de Taylor converge para zero quando n ..-. "" para cada~. tJ fixos. 28.L. Se f(x) sen x, mostre que o resto no Teorema de Taylor converge para z.ero quando n _.""'para cada l.'l, 13 fixos. 28. M. Se f(x):::: (1 + x)m onde m E Q, \Xl < 1, as fórmulas usuais do cálculo diferencial e o Teorema de Taylor conduzem à expressão

=

(1 +

x)~ ""1 + (7)x + (;)x:

2

+ · · ·+

onde Rn pode ser dado sob a forma de Lagrange por Rn = :x f(n)(enx}/n! onde O < 8n < L Mostre que, !>e O< :x < 1, então lim (Rn) =O. Mostre que se -1 < :x
R

m(m -1) ... (m- n + 1) (1- e.)~~tx~ = 1-: 2 ..• ( n - 1) (1 + e~

'

onde O < On < 1. Quando !X!< 1, mostte que 1(1 - fJ)/(1 + 8nX)\ < 1, e prove que lim (Rn} =O. {Sugestão; Se lx\ < 1, o conjunto (1 + ex)m ~ 1 ; O< o ::;.1 é limitado.} 28. O. Se f: R-> R, se f'(x) existe para x E R, e se f"(a} existe, mostre que

f

1 ,1

\

l

k-0

Dê um exemplo em que tal limite existe, mas a função não tem derivada segunda ern a. 28.P. Seja fn(X) lxt~+ Jm para x em l-1, 1}. Mostre que c.a.da [n é díferençâvel em l-1, 11 e que ifn) converge uniformemente em t-1, 1] para[(x) = tx\.

.•

te,

ca:

es

R.

=

ciaL

(a) Suponha que uma função E de J =(a, b) em R tenha derivada em todo ponto de J e que E''(x):::: E(:x) para todo x E J. Note que E tem derivadas de todas as ordens em J e todas são iguais a

E.

..

en·

hl

28.a. Neste projeto consideramos a função exponencial do ponto de vista do cálculo diferen·

.l

(c)

"(a-un )-I· f(a+h)-2f(a)+f(a-h)-

PROJETOS •l

M<

{n: 1 )x"-' +R.

11

Sej

192

(S

E (a)= O para algum a E J, aplique o Teorema de Taylor, 28.6, e o Exerc!cío 14.L para · mostrar que E{x) =O para todo x EJ. (b) Se

(c) Mostre que existe no máximo uma função E de ll. E'(x) ~ E(x) nal

para x

E

em R•'que satisfaz

R,

E(O) =L

(d) Prove que se E satisfaz as condições da parte (c), então também verifica a equação funciopara X, y E R.

[Sugestão: Se f(x)::::: E(x + y)fE (y}, então /'(x)::::: f(x) e [(0}::: L} (e) Seja (En) a seqüência de funções defmidas em R por

I

E. . (x) =E.. ~~(x) + x"/n!.

E1(x) = 1 + x,

Seja A um número positiva; se lx\ ::;;.A e sem > n "+ !E... (x)-E,(x)l::::;;( A +l)! 1

2A, então

A (A)"'-") <(n+l)!' 2A ""' 1+-;+···+; 1

[

11

Logo, a seqüência (E n) converge uniformemente se t.x\ .:s;; A. (f) Se.(En) é a seqüência de funções definida na parte (c), então

para x E R

E~(x) = E~-tCxL

Mostre que a seqüência (En) converge em R para uma função E com as propdedades mencionadas em (c). Portanto, E é a única função com tais propriedades. (g) Seja E a funçáo tal que E'= E e E(O) <

=1. Se definirmos e como o número

e =E(l), .•

t

+

então e está entre 2t e 2f. (Sugestão: i. + 1 + + t
e

E (0)

=1

e seja e= E(l). (a) Mostre que E é esu\tamente crescente e ttlrn contradomínio P ={x E R: .x

>o}.

{b) Seja L a função inversa de E, de modo que o dom(nío de L éP e seu contradomínio é todo R. Prove que L é estritamente crescente em P, que L (1).:::: O e que L (e)= L

(c) Mostte que L (xy) =L (x) + L (y) para todos x, y em P. (d) Se O < x

< y, então l

! l

'

- (y- X) y

1

L(y}- L(x:) <- (y- x). X

(Sugestão: Aplique o Teorema do Valor Médio a E.) (e) A função L tem derivada para x =O, e L '(x)-= 1fx.

(f) O número e verifica

e~ lim ( ( 1

+;r).

[Sugestão: Calcule L'(l) ut:.i.fu:.ando a seqüência ((1 + 1/n)) e a continuidade de E.l

193

.1

28.-y. Introduziremos aqui o seno e o co-seno. (a) Seja h uma função definida em um intervalo J = (a, b) de R e que verifica

h " (x) + h (x) = O para todo x em J. Mostre que h tem derivadas de todas as ordens e que se existe um ponto o: em J tal que h (a)= O, h'(o:) =O, então h (x} =O para todo x E J, (Sugestão: Use o Teorema de Taylor, 28.6.) (b) Mostrequeexisteno máximo uma função Cem R tal que

C"+ C= O.

C(O) =L

C'( O)= O.

S(O) =O,

S'(O) = 1.

e no máximo uma função Sem R tal que

S"+S=O. (c) Definamos a seqüência (Cn) por

.I Seja A um número positivo; ~e lxl n

> A, então

<~+ [1+(A )z +--·+(A )2"'"2") IC... (x)-C.(x)l< A (2n + 2}! 2n 2n 4) A ( 7

ln+>

<3(2n+2)!.

I .I

Logo, a seqüência (Cn) converge uniformemente quando lxl .:;;:A. Mostre também que cg""- Cn. j , Cn(O) = 1 e C~(O) =O. Prove que o limite C da seqüência (Cn) é a função (única) com as propriedades da parte (b). (Use o Teorema 28.5.) (d) Seja (Sn) definida por

Sb) =X, .I

;l:f"!o- J

Sn(X)"" So-l(X)+(-1)"-' (2: -l)! •

Mostre que (Sn) converge uniformemente para a função S com as propriedades de (b), se Jxl S:A. (e) Prove que S' =C e C'= -S. (f) Estabeleça a Identidade Pitagórica S 1

i!

:.

\!

'

+ Cl = 1. (Sugestão: Calcule a derivada de S 1 + C2 .)

28.6. Neste projeto prosseguimos com a discussão das funções seno e co-seno. O leitor poderá utilit.ar livremente as propriedades estabelecidas no projeto precedente. (a) Seja h uma função em R tal que

h"+h=O. Mostre que existem constantes ex, f3 tais que h= a C+ PS. [Sugestão: a= h (0), r;= h'(O).j (b) A função C é par e S é ímpar, no sentido que

C(-x) = C(x)

e

S(-x)=-S(x) paratodoxER.

(c) Mostre que as "fórmulas de adição"

C(x+y)= C(x)C(y)-S(x)S(y), S(x + y) = S(x)C(y) + C(x)S(y),

194 (

:

I'

1

valem para todos x, y em R. [Sugestão: Fixando y, defína h (x) = C(x h (0) = C(y).)

(d) Mostre que as "fórmulas de dupllcação"

I

+ y) e mostre que h"+ h= O,

...

C(2x) = 2[ C(x)J2- 1 = 1- 2[S(x}]\

~ '

S(2x) = 2S(x)C(x), valem para todo x em R.

{e) Prove que C verifica

Portanto, a menor raiz positiva 'Y de C está entre a raiz positiva de x" - 2 =O e a menor raiz positiva de x 4 - 12x2 + 24 =O. Com base nisto, prove que ...[2 < 'Y < ...j3. (f) Definímos rr como a menor raiz estritamente positiva de S. Então rr = 2-y e, daí, 2

2.../3. C(x

+

.J2 < rr <

(g) Prove que tanto C como S são funções periódicas com período 21r no sentido de que 2rr) = C(x) e S(x + 2rr) ""S(x) para todo x em R. Mostre também que

=c(;- x) =-c( x+ ~). C(x) = s(;- x) = s( x+ ;). S(x)

para todo x em R. 28.c:. Seguindo o modelo dos dois projetos precedentes, introduza as funções co-seno hiperbólico e seno l:úperbólico, verificando 1 ·c"= c, C (0) =O, c(O) = 1, $ " =S ..

s(O)

=O.

s'(O) = l,

respectivamente. Estabeleça a existência e a unicidade destas funções e mostre que c
Prove resultados análogos a (aHd) do Projeto 28.S e mostre que, denotando por E a função exponen-

cial> então

c(x) =HE(x) + E(-x)), 28.t. Diz-se que uma função


s(x)

=i(E(x)- E(- x)).

de J C. R em R é convexa se


para cada x, y em J. {Em termos geométricos: o ponto médio de qualquer corda da curva y::::: <.p(X) es· tá acima da curva ou sobre ela.] Neste pmjeto suporemos
x

1 , ••• ,

(b) Se n <2m e se x 1 ,

Xn

. . • • Xn

pertencem a J, então

pertencem aJ, seja Xj para/= n

- (X

X=

1

+X~+ n

+ 1, ... , 2m igual a

•••+X") .........- . .

195

Mostre que vale aqui a mesma desigualdade da parte (a). (c) Como '{!·é contínua, mostre que se x,y pertencem a J e t EI, então ~p((I -l).x

+ ty)::;:;; (1-

t)~p(x)

+ t
(Em termos geométricos: a corda toda está acima da curva ou abaixo dela.)

I •

I

l.

!

(d) Suponha que .p tem derÍV'dda segunda em J, Então, uma condição necessária e suficiente para que 'fi seja convexa em J é que .p"(x) ~O para todo x El. {Sugestão: Para demonstrar a necessidade, use o Exercfcio 28.0. Para demonstrar a suficiência, use o Teorema de Taylor e desenvolva em relação a i= (x + y)/2.] (e) Se .pé uma função convexa, contínua, em J e se x q>(y)-~p(x)

y-x

Portanto, se w

::;:;;

< y < z pertencem a J, mostre que

.

f(z}-~p(x)

z-x

.

< x < y < z pertencem a J, então q;(x)-q>(w)

x-w

::$"

q>(z)-q>{y) z-y

•

(f) Prove que uma função convexa contínua .p em 1 tem derivada

à esquerd,a e de,rivada à direita

em todo ponto ínterio.r de J. Além disso, o subconjunto em que .p' não existe é numeráveL

SEÇÃO 29 A INTEGRAL DE RIEMANN~STIELTJES

Definiremos agora a integral de Riemann-Stíeltjes 6 para funções limitadas em um íntervalo compacto de R. Como supomos o leitor familiarizado -ao menos informalrnen· te - com o conceito de integral dos cursos de cálculo, não apresentaremos motivação muito extensa. O leitor interessado em prosseguir seu estudo de análise matemática deverá familiarizar-se cedo com a integral mais geral de Lebesgue. Entretanto, como as integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes são necessárias em muitas aplicações, preferimos abordá· las aqui, deixando para um curso posterior o estudo (mais avançado) da integral de Lebesgue. Consideraremos funções limitadas, com valores. reais, em intervalos fechados do conjunto de números reais, defmiremos a integral de uma dessas funções em relação a outra, e deduziremos as principais propriedades dessa integral. O tipo de integração aborda· do aqui é algo mais geral do que o que foi estudado em cursos de cálculo. e essa generali· dade é que o toma grandemente útil em certas aplicações, particularmente em estatística. Ao mesmo tempo, a complexidade de tratamento não é muito maior do que a que exigiria um estudo rigoroso da integral de Riemann ordinária. Justifica-se, pois, o desenvolvimento deste tipo de teoria da integração até o ponto exigido pelas aplicações freqüentes.· 6

196 .

(George Friedrich) Bernhard Riemann (1826-1866), filho de um pastor, nasceu perto rle Haruwver. Estudou em Gõttingen e Berlim e lecionou em Gúttingen. Foi um dos fundadores da teoria das funções analíticas, tendo também dado contribuições fundamentais à geometria, à teoria dos números e à física matemática. Thomas Joannes Stieltjes (1856-1894 ), astrônomo e matemático holandês. Estudou em Paris com Hermite e obteve uma cátedra em Toulouse. Sua obra mais célebre é uma memória sobre frações contínuas, o problema dos moment.os e a integral de Stíeltjes, publicada no último ano de sua curta vida.

(

(

'

Sejam f e g funções com valores reais definidas em um intervalo fechado J = [a, b] da reta reaL Suporemos f e g limitadas em 1; não repetiremos mais esta hipótese funda· mentaL Uma partição de J é uma colecão finita de intervalos disjuntos cuja união é J. É costume descrever uma partição P especi.ficando~se úín conjunto finito de números reais (xo txl, ... txn) t~s que ,1-

•

.,(

t

i

.. I

(

r (

e tais que os subíntervalos que figuram na partição P são os intervalos [xh -l, Xk l k = 1, 2, ... , n. Mais propriamente, referimo-nos aos pontos extremos X h, k =O, 1 •... , n, como pontos de partição correspondentes a P. Todavia, na prática, pode ser conveniente (e não causará confusão) usar a palavra "partição" para denotar seja a coleção de subintervalos, seja a coleção de pontos extremos desses intervalos. Escrevemos, pois, P = {xo, x 1 ,

... , Xn).

Se P e Q são partições .de J, dizemos que Q·é um refmamento de P, ou que Q é mais · · refinada que P, todo· subintervalo de Q está contido em algum subintervalo de P. Isto equivale à condíção de que todo ponto de partição de P seja também ponto de partição de Q. Por isso escrevemo~ PC Q quando Q é um refinamento de P.

se

29.1 Definição. Se Pé uma partição de J, então uma soma de Riemann-Stieltjes de f em relação a g e correspondente a P = (x 0 • x 1 • • • . , Xn) é um número real S(P;f, g) da forma " S(P; f, g) = f(s~<){g(xk)- g(x~<~1)}. (29.1)

I

k-l

Aqui escolhemos números ~k que verificam para

k

'

\

( f

/.

\, .

'

c"

<,

(

(

(

= 1, 2, ... , n.

(

Note-se que, se a função g é dada por g(x} = x, então a expressão na equação (29.1) se redur. a " (29.2) f(~;,)(x .. - x"_t).

L

lo: •1

A soma (29.2) é chamada usualmente de soma de Rlemann correspondente à partição P e pode ser in· tcrpretada como a área da união de retângulos de base (Xk-t, Xk l e altura /(th ). (V. Fígura 29.1.) Assim, se a partiç~o P é muito fina, é de esperar-se que a soma de Ríemann (29 .2) dê uma aproximação da ..área sob o gráfico de f". Para uma função geral g. o leitor deve interpretar a sorna de RiemannStieltjes {29.1) como análogo à soma de Riemann (29.2) -exceto apenas pelo fato de, em vez de considerar o comprimento X h ~ Xk _ 1 do subintervalo [Xk _ 1 , Xk J, estarmos considerando uma outra me· dida de magnitude referente a este subintervalo, a saber, a diferença g{xh) - g (XI:- 1 ). Assim·, se g (x) é a "massa" ou "carga" total no intervalo [a, x], então g(x k) - g (Xk ~ 1) denota a "massa'' ou "carga" no subintervalo (Xk-t, Xk}. A idéia básica é que precisamos considerar medidas outras de grandeza de um intervalo que não o seu comprimento, e isto nos leva a somas um pouco m.aís gerais do tipo (29.1 ). Note-se que ambas as somas (29.1) e (29.2) dependem da escolha dos "pontos intermediários", isto é, dos números ~k· 1 < k < n. Poderia, assim, parecer conveniente introduz.ir uma notação que e vi· denciasse a escolha de~ses números. Entretanto, introduzindo wna partição mais fina, pode·se sempre supor que os pontos intermediários ~k sejam pontos da partição. De fato. introduzindo a partição Q = (xo, ~ 1 ,X 1 , t 1 , . • • , tn, xn) e a soma S(Q;f,g), onde os pontos intennediários são, alternadamente, os extremos direito e esquerdo do subintervalo, a soma S(Q ;f, g) dá o mesmo V"alor que a soma (29.1 ). Podemos sempre supor que a partição divíde o interV"alo em um número par de subintervalos e os pontos íntermediários são alternadamente os extremos direito e esquerdo desses subintervalos. Veremos, entretanto, que não é necessário exigir tal processo "padroni:r.ado'' de particionamento, nem tampouco exibir os pontos intermediários.

\ '

\"

!

\

\

\ {

t (

'· i

'i, .í

1

I

\

(

( i97

"

"

.\ !

'i

''

Ii

,I l

1

I:

I I

I

I

1

I

E,. :q,

I

:X:" -

l

x,..

=b

Figura 29.1 A soma de Rlemann cómo área,

:l

•

I

29.2 Definição. Dízemos que f é integrável em relação agem J se existe um número real I tal que,, para todo e> O, existe uma partição Pe de J tal que se Pé um refinamento de P(; e S(f;{g) é uma soma de,Riemann-Stieltjes correspondente a P, então

:! l

IS(P; f, g)- Il < 8.

{29.3) '

iI ,,'

