Elektromagnetik Alan Teorisi - Mith=WluLnBkZg=-2_2.pdf

ELEKTROMAGNETİK ALAN TEORİSİNİN TEMELLERİ

MİTHAT İDEMEN

İstanbul, 2004


2

ÖNSÖZ

Çağdaş mühendislik dallarının oldukça geniş bir grubu elektrik (veya, elektromagnetik) sözcüğü ile ifade edilen olayların üzerine oturur. Bir mühendisin amacı, veya görevi, bunlardan yararlanarak insanın yaşamını daha güvenli ve daha konforlu yapacak önlemler almak, aletler geliştirmektir. Söz konusu olaylar doğada karşımıza kolayca sayamayacağımız kadar çok değişik biçimde çıkmaktadır. Örneğin, Güneş’ten çıkıp bize kadar erişen ve hem görmemizi hem de ısınmamızı sağlayan ışık olayı bu gurubun içindedir.Işık, biraz önce sözü edilen iki önemli etkinin yanı sıra, özellikle de göremediğimiz haliyle, bitkilerin bünyesinde oluşan biyolojik olayların gelişmesine de katkıda bulunur ve, böylece, hayatın en önemli etkenlerinden biri olur. Duyu organlarımızla ışığı bazan hissederiz, bazan da hissedemeyiz. Bunun gibi, sinirlerin iletim mekanizmasının, kalbin düzenli hareketinin, beyindeki olayların temelinde de hep elektrik olaylar yer alır. Bu saydıklarımızda oldukça küçük ölçekte güçler açığa çıkar ve bunların aksaması her şeyi altüst eder. Buna karşılık, güncel hayatımızda çok kullandığımız elektrik motorları ve diğer kontrol ve kumanda cihazlarında oldukça büyük çapta güçler harcanır. Yıldırım ve şimşek de bu türden olaylar arasındadır. Aslında maddenin temel davranışları, genellikle, sadece elektrik olaylara dayanır ve, dolayısyla, bu olayların kimya, fiziko-kimya, biyoloji v.b. doğal bilimlerde de önem kazanmasına neden olur. Bu nedenle, konuları doğrudan doğruya elektrik olan elektrik ve elektronik mühendislerinin yanı sıra, konuları değişik türden doğal olayları içerenlerin de (doktor, eczacı, biyolog, meteorolog, jeofizikçi, jeolog, tarımcı, v.b.) görevlerini iyice yapabilmeleri ancak elektrik olayın temelinde yer alan evrensel yasaları bilmekle mümkündür. Bu kitabın amacı, sözü edilen dallarda üniversite öğrenimi gören gençlere elektriğin temel yasalarını öğretmekten ibarettir. Elektrik kökenli olaylar, biraz önce de belirtildiği gibi, maddenin var olması ile beraber ortaya çıkmış bulunmaktadır. Buna karşın, insanın bunu farkedebilmesi oldukça geç, ancak ikibinbeşyüz yıl önceleri mümkün olabilmiştir.Bu güne kadar geçen zaman içinde harcanan ve git gide yoğunlaşan çabalar bugün bizi belirli bir bilgi düzeyine eriştirmiş bulunmaktadır. Bu bilgi düzeyi, geçmişte, yeryüzünün değişik köşelerinde, bazan biribirinden habersiz olarak peş peşe tekrar edilmiş bulunan sayısız deneyler, iddialar, tartışmalar, yanılgılar ve yeni iddialar üzerine oturur ve bugün bize, gözlemekte olduğumuz bütün elektrik olayları çok az sayıda yasa ve temel kavram arcılığı ile açıklamak olanağını verir. İnsanoğlunun elektrik bilgisinin tarihsel gelişimi hem uygarlığın hem de bütün doğal bilimlerin ve felsefenin

ÖNSÖZ

tarihsel gelişimi ile apaçık bir parallelik gösterir. Aşağıdaki küçük tablo bu konuda özet bir bilgi edinmemize olanak verir. Yıl _____________ M.Ö.VI. yüzyıl

Olay _____________________________________________________ Thales’in yaşadığı zamanlar.Kehribar’ın sürtünme ile tozları çekme özelliği kazanabildiğinin keşfi. Demir tozlarını çeken mıknatıs taşların keşfi. M.S.XVI. yüzyıl Cam, reçine, kükürt vb maddelerin çekme özelliğine sahibolduğunun keşfi. Yalıtkan ve iletken deyimlerinin kullanılmaya başlanması (Gilbert, 1544-1603). 1730 Yalıtılmış iletkenlerin dokunma ile elektriklenebileceğinin keşfi (Stephan Gray, 1670-1736). 1733 Sürtünme ile camın kazandığı elektriğin ebonitin kazandığından farklı olduğunun keşfi. (+) ve (-) yük kavramı (Charles du Fay, 1698-1739). 1750-1754 Uzaktan etki (induction) ile elektriklenmenin keşfi (Canton, 1718-1722 ; Benjamin Franklin, 1706-1790). 1770 Sürtünmenin elektrik yaratmadığının, iki cisim arasındaki elektrik dengesini bozduğunun keşfi (Watson, 1710-1787; Benjamin Franklin, 1706-1790). 1785 Coulomb yasasının keşfi. İletkenlerdeki yükün sadece yüzeyde bulunduğunun keşfi (Coulomb, 1736-1806). 1787 Altın yapraklı elektroskop’un keşfi (Bennet). 1799 İlk üretecin yapımı (A.Volta, 1745-1827). 1800 Suyun elektrolizi (W.Nicholson, 1753-1815; A. Carlisle, 1768-1840). 1801 Akımın teli akkor hale getirdiğinin keşfi (Thenard, 1777-1857). 1807 Elektrik aracılığı ile alkali madenlerin ayrılması (Davy, 1778-1829). 1811 Elektrik arkının keşfi (Davy, 17778-1829). 1819 Elektrik akımının mıknatıslı iğneyi saptırdığının keşfi (Örsted, 17771851). 1820 Elektrik akımı ile çelik iğnenin mıknatıslanması (F.Arago, 1786-1853). Elektrik akımının yarattığı magnetik alanın ölçülmesi (Biot, 1774-1862; Savart, 1791-1841) ve bir yasa şeklinde ifade edilmesi (Laplace, 17471827). 1821 Termoelektrik pil (Seeback, 1770-1831). 1822 Bobinin elektrodinamik teorisi (Ampère, ******). 1823 İlk elektromıknatıs ( Sturgeon, ******). 1827 Direnç kavramı ve Ohm yasası (Ohm, 1787-1854). 1831 Endüksiyon olayının keşfi ve mekanik enerjinin elektrik enerjisine dönüştürülmesi (Faraday, *****). 1832 Öz-indükleme katsayısı kavramı (Henry, 1797-1878).Lenz kuralının keşfi (Lenz, 1804-1865). 1837 Lenz kuralının kapalı devrelere uygulanması (Pouillet, 1790-1868). 1841 Akımın ısı etkisinin ve buna ilişkin yasanın keşfi (Joule, 1818-1889). 1843 İlk telgraf aletinin kullanılışı (Morse, 1791-1872). 1845 Öz-indükleme katsayısının teorik hesabı, potansiyel kavramı (Nuemann, 1798-1895).


Yıl _____________ 1855 1873 1876 1880 1882 1887 1890 1895 1895-1896 1897 1905 1911 1961-1968

4

Olay _____________________________________________________ Foucault akımlarının keşfi (Foucault, 1819-1868). Elektromagnetizmanın genel teorisi (Maxwell, 1831-1879). Hızlı dönen bir elektrikli çarka yaklaştırılan mıknatıslı iğnenin saptığının keşfi (Rowland, 1840-1901). Piezoelektrik olayın keşfi (J.Curie, 1855-1941; P.Curie, 1859-1906). Histerezis olayının keşfi (Ewing, 1855-1935). Elektromagnetik dalgaların deneyle gözlenmesi, Hertz dipolü kavramı (H.Hertz, 1857-1894). İlk radyo alıcısının yapımı (Branly, 1844-1940). İlk anten (Popoy, 1859-1905).Uzak mesafelere telsiz telgraf işareti nakli (Marconi, 1874-1937). Elektron’un, fotoelektrik olayın, gazlarda deşarjın, X ışınlarının ve radyoaktivite’nin keşfi (H. Becquerell, 1852-1908; M.Curie, 1867-1934; P.Curie, 1859-1906).Elektron teorisi (H.A.Lorentz, 1853-1928). e/m nin ölçülmesi (J.J.Thomson, 1856-1940). Özel rölativite teorisi, foton kavramı (Einstein, 1879-1955). Elektron’un yükünün ve kütlesinin deneyle belirlenmesi (Millikan, 18681953). Elektromagnetik ve zayıf etkileşmelerin birleşik teorisi (Glasgow, 1961- ; Weinberg, 1964- ; Salam, 1968- ).

Bugün yeryüzünün hemen her tarafında, bütün dillerde aynı şekilde kullanılmakta olan elektrik ve magnetik sözcükleri de 2500 yıllık bir serüvene sahiptirler. Elektrik sözcüğü, bu türden olayların ilk defa farkedilmesine neden olan sarı kehribar’ın Grek dilindeki karşıtı olan elektron’dan türemiştir. M.Ö. VI. yüzyıldan itibaren elektron ile belirtilen olay klasik latin dilinde electrum şeklinde ifade edilmiş ve XVII. yüzyıldan itibaren de bilimsel latincede electricitas sözcüğü kullanılmaya başlanmıştır. 1733 den sonra yazılan fransızca metinlerde électricité sözcüğü gözükmeye başlamış ve büyük değişikliklere uğramadan diğer dillere girmiştir. Benzer şekilde, magnetik sözcüğü de mıknatıslı taşların ilk defa görüldüğü bir Grek kolonisinden, Magnezya’dan gelir. Bugün Manisa olarak adlandırdığımız bu yörede bolca bulunan ve demiri çekme özelliğine sahip olan bir maddeyi belirtmek için önceleri magnezya taşı anlamına gelmek üzere magneslitos deyimi kullanılıyordu. Bu sözcük latinceye magneticus şeklinde geçti ve 1617 den sonra yazılan fransızca metinlerde de magnétique olarak yer almaya başladı.

İÇİNDEKİLER

İÇİNDEKİLER BİRİNCİ BÖLÜM. Temel varsayımlar 1.1 Giriş 1.2 Galile referans sistemleri ve eylemsizlik ilkesi 1.3 Evrensel çekim ilkesi 1.4 Evrensel çekim yasası 1.5 Hareket yasası 1.6 Elektrik etki ve elektrik yük İKİNCİ BÖLÜM.Elektrostatik A. Boşlukta elektrostatik olay 2.1 Coulomb yasaı 2.2 Elektrostatik alan ve alan çizgileri 2.3 Elektrostatik potansiyel ve potansiyel enerji 2.3.1 Örnek (elektrik dipol) 2.4 Gauss ve Poisson denklemleri 2.5 Değişik türden yük dağılımları ve Dirac distribüsyonu 2.5.1 Dirac distribüsyonu 2.5.2 Dipol dağılımları B. Boş olmayan uzayda elektrostatik olay 2.6 Alan ve bünye denklemleri 2.7 Sınır koşulları ve elektrostatiğin esas problemi 2.8 Yüzeysel yüke etki eden kuvvet 2.9 Logaritmik potansiyel kavramı 2.10 Denk problemler ve denk kaynaklar. Görüntü kavramı 2.11 Elekrtostatik enerji yoğunluğu 2.12 Kapasite ve kondansatör kavramı ÜÇÜNCÜ BÖLÜM. Magnetostatik A. Boşlukta magnetostatik olay 3.1 Lorentz kuvveti 3.2 Akım alanı ve Biot-Savart yasası 3.2.1 Örnek. Bir çizgisel akımın alanı 3.3 Vektör potansiyel ve magnetik alanın temel denklemleri B. Boş olmayan uzayda magnetostatik olay 3.4 Alan ve bünye denklemleri. Sınır koşulları 3.5 Akım devrelerinin birbirine etkisi. Ampère formülü 3.6 Magnetik alanın sirkülasyonu. Ampère formülü 3.7 Magnetik devre kavramı 3.8 Magnetik enerji yoğunluğu 3.9 İletken ortamlar ve durgun elektromagnetik alanlar 3.9.1 Ohm bağıntısı ve bazı sonuçları 3.9.2 Joule olayı ve Poynting bağıntısı 3.10 Bir yüzeysel akıma etki eden kuvvet 3.11 Magnetik dipollar ve sabit mıknatıslar


DÖRDÜNC BÖLÜM. Elektromagnetizma 4.1 Maxwell denklemleri 4.2 Bazı ilk sonuçlar 4.2.1 Genişletilmiş Ampère formülü 4.2.2 Faraday endüksiyonu A. Elektromotor kuvvet B. Öz vekarşıt endüktans kavramları. Devre teorisinin temel denklemleri 4.3 Bünye denklemleri 4.4 Basit ortamlarda temel bağıntılar 4.4.1 Rölaksasyon zamanı 4.4.2 Dalga denklemi 4.5 Basit olmayan bazı ortamlar 4.5.1 Anizotrop ortamlar 4.5.2 Bellekli ortamlar 4.5.3 Yöresel olmayan ortamlar 4.5.4 Lineer olmayan ortamlar 4.6 Elektromagnetik enerji akısı 4.7 Enerjinin yayılma hızı 4.8 Elektromagnetik alanın potansiyellerle ifadesi 4.8.1 Vektörel ve skaler potansiyeller 4.8.2 Gecikmeli potansiyel kavramı ( = 0 hali) 4.8.3 Hertz vektörü ( = 0 hali) 4.8.4 İki skaler yardımıyla gösterilim ( = 0, J = 0,  = 0 hali) 4.8.5 (4.19b) nin ispatı 4.8.6 Uygulama-1. Basit dielektrik ortamda düzgün doğrusal hareket yapan bir noktasal yüke ilişkin potansiyeller 4.8.7 Uygulama-2. Basit dielektrik ortamda ivmeli hareket yapan bir noktasal yüke ilişkin potansiyeller (v < c hali) BEŞİNCİ BÖLÜM. Distribüsyon anlamında Maxwell denklemleri. Yüzeysel yükler ve süreksizlikler 5.1 Distribüsyon anlamında Maxwell denklemleri 5.2 Basit ortamların sınırındaki koşullar 5.2.1 Bir mükemmel iletken yüzeyin üzerindeki sınır koşulları 5.2.2 Sınırlı iletkenliğe sahip bölgelerin arakesitindeki sınır koşulları 5.3 Maddesel yüzeyler üzerindeki sınır koşulları ALTINCI BÖLÜM. Elektromagnetik alanın farklı Galile sistemlerinde geçerli olan ifadeleri.Özel rölativite teorisi 6.1 Skaler ve vektörel potansiyelin dönüşüm kuralı 6.2 Poincaré- Einstein rölativite ilkesi. Lorentz dönüşüm formülleri 6.3 Lorentz dönüşümünün bazı ilk sonuçları 6.3.1 Limit hız kavramı 6.3.2 Uzunlukların dönüşümü 6.3.3 Zaman aralıklarının dönüşümü 6.3.4 Hızların toplamı ve dönüşümü 6.4 Elektromagnetik alanın dönüşümü 6.5 Elektromagnetik alanın bağıl görünümünün bazı sonuçları 6.5.1 Elektrik yükünün değişmezliği (gereksiz)

6

İÇİNDEKİLER

7

6.5.2 Kuvvetin dönüşüm kuralı 6.5.3 Kütlenin hızla değişimi 6.5.4 Görünen bünye bağıntıları YEDİNCİ BÖLÜM (EK). Bazı matematik hatırlatmalar

Dizin


8

BİRİNCİ BÖLÜM

TEMEL VARSAYIMLAR

1.1 Giriş Birbirinin yakınında bulunan cisimlerin birbirine uzaktan bir etki uyguladığı, eğer herhangi bir engel yoksa bu etki ile birbirinin konumunu ve durumunu değiştirmeye çalıştığı, çok eski zamanlardan beri gözlenmekte olan bir gerçektir. Fizik, bu türden etkileşmelerin, bazan farkedemeyeceğimiz kadar küçük olsalar bile, bütün cisimler arasında varolduğu varsayımına dayanarak fiziksel olaylar diye tanınan olayları açıklamayı amaçlayan bir bilimdir. Yüzyıllar, hatta binyıllar boyunca süren bu incelemeler bizde, sözünü ettiğimiz etkinin iki kısımdan oluştuğu inancını yaratmıştır*. Mekanik etki adını verebileceğimiz birinci kısım her zaman çekme şeklinde kendini gösterir ve bütün cisimler arasında, karşılıklı olarak, her zaman hissedilir. Etkinin ikinci kısmı ancak bazı cisimler arasında, bazı özel durumlarda birinci kısma ek olarak gözlenir. Bu etki bazan çekme, bazan da itme hatta, hareket sözkonusu olduğunda, daha da değişik bir yöndedir. Örneğin, bir kehribar çubuk bir kumaşa birkaç defa sürtüldükten sonra etrafındaki tozları gözle görülebilir bir etkiyle çeker duruma gelir. Önceleri kehribar aracılığı ile sezinlenmiş bulunan ve Thales † zamanından beri bilinen bu etki, daha sonraları, kehribarın Yunanca karşılığı olan elektrondan esinlenerek, elektrik etki adını almıştır. Çoğu kez var olmayan (veya, hissedilmeyen) elektriksel etki bazan mekanik etkiye göre çok daha şiddetli olur. Elektromagnetik teorinin amacı elektriksel etkileşmeleri, büyük ölçekte (makroskopik boyutta) incelemektir. Bu inceleme, bütün bilimlerde yapıldığı gibi, mümkün olduğu kadar az sayıda olan ve mümkün olduğu kadar basit bir biçimde ifade edilmiş bulunan bir takım varsayımlar üzerine oturtularak yapılır. Bu varsayımlar kümesi, şüphesiz, tek ve belirli değildir. İncelemenin kapsamına ve incelemeyi yapanın sahip olduğu matematik bilgisinin düzeyine göre değişik varsayımlar sözkonusu olabilir. Bu kitapta bizim temel olarak alacağımız varsayımların bazıları son derecede basit ifadelere sahip olduğu halde bazıları oldukça karmaşık matematik bağlantılar şeklinde olacaklardır. Yüzyıllar boyunca harcanmış çabaların mirasına konmuş bulunan bizlerin bu türden varsayımlar ortaya koymamız yadırganır olmamak gerekir. *

Farklı cisimler arasında söz konusu olan bu etkileşmelerin yanı sıra, atomun ve çekirdeğin iç yapısında söz konusu olan iki etkileşme daha vardır. Bakınız: Böl. 2.1, uyarı 3. † Thales M. Ö. VI. Yüzyıl’da Miletos’da yaşamıştır.

İÇİNDEKİLER

9

Esas konumuza ilişkin varsayımları sıralamadan önce, şüphesiz, bazı temel matematik ve kinematik kavramlara ve bilgilere sahip olduğumuzu varsaymak gerekir. Örneğin, nasıl ölçeceğimizi bildiğimiz bir zaman, hız ve ivme kavramına sahip bulunduğumuzu kabul ediyoruz. Bundan sonra, elektromagnetik teoriyi dayandıracağımız varsayımlar ve bunlardan çıkaracağımız ilk sonuçlar şunlar olacaktır: Temel varsayımlar______________

İlk kavramlar ve sonuçlar________

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Galile referans sistemi Sükunetteki kütle, kuvvet Çekim alanı Hareketteki kütle Elektrik yükü Elektrik alan, deplasman alanı Magnetik endüksiyon Magnetik alan Deplasman akımı, Faraday endüksiyonu, elektromotor kuvvet Yüzeysel yük ve yüzeysel akım, sınır koşulları Lorentz dönüşüm formülleri, Dört boyutlu uzayzaman, Elektromagnetik alanın, kuvvetin ve Konu:kütlenin dönüşüm formülleri, Doppler olayı.

Eylemsizlik ilkesi (Newton) Evrensel çekim ilkesi (Newton) Evrensel çekim yasası (Newton) Hereket yasası Elektrik etki ilkesi Elektrik çekim yasası (Coulomb) Lorentz kuvveti Biot-Savart yasası Maxwell denklemleri

10.Distribüsyon anlamında Maxwell denklemleri 11.Elektromagnetik Alanın Değişik sistemlerde geçerli olan ifadeleri. Özel Rölativite teorisi (Einstein)

Yukarıdaki ilkelerden 1, 2, 3, 4 ve 11 rasyonel mekaniğin dayandığı ilkeler arasında da yer alırlar. Biz incelememizi ilkelerin yukarıdaki sıralanışına uygun bir şekilde yürütmeye çalışacağız. Sadece onuncu varsayım daha ikinci bölümden itibaren, devamlı bir şekilde kullanılacaktır. Aşağıda sık sık noktasal cisim, maddesel nokta, noktasal yük gibi deyimler kullanılacaktır. Bu deyimlerdeki noktasal sözcüğünün belirtmek istediği özellik şudur: Eğer bir cismin boyutları incelemeye konu olan diğer boyutlara ve uzaklıklara oranla aşırı derecede çok küçük ise, bu cisme noktasal cisim adı verilir. Vektörel analize ait formüller ve teoremler kitapta yaygın bir şekilde kullanılmaktadır.Okuyucunun bunlara ve diğer matematik kurallara ilişkin bilgilere önceden sahip bulunması veya, gerektikçe, başka kaynaklardan yararlanarak eksiklikleri tamamlaması gerekir. Kitabın sonundaki EK bölüm bazı matematik kavramları hatırlatmak bakımından yararlı olabilir.

1.2 Galile Referans Sistemleri ve Eylemsizlik İlkesi (Newton) Bütün varlıkların konumunu ve durumunu belirtmeye elverişli bir referans sisteminin, örneğin bir Oxyz kartezyen koordinatlar sisteminin net bir şekilde tanımlanmış buluduğunu düşünelim. Bu referans sisteminin maddesel bir niteliğinin bulunmadığını ve, dolayısıyla, diğer cisimler üzerine hiç etki uygulamadığını varsayacağız. Böyle ideal bir sistemin iyi bir yaklaşıklıkla nasıl belirlenebileceğine biraz sonra de-


10

ğineceğiz. Aksini açıkça söylemediğimiz durumlarda incelemelerimiz hep bu türden ideal referans sistemlerine göre yapılmış olacaktır. Şimdi bir maddesel noktanın uzayda tek başına var olduğunu düşünelim. Bu halde, varsayıyoruz ki; yukarıda sözü edilen ideal referans sistemi öyle saptanabilir ki; söz konusu maddesel noktanın ivmesi her zaman sıfıra eşit olur. Newton’un* eylemsizlik ilkesi olarak tanınan bu varsayımın açık anlamı şudur: Öyle referans sistemleri bulabiliriz ki; uzayda tek başına var olan bir maddesel nokta, bu sisteme göre hareketsiz veya düzgün doğrusal bir hareket yapıyor, gözükür. Bu özelliğe sahip referans sistemlerine Galile† referans sistemleri adı verilir. Eylemsizlik ilkesinin geçerli olması bakımından Galile sistemlerinin diğer herhangi referans sistemlerine göre bir ayrıcalığı vardır. Örneğin, K0 bir Galile sistemi olsun.Tanım uyarınca, uzayda tek başına var olan bir A maddesel noktasının K0 a göre ivmesi sıfırdır. K0 a göre düzgün doğrusal hareket yapan bütün referans sistemlerinde de A nın ivmesinin sıfır olacağını daha sonra göreceğiz (Bakınız:Böl. 6.3.4).Bu demektir ki; bir Galile sistemine göre düzgün doğrusal hareket halinde bulunan bütün referans sistemleri de birer Galile sistemidirler. Buna karşılık, K0 a göre ivmeli bir hareket yapan herhangi bir sisteme göre A nın ivmesi sıfır olamaz. Yani, böyle bir referans sistemi Galile sistemi olarak düşünülemez. Bir tek Galile referans sistemi saptayıp bütün incelemeleri bu sistemde yapmanın söz konusu olamayacağı açıktır. Bu nedenle, her özel problem için Galile sistemlerinin uygun bir yaklaşığını referans sistemi olarak saptar, incelemeyi bu sistemde yürütürüz. Örneğin, laboratuar içinde yer alan olayları incelemek için laboratuarın kendisini referans sistemi olarak almak ve bunu bir Galile sistemi olarak düşünmek iyi bir yaklaşımdır. Buna karşılık, dünyanın etrafında oluşan olayları incelemek istediğimizde, dünyanın kendisini referans sistemi olarak düşünmek uygun olmaz. Çünkü yeryüzü bir Galile sistemi değildir. Bu halde, dünyanın dönüşünden etkilenmeyen bir sistem saptamak gerekir. Örneğin, merkezi dünyanın kütle merkezinde bulunan, bir ekseni dünyanın dönme eksenine çakışık olan ve diğer eksenleri de sabit iki yıldıza yönelen bir koordinat sistemi referans olarak kullanılabilir. Böyle bir sisteme göre dünya dönen bir cisim durumundadır ve bu dönme hareketinin olaylar üzerine etkisini açığa çıkarmak olanağı da vardır (Foucault sarkacının salınım düzleminin dönmesi, yukarı atılan cisimlerin batıya düşmesi vb.‡). Benzer şekilde, güneş sistemindeki olayların incelenmesinde elverişli olacak bir referans sistemi de, merkezi güneşin kütle merkezinde bulunan ve eksenleri sabit üç yıldıza doğru yönelmiş olan bir koordinat sistemi olarak düşünülebilir. Biz, aksi söylenmedikçe, kullandığımız referans sistemlerinin hep Galile sistemleri veya bunların yaklaşıkları olduklarını kabul edeceğiz.

1.3 Evrensel Çekim İlkesi (Newton) Uzayda sadece A0 ve A1 gibi maddesel iki noktanın bulunduğunu düşünelim. Bu halde, Galile referans sistemlerinde bunların ivmelerinin hiç bir zaman sıfıra eşit olamayacağını varsayacağız.A1 in varlığı nedeniyle A0 ın kazandığı ivme 10, A0 ın varlığı nedeniyle A1 in kazandığı ivme de 01 olsun. Kabul edeceğiz ki; her zaman 10 *

Sir Isaac Newton (Woolsthorpe, Lincoln 1642 - Kensington, Middlesex 1727). Galileo Galilei (Piza 1564 - Arcetri 1642). ‡ Bk. Böl. 1.5, Pr.-2. Ayrıca Bakınız: A. Y. Özemre, Teorik Fizik Dersleri, Cilt 2, sayfa: 37-44, İ.Üniv., Fen Fak. 1976. †

İÇİNDEKİLER

11

ivmesi A0 dan A1 e, 01 ivmesi de A1 den A0 a doğrudur (Şekil-1.1). Bu, A0 ve A1 in birbirini çekmekte oldukları, demektir. Karşı karşıya bulunan bütün maddesel noktaların birbirlerini çekmeye çalıştığını ifade eden bu varsayım evrensel çekim ilkesi adını alır.

A0

A1 01

10

Şekil-1.1 Şimdi A0 ı boşlukta, olduğu yerde sabit tutarak A1 i serbest bırakalım ve serbest bırakma anında A1 e bir ilk hız verilmediğini düşünelim. Bu durumda A1 noktası A1A0 doğrusu üzerinde A0 a doğru harekete geçer. Bu hareketteki ivmenin başlangıç değeri 01 olsun. Aynı işlemi, A1A0 uzaklığını değiştirmeden, A1 i sabit tutup, A0 ı serbest bırakarak tekrar edelim ve A0 ın hareketine ait ivmenin başlan-gıç değerini de 10 ile gösterelim. Varsayıyoruz ki; bu başlangıç ivmelerinin oranı A1A0 uzaklığından bağımsızdır.Bu halde, m1 =

γ 10 γ 01

(1.1a)

sayısı, A0 referans alındığında A1 in bir fiziksel niteliğini tanımlar. Buna A1 maddesel noktasının A0 a göre bağıl kütlesi adı verilir. Eğer A0 kütle için birim kabul edilirse, m0 = 1 olmak ve A0 ın kütlesini göstermek üzere (1.1a) nın yerine m1 =

γ 10 m0 γ 01

(1.1b)

yazabiliriz*. A0 maddesel noktası referans alınarak yukarıdaki deney bütün maddesel noktalar için tekrarlanırsa, bütün maddesel noktalara birer kütle karşı getirilmiş olunur. Geometrik ve kinematik kavramlarla açıklanamayan bir özelliği, yani, maddesel cisimlerin karşılıklı çekme yeteneğini, belirleyen kütle kavramı ile, uzunluk ve zaman boyutlarının yanına yeni bir boyut daha getirilmiş bulunmaktadır. Kütle birimi kilogram olarak adlandırılır. (1.1a) da gözüken ivmelerin serbest hareketin başlangıcındaki ivmeler olduğunu ısrarla vurgulamak yerinde olacaktır. Bu durum, maddesel noktanın hızının sıfır olduğu durumdur. Bu nedenle, yukarıdaki gibi tanımlanmış bulunan kütleye, bazan, sükunetteki kütle de denir.19. yüzyılın sonları ile 20. yüzyılın başlarında, özellikle atom *

Kütlenin bu şekildeki tanımı ilk önce Ernst Mach tarafından önerilmiştir. Bk. E. Mach. Science of Mechanics. 6th American ed., Open Court pub. Co., Lasalle, III, 1960, Ch. III, Sec. V. Eserin aslı 1883’te almanca basılmıştır. Mach’dan önce yapılmış olan kütle tanımları oldukça karmaşıktır. Örneğin, Newton’a göre kütle madde miktarıdır ve, dolayısıyla, bulunması oldukça zordur. Euler’e göre ise kütle, kuvvet ile ivmenin oranına eşittir; yani, kuvvet’den daha sonra tanımlanan bir kavramdır.


12

fiziği çerçevesinde yapılan deneyler göstermiştir ki, kütleyi tanımlamaya yarayan deneyleri yaparken noktaları ilk hızsız olarak serbest bırakacak yerde belirli bir v hızı ile serbest bırakacak olursak, ivmelerin oranı için bulunacak değerlerin (1.1a) ile verilenden farkı (v/c)2 mertebesinde olur. Burada c ışığın boşluktaki hızını göstermektedir. Bu hal, ışığa göre çok yavaş olan hareketlerin söz konusu olduğu durumlarda kütleyi sabit bir sayı kabul ederek olayları incelemenin tatminkar sonuçlar vereceğini gösterir. Klasik mekanik bu yaklaşıklığın bir ürünüdür. 01 ile 10 ın zıt yönlü olduklarını göz önünde bulundurarak (1.1b) yi m0 10 = -m1 01

(1.2)

şeklinde de yazarız. Yani, A0 ın sükunetteki kütlesi ile başlangıçtaki ivmesinin çarpımı, zıt işaretle, A1 in sükunetteki kütlesi ile başlangıçtaki ivmesinin çarpımına eşittir. F10 = m0 10 ,

F01 = m1 01

(1.3)

ile tanımlı F01 vektörel büyüklüğüne A0 ın A1 e uyguladığı kuvvet adı verilir. Benzer şekilde, F10 da A1 in A0 a uyguladığı kuvvettir. İvmelerin özel yönleri nedeniyle bu kuvvetler çekim kuvvetleridir ve (1.2) nedeniyle de bunlar biribirine zıttır. (1.3) deki ivmeler ve kütleler sükunet anındaki değerler oldukları için, F01 ve F10 kuvvetleri de sükunet halinde A0 ve A1 in biribirine uyguladığı kuvvetlerdir. Uzunluğun metre, kütlenin kilogram ve zamanın da saniye ile ölçüldüğü MKS birim sisteminde kuvvetin birimi Newton olarak adlandırılır.

1.4 Evrensel Çekim Yasası (Newton, 1687*) Boşlukta duran ve kütleleri m ve M olan maddesel A ve B noktaları arasındaki uzaklık r’ olsun. Bunların birbirine FAB = - k

mM r'2

eAB

(1.4a)

FBA = - FAB

(1.4b)

ile belirli bir çekim kuvveti etki ettirdiklerini kabul edeceğiz. Burada eAB ile AB yönündeki birim vektör, k ile de, kullanılan birim sistemine bağlı bir sabit gösterilmektedir (Şekil-1.2). Mekaniğin temelini oluşturan bu varsayım Newton’un evrensel

r’

A m

FBA

FAB

B M

Şekil-1.2

*

Newton’un bu yasası 1687’de basılmış bulunan “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” adlı eserinde yayınlanmıştır. Fakat bunun keşfinin 1666’dan daha önce olduğu sanılmaktadır.

İÇİNDEKİLER

13

çekim yasası olarak tanınmaktadır. MKS sisteminde k = 6,670.10-11Newton.m2/kg2

(1.5)

dir. Kütleleri m1, m2, ..., mn olan maddesel A1, A2, ... , An noktalarının, kütlesi m0 olan A0 noktasına uzaklıkları r’1, r’2, ... ,r’n olsun. A1, A2, ... , An nin A0 a etki ettirdiği F0 kuvvetinin, (1.4a) ya benzer olarak, n

F0 = - k m0



mj

2 j  1 r' j

ej

(1.6)

şeklinde yazılabileceğini varsayıyoruz. Burada ej ile AjA0 yönündeki birim vektör gösterilmekte ve A0, A1, ... , An noktalarının referans sistemine göre hareketsiz oldukları düşünülmektedir. A0 a çekim kuvveti uygulayan maddesel noktalar sayılamayacak kadar çok ise, (1.6) nın yerini, çeken noktaların dağılım kuralına uygun olan bir toplama işlemi alır. Örneğin, çeken noktalar bir  hacmini sürekli bir şekilde dolduruyorsa ve d hacim elemanın kütlesi dm = d şeklinde yazılabiliyorsa, F0 = - k m0 

 ed

(1.7a)

2  r'

yazılır.Önceden seçilmiş bir Oxyz kartezyen koordinatlar sisteminde A0 ın koordinatları (x0,y0,z0) olsun ve  içindeki değişken nokta (,, ) ile gösterilsin (Şekil1.3).Bu halde (1.7a) nın açık ifadesi şudur: F0(x0,y0,z0) = - k m0 

 (ξ, η, ζ ) eddd .



r' 2

e r’ d



(,,)

Şekil-1.3

A0(x0,y0,z0)

(1.7b)


14

Burada r’2 = (- x0)2 + (- y0)2 + ( - z0)2

(1.7c)

ve e = {(x0 -  )ex + (y0 - )ey + (z0 - )ez}/ r’

(1.7d)

konmuştur ve ex, ey, ez kartezyen koordinatlar sisteminin bilinen birimsel koordinat vektörleridir. dm = d de gözüken  ya  cisminin kütle yoğunluğu adı verilir. Dünyanın yüzeyine yakın noktalarda bulunan 1 kg’lık bir kütleye 9,81 Newton civarında bir çekim uygulandığı deneylerle saptanmıştır. Çekim kutuplarda bu değerden daha fazla, ekvatorda daha azdır. Problemler Pr.-1. R yarıçaplı bir kürenin içinde  kütle yoğunluğu sabit olsun. Bu kürenin herhangi bir maddesel noktaya uyguladığı (1.7a) çekim kuvvetinin, bütün kütleyi merkezde toplanmış düşünerek (1.4a) ile bulunacak olana eşit olduğunu gösteriniz (Bakınız: Böl. 2.4, Pr.-1). Pr.-2.  yoğunluğu sadece kürenin merkezine olan uzaklığın fonksiyonu olsun. Bu halde, (Pr.-1) deki sonucun gene doğru olduğunu gösteriniz (Bakınız: Böl. 2.4, Pr.-1).

1.5 Hareket Yasası (1.3) bağıntısı, indisleri yazmadığımız takdirde F = m0  =

d (m0v) dt

(1.8a)

şeklinde de yazılabilir. Buradaki türev ve m0, başlangıçtaki değerler; F de A0 a başlangıçta etki eden kuvvettir. Eğer, A0 ın her konumu için F bilinseydi ve (1.8a) da bütün hareket süresince geçerli olsaydı, bu bağıntı A0 ın konumunu t nin fonksiyonu olarak belirlemek olanağını verirdi. Hareketin c ye göre küçük bir v0 ilk hızı ile başlaması ve bütün hareket süresince de böyle kalması halin-de (1.8a) nın verdiği sonuçların çok iyi bir yaklaşıklık sağladığı deneylerle kanıtlan-mıştır. Biz, m0 yerine hızın fonksiyonu olan uygun bir m(v) değeri konmak koşulu ile (1.8a) nın bütün hareket süresince geçerli olduğunu kabul edeceğiz: F=

d [m(v)v]. dt

(1.8b)

Bu varsayım, ilk hızın sıfırdan farklı bir v0 değerine eşit olması halinde de geçerlidir. m(v) fonksiyonu ileride*, onbirinci varsayım’la, m(v) =

*

Bakınız: Bölüm 6.5.4.

m0 2

1 - v / c 02

(1.9)

İÇİNDEKİLER

15

olarak belirlenecektir.Burada c0, ışığın boşluktaki hızıdır. m(v) ye noktanın hareketteki kütlesi adı verilir. (1.9) bağıntısı, hızın kütlenin artmasına neden olduğunu göstermektedir. Pr.-1.Sükunetteki kütlesi m0 olan bir maddesel noktanın, bir F kuvvetinin etkisi altında çizdiği yörünge C olsun. C nin bir A noktasından bir B noktasına gidinceye kadar yapılan W işinin W = m0c2 [

1 1 - v 2B

1

/c

2

1 - v 2A / c 2

]

ye eşit olduğunu gösteriniz. vA = 0, vB << c2 halinde W için yaklaşık bir ifade bulunuz. F m

A

C B

Pr.-2.(Foucault Sarkacı.1851). O kartezyen koordinatlar sisteminin orijini dünyanın merkezinde olsun ve O ekseni dünyanın dönme ekseni ile çakışık, O ve O eksenleri de sabit iki yıldıza doğru yönlenmiş bulunsun. Buna ek olarak, bir de Pxyz sistemi şöyle tanımlansın: P orijini yeryüzündeki bir nokta, Pz ekseni OP ye paralel, Px ekseni P den geçen meridyen dairesine teğet, Py ekseni de P den geçen paralel dairesine teğettir. Bu halde, kütlesi m olan ve Pz ekseni üzerindeki bir Q noktasına ince, kütlesi ihmal edilebilen, uzun bir iple asılı bulunan bir maddesel M noktası denge konumundan ayrılarak, ilk hızsız, serbest bırakılıyor. a) M nin O sistemindeki hareket denklemini yazınız. b)(a) da sözü edilen denklemi Pxyz sistemine dönüştürünüz. c) 2 mertebesindeki terimleri ihmal ederek M nin x ve y koordinatlarının t ile değişimini gösteren fonksiyonları bulunuz ve bunların T = (2)/(cos) peryotlu fonksiyonlar olduklarını gösteriniz (Burada  yerin açısal hızı;  da P deki kutup açısıdır).  

z

y Q P



x

O  

ey P’




16

1.6 Elektrik Etki ve Elektrik Yük Cisimler arasındaki karşılıklı etki bazan (1.4) formülleriyle verilenlerden daha az veya daha çok, hatta, bazan da değişik yönde olmaktadır. Mahiyeti kolaylıkla anlaşılama-yan bazı işlemlerle bu ek çekimi ortadan kaldırmak veya büyültmek mümkündür. Örneğin, bir kumaşa sürülen kehribar, ebonit, cam, reçine, kükürt vb. bazı maddeler veya ısıtılan bazı kristaller* (1.4) ile verilenden çok daha büyük bir çekme özelliğine sahip bulunurlar. Başka cisimlerle temas sonucunda bu ek çekim özelliğinin kaybol-duğu deneylerle saptanmış bulunmaktadır.Bir cismin ek çekim özelliğine sahip bu-lunduğunu belirtmek için onun elektriklenmiş olduğunu veya elektrikle yüklenmiş bulunduğunu söyleriz. Deneyler sürtünme ile camın ve ebonitin kazandığı elektrik yüklerinin biribirinden farklı olduğunu göstermişti†. Sürtünme sonucunda camın sa-hibolduğu elektrik yükü (+), ebonitin sahibolduğu elektrik yükü de (-) işaretle belir-tilmektedir. Deneyler bu işaretlere sahip elektrik yüklerinin bilinen cebir kuralları ile toplanabildiğini göstermiştir. Elektrik yüküne ilişkin olarak yapılan deneyler bizi şu varsayımı kabul etmeye zorlamış bulunmaktadır: Varsayım:Bazı cisimler üzerinde, Newton çekimini arttırıcı veya azaltıcı şekilde etki eden bir elektriksel yük bulunur. Bu yük ölçülebilir ve sakınımlıdır. Yükün ölçülebilir olması, bilindiği gibi, yüklerin eşitliğinin tanımlı bulunması ve q1 ve q2 gibi iki yükün toplamının belirli bir kurala göre yapılabilir olması demektir. q1 ve q2 yüklerinin herhangi bir cisme aynı mesafeden etkileri birbirinin aynı ise, bu iki yük birbirine eşittir, deriz. q yüküne elektriklenmiş cam gibi etki eden bütün yükleri (+), elektriklenmiş ebonit gibi etki eden bütün yükleri de (-) işaretle belirtiriz. q yu ölçmek için kullandığımız birimin tanımı Böl. 2.1 de verilecektir. Bir q3 yükünün herhangi bir cisme etkisi, q1 ve q2 yüklerinin aynı cisme aynı mesafeden yaptıkları etkilerin cebirsel toplamına eşit ise, q3 = q1 + q2 yazarız. Yani, elektriksel yüklerin toplama kuralı adi cebirsel toplama kuralıdır. Yükün sakınımlı olması da, yoktan var edilemeyeceği, var olanın da yok edilemeyeceği anlamındadır. Bu varsayım, elektrik yükünün bir cisimden diğerine taşınıp duracağını söylemektedir.Kütlenin hız ile değiştiğini ve, dolayısıyla, sükûnetteki kütle diye bir deyimin zaman zaman söz konusu olduğunu daha önce belirtmiştik. Burada sözkonusu olan sakınımlı’ lık böyle bir durumun elektrik yükü için söz konusu olmadığını, yani, izole bir cismin sahibolduğu elektrik yükünün her durumda aynı olduğunu, bir varsayım olarak, iddia etmektedir. Deneylere uygun olan bu varsayım, ileride göreceğimiz gibi, özel rölativite teorisinin temelini oluşturacaktır (bak. bölüm-6). Duran elektrik yüklerinin yarattığı çekme ve itme kuvvetlerinin neden olduğu olaylar elektrostatik adını alır. Bu olayları İkinci Bölümde ele alacağız.

* †

Bugün piroelektrik olay olarak bilinen bu özelliği kızılderililer, ısıtılan bazı kristallerin sıcak külleri çekmesi şeklinde, çok eski çağlarda farketmişlerdi. Sürtünme ile elektriklenmenin M. Ö. VII. yüzyılda keşfedilmiş olmasına karşın, elektriklenmenin farklı iki cinsten olduğu ancak XVIII. yüzyılda Du Fay (1698-1739) tarafından keşfedilmiştir.

İÇİNDEKİLER

17

İKİNCİ BÖLÜM

ELEKTROSTATİK

A. BOŞLUKTA ELEKTROSTATİK OLAY 2.1 Coulomb Yasası (1785) Elektrostatik olayları açıklayabilmek için, Coulomb’un* 1785’de yapmış olduğu bazı deneylerle† ortaya çıkardığı itme ve çekme özelliğini, aşağıda ifade edilmiş bulunan şekliyle, bir varsayım olarak kabul edeceğiz: Varsayım: Elektrik yükleri q1 ve q2 olan ve boşlukta karşı karşıya duran‡ iki maddesel noktanın arasındaki uzaklık r’ olsun. Bunlar biribirine, Newton kuvvetine ek olarak, (q1q2)/r’2 ile orantılı§ bir itme kuvveti uygularlar. İkiden fazla yükün varlığı halinde süperpozisyon geçerlidir.

*

Charles de Coulomb (Angoulême 1736-Paris 1806). Bakınız: Collection des Mémoires Publiés par la Société Française de Physique, Gauthier-Villard, Vol. I, 1884, pp. 116-146. ‡ Buradaki hareketlilik veya durgunluk ölçmeyi yapan gözlemciye göre tanımlanmış bulunan özelliklerdir. § Coulomb’dan bir yüzyıl kadar önce Newton böyle bir varsayımı mekanik etkileşim için söylemiş bulunmaktadır. Elektrik etkileşiminin de (1/r’2) ile orantılı olacağı Coulomb’dan önceleri başkaları tarafından da ileri sürülmüştür. Örneğin bak.: - J. Priestley; The History of Present State of Electricity, with Original Experiments, London, 1767, p: 732 ve - J. Robinson; Mechanical Philosophy, Edinburg, Vol. IV, 1769, p: 73. Yasanın Coulomb adıyla anılmasının nedeni, Coulomb’un burkulma sarkacıyla yaptığı deneylerin daha güven verici ve inandırıcı bulunmuş olmasıdır, diye düşünülebilir. Bütün bu çabaların başlangıcını B. Franklin’e kadar götürmek de mümkündür. Franklin, bir iletken kabuk içinde elektrik alanının sıfır olduğunu gözlemiş; Priestley buna dayanarak elektrik alanının (1/r’2) ile orantılı olması gerektiğini ileri sürmüştür. Çünkü, böyle bir değişimi gösteren kütlesel çekim alanında da Franklin’in gözlediği özellik vardır. Etkinin r’-2+ şeklinde olabileceğini düşünenler de olmuştur. Böyle bir kabul ile Maxwell <10-4 ; Plimpton ve Laughton (1936) ise <10-9 olduğunu deneylerle gös-terdiler. Daha sonraki çalışmalar  = - (2,73,1)10-16 olduğunu göstermiştir (Bakınız: E. R. Williams, J. E. Faller and H. A. Hill, Phys. Rev. Letters, 26, 721 (1971)). †


18

Coulomb yasası adı verilen bu varsayım elektrostatik adıyla bilinen bilim dalının temelini oluşturur. 0, kullanılan birim sistemine bağlı bir sabit olmak üzere, bu yasa, vektörel notasyonla 1

F12 =

4 0

q 1q 2

e12

r' 2

(2.1a)

F21 = -F12

(2.1b)

şeklinde yazılır. F12 ile q1 yükünün q2 üzerine uyguladığı kuvvet gösterilmektedir. e12 ise q1 den q2 ye giden yönde birimsel vektördür. Eğer kuvvetler Newton, uzunluklar da metre ile ölçülecek olursa, elektrik yüklerinin birimi kulon olarak adlandırılır. Tarihi gelişmeler nedeniyle 0 ın değeri 0 =

1 10-9 36

(2.1c)

olarak saptanmıştır. Bu halde, aralarında bir metre bulunan eşit iki yük boşlukta birbirine 9.109 Newton değerinde* bir itme kuvveti etki ettiriyorlarsa, bunların yükü bir kulon’dur. 0, boşluğun dielektrik sabiti veya permitivitesi adını alır. Coulomb yasasının ikinci varsayımı, birçok yükün karşılıklı etkileşmesinin söz konusu olduğu hallerde (2.1a) nın yerini, (1.6) gibi, F=

q 4 0



qi r ' i2

ei

(2.2a)

nin alacağını ifade etmektedir. 1911 yıllarında Millikan’ın† gerçekleştirdiği ve daha sonraları başkaları tarafından da tekrarlanan deneyler elektrik yükünün istenildiği kadar küçük düşünülemeyeceğini göstermiştir.Gözlenebilen en küçük elektrik yükü (1,602.10-19 ) kulon’dur ve her yük, muhakkak, e ile gösterilen bu değerin bir tam katı kadardır. Bununla beraber, eğer bir  hacmi içinde elektrik yükü taşıyan maddesel noktalar çok yoğun bir şekilde bulunuyorlarsa, yükün sürekli bir yoğunlukla dağılmış bulunduğunu kabul etmek ve (1.7a) gibi, F=

q 4 0







r' r'3

( r’ = r’e)

d,

(2.2b)

yazmak oldukça iyi bir yaklaşım olur (Bakınız: Şekil-1.3). Buradaki d ile d hacım elemanı içindeki yük miktarı gösterilmektedir. Yüklerin bulunmadığı bölgelerde  = 0 yazmak koşuluyla (2.2b) yi, bütün uzaya genişletilmiş bir integralle, F=

* †

q 4 0





r' r'3

d

(2.2c)

Bu kuvvet, 1 milyon tonluk bir kütleye yeryüzünde etki eden çekim kuvveti kadardır. Robert Andrews Millikan (Morrison, Illinois 1868-San Marino, California 1953).