I I

~~~

~a

l

I

!

I I I I

l I I I

l'

I I I

i

Neste caso, o número I fica univocamente determinado e se denota por '

'

I= f'fdg= f'f(t)dg(t); I é a integral de Riemann-Stiehjes de f em relação a g sobre J =[a, b]. A função f é o integrando e g é o integrador. Às vezes dizemos que f é g-integrável se f é integrável em relação a g. No caso especial g(x) =x, se f é integrável em relação a: g, costuma-se dízer que{

'I

é integrável segundo Rlemann, ou R~integrável. Antes de desenvolvermos as propriedades da íntegral de Rlemann-Stieltjes, consideraremos alguns exemplos. Por questão de simplificação de cálculos, alguns desses exemplos constituem casos extremos; podem-se obter exemplos mais típicos combinando-se os exemplos dados abaixo.

'

'.I

H ', )

29.3 Exemplos. (a) Já vimos que, se g(x) =x, a integral se reduz à integral or.dínária

'

I

de Ríemann do cálculo elementar: ·· ·

(b) Se g é constante no intervalo [a, b ], então qualquer função f é integrável em re-

lação age o valor da integral é O.

(c) Seja g ~efinida em J .= [a, b J por

~I

,'

g(x);;::;;O,

. I: , I. :I. l:

= 1,

x=a, a< x < b.

Deixamos como exercido para o leitor mostrar que uma função f é integrável com relação ag se e somente se/é contínua ema e que, nest.e caso, o valor da integral é/(a). 198

( d) Seja c ponto interior do intervalo J = [a~ b Je seja g definida por g (x) = O,

a s x s c,

< b.

•

= 1,

c
'j(

Deixamos como exercício provar que uma função f é jntegrá vel em relação a g se e somente se é contínua em c à direita (no sentído de que~ para todo e> O, existe ô(€) >O tal que se c
C

:::S X .:$

b.

Então h é contínua em c à direita e uma função f é integrável em relação a h se e somente se f é contínua em c à esquerda. Neste caso, o valor da integral é f( c). (f) Sejam c 1

< C1.

pontos interiores de J =[a, b Je g definida por g(x) = a:1,

a

x s c1,

Se f é contínua nos pontos c 1 , c 2 ~então f é integrável em relação age

Tomando mais pontos, podemos obter uma soma que envolva os valores de f em pontos de J) ponderados pelos valores dos saltos de g nesses pontos. (g) Seja f a função descontínua de Dirichlet [cf. Exemplo 20.5 (g)] definida por

f(x.)

= 1, = O,

se .x é racional se x é irracional,

e seja g (x) = x. Consideremos essas funções em I= [O> l]. Se uma partição P consiste de n subintervalos iguais, então, escolhendo k dos pontos intennediáríos da soma S(P;[, g) racionais, e os restantes irracionais, S (P;f,g) = kjn. Segue-se que f não é R-integráveL

(h) Seja f a função definida em l por f(O) = 1, f(x) = Ose x é irracional, e f(m/n) = 1/n se m e n sao naturais primos entre si. Vimos no Exemplo 20.5 (h) que f é contínua em todo ponto irracional e descontínua em todo ponto racionaL Se g(x) = x, f é integrável em relação age o valor da integral é O. A demonstração fica como exercício para o leitor. 29.4 Critério de Integrabilidade de Cauchy. A função f é integrdvel em relação a g sobre 1 = [a, b Jse e somente se, para cada e >O, existe uma partição Qe de J tal que se P e Q são refinamentos de Qe e se S(P;f, g) e S(Q;f, g) são SGmq,s de Riemann-Stieltjes cor·

respondentes, então (29A)

IS(P;f, g)-S(Q;f, g)!"Se· 199

Demonstração. Se f é integrável, existe uma partição Pe tal que se P, Q são refinamentos de Pr:, então qualquer soma de Ríemann-Stieltjes correspondente satisfaz !S(P;!, g) -li< e/2 e iS(Q;f,g) -li< e/2. Aplicando a Desigualdade do Triângulo, obtemos (29.4). Reciprocamente, suponhamos satisfeito o critério. Para mostrar que f é integrável em relação a g, devemos exibír o valor de sua integral e usar a Definição 29.2. Seja Q1 uma partição de J tal que, se P e Q são refinamen.tos de Q 1 , então IS(P;f,g)- S(Q;f, g)l
(29.5)

I

jS(P;f, g)-S(O;f, g)j< 1/n.

Consideremos urna seqüência (S(Qn :/, g)) de números reais assim obtida, Como Q11 é um refinamento de Qm quando n > m, esta seqüência de somas é uma seqüência de Cauchy de números reais, independentemente do modo de escolha dos pontos intermediá· rios. Pelo Teorema 16.1 O, a seqüência converge para algum número real L. l....ç.go, se e> O, existe um ínteiro N tal que 2/N
jS(QN; f, g)- L!< e/2. Se Pé um refinamento de QN, então pela construção de QN, decorre que

jS(P; f, g)- S( QN; f, g)l < 1/N < s/2.

Logo, para qualquer refinamento P de QN e qualquer soma de Riemann-Stieltjes correspondente, temos (29.6) jS(P;f,g)-LI
Isto mostra que f é integrável em relação a g sobre 1 e que o valor da integral é L.

Q.E.D.

ALGUMAS PROPRIEDADES DA INTEGRAL A propriedade que segue costuma ser chamada bilinearidade da integral de Riemann-

Stieltjes.

29.5 Teorema. (a) Se / 1 , f 2 são integráveis em relação agem J e se a:, (3 são números reais, então a:f1 + f3f2 é integrável em relação agem J e (29. 7)

r·
(b) Se f é integrável em relação a g 1 e a g 2 em J e a, {3 são números reais, então f é integrável em relação a g =o:g 1 + {3g 2 em J e (29.8)

f'

J.bf dg =a f dg1 + {3 J."f dg2.

Demonstração. (a) Sejam e> O e P 1 =(xo, X1, .. . , Xn) e P2 = (yo ,y 1 , •.• ,Ym) partições de J = [a, b J tais que se Q é um refinamento de P 1 e P2 , então para quaisquer somas de Ríemann·Stieltjes correspondentes, temos · 11~-S(Q;f~,g)l
j12-S(Q;f,,g)l
Seja P., uma partição de J que é um refinamento tanto de P1 como de P1 (por exemplo, combinam-se todos os pontos de partição em P 1 e em P1 para formar P.,). Se Q é uma 200

)

\

partição de J tal quePe C Q, então são válidas ambas as relações acima. Quando se zam os mesmos pontos intermediários, temos evidentemente

utili~

'í•

S(O; af1 + {3[2, g) =aS( O; t~·; g)+ f3S(Q; [2, g).

f

\

Daí, e das desigualdades precedentes, decorre que ial, + {3I2- S( O; aft + {3j2, g)j = ja{I 1 - S( O; f1, g)}+ {3{I2- S( O; fz, g)}l

(

\

:s (!ai+ lf31)e.

Isto prova que r:d 1 + {3!2 é a integral de et.f1 + {3{.1. em relação a g. Está assim demonstrada a parte (a). A demonstração de (b) é análoga e fixa como exercício. Q.E.D. Há outra propriedade aditiva útil da integral de Riernann-Stieltjes, que diz respeito ao intervalo ao qual a integral é estendida. Para obter o resultado que segue é que utilizamos o tipo de limite intro~ duzido na Definição 29.2. Um tipo mais restritívo de limite consistiria em exigir a validade da desigualdade (29.3) para qualquer SOrn!ide Riemann·Stieltjes correspondente a uma pa.rtiçãoP::;:; (Xq 'X! t • • • ' Xn) tal que

i f

} { \

f

( I

Geralmente se emprega este tipo de limite na defuúção da integral de Riemann, e também às vezes na da integrá! de Rlemann-Stíeltjes. Muitos autores, entretanto, empregam a definição que introduzimos, devida a S. PoUard, porque ela amplia ligeiramente a classe de funções integráveis. Conseqüência de tal ampliação é que o resultado seguínte é válido sem qualquer restrição adicional. V. Exercícios 29.P·R.

\, (

'

(

29.6 Teorema. (a) Seja aS c~ b e suponhamos f integrável em relação a g sobre ambos os subintervalos [a, c] e [c. b]. Então f é integrdvel em relação a g no intervalo [a, b Je

(

(29.9)

(

Lbt dg = s..·, dg + ibt dg.

{

(b) Seja f integrável em relação a g no intervalo [a, b] e seja c tal' que a~ c -:;,.b. En~ é integrável em relação a g nos subintervalos [a, c] e [c, b Je a fónnula (29 .9) se veri-

f

Demonstração. Se E> O, seja Pé uma partição de [a, cJ tal que se P' é um refinamen· to de P;, então a desigualdade (29.3) se verifica para qualquer soma de Riemann-Stieltjes. Seja P~' uma partição correspondente de [c, b]. Se Pe é a partição de [a, b] obtida utílizando·se os pontos de partição tanto de P~ como de P~' e se Pé um refinamento de Pe, então

(

tão f fica.

S(P;f, g)=S(P';f, g)+S(P";f, g),

onde P', P" denotam as partições de [a, c L[c, b J induzidas por P e onde se utilizam os pontos intermediários correspondentes. Temos, portanto,

fr

dg

+

/

l

.Í

\

\

\ [

!

t

Lbr dg- s(P; 1, g)

( \

s

f;fdg-S(P';f.;g) +jlbfdg-S(r';f,g)j<2s.

!

I

Segue-se que f é integrável em relação a g sobre [a, b Je que o valor de sua integral é

\

( (

( 201

( •

{

'

.!l

f! li

J! I1 !I

ii li il !I

.I i

JI .11

JI

li . 11

li i

.1

Ii

(b) Usaremos o Critério de Cauchy, 29 .4, para provar que f é integrável sobre [a, c]. Como f é integrável sobre [a, b], dado e> O, existe uma partição Qf de [a, b] tal que seP, Q são refinamentos de Qe, então a relação (29 A) é válida para qualquer soma de RiemannStieltjes correspondente. B claro que podemos supor o ponto c pertencente a Qe e consi* derar Q~;; como a partição de [a, cJ que consiste dos pontos de Qe que pertencem a [a, c]. Suponhamos que P' e Q' sejam partições de [a, c] que constituam refinamentos de 0 e estendamo-las às partições P e Q de {a, b] utilízando os pontos de Qe que pertencem a [c, b J. Como P e Q são refinamentos de Qe, então a relação (29 .4) se verifica. Todavia, do fato de que P, Q são idênticas em [c, b] é claro que, se usarmos os mesmos pontos inter* mediários, então

!S(P'; f, g)- S(Q';f, g)l = jS(P; f, g)- S(Q; f, g)l< e. Assim, o Critério de Cauchy estabelece a integrabilidade de f em relação a g sobre o subintervalo [a, c]. Argumento análogo se aplica ao subintervalo [c, b]. Estabelecida assím esta íntegrabilídade> a parte (a) prova a validade da fórmulii (29 .9). Q.E.D.

Até aquí não cogitamos de permutar os papéis do integrando f e do integrador g, e talvez também não tenha ocorrido ao leitor essa possibilídade. Embora o próximo resultado não seja exatamente o mesmo que a "fórmula de integração por partes" do cálculo, é bastante próximo dela e é, em geral, conhecido pelo mesmo nome.

29.7 Integração por Partes. Uma função f é íntegrável em relação a g sobre fa, b] se e somente se g é integrável em relação a f sobre [a, b ]. Nesse caso •

(29.10)

J.''t dg +f' g df == f(b)g(b)- f(a)g(a).

Demonstração. Suporemos f integrável em relação a g. Seja e > O e P e urna partição de [a, b] tal que, se .Q é um refinamento de Pe e S(Q;f,g) é uma soma de Riemann* Stieltjes correspondente, então

11

(29.11)

li

Seja agora P um refinamento de Pe e consideremos a soma de Riemann-Stieltjes S(P;f,g) dada por

.! I' '!

ls(Q;f,g)-f'fdg
S(P; g,

·.I

J

j

li '

'

Ii jl

n = L:" 8 cçk){f(x~c)- f(xk-ln~ kml

onde Xh -1
S(P; g,f)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-

onde como pontos intermediários

f/k

L f(1!d{g(y~<)-g(y~<-t)}.

r.:-1

escolhemos os pontos

Xj.

Temos: assim

S(P; g,f)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-S(Q;f, g), onde a partição Q = (y 0 ,y 1 , , •• ,y2 n) é um refinamento de P15 , Em vista da fórmula (29.11)

S(P;g,f)-{f(b)g(b)-f(a)g(a)I:

'.

202

J.bfdg}


'

r I

' í

í

desde que P seja um refinam~nto de Pe- Isto prova queg é integrável em relação a{ sobre [a, b], estabelecendo, assim, a fórmula (29.10).

MODIFICAÇÃO DA INTEGRAL Quando a função integradora g tem derivada contínua, é possível, e mesmo conveniente. substituir a integral de Riemann-Stieltjes por uma íntegr-c.tl de Riemann. Demonstremos a validade desta redução. 29.8 Teorema. Se a derivada g' existe e é contínua em J e se f é integrável em relação a g. então o produto {g' é integrável segundo Riemann e (29.12) Demonstração. A hipótese implica queg' é uniformemente contínua emJ. Se e >O, seja P = (x 0 , x 1 , ... , Xn) uma partição de J tal que, se ~h e tk pertencem a [x~r -1 , X;,], então lg'(~k)- g'(tn)]
Aplicando o Teorema do Valor Médio, 27 .6, a g, podemos escrever esta diferença na for-

ma

onde ~k é um ponto no intervalo [xn -1, Xk]. Como este termo é dominado por e !1{11 (x,~ - Xk- t ), concluímos que

!S(P;f, g)-S(P;fg;)j::;e 11/l!{b-a), desde que a partição P seja suficientemente fina. Como a íntegral à esquerda de (29J 2) existe e é o limite das somas de Riemann-Stieltjes S(P;f,g), inferimos que a integral à di· reita de (29.12) também existe e que a igualdade se verifica. Q.E.D. Para uma extensão deste resultado, veja Teorema 30.13. 29.9 Exemplos. (a) De resultados a serem provados na seção 30, decorre quef(x) = x é integrável em relação a g(x) = x 2 em J = [0, 1J. Adnútido isto, o Teorema 29.8 mostra que

Jor~ x d(x = Jorl x · 2x dx = jxl 110 = 23 . 2

)

. I

(Aqui utilizamos resultados do cálculo a serem provados na seção 30.) (b) Aplicando o Teorema 29.7 (Integração por Partes) às funções em (a), obtemos

203

(c) Segue-se, dos resultados a serem provados na seção 30, que f(x) == sen x é integrávei em relação a/ em J = [0, rr/2J. Admitindo isto, ternos r~

Ja

r~

= Jo

sen x d(sen x)

= ~(sen x) 2

sen x cos x dx

~ 0

p

1

=2 .

2

(d) Aplicando a (c) o Teorema 29.7 (Integração por Partes), obtemos

r

,,2 1"''2 Jo senxd(senx)=(senxY'~0

i.,,];senxd(senx), 0

donde decorre que r~

Jo

sen x d(sen x) = !(sen x)

2

~ 0

=

1 . 2

(e) Introduzamos agora a função maior inteiro, definida em R e com valores em R' denotada pelo símbolo especial e definida pela condição que se X E R, então {x] é o maior inteiro menor do que ou igual a x. Logo, [rrJ = 3, [e]= 2, [-2,5] = -3. Faça o leitor o gráfico desta função e observe que ela é contínua à direita, com saltos iguais a 1 nos pontos inteiros. Segue-se que, se f é contínua em [0, 5 ], então f é integrável em relação ag(x) = [x.], x E [0, SJ e que

r. ]

eJo

f(x) d([x]) =

p

c

f

:R

s

~~ f(j).

(1

d

(f) Segue-se, dos resultados da seção 30, quef(x) =x 2 é integrável em relação tanto a g 1 (x) ""'x como a g 2 (x) = [x] em [0, 5]. Portanto, é integrável em relação a g(x) =x + [x] e temos

f

X

2

d(x

+ [x))

=f

X

2

=~53+

dx

+

L>

2

n

f

d([x))

12+22+32+42+52.

11

EXERCÍCIOS

29.A. Se f é constante em {a, b), então é íntegrável em relação a qualquer função g e

ft dg = f(a){g(b)- g(a)}.

\I

•i

I

29.B. Se g é a função do Exemplo 29.3(c), mostre que fé integrável em relação ag se e somen· te se/é continua em a. 29.C. Seja g deftnida em I= [0, 1} por g (x) =O para O < .x <+e g(x) = 1 para+< x < L Mostre que f é integrável em relação agem 1 se e somente se é contínua em i à direita. Neste caso, o valor da integral é f (f). 29.D. Mostre que a função f do Exemplo 29.3 (h) é integrável segundo Riemann em 1 e que o valor da integral é O. 29.E. Se fé integrável em {a, b} em relação a[, então

ft df = H(fCb))~- (f(a)Y}. 204

q

e i:

( I

(a) Prove esta aflrmação examinando as duas sornas de Riemann-Stíeltjes para urna partição P = (x 1, x 1 , • •• , Xn) obtida tomando-se ~k = Xk~ 1 e ~k = Xk. (b) Prove a afirmação utilizando o Teorema sobre Integ~jlção por Partes, 29.7.

29 .F. Mostre diretamente que se f é a função maior' inteiro f(x) 29.9 (e), então [não é integrável em relaçã'o a/ no intervalo (0, 2}. 29.G. Se/ é integrável segundo Riemann em [0, lL então

= [xJ, definida

no Exemplo

I,

í (

í f

I

'

í '

29.H. Mostre que se g não é integrável em {0, t), então a seqüência de médías

I

I

'

I\

pode ser convergente, ou não. 29.1. Mostre que a função h, definida em 1 por h (x) = x para .x racional e h (x) =O para x irracional, não é integrável segundo Riemann em/. 29.J. Seja f íntegrável segundo Riemann em (a, bl. Se / 1 é uma função de (a, bl em R tal que / 1 {x) = f(x) exceto em um número finito de pontos de [a, b], mostre que / 1 é integrávet segundo Riemann e que

f '

} I

I

(

í

(,

(

t {

(Pode·se, assim, modificar o valor de uma função integrável segundo Riemann -ou deixá-to indefinido -em um número finito de pontos.) 29.K. Dê um.exemplo que mostre que a c{)ndusão do exercício precedente pode falhar se o número de pontos excepcionais for infmito numcrável. 29.L. Seja c E (a, b) e k definido em (a, b! por k(c) = 1 e k(x) =O para x e [a, bL x *c. Se f: [a, b)-.. R é contínua em c, mostre diretamente quefék-integrável, que kéf-integrável, e que

I

( I

I

c /

\,

( 29.M. Suponhamos que f é g·integrável em {a, b 1. Se g 1 :!a, bj -~R é tal que g 1 (x) =g (x) a me· nos de um número finito de pontos em (a, b) em que f é contínua, então f é g-integrávei e

(

\

i

( (

29.N. Suponha que g é contínua em [a, b J, que x q u.e os limites laterais

g'(c-) :>:: lim g'(x), >:-<

~--+ g'(x)

\

existe e é contínua em (a, bl \{c}, e

f

g (c+} = !im g'(x) 1

~-· <><

•·<:<·

í

existem. Se f é Integrá vet em relação a g em (a, b J, então fg' pode ser definida em c como Riemann· íntegrável em [a, b) e ta! que

ftdg =

(

l

ftg'.

'

t

r

( '

'

(

(Sugestão: Considere o Exercício 26 .N .)

205

(

''

\'

'

( {

{

I

I

I

I I.

29. O, Se f é Riemann-integrável em [- 5, 5}, mostre que f é íntegrável em relação ag(x)

f f I5'- f s

l

-~

29. P. Se P = (x 0 , x 1 ,

dg =

o . -s

o

=lkl e

r.

i'•

é uma partição de J = [a, b], definamos li PU como

•.• , Xn)

I!PII = sup b;- xí-1 :j = 1, 2, ... , n}; !

.•

UPU é a norma da partição P. Diz.emos que f é (*)-integrável em relação a g em J se existe um número A com a propriedade: se e> O, então existe õ(e) >O tal que, se liPII < ô(e-) e S(P;f,g) é uma soma de Rlemann·Stieltjes correspondente, então JS (f; f, g) -A 1 < <. Se tal propriedade é verificada, o número A é chamado (*)-integral de f em relação agem J. Mostre que se f é (*)-íntegrável em relação ag .em J, então f é integrável em relação a g {no sentido da Definição 29 .2) e que os valores dessas integrais são

iguais.

ili

29. Q. Seja g definida em 1 como no Exercício 29.C. Mostre que uma função limitada integrável em relação a g no sentido do exercício precedente, se e somente se f é contínua em do o valor da (*)-integral é ftt). Se h é definida por

h(x)= O,

'

li 1

:

'.

f é(*)~

+

I' "'

li

e

=1,

quan~

~
então h é (*)-integrável em relação agem [O, +I e em lt, 1), mas não o é em [0, 1]. Logo, o Teorema 29.6 (a) pode falhar para a (*)·integral. 29. R. Seja g{x) x para x E J. Mostre que, para este integrador, uma função f é integrável no sentido da Definição 29.2 se e somente se é (*)-integrável no sentido do Exe:rcício.29.P. 29. S. Seja f Ríemann-integrável em J e f(x) >O para x E J. Se f é contínua em um ponto c E J e sef(c) >O, então

II I•

[Sugestão: Para cada n E N, seja Hn o fecho do conjunto de pontos x E J tais que /(x)

então o Exercício ll.N.}

I

C(

e

•

I I

l '

1

I

M

p~

l j

1 1

M

> 1/n; aplique

d€

.i

.I

m

'

=

ft>O. t

)

1,

29. T. Seja f Riemann -integrá vel em 1 e f (x) > O para x E J. Mostre que

I,

\

I

O:::;;x
ft>O.

ti

I '

b)

PROJETOS

29.(1(. O método abaixo é às vez.es usado como uma aproximação da integral de Riemann-

Stieltjes quando a função integradora g é monotônica crescente no intervalo J. (Este método tem a vantagem de permitir a definição de integrais superiores e inferiores que sempre existem par!J. uma função limitada f. Tem, entretanto, a desvantagem de impor urna restrição adicional ~g, tendendo a ofuscar a símetria da integral de R.iemann·Stíeltjes dada pelo Teorema sobre Integração por Partes, 29.7 .) Se P= (Xo' x,' ... 'Xn) é uma partição· de J =[a, bJ e f é uma função limitada em J, sejam mj, Mj o ínfi· mo e o supremo de}f(x): Xf_ 1 < x < respectívamente. Definamos as somas superior e inferior de f em relação a g, correspondente à partição P, por .

S<

[a B

xj},

L(P; f, g) =

~

L mJ{g (x)- g(x;-l)},

f, g)"""' L Mi{g(x;)- g(~;-l)}.

o

fu

,,

;

f

r~

~

(v

I

~

V(P;

206

J-'

f(

J

1'•

(a) Se S (P;f, g) é uma soma de Riemann.Stieltjes correspondente a P, então

L(P; f, g)

(b) Se

E

S(P; f, g) s U(P; f, g).

> O, então existe uma somaS 1 (P; {. g) de R:ierríii'im·Stieltjes correspondente a P tal que S~(P;

f,

g) < L(P; f, g}+ e, '

e existe uma soma Sl (P;f, g) de Riemann·Stieltjes correspondente a P tal que

)

I

U(P;

L(P;

'

I i' I

'

g)- e :s; S,(P; f, g).

'

(c) Se P e Q são partições de J e se Q é um refinamento de P (isto é, P Ç, Q), então

t

I I

f,

f,

g) s L(Q ~f, g) s U(Q; f, g) s U(P; f, g).

(d} Se P1 e P2 são partições de J, então L (P1 ;[, g) < U(Pl ;f, g). {Sugestão: Seja Q um refinamento tanto de P1 como de P.,.; aplique então (c).) (e) Definamos a integral inferior e a integral superior de f em relação a g, respectívamente, como

L(f, g) =sup {L(P; ft g)},

U(f, g) = inf {U(P;

f, g)};

aqui o sup e o ínf são considerados em relação a todas as partições P de J. Mostre que

L(f, g) s U(f, g).

(f) Prove que

;

I!

f é integrável

em relação à função crescente g se e somente se as integrais inferior

e superior introduzidas em (e) são iguais. Neste caso, o valor comum dessas integrais é

J:tdg.

•

f I I l t• l

l

[

1

Mostre que f é integrável em relação a g se e somente se é verificada a seguinte condição de Riemann: Para todo e> O existe uma partição P tal que U(P;{, g) -L (P;f,g) e. (g) Se / 1 e fl são !.imitadas em J, então as integrais inferior e superior de /

L(f1 +f,, g)

' ;

'

\

+ fz verificam

L(ft. g) + L(f1, g),

U(fl +f,, g)"< U(f~, g) + U(fh g) . Mostre que a desigualdade escrita pode ser verificada nessas relações.· 29./3. Este projeto e os dois que seguem introdm.em e estudam a importante classe de funções de "variação limitada" num intervalo compacto. Seja f: {a, b l-+ R. Se P =(a= x., < x t < · · · < Xn = b) é urna partição de [a, b], defínarnos vr(P) como •

Ií

>

1

v1(P) =

L" !f(x._)- f(xx-t)! .

k-1

Se o conjunto{vr(P);P é uma partição de [a,bJ}é limitado, diz.emos que/é de vadação limitada em [a, b]. A coleçao de todas as funções de variação limitada em {a, b) se denota por BV((a, b]) ou por B V[a, b). Se /E BV{a, bL definimos então

Yt[a. b] =sup {v1(P): P é uma partição de [a, b]}. O número Vría, bl é a variação total de f em [a, b}. Mostre que Vt[a, b] =O se e somente se/é uma

função constante em {a,b}.

(a) Se f: [a, b J- R, se P e Q são partições de [a, b) e se P ::J. Q, mostre que vr(P} > vf(Q). Se {EBV[a,b], mostre que existe uma seqüência (Pn) de partições de {a,bl tal que Vr[a,b)=lim (vr(Pn)).

(b) Se f é monotônica crescente em {o,b], most(e que /EBV{a,bl e que Vr[a,bj=f(b)/(a). E se f for monotônica decrescente em {a, b]?

207

(c) Se g :{a, b )-+R satisfaz a condição de Lipschitz ]g(x) - g(y)l < M lx - Yl para todos x, y em (a,b], mostre que gEBV[a,bJ e que Vg(a,b]
[ l

I

' !

e:

(d) Seja f: {0, 1}-> R definida por f(x) =O para x =O e f(x) = sen (1/x) para O< x :5,. 1. Mostre que f não é de variação limitada em lO, 1]. Se g é definida por g(x) == xf(x) para x E {0, lj, mostre que g é contínua mas não é de variação limitada em {0, 1). Todavia, se h é definida por h (x) = X 1 f(x) para x E [0, 11, mostre que h é de variação limitada em (0, 1). (e) Se [E BV[a, bJ, mostre que !f(x)! < lf(a)l limitada em 1"" {a, b J e 11/l!J ~ 1/(a)! + V r{ a, bJ.

+ Vtfa, b] para todo x

E [a, bJ, de modo que f

d.

SE

é

(f) Se[,g E B V[ a, b] e .:x E R, mostre que .:xf e f+ g pertencem a BV(a, bJ e que

V.,t[a. b J= Jal V 1 [a, b ],

çi CE

Vh [a, b] :s; V1 [a, bJ+ V, [a, b].

Logo, B V{ a, b 1é um espaço vetorial de funções. (g) Se/, g E B V{a, b], mostre que o produto fg pertence a B VIa, b J e que

llj C<

VI~[ a, b] s IJfll~ V,( a, b) + !l&lh \'r( a, b]. Mostre que o quociente de duas funções em BV(a, b) pode não pertencer aBV[a, b].

cr ql

(h) Mostre que a aplicação f,_.. Vtia, b l não é uma norma no espaço vetorial B V[a, b], mas que a aplicação

f~ flfllav

C(

ra

= 1/(a)l + \1[a, bJ

é uma norma nesse espaço. 29.[. Prosseguindo nosso estudo das funções de variação limitada em um intervalo

ta, b] c

R:

(a) Se {E BV{a, b] e se c E (a, b), mostre que as restrições de f a (a, c] e a [c, bJ têm variação li• mitada nesses intervalos, e que

\lí[a, b] ='V;[ a, c]+ \lí[c, b]. Recip.l'ocamente, se g :[a, b] ~~R é tal que, para algum c E (a, b), se tenha g E B V{ a, c} e g E B Vi c, b}, então g E BVja, b].

S.

{b) Se [EBVIa, bj defmamos Pf(x)= Vtfa, x] para x função crescente em {a, b].

m

(c) Note-se que, se a< x

E

(a, b],ept(a) ""O. Mostre quepr é uma

Ul

< y < b, então f(y)- f(x}

er

::s \1[.x, y].

UJ

Mostre que, definindo-se nr(x) = pr(x)- f(x) para x e [a, bj, então nt é uma função crescente.

~

(d) Mostre que uma função f: (a, b]-•R pertence a BV{a, b] se e somente se é a diferença de duas funções crescentes.

(3

(e) Se [E B V{ a, bj é contínua à direita em c E [a, b) e se e> O, mostre que existe ó > O e uma partição tal que se Q =(c < x 1 < · · · < Xn = b) é uma partição suficientemente fina de (c, b J com

x1

-

c < o, então

\-j[a, b J- ~e s h:+

L" lf(x,J- f(x.~,)J <

É m ci

ie + \-;[x~> b ],

J.:.~a;.:.

fu

donde decorre que

Mostre que fé contínua em c E (a, bj se e. some.nte se Pf é contínua em c.

208

tó t

I

·;

I

lI

i

f

'· (f) Deduza que uma função contínua/: {a, bj....,. R pertence a BV{a, b] se e somente se é a diferença de duas funções contínuas crescentes. 29.ô. Lebesgue demonstrou que uma função de variação limitada tem derívada em todo ponto exceto, possivelmente, num conjunto de "medida nula". A de'monstração deste resultado é bastante difícil, e não será dada aqui, mas obteremos mais algumas p.ropriedades de tais funções. ·

(a) Se /E B V[a, b l e se c E (a, b ), então os limítes à direita e à esquerda de f em c existem. Es· ses limites são iguais, exceto, possivelmente, numa coleção numerável de pontos dtf(a, bJ.

( ( (

..

..

\

( (

(h) Se ifn) é urna seqüência de funções contínuas em BV{a, b] uniformemente convergente em {.a, b 1para uma função/, mostre que isto não imp!iea que f pertença a B V[a, b }.

(c) Seja (/n) uma seqüência em BV{a, b1 que converge em todo ponto de fa, b) para uma função[, e suponha que, para algum M >O, se tenha Vm.{a, bJ .:::;.M para todo n E N, Mostre que /pertence a BV{a, bj e que Vr(a, b] :;;.M. (d) Seja (/n) uma seqüência em BV{a, b] tal que 11/n - /mllav -+0 quando m, n-+ ""'·Mostre que existe uma função f E B V[a, b I tal que i!fn. - f~BV _,. O quando n ...,. ""· (e) Seja f/n) uma seqüência de funções monotônicas crescentes definida em f= [a, b] tal que 11/ni!J

=

(f) Utilizando a parte (e), estabeleça o seguinte resultado, conhecido como o Teorema da Seleção de Helly: Seja (/n.) uma seqüência de funções em BV[a, b] tal que ~fnllsv .S,.M para todo n eN. Então existe uma subseq üêncía de ffn) q ué converge em todo ponto de [a, b] para uma função f E BV[a, b] para a qualllfUBv s;.M.

(

1,

{

!

' I

I,

(

r

{ ( (

r (

SEÇÃO 30 EXISTÊNCIA DA INTEGRAL Na seção precedente estabelecemos algumas propriedades úteís da integral de Rie·. mann-Stieltjes. Todavia, ainda não demonstramos a existência da integral para um grande número de funções. Focalizaremos aqui nossa atenção nas funções integradoras crescentes monotônicas, embora muito do que vamos fazer possa ser estendido a funções g de variação limitada em um intervalo J =[a, b] no sentido de que existe uma constante M >O tal que, se P = (x 0 , x 1 , ••• ,Xn) é uma partição de J, então (30.l)

L !g(xi)-g(xí-1)1-s M. ti

( l\

( (

l, (

"

i

(

\

(

l

E claro que, se g é monotônica crescente, a soma em (30.1) é telescópica e podemos to-

mar M=g(b) -g(a). Logo) uma função monotônica crescente é de variação limitada. Re· ciprocamente, pode-se mostrar que toda função de variação limitada ê a diferença de duas funções crescentes. (V. Projeto 29:y.) Estabeleceremos ínicialmente um resultado extremamente forte. 30.1 Critério de Integrabilidade de Riemann. Sejam J"- [a, b] e g uma função monotôniG"tl crescente em 1. Uma função f: J ->-R é integrável em relação a g em J se e somente t

t

·;

!

I

I

209

(

{ \

( (

\

\.

( /

!

.I

(

.

\

.11

li !I

se, para todo e> O, existe l;lma partição P~; de J tal que, se P = (x 0 , xl> ... , Xn) é um refinamento de P e, então (30.2)

L" (M1 -

mi){g(:x;)- g{x1-l)}
j-1

onde M 1 = sup {f(x): x E [x1-;, xiJ}

I ''

mi = inf {f(x): x E [xj-1, x1]} para j = 1, ... , n .

e

. 11

H I! .11

[O critério de íntegrabilídade de Riemann pode também ser enunciado da seguinte maneira: Uma função f é integrável em relação agem J se e somente se, para todo E> O, existe uma partição Pe = (x 0 , x 1 , x 2 , ... , Xn) de J tal que (30. 2) se verifica.] Demonstração. Se f é in tegrável em relação a g e e> O, seja Pr: uma partição de J tal que, se P = (x 0 , x 1 , ••• , Xn) é um refinamento de P., então

11

I

S(P;f,g)- rfdg
li li li

para qualquer soma de Riemann-Stieltjes correspondente a P. Escolhamos agora Yi e ZJ em [x1 _ 1 , x;] tais que

!I !I

li

"

ti

j ~1

l"'l

L (M;- m;){g(x;)- g(x;-t)} :$L f(y1){g(x1) - g(x;-J)} -L" f(zJ){g(xJ-g(xi-1)}+2e{g(b)-g(a)}.

: 11 '

H

ilt·

;~t

Mas a expressão à direita desta desigualdade contém duas somas de Riemann-Stieltjes correspondentes a P que não podem diferir por mais de 2e. Logo, a condição (30.2) está satisfeita, com e substituído por 2E{l + g(b) - g(a)}. Reciprocamente, suponhamos dado e> O e Pé uma partição 'tal que (30.2) se verifique para quaJquer refinamento P(x 0 , x 1 , ••• , Xn) de Pe. Seja Q = (y(l> y 1 , ••• , Ym) um refinamento de P; estimaremos a diferença S(f;f,g)- S(Q;f,g) das duas somas correspondentes. Como todo ponto de P pertence a Q, podemos exprimir ambas essas somas na forma ·

S(P; f, g) = S(Q;f,g)= ,,i' !'

I

11

L'

1·.

l:J! :{ ll

L f{uk){g(y .. )- g(Y~<-l)}.

k. .. l

L f(vk){g{yk)-g(Y~<-1)}. rn

k "'1

Entretanto, para escrever S(P;f,g) em termos dos pontos em Q, devemos permitir repetições dos pontos Uh e não exigir que Uk pertença a [yk _ 1 , Yk J. Mas tanto uk como vk pertencem a algum intervalo [x1 _1 , x 1] e nesse caso lf(uk)- f(vk)l O e somando, obtemos

jl

H

lí

m

210

I

··.•.

'

·r~1 '

!

I i

j f

\

Finalmente 1 sejam P e P' refinamentos arbitráríos de P(i e seja Q um refinamento comum de P e de P'. Como o argumento precedente se aplica tanto a P como a P' ~deduzi· mos que duas Somas quaísquer S(P;f,g) e S(P';f,.g) só podem diferir no m~ximo por 2e. Logo, o Critério de Cauchy, 29 .4, é aplicável, para assegurar a integrabilidade de f. Q.E.D. 30.2 Teorema da Integrabilidade. Se f é contz'nua e g é rnonotônica crescente em J, então f é integrável em relação agem J.

Demonstração. Como fé uniformemente contínua emJ, dado e >O existe ó (e)> O tal que se x) yEJ e !x -yl <ó(e)~ então lf(x)-f(y)l ... , x,) é um refinamento de P.;, então também sup{x1- Xi-t} ::::::5 (e) e, assim, Mi- mi
L

i'"l

Como

e> Oé arbitrário, o Critério de Riemann é aplicáveL

Q.E.D.

30.3 Corolário. Se f é monotônica e g é continua em J, então f é integrável em relaçãoagemJ.

Demonstração. Aplicar a +f o teorema precedente e o Teorema 29.7.

Q.E.D.

O Critério de Riemann permite mostrar que o valor absoluto e o produto de fun-

I

ções integráveís são integráveis. 30.4 Teorema. Seja g mono tônica crescente em J =[a, b ].

J.

(a) Se f: J.-+ R é integrável, então lfl é integrável em relaÇão agem 1. (b) Se [ 1 e ! 2 são integráveis. então o produto fd1. é integrável em relação agem Demonstmção. Sejam Mj e mi com o sentido dado no Critério de Rlemann e obser-

vemos que

M1- fnj = sup {f(x)- f(y): x, y E [x1-t. x1]}.

Para demonstrar (a), notemos que i lf(x)l - !f(y)IIS: 1/(x)-f(y)l, de modo que o

Critério de Riemann implica que !fi é integrável quando f o é. Notemos também que, se lf(x)l ~K para x EJ~ então lCf(x)?- (f(y)) 2 1:5:2K lf(x) - f(y)l, de modo que o Critério de Riemann implica que f 2 é integrável quando f o é. Para provar que[1/ 2 é integrável quando/1 e/2 o são, notemos qt1e

Q.E.D. 30.5 Lema. Seja g monotônica crescente em J::::::: [a, b] e suponhamos f integrável . em relação a g em J. Então (30.3)

Sem ::{,_{(x) ::{,.lrf para todo x E J, então

{30.4)

m(g(b)- g(a)) :5

r,

f dg s

M(g(b)- g(a)).

211

Demonstração. Decorre do Teorema 30.4 que lfl é integrável em relação a g. Se P = (x 0 , x 1 , ••• , Xn) é uma partição de J e (zi) é um conjunto de pontos ínt~rmediários, então; para j == 1, 2, ... , ri, temqs·

-!lfi!J :s; -!J(zi)!:::::;; f(zi) s lf(zi)l:::::;; !lfJIJ. Multiplicando por g(:xi)- g(xi-t) >O e somando, obtemos a estimativa

-llfiiJ (g(b)- g(a)) s

-S(P; !fi, g) s S(P; f, g) < S(P; !fi, g)

.,

s llf!IJ (g(b)- g(a)), donde decorre que tS(P;/, g)l ~S(P; lfl,g) ~ 11/IIJ(g(b)- g(a)), o que implica a validade Q.E.D. de (30 .3). A demonstração de (30.4) é análoga; omitirno·la, por isso.

CÁLCULO DA INTEGRAL

Os dois próximos resultados, além de sua utilidade intrínseca, conduzem ao Teore· ma Fundamental que é a chave para o cálculo de integrais de Riemarin.

30.6 Primeiro Teorema do Valor Médio. Se g é crescente em J ={a, b J e f nua de J em R, então existe um número c em J tal que (30.5)

econti-

J.bt dg = f(c) Lb dg = f(c){g(b)- g(a)}.

Demonstração. Se m - inf {!(:x): x E J e M =su p {f(:x): x E cedente que

f

f'f

m{g(b)- g(a)} s

Jf, vímos no lema pre-

dg;:;;; M{g(b.)- g(a)}. .•

Se g(b) =g(a), a relação (30.5) é trivial;seg(b)> g(a), então decorre do Teorema do Valor Intermediário de Bolzano, 22.4, que existe um número c em J tal que

f( c)

={ffdg}/{g(b)- g(a)}.

Q.E.D .

.30.7 Teorema da Diferenciação. Seja f contínua em J e g crescente em J e dotada de derivada em um ponto c E J. Então a função F, definida para x em J por

F(x)

'""'L~f dg,

tem derivada em c e F'(c) = f(c )g'(c). Demonstração. Se h >O é tal que 29.6 e do resultado precedente que

J

c+ h pertence a J, então decorre do Teorema

.::..,n

F(c+h)-F(c)="

= f(cl){g(c

212

J"

I.c+n

fdg- .. fdg="

+h)- g(c)},

fdg

para algum c 1 com c ::S:c 1 então F'(c) existe e é igual af(c)g'(c).


Particularizando este teorema para o caso Riernann, obtemos o resultado que dá a base do método familiar do cálculo de integrais. 30~8 Teorema Fundamental do Cálculo Integral. Seja f cont{nua em J =[a, b ]. Uma

função F em J satisfaz ,,

(30.6)

F(x)- F( a)=

r·

( (

I

i.

,. \

f

para

X E

J, (

se e somente se F' =f em J.

l

Demonstração. Se a relação (30.6) se verifica e c E J, então vê-se do teorema precedente que F'(c) =!(c). Reciprocamente, seja Fa definida para x em J por

\,

(

( f

\ !

O teorema precedente afirma que F~= f em J. Se F é tal que F'= f, decorre então do Teorema 27.9 (ii) que existe uma constante C tal que F(x) = Fa.(x) + C, para x E J. Como Fa(a) =O, então C=F(a) donde decorre que se F'= f em f, então

F(x) -F( a)=

,,.

i

f
Q.E.D.

·30.9 Primeiro Teorema do Valor Médio. Se f e p são cont(nu.as em J =[a. b] e p(x) ::2:: O para todo x E J, então existe um ponto c E J tal que

r·

f(x)p(x) dx =f( c)

f)

.

t (

Nota. Se F é uma função definida em J e tal que F'= f em J, então costuma-se dizer que F é uma integral indefinida, ou antiderivada, ou prim1tiva de f. Nesta terminologia, o Teorema da Diferenciação, 30.7, afirma que toda função contínua tem uma primítiva. Embora, por vezes, o Teorema Fundamental do Cálculo Integral seja formulado de maneira diversa da do Teorema 30.8, ele sempre inClui a afirmação que, sob hipóteses adequadas, a íntegra I de Riemann de f sempre pode ser obtida calcuiando-se uma primiti· va de f nos extremos do intervalo de integração. Utilizamos a formulação acima, que dá uma condição necessária e suficiente para que uma função seja uma primitiva de uma função contínua. No Exercício 3Q.J o leitor encontrará um resultado um pouco mais geral, que não exige a continuidade do integrando. Não se deve supor que o Teorema Fundamental afirme. que se a derivada/de uma função F existe em todo ponto de J, então f é integrável e (30.6) se verifica. De fato, pode acontecer que /não seja integrável segundo Riernann (cf. Exercício 30.K). Analogamente, uma ·função f pode ser R-integrável mas não ter uma primitiva (cf. Exercício 30.L). Como conseqüência do Teorema Fundamental e do Teorema 29 .8, obtemos a seguinte variante do Primeiro- Teorema do Valor Médio, 30.6, aqui enunciado para integrais de Riemann.

(30.7)

(

p(x) dx.

( (

(

\ (

t\ (

,, (

'

\

(

t.

{

\

( \,

(

( {

t.

213

((

'

J!;

Demonstração. Seja g : J-+ R definida para x E J por

11 i

.IH lll

l"'p(t)

g(x) =

dt .

Como p(x) 2. O, vê-se que g é crescente, decorrendo do Teorema da Diferenciação, 30.7, queg' =p. Pelo Teorema 29.8, concluímos que

li

.11·

'

e do Primeiro Teorema do Valor Médio, 30.6, ínferimos que, para algum c em J,

li

f't dg =f( c) lb p.

!I

Como segunda aplicação do Teorema 29.8, reformularemos o Teorema 29.7, que diz respeito à íntegração por partes, numa forma mais tradicional A prova fica a cargo do leitor.

.11

Q.E.D.

30.1 O Integração por Partes. Se f e g têm derivadas contz'nuas em [a, b ], então

. (i

. '

tbfg'=f(b)g(b)-f(a)g(a)- r·f'g. . )I•

li i

O resultado seguinte costuma também ser útiL 30.11 Segundo Teorema do Valor Médio. (a) Se J = [a, b ], então existe um ponto c em J tal que

·f't

dg =f( a)

(30.8)

r r

dg + f(b)

f

é crescente e g é continua em

Ib dg.

(b) Se f é crescente e h é contínua em J, então existe um ponto c em J tal que : !I i

11

li

f'th = f(a)

(30.9)

f' h.

(c) Se V' é não-negativa e crescente e h é contínua em J, então existe um ponto c

em J tal que

f'

li

!.lll

h+ f(b)

.,

(b)

f'

h.

Demonstração. As hipóteses, juntamente com o Teorema sobre Integrabílidade, 30.2, implicam que g é integráve1 em relação a/ em J. Além disso, pelo Primeiro Teorema do Valor Médio, 30.6,

f'

g df = g(c){f(b)- f( a)}.

Após utilizar o Teorema 29.7 relativo à integração por partes, concluímos que f é integrá· vel em relação a g e

f'f

dg "'"{f(b)g(b)- f(a)g(a)}- g(c){f(b)- f( a)} = f(a){g(c)- g(a)} + f(b ){g(b)- g{c)}

= f(a) rdg +f(b) f'dg,

'li

l

11

; ll

214

o que estabelece a parte (a). Para demonstrar {b ), seja g definida em J por g(x)=

J.f\k '. .

de modo que g' =h, A conclusao decorre então da parte (a) utilizando-se o Teorema 29 .8. Para demonstrar (c), definamos F, igual a '-P para x em (a, b] e F(a) = O. Aplicamos então (b) a F. Q.E.D. 7 A parte (c) do Teorema precedente costuma chamar-se forma de Bonnet do Segundo Teorema do Valor Médio. É evidente que existe resultado correspondente para o caso de uma função decrescente (cf. Exercício 30.N).

MUDANÇA DE V ARIÃ VEL Estabeleceremos agora um teorema que justifica a fórmula familiar para a "mudança de variável" numa integral de Riemann. 30.12 Teorema sobre Mudança de Variáveis. Seja c.p definida em um intervalo [a,{}] e com valores em R, dotada de derivada contínua, e suponhamos a= I{)(a) e b ='-P(/3). Se f é contznua no contradomfnio de c.p, então (30.10)

r·

f(x) dx

~f~ f(
Demonstração. Sejam I= '-P([rx, p]) e F definida por F(D =.t~ f(x) dx '

para'~ E r

e consideremos a função H definida por H(t) = F(;p(t)) para ex< t < {l Notemos que H(er.)=F((l)=O. Diferençando em relação ate usando o fato que F'=f(por quê?) ob· temos H'(t) = F'(
f't(x) dx = F(b) = H({3) =

J:

f(q;(t))q/(t) dt.

Q.E.D.

MODIFICAÇÃO DA INTEGRAL O próximo resultado costuma ser útil na redução de uma integral de Riemann-

Stieltjes a uma integral de Riemann.

30.13 Teorema. Se g' existe e f e g' são R-integráveis em [a, b ], e,ntão f é integrável no sentido de Riemann-Stieltjes em relação a g e

(30.11) 7

r· r =r· dg

fg'.

Ossian Bonnet 0819·1892) é conhecido principalmente por seus trabalhos em geometría dife· rencial.

215

Demonstração. SejaM> O tal que lf(x)l :Ç;M para x E (a, b J e seja e> O. Segue-se do Teorema 30.4 que fg' é R -in tegrável. Portanto, existe uma partição P e de [a, b] tal que se P= (x 0 , x 1 , ••• ,xn) é um refinamento dePe e se ~i E {x1 _1 ,XJ] paraj = l, ... ,n, então

(30.12) Como g' é R -integrável, podemos também supor (em virtude do Critério de Riemann, 30.1) quePe tenha sido escolhida de modo que

L" (M1 -

(30.13)

mí)(xi- Xj-t) < s,

j"' l

onde M1 = sup{g'(x): x E [x1_ 1 , x1J}e m1 = indg'(x): x E (x1_1 , x1]}. Aplicando o Teorema do Valor Médio, 27.6, obtemos pontos t1 E (x1 _ 1 , x1) tais que

J n

1

fb f(~J){g(x1 )- g(x;-l)}- 1 fg'

Ê f(gi)g'Út)(XJ -xi-;)- J" fg'

I

r

j .. l

"

L" fU~i){g'('i)- g'(§) }(xi- Xj-l)

;~

+

1

J~ f(gí)g'(.~;){Xj- Xj-1)1

r

fg' .

'l

Ora, como !g'(t1) - g'(~1 )i ~Mi- m1, decorre de (30.12) e (30.13) que a expressão precedente é dominada por

M

L" (MJ- m1)(x1 -

í""l

x1-1)+ s < (M + l)e.

Como e> O e a escolha dos ~i E fxí _1 , xi] é arbitraria, segue-se que f é integrável em rela• ção age que (30.11) se verifica. Q.E.D. Observação. A demonstração pode ser modificada para abranger o caso em que f é limitada e g é contínua em [a, b ], e g tem derivada exceto em um número finito de pontos nos quais se pode definir g' de modo que g 1 e fg' sejam R ·integráveis em {a, b J.

EXERCfCIOS

30.A. Mostre que uma função limitada que tem no máximo um número finito de descontinui-

dade é R-íntegráveL 30. B. Se f: [a, b 1- R é descontínua em um ponto do intervalo, então existe uma função crescente monotõnica g tal que f não é g-integrável. 30.C. Mostre que o Teorema de Integrabilidade, 30.2, se verifica quando g é uma função de. variação limitada em J. 30.D. Dê exemplo de uma função f que não é R-integrável sobre 1 mas tal que lfl e o são.

r

216

·.t

/

30. E. Sejam b - a > O, então

f positiva e descontínua em

J

={a, b}

e M = sup{f(x): .x

E1}. Mostre que, se

/

\. (

\.

( \

30. F. Mostre que o Primeiro Teorema do Valor Médio pode falhar se f não é contínua. 30. G. Mostre que o, Teorema da Diferenciação, 30.7, é wíiido se se supõe que f é integr.i vet em 1 em relação a uma função crescente g, que f é contínua em c e que g é diferençável em c. 30 .H. Sejam f integrável em relação a uma função crescente g em 1 = [a, b I e F deflnid a para .x E1por .

.,.. (

( ( \

F(x)= ftdg.

(

\

Prove que (a) se g é contínua em c, então F é contínua em c, e (b) se f é positiva, então F é crescente. 30.L Dê exemplo de uma função f R-integrável em 1 tiú que a função F, definida para x EJ por

(

(

(

não é deriv-Jvel em alguns pontos de J. Pode-se encontrar uma função integrável f tal que F não seja contínua em J? 30.1. Se fé R-integrável em 1= [a, b! e se F' =/em J, então

F(b)-F(a)= Sugestão: Se P::::: (x 0 • x l

, ••• , Xn)

f't.

I

( (

~

!,

( f

é uma partição de J, considerar

F(b)- F(a) =

j

\

L" {F(Xj)- F(Xj_,)}.

(

1-l

(

30.K. Seja F definida por

(

F(x) = x 1 sen (l/x 1),

=0,

O
(

O.

Então F tem derivada em todo ponto de!. Entretanto, F' não é :integrável em I e, assim, F não é a in-

tegral de sua derivada. 30.L. Seja f definida por f(x) = [x) para x E [0, 2). Então fé R-integrável em (0, 2]. mas não é derivada de função alguma. · 30.M. No Primeiro Teorema do Valor Médio, 30.9, suponha p R-integrável (em lugar de cont(nua). Mostre que a conclusão ainda é válida. 30.N. Se '{) é não-negativa e decrescente e h é contínua em (a, b]. então existe um ponto ~E [a, b) tal que

( (

' f

·'

(

t ( . \

30. O. Sejam f C
f

\. para n E N. x E l.

(

•J

,.

\.

217

(

/

]li lU

]li

I! t

=

Por indução, mostre que !/n(x)l < (M/n !)x" < M/n!, onde M sup{ 1/(x}l: x E I}. Segue-se que a seqüência (/11 ) converge uniformemente em I para a função z.ero. 30. P. Se é integr~vel em relação a g em J la, b), se

r

1

=

r(}

!I!

t:

I! I

30.Q. Se f é contínua em la, bJ e se

I

•

1!1 .111

.!li

para toda função contínua h, então r
j!l !li 111

para toda função contínua h, então r(x) =O para todos os pontos de continuidade de{. 30.S. Seja p contínua e positiva em [a, b} e c> O. Se

I! I IH

i:I•·i

li i lii

p(x)

:$

r

c

p(t) dt

para todo x E {a, b] mostre que p (x) =O para todo x. 30. T. Seja f contínua e tal que /(x) > O para todo x E {a, bl Se g é estritamente crescente em {a, b], mostre que

'•

se e somente se f(x) = Opara todo x E {a, b }. 30.T. Seja f contínua e tal que r(x) >O para todo x E (a, bj. Se g é estritamente crescente em Primeiro Teorema do Valor Médio, 30.6. Faça modificação análoga nas partes (a) e (b) do Segundo Teorema do Valor Médio. 30.V. Calcule as seguintes integrais de Ríemann-Stíeltjes, (Aqui, x..,... [x] denota a função maior inteiro.) (a)

(c) {e}

{h)

J.xc:Hx').

r r

x·' d([x]),

(d}

COS X d{sen X),

(f)

r r 2

J_~

X

d(lx!). (

X

2

d([x

2

]},

cos x d(!sen x!).

PROJETOS 30.~.

P={xER:x

Finalidade: Estabelecer o logaritmo utili?.ando uma integral como sua definíção. Seja

>O}.

.

(a) Se x E P, definamos L (x) como

L(x) =

.f

!' !'

i d

s:

l

'

218

E f

I

dt.

11

Logo, L (l) =O. Prove que L é diferençável e que L'(x)::::: 1/x. (b) Mostre que L (x)
x < 1 e L (x) >O para x > L De fato,

pará x >O.

t - l/x .s L(x) s: x- I

(c) Prove que L(xy)=L(x} + L(y) para x. y emP. Logo,L(l/x):;:; -L(x) parax emP. {Sugestão: Se y EP, defina L 1 em P por L 1 (x) = L(xy)e mostre que L~ =L'.) (d) Mostre que se n E N, n

> 3, então

{e) Prove que L é uma função um-a·um que leva P sobre todo o R. Denotando por e o número (único) tal que L (e)= l e usando o fato que L'(l)::::: 1, mostre que e= lím ((1 + 1/n)f'). (f) Seja r um número positivo .racional arbitrário. Então ümx ..... ..,.,..L (x)fxr =O.

(g) Observe que

• J

L(l +x) =

i< -dt.

dt -=

I "

I

I

l+t

..

Escreva (1 + r)- 1· como uma série geométrica finita, obtendo n

L (i+ x) = k~ Mostre que !Rn(X)I .S. xn+ 1 /(n

+ 1) para O~ x

1

(

-

l)H k x~< + R.(x).

:=;;. 1 e pata-]


30./1. Este projeto estabelece as funções trigonométricas a partir de uma integral. (a) Seja A definida para x em R por

A(x)

~

f• 1 dt

Jn +r

Então A é uma função ímvar [isto é, A (-x) =-A (x)j, é estritamente crescente e é limitada por 2. Defma n mediante rr/2 = sup (x): x E R

iA

f.

(b) Seja T a inversa de A, de modo que T é uma função estritamente crescente com domínio (-n/2, rr/2), Mostre que T tem derivada e que T' = 1 + Tl. (c) Detina C e Sem (-rr/2, rr/2) pelas fórmulas

T S = (1 +T•)IIl.

= l e S(O) =O e C(x)-+ O e S(x)-+ 1 quan:.

!

Logo C é par e Sé ímpar em (-rr/2, -rr/2}. Mostre que C{O) do x-+ rr/2.

r

(d} Prove que C'(x)= -S(x) e S'{x)=C(x) para x em (--rt/2, -rr/2). Portanto, tanto C cornoS satisfaz.em a equação diferencial

'' '' '

h"+h=O no intervalo (- rr/2, rr/2).

219

(e) Defina C('rr/2) =O e S (n/2) ==O e C, S, T fora do intervalo ( -n/2, w/2) pelas equações

C(x + 11) = -C(x),

S(x

Ci e

+ 1r) = -S(x),

p<

T(x +11) = T(x), Faz.endo isto sucessivamente, C e S ficam definidas para todo R e têm período 2n. Analogamente, T é definida a m"enos de múltiplos ímpares de rr/2 e tem período rr. (f) Mostre que as funções C e S, tais como definidas em R na parte precedente, são diferençá·

)

veis em todo ponto de R e que continuam satisfa?.endo as relações

C'=

S'= C

-s,

tr;

em todo R. 30.")'. Este projeto estabelece a conhecida fórmula do produto de Wallis.$ Seja

(sen X)" dx.

I'

-:- [(n - 1)/n]Sn-l. (Sugestão: Integrar poi partes.)

I'

S" ""'

(a) Se n

> 2, então Sn

I

f'''

'

I•

I

(b) EstabeJecer as fórmulas

·

. 1 · 3 · 5 · · · (2n- 1) 7r

s~ h

= 2 ·4 ·6L

·

Sl

2 · 4 · · · (2n)

{2n) 2 '

sln+l=

1· 3. 5 ... (2n+l).

(c) Mostrar que a seqüência (Sn) é monotônica decrescente. (Sugestão: O :;;;. sen x

m < 1.)

gr

(d) Seja Wn definida por

d~

_ 2 · 2 · 4 · 4 · 6 · 6 · · · (2n)(2n) wfi -1 . 3 . 3 . 5 . 5 . 7 ... (2n- 1)(2n + 1)'

f. \

jI

Prove que lim (Wn) = 7r/2. (Este é o produto de Waltis.) (e) Prove que lim ((n!) 1 2m /(2n)! .,fii) =

':

'

.,J;r.

30.8. Estabelece-se aqui a importante fórmula de Stirling, 9 que aproxim~ n!

i

i i

que

i

(a) Comparando a área sob a hipérbole y

:=

1/x e a área de um trapezóide nela inscrito, mostre

\ i

Daí, mostre que e

< (1 + 1/n'f .. v~.

(b) Mostre que

rlog X dx = n. log n- n + 1 = log (n/ e)"+ L 8

James Stírling (1692~1770), matemático inglês da escola newtoniana. A fórmula atribuída a Stlrlíng já havia sido estabelecida anteriormente por Abraham De Moivre (1667-1754 ), hugenote ü:ancês que se fixou em Londres e foi amigo de Newton.

'í

! '

I !

. I

li~ I '! . ,i

q

'r"

John Wallis (1616-1703) foi professor de geometria em Oxford e precursor de Newton. Ajudou a firmar as bases para o desenvolvimento do cálculo.

220

'

l

(~

\

Considere a figura formada de retângulos de bases [l,f),ln -f, n) e alturas 2,logn,.respectivamente, e de trapezóides de bases {k k + 1. k = 2, 3, ... , n - 1 e com lados inclinados passando pelos pontos (k, log k). Mostre que a área de F é , .

+,

+

1 + log 2+ · · · + log (n -l}+Hog n

=l ~·Íog (n!)-log .Jn.

- (n./e)"Jn. t

n.

1

< '

'

(

(

(c) Comparando as duas áreas na parte (b), mostre que

u..-

/

I

( neN.

•·'

(

(d} Mostre que a seqüência (un) é monotônica crescente. (Sugestão: Considere Un +tfun..)

I

\

(e) Considerando u'A/u 2 n., e utiliz.ando o resultado da parte (e) do projeto precedente, mostre que lim (un) = (2rrr 112 • (f) Obtenha a fórmula de Stiding

( f

\

lim ((n/e):Y2-rrn) = 1.

( \

SEÇÃO 31 OUTRAS PROPRIEDADES DA INTEGRAL Apresentaremos nesta seção algumas propriedades adicionais das integrais de Riemann-Stieltjes (e de Riemann). . · Consideremos primeiro a possibilidade de "passagem ao limite sob o sinal de inte· gração"; isto é, a integrabilidade do linúte de uma seqüência de funções integráveis. Suponhamos·g rnonotônica crescente em um intervalo J =[a, b ], (fn) uma seqüência de funções integráveis em relação age que converge em todo ponto de 1 para uma função f. É natural esperar que a função limite f seja integrável e que

(

( I (

(

J."f dg = limJ."f.. dg.

(31.1)

( (

Todavia, tal não é necessariamente o caso, mesmo para funções "bem-comportadas".

( (

(l/n, n)

'·· f

\

(

(

J

'

'

\

F'igura 31.1 Gráfico de fn. O

1/n

2/n

1

(

( 221

c ( .1

··' !

jll 111

31J Exemplo. SejaJ=[O, l],g(x) =x efn definida

111

l' l

fn(x)

= n 2x,

111

li!

=O ,

)I f

.i!I

,1!1

.

liI

Iti .111 r111

[i li ~I li fjl!

d

!liI \l!l

il l

<

x :s; 2/n,

Além disso, a seqüência ifn) converge em todo ponto de J para O; logo, a função limite f se anula identicamente, é integrável e

ft(x) dx =O. Portanto, ·a equação (31.1) não se verifica neste caso, muito embora ambos os membros tenham sentido. Como a equação (31.1) é muito conveniente, ocorre perguntar se não haverá condi· ções adicionais simples que a impliquem. Mostraremos que, se a convergência é uniforme, então a relação se verifica, 31.2 Teorema. Seja g uma função monotônica crescente em J e seja ffn) uma seqüência de funções integráveis em relação a g sobre J. Suponhamos a seqüência ifn) unifor~ memente convergente em J para uma função limite f Então f é integrável em relaçoo age

J..bf dg

(31.1)

= Jim

f'

f., dg.

Demonstração. Seja e> O e N tal que llfN - fl!J
)11

\11 ..

1/n

1/n,

(

';

~

s (

e

n > 2.

Jll J!l

X :5

E claro que, para cada n, a função fn é contínua em J e, daí, integrável em relação a g. (V. Figura 31.1.) Seja por cálculo direto, ou apelando para o signíficado da integral como área, obtemos

!u l!i

O<

n ~ 2 por

2/n:;; x:;; L

li! I'!I

p~ua

f,

g)l

<

L" !lfN- f!l; {g(xk)- g(x~<-1)}

k~

/

IJ '' I' ''' f ''

g

~

(

(

i

'I

I

c

I I I

j

(

I.

I'

( d

l

= llfN- fll1 {g(b)- g(a)} < e{g(b)- g(a)}.

Como estimativa análoga vale para a partição Q, então, para refinamentos F, Q de PN e as correspondentes somas de Riemann-Stieltjes, se tem jS(P; f, g)- S(Q; f, g)l siS(P;

f, g)- S(P; fN, g)l

+ IS(P; fN, g)- S( Q; fN, g)! +jS(Q;fN, g)-S(Q;f, g)l s e(l + 2{g(b)- g(a)}).

De acordo com o Critério de Cauchy, 29.4, a função limite/é integrável em relação ag.

222

(

I

d (

c

f

.

Para estabelecer (31.1 ), aplicamos o Lema 30.5: '

Como lim !lf- fn IIJ =O, temos a conclusão desejada.

Q.RD.

A hipótese de uniformidade da continuidade da seqüência ifn) feita no Teorema 31.2 é bastante severa e restringe a utílídade deste resultado. Enunciaremos agora um re· sultado que não restringe tão fortemente a convergência, apesar de exigir a integrabílídade da função limite. Não demonstraremos este resultado, pois a demonstração maís natural exigiria que apelássemos para a "teoria da medida". (O leitor interessado poderá consultar Q artigo de Luxemberg relacionado nas Referências.)

rr 1:

I ' ' I

I

31.3 Teorema da Convergência limitada. Seja lfn) uma seqüência de funções in te~ gníveis em relação a uma funçao monotônica crescente g de J = [a, b] em R. Suponhamos que exista B >O tal que lfn(.x)!
I

'

I

'''

(31.1)

f...b f dg = lim

r·

f,.. dg.

I

Damos a seguir, formalmente, uma conseqüência bastante útil do Teorema da Con~

r

I

I f

I

vergência limitada.

31.4 Teorema da Convergência Monotônica. Seja ifn) uma seqüência monotônica de funções integrc[veis em relação a uma função monotônica.crescente g de J =[a, b] em R. Se a função f(x) =lim lfn.(x)), x EJ. ê integrável em relação agem J então (3 L 1)

.

J.~> f dg = lim Ib f,. dg.

Demonstração. Suponhamos que f 1 (x) -:;;,J-1 (x) -:;;. · · · -:;;.[(x) para todo x E J. Então lfn (x)i S: B, onde B = llf1IIJ + l!fiiJ, de modo qu~ podemos aplicar 313. Q.E.D. O poder da teoria da integração de Lebesgue (e Lebesgue-Stieltjes) reside principalmente no fato de que ela amplia a classe de funções integráveis, de modo que a equação (31 J) seja válida sob condições menos restritivas do que as impostas no teorema precedente. (O leitor poderá consultar o livro Elements o{ Integration, do autor.)

FORMA INTEGRAL DO RESTO O leitor sem dúvida se recorda do Teorema de Taylor, 28.6, que permite o cálculo de f(b) em tennos dos valores f(a), f'(a), ... ,f{n-l)(a) e de um termo complementar (resto) que envolve j(n) calculada em um ponto entre a e b. Em muitas aplicações, é mais conveniente exprimir o termo complementar, ou resto, como uma integral envolvendo

[
31.5 Teorema de Taylor. Seíam f e suas derivadas['.{", ... ,t
'

onde o resto é dado por

!

(3 L2)

! i

i'

f

R .. = (n _1 l)! "b(b- t)"-lt<">(t) dt.

I. .

'

(

f (

Continuando a integrar por partes da mesma forma, chegamos à fórmula desejada. Q.E.D.

·.•..

Em lugar da fórmula (31.2), é CÇJStume fazer a mudança de varíável t = (1 - s)a sb, paras em {0, 1 ], obtendo-se a fórmula

, I

(31.3)

R .. = (b- a)"-t (n.-1)!

f

Jo

1

+

(

(1- s)"- 1[<">[a + (b- a)s] ds.

Esta forma do resto pode ser estendída ao caso em que f tem domínio em RP e contrado· mínio emRq.

INTEGRAIS QUE DEPENDEM DE UM PARÂMETRO

. Não raro sor,nos levados a considerar jntegrais em que o integrando depende de um parâmetro. Em tais casos, é desejável dispormos de condições que assegurem a continuidade, a derivabilidade e a integrabilidade da função resultante. Os próximos resultados são úteis quanto a este aspecto. Seja D o retângulo em R x R dado por ·

D

= {(x, t): a ~ x

(

s b, c :::;;; t s d},

e suponhamos f contínua de D em R. Vê-se então facilmente (cf. Exercício 22.G)'que, para cada t fixo em [c, d], a função que leva x em f(x, t) é contínua em {a, b) e, portanto, R-integrável. Definamos F para tem [c, d] pela fórmula

(31.4)

F(t) = {~f(x, t)

d~.

(

c

Provaremos primeiro que F é contínua.

31.6 Teorema. Se f 4 cont(nu.a de D em R e se F é definida por (31.4), então F é continua de [c, d] em R.

•

r d (1

Ii I

.)

Demonstração. O Teorema da Continuidade Uniforme, 23.3, implica que, se então existe ó(e) >O tal que, sete t 0 pertencem a [c, d] e lt- t 0 l <ô(e), então

!f(x, t)- f(x, to)!< e,

li

li

,I ,I 1

i I

224

e> O,

n (

( r

para todo x em [a, b]. Do Lema 30.5 decorre que

jF(t)- F(to)l

=I r·

{f(x, t)

\

~ f(x,,t~)} dx '

~

( (

•)•,.

f.."lf(x, t)- f(x, to)! dx < s (b- a),

(

\

Q.E.D.

(

Nos próximos dois resultados apelaremos para a noção de derivada parcial de uma função de duas variáveis reais. Tal conceito, fanúliar ao leitor que estudou cálculo, será discutido com mais detalhes no Capítulo 7.

f ''

o que estabelece a continuidade de F.

31.7 Teorema. Se f e sua derivada parcial [t são continuas de D em R, então a função F definida por (31.4) tem derivada em [c, d} e (31.5)

F'(t)

=I"

f,(x, t) dx.

e> O, então

lt- t 0 1
I

t - to

J.,

(

C. c

to) dx

t0

s e(b- a);

que estabelece a equação (31.5).

( Q.E.D.

•

.•

As vezes o parâmetro t aparece não só nos limites de integração como no integran· do. Esta possibilidade é considerada no próximo resultado. Em sua demonstração, utilizaremos um caso muito especial da Regra da Cadeia (a ser estudada no Capítulo 7), sem dúvida familiar ao leitpr. 31.8 Fórrnula de Leibniz. Suponhamos que f e ft sejam continuas de D em R e que a e f3 sejam funções diferençáveis no intervalo [c, d1 tomando valores em [a, b]. Se definirmos tp em [c, d] por

(31.6)

cp(t) =

l

(

f(x, t) dx,

'

r

'•

(

/

\

( (

(

tl(O

o.(t)

c (

para todo x E [a, b). Aplicando o Lema 30.5, obtemos a estimativa

lt., If(x, t)t --JSx,_!i)_ __ j;(x,

(

C.

I

s

\

(

[(x, t)-f(x, to)_f,( ) t _ to , x, to < e,

to) dx

(

(

para todo x em [a, bJ, Suponha que t, t 0 satisfaçam esta condição e aplique o Teorema do Valor Médio, 27.6, obtendo um t 1 (que pode depender de x e está entre te t 0 ) tal que

('f,(x,

(

(

lf~(x, t)- f,(x, to)!< e

F(t)- F( to)-

(

(

Demonstração. Da continuidade uniforme de [tem D inferimos que, se existe um â (e)> O tal que se lt- t 0 ! < â (e), então

Combinando essas duas relações~ inferimos que se O<

(

' '

(

•

225

c (

'

(

.,

"

!I

11

I!

li

então 1fJ tem derivada para cada tem [c, d], dada p:Jr

(31.7)

!L

cp'(t) = f({3(t), t){3'(t)- f(a(t), t)a'(t)+

Demonstração. Seja H definida para (u,

li

H(u, v, t)

li !I ,.!I

IL

1

=i" tJ,

13(l)

I

<>.{!)

f,(x~

r) dx.

t) por

r

f(x, t) dx,

quando u, v pertencem a [a, b J e t pertence a [c, dJ. A função I{' definida em (3 1.6) é a composição dada por lfJ(t) =H(f3(t), a(t), t). Aplicando a Regra da Cadeia, temos cp'(t) = H.,(/3(t), a(t), t)/3'(t) + H,(f3(t), a(t), t)a'(t)+ H,(f3(t), a(t), t).

t

De acordo com o Teorema da Diferenciação, 30.7, H~(u,

v, t) = f(u, t),

t

Hv(u,

U,

t) =-f( v, t),

e do teorema precedente, ternos

(

H,(u, v, t) = J.,"f,(x, t) dx. Fazendo a substituição u

=(j(t) e v= a(t), obtemos a fórmula (3 I .7).

d

Q.E.D.

Se f é contínua de D em R e F é definida pela fórmula (31 .4), então ficou provado no Teorema 3 L6 que F é contínua e, daí, R-íntegrável em [c, d]. Mostraremos agora que esta hipótese de continuidade é suficiente para garantir a possibilidade de inverter a ordem de integração. Em fórmulas, podemos escrever

f'{rt(x, t) dx} dt = f'{f f(x, t) de} dx. 1

(31.8)

t

31.9 Teorema da Inversão. Se f é cont(nua em De toma valores em R, então a fórmula (31.8) é válida. Démonstração. O Teorema 31.6 e o Teorema da Integrabilidade, 30.2, irnplícam a exístência de ambos os limites iterados que aparecem em (31.8); resta estabelecer a sua igualdade. Como f é uniformemente contínua em D, se O, existe 5 (e)> O tal que se lx- x'l < ô (e) e lt- t'l < õ {e), então lf(x, t)- f(x', t')l
c

ç

t (

p

v

E>

Podemos escrever a expressão à esquerda de (31 .8) sob forma de sorna como

ktl itl L~~ {L~~. f(x, dx} t)

f

(:

e dt.

Aplicando duas vezes o Primeiro Teorema do Valor Médio, 30.6, inferimos que existe um número xjem [xi-l ,xi] e números th~ em {tk_ 1,tk] tais que

e

f

-

i(

226

Temos então

Raciocínio análogo aplicado à integral à direita de (31.8) mostra a existência de nú· meros x;-k em [XJ -1, XJ 1e tk em [t;.: -1, tn Jtais que

I"{ Jc a

fdf(xt t)

dt} dx = f t f(x1[~< ~ tn(xi- x;-I)(t~< -t~<-t). k .. 1 r-1

Como tanto os xí como osx}h pertencem a [x1 _ 1 ,x1] e tíh•t;;.pertencem a[tn:_ 1 , tk ]) concluímos, pela continuidade uniforme de f, que as duas somas duplas- e, portan· to, as duas integrais iteradas- diferem no máximo por e(b - a)(d- c). Como e> O é ar· bitrário, fica confirmada a igualdade dessas integrais. Q.B.D.

O TEOREMA DA REPRESENTAÇÃO DE RIESZ 10

Concluiremos esta seção com um teorema profundo que, embora não aplicado aqui, desempenha relevante papel na análise funcional. Convém,· primeiro, coletar alguns resultl;l9.os já estabelecidos, ou que são conseqüências diretas do que temos efeito. Seja J = [a, b J uma cela fechada em R~ seja C(J) o espaço vetorial de todas as funções contínuas de J em R, e seja llfliJ a norma em C(J) definida por

llfll, = sup {lf(x)j: x E J}. Um funcional linear em C(J) é uma função linear G : C(J) -+R definida no espaço vetorial C(J); logo, G(aft + f3fz} = O:G(f~) + {3G{f2)

I

para todos ·a:j {3 em R e / 1 ~f2 em C(J). Diz~se que um funcional linear G em C(J) é positi· vo se, para cada f E C(J), comf(x) >O, x EJ, se tem G(f) >O. Um funcional linear G em C(J) é limitado se existe M ~O tal que

j

I i !

~

''

IG(f)l <

M

llfllJ

para toda/E C(J). 31 .I O Lema. Se g é uma função mono tônica crescente em J e se G é definida para

f em C(J)por (31.9)

G{f)= f'tdg,

então G ê um funcional linear positivo limitado em C(J). Demonstração. Decorre, dos Teoremas 29.5 (a) e 30.2 que G é um funcional linear em C(J) e do Lema 30.5 que G é limitado com M=g(b) --g(a). Se f pertence a C(J) e f(x) ';:;:O para x El, então, fazendo m O na fórmula (30.4), concluímos que Gff) ';:;:O.

Q.E.D.

lO

O resto desta seção pode ser omitido numa primeira leitura.

227

Mostraremos agora que, reciprocamente, todo funcional linear positivo limitado em C(J) é gerado pela integral de Ríemann-Stieltjes em relação a alguma função g monotôní· ca crescente. Esta é uma forma do célebre "Teorema da Representação de Ríesz", chave para a "análise funcional" e que tem generalizações e aplicações de amplo alcance. O teorema foi provado pelo grande matemático húngaro Frederic R1esz. 11 31.11 Teorema da Representação de Riesz. Se G é um funcional linear positivo limi-

tado em C(J), então existe urna função g monotônica crescente em J tal que

I

I I!

I l

I

i j•

I

. '

;

;

'

'

(31.9)

G(f) = f'tdg,

para toda f em C(J).

Demonstração. Definiremos primeiro uma função g monotônica crescente e, em seguida, mostraremos que (3L9) se verifica. Existe uma constante M tal que, se O
(31.10)

!

Vê-se logo

que,~

= 1- n(x- t),

t

=O ,

t + 1/n < x < b.


n < m, então, para cada t tal que a< t

t

+ 1/n,

< b,

Os ,.,(x) < 1, de modo que a seqüência (G(;pt,n):n EN) é uma seqüência decrescente limitada de núme· ros reais que converge para um número reaL Seja g (t) 1gual a esse limite. Se a < t s < b e n EN, então

s

b 11

j

.,! !

228

Figura 31.2 Gráfico de
Frederic Ries.z (1880-1955), brilhante matemático húngaro, um dos fundadores da topologia e da análise funcional. Deu também belas contribuições à teoria do potencial, teoría ergódica e teoria da integração.'

( donde decorre que g(t)
(

de modo queg(a)=Ob,n)=g(b). Istomostraqueg(a)
( '·

g(b)e

completa a construção da função crescente monotônícag. Se f é contínua em J e e> O, existe ó (e)> O tal que se lx- yl < ó (e) ex, y E J, então if(x) -f(:v)l
(

'

( '

;·

í.

(

\.

t' ( (

\

Seja agora P =(to, t 1 , ••• , trn) uma partícão de J em pontos distintos, que constitua um refinamento de Pe tal que sup{ tk - tk _ 1 } < ~ ó (e) e seja n um número natural suficien· temente grande para que

2/n < inf {t~<:- t~<:-l}.

( ( \

( l

Então só intervalos consecutivos

E

(31.11)

(

terão pontos em .comum. 0/. Figura 31.3.) Para cada k = 1 ~ ... , in, a seqüência decrescente (G(IPtk,n)}converge para g(tk) e, daí, podemos supor n suficientemente grande pa-

(

ra que

{31.12)

g(t~o) < G(.:r~ .... ) < g(t~t) + (e/m

(

(

!lfiiJ).

Consideremos agora a função f* definida em J por

( I

(31.13)

+L

\.

m

f*(x) = f(tL)cp.,,,.(x)

1.:-2

f(t~
f

\'

(

'

.

(

1

r

I I I I I I

Figura 3l.3. Gráfico de

'Ptk " n - "'tk ..,...

~

l ,

tl

..

(

\

.. i

c ('

l

I

\

tk -1 \

t}t

tk

- 1

+ 1/n.

t /c

·'

('

I I I i I

I a

(

.

I I

'

(

+ 1/n

.'

./

.i

/

I

• ''

( 229

( (

.

•

\

'

•'

.>

/li

Jll

li

Um elemento x em J ou pertence a um ou a dois intervalos em (31.11). Se pertence a um intervalo, então devemos ter t 0 < x < t 1 e f*(x) =f(t 1) ou tR:-1 + (1/n) < x < fk para aJ. gum k""" 1, 2, ...• m, caso em que f*'(x) = f(tn). (V. Fígura 31.4.) Logo,

lli

!f(x)- f*(:x)l
i! I

Se x pertence a dois intervalos em (31.11 )1 então f h

< x :S: tk + 1/n para algum

li

J!

I I

.11:

,.

r: :

JL li

li! j'·I il i a

I

:

::1

I

1

l

1

!,

I I

:

:]

I

l!

:I 1

I

]tI l

I 1

I

I' I

:

t

I I

i

:

I

I

:

l I I

I I

:I

: ~: ! ! : i ! ! ·~~-7--~'-r~'--r---~·~~--~~~---L:~l--~!L_ ___i--_J-L~ = 0 j I

/" .

I

::

I

:I

:'

I

l

l

;'>,

1

I l I I I I

I

; il•

I

I I

i: ~ :

il

1

I

to

tt+l/n

I

t2

t3

tz+l/n

I

I

I

t4

tk _ 1

t;.

ta+lfn.

.il

Figura 31.4. Gráficosdefef*.

k

= 1, ... , m -

1, e inferimos que f*{x) = f(t~.)cplj,,,(:x) +f(t~<+l){l- if>•k·"(x)}.

Referindo"nos à definição das tp's em (31.1 0), temos

f*(x)

=f(t~t)(l- n{x- r~.))+ f(tk+~)n(x- tt.:).

Como ix- tn I< ó(E) e jx- tk +li< o(e), concluímos que

lf(x)- f*(x)l s !f(x)- f(t,_)J (1- n(x- td) + !f(x)- f(tHt)l n(x- t~<)

< e{l-n(x- td + n(x- tk)} = s. Conseqüentemente, temos a estimativa

llf- f*lh

Como G é

(31.14) 230

=

sup {[f(x)- f*(x)l: x

E

J} < e:.

um funcional linear limitado em C(J), segue-se que jG(f)-G(f*}l s Me.

Em face da relação (31.12), vê·se que

HG(
{g( t~c)- g( tk-t)}l
para k = 2, 3, ... , m. Aplicando G à função do que g(t 0 ) = O, obtemos

I

G(f*)-

f

f* d~fln1da pela equação (31.13) é

f(t~<){g(t~<)- g(t~<-t)}

k•t

llfll1 lembran-

l


Mas o segundo termo à esquerda é uma soma de Riemann-Stieltjes S(P;f,g) para f em relação a g, correspondente à partição P que é um refinamento de Pe· Temos, portanto,

11"fdg-G(f*)

Is·l

J..''tdg-S{P;f,

g) }+IS(P;f. g)-G(f*)l 2e.

Finalmente, usando a relação (31.14 ), encontramos

(31.15)

1

r·fdg-G(f) <(M+2)E. 1

Como e >O é arbitrário e o membro esquerdo de (31.15) não depende de e, concluímos que

G(f) =

1"f

dg.

Q.E.D.

Em certos casos é importante saber que existe uma correspondência um-a-um entre os -{uncionais lineares positivos limitados em C(J) e determinadas funções crescentes mo· notônicas normaTizadas. Pode·se verificar que nossa construção gera uma função crescen· te g tal que g(a) =O e g é contínua ã direita em todo ponto ínterior de J. Com essas condições adicionais, existe uma correspondência um-a-um entre os funcionais positivos e as funções crescentes. EXERCÍCIOS

3l.A. Se a> O, mpstre diretamente que

Hm

r"e _,., àx = O.

" Jo

Dos resultados desta seção, qual é aplicável? 3LB. Se O
lim

J

l

e .•• ~ dx =O.

O

n

Que acontece se a = O? 3l.C. Discuta lim fnx(l- x)"~dx. n

o

31-D. Se a> O, mostre que

lim Que acontece se a :;;; O?

f"" sen nx dx = O.

"t

nx

231

31.E. Seja fn(x}=nx(l + nxt 1 pata x E (0, 1], e seja f(x)= 0 para x = 0 e f{x)= 1 para x E (0, 1). Mostre quefn(X}.....,. f(x) para todo x E {0, 1) e que

f.

1

f,{x) dx-?

c~

J.' f(x) dx. «

31 .F. Seja hn (x) = nx e+ nx para x E {O, 1] e seja h(x) :::: O. Mostre que 2

O= ! : I ~

•I i f !I I;

I! '

i~

I: '. I:

Ii

I

~I

•' I

Í I

!I

~

: j

:'!I ' I ;j l

1

11

1 1

o

h(x)dxr'lim

i! h,(x)dx=?.1 o

-

31. G. Seja (gn) uma seqüência de funçõe~ c;-escentes em (a, b] que converge uniformemente para uma função g em [a, bj. Se uma função crescente f é integrável em relação a Kn para todo n E N, mostre que f é. integrável em relação age

r

f dg ""'lirn

r

f dg,..

31. H. Dê exemplo que mostre que a conclusão do exercício precedente pode falhar se a convergência não é uniforme. 31.1. Se a> O, mostre que t"(log t)l dt == 2/(Ci + 1) 3 • 31. J. Suponha f e sua derivada parcial ft contínuas para {x, t) em [a, b) X (c, dj. Aplique o Teorema da Inversão, 31.9,a

f!

f{f

f,(x, t) dx} d!,

C SI<

d,

e diferencie, obtendo assim outra demonstração do Teorema 31.7. 3LK. Use o Teorema Fundamental, 30.8, para mostrar que se a seqüência ifn) de funções converge em J para uma função f e, se as derivadas (f~) são contínuas e convergem uniformemente em J para uma função g, então f' existe e é igual ag. (Este resultado não é tão geral como o Teorema 28.5, mas é maís fácil de estabelecer.) 31. L. Seja 1 , r~ , ... , rn, ... } uma enumeração dos racionais em I. Seja f n 1 se x 1 , ... , rn }e O em caso contrário. Então 'fn é R -integrável em 1 e a seqüência ifn) converge monotomcamente para a função descontínua de Dirichlet f (que é igual a 1 em 1 () Q e igual a O em 1\Q). Logo, o . limite monotôníoo de uma seqi.iência de funções R-integráveis não é necessariamente íntegrável. 31. M. Seja g uma função crescente monotônica fixa em J =[a, b}. Se f é uma função integráyel em relação agem J, então definamos llfli 1 por

{r

=

e{r

ilI'! Ji

I'

~

I

í;

Mostre que se verificam as seguintes "propriedades da norma":

I

'

(a) Ufll~ > O; (b) Se f(x) ""O para todo x E J, então llfll, =O; (c) Se c E R, entãolicf!h = !clllfl!,; (d) lllfll. -llh li, !!f:~: h !1~ ::; llfl!, +!Ih

I ::;

u..

Todavia, é possível que 11/11 1 =O sem que f(x) =O para todo x E J. (Pode isto ocorrer quando g(x) =

x?

3 LN. Se g é monotõnica crescente em J, e se f e fn, n E N, são funções integráveis em reiaçâo a g, então diz.ernos que a seqüência (]11 ) converge em média (em relação a g) se

232

( (A notação aqui é a mesma que a do exercício precedente.) Mostre que se (/n) converge em média para /,então

. r

r~

dg __

\

(

'

f dg.·_....

{ ''

Prove que se uma seqüência ifn) de funções integráveis converge uniformemente em J para/, então também converge em média para/. De fato,

llf.,- fll. :$ {g(b)- g(a)} llf"- f!IJ-

'

(

( r

~

Entretanto, se In denota a função do Exemplo 31.1, e se Kn = (lfn)fn, então a seqüência (gn) converge em média [em relação a g(x) = x)i para a função zero, mas a convergência não é uniforme em/. 31.0. Seja g(x) = x em J [0, 2] e (/n) a seqüência de intervalos fechados em J tais que (i) o comprimento de l n é 1/n, (ii) In n f n ·H = i'} e (iii) todo ponto x de J pertence a um número í nfi nito de In. Seja f n definida por

=

f.,(x)

(

'' /

\ (

=1,

X E

I,..,

r ..

=0,

Xé

I,..

(

'·

Prove que a seqüência ifn.) converge em média. [em relação a g(x) =XI para a função zero em J mas não converge uniformemente. De fato, a seqüência ifn) não converge em ponto nenhum! 31.P. Seja g monotônica crescente em J= [a, b}. Se f e h são funções deJ em R integráveis em relação a g, defin lmos o produto interno (/, h) de f e h pe!a expressão

( (

(

(f, h)= ft(x)h(x) dg{x). Verifique que todas as propriedades da Definição 8.3 são satisfeitas, exceto a (i i). Se f= h é a função zero em J, então (/j) =O; pode ocorrer, entretanto, que(/,/)= O pua uma função f que não se anule em todo ponto de J. 3LQ. Definamos 11/1~ como

c

·:(

( ·:

l '· de modo que 11/ll:z = (f, [) 111•• Estabeleça a desigualdade de Schwuz

(

!Cf, h )I < llf!h !Ih!!. (Teorema 8.7 e 8.8). Mostre que as propriedades da norma 8.5 se verificam} a menos do fato que !!/li, =O não acarreta f(x) =O para todo x em J. Mo$tre que l!{ll 1 ~~g(b) - g (a)('l 11/Uz. 31. R. Sejam f e In, n E N, integráveis em J em relação a un\a. função cresçente g. Dit.emos que a seq Uênda ifn} converge em média quadcitica {em relação agem f) para f se llfn -/111 -• O.

(

..

/\

'

(

(a) Mostre que se a seqüência é uniformemt!nte convergente em J, então também converge em média quadrática para a mesma função.

(

(b) Mostre que se a seqüência converge em média quadrática, então converge em média para a mesma função.

( .. ( - ·:

(c) Mostre que o Exercício 31.0 prova que a convergência em m~dia quadrática não implica convergência em qualquer ponto de J. (d) Se, no Exercício 31.0, tomamos In com comprimento l/n 1 e faz.emos hn = nfn. então a seqüência (hn) converge em média. mas não converge em média quadrática para a função :r.ero. 3l.S. Mos.tre que se a derivada de ordem nJ é contínua em [a, b], então a Forma [ntegral do Teorema de Taylor, 31.5, e o Primeiro Teorema do Valor Médio, 30.9, podem ser aplicados para obter a forma de Lagrange do resto, dada em 28.6.

233

.. ,

·.

~

( \

(

•'

(. /

\

(

)

111

li! lU

31. T. Se J 1 = [a, bJ,J2 =[c, d), e se/ é contínua de 1 1 X J 2 em R e g é R·integcivel em J P então a função F, definida em Jl por

UI

F(t)

!li

=r

f(x, t)g(x) dx, '>

é contínua em/. 3l.U. Seja g uma função crescente de 1 1 =[a, b} em R e, pa.ra cada t fixo em ponhamos que a integral

li'

F(t)

'1

Íjl

j

=r

J~

= [c,dj, su-

I 1 (

c

f(x, t) dg(x)

I

exista. Se a derivada pardal ft é contínua em J 1 Xlz , então a d crivada F'. existe em J l e é dada por

íli '

<'

F'(t)=

lJ' '

• I í.

!li 111

3LV. Sejam 1 1 =[a, b] e Jl =te, dJ, Suponha que a função com valores reais g seja monotôni· ca em 1 1 , que h seja monotônica em 11 , e que f seja contínua em 1 1 XJ~. Defina G em 11 e H em ] 1 por

!li!

IJ! í ~;

ft,(x. t) dg(x).

G(t)

=r

H(x) =

f(x, t) dg(x),

ft(x, t) dh(t).

Mostre que G é integráve\ em relação a h em J 1 , que H é integrável em relação agem 1 1 e que

r

G(t) dh(t)

=r

H(x) dg(x).

e t

s

g

F d

f

Podemos escrever esta última equação sob a forma

f{f

f(x, t)

dg(x)} dh(t) = r{ft(x, t) dh(t)} dg(x).

,C

3LW. Sejam/, l 1 eJ~ tais como no Exercício 3LV. Se 'P está em C(J 1 ) (isto é, .pé uma função continua de J 1 em R), seja T(.p) a função definida em J, pela fórmula T(
rf(x,

t)
Mostre que T é uma transformação linear de C(J1 ) em C(J~) no sentido de que, se .p, íJ; pertencem a C(J 1 ), então (a) T(
(d)

~T(q.:)JI~, :S M !lfPI!~,

f

para cp E C(J1).

31.X. Prosseguindo com a :notação do exercício precedente, mostre que se r> O, então T leva a coleção em um conjunto uniformemente eqüicontínuo de funções em C(J,) (cf. Definíção 28.6). Portanto, se (;pn) é uma :;eqüênda de funções em Br, existe uma subseqüência (.Pnn) tal que a seqüência (T('Pr!l<)) converge uniformemente em 1 7 •

234

p

3 L Y. Sejam / 1 e / 1 como anteriormente, e f contínua de R X J~ em R. Se .p está em C(/ 1 ), seja S(op) a função definida em 11 por

'

·>

Mostre que S(.p) pertence a C(l,), mas qu~, em geral, S não é uma transformação linear no sentido do ExerCício 31. W. Todavia, S leva a coleção Br do Exercício 31.X em um conjunto unífocmemente eqüi· contínuo de funções em C{1l). Outrossim, se (
Go(J) = f(O),

Gt(f) = 2

J.

11'1.

f(x) dx,

o

G?.(f) = Hf(O) + f(l)}; então G 0 , G1 e G1 são funcionais lineares positivos limitados em C(l). Dê exemplos de funções mono· tônicas crescentes g 0 , g 1 , g., que representem esses funcionais lineares como integrais de Riemann· Stieltjes. Mostre que a escolha dessás gi não fica unívocamente determinada, a menos que se exija g;(O) =O e que gi seja contínua à direita em cada ponto interior de I.

PROJETO 3l.o:. Existência de solução única de uma equação diferencial de primeira ordem em presença de uma condição de Lipschitz. Seja n c R 1 aberto e f: n -+R contínua e lipschitt.íana: l{(x,y){(x,y')!.::;;. K!y ~ y'l para todos os pontos (x, y), (x,y') em .n. Seja f uma cela fechada

I= {(x, y): jx- aJ , c:ontida em

< a, jy-

bl ~ t3}

n. e suponha que Ma S...tl, onde l{(x, y)l s:;.M para (;r., y) E I.

(a) Se J =[a- o:, a+ a], defina 'Po (x) =b para x E J e se n E N, defina

cp,(x) = b + fJ(t, fP,.-t(t)) dt para x E./. Prove por indução que a seqüência (;pn) é bem definida em 1 e que

{i) j
(~~~~~!lx-ai"-\

para todo x E J. (b) Mostre que cada uma das funções 'Pn é contínua em J e que a seqüência {'Pn) converge uni· formemente em J para uma função ..p. (c) Conclua que a funç:Io
para todo x E 1. Deduza

que~

+f

f{t, cp(t)) dt,

é diferençávet em J e verifica q/(x) = f(x,
parax E 1.

235

(d) Se tjJ é contínua em J e satisfaz

1/J'{t) = f(x, t/l{x)} para todo x E J, mostre que para x E J.

(e) Seja op tal como em (c) e

1j.t

tal como em (d); mostre por indução que

jcp(x)-1/J(x)l s K :S

Logo

11(/] -q.,IJJ

::S

Kfi

-~ tt.

J:!cp(t) -ljl(t)j dt

(

I

!I'P - t/JllJ !x - a I

II'P - w!lJ K" cO n L donde decorre que

fi.


J.

SEÇÃO 32 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS E INFINITAS Nas três seções precedentes fizemos duas hipóteses fundamentais: exigímos que a função fosse limitada e que o domínio de integração fosse compacto. Omitindo-se uma dessas hipóteses, a teoria precedente da integração não se aplica maís, a não ser com algumas modificações. Como há um bom número de aplicações importantes que conduzem a esse comportamento novo, passamos a indicar as modificações que devem ser feitas. FUNÇÕES NÃO-LIMITADAS Seja J ={a, ·b] um íntervalo em R e seja/ urna função com valores reaís definida ao menos para x tal que a< x < b. Se f é R-integ!ável no intervalo [c, dJ para cada c satisfa· zendo a< c S: b, seja (32.1) .Definiremos a integral imprópria de f sobre J ={a, b] corno o limite de I c quando c-+ a. 32.1 Definição. Suponhamos que a integral de ruemann em (32.1) exista para cada em [a, b). Suponhamos ainda que exista um número real I tal que, para todo· e >O, exista um õ(e) >O tal que se a
c

(32.2)

ou por

L:

f(x) dx,

embora seja mais corrente órnitir o sinal "mais" no limite inferior.

32.3 Exemplos. (a) Seja f definida em (a, b J e limitada neste intervalo. Se f é inte· grável segundo R.iemann em todo intervalo [c, b] com a< c< b, então vê-se facilmente (Exercício 32.A) que a integral imprópria (32.2) existe. Assim, a função /(x) = sen (l/x) tem uma integral imprópria no intervalo [0, 1]. .

~

..., j

'i

I

·;

:; ·I

Ii

236

1

(

(b) Se f(x) = 1/x para x (O, 1] e se c pertence a (0, 1] então decorre do Teorema Fundamental, 30.8, e do fato de que f é a derivada do logaritmo, que

1 1

L:

= f=

log 1 - log C'-: r log c.

f c

\

'·

Decorre do Teorema Fundamental, 30.8, que

x"' dx =

/

{

Como log c se torna não-limitada quando c-+ O, a integral imprópria de f em [0, 1J não existe. (c) Sejaf(x) =.x
í

( \

( /

I

'

1

a+ 1

(

(1- c"'+ 1).

Se a satisfaz -1 - O, e. daí,{ não tem integral imprópria. A discussão precedente diz respeito a uma função não definida ou não limitada no ponto extremo esquerdo de seu intervalo. O tratamento de casos análogos no ponto extremo direito é óbvio. Mais interessante é o caso em que a função não é definida, ou não é limitada, num ponto interior do intervalo. Seja p ponto interior de [a, b] e suponhamos que f seja definida em todo ponto de [a, b J, exceto possivelmente em p. Se as duas in te· .. . ... . gra1s u:npropnas

'

( (

'

\

r

\ I

\

'

( (

( existem, então definimos a integral imprópria de f sobre [a, b Jcomo a sua soma. Na notação de limite, definimos a integral imprópria de f sobre [a, b] como (32.3)

lim

.. -o+

fv-.. f(x) dx + lim f" ,.

ll--O+

p+li

}i_~+ {LP-"f(x) dx

+L:.

t I

f(x) dx.

\

(

É claro que se esses dois limites existem, então também existe o limite único.

(32.4)

(

I '

'·

f(x) dx}

f

\

e tem o mesmo valor. Todavia, a existêncía do limite (32 .4) não implica a existência de {32 .3 ). Por exemplo, se f é definida para x E [ -1, 1], x :;6 O, por f(x) = 1 /x 3 , então vê·se facilmente que 1 1 J_~~(;a) dx+ dx = (-; )(

1)(s\-l)+( 1-:2)=0 2

l (:J)

para todo e tal que O< e< 1. Todavia, vimos no Exemplo 32.2(c) que, se a= -3, então as integrais impróprias o- 1 1 1 -,dx -,dx,

J

-1

não existem.

X

i

o• X

(

·'

( (

\

(

( ( '

237

i

I

\

/

\.

'

li Os comentários precedentes mostram que o limite em (32.4) pode existir sem que exista o limite em (32.3). Definimos a integral imprópria de f (que é às vezes chamada imegral de Cauchy) como a integral dada por (32 .3). O limite em (32.4) também tem interesse e é chamado Valor Principal de Cauchy da integral; denota-se por

1

(VPC) Lbf(x) dx.

(

I

l l

!

íi

É claro que uma função que tenha um número finito de pontos onde não é definida ou limitada pode ser tratada subdividindo-se o intervalo em subintervalos com esses pontos como extremos.

1

INTEGRAIS INFINITAS É importante estender a integral a certas fun~ões definidas em conjuntos não-limitados. Por exemplo, se f é definída em {x E R: x ::;:a f e toma valores em R, e se éR-integrável sobre [a, cJ para todo c >a, seja I c a integral parcial dada por

(

k=

(32.5)

(

'

r

e c

f.

Definiremos a "íntegra! infinita" de f para x ~a como o limite de 1c quando

(

c cresce.

32.3 Definição. Se f é R-integrável sobre [a, c] para todo c> a, seja I c a integral parcial dada por (32.5). Diz-se que um número reaJ I é a integral infinita de f sobre {x: x se, para todo e> O, existe um número real M(e) tal que, se c >M(e), então li -fel< e. Neste caso, denota-se I por

1

>a}

(32.6)

ou

Note-se que, às vezes, as integrais infinitas são designadas como "integrais impróprias de primeira espécie". Preferimos a terminologia adotada aqui, devida a Hardy 12 não só por ser mais simples, como por ser coerente com a terminologia usada no estudo das sé-

ries infinitas.

32.4 Exemplos. (a) Sef(x)

=1/x para x >a> O, então as integrais parciais são

J

cl I~ = - dx = log c -log a.

''

) l

< -1, então

! j

i' i

1 il

I

·!

j

·,

I.

1

I

t

I

1

Ii

I

l '

238

(

i

i

Geoffrey H. Hardy (1877·1947) foi professor em Cambridg.e e por longo tempo decano da ma· temática inglesa. Deu muitas e profundas contribuições à análise matemática.

(

1

'

f

(

r

1

Como log c se toma infinito quando c-+ +, a integral infinita de/não existe. (b) Sejaf(x) =xo- parax 2:a >O e a =F -1. Então < 1 Ic = x" dx = (c"'+l_ a"+ 1). .. a+l

c

e

t I

" X

Se a > - 1, então a + 1 > O e a integral infinita não existe. Mas se a

i :

'

I

t

!

f

-,

c a s

( (

(c) Sejaf(x) =e-x para x >O. Então

/\

..

{'e-" dx = -(e-".-1); logo, a integral infinita de fsobre{x: x >O ~existe e é·~~t!.al a 1. . . Pode-se considerar também a integra{ de uma função definida em todo o R. Em tal caso, exigimos que f seja R~integrável sobre todo intervalo finito em R e consideramos os limites

t:

(32.7a) (32.7b)

f(x) dx

=

bli.IE"' r·f(x) dx,

J.+""f(x) dx

=

.,~IE, f:t(x) dx.

}

."~~{t:

f(x) dx+ ÍGf(x) dx}=

.,~.~
t

f(x) dx,

(VPC)

·~

2

-

(

c 2) =O

I J

( f•

(

para todo c. Assim, o valor principal de Cauchy da integral infiníta de f(x) = x existe e é igual a O, mas a integral infiníta desta função não existe, pois nenhuma das integrais infinitas em (32.7) existe.

Ii I

( •

J_~f(x} dx.

s_: x dx = t(c

I'

( {

Todavia, a existência do valor principal de Cauchy não implica a existência da integral inJ:lnita (32.8). Basta, com efeito, considerar f(x) =x, donde

.

\,

(

[

~

I

Tal como no caso da integral imprópria, a existência de ambos os limites em (32.8) implica a existência do limite

! I

l

\

\

(32.10)

(

(

I

I I•

(

'

e a igualdade de (32.8) e (32.9). O limite em (31.9), quando existe, é comumente chamado valor principal de Cauchy da integral infinita sobre R e se denota por

![

.'

\

(32.8)

(32.9)

}

\.'

(

Vê-se facilmente que, se esses limites existem para determinado valor de a, então a11,1bos existem para todos os valores de a. Em tal caso, definimos a integral infmita de f sobre R como a soma dessas duas integrais infinitas:

~ ' '

I

EXISTÊNCIA DA INTEGRAL INFINITA Obteremos a~ora algumas condições para a existência da integral infinita sobre o x >ar. Tais resultados podem ser aplicados também para dar condições para conjunto a integral infinita sobre R, já ~ue esta última envolve a consideração de integrais infinitas sobre os conjuntos {x: x
{x:

239

{

( ''' I •

,.

I

( ( l

(' ( l

\

'

Jl

r

Ji !.1

Jl

32.5 Critério de Cauchy. Seja fintegrável sobre [a, c] para todo c ?:_a. Então a integral infinita

D

di

]I

Jl ]I

h

/

J! p .H

existe se e somente se, para todo e> O, existe K(e) tal que, se b ;;:::c> K(e), então

lbf

(32.11)


Demonstração. A necessidade da condição estabelece-se da maneira usual. Suponhase satisfeita a condição e seja In a integral parcial definida para n EN por

f""'"f.

I .. = J.,

Ic = f= f f <

a

í

f+ f

0

a+"

U

(3

E V(

Vê-se que (/n) é uma seqüência de Cauchy de números reais. Se I= lim (In) e E> Oi então existeN(e) tal que se n :2:N(é),então 11-lnl M(e). Então existe um número natural n > N(e) tal que K(e) '
a

l

[a

a+n

o

f}

fil

J, Q.E.D.

pa

32.6 Teorema. Seja f(x) ~O para todo x ';?;a e suponhamos fimegrável sobre [a, cl para todo c ~a. Então a integral infinita de f existe se e somente se o conjunto {Ir:: c:;;::: at

se

donde decorre que

11 -lei< 2€.

No caso (importao te) em que f(x) >O para todo x :2: a, o resultado seguinte consti-

tui um teste bastante útiL .I

l

a.

é limitado. Em tal caso,

li li

i!

il l 1

Demonstração. A hlpótese f(x) >O implica I c função monotônica crescente de c. Portanto, a existência de lím I c equivale a{Ic: c za} ser limitado. Q.E.D. 32.7 Teste de Comparação. Suponhamos f e g integráveis sobre [a, c] para todo c :;;::: a e !f(x)l ~g(x) para todo x 2: a. Se a integral infinita de g existe, então a integral in~ finita de f existe e

:·'

Et

se

!I

il

li H

Demonstração. Se [c, b] e que

as c < b, então decorre do Lema 30.5 que lfl é integrável em

qt

li

J!

o

\

!11

j''

.

240

·' ''i

Decorre do Critério de Cauchy, 32.5, que as integrais infinitas de f e de disso, temos

lfl existem. Além Q.E.D.

32.8 Teste ümite de Comparação. Suponhamos f e g positivas e integráveis sobre [a, c] para todo c ;?; a, e que . ful-t lx-+;o lffi g ( X ) r

(32.12)

o.

.

Então ou existem ambas as integrais infinitas I:"" fJ I:""' g ou nenhuma delas existe. Demonstração. Em vista da relação (32.12) 1 inferimos que existem números.positi· vos A
para x

Ag(x) < f(x) s Bg(x)

2::

K.

O Teste de Comparação, 32.7, mostra que ou existem ambas as integrais infinitas IK.-ft fi/"' g ou não existe nenhuma delas. Como tanto f como g são integráveis em [a, K] confirma-se o enunciado. Q.E.D.

32.9 Teste de Dírichlet. Seja f cont(nua para x 2:a e suponhamos que as integrais parciais c

2::

a,

sejam limitadas, e que o.p seja mono tônica decrescente para zero quando x ->-

a integral infinita f!""' fo.p existe.

+oo. Então

Demonstração. Seja A uma cota do conjunto {!fel: c 2:. a}. Se e> O, seja K(e) tal que se x > K(e), então O <~P(x) ~ e/2A. Se b 2:. c> K(e), decorre então do Exercício 30.N que existe um número~ em [c, b] tal que

Em vista da estimativa

segue-se que

quando b 2:c ambos excedem K(e). Podemos então aplicar o Critério de Cauchy, 32.5.

Q.E.D.

32.10 Exemplos. (a) Se f(;:)= l/(1 + x 2 ) e g(x) = 1/x2 para x 2:a >O, então O
existe, decorre do Teste de Comparação, 32.7, que a integral infinita Jj""'(l/{1 também existe. (Pode-se mostrar isto diretamente notando que < 1 dx = are tan c - are tan 1 , 1 +x 2

+ x 2 )) dx

f

l

i

1 i

i. j

'

1

I

e que are tan c-+ rr/2 quando c ·-t +=.) . (b) Se h(x);::;: e-x . e g(x) =e-x' então o< h(x) sg(x) para X 2 L Vimos no Exemplo· 32.4(c) que a integral infinita J;""' e-x dx existe, donde decorre do Teste de . I Comparação, 32.7, que a integral infinita fõ"" e-x dx também existe. Aqui, já não é possível o cálculo direto das integrais parciais por funções elementares. Veremos, entre· tar1to, mais adiante que esta integral é igual a tVif. ~

(c) Seja p >O e consideremos a existência da integral infinita

I

l

'I'

' I 1

1 ~

I

1

+~sen x --::r>:-

X

d

I I lI

! i I

X.

Se p > 1, então o integrando é dominado por 1/xP, que já sabemos ser convergente, pelo Exemplo 32A(b). Neste caso, o Teste de Comparação implica que a integral infinita converge. Se O

l

(d) Sej~f(x)::::;;; sen x 2 para x >O e consideremos a Integral de FresneP 3

I i

[ ....

Jo

2

sen .x d.x.

..

I

É claro gue a íntegra! sobre fO, 1] existe; examinaremos, assim, apenas a integral sobre ~x: x > Fazendo ·a substituição t = x 2 e aplicando o Teorema da Mudança de Variável, 30.12, obtemos .

1}.

• f J

dox~+oo.)

I

f(a) =

I,. 'I

13

I ~

!

!! 'l

para x 2. 1. Como

i

e> O, então existe K (e) tal que para x

d!

=1/x 2

I

i

I

{+""e-~x"- 1 d.x.

Para ver que esta integral existe, consideremos a função g(x)

segue-se que, se

I

'l'

I

(e) Suponhamos a: 2. 1 e seja r(a:) definida pe.Ja integral

I

i

1J"'sent sen x 2 dx = r.- dt 2 ! vt

O exemplo precedente mostra que a integral à direita converge quando c·-" +oo; segue-se, portanto, que ft"" sén x 2 dx existe. (Note-se que o integrando não converge para O quan-

(32.13)

I

J

242

2:::

K (ê ) .

Augustin Fresnel (1788-I 827), físico-matemático francês, contribuiu para restabelecer a teoria) ondulatóría anteri~rmente introdu1.ída por Huygens.

(

t

Corno a integral infinita JK:""' x- 2 dx existe, inferimos que a integral (32.13) também convérge. A importante função definida para a> 1 pela fórmula (32.13) é a chamada função Garnma. Logo veremos que, se Ct < 1, o integrando,~~~.xcx-t se torna não-limitado na vizinhança de x =O. Todavia, se a verifica O< a:< 1, enfão, pelo Exemplo 32.2(c), a função xa _, tem uma integral imprópria sobre o intervalo [0, 1 ]. Como O< e-x ~ 1 para todo x 2. O, estabelece-se sem dificuldade que .a integral imprópria 1

II

I

I

l

I I l

j \

(

,.

{

'·

·'

.

f . e -xx"'Jo+

J

\

1

\

dx

'

(

-

existe quartdo O< a< 1. Logo, podemos estender a definição .da função Gamma para todo Ct >O por meio de uma integral da forma (32.1 3);desde que a interpretemos como a soma

J ' '•

( '

I\

'

(

de "uma integra! imprópria e uma integral infinita.

'·

'

(

(

CO:N"VERGÊNCIA ABSOLUTA .· Se f é R-integrável em [a, c] para todo c >a, então, do Teorema 30.4(a), decoue que também o é !fi. valor absoluto de f. Pelo Teste de Comparação~ 32.7r vê-se que> se a integral infinita ..

(.

r

(32.14)

(

l

existe, então a integral infinita

l

(32.15)

'·

t

'

j

' i l'

.,

I i ''

I f

I l t.

i 'I

\

.

'

.

(

í'

I I

l

l

I

I

também existe e é cotada em valor absoluto por (32.14).

r '

32.11 Definição. Se a integral infinita (32.14) existe, dizemos que fé absolutamente integrável sobre {x: x Z:.a}, ou que a integral infinita (32.1 5) é absolutamente conver· gente. · . . . Já observam~s que,sef_é absólutan:ente inte?rável sobre{x:x :;;::a}, en~ão a int~gral · tnfiruta (32.15) ex1ste. A rec1proca não e verdadeua, entretanto; basta constderara mtegral

.f . , "'

sen x dx.

{

'

!

'· •'

{

i

'·

I .I ,.

X

f

\

A convergência desta integra! foi estabelecida no Exemplo 32J O(c). Vê-se, entretanto, que, ern cada intervalo [kn, (k+ t)nLkEN. existe um subintervalo de comprimento b >O no qual

I

}

(

" ,•'

( \

( . '. 243

c ( ...

(De fato, podemos tomar b = 2n/3.) Temos, portanto,

sinxj dx = X

J

k"

111

lU

lii

li!

'1(

b{2 27T1+1 1} + · · · +, 37T k7r

J + · · · + ik"' 2

""

,.

> -

{k-1)-rr

-

donde decorre (v. 16.11(c)) que a funçãof(x) = (sen x)fx não é absolutamente integrável

em{x :x> rr}.

Note-se que o Teste de Comparação, 32.7, estabelece, na realidade, a convergência absoluta da integral infinita de f no intervalo [a, +=).

EXERCfCIOS

!11

=

32.A. Seja f uma função com valores reais defínida em J [a, b l e íntegrável sobre (c, b) para todo c >a. Prove que a integral imprópria de f $Obre J existe. · 32. B. Suponha f integrável sobre [c, b J para todo c > a e que a integral imprópria fab.,Jfl exista. Mostre que a integral imprópria Jg.J existe, mas que a recíproca pode não ser verdadeira. 32.C. Sejam f e g integráveis em [c, bJ para todo c E (a, b).Se 1/(x)l < g(x) paraxEJ= [a,b} e se g tem uma integral imprópria em J, então também a tem f. 32. D. Discuta a convergência ou divergência das seguintes integrais impróprias:

Jll

1

f

(a) Jo

lu

(c)

ill

J' o

dx

J (x:-x:2)tn' dx 1

~x:+x2)1n•

(b)

x dx ' (1-x 3)

(d)

J, Ilxx dx, 0

o

f'

ill

r log (e) Jo 1- x2 dx,

lll•

32.E. Determine os valores de p e q que tornam convergentes as seguintes integrais:

1

'

X

(a) fx'(l- x)q dx,

(c) }

f

(log xY dx.,

a

1

dx

x(l +.fi)'

(c) f"'sen(l/x) dx,

L"nxP(senx)q dx,

(d) fxP(-log x)q dx.

() f"' e

·m

o

(b) r~ x+2 dx,

x senx d 1 + xz x,

r-cos

1 xl+ 1

(d)

X

J

; Í!l,.

(b)

32.F. Discuta a convergência ou dívergéncia das seguintes integrais. Quais delas são absolutamente convergentes'!

<>f~

; !U i:,,

dx (f) Jo (1- x3fn. X

l

.,;;,X d x,

I

(f)

""~ sen x sen 2x: dx.

o

X

32.G. Para que valores de p e q as integrais seguintes são convergentes? Para que valores são absolutamente convergentes?

'

'

(a)

·• ~I

~~

I

J

xp

- --;; dx, 1 +x

(c) f·~ sen x! dx, I

244

X

(b) f+~ sen/ dx,

J.

(d}

X

f ..~ 1-c~s x dx.

J1

X

i i' '

'

32.H. Se f é integrável em qualquer intervalo {0, c} para c> O, mostre que a integral infinita f existe se e somente se a integral infinita f~ oo f exíste. · um exemplo em que a integral infinita J.;""' ~exista, sem que f seja limitada no con32. I. junto {x : x > O 32 .J. Se f é monotônica e a integral infinita f i;""" f e:dste, então xf(x)-"" O quando x _.. +=.

r;""

D( r-

· .,.

SEÇÃO 33 CONVERG€NCIA UNIFORME E INTEGRAIS INFINITAS Em muitas aplicações somos levados a considerar integrais infinitas em que o inte· grande depende de um parâmetro. Para um estudo do assunto, é de capital importância a noção de convergência uniforme da integral em relação ao parâmetro. Abordaremos pri· meiro o caso em que o parâmetro pertence a um intervalo J =[o:, {3]. 33.1 Definição. Seja f uma função com valores reais, definida para (x, t) tais que x ;;:: a e o:::;;, t < (3. Suponhamos que para cada tem J = [o:, .6] a íntegral in:(inita 1

1

(33.1) exista. Dizemos que esta convergênCia é uniforme em J se, para todo e> O, existe um mero N(e) tal que se c ?::.N(e) e t EJ, então ·

IF(t)-J..~f(x, t) dx

nú~

I
A distinção entre convergência ordinária das integrais infinitas (33 .1) e convergência uniforme é que podemos escolher M(e) independente do valor de t eml. Fica aos cuidados do {eítor formular a definição de conver~ência uniforme das integrais ínfinitas quando o parâmetro t pertence ao conjunto{ t: t >atou ao conjunto N. Convém dispormos de alguns testes para a convergência uniforme de integrais infinitas. 33.2 Cri tê rio de Cauchy. Suponhamos que, para cada t E J, exista a integral infinita (33 .1 ). Então a convergência é uniforme em J se e somente se, para cada e> O, existe um número K (e) tal que, se b >c> K (e) e tE f. então (33.2)

lf'

f(x, t) dx

I<

s.

Deixamos a demonstração como exercício. 33.3 Teste-M de Weierstrass. Suponhamos f R-irztegrável sobre [a, c] para todo c Z,a e todo t E J. Suponhamos ainda que exista uma função positiva M definida para x ~a tal que

lf(x. t)j <

M(x)

para x

~

a, t e J,

e que a integral infinita J;""' M(x) exista. Então, para cada tE J, a integral em (33.1) é (absolutamente) convergente e a convergência é unzforme em 1.

Demonstração. A convergência de para te J,

245

é conseqüência ímediata do Teste de Comparação e das hipóteses. Portanto, a integral que

dá F(t) é absol;utamente convergente para t EJ. Aplicando o Critério de Cauchy juntamente com a estimativa

I

f't(x, t) dx.

estabelece-se

~em

<

lbif(x,

~)] dx

<

LbM(x) dx,

Q.E.D.

dificuldade a convergência unifonpe em J.

O Teste-M de Weierstrass é útil quando a convergência é absoluta e uniforme, mas não é suficientemente refinado para tratar do caso da·convergência uniforme não absoluta. Para tal caso, apelamos para l.Jm.teste análogo ao Teste de Dirichlet, 32.9.

33.4 Teste de Dirichlet. Sefa j continua em (x, t) para x que exista uma constante A tal que

.r

f(x, t) dx
para c;:::: a,

2 a e tem J,

e suponhamos

tE].

Suponhamos que, para cada t EJ, a função v;(x, t) seja monotônica decrescente para x >a e convirja para O quando x -+ +=uniformemente para t E J. Então a integral

F(t)

=f"""f(x, t)
converge uniformemente em J. Demonstração. Seja e>O e escolhamos K(e) tal que, se x2K(e) e t EJ, então ~f>(x., t) < e/2A. Se b >c> K(e), decorre do Exercício 30.N que, para cada t EJ, existe um número Ht) em [c, b] tal que ·

. t) dx = Jr·f(x, t)cp(x,

r·w·f(x, t) dx.


Portanto, se b 2 c> K(e) e t EJ, temos

r

f(x, t)
de modo que a uniformidade da convergência decorre do Critério de Cauchy, 33.2.

33.5 Exemplos. (a) Se f é dada por

costx f(x,t)=1+x2'

X>

O,

tE

Q.E.D.

R,

e se definirmos M(x) = (1 + x 2 }- 1 , então lf(x, t)! ::5:M(x). Como a integral infinita de M em [0, +=)existe, decorre do Teste-M de Weierstrass que a integral infinita ··

f ..... cos tx d

Jo converge uniformemente se t E R. 246

1+ X2

X

(

\

'

·.

(b) Seja/(x, t) =e-xxt para x :?:0) t >O. Vê-se que a j.Jttegral

f ......e -..:x' ~x.

Jo

I

{

. ,.

.

(. ..:

converge uniformemente para t no intervalo (0, J3], ~>O. Entretanto, não converge uni· formemente em{t ER: t :?:.Or. (V. Exercício 33.A.) . (c) Se f(x, t) = e-tx sen x para x ~O e t

.

\

l

.

\

' .. \

> 1 >O, então

r

lf(x, t)l :$e-a::;;; e-,x. Fazendo M(x)

=e-··r", o Teste·M de Weierstrass implica que a integral

f '

\

t+""e-o: senx dx converge uniformemente se.t 2. 1~> O e um cálculo elementar rp.ostra que converge para (1 + t 2 )- 1 . (Note-se que se t -:-·Q, então a integral já não converge.)

(

.~

\

(d) Consideremos a integral infinita para l > O,

o

onde interpretamos o integrando como sendo 1 para x =O. Como integrando é dominado por 1, basta. mostrar que a integral em e S:.x converge uniformemente se t >O. O Teste-M de Weierstrass não se aplica a este integrando. Entretanto, tomando-se f(x, t) = sen x e I.{J(x, t) =e-tx;x, as hipóteses do Teste de Dirichlet se verificam.

INTEGRAIS INFfNITAS QUE DEPENDEM DE UM PARr\METRO Suponhamos que f seja uma função contínua de (x, t) definida para x

emJ= [o:~tl]. Suponhamos, além disso, que a lntegral infinita

(33.1)

F(t)

[.

·~

\ ·".

( .·

( ( \

a e para

t

=I+"'f(x, t) dx

\,'

exista para cada t EJ. Mostraremos que se a convergência é úniforme, então F é contínua em J e sua integral pode ser calculada invertendo-se a ordem de integração. Resultado aná·. logo será estabelecido para a derivada.

t J

33.6 Teorema. Suponhamos f cont(nua em (x, t) para x >a e t EJ =[o:, (J] e que a convergência em 33.1 seja uniforme em J. Então F é continua em J. (

Demonstração. Se n E N, seja Fn definida em 1 por

l (

Decorre do Teorema 31.6 que Fn. é contínua em J. Como a seqüência (Fn.) converge para F uniformemente em f, segue-se, pelo Teorema 24.1, que F é contínua em J.

33.7 Teorema. Sob as hipóteses do teorema precedente.

\

·'

,.

'

'

)'

( I

''

(

247

'

{ (

'

•'

li

o que pode ser escrito sob a forma

(33.3)

.11

UI

Demonstração. Se Fn é definida como na demonstração precedente, decorre então do Teorema 31.9 que

DI

·'

J.~ F,.(t) dt = Ic-tn{f~ f(x,

tli

F(t) dt

=li~

J:

a

t) dt} dx.

Como (Fn) converge para F uniformemente em J, o Teorema 31.2 implica que ill

c

F

r

F,(t) dt.

Combinando as duas últimas relações, obtemos (33.3).

Q.E.D.

33.8 Teorema. Suponhamos que f e sua derivada parcial ft sejam conttnuo.s em (x, t) para x 2;a e t EJ =[o::, J3J. Suponhamos ainda que (33.1) exista para todo t EJ e que

G(t) = J.,+""f,(x, t) dx sej'a uniformemente convergente em J. Então F é diferenciável em J e F'= G. Em símbolos: '.'

íl!t :llt

f

~ +oo • dt " f(x, t) dx -

.

)

,,

+«>

"

gj_

àt (x, t) dx.

Demonstração. Definindo Fn para t EJ como

l

\

F,.(t)= f'+"'f(x, t) dx,

)!

•

''

f

o

s b

decorre do Teorema 31.7 que Fn é diferencíáveJ e que

F~(t) =

L. . "f,(x, t) dx.

Por hipótese, a seqüência (Fn) converge em J para F e a seqüência (F~) converge uniformemente em J para G. Segue~se, do Teorema 28.5, que F é diferenciável em J e que F'-=G. Q.E.D. 33.9 Exemplos. (a) Notemos que, se t >O, então

1 t

-=

i

+O>

o

F

e-"" dx

e que a convergência é uniforme para t 2: t 0 >O. Integrando ambos os membros desta re~ lação em relação a t sobre um intervalo [o::, {3], O< o:< {3 e usando o Teorema 33.7, obtemos a fórmula

p p

I

c

,.h

1·.· j:

(Observe o leitor que o último integrando pode ser definido como contínuo em x =O.) 248

(b) Em lugar de integrar em relação a t. diferencíamos e obtemos formalmente

-:;1'· =

i+. xe

dx.. _,,. o . t Como esta última integral converge uniformemente em relação a t, desde que t a fórmula vale para t >O. Por índução obtemos t

n. n+l I =

-t;<

1"'o ""X "e -1" d X

~ t0

>O,

para t >O.

Reportando-nos à definição da função Gamma dada no Exemplo 32.10(e), vemos que r(n + 1) =n!. (c) Se o:> 1 é um número real ex >O, então xo: -t = e vê~se que existe uma vizinhança de a na qual a integral

é uniformemente convergente. Decorre do Teorema 33.6 que a função Gamma é contínua ao menos para a> I. (Se O< a< 1, pode-se tirar a mesma conclusão, mas é preciso não olvidar o fato de que a integral é imprópria em x = 0.)

(d) Seja t

~O,

u :2: O e F definida por F(u) =

f+.. e-* sen ux dx.

Jo

X

Se t >O, então esta integral é uniformemente convergente para u >O e, assim, é-o também a integral

f ..,.,

F'(u) = Jo e-r:. cos ux dx.

Além disso, uma integração por partes mostra que

i

A

o

Fazendo A

-+

e

-c:

d _ [e-""[u sen ux- t cos ux]J,:-A cos ux x 2+ z . t u :< .. ()

+oo, obtemos a fórmula +oo

F'(u) =

I

o

e-"' cos ux dx = z t 2 , t +u

u

>o.

Portanto, exíste uma constante C tal que F(u)

= are

tan (u/t) +C

para

u >O.

Para detenninar C valemo-nos do fato de que F( O)= O e are tan (O) =0, e inferimos que C= O. Logo, se t >O eu~ O, are tan (u/t) =

l

,._. ,

o

e

_ sen ux tx

X

dx.

249

·(e) Fixemos u >O na última fonna e observemos, como no Exemplo 33.5 (d), que a integral converge uniformemente se t 2. O, de modo que o limite é contínuo para t ~O. Fazendo t-)> O+, obtemos a importante fórmula 7T -= 2

(33.4)

l

+=

o

sen ux d X X '

u. >0.

INTEGRAIS INFINITAS DE SEQÜ:E:NCIAS Seja ifn) uma seqüência de funções com valores reais, definidas para x ~a. Suporemos que as integrais infinitas J;"" fn todas exi-stam e que o limite f(x) =lim lfn (x)) exista

para todo x que

2

a. Seria interessante podermos concluir que a integral infinita de f existe e

)

J (

I

(33.5) No Teorema 31.2 provamos que· se uma seqüência ifn) de funções R-integráveis converge uniformemente em um intervalo [a, c] para uma função[, então f é R·integrável e a integral de f é o limite das integrais das fn. Resultado análogo não é necessariamente válido para integrais infinitas; veremos no Exercício 33J que a função limite nem sempre possui uma integral infinita. Além disso, mesmo que a integral infinita exista e ambos os membros de (33.5) tenham sentido, a igualdade pode falhar (cf. Exercício 33.K). Da mesma forma, a extensão óbvia do Teorema da Convergência Limitada, 31.3, pode falhar no caso de integrais infinitas. Todavia, há dois resultados úteis e importantes que dão condições sob as quais a equação (33.5) se verifica. Para demonstrá-los, utilizaremos o Teorema da Convergência Limitada, 31.3. O primeiro resultado constitui caso especial de um célebre teorema devido a Lebesgue. (Como estamos lidando com integrais infinitas de Riemann, precisamos acrescentar a hipótese de integrabilídade da função limíte. Na teoria mais geral da integração de Lebesgue, tal h.ipótese adicional não é necessária.) 33.10. Teorema da Convergência Dominada. Suponhamos ifn) uma seqüência limitada de funç6es com va !ores· reais, que f(x) =lim ifn (x )) para todo x 2 a e que f e fn,

(

1

( l

n EN, sejam R-integráveis sobre {a, c] para todo c >a. Suponhamos ainda que exista uma função M que tem uma integral para x Z,a e que

lf,(x)! <

M(x)

para x > a,

n E N.

Então f tem uma integral sobre x :2;:a e (33.5)

.f" . .f

= lim

f+"' a

f,.

Demonstração. Decorre do Teste de Comparação, '$2.7, que as integrais infinitas

I

nEN, )

existem. Se

;

iI

I

250

l

e> O, escolhamos K tal que fx""' M
1

nEN.

(

s I

/·. " '

Como /(x)::: lim ifn (x)) para todo x E [a, KJ. decorre do Teorema da Convergência Limi· tada, 31.3, que f!ff=limnf~/11 • Temos, portanto;

t J

\

(

,.

(

..

que é menor que 3e para n. suficientemente grande.

\

Q.E.D.

33.11 Teorema da Convergência Monotônica. Seja ifn) uma seqüência limitadq-de funções positivas em ~x :x 2at• monotônica crescente no sentido de que fn(x) 5:..fn +I (x) para todo n E H e x _:>a, e tal que f e cada fn tenham uma integral sobre (a, c] para· todo c >a. ~ntão a função limite [tem uma integral sobre{x :x >a fse e somente se o conjunto{J;"""fn :n EN}é limitado. Neste caso; ·

.f . .f= {f S'-!P

á

[n = .li:;n

+..

4

}

f

( \

( I

\ (

+"'


.I

...~ \

{n•

\

..

Demonstração. Como a seqüência (/11 ) é monotônica crescente, inferimos que a· seqüência :!! ~N) ta~bém o é. Se f tem uma integral sobre{x: X 2a}. então o Teorema da Con vergencta Dom:mada (com M =f) mostra que ·

u:,.,fn

I\ ... I

'

t I

!

Reciprocamente, suponhamos que o conjunto de integraís infinitas seja limitado, e sejaS o supremo desse conjunto. Se c >a, então o Teorema da Convergência Monotõníca, 31 .4, implica

{

(

\

l Como fn >-_0, segue-se que facfn $,.J;""fn
.f . . f= supJ "f= sup {supf" f,.} a

ca.

=

SU p

~

c

{ SU p f e é

J~

·'

\

!, { I

(

\

nG

f,.} =

SU p n

(

Ja

i""'

,J

f,..

Q.E.D.

i

~

/ \

'

'

(

INTEGRAIS INFINITAS ITERADAS No Teorema 33.7 estabelecemos um resultado que justifica a inversão da ordem de integração sobre a região{(x, t):a ~a. Ct: :{,_t <.6}. Seria conveniente também poder inverter a ordem de integração numa integral infinita iterada. Assim é que procuraremos estabelecer a igualdade

sob hipóteses adequadas. Acontece que se pode obter uma condição assaz simples que implica também a convergência absoluta das integrais. Todavia~ para tratar integrais infinitas

l

'

r \

(33.6)

I

I '

251

{

/

{

{

\

'

J

\ ' ( I

)'

u ,!I

,t )I

J!

I!

li

iteradas em que a convergência não é necessariamente absoluta, exige-se um conjunto de condições mais complicadas. 33.12 Teorema. Seja f uma função positiva definida para (x, t) tais que x ~a, t Suponhamos que

( (

::::::a. I

(33.7)

(

para cada b ::::::a, e que '

' 11

(33.7')

li .u

)l

l!

para cada (3 ~a. Então, se uma das integrals iteradas da equação (33.6) existe, a outra também existe e ambas são iguais. Demonstração. Suponhamos que exista a integral à esquerda de (33.6). Como f é positiva,

f

I>

~

.f'

a

para cada b

,J '

~a

f(x, t) dx

f+<» :s; "'

(

(

f(x, t) dx

s

e t:::::: a. Portanto, do Teste de Comparação, 32.7, decorre que

1

j

l

J

Aplicando a relação (33.7), concluímos que

(

t

t ~i

s para cada b ~a. Uma aplicação do Teorema 32.6 mostra que podemos tomar o limite quando b-+ +=,de modo que a outra integral iterada existe e

l,

(

Ji

(

I; li

li

!

Repetindo o argumento e aplicando a equação (33.7'), obtemos a desigualdade inversa. Portanto, a igualdade deve verificar-se. Q.E.D.

I

33.13 Teorema. Suponhamos f contúzua para x 2.a, t >-a e que existam funções positivas MeNtais que as integrais infinitas J;"" Me f~"" N existam. Se a desigualdade .(33.8)

lf(x, t)! s M(x)N(t),

se verifica, então as integrais iteradas em (33.6)ambas existem e são iguais. Demonstração. Seja g definida para x 2.a, t ~a por g(x, t) = f(x, t) de modo que

O< g(x, t)::; 2M(x)N(t). 252

[

+ M(x)N(t)

q

r

.• Como N é limitada em cada intervalo [a, /3], decorre da desigualdade (33.8) e do TesteM de Weierstrass, 33.3, que a integral

1

+oo

g(.x, t) dx.

,.

existe urúformemente para tE [a,J}]. Aplicando o Teorema 33.7, ob;;:ervamos que a equa~ ção (33.7') se verifica (com[ substituído por g) para cada J3 ;;?;a:. Analogamente, (33.7) se verifica (com f substituído por g) para cada b 2.a. Outrossim, o Testf.'? de Comparação, 32.7, ímplica que as integrais iteradas em (33.6) existem (com{ substituído por g). Dedu· zimos do Teorema 33.12 que essas integrais iteradas de g são íguais. Mas isto implica que as integrais iteradas de f existem e são iguais. · Q.E.D. Os resultados precedentes se referem ao caso em que as integrais iteradas são abso~ lutamente convergentes. Apresentamos agora um resultado que abrange o caso da conver· gência não-absoluta.

33.14 Teorema. Suponhamos que a função f, com valores reais, seja contznua em (x. t) para x 2.a e t >a: e que as integrais infinitas

L. ,

(33.9)

J.. .,f(x, t) dt

f(x, t) dx,

sejam uniformemente convergentes para t F definida para x >a, {3;;?; a por

>a: ex ~a. respectivamente, Além diSso, seja 13

F(x~ (3) = J. f(x, t) dt '

e suponhamos que a integral infinita

(33.10)

L+..F(x, {3) dx

seja uniformemente convergente se {3 ~a:. Então ambas as integrais iteradas existem e são iguais. Demonstração. Como a integral infinita (33.10) é uniformemente convergente para J3 >a, se e> O existe um número A e ;;?; a tal que se A ;;?;A e, então

(33.11) para todo J3

>a:. Observemos também que

J.AF(xt {3) dx = J.A{J: f(x, t) dt} dx =

J.tJ{J.Af(x, t) dx} dt.

Do Teorema 33.7 e da convergência uniforme da segunda integral em (33.9), inferimos que

253

Logo, existe um número B

~~tal

(33.12)

LA F(x, J;h.) dx- J:"' F(x, /3l) dx

que se {32

então

~ {3 1 ~B,

i

< s.

',•

Combinando (33 J 1) e (33 .12), vê-se que se {J2 ~ {3 1 -:?:, B, então

r·"'

F{x, f3,_) dx-

t+"' F(x, f3t) dx I< 3s,

donde decorre que o limite de f~""'F(x, {3) dx existe quando {3 -r+=. Após aplicar o Teo· rema 33.7 à convergência uniforme da primeira integral em (33 .9), temos

JlT., 1+~ F(x, {3} dx =}i:!;"' t~

. {[

1

f(x, t) dt} dx

ll{ Jar·"'f (x, t) dx} dt 13-~ = I~"'{1+9>f(x, t) dx} dt.

(

= lim 'f +w

Como ambos os termos à esquerda de (33.11) têm limites quando ao passar ao limite, que

fi'

J

o

j

,,i :

!

ti_,. +=, concluímos,

Fazendo A .....,. +oo, obtemos a igualdade das integrais impróprias iteradas.

Q.E.D.

Embora úteis, os teoremas enuncjados acima, que justificam a inversão da ordem de integração, ainda deixam campo bastante amplo para a imaginação. Freqüentemente, eles são utilizados em conjunto com os Teoremas da Convergência Dominada ou da Convergência Monotônica, 33.1 O e 33.1 L 33.15~xemplos. (a) Se f(x,t)=e-(x+tlsenxt, podemos tomar M(x)=e-x e

N(t) =e-te aplicar o Teorema 33.13 para inferir que

!'

',,' I

~

l' '

fo+"'{l+"' e··í~+·> sen xt dx} dt = l+'"'{f·'"'e-<•+•J sen xt dt} dx. (b) Se g(x, t) = e-xt, para x ~O e t >-O, ficamos em dúvida quanto às retas .x =O e t =O. Todavia, se a> O,~> O, x 2_a e t ~ Q, observamos que

'J,

l; '

e -xr =e -:xr/2 e -x12 e -
I ~

'

i 'J '! '

(c) Considere a função f(x,y) =xe-x o+Y.J para x 2. a > O e y ~O. Fazendo M(x) = xe-x~ e N(y) =e-
x-+oa

"-"

254 ,.

=----2

2(1+y)'

I

l

•

i

r J

'

\

,,I·

f

i

l (

i'

tH

'

I

\

f

'

r

segue-se que

i

1 - .. .l

t

~

!

2e

rlo . "' e-a'-y~ d + y2 y 1

f+, -:o:l{ f

J..

e

Jo

(

-:.:2y~ d } d ,,.xe y x.

+O>

f

'

(

Introduzindo a mudança de variável t =xy, obtemos

l

I I

f'

/

'

\

(

Decorre que

j

1

\

!\ J

/

I

l 1 ).

),

•'

'

I

Fazendo a -+O, a expressão à direita converge para 2P. À esquerda; ob;;;ervamos que o integrando é dominado pela função integrável (1 +y 2 )- 1 • Aplicando o Teorema da Convergência Dominada, temos

L

i

!I : I

I,. I

1

t

e-:" dx

'

f

'

I

Portanto, P = 11/4, o que justifica a fórmula

.....

..

(

i.

(

= iJ;.

(d) Integrando por partes duas vezes, obtemos a fórmula [+"" e-ay ye-"Y (33.13) 1.. e "'~ sen x dx = + y2 cos a + f+ y 2 sen a.

1

t"

.. ,

1. '

Se x >a> O e y 2. a> O, podemos argumentar como no Exemplo (b) para mostrar que

I

I

1 •

i

\';

f

'·

f. .,.,

.....{

=a

,..

}

e-x."senxdy dx=

(

J+.. e -"" Xsen x dx.

1

' / ..

a

Desejamos agora passar ao limite quando a-+ O. Isto pode evidentemente ser feito na última integral, dando f~""' (e-ax e sen x/x)dx. Como e-aY cosa é dorrúnada por 1 para y > O e a integral f~- ( 1/(1 + y 2 )) existe, podemos utilizar o Teorema da Convergência Dominada, 33.10, para concluir que

.

l lffi <:<-O

l ... <>

l...

e_ ..., cos a d _ d~ y. 2l +Y "' 1 + Y

·~

\.

:

f ... j

. ''

'

(

'

.

' (

\

A segunda integral é um pouco mais complicada~ pois o mesmo tipo de estimativa mostra

que

f . \

( (

.·

.

\

' •<

{ ·::

255

\ '\... }'

e a função dominante não é integrável; temos, pois, que arranjar outro meio. Como u
I

~e-<>~ sen a 1

1 + y2

1

::::; 1 + y2 '

Podemos agora empregar o Teorema da Convergência Dominada para tomar o limite sob o sinal de integração, obtendo

f

+~ ye -ay sen a d . 1..lffi 1 + y2 y -o .,

'11

j,

Chegamos à fórmula are tan a= ]11

~~

~~ 111

f

m

+O>

o

~I

~I

J a

d

~2 = l+y

j

.

+..

e-= sen X

o

X

dx.

Desejamos agora passar ao limite quando a-:> O. Aqui já não podemos usar o Teorema da Convergência Dominada, porque Jt"" x -I sen x dx não é absolutamente convergente. Em· bora a convergência de e-ax para 1 quando a-+ O seja monotônica, o fato que sen x toma ambos os sinais implica que a convergência de integrando não é mpnotônica. Felizmente, já vimos no Exemplo 33.5(d) que a convergência da integral é uniforme se a::?. O. De acor· do com o Teorema 33.6, a integral é contínua para a> O, e, daí, mais uma vez obtemos a fórmula

(33.14)

~I

+oo

=O

EXERCÍCIOS

senx dx = hr. X

F

33.A. Mostre que a integral f~.,..xte-:>:dx converge uniformemente quando testá em [0, 11] mas não converge uniformemente se t >O. 3 3. B. Mostre que a integral

tr

'

)llll

)I ~I

; !

.·'~I

é uniformemente convergente se t ~ 1, mas que não é absolutamente convergente para nenhum desses valores de t. 33.C. Pata que valores de tas seguintes integrais infinitas são uniformemente convergentes?

' !

(a)

'l

.,t

i ijl

i·~~

'. '

~~

rmX~:('' o

d

(c)

I. ':

(e)

r~ e-•~-~~ 1" dx,

e-• cos tx. dx, 7

0

(b)

(d)

r- :t' o

x

d

1

r~ () xne-•i cos tx dx,

t (f) r~ 2 o

X

e

_,,_,,,.~

d

x.

' (

! I

l

I

" ~

.li i

33.D. Use a fórmula (33.14) para mostrar que

256

r$"" .j;.

.··~·

!

'1

33.E. Use a fórmula (33.14) para mostrar que J:""'e-tx dx = t,;;ri se t >O. Justífique a diferendação e mostre que

f+»

Jo

x""e 2

33.F. Estabeleça a existência da integral[~""'(!- e-x )x- 1 dx. (Note que o integrando pode ser definido contínuo em x = 0.) Calcule esta integral 2

7

(a) substituindo e-" por e-tx e diferenciando em relação a t; (b) integrando

f i"" e- tx'l dx em relação á t. Justifique todas as etapas.

33.G. Seja F dada para t

R por

F(t)

l

r·-

= Jo e-"l cos tx dx.

Diferencie em relação a t e intégre por partes para demonstrar que F'(t) = (.,...1(2)tF(t). Determine então F(t) e, após uma mudança de variável, estabeleça a fórmula

c>O. 33.H. Seja G definida para t >O por

Diferencie e mude variáveis para mostrar que G'(t) = - 2G (t). Determine então G (!)e estabeleça a fór-

mula

·

33.L Use a fórmula (33:4), fórmulas trigonométricas elementares e transformações para mostrar que ? i~- sen ax dx = {a} ..::: 1

1T o

X

=O

a>O,

'

a =0,

)

= -1, ••

(b) -2

1T

f

f'""' sen x cos ax dX""'l, o

X

=t

I

~

• '

•

.'•

I f

(c) -2

1r

(

~

J

+""

o

=O

j

" ~

(d)

~

1

!ai< 1, la!= 1, la!> 1.

sen x sen ax d 1 a +1 x =- 1og x '1T' l-a'

I

l

a
rNrse; xrdx

1

a+ 1

'1T'

a-1'

""- 1og

!ai< 1, la!> 1,

= 1.

257

•

'

,,I I

1

33.1. Parà n E N, seja fn definida por

f.(x) = 1/x,

1 S.

=O '

X S X

n.,

>rt.

Cada fn tem uma integral pa~a x ~ 1 e a seqüência (f.,.) é limitada, monótônica, crescente, e converge uniformemente para uma função contínua que não é integrável sobre{ x E~ : x > 1}~ 33.K. Seja gn defmida por

g.(x)

=1/rt,

O
x >n'.

=o.

a

Cada Kn tem uma integral sobre X> o e a seqüência (gn) é limitada e converge para umà função g que tem uma integral sobre x > O, mas não é verdade que

lim A convergência é monotônica?

f

+""

o

g.; =

f""~ o g.

33.L. Sef(x, t) = (x- t)}(x + t)), mostre que

f'{r~f(x, 1) dx} dt>o 1 [

para cada

{{."'f(x, t) dt} dx
A~

para cada B

1;

> 1.

Daí, mostre que

!

33. M. Usando argumento análogo ao do Exemplo 33.15 (c) e fórmulas dos Exercícios 33.G e 33.H, mostre que

... !

cos ty d o 1+ . yl y

=~ -1<1

2e

.

33.N. Considerando as integrais iteradas de e~ (cu-)l)x sen y sobre o quadrante x d:, O,Y 2. O, esta~ beleça a fónnula

a >0. PROJETOS 33.a. Este projeto aborda a função Gamma, introduzida no Exemplo 32.10(e). Recorde o iei· tor que é definida para X em p {x E R :X > pela integral

r

o}

=

f{x)

= r··-e-·t~-· dt. Jo..

Já vimos que esta integral converge se x E Peque (a) Mostre que r é contínua emP. (b) Prove que r(x + 1)

258

r~)=

,fir.

=;x r(x) para X E P. (Sugestão: Integre por partes no intervalo [e, cj.)

(c) Mostre que r(n + 1):::: JH pàra

11

N.

E

(d) Mostre que limx _..a+ xr(x)= 1. Decorre daí que r não é limitada à direítâ de .i= ó.

(e} Mostre que r é diferenciável em P e que a segun~J!. derivada é setnpre positiva. (Logo, uma função convexa em P.) (f) Mudando a variável

r, mostre que

f(x) = '

f

ré

2 r··""e-•ls 1"- 1 ds """u" f·-e -""s"- 1 ds.

Jo+

Jo+

33.n. Introduzamos agora a função Beta de Euler. Seja B(x,y) defiliida para x, Y em P ={x E R:x > ú}por ,

B(x, y)=

i

t-

c"- 1(1-t)1-l

de.

O+

Se x;;:: 1 e y

>

l, esta integral é própria, mas se()

< x < 1 ou O < y < 1, a integral é imprópria.

(a) Estabeleça a convergênciá da integrat para

x,y em P.

(b) Prove que B(x,y):::: B(y, x).

(c) Mostre que, se x, y, pertencem a P, então

B(x. y)= 1~-(1

::;...,

du.

(d) Integrando a função positiva

f( t, u ) ""' e _,l:.. .. ~t:b.-1 u l'(-l

=

sobre{ (t, u}: t~ + ul R 1 , t >O, u L, O }e comparando esta integral com a integral sobre quadrados inscrito e circunsctito, deduza a importante fórmltla

.( }. = f(x)f(y) B · x, Y f(x+y) (e} Es~abeleça as fórmulas de integração

f"n

J

0

["n

Jo

.

,,

(sen x)

(senx)

k>t

_ ~II~ +

n_L.~-- s -· -(2n- 1)_ ~

dx- 2r(ti + 1) -

2 · 4 · 6 · · · (2n)

kf(n + 1)

2'

2 · 4 · 6 · · · {2n)

dx=2rcn+~)···=1;3·5·7···(2n+l)'

33.-y. Este projeto e o próximo apct::sentam algumas propriedades da transformada de Lapla· ce, ~e gra11de importância na matemática tànto teórica como aplicada. Para simplií1car, restringirnos-em os a funções contínt:_as f deftnidas em R: c.> ú ~e tomando valores em R. A transformada de Laplace de f é a função f definida rio número r~a! s pe.la lórmula ,.·

14

!

i

!!

I

{tE

/{s) = L+-e-"f(t) (Ú,

I

.l '

14

Pierre-Simon Laplace (t 749-1827 }, filho de um fa1.endeiro normando, tomou-se professor na Escola Militar de Paris C foí eleito parda Academia de Cíêncías. É cétebre por seus tra.ba!hos ~obte mecânica celeste e prob~biÜd;des. ·

259

/

J

desde que a íntegra! seja convergente. Costuma-se também denotar

j

por 5f' IJ).

(a) Suponhamos que exista um número real c tal que 1/(t)! < eet para r suficientemente grande. Então a integral que define a transformada de Laplace converge se s >c. Além disso, converge uniformemente se s ;:;:: c + ti, ó > O.

t

(b) Se f ~atisfaz a condíção de limitação da parte (a), então s >c dada pela fórmula

{

J

1 é contín.ua e tem derivada para

r ]

[Assim, a derivada da transformada de Laplace de

-t/(t).J

f é a transformada de Laplace da função

(c) Por indução, mostre que, sob a condição de limitação em (a), ordens paras > c e que

fi•l(s)

) '

g(t)

=

1tein derivadas de todas as

l

= r·~e-"(-ttf(t) dt. 1

(d) Suponhamos f e g funções contínuas cujas transformadas de Laplace e g convergem se s > Sn; se a e b são números reais, então a função af + bg tem transformada de Laplace que converge

se s > s0 e é igual a af + bj.

(e) Se a > O e g (t) = f(at), então

i

converge se s

g(s)

> as 0

= lf(s/a). a

Analogamente, se h (t) = (1/a)f(t/a ), então h converge se s '

'

e

> s,:Ja

e

h(s) =/(as).

(

(f) Suponhamos que a transformada de Laplace! de/ exista paras> s0 e seja[ definida igual a zero para t O e se g(t) f(t - b}, então i converge se s > s0 e

=

g(s) =·e~ 1"/(s).

Analogamente, se h (t)

=ebt f(t) para b real, então h converge se s > s h(s) = f(s- b).

0

+be

.,

{

q

33.lL Este projeto é continuação do precedente e utilíz.a os resultados ali estabelecidos. (a) Estabeleça a seguinte tabela resumíqa de transformadas de Laplace.

f(t)

f(s)

Intervalo de Convergência

1

1/s

s >0,

tn

e••

n !/s".. , (s- a)- 1

tneQ'

n!l(s-a)"~

sen ai

a sl+az

todos,

cos at

s

todos,

:;enh at

cosh ar sen t

r

I

260

1

s~+a 2

a

sz-az s s'- a~ are tan(l/s)

r

s >0, s >a, s >a,

e

s >a,

..

~

s >a,

s>O.

.'

(b) Suponhamos f e f' contínuas para t ~O, convergente paras> s 0 e e-stf(t)-+ O qua.ndo t ..... + «> para todos > So. Então a transformada de Laplace de existe paras > So e

1

-

f'(s)

r

. f(Q). = sf(s)-

(Sugestão: Integre por partes.}

1

(c) Suponhamos f, f e f' contínuas para t ~O e que seja convergente paras> s0 • Suponhamos, além dísso, que e-stf(t) tendam a O quando t -• +.,., para todo s > s 0 • Entáo a transformada de Laplace de f" existe paras > S0 e ........ f"(s) = s"f(s}- sf(O)- f'(O). ~

(d) Quando se observa que todo um integrando, ou parte dele, é uma transformada de Laplace, a integral pode às vez.es ser calculada invertendo-se a ordem de integração. Use este método para calcular a integral

I 0

+" sen

-

sd

s

,

s = i'lT-

(e) Deseja-se re!>olver a equação diferencial

y'(r) + 2y(!) = 3 sen

l,

y(O) = 1.

Suponhamos que esta equação tenha uma solução y tal que existam as transformadas de Laplace de y e de y' paras suficientemente grande. Em tal caso, a transformada de y deve satí!ifaz.er a equação

s9(s)- y(O) + 2 y(s) =4/{s- 1),

s > 1.

donde decorre que

"{) 5

Y

s+3 ""(s+2)(s-1)"

Use frações parciais e a tabela em (a) para obter y (t) = fet - te~;! t, que se pode verificar diretamente que é uma solução. (f) Determine a solução da equação

y"+y'=O,

y (O)= a,

y'(O) = b,

utilizand9 a tran$farmada de Laplace. (g) Mostre que uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes pode ser

resolvida utílízando~se a transformada de Laplace e a técnica de decqmposição de uma função racional em frações parciais,

261

I I I

:

! ~

CAPITULO /

6

SÉRIES INFINITAS Neste capitulo estab~leceremos os teoremas mais importantes dp_ teoria das séries infinitas. Embora incluamos ~guns resultados colaterais, coocentrar-nos-emos nas proposições básicas. Parà resultados e aplicações mais avançados, o leitor poderá consultar tratados mais extensos. Na pf;itneira seção apresentaremos os principais teoremas relativos à convergência de séries infinitas em RP. Obieremos alguns resultados de natureza geral que servirão para estabelecer a convergência de séries e justificar certas manipulações. Na seção 35 daremos alguns ''testes" Gá familiares) para a convergência absoluta de séries. Além de garantir a convergência das séries às quais se aplicam, cada um desses testes qâ urna estimativa quantitativà da rapidez da convergência. A seção· seguinte inclui iilgúns testes úteis para convergência condicional e apresenta um estudo sucinto das séries âuplas e da multipllcáção de séries, Na seção 37 introduzimos o estudo das séries de funções e estabelecemos as proprie· dades básicas das séries de potências. Na seção final daremos alguns dos principais resultados reiativos às sériês de Fourier. ~

!' ; I

. f I

It

I :

'

SEÇÃO 34 CONVERGÊNCIA J?E ShRlES JNFINITAS Em textos elementares, costuma-se "definir" uma série infinita conio "uma expressão da fonna (34.1)

Tal "defiliição", entretanto, peca peh~ falta de clareza, já que nâô há nenhum valor em particular que possamos atribuir a priori a este conjunto de símbolos que supõe um núme+

infinito de adições. Embora haja outras definições convenientes, consideraremos uma série infinítá como uma seqüência de somas parciaís.

ro

e

34.1 Definição. Se X""' Cxn) uma seqüência em RP' então a série infinita (ou sim· plesmente série) gerada por X é a seqüênciaS= (sk) definida por

I

Se S converge, chamamos o limite deSde soma da série infinita. Os elementos Xn são os termos e os elementos Sk são as somas parciais dessa série infinita.

262

.,

\ ~

!

.,

\

!'

L
(

L (x,),

l

•

Convenciona-$e usar a expres$ão (34.1) ou um dos símbolos »

n •l

i

"'

•

•u! ",,r:."'

(

tanto para denotar a série infinita gerada pela seqüência X= (Xn), como para denotar lim S no caso de a série ser convergente. Na prática, tal uso duplo de notaçao não gera conf1;são, desde que fique enten~ dido que a convergência da série deve ser estabelecida. O leitor deve cuidar de não confundir as palavras ..seqüência" e "série". Na linguagem nãomatemática, es5as palavras são permutáveis; na matemática, entretanto, não são sinônimos. Pela nossa defmição, unv.t série infinita é uma seqüênciaS obtida a partir de uma dada seqüência X de acordo com um processó especial tal como especificado acirna. Há mu'ttas outras maneiras de gerar novas sé~ qüências e atribuir "somas" à seqüência dada X. O leitor interessado pode consultar textos sobre séries divergentes, séries assintóticas e a somabilidade de séries para exemplos dessas teorias. Uma última advertência sobre a questão de notação. Embora, em geral, indiciemos os elementos de uma série por números naturais, às vezes é mais conveniente partir de n. =O, ou n. = 5, ou n = k. De~ notaremos então as séries resultantes, ou suas somas, por símbolos tais como

( i

f

''

''

í

J.

( I

{ ,f \

{

\

Na Definição 14.2, definimos a soma e a diferença de duas seqüências X. Y em RP. Analogamente, se c é um número reaL e w é um elemento em RP, definimos as seqüências eX= (cx,t) e (w · Xn) em RP e R, respectivamente. Exarhinemos agora as séries geradas

por t$s seqüências.

~

( (

34.2 Teorema. (a) Se as séries L: (x n) e :E (y 11 ) convergem, então a série :E. (x 11

+

Yn) converge e as somas estão relacionadas pela fórmula

\

\.

L (x.. + y.. ) = L (x,.) +L (yn).

(

Resultado análogo !Xlle para as séries geradas por X - Y. (b) Se a série í: (xn) é convergente, c é um número real e w é um elemento fixo de RP, então as séries í: (cxn) e L (w • Xn) convergem e L (cxn) =c L (x.. ), L (w · x.,}= w ·L (xn).

(

Demonstração. Este resultado decorre diretamente do Teorema 15.6 e da Definição 34.1. Q.E.D. Seria de esperar que, se as seqüências X= (xn) e Y =Ú'n) geram séries convergentes, então a seqüencia X· Y=(xn • Yn) também gerasse uma série convergente. Isto, entretanto, nem sempre é verdade; basta tomar X= Y = (( -1)11 l-Jn) em R. Apresentamos a seguir uma condição necessária muito simples para convergência de uma série. Está, entretanto, longe de ser suficiente.

343 Lema. Se L (xn) converge em RP, então lirri (x 11 ) =O. Demonstração. Por definição, a convergência de L (xn.) significa a existência de lim (Sk ). Mas, como x;~ = Sk - Sk -t , então tim (xk) =lim (sk) -li.m (sk -t) =O. Q.E.D. O próximo resultado. emborà limitado em seus objetivos, é de grande importância. i

t

f

'

( (

\

i

'

I \

I { ( \

í (

34.4 Teorema. Seía (xn.) uma seqüência de números. reais positivos. Então Z (xn) converge e somente se a seqiiênci11 S = (sk) de sorno.s parciais·é limitada. Neste caso,

(

L x,. = lim (sk) = sup {s!t}.

<

se

263

I

z (

(

,I

11 11

I!

Jl 1;... I",,"

Demonstração. Como

te:

Xn ~O,

a seqüência de somas parciais é monotônica cresceo-

De acordo com o Teorema da Convergência Monotônica, 16J, a seqüênciaS converge se

e somente se é limitada.

-

.!

Q.E.D.

Como o Critério de Cauchy, dado a seguir, é apenas uma reformulação do Teorema 16.1 O, omitiremos a demonstração. 34.5 Critério de Cauchy para Séries. A série !: (xn) em RP converge se e somente se, para todo número e> O, existe um número natural M(e) tal que sem ?::.n ~M(e), en~

tão

A noção de convergência abso1uta tem grande importância no estudo de séries, como veremos mais adiante. 34.6 Definição. Seja x =(xn) uma seqüência em RP. Dizemos que a série!: (xn) é absolutamente convergente se a série !: (llxn !I) é convergente em R. Uma série se diz. condicionalmente convergente se é convergente mas não absolutamente convergente. Saliente-se que, para séries cujos elementos são números reais positivos, não há distinção entre convergência ordinária e convergência absoluta. Todavia, para outras séries pode haver diferença. 34.7 Teorema. Se uma série em RP é absolutamente convergente, então é converj'

r j

gente. Demonstração. Por hipótese, a série !: ( llxn !I) converge. Portanto, da necessidade do Critério de Cauchy, 34.5, decorre que, dado e> O, existe um número natural M(e) tal que sem> n > M(e), então

Jlxn+ til+ !]xn..-211 + · · · + !lxm 11 < B ·

.1

I.

I·

Pela Desigualdade do Triângulo, o membro esquerdo desta relação domina !]Xn+l + Xn+2 +

• • · + Xm ]].

I,

Ap1icando a suficiência do Critério de Cauchy, concluímos que 1: (xn) deve convergir .. Q.E.D.

J:

34.8 Exemplos. (a) Consideremos a seqüência real X= (an ), q~e gera a série geomé·

trica

(34.2) a + a2 + · · ·+ an + · · · Uma condição necessária para convergência é que lim (an) =O, o que exige la! < 1 . Se m > n, então (34.3)

'

como se pode verificar multiplicando ambos os lados por 1 -a e observando o caráter telescópico do membro esquerdo. Logo, as somas parciais verificam m >

264

n.

I

Se Jat

< 1, então

tan +11-+ O, de forma que o Critério de Cauchy implica que a série geo· métrica (34.2) converge se e somente se la!< 1. Fazendo n =O em (34.3) e passando ao limite em relação a m, verificamos que (34.2) converge para o limite aj(l -a) quando la!
.!

(b) Consideremos a série harmônica L (1/n), sabidamente divergente. Como lim (1/n) =O, não podemos usar o Lema 34.3 para estabelecer tal divergência. Devemos de· senvolver um argumento mais refinado; baseado no Teorema 34.4. Mostraremos que uma subseqüência das somas parciais não é limitada. De fato, se k 1 = 2, então

1 1

Sr.:l

= l+l ~

e se k 2 = 2 2 , então

Por indução matemática, estabelece-se que se kr = 2r, então

Portantol a subseqüência (skn) não é limitada e a série harmônica não converge. {c) Podemos agora estudar a série·p, ~(l/nP) onde O

1 n

1 n"'

nEN.

Como as somas parciais da série harmônica não são limitadas, esta desigualdade mostra que as somas parciais de 2: (1/nP) não são limitadas para O< p < 1. Logo, a série diverge para esses valores de p. (d) Consideremos agora a série-p para p > 1. Como as somas parciais são monotônicas, basta mostrar que alguma subseqüência permanece limitada) para estabelecer a convergência da série, Se k 1 = 2 1 - 1 = 1, então Sh. 1 =I. Se kz =2 2 -I"" 3, temos

Seja a = l/2P -t ; como p > 1, vê-se que O
< 1. Por indução

matemática, obtemos, se

Logo, o número 1/(l -a) é cota superior das somas parciaís da série-p quando 1 < p. Do Teorema 34.4 decorre que, para tais valores de p, a série-p converge.

'J6- )

..

~

mos

(e) Consideremos a série :E (lf(n 2

+ n)).

Decompondo em frações parciais, obte-

.,I

Esta expressão mostra que as somas parciais são telescópicas e, daí,

' 1 s ""' 1 .---+ ... "

1 ·2

2 ·3

1 1 1 = ---' n(n + 1) 1 n + 1 ·

.,L

Decorre que a seqüência (sn) converge para 1.

I

I

I

I.

I

REAGRUPAMENTO DE SÊRIES

Em linguaf. :n livre, um reagrupamento de uma série é outra série obtida da série da· da utilizando caó.
!+2+2+ .. ·+.!.+· ..

I

1 2

!

3

n

admite os reagrupamentos

1 1 1 1 1 1 2 + T+ 4 + 3+ · · · + 2n +? n ..:.·1+ · · · '

1.1 1 1 1 1 l-r-2+4+3+5+7+···

l

i

f

.I

I

' I

!

O primeiro reagrupamento se obtém permutando-se o primeiro e o segundo termos, o ter-

ceiro e o quarto, e assím por diante. O segundo reagrupamento se obtém tomando um "termo ímpar", dois "termos pares", três "termos ímpares" etc. b evidente que há infinitos outros reagrupamentos da série harmônica. 34.9 Definição. Uma série Z (ym) em RP é um reagrupamento de uma série Z (xn) se existe uma bíjeção f de N sobre N tal que Ym =Xt(m) para todo m EN. Existe uma observação notável, devida a Ríemann, que, se :E (xn) é uma série em R condício.nal· mente convergente (isto é, convergente mas não absolutamente co;wergente), e se c é um número real arbitrárío, então existe um reagruparnento dos termos de :E (xn) que converge para c. A idéía da demonstração desta asserção é assaz elementar: tomam-se termos positivos até se obter uma soma parcial qm· exceda c, em :;egulda tomam-se termos negativos até se obter uma soma parcial inferior a c çtc. Corno lim (xn) =O, não é difícil ver que se pode construir um reag.rupamento que tenda para c.

Em nossas manipulações, convém estarmos seguros de que os reagrupamentos não afetem a convergência ou o valor do limite.

34.10 Teorema do Reagrupamento. Seja :r (xn) uma série absolutamente convergente em RP. Então qualquer reagrupamento de 2: (xn) converge absolutamente para o

mesmo valor. DemoJ·<;tração. Sejam x ""':E (xn), uma série, L (ym) um reagrupamento de L (xn), e K uma cota superior das somas parciais deZ (llxnll). Obviamente, se tr = y 1 + · · · + Yr 1

'

'

'

;

r,i ; ~.. (1 . •i

..•

266

'

\ J

\

·"

I

\

{

é uma soma parcial de ~ (y m ), então

'

•'

i ,

'

;,•

donde decorre que L Cvm) converge absolutamente para algum elemento y de RP. Deseja· mos mostrar que x = y. Se e> O,.sejaN(e) tal que sem> n ~N(e) e sn =x 1 + · · · + Xn, então llx·- sn.l!
.~

rrl

L

k~n+l

(

..

( \'

'

l!x~r.ll
{ \

'

Escolhamos uma soma parcial tr de L (ym) tal que lly- trll n suficientemente grande para que todo Yk que apareça em t; também compareça em sm. Portanto,

l!x- Yll llx - s.,. 11 + Jls,. - trll + llt,- Yll
€

>O é arbitdrio, inferimos que x

=y.

(

'

f '

l\

"'

Como

''

Q.E.D.

( i

'·

i

EXERCÍCIOS

r

34.A. Seja .t (an) um<~, série dada e 1: (bn) uma série em que os termos são os mesmos que os de .t (an), a menos da omissão daqueles para os quais an =O. Mos~e que .E (an) converge para um númeIO A se e somente se .t (bn) converge pará A. 34.B. Mostre que a convergência de uma série não é afetada pela modifi01ção de tim número finito de seus termos: (Naturalmente, a soma pode se modit1car!) 34.C. Mostre que o grupamento de termos de uma série cónvergente por meio de parênteses contendo um nÚínero finito de termos não destrói nem a convergência nem o valor do limite. Todavia, o grupamento de termos em wna série divergente pode resultat em convergência. 34.D. Mostre que se uma série convergente de números reais contém apenas um número fhúto de termos r..qativos, então é absolutamente convergente. . 34.E. Mostre que se uma série de números reais é condicionalmente convergente, então a·série de termos positivos é divergente e a sétie de termos negativos é divergente. 34. F. Utili?.ando frações parciais, mostre que

l

se o:> O.

~

( ( ( '

( ( {

•\

\ i\ I'

\' 34.G. Se E (an) é uma s~rie convergente de reais, E (a~) é sempre convergente'? Se an Z. O, en· tão é verdade que I; cJ;;;;) é sempre convergente? 34.H. Se E (an) é convergente ean >O, então E. (Jana 11 +1) é convergente? 34 .L Seja E (a 11 ) uma série de números estritamente positivos e definamos bn, n E N, como bn =(a I + a1; + ... + a,d/n. Mostre que r; (bn) sempre diverge. }4.1. Seja .E (an) convergente e definamos cn. n E N, como as médias ponderadas a~ 2a2 + · · ·+na,. = ---'----" n(n+l)

c

(

( •

\

\'

( {

Então L: (cn) converge e é igual a L: (an).

\

j '

'-·

267

\

\'

(

'

n

34. K.. Seja r; (an) uma série de números positivos monotonicamente decrescentes. Prove que :L;;'-1 (an) converge se e somente se a série

ll

li 11

converge. Este teste é chamado teste de condensação de Cauchy. (Sugestão: Grupe os termos em blo· cos como no Exemplo 34.8 (b, d).) 34. L. Use o Teste de Conden1:açâo de Cauchy para discutir a convergência da série-p E (1fnP). 34 .M. Use o Teste da Condensação de Cauchy para mostrar que as séries

L n J~g n '

.. li

L

I!

í

L n(log n)Jog log n)'

1 n(log n)(log log n)(log Jog log n)

são divergentes. 34.N. Mostre que se c> 1, as séries

L n(lo~ n)<' .11 11

!I

u

L

1 n(log n)(log Jog

nY

são convergentes. 34.0. Sej;i (an) uma seqüência monotônlca decrescente de números positivos. Mostre que se a série E (an) converge, então llm (nan)"" O. A recíproca é verdadeira? 34. P. Se lim (an) :::: O, então r; (an) e t (a 11 + 2a 11 ,. 1 ) são ambas convergentes ou ambas divergentes.

(

l; "

li li

'

li

SEÇÃO 35 TESTES DE CONVERGÊNCIA ABSOLUTA Na seção anterior obtivemos alguns resultados relativos ao trato de séries infinitas, especialmente no caso em que as séries são absolutamente convergentes. Todavia, exceto para o Critério de Cauchy e o fato de os termos de uma série convergente tenderem a zero, não estabelecemos quaisquer condições necessárias ou suficientes para a convergência de séries infinitas. Daremos agora alguns resultados que podem ser utilizados para estabelecer a conver· gência ou a divergência de séries infinitas. Dada a sua importância, devotaremos especial atenção à convergência absoluta. Como a convergência absoluta da série !: Cxn) em RP é equivalente à convergência da série de elementos positivos de R, é óbvio que os result~dos que estabelecem a convergência de séries reais positivas têm especíal interesse. O primeíro resultado mostra que se os termos de uma série real, positiva, são dominados pelos termos correspondentes de uma série convergente, então a primeira série é convergente. Ele origina um teste para a convergé.nda absoluta, que o leitor deve formular.

3SJ Teste da Comparação. Sejam X=(xn) e Y =(yn) seqüências reais positivas e suponhamos que, para algum número natural K, (35.1)

para n > K.

Então a conve.gência de !: Ó'n) implica a convergência de !: (Xn ). 268

I

(

Demonstração. Sem 2n ~sup{K,M(e)}, então x,+1+· • ·+xm ::s; Yn+t+· · ·+ym
asserção é evidente.

·-.·

Q.E.D.

35.2 Teste Limite da Comparação. Sejam X= (xn) e Y

tivas. í

•'

=(vn) seqüências reais posi-

(a) Se a relação

(35.2}

lím (x../yn) ~O

se verifica, então :E (xn) é convergente se e somente se :E (vn) o é. (b) Se o limite em (3 5.2) é zero e Z (vn) converge, então :E (xn) é convergente. Demonstração. Decorre de {35.2) que, para algum real c> 1 e algum natural K, ( 1/ c )y.. < x.. :::; cy,.

para

n ;a-; K.

Aplícando duas vezes o Teste da Comparação, 35.1, obtemos (a). A demonstração de (b) Q.E.D. é análoga; omitímo·la, por ísso.

OS TESTES DA RAIZ E DA RAZÃO Apresentamos a seguir um importante teste devido a Cauchy. 35.3 Teste da Raiz. (a) Se X= (xn) é uma seqüência em RP e se existem um número positivo r< 1 e um número natural K tais que (35.3)

f

para n

~

K,

então a série :E (xn) é absolutamente convergente. (b) Se existem um número r> 1 e um número natural K tais que (35.4)

11 X, llu"

2:

r

para n

>

K

então a sén"e 'E (xn) é divergente. Demonstração. (a) Se (35 .3) se verifica, então temos Uxn 11 5:. rn. Mas 1 para O -:;.r :5:.1, a série :E{rn) é convergente, conforme vimos no Exemplo 34.8(a). Logo, do Teste da Comparação, decorre que :E (xn) é absolutamente convergente. (b) Se (3 5 .4) se verifica, então llxn 112 rtt. Todavia, corno r> 1, é falso que lim (llxn!I)=O. Q.E.D. Além de estabelecer a convergência de z:;. (xn ), o teste da raiz pode ser usado para dar uma estimativa da rapidez da convergêncía. Tal estimativa tem utilidade não só em cálculos numéricos como em alguns problemas teóricos. 35.4 Corolário. Se r satisfaz O< r< 1 e se a seqüência X= (xn) verifia:z (35,3), en tão as sornas parciais sn. n > K. constituem aproximações da somas= :E Cxn) de acordo 4

com a estimativa (35.5)

para n

~

K.

269

Demonstraç.ão. Se m

> n ?:. K, temos

Tomando o limite em relação a m, obtemos (35.5).

Q.E.D.

Também pode ser útil a seguinte variante do Teste da Raiz.

35.5 Corolário. Seja X= (xn) uma seqüência em RP e façamos

(35.6)

r=-

lím (j!x.,lj 11"),

desde que tal limite exista. Então L: (xn) é absolutamente convergente se r< 1 e divergente se r> 1. Demonstração. Se o limite em (35 .6) existe e é menor do que 1, então existem um número real r 1 , r< r 1 < 1 e um número natural K tais que

llx.. JI 11"

:s;

para n ;;;::;

rl

K

Neste caso, a série é absolutamente convergente. Se tal limite excede 1, então existem um número real r 2 > I e um número natural K tais que

l

I

I i

I •

para n :o:: K,

Q.E.D.

e a série é divergente.

Pode-se generalizar este corolário utilízando-se o limite superior em vez dó limite. Deixamos os detalhes como exercício. O teste seguinte é devido a D'Alembert_l 35.6 Teste da Razão. (a) Se X=(x 11 ) é uma seqüência de tflementos não-nulos de

RP e se existem um número positil1o r< 1 e um número natural K tais que

I ( (

f

I' •

(35. 7)

I

r

então a série Z (xn) é absolutamente convergente. (b) Se existem um número r:?::. 1 e um número naturál K tais que (35.8)

para n :o:: K,

· então a série :E (xn) é divergente. Demonstração. Se (35.7) se verifica, então um argumento elementar dê iridu· ção mostra que 11.~ K + m I! < rm llx K li para m ~ 1. Segue-se que, para n > K, os termos de L (xn) são dominados por um múltiplo fixo dos termos da série geométrica L (rn) com O
l

Jean Le Rond D'Alampert (1717·1783), filho do Cavalei,t:'o De~1ouches, tomou-se secretário d~ Academia Francesa e líder matetn#ito qos endclopeqistas. Deu contribuições à dircif11ita. e ·âi t.. ' ' . '~ '•··;'· ·'· ·' ·' . equações cüfercnciais. · .. · · · · ··'·-- .. • ~ ' •

270

•

.... \•. '

•

'';. j

~ '

'j· i'

!

,.j:

I

r'•·

~

!

I j

I

-'

(b) ~e (35.8) se verifica, então, àinda por indução, vemos que !lxK+mll :=z:rm llxKI! para m > 1. Como r > 1 , é impossível termos lim ( llxn 11) =O, de modo que a série não pode convergir. Q.E.D.

.

-~

35.7 Corolário. Se r é tal que O
ra n ??:..K, então as somas parciais silo aproxitnações da somas= Z (xn) de acordo com a estimativa

lls- s,ll :5 1 ~r llx.. ll

(35.9)

para n

2:

(

\

(.,

K.

''

I

Demonstração. A relação (35.7) implica llxn.+kll n > K, temos

> K. Portanto,

i

·

(

(

lls.,- s.,j! = l!xn+l + · ~ · + Xm 11 !lx,.+ill + · · · + l]xmll <

'

(r+ r 2 + · · ·+r"'-") Jlx,.JI < - -r r Ux.. !l. 1

I l

r' '

Novamente tomando o limite em relação a m, obtemos (35.9).

!

f

i' • I' f

I'

I

Q.E.D.

35.8 Corolário. Seja X= (xn) uma seqfi,ência em RP e façamos

!

I

I

\ •.

t!l) '

_ li (llx,+ r- m llx.. !l

desde q«~ tal limite exista. Então a sén·e L: (xn) é absolutament~ convergente se r< 1 e ·· divergente se > 1.

r

DemonstráÇão. Suponhamos que o limite exista e r< 1. Se r 1 verifica r
um

(

< 1,

(

l.

(

\

para n > K.

(

caso, o Teorema 35.6 estabelece a convergência absoluta da série. Se r> 1 e se r2 verifica 1
llxn+tll >r Jl X,. 11

e a série é divergente. .

I·,

2

para n

:.?::

K,

(

I

Q.E.D.

'

(

'·

;'

(

i

!

1:r j

i

1

•·

~

TESTE DE RAABE Se r= 1, tanto à Teste da Raiz como o da Razão falham 1 e a série pode ser conver-

gente ou divergente. [V. Exemplo 35J3(d).] Convém dispormos de um teste mais refinado para o caso r= 1. O critério abaixo, atribuído a Raabe/· em geral funciona.

r

r

I I

2

Joseph L. Raabe (1801-1859) nasceu na Ucrânia e ensinou em Zurique. Trabalhou em geometria e análise.

( ,.

t '

\.

(

'

\

}

271

\ I

\.

(

.

35.9 Teste de Raabe. (a) Se X= (x 11 ) é uma seqüência de elementos não-nulos de RP e se existem um número real a> 1 e um número natural K tais que

]]xn+lll < 1 _ a Ux"jj n

(35.10)

para n Z: K,

então a série :E (xn) é absolutamente convergente.

(b) Se existem um número real a< 1 e um n(tmero natural K tais que

ll;~:fi!l >

(35.11)

1- ~

para n > K,

então a série I: (xn) não é absolutamente convergente. Demonstração. (a) Supondo (35.1 O) válida, temos k l!xHtll::.;:; (k -1) IJxdl- (a -1) llxkl!

para k ~

K.

Segue-se que

(35.12) (k -1) llxkl]- k llx~.: .. liJ ~(a -1) llx~O para k > K, donde decorre que a seqüência (k llxh+l !!) é decrescente para k >-. K. Somando (35J 2) para k K, ... , n, e notando que o membro esquerdo é telescópico, vemos que

=

(K- 1) UxKll- n Jlxn+tl! 2:: (a- l)(]Jx~dl + · · · + l!x.. j]). Isto mostra que as somas parciais de E ( llxn !I) são límitadas e estabelece a convergência absoluta de E (xn.). (b) Se (35.1 1) se verifica para n ';C.K, então, como a< 1,

n

Uxn+lll;;::: (n -

a)

llx.. li >

( n - 1)

llx,.JI.

Portanto) a seqüência (n llxn +I I!) é crescente para n 2:. K e existe um número c> O tal que

n 2:: K. Como a série harmônica L (1/n) diverge, E (xn) não pode ser absolutamente convergente.

llxn+tll > c/n,

Q.E.D.

Podemos também utilizar o Teste de Raabe para avaliar a rapidez da convergência.

35.10 Corolário. Se a> 1 e se a seqüência X= (xn) satisfaz (35.10), então as somas parciais são aproximações da soma s de L (xk) de acordo com a estimativa

(35.13) Demonstração. Sejam> n d::_K e somemos as desigualdades obtidas de (35.12) para k = n + 1, ... , m, obtendo

n IJxn+tl!- m Tem-se então

llxm+dl2::: (a- l)(ljx.. -HII + · · · + IJx, Jl).

272

Ii •

I

!Js., - s,. 11 :$; l!x,+ll! + · · · + llx~, 11 < a~ 1 Hxn+tl!;

tomando o limite em relação a m, obtemos (35.13). Q.E.D. Às vezes, ao aplicar o Teste de Raabe, convém utilizar a seguinte forma lírnite alter·

nativa.

I

I

35.11 Corolário. Seja X;:::: (xn)

uma seqüência de elementos não-nulos de RP e faça-

mos a= lim(n(1-~))

(35.14)

l!xn 11

' );

desde que tal limite exista. Então :E (xn.) é absolutamente convergente se a > 1 e não é ab· solutamente convergente se a < 1. Demonstração. Suponhamos que o limite (35.14) exista e verifique a> 1. Se a 1 é um número tal que a> a 1 > 1, então existe um número natural K tal que a1

< n(l-Jix.,+ dJ)

para n

llxnll

K.

Segue-se, portanto, que para n :2:: K e o Teorema 35.9 garante a convergência absoluta da série. O caso a< 1 é tratado de maneira análoga; omitimo~lo, portanto. Q.E.D.

O TESTE DA INTEGRAL

Apresentamos a seguir um teste bastante poderoso, devido a Madaurin,3 para uma série de termos positivos.

{t:

35.12 Teste da IntegraL Seja f uma função contínua, decrescente, positiva em t > Então a série .L: (f(n )) converge se e somente se a integral infinita

1}.

[~"' f(t) dt = li~(f' f(t) dt) = Lh~l (f(k)) e a somas= L h== l (f(k))

existe. No caso de convergência, a sorna parcíal Sn

satisfazem (35.15)

f

+«>

f(t) dt

::5 S- S., $

f+"" f(t) dt. n

n+l

Demonstração. Como segue-se que

f

é positiva, contínua e decrescente no intervalo [k -· 1, kJ,

~ l~l

.I

(35.16)

I

Somando esta desigualdade para k-== 2, 3, ... , n, obtemos a relação

• •

I

f(k)

f(t) dt

<

f(k -1) .

I I

l 3

Colín Maclaurin (1698-1746) foi aluno de Newton e professor em Edimburgo. Destacado matemátic.o inglês de sua época, deu contribuições à geometria e à física matemática.

273

que mostra que ou existem ambos os limites

lim(r· f(t) dt)

lim ( s,.),

ou não existe nenhum. Se existem, obtemos, somando (3 5 J 6) para k = n Sm - S,

f"

f( r) dt ::::;

S,.-1- S.,- h

donde decorre que

J

m+l A+l

f(t) dt S

Sm

-s,

+ 1, ... , m,

S

J"' f(t) dt. n

Tomando o limite em relação a m nesta desigualdade, obtemos (35.15).

Q.E.D.

Mostraremos agora como se podem aplicar os resultados dos Teoremas 35.1 a 35.12 ao estudo das séries·p introduzidas no Exemplo 34.8(c).

35.13 Exemplos. (a) Aplicaremos primeiro o Teste da Comparação. Sabendo que a série harmônica Z (1/n) diverge, vê-se que, se p < 1, então nP < n e, daí, 1 n

1 n

-< -p• -

Após aplicar o Teste da Comparação, 35.1, concluímos que a série·p :E (1 fnP) díverge se

p< 1.

(b) Consideremos agora o caso p =2; ou seja, a série L '(1/n 2 ). Comparemos esta série com a série convergente Z [1/n(n + l)J do Exemplo 34.8(e). Corno a relação

1 <1._2 n(n+l) n se verifica e os termos ã esquerda constítuem uma série convergente, não podemos aplicar o Teorema da Comparação diretamente. Podemos, entretanto, aplicá-lo se compararmos o termo de ordem n de Z [1 /n (n + 1)] com o termo de ordem n + 1 de Z (1/n 2 ). Em vez disso, entretanto, apliquemos o Teste Limite da Comparação, 35.2; notemos que 2 1 1 n n. 2 n(n + 1) + n = n(n+ 1) =;;-+:L·

Como o limite deste quociente é 1 e E [ 1/n ( n + 1)] converge, então a série também con~ verge. (c) Seja agora o caso p 2:2. Notando que nP :?_n 2 para p > 2, então 1

1

- < -2·

n"- n

'

uma aplicação direta do Teste da Comparação assegura que E (l fnP) converge se p > 2. Alternativamente, poderíamos aplicar o Teste limite da Comparação, notando que

1 1 n2 n p + n 2 = n p- =

n1

p-l •

Se p > 2, esta expressão converge para O, donde decorre, pelo Corolário 35.2{b), que a sé· rie Z (1/nP) converge se p > 2.

274

''

'\.

o Teste da Comparação, não podemos obter nenhuma informação ~ob~e-j~ série-p para 1
'

..

C~m

'

~·.

.

.~

..

:

'

'

.. ,'

.

. -~~.

.

'

(d) Apliquemos os Testes da Raiz. e da Razão à'séríe-p. Notemos que '

•

I

(

c

'

(:v Y'" _:_ (n-:)v" .. (n t"'fP.

/

r'·

Ora, é sabido que a seqüência (n 11n) converge pant i (cf. Exemplo 14.8(e)]. Logo, '

:

(

lim{ (n~) v")~ 1~

'' (

l

de modo qu!'! o Teste da Raiz (na forma do Corolário 35.5) não se aplica. ·.' . Da mesma formà, como ' 1 1 nP 1 (n 1)~' ;;! = (n + 1)~'- (1 + tf~Y'

I

''

'

+

.... t

<

\ /

.'

e como a}eqüência ((I + l/n'J)) converge para l, o Teste da Razão (na forma do Corolá· rio 35.8) não é aplicáveL ···.. •· (e) Apelemos então· para a aplicação do Teste de Raabe à série·p para valores íntei· ·- · ros de p. Tentemos primeiro utilizar o ~drolário 35J 1. Observe-se que , ..

'

~

·(' (n + 1)-") n~' ) = n ( 1-(n+l)~' n 1- n-r;

Tomando o limite em relação a n, obtemos p. Logo, este corolário do Teste de Raabe mostra que a série cdnverge para valores inteiros p > 2. (Aplicando-se o teorema binomial para valores não-inteiros de p, pode-se melhorar o resultado.) ' · (f) Finalmente, apliquemos o Teste da Integral à série-p. Seja /(t); t-P e lembremos que

1

-

- dt = log (n) -log (1),

t"

.1\

t

\

( \

!'

•

( (

•1

( I

'

1 (n l-p -1) 1- p

,.

(

2

"-1 dt = f

'

I.

•'

n(l- (1--·n+l !__)~') = n(l-1 + p _ _e(p -1) + · · ·). n+l 2(n+l)

t

\

(

Se p é inteiro, então podemos utilizar o Teorema Binomial para obter uma estimativa do último termo. De fato,

t

)

'

1

1

(

(

(n+l-1)1') ( (. 1 )~') =n ( 1- (n+l)P =n 1- 1-n+l .

" f

(

(

{

I

'<.

para pr'i-1.

(

Dessas relações, vê-se que a série-p converge se p > 1 e diverge se p
{

-

\

EXERCÍCIOS

(

35.A. Estabeleça a convergência ou divergência da série cujo terrno genérico é

1 {a) (n. + l)(n. + 2) '

'

'

~

n.

'

f

(b) (n + l)(n. + 2)'

\, {

\.

275

(~

,. Í,

I' J

(c)

I

(e) [n(n+l)r 0

2-~~~'

(d} n/2n,

(f)

,

(g) n!/n",

[nz(tt+ 1)l"\

(h) ( -ltn/(n + 1).

35.B. Para cada série convergen1e do Exercício 35.A, estime o resto, quando se consideram apenas quatro termos. Se quiséssemos determinar a soma a menos de 1/1000, quantos termos deveríamos tomar? 35. C. Discutir a convergência ou a divergência da série cujo termo genérico é

'·

(a) [log n)"P, (c) (log nr"•~, (e) [n log

(b) [log nrn, (d) [log n r~s log "'

nr,

)

(f} [n(logn)(loglogn)~J- 1 •

35.D. Idem para a s.éde cujo termo genérico é:

J

(a) 2" e-". (c) e-l<>sn,

l

(e) n! e-",

.I

35. E. Mostre que a série

1 1 1 1 -+-+-+-+· ... 12 2J 3~ 4~ .I

I

é convergente, mas que tanto o teste da ra:l'.ão como o teste da raix. não se aplicam. 35.F. Se a e b são números positivos, então

L(an~b)P converge se p > 1 e diverge se p < 1.

35. G. Di~cuta a série cujo termo genérico é

( )

n!

a 3·5·7···(2n+l)'

(c)

2 · 4 · · · (2n) 3 · 5 · · · (2n + 1)'

(n!)~

(b) (2n)!' 2 · 4 · · - (2n) (d) 5 · 7 .. · (2n + 3) · l

{

35.H. A série

converge se p > 2 e diverge se p:::;;. 2. 35. L Seja X= (xn) uma seqüência em RP e seja r dado por r= lim sup (!J.~nW h). 1

Então I: (x11 ) é absolutamente convergente se r < 1 e divergente se r > 1. (Na seção 18 definimos o li-

=

mite superior u lim sup (bn) de uma seqüência limitada de números reais. É o número (único) tal que (i) se u
< 1, então a série :t (x 11 ) é absolutamente convergente. (b) Dê exemplo de uma série absolutamente convergente com r> 1. (c) Se lim inf ( !lxrH 1 li/ !lxn U) > 1, mostre que a série I: (xn) não é absolutamente convergente. (a) Mostre que se r

276

3S.K. Seja X= (xn) uma seqüência de elementos não-nulos de R.P e seja a dado por a::::: Hm sup

(n (1 - li Xn+Jl!/11 x 11 ll)). (a} Se a < 1, mostre que a série I: (xn) não é absolutamente convergente. (b) Dê exemplo de uma série divergente coma> 1. ·. ·, .... (c} Se Um inf (n {1 - li x 11 .,. 1 !1/ Uxnff>) > 1 mostre que a série E (xn) é absolutamente convergen-

te.

3S.L Seja X= (xn) tal que xn >O para n E N. Mostre que a sér.ie :E
lim sup( (Iog n)[ n( 1- x~ 1 ) -1

])< 1.

35.M. Seja Xn >O para n e N e suponha que n (L - xn .. dXn) =a + knfnP, com p >O e (kn.) li~ mitada. Então a série :E (xn) converge se a > 1 e diverge se a 1. 35.N. Se p >O, q >O, então a série

L: (e+ l)(e + 2} ...
converge se q ,.

> p + 1 e diverge se q

1.

11

35.0. Mostre que a série :E (2 n!) 2 /(2n + 1 )! é divergente. 35.P. Seja Xn >O e r= lim inf {-log Xn/log n). Mostre que E (X 11 ) converge se r> 1 e diverge ser< L 35.Q. Se nenhum dos números a, b, c é inteiro negativo ou zero, prove que a série hipergeométrica.

ab + a(a + 1)b(b + 1) + a(a + l)(a + 2)b(b + l)(b + 2) + ... l!c 2lc(c+l) 3!c{c+l)(c+2)

é absolutamente convergente se c> a + b e divergente se c
+ b.

35.R. Seja ar,~ >O e suponha E (an) convergente. Construa uma série convergente E {bn) com bn >O tal que lim (an/bn) =O; logo, .E (bn) converge menos rapidamente do que :E (an}. [Sugestão: Seja (An) a soma pardal genérica de E (an} e A seu limite. Defina r0 =A, rn =A - A11 e bn. = .,Jr;;:l -

··

.Ji,; .J

35.8. Seja an > O e suponha E (an) divergente. Construa uma série divergente :E (bn) com bn > O tal que lim (bn/an} = O; logo E (bn.) diverge menos rapidamente do que E (an). (Sugestão: Seja b 1 = .Ja 1 e bn ~ .Jã;'., n > 1.) 35. T. Seja { n t , nl , ... } a coleção de números naturais que não contém o algarismo 6 em sua representação decimaL Mo~tre que a série i: (lfnh) converge para um número menor do que 90. Se coleção dos números que terminam em 6, a série r: (1/mk) diverge. 1 , m 2 , •••

=

{m

-

}é a

PROJETO 35.o:. Embora os produtos infinitos não ocorram com tanta freqüência como as séries infinitas, têm considerável importância em muitas investigaçõe~ e aplicações. Por questão de simplicidade, restringir·nos-emos a produtos ínfinitos com termos an >O. Se A = (an) é uma seqüênda de reais es· tritamente positivos, então o produto infinito, ou seqüência de produtos parciais, gerado por A é a se· qüênda P = (pn} definida por

P1 =a ~o p~ = p1a2( = ataz), .. . , p., =

P~-~a...(

= a1a2 ···a,.._ la..,) ••••.

Se a seqüência P converge para um número diferente de zero, então di:r.emos que lím Pé o produto do produto infinito gerado por A. Em tal caso o produto infinito é convergente e escrevemos

n (a..).

ou

para denotar tanto P como !im P.

277

~'.

. ; .~ ~

i.

(Nota: A exigência lím P >F O não

(an}""l.

que

' '

é essencial, mas é convencional, pois assegura a aplicabilidade de cer·

tas propriedades dos produtos finí tos aos produtos infin.itos.) (a) Mostre

' ::: ':

uma condição necessária

p~ra

··

d ··

'·

li~

a convergência do produto infinito é que :,'

-~·

(b) Prove que uma condição necessária e suficiente para a convergê(1cja de

a,.> o,

; i

·,

.

.....

..

L log a,..

é a convergência de

f'!o ...

l .

=

,•

O.s produtos infinitos às vezes contêm termos da forma an 1 + Un. Mantel)dQ nossa; restrição, suporemÇJs :Un >.. -1 para todo n E N. Se Un ~ O;mostre que uma condição necessária e· suficiente para a convergênd!i 4o;Ím~duto infinito é !i convergência da série infinita I: (un). (Sugestão: Use o Teste Limite da Comparação, 35.2.) · ... ·~-(c),

_ (d) Seja un > -1. Mostre que se a série infinita !: (un) é absolutamente convergente, então o produto inftnito n (1 + un) é convergente. ' ·· · ' .

.(e) Suponha que Un > -1 e q~e'~ sé~ie :E(un) seja convergente. Então, uma ç.ondição necessária e suficiente para a convergência dó produto·infinito no+ un) é .a convergência da série infinita !: (uA). (Suges~ão: ljse o Teorema de Tàylor e mostre que existem constantes positivas A e B tais que s~ lttl < i • então Ail 1
'

~

.;

.

..

}; ..

SEÇÃO 36 OUTROS ~ESULTAPOS SO'$RE SÉRIES

.•

. •

Os testes da ·seç[o 35 apresentam ?,- característíca de garantirem que, se determinadas hipóteses são satisfeitas, então i:'-· sét:i:e :E.(x11) é absolutamente con;;ergente. Ora,-sabe· se qu~ a Cl?nvergência· absoluta implica a convergênCia ordinária; mas, do estudo de uma série especial, como· ·

"<-lr L. Jn.

·,

> ;

. '

'

.' .....

recípr_oca não é verdadeira, isto é, a série pode ser cqp.yergente sem que o séja absol4J!J.rp.ente. Convém, assim, dispormos de um teste relativo ã cbn.vergência ordinária: Há muito~ i;es(e_s deste tipo. aplicáveis a tipos éspeCiais de séries. Os de aplicação mais geral talvez sejam os :Çleyidps ,a Abel4 e a Dirichlet. .'., . vê7s~. ,que ~

Para estabelecê-.lo.s, n~.çessitamos de um lema chamado às vezes de fórm..ula de somação pardal, pois correspon'd~ à fórrm,t1a familiar da integração por partes. N~ maioria das aplicações, as seqüências X e Y sã(fambas seqüências em R, mas os resultados são válidos quando X e Y são seqüências em RP e é usado o produto interno, ou quando uma das seqüênCias X e Y é uma seqüência real e a outra ~ uma seqüência em RP.

36.1 Lema de Abel. Sejam X= (xn) em R .e Y ""Ó'n) em RP.duas seqüências, e denotemos por (sk) as somas parciais de l: (vn ). Sem :?;.11, então ;

11

' .

I

. I

I ;I ~

(36.1)

L XiYI = (:X::m-t-lSm -

j~..r.n

4

278

m

~

x ..s,-1)

+L (Xj- Xj+I)Sj. j-n

Niels Henrik Abel (1802-1829), filho de um ministro norueguês. Quando tinha apenas 27 anos, mostrou a impossibilidade de resolver por radicais a equação geral de quinto grau. Este gênio autodidata deu contribuições de relevo ao estudo das séries e das funções elípticas antes de sua morte prematura,

,.

I

\

Demonstração. A demonstração deste resultado consiste em observar que YJ =sis1 _1 e emparelhar os termos de cada lado da desigualdade. Deixamos os detalhes a cargo do leitor. Q.E.D.

(

Aplicaremos o Lema de Abel para concluir que···a série I; (XnYn) é convergente em um caso em que ambas as séries Z(xn) e :E (vn) podem'ser divergentes.

(

36.2 Teste de Dirichlet. Suponhamos que as somas parciais de 'L (vn) sejam limita-

,.

das. (a) Se a seqüência X= (xn) converge para zero. e se

;t. I {lxm+ll + jx,.l +it lxi:s;

2:x1

X;·HI}B.

Q.E.D.

36.3 Corolário. Na parte (b )) temos a estimativa do erro "" "

I

x;y;-

L XiYi

i""l

<

/

I

'

,. /

\

/

\ (

~ . . . , então a série em (36.2) é telescópica e convergente.

Í'"l

'

\

Se lim (xn) :=O, os dois primeiros termos à direita podem ser tomados arbitraríamente pe· quenos, tomando~se m e n suficientemente grandes. Por outro lado, se a série (36.2) con· verge, o Critério de Cauchy garante que o termo final à direita pode ficar menor do que e tomando-sem >n ~M(e). Logo, o Critério de Cauchy implica que a série E{XnYn) é convergente. (b) Se x 1

(

I

\

Demonstração. (a) Seja lls111
( I

é convergente, então a sén'e :E (XnYn) é convergente. (b) Em particular, se X= (X 11 ) é uma seqüência decrescente de números reais positivos que converge para zero, então a sén'e _E (xnYn) é convergente.

(36.3)

'

\

I !x.. - Xn+d

(36.2)

'

''

(

( (

'·

f ~

\

·2x . . +~B,

(

onde B é uma cota superior das sornas parciais :E (yj). Demonstração. Obtém-se prontamente da relação (36.3).

\

/

Q.E.D.

O próximo teste reforça a hipótese sobre a série :z.; (yn) mas relaxa a hipótese sobre a série L: (xn ).

\ (

·'

'

/.

I

'

36.4 Teste de AbeL Suponhamos a sêrie E (yn) convergente em RP. (a) Se a seqüência X= (xn) em R é tal que

(

L

(

(36.2) !x . - Xn+d é convergente, então a série Z (XnYn) é convergente.

I

\

(b) Em partiC"'lllar, se a seqüência X= (xn) é monotônica e converge para x em R, então a sén·e :E (xnYn) é convergente. Demonstração. (a) Por hipótese, as somas parciais Sk de E (yn) convergem para algum elemento s em RP. Logo; exíste uma cota B para { ilsk 11: k E N }·e 1 dado e> Ot existe N 1 (e)talque,sen>N1 (E),então llsn -s!l
!x,l :s; !xt + (x2- x~) + ·- · + (x,.- x... -t)!

(

'·

(

'' (

\

(

..

"-!

s lxd + L lx"'- X~c.+d

(

k-t

I

' ',,

\. 279

'I

{

\ ..

f

{' ;.

·~

:111

'(

k ~·

de modo que lxn.l O. Além disso, existe N 2(E) tal que sem N 2 (e), então

(36.4)

lxm+l- x,l::::;;;;

>n:?

"'

L lxi+l- XJI
(

Seja agoraN 3 (€) =suP{N 1 (€),N2 (e)}de modo que sem >n >N3 (e), então )

IIXm+lSm- XnSn-!IJ

:S :S

l

<

···~·

·'

~

~·

f

+ !lxm+tS- x,s!l + llx,s- x.. s.. -tll lx,.,.d l!sm- sll + !xm+l- x, lllsl! + lx, ll!s- Sn-1!1 Ae + e.B + Ae = (2A + B)e.

IIXm+tSm -

Xm+)s!l

Portanto, pelo Lema de Abel, 36.1, sem> n > N 3 (e), temos

~

:::; (2A + B)e +

'I!·. jO

: : ; ; (2A <

+ B)s +

f (x;-

I"'"

(t.

XJ+t)SJ

(

s

(

r

l

lx;- X;+I!)B

(

(

2{A + B)s,

onde utilizamos (36.4) no último passo. Como vergência de 2: (XiYi)-

E> O é arbítrário, está demonstrada a con-

s

(b) Se a seqüência (xn) é monotônica e converge para x, então a série (36.2) é telescópíca e converge ou para x- x 1 ou para x 1 - x. Q.E.D.

I

Com o mesmo tipo de argumento podemos estabelecer a seguinte estimativa de

(

erro.

36.5 Corolário. Na parte (b), temos a estimativa de erro

SÉRIES ALTERNADAS Há uma categoria partícularmente importante de séries reais condicionalmente con· vergentes, a saber, aquelas cujos termos são alternadamente positivos e negativos.

36.6 Definição. Uma seqüência X= (xn) de números reais não-nulos é alternada. se os termos (-l)nxn,n = 1, 2, ... , são todos números reais positívos (ou negativos). Se uma seqüência X= (xn) é alternada, a série i: (xn) por ela gerada é uma série .alternada. Convém fazer Xn = (-1 ) 11 Zn e exigir Zn >O (ou Zn < O) para todo n = 1, 2, ... Es· tuda-se facílmente a convergência de uma série alternada, quando se pode aplicar o resultado seguinte, demonstrado por Leíbniz. '$6.7 Teste das Séries Alternadas. Seja Z = Czn) uma seqüência decrescente de números estritamente positivos com lim (zn) =0. Então a série alternada i: ((-l)"zn) é conver-

280

s

I

gente. Além disso, se sé a somo. da série e sn é a soma parcial de ordem n. entãÓ vale a estimativa (36.5) ls-s,.j::;; Zn+t ..... da rapidez da convergência.

Demonstração. Decorre imediatamente do Teste de Dirichlet, 36.2(b), tomando Yn = (-· 1)", mas a estimativa do erro dada no Corolário 36.3 não é tão precisa como (36.5). Podemos também proceder diretamente e mostrar, por indução matemática, que, sem> n, então lsm. -s,.l = !zn+l- Zn+2+ · · • +(-1)"'-"-lz,....l < !z.. +tl· Obtém~se

Q.E.D.

então tanto a convergência como a estimativa (36.5).

36.8 Exemplos. (a) A série L, {(-1)11 /n), por vezes chamada sé~e harmônica alternada, não é absolutamente convergente. Todavia, é conve'rgente, de aco'rdo com o. Teste das Séries Alternadas. (b) Analogamente, a série convergente .

2

L, ((-1}

/vn)

é convergente, mas nao absolutamente

(c) Seja x ER e k EZ. Entao, como

2 cos kx sen h

=sen (k +!)x- sen (k- ~)x,

segue-se que 2 sen }x[cos x + · · · + cos nx] = sen(n + i)x- sen ~x. se x não é múltiplo inteiro de 2n, então

Logo~

(36.6)

cos x + · · ·+cos nx

Portanto, se X rt. { 2krr: k E

=

zf, então

sen(n +~)x -senh . 1 2 sm 2X

1

Icos x + · · · + c os nx I ::;; lsen i X I . 1

Podemos então aplicar o Teste de Dirichlet, 36.2(b), para concluir que a série L: (1/n) cos nx é convergente para todo x f!:. {2kn: k EZ}. Notemos que esta série diverge para x = 2krr para algum k z.

(d) Seja x ER e k E Z. Então, como

2 sen kx sen h = cos (k -1)x- cos (k + &)x, segue-se que 2 sen ~x [ sen x + · · · + sen nx] == cos h

- cos ( n + !)x.

Logo, se x não é múltiplo inteiro de 2rr, então sen x + · · · + sen nx

=

cos h -cos (n + Dx

.

2sen iX 1

-

281

Portanto, se x Et:{2kn: k EZ}, então

1

Jsen X+ . .. + sen nx I < Isen2x 1 r. Como anteriormente, o Teste de Dirichlet implica a convergência da série Z(l/n) sen nx para todo x fÉ{2kn: k E Notemos que esta série também converge quando x = 2kn, kEZ. · (e) Seja Y =CYn) a seqüência em R 2 cujos e]emeptos são

z.}.

)

y,==(l,O),. Y>~=

(Q, -1), · • ', Yn+4""' y,., • • • •

Vê-se logo 'que a. s~rie :E (yn) não converge, mas suas somas parciais Sn são limitadas; de fato, temos J!s,jl Logo, o Teste de Dírichlet mostra que a série :6(1/n)yn é convergente em R 2 • ··


I

' I' . I'

I i i'

SÉRIES DUPLAS Às ve:zes~somos levados a estudar séries infinitas que dependem de dois :índices inteiros. Desenv:olve-se a teoria das séries duplas reduzindo-as a seqüências duplas; assim, todos os resultados da seção 19, re1atívos às seqüências duplas, podem ser estendidos às séries duplas. Não apelaremps, entretanto, para os resultados da seção 19; restringiremos nosso ..estudo apenas às séries duplas absolutamente convergentes, que é o tipo que ocorre com maior freqüência .. Suponhamos que; em correspondência com cada par (i,j) em N x N se tenha um elemento xu em RP. Define-se a soma parcial de ordem (rn, n), Smn, como ...

( ]

i

l Por analogia com a Definição 34.1, diremos que a série dupla 2:: (x 1J) converge para um elemento x em RP se; para todo e> O, exíste um número natural M(e) tal que, sem;;:.::; M(e) e n 2:M(e), então

l!x - S.,njl < 8. Por analogia com a Definição 34.6, diremos que a série dupla 1: (xií) é absolutamente convergente se a série dupla' E (llxutl) em R for convergente. Fica como exercício mostrar que, se uma série dupla é absolutamente convergente, então é convergente. Mêm disso, uma série dupla é absolutamente convergente se e so. l ' mente se .,,,

(36.7)

'I 'I

li,j .,

é um conjunto limitado de números reais. " Procuraremos relacionar séries duplas com séries iteradas, mas discutiremos apenas séries absolutamente convergentes. O resultado que segue, embora bastante elementar, constitui útil critério para a convergência absoluta das séries duplas. 36.9 Lema. Suponhamos que a série i_terada í:j~.q L~t llxull seja convergente. En~

l

'j

.. i''

tão a série dupla E (xii) é absolutamente convergente.

i;

'l ~ )

'~ l'

;I

282

I

E

'

( Demonstração. Por hipótese, cada série Zi 1 llxoll converge para um número ai, j E .Pf. ·Além disso, a série Z (ai) converge para um número A. É claro que A é cota> superior do çonjunto (36.7). · Q.E.D. ·-~

A

36JO Teorema. S,eja a série dupla "Z (xi.i)absolutamente convergente para x emRP. Então àmbas as séries iteradas ··

(36.8)

)

~..

converge.(TZ para x. .. .. .. . . . -P~monstr~ção. Por _hipótese> existe um número real positivo A que é cota superior do conjunto (36.7). Fixado n~ observemos que ·· ' :.... · ·:· · "

';·

,.,..

m.

n

L llx~.. !l < i"'lL L llxlíll ;s; A,

i~l

m .

.

..

'

(

(

~~~"'" -

'

Em vista da relacão •

=I +I 'M.'S' "'

Sm.n

xll X12+

i-l

inferimos que

. .:

lim (s,.,") nt

···+L

o:ó

t~l

Xi2

(

'

( .ao

.;Q

(

(

Xin.;

i-1

= iL Xn + L -l •'

(

( m

Xu

'

('

e,

"'

(

(

fat

para cada em N. Segue~se, 4ssim, que, para pada n §JY, a série simples Í.:~t (xm) converge absolutámerite para um elemento Yn em RP. ·· ·· · ·· · . Se e> O, sejaM(e) tal que sem, n > M(e), então

(36. 9)

(

(

"l '

'' ',

(

+ · · · + i-1 L x,,.

(

(

( '

Pa..;;sando ao limite em (36.9) em relação a m, obtemú's a relação

,Ê Y1-x1 < ~,'

I

r- t

'

n2:

.

(

M(e).

t /

que a primeira soma iterada em (36.8) existe e é igual a x. Demonstração análo· ga aplíca,-se à segunda soma iterada. . ·. ·· Q.E.D.

.~s,toprova

Há ov.tro método para somar séries duplas, a saber, ao longo das diagonais i ,l;.

-~ :'

•

'

t'

:

•

.

+ j = n.

•

· 36.11 Teorema. Suponhamos que a série dupla "Z (xo) convirja absolutamente para x em RP. Definindo tlt = X(j = Xt,k;- t + X'l:,k-2 + ... + Xk-1,1>

L

i+í~k

então a série Z(tk) converge absolutamente para x. Demonstração. Seja A o supremo do conjunto {36.7). Notemos que "'

"

Logo, a séri~ :E (tk) é absolutamente convergente; resta mostrar que converge para E >O eM tal que M

A --e <

x: Seja

M

L I llx;;ll

( (

'

( '

(

"

j::.odiwl

(

(

L llt~clls I Illx•illsA.

k""''.:.!

(

(

(

' )

(

;S;A.

\

j - t 1- I

( 283

"•

'

( {

'

'

\

·'

Se m, n ?::M, segue-se que l!smn - SMMII não supera a soma E (l!xuiO estendida a todos os pares (i,j) que satisfazem ouM
(

g I

donde decorre que x =- Z'tk.

Q.E.D.

c

I

I 1

t.. '

MULTIPLICAÇÃO DE CAUCHY

No decorrer do processo de multiplicação de duas séries de potência e grupamento dos termos de acordo com as potêncías, surge de modo assaz natural um novo método de geração de uma série a partir de duas séries dadas. Nesse contexto, é conveniente indicí(J.r os termos da série por O, 1, 2, ...

36.12 Defmição. Se I:i=o (y 1) e I:f"= o CzJ) são séries infinitas em RP, seu produto de Cauchy é a série 'Ek'=o (Xk ), onde Xk

'

l'

l

= y0

· Z~:

é

+ Yt · Z~t-1 + · ··. + Yk • Zo.

Aqui o ponto denota o produto interno em RP. De maneira análoga podemos definir o produto de Cauchy de uma série em R e de uma série em RP. Pode parecer estranho que o produto de Cauchy de duas sérles convergentes nem sempre seja uma série convergente, Vê-se, todavia, que a série

t

tJ

J_-1)~

~~o .Jn + l é convergente, mas o termo de ordem n do produto de Cauchy desta série por ela mesma é

t[ .Ji. .J1n-+ 1 + .J21.,/;1 +... + .f;; +11 .Jl1·

(~ 1

Como há n + 1 termos entre colchetes e cada termo excede 1/(n + 2), os termos do produto de Cau· chy não tendem para zero, logo, este produto de Cauchy não pode convergir.

é

36.13 Teorema. Se as séries I:~oYt e 'Eb:ozt convergem absolutamente para y, z

3

em RP, então seu produto de Cauchy converge absolutamente para y • z.

Demonstração. Se i, j =O, 1, 2, ... , seja XiJ =Yi • Zj. A hipótese implica convergência da série iterada tj:- 0 0 llxul\. Pelo Lema 36.9, a série dupla L (xii) converge absolutamente para um número real x. Aplicando os Teoremas 36.10 e 36.11, inferimos que am· bas as séries ,

"E;:

convergem para x. Verifica-se facilmente que a série iterada converge paray - z e que a série diagonal é~ produto de Cauchy de L (y 1) e L (zi)Q.E.D. No caso p = 1, foi demonstrado por Mertens 5 que a convergência absoluta de uma das séries é suficiente para acarretar a convergência do produto de Cauchy. Além disso, 5

284

Franz (C. 1.) Mertens (1840·1927) estudou em Berlim e lecionou em Cracóvia e Viena. Contriw buiu principalmente para a geometria, teoria dos números e álgebra.

Ir

a

T Cesàro provou que as médias aritméticas das somas parciais do produto de Cauchy conver· gem parayz. (V. Exercício 37.0, P.) EXERCÍCIOS

36.A. Consideremos a série

onde os sinais comparecem aos pares. É convergente? 36. B. Seja an E R para n E N e seja p < q. Se a série E (anfn.P) é convergente, então a série :t (anfnq) também converge. 36. C. Se p e q são números estritamente positivos, então

.. . convergente. e" uma sene 36. D. Discuta a naturez.a das séries cujo termo genétíco é n"

n~

(a) (-tt (n + l)"* 1 ,

(b) (n + 1)R+1'

(c) (-l)~(n+l)"'

1)" (d) (nn+ ..... ~

n"

'

36.E. Seja :t (an) uma série de números reais. Então, prove que E {bn) converge, ou dê um con· tra-exemplo, quando bn. é definído por

(a) a../n,

(b)

(c) a, sen n,

(d) (f)

(e) n "a,.., 11

36.F. Mostre que a série

-fã:.tn (a.. > O), J a.Jn (a.. 2.: O). a,./(l+!a,.J).

1 1 1 1 1 1 +----+-+---+ +- ...

2

3 4

5 6

é divergente.

36. G. Omitindo-se a hipótese de (tn) ser decrescente, mostre que o Teste das Séries Alternadas, 36.7, pode falhar. 36. H. Para n E N, definamos c por

Mostre que (cn) é uma seq Uência decrescente de números pos ítivos. O ümíte C desta seqüência é a cha* mada Constante de Euler e é aproximadamente igual a 0,577. Mostre que, fa?.endo

1 1

1 2

1 3

1 2n •

b =---+-- .... · - ..

a seqüência (br) converge para log 2. (Sugestão: bn 36. I. Seja t; (amn) a série dupla dada por a,._ft

=

+ 1,

=c

1 1'1-

c 11

+ log 2.)

sem-n""-'1,

= -1,

sem-n=-1 1

=

nos demais casos.

o.

285

Mostre que ambas as sornas iteradas existem, mas são diferentes, e que a soma dupla não existe. Todavia, se (smn) denota as somas parciais, então lirn (snn) exíste. 36.1. Mostre que se a série dupla e as séries iteradas de J: (amn) existem, então são todas iguais. Mostre que a existência da série dupla não implica a existência das séries iteradas; de fato, a existência da série dupla não implica sequer que limn (amn) =O para cada m. 36. K Mostre que se p > 1 e q > 1, então a~ séries duplas

. '

.

.

l I'

I f

I'' '

e c

I!'

são convergentes. 36. L Decompondo :E (1/n~) em partes par e ímpar, mostre que

1

.'

f

_;.,.4

n~!

limite'?

n

f ....

<]

4 :~= f (2n) 3

1

1

n-l

.

(2n -1)

2"

+ b' + a3 + P + · · · converge. Qual o

36. M. Se !a!< 1 e !bl < 1, prove que a série a + b +a'

36. N. Se :E (a h) e :E (b ~) são convergentes, então l: (anbn) é absolutamente convergente e

,.,b

"'. "Ç'

< l"

L..., " -

t

2\112

/>

L""" J

J"Ç' tL..,

b 2ll/J n

J

·

Além disso, E (an + bn) 1 converge e

{2: (a,+ b~)~}l/2 :$ {I a,l}"~+ {I b.~}

~I '

112

-

36. O. Prove o Teorema de Mertens: Se E (an) converge absolutamente para A e :t (bn) converge · para B, então seu produto de Cauchy converge para AB. (Sugestão: Denotando por An, Bn, C11 , respectivamente, as somas parciais, mostre que lim (Cln - AnBn) =O e lim (C1 n+l - AnBn} = 0.] 36.P. Prove o Teorema de Cesàro: Se .r: (!ln) converge para A e E (bn) converge para B, seja r; (cn) seu produto de Cauchy. Se (Cn) é a seqüência de somas parciais de J: (c11 ), então

(

-1 (c~+ c2 + · · ·+C,) ~ AR

{Sugestão: Escreva CI + ... + o fato que An ->A e Bn-> B.}

I'

I IL

i Ii I

Ií I

lI

n

c1l

=A I Bn. + ... + A nB I ; de com ponha esta soma em três partes; use

s

SEÇÃO 37 SERJES DE FUNÇÕES

Em vista de sua importância e freqüente ocorrência, apresentamos a seguir um estudo das séries infinitas de funções. Como a convergência de uma série infinita é estudada examinando-se a seqüéncia de somas parciais, as questões relativas a séries de funções são estudadas examinando-se as correspondentes questõeS para seqüêncías de funções. Por isto, parte desta seção nada mais é que a tradução, para a terminologia das séries, de fatos já estabelecidos para seqüências de funções. É o caso, por exemplo, das séries gerais de funções. Na "Segunda parte da seção, entretanto, ao abordarmos as séries de potências, surgem algumas caracteristícas novas devidas à natureza especial das funções consideradas. 37.1 Definição. Se ifn) é uma seqüência de funções definidas em um subconjunto D de RP com valores em Rq, a seqüência de somas parciais (sn) da série infmita 2; (f,~) é definida para x em D por

St(X) = /J(X),

Jl

'l

I

~I

Jl

i

r '

286

J

g

c ~

~

~

..

~

...

.

...

~

.........

~

......

!.

(

1

"L

'i;

i

I

....

i

p

:!

''

il

"!

s

!

[ = f,(x) + fa(x)], .......

r

i

Li

·I'i

(

f,. ,.;-, ,,'· '

lI

a

'

Se a seqüência (s,J converge em D para uma função f, dizemos que a série infinita de funções :B ifn) converge para/ em D. Costuma-se escrever

I

Ií ,)

....

2: (f.. ),

ou>··

I

f,

37.2 Teorema. Se In. é contínua de D ç: RP em Rq para cada n E H, e se :E lfn) converge para/uniformemente em D, então f é contínua em D. Ê uma apJ)cação direta do Teorema 24.1 às séries. O resultado que segue é uma tradução do Teorema 31.2.

37.3 Teorema. Suponhamos que as funções com valores reais fn, n EN, sejam inte-

gráveis segundo Riemo.rm-Stieltjes em relação a umá função monotônica g no intervalo f= [a, b ]. Se a série :E (j~) converge para f uniformemente em f, então f é RS-integrável em relação a g e

Reformulemos a seguir o Teorema da Convergência Monotõnica, 31.4, em linguagem de séries. 37.4 Teorema. Se as funções f,~ são funções positivas R-integráveis em J =[a, b ], e se sua soma f= 1; ifn) é R-integrável, então

b

.. fb

f t= L a

.n~t

37.5 Teorema. Para cada n EN, seja In

! !

~ I,

,,'

l

(•,

(

( ( (

( ( (

a

(

( ( (

f,..

f

I,

.'Passemos agora ao teorema correspondente para o caso da diferenciação. Aqui, admitimos a convergência uniforme das séries obtidas após diferenciaçao termo-a-termo da série dada. O resultado é uma conseqüência imediata do Teorema 28.5.

função com valores reais definida em J =[a, b] dotada de derivada f' em J. Suponhamns que a série infinita i:: ifn) seja convergente em ao menos um ponto de J e que a série de derivadas :E (f~) seja umformemente converge em J. Então exlste uma função f com valores reais, definidas em J, tal que :E ifn) converge uniformemente para f em J. Além disso, f tem uma derivada em J e (37.3)

f:

(

.

i

(

(

(37.1)

I

\,

(

·para denotar seJa a série, seja a função limite, quando existe. Se a séríe L ( llfn (x)!l) converge para todo x em D, dizemos que E ifn) é absolutamente convergente em D. Se a seqüência (sn) converge uniformemente parafemD, dizemos que i; (fn) é uniformemente convergente em D, ou que converge para f wliforme-menteemD. Urna das principais razões para o interesse nas séries uniformemente convergentes de funções é a validade dos resultados seguintes, que dao condições que justificam a in ver· são de ordem da somação e de outros processos de limite.

(37.2)

(

Umll

(

(

(

( (

(

r= L t~-

(

TESTES PARA CONVERGÊNCIA UNIFORME Como mencionarnos algumas conseq üencias da convergência uniforme de séries; apresentaremos alguns testes que permitem estabelecê-la.

287

( .. \

( I \

. .: '

(

"· .

.'