İÇİNDEKİLER

19

şeklinde de yazabiliriz. Bu ifade, sağdaki integralin yakınsaması koşuluyla yüklerin bütün uzaya dağılmış olması halinde de anlamlı ve geçerlidir*. Yüklerin sonlu bir bölge içinde bulunması halini de içerdiğinden, bundan sonraki incelemeleri, genellikle, hep (2.2c) ifadesi üzerinde sürdüreceğiz. Modern atom teorisine göre, maddenin en küçük parçası olan atom pozitif elektrik yükü taşıyan ve çekirdek adını alan bir parçacık ile negatif elektrik yükü taşıyan ve elektron adını alan bir çok parçacıktan oluşmuş bir sistemdir. Elektronların yükü birbiri kadardır ve (-e) ye eşittir. J. J. Thomson’un† 1897’de yaptığı deneylere dayanılarak elektronların sükunet halinde m=9,1072.10-31kg lık bir kütleye sahip bulundukları ortaya çıkarılmıştır. Çekirdeğin bizzat kendisi de proton adı verilen yüklü parçacıklarla nötron adını alan yüksüz parçacıklardan oluşur. Protonun yükü e kadardır. Proton ve nötron eşit kütleye sahiptir ve bu kütle 1,6724.10-27kg dır. Uyarılar 1.İki yük arasındaki uzaklık çok küçüldüğü takdirde, örneğin, r’<10-15 m olduğunda, Coulomb yasası geçerli olmamaya başlar‡. Bu uzunluk, proton ve nötronun çapı kadardır. Daha yakın mesafelerdeki etkileşim kuvantum mekaniği kapsamında incelenmektedir. Bu halde, yukarıda sözü edilen etkileşmelere ek olarak, çekirdeğin içindeki olayların açıklanmasını sağlayan kuvvetli ve zayıf etkileşmeler de söz konusudur.Bunlar da göz önüne alınırsa, teorik fizikteki son gelişmelere göre, etkileşmeleri dört gruba ayırmak gerekir. Elektromagnetik, gravitasyonel, zayıf ve kuvvetli etkileşmeler olarak adlandırılmış bulunan bu etkilerin etkin oldukları uzaklıklar ile içlerinden birine oranlanmış bağıl şiddetleri aşağıdaki temel etkileşmeler tablosunda gösterilmiştir: Temel Etkileşmeler etkileşim gravitasyonel zayıf elektromagnetik kuvvetli

etkin olduğu uzaklık  10-16 m  -15 10 m

bağıl etkinlik şiddeti 10-40 10-5 10-2 1

Yukarıda sözü edilen ve ayrı ayrı gözönüne alınan etkileşmelerin gerçekte bir tek etkileşimin değişik bileşenleri oldukları da düşünülmektedir. Böylesine genel bir etkileşimi ortaya koyacak bir birleşik alan kuramı oluşturmak amacıyla yoğun çaba harcanmaktadır. Örneğin, 1960’lı yıllarda S. L. Glashow, S. Weinberg ve A. Salam, zayıf etkileşme ile elektromagnetik etkileşmeyi birleştiren ve elektro-zayıf etkileşme adını alan bir kuram geliştirmeyi başardılar. *

Bakınız Bölüm 2.8. Sir Josheph Thomson (Cheetham Hill 1856-Cambridge 1940). Tarihsel gelişim içinde Thomson’un deneyi Millikan’ınkinden daha önce yapılmış ve (e/m) oranını (1,758.10-11kulon/kg) olarak vermiştir. ‡ Lamb ve Rutherford’un 1947 de hidrojen’in enerji seviyeleri ile ilgili olarak yaptıkları ölçmeler Coulomb yasasının r’  10-10m mertebesindeki uzaklıklar için de doğru olduğunu göstermiştir. Buna karşılık, protonları yüksek enerjili elektronlarla bombalayıp saçılmayı inceleyerek ortaya konan bazı deneysel sonuçlar, r’  10-16m mertebesindeki uzaklıklarda Coulomb yasasının geçerliliğinin artık şüpheli olduğunu göstermiştir. †


20

2.(2.2a) da sözü geçen q1 yükü sabit olduğu halde, q2 yükü herhangi bir şekilde hareket halinde bulunsa da q1 in q2 ye uyguladığı F12 kuvveti (2.1a) ile verilen ifadeye eşit olur, yani değişmez. Bu özellik üçüncü bölümde göreceğimiz varsayımların doğal bir sonucudur. Buna karşılık, hareketli q2 yükünün duran q1 yüküne uyguladığı kuvvet için benzer şey söylenemez; çünkü böyle bir halde kaynak zamanın fonksiyonu olur ve hareketin neden olduğu vektörel potansiyel de elektrik alana katkıda bulunur (Bakınız. Bölüm 4). 3. Yukarıda, evrendeki varlıkları oluşturan en küçük parçacıklar olarak elektron, nötron ve protondan söz etmiştik. Teorik fizikteki son gelişmeler, nötron ve protonun aslında basit parçacıklar olmadıklarını, kuvark adı verilen ve bazıları (2e/3), bazıları da (-e/3) kadar elektrik yüküne sahip bulunan bir takım basit parçacıklardan oluştuklarını göstermektedir. Burada sözünü ettiğimiz basitlik, bir iç yapıya sahip olmamak, şekil ve boyut bakımından gözlenememek anlamındadır. Kuvarklar şimdiye kadar hiç bir şekilde tek başlarına ayrılabilmiş değildirler. Bu nedenle, yukarıda söylemiş olduğumuz, her yük e nin tam katıdır sözü, bizim göz önüne alacağımız olaylar için geçerliliğini henüz korumaktadır. Aşağıdaki basit parçacıklar tablosu, bugün için temel bir kabul görmüş bulunan standart model’e göre, başlıca basit parça-cıkları ve bunların elektrik yükünü göstermektedir.

Basit Parçacıklar

kuvarklar

leptonlar (hafif parçacıklar)

basit parçacık elektron, e muon,  tau,  (ağır lepton) nötrino e nötrino  nötrino  u c t d s b

kütlesi

elektrik yükü

m

-e

200 m

-e

3600 m

-e

0 0 0

0 0 0

etkilendiği etkileşim elektro-zayıf gravitasyon elektro-zayıf gravitasyon elektro-zayıf gravitasyon zayıf zayıf zayıf

10 m 3500 m

2e/3

kuvvetli

20 m 500 m 11000 m

-e/3

kuvvetli

öngörüldüğü veya gözlendiği tarih 1898 1936-1947 1975 1920-1954 1957-1982 1975 19631970-1974 197719631963-1974 -1977

Problemler Pr.-1. Bir küre içindeki yüke ait yoğunluk sadece merkeze olan uzaklıkla değişmektedir. Küre dışındaki bir noktasal yüke etki eden kuvvetin, bütün yük kürenin merkezinde imiş gibi hesaplanabileceğini gösteriniz(Bakınız Bölüm 2.4, Pr.-1).

İÇİNDEKİLER

21

Pr.-2. Pr.-3.

Bir proton ile elektron arasında oluşan mekanik ve elektrik çekim kuvvetlerinin oranını hesaplayınız. Aynı şeyi iki elektron için tekrarlayınız. Newton çekim kuvvetinin Coulomb kuvveti yanında ihmal edilebilecek kadar küçük olduğunu göz önünde bulundurarak, bir elektronun çekirdek etrafındaki hareketini belirten denklemi yazınız.

2.2 Elektrostatik Alan ve Alan Çizgileri (2.2a-c) formülleri bir q yüküne etki eden kuvvetin, her zaman, F(x,y,z) = qE(x,y,z)

(2.3a)

şeklinde olduğunu gösterir. Daha genel durumu yansıtan (2.2c) halinde E, E(x,y,z) =

1 4 0



(,,)

r' r'3

ddd

(2.3b)

ile verilir ve birim yüke etki eden kuvveti gösterir. Bu formül ile uzayın her noktasında bir E büyüklüğü tanımlanmaktadır. Bu özelliği ifade etmek için, E bütün uzayda tanımlı bir vektörel alan’dır, deriz. Hareketsiz elektrik yükleri tarafından yaratılmış bulunan bu alana elektrostatik alan adı verilir. (2.2a) daki qi yükleri ve (2.2c) de  yoğunluğu ile dağılmış bulunan yük E alanının kaynağı adını alır. Elektrik alan için kullanılan pratik birim volt/m dir. Bir E(x,y,z) elektrostatik alanına karşılık öyle bir eğri ailesi bulunabilir ki; bu aileye ait eğrilerin teğetleri değme noktalarında elektrostatik alan vektörlerine paralleldir.Bu eğri ailesine elektrostatik alan çizgileri veya kuvvet çizgileri adı verilir. Alan çizgilerinden birinin denklemi x = x(s),

y = y(s),

z = z(s)

(2.4a)

olsun. Burada s, çizgi üzerinde belirli bir noktadan itibaren ölçülen yay uzunluğudur. Çizginin teğeti, her noktada dr = (dx,dy,dz) diferansiyeline paralel olduğundan, tanım uyarınca, dx dz dy = = (2.4b) E x ( x , y, z) E z ( x, y, z) E y ( x, y, z) yazılır. Bu diferansiyel denklem takımı E nin alan çizgilerini belirlemeye yararlar. Problemler Pr.-1.E alanının dairesel silindirik koordinatlardaki bileşenleri E , E, Ez olsun. Alan çizgilerini belirleyen denklemlerin dz dρ ρd  = = Ez Eρ E

olduğunu gösteriniz. Pr.-2.E nin küresel koordinatlardaki bileşenleri Er,E,E olsun. Alan çizgilerinin


22

dr rdθ rsinθ d = = Er Eθ E

Pr.-3.

ile belirleneceğini gösteriniz. Bölüm 2.3.1 de sözü edilecek olan elektrik dipol’ün alanı küresel koordinatlarda q E= [2coser + sine] 4 0 r 3 dır. Alan çizgilerinin  = sabit, rcosec2 = sabit

denklemleri ile belli olduğunu gösteriniz. x2 + y2  a2, z = 0 dairesi üzerinde, s = sabit yoğunluğu ile yayılmış bir yüzeysel yük bulunsun. 1. P+(0,0,h) noktasında yaratılan E(P+) alanının e(h,a)ez şeklinde olduğunu gösteriniz ve e(h,a) yı bulunuz. 2. P-(0,0,-h) noktasında yaratılan E(P-) alanının E(P-) =-E(P+) den ibaret olduğunu gösteriniz. 3. h0 için E(P+) ve E(P-) nin limitleri E+(0) ve E-(0) ile gösterilsin. E+(0) ve E-(0) ın a dan bağımsız ve E+(0) = - E-(0) = (s/20)ez ye eşit olduğunu göste- riniz. 4. a  halinde E(P) nın h dan bağımsız olduğunu gösteriniz. Pr.-5. z = 0 ve z = h düzlemleri üzerinde, sırasıyla, 0 ve h yoğunlukları ile düzgün yayılı yükler vardır. a) Pr.-4 ün sonucundan yararlanarak E nin açık ifadesini yazınız. b) 0 = h halini inceleyiniz. c) 0 = - h halini inceleyiniz. Pr.-4.

2.3 Elektrostatik Potansiyel ve Potansiyel Enerji (2.3b) formülü ile hesap yapmak çoğu kez büyük güçlükler doğurur. Bu güçlüklerin başta gelen nedeni formülde gözüken r’ vektörüdür.Oysa, kolayca görülebileceği üzere, bazı yakınsaklık koşullarının gerçeklenmesi halinde (Bk. Şekil-2.1) e r’ d



(,,)

Şekil-2.1

(x,y,z)

İÇİNDEKİLER

23

E(x,y,z) =

1



4 0

(,,) grad(-

1 ) ddd r'

ρ( , η, ς) ddd ] 4 0 r' yazılabilir*.Buradaki grad işlemi (x,y,z) noktasının koordinatlarına göre alınmış türevlerle hesaplanmıştır. Açıkça görülüyor ki; köşeli parantezin içinde gözüken skaler integrali hesaplamak doğrudan doğruya (2.3b) yi hesaplamaya göre çok daha kolaydır. Bu skaler fonksiyon E nin Coulomb potansiyeli adını alır. Daha genel olarak, V0 herhangi bir sabit olmak üzere, 1

= - grad[

V(x,y,z) =

1 4 0





ρ( , η, ς) ddd + V0 r'

(2.5a)

ve E(x,y,z,) = - gradV(x,y,z)

(2.5b)

yazılabileceği açıktır. (2.5b) ye uyan her V(x,y,z) fonksiyonuna E nin bir skaler potansiyeli’dir, deriz. Bunların genel ifadesi (2.5a) gibi olup keyfi bir sabit içerir. Elektrik alan, kuvvet ve diğer ölçülebilen büyüklükleri hesaplamak bakımından bu sabitin özel değerlerinin hiç bir önemi yoktur. Aksi söylenmedikçe, sonsuz uzakta V0 olacak şekilde bir V0 belirlenir. Sonlu bir bölgenin içinde bulunan yüklere ilişkin Coulomb potansiyelinin sonsuzda sıfır olacağı kolayca gösterilebilir (Bk.Pr.-1). (2.5b) bağıntısı elektrostatiğin temel özelliklerinden birini, yani her yerde rotE = 0

(2.6)

olduğunun gösterir. Böyle bir alan için irrotasyonel’dir, deriz. Ayrıca, orijini içermeyen her bölgede (1/r) = 0 olduğu gözönünde tutularak doğrudan doğruya türetmekle de, kaynakları içermeyen her bölgede V = 0 (  = 0 olan noktalarda)

(2.7)

olduğu görülür. V(x,y,z) = sabit olan yüzeylere E alanının eş potansiyel yüzeyleri adı verilir.(2.5b) bağıntısı, her noktada, bu noktadan geçen alan çizgisinin, bu noktadan geçen eşpotansiyel yüzeye dik olduğunu ve E nin yönünün V nin en büyük azalış yönü olduğunu gösterir†. F

A

q

C B

Şekil-2.2 * †

Bunun için, (x,y,z) nin içinde düşünüldüğü bölgede ilk integralin düzgün yakınsak olması yeterlidir. Bak.Pr.-2.


24

Potansiyel fonksiyonunun bir fiziksel anlamını açığa çıkarabilmek amacıyla, E alanı içinde bir noktasal q yükünü hareket ettirirken yapılan işi hesaplayalım. q yükü bir C eğrisi üzerinde A noktasından B noktasına kadar götürülmüş olsun (Şekil-2.2). Her konumda noktasal yüke etkiyen kuvvet F = qE ye eşit olduğundan, hareketi sağlamak için dıştan yapılan W işi, B

W=-



B

F.dc = - q

A



A

B

E.dc = q



gradV.dc

A

veya B

W=q

A

V dc = q[VB – VA} c

(2.8)

ya eşit olur. Burada c ile, C üzerinde bir noktadan itibaren ölçülen yay uzunluğu; VB ile, potansiyelin B noktasındaki, VA ile de A daki değeri gösterilmektedir. (2.8) e bakarak diyebiliriz ki: 1)Bir yükü belirli bir A noktasından B noktasına götürürken yapılan iş izlenen yola bağlı değildir. 2) Birim yükü bir A noktasından daha yüksek potansiyele sahip bir B noktasına götürmek için pozitif bir iş yapmak gerekir. Tersine VA> VB ise bu iş negatiftir.Yani, böyle bir halde yükün hareketi ile dış ortama enerji verilmiş olunur. Bu özelliklerden anlaşıldığı üzere, potansiyel fonksiyonunun bir noktada aldığı değerin değil, iki noktada almış olduğu değerlerin farkının fiziksel bir anlamı ve önemi vardır. Bu bize (2.5a) daki V0 ı istediğimiz seçilde seçmek olanağını veren önemli bir özelliktir. Ayrıca, sonlu bir bölge içindeki yüklere ilişkin Coulomb potansiyeli sonsuzda sıfır olduğundan, böyle bir alana ilişkin Coulomb potansiyelinin, birim yükü sonsuzdan bu noktaya getirinceye kadar yapılmış bulunan işe eşit olduğunu da söyleyebiliriz. (2.5a) ve (2.7) denklemlerinden açıkça görülüyor ki; doğrudan doğruya E alanı ile uğraşmak yerine, potansiyel fonksiyonunu araya katmak incelemeleri büyük ölçüde kolaylaştıracaktır. Önceleri Newton alanlarını incelemek için Laplace* tarafından düşünülen bu yöntem, daha sonra Poisson† ve Green‡ tarafından elektromagnetizma-ya uygulanmaya başlandı. Potansiyel için kullanılan pratik birim Volt diye adlandırı-lır. 2.3.1 Örnek (elektrik dipol) Oz ekseni üzerinde (0,0,d/2) ve (0,0,-d/2) noktalarında, sırasıyla, Q ve (-Q) değerinde iki yük bulunsun (Bk.Şekil-2.3).Böyle bir sisteme dipol adı verilir.Eğer Qd = p = sabit kalacak şekilde d  0 ve Q  yapılırsa, ortaya çıkacak limit sistem noktasal dipol adını alır. Burada sözü edilen ve C.m boyutuna sahip bulunan p ye dipolün momenti denir. Bazan, yüklerin Oz ekseni üzerinde bulunduklarını belirtmek amacıyla, p = pez yazılarak bir p vektörü tanımlanır ve buna da noktasal *

P. S. Laplace, Mém. Acad. 1785, p:113. S. D. Poisson; Sur la distribution de l’électricité à la surface des corps conducteurs. Mém. de l’Institut 1 (1811), pp: 1-274. ‡ G. Green; An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism, Nottingham, 1828. Potansiyel deyimine ilk defa burada rastlanmaktadır. †

İÇİNDEKİLER

25

z  d/2

Q

er

P

R1

e

r

R2

O -Q

-d/2

Şekil-2.3 dipolün momenti adı verilir.Dipolün yarattığı Coulomb potansiyeli, tanım uyarınca, Q

V(x,y,z) =

4 0

[

1 1 ] R1 R 2

den ibarettir.Burada R1 =

r 2  (d/2)2 - rd cos θ ,

R2 =

r 2  (d/2)2  rd cos θ

konmuştur (bk.Şek.-2.3).d0 olurken R1R2 r olduğundan, V(x,y,z) nin limit değeri V(x,y,z)

Q 4 0

2

 p cos  d 1 ( )z = 0 = z r 2  z 2 - 2rzcos 4 0 r 2 2

ye eşit olur.Buradan da, hemen E = - gradV = =

1 V 1 V V er e e r θ rsin   r p

4π 0 r 3

[2cos er + sin e ]

bulunur. Problemler Pr.-1.Sonlu bir  bölgesi içinde  yoğunluğu ile dağılmış bulunan yüklerin yarattığı Coulomb potansiyeli V olsun ve  nın içindeki (veya yakınındaki) bir orijinden itibaren ölçülen uzaklık r ile gösterilsin. V nin (ve E nin) r  için geçerli asimptotik ifadelerine söz konusu yüklerin uzak alanı adı verilir. Uzak alanda, V

1 4 0 r





olduğunu gösteriniz.

d ,

E

1



4 0 r 2 

d er,

(r  )


26

Pr.-2.V = sabit yüzeyi üzerinde gradV nin yüzeye dik olduğunu ve gradV yönünde V nin en büyük artışı kazandığını ispat ediniz (Bak. Ek .****). Pr.-3.Bir elektrostatik alanda alan çizgilerinin kendi kendilerini kesemeyeceklerini, pozitif yüklü kaynaklardan çıkıp negatif yüklü kaynaklara doğru uzayacaklarını gösteriniz. Pr.4. z = 0 ve z = d düzlemleri, sırasıyla, V = 0 ve V = V0 potansiyellerine sahiptirler ve bu düzlemler arasındaki bölgede yük yoktur. Bu bölgede V=

V0 z, d

V E = - 0 ez d

olduğunu gösteriniz. Pr.-5.Aynı eksenli, a ve b yarıçaplı, sonsuz uzun iki silindir arasındaki bölgede kaynak yoktur ve bu silindirler üzerinde potansiyel sabit Va ve Vb değerlerine sahiptir. Potansiyel fonksiyonun açık ifadesini yazınız.Alan şiddetinin bir iletkenden diğerine nasıl değiştiğini gösteren eğriyi çiziniz. Vb Va

b a

Pr.-6.Yukarıdaki problemi iç içe iki küre için çözünüz. Pr.-7.Bir elektrostatik alanda, potansiyeli V1 olan bir noktaya sıfıra eşit bir ilk hızla bırakılan bir noktasal q yükünün, potansiyeli V2 olan bir noktaya eriştiğinde

 q(V V )  1 2 1 v = 1-   2  m 0 c 

-2

ile verilen bir hıza sahip olacağını gösteriniz. v2/c2<<1 iken v nin yaklaşık bir ifadesini bulunuz. Pr.-8.1(x,y,z) yük dağılımının neden olduğu potansiyel V1(x,y,z), 2(x,y,z) dağılımının neden olduğu potansiyel de V2(x,y,z), olsun.



1V2d =



2V1d

olduğunu gösteriniz (Gauss özdeşliği)*. Pr.-9.Bir elektrostatik alanda cosθ sinθ E=A e +B e 3 r r r3 olduğu gözlenmiştir (A,B = sabit). *

Bu özdeşlik, uzayın boşluktan ibaret olmadığı, basit bir malzeme ile dolu olduğu halde de geçerlidir ve, özellikle, iletken cisimler üzerinde birikecek yükleri hesaplamakta yararlı olur (Bk.Böl.2.7, pr.-12, 13).

İÇİNDEKİLER

27

a) A ile B arasındaki ilişkiyi bulunuz. b) Potansiyel fonksiyonunu belirleyiniz. Pr.-10.a yarıçaplı küre yüzeyi üzerinde düzgün yayılı bir Q yükü vardır. a) Potansiyelin integral ifadesini açıkça yazınız ve bu integrali hesaplayarak potansiyeli bulunuz. b) E nin açık ifadesini bulunuz. c) V ve E nin r ile değişimini gösteren eğrileri çiziniz.

2.4 Gauss ve Poisson Denklemleri Orijine yerleştirilmiş noktasal q yükünün yarattığı E=

q

1

4 0 r

er = -

2

1 grad ( ) r 4 0

q

(2.9a)

alanının kapalı bir S yüzeyinden dışa doğru geçirdiği akıyı gözönüne alalım. Eğer S yüzeyi orijini kuşatmıyorsa, S in içinde kalan kapalı bölgede (1/r) = 0 olduğundan, Gauss-Ostrogradski teoremi uyarınca, D = 0E olmak üzere,



D.dS = -

S

q 4

1 q grad( ).dS = r 4

 S





1 ( )d = 0 r

(2.9b)

dır. Aksine, S yüzeyi orijini kuşatıyorsa, (1/r) in orijindeki tekilliği nedeniyle sonuç sıfırdan farklıdır. Böyle bir halde akının değeri, biraz önce sözü edilen Gauss-Ostrogradski teoremi uyarınca, S in içinde kalan herhangi bir SR küresinden geçen akıya eşittir (Bakınız Şekil-2.4). Bu özellik bize akının değerini kolayca hesaplamak olanağını verir. Gerçekten, SR üzerinde r = R,

dS = dSer

ve, dolayısıyla,

 S

D.dS =



D.dS =

SR

q



4π R 2 S R

dS = q

(2.9c)

dir. z n

n R O

SR

x Şekil-2.4

S y


28

Şimdi, uzaya herhangi bir şekilde dağılmış noktasal q1,q2,... yüklerinin yarattığı E alanını gözönüne alalım (Şekil 2.5). (2.9b) ve (2.9c) yi göz önünde bulundurarak,



D.dS = (S içindeki yüklerin toplamı)

(2.9d)

S

yazarız. Bunu yazarken yüklerden hiç birinin S üzerinde bulunmadığını düşünüyoruz. Eğer E yi yaratan kaynaklar bütün uzaya  yoğunluğu ile yayılmış ise, (2.9d) nin yerini



D.dS =   d

(2.9e)



S

alacaktır. Burada  ile S nin içindeki bölge gösterilmiştir.

n

q3

S q2 q1

q4

Şekil-2.5 (2.9e) bağıntısı Gauss* eşitliği olarak tanınır. Bazı simetrik alanları bu eşitlikten yararlanarak kolayca hesaplamak olanağı vardır (Bakınız Pr.-1). Gauss-Ostrogradski teoremini uygulayarak (2.9e) yi



divDd =





d



şeklinde yazalım. Bu eşitlik her  hacmi için geçerli olduğundan, divD = 

(2.10a)

V = - /0

(2.10b)

veya olmak zorundadır. Poisson† denklemi olarak bilinen bu son denklem elektrostatiğin temel denklemidir (yüklerin dışında (2.10b) ile (2.7) nin aynı olduğu açıkça görülüyor). İleride, Bölüm 2.7 de ayrıntılı bir şekilde göreceğimiz gibi, elektrostatiğin esas problemi bu denklemi bazı sınır koşulları altında çözmekten ibarettir. Sözü edilen sınır koşulları, uzayda bulunan değişik cisimlerin yüzeyinde gerçeklenmesi zorunlu olan koşullar olup onuncu varsayımın sonucu olarak ortaya çıkarlar. Bölüm 5 de ge* †

Carl Friedrich Gauss (Braunschweig 1777-Göttingen 1855). Denis Poisson (Pithiviers 1781-Paris 1840).

İÇİNDEKİLER

29

niş bir şekilde inceleyeceğimiz bu husus, Bölüm 2.7 de, sadece elektrostatik yönünden ele alacağız. Uyarı. (2.9d) bağıntısı S yüzeyi üzerinde yük bulunmadığı düşünülerek çıkarılmıştır. Eğer S üzerinde yük varsa bu formülü olduğu gibi kullanmak doğru değildir. Çünkü, herşeyden önce, bu yükün bulunduğu noktada alan sınırsız büyük değer alacağından integralin anlamı kaybolacaktır (veya, değişecektir!). Böyle bir halde ortaya çıkacak olan durumu kavramak için, bir tek noktasal q yükünün söz konusu olduğunu ve bunun S üzerinde, belirli bir teğet düzleme sahip olan bir A noktasında bulunduğunu düşünelim. Bu durumda, A merkezli ve  yarıçaplı çok küçük bir küre daha gözönüne alalım. S nin küre içinde bulunan parçası S’, kürenin S dışında kalan parçası da Sk olsun (Bakınız Şekil-2.6). (2.9c) uyarınca



D.dS +

S - S'



D.dS = q

Sk

dir. Şimdi, 0 yapalım. Limitte S-S’S olur ve sol yandaki ilk terim S üzerindeki akının Cauchy* asal değeri adını alır. Bunu, integral işareti ozerine bir çizgi koyarak belirteceğiz. Öte yandan, A noktasında S nin belirli bir teğet düzlemi olduğundan, 0 olurken S’ bir düzlem parçasına, Sk da yarım küreye yaklaşır. Bu, Sk üzerindeki integralin limitinin (2.9c) dekinin yarısı olduğunu gösterir. Yani, __



D.dS =

S

q 2

dir.

Sk

n

S’

n



A

S-S’

Şekil-2.6 Yukarıdaki sonuç bir çok yükün bulunduğu hale genişletilirse, __



D.dS = Qiç +

Sk

1 Qyüzey 2

yazılır. Buradaki Qiç ve Qyüzey, sırasıyla, S in içindeki ve üzerindeki yüklerin toplamını göstermektedir. *

Augustin Cauchy (Paris 1789-Sceaux 1857).


30

Problemler Pr.-1.Bölüm 1.4 Pr.-1-2 ve Bölüm 2.1 Pr.-1 i Gauss eşitliğinden yararlanarak çözünüz. Pr.-2.Bölüm 2.3 Pr.-5 i Gauss eşitliğinden yararlanarak çözünüz. İçteki ve dıştaki silindirin birim yükseklikteki kısmında bulunan yükü Va ve Vb cinsinden yazınız. Pr.-3.Bölüm 2.3 Pr.-6 yı Gauss eşitliğinden yararlanarak çözünüz. İçteki küre üzerindeki yükü Va ve Vb cinsinden yazınız. Pr.-4. AS noktası S nin bir köşe noktası olsun ve bu noktada bir q yükü bulunsun (aşağıdaki şekle bakınız). Bu halde, Bölüm 2.4 deki uyarıda sözü edilen Cauchy asal değerinin __  D.dS = q/4 ye eşit olacağını gösteriniz., A da S S

nin oluşturduğu katı açı (yani, A da S ye teğet olan koninin, A merkezli ve birim yarı çaplı küre üzerinde ayırdığı alan) dır. A S

q 

2.5 Değişik Türden Yük Dağılımları ve Dirac Distribüsyonu Yukarıda göz önüne almış bulunduğumuz olaylar hep boşlukta duran yüklerle ilgili olan olaylardı ve (2.3a,b) formülleri ile incelenebilmekteydi. Oysa, içinde yaşadığımız uzay boş değildir, değişik fiziksel özelliklere sahip bir çok maddesel cisim içerir. Bu cisimlerin atomsal yapısında bulunan iç yükler de, Bölüm 2.6 da açıklanacağı üzere, ölçülen elektrik alana katkıda bulunurlar. Bu nedenle, sadece, kaynak olarak tanınan yükleri değil, bir takım cisimleri de içeren uzayda elektrostatik olayı (2.3a,b) formülleri ile inceleyebilmek çok zor, hatta çoğu kez olanak dışıdır. Buna karşılık, Bölüm 2.6 da göreceğimiz gibi, (2.3a,b) den çıkarılmış bulunan (2.6) ve (2.10a) bağıntıları söz konusu halde de kolaylıkla kullanılabilecek biçimde genelleştirilmeye elverişlidirler. Çok basit özel hallerin dışında bütün olaylar bu diferansiyel denklemlerin genelleştirilmiş halleri çözülerek açıklanırlar. Oysa, herhangi bir olayı (2.6) ve (2.10a) denklemlerinden yararlanarak çözebilmek için, her şeyden önce, (2.10a) da gözüken  yu açıkça ifade etmek gerekir. Bu, alanı yaratan iç ve dış yüklerin uzaydaki dağılımını gösteren, kulon m 3 boyutunda bir ifadedir. Oysa, daha karmaşık yapıya sahip yük sistemlerini düşünmeye zorlanmadan, sadece ayrık noktasal yüklere bakarak diyebiliriz ki;  yu ifade edebilecek uygun fonksiyonlar bulabilmek her zaman mümkün değildir. Benzer şekilde, hem teorik hem de pratik bakımdan büyük önemi olan yüzeysel ve çizgisel yüklerin veya dipollerin de yoğunluklarını fonksiyonlarla ifade edemeyiz. Çünkü, yüzeysel yükün yoğunluğu kulon m 2 , çizgisel yükünkü ise kulon m dir. Dipol halindeki güçlük daha da büyüktür. Çünkü, dipol, zıt işaretli eşit iki yükün üst üste yerleşmesiyle oluşur. Buna ilişkin yoğunluk,

İÇİNDEKİLER

31

fonksiyonla ifade edilmek istenirse,  = 0 dan başka bir şey yazabilmek mümkün olmaz. Yukarıda belirttiğimiz güçlükler apaçık bir şekilde gösteriyor ki; boş olmayan uzayda elektrostatik olayı inceleyebilmek için, fonksiyondan daha geniş kapsamlı olan, yeni matematik elemanlar kullanmamız zorunludur. Bazan genelleştirilmiş fonksiyon diye de adlandırılan bu elemanlar, başlangıçta değişik türden yük dağılımlarını ifade edebilmek amacıyla ithal edilmiş bulunmaları nedeniyle, çoğu kez, distribüsyon olarak adlandırılırlar. Biz de bu deyimi kullanacağız ve bizim için temel olan distribüsyonları kısaca tanımaya çalışacağız. 2.5.1 Dirac Distribüsyonu Fonksiyonlardan daha geniş kapsamlı matematik elemanlara ihtiyaç duyulduğu oldukça eski incelemelerde* hissedilmiş olmasına karşın, bunların sağlam temellere dayanan teorisi 1951’de L. Schwartz† tarafından yapılmıştır. Biz, fonksiyonlara ilaveten, Dirac‡ distribüsyonu olarak bilinen distribüsyonla yetineceğimiz için burada distribüsyonların genel ve sistemli bir incelemesine girişmeyeceğiz, sadece Dirac distribüsyonu ve ondan türeyenleri tanıtmaya çalışacağız. x = 0düzlemi üzerine s = s(y,z) kulon/m2 yoğunluğu ile yayılmış bulunan yük dağılımına ait hacımsal yoğunluğu (x,y,z) = s(y,z)(x)

(2.11a)

şeklinde yazalım. (1/m) boyutuna sahip olmak zorunda bulunan (x), Dirac distribüsyonu adını alır. (2.11a) aracılığı ile tanımlanmış bulunan ve bir sembol değil, üzerine bir takım matematik işlemlerin uygulandığı bir matematik eleman olan (x) in yer alacağı bütün bağıntıların fizik bakımından tutarlı ve anlamlı olabilmesi için (x) in sahip olması gereken özelliklerin bazılarını çıkarmaya çalışalım: A) a x  b, c  y  d, e  z  f prizması içindeki toplam yük Q olsun.Tanım uyarınca, b

fd

a

ec

Q =  (x)dx   s(y,z)dydz

(2.11b)

yazılacaktır. Oysa, yük sadece x = 0 düzlemi üzerinde bulunduğundan, (a<0, b<0) veya (a>0,b>0) ise, Q = 0; (a<0
Q =   s(y,z)dydz ec

dir. Bu özelliklerin (2.11b) ile uyuşması için (x) in şu özelliği olması gerekir ve yetişir: *

Örneğin, Gustav Robert Kirchoff (Königsberg 1824-Berlin 1887) un incelemelerinde kullandığı

(/  )exp(-2x2) ( ist eine sehr grosse positive Constante), biraz sonra tanımlayacağımız (x) in yerini almaktaydı. Bakınız: Sitz. d. k. Preuss. Akad. d. Wiss. Berlin. Ayrıca bk. Vorlesungen über mathematische Physik (2) 22. † Laurent Schwartz (Paris, 1915-Paris,2002). ‡ Paul Dirac (Bristol 1902-Tallahassee 1984).


0, ab  0 ise  (x)dx =  1, ab  0 ise a

32

b

(2.11c)

Şunu ısrarla hatırlatmak isteriz ki; (x) bir adi fonksiyon olarak düşünüldüğü takdirde (2.11c) hiç bir halde tutarlı olamaz. B) (2.11a) daki (x,y,z), (x,y,z) = f(x) s(y,z)(x) şeklinde yazılsın ve f(0) = 0 olsun. Buradaki (x) in varlığı yükün sadece x = 0 düzlemi üzerinde yer aldığını göstermektedir. Öte yandan, f(0) = 0 olduğu için, x = 0 düzlemi üzerinde de yük yoktur. O halde  = 0 dır. Bu da f(0)=0 oldukça f(x)(x) = 0 yazılacağını gösterir. Şimdi, x = 0 da tanımlı herhangi bir g(x) fonksiyonunu gözönüne alalım ve f(x) = g(x) – g(0) yazalım.Yukarıdaki sonuca göre 0 = f(x)(x) = [g(x) – g(0)](x) = g(x)(x) – g(0)(x) yazılır ve buradan g(x)(x) = g(0)(x)

(2.11d)

elde edilir. C) (x) in çok önemli bir diğer özelliği de bizzat (2.11c) den çıkarılabilir: (2.11c) de a  -  yapalım ve b yerine x koyalım. Açıkça görüldüğü üzere,

0, x  0 ise  (x)dx  u(x) =  1, x  0 ise a x

yazılır. Burada u(x) ile birim basamak fonksiyonu gösterilmektedir. Formel olarak türetmekle u’(x) = (x)

(2.11e)

buluruz. D) f(x) fonksiyonu x=0 da sonlu bir süreksizlik göstersin, bunun dışında her yerde sürekli ve türetilebilir olsun (Şekil-2.6). Bu halde f  ( x), x  0 ise f(x) =  f  ( x), x  0 ise

ve, u(x) birim basamak fonksiyonu olmak üzere

İÇİNDEKİLER

33

f(x) = f -(x)u(-x) + f+(x)u(x) yazılır. f(x) in bu ifadesinin, (2.11e) gözönünde tutularak formel kurallarla

f(x) f

f+(x)

f -(x) O

x

Şekil-2.6 hesaplanan türevine distribüsyon anlamındaki türevi adı verilir. u(-x) =1-u(x) olduğu da gözönünde tutularak, formel olarak türetmekle, distribüsyon anlamında f ’(x) = {f –’ (x)u(-x) + f+’(x)}+ [f+(x) – f –(x)] (x) olduğu görülür. Sağdaki ilk terim x = 0 da tanımlı bulunmayan, bunun dışında her yerde f(x) in adi anlamdaki türevine eşit olan bir fonksiyondur. Bunu {f ’(x)} ile gösterecek ve f ’(x) distribüsyonunun regüler kısmı olarak adlandıracağız. Sağdaki diğer terim, (2.11d) nedeniyle, [f+(0) – f –(0)](x) e eşittir ve x = 0 da f(x) in süreksiz oluşundan ileri gelmiştir. Buna f ’(x) in tekil kısmı adı verilir.f in x = 0 daki süreksizlik miktarını [[f]] ile gösterecek olursak, distribüsyon anlamındaki f ’(x) türevini f ’(x) = {f ’x)}+ [[f]](x)

(2.11f)

şeklinde de yazarız. Yukarıdaki sonuç x=0 düzlemi dışında her yerde sürekli ve türevli olan, bu düzlem üzerinde de sonlu bir süreksizlik gösteren herhangi bir V(x,y,z) fonksiyonuna uygulanırsa grad V = {gradV} + [[nV]] (x) (2.11g) olduğu görülür. Burada n = ex konmuş ve V nin n yönündeki artımı [[V]] ile gösterilmiştir. E) Şimdi de bileşenleri x = 0 düzlemi üzerinde sonlu süreksizlikler gösteren bir E(x,y,z) vektör alanı düşünelim. x=0 düzlemi dışında her yerde E nin kısmi türevleri var olsun. (2.11f) deki özelliği gözönünde tutarak E ye distribüsyon anlamında diverjans ve rotasyonel karşı getirebiliriz: divE = {divE} + [[n.E]] (x)

(2.11h)

rotE = {rotE}+ [[nE]] (x).

(2.11i)


34

Buradaki {divE}ve {rotE} x=0 düzlemi üzerinde tanımlı olmayan, bunun dışında her yerde tanımlı bulunan adi diverjans ve rotasyoneldir. n ise x=0 düzleminin (süreksizlik yüzeyi) birimsel normal vektörünü gösterir. F) Şimdiye kadar hep x=0 düzlemi üzerindeki yük dağılımını ve bu düzlem üzerindeki süreksizlik halini göz önüne aldık. Eğer yük bir S yüzeyi üzerine dağılmış ise ve S yüzeyini uygun bir koordinat sisteminde belirleyen denklem -h = 0 şeklinde yazılabiliyorsa, (x) e benzer şekilde bir (-h) distribüsyonu tanımlar ve yukarıdaki özellliklerin benzerini yeniden çıkarırız. Örneğin, (2.11c, d, e, f) in yerini şunlar alır:

1,  (-h)d =   0, a b

a  h  b ise aksi halde

(2.11j)

f()(-h) = f(h) (-h)

(2.11k)

u’(-h) = (-h)

(2.11l)

f ’() = { f ’()}+[f(h+0) – f (h-0)] (-h).

(2.11m)

Herhangi bir S yüzeyine ilişkin Dirac distribüsyonunu bazen (S) ile de gösteririz. Böyle bir gösterilim ile (2.11g-i), herhangi bir regüler S yüzeyi için, (x) yerine (S) konmakla gene geçerli kalır*: gradV = {gradV} + [[nV]](S)

(2.11n)

divE = {divE} + [[n.E]] (x)

(2.11p)

rotE = {rotE}+ [[nE]] (x).

(2.11r)

G)Bir C çizgisi S1 ve S2 yüzeylerinin arakesiti olsun. C üzerine c kulon/m yoğunluğu ile yayılmış bulunan yüke ait hacımsal yoğunluk  = c(S1) (S2)

(2.11s)

şeklinde gösterilebilir. Örneğin, Oz ekseni üzerinde c(z) yoğunluklu dağılım için c(x,y,z) = c(z) (x) (y) kulon/m3

(2.11t)

dir. H)Bir (,,) noktasına yerleştirilmiş bulunan q kulon değerindeki noktasal yüke ait yoğunluğun da (x,y,z) = q(x-) (y-)(z-) kulom/m3

(2.11u)

şeklinde yazılabileceği açıktır. Bu notasyon kullanıldığı takdirde (2.2a) gibi toplamalar her zaman (2.2b) şeklinde bir integralle gösterilebilir. *

Bakınız: M. İdemen; IEEE Trans. AP. 21(5) pp. 736-738, 1973.

İÇİNDEKİLER

35

2.5.2 Dipol Dağılımları (+h,,) noktasında q, (,,) noktasında da (-q) değerinde noktasal yükler bulunsun.Böyle bir sisteme elektrik dipol adı verilir.Bu sistemin yük yoğunluğu, (2.11u) uyarınca, (x,y,z) = q(y-)(z-) [(x--h) - [(x-)] şeklinde yazılır.Eğer qh = p=sabit tutularak h 0 ve q  yapılacak olursa,  nun limit değeri  = q(y-)(z-) [(x--h) - [(x-)] veya

δ(x - ξ - h) - δ(x - ξ) h h 0

 = p(y-)(z-) lim veyahut da,  nın tanımı uyarınca,

 = - p(y-)(z-) ’(x-)

(2.12a)

olur. Böylece ortaya çıkan sisteme bir noktasal dipol, p ye de bu dipolün momenti adı verilir. p nin boyutu kulon.m dir. Noktasal dipol kavramı, özellikle dielektriklerdeki polarizasyon olayını açıklayabilmek ve çizgisel antenlerin genel teorisini yapabilmek bakımından son derece önemlidir. (2.12a) bağıntısı bunlara ilişkin yük yoğunluğunun ifadesinde  fonksiyonlarının türevinin yer alacağını göstermektedir. Yukarıda sözü edilen noktasal dipol, eşit değerde fakat zıt işaretli iki yükün üst üste gelmesi ile oluşmuştur ama bunların nasıl üst üste geldikleri sonuç bakımından önemlidir. Gerçekten, bu yükler Ox eksenine paralel kalarak üst üste gelmiş oldukları için (2.2a) da x e bağlı olan distribüsyonun türevi gözükmektedir. Buna bakarak, bazan, p = pex ile bir p vektörü tanımlanır ve buna dipolün momenti adı verilir. Eğer (,,) noktasında oluşan bir dipolün momenti herhangi bir yönde ise (2.12a) nın yerini (x,y,z) = - p.grad[(x-)(y-)(z-)]

(2.12b)

nın alacağı apaçıktır. Dipollerin söz konusu olduğu hallerde karşılaşacağımız işlemler (x) in türevini, özellikle de 

 f(x) ’(x)dx



gibi integralleri değerlendirebilmemizi gerektirir. Eğer x = 0 da f ’(x) tanımlı ise 

 f(x)’(x)dx = lim





 f(x)

h 0  

δ(x  h) - δ(x) f( h) - f(0) dx = lim = - f ‘(0) (2.13) h h h 0

olacağı açıktır. Şimdi, bir takım dipollerin sonlu bir  hacminin içinde P(x,y,z) moment yoğun-


36

luğu ile yayılı bulunduğunu düşünelim ve bunlara ilişkin yük yoğunluğunu bulmaya çalışalım. Bir (,,) noktasının civarındaki ddd hacmi içinde, P nin tanımı uyarınca, dp= P(,,)ddd kadar momente sahip bir dipol vardır. Buna ilişkin yük yoğunluğu (2.12b) ile verilir. (2.12b) deki p nin yerini şimdi bir diferansiyel almış olduğu için sol yanı da d gibi yazmak yerinde olur: d(x,y,z) = - P(,,)ddd .grad[(x-)(y-)(z-)]. (x,y,z) ye  içindeki bütün dipollerin katkısını bulmak için yukarıdaki ifadeyi (,,) nın  deki bütün konumlarını gözönüne alarak integre etmek gerekir. Böylece, basit formel hesaplar sonucunda (x,y,z) =  P(,,).grad’[(x-)(y-)(z-)]ddd 

=  {div’[P(,,)(x-)(y-)(z-)]-(x-)(y-)(z-)divP}ddd 

=  P(,,).n(x-)(y-)(z-) dS – {divP} S

= P.n (S) – {divP}

(2.14a)

bulunur.Burada grad’ ve div’ işlemlerinde gözüken (’) işareti türevlerin (,,) ya göre yapılacağını göstermektedir. Öte yandan S,  yi kuşatan yüzey, n de bunun dışa yönelik birim normalidir. (2.14a) nın sağındaki ilk terimin nasıl ortaya çıktığını berrak bir şekilde görebilmek için, genelliği bozmadan, örneğin, S nin z = 0 düzleminden ibaret olduğunu düşünmek yetişir. Bu halde, S üzerinde  = 0 olur ve



P.n(x-)(y-)(z-) dS =



P(,,0).ez (x-)(y-)(z)dd

S

= P(x,y,0).ez (z) = P(x,y,z).ez (z)

yazılır. (2.14a)dan açıkça görülüyor ki; bir hacmın içine yoğun biçimde dağılmış bulunan bir dipol sistemi, yaratılan elektrostatik alan bakımından, her zaman, söz konusu hacmın içine yoğun olarak dağılmış yüklerle hacmı kuşatan yüzey üzerine dağılmış yüklerin toplamına denktir. Şimdi  nun (2.14a) ile verilen ifadesini (2.11p) ile karşılaştıralım. Diverjans işlemi distribüsyon anlamında düşünülmek koşuluyla,  = - divP

(2.14b)

olduğunu anlarız.Eğer, özel olarak sadece bir  yüzeyi üzerinde, P//n olacak şekilde dipoller oluşmuş ise, P = PSn() yazılır ve (2.14b) den  = - div{PSn()}= - PS’()

(2.15)

bulunur. Böyle bir durumda, söz konusu  yüzeyine bir çift tabaka adı verilir.

İÇİNDEKİLER

37

Problemler Pr.-1. (2.5a) ve (2.10b) yi gözönünde bulundurarak, (1/r’) = -4(x-)(y-)(z-) olduğunu çıkarınız. Burada r’ = {(x-)2 + (y-)2 + (z-)2}1/2 dir. Pr.-2. (x) in, x e göre tek olan bir fonksiyonun türevi şeklinde yazılabileceğini gösteriniz ve buradan (x) in x e göre çift bir fonksiyon gibi yorumlanabileceğini çıkarınız.İki boyutlu uzayda, 2 = (x-)2 + (y-)2 olmak üzere, (log(1/))= - 2(x-)(y-) olduğunu gösteriniz.(Bak.Böl.2.9). Pr.-3. Orijinde bulunan ve momenti p = pez olan dipolün herhangi bir M noktasında yarattığı potansiyeli, (2.5a) yı hesaplayarak bulunuz. Sonucu, aralarında h kadar uzaklık bulunan iki yükün yarattığı potansiyelde h0 yapılarak elde edilen limit ifade ile karşılaştırınız. Pr.-4. q1,q2, ...,qn yüklerinin uzakta yarattığı alanın, bir 0 noktasında bulunan noktasal bir yük ile, aynı noktada bulunan bir noktasal dipolün yarattığı alanın toplamına eşit olduğunu gösteriniz.Yükün değerini ve dipolün momentini bulunuz. Pr.- 5 q1,q2, ...,qn yükleri, yer vektörleri r1,r2, ...,rn olan noktalara yerleştirilmiş bulunsun. n

p=



qjrj

j 1

ile tanımlı bulunan p ye bu yük sisteminin momenti adı verilir. Eğer q1+q2+ ...+qn= 0 ise, p nin, orijinin konumundan bağımsız bir büyüklük olduğunu gösteriniz. Pr.- 6. Bir  bölgesine sürekli yayılmış bulunan dipollerin yarattığı potansiyel fonksiyonun ifadesini çıkarınız. Bulunan sonucu (2.5a) ile karşılaştırarak  için (2.14) deki ifadeyi bulunuz. Pr.-7. Yoğunlukları aşağıdaki gibi olan yük dağılımlarını inceleyiniz. a)  = - p ’’(x-) (y-) (z-), b)  = - p ’(x-) ’(y-) (z-), c)  = - p ’(x-) ’(y-) ’(z-). Pr.-8. Bütün uzayda tanımlı P dipol yoğunluğu bir S yüzeyi üzerinde sonlu süreksizlik gösteriyorsa,  = - [[P.n]](S) – {divP} olduğunu gösteriniz. Pr.-9. 2 peryotlu bir f(x) fonksiyonu 0
f ‘(x) = (-1/2) +   (x – 2n) ile ifade edilebileceğini gösteriniz.





b) f(x) in Fourier serisinden hareketle, f ’(x) =  cosnx olduğunu gösteriniz. 1

c) Yukarıdaki iki sonucun eşitliğinden yararlanarak 







inx  e = 2  (x – 2n)

olduğunu kanıtlayınız.


38

d) (c) deki eşitliğin iki yanını herhangi bir (x)L(- , ) fonksiyonu ile çarpıp integre ederek 







 ˆ (n) = 2  ( 2n)

(Poisson formülü)

olduğunu gösteriniz. Burada ˆ () ile (x) in Fourier dönüşümü gösterilmektedir: 

ˆ () =  eix(x)dx. 

Pr.-10.logz, logaritma fonksiyonunun argz(-,] için tanımlı asal kolunu göstersin. a) Her x(- , ) için log(x+i0) = log|x| + iu(-x) olduğunu gösteriniz.Buradaki u(x), birim basamak fonksiyonudur. b)Yukarıdaki eşitliğin iki yanını distribüsyon anlamında türeterek 1 d 1 lim log(x+iy) = lim = - i (x) x y  0 dx y  0 x  iy olduğunu gösteriniz. c) (b) deki son eşitliğin reel ve sanal kısımlarını gözönüne alarak y lim = (x) 2 y  0 x  y 2 olduğunu gösteriniz. Pr.-11.S, birim yarı çaplı küre, n de bunun dışa yönelik birim normal vektörü olsun. 1 d 1 {  (p – n.r) dS} = {(p + r) - (p – r)} r dp 2 S olduğunu gösteriniz. Burada p herhangi bir reel sayı, r herhangi bir vektör ve |r| = r dir.

B. BOŞ OLMAYAN UZAYDA ELEKTROSTATİK OLAY 2.6 Alan ve Bünye Denklemleri Önceki bölümlerde gözönüne almış olduğumuz olaylar hep boşlukta duran yüklerle ilgili olan olaylardı ve (2.3a,b) formülleri ile incelenebilmekteydi. Oysa içinde yaşadığımız uzay boş değildir, değişik fiziksel özelliklere sahip bir çok maddesel cisim içerir. Bu cisimlerin atomsal yapısında yer alan ve doğal durumda, genellikle, birbirlerinin dışta yarattıkları alanları yok ederek cismi yüksüz gibi gösteren iç elektrik yükler, kaynak durumundaki dış yüklerin etkisi ile yer değiştirerek belirli bir düzene girerler ve belirginleşmeye başlarlar. Belirginleşen bu iç yüklerin yarattığı alan da gözlenen E alanına katkıda bulunur ve olayın boşlukta olması gerekenden başka bir şekilde oluşmasına neden olur. Belirginleşen iç yüklerin yoğunluğu, şüphesiz E nin

39

İÇİNDEKİLER

bir fonksiyonudur. Yani, başka bir deyişle, E nin kaynakları arasında E ye bağımlı yükler de vardır. Bu durum, doğrudan doğruya (2.3b) yi kullanarak E yi bulmayı çok güçleştirir.Bu nedenle, uzayda, kaynak olarak bilinen yüklerin yanı sıra değişik fiziksel özelliklere sahip cisimlerin de bulunması halinde E yi hesaplayabilmek için (2.3b) den başka bir araç bulmak zorundayız. Şimdi amacımız bunu yapmaktır. Olayı yaratan dış yüklerin yoğunluğu  olsun. İç yükler belirginleşip ρ yoğunluğu ile uzayda yerleştikten sonra, maddesel cisimlerin varlığı artık elektrik olayı etkilemez. Yani, gözlenen E alanı  + ρ yoğunluklu yük tarafından boşlukta yaratılmış gibidir. Bu nedenle, (2.10a) bağıntısı aşağıdaki gibi geçerlidir: div0E =  + ρ .

(2.16)

İç yüklerin belirginleşmesinin nedeni, şüphesiz, maddenin iç yapısında yer alan (+) ve (-) yüklerin E alanının etkisi ile yer değiştirip yeni bir düzene girmiş olmasıdır. Bu nedenle, yukarıda sözü edilen ρ yoğunluğu E nin bir fonksiyonudur. Bunun,  uygun bir sabit veya fonksiyon veyahut da operatör olmak üzere ρ (E) = - div[0(E)E]

(2.17)

şeklinde ifade edilebildiğini varsayalım. Bu ifade (2.16) ya taşınırsa,  = 0[1 + (E)]

(2.18a)

D = E

(2.18b)

divD = 

(2.19)

ve olmak üzere yazılır. Bu, görünüşte (2.10a) dan başka bir şey değildir. (2.17) ve (2.18a) da gözüken  maddeden maddeye değişen bir büyüklüktür ve söz konusu maddesel ortamın duyarlılığı adını alır. Duyarlılık, E nin şiddetinin olduğu kadar yönünün de bir fonksiyonudur.  , ayrıca, ρ nun yazıldığı noktanın konumuna, sıcaklığa vb. etkenlere de bağlı olabilir. Bu nedenle,  nin açık ifadesi ancak deneylerle bulunabilir. Bizi, genellikle,  değil, (2.18a) ile tanımlı olan  ilgilendirir.  a söz konusu maddenin permitivitesi adı verilir. Yukarıda söylenenlerden açıkça görülüyor ki; bir olayı açıklamak için, önce kaynak dağılımından hareketle (2.19) aracılığı ile D çözülür; sonra da (2.18b) den E bulunur. Bu demektir ki; bir elektrostatik olay söz konusu olduğunda sadece E yi değil; hem E yi hem de D yi temel büyüklükler olarak düşünmek daha uygun olur. Bu halde, (2.19) ve (2.6) bu temel büyüklüklerin uyduğu, içinde bulunulan ortamdan bağımsız, evrensel denklemler olurlar. (2.18b) ise, içinde bulunulan ortamın tanımına uygun olarak, D ile E yi birbirine bağlayan bir ara denklem durumundadır. (2.19) ve (2.6) gibi, evrensel denklemlere alan denklemleri; (2.18b) gibi, içinde bulunulun ortamın özelliklerini tanımlayan denklemlere de bünye denklemleri adı verilir. Bundan sonra biz, yukarıda sözünü ettiğimiz görüşü benimseyerek, elektrostatik alanın E ve D alanlarından oluşmuş olduğunu kabul edeceğiz. Böylece özel bir nitelik kazanmış bulunan D ye deplasman alanı adı verilir.