37.6 Critério de Cauchy. Seja ifn) uma seqüência de funções de D CRP emR'l. A série infinita E (f,) é uniformemente convergente em D se e somente se, para todo e >O, existe um M(e) tal que sem :C.n zM(e), então

(37.4)

J!f,+fn+l+· · ·+f.,..llo
A demonstração deste resultado é imediata a partir de 17.11, que é a forma corres-

pondente do Critério de Cauchy para convergência uniforme de seqüências.

37.7 Teste~M de Weierstrass. Seja (M,.) uma seqüência de números reais não-negati· vos tais que llfn !!v
te D

Demonstração. Sem> n, temos a relação

m ge

\lf, + ' · '+ {m !lo :;;; l!f, llo + · · · + 1\f, llo :5 M" + · · · + M,..

UI

A asserç;ão decorre do Critério de Cauchy, 34.5 e 37 .6, e da convergência de L: (Mn ).

Q.E.D.

Os doís resultados seguintes são úteis para estabelecer a convergência uniforme, quando a convergência não é absoluta. As demonstrações se obtêm modificando-se as demonstrações de 36.2 e 36.4, e são deixadas como exercício.

Sl

37.8 Teste de Dirichlet. Seja (f,) uma seqüência de funções de D Ç,.RP em Rq tais

dt de

que as somas parciais

nEN,

(

I

l

sejam todas limitadas na norma de D. Seja (({Jn) uma seqüência decrescente de funções de D em R que converge uniformemente em D para zero. Então a série "'E(t.pnfn) com•erge uniformemente em D.

or

37.9 Teste de AbeL Seja .E lfn) uma série de funções de D C RP em Rq uniforme· mente convergente em D. Seja (;pn) uma seqüência monotônica de funções em D com valores reais, limitada na norma de D. Então a série "'Z(IPnfn) converge uniformemente

{

'·

C(J

I I

I

emD.

CC

de

:E;= 1 (xn /n 2 ). Se lxl ~ 1, então lxn /n 1 1S:.

(3

(b) A série obtida por diferenciação termo-a-termo da série em (a) é !:;;'=I (xn -l /n). O Tetste·M de Weierstrass não se aplica ao intervalo {-1, 1 ], de modo que não podemos utilizar o Teorema 37 .5. Vê-se, de fato, que a série de derivadas não é convergente em x L Todavia, se O< r< 1, a série geométrica :t (r" -t) converge. Como

de o

37.1 O Exemplos. (a) Coftsideremos a série

1/n 2 • Como a série :E(lfn 2 ) é convergente, segue-se do Teste-M de Weierstrass que a série dada é uniformemente convergente em [-1, 1 ].

=

\

ac

l

n-a n-l - - s;r

co

X

n

para lx! S:,r, decorre do Teste-M que a série diferenciada é uniformemente convergente no intervalo [-r, r]. \

.l

li

(c) Uma aplicação direta do TesteM (com Mn nx é uniformemente convergente para todo x ER.

288

= 1/n 7.) mostra que í.:: =1 (lfn 2 ) sen

l .l

r e:

qt co

(d) Como a série harmônica Z (1/n) diverge, não podemos aplicar o Teste-M a

L (1/n) sen nx,. <»

(37.5)

n-1

I

I l

1~

Todavia, da discussão no Exemplo 36.8(d) decorre que, se o intervalo J =[a, b] está contido no intervalo aberto (O, 2rr)) então as somas parciais sn(x) = :E~=n sen kx são uniformemente limitadas em J. Como a seqüência (1/n) decresce, tendendo a zero, o Teste de Dirichlet, 37 .8, implica que a séríe (37 .5) é uniformemente convergente em J.

(e) Consideremos 2:;=1((-lt/n)e-nx no intervalo/= [O, I]. Como a norma do termo de ordem n em I é 1/n, não podemos aplicar o Teste de Weierstrass. O Teste de Dírichlet é aplicável desde que provemos que as somas parciais de 1:; ((-lt e-nx) são li· mitadas. Como alternativa, podemos aplicar o Teste de Abel, pois :E((-1)"" /n)) é convergente e a seqüência límitada (e-~'~x) é monotôrúca decrescente em I (mas não convergente uniformemente para zero).

SÉRIES DE POTÊNCIAS Passemos agora ao estudo das séries de potências. Trata-se de uma classe importante de séries de funções que goza de propriedades que não são válidas para séries mais gerais de funções.

37.11 Definição. Uma série de funções reais E (f,) é chamada série de potências com centros em x =c se a função fn tem a forma

/n(x)

= an(x- cY\

onde an e c pertencem a R e n =O, 1, 2, ... Por questão de simplicidade de notação, abordaremos apenas o caso c= O. Isto não acarreta perda de generalídade, pois a translação x' = x -c reduz uma série de potências com centro em c a outra com centro em O. Assim~ sempre que nos referirmos a uma série de potências, teremos em mente uma série da forma (37 .6)

,.

L a,.x" =ao+ a1x + · · · + a,x" + · · ·.

,~o

I

Mesmo que as funções que aparecem em (37 .6) sejam definidas para todo R, não se deve esperar que a série (37 .6) seja convergente para todo x E R. Por exemplot aplicando o Teste da Razão, 35.8, podemos mostrar que as séries <»

'\' L

'" n.x,

convergem se x pertence aos conjuntos

I~~

{O},

{xER:jx!
respectivamente. Assim, o conjunto no qual uma ~érie de potências converge pode ser pequeno, médio ou grande. Todavia> um subconjunto·arbítrário de R não é, em geral, aquele conjunto no qual uma série de potências converge. 289

'

'

Se (bn) é uma seqüência de números reais não-negativos, então definimos o linúte superior de (bn) como o ínfimo dos números u tais que bn
'

.·

:

'

Na seção 18 demos algumas outras características e propriedades do limíte superior de uma seqüência, mas a única coisa que nos interessa é que (i) se v> li.rn sup (bn ), então bn v para todo n EN suficientemente grande, e (ü) se w < lim sup (bn), então w < bn para infinitos n E N. 37.12 Defmição. Seja L (anxn) uma série de potências. Se a seqüêncía (la 11 1 11 ~'~) é li· mitada, façamos p =lim sup (lànl 1m); se esta seqüência não é lírnitada, façamos p = +=. Definimos o raio de convergência de L (anxn) como R =O, se p """ +oo,

s

I

l

í! i

I I

II

"""1/p,

se

O< p <+oo,

=+co,

se

p ""'O.

O intervalo de convergência é o intervalo aberto (-R,R). Justifiquemos o tenno "raio de convergência". 37.13 Teorema de Cauchy~Hadamard. 6 Se R é o raio de convergência de uma série de potências L (anx"), então a série é absolutamente convergente se lxl R. Demonstração. Abordaremos apenas o caso O< R<+=, deixando como exercícios os casos R= O, R=+=. Se O< lxl
s

Ja,x" I s c"

(37.7)

'

l

! ~'

l (

t

'

'j

Note-se que o Teorema de Cauchy·Hadamard nada afirma quanto à convergência da série de po· tências no caso 1x1 =R. Na verdade, aí tudo pode acontecer, como mostram os exemplos

1

(37.8)

2: n

-x~

'

;

(

I'

Como Um (n 1m)= 1 (cf. 14 .B(e)j, cada uma desta séries de potência tem raio de convergência igual a L A primeira série não converge em nenhum dos pontos x 1, x = + 1; a segunda converge em

.. i

6

'

' !'

=-

290

Jacques Hadama.rd (186 5·1963), decano dos ma temáticos franceses por longo tempo, foi admitido na Escola Politécnica o mais alto grau obtido no primeiro século da instituição, Foi sucessor de Hen.ri Poíncaré na Academia de Ciências e provou o Teorema dos. Números Primos em 1896, embora tal teorema já tivesse sido conjecturado por Gauss muitos anos antes. Hadarnard deu relevantes contribuições à teoria dos números, análise complexa, equações diferenciais parciais, e até mesmo à psicologia. ·

com

{

'f

!

1

t

(

1

!

t •

( ( \

')

}

c

.'

para todo n suficientemente grande. Como c < 1, a convergência absoluta de L (anxn) de· corié do Teste de Comparação, 35.1. Se lxl >R : : : 1/p, então existem infinitos n EN para os quais !anx11 I> 1/lxl. Por· tanto, lanl 1111 > 1 para infinitos n, de modo que a seqüência (anxn) não converge para zero. Q.E.D. '

(

.. :

l (

f

( x = -1 mas diverge em x = I; e a terceira série converge tanto ern x = -1 como em x =+L (Obtenha uma série de potências com R = 1 e que seja convergente em x = + 1, porém divergente em x = - 1.)

;

!

\

''

.' '"

'

'

'\

lim(J~), !·atl+ d

(

desde que o limite exista. Em geral é mais conveniente utilizar (37 .9), em lugar da Definição 37.12. O argumento usado na demonstração do Teorema de Cauchy-Hadamatd dá a convergência uniforme da série de potências em qualquer subconjunto compacto fixo do in~ tervalo
.i '

I

; /'

''I

(

\

(

( /'

'

;

t

;

37.14 Teorema. Seja R o raio de convergência de L; (anxn) e seja K um subconjunto compacto do intervalo de convergência (-R, R). Então a série de potências converge uni· formemente em K.

(

'

(

\

Demonstração. A compacidade de K C (-R. R) implica a existência de uma constante positiva c< 1 tal que lxl
(

37.15 Teorema. O limite de uma sén'e de potências é contlnuo no intervalo de convergência. Uma sén'e de potências pode ser integrada termo-a-termo em qualquer intervalo compacto contido no intervalo de convergência. Demonstração. Se lxol
'~

(

Fica como exercício mostrar que o raio de convergência de :E (anxn} também pode ser dado por (37.9)

I

(

37.16 Teorema da Diferenciação. Uma série de potências pode ser diferenciada termo-a~termo em seu intervalo de convergência. De fato, se f(x) =

""

L (arox"),

então

f'(x) =

""

L (na"x''-

'·

( ...'

( ( ( (' ,•

.,

(

''

l

í' '

).

(

,•

( ''

(

\ ,•

( ,/..'

( "' (

1

;

.... 1

\

/

{

Ambas as séries têm o mesmo raio de convergência.

\

Demonstração. Como lim (nun) = 1, a seqüência (lnan:lvn) é limitada se e somente se a seqüência (lanlt'n) o é. Além disso, vê·se facilmente que

(

(

j '

{ i'

( 291

I

'

.,

;

(

<

·'

í

Portanto, o raio de convergência das duas séries é o mesmo, de modo que a série diferenciada formalmente é uniformemente convergente em cada subconjunto compacto do in· tervalo de convergência. Podemos então aplícar o Teorema 37.5 para concluir que a série diferenciada formalmente converge para a derivada da série dada. Observe-se que o te.orema nada afirma sobre os extremos do intervalo de convergência. Se uma série é convergente em um extremo, então a série diferenciada pode ser convergente ou não aí. Por exemplo, a série :o (x"/n 2 ) converge em ambos os extremos x = -1 ex= + l, mas a série d iferencíada

s j

r

·r:;;

converge em x = -1 mas diverge em x

=+ 1.

(

A aplicação repetida do resultado precedente leva-nos a concluir que, se k é um nú· mero natural, então a série de potências 2:: ;;"=o(a 11xn) pode ser diferenciada termo-a-termo k vezes, obtendo-se . (37.10) Além disso, esta série converge absolutamente para t se lxl
r· (0) = kta".

(37.11)

1

37.17 Teorema da Unicidade. Se L; (a 11 x") e :L: (bnX 11 ) convergem em um intervalo (-r, r), r >O, para a mesma função[, então

(

s

e t r

d

(

p

r v

an = b,. pàra todo n E N.

li ~·

li

I

li

~·

~

Demonstração. Nossas observações precedentes mostram que n! a11 = t(o) ""'n! bn para n EN. Q.E.D.

[I

ALGUNS RESULTADOS ADICIONAIS 7

Há não poucos resultados relativos a várias combinações algébricas de séries de po-

tências, mas os que envolvem substituição e inversão se demonstram de modo mais natu· ral com auxt1io da análise complexa. Por isto, não entraremos em tais detalhes, contentando-nos coro um resultado nessa direção. Felizmente, trata-se de um dos resultados mais úteis. 37.18 Teorema da Multiplicação. Se f e g são dadas no intervalo (-r, r) pelos séries de potências

f(x) = L a,.x'', ""

.. -o

j

'·

L b.,x",

c,.= 7

292

L al
k "'0

e:

(

o

n~o

~·

n

'

l,•

g(x) =

"'

então seu produto é dado nesse intervalo pela série E (cnxn:), onde os coeficientes (cn) são

i

I I

d

para n =O, 1, 2, ....

O resto desta seção pode ser omitido em uma primeira leitur<3.:...

c

Demonstração. Vimos em 37.13 que, se lxl
·, , .. -t

O Teorema da Multiplicação afirma que o raio de convergência do produto é, no mínimo, igual a r. Pode ser maior, como se mostra facilmente. Vimos que, para que uma função f seja representada por uma série de potências em um intervalo (-r, r), r> O, é necessário que todas as derivadas de f existam nesse intervalo. Poder-se-ía suspeitar que tal condição seja também suficiente; as coisas, todavia, não são tão simples. Por exemplo, a função f dada por (37.12)

f(x) =

e-1r.:::,,

=o,

x:r=O, X

=0,

(cf. Exercício 37.N) tem derivadas de todas as ordens e t(o) =O para n =O, 1, 2, ... Se f pode ser representada em um intervalo (-r, r) por uma série de potências com centro em x =O, decorre então do Teorema da Unicidade, 37.17, que a série deve se anular identicamente, o que contraria o fato de que f{x) *O para x *O. Não obstante, podem-se dar algumas condições suficientemente úteis para garantír a representação de f por uma série de potências. Como exemplo, notemos que, do Teorema de Taylor, 28.6, decorre que, se existe uma constante B >O tal que (37.13)

• lf"l(x)jsB

para todo lxl
37.19 Teorema de Bernstein. Seja f definida no intervalo [0, r]; dotada de derivadas de todas as ordens aí, e suponhamos que f e todas as suas derivadas sejam positivas em [O, r]. Se O ~ x
f(x) =

f

j<">(o) x". ,. .. o n!

Demonstração. Utílízaremos a forma integral do resto do Teorema de Taylor dada em (31.3). Se O ~x
f(x)

= 1<•0 L

n-1 fk)(Q) .

k!

x" +R .. ,

onde

Como todos os termos na soma (37.14) são positivos, (37 .15)

I

f(r) > __ r___ (1- sr-lt"}(sr) ds. (n- 1)! o n-1

I

293

Como t
Combinando (37 .15) e (37 .16), temos O < Rn S, (x/r lím (Rn) =::0. .I

t- 1f(r).

Logo, se O S, x
Q.E.D.

Vimos no Teorema 37.14 que uma série de potências converge uniformemente em todó subconjunto compacto de seu intervalo de convergência. Todavia, não há razão a priori que nos leve a crer que tal resultado possa ser estendido aos pontos extremos do intervalo de convergência. Existe, entretanto, um teorema devido a Abel segundo o qual, se a convergência se verifica em um dos extremos, então a série converge uniformemente até esse ponto inclusive. Para simplifica.r notação, suporemos igual a 1 o raio de convergência da série. Isto não acarreta perda de gener~Hdade, pois basta toma.r x' =xfR, o que nada mais é do que uma mUdança de escala.

3 7.20 Teorema de Abel. Suponhamos a série de .potências L;;' =o (anx") convergente para f(x) se lx! < 1 e í:;;' :::::a(ah) convergente para A. Então a série de potências converge uniformemente em I= [0, 1] e (37.17)

(

( (

j

lim f(x) =A.

x-1-

Demonstração. Aplica-se o teste de Abel37.9, comfn(x) =an e IPn(x)=x". para obter a convergência uniforme de .:E (anx") em I. Logo, o limite é contínuo em I; como ~ igual af(x) para O< x < 1: tem·se a relação limite (31.17). Q.E.D. Uma das coisas mais interessantes sobre este resultado é que ele sugere um método de atnbuir um limite a uma série que pode não ser convergente. Assim, se z; =t (bn) é uma série infinita, podemos formar a série de potências correspondente .:E (bnxn). Se os bh não aumentam muito rapidamente, esta série de potências converge para uma função B(x) para !xl - {3 quando x-+ 1 -, dizemos que a série :E (bn) é somável segundo Abel em relação a {3, ou tem soma de Abel {3. Este tipo de somação é análogo ao (porém mais poderoso do que o) método de Cesàro mencíonado na seção 19 e tem pro· fundas e interessantes conseqüências. O conteúdo do Teorema de Abel, 37 .20, é análogo ao Teorema 19.3: afirma que se urna série já é convergente, então é somável segundo. Abel em relação ao mesmo limite. A recíproca, entretanto, não é verdadeira, pois a série L:;;' ""'o(·-1 Y"~ não é convergente, mas como

1 l+x

=f (-l)"x", ,.,.o

segue-se que i: ( ~ 1t tem SOID
294

(

( )

l

.

8

{/ Nosso teorema final constitui um resultado deste tipo e foi provado pór A. Tau* 8 bers em 1897. É uma recíproca parcial do Teorema-de AbeL ' <

{

37.21 Teorema de Tauber. Suponhamos que..a _s,~rie de potências :E (anx 11 ) seja convergente para f(;<) quando !x! < 1 e_ que lirn (nan) ·O. Se limf(x) =A quando x -'1-1-, então a série ~ (an) converge para A. Demonstração. Devemos estimar diferenças tais como EN (an)- A. Para tanto, escrevamos

.~o

(37.18)

a,- A=

Lto

( '

a,.- f{x)} +{f(x)- A}

N

""

""'O

N+t

(

=L a.. (1-x")- L a,.x"+{f(x)-A}.

(

ComoO:S:x~ =onan.. Por hipótese, lim (nan) =O; logo, o Teorema 19.3 implica 11

11 - 1

.

(

1

( \

( ( '

)

hm m + 1 r~~o na.. =O. m

Além disso, temos a relação A =lim f(x ). Seja agora e> O e escolhamos um número natural fixo N suficientemente grande para que (i)

(íi)

If ~anl .... o

(iii) lf(xo)- A

para todo n ;:;:: N;

i< e

para

Xo

(

= 1- N :1- 1 .

(

"

Avaliaremos a magnitúde de (37 .18) para este valor de f{ e x 0 ·.De (i), (ii) e (iü) e do fato que (1 - x 0 )(}1 +I)= 1, deduzimos a estimativa

l

N

...~o a.. -A

I:5:(l-x0)(N+l)a+Nhl~xo+s<3f;,

Como isto pode ser feito para cada A.

X N+l

e> O, está estabelecida a convergência de

L (an) para

Q.E.D.

37.A. Discuta a convergência e a convergência uniforme da_série I: (/,d. quando /n.(x) é dada

c ( (

(b) {n.x)-\ xr!' O, (d) (x" + 1r\ x o=: o, {f) (-l)"(n+.xr\ x

(

r

por

8

(

(

EXERCICIOS

{a) (xl+n.lt\ (c) sen (xJn.l), (e) xA(x" +I f', x ~ O,

( (

<(.N + l)e;

la, I< N: 1

/

\

;2:;

(

o.

c

Alfred Tauber (1866,194 7) foi professor em Viena. peixou contribuições para a análise.

295

( ( ( \

;J·'

;. r r

, 1

·,··

3 7. R Se E (an) é uma série absolutamente convergente, então a série E (an sen nx) é absoluta e uniformemente convergente. 37. C. Seja (cn) uma seqüência decrescente de números positivos, Se E (cn sen nx) é urúforme· mente convergente, então lim (ncn) =O. 37. D. Dê os detalhes da demonstração do Teste de Dirichlet, 37 .8. 37.E. Dê os detalhes da demonstração do Teste de Abel, 37.9. 37.F. Discuta os cas,9s R= O, R=+"" no Teorema de Cauchy·H.adamard, 37.13. 37. G. Mostre que o raio de convergência R da série de potências E (anxrt) é dado por lim {lanl/lan*l I) desde que. tal limite exista. Dê exemplo de uma série de potências para a qual este limite não existe. 37. H. Determine o raio de convergência da série E (anx"), onde an é dado por

:.. l•'

(a) 1/n ~, (c) n "In!. (e) (n !) 2 /(2n)!,

(b) n"/n!, {d) (log n )-'. n (f) n ~""'"-~

;?t;

~

2.

3 7. L Se an "" 1 quando n é o quadrado de um número natural e an =O em caso con trárío, determine o raío de convergência de B (anxn). Se bn = l quando n m! para mE N e bn =O em caso contrário, de.termine o raio de convergência de !; (bnx 11 ). 37.J. Prove, com detalhes, que lim sup (lnanl 1rn) = lim sup Oan! 1m). 37. K. Se O < p < lanl < q para todo n E N, determíne o raío de convergência de!; (anxn). 37. L. Seja [(X)= E (anxn) para !XI< R. Se f(x) =f( -x) para todo Jxl
=

il·· ,' t ''' ~:

!I'· . i.·l;

li

: '!,

~~ i I;

'. •· '

!,' I

j Ji i .

.. r)
converge para /(x) se \XI O, mas que não é igual a esse desenvolvimento se x < O. 37.P. O argumento esboçado no Exercício 28.M mostra que se pode usar a forma do resto de Lagrange para justificar o Desenvolvimento Binomial geral

1 ~ •.

.'· J,

(1 +x)"'

I

;\

I 11 i

~:

=f (m)x~ n n-o

quando x está no intervalo O < x < 1. Da mesma forma, o E:xercfcio 28.N torna válida esta expressão quando -1 < x
g(x)=(l-x)m,o
37 .Q. Considere o de.~envolvimento binomial nos extremos x::::: ± 1. Mostre que se x == -1, a sé· ri e converge absolutamente se m ~O e diverge se m < O. Em x = + 1, a série converge absolutamente se m > O, converge condicionalmente se -1 < m < O e diverge param < -1. 37 .R. Seja f(x) tan x para lx! < 'IT/2. Use o fato que f é ímpar e o Teorema de Dernstein para mostrar que f é dada nesse intervalo por seu desenvolvimento taylóriano na vizinhança de x =O. 37.S. Use o Teorema de Abel,para prov
=

t~

1.·

296

desde que a série à direita seja convergente, mesmo que a série original não o seja em x =R. Decorre da{ que 'ir·.:_

4

·f (-1)"

.. -o 2n + 1 ·

37. T. Aplicando o Teorema de Abel, prove que se a.~ séries E {an) e !: (hn) convergem e se seu produto de Cauchy E (cn) converge~ então E (an) • E (bn). 37 .U. Suponha an >O e que [(x} = :E (an.xn) tenha raío de convergência 1. Se E (a11 ) diverge, prove que [(x)-+ + oo quando x-+ 1-. Use este resultado para provar o teorema tauberiano elementar: Se an 2;: O e se

L a..x",

A = .'{.--llim

então !: (an) converge para A. 37. V. Seja ~~=o (pn) uma série divergente. de números posítivos tal que o raio de convergência de E (pn.xn) seja L Prove o Teorema de Appell:9 Se s =Um (aniPn), então o raio de convergência. de :E (anxn) também é 1 e

L a..x" Iím

·-~-

I

p,.x"

=

s.

(Sugestão: Basta considerar o casos""' O. Use também o fato que limx ..... t-[:E (pnxn)r 1 = 0.) 37.W. Aplique o Teorema de Appell com p(x) =- L:';=o (xn) para obter o Teorema de Abel. 37.X. Se (an) é uma seqüência de xeai'} e a0 =0, seja Sn :-a 1 + an e an = (s 1 + · · · + 10 sn)/n. Prove o Teorema de Frobeníus: Se s = lim {an) então

s = lim

..

I

;a:: ..... [ .... fli

•O

+· · ·

a,.x~.

Observação. Na terminologia da teoria da somabilidade, este resultado diz que se uma seqüência (an) tem soma de Cesàro s, então tem também soma de Abel s. [Sugestão: Aplique o Teorema de Appell a p (x)

= (1

- x)- 'l

=í.:;::::::

0

(nxn- 1 ) e observe que E (n • a~xn) ;:;;; p (x) E (anxn ).}

PROJETOS

3 7 .a. A teoria das séries de potência apresentada no texto estende-se às séries de potências complexas. (a) Em vista das observações feitas na seção 13, todas as defuúções e teoremas que têm sentído e são válidos para série:~ em R 1 são-no também para séries com elementos em C. Em particular, apli· cam-se imedíatamente os resultados referentes à convergência absoluta. (b) Examine os resultados relativos a reagrupamentos e ao produto de Cauchy, para ver se se estendem a C. (c) Mostre que os Testes de Comparação. da Raiz e da Razão se estendem a C.

9

Paul Appell (1855-1930) foi aluno de Hennite na Sorbonne. Fez pesquisas em análise complexa.

10

Georg Frobenlus (1849-1917) foi professor em Berlim. É conhecido por seus traballios tanto em álgebra como em análise.

297

(d) Seja R o raio de convergência de uma série de potências complexa "'

I

a,z".

Prove que a série conve!(se absolutamente se lz I
,.

37./3. Definimos a função exponencial em termos de uma série de potências. Defmi-la-emos para números tanto complexos como reais. (a) Seja E definida para z.

E

C pela série

E(z)=

.. zA

I

-r.

""""o n~

Mostre que a série é absolutamente convergente para todo em todo subconjunto limitado de C. '

z E C e que é uniformemente oonvergente

(b) Prove que E é uma função contínua de C em C, que E(O)

= 1 e que

E(z + w) ""E(z)E(w) para z, w em C. {Sugestão: O Teorema Binomial para (z + w) 11 vale quando z, w E C e n.E N.)J (c) Se x e y são números reais, defma E 1 e E~ por E 1 (x)=E(x), E)(y)=E(iy); daí, E(x + iy)::::: E 1 (x)El (y). Mostre que. E 1 toma somente valores :reais, mas que E~ tem alguns valores não-reais. Defma CeSdeR em R por

C(y) = Re Eiy), para y E R e mostre que

C(yl + y~) = C(y1)C(y1)- S(y~)S()'l), S{y! + :Y2) = S(yl)C(yl)+ C(y1)S(yl).

II

(d) Prove que C e S, tais como definidas em (c), admitem o desenvolvimento em série . _ ~ (-l}"y2" _ ~ (-l)"y'n"'l C(y}-.(;0 (2n)! ' S(y)-n~o (2n+1)!

=

. i! ;

(e) Mostre que C'= -S e S' =C. Logo {Ç2 + Sl )' 2CC' + 2SS' =O o que implica (!1- + Sl identicamente igual a 1. Em particular. isto implica que tanto C como S são cotadas em valor absoluto por L (f) lníira que a função E 2 de R em C verifica E 2 (O)= 1, E, (y 1 + Jl~)::::: E 2 (J•,}E, (y 1 ). Logo E~_(-y) = liE~ (y) e IE\ (y)l =1 para todo y em R. ·

I

SEÇÃO 38 SÉRIES DE FOURIER Daremos aqui a definição de série de Fourier 11 de uma função parcialmente contínua com período 211'. Embora sucinto, nosso estudo apresentará os principais teoremas de

I

.i

I

11

;

i r r

. I ' ''

I !

i

'• i

•'

298

(L -B.) Joseph Fourier (1768-1830) foi filho de um alfaiate francês. Educado num monastério, deixou-o para se dedicar a atividades matemáticas e revolucionárias. Acompanhou Napoleão ao Egito e foi postçriormente nomeado prefeito do Departamento de Isere, no sul da França. Dedicou sua vída ao seu mais célebre trabalho: a teoria matemática do calor. Esse trabalho constitui um marco na física matemática, e até hoje tem decisiva influência em ambos os campos.

)

r, •. •-!

convergência dq.s séries de Fourier. Esses teoremas têm considerâvel importância na análíse e nas aplicaçõe~ à física, Suporemos, no que seguej que f: R-+ R tenha período 2tr; ísto é, quef(x + 2n') = f(x) para todo x ER. Suporemos também f pardaltnente contínua, isto é", f é contínua exceto possivelmente em tiro número finito de pontos xj, ... , Xr de qualquer intervalo de comprimento 211', nos quais f tem limites laterais à direita e à esquerda: · f(x;-) = lirn f(x;- h), f(xi +) = lim f(xi +h). h-o

h-o k>O

I

,.

Denotaremos por PC(2tr) o conjunto de todas as funções [:R-+ R que têm período 2tr e são parciaímente contínuas. Vê~se imediatamente que tal conjunto é um éspaço vetorial em relação às. operações: (f+g)(x)=f(x)+g(x), (cf)(x)=cf(x), :XÉR. Em virtude da periodicidade de fEPC(2rr), basta investigar o comportamento de f em

t:

um intervalo de comprimento 2rr; por exemplo, temos f(x) dx

~ 1e+l.. f(x)

llf!l2 =

'

( ' .. ( "" •:,

('

\.

:;r

(L"" (f(x))

2

(

112

dx) ,

f

! '

( ( /'

38.1 Oefinição. Se [EPC(2n), então os'eoet1cientes de Fourier defs~o os números do, a1, a2, ... ~ bt, h-:u ... definidos por

'

f(t) cos nt dt,

(38.3)

!ao+

b,.

=!L:

f(t) Sen nt dt.

( ,.'•

'

I \

..

(

L (a,. cos nx + b,. sen nx).

Para indicar a associação da série de Fourier (38.3) com a função/, é costume escref(x) ~ 4ao +

t

(

it•l

ver

.~''

(

I

~

a"=~ f_'~

.,'

( .,. '·

Decórre. desta desigualdade _que a conve~gência na norma 11 ·11.:., (isto é, a convergência uniforme) implica convergência na norma ll " li i (isto é, convergência em quadrado médio). A recíproca, entretanto, hão é verdadeira. (V. Exercícios 3l.H e 38.L.)

A série de Fourier dé f é a série

L (a., cos nx + b.. sen nx). "'

( ( ( \

n~l

Saliente-se, todávia, que esta notação não sugere que a série de Fourier convirja paraf(x) em um ponto x em pártiCular. Na verdadé, existem funções contínuas co~_período 2rr cujas ~éries de Fourier são divergentes em um íhfinito dé pontos. (V. Burkhill e Burk.hill, pág. 317, e HeWitt e Ross, pág. 300).

número

·'

í\

\

(38.2)

J

"

"

l!f!lz < ;fi:;; llflloo-

'

,

/\

...( .

dx

que são bem definidas porque urna função em PC(2rr) é cotada e R-integrável. Fica éomo exetcício elementar mostrar que sê f E: PC(2n ), então (38.1)

"

(..

para qualquer c E R. No espaço PC(2rr) interessat-nos-ão as duas normas

l!fJI.., = sup {lf(x)l: x E[-n, -rr ]},

{

299

(

'·

( ,I ( '·

( ( !'

r;: ~;:. i'

I! Wl ·at

1

. 1!

38.2Exemplos. (a) Seja f 1 EPC(2n) definida em (-n,nJ por /,(x)=-1 para -n < x
i[ sen1 x + sen33x + sen55x + ... ] .

~I

~~I

~~~ . ''

..

\''

i~,~~

I i

I ~

7T

Provaremos adiante que esta série de Fourier realmente converge para [ 1 para O< lxl < n, mas n.ão converge para f 1 em x =O, ±n (por quê?). Note-se que / 1 é pardalmente contínua, mas não é contínua nos pontos de { nn : n E

zt.

.

·

(b) Seja fz EPC(2n) definida em ( -rr, rr] por f 2 (x)"" lxl. Mostre que a série de

Fourier de [ 2 é dada por

i i

'j

~ _ :!_ [ COS X+ COS 3 X+ COS 25 X+ . . . ] . 2

1

3

2

7T

2

;

I

5

I

I

É claro que esta série converge uniformemente em R; provaremos que converge para [ 1 • (c) Seja fEPC(2n) par, isto é, f( -x) = f(x) para todo x ER. Para tal função, os coeficientes bn, n ""'1, 2, ... , são todos iguais a zero, e

2 an =·'11'

i.,. f(t) cos n.t dt, o

n=0,1,2, ....

I!

{Note-se que a função em (b) é par.]

(d) Seja g EPC(2n) ímpar, isto é, g(-x) = -g(x) para todo x ER. Aqui os coeficientes de Fourier an, n =1, 2, ... , são todos zero, enquanto que b,. =2'11'

i.,.. g(t) sen nt dt, o

n=1,2, ....

[Note-se que a função em (a) é ímpar.} (e) Sejam f contínua em R com período 2n e sua derivada f' parcialmente contínua em R (e com período 2n). Relacionaremos os coeficientes de Fourier an, bn de f com os coeficientes de Fourier a~, b f.t, de f', para n = 1, 2, ... De fato, integrando por partes, temos

1 a~=1T

= !.

I ~

. .I i··

;,.

I

:.l

' l

i ,I

-"'

![f(t) cos nt [ •. -L: f(t)(-n) sen nt dt].

cos nt tem período 2n, vê-se que o primeiro termo se anula e, assim a~ = nbn, n = 1, 2, ... Analogamente, b~ =- nan, n -:- 1, 2, ... [N,ote-se que, se f 1 e fz são as funções em (a) e (b ), então ! 1 (x) =fí (x) para x e? {nrr: n E e que os coeficientes de Fourier para f 1 e fz para n = 1, 2, ... , satisfazern as relações acima.] No próximo lema, calcularemos o quadrado da distância, em relação à norma 11·11 2 , de f em PC(2n) a uma função arbitrária Tn da forma Considerando que t

I

f"' f'(t) cos nt dt

r+ f(t)

Zt,

:i

1

(38.4) 300

Tn(x) =~ao+

,..

L (ak cos kx + (jk sen kx);

k 11m l

I•

tal função costuma chamar-se polinômio trigonométrico de grau n. Para o cálculo, são úteis as relações .

t:

I j'

~

L:

t:

1I

I

• j l

j ;

=L:

sen kx sen nx dx = sen kx cos mx dx

(senkx) 2 dx =

L:

1T;,.,..

N,

E

k. n EN,

cos kx cos nx dx = O,

= o~

k, m

k~

n,

= O, 1, 2, ....

38.3 Lema. Se f E PC(27t) e T n é um polinômio trigonométrico de grau n {isto é, T n tem a forma (38.4)), então (38. 5)

llf - T,[kt = !lflh2 - 'lT{!ao2 +

t

1

(

Gk

2

+ bJe2)}

+ -rr{~(o:o- ao?+

I!

k

.

I

l

2

(cos kx) dx

f [{a~<- a"Y + (f3~<- bk}'

2 ]}.

lt-l

onde ak, bk denotam os coeficientes de Fourier de f Demonstração. Temos

llf- T..!k~ =

I:

=L~

t:

U(t)- T..(t)Y dt (f(t)J dt- 2

Vê-se facilmente que

f(t)T,.(t) dt =!ao

L:

L:

f(t)T,(t) dt

f(t) dt + ~~

+ = 7r{&aoao+

o:~c

+L:

L:

[T..(t)J~ dt.

f(t) cos kt dt

ktt {3k t: f(t) sen kt dt

f (akak + f3~
k-1

Além dísso, usando as relações citadas acima, vemos que

2

Inserindo essas duas relações na primeira fórmula, somando e subtraindo rr{-}ao (ak2 + bll)}, obtemos a fórmula (38.5).

+ l:k = 1

Q.E.D.

I

ír,

O Lema 38.3 tem a seguinte interpretação "geométrica" importante: entre todos os polinômios trigonométricos Tn de grau n, aquele que mi~irniza a expressão llf- Tnill fi· ca determinado de modo único e se obtém escolhendo os coeficientes Ct.k, f3n como os coe· 301

ficientes a1:, bh de Fourier de f, k =O, 1, ... , n. Denotando este polinômio trigonométri· co minimiz.ante (único) por Sn(f), então

L" (a~< cos kx + bk sen kx)

S,.(f)(x) = ~a 0 +

(38.6)

k .. l

é a soma parcial de ordem n da série de Fourier de f e a fónnula (38.5) implíca

l!f- S,. (f)J!:/ = llflb 'lT{!ao' + i: (a.,?+ bk ~}. 2

(3 8. 7)

-

k"'l

Utilizando o Exercício 26.F. pode-se mostrar que

lim Uf- S,.(f)lh =O

(38.8)

" para cada função con~ínua com período 2rr. Entretanto, como aquele exercício exige con· síderável análise> preferimos deduzir. este· resultado de modo mais direto. Para tanto, necessitaremos de dois resultados.

38.4 Desigualdade de·BesseL SefEPC(2n), então

!ao2 +

(38.9)

f

k#l

(a~< 2 +h~<2) slUf!l/. 'lT

Demonstr-J.ção. Se n EN é arbitrário, então de (38.7) decorre que 2 · ~ao 2 + k-1 f (ak2 + b1/) ~ _!llflb 'lT

'

Logo, as somas parciais da série à esquerda de (~8.9) são limitadas superiormente. Corno os termos são todos positivos, esta série é convergente e (38.9) se verifica. Q.E.D.

1

O próximo resultado é um caso especial do que costuma chamar-se Lema de Riemann·Lebesgue. 38.5 Lema de Riemann-Lebesgue. Seg EPC(2n), então

li!ll L~ g(t) sen (n + ~)t dt Demonstração. Como sen (n

L:

g(t) sen

+ ; )t

=o.

""sen nt cos ; t

(~ + ~)t (it-:-:!;: J~

[

(

+ cos nt sen ; t, ternos

1rg(r) cos !t] sen nt di

f"

+ 'l1T _, [ 'lTg ( t) sen ~t] cos nt dt.

.

II

Como g EPC(211'), segue-se que as funções definidas para tE ( -n, n]. por

''

admitem extensões a. R que pertencem a PC(2n). Portanto, as integrais à direita da fónnula acima dão coeficientes de Fourier para g 1 e g 2 ; logo, pela desigualdade de Bessel, essas integrais convergem para O quando n ~

g1(t)

= 1rg(t) cos it,

g:2(t)

= 7rg(t) sen h,

=.

por

I i I

I

38.6 Lema. Se fEPC(2n), então a soma parcial S11 (f) de sua série de Fourier é dada

(38.10)

302

S,(f)(x) =-,_.. 1

(

J""-., f(x + t)D... (t) dt

I

I ~

I

\

r· ·.

\

(

onde D,.. é o núcleo de I)irichlet de ordem n, definido por

" Dn(t)= ~+L

k .. ,

nt

sen{n + 2 sen h

kt =

CQS

n

\

0< ltl s

'

+:r,I

t ::=

'ff,

o.

( ,. \

Demonstração. Das fórmulas (38.2) e (38.6) decorre que 1 S,.(f)(x) = 217r f..,. _.,.. f(t) dt +:;

= 1_ 7f

J" f(t){~+ f -....

k .. l

(

'-

J""' J;. . f(t){cos kx cos kt +sen kx sen kt} dt -'1(

1

cos k(x-

;~ •

>

(

t)} dt.

'·

..·

( ( '•

Fazendo t =x +se lembrando que o co~seno é função par e que o integrando te:m período 21r, temos

(

(:

(

Aplicando a fórmula (36.6), obtemos (38.10).

Q.E.D.

c

+ c )-I· - 1m f(c+t)-f(c+) f '( •-o t

(

:c....::..-....::....~"--.....:..

'

(

L> O

quando existe. Defirúção ana1oga vale para a derivada à esquerda de f em c:

f . (c)= lim f(c + t)- f( c-) t

t
/ '

38.7 Teorema da Convergência PontuaL Seja f EPC(211') dotada de derivadas à direita e à esquerda de c. Então a sêrie de Fourier de f converge para +{t(c-) +f(c+)}no ponto c. Em s imbolos, . .

(38.11)

Hf(c -)+f( c+)}= ~ao+

(

(

L"" (an cos nc + b., sen nc).

<

"~t

(

I

I ).

1 _,

f

f_, CQS

~.: .. 1

k

t=

sen (n + ~)t 1

2senxr

(" {

•

Multipliquemos por (1/n)f(c+) e integremos em relação a t sobre [0, n]. Como dt =O para k E N, obtemos lf(c -) = l 2

f"' f(c +) sen ( n ~ !}! dt. ~- .

7r 0

2 sen 1t

... ·

·

Demonstração. Decorre de (36.6) que, se sen ; t =F O, então 2T

,,

\~ ..

Antes de prosseguir, lembremos (cf. Exercido 27 .Q) que a derivada à direita de uma funçãof:R-+ R em um ponto c ER ondefterp.limite à direitaf(c+), é o limite

~-o

)

I; cos kt

( { '·

.

(

·.

'

303

( ( f\

'

Analogamente. multiplicando a expressão acima por (1/rr)f(c-) e integrando em relação a t sobre [-1r, 0]. obtemos

Subtraindo de (38.10) essas expressões, vem

I

''

i

S,.{f)(c)- Hf(c-) +f(c+)}= l. o

r

(*)

)

7T ]_.,

f( c+;)\;c -:1 sen (n + !)t dt sen z

( (

i

+ 1.. f" [(c+ t)- {
Jo

2 sen 1: t

1

Ora, como

(

limf(c+t)-f(c+)=lim{f(c+t) f(c+). t } ·-o 2 sen !t •-o t 2 sen !t t>O t>O

=f!.( c)· 1 =f;(c),

.

lt

lt li 11

!í

!I I! u

li

'

I 1

segue-se que a função F+(t) =f( c+ t)-f(c +) 2 sen h

l

para

rE(O, 1r],

=H(c)

para

t=O ,

=O

para

I·I i

(

1 r

i

é parcialmente contínua em (-1r, rrJ. Logo, a segunda integral em (*)converge para O ~mdon~~ · Analogamente, a primeira integral em (*) converge para O quando n ~ 00• Donde a conclusão desejada. Q.E.D. l

c

38.8 Exemplos. (a) A função [ 1 no Exemplo 38.2(a) está emPC(2rr), comf(c-)"" f( c)= f( c+ )para c E [-n, rr], c:# -rr, 0., +n, onde temos f(-1T-) = +1, f(-n+) = -1, f( O-) = -1./(0 +) = 1J( n-) = 1, f( n+) = -1. Como existem (e são nulas) as derivadas unilaterais em todo ponto, decorre do Teorema da Convergência Pontual, 38.7, que a sé* rie de Fourier de f 1 converge paraf1(c) desde que c E [-1T, rrJ, c i:: -n, O, n, e que nesses três pontos a série de Fourier de / 1 convirja para O.

I:

(b) A função / 2 do Exemplo 38.2(b) é contínua, tem período 2n e tem derivadas

Jl H

unilaterais em todo ponto. Portanto, a série de Fourier de / 2 converge em todo ponto pa· ra fz e, como vimos, a convergência é uniforme. Notemos que a derivada (bilateral) de / 2 existe em [ -n, rr] com exceção dos pontos O, ±1r e que f:í concorda com a função p~rcial­ mente contínuafl para X e{nrr: n E Z }. Observemos que, pelo Teorema do Valor Médio (cf. Exercício 27.N), se f' E PC(2rr), então existem as derivadas de f à direita e à esquerda dos pontos de descontinuidade de f'. Mostremos agora que, dada uma função f com período 2n e tal que f' E PC(2n). a série de Fourier de f converge uniformemente para f

,.

i

11

H

304

lI i

i ! i'

''

''

'

(

r r ~

I

\

I ..

. ''

38.9 Teorema da Convergência Uruforme. Seja f cont{nua, de per iodo 2rr, e suponhamos que f' EPC(2rr). Então a série de Fourier de f converge unzformemente para f em R. Demonstração. Como f é contínua e as deriAdis'' unilaterais de f exístem em todo ponto, segue-se do Teorema da Convergência Pontual, 38.7, que a série de Fourier de f converge para f em todo ponto. Resta mostrar que a convergência é uniforme. Em vista da desigualdade ·

Ltt (a~-: cos kx+b~c sen kx)\ s kt1(lakJ+Ibr.:i),

basta estabelecer a convergência da série à direita. De fato, aplicando a f' a Desigualdade de Bessel, sabemos que a séríe :Z::(!ak! 2 + lbkl 2 ) é convergente. Mas, como vimos no Exemplo 38.2(e), ak :::::: -bk/k e bn =ah{k. Aplicando a Desigualdade de Schwarz, temos

1

(

L la~c I= L k lbkl s L: "'

m

k-l

k~'
m

k""l

1 )l/2( -k2

)1/7. 2:: lbW .

"

rn

Jeml

Q.E.D. Como desigualdade semelhante vale para 'Z lbkL temos a asserção. Mostremos agora que as somas parciais da série de Fourier de qu.alquer função f EPC(2rr) convergem para f na forma 11·112 • Conquanto este. fato não assegure que possa· mos atingir o valor de f em um ponto partícular prefixado, pode ser interpretado como atribuindo a f um certo sentido "estatístico". Para algumas aplicações, este típo de con· vergência é tão útil quanto a convergência pontual, havendo ainda a vantagem se não se imporem restrições de diferenciabilidade. 38.10 Teorema da Convergência em Norma. Se/EPC(2rr) e se (Sn(f)) é a seqüência de somas parciais da série de Fourier de f, então lim,_.., llf- S.. (f)!!:< =:O. Demonstração. Seja fEPC(2n) e e> O. Fica como exercício mostrar que existe uma função contínua [ 1 com período 2rr tal que llf- / 1 11 2 < c./7. Pelo Teorema 24.5, po· de-se escolher uma função contínua~ parcialmente linear, f 2 ~com período 2rr, e tal que llf1 - f 2 1!., < e/7. Decorre do Teorema da Convergência Uniforme, 38.9, que se n é suficientemente grande, então 11{2 - SnCfz)!l.,., < e/7. Da fórmula (38.1) temos llgll2 :5: ..fiir llgllQ
llf- Sn (fz)!lz < Jlf- f1Jh + IJf,- fzlb + !lfz- S.. (fz)llz

I f

i

r

')

~

''

!

Ora, Sn(/2 ) é um polinômio trigonométdco de grau n que aproxima f a menos de E (em relação a 11-11 2 ). Como foi estabelecido no Lema 38.3 que a soma parcial Sn(f) é o polinõ· mio trigonométrico de grau n que dá a melhor dessas aproximações, inferimos que llfSn(/)112 O é arbitrário, concluímos que l!f- Sn(f)lh =O. Q.E.D. Como corolário deste resultado e do Lema 38.3, podemos reforçar como segue a \ Desigualdade de Besse! para f E PC(2rr). 305

38.11 Igualdade de ParsevaL SefEPC(2n), entiio

(38.12)

onde ak, bk são os coeficientes de Fourier de f '

'

Terminaremos esta seção com a demonstração do Teorema de Fejér 12 sobre a somabilida.de de Cesàro da série de Fourier de uma função contínua. Se Sn (f), n =O, 1, 2, ... , denotam as somas parciais da série de Fourier de f. denotemos por rn (f) as médias de Cesàro:

Seja agora Dn, n =O, 1, 2, ... , como no Lema 38.6. Utilizando a fórmula elementar 2 sen ( k - i) t sen !t = cos ( k ~ 1) t - cos kt, k

'

podemos mostrar que

(38.13)

O, 1 , 2, . . . ,

=

!:!t)

_ {.l_(sen 1 n [Do(t) + D1(t) + · · · + D .. -l(t)J = ~n sen 2t 2n,

2 ,

J

t=O

' seja Kn esta função, que é chamada núcleo de Fejér de ordem n. Obvíamente, Kn (t) 2 O e como : ;

i

para k =O, 1, 2, ... , segue.se que

1 -7(

(38.14) Também, se

(38.15)

i

f..,

I

I

K .. (t) dt =L

_.,.,

O< õ < n, decorre do fato de que sen 8 z 28/n para O< 8 < n/2, que 1 ( O :S Kn(t) < Zn

2

7( )

25

para o sltl:::::;;

I "! ;

'

''

Tr.

}

Notemos, finalmente, que, pelo Lema 38.6, podemos exprimir as médias de Cesãro pela fórmula

(38.16)

1 r,.(f)(x)= 7r

J

_, 'lt

f(x+t)K,(t) dr.

]

2

Estamos agora em condições de provar o Teorema de Fejér.

e

f é contz'nua e tem periodo 2n, então as médias de Cesàro da série de Fo.urier de f convergem unifonnemente para f em R. 38.12 Teorema de Fejér. Se

I

I

e

Leopold -Fejér (1880·1959) estudou e lecionou em Budapeste. Deu interessantes contribuições a

;

a

várias áreas da análise real e complexa.

I

I>

l

306

Demonstração. Decorre de (38.14) que

1

f(x) = '1T

l

t

l'

f.,.

_"

.

I

i

f(x)~.. ~t! dt. •• '

'

\

'

'

'

Subtraindo de (38.19) a expressão adma t ·obtemos

r ~Ú)(x.)- f(x) = l

!

.

7T

f. " --rr

d•'

(

'{j(~' +t) -f(x)}K.. (t) dt. '

\f ,.•.

\

Como Kn(t) ~O para todo t) temos

..

f .

lf,.{f)(x)-·f(x)l :S ~L: lf(x + t)- f(x)! K .. (t) dt. .

r:

(

.

Seja € >O 'dàdó; como f é uniformemente contínUa. em R, existe um número ó ~ coro O< õ < rrt tal que, se ltl só, então ,,

-

Temos, portanto,

. ·:

'

\'

'

-a

i"' lf(x + (I

7T

-a

7T

-"'

~.

('

:

\

(

!)

e

( { /

'·

'

para n suficientem~nte grande.

Q.E.D.

(

Como se vê facilrnen te que a função f,.. (f) é um polinômio trigonométrico de grau

í

n - 1, temos outra demonstração do seguinte teorema de Weierstrass.

38.13 Teorema da Aproximação de Weierst,rass. Se f é continua e tem período 2rr, então f pode ser aproximada uniformemente por polinômios trigonométricos.

38.A. Seja g uma função com valores reais def"tnid;:t numa cela J de R com extremos a < b. Di· zemos que g é parcialmente Contínua em J se (í) g tem limite à direita em a, (ii) g tem limite à esquerda em b, e (iü) g é contínua em todo ponto interior de J, exceto, possivelmente, em um número fmito de pontos onde g tenha limites à direita e à e?querda. (a) Mostre que, $e g é parcialmente cont(nua e'm (~n, nJ, então existe wna função (Única) C em PC(2rr) tal que G(x) =g(x) para todo x E (-rr, trj. a tem.

(b} A fu:.ção g tem deriv-ada

I \

( ,. .•..

I,,

EXERCÍCIOS

..

'

.t

7r

t)- f(x)l K .. (t) dt

li f" (f) -fi!~< ( 2 +

.. ,.

\,

que pode ficar menor do que E desde que se tome n suficientemente grande. Como vale estimativa análoga para a integral sobre [-1r, -BL segue-se que

"l

.

';

I

'

Por outro lado, em vista de {38 J 5), temos

-1 1T

(

1r ].

·'l.Ja lf(x+t)-f(x)IK~(t}dts~fs Kn(t)dts~f"' K~(t) 7T

.

. ..''•

lf(x + t)- f(x)!
(

à esquerda (à direita) (bilateral) em c E (-rr, 1f) se e somente se G

( f

\ (

C.. (

307

,..

' (

(

\

'·

..

• •I:

'

}IJI'

'

(c) A função g tem derivada ± rr.

(d) As derivadas laterais

à direita em

g~(-n), g:('rr)

-lT

(à esquerda em n) se e somente seGa tem.

existem e são iguais se e somente se G tem derivada em

38.B. (a) SerePC(2n) e a derivadaf'(x) existe em todo x E R, ent!Jof' tem período 21r.

(b) Se /EPC(2n) e c ER, definatnos F:R -+R como F(x) = J:f(t) dr, de modo que Fécon· tínua. Mostre que F tem período 211' se e somente se a média de f é zero; isto é

fff

1 1 -ao=f(t) dt =0. 2 2w _,.

r

r

3 8. C. (a) Seja E PC(2rr) ímpar, Então/(± rr) = O. Se é contínua em O, então /(0) = O.

f}I

'

'

[JI >

(b) Seja g E PC(irr) par; então g(O+) = g(O ,....), Se a derivada g' existe em todo x E R, então (cL Exercício 27. P) g' é ímpar, tem período 27f, e g'(O) g'(± n)::::: O. 3B.D. Sejam F e pertencentes a PC(2n), com coeficientes de Fourier An, Bn e an, bn, respec· tivamente. Se o:, f3 E R e se h= Ci.F ·!- pf, mostre que h pertence a PC(2n) e tem coeficientes de Fourier

=

r

aAn + f3an, o:Bn + tibn. (Logo, os coeficientes de Fourier de uma função dependem linearmente da função.) 38.E. Seja [ 1 a fUnção do Exemplo 38.2(a). Calcule a série de Fourier de [ 1 e mostre que esta série de Fourier não converge uniformemente em {-1r, 1r J.

I,

fll

r''

'

(b) Seja [ 2 a função do Exemplo 3 8.2 (b ). Calcule a série de Fouríer de 1~ e mostre que a derivada termo-a-termo da série de Fourier def2 coincide com a série de Fourier de / 1 •

(c) Com base no fato de que a série de Fourier de f~ converge para t~, deduza que 7f~

/

~:

:J··• ~

".

1

1

s="fí+ 3'+ s'+ .. ·

r,

r

(d) Seja / 3 (x) :- fn- (x) de modo que 3 (x) ""tn- lx! para todo cício 38.D para mostrar que a série de Fou.der de[, é dada por

.~' :.· fi...

1

X

E ("-n, rr). Use o Exer-

cos3x cos5x+· ··] f( ) -![cosx 3 X 1T 12 + 3' + 5' . 38.F. (a) Seja g 1 E PC(2rr) tal que g 1 (x) = x para x E (-n, w) e g 1 (1r) =O. Mostre que g 1 é uma função ímpar e que sua série de Fourier é

2[

:t ;.I:

se; x _

se;2x + se;3x _.

·1

Note que esta série de Fourier converge para O em x = ;J;;n. Use o Teorema da Convergência Pontual 38.7 para mó'strar que esta série de Fourier converge para g 1 (x) em todo ponto x E [ ..:11', n). (b) Seja g~ EPC(2n) tal que g 1 (x) = que sua série de ·Fourier é·

x para x E (-11", 1rj. Mostre que g~ é uma função par e 2

1T~ ~ 4 [cos x _ cos 2x + cos 3x _ .. ·]. 3 1~ 2~ 3l · Mostre que esta série de Fourier converge uniformemente para g~ em (-n, 1r} e que sua derivada terrnO-Q·tenno é duas vezes a série de Fourier de g 1 , (c) Mostre que

2

'1 1 '1 -=---+--· .. 2

1T

12

1

2~

3l

(d) Séjah(x)= iw 2 -g2 (x)demódoquéh(x)=fll'·~ -x 2 paraxE(-11,7rj.Entãoasériede Fourier de h é

···] 4 [cosx_cos2x+cos3x· 12 22 3~ . t

308

38.G. (a) Seja k (x) = x 3 para todo x. E R. Mostre que k é contínua e ímpar em R. Todavia, a função k 1 em PC(2rr) que coincíde com k em (-rr, rr} não é contínua. (b) Seja h(x) = xl - rr 3 x de modo que h é contínu!]l e ímpar em R. Seja h 1 a funçãO em PC{2rr) que coincide com h em ( -11', rrJ. Mostre que h 1 é contímia."''(;m R e que h~ (x) ~ 3 x' - tr,_ para x E (-rr, rrJ. (c) Use o Exerc{cio 27.P, o Exemplo 38.2(e) e o Exercício 38.C(d) para mostrar que a série de Fourier de h 1 é

_

12

(senll x _ sen2x sen 3x _ .. ·] . t~ + 3:!

38.H. Seja f: [0, n] ...... R parcialmente contínua e seja fp EPC(2n) defmida por - fp(x)

= f(x)

para X E [0, 1T ],

=f(-x)

para X E [ -7r, 0).

(a) Mostre que fp é uma função par; é o ch.amado prolongamento par de [com período 2rr. (b) A sêtie de Fourier de {pé chamada série de co-senos de Fourier de f. Mostre que taHunção

é dada por

.

iao + L a... cos nx . .. ... !

onde 2 a...=71'

I. o

f(t) cos nt dt,

n =O, 1, 2, - - . ,

(c) Mostre que se c E (0, tr) e f tem derivadas à direita e à esquerda em c, então a série de Co* senos de f converge para ~ [((c-) + f(c +)]. Outrossim, se f tem derivada à direita em O, a série de cosenos converge para f(O +); e se f tem derivada à esquerda em rr, a série de co-senos de f converge para f(rr-). 38 .I. Pax:a cada uma das funções seguint'es, definidas em {0, 1r}, calcule a série de co-senos e determine o limite dessa série em cada ponto.

(b) f(x)=sen x;

(a) f(x) = x;

(c) f(x) = 1 =O

para O< x :s ~1T, para hr < x :::; 7T.

(d} f(x)=hr-x

=O

(e) f(x) = x(r.;...x).

para O <; x < ~'"• para ~1T < x s rr.

38.J. Seja{: [0, w]....,. R parcialmente contínua, eseja{iePC(2n) defmlda por.

fi ""'f(x) =O

= -f(-x)

para x E (O, '"], para x

=O,

para X E ( -tr, 0).

(a) Mostre que [í é uma função ímpar; é o chamado prolongamento ímpar de f com período 2n. {b) A série de Fourier de {i é a série de senos de Fourier de f.·Mostre que é dàdá por

309

onde

2 fw b, =· f(t) s.en n.t d1, .. Tr (l

t

·. '.

nos de

~

'

'

~

'

(c} ·Mostre que se c E (O; n)e se f tem derivadas

à direita e à esquerda em c, então a série cÍh sé•

f converge para tlfk-) + f(c +)]. :I;:m ,qualqu~r caso, a série de senos q.e {oop.ye~ge para O em

xrOJin.

·.

:_;}·

.;..

·

·~·

~:·,

38.K. Para çada uma das funções seguintes defmidas em {0, 11'), calcule a série de senos e deter~ mine o 14nH~ dessa série em cada ponto.

(a)

f (x) = 1;

y

(c) f(x) = 1

para O < x :::d'Tl',

.,. :.

par~·~7r
.=0

(e) f(x)

= x(Tr

-,x):. . .

.

';

(b) /(x)=cos:x; (d) f(x)=Tr-x;

• ·

'

=

38.L Seja fn EPC(2n) uma função tal que fn(x} n 114 para O < x < 1/n e= O para ouhos .x E ( -O, mostre que existe uma função co~tínua /) com período 2rr t'-!-t que I!/- f 1 Ul
(a) . I

:

2 ' nt:'~~

(b}

(c) j.:,

~ _; .tl Õn: 1)20 2

(d)

38.0. Se f e F pertencem a PC{2rr) e têm coeficientes de Fourier an, bn eAn, Bn, resp~iva-

mente, mostre que

...

.I ''

(Sugestão: Aplique a fgualdade de Parseval a f+ F.) ... ~ 38.P. Use o Teste de Dirichlet, 36.2, e o Ex~~T~plo 36.8 para mostrar que a série trigonométrica

·.

-f

~n

n-1

_n

L. ...

nx

112

conveÍge para todo x. Mostre, entretanto, que esta série não pode' ser a série de Fourier de nenhuma ~ função em PC(21f). 3S.Q. Seja L> O e seja PC(2L) o espa9,:0 vetorial de todas as funyões f: R.,._. R de período 2L e parcialmente contínuas. ' '

I .

s .

(a) Definindo f • g:... f~Lf(t)g(t) dt P.~ /, g E PC(2.(.,} 1 mostre que a aplicação (f, g) ~--+f· g e wn produto interno (no sentido da Dermição, ~.3), em PÇ(2L~. Alé..!U disso, a norma induzida por este produto interno (v. 8.7) é •

l .

,. ~.

.

'·

'

.

~

~

•

•

! .•

(b) Sejam C0 , Cn. Sn, n E N, funções em PC(2L) dadas por

j.

?

1 C 0 (x) = ..fiL,

310

C,(x) =

1

n'Tl'X

.JI cos L,

S~(x)

1 nrrx =JL sen L,

Mostre que este conjunto de funções é ortonormal, isto é,

C" ·S-=0 "' ' onde 6nm = 1 se n =me ónm =O se n Lema 38.3.)

if:.

m. (Sugestão: ~e 1/'= n, estas são as relações já dadas antes do

(c) Se[EPC(2L), deflnimos a série de Fourier de f em {-L, L] como a série

.ç.. (a .. cos L tl.7TX tt'lTX) 21 ao+ !:: + b,. sen L , 1

onde '

lJ'L

1 fL ao= L -L f(t) dt,

..

h~=

a.. =-

-L

L1

J'" ~~:.

n.c dt, f(t) cos __2!... L

n7Tt dt, f(t) senL

para n = 1, i, . ... (d) Refonnule os Te~remas de Convergência, 38.7, 38.9 e 38.10, adaptando-os a séries de Fou· rier de funções errí PC(2L). (Sugestão: Faça uma mudança de variáveL) . (e) Se[EPC(2L), então a Igual(!ade de Parsevalse escreve

i l!flb'

=

tt

~ a
(a.. + b,. ), 2

2

onde a nonna de f é como em (a) e os coeficientes de Fourier são como em (c). 38.R. Para cada uma das seguintes funções no intervalo indicado, calcule a série de Fourier se intervalo e dete.rmine o limite da série em cadà ponto.

(a) f(x) = x {b) f(x) =O =x ·(c) f(x) =O =1

(-2, 2]; -4
em

para para para para para

=O

nes~

Osx.s4;

-3
1
38.$. Seja f contínua e de período 2rr. Mostre que se a série de Fourier de f Cúnverge em c E { -n, 11'} para algum número, então esse número é /(c). 38. T. Seja /E PC(2n) e c E [ -n, 11'). Denotando por rn.{f) a médta de Fejér de ordem n, defini· da E;:m (38.16), mostre que

' 1 lím f,.(f)(c) = 2 U(c-) + f(c

+ )).

l

38.U. Sejam f e f' contínuas com período 2n e[" EPC(2n). (a) Mostre que os coeficientes de Fourier an, b11 são tais que a série »

n~t

(

é convergente. Logo, existe uma corutante M > O tal que lanl 5,.M/n l e !bnl < M /n 1 para todo n E N. '

'

(b) Mostre que a série de Fourier de[' é a derivada termo-a-termo da série de Fourie~: de f. 38. V. (a) Se k EPC(2n) e se x 0 , x E ( -rr, rrj, use a Desigualdade de Schwarz para mostrar que

k(t)

( (

L n z(Ja..! + lb,.j)

I(

{

drl s lJkiJ~ !x- x

0J

1

n

(

(

l!kib &. \ 311

(

f

<

(b) Use a parte (a) e o Teorema da Convergência em Norma, 38.10, para mostrar que se [E PC(2rr) e x 0 E I-w, 1r], então a série de Fourier de f pode ser integrada terrno-{l~temw:

e a série resultante é unifonnementé convergente se x E!- rr, n). 38.W. (a) Suponha a-> O não inteiro. Mostre que )

_ 2o: sen o:n[ 1 cos x cos 2x coso:x-2 21r a a~ - 1!+ az - 22 para todo x E! -71', '11']. (b) Use a parte (a) para mostrar que se x r:t:. Z, então

COsec

então

'lTX""'

J ")X -+:::__ 'l'TX

r m

(

1T n-l X

-1)~ 2

-n

i!•

(c} Diferencie termo-a·tenno a primeira série em (b) (justifique!) para mostrar que, se x >t:.Z,

li I!

(d) Integre tenno-a-tenno a primeira série em (b) Gustífíque!) para mostrar que, se x r:t:. Z, então

!I

2

(

sen trX [( x ) ( 1- x~) x~ 'ITX =lí;p 1-p :t ···1-m~ 2

li '

)J .

I

312

·.' ,,t

/

CAPITULO

í

7

DIFERENCIAÇÃO

EM Rp

Neste capítulo apresentaremos a teoria das funções díferenciáveís em RP, p >L Embora a teoria, em essência, seja paralela à apresentada nas seções 27 e 28, surgem várias complicações e novas características. Algumas dessas complicaÇões decorrem simplesmente da inevitável complexidade de notação~ mas a maior parte delas provém do fato de podermos "aproximar-nos" .de um ponto segundo "muitas direções", e isto acarreta alguns fenômenos novos. Na seção 27 definimos a derivada de uma função f: R -+R num ponto c E R da maneira tradicional; isto é, como o número L E R tal que

L= lim f(x)- f( c)' x-e

X- C

desde que tal limite exista. Equivalentemente, poderíamos ter definido essa derivada mo o número L tal que

co~

lim lf(x) -f( c)- L(x- c)j =O.

lx ~c!

x-.:

Esta relação limite pode ser encarada como uma rigorização do sentido em que aproximamos os valores de f(x), para x suficientemente próximo de c. pelos valores da aplicação

afim 1

x 1-> f( c)+ L(x- c), cujo gr§fico é o da tangente ao gráfico de f no ponto (c J(c)). E essa conceituação de derivada que utilizaremos para funções de RP em Rct. As· sim, a derivada de uma função f definída numa vizinhança de um ponto c ERP com valores em Rq será uma aplicação linear L : RP -+ Rq tal que lim llf(x) -f( c)- L(x- c)l! =

llx-cll

x-"

0

.

Estamos assim aproximando f(;<.), para :x suficientemente próximo de c, pela aplicação afim

x l

~

f(c)+L(x-c)

na,

Em cursos elementares, tal aplicação é chamada "linear", Toda para sermos consistentes com o uso mais restrito da expressão "linear" introduzida na seção 21, usaremos o termo "afun" quando nos referirmos a uma função obtida pela adição de uma constante a uma função linear. ·

313

de RP em R 0 • Observe o leitor que, se p = 1, a notação 'L(x- c) denota o produto dos números reáis L e (x - c); mas se p > 1, então L (x - c) denota o valor da aplicação ,linear Lnovetorx~c. .., ~· , A seção 39 apresenta a definição de derivada, relacionando-a com as várias derivadas "parciais". Na seção 40 estabelecemos a Regra da Cadeia e o Teorema do Valor Médio, que, são de capitàl irnportância·.':Aseção 41 contém uma análise aprofundada das propriedades das funçõesl diferenciáveis,· qúe conduzem aos Teoremas da Inversão e da Função Implícita, culrnihà:hdo com os Teoremas da Parametrização e do Posto. A última seção aborda· as propríedad~s de extremos das funções com valores reais definidas em RP. ' ' t

'

SEÇÃ039 ADERI'VADAEMRP

')'

. . , A seção 27 abôrdou a derivada de uma função com domínio e contradomínio em R. Nesta seção, c~risideraremos, de um'porito de vísta análogo. uma função definida num subconjunto de RP e tomando valores em R' O, existe um õ(e) >O tal que, para todo tE R verificando O< !ti< o(e), tenhamos (39.1)

1 r{f(c+tu)-f(c)}-L.
'

Vê-se logo que a derivada parcial Lu definida em (39.1) é univocamente determina4a, quando existe. Alternativamente, podemos encarar Lu como o limite

lim.!. {f{ c+ tu)- f( c)},

•-o

314

t

)

\

'-

'

'

~.

ou como a derivãd'a eiii' t =O 9-a fttnção F defmida por F(t) = f(c

.:

no e top1and.o valçres em. !l q,

+ tu) para Iti suficientemente peque-

>, ,. .

t ,

Escreveremos D'u/(c) ou fu (ç )para denotar a de.dvada parcial Lu ?e f em c em relação a u. Deve~se preferir'-~à' primeira !lOtação quando ..:.. como freqüentemente ocorre -· o:símbolo que denota' a fú,nção ~indiciado. D~notaremos por Du./ouft._:t{f'!J.nção c~ DtJ(C') = fu(c);ela é definida·p~r~ os pontos inty:rio:çes c de A nos quais existe o limite exig*é}.o,,e tomavaloresemRI.Z', . . ·,·.- .: . . ' ·· · · · '·. · :. : ;: •:; t É claro que':~se f toma valores- reais (de modo que '·q = 1) e se u é o vetor--e 1 -· (1, O~ ...• O) em RP ~ então a derivada' .[iareíal de f em relação· é 1 coincide com o que costu~a chámà(-se d~rivada parciql de f em relação à sua primeira variável, e que se denota ernge•

"

,

•

•

~

'

J'

r •

f

a

ral pçr~ .....·

·

.. ~ . :. / ... f··~~ .

'

~

. ·..

..

t.

~ :·! t

(

·'

(

'

(; {

.

'

ou I'

Da mesma forma, considei:ãrido e 2 = (0, 1, O•... , 0),, ..• ep = (0, O, ...• 1)•... , obtemos as derivadas parciais de f el!i relação às outras variáveis: I

·.D,J·. ·_ [:-. ·_ at ~ 2 -;--

oX2

••• ,

·

_ _ .2[ D~,f -f~ -a · '

.Xp . ..

"

Caso o símbolo que denota a função seja indiciado. poderemos inserir uma vírgula p~ra indicar uma derivada parcial; assim, Dif2 =/ 2 .1· · .: · ·:, Note~se que~ embora exista a derivada parcial de uma função em um ponto em relá~ ção a üin vetor, .l!. derivada parcial relativa outro vetor pode não existir (v. Exercício 39.A).: Ê claro também que, sob hipóteses apropriadas, existem relações algébricas entre deriv.adas p!!.rciais· de sqmas e produtos d~:.fur.ções etc. Não nos deteremos na de,dução de tal$.Jelações, ou porque é-Ias constituem casos particulares do que vamos fazer, ou porque poÇ.e~ ser demonstradas íl.e maneira ·análoga... · .[ ·Cabe aqui uma palavra sobre terminologia. Seu é um vetor em RP, então a derivada pardal DJ(c) =fu(c) costuma chamar-se deriyada direcional de f em c na direção deu.

r

\

a

' . ',

..

( .

f uma função com domínio A ein RP e contradomínio em Rq e c um ponto interior de A. Dizemos que f é diferenciável em c se existe uma função linear L: RP -+ Rq tal que, para todo e> O, existe um ó(e) >O tal que se x E RP vetor que satisfaz llx- cU< ó(e), então x EA e

~

um

'

'

'

'

<

39.2 Definição. Sejam

I

/

\

'

,-

·.,

I

,

'

I

- .~

(

,.

,·

!

l,

. ... ,

,

í

!

(

\

.. ·

t ')

l!f(x)- f(c)- L(x- c)!l < e !lx-c[[.

Alternativamente, (39.2) pode ser reformulada exígindo-se que, para qualquer e> O, exis·

ta ó(e) >O tal quej seu ERP e llull ~ ó(e), então (39.3)

(.

".

A DERIVADA ·A, principal desvantagem da derivada parcial de uma função f num ponto c, em relação a um vetor u, é que ela ape11as dá uma imagem do comportamento de f na vizinhança de c no conjunto unidi.mensíonat{c +tu: tER}. A fiin•-de obtermos informações mais completas sobre f numa vizínhança de c E RP, ·introduziremos a noção de derivada de f em c~ como aplicação linear de RP em Rt:J..

(39.2)

..,..

f

'

' \

315

!

(. ·': (

llf(c + u)- /(c) -L(u)U ::s s llu!l,

'

•

ti

o que, por seu turno, pode ser expresso de maneira mais compacta por

I

(39 .4}

r.

lim Jlf(c+u)-f(c)-L(u)l!=o i!«B- (I

UU li

.

~

Veremos abaixo que tal função linear L fica univocaroente determinada, quando existe. É chamada 2 deriva,da de f em c e denotá-la-emas freqüentemente por Df(c) em lugar de L Escreveremos também Df(c)(u) em lugar de L(u) e Df(c)(x- c) por L (x- c).~ Do ponto de vista analftico, a existência da derivada de f em c refl~te a possibilidade de aproximar a aplicação x r-r f(x) pela aplicação x H f(c) + L(x- c). A desigualdade (39.2) dá urna medida da aderência desta aproximação quando x está próximo de c. Em razão da linearidade de L, temos

~l

f( c)+ L(x- c)= (f{ c)- L( c))+ L(x).

~

'-

.~

'

fli )1m t.~J!~

i

l;loj .

I:JJ '

\.

iJI 'I,(:.1 . ,. I

i

!•

'

'.

Logo, estamos aproximando x ~-+ f(x) por uma função da forma x ~-+ y 0 +L (x), onde y 0 é fixo. Tais funções são chamadas aplicações afins de RP em Rq; são meras translações de aplicações lineares, tendo, assim, caráter assaz simples. Do ponto de vista geométrico, a existência da derivada de f em c reflete a existência de um plano tangente à superfície{ (x,[(x)): x EA} em RP x Rq no ponto (c,[(c)); asaber, o plano dado pelo gráfico ·

(39.5)

{(x, f( c)+ L(x- c)): x E R''}.

Estabeleceremos a seguir a unicidade da derivada.

39.3 Lema. A função f tem no máximo urna derivada em cada pohto.

Demonstração. Sejam L 1 , L 2 funções lineares de RP em Rq e que verificam (39.3) para llull ~ ó (E). Tem-se então

!:pl .

Os 1lL1(u)- Lz(u)!i

;

!p1

<

ln1

s 2e

i

rei ,. •'

lJJ!

l

llf(c + u)- f( c)- L'J(Ll)JI + !lf(c + u)- f( c)- L2(u)ll

J!ull.

Portanto, O< l!L 1 (u)-L 2 (u)ll :s;;.2e llu!l para todo u ERP com llu!l <ô(e). Se L 1 :f::.Lz, existe z E RP com L 1 (z) :f::. L 2 (z ), donde z :;6 O. Seja agora z 0 = (o (e )fl!zll)z de modo que !lz 0 11 =li (e) e daí O S. liL 1 (z 0 ) - L 2 (z 0 ) !I S. 2e llz 0 11. Logo llL 1 (z) - L2 (z) 11 S. 2E !lzll para todo e> O, de modo que L 1 (z) o:z.L 2 (z), uma contradição. Portanto, L 1 = L 2 • Q.E.D.

i •

39.4 Exemplos. (a) Sejam A C RP, e y 0 E Rq, e seja f o :A -+ Rq a "função constante" definída por f 0 (x) =y 0 Para x EA. Se c é ponto interior de A e x EA, então f 0 (x)- [ 0 (c) =O. Segue-se que / 0 , é diferenciável em c e que a derivada Df0 (c) =O, a "função linear zero" que leva todo elemento de RP no elemento zero de RCJ. Logo, a de~

rivada de uma função constante é a função linear zero, em qualquer ponto. (b) Seja A =RP, e seja [ 1 :A-+ Rq, uma função línear. Se c EA ex EA, então f1 (x)- !1 (c)- f1 (:x- c)= O. Decorre dai que / 1 é diferenciavel em c e que D/1 (c)= f 1 . Logo, a derivada, em qlialquer ponto, de uma função linear é a própria função linear.

i

I

I • '

Advirta-se que L é às vezes chamada derivada de Fréchet, ou diferencial, de f em c, escrevendose df(c), ou f'(c) etc. I

I,

316

39.5 Lema. Se f:A-+ RP é diferenciável em c EA, então existem números estrita· mente positivos 6, K tais que se llx - cU :S: ó, então (39.6) l!f( x)- f( c)IJ ::::; K Jlx·:7 cl!. l

i !•

Em particular, decorre que f é contínua em x =c. Demonstração. Pela Definição 39.2, segue-se que existe ô >O tal que s:e O< !lxcli< ô, então (39.2) se verifica com e= 1. Utilízando a Desigualdade do Triângulo, temos

llf(x)- f( c)IJ s IJL(x- c)ll + llx- ciJ para O< llx- c1l O tal que IIL(x -·c)II-:{.B llx- c!l para todo x ER. Portanto, se O< llx -c li:::;:;: ô, obtemos -··-

l!f(x)- f(c)ll :S (B + 1) llx- ciJ, Q.E.D.

e esta desigualdade permanece válida também para x =c.

Mostremos agora que a existência da derivada em um ponto implica a existência de todas as derivadas parciais naquele ponto. 39.6 Teorema. Se A C RP, se f: A-+ Rq é diferencfdvel em um ponto c EA, e seu é um elemento de RP, então a derivada parcial Duf(c) de f em c em relação a u exz'ste. Além disso, (39.7) D,J(c) = Df(c)(u). Demonstração. Como f é diferenciável em c, dado e >O, existe ó (e) >O tal que

!!f( c+ tu)- f( c)- Df(c)(tu)l! s s !ltull

desde que !!tull.::S:'ó(e). Se u =0, então vê-se logo que a derivada parcial em relação a O é O =Df(c)(O); aqui supomos u #:O. Assim, se O< ltl < ô(e)/llull, temos J f(c

:. :

!·

+ t~)- f( c)- Df(c)(u)

I

e !lu!!.

Q.E.D. Isto mostra que Df(c)(u) é a derivada parcial de f em c em relação a u. 39.7 Corolário. Sejam A CRP, [:A __.,.R e c ponto intenor de A. Se a den'vada D[(c) existe, então cada uma das derivadas parciais Dd(c), ... >Dp[(c) existe em R e seu = (u 1 , ••• , Up) E RP, então (39.8)

Df(c)(u) =

U1

Dtf(c) + · · · + ur>Dr.f(c).

Demonstração. O teorema implica que) para cada um dos vetores e 1 , •• ,, ep, as derivadas parciais Dd(c), ... , Dpf(c) existem e são iguais a Df(c)(e 1), ••• , D[(c)(ep). Todavia, como Df(c) é linear eu= u 1 e 1 + · · · + Upep, deduzimos que I

Q.E.D. I

II . '

;

Observações. (a) A recíproca do Corolário 39.7 nem sempre é verdadeira, pois· podem existir as derivadas parciais de f sem que exista a derivada. Seja, por exemplo, f: Rl ...... R defmida por

f(x. y) =O -

xy2 - x~+ Yl

para (x, y) = (0, 0},

para (x, y) p! (O, 0).

I

'

.I.

317

Deixamos como exercício paxa o leitor mostrar que a derivada parcial de em (0, 0) é dada por

(39.9)

f

em :relação ao vetor {cr, b) ·

{et, b) r! (O, 0).

Em particular, D J(O, O)= O e Dd(O, 0) =O. Se a derivada DI existisse em (0, 0), o Corolário 39.7 implicaria

D(,,b)f(O, 0) = Df(O, O)(a, b)

= a · O+ b · O= O,

contrariamente a (39 .9). (b) Veremos abaixo que, se A c, então Df(c) existe.

c RP

e se as derivadas parciais de f;A _,.Rq são contínuas em

39.8 Exemplos. (a) Seja A CR,f:A ->R. Então/é diferenciável em um ponto in· terior c de A no sentido da Definição 39.2 se e somente se a derivada ordinária

l .lill f(c+t)-f(c)_f'() c t-•0 t <'>'O

existe. Neste caso a derivada Df(c)_é a função linear de R em R definida por

u

r-:'l-

f'( c )u.

Assim, Df(c) leva u ER no produto de f'(c) e u. [Em terminologia matricial, a derivada Df(c) é a aplicação linear represe!ltada pela matriz 1 x 1 cujo único elemento éf'(c).J

lr

Tradicionalmente, em lugar de representar por u o número real sobre o qual atua a funçã9 linear Df(c), escreve--se o símbolo um tanto peculiar dx (aqui o "d" desempenha apenas papel de um prefix;o e nada mais). Quando se faz isto e se adota a notação de Leibniz$ para a derivada, a fórmula Df(c)(u);, f(c)(u) se toma

!

Df(c)(dx)"" : ; (c) dx.

...

X

EA.

Como exercício, o leitor provará que f diferenciável em um ponto interior c de A, se e somente se. cada uma das funções com valores reais / 1 , ••• Jq tiver uma derivada em.c. Neste caso, a derivada Df(c) é a função linear de R em Rq dada por

u

'f' . !.

1--;'l-

u(f~(c),

... , f~( c)),

u

r! I

!

(b) Seja A CR ef:A "*Rq (q> 1). Logo,/ pode ser representada pelas "funções coordenadas" ·

e

l

í

r

I II I

i

uE R

Logo, Df(c) leva um número real u no pr.oduto de e um vetor fixo f'( c)= (fí (c), ... , fq(c)). Quando f é encarada como uma "curva", este vétor é chamado "vetor tangente" a fno pontof(c). ·

l

(c) Seja A CRP (p > 1) e f: A "*R. Segue-se então, do Corolário 39.7, que, se a derivada Df(c) existe em um ponto c interior a A, então cada uma das derivadas parciais

Ii

3

318

Gottfried WiUielm Leibniz (1646-1716) é, junto com Isaac Newton (1642~1727), um dos criadores do cálculo. í.eibniz passou a maior parte de sua vida servindo os duques de Hanover e foi um gênio universal. Deu grandes contdbuições à matemática, leis, filosofia, teologia, lingüística e história.

~

I I

\

(·~.· 'd'

D1!(c)J . .. , Dpf(c) deve existir e Df(c) é a aplicação linear deu= (u 1 , R dada por

.•• ,

up) E.RP em

l'

( Embora a simples existência dessas derivadas parciais não implique a existência da deriva· dat veremos abaixo que sua continuidade em c garante a existência da derivada. Às vezes, em lugar de u = (u 1 , •••• up) escrevemos dx = (dx 1 , ••• , dxp) para representar o ponto de .RP sobre o qual atua a derivada. Quando se faz isto e se utiliza a notaçao de Leibniz para derivadas parciais, a fórmula acima se torna

Df(c) (dx) =

f1(x~, ... .. "' .. ,. ..

'

\

> 1, q >L Neste

caso, podemos repre· ·

, x")

..

"'

i

r

I I

de q funções em p argumentos. Se f é diferenciável em um ponto c= (c 1 , ••• , cp) de A, fica como exercício mostrar que cada uma das derivadas parciais D;{i(c)( fi.i(c)) deve existir em c. (Novamente aqui, esfa última condição não é em geral suficiente para a diferenciabilidade de f em c.) Quando Df(c) existe 1 ela é a função linear que leva o ponto u = (u1, ... , uv) de RP no ponto w = (w 1 J • • • , Wq) de Rq dado por

(39.10)

•

..

..

..

..

•

..

..

..

..

..

•

..

""

..

"

1

..

...

Dt[l(c) Dd:z(c) .

..

..

,.

.

Dd1(c) D·dz(c)

. . . . .

. .

i

'

{ ..

;

' .. · '

( ':

l. (

·.

/

.

i

Dr>ft(c) Dr.fz(C) ...

...

..

'·

(

..

. Dp[q(C)

Ddq(C)

,I

I

t .,.. '

\

Ddq(c)

I I

l .

(

"'

A derivada Df(c) é a aplicação linear de RP em Rq determinada pela matriz q x p

(39.11)

\

.. ,.-

{

i

I

'

(' ·...'

i I

I

~

~

I

)

.

':

J

l

'

\'

1

Yt =

'

I

aafX (c) dx, + · · · +-aaf (c) dxl'. Xp

(d) Seja agora A C RP e f:A...,. Rq com p sentar y =f(x) por um sistema

II

( ··'

-

fl,l(c)

ft.z(C)

/2,,(c)

f.u(c) .. ... . ...

. ..

.

Lfq.t(C)

..

fq;l{C)

(

. . . f~.p(c)l . . . /2-p(c) . . . . . . . . . . fq.p(c)

( (

,. i

Já observamos (v. Teorema 21.2) que tal dispositivo de números reais determina uma função linear de RP em R<~. A matriz (39.11) é chamada matrizjacobiana do sistema (39.9) no ponto c. Quando p=q, o determinante da matriz éodeterminantejacobiano;

( {

'. ,-· \

319

.I \

t

..

!~

..

~"'·

·[ i 'l I

l

.&u

ou simplesmente jaccbiano, do sistema (39JO) no ponto c. Denota-se freqüentemente este detenninante jacobiano 4 por

il

a(fh fz,

·-·m• .• l

l

... , fe)

I

' r

ou

a(xh Xz, .•• ' x,) ""'C

\:

~u

• ' n;

'''tll ~~;·

~'111.

!Jll

'

EXISTÊNCIA DA DERNADA

No Teorema 39.6 demonstramos que a existência da derivada em um ponto implica a existência de todas as derivadas parcíais aí. Mas ( cf. observação após o Corolário 39 )) a simples existência das derivadas parciais não implica a existência da derivada, mesmo quando p = 2, q == 1. Mostraremos agora que a cont\nuidade das derivadas parciais em c é suficiente para a existência da derivada em c. · 39.9 Teorema. Sejam A Ç,.RP, f: A -+ Rq, e c um ponto interior de A. Se as derivadas parciais Dift (i =1, ... , q, j = 1, ... , p) existem numa viz inlumça de c e são contínuas em c, então f é diferenciável em c. Além disso, Df(c) é representada pela matriz q xp (39.11). Demonstração. Trataremos em detalhe o caso q = 1. Se e> O, seja 6 (e)> O tal que se lly- cl! <ó(e) ej = 1, 2, ... , p, então

(39.12)

jD1f(y)- Dlf(c)j <

Se x =(x 1 ,x2 ,

•••

,xp)e c =(c 1 , c2 ,

••• ,

t:.

cp), sejamz 1 ,z2 ,

I ••• ,

Zp-1 os pontos

'

l

h! ~

.

;

i

e z 0 =x e Zp=c. Se !lx-c!l<õ(e), então vê-se facilmente que llzi-cll
11

li

!i

f(x)-f(c)=

f(Zt-1)- f(z1) =(X;- c1)DJ(z;).

Obtemos, portanto

11 I!

f {f(zl-1)-f(z;)}.

i-l

Aplicando o Teorema do Valor Médio, 27.6, ao termo de ordem j desta soma, obtemos um ponto Zj, pertencente ao segmento de reta que une Zi- 1 e Zj, tal que

:· 11

Jl

I

f(x)- f( c)•

f

I'"!

(xr- c1)Dif(c)

=f (xJ :.._ Ct){D;[{z

1) -

1-1

D;[(c)}.

Em vista da desigualdade (39 .12), cada quantidade que aparece entre chaves na última fórmula é dominada por e. Aplicando a Desigualdade de Schwarz a esta última soma, ob· ternos a estimativa f(x)- f( c)-

11

ll

sempre que llx-

11

4

li li

320

cll:;:;: 8 (e).

p

L (x1 -

1-l

c1)DJ(c)

:$

(e.jp) llx- cU,

Carl (G. J.) Jacobi 0804-1851) foi professor em Kõnigsberg e Berlim'. Sua obra principaJ relaciona-se com as funções elípticas, mas é também conhecido por seus trabalhos em determinan" tes e dinâmica.

'

r í

.I

.I [

'l I

!

Provamos que f é diferenciável em c e que sua derivada Df(c) é a função linear deRP em R dada por .

.

Se f toma valores em Rq, q > 1, apliquemos o mesmo argumento a cada uma das

funções com valores reais/i, i= 1, 2, ... , q, que ocorrem na representação coordenada da aplicação f. Deixamos como exercício os detalhes do argumento. Q.E.D.

EXERCÍCIOS 39.A. Seja/:R 2 -R definidapor

f(x, y)

=-y

X

para y~O.

=O

para y ""O.

Mostre que as derivadas parciais Dd(O, O) e D,.f(O, 0) ~xistem e são iguaís a O. Todavia, a derivada de f em (0, 0) em relação a um vetor u ==(a, b) não existe se ab '#O. Mostre que /não é contínua em (0, 0); na verdade,/ não é sequer limitada numa vizinhança de (0, 0). 39.B. Seja g: R,. ...... R definida por ,:.

l

It

g{x, y) =O

para xy =O,

=1

para xy ;;é O.

Mostre que as derivadas parciais D 1 g (0, 0} e 0 2 g(O, O) existem e são iguais a O. Todavia, a derivada de g em (0, 0) em .relJl.ção a um vetor u =(a, b) não existe se ab *O. Mostre que g não é contínua em (O, 0); todavia, g é limitada na vizinhança de (0, 0). 39.C. Seja h.: R 2 ....,. R definída por

'!

para (x, y) :=;; (0. Ol.

h{x,y)=O xy

'""' x2+ y2

para (x, y) ;;é (0, O).

Mostre que as derivadas parciais Dth(O, O), D,.h (O, 0} existem e são iguais a O. Todavia, a derivada de h em (0, 0) em relação a um vetor u =(a, b) não existe se ab '#O. Mostre que h não é contÚlU..'t em

(O. O).

39.0. Seja k: R 2 -+R definida por k(x,y)=O

para(x, y) = (0, 0),

para (x, y) ;é (0, O). Mostre que a derivada parcial de k em (0, 0) em relação a qualquer vetor u. =(a, b) existe e que

se a ;é O.

l

J

I· I

Mostre que k não é contmua e~ portanto, não é diferenciável em (O, 0). 39.E. Seja{:R 2 -R definida por para (x, y) = (0. 0), para (x, y) ;;é (0, O).

321

Mostre que a derivada parcial de f em (0, O) em relação a qualquer vetor u

abl D"f(O, O)= a2+ b 2

=(a, b) existe e que ]

se {a, b) r! (0, 0).

Mostre que fé contínua mas não düerenciável em (0, 0). 39 .F. Seja F: R 2 .... R definida por

F(x,y)=x 2 +y 1

=O

J

.. em caso contrario.

se x, y são ambos racionais,

''

l

;

'

Mostre que F é contínua somente no ponto (0, 0) e que é düerenciável aí. 39.G. Seja G :R 2 -R defmlda por

I !

''

~'

para (x, y) ~ (0, 0),

G(x, y) = (x 7 + y'} sen 1/(x 2 + y')

=O

i' ''

para (x, y) = (0, 0).

.,

Mostre que G é diferenciável em todo ponto de R 2 mas as derivadas pardais D 1 G, D2 G não são limi· tadas (e, portanto, não são contínuas) numa vizinhança de (0, O). 39.H. SejaH:R~ -R 2 defmidapor

H(x, y)=

(r~+x 2 sen!, y)

para

• ,· .;

"' •'

x~ü,

.!' •

para x ""'O.

=(O, y)

Mostre que D 1 H existe em todo ponto e que D 2 H existe e é contínua numa vizinhança de (0, 0). Mostre que H é diferenciável em (0, 0), 39. L Sejam A s;;. RP, f: A .:..,. R q diferenciável em um ponto c interior a A e v E R q. Definindo g ; A -) R por g(x) f(x) • v para todo :x E A, mostre que g é diferenciável em c e que

=

Dg(c)(u) = (Df(c)(u)) ·v

i

I '

I

'':'

39 .J. Seja c ponto interior de A s;;. RP e f: A ....,. R. (a) Se f é diferenciável em c, mostre que existe um vetor (úrúco) vc E RP tal que

Il •

D . .f(c) ""Df(c)(u) =v< · u O vetor uc é chamado gradiente de f em c e se denota por

para tod<> u € RP.

vc{, ou por grad {(c), Mostre que

VJ = (Dd(c), ... , Drf(c)). (b) Use a Desigualdade de Schwarz para mostrar que se ueRP·e llull"d, então a função u ~-> D!lf(c) tem máximo quando ué múltíplo positivo de v cf. Logo a direção segundo a qual a derivada direcional de {em c é máxiffia é a direção do gradiente dé f em c. . ) 39. K. Seja c ponto interior de A

c i{P, f, g :A -> R

Vc(af) =
'

• I

diferenciáveis em c e a E R. Mosil:e que

V, (f+ g) =V.f+ V"g,

=f( c) V"g + g(c) V.f.

39.L. Detemüne os gradientes das seguintes funções num ponto arbitrárío de R 3

(a)

Mx,y,z)=x~+y 2 +z\

(b) f2(x., y, z) = x 2- yz (c) f,(x, y, z) = xyz.

322

+ zl;

•

'

l

.....

' '·

/'

.

\

39.M. Determine as derivadas direcionais das funções em 39.L no ponto (0, 1, 2) na direção do ponto (0, 2, 3). 39.N. Seja A ç;_ R l e seja uma função f: A--.. R representando a superfície St em R~ explicita· mente como seu gráfico: .., · ·.-"'

S, = {(x, y, f(x, y}) :(x, y) E A}. Se f .é diferenciável em um ponto interior (x 0 , y 0 ) de A, então o plano tangente a S f no ponto (x 0 , Yo, [(x 0 ; ,Y 0 )) é dado pelo gráfico da aplicação afim A(~,y0); R 1 _,.R defmida por

.

(

c ( '·

I

\

At,ft,yel(x, Y) = f(xo, Yo) + Df(xo, }'o)( X -X o. Y- Yo) ·

I.

Mostre q~e o plano tangente a St neste ponto é

{(x, y, z)E R':z = f(xu. Yo)+DJ(x
(

39.P. Seja J C R um rnterwlo e g: J ..... R 3 representando urna curva Cg em R 3 parametrica-

{

mente:

. Mosn:indo

( f '·

Se g é diferenciável em um ponto interior t 0 de J, então o espaço tangente a Cg no ponto g(t 0 ) = (g 1 (t 0 ), g 1 (t 0 ), g 3 (t 0 )) E K~ é dado parametricamente pela aplict~ção afun A iQ: R -"' R 3 definida por

A'
(

Se g; (t 0 ), {t 0 ), (t 0 } não são simultaneamente nulas, então este espaço tangente é uma reta em R'1. e se chama reta tangente. 39 .Q. Determine equações paramétricas das retas tangentes às seguintes curvas em Rl nos pontos especificados: (a) g :r ......,. (:x:, y, z) = ( t, t\ t 3) nos pontos correspondentes a t =O e t = 1. (b} g:tH(:x:,y,z)=(t-l,t\2) nqs pontos correspondentes a t =O e t = 11 (c) g: t ;-.,)> (x, y, z) = (2 cos r, 2 sen t, i) nos pontos correspondentes a r= N/2 e t = rr.

g;

39.R. Seja A ç;.R 1 e h :A .....,.R 3 representruido uma superfície Sh em R" para.rnet.ricamente: S~

\

{

Y = g2(to) + g~(to}{€- to).

g;

I

[

Mostre sue o espaço tangente â Cu neste ponto é

{(:x:, y, z) E R 3 : x = g 1(to)+ g;(t0 )(t- to).

.mção enva-

..

={(ht(s, t), h~(s, t), ~){s, t)) :(s, t)EA}.

f

I \ (

~·

(

\ (

Se h é diferenciável O!Jm ponto interior (s<~, t 0 ) de A, então o espaço tangente a S;l no ponto h{s 0 , ta.}= (h 1 (s 0 , t 0 ), h 1 (S 0 , t 0 ), h 3 (s0 , t 0 )) E R 3 é dado pararnetricamente pela apli01ção afun A (.= R~ R 3 definida por

(

I

( \.'

\ 323

(

.

Mostre que o espaço tangente a Sy neste ponto é {{x, y, z) E R):

X

= h,(so, ! 0) + D 1h 1(s0 , to)(s- So) + Dzh 1 (s~;, to)( I- t 0 ),

)' = h2(s,h t..,) + D,h~(s<:>, to)(s- s1) + D~h~(s 0 , t0)(t- t<~), z = h,(sn. t") + D,h~(So, t.,)(s- s,.) + D~hlso. lo)(t- to)}. Se os vetores (D 1 h 1 (s 0 , t 0 ), D 1 h~ (s 0 , t 0 ), D 1 h 3 (s 0 , t 0 )) e (D, h 1 (s 0 , t 0 ), D~ h~ (s 0 , t 0 ), D ~ h 3 (s 0 , t () )) em R 3 não são múltiplos uns dos outros, então este espaço tangente é um plano em R~ e é chamado pia· no tangente. 39 .S. Determine equações paramétricas dos planos tangentes às seguintes superfícies em R~ nos pontos especificados. (a) h: (s, t) H- (x, Y.• z) (S', t, s~ + t 2 ) nos pontos correspondentes a (s, t) = (0, O) e (1, 1). (b) h : (s, t)- (x,y, z) (s + t, s - t, s• - t 2 ) nos pontos correspondentes a (s, t)= (0, 0) e (1, 2). (c) h : (s, t),.., (x, y, z) (s cos t, s sen t, t) nos pontos correspondentes a (s, t) = (1, 0) e (2, 1f/2). (d) h : (s, t),.., (x, y, z) (cos s sen t, sen s sen t, cos t) nos pontos correspondentes a (s, t) = (0, 0), {0, -rr/2) e (n/4, -rr/4). 3 9. T. Se A ç_ RP e f: A ....,. R é tal que as derivadas parciais D J, ... , Dpf existem e são limitadas em alguma vizínhança de c E A, então f é contínua em c. (Sugestão: Argumente como na demonstração do Teorema 39.9.} 39. U. Seja f definida numa vizinhança de um ponto c E R~ com valores em R. Suponha que D 1 [ exista e seja contínua numa vizinhança de c e que D,f exista em c. Mostre que f é diferenciável

= = = =

'·

em c.

39. V. Sejam A c RP e f: A -• Rq, g :A -+R r funções dadas. Se F: A _,.R
DF(c)(u) = (Df(c)(u), Dg(c)(u})

•'

'

39.W. Sejam A ç_RP e Bç_Rq e seja G:A XB-+Rr diferenciável num ponto (a, b) de A XB. Definamos g 1 :A-+ R~' e g 2 : B-+ Rr como a~ "apUcações parciais" em (a, b) dadas por '

:

l

para todo x E A, y E B. Mostre que g 1 e g 1 são diferenciáveis em a e b, respectivamente, e que Dg~(a)(u)

= DG(a, b)(u, 0),

Dg.(b)(v}=DG{a, b)(O,

vh

para todos u E RP, v E Rq. Além disso, temos :1

li

DG(a, b)(ll, v)= Dg~(a)(u) + Dg,(b)(v) .

.· ·.~ li. ' ú~

~

'

''

'

.d

! (

[Às vezes Dg 1 (a) e.f:t7(RP, R') e Dg 2 (b) EY(Rq, R r) são chamadas"derivadas parciais em bloco" de C em (a, b) e se denotam por Dú)G(a, b) e Dt.:J)G(a, b).J

I.

I

SEÇÃO 40 A REGRA DA CADEIA E OS TEOREMAS DE VALOR MÉDIO

Estabeleceremos primeiro as relações algébricas básicas referentes à derivada. Estas propriedades, que são as mesmas que para as funções reais de uma variável, serão usadas freqüentemente no que segue.

40.1 Teorema. Seja A C RP e seja c ponto interior de A.

·I

I

(a) Se f e g são definidas de A em Rq e são diferenciáveis em t, e se a, {3 E R, então a função h =oif + {3g é diferenciável em c e Dh(c) = o:Df(c) + f3Dg(c). 324

(b) Se <.p :A --+R e f: A -+ Rq são diferenciáveis em c, então a função produto k = <.pf : A 4 Rq é diferenciável em c e Dk{c )(uI= { Dçp(c )( u)}f{c) +
para u E R r>.

Demonstração. (a) Se e> O, então existem o1 (e)> O e ó2 (e)> O tais que se llxcll5: in f { ó 1 (e), ó 2 (e)}, então l!f(x)- f( c)- Df(c)(x ~ c)l! < e llx- c li, lfg{x)- g(c)- Dg(c)(x- c)l! ~ e em R

llx- cli·

9

). ~(l,2).

2,7T/2). t) =(0, limita-

Assim, se llx -c li~ inf { ô 1 (e), ó 2 (e)}, então

l!h(x)- h(c)- {aDf(c)(x- c)+ (3Dg(c)(x- c)}l! < (jo:J + lf31)e

A XB.

cl!.

(b) Um cálculo simples mostra que k(x)- k(c)- {D
={
ha que nciável

é de· ôA se e

'7'

Como cillf(c) + (3Dg(c) é uma função linear de RP em Rq, segue-se que h é diferenciável em c e que Dh(c) =aDf(c) + {3Dg(c).

emons~

'r

llx

+ D
os

O próximo resultado - de grande importância - assegura que a derivada da composta de duas funções diferenciáveis é a composta de suas derivadas.

40.2 Regra da Cadeia. Sejam as funções

f de A s;;;. RP em Rq e g de B C Rq em R r.

Suponhamos que f seja díferenciável em c e que g seja diferenciável em b = f(c). Então a composta h =g o f é diferenciável em c e (40. 1) co" de

Estas 1sadas

Alternativamente, podemos escrever (40.2)

D(gof)(c) = Dg(f(c))oDf(c).

Demonstração. A lúpótese implica que c é ponto interior do domínio de h= g o f. (Por quê?) Seja E> O, e ó(e,[) e ó (e,g) tais corno na Definição 39.2. Decorre do Lema 39.5 que existem números estritamente positivos /, K, tais que se llx- cll;:;; /, então f(x) EB e (40.3)

então

Dh(c) = Dg(b)oDf(c).

Hf(x)- f(c)ll s K llx- cl!-

Por questão de simplicidade~ escrevemos Lr =Df(c) e Lg =Dg(b). Pelo Teorema 21.3, exíste uma constante M tal que (40.4)

325

Se llx- cl! ~ inf{-y, (1/K)ô (e,g)}, então (40.3) implica llf(x)- f(c)ll nifica que

(40.5)

< S(e,g), o que sig-

Jlg(f(x))- g(f(c))- L~(f(x)- f(c))ll ::.se llf(x}- f(c)!l s eK !lx- cJI.

Se exigimos também que llx-

cll::;;, ó (e,[), então inferimos de (40.4) que

IJL~{f(x) --f( c)- L,(x- c)}!!~ eM llx- cJI.

Combinando esta última relação com (40.5), inferimos que se ó 1 ~inf{y, (1/K)ô(e,g), ó(e,f)} e se x EA e !lx-: cll ~ó 1 , então llg(f(x))- g(f(c))- L 8 (L,(x- c))l! s e(K + M)

llx- c ]I,

o que significa que

11& of(x)- go f( c)- L 8 oJ4 (x- c)!l s e(K + M) !lx- cJ!. Concluímos que Dh(c) = Lg o L 1. ~

Q.E.D.

Mantendo a notação da demonstração do teorema, L f = Df(c) é uma função linear de RP em Rq e Lg ;:;;!Dg(b) é uma função linear de Rq emRr. A composta Lu o Lt é uma função linear de RP em R r, tal como exigido, pois h =g o f é uma função definida em par· te de RP com valores em Rr. Consideremos agora alguns exemplos deste resultado.

:.

..·

40.3 Exemplos. (a) Seja p = q-:- r= 1; então a derivada Df(c) é a função linear que leva o número real u emf'(c)u; analogamente para Dg(b). Segue-se que a derivada deg o f leva o re(l] u emg'(b)f'(c)u. (b) Seja p > 1, q =r = L De acordo com o Exemplo 39.8 (c), a derivada (j,e f em c leva o ponto w =(w 1 , ••• , wp) deRP no núinero real Dx[(c)w1 + · · · + Dpf(c)wp e assim a derivada de g o f em c leva este ponto de RP no número real

g'(b)[Dt[(c)w1 + · · · + D 1,f(c)wr>]. (c) Seja q > 1, p =r""' 1. De acordo corp. os Exemplos 39.8(b), (c), a derivada Df(c) leva o número real u no ponto Df(c)(u) ~uf'(c) = (f;(c)u, ... , f~(c)u) e a derivada Dg (b) leva o ponto w ={w 1 ,

••• ,

wq) de Rq no núrnefb real

D 1g (b )w1 + · · · + D
Dh(c)u = {D~g(b)fHc) + · · · + D<~g(b)f~(c)}u == u{Dg(b}(f'(c))}. A quantidade entre colchetes, que é h'(c) tão preciso

=(g<> f)' (c), por vezes se denota pelo s!mbolismo nãà

Nesse contexto, deve ficar er:tendído que as derivadas sejam calculadas em pontos apropriados.

326 E

=

(d) Consideremos o caso p =q 2, r = 3. Por simpllcídade de notação, denotaremos as variáveis coordenadas em RP por (x,y)~ em Rq por (w, z) e em R r por(!, s, t). Então, uma função f de RP em Rq pode ser expressa na f~rma 'f

w = W(x, y),

~.. 11"

z ='Z(x, y)

s = S(w, z),

e, g),

'=

(40.6)

.E.D. in ear

uma

t

em c

t = T(w, z).

(

= W;:(c)~

(

\

+ W,(c)1J,

t

Z.(c).; + 2y(c)1J.

(

Aqui, escrevemos W." para representar D 1 W =Dx W etc. Outrossim, a derivadabg(b) leva (w, nem (p, a, r) de acordo com as relações (40.7)

(

+ S%(b),,

(

= Tw(b)w + T>:(b),.

\

O'= T

Sw(b)w

Um ctllculo de rotina mostra que a derivada de g

(40.8)

(

\

+ R,(b),,

p = Rw(b)w

par·

r que gof

(

A derivadá Df(c) leva(~, 17) em (w. s) de acordo com a fórmula w

(

(

e uma função g de Rq em R r pode ser expressa na forma

r= R(w, z),

c

o

[leva(~,

(

c

17) em (p, a, r) por

(

p = {Rw(b) W~(c) + Re(b)Z(c)}.; + {R..,(b)Wy(c}+ R.(b)2y(c)}1J,

(


+ S, (b )Z.(c )}.; + {S..,(b) Wy(c) +S. (b)2y(c)}TJ,

(

-r= {T,.,(b) Wx(c) + T~(b )Z.(c )}g + {Tw(b) Wy{c) + T~(b )2:y (c)}TJ.

( ( \.

vada

Uma notação mais clássica consistiria em escrever df, dy em lugar de !;, 71; dw, dz em lugar de w, 5; e dr, ds, dt em lugar de p, a, r. Denotando o valor da derivada parcial Wx no ponto c por iJw/ox, (40.6)

se torna

i

t

( f

dw =õw dx +~ dy õx ày '

az

dz = - dx ÔX

\. l

í

az dy. +Ô)

Analogamente, (40.7) fica

(

ar aw az · .d:s =as- dw +as dz, ôw az

ar

o não

dr = - dw +---:- dz.

dt =

(

lL~. dw + ~ dz · aw az ' 327

{

f

\

f

e (40.8) é escrita sob a fomm

dr""" (.!!.~ ÔW + or iJz) dx + ( ôr

aw

ÔW

+ iJr iJz) d

ax az ax aw ay az ây y, ds ""' (as aw + as !!,z) dx + (as aw + as az) d aw ax az ax aw iJy az ay y, _ (at -&w+ar- az) at-aw+ar- az) d r- d x+ ( - dy . aw ay az ay

aw ax az ax

I

·

Nesses três Últimos conjuntos de fórmulas é importante notar que todas as derivadas parciais indicadas devem ser calculadas em pontos apropriados. Por conseguinte, os coeficientes de dx, dy etc. são mímeros reais. i

Podemos exprimir a equação (40.6) em terminologia de matrizes, dizendo que a ap1lcação Df(c) de (t f/) em {w, t) é dada pela matriz 2 x 2

Wx(c)

(40.9)

[ Z,(c)

aw (c) aw (c) W 1 (c)J = ax õy Zy(c) az (c) az (c) ax õy

Analogamente, (40.7) afirma que a aplicação Dg(b) de (w, r) em (p, o, r) é dada pela ma· triz 3 x 2

Rw(b) S,._(b) Tw(b)

(40.10)

R~(b)

S,(b)

Tlb)

-

~(b) aw

ôr (b) àz

~(b) aw

as (b)

ôz

~(b) :; (b)

aw

Finalmente, a relação (40.8) assevera que a aplicação D(g o [)(c) de (~,fi) em (p, a, r) é

'·

dada pela matriz 3 x 2

R,.,(b) W,(c) + R~(b).Z,(c) S.., {b) W,:( c) + S. ( b) .Z, (c) Tw(b) W .. (c) + T~(b ).Z,(c) que é

R,(b)Wy(c) + R.(b)Zy(c) S., (b) W~(c) + S.(b )Zy(c) Tw(t) W7 (c) + T,(b)Zy(c)

oproduto da matriz em (40.10) pela matriz em (40.9), nessa ordem.

TEOREMA DO VALOR MÉDIO

Abordaremos agora o problema de obter uma generalização do Teorema do Valor Médio, 27.6, para funções diferenciáveis de RP em Rq. Veremos que o análogo direto do Teorema 27.6 não se verifica quando q > 1. Seria de esperar-se que, se f é díferenciável

328

em todo po11to de RP com valores em Rq e se a~ b pertencem a RP, então existisse um ponto c (entre a e b) tal que (40.11) f(b)- f( a)= Df(f-:~(!>- a). Esta conclusão falha mesmo quando p = 1 e q = 2, como se pode ver pela função f de R em R 1 , definida pela fórmula f(x) = (x- x 2 , x- x 3). Aqui Df(c) é a função linear de R em R 2 que leva o número real uno elemento dicadas 1

'. nume-

que a

Df(c)(u) = ((1- 2c)u, (1- 3cz)u).

Ora. f( O)= (O. O) e f(l) = (0, 0), mas não existe um 'ponto c tal que Df(c)(u) =(O~ O) para qualquer u diferente de zero em R. Logo, a fórmula (40.11) não se verífica em geral quando q > 1; mesmo que p = 1. Todavia~ para muitas aplicações, basta considerar o caso q = l e então é fácil obter uma extensão do Teorema do Valor Médio. . 40.4 Teorema do Valor Médio. Seja f definida em um subconjunto aberto n de RP .f·:~<­ e com valores em R. Suponhamos que o conjunto n contenha os pontos a, b e o segmento S que os une, e que f seja diferenciável em todo ponto desse segmento. Então existe um ponto c em S tal que

! •

(40.11)

f(b)- f( a)= Df(c)(b- a).

Demonstração .. Seja o.p :R-+ RP definida por
de.modo que·;p(O)=a,o.p(l)=b, e I{J(t)ESCS1 para tE[O, 1]- Como rl é aberto e ífJ é contínua, existe um número 'Y >O tal que 'P leva o intervalo (-'Y, l +/)em n. Seja agora F:(-'Y,l +'Y)~Rdefinidapor ·

F(t) = foq>(t) = f((l- t)a + tb). Pela Regra da Cadeia [v. 40.3(c) e 40.P.J, segue-se que F'(t) = Df((l- t)a + tb)(
= Df((l- t)q + tb)(b- c).

r) é

Aplicando o Teorema do Valor Médio, 27.6, a F, inferimos que existe to E (O, 1) tal que F(l)- F(O)= F'(t 0 ). Fazendo c= r.p(t 0 ) E S, obtemos f(b)- f( a)= F(l)- F(O)

= F'(to) = Df(c)(b- a).

Valor to do ciável

Q.E.D.

Embora a extensão mais natural do Teorema do Valor Médio não prevaleça quando o espaço do contradomínio é Rq, q > 1, existem algumas extensões que são válidp.s. Uma das mais úteis se baseia mais em uma desigualdade do que propriamente numa igualdade. 40.5 Teorema do Valor Médio. Seja n c RP um aberto e f: n -+ Rq. Suponhamos que n contenha os pontos a, b e o segmentoS que os une, e que f seja diferenciável em todo ponto de S. Então existe um ponto c em S tal que (40.12)

l!f(b)- f( a)!!< !IDf(c)(b- a)l!.

329

Demonstração. Se Yo = f(b)- f(a) é o vetor zero em Rq, então o resultado é trivial. Se Yo =fo O, seja Yl =Yoflly 0 lle use o produto interno em R« para definir H: n _,R por ..

H(:x) = f(x) · Y1 Evidentemente, temos

H(b)- H(a) ·l'

..i

para x E !1.

j

l

II

={f(b)- f( a)}· Y1 = llf(b)- f(a)l!

\;

e se vê facilmente que

'i

I

DH(x)(u)- {Df(x)(u)} ·

'

j

'':'

}11

,.

para x E S, u ERP. Decorre do Teorema do Valor Médio 40.4 que existe um ponto c em S tal que

H(b)- H(a)

= DH(c)(b -a)

= {Df(c)(b- a)}· Y1· Usando a desigualdade de Schwarz e o fato de que lly 1 11"" 1, temos

'

I

I

l!f(b)- f(a)!l ={Df(c)(b- a)}· Y1 < I!Df(c)(b- a)IJ,

que é o resultado desejado.

Q.E.D.

Como em geral não se conhece o valor exato do ponto c, a aplicação do teorema freqüentemente depende do seguinte resultado, cujo enunciado utiliza a noção de norrria de uma aplicação linear L de RP em Rq, introduzida no Exercício 2LL. E preciso lem. brar apenas que IIL(u)ll Otal que IIDf(x)!lpq < M para todo x E S. Tem-se então

l!f(b)- f(a)!l s M !lb- ai!.

Demonstração, Como !IDf(c)(b- a)ll < IIDf(c)llml!b- ai!, e como c E S, temos llf(b) ~ f(a)!l < !!Df(c)(b- a)ll < I!Df(c)!lwllb- ali< M

l!b- ai!.

!' i I

\ I

Q.E.D.

INVERSÃO DA ORDEM DE DIFERENCIAÇÃO Se f é uma função com domínio em RP e contradomínio em R, então f pode ter p derivadas parciais de primeira ordem, que denotaremos por .;

'

ou

i

= 1, 2, ... , p.

Cada derivada parcial é uma funÇão com domínio em RP e contradomt'nio em R e assim cada uma dessas p funções pode ter p derivadas parciais. Seguíndo a i:)otação convencional, referir~nos"emos às p 2 funções resultantes (ou às que existam) como derivadas par· dais segundas de f e as denotaremos por :

:

ou

. ' :

'~

330

i, j = 1' 2, ... p. l

I \ i

r

/

'·

trivial. por.

Note-se que a derivada parcial representada por um desses dois símbolos é a derivada parcial, em relação a Xf, da derivada parcial de f em relação a X i- (Em outras palavras: primei~. roxi,entãox;.) .., .,., ! ·. De maneira análoga, podemos cogitar da existência das derivadas parciais terceiras ! (de terceira ordem), ou de ordens superiores. Em princípio, uma função de RP em R po· . de ter pn derivadas parciais. Todavia, se as derivadas resultantes são contínuas. a ordem de /. diferenciação é irrelevante. Além de reduzir o número de derivadas de ordem superior (potencialmente) distintas. este resultado elimina o perigo da sutileza de notação para 1 !. distinguir as diversas ordens _de diferenciação, · Basta considerar a inversão da ordem das derivadas segundas. Mantendo constantes todas as outras coordenadas, vemos que não se perde em generalidade ao considerar urna função de R 2 em R. Para simplificar a notação. denotaremos por (x~y) um ponto emR 2 e mostraremos que se Dxf, D;;/ e Dyxf existem e se Dyxf é contínua em um ponto, então a derivada parcial Dxyf existe aí_ e é igual a Dyxf· (No Exercício 40. U veremos que é possível existirem D;;x! e Dxyf sem, no entanto, serem iguais.) Na demonstração, mostraremos que ambas essas derivadas parciais mistas na ponto (0, O) são o limite do quociente

i

I,

!

cem

\. (

\

( {

I

'

''

'

•

\

{

\

.

1

[(h, k)- f( h, 0)- f(O, k) + f(OJ;!}

E.D.

rema

>r ma

I em. 14.

·as e

quando (h, k)-> (0, O). 40.7 Lema. Suponhanws f definida em uma vizinhança U da on'gem em R\ com valores em R, que as derivadas parciais Dxf e D:~.J existam em U e que D:~xf seja cont(nua em (0, Q)_ Se A é a diferença mista (40.13)

\.' (

\

A(h, k)= f(hj k)-f(h, 0)-f(O, k)+ f(O, O), <'

(

então

D y:.: f( O, 0 ) -

...'"'D. . ~-

~r

{

1

hk

p

sim :io. .

(40.14)

Se Ikl

(

.

A(h,k) lírn '·k . (h. k}-(0. !)) n.

Demonstração. Seja E> ú e ó >O súficientemeiite pequeno para que, se Ih! lk! < 8, então o ponto (}1., k) pertença a Ué IDyxf(h, k)- Dp{(Q, O)j <

<.

;'

'·

''

<ô e

\

l

'I

S,.

I'


'

;'

B (h)~ f(h, k)- f( h, 0),

1

donde decQrre que A (h,k) = B(h)- B(O). Por hipótese, a derivada parcial D;,;/ existe em U e, assim, B tem umá derivada, Aplicando o Teorema do Valor Médio, 27 .6, à B, existe um número h, o, O< lho! < Ih! tal que

(

(40.15)

A(h, k)

\' .,

= B(h)- B(O) = hB (ho). 1

t (

(Note-se que o valor de h 0 depende dq·valor de k, mas isto não nos causa embaraços) Re· ferindo-nas à definição de

.S; temos

~

.

í\

B '(ho) = D,j{ho, k)- Í).[(ho, O).

(

\.

(

331

(

'I

!

Aplicando o Teorema do Valor Médio ao membro direito da última equação, existe um número k 0 , O< lk 0 ! < lkl tal que (40.16)

B'(ho) = k{Dy,f(h 0 , ko)}.

Combinando as equações (40.15) e (40.1 6), concluímos que se O< Ih I< 0 e O < !kl < 8, então A(h, k)

hk

=

Dy.f(ho, ko),

onde O< lho!< lhl, O< lk0 1< lkl. Decorre da desigualdade (40.14) e da expressão precedente que

I

A(h, k) hk - Dyxf(O, O) < t

I

Q.E.D.

quandoO
Podemos agora obter ~ma condição útil (devída a H. A. Schwarz) para a igualdade das derivadas parcíais mistas. 40.8 Teorema. Suponhamos f definida em uma vizinhança U de um ponto (x, y) em R e com valores em R. Suponhamos que as derivadas parcio.is Dx/, D;~f, e D::;xf existam em U e que Dyxf seja contínua em (x, y). Então a deri11ada parcial D;x:;yf existe em (x, y) e D xyf(:'<, y) == D;~xf(x, y ). 2

Demonstração. Nada perderemos em generalidade supondo (x,y) =(O, O). Se A é a função definida no lema precedente, então vimos que (40.17)

a existência deste limite duplo sendo parte da conclusão. Por hipótese, Dyf existe em U, de modo que

'

::

D~~f(O,O)= (h.f<)-(0,) Iim A~kk), .

.

(40.18) '

F~ A~~ k) = ~ {Dy[(h, O)- DJ(ú, O)},

h~

o.

Se e> O, existe um número ô(e) >O tal que se O< Ih I< 8 (e) e O< lkl < ô (e), então

I

l ! j

i .

ll I'

I

I·

i

para todo h que satisfaça O < Ih I< ô (e} Portanto, Dx-:J(O, O) existe e é igual a Dyxf(O,

O).

l i

..

\ ~ {Dyf(h, O)- Dy{(O, O)}- Dr"'f(O, O)\< e,

J

I I

B-

Tomando o limite nesta desigualdade em relação a k e aplicando ( 40.18), obtemos

I

'I

I<

A(h, k) hk - Dy.f(O, O)

Q.E.D.

I I

DERfVADAS DE ORDEM SUPERIOR

Se f é uma função com domínio em RP e contradomínio em R, então a derivada Df(c) de f em c é a função linear de RP em R tal que

l!f{c + z)- f( c.)- Df(c)(z)IJ :5 s l!zll,

332

,

...

··:--

r

~

iste um

I< 0 e

~

para z suficientemente pequeno. Isto significa que Df(c) é a função linear que melhor ~ aproxima a diferença f(c + z)- f( c) quando z é pequeno. Qualquer outra função linear } levaria a uma aproximação menos exata para z pequeno. Por esta propriedade defmi.Q-ora, f vê-se que se Df(c) existe, então é necessariamente dad'á pela fórmula ... ,

Df(c){z) = Dt[(c)zt + · · · + D 11f(c)zp,

onde z = (z 1 , ••• , zp) em R P. Embora as aproximações lineares sejam particularmente simples e suficientemen: te exatas para muitas finalidades, às vezes é preciso um grau de aproximação melhor do i que o proporcionado por funções lineares. Em tais casos é natural apelarmos para as funl ções quadráticas, cúbicas etc. para obter a aproximação desejada. Como nossas funções ; devem ter seus domínios em RP, seríamos levados ao estudo de funções multilineares de RP em R para uma discussão completa de tais funções. Embora não seja particularmente i difícil, tal estudo nos levaria demasiadamente longe para as aplicações limitadas que te' mos em mente. Por esta razão, definiremos a derivada segunda D1f(c) de f em c como a função de RP X RP em R tal que se (Y, z) pertence a este. produto e y = Ú't. ... ,Yv) e z =(z 1 , ••• , Zv),então ~

ão pre-

1

Q.E.D. aldade y)em

'âstam (x,y)

:A é a

em U,

Ao discutirmos a derivada segunda, suporemos, no que se segue, que as derivadas parciais segundas de f existem e são contínuas em uma vizinhança de c; Analogamente, definiremos a derivada terceira D3 f(c) de f em c como a função de (Y, z, w) em RP xRP X RP dada por

Ao éijscutírmos a derivada terceira, adnútir.emos que todas as derivadas p~rciais terceiras de f existem e são contínuas em uma vizinhança de c. Já deve estar claro agora o processo de formação de .derivadas de ordem superior. (Em razão de nossas observações precedentes sobre a inversão da ordem de diferenciação, se as derivadas parcíaís mistas resultantes são contínuas, elas são independentes da ordem de diferenciação.) Mais um detalhe referente à notacão: escreveremos , D'J(c)(w) 2 em lugar de D 2 f(c)(w, w), D)f(c)(w) 3 em lugar de D'f(c)(w, w, w), •

•

~

•

+

•

•

+

•

•

•

•

•

+

•

•

•

~

•

•

D"f(c)(w)" em lugar de D"f(c)(w, w, ...• w).

f( O~ .E.D.

r;

Se p =2 e se denotamos um elemento de ,R. 2 por (x.y) e w =(h, k), então 0 2 f(c)(w) 2 é igual à expressão 2 Dx~f(c)h + 2D,Yf(c)hk + Dyy{(c)k ; 2

vada

analogamente, D 3 /(c)(wY~ é igual a

333

e Dnf(c)(w )n é igual à expressão

D

X •• '

xf(c) h"+

'. 'xyf(c )h n~l k + (;)v

(~)n ~

Seja f:J; :X •••

:xnf( c) h n-lk 2

4( f.r cos 8'

+ · · · + Dy ....J(c)kn. Introduzida esta notação, estabeleceremos agora uma importante generalização do Teorema de Taylor para funções de RP em R.

TeoreJT!.a de Taylor. Suponhamos que f seja uma função com domínio aberto nem

41

RP e contradomínio em R, e que f tenha derivadas parciais contínuas de ordem n numa vizinhança de todoponto l:le um segmento S unindo dois pontos a, b =a + u em n. Então existe um ponto c em S tal que ·

f( a+ u) =f( a)+

J

1

it D~f(a)(u)

Df(a)(u) +

(~

(t

((

2

(í

1

1 + · '· + (n-1)! D'Hf(a)(u)"- 1 +Dnf(c)(u)". n!

4' em c, &

c e que~

Demonstração. Seja F definida para t em I em R por

F(t) = f(a +tu).

4 4 que 11/(;

Em vista da suposta existência das derivadas parciais de f, segue-se que

39J.) Ir

F'(t) = Df(a + tu}(u),

F"(t} = D'J(a + tu)(u) . . ... . . . . . .. ~

4 2

,

~

(:

FM{t) = D"f(a + tu)(ut. Aplicando a versão unidimensional do Teorema de Taylor, 28.6, à função F em I, inferimos que existe um número real to em I tal que

1 F(l) = F{O) + ]_ F'(O) + · · · + . p<"- 1)(0) + 1_ p<")( to). · .. :li • (n-1)! n!

g(t)

40.A. Se f(x, y) = x" + y 2 e g(t) = (3t + 1, 2t - 3), seja F(t) =f o g(t). Calcule F'(t) .direta• mente e aplica11do a Regra da Cadeia. 40.B. Se f(x, y) =- xy e g(t, t) = (2s + 3t, 4s + t), seja F(s, t) =f o g(s, r). Calcule DJ<' e D,F diretamente e apUcando a Regr11 da Cadeia. 4Q.C. Se /(x,y, z) = xyz e g(s, t} = (3s + st,s, t), seja F(s, t) =f<> g(s, t). Calcule DIF e D2F diretamente e pela Regra da Cadeia. 4Q.D. Se f(x, y, z) =xy + yz + zx e g(s, r)= (cos s, sen s cos r, sen t), seja F(s, t) g(s, t). Calcule D 1 F e DJ F diretamente e aplicando a Regra da Cadeia. 40. E. Se submetermos os eixos cartesianos a uma rotação de um ângulo e no plano, as novas coordenadas u, u estarão .rela do nadas com as coordenadas originais x, y por

=["'

334

U COS () - V

sen Q,

y = u sen 8 +v cose.

=fi

nea de g

EXERCÍCIOS

=

(

Q.E.D.

Fazendo c =a+ t 0 u, temos o resultado.

X

para tod

4

para to( mostre •

Df(a) s~

4

5

I I

I

~

r

' (

Seja/:R 1

-+

R díferenciável em R'J e seja F(u, v)= f(x,y) para todo x,y. Mostre que

(DtF(u, v)J2+ [D.F(u, v)J~ = [Dd(x, y)] 2 +[D;d(x, y)]l. 40.F. Seja f: R 1 -+R diferenciável em R 2 ; seja g: (0, t= =)·~R_,. R definida por g(r, 8) = (r cos 8, r sen 8}, e seja F= f<> g. Calcule D 1 F e D 2 F e mostxe que

+[Dd(r cos

(J,

(

r sen8)l.

(

40.G. Seja f: R..-. R diferenciável em R.

i

(a) Se F(x,y) = f(xy), então xD 1 F(x, y) = yD'lF(x, y) para todo (x, y).

\

(b) Se F(x,y) = f(a:x + by) onde a, b ER, então bD 1 F(x,y) =aD 2 F(x,y) para todo (x,y).

f

(c) Se F(x,y) = f(x" + y (d) Se F(x, y)

=f(x~

1

),

\

então yD 1 F(x, y) = xDl F(x, y) para todo (x, y).

- y 2 ), então yD 1 F(x, y)

c

+ xD:l F(.x, y) =O para todo

i

f

~

.

(x,y).

40.H. Seja A ç,.RP e um ponto interior de A. Sejam/, g funções de A emRq diferenciáveis em c. Se defminnos h: A~ R por h (x) = f(x) • g(x) para todo x E A, mostre que h é diferenciável em c e que se uERP,então

f

'

\ ''

Dh(c)(u) ~ (Df(c)(u))- g(c)+ f( c)· (Dg(c)(u)). 40. I. Expresse os resultados do Exerclcio 40.H em termos de funções coordenadas. 40 .J. Sejam A c R e c um ponto interior de A. Suponha f: A -• R.P diferenciável em c e tal que !1/(x)n = 1 para x E A. Mostre que /(c) • v~f= O, onde v cfé o gradiente de f em c. {Cf. Exercício 39 .J .) Interprete geometricamente esta conclusão. 40.K. Sejaf:RP ~R (positivamente) homogênea de grau k no sentido de que

f(t:x)

= t~f(x)

f

\ (

: \

t

para

(a) Se fé diferenciável em RP. mostre que f verifica a Relaçio de Euler;

(

5

(

kf(x) = xtDtf(x) + · · · + x.;,Dl'f(x) para todo x ={x 1 , ••• , ~p}em RP com x '*O, (b). Reciprocamente, suponhamos que f satisfaça a Relação de Euler e que c E RP, c "#O. Seja g(t) ={(te) para t >O e mostre que tg'(t) = kg(t) para t > O. Use este fato para provar que f é homogênea de grau k. 40. L. Sejam A C: RP, f: A ....,. RP, e g: /(A) ....,. RP a função inversa de f no sentido de que

.

'

'

gof(y)= Y para todo x E A e y E f (A). Se f é diferenciável em um ponto a E A e se g é diferenciável em b ={(a), mostre que as funções lineares D[(a) e Dg(b) são inversas uma d.a outra; isto é, Df(a)" Dg(b) e Dg(b) <> Df(a) são a identidade em RP. 40.M. Seja B: R.P X RP = R~P- Rq bilinear no sentido de que

B(ax + bx', y) = aB(x, y) + bB(x', y),

l

.

/

.' \'

: (

:

\

'

! \

'

I

: I

B(x, ay + by') = aB(x, y) + bB(x, y')

~

,

\

\

;( 5

Leonard Euler (1707·1783)~ natural de Basiléia, Suíça, estudou com João Bernoulli. Residiu muítos anos em São Petersburgo (hoje Leningrado), mas sua estada ali foi interrompida por um perÍodo de 25 anos em Berlim. Apesar do fato de te.r sido pai de treze fillios e de ter ficado cego. ainda pôde escrever. cerca de oitocentos "papers" e livros, tendo dado contribuições fundamentais a todos os ramos da matemática.

I ,.

';: L

...

/

335

. f

"· '

(

~,

:r ;\ !

f'

'''' t

I ' t\

!i f

para todos a, b E R e todos x~ x',y, y' em RP. Pode-se provar que existeM> O tal que IIB(x, y)ll5. Mbllllyll para todos x, y em RP. Suposto isto, prove que B é diferenciável em todo ponto (x, y) e RP XRP=R 2Peque DB(:x, y)(u, v)= B(x, u) +B(u, y)

or

pa

para todo (u, v) em RP X RP =R zp. --;.:> 40.N. Seja B: RP X RP...;. Rq bilinear no sentido do exerddo precedente e g(x) = B(x, x) para todo x E RP. Mostre que se x, u E RP, então

pa

(i) g (tx) = eg (x) para todo tE R: (ii) Dg(x)(u) = B(x, u)+ B(u, x) = Dg(u)(x}; (iii) g(x + u) = g(x) + Dg(x)(u) + g(u). Além disso, se B é simétrica no sentido de que B(x, y)

pa:

=B(y, x), então

(iv) Dg(x)(u) = 2B(x, u). 40.0. Dê uma demonstração do Exercício 40.H utilizando 40.M. 40.P. Seja n ç_RP aberto e f: n....,. Rq diferenciável em n. Seja I= (a, b) um intervalo aberto em Reg: I-+ R.P diferenciável em I e ta!' que g(J) r;_ n. Se h= f" g: I-+ Rq mostre que

on

h'(c) = Df(g(c))(g'(c)).

PF

40.Q. Seja n c RP um aberto e f: n-+ Rq. Suponha que n contém os pontos a, b e o seg:men~ to de retaS que ós une, e que f é diferencíável em todo ponto de S. Mostre que existe uma aplicação linear L: RP .... Rq tal que f(b)- [(a)= L (b -a). 40.R. Seja n &;.RP um aberto conexo e f: n -• Rq diferenciável em n. Se Df(x) =O para todo x E n, mostre que f(x) =f(y) para todos x, y E n. Mostre que esta· conclusão pode falhar se n não é conexo. 40.S. Seja J c fl.P uma cela aberta e suponha f: J ...... R diferenciável em J. Mostre que se aderi~ v.ada parcial D 1[(x) é igual a O para todo x E!, então f não depende da primeira variável no sentido de que

zes

to éd

ne<

ren

para dois pontos quaisquer em J, cujas segunda, ... , pr:m coordenadas são as mesmas. cela,

40. T. Mostre que a conclusão do exerc(cio precedente pode falhar se J não se supõe ser uma 40.U. Seja[:R 1 -R definida por

·'

•

f(x, y) r=

xv (x 2 •v 2) \

2

+~i-'

=O

para (:x:, y) ;f. (0, O),

SE

para (x, y) =(O. O). ,..'

Mostre que as derivadas parciais segundas Dx:d e Dy;x:[ existem em (0, 0) mas não são iguais. 40.V. Use o Teorema do Valor Médio para determinar aproximadamente a distância do ponto (3 ,2, 4,1) à origem. Dê cotas para o erro de sua e~timativa. 40. W. Seja n ç_ RP abertO e f: n -+R q. Suponha que n contém os pontos a, b, e ·o segmento de retaS que os une, e que f tem derivadas parciais contínuas em S. Mostre que

f(b)- f( a)=

l!

I I

r

Df(a + r(b- a))(b- a) dt.

40.X. Sejam f, g: R-+ R dotadas de derivadas segundas contínuas em R.

336

I

! i..

'.'l

L 'i

sal ses

pel

ças

pe<

zin

fur

onda"

(a) Se c

E

R e u(x, y) = f(x + cy) + g(x- cy), mostre que u :R'l- R verifica a

para todo (x~ y). (b) Se u(x, y)

·~equação

da

i:

=f(3x + 2y) + g(x ~ 2y), mostre que u :R

2

-+R verifica a equação

4D.,.v(x, y)-4D.yv(x, y}-3Dnv(x, x}=O

. '

..

para todo (x, y).

40. Y. Se f: R 2 -+R tem derivadas parciais segundas contínuas e se F(r, 8) =!(r cos (},r sen e) para r> O, B E R, mostre que D.~f(x, y)

1 1 + Dyy{(x, y) = D,.F(r, O)+- D,F(r, O)+~ D*oF(r, 8) r r 1 1 =- D,(rD,F(r, e)) +2 D8~(r, O), r r

onde x =r cos 8, y = r sen fJ.

PROJETO 40.o:. (Este projeto é uma modificação do clássico Método de Newton para localização dera(zes quando se conhece uma aptoximapão suficientemente boa.) Seja f deflnida e cont{nua em um aberto contendo a bola fechada Br(x0 ) =(X ERP:i!x- xil'U < r}e tomando valores em R
(a) Seja g: BrCxo) -r RP defmida por g(x) ""'X - r o f(x) para X E Br(Xo). Mostre que g é diferenciável em todo ponto de Br(X 0 ) e que g é uma contração com constante C< 1 (v. 23.4) em Br(x 0 ). (b) Defina x 1 =g(x 0 ) e xn+t ;::: g(x,.) para n E N. Mostre qJle Uxn+t - xnU :'5: C" llx 1 - x 0 li, don~ de IIXn-u - Xmll m >o. Logo ffXk- XoR
um

x

x

'

I !·

i.

'.'

'I

L'

'

SEÇÃO 41 TEOREMAS DE APLICAÇÃO E FUNÇÕES IMPLÍCITAS } • Seja n um aberto em R P e f uma função com domínio n e contradomínio em Rq ~ salvo menção explícita em contrário, não suporemos p = q. Mostraremos que, sob hipóte~ ses a serem formuladas, o "caráter local" da aplicação f em um ponto c E n é indicado pela aplicação linear Df(c). Mais precisamente: . (i) se p :; q e Df(c) é injetiva ( um-a-um), então f é injetiva em pequenas vizinhanças de c; , (ii) se p "2:q e Df(c) é sobrejetiva (leva RP sobre Rq)~ então a imagem pela/ de uma pequena vizinhança de c é ·Uma vizinhança 'de f( c)~ e (iii) se p=q e Df(c) é bijetiva (=um-a-um e sobre =invertível), entãofleva uma vizinhança U de c biunivocamente sobre uma vizinhança V de [(c). No caso (iii), existe uma função definida em V que é a inversa da restrição de f a U. 337

Página 338 Faltando

Página 339 Faltando

I I

O TEOREMA DA APLICAÇÃO SOBREJETIVA O próximo resultado é como que um companheiro do Teorema da Aplicação Inje~ tiva. Este teorema, devido a L. M. Graves/ afirma que se f é de Classe C 1 (U) e se, pára algum c E n, a aplicação linear Df(c) é uma sobrejeção de RP sobre Rq, então /leva uma vizinhança conveniente de c em uma vizinhança de f( c). Assim, todo ponto de Rq suficientemente próximo de f( c) é a imagem, pela f, de um ponto próximo de c.

I I I

O 1eitor familiarizado coi:n a noção dé "posto" de uma transformação linear recordará que L : RP ..... Rl1 é sobrejetiva se e somente se posto (L)= q < p.

I i

41.6 Teorema da Aplicação Sobrejetiva. Sejam n c RP aberto e f: n-+ Rq pertencente à Classe C1 (Q). Suponhamos que, para algum c En, a função linear L =Df(c)seja uma sobrejeção de RP sobre Rq. Então existem números m > O e a > O tais que, se y E Rq e lly - f(c )11
~~ .f~

f

L é uma sobrejeção, cada qm dos vetores básicos e a = (1 , O. . . . • O), e2 = (O, 1 , . . . , O), . . . , eq = (O, O, . . . , 1)

Demonstração. Como

,,

.··

em Rq é a ímagem, por L, de a1gum vetor em RP, digamos, u 1 , u,_, . .. , liq. Seja agora M: Rq -+ RP a função linea·r que leva ei em Uj para j = 1, 2, ... , q ~isto é,

;

!1 . t>!

Segue-se que L o M é a aplicação identidade emRil; isto é, L o M(y) = y para todo y E Rt1. Faz~ndo

i :l !l

(/

então, utilizando as Desigualdades do Triângulo e de Schwarz, temos que sey ""'!,?,,qaiei, então

IIM(y)ll <

I !I ·.! I

s

'

li '. '

i f

t (

tt 1~1 f' Lt.11U;11 fr2 2

2

2

= m IJy!l.

'

./

f. !ad Jltt;ll

i'""' J

Pelo Lema de Aproximação, 41.4, existe um número a> O tal que se llxh - cll:::;; o:, k""' 1, 2, então Xk E S1 e

(41.5)

l!f(x~)- f(x:.)- L(x1- Xz)JI :S

2

1 m

llx1- xzll·

Seja agora Ba ={x ERP: llx- cll S:a}e suponhamos que y ERq seja tal q~e !lyf(c)!l
i

e

.r i

' 6

; I ,/ , \

>i

: l]

340 .'

,,

Lawrence M. Graves (1896-1973) nasceu em K.ansas, EUA, e esteve ligado por longo tempo à Universidade de Chicago, como aluno e professor. É conhecido por seus trabalhos em análise funcional e cálculo das variações.

Suponhamos c = x 0 , x 1 ••••

{41.6)

, Xn

escolhidos indutivamente em RP de tal modo que

llx~.:- X~:-1!1 < a/2\

!lxk- c !I ;S; (1-1/2~ )o:.

para k = 1, ... , n. Definamos agora Xn + 1 (n Z. 1) ~~F" (4 L 7) Xn+l = X,. - M[f(Xn)- f(X.-.-t)- L(Xn- Xn-l)]. Decorre dê (41.5) que

!!xn+l- x.. ll

donde llxn +l

- Xn

1! S

<

m llf(x .. )- f(X,.-t)- L(x,.- Xn- 1)!1

; (a/2n) =a/2n + 1 e ilxn+l- c li $11Xn-~- 1 - Xnil + llxn- cl!

s (a/2" ... 1) + (1- l/2" )o:

= (1- 1/2"... )0:'. também estabelecida para k =n + 1. Portanto, podemos construir uma 1

Logo, (41.6) fica s~qüência (xn) em Ba desta maneira. Sem> n, temos então

!lx. . - X,. I! < !lxn - x. . _.. dl + !lxn+ a

< - 2"+ I

a:

Xnnll

+ .. · + l!x,.._ i - X"' 11

a

a:

1 -

+ 2"+Z +·. ·+-<2"' - 2" •

Segue-se que (xn) é uma seqüência de Cauchy em RP convergindo, portanto, para algum elemento x. Como llxn - cll < (1 - l/2~'~)a, segue-se que lix- cll
B~.

Como x 1

-

x 0 =M(y- f(c)). segue-se que L(x1- xo) =L<> M(y- f( c)) =·y- f(xo).

Além disso; por (41.7) temos L (X .. .-t- x") = -Lo M[f(xn)- /(Xn-1)- L(x,- Xn- t)} = -{/(x,..)- /(X,.-t)- L(Xn- X11 -t)}.

= L(x,.- Xn-t) -[f(x,J-f(x.,-t)). Por indução, vem

donde se segue que y =lim f(xn) = f(x). Logo, todo ponto y que satisfaça lly- f(c)ll:;:;;: cx/2 m é a imagem, pela/, de um ponto x E n com Ux - c I! S:. a. Q.E.D. 41.7 Teorema da Aplicação Aberta. Seja n c RP aberto' e f: n-+ R a pertencente à cfo.sse ct (fl). Se, para cada x E .Q, a derivada Df(x) éutJ!f!.}. C!J!.t.~eçffg, . e se G Ç. fl é aber~ to, então f(G) é aberto em Rq. ··· ·· · ..... 341

c E G·tal que f(c) =p. Decorre iG que existe {3 >O t!fl q1Je, 1s:t;. li y _:_·b. 11'. ~{),então existe um x. .E G taJ . . que y = f(x ). Logo ,f(G) é aberto em Rq. Q.E.D.

f.}elJipn~traçãq. Se b Ef(G), então existe um ponto do Teqrema qa Apl~çq_ç~o Sqbrej~tiya, 41.6, aplicado a f :i::

li'

'-

.

~

.

.

'; ;

O TEOREMA DA INVERSÃO . , '··· Col'l').binaremos agora nossos dois teoremas de aplicação no caso p = q. Aqui supõese que a derivada Df(c) seja uma qijeção. Este será o caso se e somente se a derivada D/(c) tem uma jn:versa, o que, por seu turno, só é ver~ade se e somente se o jacobiano . . '··. J1(c)""" det (Dif,(c)] = det [J;.;(c)] '

,,

I',,

' ',

;

j

I li

I

I I I

!

'

t.

•

.

é diferente de ;zero. O leitor famj}iarizado com a noção de "posto" de uma aplicação linear recordará que L: RP-. R9. é bíjetiva se e soriúmte se posto (L)= p = q, ··· ., . ,. " . 1

Segue-se, da c~nttrr~idade das derivadas parciais e do determinante, que, se Df(a) é inv~r.tfvel, então Df(x) €(mvertfvel para x suficientemente próxirq.q .de c.

41.8 Teorema. da Inversão.' $~ja n c RP aberto e suponhamos f: n -lo RP pertençente 4 Classe C1 (ft). Se c E n é tái'qu~ Df(c) é uma bijeção, entãp existe_lf.f!?O. vizinha,nça aberta U de c tal que V= f(U) é uma vizinhança aberta de f(c) e a restrição de f a Ué ~ma bijeção sobre V com inversa continua g. Além disso, g pertence à Classe C1 (V) e

I

Dg(y) = (Df(g(y))r 1

I '

' .,~

; . I

2r

'

!

para Y E V.

Demonstração. Por hipótese, L= Df(c) é injetiva; logo, o Corolário 22.7 implica que existe r > O tal que

·,

. I

J

,•

Como tisfaz

!lzll s

I[Df(c)(z)ll

f está na Classe C 1 (fl), existe uma vizinhança de c na qual Df(x) é invertível e sa-

( 41.8)

r Uzll .s I!Df(x)(z)IJ

para z E R".

Restringiremos, além disso, nossa atenção a uma vizinhança U de c na qual f é injetiva e que está cpntida numa bola de centro c e raio !l (tal cqmo no Teorema da Aplicação Sobrejetiva, 41.6). Então V= f(U) é uma vizinhança qe f(c), e inferimos dos teoremas de aplicaç~o precedentes que a restrição fi U tem uma f1-!J1ÇãO inversa contínua g : V-+ RP. Resta mostrar que g é diferenciável em um po!lto arbitrário y 1 E V. Seja, x 1 = g(yl) EU; como f é àiferenciávél em Xt' segue-se qw~ s~ X então .

eu,

f(x)- {(x1)- Df(xt)(x- xt) =

!lx- x1!1 u(x),

onde !lu(x)l! ->-O quando x-+ x 1 • Se M 1 é a invers~ çla função linear Df(x 1 ), entã0

x- x1 = Ml(Df(x,)(x- Xt)) = M1(f(x)- f(x 1) -Ux- :x til u(x )]. .,

Se x EU, então x = g(y) para algumy = f(x) E V; além disso,y 1 = f(x 1 ), de modo que esta equação pode escrever-se sob a forma ··

g(y)- g(yl)- M1(y- y1) = 342

\

-l!x- x~l! M1(u(x)).

••

{

(

Como D[(x1) é injetiva, decorre (tal como na demonstração do Teorema da Aplicação Injetiva, 41.5) que ·· ·

(

I!Y- Y1ll = llf(x)- f(xl)JI ~ ttllx- x,ll: ·1

(

desde q4e y esteja suficientemente próximo de y 1 • Além disso, de ( 4 1.8), decorre ~ ue !lM1 (u)l! s; (l/r) llull para todo u ERP. Temos, portanto :... · ''" · . llg(y)- g(yl)- M1(y- Y1)ll s (2/r") lfu(x)III!Y- Y1ll·

Ora, quando y--;·y 1 , então x =g(y)~g(:vt)=x 1 e assím llu(x)ll-+0. Concluímos, portanto, queDg(yl).existe e é ígual aM 1 =(Df(x 1 ))-1 • ·· '' ' ' ' · 1 O fato de ·que g pertence à classe C (V} decorre da relação Dg(y) =[Df(g(y))r 1 para y E V. e da continuidade das aplicaÇões · ·· · •' .

Y ~ g(y),. - x ~ Df(x),

L~

(

;

( (.. ( (

(

L -I

de V-+ U. U-+ 52!(RP ,RP), e :f(RP ,RP) _, 5/'(RP .~~).respectivamente. (Cf. Exer* cício 4l.L.) . . .. ' Q.E.D.

FUNÇÕES IMPLÍCITAS · Seja F uma função definida num subconjunto de RP x RCJ. com valores em Rq. (Se fizermos a identificação óbvia de RP X Rq com RP +q. então não será necessário definirmos o que significa dizer que F é contínua, e diferenciável> num ponto, ou que F pertence à classe C1 em um conjunto.) Suponhamos que F leve o ponto (a~ b) no vetor zero de Rq. O problema da função implícita é resolver a equação ·:· F(x, y)·= O

em relação a um argumento (digamos,y) em termos do outro, no sentido de que devemos encontrar uma função 'P definida num subconjunto de RP com valores em Rq tal que b =tp(a) e . _

F(x. tp(x)) =O para todo x no domínio de tp. Suporemos F contín1.rá etn uma vizinhança de (a, b) e espe· ramos poder concluir que a ... função solução" tp ~eja contínua numa vizinhança de a. Provavelmente não será surpresa para o leitor o fato de supormos F pertencente à classe C 1 numa vizinhança de (a, b ); todavia, mesmo esta hipótese não é suficiente para garantir a existência e unicidade de urna função solução contínua 'P definida numa vizinhança de a. De fato, se p = q = 1, então a função dada por F(x, y) == .x~ - y 1 admite duas funções solução contúwas \Pi (x)::::: x e
=-x,

( ( (

\

c ( ( (' ( ( ( ( (

' .

x irracional.

A função G(x, y) = x - y 1 tem duas funções solução contínuas correspondentes' a (0, O). mas nenhu· ma delas é defmida nu.rna vizinhança do ponto x =O. Um exemplo ainda mais exótico: A função H: R 2 --..R definida. por y =O,

H(x, y}= x, =

x- yJsen

G),

y~

(

O,

( ( ·. 343

( (,,

pertence à classe Cl ·numa vizinhança de (0, 0), mas não existe nenhuma função solução contínua definida numa vizinhança de x =O.

Em todos esses três exemplos a derivada parcial em relação a y se anula no ponto considerado. No caso p = q = 1, a condição adicional necessária para garantir a existência e uniciçlade da função solução é que essa derivada parcial seja diferente de zero. No caso geral, observamos que DF(a, b) é uma função linear contínua de RP x Rq em Rq e induz uma função linear contínua L 2 :Rq -r Rq definida por

l:

'

[

Lz(v) = DF(a, b)(O, v)

•\

'

I

para v ERq. Num sentido muito razoável, L 2 é a "derivada parcial" de F em relação a y E RtJ po ponto (a, b). A hipótese adicional a ser imposta é que L 2 seja invertíveL Procuremos agora interpretar este problema em termos de coorden
=

e

a

r

r '

I I

! ...! :~

'I H '

f

[

(41.9)

ü

rc

c Por conveniência, supomos a"" O e b ""O, de modo ·qUe o sistéma é satisfeito para x 1 """O, ... , Xp =O, y 1 =O, ... ,yq =O, e desejamos obter uma solução para os YJ em termos dos Xi ao menos quando os ]xd são suficientemente pequenos. Se as funções ft são lineares, então a condição de solvabilidade é que o determinante dos coeficientes dos Yl seja diferente de zero. Se as funções {i não são lineares, então a condição é que o determinante jacobíano

a(f ~>

õ( y h I

;,

. . •' ..• '

Quando tal é o caso, existem funções '{JJ,j dades de a= O tais que, se levarmos )'1

ir

fq) (a, b) :;t: o. )'q)

= 1, ... , q, definidas e contínuas nas proximi-

'

c

p

= 'P1(x1, ..• , x,),

.......

o

~~·~··

yq =
no sistema (41.9), obteremos uma identidade nos x1.

!i '

um aberto e (a, b) E n. Su~ -r Rq pertença à classe C (f:i), que F(a, b):::: O e que a aplicação li-

41.9 Teorema da Função Implícita. Seja

ponhamos que F: near definúia por

n

L2(v)

n c RP X Rq

1

= DF(a, b)(O, v),

v E R",

seja uma bijeção de Rq sobre Rq.

(a) Então existem uma vizinhança aberta W de a ERP e uma função (única) tp: W _,. Rq pertencente à classe C 1(W) tal que b = tp(a) e F(x, cp(x)) ==O para todo x

E

W.

(b) Existe uma vizinhança aberta U de (a, b) em RP x Rq tal que o par (x, y) E U verifica F(x. y) ""O se e somente se y = tp(x) para todo x E W. 1 l

, I

344

A p

F d

p d

H: n

Demonstração. Nada perderemos em generalidade supondo a= O e b =O. Seja ~ RP X Rq definida ppr H(x, y) = (x, F(x, y))

pãra+x.

y) E

fl.

Decorre imediatamente (v. Exercício 39.V) que H pertence à classe C1 (Q) e que DH(x~

y)(u, v)= (u, DF(x, y)(u, v))

para (x,y) E n e (u. v) ERP X Rc:t. Afirmamos então que DH(O, O) é invertível em Rq x Rq. Realmente, definindo L 1 E2'(RP, Rq) por. Lt(u) =DF( O, O)(u, O)

para u E

R"~

então o fato de que DF(O, O)(u, v) =L 1 (u) + L'2(v) mostra que a inversa de DH(O, O) é a aplicação linear K em RP xRq defiruda por

K(x, z) = (x, L 2 - 1[z- Lt(x)]). Decorre então do Teorema da Inversão, 41.8, que existe uma vizinhança aberta U de (O,O)ERP xRq tal que V=H(U) é uma vizinhança aberta de (O,O)ERP xRq e a restrição de H a Ué uma bíjeção sobre V com inversa contínua : V~ U que pertence à classe C1 (V) e com (O, O) =(O, O). Ora, ct> tem a forma (x, z) = (cpt(X, z), cpz(x, z))

onde

tp 1 :

para(x, z)E V

V"'""' RP e tpz : V~ Rq. Como (x, z) =H o
= [cpt(x, z), F(
inferimos que yJ 1 (x, z) =x para todo (x, z) E V. Logo
<1>

toma a forma mais simples

para (x. z) E V.

Ora, se P: RP x R
:::::

para (x, z) E V.

Seja agora W ={x RP: (x, O) V}tal que W é uma vizinhança aberta de O em RP, e de· finamos tp(x) =..p 2 (x, O) para x E W. Evidentemente tp(O) =O e, da fórmula precedente, decorre que F(x. (x, O) = (.t, 11'2 (x, O)) = (x, !p(x )), de modo que y =tp(x). Q.E.D. Por vezes é conveniente dispormos de uma fórmula explícita para a derivada de tp. Para tanto, introduzamos a noção de derivadas parciais em bloco, de F. Se (x,y) E f!, a derivada parcial em bloco D(1)F(x, y) é a função linear~que leva RP em Rq dada por

Do)F(x, y)(u) = Df(x, y)(u, 0) 345

I! e? *qv~d!i p?fcial em bloco D(2)F(x,y) é a função linear qu~ leva Rq em Rq dada por ~

" '

• •

f

•

Du)F(x, y)(v) = D.f(X.~ :f)(O, v)

••

•

P~f.~

y E I~q-

Como (u, v) =(u, O)+ (0, v), ê claro que

c

DF(x, y )(u, v)~ DtnF(x, y )(u) + D{2)F(x, y )(v).

(4 1.10)

...

. ''

.

.

'

Note-se que as aplicações L 1 e L 2 que compar~c;era~ na prova preceQe~te são D(t)F(9, O) e Do)F(ÇJ, O), respectivamente. · '· · · ·

! \: 11

ij

4l.FO Çorolário. Com as hipóteses do teorema, existe "f> O tal que, se l!x- ali< 7, então a derivada de tp em x é o elemento de !IJ(RP, l!,~)dado por .r· ·· ··. · '

' :.' fJ

,! '

; .'

f?(x) = -(D<2lF{x, cp(x))]- 1 o(_pmF~~.'
K(x)

I

. !i

'

(41.11)

i' !i

I

!

= (x,

'

cp.(x))...

para x

Então, como F o K (x) = F(x, tp(x)) =O, temos que F te. Além disso, como se vê facilmente que

;

DK(x)(u) = (u, D
o

E

~

W.

K: W 4 Rq é um função constan... ·

para u E RP,