40

Bünye denklemlerinden Bölüm 4.3 de, oldukça ayrıntılı bir şekilde söz edilecektir. Burada, uygulama yönünden çok büyük önemi olan ve bizim basit ortam diye adlandıracağımız ortamlardan kısaca söz etmekle yetineceğiz. Bütün uzayın homojen bir madde ile dolu olduğunu ve  yoğunluklu dış yüklerin etkisi ile bu maddenin içinde, her noktada, dipollerin oluştuğunu varsayalım. Böyle bir özelliğe sahip olan ortama dielektrik ortam, bu olaya da polarizasyon adı verilir. Eğer oluşan dipollerin moment yoğunluğu P ise, (2.14b) uyarınca ρ = - divP

(2.20a)

dır. Dipoller, şüphesiz, atomlardaki (+) ve (-) yüklerin E nin etkisi ile kaymaları sonucunda oluşmuşlardır. Bazı ortamlarda bu kayma E ile orantılıdır ve  bir sabit skaler olmak üzere, P = 0E (2.20b) yazılabilir. Bu türden ortamlara basit dielektrik ortamlar adı verilir. Hem P nin hem de E nin yönü dipolün (-) yükünden (+) yüküne doğru olduğundan, (2.20b) de gözüken  her zaman pozitiftir. (2.20a,b) ile (2.17) ve (2.18a) karşılaştırılırsa, bir basit dielektrik ortamın permitivitesinin  = 0 (1 +  ) > 0

(2.20c)

a eşit olduğu anlaşılır. Kolayca gerçekleyebiliriz ki; 0 yerine  koymak koşuluyla Coulomb yasası sonsuz geniş her basit ortamda geçerlidir. Uzayın farklı özellikte ortamlardan oluşmuş olması halinde E ve D alanları bu ortamları ayıran yüzeylerin üzerinde sürekli olmayabilirler. (2.19) denkleminin çözümü yapılırken bu süreksizliklerin önceden bilinmesi gerekir. Bunların türünü ve miktarını istediğimiz gibi düşünemeyeceğimiz apaçık bir şeydir. Çünkü, aksi halde fiziksel gerçeklere uymayan bir durum ortaya çıkabilir. Biz, deneylerin sonuçlarına bakarak, şu varsayımı yapacağız: Varsayım: Uzay nasıl olursa olsun,  yoğunluğu ile uzaya yayılı bulunan yüklerin yarattığı elektrostatik alanda rotE = 0, divD = , F = qE

(2.21a,b,c)

denklemleri, distribüsyon anlamında, her zaman geçerlidir. Bu varsayım, alanın değerini olduğu kadar süreksizliklerin türünü ve miktarını da dış yüklere bağlamaktadır. Aşağıda, Böl.-2.7 de gözönüne alacağımız özel hal bunu açık bir şekilde gösterecektir. Uyarı. Farklı dielektrik sabitlerine sahip bir çok ortamın varlığı halinde sayısal sonuçlar elde etmek istendiğinde yukarıdaki varsayımdan ve (2.21a-c) denklemlerinden yararlanmak çok büyük kolaylıklar sağlar; hatta, zorunlu olur. Bununla beraber, sayısal olmayan genel sonuçlar çıkarılırken bu denklemleri kullanmak zorunluluğu yoktur. Çünkü, dış kaynakların etkisiyle malzeme içinde belirgin hale gelen yüklerin (bilinmeyen) yoğunluğunu ρ ile gösterip olayı boşlukta düşünmek mümkündür. Bölüm-2.7 de (2.23d) çıkarılırken, Bölüm 2.8 e ilişkin uyarıda da (2.24f) genelleştirilir-

İÇİNDEKİLER

41

ken bu ilke gözönünde bulundurulmuştur. Yalnız, olay boşluğa indirgendiğinde, div0E =  + ρ şeklinde yazılan denklemde yer alan 0E nin, esas olayın birinci bileşenini oluşturan ve D ile gösterilen deplasman alanından farklı olduğu unutulmamalıdır.

2.7 Sınır Koşulları ve Elektrostatiğin Esas Problemi Biraz önce sözünü ettiğimiz varsayımın anlamını daha açık bir şekilde kavrayabilmek için Şekil-2.7 deki durumu gözönüne alalım. S yüzeyi, parametreleri 1 ve 2 S

n 2

E1

E2

1 y

O x Şekil-2.7

olan basit iki ortamı birbirinden ayırmaktadır.S nin üzerinde E alanı süreksiz olabilir. Daha genel bir hali gözönüne almış olabilmek için, S üzerinde s yoğunluğu ile yayılmış bir yüzeysel yükün bulunduğunu da düşünelim. Bu halde, ={}+s(S),

divD={divD}+ [[n.D]](S),

rotE={rotE}+ [[nE]](S)

olduğundan, (2.21a) denklemi {rotE} = 0 (S in dışında)

(2.22a)

[[nE]] = 0 (S in üzerinde)

(2.22b)

{divD} = {} (S in dışında)

(2.22c)

[[n.D]] = s (S üzerinde)

(2.22d)

(2.21b) denklemi de

verir. (2.22a) ve (2.22c) denklemleri (2.21a) ve (2.21b) nin S in içinde ve dışında, ayrı ayrı, geçerli olduklarını ifade etmektedir. (2.22b) ve (2.22d) denklemleri ise alanın S üzerindeki süreksizliğine ilişkin bir takım bilgiler vermektedir. S e dıştan yaklaşıldığında E nin teğetsel bileşeninin limit değeri Et(2) , içten yaklaşıldığındaki teğetsel bileşeninin limit değeri de Et(1) olsun. Bu halde, (2.22b) nin açık anlamı şudur: Et(2) = Et(1).

(2.23a)


42

Bu demektir ki; iki basit bölgenin sınırı üzerinde elektrostatik alanın teğetsel bileşeni her zaman süreklidir. Benzer şekilde, E nin S e dıştan yaklaşılırken ölçülen normal bileşeni En(2), içten yaklaşılırken ölçülen normal bileşeni de En(1) olsun. Bu halde, (2.22d) nin açık anlamı şudur: 2 Et(2) - 1 Et(1) = s .

(2.23b)

Bu bağıntı gösteriyor ki; iki basit ortamı ayıran bir S yüzeyi üzerinde D nin normal bileşeni süreksiz ise, S üzerinde yüzeysel yük birikimi olmuştur ve bunun yoğunluğu Dn nin süreksizliği kadardır. Tersine, S üzerinde bir yüzeysel yük varsa, D nin normal bileşeni S üzerinde süreksizdir ve bu süreksizlik her noktada yüzeysel yük yoğunluğu kadardır. (2.23a,b) sınır koşulları (2.22a,c) denklemleri ile beraber elektrostatik alan problemini çözmeye yarayacak bir sınır-değer problemi oluştururlar. Bu türden problemler, genellikle her zaman, potansiyel fonksiyonlarını bulmak şeklinde kurulduğundan, (2.23a,b) nin potansiyeller cinsinden yazılmış ifadelerini de çıkarmak gerekir. (2.23b) nin yerini alacak olan bağıntı hemen 2 ( V )2 - 1 ( V )1 = - s n n

(2.23c)

olarak yazılır. (2.23a) ise, özellikle, V1 = V2 (S üzerinde)

(2.23d)

olunca sağlanır. Bu, elektrik alanın bütün uzayda, sürekli veya süreksiz bir fonksiyon ile ifade edilir olması halinde gerek ve yeter olan bir koşuldur. Gerçekten, eğer S üzerinde V süreksiz olursa, (2.11n) uyarınca E nin ifadesinde [[V]]n(S) gibi bir terim de bulunur. Bu, fonksiyonların dışında bir terimdir. Böyle bir terimi yaratabilmek için S üzerinde bir çift tabakanın da bulunması gerekir. Bunu kolay bir şekilde görebilmek için S in x = 0 düzleminden ibaret olduğunu düşünelim ve alanı yaratan kaynakların yoğunluğunu Bölüm 2.6 daki uyarıyı gözönüne alarak hesaplayalım. [[V]] farkı x den bağımsız olduğundan, (2.16) dan  + ρ = - 0 divgradV = - 0 div[{gradV} + [[Vex]](x)] = - 0 [{divgradV}+ [[ex.gradV]] (x) + [[V]]’(x)] buluruz. Bölüm 2.5.2 de sözü edilmiş olduğu üzere, eğer [[V]]  0 ise, buradaki son terim x = 0 düzleminin bir çift tabaka oluşturduğunu gösterir. Eğer bir S yüzeyinin içindeki ve dışındaki ortamlarda elektrik yükleri serbestçe hareket edemiyorlarsa (yalıtkan ortamlar) ve yapay bir şekilde S üzerine yük yerleştirilmemişse, zorunlu olarak s = 0 ve, (2.23c) uyarınca,



Bakınız Pr.-11.

43

İÇİNDEKİLER

2 ( V )2 = 1 ( V )1 (yalıtkan ortamlar arasında) n n

(2.23e)

dır. Buna karşılık, S in içindeki veya dışındaki ortam yüklerin serbestçe hareket edebilmesine olanak veriyorsa, S üzerinde bir yük birikmesi olabilir. Bu halde (2.23c) bağıntısı problemi çözmeye yaramaz; tersine, çözüm bulunduktan sonra s i belirlemeye yarar. İçinde elektrik yüklerin serbestçe hareket edebildiği ortamlara iletken ortamlar adı verilir. İletken ortamların sınırında gerçeklenen ikinci bir bağıntı, iletken ortamın bazı özellikleri gözönünde tutularak yazılabilir. Gerçekten, basit bir düşünüşle hemen görebiliriz ki; iletken cisimlerin içinde potansiyel sabit bir değere sahiptir ve bu cisimlerin taşıdığı elektrik yükü bütünüyle yüzeyde toplanmıştır. Gerçekten, Şekil-2.7 deki S yüzeyinin içinde kalan  bölgesi iletken olsun ve t = 0 anında bunun içinde  yoğunluğu ile dağılmış bir yük bulunsun.  de V = sabit değilse, her yük parçacığı E = - gradV ile orantılı bir kuvvetin etkisi altında bulunacak ve belirli bir yöne doğru hareket edecektir. Bu hareketler bir denge durumu oluşuncaya kadar sürer (elektrostatik bu denge durumu ile ilgilenir). Söz konusu denge durumu, ilk bakışta birbirinden farklı gibi görünen şu iki halden birinde oluşur: i )  de   0; S de   0 fakat V= sabit’ tir, ii)  de V= sabit’tir. Eğer  de V sabit ise, (2.10b) uyarınca  in içinde   0 dır.Yani, ikinci hal zorunlu olarak (i) yi doğurur. Tersine, (i) varsa, kolayca ispat edebiliriz ki (bakınız Pr.-1);  nin içinde her yerde V  sabit’tir, yani (ii) vardır. Bu demektir ki; V  sabit

(S üzerinde)

(2.23f)

koşulu S in sınırladığı bölgenin iletken olduğunu tanımlamaya tamamen yeterlidir. İletken cisimlerin söz konusu olduğu hallerde elektrostatiğin sınır değer problemlerinde (2.23c) nin yanı sıra gözönünde bulundurulması gereken ikinci sınır koşulu (2.23f) den ibarettir. Problemler Pr.-1.Kapalı bir S yüzeyi üzerinde VVs = sabit olsun ve S in içindeki bölgede kaynak bulunmasın. S in içinde VVs olduğunu gösteriniz. Pr.-2.x = 0 ve x = d düzlemleri iletken olsunlar ve, sırasıyla V0 ve Vd potansiyellerine sahip bulunsunlar. Bu düzlemler arasındaki bölge, permitivitesi  olan bir madde ile dolu olsun ve kaynakları içermesin. Bu bölge içinde potansiyel fonksiyonunu ve iletkenlerin üzerinde, birim alanda toplanan yükleri bulunuz. x = d düzleminde birim alanda toplanan yük Qd ile gösterildiği takdirde, C = Qd /(Vd-V0) ı hesaplayınız (aşağıdaki şekle bak.).



 ile  ve çevresi (kapalı küme) gösterilmektedir.


x

d

x

Vd 

O

V0

d c 2 1 O

44

Vd

V0

Pr.-3.Yukarıdaki problemde iletkenler arasındaki 0
a

V1 h

e

O

b

c

x

-a V=0

Pr.-5.Regüler bir S yüzeyi tarafından kuşatılmış bir iletken cismin dışında V potansiyel fonksiyonu biliniyor olsun.Cismin dışındaki ortam değişik dielektrik malzemelerle dolu ise, S üzerinde toplanan yükün Q = -   V dS n S

ile bulunabileceğini gösteriniz.Burada n, S in dışına yönelmiş normal,  ise dış ortamın dielektrik sabitidir. Pr.-6. R yarıçaplı iletken küre üzerinde potansiyel V0 dır. Küre üzerindeki Q yükünü ve C = Q/V0 ı hesaplayınız. Pr.-7.Boşlukta bulunan, R yarıçaplı, sonsuz uzun iletken bir silindir, yüklenerek, =1 yüzeyi üzerindeki noktalara göre V0 potansiyeline çıkarılmıştır. Silindirin birim uzunluktaki parçası üzerinde toplanan Q yükünü ve C = Q/V0 ı hesaplayınız. Pr.-8.Q yükünü taşıyan a yarıçaplı çok küçük bir iletken küre, şekilde gösterildiği gibi, bir küresel oyuğun içine yerleştirilmiştir. Oyuğun çeperini oluşturan malzeme iletkendir ve önceden elektrikle yüklenmiş değildir. a) Oyuk içinde yaratılan alanı bulunuz. b) Küresel kabuğun iç ve dış yüzeylerinde toplanan elektrik yükleri hesaplayınız. c) Kabuğun dışında yaratılan alanı yazınız.

İÇİNDEKİLER

45

d) Küçük küre kabuğun iç çeperine yaklaştırılıp dokunduruluyor ve oyuktan çıkarılıyor. Meydana gelen olayları anlatınız. e) Küçük küre yeniden Q yükü ile yüklenip oyuğa sokulsa, yukarıda a, b, c, d de sözü edilen sonuçlar nasıl değişir?

b c

Pr.-9.z<0 ve z>0 bölgeleri, dielektrik sabitleri 1 ve 2 olan dielektriklerle doludur ve orijinde noktasal q yükü vardır. a)Potansiyel fonksiyonunun sağladığı diferansiyel denklemin ve diğer koşulların V(r,,) = f()/r şeklindeki bir fonksiyonla sağlanabileceğini gösteriniz ve f() nın biçimini ortaya çıkarınız. b)(2.10a) nın her zaman geçerli olduğundan yararlanarak f() yı belirleyiniz ve sonucu yorumlayınız. Pr.-10. Sonlu bir S yüzeyi ile sınırlı  bölgesi, duyarlılığı  olan bir basit ortam, bunun dışı boşluk olsun.  içinde yaratılan dipollere ilişkin yük yoğunluğu ρ , dış yüklerin yoğunluğu da 0 ise, div(0E) = 0 + ρ nın distribüsyon anlamında sağlandığını gösteriniz. Pr.-11.  = {}+ s(x) + 1s’(x) ise (2.22a-d) nasıl değişir? Sonucu yorumlayınız. Pr.-12.a)B1,...,Bn iletken cisimleri V1(1),...,Vn(1) potansiyellerine sahip iken üzerlerinde biriken yükler, sırayla, Q1(1),...,Qn(1) ; V1(2),...,Vn(2) potansiyellerine sahip iken de Q1(2),...,Qn(2) olsun. Bu halde, n

n

(1) (2)  Qj Vj = 

j 1

j 1

*

Qj(2)Vj(1)

olduğunu gösteriniz (Gauss özdeşliği) . b)Yukarıdaki sonuçtan yararlanarak, bir noktasal q yükünün etkisi altında bulunan topraklanmış bir iletken cismin üzerinde toplanan yükün V(P) Q=-q VS ye eşit olduğunu gösteriniz.Burada V(P) ve VS, q=0 halinde cisim VS potansiyeline sahip iken q nün bulunduğu P noktasında gözlenen potansiyeldir. Pr.-13.Paralel iki iletken düzlem arasında kalan ve basit bir malzeme ile dolu bulunan bölgede bir noktasal q yükü vardır. Düzlemlerin potansiyeli eşit olduğunda, üzerlerinde biriken toplam yükün a2 a1 Q1= - q , Q2= - q a1  a2 a1  a2 *

Bak.Böl.2.3.Pr.-8.


46

ye eşit olduğunu gösteriniz. Buradaki aj büyüklükleri şekilde gösterilen uzunluklardır.(NOT:Şu iki hali gözönüne alarak Gauss özdeşliğini uygulayınız: Birinci halde P noktasında q yükü varken levhaların potansiyeli sıfıra eşit; ikinci halde ise P noktasındaki yük sıfıra eşit iken levhaların potansiyeli V1(2) ve V2(2) ye eşit olsun). Q1

Q2

*

q a1

a2

Pr.-14. Boşluğa indirgenmiş Poisson denkleminden hareketle (2.23e) yi çıkarınız.

2.8 Yüzeysel Yüke Etki Eden Kuvvet Sonsuz geniş, basit bir ortamda q1, q2,…,qn yüklerinin bulunduğunu düşünelim. Bu halde her yük belirli bir kuvvetin etkisi altında bulunur. Örneğin, q1 e etki eden F1 kuvveti F1 = q1

1 n r qi 3i  4 πε i  2 ri

(2,24a)

ya eşittir. Burada ri ile, her zaman olduğu gibi, qi yükünü q1 e birleştiren vektör gösterilmektedir. Açıkça görülüyor ki; yukarıdaki F1 kuvveti, q1 in kendisi hariç diğer bütün yüklerin katkısı ile meydana gelmiştir. Bunu gözönünde bulundurarak (2.24a) yı yüklerin sayılamayacak kadar çok olması haline kolayca genişletebiliriz. Gerçekten, yükler belirli bir  yoğunlu ile  hacminin içine dağılmış bulunsun.  bütün uzay da olabilir.  nin içindeki bir P noktasında yük başına etki eden kuvveti bulmak için, (2.24a) ya bakarak, şöyle hareket ederiz: önce,  herhangi bir pozitif sayı olmak üzere, merkezi P ve yarıçapı  olan S küresinin dışında bulunan bütün yüklerin P deki birim yüke etkisini hesaplarız; sonra da  0 yaparız: E(P) =

1 lim 4 πε   0



 - 



r' r'3

d .

(2.24b)

Burada  ile S küresinin içinde bulunan hacim gösterilmektedir.Bu son ifade (2.3b) den başka birşey değildir; yakınsak olduğu takdirde P noktasındaki alanı verir. Gerçekte (2.3b) nin asıl anlamı (2.24b) den ibarettir. Şimdi yüklerin bir regüler S yüzeyi üzerine s yoğunluğu ile dağılmış bulunduklarını düşünelim ve S in üzerindeki bir P noktasında birim yüke etki eden E(P) kuvvetini hesaplamaya çalışalım. Bunun için (2.24b) ye benzer olarak, ekseni P den geçen 

(2.24b) deki limit değer  içindeki integralin Cauchy asal değeridir.

İÇİNDEKİLER

47

normale çakışık bulunan  yarıçaplı silindirle S in arakesiti olan S yüzey parçasının dışında kalan bütün yüklerin P deki birim yüke etkisini gözönüne almak ve 1 lim 4 πε   0

E(P) =



s

S - S

r'

dS

r'3

(2.24c)

yazmak gerekir (Bakınız Şekil-2.8). Şimdi, P den geçen normalin üzerinde S in farklı tarafında bulunan ve P ye uzaklıkları eşit olan P+ ve P- noktalarını gözönüne alalım. Bu noktalardaki alan şiddetleri, tekil olmayan, E(P+) =

1 4 πε

r s 3 dS,



E(P-) =

r

S

1 4 πε



r s 3 dS

S

r

integralleri ile verilir. Bunları n P+ r+ P S r’ dS

S

r-

P-

Şekil-2.8 E(P+) =

1 4 πε

 S - S

r 1 s 3 dS + r 4 πε

 S

r s 3 dS r

(2.24d) E(P-) =

1 4 πε

 S - S

r 1 s 3 dS + r 4 πε

 S

r s 3 dS r

şeklinde de yazabiliriz.Şimdi  yi çok küçültelim, öyle ki; S P deki teğet düzlemde bulunan  yarıçaplı daireye son derece yakın olsun ve S içinde s in değişimi ihmal edilebilsin.Bu halde E(P+) ve E(P-) deki son integraller, sırasıyla, [e(h,)n] ve [-e(h,)n] şeklinde, birbirinin zıttı olan belirli değerlere eşit olurlar (Bakınız Bölüm 2.2, Pr.-4). Şimdi (2.24d) de h  0 yapalım. e(0,) limiti  dan bağımsız olup (s/2)  e(0) a eşittir. Bunu ve (2.24c) yi gözönüne alarak 0 yapacak olursak,


48

lim E (P+) = E(P) + e(0)n

P  P

(2.24e) lim E(P-) = E(P) - e(0)n

P  P

yazarız. Yukarıdaki ilk denklemin sol yanı, S in dışında ölçülen elektrik alanın n nin gösterdiği taraftan P ye yaklaşıldığında gözlenen limit değeridir. Bunu E+(P) ile göstereceğiz. Benzer şekilde, ikinci denklemin sol yanı da P ye (-n) nin gösterdiği taraftan yaklaşılırken gözlenen elektrik alandır ve E-(P) ile gösterilir. (2.24e) den apaçık gözüküyor ki; (2.24c) şeklinde tanımlanan P deki elektrik alan E(P) =

1 [E(P+) + E(P-)] 2

(2.24f)

den ibarettir. Son olarak, değişik türden bir çok kaynağın bir arada bulunduğu hali gözönüne alalım. Bu halde, yüzeysel yükleri taşıyan bir S yüzeyinin herhangi bir P noktası civarındaki alanı iki kısımdan oluşmuş düşünebiliriz. Bunlardan biri S üzerindeki yükün, diğeri de S dışındaki yüzeysel, hacimsel, çizgisel veya noktasal yüklerin toplam katkısıdır. Bu sonuncu P civarında sürekli olduğundan, (2.24e) ve (2.24f) toplam alan için de geçerli olur. Bu demektir ki; herhangi bir sdS yüzeysel yüküne etki eden kuvvet, her zaman 1 dF = sdS [E+ + E-] (2.24g) 2 den ibarettir. Uyarı. Yukarıdaki (2.24f) ve (2.24g) bağıntılarını, uzayın homogen olması halinde anlamlı olan (2.24c) denkleminden çıkardık. Gerçekte bu bağıntılar uzayın homogen olmadığı hallerde de geçerlidir. Gerçekten, uzay kapalı S1, S2, … yüzeyleri ile değişik basit ortamlara parçalanmış olsun ve bunların içindeki malzemelerin dielek-trik sabitleri de 1, 2, ... olarak bilinsin. Bu halde,  ların 0 dan farklı olmasının asıl nedeni olan yükleri gözönüne alıp elektrik alanı 0 sabitli boşlukta (2.24c) formülü ile hesaplayabiliriz. Bu hesabın sonucu (2.24f) ye uyar. Problemler Pr.-1.z = 0 ve z = h düzlemleri üzerinde, sırasıyla, 0 (=sabit) ve h (= sabit ) yoğunlukları ile yayılı yükler bulunsun, a. z = 0 ve z = h düzlemleri üzerindeki alan şiddetlerini, doğrudan doğruya hesaplayarak, bulunuz. b. z > h, z(0,h) ve ve z < 0 bölgelerindeki alan şiddetlerini hesaplayınız. c. z = 0 ve z = h üzerinde (2.24f) eşitliğinin gerçeklendiğini gösteriniz. d. z = 0 düzlemindeki S alan parçasına etki eden kuvveti bulunuz. e. h = 0 ve h = - 0 özel hallerinde (d) de sözü edilen kuvvetin değerini yazınız. Pr.-2.Kütleleri M olan, a yarıçaplı iki iletken yarım küre, şekilde gösterildiği gibi üst üste konmuş ve V potansiyeline çıkarılmıştır. A ve B yaylarına etki eden kuvveti V nin fonksiyonu olarak yazınız (yayların varlığı nedeniyle elektrik alanda meydana gelen değişiklik ihmal edilecektir). 

Bakınız Bölüm 2.6. Uyarı.

İÇİNDEKİLER

49

A

M

a

O

M B

Pr.-3.Birim uzunluktaki kütleleri M olan, sonsuz uzun, a yarıçaplı iki yarım iletken silindir şekildeki gibi üst üste konmuş ve birim uzunluktaki kısmında Q yükü bulunacak şekilde yüklenmiştir. Silindirlerin birbirinden ayrılmaması için birim boydaki kısma uygulanması gereken Fd kuvvetini bulunuz. Fd M M Fd

Pr.-4.Bölüm 2.3 Pr.-5 de sözü edilen iç silindirin yarısının birim uzunluktaki parçasına etki eden kuvveti hesaplayınız. Pr.-5.Bölüm 2.3 Pr.-6 da sözü edilen iç kürenin yarısına etki eden kuvveti hesaplayınız. Pr.-6.Bölüm 2.3 Pr.-5 de sözü edilen dış iletkenin 1 cm2 lik kısmına etki eden kuvveti Va – Vb = 10kV, b = 2,5 cm, a = 0,5 cm, ε = 10ε0 olması halinde hesaplayınız.

2.9 Logaritmik Potansiyel Kavramı Oz ekseni boyunca sabit bir c (kulon/m) yoğunluğu ile yayılmış bulunan yükü gözönüne alalım. Bu yükün yaratmış bulunduğu alana ilişkin potansiyel (2.5a) formülü ile hesaplanmak istenirse, V(x,y,z) =

ρc 4



d



ρ  (z -  )



2

2

(2.25a)

yazılır. Oysa, açıkça görüldüğü üzere, bu integral yakınsak değildir. Yani, (2.5a) formülünün geçerli olduğu haller içinde burada söz konusu olan çizgisel yük dağılımı hali yoktur. Bu anormallik c = sabit yoğunluğu ile Oz ekseni üzerine yayılmış bulunan yükün sonsuz miktarda olmasından ileri gelmektedir.


50

(2.25a) integralinin ıraksak olmasına karşın; E nin (2.3b) deki ifadesinde ortaya çıkan

ρ E(x,y,z) = c 4



1



2 2 3/2   {ρ  (z -  ) }

[e+(z-)ez]d

(2.25b)

integrali yakınsaktır. Bu demektir ki; (2.5a) yardımıyla potansiyel hesaplamaya kalkışmadıkça, burada söz konusu edilmek istenen ideal problemin anormal bir durumu ortaya çıkmayacaktır. Bölüm 2.3 de yapılmış bulunan yorum da zaten V nin kendisinin değil, A ve B noktalarında almış olduğu VA ve VB değerlerinin farkının bir fiziksel anlamı olduğunu ortaya koymuş bulunmaktadır. Burada kolayca gerçekleyebiliriz ki; (2.25a) ile verilen potansiyelin A ve B noktalarında almış olduğu değerlerin farkı sonludur. Gerçekten, A ve B noktalarının dairesel silindirik koordinatları, sırasıyla, (A,A,zA) ve (B,B,zB) ise, (2.25a) dan, önce

ρ VB - VA= c [ lim 4 h  

zB  h



zB h

zA  h

d ρ 2B  ( - z B ) 2

- lim

h 

d



ρ 2A  ( - z A ) 2

zA h

]

yazılır. Sonra da,  - zB = BShw1 ve  - zA = AShw2 dönüşümleri yapılarak VB - VA=

ρc h h - ArgSh lim [ArgSh ρB ρA 4 h  

]

bulunur. u   için ArgShu = log[u +

u 2  1 ]  log[2u + 1/(2u) + ... ]

olduğu gözönünde tutulursa (Bakınız Pr.-1), bu son ifade ρ ρ VB - VA = c log A 4 ρB

(2.25c)

ye dönüşür. Buradan anlaşılıyor ki; potansiyel fonksiyonunun (2.25a) daki ifadesi anlamsız bile olsa, VA-VB farkı (2.25c) ile hesaplanabilir. Bu fark, V(x,y,z) =

ρc 1 log  2

(2.26a)

fonksiyonunun A ve B noktalarında almış bulunduğu değerlerin farkına eşittir. Kolayca gerçekleyebiliriz ki; (2.26a) dan E = - gradV

(2.26b)

ile hesaplanan E alanı da (2.25b) den başka bir şey değildir (Bakınız Pr.-2). Yani, burada söz konusu olan durumda alana ilişkin her fonksiyon sadece x ve y nin fonksi-



Bu sonuç, u = Shw = (ew-e-w)/2 de w yapıldığında 2u  ew olduğu gözönünde tutularak da hemen görülebilir.

İÇİNDEKİLER

51

yonudur ve alan (2.26a) daki potansiyelden türemiştir. (2.26a) ya logaritmik potansiyel, ve bu türden alanlara da düzlemsel alanlar adı verilir. Şimdi, koordinat sisteminin orijinini kaydırarak yükü taşıyan çizgiyi x =  , y =  ve z(-,) ile belirlenen doğru çizgi haline getirelim ve (2.26a) da c=(,)dd yazalım. Böylece bulunacak potansiyelin bütün Oxy düzlemindeki integrali V(x,y) =

1 2



(,)log (

1 )dd, ( ’2 = (x-)2 + (y-)2 ) ρ'

(2.26c)

olur. Bu, z ye bağlı olmayan  = (x,y) kulon/m3 yoğunluğu ile uzaya yayılmış bulunan yükün yarattığı logaritmik potansiyeldir. Düzlemsel alanlar halinde (2.26b) ye uyan potansiyelin en genel ifadesinin, V0 bir sabit olmak üzere 1 1 V(x,y) = log ( )dS + V0 (2.26d)  2 ρ' den ibaret olacağı aşikârdır. Problemler

u 2  1 ] oldugunu ve u   için

Pr.-1.u = Shw olsun. w =ArgShu = log[u +

ArgShu  {u + |u| + 1/(2|u|) + ... } yazılabileceğini gösteriniz. Pr.-2.(2.25b) yi doğrudan doğruya hesaplayarak (2.26b) yi sağlayınız. Pr.-3.0xy düzlemindeki bir regüler eğri parçası C, Oxy düzlemi ile arakesiti C olan sonsuz uzun silindirik yüzey parçası da S olsun. S üzerinde =c(x,y)(C) yoğunluğu ile yayılmış bulunan yükün yarattığı logaritmik potansiyelin V(x,y) =

1 2



c (,)log (

C

1 )dc + V0 ρ'

ile verildiğini gösteriniz. c nin boyutunu belirtiniz ve açıklayınız. y

C

’ (,)

O

(x,y)

dc x

Pr.-4.Sabit iki noktaya uzaklıklarının oranı sabit olan noktaların geometrik yerinin bir daire olduğunu gözönünde bulundurarak, 1) V(x,y) =

(x - a) 2  y 2 A log [ ], (a>0) 2 (x  a) 2  y 2


52

ile belirli V(x,y) fonksiyonunun, eş-potansiyel yüzeyleri dairesel silindirler olan bir elektrostatik alan gösterdiğini kanıtlayınız. 2) Eksenleri arasındaki uzaklık d olan R1 ve R2 yarıçaplı iki silindir üzerinde potansiyelin aldığı değerlerin farkının V0 a eşit olması için a ve A ne olmalıdır? R1= R2 halini inceleyiniz. Pr.-5. Sonsuz geniş bir basit ortamdaki  = a, (0,2), z(-,) silindiri üzerinde düzgün yayılı bir yük bulunsun. a) Gauss teoreminden yararlanarak elektrik alanın ve potansiyel fonksiyonun açık ifadelerini bulunuz. b) Potansiyel fonksiyonun integral ifadesini yazınız. c) (a) ve (b) deki ifadeleri karşılaştırarak

 log ρ , 1 2 2 2  log   a  2a cos d =  2 0  log a ,

ρa ρ a

olduğunu gösteriniz. Pr.-6.Oxy düzlemindeki x = ± a ve x = ± b noktalarından geçen paralel doğrular üzerinde, şekilde belirtildiği gibi, (± ρc) yoğunluklu yükler vardır.Hem x = 0 düzleminin hem de R = ab yarıçaplı silindirin üzerinde potansiyelin sıfır olduğunu gösteriniz.

y -ρc

-b

ρc -a

-ρc

a

ρc

x

b

2.10 Denk Problemler ve Denk Kaynaklar. Görüntü Kavramı Bir elektrostatik probleminde amaç, bir bakıma, potansiyel fonksiyonunun açık ifadesini bulmaktır. Birazdan daha açık olarak göreceğimiz üzere, değişik kaynak dağılımları sınırlı bir bölgede aynı potansiyeli yaratabilirler. Bu halde, söz konusu kaynaklar söz konusu bölge bakımından birbirine denktir, denir. Denk kaynaklar arasında oldukça basit bir dağılıma sahip bulunanları saptamak, sınır-değer problemlerini kolayca çözebilmek yönünden oldukça büyük bir öneme sahiptir. Konuya açıklık kazandırmak amacıyla (Şekil-2.9a) daki problemi gözönüne alalım: z > 0 bölgesi dielektrik sabiti 2 olan bir basit madde ile doludur ve bunun içindeki bir A noktasında q yükü bulunmaktadır. z = 0 düzlemi iletken bir malzeme ile kaplı olup V= 0 potansiyeline sahiptir (sonsuzdaki noktanın potansiyeli sıfır kabul ediliyor). Problem, z > 0 bölgesindeki V2(x,y,z) potansiyel fonksiyonunun açık ifadesinin bulunmasından ibarettir.z < 0 bölgesi ile ilgilenilmemektedir. A noktasındaki q yükü nedeniyle z = 0 düzlemi üzerinde, s = (-2  V/  z)x=0 yoğunluklu bir yük birikimi olur.V2 potansiyelinin kaynağı A daki noktasal yük ile

İÇİNDEKİLER

53

z = 0 düzlemine yayılı bulunan bu yüktür. Bu nedenle, z = 0 düzlemini ortadan kaldırıp onun yerine, üzerindeki yük dağılımını yerleştirecek olursak ( bak.Şekil-2.9b) potansiyelin z > 0 ve z < 0 bölgelerindeki ifadeleri değişmemiş olur. Bu son durumda z < 0 bölgesinin dielektrik sabiti istenildiği gibi düşünülebilir. Son olarak, z = 0 düzlemindeki yükleri de kaldıralım ve A nın simetriği olan B noktasına (-q) yükünü koyalım. Eğer bu halde 1= 2 yapacak olursak (bak. Şekil-2.9c) z = 0 düzlemine

2 , V2

2 , V2

2 , V2

q

q

A q

V=0

V1 0

 + + + + + + + +s + + + V = 0 1= ?? V1 0

(a)

rA

(x,y,z) rB

V=0 1= 2 V1= -V2(x,y,-z ) B(- q)

(b)

(c)

Şekil-2.9 göre simetrik konumda bulunan noktalardaki Coulomb potansiyelleri işaret farkıyla birbirine eşit olacaklardır: V1(x,y,z) = - V2(x,y,-z)

(2.27a)

z = 0 düzlemi üzerinde potansiyel sürekli olduğundan, (2.27a) dan, hemen z = 0 da V1= V2 = 0

(2.27b)

çıkarılır. Bu, V2 nin sağladığı diferansiyel denklem ve sınır koşulu bakımından (Şekil-2.9c) deki durum ile (Şekil-2.9a) daki durumun tamamen birbirinin aynı olduğunu göstermektedir. Yani, (Şekil-2.9a) ve (Şekil-2.9c) deki V2 fonksiyonları birbirinin aynıdır. Değişik olanlar sadece z < 0 bölgesindeki potansiyellerdir. Bu demektir ki, z > 0 bölgesi bakımından (Şekil-2.9b) ve (Şekil-2.9c) deki kaynaklar birbirine denktirler. (Şekil-2.9c) deki problemin çözümü son derece basittir ve V2(x,y,z) =

q 1 1 [ ], z>0 4 πε rA rB

verir. B deki (-q) yüküne A daki q yükünün görüntüsü adı verilir. İletken düzlemlerin söz konusu olduğu problemlerde görüntü yöntemi ile çözüme ulaşmak, çoğu kez, oldukça kolaydır. V2 nin açık ifadesini bulmak söz konusu oldukça (Şekil-2.9a,b,c) deki üç problem de birbirine denktir, deriz. Çünkü bunlar aynı V2 fonksiyonunu ortaya çıkarırlar. (Şekil-2.9a) ve (Şekil-2.9b) deki problemlerin denkliği biraz daha ileri bir aşamadadır. Çünkü, bunlar hem V2 hem de V1 bakımından birbirlerine denktirler. Bu denklik z = 0 düzlemine yerleştirilmiş bulunan yüklerle sağlanmıştır. Daha genel olarak


54

(Şekil-2.10a,b) deki problemleri gözönüne alalım. Bir regüler S yüzeyi ile kuşatılmış bulunan bölgenin içi; bir halde dielektrik sabiti 1, diğer halde de 3 olan maddelerle dolu iken, dışı, dielektrik sabitleri, sırasıyla, 2 ve 4 olan maddelerle doludur. Her iki halde de içteki potansiyelin V1, dıştakinin de V2 olmasını sağlayacak V2

S

2

V2

V1

S

4

1

V1 3

(a)

(b) Şekil-2.10

kaynakları saptamak kolaydır: Buradaki V1 ve V2 fonksiyonları ikinci mertebeye kadar sürekli türevlere sahip herhangi fonksiyonlar olabilirler. Eğer S üzerinde, her yerde V1 = V2 sağlanıyorsa, içte ve dışta ayrı ayrı yazılan  = -  V denklemi ile önce bölgeler içindeki yüklere ait yoğunluklar saptanır, sonra da 2V2 / n - 1V1 / n = s 4V2 / n - 3V1 / n = - ρ s bağıntıları ile S yüzeyi üzerindeki yükler belirlenir*. Yani, yükleri uygun seçerek (Şekil-2.10a) daki problemle (Şekil-2.10b) deki problemi her zaman birbirine denk yapabiliriz. Eğer 3 = 4 = 0 seçecek olursak, (Şekil-2.10b) deki potansiyelin bir integral ifadesini yazmak olanağını elde ederiz ki, bu, bazan V1 ve V2 nin bulunması problemini daha basit bir probleme dönüştürür. Örnek olarak (Şekil-2.11a) daki problemi gözönüne alalım: S yüzeyinin bir kısmında, S1 de, potansiyelin değeri bilinmektedir†, diğer kısımda ise yük birikimi sıfırdır. S in içinde ve dışında kaynak bulunmadığı takdirde V1 ve V2 nin açık ifadelerinin bulunması istenmektedir. Buna denk bir problem (Şekil-2.11b) de gösterilmiştir. S in içinde V1= 0, dışında da V2= 0 olduğundan, bu denk problemin kaynakları sadece S yüzeyi üzerinde bulunabilir. Bu kaynaklara ait yoğunluk fonksiyonu ρ s olsun. Bu halde, içte  V1 ρs 1 V= dS =  4π 0  r' V2 d ışta S

* †

S üzerinde V1V2 ise, S üzerine dipoller de yerleştirmek gerekir. Bakınız Bölüm 2.7. Sonsuz uzaktaki noktanın potansiyeli sıfır kabul edilmektedir.

İÇİNDEKİLER

55

yazılır.V1in hesaplandığı (x,y,z) noktasını S yüzeyine yaklaştırdığımızda  V1/  n nin n V=V0

n

2, V2=0

S1

S1

1, V1=0

V=V0

0, V2=0

0, V1=0 s= 0

S2

ρs

S2

(a)

(b) Şekil-2.11

aldığı limit değeri (  V/  n)i ile, V2 nin hesaplandığı noktayı S e yaklaştırdığımızda  V2/  n nin aldığı limit değeri de (  V/  n)d ile gösterelim. İspat etmek mümkündür ki; ρ 1 _  1 (  V/  n)i = ( )dS + s (2.28b) ρs  2 0 n r' 4π 0 S

(  V/  n)d =

ρ 1 _  1 ( )dS - s ρs  2 0 n r' 4π 0 S

(2.28c)

dır. Buradaki integrallerde gözüken r’, S üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklıktır ve, dolayısıyla, integrasyon esnasında sıfır olabilmektedir (Şekil-2.12). Bu nedenle, söz konusu integraller tekil integrallerdir. İntegral işareti üzerindeki çizgiler bu tekil integrallerin Cauchy asal değerinin söz konusu olduğunu belirtmek için konmuştur. Bu bağıntılar, ρ s fonksiyonunu bulmak için kullanılabilirler. Çünkü, aynı fonksiyonlar (Şekil-2.11a) da belirtilen sınır koşullarını sağlamak zorundadırlar. Böylece 2  V2/  n - 1  V1/  n = 0 ,

S2 de

V1 = V0,

S1 de

koşulları, ρ s i çözmeye yarayacak olan

[ ε2 ε0

ε1 ε0

]

ε ε  1 1 _ ρs ( )dS - [ 2 + 1  ε0 ε0 4π n r' S

1 _ ρs dS = V0, 4π 0 S r'



Bakınız Bölüm 2.8 Formül (2.24e).

] ρ s = 0, 2

S2 de

(2.28d)

S1 de

(2.28e)


56

denklemlerini yazma olanağını verirler. Bu denklemleri nümerik yöntemlerle çözerek, oldukça karışık görünüme sahip olayları aydınlığa kavuşturmak mümkündür. n (x,y,z) r’ (,,)

dS

S Şekil-2.12

İspata kalkışmadan kaydetmekle yetinelim ki; Bölüm 2.9 da gözönüne alınmış bulunan düzlemsel alanların söz konusu olduğu hallerde (2.28a,b,c) nin yerini V=

1 2ε 0



ρ c log (

C

(  V/  n)i =

1 )dc ρ'

(2.29a)

ρc 1 _ 1  log ( )dc + ρc  2ε 0 2 0 ρ' n

(2.29b)

ρc 1 _ 1  log ( )dc ρc  2ε 0 2 0 ρ' n

(2.29c)

C

(  V/  n)d =

C

alır. Problemler Pr.-1.Dielektrik sabiti  olan basit ve sınırsız bir ortamda bulunan kaynakların yarattığı alana ait V0(x,y,z) potansiyel fonksiyonunun bilindiğini varsayalım. Bu ortama, kaynakların durumunu etkilemeden; iletken bir cisim konacak olursa, bu cisim üzerinde toplanacak yüke ait yoğunluğun s = -

V 1 1 s  ( )dS - 2 0  -n 2 S n r '

denklemini sağladığını gösteriniz (Robin integral denklemi). Pr.-2.Dilektrik sabiti  olan basit ve sınırsız bir ortamda bulunan kaynakların yarattığı alan z den bağımsız olsun ve V0(x,y) olarak bilinsin. Bu ortama, kaynakların durumunu etkilemeden, anadoğruları 0z ye paralel bir iletken silindir yerleştirilirse, silindir üzerinde toplanacak yükün yoğunluğunun c = -

V0 1 1   c log( )dc - 2 -ρ' n  C n

denklemini sağladığını gösteriniz. Pr.-3.İletken  = a dairesel silindirik yüzeyi V0 potansiyeline sahip olsun ve bunun karşısında ( = b,  = 0, z(-,)) çizgisi üzerinde sabit c yoğunluğu ile

İÇİNDEKİLER

57

yayılı bir çizgisel yük bulunsun. b > a iken dıştaki bölge, b < a iken de içteki bölge bakımından silindir üzerindeki yüklere denk bir çizgisel kaynak bulunacağını ve bunun konumunun a2  ,   0 , z    ,  , b yoğunluğunun da (-c) ile belli olduğunu gösteriniz. Potansiyel fonksiyonun açık ifadesini yazınız. Pr.-4. z = 0 düzlemi iletkendir ve (0,0,a) noktasında q yükü bulunmaktadır. 1. Düzlem üzerinde toplanan yükün yoğunluğunu bulunuz. 2. Noktasal yüke düzlemin etki ettirdiği kuvveti, doğrudan doğruya hesaplayarak, bulunuz. 3.Noktasal yüke görüntü yükünün etki ettirdiği kuvveti (2) deki sonuçla karşılaştırınız. 4.Noktasal yükün düzleme etki ettirdiği kuvveti, doğrudan doğruya hesaplayarak bulunuz ve (2) deki sonuçla karşılaştırınız.

z q a x

O

Pr.-5.z = 0 düzlemi iletkendir ve x(-,), y = 0; z = açizgisi üzerinde, yoğunluğu c olan bir yük vardır. 1. Düzlem üzerinde toplanan yükün yoğunluğunu bulunuz. 2. Çizgisel yükün birim uzunluktaki kısmına düzlemin etki ettirdiği kuvveti doğrudan doğruya hesaplayarak, bulunuz. 3. Çizgisel yükün birim uzunluktaki kısmına görüntü çizgisinin etki ettirdiği kuvveti bulunuz ve (2) deki sonuçla karşılaştırınız. 4. Çizgisel yükün, düzlemin birim genişlikteki x(0,1) kısmına etki ettirdiği kuvveti, doğrudan doğruya hesaplayarak, bulunuz ve (2) deki sonuçla karşılaştırınız. Pr.-6.Birbirine dik iki iletken yarı-düzlemin sınırladığı bölgede bir noktasal q yükü bulunmaktadır.İletken düzlemler topraklandığında (sıfır potansiyele getiridiklerinde) q yüküne etki eden kuvvet ne olur? (yer çekiminin etkisi ihmal ediliyor). y q b F x a 0 Pr.-7. Pr.-5 i şekildeki dörtte bir uzay için çözünüz. y b

c a

0

x


58

Pr.-8.z>0 ve z<0 bölgelerinin dielektrik sabitleri, sırasıyla, 1 ve 2 olsun. z>0 bölgesindeki bir M0 noktasına yerleştirilmiş q yükünün yarattığı alana ilişkin potansiyel fonksiyonunun

z M0 r'

1

M

2

0

x

r1' M1

q  1   2   q   4 r' 4    r '  1 1 1 2 1 V M    2q  2   4 2  1   2 r'

,

z 0

,

z 0

den ibaret olduğunu gösteriniz ve z = 0 düzleminde biriken yükün toplamını bulunuz. Burada r’, MM0 uzaklığını; r’1 de M0 ın görüntüsü ile M arasındaki uzaklığı göstermektedir. Pr.-9.a)z>0 bölgesinde bulunan kaynakların sonsuz geniş uzayda yarattığı potansiyelin ifadesi V = f(x,y,z) olsun. V1= f(x,y,-z) fonksiyonunun, z > 0 bölgesinde Laplace denklemini sağladığını gösteriniz ve sonucu yorumlayınız. b)z>0 bölgesinde (a) da sözü edilen kaynaklar var iken z = 0 düzlemine, V0 potansiyeline sahip bir iletken levha yerleştiriliyor.Bu halde, z>0 bölgesindeki potansiyel fonksiyonunun V = f(x,y,z) – f(x,y,-z) + V0 dan ibaret olduğunu gösteriniz. Pr.-10a) a yarıçaplı bir Г dairesi ile bunun dışında bir B noktası verilmiş olsun. Г nın içinde öyle bir C noktası bulunuz ki; Г üzerindeki P noktalarının B ve C ye uzaklıklarının oranı sabit olsun. Sözü edilen oran nedir? b)Yukarıdaki sonuçtan yaralanarak gösteriniz ki; şekilde gösterilen sisteme ilişkin potansiyel fonksiyonu V=

ρc r b [log 2 - log ] + V0, 2ππ r1 a

ρ>a

dan ibarettir.Burada sözü edilen sistem, B den geçen ve Oz ye paralel olan çizgi üzerinde düzgün yayılı (ρc yoğunluklu) yük ile, dik kesiti Г dairesi olan iletken silindirden oluşmaktadır.

İÇİNDEKİLER

59

Г Г

z P

P

O

r1 C c

r1 r2 a

B b

O

x

(-ρc) c

r2 a

(ρc) x b

Pr.-11.a)(ρ,,z) dairesel silindirik koordinatlar olmak üzere, ρ = a silindirinin dışında bulunan kaynakların bütün uzayda yaratmış olduğu potansiyelin ifadesi z den bağımsız ve V = f(ρ,) olsun. V1 = f(a2/ρ, ) nin, ρ>0 bölgesinde Laplace denklemini sağladığını gösteriniz. Sonucu yorumlayınız. b)ρ > 0 bölgesinde (a) da sözü edilen kaynaklar varken ρ = a silindiri üzerine, potansiyeli V0 olan bir iletken silindir yerleştiriliyor. ρ>0 bölgesinde gözlenen potansiyelin log  V = f(,) – f(a2/ρ,) + V0 log a olduğunu gösteriniz. c)Yukarıdaki sonucu, f(ρ,) = -Ex= - Eρcos ye uygulayınız. Pr.-12.a)ρ>a ve ρa bölgesinde bulunan kaynakların, 1= 2 halinde yarattığı potansiyelin bütün uzayda geçerli olan ifadesi V=f(ρ,) ise, 1≠ 2 halinde geçerli olan ifadesinin, A ve B uygun sabitler olmak üzere,  a2  f(ρ ,  ) - Af( ,  ), V=  ρ  Bf(ρ ,  ) ,

ρa ρ a

den ibaret olacağını gösteriniz.A ve B nin 1 ve 2 cinsinden ifadesini bulunuz. b)Yukarıdaki sonucu, f = -E0x = -E0cos haline uygulayınız. c) b) yi, kaynağın bir çizgisel kaynak olduğu hal için tekrarlayınız. Pr.-13.a)(r,,) küresel koordinatlar olmak üzere, r>a bölgesinde bulunan kaynakların bütün uzayda yarattığı potansiyelin ifadesi V = f(r,,) olsun. Bu halde,

a a2 V1= f( ,,) r r


60

Fonksiyonunun r>a bölgesinde Laplace denklemini sağladığını gösteriniz*. Sonucu yorumlayınız. b)r >a bölgesinde,(a)da sözü edilen kaynaklar varken r=a yüzeyine, potansiyeli V0 olan bir iletken küre yerleştiriliyor.Bu halde, r>a bölgesinde uyarılan potansiyelin V = f(r,,) -

a a2 a f( ,,) + V0 r r r

olduğunu gösteriniz. c)Yukarıdaki sonucu f = - E0z = -E0rcos haline uygulayınız. Pr.-14.r>a ve r>a bölgeleri, permitiviteleri, sırayla, 1 ve 2 olan basit dielektrik malzemelerle dolu bulunsun. r>a bölgesinde bulunan kaynakların, 1= 2 iken yarattığı potansiyelin bütün uzayda geçerli olan ifadesi V= f(r,,) olsun ve r = a da (1/f)f/r = sabit koşulu sağlansın. a) 1 ≠ 2 halinde, A ve B uygun iki sabit olmak üzere, 2   f(r, θ, φ) - A a f( a , θ, φ) V=  r r Bf(r, θ, φ),

ra ra

olacağını gösteriniz. A ve B nin 1 ve 2 cinsinden ifadesini bulunuz. b) Yukarıdaki sonucu f(r,,)= - E0z = - E0rcos ya uygulayınız.