segue-se da Regra da Cadeia, 40.2, aplicada à função F o K que . . O= D(FoK)(x) == DF(K(x)) o DK(x). Utilizando (41 il{)), temos

., '

.,DF(x,
ER~,,

então

..

O= DF(x, F(x, p(x))(Dq;(x)(u))

l .r

'\I

I

'I .I'

i

~

il '/

I·:

I

i'

·''

= D(1)F(x,

Dq.>(x)](u).

Logo, temos O= D(l>F(x, O tal que se !lx-ali< j, então D(:t.)F(x, ;p(x)) também é invertíveL Logo, a equação (41.11) decorre da equação precedente. Q.E.D.

É interessante interpretar a fórmula (41.11) em termos de matrizes. Suponha#se que tenhamos um sistema de q equações ~rn p + q argumentos dado por (41.9). Corno já observamos, a hipótese do Teorema da Função Implícita exige que a matriz

,[

li

'

I

!

:l

ir·! í

346

i

{ (

'

(a b ). (Lembremos que fu denota a d~rivada parCi'fl [i f::ID relaçãq ao argumento j.) Neste caso, a derivada da função solução I{J f!.B ponto x é d~d~ por· ~

s~j~ invertível p.o ponto

1

f l,p+l . . .

(

{t,p+q

;11,1

-I

(

(

ft.p

•

•

(

,

' •

••

j

;

i

••

• • •

fq.p+l :, .. ' .

(

fq.p

fq.l

f
•

\

( '

'

dev.ertdo fiç~ç emtendido que aml:;!as as matrizes são calculadas no ponto (x, <.p(x)) pró:;dp10 de (a; b"). · · · ·· ~ · .. ' · · ·. , ·· .. ·

( (

. . ..~ -·-

. '· '

OS TEOREM~S l.)A PARAMETRIZAÇÃO E DO POSTO · · O<~Teorema ''da FünÇão frnplícÜà, 4'1.9,"pode ser encarado como dando condíções sob as qua~s a "c4~va de nível" · ;· "'' . • !

. C_=·{(X, y) E ~ P X

~ q .:

~

qüe

-~

( (

f (X, y) = 0} '

(a, b) pode ser paramatrizada. ao: :menos lô.calmente > como o gráfico em RP. x Rq ·de: 'alguma função definida huma vizinhança W de' 'E ~P e tomando vaiares em R
pass~ por

I .

a

•

Ç . {(x, cp(x)): ~ .-

''

f .

.

W}.

\5

(

: .t

Apresenta'remos agora outro toerema que dá cqndições sob as quais a imagem de uma função que leva um, ~pe~~o de RP em Rq pode ser. parametrizada por meio de utnf.V função tp de fir'fida em uni apertQ. de U'rh espaço de dimehsão menor. .. ·· r· Na aprdentaçao de'·tat· teorema, 'hecessitaremos de alguns fatos elementares~ mas importantes/da:álgebra ljn~ar, já do conhecimento do leitor. 7 Lembre~ . . .. ...... provavelmente . mos que se L :RP--+ Rq é ~ma transformação linear, então o contradomínio (ou a imagem) RL de L é o subespaço df.! Rq dado por · :c.

)

,

I

I'

,. • •

•

(

'·

(

'

!'

;

(

;: '

.·,

R~.,.=

{L(x): x

E R~'},

·•

e o espaço anulador (ou o núcleo}NL de L é o subespaço de RP dado por . . . Nr.. = {x E R,. 11 : L(x) =O}.

t

c (

.

'

.

( .

A dimensão r(L) de RL é chamada posto de L, e a dimensão n (L) de N L é a nu:Hd.ade de L. (Assi'm, () posto de L é o número de vetores lineam1ente independentes de Rq necessâ" rios para gerar o contradomínio Rr.,, e a nulidade de L é 6 número de vetores lim:iàrmente independentes de RP necessários· para gerar o espaço anulado r Ní:).Fica como exercício demonstrar que se {u 1 , . . • ,un}(onde n =n~)) é um conjunto de vetores ~inearmente independentes de RP que geÇ.am NL, ao qual incorporamos p- n vetores u,. + 1, . . • Uv para obter uma base para RP >então o conjunto {L (un + t), ... '.C'(up) um conjunto de vetores linearmente independentes em Rq, que geram RL. Segue-se, portanto, que p = n (L) + r(L )~ logo: a dimensão do domín,io de L é igual à soma da nulidade de L e do pos~ to de L.

}é

7

1

Para maiores-detalhes, o leitor pode consultar os livros de Hoffman e Kunze, ou Fínkbeiner, relacionados nas Referências.

( \

( ( ( '·

(

( (

( 347

I

I

J Íl' \1

I!

l I·.I

]I

.

l...i

Representando-se L por uma matriz q x p tal como em (23.1 ), pode-se mostrar que o posto de L é o maior número r tal que existe ao menos uma submatrizr x r com deter~ minante diferente de zero. O Teorema da Paramatrização afirma que, se f é uma aplicação C1 de um aberto n c RP em Rq tal que Df(x) tem posto igual a r para todo X E n e sef(x);:;:; b E Rq para algum a E n, então existe uma vizinhança V de a tal que a restrição de f a V pode ser dada como urna aplicaç~o C 1 , ;p, definida numa vizinhança de Rr.

41.11 Teorema da Parametrização. Seja n CRP aberto e f: n --+RQ. pertencente à Classe C1 (f2.). Suponhamos que Df(x) tenha posto r para todo x E n e sejaf(a) =b ERq para algum a E n. Então

(i) existem uma vizinhança aberta V c n de a e uma função a : V--+ R r E C1(V), e (H) existem um aberto W c R r e funções ~ : W ....... RP e 1fJ : W -t- Rq, tais que (íii) f(x) ""VJ o a.(x) para todo x E V, e VJ(t) =f o {3(t) para todo t E W.

Demonstração. Sem perda de generalidade, podemos supor a =O E RP e b ==O ERq. Seja L =Df(Olde modo que L :RP -+Rq tenha posto r, e seja~x 1 , ••• ,xp} uma base em RP tal ~ue Xr+l J • • • , gere o espaço anulador de L. Seja 1 o e~pa?o gerad? ·por{x1 , ••• ,xrr e 2 =NL o espaço gerado por{xr+l, ... Conforme md1cado acima, segue-se que Y 1 = RL é gerado por{y 1 =L (x 1 ), . . . ; Yr =L (xr )}. Escolhamos ~Yr + 1 , ... , y de modo que { y 1 , .•• , y seja urna base para RCJ e seja Y2 o espaço geraao por

xp}

'i

l

l I ,. )

q}

,xp}-

q}

{Yr+l, • • • ,yq}·

X

.

Segue-se que todo vetor x E RP admite uma representação (única) sob a forma x =c 1 x 1 + · · · + XpXp. SejamP1 e P2 as transformações lineares em RP definídas por I

P,{x) =

i

.,1.

Í: cixh

Pz(x) =

f

'

cixi.

j=r+l

Obviamente, o contradomínio de P1 é igual a Xhj _; 1, 2. Analogamente, sejam Ql e Q 2 as transformações lineares em Rq definidas para y =c 1 y 1 + · · · + Cqyq por

Q,(y)

•

=L Cj)lj, i""

I

OJ· é Yi,i = 1, 2. a ·x1 , então L 1 é uma bjjeção de X 1

:É claro que o contradomínío de I

!

Se L 1 é a restrição de L sobre Y 1 ; seja A ; Y1 -+ X 1 ·a inversa de L 1 • Notemos que A o L(x) =x para todo x EX 1 e L o A (y) = y para todo y E y I. Definamos agora u de n c RP em RP por (41.12}

I

,•

'

de modo que u(O) =0, que u leve X 1 n

.i 'i

'·

nem X~, e que

Du(x) =A o Ot o Df(x) + P2.

I

l,,

u(x) . AoQ 1 of(x)+P2 (x),

xen,

xen;

então u é de Classe C 1 (ü). Como se v.ê prontamente que Du(O) é a aplicação identidade em RP, segue-se do Teorema da Inversão, 41.8, que existe uma Vizinhança abertâ U de a ::::O tal que U' =u(U) é uma vizinhança aberta de O, e que a restrição deu a Ué uma bi· jeção sobre U' com inversa w =u- 1 : U' -t- RP pertencente à Classe C 1 (U'). Além disso, substituindo U e U' por conjuntos menores, podemos também supor que U' seja convexo (isto é, que contenha o segmento que une dois quaisquer de seus pontos). 348

t

Seja agora g : U' ~ Rq definida por g(z)= f(w(z)), É claro que g pertence à Classe C1 (U') e

Dg(z) = Df(w(z))oDw(z)~

.Como Df(x) tem posto r para todo x E fl e Dw{z) é invertível para X EU', segue·se de um teorema da a1gebra linear que Dg(z) tem posto r para todo z E ff. Por outro lado, g{z) = (Ot + Q2)of(w(z))

= Q 1 o f(w(z)) + (]2of(w(z)). Como w = u- 1 , decorre de (41.12) que

z = u(w(z))= AoQ 1 of(w(z))+ Pz(w(z)),

Mas como L o A

o

Q1

=Q

1

em R
o

. z EU'.

P1 =O em RP, temos

(4 L t3)

•I

donde decorre que L =Q 1 o Dg(z) para z EU'. Portanto, se z EU', então o operador Q 1 leva o contradomínio de Dg(z) (que tem dimensão r) sobre o contradomínio de L (que também tem dimensão r). Segue-se que Q1 · é injetiva no contradomínio de Dg(z) para z EU'; logo. se z EU' ex ERP é tal que L(;x:) ==O, então Dg(z)(x) =0. Conseqtientemen· te, se z Eu· e z2 Ex~= NL, então inferimos que Dg(z)(z2) =0. Mostraremos agora que g: U'-'>'- R
x2

O ::f llg(z + zz)- g(z )11 :::.;!1Dg(zo)(z2)11 =O; logo, g(z

+ z 2 ) =g(z), como afirmáramos.

Estamos agora em condições de definir as aplicações o:, {3> tp. Seja C: Rr :-+ RP a transformação linear que leva os elementos de base e 1 , .•• , er de Rr nos vetores x 1 , ••• Xr que formam uma base de xl. Logo, c é urna bijeção de Rr sobre xl e, assim, c-I: X 1 -+Rr existe. Seja W=C- 1 (U')=C- 1 (U'nX 1 ), de modo que Wç;Rr seja uma vizinhança aberta .de O em R r, e seja V C U uma vizinhança aberta de a =O tal que P 1 o u(V) CU'. Definamos então o:: V~ Rr e {3: W....,.. RP por t

(41.14)

· o:(x)

= c-

1

oP 1 ou(x),

{3(t)= woC(t)

para X E v e tE w. É claro que 0: pertence â Classe C 1 (V) e o; (V) c We que {3 pertence à Classe C1 011) e {3 (W) ç;_ U. Definamos então tp: W . . . . RG para tE W por ({J(t) = goC(t),

donde decorre que cp(t) =(f o w)oC(t) =f o t3(t). t

Além disso, se x E V, então f(x)= f(wou(x)) =(fow)ou(x) = g<.>u(x);

i

349

todavia, vimos que g o u (x) = g o P 1 o u (x) de modo que

f(x) = gou(x) =

}.

go(C<>C- )<~(P 1 <>u)(x) 1

= (goC)<>(C-

1

ll

oP 1 <>u)(x)

}

= cp 0 Do(x).

!

Logo,/(x) = VJ 0 a(x) para todo x E; V. Q.E.D. No decorrer da construção acima, na realidade obtivemos mais aJguma informação. No corolário abaixo, utilizamos a notação desenvolvida na demonstração do teorema. . . ..

e

'

I

r'

4 I J 2 Corolário. (a) A aplicação t.p: W -r Rq tem a forma '-Pt + 1 é arestrição a W dq aplicação linear de Rr em Rq que levr;1 ei ER' em Yi = L(xi),i = 1, ... , r e onde ;p 2 (W) S: Y2. (b) SetE W, então a o f3(t) = t. (c) Se x EU ()X 11 então x E V e {3 o a:(x) ""'X.

s

c 2 X

(I

Demonstração. (a) Como g = Q 1 o g + Q2 o g, decorre de (41.13) que g =L + Q 2 o g. logo, da definição de ..p, temos r.p =L o C+ Q2 o g o C, que tem a forma mencionada em

(a).

wo

(b) Se tE W, então x ={3(t) = w o. C(t) E U goz.a da propriedade de que u (x) C(t) =C(t) EU'() X 1 ; logo P 1 o u(x) C(t) EU', de modo que x E V e

=

a(x) =

c-

1

=u <> i

c

<>P 1 ou(x) = c-loC(t) = t,

o que prova (b ). (c) Se xE.Q()Xl> decorre então de (41.12) e do fato de que P2 (x)=O, que u(x) EX1. Logo, se x EU ()X 1 , segue-se que P 1 ° u(x) =u(x) EU' nX1 de modo que x E V. Além disso f3oa(x) = (woC)o(C-l<>P 1 <>u)(x) """woC<>C- ou(x) = wou(x) 1

=X.

Q.E.D.

Podemos agora usar o resultado do Teorema da Parametrização para demonstrar o Teorema do Posto.

n

•'~ '

c

..

b

~

f

$(

'

g

I

41.13 Teorema do Posto. Sejam n c RP abeno e f; n....,. R- Z' de Classe C 1(Z); (iii) se x E V, então f(x) = T o ir o a(x ), onde ir : RP -"" Rq é a aplicação definida por

Demonstração. Suporemos a = b ""'O e empregaremos a notação e resultados estabelecidos no decorrer da demonstração do Teorema da Parametrização. Seja B :RP....,. Rq a função linear que leva os elementos base e 1 , ..• , eP de R P nos vetores x 1 , , . . , x P; logo, B é uma bijeção de RP sobre RP e assim B- 1 existe. A aplicação a: Q -~- RP definída por a(x) =B- 1 o u(x) pertence à Classe C 1 (i1) e, como a restrição deu a Utem uma inversa w : U' ..., RP sobre U, segue-se q\le a restrição de o a U tem uma inversa a- 1 = w o B que leva s- 1 (U') sobre U. .

350

S<

eJ

ti

'

'

( Sejam W _ç:Rr e 1.fJ: W -1- R'l tais como no Teorema da Parametrização .e H :Rq -:.Rq a função linear que leva os elementos base e 1 ;··:: ·.··;eq de Rq nos vetores y 1 , ••• ; y cz; logo,H é uma bijeção de Rq sobre Rq e, assim, H- 1 -~.::dste. Definamos •

W'= {(c1, ...

'1 !

, I

7' (C 1' • • · ;

.i

i

(

(

... ,c,) E W}

(

e r: W' -'1-- Rq por

]

J

,Cq)E R~ :(c~,

).,..r

{

'

Cq) =

i.p (C!,

, .. C,) + H {Ü, ... ; O, 1

Cr ... 1,

• • • ,

(

Cq) •

Segue-se do Corolário 41.12(a) que Dr(O) =11; logo, o Teorema da lnversão, 41.8, ímplica que a restrição de r a alguma vizinhança Z' de O é uma bijeção sobre alguma vizinhança Z de r{O) =0. Restringindo V ainda mais, se necessário, podemos supor que f( V) C Z. Seja agora x E V e consideremos o (x) = s-1 o u (x). Com ir definida como acima, então ir" o (x) = (C- 1 o P 1 o u(x), O)= (o: (x), O). Logo, r o ir o a(x) = tfJ o o(x) = /(x) para todo x E V.

Q.E.D.

'

f ''

{

(

( ( '

( '

'

'

EXERCÍCIOS

41.A. Sejam n c RP aberto e f: n . . . Rl1. Se Df(x) exJste para todo x E n e se i= 1, ... , q, i= 1, ... , p. então mostre que IDJfi(X) - Dj/Í(y)l < IIDf(x)- Df(y)llpq. Logo, se /pertence à Classe C 1 (n), então cada uma das derivadas parciais Di/i é contfu.ua em n. 4LB. Sejam .n c RP aberto e f: n ...... RO, existe ô > O tal que se x, y E K e Ux- y n < t3, então I!Df(x)- Df(y)!l e. • 41.C. Seja.m n c RP e n 1 .Ç.Rq abertos e f: n.-Rq de classe C 1 (n) eg: 0 1 -..Rr de Classe C 1 (!l 1 ). Se f(n) c nt, mostre que g<> f pertence à Classe C 1 (n). 4l.D. Seja f: R'""" R deimida por f(x) x 3 • Mostre que {pertence à Classe Cl (R) e que é uma bijeção de R sobre R com inversa g (x} = x 1111 para todo x R. Todavia, Df(O) :não é nem injetiv.a nem sobrejetiva, g pertence à Classe C 1 (R)? 41.E. Seja g: R- R tal que g'(x) '*O para todo x E R. Mostre que g é uma bijeção de R sobre

=

g(R).

4l.F. Sejam A c RP, f:A _,. RP, e seja g :f(A)- RP a inversa de f. Suponha f diferenciável em a E A e g diferenciável em b = f(a). Se D/(a) não é invertível, mostre então que Dg(b) não é invertível. 4LG. Seja f: R 1 - R• dada por

. f(x, y) = (:x: + y, 2x + ay).

.(

I

(

(

( (

l

·,

( ( /

\

,

(

(a) Calcule DJ(x,y) e mostre que Df(x,y) é invertfvel se e somente se a'* 2. · (b) Examine a irllagem do quadrado unitário { (x, y): x, y E {0, 1) }quando a = 1, 2, 3. 4l.H. Seja [a aplicação de R 1 em R'J que leva o ponto (x,y) no ponto (u, v) dada por U =X,

(

/

I

(

v= xy.

Esboce algumas curvas u == constante, v = constante, no plano xy, e algumas cwvas x =constante, y::::: constante no plano uv. A aplicação é um-a-um? f é aplicada sobre todo o R l? Mostre que se x ,;,. O, então f leva uma vizinhança de (x, y}, de modo um-a-um, sobre uma vizinhança de (x, xy). Em queregblio do plano uv f teva o retângulo{ (x, y): 1 < x ..s;_ 2, O ::;_y .S. 2}? Que pontos do plano xy são levados pelafnoretângulo~(u, v): 1 S,u .:::;.2,0
(

( (

( f

v= 2xy.

I

351

~

(

(

.

' i

I

Que curvas do plano xy são levadas pela f nas :retas u =constante, v= constante? Em que curvas do plano uv são levadas as retas x== constante, y =constante? Mostre que cada ponto (u,v) distinto de zero é a imagem, pela f, de dois pontos. Em que região f leva o quadrado{ (x, y) :0 < x < 1, O < y < 1}? Que

região é levada pela f no quadradohu, v): O 5,u .S 1, O< v 5.1}? 4l.J. Seja h :R- R defmi~a por

1 h(x)=x+2x 2 sen-

1

l i

l I I

para

x

x ~O,

<-"-' f(·- c;,, ' ;:. ·<::c "lf ~~ .... \.r .' } z ,<:. ?;!o··. ;.,; ..O ('K'!1 .-..o ;.> " ' ' · ·

""' · para x =O. ·~ ... :,s· ·· --r·
-

=

tível.

(b} Mostre que se L 0 é invertível, então a aplicação L,...,. L - l é contínua numa vizinhanÇa de L0 em relação à norina em 5I: (RP, RP). (c) Sejam n c RP um aberto e f: n....,. RP pertencente à Classe C 1 (n.). Se. D{(c) é invert{vel pa· ra algum c E n., então D/(x) é invertível em alguma vizinhança de c. 41.M. Seja F: R~ ....,. R defmida por F(x, y) = yz - x. Mostre que F pertence à Classe C 1 (R~) mas que D2 F(O, O) =O. Mostre que não existe uma função .'(I definida numa vizinhança W de O tal que F(x, .p(x)) =O para todo x E W, 41.N. Seja f: R 3 _,.R l definida por

f(x, y, z) ""'(x +y + z, x- y ~2x.z), de modo que /(0, O, O)= (0, 0) e D[(O, O, 0) é dada por

1 -1 (a) Mostre que podemos resolver em relação a (x, y)

D
n

(b) Explicite a solução de (x, y)

I

cp(z)"" (2(z

i'

i'.!

(d) Explique a solução de (y, z) ,1,(x)

'~"

Verifique o resultado da }?arte (c).

i

(

~ 1) 'ic~=z1 J Do/(0) = [

h ,I

(z), obtendo para z

< 1.

Verifique o resultado da p~e (a). (c) Mostre que podemos :resolver em relação a, (y, z) =1ft (x) na vizinhança de x =O e que

Íj I .

i<,

'(!

2

i

'1-·I

=

=n.

=tfJ (z) na vizinhança dez =O e que

352

-~J.

=- .p (x), obtendo

.

= (2xl+ x, 2x ) 1- 2x 2x - 1

para x

<

1

i·

41.0. Seja F: R

5

_..

R 1 defmida por

F(u, v, w, x, y) = (uy

=

+ vx + w + x\ uvw + x + y + 1},

Note que F(2, 1, O, -1, 0) (0, O). (a) Mostre que podemos resolver F(u, 11, w, x, y) =(O, O) em relação a (x,y) em termos de (u, v, w) na vizinhança de (2, 1, 0). (b} Se (x, y) = l{'(u, v, w) é a solução na parte (a}, mostre que D<.p(2, 1, 0) é dada pela matriz

-1

o

1] =![O 2 3 o

-1 1

-3] -3

+

4l.P. Seja A ç,_R~ e seja F :A_,. R representando a superfície SF em Rl implicitamente como a "superf{cie de nível"

s.. = {(x, y,

z) E A :F(x, y, z) = 0}.

Se F é diferenciável em um ponto (x~,.y 0 , z 0 ) ponto é o conjunto de pontos

Sp interior a A, então o espaço tangente a SF nesse

{(x, y, z) E R 3 ; A1, 0, ~Q :ix, y, z) =Oh ...

onde A (x0 • y0 , z0 ) é a aplicação afim R' '"""R definida por

A(,0 .y.,., 0iX, y, z) =F(x.,, Yo, Zo)+ DF(x,, Yo, Zo)(x- Xo, y- yo, =

Z-

Zo)

DF(xo, Y
(a) Mostre que o espaço tangente em (x0 , y 0 , z 0 )

é dado por

{(X. y, z) : D, F(xn, yn, z(l)(x- x(,) + D~ F(x(l. Y<'~• z..,)( y - Yo) + D;F(xo, Y
SI'= {{x, y, z) E RJ: F(x, y, z) = 0}. Em cada um dos casos seguintes, derennine o espaço tangente a Sp no ponto indicado. (a} F(x,y,z)=x" +y:! -znospontos(l,l,2)e(0,2,4). (b) F(x, y, z) = X 2 f~ + zl - 25 nos pontos (3, 4, O) e (3, 3, .J7). (c) F(x, y, z) = z - xy nos pontos (1, 1, 1) e (4, 2). 41. R. (a) Suponha que, além da hipótese do Teorema da Inversão, 41.8, se saiba que a função f tem derivadas parciais contínuas de ordem m > 1. Mostre que a função inversa g: V-+ R.P tem derivadas parciais contínuas de ordem m. (b) Prove o resultado análogo para o Teorema da Função Implícita, 41.9. 41. S. Seja f: R 2 -R de classe C1 (R 1 ). Mostre que f não é injetiva; na verdade, a restrição de f a qualquer aberto de R 1 não é injetiva.

+•

41. T. Seja g: R ....,. R'~ de classe C 1 (R). Mostre que se c E R, então a restrição de g a qualquer } .}1 vizinhança de c não é uma aplicação sobrejetiva sobre uma vizinhança de g(c). 41. U. Seja L E 5E (RP, Rq) injetiva e r >O tal que r líxil O tal como na demonstração de 41.6. Mostre que se L 1 E 9!. (RP, RG) é tal que li L 1 - L~pq < m/2, então L 1 é sobrejetiva. (Logo, o conjunto de apli· cações sobrejetíva.s é aberto em !1: (RP, Rq).l

353

41.W. Seja g: RP- RP de Classe C1 (RP) e satisfazendo IIDg(x)llpp
q

a Ux~- xlll

2

para todos: x 1 , x, em RP e que f é uma bijeção de RP sobre RP.

PROJETOS

41.a. (Este projeto dá uma demonstração elementar e direta do Teorema da Função lmplíci· ta.) Seja n ç,; Rl aberto e F: n- R de Classe C 1 (n). Suponha que (a, b) E n, que F(a, b) =O e que D 2 F(a, b} >O. (a) Mostre que existe uma cela fechada Q =la P .a 2 J X {bp bl J de centro (a, b) tal que D 2 F(x, y) >.O para todo (x, y) E Q, e tal que F(x, b 1 ) O para todo x E [a 1 , a 2 ]. (b) Se x E {at> ali, então a função Fx: {b 1 , b~ 1- R definida por Fx(y) =F(x,y) para y E [b 1, h,] é tal que F:x(b 1 ) O par.a y E {b l> b 2 J. (c) Existe uma função 'P que leva [a 1 , a 2 l em ( b 1 , b 2 ] tal que F(x. 'P(x)) =O para todo x E [a 1 , a,]. (d) Se x E (a P al) e 1111 é suficientemente pequeno, mostre que existe h I> O < Ih 1 1< Ih 1tal

II

d

SI

que

O""' F[x +h, ~(x +h)]- F(x, ;p(x)]

= D,F[x +h,, tp{x + h 1)Jh + D'-F[x +h, ~p(x + h,)](<;(x +h)- ~(x)].

=

(e} Mostre que .pé diferenciável em {a" a,) e que 'P'(x) -D 1 Fjx, .p(x)j/D~ F[x, .p(x)J. (f) Modifique o argumento precedente para wna função F defirrida em um aberto n ,ç,; RP, (g) Sejam n s;;, RP x R 1 aberto e F, G : n _,.R de Oasse C 1 (n), e suponha que, para algum ponto (a, b) E RP X R 2 se tenha F(a, b) =O, G(a, b) =O. Suponha que

tl = det [ Dp ..-~F(a, b) Dp+)G(a, b)

p ~

~

r<

D ... 2 F(a, b) ] ~ 0 Dp~::.G(a, b) '

CI

então ao menos uma das Dp .. 1 F(a, b) e Dp .. 2 F(a, b) não se anula. Seja DpHF(a, b) 'i' O e use (f) para obter xp.l == .p(x 1 , ••• , xp+l) em uma vizinhança de {a, b) E RP X R. Logo F(x 1 , ••• , xp .. 1 , 'P(x 1 , •••• Xp+l )) =O, nessa vizinhança. Faça então H(xh ••. , Xp .. ,)

rr

s

== G(x., ... , Xp+~>
Pela Regra da Cadeia

r e

onde as funções são calculadas em pontos adequados. Como Dpu 'P =- (Dp+l FJ/(Dp+1Fj ínferimos que Dp~1 H= - t:../Dp .. 1 F, que não se anula em (a, b 1 ). Logo, podemos utilizar (f) para obter Xp+t = ..p (x 1 , . _,, xp) em uma vizinhança de a E R_P, (Isto estabelece o Teorema da Função Implícita 110 caso q = 2; a extensão ao cas.o geral q se obtém por indução.) 41,{3. (Este projeto é paralelo ao Projeto 40.a: e dá u~ demonstração mais direta da primeira parte do Teorema da Inversão, 41.8, do que a demonstração dada no texto.) Suporemos n c k.P aber· to, f; n -•RP pertencente à Classe C1 (n) e que, para algum X~ E .n, a aplicação linear Df(xo) seja uma bijeção. Façamos r"" Df(:x 0 )- 1 • (a) Mostre que existe r> O tal que se ilx- x 0 11 Df(x)llpp < ~ . (b) Seja s < tr Rru;;~ e para y fixo com lly- f(x 0 )U < s, definamos Fy(x) f(x)- y para O.i-x 0 11;5_r. Então Fy é diferenciável, llr<>F:y(x 0 )H
):I

1 d ti

e

d

=

x0ll S,.r.

(c) Se lly -f(x 0 )R~s. seja Gy definida para Rx- x 0 ll
ro

c X

[~

Fy(x). Então

'/I

e. 1

354

q

(

'

t

1

i'

(d) Se lly- /(x 0 )fl < s, definamos
I

I\

z-mr para n > m >O. Em particular, ll
'· (

41.7. (Este projeto é paralelo aos Projetos 41.a e 41.13 e dá uma demonstração direta do Teorema da Função Implícita.) Sejam n ç;,RP X Rq aberto e (x 0 , y 0 } E n. Suponha que F: n-+ Rq seja de Classe C 1 (0), que F(x0 ,y~>) =0, e que a aplicação linear L 1 ; Rq -• Rq definida por

i

/

{y:

para u e

( \

(

Rq

(

seja uma bijeção de Rq sobre Rq. Seja r= L:j 1 • (a) Mostre que existe r> O tal que se ilx- x 0 u~ .+ Uy - y 0 11 2 ,S;.r 1 , então

Jlv- f o DF(x, y )(O, v )I!

í '

Htvl!

(

(b) Seja O < s .S. fr ta! que se !lx- x~ fl $. s, então

!IF(x, Yo)ll <

( ' '

1r !II'!I;;.. • 1

Para cada x fixo, com l!x- x 0 ~ < s, defmamos Gx(V) =y- f'" F(x, y) para fty- y 0 11 < tr, com valores em Rq. Mostre que para cada x tal que nx - x 0 n < s, se tem IIG,(yl)- G.(y,)JI

{

r

(


(

<+r.

para todos Y 1 ,Y1 que verifiquem IIYJ- y 0 ll ·(c} Se llx- x 0 11 < s, defma lj;f}(x) == y" e lj; 11 .,. 1 (x) = Gx(l/ln (x)) para n ==O, 1, 2, .... Mostre que Ih/In ... ~ (x} -l/lm,X)Il < rm-J, para n > m > O.l..t;>go, ll~k(X}- YõU < fr, de modo que esta iteração é possível. (d) Mostre que cada uma das funções \flk é contínua para llx- x 0 H S:,s e que a seqüência (l/Ih) converge unifonnemente para uma função contínua \f; tal que F(x, 1/1 (x)) =O para todo l!x- x 0 !i < s. (e} Para mostrar que lfJ é difecenciável para l!x =- x{) H< s use o Exercício 39. W e utilize argumento análogo ao de (d) e (e) do Projeto 4l.o: para cada componente de F.

SEÇÃO 42 PROBLEMAS DE EXTREMO Na seção 27 discutimos rapidamente o processo usual de localização de pontos in te· riores em que urna função diferenciável de uma variável, com valores reais, atinge valores extremos. A questão se um ponto crítico (isto é, um ponto em que a derivada se anula) é realmente ponto de extremo riem sempre é discutida, mas pode ser tratada por meio do Teorema de Taylor, 28.6. A análise de pontos de extremo que pertencem à front~ira do domínío em geral recai numa aplicação do Teorema do Valor Médio~ 27.6. No caso de uma função com domínio em RP (p > l) e contradomínio em R, a situação é, em geral, consideravelmente mais complicada, e cada função merece um exame especial. Todavia, há alguns teoremas de caráter geral que serão apresentados aquí. Sejam H r;;;;..RP e/: Q-?- R. Diz~se que um ponto c E i1 é ponto de mínimo relativo de f se existe ó tal que /(c) sJ(x) para todo X E com llx- cll < Ô. Um ponto c E fl é ponto de mínimo estrito relativo de f se existe ó 0 tal que [(c) <[(x) para todo x E Q com O< llx- dl Definimos de modo análogo um ponto de máximo relativo [estrito] de f. Além disso, se c Q é ponto de mínimo relativo [estrito J ou máximo relativo [estrito] de[, diz-se que se é ponto de e'Sttremo relativo [estrito] de/, ou que f tem um extremo relativo (estiito Jem c.

>o


·'

a >

355

( / \

í' (

(

., .,

( f

\

<

..

( '

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f

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1

..'

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r

\

I

'· . ( .' '·

f

\

(

.~

i

(

f '

I

l

I

I:

O re·sultado que segue é de grande utilidade.

42.1 Teorema. Sejam n c RP e f: n-+ R. Se um ponto interior c de n é ponto de extremo relativo de f. e se existe a derivada parcial Dr.J(c) de f em relação a um vetor u ERP, então Duf(c) =O. Demonstração. Por hipótese, a restrição d~ f à ínterseção de n com a reta{ c +tu : tER} tem extremo relativo em c. Decorre, portanto, do Teorema 27.4 queDuf(c) =O. Q.E.D. 42.2 Corolário. Sejam n c RP' e seja f: n-+ R. Se um ponto interior c de n é

ponto de extremo relativo de f, e se existe a derivada Df(c), então D[(c):::;;; O.

Demonstração. Decorre do Corolário 39.7 que cada uma das derivadas parciais Dtf(c),j == 1, ... ,p, existe e que, seu== (u 1 , ••• , up) ERP, então

Df(c)(u)

==f u1Dt[(c). i•<'~

Pelo teorema precedente, Di/(c) =O para j = 1, ... , p, donde Df(c)(u) =O para todo uERP. 'Segue-se que, se c RP' e se f: R tem extremo relativo em c E e se Df(c) existe, então

n

(42.1)

.

n-+

n

Dd(c) =O, ... , Dpf(c) =O.

c,

~,

ct,

Um ponto interior c em que Df(c) =O é chamado ponto crítico de f. Inferimos que, se Q é um aberto de RP em que f é díferencíável, então o conjunto de pontos criticas de f conterá todos os pontos de extremo relatívo de f. Naturalmente, este conjunto de pontos críticos pode conter também pontos em que f não tenha extremo relativo. (Por outro la· do, a função f pode ter extremo relativo em um ponto interior c de nem que a derivada Df(c) não exista, ou também f pode ter extremo relativo em um ponto c E Q que não se· ja ponto interior de n. Em ambos os casos, o ponto c não é ponto crítico de f.)

42.3 Exemplos. (a) Seja f 1 (x) = x 3 para x E [ -1, 1 ]. Então Df1 (O)= O; todavia, f 1 não tem extremo em x ""O. Por outro lado, f 1 tem extremos estritos nos pontos± 1 (que

I!

Jl.

não são pontos interiores do domínío e não são pontos críticos). (b) Seja f 2 (x)=lxl para xE[-1,1]. EntãoDfz(O) não existe; entretanto,f1 tem um mínimo relativo estrito no ponto interior O. Por outro ladoJ2 não tem extremos relativos estritos nos pontos ± 1. (c) Sejaf3 :R 2 -+R definidaporf3 (x,y)=xy.EntãoDf3 (0,0)=0demodoquea origem (0, O) é ponto crítico de f 3 ; mas não é extremo relativo de [ 3 , pois

,11

k I!:

Ji' ~I ~I \P

'

/3(0, O)
para xy >0,

[3(0, O)> f~(x, y)

para xy
Dizemos que a origem (0, O) é ponto de sela de f 3 se toda vizinhança de (0, O) contém pontos em que h é estritamente maior do quef3 (0, O) e também ponto em que f:~ é estri· tamente menor do quef3 (0, O). " 2 2 (d) Seja [4 :R ""'"R definida por f 4 (x,y) =(y- x )(y- 2x 2 ). Mostre que Df4 (0, O)= O e que a restrição de / 4 a toda reta que passa por (O, O) tem mínimo relativo na origem. Mostre, entretanto, que em toda vizinhança de (0, O) existem pontos em que [ 4 é estritamente positiva e pontos em quef4 é estrítamente negativa.

356

O TESTE DA DERNADA SEGUNDA

Diante dos exemplos que acabamos de dar, convém dispormos de condições necessárias (ou suficientes) para garantir que um pontq . ~ítico seja um extremo ou um·ponto de sela. Os resultados que seguem dão condições erri têi:mos da derivada segunda.

n c RP um aberto e seja f: n -r R dotada de derivadas parciais de segunda ordem continuas em n Se c E n é ponto de m{nimo (nuíximo} relativo de f, 42.4 Teorema. Seja

então . (42.2)

[D 2 f(c)(wl ::;;: O] para todo w t= RP. Demonstração. Seja w E R P, l! wll = 1 . Se c é ponto de mínimo relativo, existe ô >O tal que se It! <ó, então f(c + tw) -f(c) > O. Como n é aberto, existe ó 1 >O com ô 1 -5: ó, tal que c+ tw pertence a fl para O -5: t-::;: ô 1 • Pelo Teorema de Taylor, 40.9, existe t 1 , com O S: t 1 :Ç t S ó tal que se c t =c + t 1 w, então f(c

+ rw) =f( c)+ Df(c}(tw) +!D

2

2

f(c~)(tw) •

Como c é ponto de mínimo relativo, segue-se do Corolário 42.2 que D[(c) =O; temos, portanto

•

para O $';.t S: o1 • Segue-se que D f(c 1 )(w)'- ~O. Como llc 1 - cll;:; ltd:::;: ltl, temos q9e.. "· . c 1 -r c quando t -+0. Como as derivadas parciais segundas de f são contínuas, D 2f{c)(w)\~) ·~·::::. O para todo w ERP com Uwll = 1, donde o resultado desejado. Q.E.D:0 próximo resultado é uma recíproca parcial do Teorema 42.4. Note-se, entretanto, que a hípótese é aqui mais forte do que a conclusão de 42.4. '

2

42.5 Teorema. Sejam

u c RP um aberto, f: n -r R dotada de derivadas parciais de

segunda ordem contínuas em fl e c E .sl ponto crítico de f (a) Se D 2 f(c)(w) 2 >O para todo w ERP, w =F O, então f tem mínimo relativo estrito em c. (b) Se D1'[(c)(w) 2
{w

Demonstrarão. (a) Por hipótese, D 2 f(c)(w)2 >O para w no conjunto compacto ERP: llwll = Como a aplicação w ~-+ D 2 f(c)(w)'l é contínua, existem> O tal que

lt.

paraJiwll =L Como as derivadas parcíais segundas de !lx - cll < 8, então Pelo Teorema de Taylor, 40.9, se une c a c + tw tal que

O~ t

f

são contínuas em

n, existe ô >O tal

que. se

para l!wll = 1.


f( c+ tw) =f( c)+ Df(c)(tw) + !D 2 f(c,)(twrl. 357

:!

I

Como c é ponto crítico, segue-se que se llwll = 1 e O < t

< 5, então

f(c + tw)- f( c)= h 2 D 2f(c,)( w )2 2: !mt 2 >O, Assim, f(c + u) > f(c) para O< llu- cll < S, donde f tem mínimo relativo estrito em c. Está assim demonstrada a parte (a); a demonstração de (b) é aná)oga. (c) Sejam w ... , w_ vetores unitários em RP tais que

D 2 f(c)(w .• )2 >O, ..

':

Decorre do Teorema de Taylor que, para t >O suficientemente pequeno, temos

f( c+ tw .. ) >f( c),

Assim, "•

D 2 f(c)(w-Y <0. f( c+ tw-)
c é ponto de sela de f.

Q.E.D.

Comparando os Teoremas 42.4 e 42.5, seríamos levados a fazer as seguintes conjecturas: (i) se c E n é ponto de mínimo relativo estrito, então D 2 f(c)(w) 2 >O para todo w E RP, w *O; (ii) se c E n é ponto de sela de/, então D'f(c)(w)J. toma valores tanto estritamente positivos como estritamente negativos; (iii) se D 2f(c)(w) 2 >O para todo w ERP, então c é ponto de mínimo relativo. Todas essas conjecturas são falsas, como se pode ver através de exemplos. Para implementar o teorema 42.5, é necessário saber se a função w H-- D'f(c)(w) 2 não muda de sinal. Pode-se utilizar um resultado importante e bem conhecido da álgebra (cf. o livro de Hoffman e Kunze) para determinar isto. Para cada j= 1, 2, ... ,p, seja /J.j o determinante da matriz (simétrica)

Duf(c)

Dnf(c)

Díif(c)

Se os números Ll1, A 2 , •• , , Âp são todos estritamente positivos, então D'f(c)(w) 2 >O para todo w *O e f tem mínimo relativo estrito em c. Se os números A 1 , D. 2 , , •• , Ó.p são alternadamente estritamente negativos e estritamente positivos, então D 2 f(c)(w) 2
Q = Au 2 + 2Buv + Cv 2 • Se .ê. =A C - B 2 do

> O, então A *O (e C:# O) e podemos completar o quadrado, escreven· Q

=~

[(Au

+ Bv)-:! + (AC- B 2 )u 2].

Logo, o sinal de Q é o mesmo que o de A (ou C). Por outro lado, se li< O, então Q tem tanto valores estritamente positivos como valores estritamente negativos. Isto é óbvio, pela equação acima, se A =?O, e pode ser facilmente estabelecido se A =O.

358

( Reunindo essas observações em um enunciado formal: 42.6 Corolário. Sejam fl ÇRP aberto, f: n-+ R dotada de derivadas parciais segun~ das continuas, c E Ü ponto critico de f e , ~~... (42.3) t:J. = Dllf(c)Dnf(c) -(Dt;d(c)r. <

'

f

'

'\

/.

•

(

~

para uma função g de .nem R. Estamos interessados em determinar os extremos relativos de f para os pontos x de n que satisfazem a condição de vínculo (ou condição latentl) g(x) =O. Admitindo que f e g sejam de classe C 1 (U) e que Dg(c) :#:O, então urna condição necessária para que c seja extremo de f em relação aos pontos x que satisfazem g(x) =O é que a derivada Dg(c) seja um múltiplo de Df(c). Em ·~ermos de derívadas par· dais, esta condição é que exista um numero real 7 tal que · ·) · (42.4)

~

(

PROBLEMAS DE EXTREMOS COM VÍNCULOS Até agora discutimos o caso em que os extremos da função f: n-+ R pertencem ao interior do seu domínio n Ç,.RP. Nenhuma de nossas observações se aplica ao caso de extremos na fronteira. Todavia, se a função é definida na fronteira de n e se essa fronteira de n pode ser parametrizada por urna função '{I; então o problema de extremo se reduz ao estudo dos extremos da composição f o '{1. Há um problema correlato que conduz a um processo interessante e elegante. Supo· nhamos que S seja uma "superfície" contida no domínio 51 da função de valores reais/. Desejamos determinar os valores de/ que são máximos ou mínimos, dentre todos os valo· res atingidos em S. Por exemplo, se n :::::.RP ·e f(x) = llxll, então o problema consiste em achar os pontos da superfícieS que estão mais próximos, ou mais afastados, da origem. Se a superfície S é dada parametricamente, podemos abordar o problema considerando a ~omposição de f com a representação paramétrica de S. Entretanto, nem sempre é conveniente expressar'S desta maneira, recorrendo-se então a outro processo. Suponhamos S dada como o conjunto de pontos x de n que satisfazem uma relação da forma g(x)=O,

~

f

\

(a) Se A. >O e se Duf(c) >O,ftem mínimo relativo estrito em c. (b) Se A.> O e se D 11 /(c) < O,[tem máximo relativo estrito em c. (c) Se A< O,f tem ponto de sela em c. Nos exercícios diremos algo sobre o caso 6 =O.

Dd(c) = AD1g(c); ..... ... ....

i\

(;(c) .::f O

r

)'

!'' I ;

'

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(. \

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( I

\

( •'

\ '

l

f

{

~,

f'·

Na prática, devemos determinar as p coordenadas do ponto c que satisfazem esta condição necessária. Todavia, não se conhece o número real f.. (usualmente chamado rnul tiplica· dor de Lagrange). Resolvem-se então as p equações dadas acimà, juntamente com a equa· ção g(c) =O em relação às p mordial.

+ 1 incógnitas, entre as quais as coordenadas de c têm importância pri·

(

'

( (

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I

'

(

~

359

f

1,

(

•'

./

42.7 Teorema de Lagrange. Seja n C RP um aberto e suponhamos f e g funções com valores reais de Classe C 1 {S1). Seja c E n tal queg(c) =O e que exista uma vizinhança V de C tal que .:::;,., . c .,.: fJ,<::j~Jo

• ')

(7-,./' "'·/ ....

>( ~·/

Y'

·

D'-P ). /)',) ·,.,' / '-

•

..

·.

'' f(x) ;s;

,DC">../,,

f(c)

[ouf(x) ~ f(c)]

para todos os pontos x E U que satisfaçam g(x) =O. Então existem números reais f1 , não simultaneamente nulos, tais que (42.5)

A~Jl'- :;::o

-~·~,H~---,,~"T

p.Df(c)

so

= ÀDg(c).

Além disso, sJ [)g(c) :fo g'~ podemos tomar J.1 ""' 1. .r ·-- ............ , ... '

~ ;:!2 (c_"') c

Demonstração. Seja F: V-)- R 2 definida por

F(x) = (f(x), g(x))

À,

íL v o.c( C ')

para x E U,

de modo que F é de Classe C 1 (U) e DF(x)(v)...: (Df(x)(v), Dg(x)(v)), Além disso, um ponto x EU satisfaz a condição de vínculo g(x) =O se e somente se F(x) = (f(x), O). Se f(x)
( .t·

p.Df(c)(v) = ÀDg(c)(v)

m

su

donde decorrem as equações (42.5) . Finalmente, suponhamos Dg(c) -::f:. O. Se J1 =0, então a equação (42.5) implica À= O, o que· contradiz o fato de que (}1, X) -::fo (0, O). _Portanto, neste caso, devemos ter J1 i:' O, podendo dividir por J1 e substituir À/Jl por À. Q.E.D. Como U C RP, a equação (4 2.6) com u =e 1 , . . • , eP dá o .sístema de p equações

~J..Dpf(c)

= ÀDpg(c).

Se as Dig(c), i = 1, ... , p, não se anulam simultaneamente, podemos tomar p. = 1 para obter o sistema (42.4).

"

m

para todo v E RP, v E R".

p.D,f(c) = ÀD,g(c),

I

m

Saliente-se que o Teorema de Lagrange dá uma condição apenas necessáría, e que os pontos ob· tidos pela resolução (em geral difícil) das equações podem ser de máximo relativo, ou mínimo relatívo, ou nenhum deles. Toda via, o Co:rolári o 4 2 .13 , adiante, freq üen temente pode ser usado para testar máximos ou mínimos relativos. Além disso. em muitas aplicações, a própria natureza geométrica ou físíca do problema determina o tipo do ponto.

42.8 Exemplos. (a) Determinar um ponto no plano{(x,y, z): 2x + 3y- z = s}em R que e.steja mais próximo da origem. Para tratar o problema, m.inimízaremos a função ·que dá o quadrado da dístância à origem:

M vi

A

sã

.!.I 2

gt

3

f(x, y, z) 360

= x 2 + y'l+ z\

re

sob a condição de vínculo g(x, y, z)=2x+3y-z-5=0 . ..

Como Dg(c) :::F O para todo c E R

3

,

·.·;!.-f'

o 'Teorema de Lagrànge conduz ao sistema 2x = 2A, 2y = 3A, 2z =-A>

'

2x+3y-z-5=0. Então~

eliminando x,y, z, obtemos 2A

.

+ 3(~À)- (-~À)- 5 =O .

-

ou l4f..;4Ã+9f..+À=l0, donde f..=S/7. Chega-se ao ponto (único) (5/7, 15/14, -5/14). Por considerações geométricas, concluímos que este é o ponto do plano que está. mais próximo da origem (0, O, 0). (b) Determinar as dimensões da caixa retangular, aberta no topo, de volume máximo e área de superfície A. Sejam x, y, z as dimensões da caixa, z sendo a altura. Devemos maximizar a função

V(x, y, z) = xyz sujeita às condições

.

g(x, y, z) = xy + 2xz + 2yz- A= O.

Como o ponto desejado tem coordenadas estritamente positivas, o Teorema de Lagrange conduz ao sistema

yz = A(y + 2z), xz = A(x

2z),

xy = A(2x

+ 2y},

xy +2xz + 2yz -A= O.

Multiplicando as três primeiras equações por x, y e z, respectivamente, equacionando e dividindo por À (por que é À :f: 0?), obtemos

xy + 2xz = xy +2yz = 2xz + 2yz. A primeira ígualdade implica x

=y, e a segunda implica y =2z. Logo, as razões dos lados

são 2:2:1 e da última equação decorre que 4z 2 + 4z 2 + 4z 2 =A, o que ímplica z = ~ (A/3) 112 • Portanto, o volume da caixa é f(A/3) 3n. Pode ocorrer o caso de haver mais de um vínculo; utiliza-se então o resultado seguinte. 42.9 Teorema. Seja n C RP aberto e suponhamos f e g 1 , ••• , gk funções com valo· res reais em C 1 (fl.). Suponhamos ainda que c E n satisfaça as condições

361

e que exista urna vizinhança aberta U de a tal que f(x) f(c)] para todo x E U satisfazendo aquelas condições. Então existem números reais Jl, À 1 , ••• , )..,k n.ão si· multaneamente nulos, tais que (42.7)

•

E-LDf{c)=À~Dgl(c)+·- ·+ADg~<(c).

Demonstração, Seja F: U-+ R h+ 1 definida por

para x EU

F(x) = (f(x), gl(x), ... , &~<(x))

. !' j

o argumento é o mesmo que o da demonstração do Teorema 42.7.

Q.E.D.

4 2.1 O Corolário. Além das hipóteses do Teorema 4 2.9, suponhamos que o posto da

matriz

. -.

': !I

(42.8)

:';.' ;;i '.• i

seja igual a k (~p). Então existem números reais los, tais que (42.9)

.I

' :1

............

~

À 11 ••. , Àk,

.........

~

...

~~-

não simultaneamente nu-

....

Demonstração. Aplicando a fórmula (42.7) a e 1 , ••. , ep ERP, obtemos um sistema de equações com o lado direito de (42.9) e o lado esquerdo de (42.9) multiplicados por J.l. Se 11 =O, então a hipótese de que o posto é igual a k implica À 1 = · · · = Àn =O, contrariamente à hipótese. Logo, J1 ::f: O e podemos normalízar o sistema, obtendo (42.9). Q.E.D. 42.11 Exemplo. Determinar os pontos da interseção do cilindro { {x, y, z): x~ + yl ""4 }com o

plano{ (x, y, z): 6x ~ 3y + ~z

==

6}mais próximo e ~ais afastado da origem.

Procuraremos i:letennmar os extremos da funçao

sujeita aos vínculos &1(:x, y, z) = X 2 + y 2- 4 =O,

.g1(x, y, z) = 6x + 3y + 2z - 6 =O. A matriz correspondente a (42.8) neste caso é

362

...

() I

que tem posto 2 exceto no ponto (x, y} = (0, 0), que não satisfaz as condições de vfuculo. Logo, podemos aplicar o corolário, obtendo o sistema

r·

2x = Àt(2x}+ À'í(6),

2y = Ãt(2Y)+

,\~(3),

2z =

,\2(2),

/

·'

\

(•, .........

'

( '

xl+y2=4,

6x + 3y + 2z = 6,

'

........

(

de cinco equações em cinco variáveis. A terceira equação dá "A?. = z, de modo que podemos eliminar Ã-1 nas duas primei:Í:as equações. Para eliminar à 1 , multiplicamos a primeira equação resultante por y e a

segunda por x e subtraúnos, obtendo

O= 6yz- 3xz = 3z{2y- x).

(' '_./

Segue-se que ou z =O ou x = 2y. Se z =O, a quinta equação dá 2 x

+ y = 2. Combinando com a quarta equação, vem xl+(2- 2x)~ = x 2 +4- 8x + 4x 2 = 4,

donde Sx 2 - 8x ""x(Sx- 8} =O, e x =O ou x::.: 8/5. Este caso conduz aos pontos (0, 2, 0) e (8/5, -6/5, O), cada um dos quais está à distância 2 da origem. Por outro lado, se x = 2y, a quarta equação dá 5y-1 = 4 de modo que y "" 2.JS (e x = 4/.JS) ou y:::. -2/.JS (ex= -4/,JS). Levando na quinta equação, obtemos z = 3(1- .J5) e z = 3(1 + .J5), res# pectivame.nte. Portanto, este caso conduz aos pontos (4/.JS, 2/.JS, 3(1- .JS)) e (-4/.jS, -2/.JS, 3(1 .J$)). Os quadrados das distâncias desses pontos à origem são, respectivamente, 58- 18.j5 e

58

(

.

'' í

t .

+ 18.j5.

Deduzimos, então, que ambos os pontos (0, 2, 0) e (8/5, -6/5, O) minimizam a distância da in· ter seção à origem, enquanto que o produto (- 4/.JS, - 2/.JS, 3 (1 + .J5)) maximiza a distância. Por considerações geométricas, vemos também que o ponto (4/.JS, 2/-JS, 3 (1 - .jS)) dá máximo relativo entre os pontos da interseção. (0 leitor deve esboçar um diagrama que auxilie a visualização da situação.)

(_,

(

'

(

'•

I

'

\

VíNCULOS DE DESIGUALDADE

{ ' . ·'.

Têm adquirido importância cada vez maior; em anos recentes, os problemas de extremo que envolvem vfnculos de desigualdades, em lugar de igualdades. Assím é que poderemos querer determinar um extremo relativo de uma função f: !2-+ R entre todos os pontos de n C RP que satisfaçam as condições h t (X)

2: Ü , . . . ;

hk (X) >

\ ... /

)

Ü.

f

Veremos que tal problema também pode ser tratado pelo método de Lagrange. Às vezes pode ocorrer um problema que envolva tanto igualdades como desigualdades, mas como a igualdade g(x) =O é equivalente à desigualdade -(g(x))'l 2 O. tais pro· blemas podem sempre ser reduzidos ao caso que envolve apenas vínculos de desígualdàde.

/

desigualdade

(

'

\

42.12 Teorema. Seja n ç: RP um aberto e suponhamf)s f e h t. ..• , hk funções com valores reais de Classe C 1 (s-2). Suponhamos ainda que cada c E n satisfaça os vinculas de

)

,. \

{

363

..

/ I

\ ,1'

e que exista uma vizinhança aberta' U de c tal que f(x) <[(c) [f(x) ~f(c)J para todo x E U que satisfaça aquelas condições. Então existem números reais p., À 1 , ••• , À~: não simultaneamente nulos, tais que (42.1 O)

p.,Df(c) = >'~ Dh 1(c) + · · · + X..kDhk (c).

Além disso, se hi(c) >O para algum i, então 'At ""'O. Demonstração. Seja F: U-"' R 11 + 1 definida por

F'(x) = (f(x), h1(x), ... , hk(x))

para x EU.

Se c é um ponto de ·u em que as condições de vínculo· são satisfeitas e em que f é ou ma· ximizada ou minimizada, então DF(c) não pode ser sobrejetiva e assim (42:1 O) deve se verificar. Se h 1 (c)=O, ... ,hr(c)=O, mas hr+l(c)>O, ... ,hh(c)>O, então seja U1 CU uma vizinhança aberta de c na qual hr+ 1 , ••. , hk são estrítamente positivas, e apliquemos o teorema às condições h 1 (x) >O, ... , hr (x) ~O. Q.E.D. 42.13 Corolário. Além das hipóteses do Teorema 42.12, suponhamos que o posto

da matriz

(42.1,1)

correspondente aos hi para os quais hí(c) =O, seja igual a r. Então podemos tornar IJ. = 1 em (42.10). Além disso, se f(x) <{(c) if(x) ~f(c)J para todo x EU que satisfaça as condições, e se tomamos p. = 1 em (42.10), então /v. :::; O ('A;> OJ para i= 1, ... , r. Demonstração. A demonstração de que podemos tomar J1 = 1 em (42.10) é análoga à do Corolário 42.1 O. Suponhamos, então, que Jl = 1 e que f(x) ~f(c) para todo x EU que satisfaça às condições de vínculo. Como o posto da matriz (42.1 I) é r< k, então se 1 S j :$:;r, existe um vetor Vi E RP tal que Dh;(c)(vi) = ô,1• Portanto, se t >O é suficientemente pequeno; existe um ponto Ct no segmento que une c e c + ft~i tal que O;;::; f( c+ lv1) - f( c)= Df(c,)(tv;) = tDf(c,)(vd. Conseqüentemente, temos O> Em •~o <:>0

f( c+ tv;)- f( c)= Df(c)(v1)

Logo Àj:::;;: O para j = 1, ... , r.

t

=f À;Dh;(c)(vi) =

Q.E.D.

li

8

\

Ii li

364

.,'

.I

[ll

I!

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l

Ài·

1><1

Para uma demonstração elementar, porém assaz diferente, do teorema de Lagrange no caso de vínculos de desigualdade, consulte o artigo de E. J. McShané relacionado nas Referências. ·

Ili

.

E. J. McShane (1904~ ) completou seu doutoramento na Universidade de Cl:úcago. Ligado por longo tempo à Universidade da Virgínia, é amplamente conhecido por seus trabalhos e con~ tribuições à teoria da integração, cálculo das .ariações, teoria da otimização e balística exterior.

'l

i' I

EXERCÍCIOS

42.A. Determine os pontos críticos das seguintes funções, bem como a natureza desses pontos.

(a) f(x~ y) = x 2 + 4xy,

(b} f(x,y)=x"+2y 4 +32x-y+l7, (c) f(x, y}=x 2 +4y 2 -12y 2 -36y, (d) f(x, y) =x"- 4xy, (e) f(x, y)= X 2 +4xy +2y 2 -2y, (f) f(x, y)= x +3y"-4y~-12y~. 2

'I

42.B. Sejam n c RP um aberto, f: n-+ R dotada de derivadas parciais segundas contínuas em n, c E n ponto crítico de[, e s > O. (a) Mostre que se Dz f(x)(w), > O para· todo O < h - cU < 6 e w E RP, então c é ponto de máximo relativo de f. , (b) Mostre que se D 2 f(x)(w) 2 >O para todo O< Ux - cll < ô e w E RP, w 'tP O, então c é ponto de mínimo relativo estrito de f. 42.C. Sejam: n c R: um aberto, f: n- R dotada de derivadas parciais segundas contínuas em n, c E n ponto crítico de f, e

â(x) = Dof(x)Dnf(x)- (Dtd(x))2 para xE n. Suponha que, para algum S >O, â(x) >O para todo llx- cll < 6. (a) Se Duf(x) >0 (ou se Daf{x) >O) para todo x tal que O< llx- d <ó, mostre que c é ponto de mínimo relativo de f, (b) Se Duf(x)
l

'i

'1

I '

=

(b) f(x, y) ~2-y3, (d) f(x, y)= x4-x2y2+y\ (f) f(x,y)=x 4 +y•.

(a) f(x, y) = xly•, (c) f{x,y)=x 3 -y\ (e) f(x,y)=x 3'j-xy\

42.G. Mostre que a função f(x, y) = Zx + 4y - xs y'1 tem um ponto crítico mas não tem extre~ mos relativos. 42.H. Estude o comportamento da função f(x, y) = x11 - 3xy 1 numa 'li.zinhança da origem. O gráfico desta função costuma ser chamado de «sela de macaOÓ". Por quê? 42 .L Determine a menor distância do ponto (2, 1, - 3} ao plano 2x + y - 2z = 4. 42.J. Determine as dimensões da caixa retangular, aberta no topo, de volume dado e superfície de área mínima. 42.K. Determine a menor distância entre as retas Ll :.:{(x,y, z): x = 2- t, y = 3 + t, i= 1 -

2rteL 1 =hx.y.!z):x=l~s,y=2-.r,z=3+sl

faha.

.

.

,

,

42.L. Dê exemplos que mostrem que cada uma das conjecturas feitas apos o Teorema 42.5 e

42.M. Dados n pontos (xj, Yj},í = 1, .... nem R 1 , suponha-se que queixamos determinar a função afim F: R -• R dada por F(x) Ax + B tal que a quantidade

=

"

L (F(xl)- Y1Y

ju!

365

seja minimizada .. Mostre que isto nos leva às equações

.

'

A

"

L x1l+B L X;= L xJy ~

. A L + nB '""' L Y;.

i•l

íool.~

,,

j .. l

x!

1,

'

I

i •1

j..., I

nas incógnitas A, B. (Diz-se que F é a funçãQ afrm que "melhor se ajusta aos

mínimos quadrados".)

11

pontos no sentido dos

4 2. N. Seja f: (0, 1]-+ R cont {nua em [0, ll. Desejamos escolher números reais A, B, C tais que minimizem a quantidade

Mostre que devemo~ escolher A, B, C tais que satisfaçam o sistema

~A +iB +1C

=r

iA +!B +C=

r

xf(x) dx, f(x) dx.

[Diz-se que a função resultante x ~-• Ax~ + Bx + C é a função quadnítica que "me lho• se ajusta a f em [0, I] no sentido dos mínimos quadrados".) 42.0. Use o Teorema de lagrange para determinar pontos da curva y = xs + x- 2 onde a função f(x, y) == x- y tenha e:>,;tremo relativo. Esboce então a curva e as curvas de nível de f para mostrar que o(s) ponto(s) locado(s) não é(são) ponto(s) de extremo de f. 42.P. Seja f: R 2 - R a função quadrática f(x,y) =ax~ + 2bxy + cy 2 para (x,y) EiRl. Queremos determinar extremos relativos de f no circulo unitário { (x, y) : x• + y ~ 1}· Use o Teorema de Lagrange para mostrar que os pontos (x~, y ~)em que esses extremos são considerados devem satisfazer

r 't

=

Q sist~ma

(a- À)Xo+ byo = Ú,

'

bxo+ (c- À)Yo =O,

:j

onde o multiplicador de Lagrange X é uma raiz da equação

'•

!

.i

Mostre que o valor correspondente do multiplicador -,. é igual ao valor extremo de f em tal extremo relativo. 42.Q. A soma de três números reais é 9. Determine esses números, se seu produto deve ser má-

ximo .

42.R. Mosue que o volume do maior paralelepípedo que pode ser inscrito na região elipsoidal

l I I

(onde a, b, c são números estritamente positivos) é igual a 8 abc/3.,/3.

366

'

1

42.S. Para cada uma das funções seguintes, determine o máx.ixno e o mínimo no conjunto da· do. (Quando conveniente, considere os sinais dos multiplicadores,)

(a) f(x,y)=x~-y\ S={(x,y):xz+y 2 ::Sl}....... "' (b) f(x:,y)=xl+2x+l, S={(x,y):x 1 +y 2 51}. (c) f(x,y)=x 2 +2x+y 2 , S={(x,y),jxl< 1,\yl< I}. 2 (d) f(x,y)=(l-x )seny, S={{x,y),\xl::;;;l.jylsn}.

I

I'

\

'

(

'•

·'

'

( •.

4i.T. Seja/com valores em R, defhúda para x > O,y >O por f(x,y)=lfx + cxy + 1/y.

'

(a) Determine os pontos crft:icos de f e sua ha.tureza. (b). Se c> O, seja S y): O < x, O < y, x + .Y
={0:,

M =f( c) >sup {j(x): llxl! =r}= rn.

M-m g(x) = f(x) + r llx -- c1!1 • Mostre que g(c) = M, enquanto que g(x) pónto c 1 J Uc 1 U< r, onde

t

t'

1

para Uxll =r. Logo, g atinge máximo relativo em algum

Dlif(c 1) <

-:{? (M- rn) <0.

42. W. Sejam .n ç_ RP um aberto funitado, b (n) o conjunto dos pontos fron tei.ra de n {v. Definição 9.7) e sr =nu b(n} o fecho de n. Diz-se que úma função n- _.,.R é harmônica em n se é cont (nua em n- e verifica a equação de Laplace

i:

I

''' l


'

,Í.. ' Dllf(x) =O

j

!t para todo x E fL

(a) Use o argumento do exercício precedente para mostrar que uma função harmônica em n atinge seu supremo e seu ínfimo em b (.Q). (b) Se te g são harmônicas em ri e set(x) =g(x) para x b(n), então /(x) =g(x) para todo

x

en-.

(c) Se f e g são harmônicas em n e se /(x) = .p(.x),g(x} = .p (x) para x E b(n), então

sup {lf(x)- g(x)l: x e !l} :-: sup {lcp(x)- ~P(x)

I :x E b{:O)}.

(Esta conclusão pode ser formulada dizendo-se que ~·as soluções do problema de DLdchlet para n dependem continuamente das condições de fronteira".) 42.X. Mostre que o máximo de f(x 1 , ••• , Xp) = (x 1 • • • Xp)l sujeito ao vínculo x. 1'l + · · · + 1 é igual a 1/pP. Use este resultado pará obter a desigualdade:

xJ ;: ;

IY · · · Y! < !lyl!~' p~>l< •

i

I'

-

paray

E

Rp.

4 2. Y. Mostre que a médía geométrica de uma coleção de números reais positivos {a~> ... , a não excede sua média aritmética, isto é,

A

I '

1

r'

367

'

.

\ ,. (

.t

(

'•

(

\

''

Seja g definida por

4

/

l

'

,'

~·

, ~-.

i

42.Z. (a) Seja p > 1, q > 1, 1/p + 1/q = 1. Mostre que o mínimo de f(x,y) (1/q)ycz (x >O, y >O) sob o vínculo xy"' 1 é igual a 1. (b) Use a parte (a} para mostrar que se a> O, b >O, então l l '

i

;

ab
I

i

I

'

I

.,I

~·

(c) Sejam

{a

1},

=

f .

{bt}. i= 1, ... ,

n, mímeros reais positivos. Prove a Desigualdade de Holder:

tl ~b.

~-·

~

=(1/p)xP +

s

(t, ~prp(t, b~qr·

fazendo A (!: af) P, B =(E bf) 11 q, e aplicando a parte (c) a a =ai/A, b = bi/B. (d) Use a Desigl.l.a'ldade de Holder (c) para obter a Desigualdade de Minkowsld: 11

I

~-

I

' • ' ~- .

'

í

J t

l

~ (

I!

li ): 1:

li

(

l

-li

-~

li

(

'

l

]:

l

);

'

E

I!

li

I

l:

I li

368

!

..

CAPÍTULO

8

INTEGRAÇÃO EM

Rf'

Apresentaremos neste capítulo a teoria da integração das funções com valores; reais, definidas em RP, p > 1. O método é o mesmo que o iniciado na seção 29 para o caso p = 1, mas aqui concentrar-nos-emos apenas na integral de Riemann (e nã'o na de RíemannStieltjes ). Veremos na seção 43 que, para funções limitadas definidas em uma cela fechada em RP, a teoria não exige vírtualmente nenhuma modificação em relação à teoria feita para R. Todavia, para podermos integrar sobre conjuntos mais gerais de RP, é necessário de~ senvolver (como faremos na seção 44), uma teoria do "conteúdo" (noção p--dimensional de "área") para uma familia conveniente de conjuntos em RP. Caracterizaremos a função conteúdo nessa família de conjuntos, e mostraremos como exprimir integrais em RP como integrais iteradas. A seção final é devotada a importantes teoremas sobre transforma· ções de conjuntos e integrais sob diferentes aplicações. As dificuldades teóricas são consideráveis> mas concluiremos o estudo com um teorema bastante útil que justifica a mudan· ça de variáveis mesmo no caso de a transformação apresentar comportamento um tanto "singular".

SEÇÃO 43 A INTEGRAL EM R P

Nas seções 29·31 discutimos a integral de funções limitadas, com valores reais, de· finidas em um intervalo compacto 1 de R. O leítor propenso a generalizações terá observado qu~ grande parte do que foi feito naquelas seções pode ser aplicado quando os valores da função estão em espaços cartesianos Rq. Reconhecida essa possibilídade, não é difícil levar a cabo as modificações necessárias para se obter uma teoria da integração para fun-

çõesdeJemRq.

É também natural perguntar se seria possível obter uma teoria de integração para

funções cujo domínio seja um subconjunto do espaço RP; o leitor recordará que isto foi, de fato, o que se fez em cursas de cálculo, ao considerar integrais "duplas" e "tripiasu. Nesta seção íníciaremos o estudo da integral de Riemann de funções com valores reais definidas em um subconjunto limitado conveniente de RP. Embora muitos de nossos resultados possam ser estendidos de modo a permitir que os valores estejam em Rq, q > 1, deixaremos essa extensão aos cuidados do leítor. CONTEÚDO ZERO Recordemos (seção 5) que uma cela em R é um conjunto com uma das quatro for· mas: (a, b),

i !

[a, b),

(a, b], 369

·~ I'

com a 5:, b. Os números a, b são os extremos das celas; Uma cela em R P é o prbduto cartesiano 1 = 1 1 x · · · x JP de p celas em R. Diz-se que a cela 1 é fechada (aberta) se cada uma das celas 1 1 , •.• ,Jp é fechada (aberta) em R. Se as celas J1 t~- extremos a1 ~b 1 , i= 1, ... ,p, definimos o conteúdo deJ=11 x · · · x lp como o produto .........-........... \"' ..-·~ •"""'' t· j'~. ' ( ( bp ·~ ap ) · C)J'-(;0.;.' )\ ·-· · ? .L ~:·~.} .. J , ·::),_: ..~ .• C J) - ( b l a 1) t

,,

I'

'

'

' ·..... '·.

-

-

•

•

1

I I I

)

•''

•

Se p =1, o conteúdo costuma chamar-se "SQ~~nto"; se p 2, o conteúdo é chamado ·~área"; se p"" 3, o conteúdo é o "volume". Usaremos a palavra ''conteúdo" porque não tem conotações especiais que aquelas outras possam ter.

=

t

:• ' I.

.

'

Note-se que se J =1 1 x · · · x lp, e K =K 1 x . · · x Kp são celas em RP tais que os extremos de li e K1 sejam os mesmos para cada i= 1, ... , p, então c(J) =c(K). Analoga· mente, se ak = bk para algum k = 1, ... , p, então a cela J tem conteúdo c(J) =O; todavia, não é necessário que J = (/J. Se J1 é uma cela com extremos ai< bi e se b 1 - a 1 = · · · =bp- ap >O, então dizemos que J=J1X· · ·X]p

é um cubo. Um cubo pode ser fechado, aberto, ou nem fechado nem aberto. O número b 1 -a l >O é o comprimento da aresta do cubo. 43J Definição. Um conjunto Z C RP tem conteúdo zero se, para cada e> O, existe um conjunto finito J 1 , ••• , Jn de celas cuja união contém Z e tal que ~--·-"--" c(Jl) + · · · + c(ln)
O leitor deve mostrar que a noção de conteúdo zero permane~e exatamente amesma quer as celas que aparecem nesta definição sejam fechadas, ou abertas, ou cubos.

43.2 Exemplos. (a) Um ponto em RP tem conteúdo zero. (Por quê?) Maís geral· mente, qualquer subconjunto finito de RP tem conteúdo zero. (b) Se (zn)n e N é uma seqüência em RP que converge para z 0 E RP, então o conjunto Z ={zn: n > o}tem conteúdo zero. Com efeito, se e> O, seja 10 urna cela aberta contendo z0 tal que df0 ) k, e podemos tomar Ji ;:;;; {zt i= 1, ... , k para obter Z C 1 0 U J 1 u · · · U Jn,. Como

I '

I

t·

c(Jo) +c (J 1) + · · ·+c (li<)< e +O+· · ·+O= s,

''

e como e> O é arbitrário, segue-se que Z tem conteúdo zero. (c) Qualquer subconjunto de um conjunto de conteúdo zero tem conteúdo zero. A união ·de um número finito de conjuntos de conteúdo zero tem conteúdo zero. (d) No espaço R 2 , o conjuntoS ={(x,y): lxl + IYI = 1} tem conteúdo zero. Com efeito, se n EN, introduzamos quadrados com diagonais ao longo de Se vértíces nos pontos x = y = ±kjn (k =O, 1, ... , n); vemos então que po4emos encerrar Sem 4n qu-adrados fechados cada um de conteúdo l/n 2 • Logo, o conteúdo total é 4/n, que pode ser tomado arbitrariamente pequeno. (V. Figura 43.1.) (e) O círculo S = (x ,y) :x 2 + y 2 = 1 em R 2 tem conteúdo zero. Demonstra-se modificando o argumento em ( d). (f) Seja/uma função contínua de J =[a, b] em R. Então o gráfico

G

= {( x,

f (x)) E R 2 : x E J}

tem conteúdo zero. Demonstra-se por meio da continuidade uniforme de f e modificando-se o argumento em ( d). -~~-~ - ... - · · - .. · 370

iI, I

i '' I

I '

r

'

i

( ' ·.. ..r

l'

l

II

·.)

}

\

I

/

'' t '' ''

(

'.

!' .

(

~

(

'· '

\

(

( Figura 43.1

I

\

(g) O conjuntoS Ç.R 2 que cortsiste de todos os pontos (x,y) em que tanto x como y pertencem a In Q é um conjunto numerável mas não tem conteúdo zero. De fato, qualquer união finita de celas contendo S deve também conter a cela I X I, que tem conteúdo 1. Em contráste com (f)~ notemos que hd "cw·vas continuas" em R 1 que têm conteúdo positivo. Na verdade, há funções contínuas f. g de I= (0, 11 em R tais que o conjunto

(·, '

{ ' /

t /.

\

s = {(f(t), g(t)); tE I}

f

contém a cela I x I em R 2 • Tal curva é chamada curva de Peano (ou curva que enche o espaço). (V. Exercício 43.U.) ------

'

I!' I

'f ''

!' !

•

''

' ~

DEFINIÇÃO DA INTEGRAL Definiremos primeiro a integral para uma função limitada f definida em uma cela fechada I Ç._RP e com valores em R. Seja

J

\

( (

\

I = [a 1, b d x · · · x [ ~' bp],

{

e, para cada k = l, ... , p, seja P.n: uma partição de [ak, bn] em um número finito de celas fechadas em R. Isto índuz uma partição P de 1 em um número finito de celas fechadas em RP. Se p e Q são partições de /, dizemos que pé refl.Oame"ruOàe Q-secâaa-cefã-effi"J> está contida em alguma cela de Q. (Alternativamente, notando que uma partição fica de· terminada pelos vértices de suas celas, P é um refinamento de Q se e somente se todos os· vértices contidos em Q estão também em P.)

f

um

433 Definição. Uma soma de Riemann S(P;f) correspondente a uma partição P ={11 , ••. , 1, } de I é dada por

S(P; f)=

L" f(x,:)c(J"),

( (

( ,I

( (

k"'.l

(

371

/

(

onde Xk é qualquer ponto "intermediário" de J k, k = 1, ... , n. Um número real L se define como a integral de R.iemann de f sobre J, se para todo e:> O, existe uma partição Pe de I tal que se Pé um refinamento de Pe e S{P;f) é uma soma de Riemann correspondente a P, então IS(P;j)- L I::;;: e. Caso exista essa integral, dizemos que f é integrável em I. É um exercício de rotina mostrar que a integral, quando existe, é única; escreveremos em geral

L=

Lf;

todavia, quando p == 2, ocasionalmente denotaremos a íntegral por

f ff(x, y) d(x, y),

ou

f Jt

1

·~

f

e quando p = 3 poderemos escrever

\1

ffJt

I I I

I I

ou

JJJ

f(x, y, z) d(x, y, z).

Existe um critério de integrabilidade muito conveniente, devído a Cauchy. Como a demonstração é análoga à do Teorema 29.4, omitimo-la. 43.4 Critério de Cauchy. Uma função limitada

f: I-). R é integrável em I

se e so· mente se, para todo e> O, existe urna partição Qe de I tal que se P e Q são partições de I que constituem refinamentos de Q~; e S(P;f) e S(Q;[) são somas de Riemann correspondentes, então IS(P; f)-S(Q; f)1
/l(x) = f(x)

' \.

=O

para x E A. para x

E l

\A.

· Se a função !1 é integrável em I no sentido da Definição 43.3, então fica como exercício (v. 43.M) mostrar que o valor h!I não depende da escolha da cela fechada/ que contém A. Em vista disso, diremos que f é integráyel em A e definiremos

/

pois o membro direito depende somente de f e de A. (Em argumentos subseqüentes, denotaremos h simplesmente por f.) Analogamente, sejam A e B subconjuntos limitados de RP e seja f: A -+R. Seja 1 uma cela fechada contendo A U B e defií1amos / 1 :I-+ R por

f1(x) = f(x)

=o

I 372

para x E A f1 B,

para

X

E 1 \ (A

n B ).

t

Note-se que / 1 é a extensão a I da restrição f iA n B. Sef1 é integrável em I, dizemos que f é integrável em B e definímos

PROPRIEDADES DA INTEGRAL Daremos a seguir algumas das propriedades esperadas da integral. A será sempre um subconjunto limitado de RP. 43.5 Teorema. Sejam f e g funções de A em R. integráveis em A. e a, (3 ER. Então a função af + {Jg é integráveZ em A e

L (af+{3g)=o:L f+fjL g. Demonstração. O resultado decorre do fato de que as somas de Riemann para uma partição P de uma cela I ~A verificam

S(P;

af + (3g) = o:S(P; f)+ {3S(P; g),

quando se utilizam os mesmos pontos intermediários. Q.E.D. 43.6 Teorema. Se [:A -+R é integrável em A e se f(x)2:.0 para xEA, então fA/2_0.

Demonstração. Note-se que S(?; f) 2:. O para qvalquer soma de Riemann. Q.E.D. 43.7 Teorema. Seja f: A -+R Umil função limitada e suponhamos que A tenha con~ teúdo zero. Então f é integrável em A e f A f= O. Demonstração. Seja I uma cela fechada contendo A. Dado e> O, seja Pe uma partição de I tal que as celas em Peque contêm pontos de A tenham conteúdo total menor do que e. (Mostre que existe tal partição Pe .) Se Pé um refinamento de Pe, então as celas de P que contêm pontos de A também terão conteúdo menor do que e. Logo, se lf(x)l ;{,M para x EA, temos S(P;[) ~Me para qualquer soma de Riemann correspondente a P. Co· mo e >O é arbitrário, isto ímplica fA/=0. Q.E.D. 43.8 Teorema. Sejam[, g :A-+ R funções limitadas e suponhamos f integrável em A, Seja ECA de conteúdo zero e suponhamos f(x) = g(x) para todo x EA \ E. Então g é integrá veZ em A e

Lt= L

g.

Demonstração. Estenda f e g a funções [I, g1 definidas em uma cela fechada f con· tendo A. A hipótese implica que h r= {I- g1 é limitada e igual a O exceto em E. Pelo Teorema 43.7 deduzímos que h1 é integrável em I e que o valor da integral é O. Aplicando o Teorema 43.5, inferimos que gr =fr- h1 é integrável em I e

L =i i g

g1 =

([r - h r)

=

1 = Lf. {r

Q.E.D. 373

EXISTÊNCIA DA lNTEGRAL É de esperar·se que, f sendo contínua em uma cela fechada I e com valores em R, então f seja integráveL Estabeleceremos um resultado mais forte, que pennite que f seja descontínua no complemento de um conjunto de conteúdo zero.

43.9 Teorema da lntegrabilidade. Sejam 1 C RP uma cela e f: I-+ R limitada. Se existe um subconjunto E C I de conteúdo zero tal que f é contínua em 1\ Ê, então f é integrável em I. .

Demonstração. Seja lf(x)l 5:,M para todo .x E I e E> O. Então existe (por quê?) uma partição P tE de I tal que (i) as celas em P" que contêm quaisquer pontos de E contêmnos em seu interior, e (ii) essas celas têm conteúdo total inferior a e. A união C das celas fechadas de Pe que não contêm pontos de E é um subconjunto compacto no qual/ é con· tinua. De acordo com o Teorema da Continuidade Uniforme 23.3, a restrição de f é uniformemente contínua C. Substituindo Pe por um refinamento, se necessário, podemos supor que Jk seja uma cela em Pe que está contida em C, e se x,y EJk, então lf(x)-

'

em

f(y)l

< €.

Suponhamos agora quePe Q sejam refinamentos de Pe. Se S'(P;/) e S'(QJ) denotam as porções das somas de Ríemann estendidas às celas em C, então um argumento análogo ao utilizado na segunda parte da demonstração do Teorema 30.1 dá

IS'(P; f)- S'( Q; f) I < IS'(P; f)-- S'(P.; f) I+ !S'(P~; f)- S'( o; f) I s;

E

2ec(I).

_.. ,........ c

-· __I

I ~ v~

_.#. f-""

I

1.0 {;! F7:~ ~~I{ ~ !<1, _;:: r~~ \)\b'} D'>'P.ii ·~,. :~i'~ ~,) :-, !b= J::v ~\(. ~;~1:'-~ ~~ .....a::..:,.......

i' ~· \ I\

'•=$l .'

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I ;

- I -

i?i

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l:~ :)-~ ;-..

~

--

I

il

I

'

Figma 43.2

,_

Analogamente, denotando por S"(P;[) e S"(Q;f) as porções restantes das somas de Riemann, então

jS"(P; f)- Sfl( Q; f) I ~ IS"(P; f) I+ !S"( Q; f)! :s 2M e.

Segue-se, portanto, que , I

jS(P;f)-S(Q;f)l::; s(2c(1)+2M);

I\

l;

I

I

como 374

e> O é arbitrário, inferimos do Crítério de Cauchy que f

é integrável em I.

Q.E.D.

\

{

No Exercício 43.P e no Projeto 44.a: daremos condiçõe$ necessárias e suficientes para a integrabilidade.

.... EXERCÍCIOS

~·

\

\

"

43.A. (a) Seja a= (au ... , ap) E RP e sejam JJ = [a 1 , ad, •. - ,Jp ~ [ap, ap] celas em R. Mos~ tJ:e que J= 1 1 X···XJp tem conteúdo zero em RP. Logo, o conjunto{ tem conteúdo zero em R". (b) Tomando 1; = (a 1 , a 1 ), então a cela .r= J~ X J,. X· · · Xlp é vazia ·e tem conteúdo zero. 43.B. Mostre que um conjunto Z c RP tem conteúdo zero se e somente se, para cada e> O, existe um conjunto finito K 1 , ••• , Kn de cubos cuja união contém Z e tal que c(K 1 ) + · · · + c(Kn) <

a}

€'.

43.C. Complete os.detalhes da demonstração da afunmção, feita no Exemp~o 43.2(0, que o gr.ífico S c Rel de uma função contínua f: [a, b) -r R tem conteúdo zero. 43.D. Se J é uma cela fechada em R'l e g: J _,..R é contínua, mostre qtJ.e o gráfico { .. : Jn }e Q ~· J!1l }~uas partições d~ i em celas fechadas. Mostre que R={ li ll Jj: l = 1 ••..• n;J ::::: 1,, .. , m }e uma pru:t1çao de I e que R e um refinamento tanto de P como de Q. A partição R é chamada refinamento comum de P e Q. 43.G. Se I ç;J são celas em RP e se Pé uma partição de/, mostre que existe uma partição Q de 1 tal que toda cela em P pertence a Q. 43.R Sejam Z c RP um conjunto de conteúdo zero e I uma cela fechada contendo z. Se 1 1 • • • • , In são celas contidas em /, cuja união contém Z, mostre que existe uma partição P de f tal que o fecho de cada fk é a união de celas em P. 43.1. Seja.çn Z ç:, RP um conjunto de conteúdo zero e /uma cela fechada conteng.o Z. Se e>O, mostre que existe uma partição Pede I tal que as celas em Peque contêm pontos em Z têm conteúdo total inferior a .: . 43.1. No exercício precedente, mostre que podemos escolher Pe com a p:copriedade adicional de que as celas em Peque contêm quaisquer pontos deZ contêm-nos em seu interior. · 43.K. No Exercício 43.1, mostre que, se I é um cubo, então existe uma pa.rtíção Qe de I em cubos, tal que os cubos em Qe que contêm pontos em Z têm conte(tdo total inferior a e. · 43. L. Seja A C RJJ limitado e sejam I, J celas fechadas em RP tais que A c f 1. Se f: A _,.R é uma função limitada, defina fi: 1- R ifJ: J- R) como a função que conco(da com f em A e se umtla em I\ A (J \A). Mostre que a integral de fremI existe se e somente se a integral de !J em f exhie, e em tal caso ambas as integrais são iguais. 43. M. Seja A c RP lin:litada e sejam 1 I e I, celas fechadas em RP tais que A r;;.lj. Seja f: A -·R uma função limitada e, para j"' 1, 2, defina [j: lj __,.R por {j(:x) = f(x) para x E A e [j(X) =O para x E lj\A. Mostre que a integral de [ 1 sobre ! 1 existe se e somente se a integral de !1. sobre 11 existe, e em tal caso as duas integrais são iguais. 43.N. Estabeleça a unicidade da integral de uma função limitada f definida em wna ceLa fecha· dalÇ.RP. 43.0. CompLete os detalhes da demonstração do Critério de Cauchy 43.4. 43. P. Sejam l f;. R.P uma ceia fechada e f: f-+ R limitada. Então f é intezrá velem f se e somen~ te, se, para todo e >O, existe uma partição Pe. de I tal que se P = é um refma.mento de Pe, então

J)}c

={J ... ,

!

')

{J..... .Jn1

( ( '

( i

'

(

{

'\

(

\

( (

{ )

\.._,

(

( /

I

( I

/ '\

( (

~

L (Mi- m;)c(J;)
(

onde Mi = sup{f(x):x E lj}e mr=inf{/{x): x Elj}Pa.raj = 1, ... , n. Este resultado é chamado Critério de lntegrabilidade de Riemann (cf. Teorema 30.1).

375

t

\.

{

f \

(

·~·'

'

l ,,

Ií l l

43. Q. Seja /J:. RP uma cela fechada e seja f:/-+ R cotada por M. Se f é integrável em!, mostre que a função lf! é integrável em 1 e que fiifl
i

I exi~e

entáo

J

I

p

a1

43. T. Sejam K <;.,_RP uma cela fechada e [, g; K __,R contínuas. Mostre que se e> O, então uma partição P € ={K 1 , ••• , Kr} de K em cubos tal que se XJ, Yi são pontos de Kj,j = 1, ... ,r,

I

l

. J

Jt = lirn (J t.).

I

li

·n:

p d

L

fg- ~~ f(x 1)g(y1)c(K 1)

< ec(K).

p:

43.U. (Este exercício dá exemplo, devido a Schoenberg, 1 de uma curva que enche o espaço.) Seja 'P: R -+R contínua, par, de período 2, e tal que

~

;

q>(t)

) '

=o

para

o

t

==3r-1

para

3I< t

<~

""'1

para

~stsl.

< ! ·~ ll

s-

s.

(a) Esboce o gráfico de
{(1) =

'\

~q.;(t) + ~2 cp(Yt)+ ~~ cp(3•l) + · · ·, 1

g{t) ""fP(3t)

+211 cp(3't)+ 231 q>(3~t) + ...

Mostre que estas séries são unifonnemente convergentes, de modo que f e g são continuas em I.

(c) Calcule f(t) e g(t), onde t tem o desenvolvimento temário (base 3) dado por

0,2020,

0,0220,

(d) Se (x, y) pertencem ao gráfico de S rio (base 2) de x e y:

=i

x = O.a 1 a 7 o:, . .. ,

0,0022,

0,2002.

(f(t), g{t)): tE

y=

I}, escreva o desenvolvimento biná·

0.{3.{3zf3~

... ,

c /)

.E

a

onde o:n, fJm são O ou 1. Seja t um número real correspondente cujo desenvolvimento temário é

t ""0.(2o:,)(2{3,)(2a2)(2{32) ....

o

Mostre que x =f(t) e y "-"g(t). Logo, todo ponto no cubo Ixl pertence ao gráfico de S. 43.V. Um conjunto Z r;;,.RP tem medida zero se para cada e> O existe uma seqüência (J11 ) de celas cuja união contém Z e tal que :r. c (Jn)
u d

l

376

Isaac Schoenberg {1903·

) nasceu na Rumânia e foi educado ali e na Alemanha. Po.r longos anos ligado à Universidade da Pensilvânia, trabalhou em teoria dos números, análise real e complexa, e cálculo das variações.

C<

q

s f

(a) Como o conjunto vazio é uma cela, mostre que um conjunto de conteúdo zero também tem medida zero. (b) Mostre que todo conjunto numerável em RP tem,, lJledida zero. Logo, o conjunto do Exem,.,i,r plO 43.2(g) tem medida zero (mas não tem conteúdo zero). · · (c) Mostre que, na definição de "medida zero" dada acima, podemos exigir que as celas sejam abertas, ou cubos. (d) Mostte que todo conjunto compacto de medida zero tem também conteúdo zero. (e) A união de uma faml11a numerável de conjuntos de conteúdo z.ero tem medida zero.

PROJETOS

43.a. Sejam l C RP uma cela fechada e f: I-+ R limitada. Se P ={1 1 , de f, seja

•••

Jn }é uma partição

para i = 1 •...• n, e defina a soma inferior e a roma superior de f em relação a P por " U(P; f)= M;c(Jj). L(P; f)= mic(JJ,

:t

L

~,.d

j•d

Se~

(a) Se S(P;f) é uma soma de Riemann correspondente a P, então L(P;[) S..S(P;f) >O, então existem somas de Riemann S 1 {f;n e S 2 (P;[) correspondentes a P tais que

< U(P;f).

(b) Se Pé uma partição dele Q é um refinamento de P, então

L(P;f)< L(Q:f)s U(Q;f)< U(P;f). f

'

(c) Se Pt e Pz ·são partições de f, então L (PJ ;f):;;; U(P 2 ;{). (d} Defma a integral inferior e a integral superior de f em I por

L(f)

=sup {L(P; f)},

U(f) =in r {U(P; f)},

·respectivamente, onde se tomam o supremo e o (nfimo em relação a todas as partições de I. Mostre que L(/) s.; U(f).

(e) Mostre que fé integrável (no sentido da Defmição 43.3) se e somente se L(/):=: U(J), e nesse caso L (f)= U(f) =fif. (f) Mostre que f é integrável se e somente se, para cada e> O, existe uma partição P tal que U(P;f) -L (P;f)
. Exercício 43.P.)

43.{L Este projeto desenvolve a integral de funções ern uma cela fechada f Ç. RP e com valores em Rq. Se P ={11 , ••• , In uma partição de/, então uma soma de Riemann S(P;f) correspondente a P é uma soma do tipo ., S(P; f)= c(J,)f(x,}

}é

L

onde Xk E lk. Um elemento L ERq é a integral de Riemann de f sobre I se, para todo e >O, existe uma partição Pede I tal que se Pé um refinamento de Pe e S (P;n é uma soma de Riemann correspondente, então IIS(P; -L~
n

=

SEÇÃO 44 CONTEúDO E A INTEGRAL Introduziremos aqui a coleção de conjuntos com conteúdo, e caracterizaremos a função conteúdo como uma função com valores reais definida nessa coleção de conjuntos. 377

Em seguida obteremos algumas outras propriedades da integral sobre conjuntos com conteúdo e mostraremos como é possível calculá-la como uma "integral iterada".

ç

44J Defmição. Se A c RP, lembremos que um ponto x ERP é ponto fronteira de A se toda vizinhança de x contém tanto pontos de A como pontos de seu complementar

4

<€(A). A fronteira de A é o subconjunto de RP que consiste de todos os pontos fronteira de A; denotá-la-emas por b (A).

Se A c RP, lembremos que um ponto de RP só pode ser precisamente um dos: três:.ou ponto interior de A, ou ponto fronteira de A, ou ponto exterior de A. O in~erior A 0 consiste de todos os pontos interiores de A; é um aberto em RP. A fronteira de A, b (A), oonsiste de todos os pontos fronteira de A; é um conjunto fechado em RP. O fecho de A, denotado por A-, é a união A u b (A); é um oonjunto fechado em RP. Em geral esperamos que a fronteira de um conjunto seja um conjunto pe.queno; mas isto é porque estamos acostumados 11: pensar em termos de retângulos, círculos e outras figuras elementares. O Exemplo 4.3.2 (g) mostra que a fronteira de um oonjunto numerável em R~ pode ter fronteira igual a IXI.

p 'i

te

lc

s

e:

CONJUNTOS COM CONTEúDO zero.

li

Definiremos o conteúdo de um subconjunto de RP cuja fronteira tenha conteúdo

44.2 Definição. Diz-se que um conjunto A ÇRP, ç_uja front:!!!:~ te~n_teú~~\f\<;·!.v..<\'J'_ido zero, tem conteúdo; Denotaremos por 9 (RP) a coleção de todos os subconJunfõs de · RP que tenham conteudo. Se A E fit(RP) e se 1 é uma cela fechada que contém A, então a função KT aefifiida por g!(X) = 1 para X E A, \\6\..dl,;'f'' .

é

n ri d

t~

=O

para x E 1\ A, em pontos de b.,f(1,). Logo,g1 é integrável em 1 e defini·

é contínua, exceto p~ssivelmente remos o conteúdo c{A) de A como figJ. Assim c(A)

=

1 f

g1

~

=J

\ . .1. . ._ ~.\. ti"t'\0'v·. Q..;'v·- c~ 1\

..

A

Note-se que, se J C R r> é uma cela, então sua fronteira consiste da união de um número finito de "faces". que são celas, cada uma das quais tem conteúdo zero. (Por exemplo, se J ={a, b1x [c, d], então b(J) é a união das quatro celas [a, b]x[c, c], [a, b]x[d, d],

[a, a]x[c, d], [b, b]x[c, d]. Essas mesmas quatro celas são também a fronteira da cela (a, b) x (c, d).] Segue-se que uma cela em RP tem conteúdo; aJém disso, vê-se facilmente que, se 1 = (a 1 , bd x · · · x [ap, bp ], então c(J) =

11 =

(b1- a1) · · · (b 11

a;.).

-

Logo; o conteúdo de uma cela, tal como dado pela Deflnição <44.2, é consistente com a definição de conteúdo atribuído a uma cela fechada na seção 43. Observações análogas aplicam-se a outras celas em RP; em particular, vê-se que, se K = [a 1 , b 1 ) x · · · x (ap, bp), então

c(K) =

378

f

JK

1 = (b 1 ~ a 1)

• · •

(bp- a.p).

.

e:

A

1

.

{

.

l.

I

,,

Mostremos que a noção de conteúdo zero da Definição 43.1 é consistente com a no· ção de conteúdo introduzida na Definição 44.2. 44.3 Lema: Um conjunto A C RP tem conteú.do zero (no sentido da Definição 43.1} se e somente se tem conteúdo (no sentido da Definição 44.2) e c(A} =0. Demonstração. Suponhamos que A C RP tenha conteúdo zero. Então, se e> O, podemos incluir A na união U de um número finito de celas fechadas com conteúdo total inferior a e. Como esta união Ué um conjunto limitado, A é limitado; como Ué fechado, também contém b (A). Como e> O é arbitrário, inferimos que b(A) tem conteúdo zero; logo A tem conteúdo e

L

c(A}=

L

XEA,

=O

para

x E l \A,

n B) + c(A U B).

i }

! /

\

(

'

I \ (

f

( (

{

l ,.

'(

( I

c(x +A)= c (A).

Demonstração. Por hipótese, as fronteiras b(A), b(B) têm conteúdo zero. Deixamos como exercício mostrar que as fronteíras

·!

,.

{

n B)+ c(B \A).

b(A \ B),

I

i

(c) Se x +A ={x +a :a EA}, então x +A pertence a Y'f(RP) e

b(A U B),

(

\

(b) Os conjuntos A \ B e B \A pertencem a g (RP) e

n B),

(

~

é integrável em I. Dado e >O, seja Pe uma partição de I dd que qualquer soma de Rie· mann correspondente a Pe satisfaça O< S(Pe ;gr)
b(A

'i

(

para

c(A U B) = c(A \ B)+ c(A

,.

'\

\

&r(x) = 1

c(A) +c( B) = c(A

.

'

f

Segue-se agora, do Lema 43.7~ que c(A) =0. Reciprocamente, suponhamos que A r;;. RP tenha conteúdo e que c(A) =O. Então existe uma cela fechada I contendo A e tal que a função

".

! '

b'(B \A)

·'

'" (

(

estão contidas em b{A) u b(B). Segue-se daí e do Exemplo 43.2(c) que A n 8, A u B. A\ B, e B \A pertencem a 9 (RP). Seja agora 1 uma cela fechada contendo A U B e sejamfa.fb,/i,fu funções iguais a 1 em A, B> A n B, A U B, respectivamente, e iguais a O em todos os outros pontos de f.

379

)

( /

'.

( 1

I

'

r

\

Jl

li i

)l

Como cada uma dessas funções é contínua exceto em conjuntos de conteúdo zero, elas são integráveis em I. Como

Jl Ji

1

'I

J!

decorre do Teorema 43.5 e da definição de conteúdo que

JJ f

c(A) +c(B)

,'

11

JI

=:

'

,

..

'

li

H

li ·~

c(A)= Í

j,

I I

([i + {w)

{! +

fu

Isto estabelece a fórmula dada em (a); a fórmula em (b) pode ser demonstrada de maneira análoga. Para demonstrar (c), note-se que se E > O é dado e se J 1 , ••• , J n são celas com conteúdo total inferior a e cuja união contenha b (A), então x + J 1 , ••• , x + J n são celas com conteúdo total menor do que € cuja união contém b(x +A). Como € >O é arbitrário, o conjunto x +A pertence a g (RP). Para mostrar quec(x +A) =c(A), seja I uma cela fechada que contém A; então x +I é uma cela fechada que contém x +A. Sejaf1 :f-+ R tal que/1 (Ji) = l se y EA e/1 (y) =O se y El \A, e sejaf'Z :x +I -'1' R tal quef2 (z) = 1 se z Ex +A e f 2 (z) =O se z E (x +f)\ (x +A). Mostre que a cada soma de Riemann para { 1 corresponde uma soma de Riemann para / 2 e que essas somas são iguais. Logo

li

(

(f"+ fb)

fb

= c(A n B)+ c(A U B).

H

li Ii

i

=i +i =i i =I 1 fo

f)= Jf· .. !

fz=c(x+A).

Q.E.D.

44.5 Corolário. Sefam A e B pertencentes a g (RP). (a) Se A nB = 0, então c(A u B) = c(A) + c(B). (b) Se A C B, então c(B \A)= c(B)- c(A).

,

I " I

1. l

CARACTERIZAÇÃO DA FUNÇÃO CONTEúDO Vimos que a função conteúdo c : f.?(RP)-?- R é positiva> "aditiva", "invariante

por translação'' e associa o valor 1 ao cubo «semi-aberto"

Ko=[O, l)x[O, 1)><· ··><[O, 1).

l,

Mostraremos agora que essas quatro propriedades caracterizam c.

i

'·

44.6 Teorema. Seja 1: 9: (RP)-+ R uma função com as seguintes propriedades: (í) 'Y (A) :2 O para todo A E 93 (RP); (ií) se A, B E 9 (RP) e A n B = 0, então ')'(A U B) = 1(A) + 1 (B); (iií) se A E ~(RP) ex ERP, então 1 {A)= /(X+ A); (iv) 1 (Ko) =1.

)

/

'', (

'l

I

Então ternos 1(A) =c(A)para todo A E f/J (RP).

Demonstração. Se n EN, seja Kn o cubo "semi-aberto"

i

\

K,, Í.'

380

II

= (0, T") X (0, 2-") X···X (O, T").

j

'f

Notemos que K 0 é a união de znv transladados disjuntos de Kn ~logo, 1 = 'Y (K0 ) = znv-y(Kn)e assim -y(Kn) = l/2np =c(Kn). · Sejam A. B pertencentes a 9(RP) e A c }J. Então podemos escrever B =A U (B \A); como A (1 (B \A) = (/J, segue-se de (í) e (ii) qu.e"·· .

;

y(B)

= y(A) + y(B \A)> y(A ).

Logo, 'Y é monotônica no sentido de que se A c B, então 'Y (A) :::;: 1 (JJ). Seja agora A E !g (RP). Como A é limitado, então~ para algum ME N, o conjunto A está contido no interior do cubo fechado I com metade do comprimento da aresta igual a zM e centro em O. Se e> O, existe uma partição de I em pequenos cubos de comprimento de aresta igual, di· gamos, a z-n, taís que o conteúdo da união de todos os cubos 11 , ••. , Ir contidos em A exceda c(A)- e e tais que o conteúdo de todas as celas Ib ... Jsfr $:s) que contêm pontos de A não exceda c(A) +E. (V. Exercício 44.1.) Ora, cada um desses conjuntos h difere de um transladado X i + Kn por um conjunto de conteúdo zero. Temos, pois,

c(A)- e :::; c(0 (x, + K .. )) 1

c(A) s c(tJ, (x, + K .. )) s c(A) +e.

::s;

Mas c e r são ambos invariantes por translação do conjunto e concordam em Kn. Além disso, c e 7 são aditivas sobre uniões finitas clisjuntas. Logot

c(0 (x~ + K ... )) = ,t c(xi + K.. ) = ,t, -y(x, + K") = y(.yl (x, + KJ ). 1

I

i.

1

Decorre daí e do fato de 7 ser mono tônica que

c(A)- e s donde

y(lJ (x, + K,.)) 1

!-r (A)- c(A)I < €. Com?

< y(A) s

y(0, (x, + K ... )) s c(A) +a,

e >O é arbitrário, inferimos que 1(A) =c(A).

Q.E.D.

44.7 Corolário. Seja p :g{RP).....,. R unuzfunção que satisfaz as propriedades (í), (íi') e (íii). Então existe uma constante m ~O tal que ll(A) =me (A) para todo A E ~(RP). Demonstração. Como p possui as propriedades (i) e (íi), vê-se facilmente que Jl é monotônica no sentido de que A C B implica Jl (A)< f1 (B). Se Jl (K0 ) =O, então Jl de qualquer conjunto limitado é O, donde decorre que J.1 (A)= O para todo A E 9lf(RP)~ de modo que podemos tomar m =O. Se p{K0 ) :#O, seja

1

y(A) = t-L(Ko) p..(A) para todo A E 0)(R~'). Como se vê facilmente que 'Y tem as propriedades (i), (ii), (ifi) e (iv) do teorema) segue-se que 'Y =c. Logo 1 tomamos m == J.l (K 0 ). Q.E.D. OUfRAS PROPRIEDADES DA INTEGRAL Apresentaremos a seguír algumas propriedades adicionais da íntegral.

44.8 Teorema. Sejam A E fi?(RP) e f :A-'). R limitada e continua em A. Então f é ín.tegrável em A. 381

Demo nstraçâo. Sejam I uma cela fechada com A C I e /I :I-+ R igual a f em A e igual a O em I\ A. Como [ 1 é limitada em I e é contínua em I\ b (A), segue-se do Teorema da Integrabilidade, 43.9, que fr é integrável em I. Portanto f é integrável em A. Q.E.D. Mostremos que a integral é aditiva em relação ao conjunto ao qual é estendida. 44.9 Teorema. (a) &fam A 1 e A 2 pertencentes a 9j(RP) e suponhamos que A 1 n A 2 tenha conteúdo zero. Se A =A 1 u A 2 e se f; A -r R é integrável em A 1 e A 2 , então f é integrável em A e

f r=f t+f

(44.1)

A

A1

A2

r.

(b) Se A E f::Z{ft.P) sejam A 1 , A 2 E 9?(RP) tais que A =A 1 UA 2 e tais que A 1 nA 2 tenha conteúdo zero. Se f: A ->R é integrável em A, e se as restrições de f a A 1 .e A 2 são integráveis, então (44.1) se l'erifica. Demonstração. (a) Seja I uma cela fechada contendo A =A 1 UA 7 e sejafi:/ -+R, i= 1, 2, igual a f em A1 e igual a zero em todos os outros pontos de I. Por hipótese,/1 e [ 2 são integráveis em I e

i= 1, 2. Decorre do Teorema43.5 quefJ

·II

+f2 é integrável em/e que

Ora,. como f(x) =/ 1 (x) + { 1 (x) desde que x E A \ (A 1 nA 2 ), decorre do Lema 43 .8 que f é integrável em A e que ( 44.1) se verifica. (b) Manteremos a notação da demonstração de (a). Por hipótese,[, é íntegrável em I. Mas [J(x) :::;:: / 1 (x) + !-1. (x) exceto para x em A 1 nA~ , que é um conjunto de conteúdo zero. Decorre, portanto, do Teorema 43.5 e do Lema 43.8 que

Lt= Jt= l ""'J

A,

(ft+{l)=

t+J

Al

Jr~+ JJ2

f.

!

I 1 i

r Q.E.D.

I

Note.mos que se f: A -+R é uma função integrável limitada, então a hipótese feita em 44.9 (b) de que as restrições de f a A 1 e a A 2 sejam integráveis está automaticàmente satisfeita. (V. Exercício 44.J.) O resultado que segue costuma ser útil para estimar a ordem de grandeza de uma in-

tegraL

·

44.10 Teorema. Sejam A E f?tf(RP) e f: A-"' R integrável em A e tal que lf(x)l
(44.2)

Ltj

l

I

1 < Mc(A).

i

'

I

I

382

r

l I

(

'i

\

JWais geralmente, se f é uma função com valores reais em sJ(x) ~M para todo . tao

-

(44.3)

mc(A) <

Lf

s

X

EA, en-

i

S(Pe; /r)- e <

[r <

MetA).

'\

S(P~; f)+ e,

(

.;

(

'

'.

f

S(Pt;; f)= 'L'"f(xj)c(Ja,

,•

{

'

\

(

t

/

onde a soma se estende às celas em Pe inteiramente contidas em A. Logo

'L' c(J~<) s

'\

I

Notemos que, se os pontos intermediários da soma de Rí.emann são escolhidos sempre que possível fora de A, então temos

S(P.; f) s M

.,• '•

Demonstração. Seja [I a extensão de f a uma cela fechada I contendo A. Dado e >O, existe uma partição Pe = 1 , ••• , Jh} de 1 tal que se S(Pe; f 1) é uma soma de Riemann correspondente, então

lJ

f'

(

fvlc(A).

\,

'

Temos, portanto,

·I

l 7

II

f

•

JA f= Lft

\

Mc(A)+s,

e como e> O é arbitrário, obtemos o membro direito da desigualdade (44.3). O membro esquerdo se obtém de maneira análoga. Q.E.D. Decorre deste resultado o teorema seguinte, que é uma extensão do Primeiro Teorema do Valor Médio 30.6.

44.11 Teorema do Valor Médio. Sejam A E EiJ(RP) um conjunto conexo e f :A-+

--

1

R -:::::=limitada e continua . ._. _,,. . . ,. . ,. . . ,. .ern A. Então existe um ponto p E A tal que

I

(44.4)

i

I

........

....... ......._,........... _.., ~.~

Lf=

l; !

II ''

'

!'

f(p)c(A).

M

t

( (

"<

.

·'

{ '

(

(

= sup {f(x) :x E A};

\

segue-se, da segunda parte do teorema precedente, que (44.5) Se arnbas as desigualdades em (44.5) são estritas, o resultado decorre do Teorema do Va· lar Intermediário de Bolzano, 22.4. Suponhamos agora que f A [=Mc(A). Se o supremo M é atingido em p E A, a con· dusão também é válida, Suporemos então que· o supremo 111 não é atingido em A. Como c(A) ::#O, existe uma cela fechada K C A tal que c(K)-:# O (v. Exercício 44.G). Como K é compacto e f é contínua, existe e> O tal· que f(x) -;;;,_M-e para todo x E K. Como

I

'

/ .

'·

.

f '.

!

Il

l

(

Dernonstrdção. Se c(A) =O, a conclusão é trivial; suponhamos então c(A) =F O. Seja

m =inf{f(x):xEA}, i

\'

383

í\

I

\.

#

A = K U (A \ K), decorre do Teorema 44.9 e 44.1 O que i'

Me (A) = :S

rf

l

f f= f f+ f A

JK

A\K

f

(M- 8)c(K)+ Mc(A \ K) < Mc(À),

o que é uma contradição. Se fAf=mc(A), vale argumento análogo.

Q.E.D.

A lNTEGRAL COMO INTEGRAL ITERADA

Veremos agora que, se f é integráve] em uma cela fechada J;:::;:, [a 1 , bd x · · · x [ap, bp] emRP, e toma valores em R, então a integral fJ/pode ser calculada como uma "inte· gral iterada" p-upla:

É o mesmo método de cálculo de integrais duplas e triplas por meio de integrais iteradas, familiar ao estudante de cálculo elementar. Justificaremos tal método; por questão de simplicidade, suporemos p = 2, mas é óbvio que o resultado é válido para dimensões maiores.

44.12 Teorema. Se f é contínua na cela fechada J =[a, b Jx {c, d], com valores em R, então --·

Lf= f'{l~f(x, y) dx} dy = f{f f(x, y) dy} dx. 1

Demonstração. Vimos, no Teorema 31.9, que as duas integrais iteradas são iguais. Para mostrar que a integral de f sobre J é dada pela primeira integral íterada, definamos F para y E [c, d] por

F(y) =

1hf{x, y) dx.

Seja c= y 0
=

F(y{)

:=f'f(x, yj) dx = kt; L:~, f(x, yf) dx.

De acordo com o Primeiro Teorema do Valor Médio, 30.6, para cadaj e k existe um ponto x1~ em [xk -1, Xk] tal que

F(yt) =

L• f(x~, yj)(x~<- X~t-;).

k .. 1

Multiplicando por (yi - Yi -1) e adicionando, obtemos t

'

•

i~!

Í"'l

k~J

L F(yj)(y!- Yi-t) =L L f(x~, Y1)(x"- X~<-l)(yi- Yí-t).

384

Mas a expressão à esquerda desta fórmula é uma soma arbitrária de Riemann para a integral

Mostramos que esta soma de Riemann é igual a uma soma particular de Rí.emann correspondente à partição P. Como f é integrável em J, está assegurada a existência desta integral iterada e sua igualdade à íntegra} sobre J. Q.E.D. Uma pequena modificação na demonstração do teorema anterior leva ao seguinte teorema) ligeiramente mais forte.

44.13 Teorema. Seja f integrável no retângulo J =[a, b] X [c, d]~ com JXJlores em R e suponhamos que, para cada y E [c, d], a função x--+ f(x, yJ de [a, b] em R seja conti~

nua, exceto talvez em um número finito de pontos, nos quais tem limites laterais. Então

Como conseqüência deste teorema, obteremos um resultado útil para o cálculo de integrais de funções definidas em um conjunto limitado por curvas contínuas. Por conveniência, enunciaremos o resultado para o caso em que o conjunto tenha segmentos retilíneos horizontais como fronteiras superior e inferior, e curvas contínuas como fronteiras laterais. É claro que este resultado também é válido se as fronteiras laterais são segmentos retilíneos e as fronteiras superior e inferior são curvas contínuas. O caso de conjuntos mais complicados se resolve de modo análogo, decompondo os conjuntos na união de sub-

conjuntos desses. dois tipos.

,

44.14 Teorema. Seja A Ç.R 2 dado por

A= {(x, y): a(y)

x s f3(y), c< y:::;; d},

A

Figura 44.1

. i

:

y

=c

com a e (3 funções continuas em [c, d] e tomando valores em [a, b ]. Se f é contz'nua de A em R, então f é integrável em A e

I A

f=

r f

J.

d{

13 ( y;

f (X,

y) dx } d )I.

t(y}

Demonstração. Sejam J uma cela fechada contendo A e /J a extensão de f a J. Uma variante do Exemplo 43.2(f) mostra que a fronteira de A tem conteúdo zero; logo,/J é in385

tegrá vel em J. Ora, para cada y E [c. dJ, a função x H /J(x, y) é contínua, e,xceto tal vez nos dois pontos a{:v) e {3 (y ), onde tem limites laterais. Segue-se do teorema precedente que J

Q.E.D. ;'·

EXERCÍCIOS

'

·'

'·,

.,

. 1

44.A. Se A c RP, então um ponto é ponto fmnteira de A se e somente se é ponto fronteira do complementar'tt(A) de A. Logo b(A) b(45'(A)). 44.B. Sejam A c RP e b(A) a fronteira de A, (a) O conjunto b (A) é fechado em RP . (b) O interior A(l =A \ b(A) é aberto em RP e contém todo aberto G tal que G f;. A . (c) O fecho A- =A u b{A) é fechado em RP e está contido em todo conjunto fechado F tal que A c F. 44.C. Sejam A c RP e A- =A u b(A) o fecho de A. Mostre que b{A-) c b(A). Dê um exem~ plo para mostrar que a ~ualdade pode ser verificada, e um exemplo em que a igualdade falhe. 44. D. Sejam A, B subconjuntos de RP. Mostre que a fronteira de cada um dos conjuntos

=

AnB,

A \B,

AUB

está contida em b(A)U b(B). [Sugestão: b(A) =A- n (!€(A))- .} 44. E. Um conjunto A f;. RP é fechado em RP se e somente se b (A) f;. A. Um conjunto B c RP . é aberto em RP se e somente se B n b(B) =~. 44.F. Se A E~(RP), mostre que seu ínterior A 0 =A \ b(A) e se'! fecho A~ =A u b(A) também pertencem a @(RP) e que c (A 0 ) =c '4) =c (A-). 44.G. Se~ e§)(RP) e c(A) >O, prove que existe uma cela fechada K c A tal que c(K).;.: O. 44.H. Se A f;.RP, definamos o conteúdo interior e o conteúdo exterior de A como

c*(A) = sup c(U),

c*(A) = inf c(V),

onde se toma o supremo em relação ao conjunto de todas as uniões finitas de celas contidas em A, e o ínfimo em relação ao conjunto de todas as uniões imitas de celas que contêm pontos de A. (a) Prove que c*(A) < c*(A) e que A tem conteúdo se e somente se c*(A) = c*(A), e, nesse caso, c(A) é seu valor comum. (b) Se A e B são subconjuntos disjuntos de RP, mostre que c* {A u B) ::;;, c*{A) + c*(B). (c) Dê exemplo de conjuntos disjuntos A, B tais que O """ c* (A) =c* (B} =c* (A u B). 44.1. Sejam ME N e IM c RP o cubo de meia aresta ~ual a 2M e centro O. Para n E N, dividamos 1M numa malha GM,n de comprimento 2-n. formada pela coleção de todos os cubos em IM de aresta 2- n e extremos racionais diádicos (isto é, extremos da forma k/2n, k E Z. (a) Se J r;_ IM é uma cela f~hada e e> O, mostre que existe n EN tal que a união de todos os cubos em GM,n contidos em J tem conteúdo total superior a c(J)- e e a união de todos os cubos em GM,n que contêm pontos em J tem conteúdo total inferior a c(J) + e. (b) Se A f;.!M tem conteúdo e e > O, mostre que existe n E N tal que a união de todos os cubos em GM,n que estão contidos em A tem conteúdo total superior a c (A)- e e a união de todos os cubos em GM,n que contém pontos de A tem conteúdo total inferior a c (A) + e. 44 .J. Seja 1 c RP uma cela fechada e seja f: J-+ R íntegrável em 1. Se A f;. i tem conteúdo, então a restrição de f a A é integrável em A. (Sugestão: Use o Exercício 43.P.)

386

i

J:

I

..

i

'

l i

;

44.K. Seja A E 01 (RP) e suponhamos f e g integráveis em A e g(x) >O para todo x EA. Se m := inf f(A), .M =stip [(A), então existe um número real p. E (m, Mj tat que

L L&:'. ·,,.• fg = fL

1

fg = f(p)

L

g.

l

J."{[MU•l ldy} dx = f't(x) dx.

JI

( I\ ..

I

\

I I

'

<' '

(

I

(

'\

( (

(

44.Q. Sejam Q = [0, 11 X (0, 11 e [: Q.....,. .R defmida por f(x, y) =O se x ou y é .irracional, e f(x, y) = 1/n se y é racional ex= m/n, com m, n >O e inteiros primos entre si. Mostre que

y)

!

\

f{ft(x, y) dx} dy = f{ft(x: y) dy} dx. f=

,.

'

44.P. Sejam A C R" o conjunto do Exercício 43.E e f de Q""' [O,l}X (0, 1] em .R definida por f(x, y) = 1 para (x, y) E A e f(x, y) =O nos demais casos. Mostre que A não tem conteúdo e que f não é integrá vel em Q. J;odavía, as integrais iteradas existem e ve.dficam

t r{ft(x,

I

I

{

-t.

i

{

\

i

44.M. Seja~(xn,Yn):n eN}urna enumeração dos pontos de (0, 1) X (0, 1) com coordenadas racionais. Para cada n EN, seja In uma cela aberta em (0, 1} X (0,1) contendo (xn,Yn), e seja G = Une N In. Mostre que G é um conjunto aberto em R 1 , cuja fronteira b (G) é (0, 1) X (0, 1} \ G. Mos· tre que se E c (In)< 1, então o aberto G não tem conteúdo. 44.N. Usando a temtinologia do Exercício 7.K, seja A ç [0,1] um conjunto "tipo Caqtor" de Se K =A X (0, 1), mostre que K é um subconjunto compacto de R 2 , que b(K) = K e comprimento que K não tem conteúdo. 44.0. Sejam a S. b e f: [a. bj _,R contínua e tal que f(x) ,2.0 para todo x E {a, b}. Seja St= {
c(S,) =

(

l

( '·

44. L. Se, além das hipóteses do exercício precedente. supusem10s A conexo e f contínua em A, então existe wn ponto p EA tal que

L

'

I

dx} dy =O,

{

1 I\.

mas que f~ f(x, y) dy não eXiste para x racional. 44.R. Sejam J k,R 2 urna cela aberta contendo (O, 0) e[: J _,.R contínua em J. Defma F:J-+ R pela integral iterada

F(x, y) = f{ff(s, t) de} ds.

'

(

(

\

i

'. )

f.

Mostre que D 1 D 1 F(x.y) = f(x, y) = D 1 D 2 F(x,y) para (x, y) J. 44.S. Seja J como no exercício precedente e g: J ~~R tal que D) D, G seja contínua em J. Use esse exercício para mostrar que D 1 D.,. G existe e é igual a D1 D 1 ·G. 44.T. Sejam J = Ia 1 , b 1 l X···X [ap, bp] e f:J-+ R contínuas. Seja 1(1) = [al, b 1 } X···X (ap, bp] em RP ~ t e F(1): f(t)-... R definida por

( (

{ i

( ·'· .,

.

·'""

} \

(a} Mostre que F(1 ) é contínua em 1(1 ).

{

387

•.

I •.

(

'

I

l

(b) Dado (x~, .•• , x~) em J (1} e wna partição a 1 :::: x 1 ,o mostre que existem pontos x~.k em [x 1 ,k • 1 , x 1 h l tais que

i

'

~

< x 1 ,l < · · · < x 1 ,s = b 1

de (a!? b 1 },

•

.

Fw(x~, ... , x:) =

••

J

L'

f(x i.~, x!, ... , x:)(x 1."- - x •.•• ,) .