2.11 Elektrostatik Enerji Yoğunluğu Sınırsız geniş, basit bir ortamda tek başına noktasal bir q1 yükü bulunsun. Bunun varlığı ile uzayda bir E1 alanı yaratılır. İkinci bir noktasal q2 yükünü sonsuz uzaktan q1 in yakınına getirelim. Bu halde, yol boyunca (q2E1) kuvvetine karşı bir iş yapılması gerekir.Bu iş, (2.8) uyarınca, q1 W12 = q2 4π  r12 ye eşittir. Burada r12 ile q2 ile q1 arasındaki uzaklık gösterilmektedir. q1 ve q2 aynı işaretli iseler W12 işi pozitif, aksi halde negatiftir. Aynı şekilde, üçüncü bir noktasal q3 yükünü de sonsuz uzaktan q1 ve q2 nin yakınına getirelim. Bu halde, hem q1 in yarattığı E1 hem de q2 nin yarattığı E2 alanlarına karşı bir iş yapılmak gerekir. Bu işler W13 = q3

q1 , 4π  r13

W23 = q3

q2 4π  r23

e eşittir.Bu şekilde, q4, q5,…, qn yüklerini sonsuzdan beriye getirirsek, yapmış olduğumuz toplam iş W = (W12+W13+ ... +W1n)+(W23+W24+ ... +W2n)+ ... +Wn-1,n *

V den V1 e geçiş, Kelvin dönüşümü olarak adlandırılır.

İÇİNDEKİLER

61

=

1 2

n



qiq j

i, j1

=

4π  rij

n

1 2



i 1

(i  j)

1 = 2

qi

n

qj

j1

4π  rij



(j  i)

n



qiVi

(2.30)

i 1

olur.Buradaki Vi, qi yükünün bulunduğu noktada ölçülen, diger yüklerce yaratılmış potansiyeldir.Yükleri biraraya toplamak için yapılmış bulunan W işi bir potansiyel enerji şeklinde depo edilmiş durumdadır. Çünkü, q2,q3,…,qn yükleri serbest bırakılacak olursa, hepsi, birbirlerinin ve q1 in karşılıklı etkileri altında değişik yönlerde harekete geçerler. Bu hareketlerde harcanan toplam enerji W kadardır. Buna bakarak, W enerjisinin q1, q2,..., qn yüklerini içeren uzayda depo edilmiş olduğunu söyleriz.

R

SR

O y



x Şekil-2.13 Eğer q1,q2,… yükleri sonlu sayıda ve ayrık durumda değilse; belirli bir  yoğunluğu ile bir  hacminin içine dağılmış ise, (2.30) un yerini

1 2

W= 



Vd



alır . Bu halde,  yı içine alan ve merkezi orijin olan, R yarıçaplı küre yüzeyi SR; SR içindeki bölge de R olun (Şekil-2.13).  nın dışında  = 0 düşünerek ve (2.5b) ile (2.10a) yı da gözönünde tutarak W=

=



1 2 1 2



VdivDd



{div(VD) – D.gradV}d

R R

Bu genelleştirme,  integre edilebilen bir fonksiyon ise doğrudur (Bakınız Pr.-6).


=

1 2



VD.dS +

SR

1 2



E.Dd

62

(2.31a)

R

şeklinde yazılır. Şimdi R∞ yapalım. Bölüm 2.3 Pr.-1 de sözü edilen uzak alan ifadeleri ile, SR de q 2 1 VD  ( er )  4π ε R3 olup VD.dS  (

q 2 1 )  sindd 4π ε R

dır. Buradan açıkça anlaşılıyor ki; R∞ için (2.31a) daki ilk integral 1/R gibi sıfıra gider ve 1 W =  E.Dd (2.31b) 2 yazılır. Bu ifade, W enerjisine uzayın her noktasından bir katkı geldiğini ve katkının w=

ε 1 E.D = E2 2 2

(joule/m3)

(2.31c)

yoğunluğu ile yapıldığını göstermektedir*. Buna dayanarak, E elektrostatik alanının bütün uzaya w hacimsel yoğunluğu ile enerji depo ettigini söyleriz. (2.31c) nin geçerli olabilmesi için, (2.31a) da SR üzerindeki integralin R∞ ile beraber sıfıra gitmesi gerekir ve yetişir. Bunun için yüklerin sonlu bir hacim içinde bulunması gerekmez, eğer ki yüklerin yarattığı alan SR üzerindeki integralin limitte sıfır olmasını sağlıyorsa. Sonsuz geniş basit uzayda 1,2,...,n iletken cisimlerinin bulunduğunu ve bunların yüklenerek, sırasıyla, V1,V2,…,Vn potansiyellerine çıkarılmış bulunduklarını, bunların dışında yük bulunmadığını düşünelim. E nin V cinsinden ifadesini kullanarak (2.31b) yi ε W(V) =  (gradV)2d (2.32a) 2 şeklinde yazarız. Buradaki V potansiyel fonksiyonu iletkenlerin dışında V = 0

(2.32b)

denklemini, iletkenlerin Si yüzeyleri üzerinde† ve r ∞ da V|Si= Vi ,

i=1,2,...,n

ve * †

Sayfa 57 deki dipnota bak. Si yüzeylerinin parça parça regüler olduğunu varsayıyoruz.

(2.32c)

İÇİNDEKİLER

63

V = O(1/r),

r

(2.32d)

sınır koşullarını sağlar. (2.32a) daki integrasyon Si yüzeylerinin dışında bütün uzaya yayılmıştır; çünkü Si lerin içinde gradV = 0 dır. Şimdi (2.32a) da V yerine, sadece (2.32c,d) sınır koşullarını sağlayan ve ikinci mertebeden sürekli kısmi türevlere sahip bulunan bir  fonksiyonunu koyarak W() yi hesaplayalım. Kolayca gerçekleyebiliriz ki; W(V) ≤W()

(2.32e)

dir (Bakınız Pr.-4). Bu demektir ki; iletken cisimler arasında yaratılan elektrostatik alan öyledir ki; sistemin enerjisi minimumdur. Bu özellik, geometrisi analitik çözümler bulmaya elverişli olmayan durumlarda V yi yaklaşık olarak belirlemek olanağını veren yöntemlerin temelini oluşturur. Bu yöntemlerde, (2.32c,d) sınır koşullarını sağlayan ve ikinci mertebeye kadar sürekli kısmi türevlere sahip olan fakat (2.32b) yi sağlamayan bir takım 1,2,...,m fonksiyonları saptanır ve bunlarla oluşturulan

m

 =  ai i i 1 fonksiyonu W() yi minimum edecek şekilde a1,a2,...,am sabitleri belirlenir. Böylece bulunacak olan , bir anlamda, V nin yaklaşık ifadesidir. (2.32e) bağıntısı 1,2,...,n iletken cisimlerinin dışında yük bulunmadığı zaman doğrudur. Eğer bu iletken cisimlerin dışındaki bölgede yükler de varsa ve bunlara ait hacimsel yoğunluk  ise, (2.32e) bağıntısı J() =

ε  {2

(grad)2 -}d

(2.32f)

için geçerlidir.Yani, V potansiyel fonksiyonu bu integrali sınır koşulları altında minimum yapacak şekildedir (Bakınız Pr.-5): J(V) ≤ J().

(2.32g)

Uyarı. Bir elektrostatik sistemi oluşturmak amacıyla yapılan W işi, yukarıda da belirtildiği gibi, tekrar kullanılabilecek biçimde uzaya depo edilir. Bu enerji, şüphesiz, sistemi belirleyen bazı boyutların fonksiyonudur.Bunlardan biri x olsun ve W nin x e bağlılığını açıkça göstermek amacıyla W = W(x) yazılsın.x i dx kadar arttırmak istediğimizde, sistemin boyutlarını ex yönünde belirli bir f kuvveti ile zorlamamız gerekir.Bu zorlamanın sonucunda yapılmış olan dW = f.exdx

(2.33a)

işi de W(x) e eklenerek depo edilir. Dışarıdan bizim uyguladığımız bu f kuvveti, şüphesiz, mevcut elektrostatik alanın varlığı nedeniyledir.Başka bir deyişle, alan aynı sisteme f ye zıt işaretle eşit bir F kuvveti uygulamaktadır. (2.33a) yı gözönünde bulundurarak bu kuvveti


F = - f = - (f.ex)ex = -

64

dW ex = - (gradW.ex) ex. dx

(2.33b)

şeklinde yazabiliriz.x doğrultusu keyfi olduğundan, buradan F = - gradW

(2.33c)

çıkar.Eğer bir engel yoksa, alanın varlığından ileri gelen bu kuvvet sistemin boyutlarını değiştirmeye çalışır.(2.33c) de yer alan (-) işareti, alanın her zaman W yi küçültücü yönde bir etki oluşturmakta olduğunu gösterir. Bu özellik pratik bakımdan büyük öneme sahip bazı olayların temelini oluşturur (bak. Pr.-7). Şurası gözden kaçmamalıdır ki; yukarıda sözü edilen dW = f.dx eşitliği, gözönüne alınan sistem kapalı ise doğrudur (bak.Pr.-7,a,b). Aksi halde, sistem başka sistemlerle de enerji alış-verişi yapıyorsa (örneğin bir besleyici kaynağa bağlı ise), onların dW ye katkısı da gözönüne alınmalıdır (bak.Pr.-7, c). Problemler Pr.-1.Alanları S olan, birbirinin benzeri iki iletken levha d kadar aralıkla karşı karşıya konmuşlar ve, sırasıyla, V0 ve Vd potansiyellerine çıkarılmışlardır. Levhalar arasında alanın sadece x ile değiştiğini varsayarak, i) Depo edilmiş bulunan W enerjisini (2.31b) ile hesaplayınız. ii) x = d levhası üzerinde toplanan Qd yükünü bulunuz ve C = Qd/(Vd-V0) ı hesaplayınız. iii)W = (1/2)C(Vd-V0)2 = (1/2)Qd2/C olduğunu gösteriniz.

x

Vb

d

Va

Vd 

O



b a

V0 Pr.-1 için

Pr.-2 için

Pr.-2.r = a ve r = b iletken küre yüzeyleri, sırasıyla, Va ve Vb potansiyellerine çıkarılmış bulunsun. Bunlar arasındaki bölgeye depo edilmiş bulunan W enerjisini hesaplayınız ve W=(1/2)C(Vb-Va)2 = (1/2)Qb2/C olduğunu gösteriniz.Burada Qb dıştaki küre üzerinde toplanmış bulunan yükü gösterir ve C= Qb/(Vb-Va) dır. Pr.-3. r = a ve r = b (b>a) sonsuz uzun silindir yüzeyleri, sırasıyla, Va ve Vb potansiyelerine çıkarılmış bulunmaktadır. Bunlar arasında kalan birim uzunluktaki bölgeye depo edilmiş bulunan W enerjisini ve dıştaki silindirin birim uzunluktaki parçası üzerine toplanmış bulunan Qb yükünü hesaplayınız ve Pr.-2 deki bağıntıların burada da geçerli olduğunu gösteriniz. Pr.-4.  yi V+u şeklinde düşünerek (2.32e) yi ispat ediniz. Burada , çok küçük bir sayı, u ise sınırda sıfır olan herhangi bir fonksiyondur. Pr.-5. (2.32g) yi ispat ediniz. Pr.-6. (2.31b,c) yi, iki noktasal yükün yarattığı alan için tartışınız.

İÇİNDEKİLER

65

Pr.-7.Paralel iki iletken levha arasında bulunan bölgeye, şekilde görüldüğü gibi, uzun bir dielektrik çubuk kısmen yerleştirilmiş olsun. Levhalar arasındaki alanı düzgün varsayarak, levhalar üzerinde birikmiş olan (±Q) yükünün sabit olması halinde depo edilen W(x) enerjisini hesaplayınız. a) Sistemin, dielektriği içeri doğru çekecek biçimde bir

  0 Q2d 2b { 0  ( -  0 ) x} 2 kuvveti uyguladığını gösteriniz. b) Levhaların bir kaynağa bağlı bulunduğu ve sabit bir V potansiyel farkı altında tutulduğu halde de (b) deki sonuçların aynen doğru olduğunu gösteriniz. c) Dielektrik çubuğun kısa boylu olması ve tümden levhalar arasında bulunması halinde F = 0 olacağını gösteriniz. F in nedenini açıklayınız. F=

b

d

0

Q 

F -Q x

 Pr.-8.Q kadar yük a yarıçaplı bir kürenin içine düzgün yayılı biçimde toplanmış olsun. a)Kürenin içine ve dışına depo edilmiş bulunan enerjileri hesaplayınız. b)Yukarıdaki sonuca dayanarak, Q kadar yükü a yarıçaplı bir kürenin içinde, düzgün yayılı biçimde tutabilmek için

3 Q2 (joule) 20  0 a kadar enerji harcamak gerektiğini gösteriniz. W=

2.12 Kapasite ve Kondansatör Kavramı Uzayda sadece bir  iletken cisminin bulunduğunu ve bunun yüklenerek sonsuza göre V1 potansiyeline çıkarılmış olduğunu düşünelim.Bu halde, V(x,y,z) potansiyel fonksiyonu V1 ile orantılı olacak, örneğin, V(x,y,z) = V1(x,y,z) şeklinde yazılabilecektir. Buradaki , V1=1 haline karşı gelen potansiyel fonksiyonu olup sadece cismin şekline bağlı olan bir fonksiyondur.  üzerinde birikmiş bulunan yük, (2.23b) uyarınca,


Q1= -

66

V  ( n ) dS = - V1  ( n ) dS

S S dır. Burada S, cismin yüzeyini;n, S in dışa yönelik birim normalini;  ise S e bitişik olan dış ortamın dielektrik sabitini gösterir. Uzay elektrik yükü bakımından nötr olduğundan, S üzerinde toplam Q1 yükü birikince sonsuzda da (-Q1) e eşit bir yük belirir ve, dolayısıyla, S den çıkan alan çizgilerinin hepsi sonsuza doğru uzar gider (Bak. Şekil-2.14). Açıkça görülüyor ki; C=

Q1 =V1

 ( n ) dS

(2.33a)

S

ile tanımlı C değeri V1 den bağımsızdır.Sadece cismin şekline bağlı olan bu C değeri

S 

Şekil-2.14 değişik potansiyellerde  nın taşıyacağı yükü belirten bir büyüklüktür ve bu nedenle  nin kapasitesi adını alır (x,y,z) fonksiyonu V1=1 e karşı gelen potansiyel olduğundan, sonsuzda  = 0 dır ve  nin en büyük değeri S üzerindeki değeridir. Bu demektir ki; S yakınında  fonksiyonu S den uzaklaştıkça azalır. Yani, S üzerinde  /n<0 dır. Bu da (2.33a) ile tanımlı olan C nin her zaman pozitif olduğunu gösterir.  cismini V1 potansiyeline çıkarıncaya kadar yapılmış bulunan iş, (2.30) uyarınca

2 1 1 1 Q1 2 W = Q1V1 = CV1 = 2 2 2 C

(2.33b)

dır. Şimdi 1 ve 2 iletken cisimlerinin uzayda yalnız bulunduklarını ve 2 nin, sonsuzdaki nokta gibi, sıfır potansiyelinde tutulduğunu düşünelim. Bu halde 1 yüklenerek V1 potansiyeline çıkarılmış bulunsun (bak.şek.2.15). Yukarıda söylediğimizi tekrar ederek şu sonuca varırız: 1 üzerinde birikmiş Q1 yükünün V1 e oranı olan pozitif C=

Q1 =V1

 ( n ) dS

S

(2.33c)

İÇİNDEKİLER

67

büyüklüğü sadece 1 ve 2 cisimlerinin şekillerine ve konumlarına bağlı bulunan ve değişik potansiyellerde 1 üzerine birikecek olan yükü gösteren bir büyüklüktür. Buna (1,2) sisteminin kapasitesi adı verilir. (2.33c) de S1 ile 1 in yüzeyi gösterilmektedir. (1,2) sistemini bu duruma eriştirebilmek için yapılmış bulunan iş, (2.30) uyarınca, gene (2.33b) ye eşittir. Belirli bir kapasiteye sahip iki iletkenin oluşturduğu sisteme kondansatör adı verilir.

V1

Q2= - Q1

V2 = 0

Q1 1

2

Şekil.2.15 Burada şu hususu önemle vurgulamak gerekir.2 cisminin sonsuz uzak nokta gibi sıfır potansiyelinde düşünülmesi, bir anlamda, sonsuz uzaktaki noktayı 2 nin bir parçası olarak düşünmek olanağını verir.Bu halde, S1 den çıkan bütün alan çizgileri S2 üzerinde son bulmuş gibi olurlar. Son olarak, basit ve sınırsız bir uzayda sadece 1,2, ... , n gibi n tane iletken cisim bulunduğunu ve içlerinden biri, örneğin n , referans alınarak (sıfır potansiyelinde) bunların V1,V2,…,Vn-1 potansiyellerine çıkarılmış olduğunu düşünelim. Elektrostatik alana iliskin denklemlerin lineer olması nedeniyle, bu cisimler üzerindeki toplam Q1,Q2,…,Qn yükleri potansiyellerin lineer fonksiyonudur. Yani, Cij uygun sabitler olmak üzere n -1 Qi =  CijVj, i =1,...,n j1 dir. Söz konusu cisimlerin geometrik yapılarına ve konumlarına bağlı olan Cij sabitleri bu sistemin kapasite katsayıları olarak adlandırılır. Bunların değerinin potansiyel için seçilen referansa bağlı bulunduğunu unutmamak gerekir. Paralel ve Seri Bağlı Kondansatörler Problemler Pr.-1.R yarıçaplı iletken bir kürenin kapasitesini bulunuz. Pr.-2.R yarıçaplı sonsuz uzun bir iletken silindir, belirli bir referansa göre, V1 potansiyeline çıkarılmış bulunsun. Silindirin birim uzunluktaki parçası için bir kapasite tanımlanabileceğini gösteriniz ve bunu hesaplayınız. Pr.-3.z = 0 ve z = h düzlemleri iletken olsunlar ve, sırasıyla, V0 ve Vh potansiyellerine çıkarılmış bulunsunlar.z = h düzlemindeki S alan parçasında toplanan yükün


Q1= C(Vh - V0) ,

68

C = S / h

ile verildiğini gösteriniz. Pr.-4.Aynı merkezli, R1 ve R2 yarıçaplı iki iletken küre için bir kapasite tanımlanabileceğini gösteriniz ve bunun ifadesini bulunuz. Pr.-5.Aynı eksenli, R1 ve R2 yarıçaplı iki iletken silindirin birim uzunluktaki parçası için bir kapasite tanımlanabileceğini gösteriniz ve bunun ifadesini bulunuz. Pr.-6.Bölüm 2.9 Pr.-4 deki sonuçtan yararlanarak, aralarında d kadar uzaklık bulunan, R1 ve R2 yarıçaplı iki teleden oluşan iletim hattının birim boyunun kapasitesini hesaplayınız. R1=R2 halini inceleyiniz. Pr.-7.R yarıçaplı iletken bir tel, sonsuz geniş, iletken bir düzlemden b kadar uzaktadır ve düzleme göre V1 potansiyeline sahiptir. a) Potansiyel fonksiyonunun açık ifadesini bulunuz. b) Telin birim uzunluğu için kapasiteyi bulunuz. Pr.-8.Aynı kapasiteye sahip iki kondansatörden biri boş, diğeri ise U ya eşit bir gerilim altında yüklenmiş durumdadır. Bunlar, direnci ihmal edebilen iletkenler aracılığıyla paralel bağlı hale getirildiklerinde a) Kondansatörlerin geriliminde ne kadar değişme olur? b) Kondansatörlerde depo edilmiş bulunan enerjide ne kadar değişme olur? c) (b) deki değişikliğin nedenini ayrıntılı bir hesapla açıklayınız.

69

MAGNETOSTATİK

ÜÇÜNCÜ BÖLÜM

MAGNETOSTATİK A. BOŞLUKTA MAGNETOSTATİK OLAY 3.1 Lorentz* Kuvveti (1892)† İkinci bölümde ele alınmış bulunan olayları aydınlatan Coulomb yasası, sınırsız basit bir ortamda bulunan bir noktasal q yüküne duran q1,q2,…,qn yüklerinin etki ettirdiği elektrik kuvvetin nasıl olduğunu söyler. Deneyler gösteriyor ki; qi yükleri sabit kaldığı halde q yükü ister sabit isterse hareketli olsun, bu kuvvetin ifadesi aynıdır. Buna karşılık, q ile beraber qj yükleri de gözlemciye göre hareket halinde olursa, q ya etkiyen elektriksel F kuvveti Coulomb yasasının söylediğinden farklı olur. Bu farkın q nun sahip olduğu v hızına dik olduğu ve v ile orantılı bulunduğu deneylerle saptanmıştır. Buna dayanarak, en genel hali belirtmek üzere, şu varsayımı kabul edeceğiz. Varsayım (Lorentz Yasası ) : Bir E elektrik alanı içinde belirli bir v hızıyla hare-ket etmekte olan bir noktasal q yüküne etki eden elektrik kuvvet F olsun. F - qE farkı qv ye diktir ve lineer olarak bağlıdır‡. F – qE = qvB olsun. Coulomb yasasına dayanarak diyebiliriz ki; q ya kavvet etki ettiren bütün elektrik yükleri gözlemciye göre sabit iseler B=0 dır.Başka bir deyişle, B nin nedeni hareket halindeki yüklerdir.Bu yüklerin yarattığı B ye magnetik endüksiyon alanı adı verilir. En genel halde, noktasal yüklerin hızından hareketle B nin belirlenmesi, ileride Bölüm 4.8 deki kavramlara dayanılarak yapılacaktır.Bu bölümde, B nin zamandan bağımsız olduğu hali inceleyeceğiz. Bu türden olaylar magnetostatik olaylar adıyla bilinirler. Genel halde bir yüke etkiyen elektriksel F = q(E+ vB)

(3.1)

kuvvetine Lorentz kuvveti adı verilir. qE bu kuvvetin elektriksel bileşeni, qvB de magnetik bileşenidir. MKS sisteminde B nin birimi tesla veya weber/m2 olarak adlandırılır. Yani, B alanına dik olarak 1 m/sn değerinde bir hızla hareket eden 1 kulon değerindeki noktasal yüke etki eden magnetik kuvvet 1 newton ise B nin değeri 1 tesla veya 1 weber/m2 dir§. *

Hendrik Antoon Lorentz (Arnhem 1853-Haarlem 1928). H. A. Lorentz; La Théorie électromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants. Arch. Néerl: 25: (1892) pp: 363-552. ‡ Bu özellikler Lorentz’den çok daha önceleri açıklanmış bulunmaktadır. Örneğin, bakınız: - J. J. Thomson; On the electric and magnetic effects produced by the motion of electrified bodies, Phil. Mag. II (1881) 227 (Magnetik kuvvet için Thomson’un verdiği ifade (1/2)qvB şeklindedir). - O. Heaviside; On the electromagnetic effects due to motion of electrification through a dielectric, Phil. Mag. 28-7 (1889) 324.Yasanın Lorentz’in adıyla anılmasının nedeni, F = q(E+vB) şeklinde bir ifadenin ilk defa Lorentz tarafından verilmiş olmasıdır, denebilir. § Bu sözcükler N.Tesla (Smiljan, Hırvatistan 1857-New York 1943) ve W. E. Weber (Wittinberg 1804-Göttingen 1891) in adından gelmektedir. †


70

(3.1) bağıntısı ile tanımlanan magnetik endüksiyon alanı her ne kadar bir vektörel alan gibi gösterilmiş ise de bunun diğer vektörel alanlarınkine ters düşen bir özelliği vardır.Gerçekten, (3.1) denklemini Oxyz ve Ox’y’z’ kartezyen koordinatlar sistemlerindeki bileşenler cinsinden yazalım.F, E, v ve B nin bu sistemlerdeki bileşenleri, sırasıyla (F1,F2,F3), (F’1,F’2,F’3), ... vb. olsunlar. (3.1) in Ox ve Ox’ üzerine izdüşümleri, örneğin, F1= q(E1+ v2B3 - v3B2)

(3.2a)

F’1= q(E’1+ v’2B’3 - v’3B’2)

(3.2b)

olarak yazılır. Şimdi, Oxyz sisteminde eksenlerin pozitif yönleri ters çevrildiğinde Ox’y’z’ sisteminin elde edildiğini varsayalım. Bu halde, F’1 = - F1,

E’1 = - E1,

v’2 = - v2,

v’3 = - v3

(3.2c)

dir. Bunlar (3.2b) de yazılarak (3.2a) ile karşılaştırılırsa B’2 = B2, B’3 = B3

(3.2d)

olması gerektiği anlaşılır.Yani, magnetik endüksiyon alanı eksenlerin ters çevrilmesi halinde vektörlerin uyduğu (3.2c) kurallarıyla bağdaşmayan (3.2d) kuralına uyar. Bu farkı belirtmek amacıyla, magnetik endüksiyon bir eksenel vektör alanıdır, deriz. Karışıklığın söz konusu olabileceği hallerde eksenel vektörler özel işaretler ile belirtilirler. (3.2c) gibi dönüşen normal vektörler de, bazan, kutupsal vektör olarak adlandırılırlar. Karışıklık çıkması ihtimali olmadığı için biz magnetik endüksiyon alanını her zaman alışılmış şekilde vektör gibi göstereceğiz fakat sözü edilen özelliğini de unutmayacağız. Problemler Pr.-1. a ve b kutupsal vektörler ise ab bir eksenel vektördür. Pr.-2. a(x,y,z) bir kutupsal vektör alanı ise (rot a) bir eksenel vektör alanıdır. Pr.-3.Bir magnetik alana ait alan çizgilerinin kapalı eğrileri de içerebileceğini gösteriniz. Pr.-4.Bir magnetik alanda hareket eden q yüküne etki eden kuvvet, hız v1 ikenF1, v2 iken de F2 olsun. F1.v2 = - F2.v1, B = ( F1 F2 ) / (qF2.v1) olduğunu gösteriniz. Pr.-5.B alanının etkisi altında hareket etmekte bulunan bir noktasal q yükünün şu özelliklere sahip bulunduğunu gösteriniz (yükün sükûnetteki kütlesi m0 dır): i) noktanın v hızı hareket süresince sabit kalır. ii) B=sabit ise ve herhangi bir A noktasında vB ise, noktanın A dan sonraki yörüngesi B ye dik bir düzlemdeki R= yarıçaplı bir dairedir.

m0v qB 1 - (v/c) 2

MAGNETOSTATİK

71

iii)B=sabit ise ve herhangi bir A noktasında v ile B arasındaki açı  ise, noktanın A dan sonraki yörüngesi m 0 vsinα R= qB 1 - (vsinα /c) 2 yarıçaplı bir dairesel silindir üzerine sarılı bir helisdir ve helisin adımı 2π m 0 vcosα qB 1 - (vsinα /c) 2

ye eşittir.

3.2 Akım Alanı ve Biot-Savart Yasası (1820-1821) (3.1) şeklinde yazılan Lorentz kuvvetinde gözüken B endüksiyon alanının kaynağının hareket halindeki yükler olduğunu daha önce belirtmiştik.Belirli bir t anında bu yüklerin uzaydaki dağılımını ve hızlarını gösteren yoğunluk ve hız alanları, sırayla, (x,y,z,t) ve v(x,y,z,t) ile gösterilsin.Bunlar genel olarak hem uzay koordinatlarının hem de zamanın fonksiyonudur. Genel hale bir sonraki bölümde geri dönmek üzere, bu bölümde sadece söz konusu alanların zamandan bağımsız olduğu özel hali gözönüne almak ve incelemimizi Biot-Savart yasası olarak adlandırılan ve aşağıdaki biçimde ifade edilen varsayıma dayandırmak istiyoruz. Varsayım (Biot-Savart yasası): Hareket halindeki yüklere ilişkin (x,y,z) yoğunluk fonksiyonu ile v(x,y,z) hız alanı zamandan bağımsız ise, bir d hacım elemanı içinde bulunan dq yükünün, kendisine göre yer vektörü r’ olan bir noktada yaratılan magnetik endüksiyona katkısı dq, v ve 1/r’2 ile orantılı olup hem v ye hem de r’ ye diktir. Çok sayıda yükün varlığı halinde süperpozisyon geçerlidir. Bu varsayıma göre, 0 kullanılacak birim sistemini belirleyecek bir orantı katsayısı olmak üzere, dB =

0 dqv  r’/r’3 4

(3.3a)

yazılır (bak. Şek.3.1). Tarihi gelişmelerin bir sonucu olarak 0 ın değeri, uluslarası anlaşmalarla, 0 = 4. 10-7 (3.3b) olarak saptanmıştır. 0 katsayısı boşluğun magnetik geçirgenliği olarak adlandırılır. 0 ın seçiminden bağımsız olan Ampère/m boyutundaki B/0 büyüklüğü de magnetik alan adını alır ve H ile gösterilir. Bunun önemi daha sonra, Bölüm 3.4 de, iyice anlaşılacaktır. (3.3a) nın geçerliliği için gerekli olan zamandan bağımsızlık, apaçık bir biçimde, ayrık noktasal yükleri (3.3a) nın uygulama alanının dışında bırakmaktadır.Çünkü, böyle bir yükün konumu zamanla x = (t), y = (t), z = (t) şeklinde değişirse, buna ilişkin  yoğunluk fonksiyonu da  Jean-Baptiste Biot (Paris 1774-1862), Felix Savart (Mézières 1791-Paris 1841)


72

 = q(x - (t))(y - (t))(z - (t)) şeklinde zamana bağlı olur.Bu türden olaylar ileride, Bölüm-4 de, en genel haliyle inz

dB v r’

d

P(x,y,z)

Q(,, ) y

x Şekil -3.1 celenecektir (bak.Böl.4.8.6, 4.8.7).Eğer, özel olarak, hareketli yükler bir hacmın içini sü-rekli bir biçimde dolduruyorsa ve konumunu belirli bir hızla terkeden her yükün yerini hemen bir başkası aynı hızla alıyorsa, olay (3.3a)nın kapsamında düşünülebilir. Örneğin, doğru akım taşıyan bir iletken telin içindeki durum böyledir. Bu nedenle, Biot-Savart yasasının en etkin uygulama alanı doğru akım devrelerinin söz konusu olduğu sistemlerdir.Bunu gözönüne alarak, yukarıdaki varsayımı akımlara ilişkin büyüklükler cinsinden yeniden ifade etmekte yarar vardır. Şimdi bunu yapmaya çalışacağız. Yüklerin hareket halinde bulunduğu  bölgesi içindeki bir S yüzeyinin bir tarafından diğer tarafına t zaman aralığı içinde geçmiş bulunan toplam yük miktarı q olsun. q/t oranı yüklerin S üzerinden akışının şiddeti hakkında bir ölçüt olabilir. t0 için bu oranın aldığı IS(t) limit değeri S den geçen elektrik akımının t anındaki

I(t)

S  Şekil-3.2 şiddeti olarak adlandırılır (bak.şek.3.2). Biz akımın birimini ampère olarak adlandıracağız ve A ile göstereceğiz.  içindeki yük yoğunluğu , yüklere ait hız alanı da

MAGNETOSTATİK

73

v olsun. J = v ile tanımlanan (A/m2) boyutundaki J alanı akım yoğunluğu adını alır. Bu, bir noktada birim hacim içinde bulunan yükün hangi yönde ne gibi bir hızla hareket ettiğini (aktığını) belirten bir ölçüttür. Yukarıda sözü edilen IS(t) akımı ile J akım yoğunluğu arasında sıkı bir ilişkinin var olduğu sezilmektedir.Bunu açığa çıkarmak için PS noktasının etrafında küçük bir S alan parçası gözönüne alalım ve J nin S den n yönünde geçirdiği J.nS = v.nS akısını düşünelim (bak.şek.-3.3). S den geçen yükler t kadar bir zaman aralığı içinde n = v.nt yüksekliğinde bir hacım doldururlar.Bu hacmin içindeki toplam n.S =v.nt S yükü t zaman aralığı içinde S in bir tarafından diğer tarafına geçmiş bulunan yüktür.Bunu yukarı-

n

n

vt

S P Şekil-3.3 da verilen akım kavramı ile karşılaştırırsak, IS = (v.nt S) / t = J.nS in S den geçen akımdan ibaret olduğunu görürüz. Daha genel olarak, herhangi bir S yüzeyinden geçen akım IS =



J.dS

(3.3)

S den ibarettir.Bu bağıntı, J ye akım yoğunluğu denmesinin ardındaki nedeni açıkça göstermektedir. Şimdi,  içinde zamanla değişmeyen J(x,y,z) yoğunluğuna sahip akımların yaratılmış olduğunu düşünelim. Bu halde, bir Q noktasındaki d hacim elemanı içinde bulunan dq = d yükünün bir P noktasında yarattığı dB magnetik endüksiyonu, (3.3a) uyarınca, μ r' dB(x,y,z) = 0 J(,,)  ddd (3.4a) 4π r'3 olur. Burada r’ ile, d hacım elemanının bulunduğu Q(,,) noktasını alanın ölçüldüğü P(x,y,z) noktasına birleştiren vektör gösterilmektedir (Bak. Şekil-3.1). Bir çok akım elemanının varlığı halinde, süperpozisyon ilkesi uyarınca

dB(x,y,z) =

μ0 n  Ji  4π i 1

r 'i r' 3i

di

(3.4b)


74

veya B(x,y,z) =

μ0 4π



J(,,) 

r' r'3

ddd

(3.4c)

yazılır. 3.2.1 Örnek. Bir Çizgisel Akımın Alanı Oz ekseni etrafındaki çok ince bir silindirin içinden sabit bir I akımı akmakta olsun. Bu halde, (3.4c) de gözüken J akım yoğunluğu Oz eksenine paralel olacak ve J(,,) = I ()()ez

(3.5a)

yazılabilecektir. Bunun bir P(x,y,z) noktasında yarattığı alan (bak. şekil-3.4) H=

r ' d I I  e  (ez  ) 2 = r' r' 2π ρ 4π  

(3.5b)

den ibarettir*. Burada (,,z) alışılmış silindirik koordinatları gösterirler. z

P(x,y,z) r’

I d

 O

x



ez e 

y

 e

Şekil-3.4 Daha genel olarak, bir C eğri parçası üzerinde sabit bir I akımı akmakta olsun. Bu akımın yarattığı magnetik alan, (3.5b) gibi H=

r' I  dc  3 4π C r'

(3.5c)

ile verilir†. Burada r’ ile, dc yay elemanını gözetleme noktasına birleştiren vektör gösterilmektedir. * †

Bakınız Pr.-2. Ayrıca bakınız Bölüm 3.6, Pr.-1. Bu formülün temelini oluşturan dB = (0/4)Idcr’/r’3 bağıntısı ilk defa Oersted tarafından önerilmiştir. Bakınız: Annales de Chimie et de Physique (15), 1920.

75

MAGNETOSTATİK

Problemler Pr.-1.Sabit bir v hızıyla hareket eden bir noktasal yükün yarattığı akıma ait yoğunluğu yazınız ve bunun, zamana göre, sabit olmadığını gösteriniz. Yük yoğunluğu ile akım yoğunluğu arasında divJ +/t =0 bağıntısının sağlandığını ispat ediniz. Pr.-2.(3.5b) deki integrali hesaplayınız. Pr.-3.Oz ekseninin pozitif kısmı üzerinde sabit I akımı akmaktadır. Bu akıma ait yoğunluğu yazınız ve bu akımın yarattığı magnetik alanın ifadesini bulunuz (Bak. Böl. 3.6 Pr.-2 ve Böl. 4.8.2 Pr.-3). Pr.-4. a ve  verilmiş sabitler olmak üzere,  = a, (-,) , z =  dairesinden sabit bir I akımı akmaktadır. (o, o, z) noktasında yaratılan magnetik alanın Oz ye paralel olduğunu ve şiddetinin

H



Ia 2 2 2 a  z    2



3 / 2

ye eşit olduğunu gösteriniz. Pr.-5.a yarıçaplı dairesel bir silindirin üzerine çok sık sarılmış ince bir bobinin, kendi ekseni üzerindeki bir noktada yarattığı magnetik alanı bulunuz. Birim uzunluğa düşen sarım sayısının bobin boyunca sabit olduğu ve olmadığı, bobinin uzunluğunun sonlu olduğu ve olmadığı halleri ayrı ayrı inceleyiniz. Pr.-6. z = 0, x2 + y2  a2 dairesi üzerinde, s yoğunluğu ile homogen yayılmış bir yüzeysel yük bulunsun ve daire Oz ekseni etrafında belirli bir  açısal hızı ile dönsün (Rowland* diski). a) Böylece oluşan akımın yoğunluğunu yazınız. b)(0,0,h) ve (0,0,-h)noktalarında yaratılan magnetik alanların değerini bulunuz†. Pr.-7.Sabit bir B indüksiyon alanı içinde bulunan kapalı bir C çevresinden sabit bir I akımı akmakta olsun. a) C ye etki eden kuvvetlerin bileşkesinin her zaman sıfır olduğunu gösteriniz. b) Yukarıda sözü edilen kuvvetlere denk kuvvet çiftinin K momentinin K = MB ,

M = I  dS S

ye eşit olduğunu gösteriniz. Burada S, C nin kuşattığı yüzey parçasıdır. Not:Yer vektörü r olan bir noktaya bağlanmış olan F kuvvetinin momenti, tanım olarak, r  F dir. Pr.-8.Oxy düzlemindeki paralel iki doğru boyunca, şiddetleri I1 ve I2 olan iki sabit akım akmakta olsun. a) Oxy düzlemindeki bir P(x,y,0) noktasında yaratılan magnetik alanın açık ifadesini yazınız. b) Kütlesi m, elektrik yükü q olan ve yukarıda belirtilen alanın etkisi altında hareket eden bir maddesel nokta belirli bir anda ( t = 0 anında) P0(x 0, y 0,0) noktasında bulunsun ve Oxy düzlemine paralel v0 hızına sahip olsun. Bu noktanın hareketini belirleyen denklemleri yazınız. * †

H. A. Rowland (Honasdale, Pennsylvania 1848-Baltimore 1901). Böyle bir düzenle magnetik alan yaratılabileceği tartışma konusu olmuş ve 1876 da Rowland deneysel olarak bunun doğruluğunu göstermiştir.


76

c) Yukarıda sözü edilen noktanın Oxy düzleminde yer alan bir yörüngeyi sabit bir hızla çizeceğini gösteriniz. d)Gösteriniz ki; v0 hızı akımlara paralel olduğunda I1/I2 oranının uygun bir değeri için yukarıda sözü edilen yörünge akımlara paralel bir doğru çizgiden ibaret olur. y

I1 -a

q

I2 O

v0 P0

a

x

Pr.-9.Oz ekseni boyunca sabit şiddette bir I akımı akmaktadır.Oz ye a kadar uzaklıkta bulunan bir K noktasından, t = 0 anında, kütlesi m ve elektrik yükü q olan bir maddesel nokta v0 a eşit bir hızla Oz yönünde fırlatılmıştır. a)Yükün hangi yöne doğru sapacağını, nedenini açıklayarak, belirtiniz. b)Yükün çizeceği yörüngenin sağladığı difensiyel denklemleri yazınız. Bunlardan yararlanarak, hızın şiddetinin sabit kalacağını gösteriniz. c)Oz ile K nın belirlediği düzlemde bulunan ve Oz ye b kadar uzak olan bir doğru boyunca I1 değerinde sabit bir akım daha akmakta olsun. I1 in belirli bir değeri için q nün yörüngesinin bir doğru çizgi olacağını gösteriniz. Bu halde noktanın hızının zamanla değişimini gösteren grafiği çiziniz. z I

z

0

z q

0

I

q

K

O

x

I1 K

O

a

x

a b

Pr.-10.Aynı düzlemde biribirine paralel olarak akmakta bulunan üç sabit akım I1, I2 ve I3 olsun. a) Bunların birim uzunluktaki parçalarına etki eden kuvvetleri bulunuz. b) Yukarıda sözü edilen kuvvetlerin hepsinin aynı anda sıfıra eşit olması mümkün müdür? z

I1

I2

a O x

I3

b y

MAGNETOSTATİK

77

Pr.-11.2a genişliğinde, sonsuz uzun bir şeritten I değerinde sabit bir akım akmaktadır. Akımın şerit üzerinde homogen yayılı olduğunu varsayarak herhangi bir noktada yaratılan magnetik alanın ifadesini bulunuz. a0 limit durumunu bilinen ifade ile karşılaştırınız. z Q(0,,) I r’ -a

a

O





x

P(x,y,0)

Pr.-12.a)Sonlu bir  hacmı içinde oluşturulmuş bulunan akımlara ilişkin J yoğunluk fonksiyonu şu koşullardan birine uysun: i) S üzerinde J  0, veya ii) S üzerinde J // n dir. Bu halde, (3.4c) nin yerini μ d B = 0  rotJ 4π  r' nin alacağını gösteriniz. b) nin sınırsız geniş olması halinde, r’  için J(r’) = o(1/r’) olduğunda da (a) daki ifadenin doğru olduğunu gösteriniz. Pr.-13. I şiddetinde sabit bir akım taşıyan çok ince bir tel şekildeki gibi kıvrılmıştır. Yarım daire şeklinde olduğu bilinen kıvrımın merkezinde magnetik alanın değeri nedir? y I -R

O

R

x

Pr.-14. I şiddetinde sabit bir akım taşıyan çok ince bir tel şekildeki gibi kıvrılmıştır. Tel düzleminde ve açının ortayı üzerinde bulunan bir P noktasında yaratılan magnetik alan şiddeti nedir?

α α

O I

P

x


78

Pr.-15.a)Oxy düzlemindeki x(,) y =  doğru parçası boyunca akan sabit I şiddetindeki akımın P(0,0,h) noktasında yaratılan magnetik alana katkısını hesaplayınız. b)Yukarıdaki sonuçtan yararlanarak, kenar uzunluğu 2a ya eşit olan ve I şiddetinde bir akım taşıyan, kare biçiminde, N sarımlı çok ince bir bobinin, merkezinden geçen ve kendisine dik olan eksen üzerinde yarattığı alanın ifadesini bulunuz. c)(b) deki hesabı, bobinin bir üçgen şeklinde olması hali için yapınız. Alanın, Oz ekseninin her noktasında Oz ye paralel olabilmesi için gereken koşulları çıkarınız. z P h

P

r’

h   d

O  x

-a

I

I y a x

O

a d

y

3.3 Vektör Potansiyel ve Magnetik Alanın Temel Denklemleri Sınırsız ve boş uzayda yaratılan bir magnetik alanın J kaynak dağılımının bilindiğini varsayalım. (3.4c) uyarınca μ r' B(P) = 0  J(Q)  d, ( r’ = QP ) 4π r'3 μ 1 = 0  J(Q)  gradP( - )d 4π r' μ0 d = rot { J(Q) } (3.6) 4π  r' yazılır.r’uzaklığı hem P hem de Q noktasının koordinatlarına bağlı olduğundan, (1/r’) nin gradyantı hesaplanırken türevlerin hangi değişkenlere göre alındığını belirtmek için, bazan, (3.6) da olduğu gibi, grad yerine gradP yazılır. B(P) nin yukarıdaki ifadesi, μ d A= 0  J (3.7a) 4π r' olmak üzere B = rot A (3.7b) olduğunu göstermektedir. Başka bir deyişle, magnetik alan her zaman bir başka alanın rotansiyeli şeklindedir. A ya magnetik alana ait vektör potansiyel adı verilir. (3.7b) nin diverjansı alınmakla

MAGNETOSTATİK

79

div B = 0

(3.7c)

bulunur. Bu, elektrostatik alana ait (2.10a) denkleminin benzeri olup, magnetik yük diye bir büyüklüğün mevcut olamayacağı şeklinde yorumlanabilir. Şimdi J nin bütün uzayda sürekli olduğunu varsayalım. Bu halde (3.7a) formülünün her kartezyen bileşeni (2.5a) gibidir. O halde, bu bileşenler için (2.10b) nin benzeri olan denklemler yazılabilir. Bu denklemlerin birim koordinat vektörleri ile çarpılıp toplanması sonucunda A = - 0J (3.7d) bulunur. Son olarak J nin şu özelliklere sahip bulunduğunu varsayalım: i) Regüler bir S yüzeyi ile kuşatılmış sonlu bir  hacminin dışında J = 0 dır. ii) S üzerinde J . n = 0 dır. Bu koşullar altında (3.7a) nın diverjansı alınarak

μ0 4π

div A(P) = = =

μ0 4π μ0 4π

=-

J(Q) . gradP(



J(Q) . gradQ( -

 

 {divQ(



μ0 4π

μ = 0 4π

1 )d r'







 S

1 )d r'

J 1 ) - divQJ} r' r'

μ 1 J . dS + 0 4π r'





1 divJ d r'

1 divJ d r'

(3.7e)

bulunur. Bu sonuca erişirken (i-ii) koşullarının gerçeklenmekte olduğunun varsayıldığı unutulmamalıdır. Eğer S yüzeyi her yönden sonsuza götürüldüğünde

 S

1 J . dS  0 r'

oluyorsa,  hacmının sonlu olmasının gerekmediği açıktır. Bu halde, son eşitlikteki integral bütün uzaya yayılmış olur. (3.7d,e) nin geçerli olduğu hallerde (3.7b) nin rotasyonelini alalım. 1 rot rot A μ0 1 = {grad divA - A} μ0 1 div J d } = J + grad{ 4π  r'

rot H =



(3.7f )


80

buluruz.Eğer, (i-ii) ye ilaveten, bütün  içinde divJ=0 koşulu da sağlanıyorsa,(3.7e,f) nin yerini div A = 0, (divJ = 0 ise) (3.7g) rot A = 0, (divJ = 0 ise)

(3.7h)

alır. Vektör potansiyelin araya sokulması ile magnetik alana ilişkin incelemelerin, çoğu kez, büyük ölçüde kolaylaşacağı (3.7a,b) bağıntılarından açıkça görülmektedir. Vektör potansiyel kavramı 1848 yıllarında F. Neumann* tarafından ortaya konmuş bulunmaktadır†.

Problemler Pr.-1.B vektör alanı için divB = 0 sağlanıyorsa, B = rotA olacak şekilde bir A vektörünün her zaman bulunabileceğini ve bunun keyfi bir gradyant farkıyla belirli olduğunu gösetriniz. Özel bir A bulunuz. Pr.-2.(3.7a) dan hareketle Biot-Savart yasasını elde ediniz. Pr.-3.Sabit bir çizgisel akımın yarattığı alana ilişkin bir vektör potansiyel bulunuz. Akımı taşıyan çizginin dışında, her yerde magnetik alanın bir skaler potansiyelden türemiş gibi de düşünülebileceğini gösteriniz ve böyle bir Vm(x,y,z) skaler potansiyeli bulunuz. Pr.-4.Vektör potansiyeli A = A(,z)e olan bir magnetik alanın alan çizgilerinin A(,z) = C1,  = C2

(C1,2 = keyfi sabitler)

denklemi ile belirlenen eğri ailesi olduğunu gösteriniz.

B. BOŞ OLMAYAN UZAYDA MAGNETOSTATİK OLAY 3.4 Alan ve Bünye Denklemleri. Sınır Koşulları Magnetik alanın bölüm-3.3 de çıkarılmış bulunan özellikleri Biot-Savart yasasına dayanmaktadırlar ve bu nedenle de boşlukta geçerlidirler. Eğer uzay boş olmazsa, değişik türden fiziksel özelliklere sahip bir takım cisimleri de içerecek olursa; bu cisimlerin içinde bulunan yükler dış kaynakların yarattığı alanın etkisiyle harekete geçerek zamandan bağımsız iç akımlar oluşturabilirler ve, bölüm-2.6 da elektrostatik alan için söylediğimize benzer şekilde, olayın boşlukta olması gerekenden başka türlü oluşmasına neden olurlar. Böyle bir durumda meydana gelecek olayı kolayca açıklayabilmek için, Bölüm 2.6 da elektrostatik için yaptığımızın benzerini burada da yapmak ve bir varsayıma dayanmak istiyoruz. Yapacağımız varsayımda hem B hem * †

Franz Ernst Neumann (Uckermark 1798-Königsberg 1895). F. E. Neumann, J. Math. 13 (1848), p: 113.

MAGNETOSTATİK

81

de H alanları magnetik alanın esas büyüklükleri olarak göz önüne alınacaklar ve dış akımlara evrensel denklemlerle bağlanmış olacaklardır. Varsayım: Uzay nasıl olursa olsun, divJ = 0 olacak şekilde J yoğunluğu ile uzayda oluşturulmuş bulunan akımların yarattığı magnetostatik alanda divB = 0,

rotH = J,

F = q[E + vB]

(3.8,a,b,c)

denklemleri, distribüsyon anlamında, her zaman geçerlidir. (3.8a,b) denklemleri magnetostatik alanın alan denklemleridirler. H ile B yi biribirine bağlayan bünye denklemleri deneylerle ortaya çıkarılırlar. Bunlara Bölüm 4.3 de değinilecektir. Burada şu kadarını belirtmekle yetinelim ki; bünye denklemlerini her zaman B = H (3.9) şeklinde yazma eğilimi vardır. Bu halde,  ye söz konusu ortamın magnetik geçirgenliği adı verilir., bir takım parametrelere bağlı sabit bir sayı, bir skaler fonksiyon veya bir operatör olabilir. Eğer  sabit bir sayıdan ibaret ise, söz konusu madde bir basit ortamdır, denir. 0 yerine  koymak koşuluyla, Biot-Savart yasasının basit ortamlarda da geçerli olacağı apaçıktır. Yukarıdaki varsayımın anlamını açık bir şekilde kavrayabilmek için şekil-3.5 de S

n 2

H1

H2

1

x

y

O Şekil-3.5

gösterilen özel durumu gözönüne alalım. S yüzeyi, magnetik geçirgenlikleri 1 ve 2 olan iki basit ortamı birbirinden ayırmaktadır. Daha genel sonuçlar elde edebilmek için S üzerinde yüzeysel akımların da akmakta olduğunu varsayalım. Yani, J = {J} + JS(S)

(3.10a)

olsun. JS akımı yüzeysel olduğundan, tanım gereğince, S in her noktasında, JS.n = 0

(3.10b)

dır. Şimdi, (2.11m,n) eşitliklerini de göz önünde tutarak (3.8a) ve (3.8b) yi distribüsyon anlamında yazalım:


82

{divB} + [[n.B]](S) = 0 {rotH}+ [[n H]] (S) = {J}+JS(S), (divJ = 0). Bu bağıntılardaki regüler kısımların eşitliği S in içinde ve dışında, her yerde, (3.8a) ve (3.8b) nin geçerli olduğunu ifade ederler.(S) yi içeren tekil kısımların eşitliği ise, Bn(2) – Bn(1) = 0

(3.11a)

n[Ht(2) – Ht(1) ] = JS

(3.11b)

Jn(2) – Jn(1) + divJS = 0

(3.11c)

verir. Bu demektir ki; magnetik endüksiyonun normal bileşeni S üzerinde sürekli kaldığı halde magnetik alanın teğetsel bileşeni yüzey akımı yoğunluğu kadar bir süreksizlik gösterir. Başka bir deyişle, S üzerinde magnetik alanın teğetsel bileşeni sonlu bir süreksizlik gösteriyorsa, bu süreksizlik kadar yoğunluğa sahip bir yüzeysel akım S üzerinde akar. Tersine, S üzerinde yoğunluğu JS olan bir yüzeysel akım varsa, magnetik alanın S üzerindeki teğetsel bileşeni JS e eşit bir süreksizlik gösterir. Durgun magnetik alana ilişkin sınır değer problemlerinin çözümünde gözönüne alınması gereken sınır koşulları (3.11a,b) den ibarettir. Eğer S, iletken olmayan iki ortamın arakesiti ise ve JS uyarıcı kaynak olarak, yapay bir şekilde yaratılmamışsa, her zaman JS = 0 dır. Problemler Pr.-1.(3.7b,c) den yararlanarak gösteriniz ki; iki ortamı ayıran S yüzeyi üzerinde A vektörü her zaman süreklidir. Pr.-2.a yarıçaplı, iletken bir küre üzerinde Q kadar elektrik yükü vardır ve küre 0z ekseni etrafında  açısal hızıyla dönmektedir. 1. Gözlenen akıma ait yoğunluğun açık ifadesini yazınız. 2.Yaratılan magnetik alanın A = F(r)sine gibi bir potansiyelden türemiş olabileceğini gösteriniz ve F(r) nin sağladığı denklemi ve sınır koşullarını bulunuz. 3.Kürenin ve dış ortamın aynı magnetik geçirgenliğe sahip olmaları halinde F(r) nin ve H nın açık ifadelerini yazınız. Uyarı. (3.8a)-(3.9) denklemlerinde yer alan  nün 0 dan farklı olmasını, elektrostatik alanda  nun 0 dan farklı olmasını açıklarken yaptığımız gibi, madde içinde var olan yüklere bağlayabiliriz. Şöyle ki; bu yükler dış kaynakların etkisi ile harekete geçerler ve zamanla değişmeyen bir J yoğunluğu ile ifade edilebilen bir akım alanının oluşturulmasına neden olurlar.Eğer J bilinecek olursa, olayı, J + J akımlarının boşlukta yarattığı magnetik olay gibi düşünebiliriz. Bu halde, divB = 0,

rot(B/0) = J + J

yazılır ve olayı boşlukta düşünerek, bölüm 2.7 ve bölüm 2.8 de olduğu gibi, sayısal olmayan bazı genel sonuçlar elde etmemize olanak verir. Bu yöntemi ileride, Bölüm 3.10 da, uygulayacağız.

83

MAGNETOSTATİK

Eğer olayı yaratan esas kaynaklar için divJ = 0 bağıntısı sağlanıyorsa, zorunlu olarak J akımları için de div J = 0 denklemi sağlanır ve belirli bir M alanı aracılığıyla

J = rot(M/0 ) yazabilmemize olanak verir. Bu M ye, söz konusu ortamın içinde uyarılan magnetik polarizasyonun yoğunluğu adı verilir. Bu halde, olayın boşlukta gözlenen ifadesine ilişkin divB = 0, rot(B/0) = J + J , J = rot(M/0 ) denklemleri ile malzeme içinde gözlenen ifadesine ilişkin divB = 0,

rotH = J

denklemleri birbiriyle karşılaştırılacak olursa, B = 0 H + M olduğu görülür. Genellikle, (2.20b) ye benzer şekilde, M = 0mH yazmak eğilimi vardır. Buradaki m katsayısı ortamın magnetik duyarlılığı adını alır. Bu halde, (3.9) da gözüken  katsayısı,  = 0(1+m) den başka bir şey değildir. Burada son olarak belirtmek istiyoruz ki; olay boşluğa indirgenerek incelendiğinde söz konusu olan B/0 büyüklüğünü H ile göstermemek gerekir.

3.5 Akım Devrelerinin Birbirine Etkisi. Ampère* Formülü (1829)† Bir  hacmi içinde  yoğunluğu ile dağılmış bulunan yüklerin her noktada hareket halinde bulunduğunu ve v hız alanının bilindiğini varsayalım.  içinde bir B magnetik endüksiyon alanı varsa, belirli bir t anında herhangi bir d hacim elemanı içinde bulunan d yüküne etki eden magnetik kuvvet, (3.1) uyarınca, dF = dv  B

(3.12a)

den ibarettir. Burada, bölüm 3.2 deki notasyona uygun olarak v = J konursa, (3.12a) dF = J  B d

(3.12b)

şeklinde de yazılabilir. Bu, Jd akım elemanına B magnetik endüksiyonu nedeniyle etki eden kuvvettir. * †

André Marie Ampère (Lyon 1775-Marsilya 1836). İki adım devresinin birbirine kuvvet etki ettirdiği, aynı yıl, Ampère’den daha önce, Oersted tarafından açıklanmıştır. Ampère, Oersted’in deneyini tekrarlayarak aşağıda çıkaracağımız formülü keşfetmiştir. Bakınız: J. Chr. Oersted; Experimenta circa conflictus electrici in acum magneticum, Copenhagen, Hafniae 1820. Ayrıca bakınız: A. M. Ampère, Annales de Chimie et de Physique (15), 1820.


84

Şimdi, yukarıda sözü edilen  bölgesinin dS kesitli çok ince bir iletken telden ibaret olduğunu düşünelim (bak.şek.-3.8).Bu halde, d=dSdc ve JdS = I olduğundan, (3.12b) nin yerini dF = Idc  B (3.12c) alır. Burada I, telden akan toplam akımı, dc ise (edc) yi gösterir.e akımın aktığı yöndeki birim teget vektördür.

dc d

dS

I

Şekil-3.8. Şimdi, sınırsız basit bir ortamda bulunan ve içinden sabit I1 akımı akan bir C1 çevresi ile, içinden sabit I2 akımı akan C2 çevresinin birbirine etki ettirdiği kuvvetleri gözönüne alalım. Birinci çevrenin yarattığı magnetik alan (3.5c) formülü ile hesaplanır. İkinci çevreye etki eden kuvvet de (3.12c) nin integrali ile bulunur. Böylece, birinci çevrenin ikinciye etki ettirdiği toplam F12 kuvveti F12 =

μI1I 2 4π

 

dc2(dc1

C 2 C1

r12 ) r123

(3.13a)

olur. Burada r12, C1 üzerindeki noktaları C2 üzerindeki noktalara birleştiren vektörlerdir (şekil-3.9). (3.13a) Ampère formülü olarak tanınmaktadır. I2

I1 r12 C1

C2

Şekil-3.9 (3.13a) formülünde C1 ve C2 nin rollerini değiştirecek olursak C2 çevresinin C1 e etki ettirdiği toplam F21 kuvvetini buluruz: 

Burada sonuç olarak elde edilen (3.13a) bağıntısı, bazı fizikçiler tarafından magnetik alan kavramına erişmek için bir varsayım olarak değerlendirilmektedir. Örneğin, bakınız: - E. Durand. Magnétostatique, p: 3, Masson et Cie, Paris 1968.

MAGNETOSTATİK

85

F21 =

μI1I 2 4π

 

dc1(dc2

C1 C 2

r21 ). 3 r21

(3.13b)

Genel olarak dc1(dc2r21)  dc2(dc1r12) olduğundan, C1 üzerindeki bir I1dc1 elemanının C2 üzerindeki bir I2dc2 elemanına etkisi, I2dc2 nin I1dc1 e etkisine ne aynı işaretle ne de zıt işaretle eşit değildir. Buna karşılık, C1 ve C2 akım devrelerinin birbirine toplam etkileri için, her zaman, F12 = - F21

(3.13c)

bağıntısı geçerlidir. C1 ve C2 kapalı olmayıp, sonsuza doğru uzayan eğrilerden oluşmuş olsalar da (3.13c) doğrudur. Bunu, (3.13a) yı F12 =

μI1I 2 4π

1

  C 2 C1

[(dc2.r12)dc1- (dc1.dc2)r12]

3 r12

şeklinde yazarak hemen görürüz. Çünkü,

 C2

1 3 r12

[(dc2.r12) = -



grad(

C2

1 ).dc2 = r12

 C2

 1 ( )dc= 0 c r12

(3.13d)

olduğu için ilk terim sıfırdır ve F12 = -

μI1I 2 4π

  C1 C 2

(dc1.dc2)

r12 r123

(3.13e)

dir. Aynı şekilde F21 de hesaplanırsa, r21 = - r12 olduğundan, (3.13c) bulunur. (3.13c) eşitliği (3.13d) deki integralin sıfır olmasının bir sonucudur. Bunun için de C2 nin sonlu bir uzunluğa sahip olması gerekmez. Çünkü, C2 eğrisi iki yönde de sonsuza uzayan bir eğri olursa, A ve B noktaları C2 üzerinde ters yönlerde sonsuza giden herhangi iki nokta olmak üzere

 C2

 1 ( )dc = lim c r12 A,B  

B



A

d(

1 1 ) = lim [( r12 r12 A,B  

)B - (

1 r12

)A] = 0

dır.

Problemler Pr.-1.Aşağıda, şekilde (a), (b), (c) hallerinde gösterildiği gibi yerleşmiş bulunan


86

akım elemanlarının karşılıklı etkilerini hesaplayınız.

I1dc1

I1dc1

I1dc1

I2dc2

I2dc2

r r

r

I2dc2

Pr.-2.Aralarındaki uzaklık d olan paralel iki telden I1 ve I2 akımları akmaktadır. Tellerden birinin birim uzunluktaki parçasına etki eden kuvveti bulunuz. I1 ve I2 nin aynı veya zıt yönde oluşuna göre sonucu yorumlayınız. Pr.-3.Düzgün bir magnetik alan içinde bulunan kapalı bir C eğrisinden sabit I akımı akmaktadır. C ye etki eden toplam kuvveti bulunuz. Pr.-4.Sonsuz ve homogen bir uzayda B=

f(z) e + g(,z)e ρ

ile tanımlı bir magnetik endüksiyon alanı uyarılmıştır. 1. divB yi hesaplayınız. 2. İçinden I akımı akan ve (z = h,  = a) ile tanımlı bulunan C dairesine etki eden kuvveti bulunuz. 3. Yukarıda sözü edilen C dairesi söz konusu konuma, kendisine paralel kalarak, z =  dan getirilmiş ise, dışarıdan yapılmış bulunan işi hesaplayınız. f(z) = 1/(1+z2) halinde sonucu yazınız. 4. C dairesi (2) de sözü edilen konuma, kendisine paralel kalarak, z = -  dan getirilmiş ise, dışarıdan yapılmış bulunan işi hesaplayınız ve f(z) = 1/(1+z2) halinde sonucu yazınız. 5. (3) ve (4) deki sonuçları karşılaştırınız ve farklılığın nedenini açıklayınız. Pr.-5. a yarıçaplı, iletken bir disk, şekilde gösterildiği gibi, iletken bir A1 A2 ekseni üzerinde taşınmakta ve eksene paralel bir sabit B magnetik endüksiyon alanının içinde bulunmaktadır. A anahtarı kapanıp, sürekli akım rejimi oluştuktan sonra diskin düzgün bir hızla döneceğini gösteriniz ve döndürme momentini hesaplayınız (Barlow çarkı). A1

B

A2

cıva

* Peter Barlow (Norwich 1776- Woolwich 1826)

A

MAGNETOSTATİK

87

3.6 Magnetik Alanın Sirkülasyonu. Ampère Formülü S bir regüler yüzey parçası, C de bunun çevresi olsun. (3.8b) bağıntısını S üzerinde integre edelim. Gayet iyi bilinen Green formülünü gözönünde tutarak,



J.dS =

S



rotH.dS

S

=



H.dc ,

(divJ = 0)

(3.14a)

C

yazarız. Ampère formülü olarak bilinen bu eşitlik, magnetik alanın bir C çevresi boyunca sirkülasyonunun C nin kucakladığı toplam akıma eşiti oldugunu ifade etmektedir. Elektrik makinalarının hesabında çok önemli bir rol oynayan magnetik devre kavramı temelde bu formüle dayanmaktadır. Belirtmekte yarar vardır ki; Bölüm 3.4 de yapılan varsayım nedeniyle, bu formül homogen olmayan uzaylar içinde de geçerlidir. (3.14a) nın geçerli olabilmesi için, bütün uzayda divJ = 0 koşulunun sağlanması gerektiği unutulmamalıdır. Bu gerçeklenmediği takdirde, (3.7f) uyarınca (3.14a) nın yerini, genelleştirilmiş Ampère formülü alır:

 C

H.dc =  J.dS +  grad{ S

S

1 4π



divJ

d }.dS r'

(3.14b)

Problemler Pr.-1.Oz ekseni boyunca sabit bir I akımı akmaktadır. Ampère formülünden yararlanarak magnetik alanın ifadesini yazınız. Pr.-2.Bölüm 3.2 Pr.-3 deki magnetik ala için (3.14a) nın sağlanmadığını gösteri-niz ve nedenini açıklayınız. (3.14b) yi gerçekleyiniz. Pr.-3.a yarıçaplı, sonsuz uzun bir iletken tel b yarıçaplı, sonsuz uzun bir iletken kılıfın içindedir.Sabit bir I akımı iletken telden gidip silindirik kılıftan geri dönmektedir. Akım yogunluğu telde ve kılfta düzgün olduğu varsayılıyor. a)İç iletkenden ve kılıftan akan akımların yoğunluğunu yazınız. b)Yaratılan magnetik alanın, telin içindeki, tel ile kılıf arasındaki ve kılıfın dışındaki bölgelerde geçerli olan ifadelerini yazınız. c)(b) de sözü edilen bölgelerin sınırında magnetik alanın içten ve dıştan gözlenen değerlerinin farkını hesaplayınız ve sonuçların nedenini açıklayınız. Pr.-4.İçi boş, sonsuz uzun bir telden bir sabit I akımı akmaktadır.Akımın düzgün yayılı olduğu varsayılırsa, yaratılan magnetik alanın içteki boşlukta, telin içinde ve dışında gözlenen ifadeleri ne olur?. Iletkenin iç ve dış yüzeylerine sağdan ve soldan yaklaşıldığında bulunan değerlerin farkını hesaplayınız ve nedeni açıklayınız. Pr.5. Pr.-6


88

3.7 Magnetik Devre Kavramı Bir A noktasının civarında magnetik alanın alan çizgilerinin, çok iyi bir yaklaşıklıkla, (Şekil-3.10) de gösterildiği gibi bir durum aldığını varsayalım. A merkezli bir S küre-sinin S1, S2, S3 parçaları üzerinde magnetik endüksiyonun aldığı değerler, S in geriye kalan kısımları üzerindeki değerlere göre çok büyüktür, öyle ki; (3.7c) nin sonucu olarak,



B.dS = 1+ 2 + 3 = 0

(3.15a)

S

yazılabilir. Burada j =



B.dS,

j =1,2,3

(3.15b)

Sj

olup Sj parçasından çıkıp giden magnetik akıdır. Şimdi, A daki durumun B, C,... gibi başka noktalarda da ortaya çıktığını ve (Şekil-3.10) de gösterilene benzer kapalı çevrelerin oluşturduğunu ve bu çevreler etrafındaki sirkülasyonlar için (3.14a) nın yazılabildiğini varsayalım.Eğer, AB, BC, CD, DA, AE, EF, FB arasındaki kolların her kesitinde magnetik alanın düzgün olduS

S1

A

S3

S2

Şekil-3.10 ğunu kabul etmek de iyi bir yaklaşıklık sağlıyorsa, DA kolunda

HDA 

AB kolunda

HAB 

 DA S DAμ DA

AB SABμ AB

olur ve (3.14a) uyarınca, ZDADA + ZABAB + ZBCBC + ZCDCD = I1

(3.16a)

ZAEAE + ZEFEF + ZFBFB + ZBABA = I2

(3.16b)

* B nin birimi weber/m2 olarak saptanmış olduğu için,  akısının birimi weber’dir.

MAGNETOSTATİK

89

yazılır. Burada I1 ve I2, sırayla, 1 ve 2 çevrelerinin kuşattığı yüzeylerden geçen toplam akımlardır. Bu akımların pozitif yönü çevreler üzerindeki dönüşü pozitif yönde görecek şekildedir. ZDA, ZAB,... sabitleri kolların fiziksel ve geometrik özelliklerini D

A

E

I1

I2

C

B

F

Şekil-3.11 yansıtan değerler olup, ZDA =

 DA , S DAμ DA

ZAB =

 AB , ... SABμ AB

(3.16c)

ile verilir. SDA ile DA arasındaki kolun ortalama kesiti,  DA ile de bunun ortalama uzunluğu gösterilmiştir. µAB bu kolu oluşturan malzemenin magnetik geçirgenliğidir. Eğer AB kolu farklı iki malzemeden oluşmuş ise, bütün kol üzerinde AB nin sabit kaldığı varsayıldığından (AB alan çizgilerinden oluşuyor) ve (3.11a) nedeniyle,

 (1)  (2) AB ZAB = (1) (1) + (2) AB( 2) S ABμ AB S ABμ AB

(3.16d)

olacaktır. Yukarıdaki bağıntılarda gözüken, HDA gibi, iki indisli alanlar DA yönündeki bir H alanı için pozitif, ters yöndeki bir alan için negatiftir. Benzer şey DA , AB vb. akı’lar için de söz konusudur. Direnç formülüne benzeyen (3.16c) ile tanımlı ZDA ya DA parçasının magnetik empedansı adı verilir. (3.15a) denklemlerinin A ve B noktaları için yazılması sonucunda - DA + AE + AB = 0

(3.16e)

- AB + BC - FB = 0

(3.16f)

bulunur. Açıkça görülüyor ki; (3.16a,b,e,f) denklemleri elektrik devrelerine ait çevre ve düğüm denklemlerinin benzeridir. Devrelerdeki gerilim, akım ve empedansların yerini burada, sırasıyla, I,  ve Z ler almıştır. (3.16d) bağıntısı Z lerin seri bağlı empedanslar gibi birleştirilebileceğini göstermektedir. Burada olduğu gibi, iyi bir yaklaşıklıkla, (3.16a-f) ye benzer bağıntıların yazılabilmesine olanak veren sistemlere magnetik devre adı verilir. (3.16a,b,e,f) denklemlerinden DA , AB ,... yi çözebilmek için DA = CD = BC ,

AE = EF = FB


90

olduğunu da göz önünde bulundurmak gerekir. Bunlar yedi tane  akısını içeren sekiz denklemden oluşmuş bir sistem meydana getirirler. Yalnız, kolayca gerçeklenebileceği üzere, bu denklemlerin hepsi bağımsız değildir. Örneğin, (3.16f) denklemi diğerlerinin bir sonucu olarak yazılabilir. Söz konusu sistemden çekilen yedi bağımsız denklem bütün akı’ları, akımların ve magnetik empedansların fonksiyonu olarak tek türlü çözebilmek olanağını verir. Kollardaki akıları bulmak için, yukarıda anlatıldığı gibi birçok denklemle ilgilenilecek yerde, göz sayısı kadar az denklemle yetinmek de mümkündür. Bunun için, 1 ve 2 çevrelerinden, bu çevrelerin işareti yönünde akan hayali 1 ve 2 akı’ları göz önüne alınır ve her şey bunlar cinsinden ifade edilerek önce bunlar bulunur. Örneğin, Şekil-3.8’deki durum için DA = CD = BC = 1 AE = EF = FB = 2 AB = 1 - 2 dir ve 1 ve 2 yi çözmeye yarayan denklemler 1[ ZDA + ZAB + ZBC + ZCD ] - 2 ZAB = I1 - 1 ZAB + 2[ ZAE + ZEF + ZFB + ZBA ] = I2 den ibarettir. Problemler Pr.-1.Şekilde görülen magnetik devrede d hava aralığı ne olmalıdır ki; bu aralıkta uyarılan endüksiyon B = 0,5T olsun? (  1 =0,5;  2 =1; w1=500; w2=200; I1=10; I2=7; 1r = silisyumlu saç; 2r = dökme demir) d I1

I2 w1

w2

1

2 d

Pr.-2.Aşağıdaki magnetik devrede hava aralığında B = 1T ve I1 = 4A olduğuna göre I2 akımını bulunuz (  1 =1;  2 =0,5;  3 =1; d=0,001;w1=375; w2=500; kolların kesit alanı S = 20cm2; malzeme dinamo saçı).

3

I1 w1

1

I2

2

w2

d

3

91

MAGNETOSTATİK

3.8 Magnetik Enerji Yoğunluğu Hareket halinde bulunan yüklerin birbirine kuvvet etki ettirmeleri nedeniyle, uzayda belirli bir akım düzenini kurabilmek için bir iş yapmış olmak gerekir. Söz konusu akım düzeni kendi haline bırakılırsa, düzeni kurmak için harcanmış bulunan enerji hemen kendini belli ettirir ve sistemi bozmaya çalışır. Buna bakarak deriz ki; belirli bir akım düzenini kurmak için yapılmış bulunan iş uzayda bir enerji depolanmasına neden olur. Bölüm 3.5 Pr.-4 den de açıkça görüldüğü üzere, bir devreye etki eden kuvvetin yaptığı iş sadece bu devrenin bulunduğu konuma bağlı değildir; bu konuma gelinceye kadar devrenin izlemiş olduğu yola da bağlıdır. Bu nedenle, söz konusu enerji yoğunluğunun açık ifadesini bulmak Bölüm 2.11 deki kadar kolay olmayacaktır. Bununla beraber, çok uzun bir analiz sonucunda, (2.31c) ye benzer bir ifadeye erişmek mümkündür. Biz burada böylesine uzun analizlere girişmenin bir yarar sağlayacağı kanısında değiliz. İleride, Bölüm 4.6 da, zamanla değişen olaylara ilişkin bir enerji bağıntısı çıkardığımızda karşılaştığımız terimleri yorumlarken, uzayda belirli bir elektromagnetik alan yaratıldığında kaynakların harcamış bulunduğu enerjinin bir kısmının 1 Wm =  H.B d (3.17) 2 ile ifade edilebilir olduğunu göreceğiz. Buradaki integral bütün uzayda hesaplanmaktadır. Bunu şu şekilde yorumlamak mümkündür: Söz konusu elektromagnetik düzeni kurmak için yapılması gereken (3.17) işi, wm =

1 H.B 2

(Joule/m3)

(3.18)

yoğunluğu ile uzayın bütün noktalarının katkısıyla oluşmuştur. Sadece magnetik alana ilişkin büyüklükleri içeren Wm e magnetik enerji, wm ye de magnetik enerji yoğunluğu adı verilir. Düzen bozulacak olursa bu enerji olduğu gibi geriye alınabilir. Bu nedenle, Wm enerjisi wm yoğunluğu ile uzaya depo edilmiştir, deriz.

3.9 İletken Ortamlar ve Durgun Elektromagnetik Alanlar 3.9.1 Ohm Bağıntısı ve Bazı Sonuçları  iletken bölge olsun. Herhangi bir yolla  içindeki yükleri harekete geçirdiğimizi ve bu hareketi, zamana bağlı olmayacak bir şekilde, sürdürdüğümüzü düşünelim. Örneğin, , uçları bir üretecin (+) ve (-) kutuplarına bağlanmış bir iletken tel ise, durum böyledir(bak.Şek.-3.12). Bu halde  içinde, daha önce Bölüm 2.6 da sözünü etmiş olduğumuz elektrostatik denge durumu asla gerçekleşmeyecek ve sıfırdan farklı, zamanla değişmeyen, bir E alanı yaratılmış olacaktır. Aynı şekilde, yüklerin devamlı hareketinin bir sonucu olarak da,  nin her noktasında, zamandan bağımsız bir J * Örneğin bak. E.Duran, Electrostatique et magnétostatique, Ch.XVI, Masson et Cie., Editeurs, Paris,1953.


92

akım yoğunluğu belirlenecektir. Aynı kaynağın etkisi ile yaratılmış olan bu J ile E nin birbirinden tamamen bağımsız olmadığı, aralarında belirli bir ilişkinin bulunduğu açıktır. Bu ilişki, şüphesiz,  bölgesini dolduran malzemenin niteliğine de bağlıdır ve ancak deneylerle ortaya çıkarılabilir. İyi iletken metallerin çoğunda, iyi bir 

J 0 ,

E0

- + Şekil-3.12 yaklaşıklıkla, J = E

(3.19)

yazılabilir. A/Vm veya 1/m.ohm boyutundaki  bir sabittir ve malzemenin iletkenlik sabiti adını alır. Metallerden başka iletken ortamlarda da J ile E arasındaki ilişkiyi (3.19) gibi yazmak eğilimi vardır. Bu halde  artık bir sabit değildir, noktadan noktaya değişen bir büyüklük olduğu gibi,E ye ve diğer elektrik büyüklüklere de bağlı olabilir. Hatta,  nın bir skalar olmaması, bir matrisle veya bir integral operatörle ifade edilebilen bir büyüklük olması da mümkündür.  nın oldukça geniş bir incelenmesi Bölüm 4.3 de yapılacaktır. Eğer ,  ve  sabit sayılar ile ifade edilebiliyorlarsa,  bir basit ortamdır, deriz. Genel haliyle, her iletken malzeme için yazılabilen (3.19) bağıntısına Ohm bağıntısı adı verilir. Yukarıda sözü edilen, zamandan bağımsız J akımları, önceki paragraflarda görmüş olduğumuz gibi bir statik magnetik alanın yaratılmasına neden olurlar. Bu magnetik alan (3.19) bağıntısı ile elektrik alana bağlanmış durumdadır. Yani,  içinde  nın sıfırdan farklı olması, birbiri ile ilişkili bir elektrik alanla bir magnetik alanın birlikte varolmasına neden olmaktadır. Bu elektrik ve magnetik alanın ikisine birden elektromagnetik alan adı verilir. Alanın zamana bağlı olmadığını fakat yüklerin de tamamen hareketsiz bulunmadığını belirtmek amacıyla, burada söz konusu olan alan için durgun elektromagnetik alan deyimi kullanılır. Elektrik alan zamandan bağımsız olduğu için, bunun kaynağını oluşturan yükler de zamandan bağımsızdırlar, yani her kapalı S yüzeyinden dışarı çıkan toplam yük sıfırdır. Bu da her noktada divJ = 0

(3.20a)

olduğunu gösterir. Daha önceki bölümlerde tartışmış bulunduğumuz (2.6), (2.10a), (3.8a) ve (3.8b) denklemleri (3.19) ve (3.20a) ile beraber göz önüne alınırsa, bir durgun elektromagnetik alanın rotE = 0 , divD =  (3.20b)

* George Simon Ohm (Erlangen 1789- Münich 1854)

MAGNETOSTATİK

93

rotH = E,

divB = 0

(3.20c)

denklemlerini sağladığı görülür. (3.20c) deki ilk denklemden açıkça görülüyor ki; bir iletken basit ortamda her zaman, divE = 0 (3.20d) dır. Bu bağıntı (3.20b) nin ikinci denkleminde göz önünde bulundurulursa, =0

(3.20e)

olduğu da görülür. Son eşitlik çok önemli bir özelliği ifade etmektedir. İletken basit ortamların içinde, durgun alanlar halinde, yük yoğunluğu her zaman sıfırdır. İletken ortamların içinde  = 0 olması ile J  0 olması ilk bakışta birbiriyle çelişiyormuş gibi görünebilir. Gerçekte,  = 0 olması bölge içinde yük bulunmaması demek değildir. Aksine, bölge içinde hem pozitif hem de negatif yükler vardır, öyle ki; bunların yoğunlukları her noktada birbirine eşittir, fakat hızları farklıdır. J nin sıfırdan farklı olmasını sağlayan bu hızların farklılığıdır. İletken ortamların söz konusu olduğu durumlarda (3.19) ile belirli olanlardan başka akımlar da varsa, bunların yaratacağı magnetik alanların da (3.20b-e) deki alanlara eklenmesi gerekir. Kökenleri farklı bu iki akımı birbirinden ayırdedebilmek için, iletimden ileri geleni Ji, diğerini de J şeklinde yazacağız. J nin içinde yüzey akımları da bulunabilir. Bu halde (3.20a-c) denklemlerinin yerini şunlar alacaktır: rotE = 0 ,

divD =  = {}+ S(S)

rotH = J + E = { J }+ Js (S) + E, divJ + div(E) = 0

(3.21a) divB = 0

(3.21b) (3.21c)

[[n × E]] = 0,

[[n.D]] = S

(3.21d)

[[n × H]] = Js,

[[n.B]] = 0

(3.21e)

[[n.J]] + divJs + [[n.E]] = 0.

(3.21f)

3.9.2 Joule Olayı ve Poynting Bağıntısı İletken ortamlarda Ji akımlarının yaratılması bir enerji harcanmasına neden olmaktadır. Deneyler bu enerjinin her zaman ısı şeklinde açığa çıktığını göstermektedir (Joule olayı). Bu şekilde harcanan enerjiye karşı gelen gücü hesaplayabilmek için, bir  bölgesi içinde, çok küçük bir t zaman aralığında, hareketler nedeniyle yapılan işi hesaplayalım. Çok küçük bir  hacminin içinde bulunan pozitif yüklerin miktarı (+) olsun. Bunlar (+)[E + v+×B] kuvvetinin etkisi ile hareket ederler ve t zamanında



James Joule (Salford, Manchester 1818-Sale Cheshire 1889).


94

r = v+t kadar yol alırlar. Bu demektir ki; birim zamanda bunların yaptığı iş, yani ortalama güç, 1 1 W+ = F. r = (+)E . v+t = J+.E t t kadardır. Benzer şekilde, negatif yüklerin hareketi ile harcanan enerji de, W+ = J-.E olacaktır. Bunların hepsinin  bölgesi içindeki toplamı, Ji = J+ + J-

olmak üzere, W=





Ji.Ed =   E2 d

(watt)

(3.22a)



ya eşittir. Isı şeklinde açığa çıkan (3.22a) enerjisini, elektrik alanı yaratan kaynakların verdiği enerjiye bağlayan ilginç ve bazan çok yararlı olan bir ifade elde edebilmek için, (3.21a,b) ve (3.19) u göz önünde bulundurarak, Ji.E = E.E = ( rotH - J) .E = - J .E + ( E.rotH - H.rotE) = - J .E - div( E×H ) yazalım. Bu eşitliğin iki yanını  bölgesi içinde integre edersek ve son integrali  yi çevreleyen yüzey üzerinde yazılmış bir integrale çevirirsek,





Ji.Ed = -  J.Ed 



P.dS

(3.22b)

S

yazarız. Burada P = E×H

(3.22c)

konmuştur. Poynting bağıntısı olarak bilinen (3.22b) nin sol yanındaki terim  içinde harcanan ve Joule olayı sonucunda ısı enerjisi şeklinde açığa çıkan enerjiye ait güçtür. Benzer bir yorumla, ikinci terimin de  içindeki akım kaynakları tarafından elektromagnetik alana sağlanan güç olduğunu söyleyebiliriz. O halde, geriye kalan en sağdaki terim de  bölgesinin dışında bulunan kaynakların  nin içine gönderdiği gücün toplamını verecektir. Watt/m2 boyutunda olan P ye söz konusu alana ait Poynting vektörü adı verilir. P ye güç akısı yoğunluğu da denmektedir. (3.22b) deki yüzey integralini şu şekilde yorumlamak mümkündür:  bölgesinin dışındaki kaynakların  ye gönderdiği enerji, P nin akışı şeklinde S üzerinden içeriye pompalanır. Bu yorum, elektromagnetik dalgaların söz konusu olduğu hallerde tutarlı ve yararlı olmasına karşın, bazan tutarsız da görülebilir. Örneğin, aşağıda, Pr.-1 deki

MAGNETOSTATİK

95

duruma uygulandığında, bu yorum, telde harcanan enerjinin tel boyunca taşınmadığını, etraftan tele doğru pompalandığını söyler. (3.19) bağıntısında yer alan  sabiti iletken ortamları iyi veya kötü iletkenler olarak birbirinden ayırmak olanağını verir. Statik elektrik alanlar bakımından anlamı olmayan böyle bir ayırım durgun elektromagnetik alanlar bakımından oldukça önemlidir. Çünkü,  nın büyüklüğü oranında (3.20c) denklemi elektrik alanı magnetik alana bağlar ve (3.22a) ile belirlenen ısı enerjisi de  ile orantılı olarak artar. Eğer  ∞ varsayarak yapılacak basitleştirmeler iyi bir yaklaşıklık sağlıyorsa, malzeme mükemmel iletkendir, deriz. Böyle bir malzeme içindeki her  bölgesinde





E2 d =

W



< (kaynakların sağladığı güç)/  0

olduğundan, E = 0 olmak zorundadır. Bu takdirde, (3.19) ve (3.20c) denklemleri H  0,

J0

olduğunu gösterir. Bu demektir ki; mükemmel iletken bir malzemenin ancak yüzeyinde yükler ve akımlar bulunabilir. Pr.-1.Yarıçapı a olan, sonsuz uzun bir iletken telden I akımı akmaktadır. Akımın tel kesitine homogen bir şekilde yayılmış olduğunu kabul ederek a) Telin içinde ve dışında E yi, b) Telin içinde ve dışında H yı yazınız. c) Telin h uzunluğundaki bir kısmında birim zamanada harcanan ısı enerjisini, Ji.E yi integre ederek bulunuz. Bu enerjiyi I2R şeklinde yazarak R nin ifadesini çıkarınız (telin h uzunluğundaki kısmının direnci). d) Yukarıda sözü edilen enerjiyi Poynting vektörünün akısı şeklinde hesaplayınız.

3.10

Bir Yüzeysel Akıma Etki Eden Kuvvet

Boş uzayda regüler bir S yüzeyi üzerinde, yoğunluğu JS olan yüzey akımları bulunsun. Bu akım dağılımının herhangi bir P noktasında yaratılmış olduğu endüksiyon (3.4b) uyarınca, μ r' B(P) = 0  (JS  )dS (3.23a) 4π S r'3 ile verilir. P noktası S in dışında herhangi bir nokta oldukça bu integrali hesaplayarak B yi bulmak mümkündür. Buna karşılık, yüzeyin üzerinde bulunan bir P0 noktasında durum bu kadar basit değildir. Böyle bir halde, integrasyon esnasında QP0 olurken r’ 0 olur ve integral adi anlamda yakınsak olmaktan çıkabilir. Böyle bir durumda B(P0) ı, Bölüm 2.8 de elektrik alan için söylenenler tekrar edilerek,


B(P0) = lim

 0

{ μ0

r'  (JS  3 )dS} 4π S - S r' 

96

(3.23b)

olarak düşünmek ve değerlendirmek gerekir. Burdaki S, ekseni P0 daki normale çakışık olan yarıçaplı silindirin S üzerinde ayırmış olduğu yüzey parçasıdır ve limit işlemi esnasında her yönden sıfıra gitmektedir (şek.3.13). n P+ r+ P0 S dS

r’ Js Q

r-

S P-

Şekil-3.13 Şimdi, P0 dan geçen normal üzerinde, S in farklı taraflarında bulunan P+ ve Pnok-talarını göz önüne alalım. B(P+) =

r r μ0 μ0  (JS  3 )dS  (JS  3 )dS + r r 4π S - S 4π S  

(3.23c)

r r μ0 μ0  (JS  3 )dS  (JS  3 )dS + r r 4π S - S 4π S  

(3.23d)

ve B(P-) =

yazılır.Biraz sonra 0 limitine geçeceğiz.Bu nedenle, şimdilik S yi öylesine küçük düşünmek istiyoruz ki; i) S yi  yarıçaplı bir düzlemsel daire olarak değerlendirmek iyi bir yaklaşıklık olsun, ii) S içinde JS sabit yazılabilsin. S bu şekilde saptandıktan sonra P± yı P0 a yaklaştıralım. Bu yaklaşımda yukarıdaki (i-ii) özellikleri bozulmaz. B(P+) ve B(P-) nin P±  P0 olurken aldıkları limit değerleri, sırasıyla, B+(P0) ve B-(P0) ile gösterecek olursak, (3.23c) ve (3.23d) den B+(P0) = ve

r r0 μ0 μ0  (JS  3 )dS}  (JS  3 )dS + lim { r 4π S - S 4π S r0 P  P0  

(3.23e)

MAGNETOSTATİK

97

B-(P0) =

r r0 μ0 μ0  (JS  3 )dS}  (JS  3 )dS + lim { r 4π S - S 4π S r0 P  P0  

(3.23f)

yazılır. Burada r0 = QP0 konmuştur. S nin yukarıda sözünü ettiğimiz özellikleri göz önünde bulundurulursa, (3.23e) ve (3.23f) deki son terimleri doğrudan doğruya he-saplamak gayet kolay olur (Bakınız Pr.-1). Bunlar aşağıdaki gibidir:

lim

P   P0

{

r 1 1  (JS  3 )dS}= ± JS  n. r 4π S 2

(3.23g)

Şimdi, son olarak, 0 yapalım. (3.23e) ve (3.23f) nin sağındaki ilk terimler, tanım uyarınca, B(P0) a giderler. İkinci terimler ise, yukarıda sözü edilen (i-ii) özellikleri nedeniyle, işaret farkıyla birbirine eşit limitlere sahiptirler(Bak.Pr.-1). Bunları (±b) ile gösterecek olursak, B+(P0) = B(P0) + b

(3.23h)

B-(P0) = B(P0) - b

(3.23i)

yazılır ve bunların toplanması ile B(P0) =

1 + [B (P0) + B-(P0)] 2

(3.23j)

bulunur. Bu demektir ki; P0 daki JSdS akım elemanına etki eden kuvvet dF = JSdS × B(P0) veya dF =

1 JS ×[B+(P0) + B-(P0)]dS 2

(3.23k)

den ibarettir. (3.23k) formülünü uzayın boş ve akımların sadece JS den ibaret olduğu halde çıkarmış bulunuyoruz. Oysa, Bölüm 3.4 deki uyarıda sözü edilen ilke gözönüne alınırsa, elektrostatik hale ilişkin (2.24g) formülü gibi bu formülün de genel bir geçerliliğe sahip bulunduğu hemen anlaşılır. Yani, uzay değişik özellikteki cisimleri ve birçok akımları içeriyor olsa da (3.23k) doğrudur. Problemler Pr.-1.z = 0, x2 + y2  a2 ile tanımlı S dairesinde, yoğunluğu Js = Jex olan düzgün bir yüzeysel akım vardır. P+(0,0,h) ve P-(0,0,-h) noktalarında yaratılan magnetik alanın Jh 1 1 H(P±) = ± [ - ]ey 2 h h2  a2 olduğunu gösteriniz. h  0 ve a   hallerini ayrı ayrı inceleyiniz. Pr.-2.z=0 ve z=h düzlemleri üzerinde, sırayla, JS = J0ex ve JSh = Jhex düzgün akımları akmaktadır.


98

1. Yaratılan magnetik alanı yazınız. 2. Bu düzlemlerin üzerindeki birim alan parçalarına etki eden kuvvetleri hesaplayınız. 3. J0 = Jh ve J0 = -Jh hallerini tartışınız. Pr.-3.S, iletken bir düzlem, T ise sonsuz uzun, iletken ve rijit bir tel olsun. T nin, birbirine eşit uzunluktaki aralıklarla S ye paralel bir yere tutturulmuş bulunduğu ve I şid-detinde bir doğru akım taşıdığı durumda, bağlantı yerlerine etki eden kuvvetin yönünü ve değerini hesaplayınız. Pr.-4.Böl.-3.6.Pr.-3 de sözü edilen kılıfın birim alanına, içteki iletkenin de birim hacmına etki eden kuvveti hesaplayınız.

3.11 Magnetik Dipoller ve Sabit Mıknatıslar Sınırsız bir basit ortamda bulunan kapalı bir C çevresinden sabit bir I akımı akmakta olsun (bak. şek.3.14). Bu akımın uyardığı magnetik alana ilişkin vektör potansiyel (3.7a) ile verilir. Eğer C nin boyutları alanın gözlendiği P noktasına olan uzaklığına kıyasla çok küçük ise, r’ = |r -  | = r – er.  + O( /r) ve 1 e . 1 1 1   + r r ' r 1 - e r . / r r r2

(3.24a)

yazılır.Burada r, C nin yakınında bulunan bir O noktasına göre P nin yer vektörü, er

C S I

d

er r’

P r

 O Şekil 3.14

de OP yönündeki birim vektördür. Bu halde, bölüm. 7.6 pr.-3 de sözü edilen özdeşlik kullanılarak,

e r . μI }dc  {1 + 4π r C r μI   (er.) dc 4π r 2 C

A

MAGNETOSTATİK

99



μI

 4π r 2 S μI   4π r 2 S μ  M 4π

dSgrad(er.) dSer

r

(3.24b)

r3

yazılır. Burada S, C nin kuşattığı yüzey parçası (keyfi) ve M = I  dS

(3.24c)

S

dir. Yukarıda sözü edilen C çevresi ile I akımına bir magnetik dipol, M ye de bu dipolün magnetik momenti adı verilir. Şimdi, söz konusu magnetik dipolün bir sabit B endüksiyon alanı içinde bulunduğunu varsayalım.Bu halde C ye etki eden toplam kuvvet F = I  dc  B C

= I {  dc } B = 0

(3.25)

C

dir. Bu demektir ki; C bir kuvvet çiftinin etkisi altındadır ve dönme hareketi yapmak eğilimindedir.Dönme bakımından önemli olan, kuvvet çiftinin momenti’dir.Aşağıda K ile gösteceğimiz bu moment, bilindiği gibi, herhangi bir noktaya göre hesaplanmış olan momenttir. Hesabı O noktasına göre yapacak olursak, K = I    (dc  B) C

= I  ( .B)dc - I  (.dc) B C

C

= I  ( .B)dc - I  (.dc) B C

C

= I  dSgrad(.B) – I{  grad( S

C

= I  dSB – I{  d( S

= M B

C

2 ).dc}B 2

2 )}B 2 (3.26)

ya eşittir. Bu sonuç elde edilirken 2 nin C üzerindeki değişiminin sıfıra eşit olduğu göz önünde bulundurulmuştur. (3.24b), (3.25) ve (3.26) ya bakarak diyebiliriz ki; bir magnetik dipol sadece M momenti aracılığıyla belirtilir; M nin bilinmesi dipolün bilinmesi için gerekir ve yetişir. Bu şekilde geliştirilen dipol kavramı, hem doğal olarak evrende var olan hem de yapay oluşturulan sabit mıknatısları açıklamakta önemli bir rol oynar. Şöyle ki; bu mıknatıslar atom boyutundaki dipollerin kümesinden ibarettirler. Atom boyutundaki


100

elementer dipoller’ in magnetik momentlerinin toplamı mıknatısın momentini oluşturur. Bu moment, mıknatısın S ile gösterilen kutbundan N ile gösterilen kutbuna doğru yönlenmiştir. Bir mıknatısa etki eden kuvvet çifti, daha önce de belirtmiş olduğumuz gibi, bu mıknatısı bir eksen etrafında döndürmeye çalışır.Bu dönme hareketine ilişkin temel bağıntılar (1.8b) den, basit işlemlerle, çıkarılabilir.Gerçekten, sözü edilen dönme ekseni Oz olsun (bak.şek.-3.15). Mıknatısın, silindirik koordinatları (r, (t)) olan z

dF  r



O

d

(t) x Şekil. 3.15 noktasındaki sonsuz küçük d hacmı içindeki dm kütlesi, eğer kütlenin hız ile değişimi ihmal edilecek olursa, hareket süresince, her t için dF = dm

(3.27a)

bağıntısına uyan bir kuvvetin etkisi altındadır. Buradaki  ivmesi, der/d = e ve de/d = er olduğundan, =

d2

{rer + zez}

dt 2

=r

d2 2

er = r

d d e r dθ { } dt d θ dt

dt d = r {(t) e} dt d e dθ = r ’e + r   d θ dt = r ’e - r 2 er

(3.27b)

den ibarettir. Yukarıdaki işlemlerde yer alan (t), (t) = d/dt ile tanımlıdır ve sözü edilen dönme hareketine ilişkin açısal hızdır.  nın (3.27b) deki ifadesi (3.27a) ya taşındıktan sonra iki yan r ile vektörel çarpılırsa şunlar yazılır:

 r  dF =  r  e r’dm





= 2 ez  r2dm. 

(27c)

MAGNETOSTATİK

101

Burada , mıknatısın işgal ettiği bölgeyi gösterir. (3.27c) nin sol yanı,  ye etki eden bütün kuvvetlerin toplam momentidir.Bunu aşağıda Kez ile göstereceğiz. (3.27c) nin sağında yer alan son terim ise  nin Oz eksenine göre atalet momenti olarak adlandırılır ve M ile gösterilir. Bu halde, (3.27c) bağıntısı, (1.8a) ya benzer biçimde, M

d 2θ dt 2

=K

(3.28)

Olarak yazılır. Sol yanda gözüken d2/dt2 terimi açısal ivme adını alır. Bu son bağıntı küçük mıknatısların, özellikle de pusulaların titreşimlerini incelemeye olanak verir. Eğer titreşim hızla orantılı bir fren etkisi altında oluşuyorsa, (3.28) in yerini M

d 2θ dt

2

+

dθ =K dt

(3.29)

alır. Problemler Pr.-1.Momenti M olan ve basit bir ortamda Oxy düzleminde Ox ekseniyle  açısı yapacak şekilde yerleştirilmiş bulunan bir dipolün herhangi bir (x,y,z) noktasında yaratmış olduğu vector potansiyelin ve magnetik endüksiyonun aşağıdaki gibi olduğunu gösteriniz: μM A= [ zsin ex - zcos ey + (ycos - xsin)ez ] 4 r 3 μM B= [{(2x2-y2-z2)cos +3xysin}ex 5 4 r +{(2y2 - x2-z2)sin}ey+3z(xcos + ysin)ez ]. y

B 

M

r

P(x,y,z) x

O

Pr.-2. Momenti M olan, ince çubuk şeklinde bir mıknatıs sabit bir yatay B0 magnetik endüksiyonu içinde, ortasından asılı olarak dengede durmakta iken, yatay düzlemde 0 kadar döndürülüp serbest bırakılıyor. Mıknatısın yapacağı salınımın peryodu nedir? ( taşıyıcı ipin direnci ihmal edilebilecek kadar küçük varsıyılıyor).  M B0

( t = 0 anındaki durum)

M B0

( bir t > 0 anındaki durum)


102

Pr.-3. Momentleri M1 ve M2 olan, ince çubuk şeklinde iki mıknatıs, şekilde görüldüğü gibi, bir yatay B0 endüksiyon alanı içinde orta noktalarından asılı olarak dengede durmaktadır. Mıknatıslardan biri yatay düzlemde  açısı kadar döndürüldüğünde diğeri hangi yönde, ne kadar döner? (Mıknatısları taşıyan ipin direnci ihmal edilebilir niteliktedir).

M1

r B0

M2

M1

 r

M2



B0

Pr.-4. Pr.-3 de sözü edilen  açısı,  = 0sint olacak biçimde zorunlu bir değişime tabi tutulursa, ikinci mıknatısın denge konumuyla yaptığı  açısı zamanla nasıl değişir? (0 ve  bilinen, sabit değerlerdir , öye ki; sin  ve sin   dır). Pr.-5. Pr.-3 de sözü edilen mıknatıslar küçük titreşim yapabilecek şekilde serbest bırakılsalar, aynı peryotla hareket edebilirler mi?. Bu halde, açısal frekansın değeri ne olur?

ELEKTROMAGNETİZMA

103

DÖRDÜNCÜ BÖLÜM

ELEKTROMAGNETİZMA

4.1 Maxwell Denklemleri İkinci ve üçünçü bölümlerde ele aldığımız olaylar zamanla değişmeyen durgun (statik) olaylardır.Eğer yük yoğunluğu  ve akım yoğunluğu J zamanla değişiyorsa, bunların yarattığı alanlar da zamanla değişeceklerdir.Yük yoğunluğunun zamanla değişiyor olması, yükün sakınımı ilkesi nedeniyle,bir akımın da zorunlu olarak aynı anda var olması sonucunu doğurur.Bu demektir ki; zamanla değişen bir elektrik alanının yanısıra, zorunlu olarak,her zaman bir de magnetik alan yaratılmıştır.Faraday* 1831 yıllarında yapmış olduğu deneylerle bunun tersinin de doğru olduğunu göstermiştir.Yani, zamanla değişen bir magnetik alan, beraberinde bir de elektrik alanın yaratılmış olmasına neden olur.Bu özellikler,zamanla değişim söz konusu olduğu hallerde elektrik ve magnetik alanların birbirinden ayrı düşünülmesinin olanaksız olduğunu, gerçekte bunların bir tek olayının iki bileşeni durumunda olduklarını göstermektedir.Söz konusu olaylar elektromagnetik olay, bunları inceleyen bilim dalı da elektromagnetizma adını alır.Statik elektrik ve magnetik olayların gerçeklediği denklemleri ve Faraday’ın deneylerini göz önüne alan Maxwell† elektromagnetik olayların şu denklemlere uygun olarak geliştiğini iddia etmiştir‡:

 B=0, t  rotH - D = J , t rotE +

divD = 

(4.1a)

divB = 0.