~~~

(c) Prove que

f

:r:

F11J(x1, ... , Xp)

Jw

d(x~ •... , xv) == J {f"'J(xh X

)

=

.I

.,

2 , ••• ,

1 J.çn

x,)

«t

dx,} d(x

2 , ••• ,

xP)

f(xl> ... , xP) d(x11 ... , xr)-

(d) Estenda o resultado ao caso em que, para cada ponto (X 2 , • • • , Xp) em l(t), a função x 1 -+ F(x 1 , X 2 , • • • , xp) de {a 1 , b 1 } - R é contínua, exceto talvez em um número finito de pontos em que tem derivadas unilaterais. 44.U. (a) Sejam a, (1 :[a, b] -1- R contínuas com a(x} .5,/J(x) para todo x E [a, b). Mostre que o conjunto

I I

B = {(x, y) E R~: a

:s;;; x::;;;

b, o:(x) s '/::;;; /3(x)}

é um cofliunto compacto em R' com conteúdo.

i '

(b) Sejam agora "f,ó:B-+R funções contínuas com -y(x,y) <ô(x,y) para todos (x,y)EB. Mostre que o conjunto

D ""'{(x, y, z) E R~: (x, y) E B, y(x, y)

< z < ô(x, y )}

é um conjunto compacto em R 3 com conteúdo. (c) Sef:D....,. R é contínua, mostre queféintegrável em De que

1 I

!

n

f=

b

~;

{Jil!•l{J~(x,~) «h')

} }

f(x, y, z) dz dy dx.

y{x. y l

44.V. Seja 1 = [a 1 , b 1 J X · · ·X {ap, bp] e, para cada í = 1, ... , p, seja [j: [aj, bj]-+ R uma função integrável. Definindo 'fi :I-• R como 'fi(X 1 , ••• , xp) =/1 (x 1) • • • fp(Xp), mostre que
L

44. W, Use o Teorema da Aproximação de Weierstrass para mostrar que se I= [a 1 , b,) [ap, bp] e se g:!""" R é contínua, então ·

(

\

!

,.?' ·~

I.

~ I

!

'

x ... X

44 .X. Seja
a~ s

r r cp

+

(b) Se p > 1 e q > 1 são tais que (1/p) + (1/q) gualdade de Young para estabelecer a desigualdade

.

i \

388

t{l.

=1, e se 'fi(X) =xPiq e

o/1 (y):::: yqlp,

use a Desi-

.I

+

(c) Se ai, bi, i= 1, ... , n são números reais e se A = (la t!P + · · · + la njP)"P e B =(I b 1 lq + · · · lbnlq) 11 q, use a desigualdade acima para estabelecer a Desigualdade de Holder

L l~b.l <

'·

!'

n

;~

1

AB,':"''

)

já obtida no Projeto 8.{l(b).

PROJETOS

44.o:. Seja lç;._RP uma cela fechada e seja f:!-+ R limitada. Para o:>O, seja Do:=={xe/: wr(x) > a} , onde wr(x) denota a oscilação de f em x (v. Projeto 23 .o:). (a) Suponha que Da tem conteúdo zero. Seja Po:={1 1 , ••• .In}uma partição de I' tal que (i) cada ponto de D;J)- S(Po:;fl15.o:(c(f) + 1). {b) Deduza que, se Do: tem conteúdo zero para cada o:> O, então fé integ.rável em!. (c) Suponha que, para algum o:> O, o conteúdo exterior c*(Do:) >O. Mostre que, para qualquer partição P ={1 1 , ••• , ln. }de I se tem

L" (~- mJc(J1):;::: ac*(D.. ).

i""

I

Deduza que f não é integrá velem I. • {d) Conclua que fé integrávei em I se e somente se o conjunto Do: tem conteúdo zero para todo

C<> o.

(e) Recorde que D = UneN Dun é o conjunto de pontos em que fé descontínua. Mostre que D tem medida zero (no sentido do- Exercício 43 .V) se e somente se cada conjunto Dun tem conteúdo zero. (f) Conclua que f é integrável em I se. e somente se seu conjunto D de pontos de descontinuidade tem medida zero. (Este resultado é o Critério de_ Integ:rabilidade de Lebesgue.) 44./3. Este projeto estuda integrais superiores e inferiores (introduzidas no Projeto 43.a:) e suas iterações. Sejam 1 ç_ R r e J C Rs celas fechadas p =r + s e K = I X J r;;;_, RP :::: R r X R 5 • Suponha f: K -+ R limitada. (a) Para cada x E/~ defma gx: J __,.R por gx(Y) = f{x, y) para y E J. Seja "'- :I_,. R defmida CO· mo a integral inferior 1\(x) =L (gx) de gx, e J.l-: I__,. R defuúda como a integral superior Jt(X):::: U(gx) de gx. Se R é uma partição de f, e S urna partição de J, e P =R X S a partição resultante de K, então mostre que L(P~

f) s L(R: À) s U(R; À) s U(R; p.) s U(P; f}.

(b) Mostre que

L{f)

s

L(À)

:.s

U{A)

s

U(f),

L(f)

:.s

L(v-)

s U(p.) :.s U(f}.

Logo, se f é integrável em K, então f... e 1-l são integráveis em I e

(c) Para cada y E J, de!ma hy: [->-R por h-y(x) firúdas por

=j'(x, y), x E I. Sejam ;..: :f....,. R e /-l' :1- R de·

p.'(y) = U(h,).

389

'

Mostre que se f é integ:rável em K, então

Ã'

e JJ.' são integráveis em J e

(d) Se K:x: J- R é integrável em J para cada :x E/, então t.. = J1. e

L

f(x, y) d(x, y)

. ·,

=L f= 1{J f(x,

y) dy} dx.

Analogamente, se hy :I- R é integrável em f para cada y E J, então

Lt(x,y)d(x,y)=Lf=

J{Jf(x,y)dx}dy.

. 44. 7 . Seja n c RP aberto e 2il(n) a coleção de todos os conjuntos A E.@(RP) com A- c n. Neste projeto introduziremos a noção de função "aditiva" em @(n) e sua "densidade forte". Diz-se que uma função G :@(n) ...... R é aditiva se

=

G(A.UB)

= G(A) + G(B)

sempre que A, B e9b(n) e A n B 0. (a) Se f: n:...,. R é integrável em todo conjunto em ili(n) e se defmimos F ::?21 (n) -• R por

F(A)

=L f,

então F é aditiva em0'.i(n). (b) Sejam G :®(n)- R uma função aditiva e g: n...,.,. R. Dizemos que g é uma densidade forte de G se, para todo e> O e todo conjunto A E2il(n), eXiste ô >O tal que se K é um cubo fechado com aresta inferior a 1> contido em n e se :x EA n K, então

l~t:}

(c) Seja

g(x)

I<

s.

n = RP. Mostre que a função conteúdo c :eõ(RP) .... R tem densidade forte identica-

mente igual a 1 em RP. (d) Seja p, :~(RP)-+ R urna função positíva aditiva, invariante por translação de conjuntos [isto é, p,(:x +A)= p,(A) para todo :x ERP,A e@(RP)J. Mostre que J1. tem densidade forte em RP, a qual é urna constante em RP. (c) Se f: n ....,. R é contúma e se F é definida como em (a), mostre que F tem densidade forte

emn.

G :~(n)-> R é aditiva e tem densidade forte g : n -.R, mostre que g é contínua em n. Logo, g é uniformemente contínua em todo A E2il(n). (g) Suponha que G:§Xn)-> R seja aditiva e tenha densidade forte identicamente zero em n (f) Se

Mostre que se K é um cubo fechado e se e> O, então existe uma partição de K em cubos~ K 1 , , •• , Kr} tal que ! G (KJ)I .:S. ec (Kj), j = 1, ...• r, donde decorre que IG (K)I :S. ec (K}. Conclua que G(K) =O para todos os cubos fechados K ç n. (h) Suponha F 1 e F 2 funções aditivas em@ (.11} tais que, para algum M >O, se tenha IFJ(A)! ;S Me {A) para todo A EW(n), i= 1, 2. Se F 1 (K) "'F, (K) para todo cubo K c n, prove que F 1 (A)= F 1 (A) para todo A ES'il(n).

SEÇÃO 45 TRANSFORMAÇÕES DE CONJUNTOS E INTEGRAIS Vimos, na seção 43, que as aplicações continuas de um intervalo em R podem cobrir um cubo fechado em R 2 • Mostraremos que este fenômeno não pode ocorrer se a apli·

390

_, c

I ,............

'· __, .. \ ! ', \ 1 cação é de Classe C e estudaremos a aplicação de conjuntos-conteúdo sob transformações ' C 1 • É particularmente importante o caso de uma aplicação linear, e o resultado é bastante ... simples. No caso de uma aplicação não~linear, var~mos que o jacobiano da transformação indica o grau de "distorção" da transformação. · ·.-"' Utilizaremos esses resultados para estabelecer um teorema relativo à "mudança de variável" de uma integral num conjunto em RP. Examinaremos rapidamente os casos es( peciais das coordenadas polares e esféricas, e daremos um teorema mais forte, aplicável a muitas transformações que não apresentam muita singularidade. 45.1 Lema. Seja n ÇRP aberto e suponhamos tp: n-+ RP de Classe C1 (QJ. Seja A i. um conjunto limitado com A- C n. Então existem um conjunto aberto limitado D.1 com} Ac c.( " A- c n 1 C n i C n e uma constante M >O tais que se A está contzâo na união de um. ..1 ( número finito de cubos fechados em ü 1 com conteúdo total no nuiximo igual a a:, então \ ;,p(A) está contida na união de um número finito de cubos fechados com conteúdo total i no máximo igual a'( .Ji}M"}PcL Demonstração. Se n = RP. seja o = 1 ; em caso contrário, seja o = i inf {lia - xil : a E A-, x ti: n}. Como A -é compacto, segue-se que ó >O. (Por quê?) Seja agora f2 1 = f' ' {y ERP: lly- a 11
·---~........... j

.......

~-.

..._

'

'•.

\

v

\

(

;

\.

l!q:;(x)-(j)(y)ll s M

l!x- Yll·

j

\

Suponhamos que a aresta de li seja 2ri e tomemosx como o centro de /1;então, sey E/j, temos llx- yl! ~ ..fiir1 e assim !l;,p(x)- ;,p(y)l! < ...jp.Mr1. Assim, lfJ(IJ) está contida num

(

cubo fechado de aresta 2VjiMr;. Segue-se, portanto, que !~'(A) está contida na união de um n(mwro finito de cubos fechados com conteúdo total igual no máximo a (-j'ji'M)Po:.. 45.2 Teorema. Sejam n ç RP aberto e 'P: .n-+ RP de Gasse C1 (ü.:). Se A conteúdo zero e se A- ~tão !{)(A) tem conteúdo zero.

ç_' .

c .n tem

(

\

Demonstração. Aplique o le{fla para a> O arbitrário. Q.E.D. 45.3 Corolário. Sejam(<}) nçRr aberto e ..p :Q-+RP de Classe C 1 (ü). Se A C n é um conjunto limitado com A- c n, então ..p (A) tem conteúdo RP. ............... ,. .,. _,. ..,, . . . . . .zero .em . Demonstração. Seja

'-P: Slo -r RP por

no= n X RP -r

---·~~?;·

~

( {

,_.,~.......,.

de modo que Üo é aberto em RP >e defina

q:;(x~, ... , x,, Xr+h . •. , Xp)

I

'\

= !J;(x~, ... , x,).

(

(

Evidentemente, 'P E C 1 (,51 0 ). Seja A 0 =;A x {O, ... , O }de modo que A õ Ç.On 0 e A 0 tenha conteúdo zero emRP. Segue-se que ..P(A) =;p(A 0 ) tem conteúdo zero em RP.

t i

Q.E.D.

(

. Notemos que este corolário afirma que a imagem poc C 1 de qualquer conjunto tin:útado de "menot t:limensionalidade" tem conteúdo zero.

\

Como a fronteira de um conjunto A com conteúdo tem conteúdo zero, segue·se do Teorema 45.2 que, se ;,pé de classe C 1 , então ~P(b(A)) tem conteúdo zero. Infeiizmente,

'P(b(A)) não tem, em geral, muita relação com Q:(t.p(A)). Esta observação reforça o ínteresse dos dois próximos resultados. A\'\ . ~\ D V1J/~. v VA-....-

391

(

s

t ( (

\ (

'

;

\

(

,..l '

:

!

'

t

I;

..

:

l

'

J: I Jl

J:í'

.

f

I' '

..-I :

l'

t/

n c_RP aberto e 'f!: n-+ RP de Classe C 1 (Sl.). Suponhamos que A- C n e _J'P(c) ::fo q para todo x EA 0 . Então ~P(A) t.tf:m con-

45.4 Teorema. Sejam

que A tenha conteú49, teúdo.

...._.....- "'.-· ~-·"

~-

Demonstração. Como A- é compacto e 'f! é contínua, então 'f! (A) G!f!(A -)é limitada. Para mostrar que ~P(A) tem conteúdo, mostraremos que b(~P(A)) C'f!(b(A)) e que ~P(b (A)) tem conteúdo zero. Como ~P(A -) é com?acto, temos b('f!(A)) C 'f!(A -) =
tp(b(A)) . Finalmente, como A tem conteúdo, sua fronteira b(A) c n é um conjunto fechado com conteúdo zero, donde decorre, pelo Teorema 45.2, que tp(b(A)) tem conteúdo zero.

.

Q.E.D.

45.5 Corolário. Sejam n c RP um aberto e

-- RP de Classe C 1 (rt) e injetiva em D. Se A tem conteúdo, A- c rt, e J'P(x) *O para x EA 0 , então b{tp(4)) = tp(b(A)). "'"-~--.,.."~""V'•·./

--

Demonstração. Basta mostrar que 'f!(b (A)) C b('f!(A)), pois a inclusão contrária foi. estabelecida na demonstração do teorema. Seja x E b(A), de modo que existem urna seqüência (xn) em A e uma seqüência (vn) em S1 \A, que convergem, ambas, para x. Como tp é contínua, então 'f!(Xn).....,. lf!(x) e tp(yn)-+ tp(x). Como tp é injetiva em n, então tp(J.'n) ri:. lf!(A) e, daí, tp(x) E b(
.

·,

TRANSFORMAÇÕES POR APLICAÇÕES LINEARES

Veremos agora que conjuntos com conteúdo são levados por uma aplicação linear em RP em conjuntos cujo conteúdo é um múltiplo fixo do conteúdo originaL Além dis· so, tal múltiplo é o valor absoluto do determinante correspondente à aplicação linear. (Neste teorema suporemos o leitor familiarizado com a noção e as propriedades elementa· res do determinante de uma transformação linear em RP .) 45.6 Teorema. Seja L E 9(RP). Se A Efi::(RP), então c(L(A)) = !det L! c(A). Demonstração. Se L é singular (isto é, se det L = 0), então L leva RP em um subespaço linear próprio de RP. Como este subespaço também pode ser obtido como a imagem de alguma L' :Rr-+ RP, com r
Ã(A

u B) = c(L(A U B)) = c(L(A) U L(B)).

Como L é injetiva, então L(A) nL(B) =(/;e, daí,

c(L(A) U L(B)) = c(L(A}) + c(L(B))""" Ã(A) + Ã(B}.

(iii) Seja x E RP e A E f? l_RP); então Ã(x +A)= c(L(x +A))= c(L{x) + L(A )) = c(L(A))

392

= Ã(A).

Decorre, portanto, do Corolário 44.7 que existe uma constante fflL ;:::: O tal que 1\(A) = fflLC (A) para todo A E !2J (RP). Examinemos a seguir como mt depende d~ L E2'(RP). SejaM ES!(RP) não-sin· guiar; então, se A E fÇg(RP ), temos ·· c.,.•, · mt.·Mc(A) = c(Lo M(A))

= c(L(fvf(A)))

= m~.c{M(A)) =

mt.mMc(A)).

Logo, temosmLoM =mLmM para todasL,iWEX(RP)não-singulares. Resta mostrar que mL =ldet LI. Para tanto, apelaremos para o resultado da álgebra linear, segundo o qual toda L E X(RP) não-singular é a composição de apLicações lineares das três formas seguintes: (a) L ,(xh ... , x .. ) = (ax ,, x2, ... , Xp) para algum a =Jf O; (b) L2(x,, ... , x,, x, .. ., ... , x.. ) = (xt, ... , X; ... ~; x,, . .. , x .. ); (c) L3(x~r ... , x.,) = (x1 + x,, x2, ... , Xp). Note que se K 0 é o cubo semi-aberto [0, 1) X · · · x [0, 1) em RP e se a> O, então L 1 (K0 )=[0,a)x [0, l)x · ··x [0, I), donde

a = c{LI(Ko)) = Analogamente, se

.

'

lnt. 1 C(Ko)

= mt.,·

a< O. então L 1 (K0 ) ={a, O] x [0, 1) x · · · x [0, 1), e -o:= c(LI(Ko)) = mL 1c(Ko) = mt1·

Logo, em qualqu.er caso, temos mLt =!ai= jdet L 1 1. Como L 2 (K 0 ) =K 0 , segue-se que mL. = 1 =I det L2J. Finalmente, sejam à 1 e Ll 2 os dois cÔnjuntos · Llt={(Xt, ... ,x,):O Xt 1,x, fl '!. = {(X 1, . . . , Xo) : 0 S

É daro que .6. 1 n D. 2

vem

< 1, X 2 S

X 1}.

=(jJ e K 0 = .6. 1 U A2 • Como se pode . ver que L3(Ko) = Ôz U{(l, O,.:., O)+ilt}

c(L 3(Kn))

=c(il:t) + c((l~ O, ... , O)+ ilt) = c(Ll:t) + c(6.,) = c(At U

Logo mL,

X;

Xz},

6.2) = c(Ko).

= 1 = !det L 3 1.

Seja agora a aplicação linear não-singular L a composição de aplicações lineares L 1 , L2, ...• L r de uma das três formas dadas acima. Como

= ldet Lt! ldet L2l · · · ldet L,l = /!det L1)(det L)···(det L)l :,. D =!{let(L °L2°· · · L,)I=Jdet LI, 1

o teorema esta demonstrado . ....,

............. ,....

0

Q.E.D. 393

TRANSFORMAÇÕES POR APLICAÇÕES NÃO~LINEARES

Obteremos agora uma extensão do Teorema 45.6 a aplicações C 1 não-lineares. Naturalmente, neste caso, o conteúdo da imagem de um conjunto arbitrário não é necessaria· mente um múltiplo fixo do conteúdo do conjunto dado, podendo variar de ponto para ponto. O Teorema do Jacobiano implica que, se K é um cubo suficientemente pequeno com centro x, então c(!{J(K)) é aproximadamente igual a IJ.p(x)l c(K). Este resultado é crucial para o estabelecimento do Teorema da Mudança de Variáveis. Tecnicamente, con· vém considerarmos primeiro o seguinte caso especiaL 45.7 Lema. Seja K C RP um cubo fechado de centro O. Seja num aberto contendo K e seja t/1 : n 4 RP de classe C 1 (n) e injetiva. Suponhamos, .além disso, que J o/ (x) para x E K e que ·

. ' .

*o

(45.1)

llt/J(x)- x!l
parax

E K,

,.

onde a verifica O< a< 1/..jj}. Então

Demonstração. Decorre, do Teorema 45.4, que tjJ (K) tem conteúdo e, do Corolário 45.5, que b(l};(K)) = 1/!(b(K)). Se o comprimento da aresta de K é 2r, e se x E b(K), então (pelo Teorema 8.10) temos r< llxll ./J (K). De modo análogo o leitor mostrará que se C0 é o cubo fechado de centro O e aresta 2(1 + ayp)r, então 1/!(K) C C0 . A conclusão desejada decorre então dessas inclusões. Q.E.D. 45.8 Teorema do Jacobiano. Seja n c RP um aberto e suponhamos !{J: n -)- RP de aasse C1 (Q) injetiva em n, e que J O, existe então -y >O tal que se K é um cubo fechado de centro x EA e are_sta inferiora 2j, então

*o

(45.2)

e

Demonstração. Construamos ó >O íl 1 como na demonstração do Lema 45.1. Como D!{J(x).=J
det L..

=

1/J"'(x)

para

x E .fl.

Como os elementos da representação matricial padronizada de Lx são funções contínuas, segue-se da compacidade de ílí e de (21.4) que existe uma constante M> O tal que IILx!lpp D!{J(x) é uniformemente contínua em nl, existe 13, o<{3 <ó' tal (júe se X 1,X;< E nl e llxl - x211 <{3, então IID!f'(Xl) -D(J?(X2 )llpp < 394

t

(

. \

e/M...fP. Seja agora x E A; então, se llzll < {3, x e x + z pertencem a n 1 . Decorre, portanto,

'

..

.

(

t

do Lema 413 que ( S.3) 4

0

llzll ~~f)IP<~>(X + tz)- Dcp(x)l!w

ll(X + z)- (f}(x)- D
s

J;;llz!l.

s;

c

M P Seja x E A e definamos 1/J (z) para llzll ::;;: fj por

(

t/l(z) = Lx[
Gomo Lx =(Dtp(x))- 1 , a desigualdade (45.3) dá

!lt/J(z)- zl! <

jp llzll

/.

l

para !lz 11 < (3.

Aplicamos então o lema precedente, com a= ef.Jii para inferior que se K 1 é um cubo fe· chado de centro O e contido na bola aberta de raio {3, então ( 1- "')P < c(t/f(KI)) < (1 + )P

·

"'

-

c(K,) -

e ·

Decorre da definição de tJ; e do Teorema 45.6 que, se K =x chado de centro x e que c(K) =c(K 1) e c($(K~))

\

I

'·

+ K 1 ) então K

é um cubo fe'

'\

= ldet L,j c('P(x + K,)-
(

\

1

-IJ..,(x)j c (cp(K)).

1 .·

{

(

'··

Logo, se K é um cubo fechado de centro x EA e aresta menor do que 2-y (onde -y ={3fyp), então a igualdade (45.2) é verificada. · Q.E.D.

.{

~·

(

MUDANÇA DE VARIÃVEIS Aplicaremos a seguir o Teorema do Jacobíane para obter um importante. teorema que é uma generalização, para RP, do Teorema de Mudança de Variáveis, 30.12. Aquele teorema afirmava que se c.p: [a:, (1}-+ .R tem derivada cont fnua e se f é contínua no contra·

f

(

f

domínio de· tp. então

\

(45.4)

r

;

O resultado que vamos estabelecer diz respeito a uma aplicação tp injetiva e~.!_!!..E~.~~~~­

junto aberto n c R.P com valores em RP. Suporemos c.p E ..... . u '""'"'"'. . . ··.. t-eJ·aco··t:.:l.-.a····n~,o

C 1 (.n) ~··

e que o seu determinan·

,... ·, .....

I

;

\

i

'·

gão ~{! -ªº'~~~--~m .n. Mostraremos que, se A tem conteúdo, se A- Ç, n, e se f é lirrútada e contínua de c.p(À}ém R, então c.p(A) tem conteúdo e

(45.5)

f

op( A 1

f=

f

A

I

t

(

(f o cp )11.,,1.

( (

395

'

I. I I

Veremos que as hipóteses são um tanto mais restritivas que as do caso p = 1. De fato, em (45 A} não supomos que ;p seja injetiva nem que ;p'(x) :tO para x E !a:, t1J. Se 'fi é injetiva, notemos que o análogo exato de (45.5) para o caso p =1 é

onde A = inf { .p(o:), .p(IJ) }e B = sup{.p(o:), cp(l:l)}. Naturalmente, se .p'(x} > O para o: < x < /3, então a fórmula (45.5) se reduz a (45.4), enquanto que, se ;p'(x)
donde também decorre (45.4). A expLicação para esta diferença reside no fato de que a integral sobre intervalos em R é "orientada", no sentido de que defmímos

fr=-ft

para quaisquer reais u, v. Para integrais em RP, não se define tal orientação.

A demonstração que damos aqui é essencialmente devida a J. T .Schwartz. 2 É "elementar" no sentido de que não utiliza resultados da teoria da medída. Todavia, a ~rgu· mentação é assaz delicada e utiliza várias propriedades profundas das funções contínuas, de conjuntos compactos e conexos, e da íntegra!. Mesmo assim, o teorema que provare· mos não é suficiente para todos os casos ímportantes que surgem, e será ampliado mais adiante com uma forma mais forte que permite o anularnento de J

45.9 Teorema da Mudança de Variáveis. Seja n c RP um aberto e suponhamos r.p: n-)- RP de 9!f...~?!~f;:"~(g),__ inje.!fyf!:... em n e J'P(x) 4= o para X E n. Suponhamos ainda que A tenha comeúdo, A- C. n, e f : ;p (A) -* R limitada e contz'nua. Então

f

(45.5)


f=

J (foçp) jJq>l· A

./ Demonstração. Decorre, do Teorema 45.4, que v?(A) tem conteúdo. Corno os ínte· grandos são contínuos, segue.se que as integrais em ( 45 .5) existem; resta estabelecer sua onde ; if + 1!1) e tCifl- f), e usando a linearidade igualdade. Fazendo!= í da integral, basta supor que f(y) >O para todo y B '{J(A ). Consideremos agora .Q 1 como no Lema 45.1 e seja

r=

r

M.,

= su p {ljD

Mr

=sup {f(y): y E
M,

~

sup {IJ.,{x)l: x E A}.

J, T. Schwartz (1930* ) bacharelou-se no CCNI, obteve o doutorado na Uníversidade de Yale, e é professor no Courant Institute of New York UJ1iversity. Embora conhecido por seus trabalhos em análise funcional, tem dado contribuições também à geometria diferencial, geometria, linguagens de computação, váxios setores da fi'slca matemática e economia matemática.

396

.,

Seja e> O arbitrário em (0, 1), I uma cela fechada contendo A e{Ki: i= 1, ... , M}urna partição de f em cubos fechados que não se interceptem, com aresta inferior a 2"{, onde 'Y é a constante no Teorema Jacobian<;. Enumeremos . por K 1 , ••• , Km; os cubos que estão completamente contidos em A, por Km+I, .•. , Kn. os que têm pontos tanto em A como em seu complementar, e por Kn + 1, .•• , KM. Os que estão completamente contidos no complementar de A. Como A tem conteúdo, podemos supor a partição suficientemente refinada para que c(A) <

(i)

m

I"

L c(K.) +e,

í,.,.,; 1

i=m+l

c(K,) < s.

Façamos B =K 1 U· · ·UKm de modo que B ~A. Como c(A \B) =c(A)- c(B)
IL(f

o(/))

IJ'FI-

t

(f o cp) !I<;>

li

=I Lta

(focp)

jJ'l'll <

MrMJc(A \ B) S [MrMJ]e.

,/

;/

Decorre do Lema 45.1. que c(tp(A \ B)) < (Vi}M.p)Pe, de modo que (iii)

Se X i é o centro·de K 1, i= 1•... , m, então, pelo Teorema do Jacobiano,

!J.,(xJI (1- e)"< 8c(~~)) < IJ.,(xi)! (1 + s)~>. Ora, como O< e< 1? vê-se que 1- 2PE:::;: (1- E)P e (1 podemos escrever esta desigualdade na forma

+ E)P

~

1 + 2Pe, de modo que

(i v)

Mas, em razão da continuidade das funções do integrando no conjunto compacto B, segue·Se que podemos supor que, para qualquer ponto Yi EK1, se tenha sc(B).

(v)

se necessário, podemos di vi di r os cubos K 1 , cício 43 .T .) (Pois~

... ,

K m em pequenos cubos; cf. Exer-

Como lfl é injetiva, dois conjuntos de{ l.fJ(K 1-): i= 1, ... ~ m}se interceptam no máximo em um conjunto I.{J(K; nK;) de conteúdo zero, pois c(Ki nK;) =O. Outrossim, como tp(Ki) tem conteúdo, fé integrável em l.fJ(Ki); decorre, pois, do Teorema 44.9(b) que

397

.. Ora, como Ki é conexo, também o é tp(Ki)- Como f é lirnitada e contínua em tp(Ki), segue·se do Teorema do Valor Médio, 44.11, que existe p; E tp(Kí) tal que

f

<;>{K,l

;"'

,., .. -

f= f(p,)cC
i= 1, ... , m.

l

Como PiE lf!(Ki), existe um único Yi E Ki com Pi ""'
(vi) Mas como (/ 0 if! )(yí) ~O, decorre de (i v) que m

f~~

L (fo~.p)(y;)C(q:-(K,))- L (/"cp)(y,) !J.,(x;)j c(K)

i. $!1, 1

i

l

ltll

Combinando esta última relação com (v) e (vi), obtemos '

(vii) Combinando (vii) com (ii) e (iii) vem

r

J.,IAJ

Como

f-

f (f o'~') IJ., I A

Q.E.D.

e é arbitrário em (0, 1), temos a equação (45.5).

APLICAÇÕES A utilização do teorema sobre mudança de variáveis quando p > 1 em geral é diferente das aplicações do teorema correspondente quando p = 1. Por exemplo, para calcular

rx(l + x vemos que, introduzindo tp(x) = 1 ma (tp(x)) 112 ~P'(x) e assim

i

i

+ x2

1 112 )

dx

então IP'(x) =2x; logo, o integrando toma a for-

1

~"'1

() x(l + X

2 114 )

dx = ~ ~(q;(X))

312

""'o

I;

Efetua.-se a integração notando-se que o íntegrando é uma composição de uma função e tp

multiplicada pela derivada de

398

I(J.

No cálculo de integrais em mais de uma variável, só são

'.•.'

possíveis aplicações desse tipo quando o jacobiano é constante (ou muito simples). Por exemplo, uma integral da forma

fJ

f(x + 2y, 2x- 3y) d(x, y)

{

i

l

A

pode ser tratada in traduzindo-se a transformação linear lfi(X, y) = (x

+ 2y, 2x - 3y). Aqui

t' \,

f

( \

JJf(x + 2y, 2x- 3y) d(x, y) = ~ Jf(u, v) d(u, v). A

(

.,(A)

Esta segunda integral pode ser mais simples se f(u, u) o for [por exemplo, se f(u., v)= g(u )h (v)], ou se ~(A) é simples (por exemplo, se é uma cela). Doutra forma, a ~ransfor­ mação nem sempre simplifica as coisas. Uma utilização mais típica do teorema consiste em calcular uma integral múltipla f D f observando que o çonjun to D é a imagem de um conjunto mais simples A (por exemplo, uma cela) sob dete'rminada transformação.

45.10 Exemplos. (a) Seja Do retângulo de vértices (O, O), (2, 2), (1, 3) e (-1, 1), isto é, a região delimitada pelas retas y=x, y=-x+4 y=x+2; y=-x. 1

Fazendo u = y -: x e v

{

(

-~J = -3-4 = -7

Jq>(x, y) = det [;

I

\

z

y

+ x ~essas retas se transformam em u =o, v= 4, u = 2, v= o.

o

=f f

\

(

( ( \

(

( '

.r

f[J(v- u), !(tt + v)H d(u, v)

'·

(

A

1i4{r2 2

=-

O

í

(

Logo, se VJ é a aplicação tp(u, v) =(x,y),então~j>leva a cela A =[0, 2Jx [0,4}emD. Dei· xamos a cargo do leitor mostrar que

JJf(x, y) d(x, y)

\

JO

\.

f[1(v-u),~(u+v)]du ,

1

do.

( I

'\

(b) SejaD C R 1 o conjunto de pontos em R 2 dado por

D

= {(t.t, v) : l s

u ·~ - v 2 :.:s 9, 1 :s: uv

D é, assim, limitado por quatro hipérboles. Definindo tjJ: (u,

.s 4}; v)~

I

'

( \

(x,y) como

'

I.'

y = uv,

I

é claro que V; leva essas hipérboles do piano uv nas retas x = l, x = 9, y = 1, y ""4 do plano x:x. Embora 1/.1 não seja ínjetiva em todo o R 2 , é-o no conjunto q ={Cu, v) :u >O, v> o}e 11/J (u, v)= ?(u 2 + v2 ). Além disso, tjl(Q) ={ (x,y) :x ER,y > Ot-

l

399

{

'' (

.l,

i

l i

) Logo, definimos tpde{(x,y):xER,y>Olem QCR 2 como a ínversa de que se expôs, é claro que !{1 leva as retas x = 1, x = y = 1, y = 4 nas hipérboles

9,

u 1 -v 2 =1, Ii l'

u'-v~=9,

uv=l,

t/1.

Do

uv=4,

respectivamente, e que o conjunto D é a imagem, pel.a '{), da cela A = [1, 9] x [1, 4 ]. Um cálculo direto mostra que I(J tem a forma rp{x,y) = (u, v), onde

(45.6)

v

=

r-x +

(x2+4l)l/2]1/2 2 .

Decorre daíqueu'2- +v 2 =(x 2 +4y 2 ) 112 demodoqueJ.p(x,y)=t(x 2 +4y 2 )- 112 .Este fato decorre também da identidade (u 2 + vz ) 2 = (u 2 - v 2 ) 2 + 4u 2 v2 """x 2 + 4y2 • J Te~ mos, assim

ff

f(u, v) d(u, v)=

r.>

JJ [(u(JF·' v;~)) d(x, y), 2 x· + yA

onde A = [1, 9] X [1, 4] e u(x,y) e u(x,y) são dadas por (4$.6).

COORDENADAS POLARES E ESFÉRICAS

Pode ser conveníente especificar pontos do plano R 2 por meio de suas "cooordenadas polares". Em geral pensamos no plano referido seja a coordenadas cartesianas (retas verticais e horizontais), seja a coordenadas polares (retas pela origem e círculos centrados na origem). Alternativamente, podemos encarar as coordenadas polares como uma aplica· ção de (r, 8) ER 2 em (x,y) ER 2 dada por

(x, y)

{45.7)

=~(r,

8) =(r cos fJ, r senO).

Um par de números (r,()) ER 2 tal que (x,y) =(r cose, r senO) é um conjunto de coordenadas polares do ponto (x, y ). Impõe-se em geral r > O; mesmo assim, cada ponto (x, y) de R 2 tem infinítos conjuntos de coordenadas polares. Por exemplo, se (x, y) = (0, 0}, então (0, 8} é um conjunto de coordenadas polares de (0, 0) para todo e E R; se (x,y) (0, 0) e (r, 8) é um conjunto de coordenadas polares de (x,y), então, para cada n E Z o par (r, 8 + n2'1T) é também um conjunto de coordenadas polares para (x, y).

*

r

Se (x, y) ::f= (0, 0), então o par (r, 8) único, com r > O, O :::;;: e < 2rr, é chamado conjunto principal de coordenadas polares do ponto (x,y). Assim, a função r.p origina uma aplicação ínjetiva de (O,+=) x [0, 2n) sobre Rz \{(0, 0)}- Origína também uma aplicação de [0, +oo) x [0, 2n) sobre R 2 , mas que não é injetiva, pois leva todos os pontos (0, 8), O<(}< 2n, em (0, 0). Note·se também que o jacobiano é dado por

(45.8)

J (r 'I'

'

e)= det [cose sen e

-r sen r cos

e] e

= r( cos 8) 2 +r( sen 8)" = r.

que se anula para r= O. 400

t

i

É claro jue 1/i leva a cela A

= [0, 1] x [0, 21r]

do plano (r, 8) no disco unitário D = {Cx, y) :x + y < 1}, mas como 'P não é injetiva em A e como J"' se anula para r= O, não podemos aplicar o Teorema de Mudança de Variávei~, 45.9, para transfonnar a íntegração sobre D em integração sobre A. ' Encontraremos dificuldades análogas com as coordenadas esféricas em R 3 • Recor· demos que as coordenadas esféricas são definidas pela aplicação onde 2

(45.9)


e. dJ} =(r cose sen q;,, r sen 8 sen q;,, r cos ).

Qualquer terno de números (r, 8, rfJ) ER 3 tal que (x,y, z) = $ (r, 8, rfJ) é um conjunto de coordenadas esféricas de (x, y, z). Exige-se em geral r. > O, mas mesmo com esta res· trição, cada ponto de R 3 admite infinitos ternos de coordenadas esféricas. Por exemplo, se (x, y, z) = (0, O, O), então (O, e, cp) é um conjunto de coordenadas esféricas para todo e E R, 1:/>ER; se (x, y, z) (0, O, 0) e (r, 8,) é um conjunto de coordenadas polares para (x,y, z), então para cada rn, n E Z, os ternos (r, 8 + 2m11', .p + 2n:rr) e (r, 8 +(2m+ 1) n, lfJ + (2n + 1) 1r) são conjuntos de coordenadas esféricas do ponto.

*

Se (x,y~z) é tal que (x,y)=t':(O, O), então o terno (único)(r,8,4>) com r>O,O ::_:: () < 21f, O< rfJ < 1r, é chamado conjunto principal de coordenadas esféricas de (x,y, z). Assim, a função

=O ou rr, então todos os pontos (r,(),) são levados em (O, O, r cos rfJ). Note-se também que

I

(45.10)

)

J{~,

e,

cos esen ) = det sen e sen [ cos 1>

-r sen

e sen 1>

r cose sen
o

1>]

r cos e cos r sen ecos 1> -r sen 4>

= -r sen 4;>. 2

Vê-se logo que

) na bola unitária D ={L, y, z): x 2 + y 2 + z 2 < 1}, mas como não é injetiva em A e J qd;e anula quando r 2 sen !f>= O, não podemos aplicar o Teorema da Mudança de Variáveis, 45.9, para transfonnar a integração sobre D em uma integração sobre A. Apresentaremos a seguír um teorema que permite superar as dificuldades encontra· das no trato com coordenadas polares e esféricas, e que é útil no caso de outras "transfor· mações com singularidades". Veremos que o teorema não exige que'{) seja injetiva em A, embora o seja em A 0 , '45.11 Teorema da Mudança de Variáveis (Forma Forte). Seja n c RP um aberto e 1 1./): n-+ Jl.P de aasse C (H). Seja no um aberto com conteúdo tal que flõ ç n e tal que <..p seja injetiva em &1 0 . Seja E C n um conjunto compacto de conteúdo zero tal que !!{)(;:.)::f::. o se X E no \E. Suponhamos que A ç n tenha conteúdo, que A- ç: no. que f: 1.f1 (A) -+R seja limitada, e que f seja con t fmUJ em ~.P(A \E). Então (45.5) Demonstração. Como b (A) e b (fl 0 ) são compactos e têm conteúdo zero, podemos supô-los contidos em E; portanto, A 0 \E Ç Q 0 \E. Como A e E têm conteúdo, o conjun401

to A \E tem conteúdo; além disso, cqmo E é fechado, então (A \E'l =A 0 \E de modo que J'P(x) o:fo O se x E (A \E)0 • Portanto, pelo Teorema 45.4 aplicado a A \E, deduzimos que <.p(A \E) tem conteúdo. Segue-se, do Teorema 45.2, que r.p(E) tem conteúdo zero e, corno í,O(A) ~;p((A \E)U(A fiE)) =r.p(A \E)U;p(A nE), que r.p(A) tem conteúdo. Como/ é limitada em r.p(.A) e contínua exceto em um subconjunto de t.p(E), deduzimos que f é integrável em r.p(A). Além disso, como Jot.p é contínua exceto em um subconjunto de E, de?uzimos que (f o t.p) IJ'PI é integrável sobre A. Resta mostrar que essas integrais são 1gua1S. Apliquemos a E o Lema 45.1 para obter um aberto limitado U 1 com E c !?. 1 C fi! c n e uma constante M 1 >O, com a propriedade que, se E está contido numa união finita de cubos fechados em f2 1 com conteúdo no máximo igual a a> O, então l{>(E) está contida numa união finita correspondente de cubos fechados com conteúdo no máximo igual a (ypMt)Po:. Seja agora e> O dado e incluamos E em uma união finita Ue de cubos abertos em rl 1 com c(Ue)
Vê-se agora facilmente que t.p(A)\r.p(B) C ;p(A () U11 ), donde

f


f-

f

<;>(.ll)

Analogamente, temos

L

(focp) jJ..,!-

f

<

lf

,(A nu.)

tj <

M1c(cp(A nU,))

L

(focp) jJ,.,j

Segue-se que

Como

e> O é arbitrário, temos a conclusão desejada.