(4.1b)

Maxwell denklemleri olarak bilinen bu bağıntıların zamanla değişim yok iken elektrostatik ve magnetostatiğin temel denklemlerine indirgendiği açıkça görülmektedir. Biz, bütün elektromagnetik olayların bu denklemlere uygun olarak geliştiğini varsayacağız.E, D, H ve B nin tümü birden bir elektromagnetik alan adını alır. Elektromagnetik olayın ayrıntılı bir incelenmesine girişmeden önce, (4.1a-b) denklemlerine ilişkin olarak şu hususları özellikle vurgulamak istiyoruz: i)Maxwell denklemleri yöresel (lokal) denklemlerdir.Yani, elektromagnetik alanın bileşenlerinin bir noktadaki ve bir andaki değerlerini birbirine bağlarlar. *

Michael Faraday (1791 Londra –1867 Hampton-Court) James Clerk Maxwell (1831 Edinburg-1879 Cambridge) ‡ J.C. Maxwell ;Treatise on Electricity and Magnetism (2 cilt) 1873. †


104

ii)Maxwell denklemleri, içinde olayın geçtiği ortamdan bağımsız, evrensel denklemlerdir (bu türden denklemlere fizikte alan denklemleri adı verilir). iii)Belirli bazı yüzeyler haricinde her yerde E,H, ... süreklidir, sürekli türevlere sahiptir ve (4.1a-b) denklemlerini sağlar (süreksizlik yüzeyleri üzerindeki durum bölüm-5’te incelenecektir). iv)(x,y,z,t) ve J(x,y,z,t) bilindiği taktirde, bunların yarattığı elektromagnetik olayı aydınlatmak için (4.1a-b) denklemleri, içinde olayın geliştiği ortamı tanımlayan bünye denklemleri* de göz önüne alınarak çözülürler.Çözüm,her şeyden önce, bütün uzayda yapılmış integrasyonlarla 2 2 2 2  E d < ∞,  D d < ∞,  H d < ∞,  B d < ∞

(4.2)

sağlanacak şekilde oluşturulmak zorundadır. Çünkü,daha sonra ayrıntılı bir şekilde göreceğimiz gibi,bu integrallerin sonuçları, alanın varlığı nedeniyle uzayda depo edilmiş bulunan enerjilerle orantılıdırlar ve sonlu olmak zorundadırlar. v)Elektrik alanla magnetik alan arasındaki bağıntı hem zamana göre alınmış türevler hem de, eğer ortam iletken ise, J nin içindeki Ji = E terimi aracılığı ile olmaktadır.Bu nedenle, elektrik ve magnetik alanın birbirinden tamamen ayrılabilmesi için hem zamanla değişimin olmaması hem de ortamda iletkenliğin bulunmaması gerekir (statik alanlar hali).Eğer zamanla değişim söz konusu olmamakla beraber ortamda iletim varsa,birbirine bağlı olan statik magnetik ve elektrik alanlar söz konusu olur.Bu türden alanlara stasyoner elektromagnetik alanlar adı verilir(bak. bölüm-3.9). Problemler Pr.-1.Maxwell denklemlerini dairesel silindirik koordinatlarda yazınız. Pr.-2.Maxwell denklemlerini küresel koordinatlarda yazınız.

4.2 Bazı İlk Sonuçlar Maxwell denklemleri bazı basit deneylere dayanılarak ifade edilmiş bulunan bir takım yasalar göz önüne alınarak yazılmış bulunmaktadırlar. Şurası çok ilginçtir ki; bu denklemlerden geriye giderek söz konusu yasaların çok daha genel ifadelerini ortaya çıkarmak mümkün olmaktadır.Burada bunlardan bazılarına değineceğiz.Deneyler, söz konusu yasaların bu genişletilmiş halleriyle doğru olduğunu kanıtlamaktadır. 4.2.1 Genişletilmiş Ampère Formülü Bir  bölgesi içinde H ın uzay koordinatlarına göre birinci mertebeden sürekli kıs-mi türevlere sahip olduğunu varsayalım.Bu bölge içindeki düzgün bir sonlu yüzey parçası S, bunun çevresi de C olsun.(4.1b) nin ilk denklemini S üzerinde integre edelim ve birinci yanı Stokes formülü uyarınca eğrisel integrale dönüştürelim.

 rotH.dS =  [J + S

veya *

Bünye denklemleri için bakınız:Bölüm 4.3

S

 D].dS t

ELEKTROMAGNETİZMA

105

 H.dc = I,

I =  [J + S

C

 D].dS t

(4.3)

yazarız.Burada dc ile C eğrisinin yay elemanı gösterilmektedir, öyle ki; C üzerindeki pozitif yön S in n normalleri tarafından pozitif olarak görülür. (4.3) ile (3.14a) yı karşılaştıracak olursak şunu söyleyebiliriz:Ampère formülü zamanla değişen alanlar için de geçerlidir.Yanlız, bu halde,C çevresinin kucakladığı toplam akım olarak hem J nin hem de D/t nin S den geçirdiği akı düşünülmelidir. D/t nin I ya katkısı deplasman akımı olarak adlandırılır. Bu akım bazan iletimden ileri gelen akıma göre çok daha büyüktür ve bazı devrelerde akımın devamlılığını açıklamak olanağını verir (bak. Pr.-1, 2). Problemler Pr.-1.Şekildeki devrede kondansatörün levhaları arasındaki alanı düzgün varsayarak, bir levhadan geçen toplam akımı hesaplayınız ve bunun devreden geçen Ic akı- mına eşit olduğunu gösteriniz. Ic

V0sint

Pr.-2.Bir iletken hat içindeki elektrik alanın düzgün olduğu varsayılmaktadır. İletkenden geçen sinüsoidal bir akımın maksimum değeri Imax olsun. Emax ı ve akımı oluşturan iletim (Ii) ve deplasman (ID) akımlarının maksimum değerlerini Imax cinsinden yazınız. ID ve Ii arasındaki faz farkını bulunuz. =5,8.107 1 /m, r =1, f = 50Hz için IDmax/Iimax ı hesaplayınız (bakır tel hali). Pr.-3.I1 ve I2 değerinde sabit akımlar taşıyan iki iletken bir O noktasında birleşmiştir. a)Yaratılan elektromagnetik alanın kaynaklarını ve bunların zamanla değişim biçimini belirtiniz. b)Magnetik alanın şekildeki C1 ve C2 daireleri üzerindeki sirkülasyonunu hesaplayınız.

I1 I2 C1

S2 O

S1

C2


106

4.2.2 Faraday Endüksiyonu A. Elektromotor kuvvet Yukarıda H için söylediklerimizi şimdi E için söyleyerek (4.1a) nın ilk denklemini S üzerinde integre edelim.Eğer S zamanla değişmiyorsa,

 B.dS =  rotE.dS =  E.dc  t S S C

(4.4a)

d  B.dS =  E.dc dt S C

(4.4b)

- veya

-

yazarız.Volt boyutunda olan sağ yandaki büyüklük C çevresinde indüklenmiş olan elektromotor kuvvet veya voltaj adını alır.Bunun fiziksel anlamını biraz sonra açıklayacağız. Eğer S ve C zamanın fonksiyonu olarak değişiyorsa, (4.4a) daki türetme işlemi ile integrasyon işleminin sırasını değiştirerek hemen (4.4b) yi yazamayız.Bu halde, divB = 0 olduğundan, ispatı bölüm-7.6 verilen

 d B.dS =  B.dS +  (v×B).dc  t dt S S C 

eşitliği nedeniyle (bakınız (7.23)), -

d  B.dS =  {E + v×B}.dc dt S C

(4.4c)

yazılır.Burada v ile C nin noktalarına ait dr/dt türevi, yani hız alanı gösterilmektedir. Sağ yandaki büyüklük,(4.4b) de olduğu gibi, gene, C üzerinde endüklenmiş elektromotor kuvvet veya voltajdır.Bunu e(t) ile göstereceğiz. Elektromotor kuvvet kavramına fiziksel bir açıklık kazandırmak için bir noktasal q yükünün C boyunca hareket ettirilmesi esnasında yapılan işi hesaplayalım.Yükün C boyunca hızı v1 olsun.C nin noktaları da hareket halinde bulunduğundan, yükün toplam hızı v+v1 olup yük her an q{E+ v×B + v1×B} ye eşit bir Lorentz kuvvetinin et-kisi altındadır.Yükü hareket ettirebilmek için dışarıdan uygulanacak kuvvet buna zıt yönde eşit olmalıdır.Bu demektir ki; yükün bir devrini sağlamak için yapılması gereken iş W = - q  {E+ v×B + v1×B}.dc

(4.4d)

C

dir.v1 hızı her noktada dc ye paralel olduğundan W= -qe(t) olur.Söz konusu hareket esnasında elektromagnetik alan tarafından yapılmış bulunan işin (-W) ye eşit olacağı açıktır.O halde şunu söyleyebiliriz:Birim yükün bir C çevresi üzerinde bir devir yapması sonucunda elektromagnetik alan tarafından yapılmış olan iş C üzerinde indüklenmiş bulunan elektromotor kuvvet adını alır.Elektromotor kuvvet ile magnetik en-

107

ELEKTROMAGNETİZMA

düksiyonun akısı arasındaki (4.4c) bağıntısı Faraday formülü olarak tanınır*.Eğer B zamanla değişmiyor ise, rotE =0 dır ve, dolayısıyla, E nin elektromotor kuvvete etkisi sıfırdır.Bu halde, elektromotor kuvvet, tanım olarak, e(t) =  (v×B).dc

(4.4e)

C

den ibarettir ve (4.4c) uyarınca (-d/dt  B.dS ) ye de eşittir.Tersine, C eğrisi zamanla S

değişmiyor ise, e(t) tanım olarak e(t) =  E.dc

(4.4e)

C

dir ve (4.4b) uyarınca, aynı zamanda (-  B/t.dS) ye de eşittir. S

Elektromotor kuvvetin birimi olarak volt’un kullanılması pratik düşünüşlerde bazan yanlışlıklara düşülmesine neden olmaktadır. Bu,bir statik elrktrik alanla zamanla değişen bir elektrik alanı birbirinden ayıran temel özelliğin gözden kaçmasından ileri gelmektedir.Şöyle ki;bir statik alanda B

 E.dc

A

integrali A yı B ye birleştiren yol’dan bağımsızdır ve A ile B arasındaki potansiyel farkına eşittir.Buna karşılık, zamanla değişen bir alanda integral yoldan bağımsız değildir ve, dolayısıyla, potansiyel farkı gibi bir anlamı da yoktur. B. Öz ve karşıt endüktans kavramları. Devre teorisinin temel denklemleri Bir devrede elektromotor kuvvetler ile gerilim düşümleri arasında var olan ilişkiyi ortaya çıkarmak için Şekil-4.1 deki devreyi göz önüne alalım. E(t) ile gösterilmiş bulunan kaynak, t ile (t + t) zaman aralığında q kadar yüke C boyunca bir devir yaptırmış olsun.C nin iletken bir malzemeden yapılmış olduğunu, çok ince fakat sıfırdan farklı bir kesitinin bulunduğunu ve direncinin R ye eşit olduğunu varsayalım (bak.bölüm 3.9,Pr.-1).C den akan toplam akım, t yeter derecede küçükse, i  q/t olup t süresince açığa çıkan ısı enerjisi W1  i2Rt  (

q 2 ) Rt (Joule) t

dir.Bu enerji, şüphesiz, kaynak tarafından karşılanacaktır.Aynı zaman zarfında C üzerinde q yükünü devrettirebilmek için kaynak aracılığıyla bizim yapacağımız iş de, (4.4d) uyarınca, *

Elektromagnetik teorinin tarihsel temellerinden birini oluşturan bu bağıntı Faraday Yasası olarak da adlandırılır.Faraday bunu 29 Ağustos 1831’de keşfetmiştir. Bakınız: M.Faraday, Diary, Royal Institution, London 1932.Ayrıca bak.: G.Gamow, Biography of Physics, Harpers and Row, New York ,1961.


W2 = - q e(t) = q

d , dt

108

 =  B.dS S

ye eşittir.Şekilde E(t) ile gösterilen fonksiyon, kaynağın (t, t+t) zaman aralığında H

E(t) +

dS

S

R

r’

C t

i(t)

dc Şekil-4.1

birim yükü kaynağın bir ucundan diğerine taşırken yapacağı işi göstermektedir.Bu, bir anlamda, kaynağın (t, t+t) zaman aralığında yüklere uygulayabileceği kuvvetin bir ölçüsüdür ve kaynağın elektromotor kuvveti adını alır.Kaynağın q yükünü bir uçtan diğerine taşıması için yaptığı qE(t) işini W1+W2 ye eşit yazmakla E(t) 

1 q 2 ( ) Rt – e(t), q t

(4.4g)

ve burada t0 yapmakla da E(t) = iR – e(t) = iR+

d dt

(4.4h)

buluruz.Burada , başka kaynak bulunmadığı için, devreden akan akımın neden olduğu akıdır ve, bu devrenin boyutları ışık hızına göre çok küçük düşünüldüğünden * =

r' iμ   (t × 3 ).ndSdc  Li(t) 4π S C r'

(4.4i)

ye eşittir.t ile, C nin akım yönündeki birim teğet vektörü, S ile, C nin kuşattığı alan parçası, n ile de S in C ye göre pozitif yönlendirilmiş birim normal vektörü gösterilmektedir.Kolayca gerçeklenebilir ki; her zaman L>0 dır.Buna C çevresinin öz endüktansı adı verilir.MKSA sisteminde L yi ölçmek için kullanılan birim Henry*dir. *

Bu kısımda söz konusu olacak devrelerin boyutlarının ve birbirlerine uzaklıklarının yeterince küçük olduğunu varsayıyoruz, öyle ki; bölüm 4.8.2 de sözü edilecek olan gecikmeler burada ihmal edilebilir olsun.

109

ELEKTROMAGNETİZMA

Burada şu hususu ısrarla belirtmek istiyoruz: Şekil-4.1 deki C çevresi fiziksel varlığı olan bir çevredir ve bunun kesiti sıfırdan farklıdır.Eğer bu iletken soyutlanarak kesiti sıfır varsayılırsa, bölüm 3.2 deki örnekten de açıkca anlaşılacağı üzere, S in C ye yakın noktalarında magnetik alan sonsuza doğru büyüyen değerler alır ve, dolayısıyla,(4.4i) deki integral ıraksar.Bu nedenle, öz-endüksiyon hesaplanırken iletkenlerin kesitinin hesaba katılması gerekir. Şimdi S ve C nin zamanla değişmediğini varsayalım.Bu halde (4.4h) bağıntısı, E(t) + e(t) = iR şeklinde yazılırsa, devrede indüklenmiş bulunan elektromotor kuvvetin kaynak gibi davrandığını gösterir.Aynı bağıntıyı E(t) = iR + L di/dt

(4.4j)

şeklinde yazacak olursak, Faraday indüksiyonundan ileri gelen L di/dt terimi Ri gibi gözükür, yani devrede bir yük gibi davranır.Bu husus Lenz’in genel ilkesine uygun olan bir özelliktir.Şöyle ki; bir t anında E(t) büyümeye başlarsa, i(t) de aynı eğilimi gösterir.Ancak, Ldi/dt pozitif olduğu için i(t) nin artışı E(t)/R den daha az olur. Yani, başka bir deyişle, L nin varlığı i nin artışını frenler.Tersine, E(t) azalırken de Ldi/dt <0 olduğundan, i nin azalması E(t)/R den daha az olur.Yani, L nin varlığı bu sefer de i nin azalmasını frenler. Yukarıda göz önüne alınmış bulunan şekil-4.1 deki basit çevre halinde yaratılan magnetik alanın kaynağı sadece çevreden akmakta olan i(t) akımı idi.Eğer E(t)0 yapılacak olunursa, (4.4h) denklemi, doğal olarak Ri + Ldi/dt = 0 a indirgenir ve i  0 verir.Buna karşılık, söz konusu çevre belirli bir magnetik alanın içinde bulunsaydı, devreden geçen  akısını i(t) nin ve söz konusu alanı yaratan diğer kaynakların katkısı şeklinde ikiye ayrılmış düşünmemiz gerekirdi.Bu sonuncuyu dış ile gösterecek olursak, (4.4h) nin yerini E(t) -

d di dış = Ri + L dt dt

(4.4k)

alır. Şimdi E(t)  0 olsa da çevreden sıfırdan farklı bir akım akar.Bu akımı, şüphesiz, çevrenin uzağında bulunan diğer kaynaklar beslemektedir. Şimdi de ortak noktaları bulunmayan C1 ve C2 gibi farklı iki çevre göz önüne alalım.C1 den bir i1(t) akımı akıyorken C2 çevresinde e12(t) gerilimi indüklensin.Tersine, C2 den i2(t) akımı aktığında da C1 de e21(t) gibi bir gerilim indüklenir. e12(t) = - L12di1/dt,

e21(t) = - L21di2/dt

(4.4l)

ile tanımlı bulunan L12 ve L21 sabitleri bu çevrelerin birbirini Faraday endüksiyonu bakımından ne ölçüde etkileyebilmekte olduklarını belirten büyüklüklerdir.Biraz *

Bu sözcük J.Henry (Albany, N.Y., 1797- Washington, 1879) nin adından gelmektedir.


110

sonra göstereceğiz ki, her zaman L12 = L21 dir.Bu sabitler söz konusu çevrelerin karşıt endüktansı adını alır. L12 = L21 olduğunu gösterebilmek için e12(t) = -

r12 μ d   i1(t)(dc1 × 3 ).n2dS2 4π dt S 2 C1 r12

yi (4.4l) ile karşılaştıralım ve integrallerin sırasını değiştirelim.Hemen L12 = -

1 μ ).n2dS2   dc1 × grad2( r12 4π C1 S 2

(4.4m)

yazarız.Burada S2 ile C2 çevresinin kuşattığı herhangi bir alan parçası, n2 ile bunun birim normali.r12 ile de, C1 üzerndeki noktaları S2 nin noktalarına birleştiren vektör gösterilmiştir.n2 öyle yönlendirilmiştirki; C2 üzerindei2 nin akış yönü n2 tarafından pozitif görülür.(4.4m) yazılırken r12 1 = - grad2 3 r12 r12 olduğu göz önünde tutulmuştur. Burada grad işlemindeki (2) alt indisi türetmenin S2 nin noktalarına göre yapılacağını belirtmektedir. (4.4m) yi Stokes teoremi uyarınca aşağıdaki gibi de yazabiliriz: 1 μ dc1).n2dS2   rot2( r12 4π C1 S 2 dc1. dc 2 μ = .   r12 4π C1 C 2

L12 =

(4.4n)

Bu sonuç C1 ve C2 çevreleri bakımından simetrik bir yapıya sahiptir. O halde L12 = L21 dir. (4.4n) integrali her zaman yakınsak olduğundan, C1 ve C2 çevrelerinin kesitlerini sıfır düşünebiliriz. Şimdi, yukarıda sözü edilen çevrelerin başka kaynaklar tarafından yaratılmış bir magnetik alanın içinde bulunduğunu ve bunlardan i1 ve i2 akımlarının akmakta oldu-

V1(t)

- Q1(t)- q1

- Q1(t) V1(t)

E

E

Q1(t) t anında kondansatör

Q1(t)+q1 t+t anında kondansatör Şekil-4.2

ELEKTROMAGNETİZMA

111

ğunu düşünelim. Bu çevrelerin öz ve karşıt endüktansları L1, L2 ve L12, dirençleri de R1 ve R2 ile gösterilsin.En genel durumu yansıtmış olmak için bu çevrelerin, kapasiteleri, sırayla, C1 ve C2 ye eşit olan birer kondansatör de içermekte olduklarını kabul edelim. Bu halde, t anında C1 kondansatörünün uçları arasındaki voltaj V1(t), üzerindeki yük de Q1(t) ile gösterilsin (bak.şekil - 4.2).(t, t + t) zaman aralığında (t<<1) bu çevreden q1 kadar yük akışı oluyorsa, söz konusu kondansatörün üzerindeki yük Q1+q1 olur ve bu yük artışını sağlamak için V1(t)q1 kadar iş yapmak gerekir. Bu iş de göz önüne alındığında, (4.4g) nin yerini q1E1(t) = (

q1 2 ) R1t - q1e1(t) + V1(t) q1 t

(4.4p)

alır.Başlangıçta kondansatör yüksüz ise V1(t) =

Q1 ( t ) 1 t =  i1(t)dt C1 0 C1

dir. Bu husus göz önünde tutularak (4.4p) de t 0 yapılırsa ve e1(t) ye i1ve i2 akımlarının katkıları diğer dış kaynaklarınkinden ayrılırsa, E1(t) -

di di 1 t d (1)  dış = R1i1 + L1 1 + L21 2 +  i1dt C1 0 dt dt dt

bulunur.Benzer şekilde, ikinci çevre için de E2(t) -

di di 1 t d (2)  dış = R2i2 + L2 2 + L12 1 +  i2dt C2 0 dt dt dt

yazılır.Bu son iki bağıntı çok sayıda çevre haline genişletilebilir ve devreler teorisinin temelini oluşturur. Problemler Pr-.1.Magnetik endüksiyonu B = B0cos(t-y/c)ex şeklinde olan bir elektromagnetik alan içinde y = d noktasına, şekilde gösterildiği gibi, bir çerçeve anten konmuştur. Antenin A ve B uçları arasındaki gerilimi ve bunun maksimumunu bulunuz ( b << 2c dir). Hangi uç daha yüksek potansiyeldedir? z

b h

x

d

y

A B

Pr-.2.(,,z) silindirik koordinatlar olmak üzere, boşlukta uyarılan bir elektomagnetik alan için B = Bez ve


 B=  

B0 sin ωt ,

112

ρa ρa

0,

ölçülmüştür. E yi i) Faraday formülünden yararlanarak, ii)Doğrudan doğruya Maxwell denklemlerini kullanarak bulunuz.Bu alanı yaratan kaynak dağılımını belirtiniz. Pr.-3. Statik alanda B

 E.dc

A

integrali A yı B ye birleştiren yoldan bağımsızdır.Zamanla değişen bir alanda bu integralin yola bağlı olduğunu gösteriniz ve farklı iki yol için hesaplanmış değerlerin (voltajların) farkının magnetik alan yardımıyla nasıl hesaplanacağını belirtiniz. Pr.-4.b genişliğindeki bir metal şerit, şekilde görüldüğü gibi, kendisine dik bir B0 (= sabit) magnetik endüksiyonunun etkisi altında sabit bir v hızıyla hareket etmektedir.Bir voltmetrenin A ve B uçları şeritle temas halindedir. a) A ve B uçları arasında endüklenecek olan gerilimi bulunuz. b)A ve B uçları arasına direnci R ye eşit bir yük bağlandığında akacak olan akımın değeri ve yönü ne olur? ( self endüksiyon etkisi ihmal ediliyor). c) (b) de sözü edilen halde hareketi sürdürebilmek için şerit ne kadar bir kuvvetle çekilmelidir? d)Yukarıda sözü edilen magnetik endüksiyon zamanla değişiyorsa, sonuçlar ne olur? B = B0cost özel haline ilişkin sonuçları yazınız.

R i

B e( t) A



B

v

b

f

Pr.-5.a yarıçaplı bir metal disk, şekilde görüldüğü gibi, sabit bir mıknatısın kutupları arasında sabit bir hızla dönmektedir. a)A ve B uçları arasında endüklenecek olan gerilimi bulunuz. A ve B uçlarından ngisi daha yüksek potansiyeldedir? Neden? b)R direncinden akacak akımın yönü ve değeri nedir? (self endüktansın ihmal edilebildiği varsayılıyor). B N B

 a

S

e( t) A

R i

ELEKTROMAGNETİZMA

113

Pr.-6.Çok ince telden yapılmış, ab boyutunda dikdörtgen biçiminde bir çerçevenin bir kenarı, şekilde görüldüğü gibi, sabit bir mıknatısın kutupları arasındadır. a)Çerçeve sola doğru sabit bir v hızıyla itildiğinde, indüklenecek elektromotor kuvvet ne olur? b)Çerçevenin R ye eşit bir direncinin bulunması ve self endüksiyon etkisinin ihmal edilmesi halinde akacak olan akımın yönünü ve değerini bulunuz. c)(b) de sözü edilen halde hareketin sürdürülebilmesi için uygulanması gereken kuvvet nedir? d)Yukarıdaki soruları, çerçevenin sağa doğru çekildiği hal için cevaplandırınız.

N a( t)

B

v

i



b

a

S

Pr.-7. (4.4h) ile tanımlı L nin her zaman pozitif olduğunu gösteriniz. Pr.-8. Aynı düzlemde bulunan sonsuz uzun bir doğru ile a yarıçaplı bir dairenin karşıt endüktansının L12 = {b -

b 2 - a 2 } Henry

olduğunu gösteriniz(dairenin merkezi doğrudan b kadar uzaktadır. Pr.-9. Bir elektromagnetik alanda, B = B0cos1tex ve E = Eey olduğu gözlenmiştir (B0 ve 1 bilinen pozitif sabitler, =0 dır). i) E yi ve J yi bulunuz. ii)Alanı A olan bir dikdörtgen çerçeve Oz ekseni etrafında sabit 2 açısal hızıyla dönmektedir, öyle ki; t = 0 da  = 0 dır. a)Çerçeveden geçen akıyı zamanın fonksiyonu olarak bulunuz. b)Çerçeve boyunca E nin sirkülasyonunu hesaplayınız c)Çerçeve boyunca v×B nin sirkülasyonunu hesaplayınız. dYukarıda bulunanlarla Faraday formülünü gerçekleyiniz ve çerçevede indüklelenen elektromotor kuvveti yazınız. e)a,b,c ve d de bulunan sonuçları 1= 0 ve 2 = 0 hallerinde tartışınız . z 

A

E

D O

B x

y 

F C


114

Pr.-10. Şekilde görüldüğü gibi, aralarında b kadar uzaklık bulunan,sonsuz uzun bir çift-telli hat sonsuz uzun bir C1 iletkenine paraleldir.C1 ile çift-telli hat devresinin birim uzunluğunun karşıt endüktansının L12 =

c 2  (a  b) 2 μ log Henry/m 4π c2  a2

olduğunu gösteriniz. a

b



.

c

C

n 1

Pr.-11. Çok ince bir telden yapılmış, a yarıçaplı bir halka sabit bir H0 magnetik alanı içerisinde, bir çapı tarafında, sabit  açısal hızıyla dönmektedir.Dairenin dönme ekse-ni H0 a diktir ve R ye eşit bir dirence ahiptir. A. Dairenin self endüktansı ihmal edildiği taktirde,daireden akacak olan akımın şid detini bulunuz. B. Daireyi döndürmek için uygulanan momenti hesaplayınız. C. Dönmeyi sürekli tutabilmek için harcanması gereken ortalama gücü bulunuz. D. Dairenin L self endüktansının ihmal edilmemesi halinde yukarıdaki sonuçlar nasıl değişir? Pr.-12.R,L,C, elemanlarından oluşmuş,dikdörtgen şeklindeki bir çevre kendi düzlemi içindeki bir eksen etrafında sabit bir  açısal hızı ile dönmektedir.Dönme eksenine dik bir sabit H0 magnetik alanın varlığı halinde A. Çerçeveden akan akımın geçici ve sürekli rejimdeki ifadelerini, B. Sürekli rejimde çevreyi frenlemeye çalışan momenti ve bunun değerini, C. Dönmeyi sürekli yapabilmek için birim zamanda harcanması gereken işin ortalamasını (gücünü) bulunuz. [NOT: t = 0 da kondansatör boştur ve çevrenin öz endüktansı L nin içindedir] Pr.-13.Sonsuz uzun bir iletken tel ile a yarıçaplı dairesel bir iletken tel aynı düzlemdedir ve dairenin merkezi telden b kadar uzaktadır. Dairesel telde indüklenen gerilimi hesaplayarak bu sistemin karşıt endüktansını bulunuz. y ’

I O



C 

x

b

Pr.-14. Çok sık sarılmış toroidal bobinin öz-endüktansını hesaplayınız. a/b 0 limit durumununda geçerli olan ifadeyi çıkarınız (aşağıdaki şekle bak.). z r S

b

I

O

b

C



 S

b+a 2a

x

ELEKTROMAGNETİZMA

115

Pr.-15. b uzunluğunda, çok ince bir düz metal çubuk bir ucu etrafında  açısal hızı ile dönmektedir.Dönme eksenine paralel bir sabit H magnetik alanının varlığı halinde, çubuğun uçları arasında belirecek olan voltajı hesaplayınız. Çubuğun hangi ucunun daha yüksek potansiyelde olduğunu (açıklayarak) belirtiniz (Çubuk ile dönme ekseni arasındaki açısı sabittir). 

z 

b H

Pr.-16. Sabit bir B = Bez magnetik alanı içinde, boyutları ab olan bir iletken ABCD çerçevesi  açısal hızı ile dönmektedir. Çerçeve R direncine bağlıdır ve d uzunluğundaki bir kol aracılığı ile döndürülmektedir. A) Çerçevenin kendi direnci r olduğuna göre, R üzerinden akan akımın açık ifadesini yazınız ve yönünü şekil üzerinde gösteriniz. B) Çerçeveyi döndüren F kuvvetini zamanın fonksiyonu olarak yazınız. (NOT. Özendüktansın etkisi ihmal edilecektir). z y  F B

C 

a

d x

R A

D

b

Pr.-17. Uzayda sabit bir B = Bez magnetik alanı yaratılmıştır. A) Aşağıda şekil-1de görülen dikdörtgen çerçeve Oy ekseni etrafında sabit bir  açısal hızıyla dönmektedir. Çerçevenin R ye eşit bir direnci ve L ye eşit bir öz-endüktansı vardır. Çerçeveden akan akımın sürekli rejimdeki ifadesini bulunuz. Bunun, aralarında 90 derece faz farkı bulunan iki bileşenden oluştuğunu gösteriniz. B) Yukarıda sözü edilen çerçeve, şekil-2 de görüldüğü gibi kıvrılmış olsun. Bu halde, çerçevenin öz-endüktansı ihmal edilecek olursa, akacak akımın ifadesinin gene (A) daki gibi olacağını gösteriniz ve akımı oluşturan bileşenlerin (A) daki karşıtlarına oranlarını yazınız. y

z

z

b

y n

b

b

n



B

B

t O

n

t

x O

x


116

4.2.3 Süreklilik denklemi H nın uzay koordinatlarına göre, D nin uzay koordinatlarına ve t ye göre ikinci mertebeye kadar, J nin ise uzay koordinatlarına göre birinci mertebeye kadar sürekli türevlere sahip bulundukları bir  bölgesinde (4.1b) nin ilk denkleminin diverjansını,(4.1a) nın ikinci denkleminin de t ye göre türevini alalım ve toplayalım. 0 = divJ + div = divJ +

ρ t

 D t (4.5a)

yazarız. Süreklilik denklemi adı verilen bu bağıntı, bir bölgedeki yükün azalma hızının bu bölgenin çevresinden dışarı çıkan akıma eşit olduğunu ifade etmektedir.Bunu daha açık bir şekilde gösterebilmek için (4.5a) yı (sonlu)  bölgesi içinde integre edelim.

ρ d  t 

 divJ d = - 



veya, sol yanı Gauss teoremi uyarınca  nin S çevresi üzerindeki integrale dönüştürerek,

 J.dS = S

d  d dt 

(4.5b)

buluruz. Sol yan S den dışarı çıkan akım, sağ yan ise  içindeki yükün azalma hızıdır. Uyarı.Yukarıda, Maxwell denklemlerinden haraketle, genişletilmiş Ampère, Faraday ve süreklilik denklemlerini elektromagnetik alanın bazı süreklilik koşullarına uyması halinde elde ettik.Gerçekte bunlar her durumda doğru olan bağıntılardır. Süreksizliklerin söz konusu olduğu hallerde de bu sonuçların elde edilebilmesi için (4.1a-b) denklemlerini distribüsyon anlamında düşünmek gerekir.Bu husus Bölüm 5 de ele alınacaktır. Pr-1. Orijinde, Q = 10 kulon değerinde bir noktasal yük vardır. t = 0 anında gerçekleştirilen ani bir işlemle bu yük pozitif z-ekseni üzerinden sonsuza akıtılmaya başlanmıştır. Akımın şiddeti sabit olup 5A değerindedir. Yük ve akıma ait yoğunlukların A) t<0 için , B) t>0 için, C) her t için geçerli ifadelerini yazınız ve bunların üç halde de süreklilik bağıntısını gerçeklediğini gösteriniz.

4.3

Bünye Denklemleri

Maxwell denklemleri özel bir elektromagnetik alanı bütün özellikleri ile göstermeye yeterli değildir.Bu yetersizlik iki bakımdan söz konusudur.Bir defa,içinde alanın söz konusu olduğu ortamın özellikleri bu denklemlerde gözükmemektedir.İkinci olarak,

117

ELEKTROMAGNETİZMA

denklemlerin sayısı, aralarında ilişki kurdukları bileşenlerin sayısından çok azdır, yani sistem belirsizdir.Genellikle  ve J tamamen veya kısmen bilinirler ve alanın uyarıcı kaynaklarını gösterirler.Bundan sonra problem E, H, D ve B nin bulunmasına indirgenmiş olur.J ve  nun tamamen bilinmesi halinde sistemde 12 bilinmeyen ve (en çok) sekiz bağımsız denklem var olur. Sistemi tamamen belirli yapabilmek için bu denklemlere, ortamın makroskopik bünyesini tanıtan yeni denklemler katmamız gereklidir. Bu yeni denklemler deneylerin sonucu olarak ortaya çıkarılırlar ve bünye denklemleri adını alırlar.Şurası açıktır ki; bir ortama ait bünye denklemleri E ve H nın, sıcaklığın, frekansın vb. büyük veya küçük oluşuna göre farklı olabilir. İncelemelerin basitleşmesi için biz bünye denklemlerinin mümkün olduğu kadar basit bir ifadeye sahip olmasını arzu ederiz.Bu basitlik, şüphesiz,ancak belirli koşullar altında söz konusu olur.Bu nedenle, bünye denklemlerinin ne zaman geçerli olduklarını bilmek ve bunları daima göz önünde tutmak gerekir. Biz burada bünye denklemlerine kısaca değinmekle yetineceğiz. Şunu da hemen belirtmek gerekir ki; bünye denklemleri bir takım prensiplere uygun olarak ifade edilmek zorundadırlar*. En basit bünyeye sahip ortam, şüphesiz, boşluktur. Deneyler göstermektedir ki; boşlukta her zaman D = 0E,

B= 0H

dır† ve, konveksiyon akımları yoksa, J = 0 dır.Boşluğa ait bünye denklemleri işte bunlardan ibarettir. Boşluğa ait bünye denklemlerinin son derecede basit oldukları açıkça görülmektedir.Bu nedenle, diğer ortamlara ait bünye denklemlerini de yukarıdakiler gibi ifade etmek eğilimi vardır.Biraz sonra kısaca değineceğimiz bellekli (non-instantaneous) ve yöresel olmayan (non-local) ortamların dışında kalan her ortam için boşluğunkine benzer bünye denklemleri yazmak mümkündür.Yanlız, bunlarda katsayılar her zaman sabit veya skaler değildir. J yi genel olarak, J + Ji şeklinde düşünmek gerekir. J hareket halinde bulunan serbest yüklerin neden olduğu akımı, Ji de, eğer ortam iletken ise bu iletkenliğin sonucu olarak ortaya çıkan akımı göstermektedir.Bu düşünüşle, belleksiz ve yöresel bir ortamın bünye denklemleri D = E ,

B = H ,

J = E

(4.6a)

şeklinde yazılır.Eğer ,  ve  E ve H ile değişmiyorsa, ortam lineer, aksi halde non-lineer’dir, denir. Örneğin, ferromagnetik cisimlerin bazısında  H nın fonksiyonudur. Nonlineerlik E ve H nın etkisi ile ortamın bünyesinin değişmesinden ileri gelir.Bu değişim bazı ortamlarda çok bazılarında ihmal edilecek kadar azdır.Örneğin, bazı cisimlerin boyutları elektrik alanının yönünde büyür (elektrostriksiyon olayı).Benzer olay magnetik alanın etkisi ile de olur (magnetostriksiyon olayı).Eğer değişim az ve E ve H ın değişim aralığı da küçük ise, ,  ve  için ortalama sabit değerler alınarak ortam, yaklaşıklıkla, lineer kabul edilebilir. Bir lineer ortamda ,  ve  noktadan noktaya ve zamandan zamana değişebilen skalerler veya tansör’ler de olabilirler. Son halde ortam anizotrop’tur, denir.Böyle bir *

Bakınız:C. Trouesdel and R.A Toupin;The Classical Field Theories; Handbuch der physik:Bd III/I.pp:700-704 (prensipler), pp:736-744 (elektromagnetizma için). † Statik halde D ve H nın tanımından ibaret olan bu bağıntıları zamanla değişen alanlar için deneylerin sonucu olan bünye bağıntıları olarak değerlendirmek gerekir.


118

ortamın özellikleri, her noktada, doğrultudan doğrultuya değişiktir.Bunlara biraz sonra yeniden değineceğiz. Lineer ve izotrop bir ortamda ,  ve  sadece uzay koordinatlarının ve zamanın fonksiyonu olan skalerlerdir. Eğer t ile değişim yoksa, ortam sabit katsayılı, uzay koordinatları ile değişim yoksa, homogen’dir, deriz.Gazların, sıvıların ve katıların çok büyük bir kısmı, çok kuvvetli olmayan alanların etkisi altında izotrop, homogen ve sabit katsayılıdırlar.Böyle bir ortamı biz basit ortam olarak adlandıracağız.Bu kitap içinde bizim göz önüne alacağımız ortamlar hep basit ortamlar veya bunların kümesi şeklindeki ortamlar olacaktır. Basit bir ortama ait  ve  nün boşluğa ait 0 ve 0 a oranı olan boyutsuz ve birim sisteminden bağımsız r =  / 0 , r =  / 0 (4.6b) sayılarına bu ortamın bağıl dielektrik sabiti (permitivitesi) ve bağıl magnetik geçirgenliği (permeabilitesi) adı verilir.Şurası ilginçtir ki; her zaman r 1 dir.Gazların çoğunda r 1 olup r =1 düşünmek olanağını verir. Örneğin, hava için r = 1,0006 dır. Sıvıların çoğunda r 2 ile 81 arasında değişir.Örneğin, su için r = 81, petrol için r =3 dür. Unutmamak gerekir ki; gazlarda ve sıvılarda r yoğunluk, frekans ve sıcaklıkla da değişir.Yukarıdaki değerler normal oda sıcaklığındaki değerlerdir.Katıların çoğunda r 2 ile 10 arasında değişmektedir. Örneğin, mika ve porselen için r  6 dır. Bağıl dielektrik sabitinin daima bir’den büyük olmasına karşılık r bir’den küçük de olabilir. r in değerine göre ortamlar iki gruba ayrılmışlardır: r < 1 : diamagnetik ortamlar r > 1 : paramagnetik ortamlar. Ortamların büyük bir çoğunluğunda r  1 dir.Örneğin, alüminyum için r =1,00002 , bakır için r = 0,999991 dir.Bazı paramagnetik ortamlarda da r bir’den çok büyüktür.Bünyesinde demir bulunan ortamlar,özellikle,bu gruptandırlar.Bu nedenle bu ortamlara ferromagnetik ortamlar adı verilir.Ferromagnetik ortamlar, genellikle, lineer olmayan ortamlardır.Bunların lineerleştirilmiş bünye denklemleri ancak H nın değişiminin küçük olduğu durumlarda kullanılabilir. İletken ortamların çoğunda (örneğin metallerde)  sadece sıcaklıkla değişir ve normal oda sıcaklığında  = 107 (m)-1 mertebesindedir.Bu oldukça büyük bir değerdir ve, çoğu kez, formüllerde  =  yaparak sadeleştirme yapmaya olanak verir.  =  olan bir ortama ideal iletken veya mükemmel iletken, deriz.Metallerin iyi iletken olmalarına karşın katıların bir kısmında  çok küçüktür.Örneğin, parafin için  = 10-11 dir. Bu malzeme, iyi bir yaklaşıklıkla, sıfır iletkenlikli dielektrik olarak düşünülür ve izolatörlerde kullanılır.  = 0 olan bir ortama mükemmel saydam‘dır, denir. Sıvılar ve elektrolitiklerde (baz, asit ve tuz eriyikleri) iletkenlik, genellikle, ne ihmal edilecek kadar az ne de mükemmel sayılacak kadar yüksektir.Alkol ve su gibi sıvılar için  = 10-13, elektrolitikler için  = 102 dir.Gazlarda, iyonlaşma nedeniyle, durum çok karışıktır. Daha önce de belirttiğimiz gibi,akımın varlığı iletken ortamların ısınmasına neden olur (Joule olayı). Sıcaklığın artması ile de 1/ büyüdüğünden, bir zaman sonra iletken ortam lineer olmaktan çıkar.Bazı ortamlarda sıcaklıkla değişim azdır ve lineerlik normal çalışma koşullarında, yaklaşık olarak, devam ediyor düşünülebilir.Buna kar-

119

ELEKTROMAGNETİZMA

şılık, bazı ortamlarda, örneğin tungstende sıcaklıkla değişim çok büyüktür ve lineerlik çabuk bozulur.Tungstende  nın E ye bağlılığını gösterin ilk terim E3 mertebesindedir.İletkenlik üzerinde magnetik alanın da bir etkisi vardır.Buna Hall olayı adı verilir.Bu etki çoğu kez ihmal edilecek kadar azdır.Etkinin ihmal edilmediği ortamlar, şüphesiz lineer olmayan ortamlardır. Son olarak şunu da belirtmek istiyoruz:Sıcaklık azaldıkça malzemenin direnci, genellikle, 0 0 K de sıfır olacak şekilde düzgün bir biçimde azalır (bak. şekil 4.3).

Saf olmayan metal

Saf metal Süper iletken malzeme

T

Tc Şekil 4.3

Fakat bazı malzemelerde durum böyle değildir: Kritik bir Tc sıcaklığının altında malzemenin direnci birdenbire yok olur (veya, aletlerin ölçemeyeceği kadar azalır). Böyle bir durumda, malzeme süperiletken hale gelmiştir, deriz. Süperiletkenlik özelliği gösteren malzemeler, çoğu kez, süperiletken, diye nitelendirilirler*. Tc nin değeri üzerinde magnetik alanın ve malzeme içinden akan akımın da etkisi vardır.Bunlar belirli kritik Hc ve Ic değerlerini aşınca süper iletkenlik kaybolur.Enerji kaybına neden olmadan çok büyük güçte enerji iletmek gibi problemlere çözüm getirebileceği umulan bu özelliği normal sıcaklıklarda gösteren alaşımların bulunması için bütün dünyada çok büyük çabalar harcanmaktadır†.

4.4 Basit Ortamlarda Temel Bağıntılar Parametreleri ,  ve  olan basit bir ortamda (4.1a-b) denklemleri rotE + 

 H=0, t

rotH - 

 E -  E = J , divH = 0, t

divE =

ρ ε

(4.7a)

(4.7b)

0

*

Bu özellik ilk defa 1911 yılında O.Kamerling tarafından 4 K e kadar soğutulan civa’da gözlenmiştir. † 1986’da J.G. Bednorz ve K.A. Müller’in başarılarından cesaret alan Prof.Chu ile Dr.M.K. Wu, 0

1987’de Y .Ba 2 .Cu 3 .O7 alaşımından oluşan bir malzemenin 92 K de süperiletken hale geldi-ğini göstermişlerdir. Bu başarıları nedeniyle Bednorz ve Müller’e 1987 Nobel ödülü verilmiştir.


120

(4.5a) ile verilen süreklilik denklemi de    +  = - divJ  t

(4.8)

şeklinde düzenlenebilir.Her özel durumda elektromagnetik alan (4.7a-b) denklemlerinin uygun sınır koşulları altında çözülmesi ile belirtilir.Bunlara daha ilerideki bölümlerde ayrıntılı bir şekilde değinilecektir.Burada sadece bazı basit temel bağıntılara değinmekle yetineceğiz. 4.4.1. Rölaksasyon Zamanı (4.8) süreklilik denklemi, konveksiyon akımlarını içermeyen bir bölgede,  = 0(x,y,z) e-t/ ,  =  /  > 0

(4.9)

olduğunu gösterir. Zaman boyutunda olan  ya ortamın rölaksasyon zamanı adı verilir. (4.9) dan anlaşılıyor ki; , eğer sıfır değilse, ortam içinde dağılarak  kadar bir zaman sonunda ilk değerinin (1/e) kadarına düşer. Bu demektir ki;  nin değerine bağlı olarak, belli bir zaman sonunda  artık ölçülemeyecek kadar küçük olacaktır. Bu halde artık =0 düşünmek mümkündür.Metallerde  çok küçüktür.Örneğin, bakırda  =1,5.10-19 saniyedir.Bu nedenle metallerde hacimsel yük yoğunluğunu her zaman sıfır düşünebiliriz.Bundan şu ilginç sonuç çıkmaktadır:Yüklü metaller söz konusu yükü ancak yüzeylerinde taşırlar*. Bir fikir vermiş olmak için kaydedelim ki; deniz suyu için  = 2.10-10 san., su için  = 10-6 san., petrol yağı için   saniye mertebesinde, sülfürler için   günler mertebesindedir. Problemler Pr.-1.Bazı ortamların alçak frekanslardaki bünye sabitleri aşağıya çıkarılmıştır. Bunlara ait  yı hesaplayınız. ortam r  ortam r  10 8  10 10 10 17 bakalit 4,9 quartz 3,78 10 12 10 14  10 16 cam 5,1 lastik 2,3-4 10 11  10 15 10 3 mika 6 arı su 80 porselen 5,5-6,5 2.10 13 Pr.-2.Homogen olmayan ve konveksiyon akımlarını içermeyen bir lineer izotrop ortamda süreklilik denklemini yazınız ve şunları gösteriniz: i) / noktadan noktaya değişmiyorsa, basit ortamlarda olduğu gibi,

 = 0(x,y,z) e-t/ ,  =  / 

dır. ii) / noktadan noktaya değişiyorsa fakat  nun zamanla değişimi ihmal edilecek

*

Metallerin bu özelliği ilk önce Coulomb tarafından keşfedilmiştir.

ELEKTROMAGNETİZMA

121

kadar azsa, ortam içinde sabit  =  E.grad( / ) yoğunluğu ile yayılı bir yük birikimi vardır (dielektrik absorpsiyon). 4.4.2. Dalga denklemi E veH nın x, y, z ve t ye göre ikinci mertebeye kadar sürekli türevlere sahip olduklarını kabul ederek (4.7a) nın ilk denklemine (-rot), (4.7b) nin ilk denklemine de /t işlemlerini uygulayalım ve taraf tarafa toplayalım.Bölüm 7.4 Pr.-4 de sözü edilen rotrot E = grad divE - E bağıntısını da göz önünde bulundurarak E - 

2 t

2

E - 

 1  E = grad +  J t ε t

(4.10a)

elde ederiz .Benzer şekilde, sadece H yı içeren H - 

2 t

2

H - 

 H = - rotJ t

(4.10b)

denklemi yazılır.Görüldüğü gibi, E ve H nın sağladığı diferansiyel denklemlerin sol yanları birbirinin aynıdır ve oldukça özel bir biçime sahiptir.Böyle bir yapıya sahip diferansiyel denkleme dalga denklemi adı verilir.Daha ilerideki bölümlerde göreceğimiz gibi, böyle bir denklemi sağlayan bir olay sonlu bir hızla yayılan bir dalga olayıdır.

4.5. Basit Olmayan Bazı Ortamlar Basit olmayan ortamlar oldukça karışık bir bünyeye sahiptirler ve elektromagnetik alanın bunlar içindeki özelliklerinin incelenmesi de değişik matematik yöntemlerin kullanılmasını gerektirir.Biz bunların ayrıntılı bir incelemesine girmeyeceğiz. Sadece, bir fikir vermiş olmak amacıyla, bazı temel kavramları işaret etmekle yetineceğiz. 4.5.1 Anizotrop ortamlar Lineer, homogen ve özellikkleri zamanla değişmeyen bir ortamda Dx = 11Ex + 12Ey + 13Ez Dy = 21Ex + 22Ey + 23Ez Dz = 31Ex + 32Ey + 33Ez olsun.Açıkca görülüyor ki; E // ex ise, D = (11ex + 21ey + 31ez)E E // ey ise

D = (12ex + 22ey + 32ez)E,

(4.11a)


122

dir.Bu D alanları, genel olarak E ye paralel ve birbirine eşit değildir.Başka bir deyişle, elektrik alanın doğrultusu değişirse, ortamdaki deplasmanın hem değeri hem de doğrultusu değişir.Yani,ortamın bünyesi doğrultudan doğrultuya değişiktir. Bu türden bir ortama anizotrop’tur, denir. Bir ortamın anizotropluğu hem permittivitesi, hem magnetik geçirgenliği, hem de iletkenliği bakımından söz konusu olabilir. Fakat, teknik önemi olan malzemelerin pek çoğu sadece bir özelliği bakımından anizotroptur. (4.11a) denklemlerini matris notasyıonu ile D = E

(4.11b)

şeklinde de yazabiliriz.Burada  ile, elemanları ij olan kare matris gösterilmektedir. Şunu ısrarla belirtmek gerekir ki;buradaki  sadece adi bir matris değildir. Bir koordinat dönüşümü sonucunda D ve E nin vektörler gibi dönüşmüş olabilmesi için  nun da özel bir dönüşüm kuralına sahip olması gerekir. Bu haliyle  vektörlerin, bir anlamda, genişletilmişi olur ve ikinci mertebeden tansör adını alır. Problemler Pr.-1.(x,y,z) kartezyen koordinatlarından (x’,y’,z’) kartezyen koordinatlarına x’ = 11x + 12y + 13z y’ = 21x + 22y + 23z z’ = 31x + 32y + 33z formülleri ile geçilmiş olsun.  nun elemanlarının nasıl dönüşeceğini bulunuz. Pr.-2. (,,) bir eğrisel koordinatlar sistemi olsun.Çok ince ve yalıtılmış iletken teller -değişken eğrileri şeklinde kıvrılarak bir  bölgesi içine yerleştirilsin.  bölgesi -yönünde iletkendir, denir (bir yönde iletken ortam).  bölgesinin bünye bağıntılarını yazınız.

4.5.2 Bellekli ortamlar Lineer,izotrop ve homogen bir ortamda t

D(x,y,z;t) =



(t-)E(x,y,z;)d

(4.12a)



olsun.Açıkca görülüyor ki;t anında (x,y,z) noktasında ölçülecek olan deplasmana t den önceki bütün  anlarında aynı noktada ölçülmüş bulunan elektrik alanlarının belirli oranda katkıları vardır.Bu, ortamın,geçmişi hatırlayarak elektrik alana karşı bir tepki göstermesi demektir.Bu türden ortamlara bellekli ortamlar adı verilir.Dielektrik ve magnetik histerizis olaylarının nedeni budur. (4.12a) daki D, E ve  u t nin fonksiyonu olarak göz önüne alalım ve Fourier dönüşümlerinin yapılabildiğini kabul edelim. D, E ve u(t) nin dönüşümleri*, sırayla, D(), E() ve () ile gösterilsin. Örneğin,

*

u(t) ile birim basamak fonksiyonu gösteriliyor.

ELEKTROMAGNETİZMA

123





E(r,t)eitdt = E(r,)



ve 



(t)eitdt = ()

0

dır. Bu halde, kolayca gösterebiliriz ki; D(r,) = ()E(r,)

(4.12b)

yazılabilecektir.Eğer alan zamanla sinüzoidal olarak değişiyorsa, (4.12b) deki  olayın açısal frekansıdır ve sabittir.Bu halde () ortamın dielektrik sabiti olarak düşünülebilir.Dielektrik sabiti frekansla değişen ve dispersif ortamlar adını alan ortamlar gerçekte bellekli ortamlardır. Problemler Pr.-1. (4.12b) yi çıkarınız. Pr.-2.a)Kompleks  düzleminin bir üst yarısında () nın regüler olduğunu gösteriniz. b)() = ’() + i’’() olsun (’,’’reel). ’nün çift, ’’ nün de tek fonksiyon olduğunu gösteriniz. 4.5.3 Yöresel olmayan ortamlar Lineer,izotrop ve özellikleri zamanla değişmeyen bir ortamda sadece x ve t ye bağlı bir alan uyarılmış olsun ve 

D(x,t) =



( |x-| ) E(, t-



| x - | ) d c

(4.13a)

yazılsın. Bu halde, bir x noktasında t anında ölçülecek deplasmana her  noktasındaki elektrik alanın bir katkısı vardır.Bu katkı  nin x e uzaklığına göre değişiktir ve, sanki c hızı ile x e erişiyormuş gibidir. Bünyesi buna benzeyen ortamlara yöresel olmayan (non-local) ortamlar adı verilir. Pr.-1. Bünye denklemi

x  c(t - )

t

D(x,t) =





{



(x,t;,)E(,)d}d

x - c(t - )

şeklinde olan bir lineer ve izotrop ortamın genel özelliğini tartışınız.

4.5.4 Lineer Olmayan Ortamlar Bünye bağıntıları (4.6a) şeklinde ifade edildiğinde, ,  ve  dan en az biri E veya H nın fonksiyonu oluyorsa, ortam lineer değil’dir, deriz. Bünye bağıntıları E ve H cin-


124

sinden ayrı ayrı lineer gözükse bile, elektromagnetik olayın bütünlüğü bakımından, bazan ortam lineer değildir. Aşağıdaki problem bunun ilginç bir örneğini oluşturur. Pr.-1.Basit bir ortamın bünye denklemleri D = E + aH, B = H + bE, Ji = E + cH şeklinde olsun. , a, , b,  ve c bilinen sabitlerdir. Bu ortam içinde J ile  yu birbirine bağlayan süreklilik bağıntısını çıkarınız.

4.6 Elektromagnetik Enerji Akısı Bir basit  bölgesinde belirli bir elektromagnetik alan uyarılmış bulunsun.Alanın yaratılması ile beraber  içine, Bölüm 2.9 ve Bölüm 3.8 de açıklanmış bulunan enerjilerin de depo edilmiş olacağını biliyoruz.Eğer  nin iletkenliği sıfırdan farklı ise, ısı enerjisine dönüşen bir enerji de söz konusudur. Buna ait güç (3.20a) ile bellidir.Şimdi amacımız bu enerjiler ile  dışındaki alan (veya, kaynaklar) arasında var olan ilişkiyi açığa çıkarmaktır. Bulacağımız bağıntı, hem bölüm (3.8) de sözü edilen enerjinin açık ifadesini elde etmemize yarayacak hem de, aynı zamanda, elektromagnetik dalgaların enerjiyi  bölgesine nasıl taşıdığını açıklamaya yardımcı olacaktır. Paramatreleri ,  ve  olan basit  bölgesi içinde E ve H ın uzay koor dinatlarına ve D nin de zamana göre birinci mertebeden sürekli türevlere sahip olduklarını kabul edelim.Bu halde, (4.1a) nın ilk denklemini H ile, (4.1b) nin ilk denklemini de E ile skaler çarpalım ve taraf tarafa çıkardıktan sonra  içinde integre edelim.





[E.rotH – H.rotE]d =  [E. 

D B + H. ]d +   E2 d +  J.Ed t t 



yazarız.Sol yandaki integrandın div(H×E) ye eşit olduğu göz önünde tutularak bu integral  nin S sınırı üzerinde yazılmış bir yüzey integraline dönüştürülürse, P=E×H

(4.14a)

Poynting vektörü olmak üzere, -  P.dS -  J.Ed = 

S

d dt





ε μ [ E2 + H2] d +   E2 d 2 2

(4.14b)



bulunur. Sağ yandaki We =

ε 2





E2 d ,

Wm =

μ 2



H2 d



terimleri, bölüm-2.9 ve bölüm-3.8 de görmüş olduğumuz gibi,  içine depo edilmiş elektrik ve magnetik enerjilerin t anındaki ani değerlerini gösterir.Bunların zamana göre türetilmesi ile elde edilmiş olan terimler, söz konusu t anında, birim zamanda depo edilen enerjilerdir.Başka bir deyişle, watt boyutundaki bu terimler depo edilen

ELEKTROMAGNETİZMA

125

enerjilere ait güç’lerden başka bir şey değildir.(4.14b) nin sağ yanındaki son terim ise, bölüm-3.9’da gördüğümüz gibi,  içinde ısı enerjisi şeklinde açığa çıkan enerjinin gücüdür. (4.14b) nin sol yanında gözüken ikinci terim, esas itibariyle, sağ yandaki son terimin aynıdır.Önündeki eksi işaretine bakarak bunu,  içindeki J kaynaklarının alana verdiği enerjiye ait güç olarak yorumlayabiliriz. Benzer şekilde, P vektörünün  içine giren akısından ibaret olan (4.14b) deki ilk terim de  nin dışındaki kaynakların  içindeki enerjiye katkısı olarak yorumlanabilir. İlk defa 1884’de Poynting* tarafından elde edilmiş bulunan ve bu nedenle Poynting bağıntısı olarak tanınan (4.14b) bağıntısını şu şekilde ifade edebiliriz:Bir basit  bölgesi içine birim zamanda depo edilmiş bulunan elektromagnetik enerji ile birim zamanda bu bölgede ısıya dönüşen enerjinin toplamı,  içindeki akım kaynaklarının sağladığı güç ile Poynting vektörünün  içine giren akısının toplamına eşittir. Uyarı.Yukarıdaki sonuçları elektromagnetik alanı  içinde sürekli varsayarak çıkardık. Bununla beraber, süreksizliklerin söz konusu olduğu bazı durumlarda da (4.14b) bağıntısı geçerli olabilir. Örneğin,  bölgesi 1 ve 2 gibi farklı iki basit bölgeden oluşmuş ise 1 i 2 den ayıran  yüzeyi üzerinde elektromagnetik alan süreksizdir, fakat (4.14b)  nin bütünü için geçerlidir.Gerçekten, bundan sonraki bölümde göreceğimiz gibi,  üzerinde ya i) E ve H ın teğetsel bileşenleri süreklidir, veya ii)E nin teğetsel bileşeni sıfırdır†. Bu halde, 1 in içinde kalan fakat 1 e son derece yakın olan 1’ bölgesi ile 2 içinde fakat 2 ye son derece yakın olan 2’ bölgeleri için (4.14b) bağıntıları yazılabilir. 1 in çevresi S1+1, 2 nin çevresi de S2+2 ile gösterilsin (bak. şekil-4.4). 1 ve 2 üzerindeki normaller, sırayla, 1’ ve 2’ nin dışına yönelik olduklarından; 1, 2   limit durumunda bunlar birbirine zıt olurlar. 1’ ve 2’ için yazılan (4.14b)  n S1  n2

1

1



2

 n1

S2

2

Şekil- 4.4

*

J.H. Poynting; Phil.Trans.175,343 (1884) John Henry Poynting (Monton, Manchester 1852-Birmingham 1914) † Bakınız:bölüm 5.3


126

eşitliklerinin toplanması ile elde edilen denklemdeki hacim integralleri 1, 2   limit durumunda 1+2 =  içinde yazılan (4.14b) integrallerine dönüşür. Benzer şekilde, S1+ 1 ve S2+ 2 üzerinde yazılan yüzey integrallerinin toplamından ayrılan bir parça da P nin S1+S2 = S üzerinden  içine giren akısını gösterir.Geriye kalan parça ise,



( E1 × H1).n1dS +



( E2 × H2).n2dS

2

1

den ibaret olup 1, 2   limit durumunda



( E1 × H1 - E2 × H2).n1dS

(4.14c)



ye indirgenir.Burada (E1,H1) ile 1 üzerinde, (E2,H2) ile de 2 üzerinde ölçülen değerler gösterilmektedir. Oysa, kolayca gerçekleyebiliriz ki;  üzerindeki geçiş koşulları yukarıda (i) veya (ii) de söylendiği gibi ise, (4.14c) deki fark sıfırdır (bak. pr.-1). Problemler Pr-.1.Şekil-4.3 deki  yüzeyi üzerinde (i) veya (ii) koşulları sağlanıyorsa (4.14c) deki ifa-denin sıfır olduğunu gösteriniz. Pr.-2.Şekilde görülen kondansatörden i(t) akımının akmakta olduğu ve plaklar arasında düzgün bir elektrik alanın yaratılmış bulunduğu varsayılıyor. I(t)

I(t)

a) Plaklar arasındaki silindirik bölgeye birim zamanda depo edilen elektrik ve magnetik enerjileri ayrı ayrı hesaplayınız. b)Yukarıdaki sonucu Poynting bağıntısını kullanarak bulunuz ve enerji akısının bölgeye nasıl girdiğini tartışınız. c) t = 0 anında i = 0 olsun. Kondansatöre depo edilen enerjinin t anındaki değerini bulunuz ve bunun (1/2)Q2/C şeklinde ifade edilebileceğini gösteriniz. Pr.-3. E0, B0, k ve  reel sabitiler olmak üzere, kaynakları içermeyen bir basit ortamda bileşenleri E = E0 (sin kz, coskz, 0)sint , B = B0 (sin kz, coskz, 0)cost olan bir elektromagnetik alan göz önüne alınıyor. a) k2 = 2 olduğunu gösteriniz ve E0 ile B0 arasındaki ilişkiyi bulunuz. b) E//B ve P  0 olduğunu gösteriniz ve bunun fiziksel nedenini açıklayınız. Pr.-4. Yukarıdaki problemi E = E0 (- cost, sint, 0)coskz , B = B0 (cost, -sint, 0)sinkz için tekrar ediniz.

ELEKTROMAGNETİZMA

127

4.7 Enerjinin Yayılma Hızı (4.14a) ile tanımlanan P enerji akısı vektörünü P = (we + wm)v

(4.15a)

şeklinde yazalım.Burada, Joule/m3 boyutuna sahip bulunan w = (we+ wm) büyüklüğü w=

1 (E2 + H2) 2

ye eşit olup, her noktada, birim hacım içinde bulunan enerjiyi gösterir. v ise hız boyutunda bir vektördür.Bu gösterilim, P enerji aksını, w yoğunluğu ile depo edilen enerjinin v hızı ile hareketinden ibaret düşünmek olanağını verir. v ye elektromagnetik enerjinin yayılma hızı diyeceğiz.Gösterebiliriz ki; her zaman v  c = 1/ εμ dir. Gerçekten, M = 4 μ/ε H + i 4 ε/μ E ve P2 = P.P olmak üzere

ε μ w2(c2 – v2) = c2( E2 + H2)2 – P2 2 2 2 c = (E2 + H2)2 – (E×H).(E×H) 4 c2 = (E2 + H2)2 – H2E2 + (E.H)2 4 1 = |M.M|2  0 4

(4.15b)

yazılır*. M.M =

μ/ε H2 -

ε/μ E2 +2iE.H

(4.15c)

olduğu göz önünde bulundurularak (4.15b) den şu sonuçlar çıkarılabilir: 1) Genel olarak v c dir. 2) v = c olması için E.H = 0 ve E2 = H2 olması gerekir ve yetişir.Bu da, elektrik ve magnetik alanların her noktada birbirine dik bulunması ve depo edilen elektrik enerjinin magnetik enerjiye eşit olması demektir.

4.8 Elektromagnetik Alanın Potansiyellerle İfadesi Belirli bir elektromagnetik olayın incelenmesi, Maxwell denklemlerinin bazı sınır koşullarına uyan çözümlerini bulmaktan ibaret bir sınır değer problemini çözmekten *

H.Bremmer; Handbuch der Physik,p.427, Springer Verlag,1958, Bd.XVI.


128

başka bir şey değildir. Basit ortamlarda bu denklemler, genel olarak, altı tane bilinmeyen skaler fonksiyon içerirler. Bunlar E ve H nın bileşenleridir. Buna karşılık, çözülmesi gereken denklem sayısı da, ilk bakışta sekizdir.Bu sekiz denklemin birbirinden bağımsız olduğu söylenemez. Örneğin,  = 0 halinde divD =  denklemi, kaynakların bir fiziksel zorunluluk olarak uydukları süreklilik bağıntısının ve rotH = J + D/t nin bir sonucudur.Benzer şekilde, divB = 0 da rotE= - B/t nin bir sonucudur. Bu kadar çok bilinmeyenle ve karmaşık bir problemle uğraşmak zorunda olmak, şüphesiz, çok cesaret kırıcıdır.Ne var ki; Whittaker’in gösterdiği gibi, bir basit ortamda herhangi bir elektromagnetik alanı gösterebilmek için, en genel halde iki tane skaler fonksiyonun belirlenmesi gerekir ve yetişir*. Bu bölümde, elektromagnetik alanı göstermekte kullanılan bu türden yardımcı fonksiyonları gözden geçireceğiz. Bunlara elektrodinamik potansiyeller adı verilir. 4.8.1 Vektörel ve skaler potansiyeller (Kirchoff,1857)  basit bir bölge olsun. divB = 0 denklemi gösteriyor ki;  içinde sürekli türevlere sahip öyle bir A(r,t) alanı vardır; ki B = rot A

(4.16a)

dır.B nin bu ifadesi rotE= - B/t denklemine taşınacak olursa, rot(E+A/t) = 0 yazılır. Bu demektir ki;  içinde sürekli türevlere sahip öyle bir V(r;t) skaler fonksiyonu vardır ki; E = - A/t – gradV (4.16b) dir.Zamanla değişimin söz konusu olmadığı hallerde, yukarıdaki bağıntıların magnetostatik ve elektrostatik alanlar için yazılmış bulunan ifadelere dönüşecekleri açıkca görülmektedir. A ve V ye, elektromagnetik alana ilişkin bir vektörel ve skaler potansiyel çifti adı verilir.İlk defa Kirchoff† tarafından kullanılan (4.16a,b) gibi bir gösterilim elektromagnetik olayların incelenmesini büyük ölçüde kolaylaştırmıştır. E ve B nin (4.16a,b) deki ifadeleri (4.1a,b) denklemlerinin henüz kullanılmamış bulunan diğer ikisinde yazılırsa, A ve V yi çözmeye yarayacak denklemler elde edilir. rotrotA = graddivA - A olduğunu göz önünde tutarak (4.1b) nin ilk denklemini A - 

2 t 2

A - 

  A + J = grad[divA + V + V] t t

(4.16c)

şeklinde yazabiliriz. (4.16a) ile tanımlanmış bulunan A vektörünün diverjansının belirsiz olduğunu ve, dolayısıyla, Helmholtz teoremi uyarınca bunun istenildiği gibi seçilebileceğini göz önüne alarak, (4.16c) nin sağ yanındaki köşeli parantezin içini sıfır yazabiliriz. Böylece (4.16c) şu iki denkleme ayrılmış olur: A - 

* †

2 t

2

A - 

 A = - J t

(4.16d)

E.T.Whittaker;Proc.Lond.Math.Soc.1,1904,p:367 G. Kirchoff, ber die Bewegung der Elektricität in Leitern, Ann. Physik, s: 529-544, 1857

129

ELEKTROMAGNETİZMA

divA +

 V + V = 0 (Lorentz koşulu). t

(4.16e)

Bu son denklemi göz önünde bulundurarak (4.16b) yi divD =  denklemine taşırsak V - 

2 t

2

V - 

 ρ V=t ε

(4.16f)

buluruz. (4.16e) denklemi V yi A cinsinden belirlediği için, elektromagnetik alanın belirlenmesi, genel halde, A nın üç bileşeninin bilinmesine indirgenmiş bulunmaktadır.Gerçekte bu üç bileşenden biri de fazladır (Bakınız Bölüm 4.8.4). Şurası apaçıktır ki; elektromagnetik alanı (4.16a,b) şeklinde ifade etmeye yarayan A ve V potansiyellerini Lorentz koşulu ile birbirine bağlı düşünmek zorunluluğu yoktur.Lorentz koşulu, bu koşula uyan potansiyellerin sağladığı denklemlerin birbirinden ayrılmasına olanak verdiği için tercih edilmektedir. Burada şunu da belirtmek yararlı olacaktır: V henüz belli olmadığından , (4.16e) koşulu da A yı tamamen belirli yapmaya yeterli değildir.Bu husus Bölüm 4.8.4 ün temel dayanağını oluşturacaktır. Pr-1. A ve B verilmiş iki sabit nokta, C de bunları birleştiren bir düzgün (sabit ) eğri olsun. a) Statik alanlar halinde geçerli olan  E.dc = - {V(B) – V(A)} C

bağıntısının, zamana bağlı alanlar halinde d  E.dc =  A.dc - {V(B) – V(A)} dt C C şeklinde geçerli olduğunu gösteriniz. b) C nin bir kapalı eğri olması halinde (a) daki ifadenin d  B.dS  E.dc = dt S C ye indirgeneceğini gösteriniz. Burada S, C nin sınırlamış olduğu herhangi bir yüzey parçasıdır. 4.8.2 Gecikmeli potansiyel kavramı ( = 0 hali )  sonsuz geniş bir basit ortam olsun ve iletkenliği bulunmasın.Bu halde, skaler potansiyelin sağladığı (4.16f) denklemi V -

1 2 c

2

t

2

V=-

ρ ε

(4.17a)

ya indirgenir. Bölüm 2.3 de görmüş olduğumuz gibi, zamana bağlılığın söz konusu olmadığı hallerde (4.17a) denkleminin bir çözümü V(x,y,z) =

1 4ε



ρ( , η, ς) ddd r'


130

şeklinde yazılabilir.Burada r ' ile (x,y,z) noktasının (,,) ya uzaklığı gösterilmektedir.Bu çözüm (4.17a) yı c   halinde sağlayan bir çözümdür.Buna dayanarak şunu söyleyebiliriz: Elektromagnetik olay sonsuza eşit bir hızla yayılmış olsaydı, (x,y,z,t) yoğunluğu ile uzaya yayılmış bulunan yükün yarattığı alana ilişkin V(x,y,z,t) potansiyeli V(x,y,z,t) = - (x,y,z,t)/ denklemini sağlardı ve V(x,y,z,t) =

1 4ε

ρ(ξ, η, ς, t) ddd r'



ye eşit olurdu. Bu ifade (x,y,z) noktasındaki potansiyelin t anındaki değerinin, aynı t anında bütün (,,) noktalarında bulunan yüklerin katkılarının toplanması ile bulunacağını göstermektedir.Gerçekte c sonlu olduğu için, (,,) deki yükün etkisi (x,y,z) noktasına r’/c kadar bir zamanda erişir.Yani, (x,y,z) de t anındaki potansiyeli oluşturmak için (,,) daki  nun (t-r’/c) anındaki değerini göz önüne almak gerekir. Bu, (4.17a) yı sağlayan V nin V(x,y,z,t) =

1 4ε



ρ(ξ, η, ς, t - r' /c) ddd r'

(4.17b)

olması demektir.Doğrudan doğruya türeterek (4.17b) nin (4.17a) yı sağladığını gösterebiliriz (Bakınız:Pr.-1). Benzer şekilde, vektör potansiyelin sağladığı A -

1 2 c 2 t 2

A = - J

(4.17c)

denkleminin bir özel çözümü de A(x,y,z,t) =

μ 4π



J v (ξ, η, ς, t - r' /c) ddd r'

(4.17d)

dir. Doğrudan doğruya türeterek, (4.17b,d) ile verilen A ve V nin divA +

 V=0 t

(4.17e)

Lorentz koşuluna uyduklarını göstermek oldukça kolaydır (Bakınız:Pr.-2). (4.17b,d) integrallerinde gözüken (t-r’/c), (,,) noktasındaki değişikliklerin (x,y,z) noktasında bir gecikme ile hissedildiğini göstermektedir. Bu nedenle (4.17b,d) ile tanımlı bulunan A ile V fonksiyonlarına gecikmeli potansiyeller adı verilir. Problemler Pr.-1. (1/r’) = - 4(x-)(y-)(z-) olduğunu göz önüne alarak, (4.17b) ile tanımlı bulunan V(x,y,z,t) fonksiyonunun (4.17a) denklemini sağladığını gösteriniz.

131

ELEKTROMAGNETİZMA

Pr.-2. Doğrudan doğruya türeterek ve süreklilik bağıntısını göz önüne alarak gösteriniz ki; (4.17b-d) ile tanımlı bulunan A ve V fonksiyonları (4.17e) denklemini sağlarlar. Pr.-3. O noktasından itibaren, Oz yönünde sabit bir I akımı akmaktadır. a)Yaratılan elektromagnetik alanın kaynaklarını yazınız ve bunların süreklilik denklemini gerçeklediğini gösteriniz. b)Magnetik alanın gecikmeli vektörel potansiyel aracılığı ile yazılan ifadesinin Biot- Savart formülü ile yazılmış ifadenin aynı olduğunu gösteriniz ve bunun nedenini açıklayınız. c)Elektrik alanın statik alan gibi hesaplanabileceğini gösteriniz ve E yi bulunuz (bak.bölüm-3.2 Pr.-3 ve bölüm-3.6 Pr.-2). d)Bölüm 4.2.1 Pr.-3 deki durumda elektrik alanı bulunuz.

4.8.3 Hertz vektörü ( = 0 hali, 1889) İletkenliği olmayan bir basit ortamda uyarılmış bulunan bir elektromagnetik alana ait skaler potansiyel V(r,t) olsun. Öyle bir 0(r) vektörü bulabiliriz ki; div0(r) = - V(r,0)

(4.18a)

olur. Bu 0 vektörünün tek türlü olarak belli olmadığı, V(r,0) biliniyorken (4.18a) ya uygun bir çok 0 vektörlerinin bulunabileceği apaçıktır. Şimdi, (4.18a) ya uyan 0 lardan biri aracılığıyla

1 (r,t) = 0 + εμ

t



Adt

(4.18b)

0

yazalım.(4.16e) ve (4.18a) yı da kullanarak kolayca gerçekleriz ki; 

Π = A(r,t) t

-div = - div0 -

1 εμ t

= V(r,0) +

 0

= V(r,t)

(4.18c) t



Adt

0

V dt t (4.18d)

dir. (4.18c,d) bağıntıları Lorentz koşulu ile birbirine bağlı A ve V potansiyellerinin  = 0 halinde bir tek (r,t) vektörü cinsinden ifade edilebileceğini göstermektedir.  ye, söz konusu elektromagnetik alana ilişkin bir Hertz vektörü* adı verilir. Doğrudan doğruya Hertz vektörlerini kullanarak problemleri formüle etmek, bazan, vektörel ve skaler potansiyeller kullanmaktan daha yararlıdır.

*

Bak. H.Hertz, Wiedemann’s Ann.36,1(1889)


 yi kaynaklara bağlayan bir denkleme erişebilmek için sağladığı (4.16d) denklemine taşıyalım.

132

(4.18c) yi A nın

1 2  1 [   ] = - J t ε c 2 t 2

olur. Şimdi de, J =

 p t

(4.18e)

ye uyan bir p vektörü bulalım. Bunu yukarıdaki denkleme taşırsak  -

1 2 c 2 t 2

+

1 p = C(r) ε

(4.18f)

buluruz. (4.18a) yı yazarken 0 ın tek türlü belli olmadığını belirtmiştik. Şimdi, bu belirsizliğe dayanarak yukarıdaki C yi sıfır yapacak  nin var olduğunu söylemek istiyoruz. Gerçekten, eğer C  0 ise (rot f) = C(r) olan bir f(r) vektörü kolayca bulunabilir.Bu f vektörünü kullanarak (r,t) - rot f (r) = 1(r,t) yazalım.Doğrudan doğruya türeterek hemen görürüz ki; 1 c

2

1   1 = =A t c2  t

- div 1= - div = V 1 2

1 2 1 1  1 1 + p =    + p - (rot f) = 0 2 2 2 2 ε ε c t c t

dır. Bunlar gösteriyor ki;(4.18c,d) gösterilimine uyan ve (4.18f) yi C  0 ile sağlayan bir Hertz vektörü her zaman bulunabilir. (4.18e) ile tanımlı (kulon/m2) boyutundaki p vektörüne elektrik momenti yoğunluğu adı verilir.E ve H ın  cinsinden ifadesi şöyledir: E = graddiv - 

2 t 2

,

H =  rot

 . t

(4.18g)

ELEKTROMAGNETİZMA

133

4.8.4 İki Skaler Yardımıyla Gösterilim ( = 0 , J = 0 ,  = 0 hali) İletkenliği olmayan ve içinde uyarıcı kaynakların da bulunmadığı bir basit ortam göz önüne alalım.Herhangi bir elektromagnetik alanın bu ortam içindeki ifadesinin, en genel halde,  divA +  V=0 (4.19a) t koşuluna uyan ve (4.16e,f) denklemlerini sağlayan potansiyeller yardımıyla yazılabileceğini biliyoruz.(4.19a) koşulunun da A yı tamamen belirlemeye yetmediğini daha önce kaydetmiştik.Bölüm 4.8.5 de göstereceğimiz gibi, A vektörünün (4.19a) ya ek olarak A y A x + =0 (4.19b) y x koşulunu da sağladığını varsayabiliriz.Hemen belirtmek gerekir ki; (4.17b,d) ile tanımlı bulunan gecikmeli potansiyeller bu son özelliğe sahip olmak zorunda değildirler. (4.19a,b) den sonuç olarak

A z V +  =0 z t

çıkar.Eğer

Az =  yazacak olursak, (4.19c) uyarınca V(r, t) = -

P1 t

(4.19c)

(4.19d)

P1 + V0(r) z

(4.19e)

olur.Buradaki V0(r) yi her zaman sıfır düşünebiliriz.Çünkü, V0(r)  0 ise, z

P1-  V0(r)dz = P(r,t) koyarak (4.19d) ve (4.19e) yi Az =  P/t,

V = - P/z

(4.19f)

şeklinde yazarız. Benzer şekilde, (4.19b) den de, bir Q(r,t) yardımıyla Ax = Q/y,

Ay = - Q/x

(4.19g)

yazılabileceği anlaşılır.Bu demektir ki; A ve V potansiyelleri P ve Q gibi iki skaler fonksiyon yardımıyla ifade edilebilmektedirler. (4.16a,b) de (4.19f,g) bağıntıları kullanılırsa,E ve H nın P ve Q cinsinden ifadeleri şöyle yazılır:


 2P  2Q , xz yt  2P  2Q Ey   , yz xt  2P  2P Ez  - εμ , z 2 t 2

1  2Q  2P ε μ yz yt 2 1 Q  2P Hy  ε μ yz xt 2 1 Q  2Q Hz  ε μ z 2 t 2

Ex 

Hx 

134

        

(4.19h)

Eğer P = Pez ve Q = Qez konursa A = rotQ + 

P , t

V = - divP

yazılacağı apaçık gözükmektedir. P ve Q fonksiyonlarının sağladığı denklemlere erişmek için (4.19f) yi (4.16d,f) denklemerine koyalım. Açık olarak

  2P  ΔP  εμ 2   0 , t  t 

  2P  P   0 z  t 2 

yazılır ve bunlardan ΔP  εμ

 2P t 2

 C(x, y)

(4.19i)

çıkarılır.Buradaki C(x,y) yi her zaman sıfır düşünebiliriz. Çünkü; (4.19f) deki Az ve V yi değiştirmeden P ye keyfi bir C(x,y) fonksiyonu her zaman eklenebilir ve bu öyle seçilir ki (4.19i) de C(x,y)  0 olur. O halde, diyebiliriz ki; yukarıda sözü edilen P fonksiyonu ΔP  εμ

 2P t 2

0

(4.19j)

denkleminin bir çözümüdür. Benzer şekilde, Ax ve Ay nin (4.19g) deki ifadelerinin de (4.16d) ye taşınması sonucunda ΔQ  εμ

 2Q t 2

0

(4.19k)

olduğu anlaşılır. Sonuç olarak şunu söyleyebiliriz:Herhangi bir elektromagnetik alanın, iletkenliği bulunmayan ve uyarıcı kaynakları içermeyen herhangi bir basit ortamdaki ifadesi, en genel halde, dalga denklemini sağlayan iki skaler fonksiyon içerir*.

*

E.T.Whittaker; Proc.Lond.Math.Soc. 1,1904, p:367

ELEKTROMAGNETİZMA

135

Pr.-1. (Bromwich-Borgnis fonksiyonları,1919) x1,x2,x3 eğrisel ortogonal koordinatlar sisteminde yay elemanı ds2 = h12 d x12 + h 22 d x 22 + h 32 d x 32 şeklinde yazılsın ve şu koşullar sağlansın: h1=1,

 h2 ( )=0 x1 h 3

(4.20a)

Bu halde,  2φ x12

 εμ

 2φ t 2



1   h 3 φ  h 2 φ    0 h 2 h 3  x 2 h 2 x 2 x 3 h 3 x 3 

(4.20b)

denklemini sağlayan U ve V fonksiyonları aracılığı ile aşağıdaki gibi tanımlanan E ve H alanları, parametreleri  ve  olan kayıpsız ortamda Maxwell denklemlerini sağlar*.

E1 

2U

2U

- εμ

,

x12 t 2 1 2U μ  2V E2   , h 2 x1x 2 h 3 x 3t E3 

1 2U μ  2V  , h 3 x 3x1 h 2 x 2 t

H1 

 2V

- εμ

 2V

x12 t 2 1  2V ε 2U H2   h 2 x1x 2 h 3 x 3t H3 

1  2V ε 2U  h 3 x 3x1 h 2 x 2 t

      (4.20c)    

4.8.5 (4.19b) nin ispatı† (4.19a) ya uyan, yani divA0 + 

 V0 = 0 t

denklemini sağlayan bir potansiyel çifti (A0,V0) olsun.  fonksiyonu  -  2 / t2 = 0

(4.21a)

denklemini sağlayan herhagi bir fonksiyon olmak üzere, A = A0 - grad,

V = V0 + /t

(4.21b)

ile tanımlı (A,V) çiftinin de (4.16d-f) denklemlerini bu özel ( = 0, J = 0,  = 0) hal *

Bu yöntem ilk defa Bromwich tarafından kullanılmış,daha sonra Borgnis tarafından geliştirilmiştir.Bakınız: J.J.IA. Bromwich; Phl. Mag. 38, 143, 1919 † Aşağıdaki ispatta izlenen yol D.S. Jones, Theory of Electromanetism, pp:17-18 deki yoldur.


136

için sağladıklarını ve, dolayısıyla, söz konusu elektromagnetik alan için başka bir potansiyel çifti oluşturduğunu gerçeklemek kolaydır. Şimdi, A 0y A  2φ  2φ  εμ   0x  (4.21c) x y z 2 t 2 denklemini sağlayan bir  (r,t) fonksiyonu seçelim.

 2  2 2  2   2 φ  2 φ   2  A 0x A 0y     εμ  εμ   Δ  εμ  2  2 2  2  x  x 2 y 2 z 2  y  t  z  t  t     

   

olur. (A 0x /x) ve (A 0y /y) fonksiyonları da A0x ve A0y gibi (4.16d) denklemini sağladıklarından, sağ yan sıfırdır ve, dolayısıyla,

 2  2   2 φ  2 φ    2  2   2 φ  2 φ     εμ   εμ  εμ 0 2   2 2  z 2   x 2 y 2  z 2  t  z  t  t       dır.Buradaki birinci terimde türevlerin sırasını değiştirirsek, ikincide ise (4.21c) yi kullanırsak,  2  2    2 φ  2 φ   A 0x A 0y    εμ     z 2 y t 2   x 2 y 2   x 

   0  

veya

 2 φ  A 0x A 0y   y z 2 y 2  x olduğunu görürüz.Burada c = 1/ εμ Şimdi  2φ



   a(x, y)f(z  ct)  b(x, y)g(z  ct) (4.21d)   konmuştur ve a, b, f, g keyfi fonksiyonlardır.

ψ  φ  a1 (x, y)f(z  ct)  b1 (x, y)g(z  ct) yazalım ve a1 ile b1 i öyle seçelim ki; 2  2a 1   a1  a   x 2 y 2  2   b1  2 b1  b  2  2  x  y 

(4.21e)

olsun. Bu  nin (4.21a) ya uyduğunu ve (4.21b) deki A nın da (4.19b) yi sağladığını göstermek kolaydır.Gerçekten, önce

ELEKTROMAGNETİZMA

137

Δψ  εμ

 2  2  2   2    (φ  a1f  b1g)    εμ (φ  a1f  b1g) 2  z 2 t 2  x 2 y 2   t  

 2ψ

2  2   2   2 φ  2 φ    2 a1  2 a1   2 f    b1   b1 g    φ  εμ  φ  ,      x 2 y 2   x 2  x 2 y 2  y 2   z 2 t 2     

sonra da, (4.21c-e) nedeniyle

  2a A 0x A 0y  2 a1  1  Δψ  εμ    af  bg   f 2   x 2 x y t 2  y    2ψ

  2b  2b  A0 y 1  1  g  A0 x   0 2   x 2  x  y  y   yazılır.Bu,  nin (4.21a) yı sağladığını ispat etmektedir. Gene (4.21d,e) nedeniyle

A x A y A 0x A 0y  2 ψ  2 ψ      x y x y x 2 y 2   2b  2 b1  A 0x A 0y   2 φ  2 φ    2 a1  2 a1  1   f  g0      2  2   x 2  x 2 y 2   x 2 x y  y  y      

olur.Bu da (4.19b) nin sağlandığını gösterir. 4.8.6 Uygulama-1. Basit dielektrik ortamda düzgün doğrusal hareket yapan bir noktasal yüke ilişkin potansiyeller Bir noktasal Q yükünün, iletken olmayan sonsuz geniş bir basit ortamda Ox ekseni boyunca v ye eşit bir sabit hızla hareket etmekte olduğunu düşünelim.Buna ilişkin yük ve akım yoğunlukları  = Q(x - vt)(y)(z),

J = v ex

olduğundan*, herhangi bir P(x,y,z) noktasında geçerli olan skaler potansiyel, (4.17b) uyarınca aşağıdaki gibi yazılır (aşağıda, notasyonu basitleştirmek amacıyla, r’ yerine R yazılacaktır): V(x,y,z,t) =

Q ddd .  ( - v(t-R/c))()() 4 R

(4.22a)

Buradaki üç katlı integral bütün uzaya yayılmıştır ve *

Bunlar yazılırken toplam yükün hız ile değişmediği gözönünde bulundurulmaktadır (bak. Böl.1.6)


R=

138

(x  ξ) 2  (y - η) 2  (z - ς)2  0

dir. () ve ( ) nın tanımları uyarınca (4.22a) V(x,y,z,t) =

Q  v  (-vt + c 4  

(x  ξ) 2  y 2  z 2 )

d (x -  )  y 2  z 2 2

(4.22b)

ye eşittir. Bu son integrali kolayca hesaplayabilmek için,  - vt +

v c

(x   ) 2  y 2  z 2 = 

(4.23)

yazalım ve vc olan hali ayrı ayrı ele alalım. A. v < c hali. v
=1-

v c

x - (x -  ) 2  y 2  z 2

>0

(4.24)

olup  = () fonksiyonu  nin monoton artan bir fonksiyonudur.  nin (-) ve (+) değerlerine  nın, sırayla, (- ) ve (+) değerleri karşı geldiğinden, sadece bir tek reel = 1 noktasında  = 0 olur ve V(x,y,z,t) =

Q  1 d  () x - 4   (x -  ) 2  y 2  z 2 1 - v c (x -  ) 2  y 2  z 2 Q 1 = (4.25) v 4 2 2 2 ( x - 1 )  y  z  ( x  1 ) c

verir. 1 in değerini bulmak için (4.23) de  = 0 koyalım ve ifadeyi kare-kökten kurtararak c2 c2 2(1- 2 ) +2[ t – x] + x2 + y2 + z2 – c2t2 = 0 (4.26a) v v yazalım.Bunun çözümleri 1 =

c2t 1 c [-( - x) + 2 2 v v 1 c / v

( x - vt) 2  (1 - v 2 / c 2 )( y 2  z 2 ]

(4.26b)

2 =

c2t 1 c [-( - x) 2 2 v v 1 c / v

( x - vt) 2  (1 - v 2 / c 2 )( y 2  z 2 ]

(4.26c)

ve

ELEKTROMAGNETİZMA

139

den ibarettir. Kolayca gerçekleyebiliriz ki; v
Q 4

=

Q 4

1 v c (1 - x)  (vt - 1 ) c v 1

(4.27)

( x - vt) 2  (1 - v 2 / c 2 )( y 2  z 2 )

bulunur. Skaler potansiyelin ifadesi bu şekilde elde edildikten sonra,vektör potansiyelin (4.17d) ile verilen ifadesi (4.17b) ile karşılaştırılrsa hemen anlaşılır ki; v A(x,y,z,t) = V(x,y,z,t)ex (4.28) c2 den ibarettir. B. v > c hali. Bu halde, hem  -  hem de  +  için   +  dır ve 0 = x -

1 2

2

y2  z2

v / c -1 gibi bir reel noktada d/d = 0 dır. Bu nokta  = () eğrisinin bir minimum noktasıdır. Kolayca gösterilebilir ki; bazı (x,y,z,t) değerleri için söz konusu eğri -eksenini hiç kesmez (yani, (4.26b,c) ile verilen 1, 2 değerleri sanal veya vt den büyük olur), bazı (x,y,z,t) değerleri için de bu ekseni iki noktada keser (yani, (4.26b,c) ile verilen 1, 2 değerleri reel ve vt den küçük olur).Şimdi, bundan sonraki hesaplamalarda önemli rol oynayacak olan bu (x,y,z,t) değerlerini bulmaya çalışalım.

y2  z2

(III) (II)



(I)

O

vt (IV)

Şekil - 4.5. sin= c/v 1.

x


140

1, 2 nin reel olabilmesi için, (4.26b,c) den açıkça görüldüğü gibi, |x – vt| 

v 2 /c 2 - 1

y2  z2

olması gerekir. Bu koşul (Şekil-4.5) de (I) ve (II) ile gösterilmiş olan bölgelerde sağlanır. 1, 2
0







0

 =  + 

şeklinde iki terimin toplamına ayıralım.1- 2>0 olduğundan, birinci terimde  = 2 de ikincide ise  = 1 de  = 0 olur.  cinsinden yazılan integrallerin sınırları, sıra ile, (-  , 0) ve (0, ) gibi olduğundan, (4.27) ve (4.28) yerine şimdi V(x,y,z,t) =

Q 4

=

[

Q 2

1 v c (1 - x)  (vt - 1 ) c v

-

1 v c ( 2  x)  (vt -  2 ) c v

1

]

(4.29)

( x - vt)  (1 - v 2 / c 2 )( y 2  z 2 ) 2

ve A(x,y,z,t) =

v c2

V(x,y,z,t)ex

(4.30)

yazılır. C. Alanın açık ifadesi. Skaler ve vektörel potansiyelin açık ifadeleri (4.27) - (4.30) daki gibi belirlendikten sonra elektrik ve magnetik alanın açık ifadeleri, E = - gradV - A/t ve B = rotA denklemlerinden, doğrudan doğruya türeterek kolayca bulunur. vc hallerine ilişkin ifadeler sadece (1/2) gibi bir çarpan farkıyla biribirine eşit olduğundan, aşağıya sadece v < c halindeki sonuçları yazmakla yetineceğiz: Q v2 E= (1- 2 ) 4 c

(x - vt)e x  y e y  ze z

(x - vt) 2  (1 - v2 /c 2 )(y 2  z 2 )3/2

ye z  ze y Q v2 v H= (1- 2 ) . 4 c c 2μ 2 2 2 2 2 3/2 (x - vt)  (1 - v /c )(y  z )





ELEKTROMAGNETİZMA

141

Alanın bu ifadesi, yükün hareketi nedeniyle etrafa enerji yayılmadığını göstermektedir. Bunu daha açık görebilmek için, herhangi bir t anında, R>>1 yarıçaplı bir küreden dışarı giden enerjiye ilişkin gücü hesaplayalım ve sıfıra eşit olduğunu gösterelim. Kürenin merkezi t anında yükün bulunduğu nokta olsun. Küre üzerinde dS = O(R2) ve P = EH 2 2 2 v 2 2 v (y  z )e x - y(x - vt) e y  z(x - vt) e z  Q  =  (1- 2 ) 2 3 c  4  c μ (x - vt) 2  (1 - v 2 /c 2 )(y 2  z 2 ) = O(1/R4)





olduğundan, sözü edilen gücü veren integral R   olurken (1/R2) gibi sıfır olur. Ortamın iletkenliği sıfır düşünüldüğünden, hesaplanan toplam güç R yarıçapından bağımsızdır. Yani, R nin her değeri için sıfırdır. Yukarıdaki sonuçları şu şekilde özetleyebiliriz: v< c ise, uzayın her noktasında, her t anında dalga gözlenir. v >c halinde, yükün arkasında kalan (I) bölgesinde, her yerde, her zaman dalga gözlendiği halde önündeki (II), (III) ve (IV) bölgelerinde hiç bir zaman gözlenemez. Durum, durgun denizde ilerleyen bir geminin yarattığı galga gibidir. Yükün yarattığı alan etrafa enerji yaymaz (bu ilginç özelliğin nedeni ivmenin sıfıra eşit olmasıdır. İvmeli harekete ilişkin sonuçlar aşağıdaki uygulamada görülecektir). 4.8.7 Uygulama-2. Basit dielektrik ortamda ivmeli hareket yapan bir noktasal yüke ilişkin potansiyeller (v < c hali) Şimdi, yukarıdaki bölümde sözü edilen yükün herhangi bir C eğrisi boyunca hareket etmekte olduğunu ve konumunun, zamanın fonksiyonu olarak, x = (t), y = (t), z = (t) şeklinde bilindiğini varsayalım. Bu yüke ilişkin yük ve akım yoğunlukları, tanımları uyarınca,  = Q(x - (t))(y - (t))(z - (t)), J = v olacaktır. Burada v = (d/dt, d/dt, d/dt) olup noktanın hızını göstermektedir. Bu bölümdeki incelememizde, bütün hareket süresince v < c olduğunu varsayacağız. Bu halde, (4.22a) nın yerini V(x,y,z,t) =

Q dξ dη dς .  (x - *)(y - *)(z - *) 4 R

(4.31)

alır.Burada R ile, her zaman olduğu gibi, (x, y, z) noktasının (, , ) noktasına uzaklığı; *, * ve * ile de ,  ve  nın gecikmeli ifadeleri gösterilmektedir. Yani, * = (t - R/c),  = (t – R/c),  = (t - R/c) (4.32)


142

dir.(4.31) deki integrali kolayca hesaplayabilmek için, (4.23) e benzer şekilde, x1 =  - * =  - (t – R/c) y1 =  - * =  - (t – R/c) z1 =  - * =  - (t – R/c)

(4.33a) (4.33b) (4.33c)

dönüşümlerini yapalım. Bu halde, bilindiği gibi, hacım elemanı da dx1dy1dz1 =

 ( x1 , y1 , z1 ) ddd  (, , )

şeklinde dönüşecektir. Buradaki Jacobiyen,

R  -x = ,  R

R -y = ,  R

R  -z =  R

olduğundan, x1 /   ( x1 , y1 , z1 ) = y1 /   (, , ) z1 / 

1 =

 -x

x1 /  y1 /  z1 / 

 *'

cR  -x  *' cR  -x  *' cR

= 1+

-y

x1 /  y1 /  z1 / 

 *'

 -z

 *' cR cR -y  -z 1  *'  *' cR cR -y  -z  *' 1   *' cR cR

1 [( - x)*’ + ( - y)*’ + ( - z)*’] (4.34) cR

den ibarettir. Bu ifadede yer alan *’, *’ ve *’; (4.32) deki gecikmeli fonksiyonların argümanlarına göre alınmış türevelerini, yani; v hız vektörünün gecikmeli bileşenlerini göstermektedir:

d ( t ) ]tt -R/c = v1(t – R/c) = v1* dt d ( t ) *’ = [ ]tt -R/c = v2(t – R/c) = v2* dt

*’ = [

*’ = [

d (t ) ]tt -R/c = v3(t – R/c) = v3* . dt

(4.33)-(4.34) gözönünde bulundurularak (4.31) den

ELEKTROMAGNETİZMA

143

V(x,y,z,t) =

dx 1dy1dz 1 Q  (x1)(y1)(z1) 1 4 R{1  (  x ) v *1  ...} cR

[R

=

Q 4

=

Q 1 4 R C*  R C* .v * /c



1



1 (  x ) v *  ... 1 c

]

x1= y1= z1 = 0

(4.35)

yazılır*.Burada son terimde RC* ve RC* de gözüken C* alt indisi, söz konusu ifadenin x1 = y1= z1 = 0 olan konum için değerlendirilmesi gerektiğini belirtmektedir. Bu halde, RC* vektörü (x,y,z) noktasını C eğrisi üzerindeki (*,*, *) noktasına birleştiren vektördür.Yani, RC* = [x - (t – RC* /c)]ex+ [y - (t – RC*/c)]ey + [z - (t – RC*/c)]ez

(4.36a)

ve, dolayısıyla, RC* = {[x - (t – RC* /c)]2 + [y - (t – RC*/c)]2 + [z - (t – RC*/c)]2 }1/2

(4.36b)

dir. RC* nin son ifadesinin hem t ye hem de RC* nin bizzat kendisine bağlı olduğuna dikkati çekmek yerinde olur. Vektör potansiyelin (4.17d) ile verilen ifadesi (4.17b) ile karşılaştırılırsa hemen anlaşılır ki; (4.35) gibi A(x,y,z,t) =

Q 1 v* 2 4 c R C*  R C* .v * /c

(4.37)

dır. Hareketli bir noktasal yükün yarattığı alana ilişkin (4.35) ve (4.37) ifadeleri, Liénard-Wiechert potansiyelleri olarak adlandırılırlar†. Şimdi, (4.16a,b) deki türevleri açıkça hesaplayarak alanın ifadesini bulmaya çalışalım. Bunun için, herşeyden önce, v*, RC* ve RC* ın x,y,z ve t ye göre türevlerinin hasaplanması gerekir.Hesaplamaları sadeleştirmek amacıyla bundan sonra RC* ve RC* deki C* alt indisleri ile v* daki (*) indisini açıkça yazmaktan vazgeçersek, (4.36b) den hareketle hemen  R = 1 [(x- *)(-v *)(1- 1 R ) + ...] 1 t R c t

= - 1 R.v [ 1 - 1 R ] R

c t

veya,

R.v  R=t R  R.v/c *

x1=y1=z1=0 ın sağlandığı noktaların sayısı birden fazla ise, bunların katkılarının toplamı gözönüne alınmalıdır. Bak.Böl.4.8.6.B. † Bak. A. Liénard, L’éclairage électrique (1898); E.Wiechert , Arch. Neerl., 549 (1900)


144

buluruz. Bunu da gözönünde bulundurarak (4.36a) ve v* = v(t – R/c) den şunlar yazılır:  R = - v [ 1 - 1 R ] t c t

= -

R v. R  R.v/c

R.v  v = [ 1 - 1 R ] = [1 + 1 ]. t c t c R  R.v/c Bu son ifadede  ile, hareketli noktanın gecikmeli ivmesi gösterilmektedir. Benzer şekilde, (4.36b) den de  R = 1 {(x - *)[1 + v * 1 R ] + (y - *) v * 1 R + (z -*) v * 1 R } 1 2 3 x R c x c x c x

=

R.v R x - * + Rc x R

veya,

x -α*  R= x R  R.v/c bulunur. y ve z ye göre alınacak türevlerin de  y

R=

y -β* , R  R.v/c

z - γ*  R= z R  R.v/c

den ibaret olacağı açıktır. Bunlar topluca, gradR =

R R  R.v/c

olduğunu gösteririler. Son olarak R ve v nin türevleri de aşağıdaki gibi olur:  R = [1 + v* 1 R ]e + v* 1 R e + v* 1 R e 1 x 2 y 3 z x c x c x c x

= ex + 1 R v, c x

 v* = - γ R . x c x

Benzer ifadeler y ve z ye göre türevler için de yazılırsa,

(4.38)

ELEKTROMAGNETİZMA

145

2 2 v.  R = v*1 + v R = v*1 + v

x

x

c

c

x -α* R  R.v/c

y -β* R  R.v/c 2 z - γ* v.  R = v*3 + v c R  R.v/c z 2 v.  R = v*2 + v y

c

ve R.  v = - (.R) 1 R = - 1 (.R) c x

x

c

x -α* R  R.v/c

y -β* R  R.v/c z - γ* R.  v = - 1 (.R) z c R  R.v/c R.  v = - 1 (.R) y

c

bulunur. Buna göre

4 1 gradV = grad{ } Q R  R.v/c =-

1 {R  R.v/c}

γ .R R v v2 R R - + 2 2 R  R.v/c c c R  R.v/c c R  R.v/c

{ 2

}

ve 1  4 A v = Q t c 2 t R  R.v/c

= =

γ

1

c 2 R  R.v/c 1 c

2

v  1 1 R ][ R  R.v/c ] 2 2 c t c {R  R.v/c} t γ R.v

[1-

γ + R  R.v/c c 3 {R  R.v/c}2 v

+

1

c 2 {R  R.v/c}

{ 2

v2 R.v R c R  R.v/c R  R.v/c +

γ .R 1 R.v [1+ ]} c c R  R.v/c

ve v2 4 R E = (1) 2 Q c {R  R.v/c}3

-

v 1 c {R  R.v/c}2 -

1

1

2

{R  R.v/c}2

c

v2 R.v R 2 c R  R.v/c c R  R.v/c

[1+ 1

[-

]

(R.γ)R v (R.γ)R +R + R  R.v/c c R  R.v/c

]


146

dir. Son terimin, aşağıdaki gibi bir çift katlı vektörel çarpıma eşit olduğu kolayca gösterilebilir: E=

v2 Q 1 R (1)[R - v] 4 {R  R.v/c}3 c c2 Q 1 1 R + R[(R v)]. 4 c 2 {R  R.v/c}3 c

(4.39)

Benzer bir hesaplama sonucunda da B = rotA Q v = rot{ } 4 R  R.v/c Q rot v Q = 4 R  R.v/c 4 Q 1 gradR  γ =4 c R  R.v/c Rγ Q 1 =4 c {R  R.v/c}2 +

vgrad{ 1 c2

1 } R  R.v/c

vgradV

v2 (γ.R ) 1 Q v[(1)R + R] 2 4 {R  R.v/c}3 c c2

(4.40a)

bulunur. Bu sonuç yazılırken (4.38) gözönünde bulundurulmuş ve rotv = -

1 1 Rγ gradR = c c R  R.γ/c

yazılmıştır. Hatırlatmakta yarar vardır ki; yukarıdaki ifadelerde yer alan ve t ye bağlı olan bütün büyüklüklerde t yerine (t-R/c) konacaktır. Örneğin, R = [x - (t – R /c)]ex+ [y - (t – R/c)]ey + [z - (t – R/c)]ez , v = [ d (t)ex + ...]tt-R/c , dt

ve  = [ d v]tt-R/c dt

dir. (4.40a) nın B=

1 R E c R

den ibaret olduğu kolayca kontrol edilebilir.