Q.E.D.

Para coordenadas polares, tomamos um aberto com conteúdo em (0, +=) x (0, 2n). Para coordenadas esféricas, tomamos Kl0 como um aberto com conteúdo contido em (0, +oo) X (0, 2rr) X (0, n).

EXERCfCIOS

45.A. Sejam nç;.RP um aberto e[:n-Rq satisfazendo uma condição de :Upschitzem !I., isto é, para algum M >O, llf(x)- f(y)ll < Mllx- ya para todos x,y E n. Se K r;. n é um cubo com

402

...

.i

\

aresta s > O, mostre que f(K) está contida em um cubo de aresta M Mostre que se A Ç_ n é um compacto com conteúdo zero, então f(A) tem conteúdo zero, e se B ~ n é um comp;u:to com conteúdo, então f(B) tem conteúdo. . ., 45.B. Considere a aplicação (coordenadas polares) (x,y) = .p(r, 8) =(r cos e,r sen 8) def*mida 1 em R , e seu comportamento no oonjunto A= [0, 11 X {0, 21!']. Use o Teorema 4?.4 ~ara obter a reafumação que a imagem D::::: .p(A), que é o disco unitário D =l{(x,y): x 2 + y 2 < l)t tem conteúdo. In· vestigue a maneira como .p aplica a fronteira de A. Mostre que a fronteira de D é a imagem, pela .p, de apenas wn lado de A, e que os outros três lados são levados no interior de D" 45.C. Considere a aplicação (x,y) = 1/J (u, v)= (sen u, sen v) definida em R 1 • Determine a imagem da fronteira de B = [- ! n, f1l"} X·{- ~ 1r, frr1 pela 1/J e a fronteira de .p (B). Mostre que a maior parte -embora não todos- dos pontos fronteira de .p (B) são imagens de pontos interiores de B. · 45.D. Dado que a área do disco circular{ (x,y) :x 2 + y 1 < 1} é igual a '~'~'• determine as áreas dos discos elípticos dados por

.JPs.

(a)

{ (x,

y);

2

X

+y

1

4 9

.:5

\ ''\

í'

( '

\

c ! .., (

\

(

1} ;

~

I

(b) {(x, y):2x +2xy+5y"::s; 1}. 2

'

{Sugestão: 2x 2 + 2xy + 5y 1 = (x + 2y) 2 + (x - y) 1 .] 45.E. Seja B o conjunto { (x, y): O < x, O sy, 1 < x + y < 2}. Seja u = x + y, v= y> de modo que B é a nyagem, pela transformação (x,y) =.p(u, v)= (u- v, v), do t:rapezóide C={ Cu, o) :1 u < 2, O S. v < ut. Mostre que
45. F. Seja 8 ={(u, v) :O:;; u + v:;;_ 2, O :;;_v- u .$. v)= (x - y, x + y), calcule a integral

JJ(v

-

( '

é'

2}. Utilizando a transformação (x, y) '""" (u,

l

r \

2 u 2)e<"h" }12 d(u, u).

2

\

'

c

8

('

(

JJud(u,v)=t

JJ(x-t,y)d(x,y)=

•·,'

( /

''.. r '

H

45.G. Calcule a integral iterada

'

t

\.

diretamente. Use, em seguida, a transformação (x, y) ~->- (u, v)= (x, y- x 1 ) para calculá-la. 4S,H. Determine a área da região delimitada pelas curvas

xy""'l,

xy=2,

y=x 2 ,

(

(

y=2x!

mediante uma mudança conveniente de Vd.riáveis. 45.1. Seja tJ; : R. 1 ..... R 1 definida por (u> v)= 1/1 (x, y) = (x:l - y 2 , x 1 + y 1 ). Note que a ima,gem inversa, pela .p, da reta u =a >O é uma hipérbole, ~ a imagem inversa. pela da reta u =c > O é um círculo. Mostre que 1/J ry.o é injetiva em R 'l, mas que sua restrição' a Q (x, y): x >O, y é uma aplicação injetiva sobre1 (u, v): v> !ulk Seja .p a :inversa da restrição 1/J 1Q e mostre que se O
={

b}

cp(A)={(x, y):a

.s x -y 2

ff

ff (( f

>o}

Sb, c:Sx +y < d}. 1

/

f

'

( (

2

(

\

Mostre que se f: Q....,. R é contínua, então f(x, y). d(x, y) =

2

w,

\ ' /

1../.

+

2

-u)"l ' (u-2 u)'n) 4{v2-1 uJ)tn d(u, v).

(

( (

403

" I

J,

I I

Em particular, temos

I

.

ff

i

. I

' II

d(u, v)""' Hb- a)(d- c).

_,.R como no exercício precedente. Mostre que 1, O < y 5. x} na região triangular

1$J :R~

<

6.1 I

JI~

'<(A)

45.J. Seja A ={(x,y): O < x

'

xy d(x, y)""

= !/1(11) ""'{(u, v) :0 <

Aqui J..p (x, y) = 8xy. Se 1:?. 0 = (0, 2) X (0,2), e se mostrar que

f..,I

f(u, v) d(u, v)=

w leva

a região triangular

u: s 1, u s v :s 2- u}.

f é contínua em

A1,

aplique o Teorema 45.11 para

f

J f o !/f(x, y) IJ.,(x, y)j d(x, y) .

Em particular, mostre que

!

;

I

I

\

I

'

'

l

!''~

I 1

!

J

4 5 .K. Sejam a < J3 pertencentes a [0, 2w] e h :[a, .13]-+ R contínua e tal que h (e} .:?:. O para fJ E (a, {J]. Seja H r) ER 2 :c.< 8 < /3, O< r< hUn}o conjunto de ordenadas de h (v. Exercício 44.0), de modo que H tem conteúdo. A curva polar gerada por h é a curva em R 2 definida por 8 -• (h (8) cos 8, h (B) sen B), e o conjunto de ordenadas polares desta curva é o conjunto

={ce,

H 1 ={(r cos 6, r sen (:))E R 2 : a< 8

i

I

{3, O< r< h(e)}.

Note que H 1 é a imagem de H pela aplicação polar (l:eversa) VJ 1 (O, r)= {r cose, r sen 8) e use o Teorema 45.11 para mostrar que

I I l

<

45.L. Seja aO para todo xE[a,bJ. Como no

Exercício 44.0, seja St=~(x,y):a<:x
45. M. Sejam O
404

45 .N. (a) Passando para coordenadas polares, mostre que

ff

e-I"'""Y:l d(x, y)

=; {1-

e··nz),


ondeCR-~(x,y):O.::;x,O.S,y,x 1 +y 2 (b) ~ BL ={(x,y): O< x

JJe-\•~ ... ~·~ d(x, y) = (LLe-•

1

dx

y.

f.l~

(c) Levando em conta que Cn C BR C

•.,._

-•l

d

=

CR..fi, mostre que

Üfl! (tR e_,z dx I

1

donde decorre que Jo e x ~"' 'lT. 45.0. Seja B ={(x,y) :4x 2 + 9y~

JJ

r= i'

4}. Mediante mudança adequada de variáveis, calcule

e._,... ~ ... Q,l) d (x, Y)

=;

(1 -e -•).

8

yl) 1' 2

45.P. Observe que o

conjunto~ (x,y,z):O
}é um ..setor cônico" extraído da bola unitária em R:J. Obtenha este conjunto como imagem,

pela transformaç-ão de coordenadas esféricas, da cela [0, 1 J X [0, 2rrl X [0, -{-rr]. (a) Mostre que o conteúdo deste conjunto em .R 3 é igual a n(2 - -/i)/3. (b) Obtenha o conteúdo deste conjunto utilizando a transformação por coordenadas cilíndricas r: (r, a, z)-+ (x, y, z) = O e A a interseção dos conjuntos

{{x,y,z}:z>a}. (a) Use a transformação por coordenadas esféricas para mostrar que c (.4) = Sna 3 /3. {b) Use a transformação por coordenadas cilíndricas para calcular c(A). 45.R. Seja B a interseção dos conjuntos

e (a) Use a transformação por coordenadas esféricas para mostrar que c(B) =rr(4.j2-- 3)/3. (b) Use a transformação por coordenadas cilínd.dcas para calcular c(B). 45.S. Seja Bp(r) E RP: h« O no espaço RP. Calcularemos o conteúdo wp(r) de Bp(r). (a) Mediante uma mudança de wriáv.eis, mostre que wp (r)= rPwp(l ). (b) Se p ;> 3, exprima a integral para wp(l) como uma integral iterada e use a parte (a) para mostrar que

={x

wp(l) =

Wp-~(1)

f'"'{f(l-

r 2 ypm-'r

dr} de

= w~_,( I )2n/p.

(c) Conclua que, se p = 2k é par, então wp(l) = ttk(k! Se p = 2k- 1 é ímpar, então wp(l) 4knJ~ -I k!/(2k)! Em térmos da função Gama, temos wp(l) = 'IT.P' 2 /r{+p + 1).

=

405

(d) Obtenha o resultado notável J.im (wp(l)) =0.

L ! i :

45. T. Obteremos o mesmo resultado do exercício precedente por via diferente. Seja p E N e definamos a : RP _,. RP por o (B} .::.: cr (8 ~> •.. , 8 p) = (cos 8 1 , sen e 1 cos 8 ~ , .•. , sen 8 1 sem 8 l ••• sen 8p~

1 CO$

8 p).

(a) Mostre que 11 a (9) 11 2 ;$ 1 e que 11 o (8 )li == 1 somente quando fJ i= O ou 8i= rr para algum valordef=l, ... ,p. . (b) Mostre que q é uma aplicação injetiv
t !

Logo, J 0 (0) "' Opara fJ E (0, 1r)P, (d) Usando as fórmulas de produto de Wallis para J:'~ (sen B)k dB obtidas no Projeto 30.,, deduza as expressões de tvp(l) dadas no exercício precedente.

' l

PROJETO

:.

45.a. Este projeto se baseia no l)rojeto 44., e dá uma alternativa do Teorema da Mudança de Variáveis, 45.9. Sejam n r;;;_ RP aberto, e 'P : n _,. RP de classe C 1 (n) injetiva em n e tal que J 10 (x) ;& O para todo x E n. Por questão de sí,mplicidade, suponha que existaM> O tal que ll.p(x) - :@(n) _,.R por

para A E qJ) (f!),


é aditiva em $2>(n) e tem densidade forte igual a IJ;pl. Além disso, para algum M 1 >O, temos <:t>(A) ::;;.M1 c(A) para todo A E!?iJ(n). (b) Se f é uma função limitada integ:rável em todo conjunto tp(A), para A E~(n), e se w: 0J(n) -• R é definida por então



.i

W(A)=

f

;>(A)

f,

então ;Jt é aditiva em!JJ(n). Além disso, para algumM2 >O, temos !w(A)l;SMlc(A) para todoA E QZI(n). (c) Se f é uma função limitada e contínua em op(n), e se i' é definida como em (b), mostre que \lt tem densidade forte igual a (f o ;p) lltpl· (d) Se fé como em (c), mostre que

f

(A)

406

f=

f A

(fo
para A e :?i.J(ü).

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( ( ( (

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..

REFERÊNCIAS

í

Esta relação inclui livros e artigos citados no texto, bem como algumas referências adicionais, úteis para estudo posterior.

( (

'

(

Aposto!, T M., Mathematical Analysis, Second Edition, Addison~Wesley, Readíng, Mass., 1974. Bartie, R. G., The Elemenrs of Integration, Wiley, New York, 1966. Boas, R P., Jr., A Primer of Real Fu.ncrions, Carus Monograph Number 13, Math. Assn. of America, 1960. Bruckner, A. M., "Differentiation of Integrais," Amer. Math. Monthly, Vol. 78, No. 9. Part H. 1-51 (197 1}. (H. E. Slaught Memorial Paper. Number 12.} BurkdL J. C.. and H. Burkill. A Second Omrse in 1\llathenwtind Arwlysis. Camhrídge Univ. Press. Camhrkigc. 1970. Cartan. H. P.,' Cours de Mathématiques, I. Calct~l Différentiel; ll Formes Différencielles, Hermann, Paris, 1967. (Engtísh translation, Houghton-Míffiín, Boston, 1971.) Cheney, E. L, lmroduction ro Approximation Theory, McGraw~Hill, New York, 1966. Dieudonné, J., Foundacions of Modem Analysis, Academ!c Pres.s, New York, 1960. Dunford, N., and J. T. Schwartz, Linear Operawrs, Pan I, Wiley-lnterscience, New York, 1958. Fínkbeiner. O. T., IL Introdt(Cfion 10 Matrices and Linear Transformacions, Second Editíon, W. H. Freeman, San Francisco, 1966. Gelbaum. B. R., and J. M. H. Olmsted, Councerexampfes in Analysis, Holden-Day, San Francisco, 1964. · Halmos. P. R., Naive Set Theory, Van Nostrand, Princeton, l 960. (Repub!ished by Springer- Ver!ag, New York, 1974.) Hamilton, N. T .. and J. Landin. Set Theory, Allyn-Bacon, Boston, 196 L Hardy, G. H., J. E. Littlewood, a~d G. Pólya, Inequalicies, Second Edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1959. Hewitt, E., and K. Stromberg, Real and Abstracr Analysis, Springer~ Ver!ag, New York, I 965 Hoffman, K, and R. Kunze, Linear Algebra, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1961. Kelley, 1. L., Oeneral Topology, Van Nostrand, New York, 1955. Knopp, K, Theory artd Application of lnfinite Series (English translarion), Hafner, New York, 1951. ~

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Lefschetz, S., Introducrion to Topology, Princeton Universíty Press, Princeton, 1949. Luxemberg, W. A. J., "Arzelà's Domina:ted Convergence Theorem for the Riemann Integral," Amer. Marh. Monthly, Vol. 78, 970-979 (1971). McShane, E. J., "A Theory of Limhs," published in MAA Sw.dies in Mathematics, Vol. 1, R. C. Buck, editor, Math. Asso. America, 1962. - - - , "The Lagrange Multiplíer Rule," Amer. Math. Monthly, Vol. 80, 922-925 (1973). Royden, H. L, Real Analysis, Second Edition, Macmillan, New York, 1968. Rudín, W., Principies of Mathematical Analysis, Second Editíon, McGraw-Hill, New York, 1964. Schwartz, J., "The Formula for Change of Variables in a Multiple Integral," Amer. Math. Momhly, Vol. 61, 81-85 (1954). Simmons, G. F., Introduction to Topology and Modem Analysis, McGraw-Hill, New York, 1963. Spivak, M., Calculus on Manífolds, W. A. Benjamin, New York, 1965. Stone, M. H., "The Generalized Weierstrass Approximation Theorem,'' Marhematics Magazine, Vol. 21, 167-184, 237-254 (1947/48). (Reprinted in MAA Studies in Malhematics, Vol. 1, R. C. Buck, editor, Math. Assn. America, 1962.) Suppes, P., Axiomatic Set Theory, Van Nostrand, Princeton, 1961. Titchmarsh, E. C., The Theory of Funcrions, Second Editíon, Oxford University ?ress, London, 1939. Varberg, D. E., ''Change of Variables in Multiple Integrals," Amer. Math. Monthly, Vol. 78, 42-45 (1971). Woll, J. W., Jr., Functions of Several Variables, Harcourt, Brace and World, New York, 1966. Wilder, R L., The Foundations of Mathematics, Wiley, New York, 1952.

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d

. lI

408

-

SUGESTOES PARA EXERCÍCIOS SELECIONADOS Recomendamos vivamente ao leitor que não recorra às sugestões a não ser em último caso. Muítos. exercícios pedem demonstrações, e em geral não existe uma demonstração única que seja co neta; o leitor pode um argumento totalmente diferente ~. mesmo assim, sua demonstração pode ser absolutamente certa. As sugestões são oferecidas com à objetivo de ajudar o leitor a desenvolver sua habilidade técnica. Os assuntos iniciais mereceram maior quantidade de detalhe.

usar

SEÇÃO 1

l.D. Por definição, A n B c A. Se A ç;._ B, então A n B _;;2 A; logo, A () B =A. Recipro.;amente,seA ()8=A,entãoA liB..:JA,dondeB:JA. l.E. A diferença simétrica de A e 8 é a união de{ X: x E A e X ê B}e {x :x fl:A e X E B}. l.H. Se x pertence a E nUAj, então xEE e xEUAJ. Portanto, xEEe xEAjparaao menos um j. Isto implica que x E E n Aj para ao menos um/, de modo que

E íl U A 1 s;; U (E íl Al). Demonstra-se a in.clusão rrosta ínvertendo-se a marcha. A outra igualdade é tratada de modo análogo. l.L. Se xE~(n A;:jeJ}), entào{xfl: Aj:je.rJ. Isto implica que existe um kEJtalque x é Ak. Portanto, x e'€ k) e, dai, x E uW(Aj) :j e 1}. Isto prova que'€ (() Aj) s:U<€{Aj). Demonstra-se a inclusão oposta invertendo-se a marcha. A outra igualdade é análoga.

SEÇÃ02

2.A. Se (a, c) e (a, c') pertencem a g <>[,então existem b, b' em B tais que (a, b), (a, b') pertencem a f e (b, c), (b', c') pertencem a g. Como fé urna função, b = b';como g é uma função, c= c'. 2.B. Não. Tanto (0, 1) como (0, -1) pertencem a C. 2.D. Faça f{x) = 2x,g(x) = 3x. . 2.E. Se (b,a), (b, a') pertencem a f~ 1 , então (a, b), (a', b) pertencem a f. Como f é injetiva, então a ""' a'. Logo' é uma função. 2.G. Se f(x 1 ) = f(x 1 ), então x 1 = g o f(x 1 ) =g o f(x ..J = x,.. Logo,/ é injetiva. 2.H. Aplique o Exercício 2. G duas vezes.

r-l

SEÇÃO 3

nE

3.A. Faça f(n} = n/2, n E E. 3.B. Faça f(n)"" (n + 1)/2, n E O. 3.C. Faça/(n}=n + 1,nEN. };~· ~eja An={n}, nEN. Então, cada conjunto An tem um único ponto, mas N=U{An: N f e mfimto. 3.F. Se A é irümito e B ::;:{ bn.: n E N}é um subconjunto de A, então a função defmida por

f(x)=b .... ~> =X,

x=b.,eB1 X E

A\ B.

409

lj ""

I,,,I

!t •' • r}

;:! I!!: 'j '• ''

.

bre C.

3 .H. Se f é um-a-um de A sobre B e g é um-a-um de B sobre C, então g"

SEÇÃ04

4 .G.

,.

Considere três casos; p

i

:' .: !

f é um-a-um de A

so-

=3k, p:::: 3k + 1, p =3k + 2.

I I

SEÇÃO 5

=

5 .A. Como a~ ~O e b' '2;, O, então a~ + b~ =O implica az b 2 ==O. 5 .D. Se c 1 + a com a > O, então cn "" (1 + a )n > 1 + na '2;, 1 + a c. 5.G. Observe que 1 < 2 1 = 2. Se k < 21: para k ~ 1, então k + 1 < 2k tanto, n < 2n para todo n EN. 5.H. Gote q_ue ~n- an (b- a)(bn-l + · · · + a"~ 1 )::::: (b- a)p,p >O. s.M (x,y).y-±x}. S.N. m quadrado com vértices (±1,0), (0, ±1).

=

=

<2

• 21< ""2k+1. Por~

=

SEÇÃO 6

Se A={x 1}então x 1 ==supA. Se mostre que sup{ u, Xn+ 1} é o supremo de A. 6.A.

A={x~> ... ,x11 ,xn.,. 1 }e se{u""sup{xp•·••xn},

SejaS ::::lx E Q :x 2 < 2}. De. fato, su~ A u B sup{ sup A, sup B}. 6.H. Se S=supjf(x,y):xEX yE então f(x,y)S.S para todo xEX e yEY,e assim [ 1 (X) O)existe (x 0 ,yll) tal que S- E < f(x 1» Y0 ). Logo, S- e< [ 1 e, portanto, S- e< sup{f1 (.x) : x E X;. Como e> O é arbitrário, inferimos que S'< supt[1 (x): x E "':f· · 6.K. Como f(x) < sup /(z:): z E X, decone que

6.C. 6. '!S-

=

f},

(x_j(

f(x)+ g(x) < sup{f(z):z Portanto, sup{f(x) + g(x): x E

E

X}+sup{g(z): z e X}.

x}não supera a expressão à direita. Analogamente, se x E X, então inf {f(z):

z E X}+ g{x)

< f(:x.)

+ g(x).

Usando 6.1, inferimos que

inf {f(z): z e X}+ sup {g(x): x

E

X}< sup {f(x) + g(x): x E X}.

As outras áfrrmações,.sé demonstram de maneira análoga.

SEÇÃO 7

7.B. Seja a EA;sea ft:A', então a EB' e, assim,~< r< a, uma contradi)tâo. Portanto, a EA' e como a EA é arbitrário, temos A c A'. Como ~<(,existe X E R, com t }e A'=~ x : x < B' = {x : x > 7 .E. Se x E lr1 para todo n, temos uma contracflção da propriedade arquimediana 6.6. 7.F. Se x E ln para todo n, temos urna contradição do Corolário 6.7(b). 7.H. Todo elemento de F 1 admite um desenvolvimentq temário cujo primeiro algarismo é O ou 2. Os pontos dos quatro subíntenalos de F~ adrrtitem desenvolvimentos temários começando com

r.

=

=

1

1},

O,00 ... , O,O 2 ..• , O,20 • . . , O,2 2 .•. , e assim por diante. 7.1. Se n é suficientemente grande, 1 /3'1 < b -- a. 7.K. Tão próximo de 1 quanto queiramos.

410

1}.

.

\

(' (

SEÇÃO 8

8.E. A propriedade 8.3 (ü) não é satisfeita. 8.H. O conjuntoS 1 é o interior de um quadndo cor,n vértices (0, ± 1), (± 1, 0) e S2 é o interior · do quadrado com vértices (1, ± 1), ( -1, ± 1). 8.K. Tome a= 1/..JP, b = 1. 8.L Tome a= 1/p, b= 1. · 8.M. Temos IX •yl'< ~ IXiiiYil IXil}sup IYd:.:;. b:ll 1 llyll 1 • Mas !x •yl'.::;:_pllx!loo f!yll.,.,e se x = y =(1, 1, ... , 1), tem-se a .tgualdade. 8.N. A relação implica

<{.E

2

2

(

(

( { \

2

llxlf+2(x · y)+l!yUZ=!!x+yW=(!Ixll+lb·ll) =llx 11 + 2 !lxllll 'J 11 + IIY !1

\

r

•

Logo, x •y.:.. axllllyU e a condição de igualdade do Teorema 8.7 se verifica, desde que os vetores não sejam nulos. 8.P. Como l!x + yB~ :::: llxll ~ + 2 (x •y} + Uyli:t, a relação se verifica se e somente se x •y =.O. 8.Q. Um conjunto K é convexo se e somente se contém o segmento retilíneo que une dois quaisquer de seus pontos. Se x •y E K 1 , então 11 tx + (1 - t)yU < t l!x" + (1 - t) llyll < t + (1 - t) = 1, de modo que tx + (1 - t)y E K 1 , para O.::;, t ~ 1. Os pontos (± 1, 0) pertencem a K..,, mas seu ponto médio (O, 0) não pertence a K ... 8.R. Se x ,y pertencem a n Ka., então x, y e Kcx para todo o:. Logo, tx + (1 - t)y E Ko: para todo ex~ donde decorre que n Ka. é convexo, Considere a união de dois intervalos disjuntos.

( (

(

r' (·,

(

SEÇÃ09

9.A.

Se x E G, seja r= ini{x, 1-x}. Então, se IY- x! O tal que todo ponto y em R satiSfazendo !yl O, existe um ponto y em. Por sua definição, devemos ter A 0 Ç.A. Segue--se que (A Q ) 0 ç;.A 0 • Como A 0 é aberta e (A 0 ) 0 é a união de todos os abertos em A 0 , devemos ter A 0 c (A 0 ) 0 • Portanto, (A 0 y> =A 0 • Como A 0 c A e 8° ç_ 8, segue--se que A 0 n 8° c A n B; 'mas como A 0 n Bº é aberto, isto implica que (A 0 n 8°) ç (A n 8) 0 • Por outro lado, (A n B) 0 é aberto e está contido em A e B; portan· to, (AnB)° CA 0 e (AnB) 0 r;;;,.B 0 , donde (AnB) 0 .Ç.A 0 n8°. Conseqüentemente, A 0 n8° = (A n B) 0 • Corno RP é aberto, (RP)(I =RP. Seja A o conjunto de todos os racionais em (O, 1) e B o conjunto de todos os irracionais em (0, 1). Então,A 0 u 8° = rp> enquanto que (A u 8) 0 = (0,1). 9.1. Ou argumente como em 9.J,ou tome complementos e use 9.1. 9.N. Se p =1, tome A== Q. Em RP, tome QP. 9.0. Suponha A, B abertos em R. Seja (x,y) EA XB, de modo que x EA e y E 8. Existem r> O tal que se lx'- xl O tal que se ly'- yl < s então y' E B. Seja agora t =inf {r) a bola aberta de raio t está contida em A X B. A recíproca é análoga.

axu}.

s};

( r

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\ (..

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( ( ( (

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(

SEÇÃO 10

;=

lO.C. Se x,é ponto de acumulação de A em RP.e N é uma vizinhança de x, então N n{y RP: !ly - xl! 1}. contem um pon;o a 1 E A, a 1 7. O conJunto N n{y E RP: fty - xll < li a 1 Uf. contem um ponto az E Jt, a2 x e tambem a1 a 1 , Continue o processo.

'*

*

(

( I

'\

411

'

'i

lO. F. Toda vizinhança de x contém infinitos pontos de A u B. Logo, ou A ou B (ou possivelmente ambos) deve possuir um número infinito de elementos nessa vizinhança.

SEÇÃO 11

·, :. < ~

d

' .

).

{c,

f.

.'"•'

I

ll.A. SejaGn-~(x,y):x 2 +y 1 n, e como Fn é fechado, enão x E Fn para todo n E N. ll.H. Se d (x, F) =O então x é ponto de acumulação do conjunto fechado F. E RP: lly- ;d então todo ponto de F tem a mesma distância de x. 1 LI. Não. Seía F ll.K. Seja G aberto e X E RP. Se H -X : y E então H é aberto em RP. 1LM. Siga o argumento de 1 \·7, usan~o celas abertas em lugar de bolas abertas. nE onde Gn é aberto em R. O complemento Fn de Gn é um con1 LQ. Seja Q n junto fechado que não contém nenhum subconjunto aberto não-vazio, de acordo com o Teorema 6.10. Logo, o conjunto dos irracionais é a união de uma família enumerável de conjuntos fechados, nenhum dos quais contém um aberto n.ão·vazio, mas isto contradiz o Exercício 11. P.

:

i.'

1.'

t

={y

= {cn:

·,

:~

..

SEÇÃO 12

=r}; =h

Nt•

cf,

cv{x}.

12.B. Seja A, B uma desconexão de C'= Então A n C' e B r1 C' são clisjuntos, não~ vazios, e têm união C'. Um desses conjuntos deve conter x; suponhamos que seja B. Como B é aberto, també_:n contém pontos de C, de modo que C n (B \{x}) V!. Mas então A, B \{ x}constltuem uma des~ conexao de C. 12.E. Modifique a demonstração do Teorema 12A. 12.G. Pelo Teorema 12.8, os conjuntos C 1 e C~ são intervalos. Vê-5e facilmente que C 1 X C~ é convexo, de modo que se pode aplicar 12.E.

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I

I l I

I

SEÇÃO 13

13.A. Examine a posição geométrica de iz = ( -y, x) em termos dez= (x,y). 13 .B. Note que cz =- (x cos 8 - y sen 8, x seno + y cos fJ ), e isto corresponde a uma rotação de o radianos em tomo da origem, no sentído anti·horário. · 13.C. O cúculo lz- cJ =r é levado no círculo lw- (ac + b)i = latr. Podemos escrever z = 1 a~ w- a- 1 b e calcular x Re z, y = Im z em termos de u = Re w, v= 1m w. Vê-se então facilmente que a equ.ação ax + by =c se transforma numa equação da forma Au + 13v ""C. 13.D. Um círculo pennanece fixo pela g se e somente se seu centro está sobre o eixo real. As únícas retas que permanecem fixas pela g são os eixos real e imaginário. l3.E. Círculos passando pela origem sãolevados em retas por h. Todas as retas que não passam pela origem são levada~ em retas que passam pela origem; todas as retas que passam pela origem são levadas em retas que passam pela origem. 13.F. Todo ponto de C, exceto a origem, é a imagem, peta g, de dois elementos de C. Se Re g(z) k, então x~ - yl = k. Se Im g(z) = k, então Zxy =k. Se !g(z)! = k,
=

=

412

I

SEÇÃO 14

1 1 1 1 14.B. Note que O<----= <- n n + 1 · n(n + 1) - n · ·

I

14.D. Temos O .5. I b 11 11- Bxlil:;; llxn- xn. 14. L Seja r e R tal que lim (xn..;.dxn) existe K E N tal que O < xn+dxn K. 14.K. Considere (1/n) e (n). 14.L. As seqüências (a), (b), (e) e (f) convergem;as seqüências (c) e (d) divergem. 14. M. Seja r E R tal que lim (x ;{") K.

SEÇÃO 15 lS.A. 15.C. 15.D. 15.F.

Considere Zn =Yn - Xn e aplique o Exemplo 15.5 (c) e o Teorema 15 .6(a). (a) Converge pa.ra 1. (b) Diverge. (f) Diverge. Seja Y;::;:: -X. Considere dois casos: x =O ex> O.

15.G. Sim. 15 .H. Use a sugestão do Exercício 15. F. lS.L Observe que b < Xn S,b2 11 r~.

SEÇÃO 16

t

l6.A. Por indução, 1 < Xn < 2 para n > 2. Como Xn+1 - Xn = (Xn- Xn-df(xnxn.-! ). a seqüência é monotônica. 16.C. A seqüência é monotônica e li.rrútada. O limite é (1 + {1 + 4a)" 2 )/2. 16.D. A seqüência X é monotôniêa decrescente e limitada. 16.E. Um elemento xk de X= (xn) é chamada ''pico" de X se Xk ~ Xn para n > k. (i) Se há in· finitos picos com índices kt < k-z. < ... ,então a seqüência (Xkj) de picos é uma subseqüência decres· cente de X. (il) Se há apenas um número imito de picos com índices k 1 < · · · < kr, então sejam 1 > kr. Como xm I não é pico, existem~• > rr. 1 tal que xm l < Xm l • Prosseguindo desta maneira, obtemos uma

subseqüência estritamente crescente (xmj) de X. 16.0. A seqüência é crescente e Xn < n[(n t 1) < 1. 16. K. Existe K E N tal que, se n > K, então L- € < xn.+ dxn
SEÇÃO 17

17 .A. Todos. 17 .c. Se X E z, o limite é 1 ;se X ez, o limite é o. 17.E. Sex=O,olimiteél;sex O,olimíteéO. 17.G. Se x >O e O< e< rr/2, então tan (7r/2- E)> O. Portanto, nx?:. tan (rr/2- e) para todo n 2,_ nx, donde n/2 - e S. are tan nx rr/2. 17.H. Se x >O, então e-x< 1. 17 .J. Não necessariamente. 17. M. Considere a seqüência (1/ n) ou note que llfn!ID > 17 .P. Sim. 17 .Q. Sim.

s

+.

413

I:

~ :

l"

r: I

i:

! ! '

SEÇÃO 18

18.A. (a)± L (b) O. (c}::!;L (d) ±1. 18.E. Seja m, p E N, p < m. Então, vm (X+ Y) =::: sup{xn sup{Yn: n > m}= Vm (X)+ vm (Y) < vp(X) + vp(Y). Portanto, (x + y}*

=inf {v... (X + Y): mE N} <

Como isto é verdadeiro para todo p E N, inferimos que (x + y)* 18.G. (a)±<». {c)O,+""'.

+ Yn: n .2. m} < sup{xn; n .2. m }+

u~,(X)

+ y*,

< x* + y*. i

SEÇÃO 19 ;

..

19.E. Sej < n,então Xj:$.Xn+ 11 e Xj(l + 1/n) < Xj'+ (1/n)xr<+l· Some então. 19.1. Se X é crescente e não-convergente em R, então X não é limitada. 19.K. (a) Não eXiste nenhum. (b, c) Todos os três são iguais. (d) Os limites iterados são diferentes e o Urrúte duplo não existe. (e) O limite duplo e um limite iterado são iguais. (:{) Os limites iterados são iguais, mas o limite duplo não existe. 19.L. Seja Xmn n sem::::: 1 e Xmn =O sem> L 19.N. Em (b, c, e). 19.0. Aplique o Corolário 19.7 a :x sup{xmn: m, n E 19.P. Seja Xmn =0 param< n e Xmn = (-l)mjn param> n.

=

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: f

N}.

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I ~ i

i: i

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SEÇÃ020

20.A. Se a= O, tome ô{e) = e 1 • Se a> O, use a estimativa

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' ''' '' t .

i; ~!1 r -: ; !:

2ú.B. Aplique o Exemplo 20.5 (b) e o Teorema 20.6. 20.C. Aplique o Exercício 20.B e o Teorema 20.6. 20.E. Mostre que lf(x)- f(i )I= lx- +I· 20.F. Todo número real é limite de uma seqi.iência de racionais. 20.1. Existem seqüências (x11 ), (yn) tais que lim (h(xn)) = 1, lirn (h (y11 )) =-L 20.L. Mostre que f(a +h)- f(a) =f(a)- /(0). Se f é monotônica em R, então é contínua em algum ponto. 20.M. Mostre que f(O) =O e f(n) nc para n EN. Também, f(n) + f(-n) ==O, de modo que f(n) = nc para n E N. Como f(m/n) = mf(lfn), segue-se, tomando m ""n, que /(1/n) = c/n, donde f(m/n) = c(m/n). Use então a continuidade de/. 20. N. Ou g(O) =0, e então g(x) =O para todo x E R, ou g(O) 1, .e então g(a +h) - g(a)

=

=

g(a){g(h)-:- g(O)}.

SEÇÃ021

=

=

21.C. /{1, 1) (3, 1, -1),/(1, 3) (5, 1, -3). 21.D. Um vetor (a, b, a) está no contradomínio de f se e somente se a- 2b + c= O. 21.G. Se A= O, então f(-b, a)= (0, 0). Se A >F O, então a única solução de

ax + by =O,

ex+ dy =O

é (x, y) = (0, 0). 21.1. Note queg(x) =g(v) se e somente se g(:x- y) =e. 21.P. Note que Cif =e; ·f(eJ) e aplique a Desigualdade de Schwarz.

414

=

SEÇÃO 22

={y

o}é

22. C. Se f(x 0 ) > 0, então V E R :y > unta vizi.nhança de j(xn>· 22. H. Seja f(s, t) =O se st =O e /(s, t) = 1 se st *O. ... 22. L. Suponha positivo o coeficiente da potência mais alta. Mostre que existem x 1 1, então f(O) =O O, existe uma vizinhança de c na qual f é positiva, donde c .P. sup N. Analogamente, se f(c) O. , 22.0. Como f é estritamente crescente, e a< b, então fleva o intervalo aberto (a, b), de maneira um-a-um, sobre o íntervalo aberto (/(a), f(b)), donde se segue que j- 1 é contúma. 22.P. Sim. Sejam a< b fixos e suponha /(a)
{

'

(

i

\

( (

'

SEÇÃO 23

23.A. As funções do Exemplo 20.5 (a, b, i) são unifom1emente contínuas em R. 23.G. A função G é limitada e uniformemente contínua em [0, p]. 23.1. Se (Xn) é urna seqüência em (0, 1) oom x 11 -+ O, então (f(xn)) é uma seqüência de Cau· chy e, conseqüentemente, converge em R. 23. K. Tome f(x) = sen x, g {;~) = x, x e R.

í (

SEÇÃO 24

24.B. Tome ((1/n)D,/ como no Exemplo 20.5 (g). 24.C. Obtenha a função do Exemplo 20.5 (h) por este caminho. 24.E. {a) A convergência é uniforme ern [0, lJ. (b) A convergência é unüorme em qualquercon· junto fechado que não contenha L (c) A convergência é unifonne em (0, 1} ou em {c,+ m), c> 1. 24 .J. Segue-se que f é monotônica crescente. Como f é uniformemente contínua, se e > O, sejam O= x 0 < x 1 < xl < · · · < Xh = 1 tais que /(Xj) -- /{XJ- 1 ) <'" e seja nj tal que se n:?:. nJ, então 1/(xj)- {n(Xj)l sup{no, n 1 , ••• , nh\~ mostre q!]e 1/(x)- fn(x)! < 3ç para todo x EI. 24. S. Qu.alq uer polínômio (ou limite uniforme de uma seq üêocía de polinônúos) é limitado em um intervalo limitado.

( ;· ..

f

SEÇÃO 25

I.

(

25.G. (b) Se e> O, existe ó(e) >O tal que se c < x O, existe m >O tal que se x > m c x D(f), então f(x) > M. (b) Se M O tal que se O r} e ponha L= lim r-->+"" o, existem (e:) tal que se x ~ m (e), então !sup{f(x) : x > r}- L 1
( ( \'

( (

\

;

( ..'

415

Jl:

l ''

'

I

I ;

... : ! i

I :; •.

11 1 I;

I t.· I ,

I :

SEÇÃ026 26.B. Mostre que a coleçãodde polinômios em cosx satisfaz as hipóteses do Teorema de Stone-Weierstrass. 26.E. Se /(0) =[(1r) =O, primeiro aproxime [por uma função g que se anule em alguns intervalos !0, 5} e ('lt- 6, 1r]. Considere então h (x) = g(x)/sen x para x E (0, 1r), h(x} =O para x =O, n. 26.[. Considere[(x) ==sen (1/x} para x,;:. O. 26. K. Use o Teorema de Heíne-Borel ou o Teorema da Cobertura de Lebesgue tal como na demonstração do Teorema da Continuidade Uniforme. 26.Q. (a) Domínio compacto, seqüência uniformemente eqüicontínua mas não limitada. (b) Domínio compacto, seqüência limitada mas não uniformemente eqüicontínua. (c) Domínio não-compacto, seqüência limitada e uniformemente eqüicontfnua.

SEÇÃO 27 27 .D. Observe que g'(O) =O e que g'(x);;;;; 2x sen (1/x) - cos (1/x) para x *O. 27.E. Sim. 2 7. L, Podemos escrever

I j .:

f(x)- f(y) _ x- c .f(x)- f( c)_ y- c .f(y)- f(c)

I i

x-y tal que

- x-y

x-y

y-c

.

27 .S, (b) Se b ., O, então, para n E N suficientemente grande, dado x > n, existe um Xn

](f(x)- f(n))/xl ·:

x-e

>n

= l(x- n)lx! lf'Cx.)! <:::: l
SEÇÃO 28

28. F, Entre raízes consecutivas de p' o polinômio é estritamente monotônico. Se x 0 é raiz de mulüplicidade ímpar de p', então xQ é ponto de extremo estrito de p. 28.H. A função f tem raízes de multiplicidade n em x::::: ±1 ;[' tem raízes de multiplicidade n - 1 em x ± 1, e raiz simples em t -1, 1) etc. 28.0. Use o Exercício 27.0.

=

J I

t

J I

\

I.

I. I;

r

SEÇÃ029

*

29.D. Se e> O, então há números racionais r 1 , ••• , rm em I tais que O < f(x) <" se x rk. Seja P uma partição tal que cada um dos {no máximo 2m) subintervalos Contendo um dos r 1 , ••• , rm tem comprimento inferior a e/2m. Mostre que O ::;._S(P;[, g) < 2e. 29.1. Se / 1 (x) f(x) para x é{c" ... , cm}e e> O, seja Puma partição tal que cada um dos subintervalos contendo um dos c 1 , ••• , em tem comprimento inferior a e/2mM, onde M >- sup {llfiiJ, ll/1 11J}. Usando os mesmos po_ntos intermediários, temos IS(P;f,g)- S(P;f 1 ,g)l
=

I<

I I

I:

=

ft dg = ftg:,

Seja então (fg')(x) f(x)g; (x) para a 5, x O, seja Pe =(x(/, x 1 , ••• , Xn} uma ~artição de J tal que se P 2Pe e S(P;f) é uma soma de Ríemann correspondente, então IS(P;f}- f a fl
416

l

I :

I

1 I

tem no máximo n- 1 mais pontos do que Q. Mostre que S(Q*;n- S(Q;n se reduz a no máximo 2(n -1) termos da forma /(V?)}(xj- Yk) com IXi- Yhl
±{t<ü-

SEÇÃO 30

30.C. Dado

E> O, seja Pe como na demonstração de 30.2. Se Pé um refmarnento de Pe, IS(P.; f, g)- S(P; f, g)J s L lf(u~;)- f{ vk )j jg(xk)- g(x"_,)]

onde luk- u;d < ó (e); daí, esta soma é dominada po.r eM. Use asora o Critério de Cauchy. 30.E. Uma estimação direta dá

(J

~

a

(f(x))" dx

)lm s

M(b- a)''".

Reciprocamente; f{i) > M - e em algum subintervalo de [a, b 1. 30.H. Sem :5,./(x) s;,Mparao:;:; x ::;;,{1, existe um A com m
F(j3)- F( o:)=

1f 11

dg = A{g(j3)- g(a)}.

30. L Seja .f(x) =-1 para x [ -1, 0) e f(x) = 1 para x {0, 1 J. . 30.1. Aplique o Teorema do Valor Médio, 27.6, para obter F(b)- F(a) como soma de Ríemann para a integral de f. 30.M. Sem
j

••

,I l

Use então o Teorema de Bolzano, 22.4. 30.P. As funções -.p e .p- 1 são um-a-um e contínuas. k partições de [c, dJ estão em correspondência biun ívoca com as partições de [a~ bl e as somas de Riemann·Stieltjes de lo g em relação a g <> 'P estão em correspondêncía biunívoca com as de {em relação ag. 30.V. {a) (c) 9 (e} rr/2.

+

SECÃO 31 • 3l.K. Como fn(x) - fn(c) = f~. podemos aplicar o Teorema 31.2 para obter f(x)- {(c)= g para todo X E J, Mestre que g =r. 31.8. Aplique o Teorema 30.9 a (31.2) com h(t) ';;:.. (b -· r)n·l. 31. V. Prove que as funções G e H s5.o contínuas. O restante da demonstração é como em 31.9. 31.X. A função fé unifonnemente contínua em 1 1 XJ.,.. 3LY. Seja g. (O)= O,g1 (x) =+para O < x < 1, eg2 (x) = l.

J;

I:

SEÇÃO 32 32.D. (a), (b), (d), (e) são convergentes. 32. E. (a) é convergente se p, q > -1. (b) é convergente se p + q > -L 32.F. (a) e (c) são absolutamente convergentes. (b) é divergente. 32.G. (a) é absolutamente convergente se q > p + L (b) é convergente se q >O e absolutamen-

te convergente se q > 1.

417

ji

.I

.,

:1

]i

li li 1! lJ

I

1

li, .

.li :I

.,fi

SEÇÃO 33

33 .A. Se O < t < {3, então xte-x ::;;;. :xfJe-x. 33. R Aplique o Teste de Dirichlet, 33A. 33.C. (a) é uniformemente convergente se ltl :La> O. (b) diverge se t c > O. (c) e (e) são uniformemente convergentes para todo t. 33.F . .fir.

SEÇÃO 34 e O.

34.C. Grupe os termos da série

Z';::: 1 (-1)"

de modo a obter convergencia para os valores -1

34.G. Considere !: ((~l)nn~ 112 ). Todavia, considere também o caso an ~O. 34.H. Sea,b~O,então2(ab) a 1 (1 + 1/2 + · · · + 1/n), 34 .J. Use o Exercício 34. F (a). 34 .K. Mostre que a 1 + a~ + · · · + a1 n é cotada inferiormente por 1 + 2a 2 + ... + 2r1a 2 e superiormente por a 1 + 2al + · · · + 2n-t a, rt- 1 + al n.· 34.0. Considere as somas parciais s;, com n/2 < k < n e aplique o Critério de Cauchy. 112

t{l{

n}

SEÇÃO 35

35. C. (a) e (c) são divergentes. (b) é convergente. 3S.D. (b), (c) e (e) são divergentes. 35. G. ·(a) é convergente, (c) é divergente. 35.L. Se r< 1, então log m < log (m + 1)- r/m param E N suficientemente grande, Mostre que a seqüência (xnn log n) é crescente.

SEÇÃO 36

36.A. Aplique o Teste de Dirlchlet. 36.D. (a) é oonvergente, (b) é divergente. 36.E. (c) Se I: (an) é absolutamente convergente, também o é .I: (bn). Se an ""'O exceto quando sen n está próximo de ± 1, podemos obter um contra-exemplo. (d) Considere an = 1/n (log n)~. 36.L Sem> n, então smn +1; sem= n, então smn =O; sem< n, então smn =-L 36.K. Note que 2mn < m 2 + n 1 •

=

SEÇÃ037

37.A. (a) e (c) convergem uniformemente qualquer que seja x. (b) converge se x =f. O e converge uniformemente se x está no complemento de qualquer vizinhança de x =O. (d) converge se x > 1 e converge unüormemente se x >a, a> 1. 31. C. Se a série é uniformemente convergente, então

lcrt sen nx + · · ·+c~., sen 2ttxl
.

' I'

desde que n seja suficientemente grande. Restrinja agora a atenção a um intervalo tal que sen k:x > i para n < k < 2n . 37. H. (a)"", (c) 1/e, (f) 1. 37. L Aplique o Teorema da Unicidade 37.17. 37. N. Mostre que se /1 E N' então eXiste um polinôrnio Pn tal que se X o' então r(n)(x) = l e-IJX Pn(l/x). 37.T. As séries A(x) = ~(lln:Xn), B(x) =E (bnx11 } e C(x) =!: Ccnx11 ) convergem para funções contínuas em I. Pelo Teorema da Multiplícação, 37.8, C(x) =A (;x)B(x) para O < x < 1, e por continuidade, C(l) =A (1) B(l).

*

418

-..,

/

.......

37. U. A seqüência de somas parciais é crescente no intervalo (0, 1 ). 37. V. Se e > O, então jard < epn, para n > N. Decomponha a soma I: (an,xn) em duas somas, uma pa.Ia n = 1. ...• N, outra para n > N. ·

(

SEÇÃO 38 38.B.

(b}Sean~O,então

F(x

(

211") =

r_,.l,f(t)

dt

= F(x)+O =

= rf(t) dt + r·~"f(t) dt

(

'

f

F(x)

r

·J

~-![cos 2x cos 4x . ~. cos 6x+ .. 1T 'lT 1·3 + 3·5. 5·7 .

(c) l+~[cosx 271' 1

cos3x+cos5x 3 5

..

·J .

n (cos1~2x-+ cos2l4x + cos3 6x +·· ·J· 6-

••

( e)

(b) -ª_[sen2x ·1T

2 sen4x

3 sen6x

1·3+ 3·5 + 5·7 +

~rsen X+ se? 3x + sen 5x + .. ·] 'lT

1J

3)

5'

±

(b) 1

4 ~ [

+-L 7f,~~

sen r.x

2

l + ( -1)"~ 1 l

+

.

r \

'

...

'

.

r

I

'· .. ·)

(

'

.

'

... ·

( (

38.N. (d) Use o Exercí'cio 38.G(b). ) [sen j7i'x 38 .R. ( a7T 1

(

(

2

38 K

...

(

2

(e)

_,,

...

38.E. (c) Calcule fz (0) de duas maneiras. 38.G. (a} Se k 1 fosse continua, então k 1 (-1!')=-n 3 , mas como k 1 tem período 2rr,então k 1 ( -1!') ~ k t (rr) = n3.

38 • I • (b)

' ... ~

{

e R.

para todo x

I

sen !11x _ ... ] 3

(

·

n'lTX ( -1)". 1 n'lTX] cos-+ sen- . 4 n 4

i

I

\

nTi 38.S. Use o Teorema de Fejér, 38.12, e o Teorema 19.3. 38.T. Modifique as demonstrações de 38.7 e 38.12.

SEÇÃO 39

39.G. Temos !G(u, v) - G(O, O)! < lu 1 + IJ 1 1= !I (u, u)nl, de modo que DG (0, O)(u, v)= O. Se (x,y)=#:(O,O), então D 1 G(x,x)=2xsen(2x 2 )~ 1 -x- 1 cos(2x 1 Y1 , que não é limitada quando

x-o.

39.L. (a) V1•• ~ •• J,

= (2a, 2b, 2c).

\

39.M. (a) O. (c) 4/~. 39.0. (a) Em (1, 2) temos j(x,y, z) ::z- 5 = 2(x- 1) + 4(y- 2{}· (c) Em (1, 1) temosf(x, y, z): z - .J2 = -(x + y- 2)/.J2f39.Q. (a) Em .r=O temos{(.':t',y,z):x=t, y=O, z=O};em t=l temosl(x,y,z):x=l+s,

+ 2s, z = 1 + 3s}.

( 419

...

'

(

(c) í1!".b.
y = .1

{

..

.,.1/fl'

''

.

lJI '. '

ia I. l

(c) Emr=

iw+s}.

=

39. S. (b) No ponto {':,, -1,- 3) correspondente a (s, t) (1, 2) temos: Sh ={(x, y, z): x (s -1) + t - 2, y::.: -1 + (s- 1)- (t- 2), z ""- 3 + 2(s- 1)- 4(t(d) No ponto (1, O, O) correspondente a (s, t)::::: (0, +n) temos:

~p '

;ntemos~(x,y,z):x=-2s,y=2,.z=

I

$h"" {(X,)', Z); X=

)ll

1, )' '-"'

S, Z ""'-{I-

39.V. Note que se y E R.Q_, z E Rr, então (y, z) E R
~I\lÍ

z+

=3 +

hT)}.

=Rq •r é tal que ll(y, z)ll~ = lly!l' +

!

f:l! :(

•.

!

'

.

;

li

,

J~

~ij :

SEÇÃO 40

40.A. F'(I)= 2(3t + 1)3 + 2{2t- 3)2 =26r- 6.

~-1 \

40.D. D,F(s. r)= (sens cos 1 + sent)(-sens)+(cos s +sen t)(cos 40.G.(a) D,F{x,y)=j'(xy)y, D,F(x,y)=f'(xy)x. 2 (d) D,F(x, y) = f'(x'- y~)(2x.}, DlF(x, y) = f'(xz- y )(-2y).

,_, j!

~~li! f.

1\

40.K. (b) Como g'(t) =DJ(tc)c 1 + · · · + Dpf(tc)cp, segue-se, da Relação de Euler, que

I

f:l!

i

1

i•m 1 ':'I

f""' . !I:j .!'UI ]; :,Dll ;:

rg'(1)

iRI

~Jill

't~l

··Sj!

i~~

t~t! ..'..'·llli ~

= {tc,)D,f(tc) + · · · + (tcp)Dvf(!c) = kf(tc)""" kg(t).

Portanto (por quê?) g(i) = Ctk pará alguma constante C Como f(c) =g(l) =C, dedm;imos que f(tc) g(t) = rk f(c), donde f é homogênea de grau k. 40.M. Como I!B(x

+ u,y

=

+v) -B(x,y)- B(x, v)+ B(u,y)!h=

= IIB (u, v )li'$ M !lul) llvll <

:tl! \

fllll

s cos 1)+0.

~M(I(uW + !lulf) = ~M

Jl( u, v)JI',

segue-se que DB(x, y)(u, v) existe e é igual a B(x, v) + B(u, y). 40.P. Como Dg(c)(u):::: (ug; (c), ... , ugj;(c)) ug'(c) para u E R, segue-se, pela Regra da Cadeia, que

=

Dh(c)(u) = Df(g(c))(Dg(c)(u)) = Df(g(c))(ug'(c))= uDf(g(c))(g'(c))

=

donde h'(c) Df(g(c)) (g'(c)). 40.Q. Se f= lf1 , ••• ,/q), existem pontos Ci E S tais que [i(b) - fi(a) = D/i (ci)(b -a). Seja agora L com representação matricial [Dj{i(Ci)J. 40.R. Pelo Teorema 12.7, dois pontos quaisquer de n podem ser unidos por uma poligonal contida em n. Aplique o Teorema do Valor Médio a cada segmento desta poligonal. 40.U. Naverdade,D.J(x,y)=y(xz -y 2 )(x 1 +y 2 )- 1 +4x 2 y 3 (x 2 +y~)-lcDyx/(0,0)=-1, ao passo que Dxy(O, O)=+ 1. 40. W. Se 'P; (-e, 1 + e)-+ Rq é definida por

I;

.

~::

'··· 1:.

SEÇÃO 41

4l.A. Use o Exercício 21.P. 4LD. Aqui D[(O) ""O. Não. 4 L E. Considere os Exercícios 27. H e 22. O.

~llll ····~

,. i:·l(i

·~.~

~

41.F. Considere o Exercício 40.L. 4LJ. Ache os extremos relativos próximos de zero.

ro: =

4LQ. (a) Em (1, 1, 2) temos Sp ='{
+,

420

41. T. 41.V. com llx!l < 1 4l.W.

Se D 1 g (c) *O. considere então G (x, y) = g (x) + (0, y). Mostre, como na demonstração de 41.6, que se flyU < m/i, então existe um vetor x E RP tal que y . L 1 (x). Se y E RP, seja x 0 =O e

Mostre, como na demonstração de 41.6, que x =Um (xn) existe e f(x) = y.

SEÇÃ042

42.A. (a} Ponto de cela em (0, 0). (b) Mínimo relativo estrito em (-2, +).(c) Ponto de cela em (0, -1); mínimo relativo estrito em (0, 3). (f) Ponto de cela em (0, O); mínimos relativos estritos em

{0, -1) e (0, 2).

42.D. Se.[nã.o é constante, então ou o supremo ou o ínfimo de fem ·s ..:..{x E RP: l!xU < Ünão é zero. Como Sé compa"cto, este supremo (ou fnfuno) é atíngido em um ponto c E S. A hipótese e'umina a possibilidade !I c !! = 1. 42.F. (a, d) mínimos relativo em (0, 0). (b, c, e) Ponto de cela. em (0, 0). (f) Mínimo relativo estrito em (O, 0). 42.G. Ponto de cela em (1, 1). 42.K As celas de macaco têm caudas. 42.1. 42.K. ; . 42.S. (a) Máximo"" 1 atingido em (± 1, 0); mínimo:;; -1 atingido em (0, ± 1). (b) máximo= 3 atingido em (1, O); mínimo= -1 atingido em (-1, 0). (c) Máximo= 4 atingido em (1, :!.:l); múüm<> =

i

-1 atingido em (-1~ 0). (d) Máximo= 1 em (0, n/2);mínimo = -1 em {0, -tr/2). 42.U. Máximo= 1 atingido em (1, O, O); mínimo= ; atingido em<-+, ~ ,

SEÇÃ043

·i).

(2 1'P -l)- 1 • Se uma cela I em RP tem comprimentos laterais O < a 1 :5_a 2 :$. • • · < ap, seja c= a 1 /n. Então f está contida na união de·n ({a.Jc] + 1} · · · ({ap/c] + 1) cubos de aresta c, com conteúdo total inferior a 2(a 1 • • • an) = 2c(l). Logo, se Z e.stá contído na união de celas com conteúdo total inferior a a, está contido na união de cubos com conteúdo total inferior a 2e. 43.E. Não. 43.H. Se o fecho de Jj é (aj 1 , bb] X· · ·X [aJp, bjp J para i= 1, ... , n, seja P, a partição de {a 10 b 1 ] obti~a ~til~~~~~e os pontosJa}l, ~h~:/= 1, ... , ~Pp a parti?.ã~ de [ap, bp] obtida utili· zando-se{a1p, b1p,J -1, ... part1çoesP 1 , • • • ,Pp mduzem uma pardçao de!. 43. I. Inclua Z na união de um número finito de celas fechadas em I com conteúdo total infe· rior a e. Aplique então 43.H. 43.J. Inclua Z na união de um número finito de celas abertas em I com conteúdo total inferior a e. Aplique então 43.H. 43.K. Formamos uma seqüência de partições de I em cubos de aresta de comprimento rns mediante bissecção sucessiY.~ dos lados de f. Dado um cubo K s;.l de comprimento de aresta r, inclua K na união de todos os cubos da n~apartição que têm interseção não-vazia com K. Se n é suficientemen· te grande para que (1 + 5/2n-! r)P < 2, então esta união tem conteúdo total ínferior a 2c(K). 43.B. Dado p

N, seja n

,n}. M

nh ... ,

43.1. Use 43.G. 43.M. Usr;: 43. L.

43.R. Trate primeiro o caso f=g; considere então (/ + g) 1 • '\3. T. SejaM llfHI. llgUJ. Como f e g são unifonnemente contínuas em K, se Pe é suficiente·

421

11:

I

I. 'I

!I

iif•.I

mente fina, então f e g variam menos do que e/2M em cada K; e tais que para qualquer PiE Ki temos IJ xfg - J:.f(p;)g(pj) c (K;)I < (ii/2)c(K). Então temos

'·,

IJ ~ fg- L f(x;)g(y;)c(KJI s IL fg- L f(x )g(x )c(K )1 1

+

il

I! :I

i.

1

IL

1

)1

fCx)[g(x;)- g(y1)]c(K1 s ec(K).

43.V. {d) Se Zé compacto e está contido na união de celas abertas 1 1 , J~, .•. , então está con~ tido na união de um número finito dessas celas.

SEÇÃ044

44.B. Se c

l}v{o, t}xi.

b(A n B) =(A n B)"' n (~(A n B)t:;;:; A- n B- n (<:g(A) U <&(B))"

=A-nB-n(
= (B- nb(A))U{A -nb(B))~ b(A) Ub(B). 44.1. Se li> O, seja Pe uma partição tal como a do Exercício 43.P e tal que a união das celas de Pe que contêm pontos de b{A) tenha conteúdo total inferior a E/2 llfiiJ. Aplique então o Exercício 43.P à restrição de f a A. 44.K. Corno mg(x)
=

J;{J:

SEÇÃ045

45 .A. Examine as demonstrações de 45J-45.4.

45.D. (a) 6'1!'. 45.F. (e -1)~. 45 .H. Seja u =xy, v= y /x 7 • A área é igual a (log 2)/3.

422

,,

I

' ... ' f

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t . _, ,

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..-

..

-.......

f

ÍNDICE ANALÍTICO

',, '"

v ' .

(

A Abel, N. H., 278 lema de, sobre somação parcial, 278 somabHídade segundo, 294 teorema de, 294 teste de convergência de, 279 teste de convergência uniforme de, 288 Acumulação, ponto de, 74 Aplicação, 25 aberta, teorema da, 341 inversão em C, 91 sobrejetiva, teorema da, 340 Appell, P ., 297 Aproximação, lema da, 339 teoremas de, 1·58 et seq ., 171 et seq.

Arquimediana, propriedade~ 49 Arquimedes, 49 Arzelà, C., 116 Arzelà-Ascoti, teorema de, 176 Ascoli, G., 176 Axjoma da escolha, 36 B

Baire, R., 83

teorema de, 83 Bernoulli, 1., 4 7 desigualdade de, 4 7 Bernstein, S. N., 160 teorema da aproximação de, 161 teorema de, 293

Bessel. F. W., 4 87

desigualdade de, 302 Beta, função, 259 Bíjeção, 30 Bilinear, função, 335 Bilinearidade da integrai de Riemann-Stieltjes, 200 Binária, operação, 38 Binomial, desenvolvimento, 192, 296 Doa ordenação, princípio da, 34 Bola, num espaço cartesiano, 63

unitária, 55

Bolzano, B ., 7 5 teorema do valor intermediário de, 147

'., ···~··

Bol..zano-Weierstrass, teorema de, para conjuntos infinitos, 75 para seq üêndas, 107 Bonett, 0., 215 Borel, E., 78 Brouwer, L. E. J., 155

\

.. ···

l,

,.

I. \

c Cadeia, regra da, 324 Cantor, G., 36 teorema da interseção de, 81 Cartesiano, produto, 22 espaço, 63 Categoria, teorema da, 83 Cauchy, A. L, 63 critérios de convergência de, 109, 199, 128, 199,240,245 produto de, 284 seqüência de,108, 112 teorema do valor médio de, 183 teste de condensação de, 268 teste da raiz de, 269 valor príncípal de, 238, 246 Cauchy-Hadamard, teorema de, 290 Cela em R, 54 em RP, 73,370 semi-aberta, 55 semifechada, 55 unitária, 55 conteúdo de urna., 405-406 Celas encaixantes em R, 55 em RP, 73 Cesàro, E., 126 método de somação de, 126, 306

(' \

I

(

t. ( \

( ( \

(.. !

,

(

'

r, \,

{": ...

<

•

C.

Classe, 16

C 1 , 338 positiva, 42 Cobertura, 77 Coleção, 16 Compacidade, preservação da, 147 Comparação, testes de, 241, 26 8

( c~ t

r

\.

r' ...

' \,,

423

I

f

'\.

de um vetor, 63 Condição lateral, 359 Conexão, preservação da, 196 Conjugado de um número complexo, 89 Conjunto(s) aberto, 68 de Cantor, 56 compacto, 77 complemento de um, 21 complemento relatívo dú um, 20 conexo, 84 conteúdo de um, 378 convexo, 65 descone.xo, 84 dife.c.ença simétrica de, 23 disjuntos, 19 fechado, 69 Compon~nte~

fecho de um, 73, 378 finito,33

igualdade de, 1 7 infinito, 33 interior de um, 73, 378 interseção de, 18 !imitad(), 7 4 numeráveL 34 ordenado, 387 ponto de acumulação de um, 74 ponto fromeira de um, 71, 378 ponto inttJdor de um, 71 produ to canesi;~.no de, 22

uníão rle. 18

vazio, 19 Conteúdo de uma cela, 386 de um conjunto, 378 exterkJr. 386 interior, 386

zero, 369

Convergência absoluta, 243 condicional, 264 dominada, teorema da, 250 em um espaço métrico, 103 intervalo, de, 290 ümitad:1, teorema da, 223 em média, 232 em média quatlrátka, 23 3 rnOl10tõnka. teorema da, para integrais, 123 para integrais int1nitas, 251 para seq üêndas, l 04 ~rn norma, nas $éries de Fourier, 305 pontual, nas série$ d~ Fourier. 303 raio de, 290 de seqüências, 94 de uma seqüência de funções, 112 de séries, testes de, 268 et seq. de séries de Fourier, 303 er seq. uniforme, de uma integral lntir)Ítil. 245 de uma seqüência de funçi'iê:>.! 15

424

das séries de Fourier, 305 de umá série de funçõ,es, 286 Coordenadas, cilíndricas, 405 esféricas, 400 po!are~. 400 curvas em, 404 de um vetor, 63 Corpo, 38 Correspondência, 34 Cone, 54 proprkdade do, 54 Co-senos, sérí
D'Aiembert, 270 Darboux,G., 183 teorema de, 185 Decrestente função, 140 seqüent.:ia, LOS Dedekind, R., 54 De Moivre, A., 220 De Morgan, A., 21 leis de, 2l Densidad.e de uma função de conjunto, 390 Deri vau a, 180 et seq ., 315 et seq. di.recional, 315 parcíal, 314 parcial em bloco, 324, 346 segunda, teste da, 357 uni!aterat, 303 Descartes, R., 22 Desco!\exão, 84 Descontinuklade, critério de, 13 3 Desenvolvimento binomial, 192, 296 Desigualdade aritmético ·geométrica, 66, 367 de BernouUí, 46 de Bessel, 302 de Cauchy, 67 de HtHder, 67, 188,368, 389 de Minkowski, 67, 368 de Schwarz, 63 de Tchebichev, 68 triangular, 46, 63 Desigualdades, propriedades básicas das, 42 et seq. Diagonal, método de, 36, 178, 209 Diferença, de duas funç6és, I 37 de duas seqüéndas, 93 simétrica, 23

Diferenciação, teorema da, para integrais, 212 páia séries de potências, 291 Diferencial, equação, 23 5 função, 315 Dini, V., 164 Dirichlet, P. G. L, 135 função descont ínu.a de, 135 teste de convergência de, 241, 279 teste de <;Onvergência uniforme de, 246, 288 Disjuntos, conjuntos, 19 Dívergência de uma seqüência, 94, 124 Domínio de urna função, 25

E Elemento(s) de um conjunto, 16 identidade de um corpo, 39 irracionais de um corpo, 42 Equação diferencial, 235 Eqüicontinuidade, 176 et seq. Equivalentes, seqüências, 125 Escalar, produto, 60 Escolha, axioma da, 36 Esfera num espaço cartesiano, 64 Espaço anulador, 347 métrico, 65, 77 nonnado, 61 com produto interno .. 61 topológico, 77 vetorial, 59 Eu!er, L., 335 • Exponencial, função, 53,140, 192, 298 Extensão de uma função, 27 de urna função contínua, 174 et seq. Extremo, 355

F Fecho de um conjunto, 73, 378 Fejér, L., 306 teorema de, 306 Fourier, JAt J ') 298 coeficientes de, 299 série de, 298 er seq. série de co-senos de, 309 série de senos de, 309 Fresnel, A., 242 integrai de, 242 FrobenJus, G., 297 F romeira, ponto, 71, 378 Função, 24 et se.q. aditiw, 139, 390 afim, 316 beta, 259 bijeti\"a, 30 bilinear, 3 36 de classe C 1 , 338 composição, 28 conte!Ído, 378, 381

contínua, 132 contradomínio de uma, 25 convexa, 195 crçscente, 140 decrescente, 140 derivada de uma, 181,315 díferenciável, 315 domínio de uma, 25 escada, 158

/

exponenci~,S3,140,192,298

Gamma, 243, 258 harmõnia, 367 hiperbólica, 195 homogênea, 335 imagem direta de uma, 31 imagem inversa de uma, 31 ímpar, l85, 300 · injetiva, 29 inversa, 29 continuidade da, 149 linear, 141 logaritmo, 53, 140, 193, 218 monotõnica, 140 par, 185 , 300 parcialmente contínua, 299 parcialmente linea~:, 159 periódica, 156, 299 polinomial, 138 positivamente homogênea, 335 raiz quadrada, 30 semicontfnua, 169 ~eno inverso, 30 sobrejetiva, 30 transformada de Laplace de uma, 259 trigonométrica, 19 3 ec seq ., 219, 297 valor absoluto, 138 de variação limitada, 207 Funcional linear, 227 Funções ortonormais, 311

· -.. '

G Gamma, função, 243,258 Gauss, C. F., 90 Geométrica, média, 66, 367 série, 264 Gradiente, 322 Graves, L M., 340 H

Hadarnard, J., 290 Hardy, G. H., 238 Harmônica., função, 367 série, 265 Heíne, E., 78 Heine-Borel, teorema de, 7 8 Helly, teon•.miJ da seleção de, 209 Hiperbólica, função, 195 Hipergeométrica, série, 277

425

Homogênea, função, 335 H
I Identidade, elemento, de um corpo, 39 do paralelogramo, 65 · Igualdade de Parseval, 306 Imagem, 25, 31,32 · direta, 31 inversa, 31 infimo, 47 propriedade ·do, 49 . - '>9 _ InJeçao, Injetiva, aplicação, teorema da, 339

função, 29

Integrabilidade, teoremas sobre, 199, 209·211, 374,384,389 Integração por partes, 202, 214 Integrais iteradas, 226, 250 et seq ., 384 et seq. limites de, 128 et seq.

supremo, 51

transformações de, 21 S, 394 et seq. Integral, 196 et seq ., 371 er seq. imprópría, 236 et seq. inferior, 207. 3 77 infinita, 238 et seq. parcía!, 238 superior, 207, 377 teste da, para séries, 213 !.ntegranuo, 498 Interior, de um conjunto, 73,378 máximo, 182 ponto, 7l Inversão, apticaç:Io, em C, 91 teorema da, 342, 354 Intervalo, de convergência, 290 em R, 55 unitário, 55 J

Jacobi, C. G. J., 320 Jacobíano, determinante, 320 teorema sobre o, 394

K K.ronecker, L., 50

L Lagrange, J .-L, 66 identidade de, 66 mu!tiplicado;es (!e, 359 e t seq. Landau, E., 125

Laplace, P.'S., 15 9

transformada de, 259 IH seq. Lateral, condição, 359 Lebesgue, H., 81 critério de i.nlegrabilidade de, 389

4-26

integra{ de, 196 número de, 81 teorema da cobertura de, 81 Leibniz, G. W., 318 fórmula de, 225 teste de, para séries alternadas, 280 Lema da aproximação, 339

L'Hõpital, G. F., 188 Lipschitz, R., 153 condição de, 153 Limitada, função, 117 seqüência, 95 variação, 207 Lirnite, ã direi ta, 170 duplo, 127

de uma se.qüência, 127 et seq. de uma série, 282 et seq. de uma função, 165 inferior, 1 21 i.nflnito, 124 não·restrito, 165 restrito, 165 de uma seqüência, 94 de uma seqüência dupla, 127 superior, 121,167 Linear, função, 14 1 funcional, 2?.7 transformação, 134 Logaritmo, 53,140,193,218 M MacLaurin, C., 273

McShane, E. J ., 364 Maior inteiro, função, 140 Malha, 386 ' . 11 M . aquma, Matriz, 142

Máximo, relativo, 181,355 teorema do valor, 14 8 Médía a.ritmi!ica, 126,367

Medida zero, 376 Membro de um conjunto, 17 Mertens, F., 284 Método diagonal, 36, 178, 209

Métrica, 65 discreta, 66 Mínimos quadrados, 366 Minkowski, H., 67 desigualdade de, 67, 368 Modelos, para R, 51 Mudança de variável, 215, 395 et seq. Multip\icução de séries de potências, 292 et seq. Mu!Hplicadores de Lagrang~::, 359 et req.

N Newton, método de, 337 Norma, 60 con verg!Cnda em, p
-.. .. ,r

'

de uma função, 117, 232 de uma matriz., 144 de uma partíção, 206 unifonne, ll 7 et seq. de um vetor, 61 Nulidade, 34 7 Números, complexos, 18, 88 et seq. naturais, 18 racionais, l 8, 41 • reais, 38 et seq.

o O,o,l25 Operação binária, 38 Ordem em R, propriedade de, 4 2 er seq. Oscil.a.ção de uma função, 156

p Par ordenado, 22 Paralelepípedo, 74 Paralelogramo, identidade do, 65 Parametriz.ação, teorema da, 348 Parcial, aplicação, 324 derivada, 314 integral, 238 produto, 277 soma, 262, 278, 282 Parcialmente contínua, função, 298 Parseval, igualdade de, 306 Parte, imaglnária,. 89 real, 89 Partição, 197, 3 71 Peano, curva de, 371 Periódica, funçãó, 156, 299 Perpendicular, 65 Poü~onal, curva, 86 Polinômio de Bemstein, 160 trí~onométrico, 301 Pólya, G., 164 Ponto, de acumulação, 74 ~

~

crítico, 356

exterior, 71 fixo, 153 fronteira, 71, 378 interior, 71 mais próximo, teorema do, 82 de sela, 356 Posto, 347 teorema do, 350 Potência de um número real, 4 2, 5 2·5 3 Prirneíro teorema do valor médio, 212, 213 Princípio da boa ordenação, 34 Produto, de Cauchy, 284 escalar, 60 de funções, 137 infinito, 277 interno, 60, 233

-

"t

\

de um real por um vetor, 60 de seqüências, 93 Propriedade arquimediana, 49 Prop~iedades algébricas de R, 38 et seq.

,.· i \..

Q

·•

'

\ ....

Quociente, de funções, 137 de seqüências, 93

R Raabe, J. L, 271 teste de, 271 Raio, 55 de convergência, 290 Raiz, multiplicidade de uma, 191 simples, 191 teste da, 269 Razão, teste da, 270 Reag.rupamento, teorema do, 266 Real, paite, 89 Regra da cadeia, 3 24 Resto, no teorema de Taylor, 192, :.223 forma de Cauchy do, 191 forma integral do, 223 forma de Lagrange, 191 Restrição, de uma função, 27 Riemann, G. F. B., 196 critério de íntegra bilidade de, 209 integral de, em R, 198 em RP, 372 soma de, 197, 3 71 Riemann·Lebesguc, !~ma de, 302 Riemann·Stieltjes, integral de, 196 er seq. soma de, 197 Riesz, f., 228 teorema da representação de, 228 RoHe, M., 182 teorema de, 182

'\'

[ (.

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\.' I .

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\

Salto de uma função, 140 Schoenberg, I. J., 3 76 Schwarz, H. A., 63 Schwartz, J. T., 396 Segundo teorema do valor médio, 214 Sela, ponto de, 356 Semícontinuidade, 169 Seqüência(a), 92 et seq. de Cauchy, 108 convergente, 94 diferença de, 9 3, 1 01 divergente, 94, 124 ·dupla, 127 equ~ valcn,tes, 125 em um espaço cartesiano, 92 e.m urn espaço métrjco, l 03 de ft~nções, l 1.2 et seq ., 156 et seq. iterada, 128

(

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{

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{

'•

427

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.-····

limitada, 94 limite de uma, 94 de médias aritméticas, 126 monotônica, 104 não-limJ tada, 124 produto de, 93, 101 soma de, 93, 101 Séríe(s), 26 2 et seq. abso!u ta mente convergente, 264 alternada, 280 condicionalmente convergente, 264 de co-senos, 329 dupla, 282 et seq. de Fourier, 298 et seq. de funções, 286 et seq. geométrica, 264 harmônica, 265 hipergeométrica, 277 infinita, 262 et seq. p, 265 de potências, 289 et seq. reagrupamento de, 266 et seq. Simples, raiz, 191 Sobrejeção, 30 Sobrejetiva, função, 30 aplicação, teorema da, 340 Sólido, de revolução, 404 Soma, de dois vetores, 59 de duas funcões, 59, 137 de duas seq ilências, 93 . I 1<=? parem. -vde Riemann, 197, 3 71 de Riemunn-S ti e! tje~, 197 Somabilidade de Abel, 294 de Cesàro, 126, 306 Stíe!tjes, T. J ., 196 Stírling, L, 220 fórmula de, 220·221 Stone, M. H., 171 teorema da aproximação de, 171 Stone-Weierstrass, teorema de, 172 Subconjunto, 17 Subseqüência, 99 Supremo, 47 iterado, 51 norma do, 118 propriedade$ do, 49 T

Tangente, espaço, 3 23, 3 53 pbno, 316,3]3,353

reta, 323

Tauoor, A., 295 Teorema, 295 Taylor, B., 190 teorema de, 190,223,334

428

Tchebichev, P. L., 68 desigualdade de, 68 Teorema(s), da aplicação injetiva, 339 da a pro 1'imação de Bemstein, 161 de Bernstein, 293 de Bolza no-Weierstrass, 7 5, l07 da categoria, 83 de Cauchy-Hadamard, 290 do contorno círcunscrevente, 82 de função implícita, 344,354,355 fundamenta! da álgebra, 90 fundamental do c..{\culo íntegra!, 213 de Heine·Borel, 7 8 da inversão, para continuidade, 157, 2 24, 24 7,

287

.

para diferenciação, 189,225,248, 287,291 para integrais infinitas, 24 7 et seq. para integração, 272 et seq ., 224 et seq ., 287 et seq ., 291, 384 et seq. para seqüências, 157, 189, 272 et seq., 250 et seq. para séries, 287 et seq ., 291

Teste(s), de comp:u:ação, 240, 268 de convergência de séries, 268 et seq. da derivada segunda, 357 da integral para séries, 273

da razão, 270

Tíetze, H., i 7 4 teorema da extensão de, 174 Topologia, 69, 77 Transformação, 27 de integrais, 215, 395 et seq. Unea.r, 234

Tran:>IJ.H;áo, de um conjunto, 83

Triângu.!o. desigualdade do, 46, 63 Trícotomia, propriedade da, 43

u União de conjuntos, 18 Unícídat!e, teorema da, para séries de potências, 292

v Valor absoluto, de uma função, l38 de um número complexo, 90 de um número real, 45 Valor de uma função, 25 Valor ínterm~diário. teorema do, 147 Valor médio, teorema(s) do, para derivadas em R, 183 et seq. para derivadas em RP, 328 et seq. para integrais em R, 2.12, 213+2i4 para integrais em RP, 383 Vetor, componentes de um, 63 Vetore~ ortogonais, 65 Vínculo, 359 Vizinha n\ia, 70

w Wallis, J., 220

produto de, 220 Weierstrass, K., 7 5 teorema da aproximação de, 163,173, 307

Teste-M, para integrais infinitas, 245 para séries, 288

....z

Zero, conteúdo, 369 medida, 376

429