(4.40b)

ELEKTROMAGNETİZMA

147

A. Bazı özel haller A1. v  0 hali (elektrostatik) v  0 olduğunda   0 olur ve (4.39) ve (4.40b) den, hemen, E=

Q R , 4 R 3

B=0

bulunur. Bu, beklenen bir sonuçtur. A2. c   hali (gecikmenin ihmal edildiği hal) Bu halde alan sonsuza eşit bir hızla yayılıyor gibidir. Böyle bir durumda alan ifadelerindeki gecikmeler kaybolur ve (4.39) formülü elektrostatik, (4.40a) formülü de magnetostatik hale ilişkin formüle indirgenir: Q R 4 R 3 R Q B= v . 4 R3

E=

(4.41a) (4.41b)

c   için ortaya çıkan bu formüller, c nin sonlu fakat v/c << 1 ve R/c << 1 olan hallerde iyi bir yaklaşıklık sağlar. Bu eşitsizlikler, noktanın hızının ışık hızına göre küçük, gözetleme bölgesinin de Q nün yakınında olduğunu ve, dolayısıyla, gecikmenin ihmal edilebilir düzeyde bulunduğunu ifade ederler.Dikkat etmek gerekir ki; bu halde, (4.41a,b) formüllerindeki v, R ve R büyüklükleri t anında gözlenen (gecikmesiz) büyüklüklerdir: v = d (t)ex + d (t)ey+ d (t)ez dt

dt

dt

R = [x - (t )]ex+ [y - (t )]ey + [z - (t )]ez . A3. v  sabit hali. Yükün Ox ekseni boyunca sabit v hızıyla hareket ettiğini varsayalım. Bu halde (t) = vt , (t)  0,

(t)  0

ve, dolayısıyla, RC*.ex = x – vt + v RC* RC* =

c 2

x - vt  vc R C* 

(4.42)

 y2  z2

dir. Bu denklemden RC* , RC* =

1 1 - (v/c)

v { (x-vt)  2 c



( v ) 2 (x - vt) 2  (1 - v 2 / c 2 ) (x - vt) 2  y 2  z 2 c

şeklinde çözülürse ve (4.42) de gözönünde bulundurulursa, önce

}


RC* -

v v v RC*.ex = RC* - [(x-vt) + RC*] c c c 2 v v = (1) RC* - (x-vt) c c2



=  ( v ) 2 (x - vt) 2  (1 - v 2 / c 2 ) (x - vt) 2  y 2  z 2 c



148





2 2 2 2 2 =  (x - vt)  (1 - v / c ) y  z ,

sonra da, (4.35) ve (4.37) den, V(x,y,z,t) =

Q 4

1 2

2

2

2

2

( x - vt)  (1 - v / c )( y  z )

(4.43a)

ve A(x,y,z,t) =

v

V(x,y,z,t)ex c2 yazılır.Bunlar önceki bölümde çıkarılmış olan ifadelerin aynıdır.

(4.43b)

B. Uzak alan ifadeleri ve yayılan enerji. R halinde (4.39) deki ilk terimin O(1/R2), ikinci terimin ise O(1/R) gibi olduğu açıkça görülmektedir. Bu nedenle, noktasal yüke çok uzak olan noktalarda gözlenen alanın ifadesi Q 1 1 R R[(R - v)] = O(1/R) 2 4 c {R  R.v/c}3 c 1 R B  B = E = O(1/R) c R

E  E =

(4.44)

olacaktır. Şimdi, (4.39) daki E yi E = E0 + E şeklinde iki terimin toplamına ayıralım ve (4.40b) uyarınca B yi de B = B0 + B şeklinde yazalım.E0, B0 = O(1/R2) olduğundan, P =

1 E B μ

(4.45)

olmak üzere, P = EH =

1 (E0 + E)(B0 + B) = P0 + P μ

şeklinde yazılan Poynting vektörü için de P0 = O(1/R3) ve P = O(1/R2) olur. Şimdi bunu gözönünde bulundurarak P nin R yarıçaplı küre üzerinden dışa giden akısını hesaplayalım:

ELEKTROMAGNETİZMA

149

W =

S

P0.dS + 

S

P.dS.

(4.46)

Bilindiği gibi W, hareketli yükün etrafa yaydığı elektromagnetik enerjiye ilişkin güce eşittir.Bunu kolayca hesaplayabilmek için R limit halini gözönüne alabiliriz. Küre üzerinde dS = O(R2) olduğundan, (4.46) deki ilk integralin sonucu O(1/R) gibi sıfır olur ve W =

S

P.dS

yazılır. Bu, hareketli bir noktasal yükün yaydığı enerjiyi hesaplamak amacıyla kullanabileceğimiz bir bağıntıdır.Bunun apaçık bir şekilde görülen çok önemli bir sonucu şudur:Eğer noktanın ivmesi her zaman sıfıra eşit ise, (4.44) ve (4.45) uyarınca P  0 olacağından, W = 0 dır. Başka bir deyişle, bir noktasal yük eğer ivmeli bir hareket yapıyorsa (ve ancak bu halde) etrafa enerji yayar. Problemler Pr.-1.Ox ekseni üzerinde sabit v <
1

F12

q1

a)Birinci noktanın ikinceye etki ettirdiği mağnetik kuvvetin, elektromagnetik gecikme ihmal edildiği taktirde, F12 =

 0 q1q 2 1 [(v2.r12)v1 – (v1.v2)r12] 3 4 r '12

ye eşit olduğunu gösteriniz. b)Ikinci noktanın birinciye etki ettirdiği F21 kuvvetinin ifadesini yazınız ve genel olarak F12   F21 olduğunu gösteriniz. c) v1  v2 ve v2  r12 hallerinde kuvvetlerin yönlerini tartışınız. Pr.-4.Iki elektron boşlukta hareket etmektedirler.Bir t anında, bunlar P1(0,0,0) ve P2(10-3,0,0) noktalarında iken hızları, sırayla, v1= (2/3)c0ey ve v2=(2/3)c0ex e eşittir. Bunların hissettiği magnetik kuvvet nedir? (elektromagnetik gecikme ihmal edilecektir).


150

Pr.-5.Yükleri q1 ve q2 olan iki maddesel nokta boşlukta v1 ve v2 ye eşit hızlarla hareket etmektedirler. a)Hızlarının paralel ve konumlarının aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi olduğu bir anda hissettikleri magnetik kuvvetin ifadesi nasıldır? (elektromagnetik gecikme ihmal edilmektedir). bYüklerin elektronlardan ibaret olması halinde söz konusu kuvvetleri v1=v2=c0/2 için hesaplayınız. c)t = 10-3 saniye süresinde q2 yükünün doğrultusunda gözlenecek sapmayı hesaplayınız ( gravitasyonel ve rölativistik etkiler ihmal edilecektir). z

x

 = 0

1

q1 a

v0

B12 q

r12 2

y

B21

O

a

F21 q2

q

a

z

Pr.-5

F12 v0

Pr.-6

Pr.-6. Eşit yüke sahip iki maddesel nokta, yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi, zıt yönlerde eşit hızlarla hareket etmektedirler.Biribirilerine etki ettirdikleri magnetik kuvveti hesaplayınız (elektromagnetik gecikme ihmal edilecektir). Pr.-7. Sonsuz geniş bir basit dielektrik ortamda hareket halinde bulunan iki maddesel noktanın kütleleri m1, m2; yükleri q1, q2 ; hızları da v1, v2 olsun ve bunların birbirine etki ettirdiği mekanik, elektrik ve magnetik kuvvetler, sırayla, Fm , Fe ve FL ile gösterilsin. a)Elektromagnetik gecikmenin ihmal edilebilir olduğu hallerde

Fm m1 m 2 = 4k , Fe q 1q 2

c2 FL vv  1 2 2  02 c Fe c

olduğunu gösteriniz. b)Yüklerden birinin proton diğerinin elektron olması halinde Fm/Fe nin sayısal değerini bulunuz. c) Yüklerin ikisinin de elektrondan ibaret ve v1 = v2 = c/2 olması halinde Fm/Fe ve max{FL/Fe} nedir?

x

151

DİSTRİBÜSYON

BEŞİNCİ BÖLÜM

DİSTRİBÜSYON ANLAMINDA MAXWELL DENKLEMLERİ. YÜZEYSEL YÜKLER VE SÜREKSİZLİKLER

5.1 Distribüsyon Anlamında Maxwell Denklemleri Önceki bölümde postüla şeklinde yazmış bulunduğumuz Maxwell denklemlerinin apaçık iki özelliği şudur: 1) Bu denklemler E, H, D ve B nin birinci mertebeden türevleri arasında bir ilişki olduğunu söylerler ve ilişkiyi belirtirler, 2) Denklemlerde kaynaklara ilişkin hacımsal yoğunluklar yer alır. Bu demektir ki;sadece Maxwell denklemlerine dayanarak bir olaya açıklayabilmek ancak alan bileşenlerinin birinci mertebeden türevleri her zaman, her noktada tanımlı ise ve bütün kaynaklar belirli hacimsel yoğunluklarla ifade edilebiliyorsa mümkündür.Oysa, farklı bünyeye sahip ortamları ayıran yüzeyler üzerinde elektromagnetik alanın süreksizlikler gösterdiği, yani bu yüzeyler üzerinde uzay koordinatlarına göre klasik anlamda türevler tanımlanamayacağı deneylerle ortaya konmuş bulunmaktadır. Diğer yandan, biraz önce sözünü ettiğimiz yüzeyler üzerinde yüzeysel akımların ve yüklerin oluşacağını da deneylerle gözlemiş bulunmaktayız.Bunlar, mevcut haliyle Maxwell denklemlerinin bütün elektromagnetik olayları açıklamaya yeterli olmadığını, süreksizliklerin ve yüzeysel kaynak dağılımlarının söz konusu olduğu halleri de içine alacak şekilde genişletilmesi gerektiğini göstermektedir.Buna daha önce, Bölüm 2.5 ve Bölüm 3.4 de de değinmiştik. Maxwell teorisine bir bütünlük kazandıracak olan böyle bir genişletmenin, gözlemlere ters düşmeyecek şekilde, bir varsayım olarak ifade edilmesi gerekir.Öyle ki; bu varsayımla tamamlanmış bulunan teoriyi değişik özel hallere uygularken veya bu teoriden çıkan sonuçları yorumlarken yeniden çaresizlikle karşılaşılmasın.Örneğin, farklı bünyeye sahip iki ortamı ayıran bir yüzey üzerinde oluşacak süresizlikleri belirten bağıntılar söz konusu olduğunda, bunları bir varsayım olarak Maxwell denklemlerine eklemek akla gelebilir*. Alanın süreksizliğine ilişkin soruları cevaplayabilmek olanağını veren bu yaklaşım, örneğin, potansiyel fonksiyonlarının süreksizliklerine veya süreksizlik yüzeyinin bir maddesel bünyeye sahip olduğu hale ilişkin soruları cevaplayabilmek olanağını vermez. *

Bakınız:I.Wolf; Grundlagen und Anwendugen der Maxwellschen Theorie,I,s:57-58****


152

Benzer şekide, çok yaygın olarak yapıldığı gibi, bazı matematik kuralları, geçerli olmaları için gerekli olan koşulların sağlanmadığı bazı hallerde de geçerli varsayarak işlemler yapmak da akla gelebilir*.Sınırı kesin olarak belirtilemeyen böyle bir yaklaşımın verimli ve güvenilir olması düşünülemez.Biz Maxwell teorisini şu varsayımla bütünleyeceğiz†: Maxwell denklemleri distribüsyon anlamında bütün uzayda, her durumda geçerlidir. Burada hemen belirtmek istiyoruz ki;yukarıda sözü edilen varsayım sadece yüzeysel, çizgisel veya noktasal kaynak dağılımlarını Dirac distribüsyonları ile göstermeye izin veren bir ilkeden ibaret değildir; daha geniş olarak,elektromagnetik alanın da distribüsyonlar içerdiğini söylemektedir.Biraz sonra daha açık bir şekilde göreceğimiz gibi, bu varsayım, sözünü ettiğimiz bu haliyle, Maxwell denklemlerini şu hususlarda tamamlayacaktır: 1)Yüzeysel, çizgisel ve noktasal kaynaklar da Maxwell denklemlerinde açıkca yer alacaktır, 2)Maxwell denklemleri üzerine uygulanacak matematik işlemler süreksizliklerin söz konusu olduğu hallerde de anlam kazanacak ve bunlarla bulunan sonuçlar, tereddüde düşülmeden, tek türlü yorumlanabilecektir, 3)Bütün olayları sadece Maxwell denklemlerine dayanarak açıklayabilmek mümkün olacaktır. Elektromagnetik alanın süreksizlik gösterdiği ve yüzeysel kaynakların yerleştiği yüzeylerin bütününü S ile gösterelim.Biz, S in her noktasında belirli bir teğet düzlemin bulunduğunu; alanı yaratan kaynaklar arasında noktasal ve çizgisel olanlar da varsa, bunların S üzerinde bulunmadıklarını, ve S in farklı tarafındaki bölgeler içinde gözlenen elektromagnetik alanın S üzerinde sonlu limit değerler aldığını, varsayacağız. İşlemleri kolaylaştırmak amacıyla, S yi z = 0 düzleminin bütünü veya bir parçası olarak düşünmek mümkündür.Böylece elde edilecek olan nitel sonuçlar, aşağıdaki işlemlerden de kolayca görüleceği gibi, S üzerindeki n birim normal vektörünün rotasyonelinin özdeşleyin sıfır olduğu her yüzey için de geçerli olacaktır. Dairesel silindir ve küre için durum böyledir‡. Şimdi, oldukça genel karakterde sonuçlar elde edebilmek için, S in polarizasyona ve iletime yetenekli bir fiziksel bünyeye sahip olduğunu da varsayalım ve Maxwell denklemlerini, aşağıdaki gibi, simetrik bir biçimde yazalım: rotH - 0 E / t = J + P / t,

J = J + Ji

(5,1a)

rotE + 0 H / t = -K - M / t,

K = K + Ki

(5,1b)

0divE =  - divP ,

0E + P = D

(5.1c)

0divH = m – divM,

0H + M = B.

(5.1d)

Buradaki m ve K, sırayla, magnetik yük ve magnetik akım yoğunluğu olarak yorumlanırlar. Gerçek problemlerde bunlar her zaman sıfıra eşittirler. (5.1a-d)denklemleri*

Örneğin bak.:D.S.Jones,Theory of electromagnetism,Pergamon Press,1964,P:46. Jones böyle bir varsayımdan açıkca söz etmektedir.Buna karşın, çok kimse neyin varsayıldığını açıkca belirtmek gereğini duymadan işlemleri sürdürmektedir † M.İdemen;IEEE Trans.AP-21 (5),pp:736-738,1973 ‡ rotn  0 koşulunun sağlanmadığı konik yüzeyler için bak.: M. İdemen, *******

153

DİSTRİBÜSYON

ne, (5.1a,b) nin diverjansı alınarak bulunacak olan süreklilik denklemlerini de eklemek gerekir: divJ +  / t = 0

(5.1e)

divK+ m / t = 0.

(5.1f)

Yukarıda sözünü ettiğimiz varsayım (5.1a-f) denklemlerinde yer alan bütün terimlerin, S in belirli bir civarında*  = {} +





k(k)(z)

(5.2a)



Ek(k)(z)

(5.2b)

k 0 

E = {E} +

k 0

................. gibi ifadelere sahip bulunduklarını söylemektedir. (5.2a) daki {}, bilindiği gibi, hacımsal elektrik yük yoğunluğunun regüler kısmını; 0 , S üzerindeki yükün yoğunluğunu; 1 ise S üzerindeki dipol dağılımının (çift tabaka) yoğunluğunu göstermektedir.Diğer k terimlerine de benzer yorumlar getirelebilir. (5.2a) daki terimlerin bu şekildeki basit yorumlarına karşılık (5.2b) ve diğer eşitliklerde yer alan terimlere her zaman basit yorumlar getirmek mümkün değildir. (5.1a-f) de gözüken terimler yerine (5.2a,b) deki ifadeler konursa, (2.11m-n) uyarınca vektörlerin regüler kısımlarının rotasyonel ve diverjansı rot{E} = {rotE}+ [[n × E]] (z)

(5.3a)

div{E} = {divE}+ [[n . E]] (z)

(5.3b)

ye eşit olduğundan(Bakınız Bölüm 2.5.1), sıfırıncı mertebeden (k = 0) terimlerin eşitliğinden

  P0 + 0 E0 – rotH0 t t   n × (E2 – E1) = - K0 - M0 - 0 H0 – rotE0 t t n.(D2 – D1) = 0 - divP0 - 0divE0

(5.4c)

n.(B2 – B1) = m0 - divM0 - 0divH0

(5.4d)

n × (H2 – H1) = J0 +

 0 = 0 t  n.(K2 – K1) + divK0 + m0 = 0, t n.(J2 – J1) + divJ0 +

*

(5.4a) (5.4b)

(5.4e) (5.4f)

Bu civar,alanı yaratan kaynaklar arasında noktasal ve çizgisel kaynaklar da varsa, onların bulunduğu yere kadar genişler.


154

k-yıncı mertebeden (k =1, 2 ,....) terimlerin eşitliğinden de

  Pk + 0 Ek – rotHk - n × Hk-1 = 0 t t   Kk + Mk + 0 Hk + rotEk + n × Ek-1 = 0 t t k – divPk – n.Pk-1 - 0divEk - 0.n.Ek-1 = 0

(5.5c)

mk – divMk – n.Mk-1 - 0divHk - 0.n.Hk-1 = 0

(5.5d)

Jk +

 k = 0 t  divKk + n.Kk-1 + mk = 0 t divJk + n.Jk-1 +

(5.5a) (5.5b)

(5.5e) (5.5f)

bulunur.(5.4a-f) denklemlerinde gözüken H2, E2 vb terimler z  + 0 olurken alanların sahip oldukları limit değerler, H1, E1 vb terimler de z - 0 olurken aynı alanların aldıkları limit değerlerdir. (5.4a-d) denklemlerinin sağında gözüken terimler, (5.5a-f) denklemleri ile S in bünye bağıntıları göz önüne alınarak, E1,2 ve H1,2 limit değerleri cinsinden ifade edilirler.Bu nedenle, bu denklemler, alanın S in iki yanında gözlenen limit değerlerini birbirine bağlayan bağıntıların en genel haldeki ifadelerinden başkşa bir şey değildirler.Bunlara, bu özellikleri nedeniyle, evrensel sınır bağıntıları adı verilir*. (5.2) bağıntılarında yer alan katsayıların sağlamak zorunda bulundukları bağıntılardan oluşan (5.5a-f) denklemlerine uygunluk bağıntıları adı verilir. Bunlar, S in bünye bağıntıları ile birlikte, içerdikleri büyüklükleri E1,2 ve H1,2 cinsinden belirlemeye yararlar.

5.2 Basit Ortamların Sınırındaki Koşullar Yukarıda sözü edilen S yüzeyi, bünye parametreleri 1, 1 ve 1 olan basit 1 bölgesi ile parametreleri 2, 2 ve 2 olan basit 2 bölgesini birbirinden ayıran arakesit yüzeyi olsun (bak. Şek. 5.1). Bu halde, S in fiziksel bir varlığı bulunmadığı için mk ve Kk

z

n

2 , 2, 2

2

S 1 , 1, 1

1

y

O x

Şekil-5.1 *

Bakınız: M.Idemen, Universal Boundary Relations of the Electromagnetic Field, Journ. Phys. Soc. Japan, vol 59 (1), 71-80, 1990

DİSTRİBÜSYON

155

gibi Pk ve Mk katsayıları da k{0,1,...} nın her değeri için sıfırdır. Öte yandan, S üzerinde ancak 1 ve 2 bölgelerinden taşınarak getirilebilecek olan yüklerle bu yüklerin hareketinden oluşan akımlar tutunabileceğinden, 0 ve J0 dışındaki bütün k ve Jk katsayıları da özdeşleyin sıfır olmak zorundadırlar. Bu halde (5.5a-f) denklemleri, geriye kalan katsayıların, k = 1,2,... için

 Ek – rotHk - n × Hk-1 = 0 t  0 Hk + rotEk + n × Ek-1 = 0 t 0

(5.6a) divEk + n.Ek-1 = 0 divHk + n.Hk-1 = 0 n.J0 = 0

(5.6b)

bağıntılarını sağladığını gösterirler.Bunlar da, apaçık bir şekilde, Ek = 0,

Hk = 0,

k = 0,1, ....

(5.7)

verirler.Çünkü (5.2b) deki Ek katsayılarının tümünün sıfırdan farklı olması, yani; alanın bu biçimde bir tekillik göstermesi söz konusu olamaz. Bu nedenle, belirli bir k0 değeri için E k 0  0 ve H k 0  0 dir.Bu durumda (5.6a) denklemlerinden, geriye doğru, önce E k 0 1  0 ve H k 0 1  0 çıkarılır, sonra da devamla (5.7) elde edilir. Yukarıdaki açıklamaların ışığında sıfır oldukları anlaşılan terimler ayıklandıktan sonra geriye kalanlar (5.4a-f) ye taşınırsa, şunlar yazılır: n × ( H 2t - H1t ) = Js

(5.8a)

E 2t = E1t

(5.8b)

2 E 2n - 1 E1n = s

(5.8c)

2 H 2n = 1 H1n  2 E 2n - 1 E1n = s – divJs – [ J 2 n - J1 n ]. t

(5.8d) (5.8e)

Buradaki En, Hn, Et, Ht vb terimlerde gözüken n ve t altindisleri S üzerindeki normal ve teğetsel bileşenleri göstermektedir.Ayrıca, (5.8a) ve (5.8c) de gözüken Js ve s de, sırayla, J0 ve 0 den başka şeyler değildirler. S üzerindeki birimsel n normali 2 nin içine doğru yönlenmiştir.Bunun yönü değişecek olursa, tanım gereğince 1 ve 2 ortamları da yer değiştireceğinden, (5.8a-e) denklemleri n nin yönlendiriliş şeklinden bağımsızdırlar.(5.8a-e) denklemleri, iki basit ortamın arakesit yüzeyinde sağlanan sınır koşullarını en genel haliyle ifade etmektedir.Şimdi bunları, pratik bakımdan büyük öneme sahip bulunan iki farklı durumda daha ayrıntılı bir şekilde inceleyelim.


156

5.2.1 Bir mükemmel iletken yüzeyin üzerindeki sınır koşulları 1 bölgesinin mükemmel iletken olduğu hali göz önüne alalım.Bu halde, 1 içinde bir saniyede ısıya dönüşen W enerjisi, (3.22a) uyarınca, W = 1



E1.E1d (watt)

1

dır.Bu enerji kaynakların toplam gücünden asla büyük olamaz. 1   olurken W nin sonlu kalabilmesi için 1 içinde, her yerde, E1 0 olması gerekir.Bu halde Maxwell denklemlerine dayanılarak H için şunlar söylenir: i) 1 içinde H1 sıfır değildir, fakat zamanla da değişmez.Kaynakların zamanla değiştiği hallerde böyle bir durumun söz konusu olamayacağı açıktır.Yani, 1 içinde H1 0 hali magnetostatik bir haldir. ii) 1 içinde H1  0 dır.Bu halde J  0 olduğunu da kabul edersek, (5.8a-e) koşulları şu şekilde yazılırlar: E 2t = 0

(5.9a)

Js = n × H 2t ,

H 2n = 0 ,

s = 2 E 2n  2 E 2n + s + divJs + J2n = 0. t

(5.9b) (5.9c)

Bunların ilki 2 içinde E2 ve H2 yi belirlemeye yarar (ve yetişir).Diğer ikisi S üzerinde yaratılan yüzeysel yükü ve akımı verir. Son iki denklem ise özdeşleyin sağlanır. 5.2.2 Sınırlı iletkenliğe sahip bölgelerin arakesitindeki sınır koşulları 1 ve 2 ortamlarından hiç birinin mükemmel iletken olmaması halinde S üzerinde yüzeysel akımların tutunamadığını, yani Js  0 olduğunu deneyler göstermektedir.Bu halde, J1,2  0 oldukça, (5.8a-e) bağıntıları şöyle olur: E 2t = E1t ,

2 E 2n - 1 E1n = s,

H 2t = H1t

2 E 2n - 1 E1n = -

2 H 2n = 1 H1n .

(5.10a)

 s t

(5.10b) (5.10c)

(5.10b) deki denklemler E1n ve E 2n için bir cebirsel denklem sistemi oluştururlar.Bunların katsayılar determinantının sıfıra eşit olması, yani 2 1 - 1 2 = 0

(5.10d)

bağıntısının sağlanması halinde ilk denklem (2/ 2) ile çarpılarak ikinci denklem elde edilmiş demektir.Bu da

157

DİSTRİBÜSYON

σ2  s = - s ε2 t veya s (r,t) = s0(r) e (σ 2 /ε 2 )t olmasını gerektirir. s0 ve 2 nin durumuna göre şu üç hal ortaya çıkar: i) s0(r)  0 ise s  0 dır ve S üzerinde yüzeysel yük birimi yoktur. ii) s0(r)  0 ve 2>0 ise t = 0 anında S üzerinde s0 yoğunluğu ile dağılmış bir yüzeysel yük vardır ve bu yük zamanla bir üstel fonksiyon gibi azalır.Belirli bir zaman sonra bu yük ölçemeyeceğimiz kadar azalmış olacağından, s  0 kabul etmek çoğu kez iyi bir yaklaşıklık olur. iii) s0(r)  0 ve 2 = 0 ise, (5.10d) ye uygun olarak, mecburen 1= 0 dır.Bu halde S üzerinde zamanla değişmeyen bir yük birikimi vardır. Zamanla değişen olayların söz konusu olduğu hallerde böyle bir durumun gerçekleşemeyeceği apaçıktır. Problemler Pr.-1.E herhangi bir distribüsyon vektör olduğuna göre, distribüsyon anlamında divrotE  0 olduğunu gösteriniz. Pr.-2.(2.9c), (4,3), (4.4)c) ve (4.14b) bağıntıları ile ifade edilen Gauss, Ampère, Faraday ve Poynthing formüllerinin, değişik basit ortamlardan oluşan sonlu bir  bölgesi için de geçerli olduklarını gösteriniz. Pr.-3. Sınır koşulu olarak (5.8b) kullanıldığı taktirde, zamana bağlı olaylarda (5.8d) yi kullanmanın gereksiz olacağını (yani kendiliğinden sağlandığını) gösteriniz.

5.3 Maddesel Yüzeyler Üzerindeki Sınır Koşulları Pratikte çok sık karşılaşılan ve mühendislik bakımından çok büyük öneme sahip bulunan bazı durumlarda iki ortamı ayıran S yüzeyi çok ince bir tabakayı belirli bir yaklaşıklıkla modelleyen bir maddesel yüzeydir.Bu halde S in de, modellediği tabakanın iletim ve polarizasyon özelliklerini yansıtan bir bünyesinin olduğunu düşünmek ve sınır koşullarını çıkarırken bu bünyeye ilişkin bünye bağıntılarını da göz önüne almak gerekir.Söz konusu bünye bağıntıları, S in modellediği tabaka içinde Maxwell denklemlerinin ortalaması hesap edilerek bulunurlar. Burada bu konuya değinmek istemiyoruz*.Sadece, böyle bir durumda (5.8) bağıntılarının, özellikle de (5.8a) ve (5.8b) nin ne şekil aldığını belirtmek istiyoruz. Dikkati dağıtmamak amacıyla aşağıda S in modellediği tabakayı oluşturan malzemeyi basit bir malzeme olarak düşüneceğiz.Bununla beraber, bulacağımız sonuçlar çok daha genel halde geçerlidirler. S in modellediği tabakanın iki yüzünde biriken yükler farklı olabileceğinden, genel halde S üzerinde 0 ve m0 ın yanı sıra 1 ve m1 de sıfırdan farklıdırlar.Bu nedenle (5.5a-f) denklemlerinde gözüken Pk, Mk, k, mk, Jk ve Kk büyüklüklerinin hepsi, 1 ve m1 hariç, sıfırdır. Bunu göz önünde bulundurarak (5.5a-d) denklemlerini k  2 için yazacak olursak,

*

Bak. M.Idemen, Straightforward derivation of boundary conditions on a sheet simulating an anisotropic thin layer, Electronics Letters, vol.24(1), pp:663-665, 1988


158

 Ek – rotHk t  n × Ek-1 = - 0 Hk - rotEk t n × Hk-1 = 0

(5.11a) n.Ek-1 = - divEk n.Hk-1 = - divHk olduğunu görürüz.Bölüm-5.2 de de açıkladığımız gibi, belirli bir k0 için E k 0 ve H k 0 sıfır olmak zorundadır.Bundan hareketle (5.11a) denklemlerinden, geriye doğru, adım adım, Ek 0, Hk 0, k =1, 2, ... (5.11b) çıkarılır.Bu sonuç göz önünde bulundurularak (5.5a-f) denklemleri k=1 için yazıldığında n × H0 = 0,

n × E0 = 0

(5.12a)

1 = n.P0 + 0n.E0

(5.12b)

m1 = n.M0 + 0n.H0

(5.12c)

 1 = - n.J0 t

(5.12d)

 m1 = - n.K0 t

(5.12e)

bulunur. (5.12d,e) denklemleri S üzerinde oluşan dipollerin momentinin S nin modellediği tabakada akan akımların normal yöndeki bileşenleri ile ilişkili olduğunu göstermektedir.Eğer bu bileşenler sıfır ise S üzerinde çift tabaka oluşamaz. Öte yandan (5.12a) denklemleri de elektrik ve magnetik alanların tekil kısımlarının sadece normal yönde sıfırdan farklı bileşenlere sahip bulunduklarını göstermektedirler. Bunlar, (5.12b,c) uyarınca, 1 E0n = [1 – P0n] (5.13a) ε0 1 H0n = [m1 – M0n] (5.13a) μ0 den ibarettirler.Bu halde, rotH0 = rot(H0nn) = - n×grad H0n,

(n = ez)

rotE0 = rot(E0nn) = - n×grad E0n ve div H0 = div E0  0

159

DİSTRİBÜSYON

olduğundan, (5.4a,b) nin normal yöndeki bileşenleri kendiliğinden sağlanır.Teğet yöndeki bileşenleri ise  n × (H2 – H1) = J0t + P0t + n×gradH0n (5.14a) t  n × (E2 – E1) = - K0t - M0t + n×gradE0n (5.14b) t veya, (5.12d,e) ve (5.13a,b) nedeniyle, 1     [n × (H2 – H1)] = [J0t + P0t] n×grad[K0n + M0n] (5.15a) μ0 t t t t 1     [n × (E2 – E1)] = [K0t + M0t] n×grad[J0n + P0n] (5.15b) ε0 t t t t

ye indirgenir.Benzer şekilde, (5.4c,d) den de n.(D2 – D1) = 0 - divP0t

(5.4c)

n.(B2 – B1) = m0 - divM0t

(5.4d)

çıkarılır. S in bünye denklemleri de göz önüne alınırsa, yukarıda da belirttiğimiz gibi, (5.15a,b) nin sağında yer alan bütün terimleri H1,2 ve E1,2 t t cinsinden ifade etmek mümkün olur ve, böylece, bu denklemler S in iki tarafında gözlenen alan değerlerini birbirine bağlayan bağlantılar haline gelirler.Burada bunlar üzerinde daha fazla durmak istemiyoruz. Sadece, (5.15a-d) bağıntılarından hemen görünen bazı özelliklere kısaca değinmek istiyoruz: i) (5.15a) dan açıkca görüldüğü gibi,magnetik alanın teğetsel bileşenindeki süreksizlik sadece S üzerindeki elektrik akımın varlığından ileri gelmez. S üzerinde oluşan elektrik ve magnetik polarizasyonlar ile normal yöndeki magnetik akım bileşeninin gradyantı da bu süreksizliğin kaynağıdır. ii) (5.15b) uyarınca, elektrik alanın teğetsel bileşeni, hem S üzerinde yüzeysel magnetik akımların varlığı hem de bu yüzey üzerinde magnetik ve elektrik polarizasyonlar ile normal yönde elektrik akımların oluşması halinde süreksizlik gösterir.Yani, bütün gerçek problemlerde olduğu gibi, magnetik akımlar ve yükler sıfıra eşit düşünülse bile elektrik alanın teğetsel bileşeni S üzerinde süreksiz olabilir.Bu süreksizliğin nedeni S üzerinde teğet yönde oluşan magnetik polarizasyon ile normal yöndeki elektrik akımın ve polarizasyonunun düzgün olmayışıdır. iii)(5.15d) den anlaşılıyor ki; B nin normal bileşinindeki süreksizliğin nedeni sadece m0 magnetik yükü değildir. S üzerinde teğet yönde oluşan magnetik polarizasyonun diverjansı da bu süreksizliğin bir başka nedenidir.Bu nedenle, maddesel yüzeylerin söz konusu olduğu gerçek problemlerde her zaman B1n = B 2n olmak zorunda değildir Pr.-1.S regüler bir yüzey parçası olmak üzere, yoğunluğu  = {} + 0 (S) + 1 ’(S),

J = {J} + J0 (S) + J1 ’(S)


m = {m} + m0 (S) + m1 ’(S),

160

K = {K} + K0 (S) + K1 ’(S)

denklemleri ile verilen kaynak dağılımı göz önüne alınıyor. a)Kaynağın ifadesinde görünen değişik terimlerin fiziksel yorumunu yapınız. b)Bu kaynağın boşlukta yaratacağı alana ilişkin sınır bağıntılarını çıkarınız. c)Kaynağın ifadesinde yer alan değişik terimler arasında sağlanması zorunlu olan bağıntıları yazınız; bu terimlerin, ayrı ayrı, sıfır olmaları halini inceleyiniz.

ÖZEL RÖLATİVİTE

161

ALTINCI BÖLÜM

ELEKTROMAGNETİK ALANIN FARKLI GALİLE SİSTEMLERİNDE GEÇERLİ OLAN İFADELERİ. ÖZEL RÖLATİVİTE TEORİSİ

6.1 Skaler ve Vektörel Potansiyelin Dönüşüm Kuralı K ve K’ birbirine göre sabit bir v hızıyla hareket eden iki Galile referans sistemi olsun. Bir kaynak dağılımının yaratmış olduğu elektromagnetik alanın ifadesi bunların birinde biliniyorsa, diğerindeki ifadenin de basit bir lineer dönüşümle hemen yazılabileceğini göstermek istiyoruz. Çıkaracağımız dönüşüm formülleri, Maxwell denklemlerine ilişkin sınır-değer probleminin çözümünün K’ de kolay fakat K da çok zor olduğu hallerde, K daki alan ifadelerini bulmakta büyük yararlar sağlayacaktır. Kaynak yoğunluklarından hareketle elektromagnetik alanın hesabında süperpozisyon ilkesi geçerli olduğundan, yukarıda sözü edilen dönüşüm formüllerini açığa çıkarmak amacıyla sadece bir tek noktasal yükün boşlukta yarattığı alanı gözönüne almak yetişir. Bunun da en basit hali, K’ de hareketsiz duran bir noktasal yükün yarattığı alandır. Aşağıda, önce böyle bir yüke ilişkin olarak Maxwell denklemlerinin hem K hem de K’ deki çözümlerini bulacak, sonra da bunları karşılaştırarak sözü edilen dönüşüm formüllerini açığa çıkaracağız. K ve K’, sırayla, Oxyz ve O’x’y’z’ kartezyen koordinatlar sistemleri ile özdeş olsunlar. Alanın K da yazılmış ifadesinde yer alan ve , J, V, A v.b. harflerle gösterilen büyüklüklerinin K’ de geçerli olan ifadelerini ’, J’, V’, A’ v.b. şeklinde üslerle gösterelim. Bu gösterilime uygun olarak, zamanı da K da t, K’ de t’ ile göstereceğiz. K ve K’ deki eksenleri öyle seçmiş olalım ki; t = 0 anında t’ = 0,

O  O’,

Ox //O’x’

olsun ve O’ noktası Ox ekseni üzerinde v = vex sabit hızıyla kaysın (bak. Şek. 6.1). Bu halde, O’ noktasında sabit duran noktasal Q yüküne ilişkin yoğunluk


162

y’

y

t’

t O

O’

x

x’

z’

z Şekil 6-1 fonksiyonları şöyledir:

’(x’,y’,z’,t’) = Q(x’)(y’)(z’),

J ’ 0

(6.1a)

(x, y, z, t) = Q(x – vt)(y)(z)

(6.1b)

J(x , y, z, t ) = Qv(x – vt)(y)(z)ex .

(6.1c)

Bunu yazarken, hareketli yükün hem K hem de K’ sisteminde aynı değerde (yani, Q olarak) ölçüldüğünü zımnen kabul etmiş oluyoruz *. Böylece, notasyona ilişkin olarak biraz önce yapmış olduğumuz kabul uyarınca, Q = Q’

(6.2)

varsayıyoruz, demektir. (6.1a) ile ifade edilen kaynak dağılımının boşlukta yarattığı alan K’ de V(x’,y’,z’,t’) =

Q 4 0

1 ( x'  y' 2  z' 2 ) 2

(6.3a)

ve A’(x’,y’,z’,t’)  0

(6.3b)

potansiyel fonksiyonları aracılığı ile belirlenen bir statik elektrik alan görünümündedir. Aynı alanın K sisteminden görünümü ise, daha önce Bölüm-4.8.6 da ayrıntılı bir biçimde incelenmiş ve v < c0 halinde† V(x,y,z,t) =

A(x,y,z,t) =

1

Q 4 0

( x - vt) 2  (1 - v 2 / c 02 )( y 2  z 2 )

v V(x,y,z,t)ex c 02

(6.4a)

(6.4b)

bulunmuştu (bak.(4.27)- (4.28)). * †

Bak. Böl.1.6. v>c0 varsayılarak erişilecek olan sonuçlar da , tersine, v < c 0 olması gerektiğini gösterecektir. Bak. §6.2 uyarı-2.

ÖZEL RÖLATİVİTE

163

Şimdi K’ de (6.3a,b) ile K da ise (6.4a,b) ile verilen ve aynı alanı belirleyen ifadelerin evrensel bir dönüşüm ile birbirine dönüştürebildiğini varsayalım ve bu dönüşümü bulmaya çalışalım. Söz konusu dönüşüm bir yandan (x’,y’,z’,t’) yi (x,y,z,t) ye, diğer yandan da (E’,H’) yi (E,H) ya dönüştürecektir. Bu dönüşümleri, sırayla, ℒ ve ℳ ile gösterecek olursak, örneğin, E = ℒℳe{E’(x’,y’,z’,t’), H’(x’,y’,z’,t’)}

(6.5)

yazarız.Burada ℳe de gözüken (e) alt indisi, sadece E alanına ilişkin ifadelerin söz konusu olduğunu belirtmektedir. Şimdi, K’ nın K ya göre hareketinin bir (dönmesiz) kayma’dan ibaret olduğunu göz önünde bulundurarak, bunun bir doğal sonucu olmak üzere , y’ = y, z’ = z (6.6a) olduğunu varsayalım. Bu, herşeyden önce, (6.3a) da gözüken r’2 = x’2 + y’2 ile (6.4a) da gözüken r2 = x2 + y2 nin birbirine eşit olması demektir. Başka bir deyişle, (6.5) in her iki yanı da r2   nın fonksiyonudur.Şimdi,  > 0 için yazılmış olan bu bağıntının kompleks  düzlemine analitik devamını gözönüne alalım.Fonksiyonel denklemlerin devamlılığı ilkesi uyarınca, sağ ve sol yanda yer alan fonksiyonların analitik olarak devam edebildikleri her bölgede (6.5) denklemi sağlanmaya devam eder. Başka bir deyişle, (6.5) denklemi sadece pozitif  değerleri için değil, her kompleks  için geçerlidir. Bu, herşeyden önce iki tarafta gözüken tekil noktaların aynı olmasını gerektirir.Sol yandaki tekil nokta sadece  = - (x – vt)2/(1-v2/ c 02 ) de oluşan dallanma noktasından, sağ yandaki ise sadece  = - x’2 deki dallanma noktasından ibarettir. ℳ dönüşümü evrensel olduğu için, (6.5) in yazıldığı noktanın koordinatlarından bağımsızdır. Yani ℳe işlemi (6.5) deki dallanma noktasının konumunu değiştirmez. Bu demektir ki; ℒ dönüşümü  = - (x – vt)2/(1-v2/ c 02 ) noktasını  = - x’2 ye götürecek biçimdedir. Bu halde, (6.6a) yı da gözönüne alarak, x’ =

x - vt 1 - v 2 / c 02

,

y’ = y,

z’ = z,

(6.6b)

yazarız. Bu bağıntılar ℒ dönüşümünü, t’ nün ifadesi hariç, açıkça belirlemiş durumdadır (t’ nın ifadesini aşağıda, Böl.6.2 de çıkaracağız). Buradan açıkça görülüyor ki; uzay koordinatları kendi aralarında dönüşüme uğramamakta, zaman parametresi de uzay koordinatları gibi dönüşüme tabi olmaktadır. Şimdi (6.6b) yi gözününde bulundurarak (6.3a) ile (6.4a) yı birbiriyle karşılaştıralım. Hemen V= ve

V' 1 - v 2 / c 02

,

(6.6c)


A1=

v c 02

V' 1 - v 2 / c 02

,

A2 = 0,

A3 = 0

164

(6.6d)

olduğunu görürüz. Bu bağıntılar da, E = - A/t – gradV ve B = rotA ile birlikte ℳdönüşümünün açık ifadesini bulmamıza olanak verecektir. Bunu aşağıda, böl.-6.4 de göreceğiz. Daha önce de belirtmiş olduğumuz gibi, elektromagnetik alanın hesabında süperpozisyon ilkesi geçerli olduğundan, (6.6b)-(6.6d) formüllerini bir Galile sisteminde geçerli olan ifadelerden hareketle diğerinde geçerli olan ifadeleri çıkarmak amacıyla, reçete gibi, kullanabiliriz. Fakat durum bu kadar mütevazi değildir. Biraz sonra göreceğimiz gibi, (6.6b) formülleri çok daha genel ve geniş kapsamlı bir evren kavrayışının temellerini oluşturmaktadır.

6.2. Poincaré-Einstein Rölativite İlkesi.Lorentz Dönüşüm Formülleri O’x’y’z’ sistemi Oxyz sistemine göre v = vex hızıyla hareket etmekte olduğundan, klasik Newton mekaniğinden edinmiş olduğumuz alışkanlıkla, x ile x’ arasındaki bağıntının (6.6b) deki gibi olmayıp x’ = x – vt şeklinde olmasını beklerdik.Bu uyumsuzluğa bakarak şu iki halden birinin geçerli olması gerektiğini iddia edebiliriz: Birinci hal: Maxwell denklemleri Oxyz sisteminde geçerlidir fakat O’x’y’z’ sisteminde geçerli değildir. Bu nedenle, (6.4a,b) ifadeleri her t anında her (x,y,z) noktasında doğrudur; fakat (6.3a,b) ifadeleri ancak, başka bir rolü olmayan (6.6b) reçetesi ile birlikte Oxyz sistemine dönüştürüleceklerse, anlamlıdır. İkinci hal:Maxwell denklemleri hem Oxyz hem de O’x’y’z’ sisteminde geçerlidir ve bunların çözümü ile elde edilen (6.4a,b) ve (6.3a,b) ifadelerinin hepsi de doğrudur; fakat (6.6b) de gözüken t parametresi O’x’y’z’ sistemindeki zaman değildir. Başka bir deyişle, Oxyz sisteminde gözlenen (x,y,z,t) ye karşılık O’x’y’z’ sisteminde gözlenen (x’,y’,z’,t’) parametreleri öyle olmalıdır ki; (6.6b) özdeşleyin sağlanmalıdır. Birinci hal apaçık bir biçimde Oxyz sistemini Galile sistemlerinden ayırmakta; ona bir ayrıcalık vermektedir. Şöyle ki; Maxwell denklemleri bu ayrıcalıklı sistemde geçerlidir, diğerlerinde değildir. Ondokuzuncu yüzyıl süresince hep böyle bir mutlak uzay’ın varlığı düşünülmüş ve ona eter adı verilmiştir*. Fakat o yüzyılın sonlarında bu uzaya göre Dünya’ nın hareketini (mutlak hareket) açığa çıkarabilmek amacıyla yapılmış bulunan teorik ve deneysel çalışmalar† hep çelişkilerle sonuçlanmış ve yirminci yüzyılın başlarında bu kavramın terkedilmesi gerektiği anlaşılmıştır‡. Yukarıda sözü edilen ikinci hal Maxwell denklemlerinin geçerliliği bakımından hiç bir Galile sisteminin ayrıcalıklı olmadığını, fakat bunların kendilerine özgü, ayrı zaman değerlendirmelerinin bulunduğunu iddia etmektedir. Başka bir deyişle, ne mutlak uzay ne da mutlak zaman söz konusudur; bir sistemdeki parametreler diğer

*

Maxwell ve Faraday tarafından da benimsenmiş olan bu kavram aslında çok eskilere dayanır. Fizeau (1851), Airy (1871), Michelson ve Morley (1887). ‡ A. Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik, Bd.17, S:891-921, 1905 (özellikle bak: s.891, §2 ve s.892). †

ÖZEL RÖLATİVİTE

165

sisteme (6.6b) formüllerine uygun olacak biçimde dönüşür. Poincaré* tarafından ileri sürülen ve Einstein† tarafından fizikçiler dünyasına benimsetilmiş olan bu görüş yirminci yüzyılda tüm doğal bilimlerin ve onların temelini oluşturan kavramların büyük değişikliklere uğramasına neden oldu. Bunların bazısını (konumuzla ilgili olanlarını) aşağıdaki alt bölümlerde kısaca gözden geçireceğiz. (6.6b) bağıntılarının, Maxwell denklemlerinden bağımsız olarak, (K, K’) çiftine özgü dönüşüm denklemleri oldukları varsayımı, K sisteminde bilinen ifadelerden K’ sisteminde geçerli olanlara geçmek için de bunların simetriklerinin kullanılmasını gerektirir. Sözü edilen simetrik bağıntıları yazmak için, biz, O’ noktası K ya göre v hızıyla hareket ediyorsa, O noktasının da K’ ye göre (-v) hızıyla hareket ediyor gibi göründüğünü kabul edeceğiz. Böylece, (6.6b) e benzer şekilde, x=

x'  vt' 1 - v 2 / c 02

,

y = y’,

z = z’

(6.7)

yazılır.(6.6b) ve (6.7) formülleri fizik olaylar bakımından K ve K’ deki koordinatların birbirine nasıl dönüştüğünü göstermektedir. Lorentz formülleri‡ olarak tanınan bu formülleri x=

x'  vt' 1 - v 2 / c 02

,

y = y’,

z = z’ ,

t=

t'  (v/c 02 )x' 1 - v 2 / c 02

(6.8a)

veya, tersine, x’ =

x  vt 1 - v 2 / c 02

,

y’ = y,

z’ = z ,

t’ =

t  (v/c 02 )x 1 - v 2 / c 02

(6.8b)

şeklinde de yazabiliriz. (6.8a,b) den apaçık bir biçimde görüldüğü gibi, fizik olaylar bakımından (x,y,z) uzay koordinatlarının t zaman parametresinden ayrı düşünülmesi mümkün değildir. Ayrıca, t = t’= 0 dışında her zaman t  t’ dir. Bu, klasik fizikteki mutlak zaman kavramının ancak c0   için geçerli olan bir ideal kavram olabileceğini, onun dışında ancak v2/ c 02 <<1 olduğunda yaklaşık olarak anlamlı olabileceğini gösterir. Lorentz formüllerinde (x,y,z) ve t nin birlikte yer alıyor olması, noktaları (x,y,z,c0t) koordinatlarına sahip bir dört boyutlu uzay-zaman tanımlanması ve fiziksel büyüklüklerin bu dört boyutlu uzayda incelenmesi fikrini doğurdu. Bu görüşle (6.8a) bağıntıları, yeniden, *

H.Poincaré, Sur la dynamique de l’électron, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Vol.21,pp:129-175 (reçu le 23 Juillet 1905 publié en Janvier 1906). Ayrıca bak. H.Poincaré, Comptes Rendus de l’Acad. des Sci. Paris, vol. 140, pp: 1504-1508, 5 Juin 1905. † Daha önce sözü edilen makale. ‡ H.A.Lorentz ( * , * ). Lorentz 1921 deki bir yazısında, bu formülleri bu haliyle kendisinin çıkarmış olmadığını, Poincaré’nin 1906 daki bir makalesinde çıkardığını, fakat, temeldeki fikrin kendisine ait olduğunu gözönünde bulundurarak, formüllere bu adı vermiş olduğunu, yazmaktadır. Bak. H.A.Lorentz, Deux mémoires de Henry Poincaré dans la physique mathématique, Acta Matematica, vol. 38, p:296, 1921. Lorentz, tartışmanın başlangıcında, t nin gerçek zamanı göstermesine karşılık t’ nün sadece bir matematik araç olduğu düşüncesindseydi. Lorentz’in orijinal makalesi için bak:Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of the light, Proc.Acad.d’Amsterdam, 27 May 1904.


 x   1 / 1 - v 2 / c 02  y   0   =   z  0    2 2 c 0 t  (v/c 0 )/ 1 - v / c 0

0 1 0 0

0 (v/c 0 )/ 1 - v 2 / c 02   0 0   1 0  0 1 / 1 - v 2 / c 02 

 x'   y'     z'    c 0 t'

166

(6.8c)

şeklinde yazılır. Eğer (6.6c) ve (6.6d) bağıntıları (6.8c) ile karşılaştırılırsa, kolayca görülürki; koordinatları (A1, A2, A3, V/c0) olan vektör de yukarıda sözü edilen dört boyutlu uzayzamanın bir noktasıdır ve (6.8c) ile verilen kurala göre K’ den K ya dönüşür (ayrıca bak:Böl.6.5.2). Uyarılar 1.Yukarıda, Bölüm-6.1 ve 6.2 de yapmış olduğumuz tartışmalar (6.4a) formülüne dayanmaktadır. Bu ise, ancak v nin sabit olduğu, yani K’ nün K ya göre ivmesiz bir hareket yaptığı zaman doğrudur. Eğer K’ nün hareketi ivmeli ise, (4.35) den açıkça görüldüğü gibi, (6.6b) formülleri ile K’ deki ifadeleri K dakilere dönüştürmek mümkün değildir.Yani, Lorentz formülleri sadece Galile referans sistemleri için geçerlidir.Bu özel durum nedeniyle, (6.8c) bağıntılarına dayanan teori özel rölativite teorisi olarak adlandırılır. 2. (6.8c) formülünün dayandığı (6.4a) ifadesi ancak vc0 kabul etmiş olsaydık, (6.4a) nın yerine (4.29)u kullanmamız gerekirdi. Açıkça görüldüğü gibi, bu yeni ifade öncekinin sadece (1/2) gibi bir çarpan farkıyla aynıdır.Bu nedenle, v>c0 varsayımı ile bulunacak olan sonuçlar da (6.8c) den başkası değildir. Oysa, aşağıda, §6.3.1 de göreceğimiz gibi, v
Bu varsayımlar bugün Einstein postulaları olarak adlandırılmaktadırlar (bak. A:Einstein, 1905); fakat bunların temelini oluşturan gözlemler ve fikirler daha gerilere, Lorentz’e(1904) ve Poincaré’ye (1905) kadar gitmektedir.

ÖZEL RÖLATİVİTE

167

a)Fizik yasaları bütün Galile sistemlerinde aynıdır, ayrıcalığı olan Galile sistemi yoktur. b)Işığın boşluktaki hızı bütün Galile sistemlerinde aynıdır. Problemler Pr.-1.Lorentz formüllerini böl.6.2 uyarı-4 de sözü edilen Einstien postulalarından çıkarınız. Pr.-2.Aşağıdaki ifadelerin Lorentz dönüşümü altında değişmez kaldığını gösteriniz: a) x2 – c 02 t2,

b) x2+y2+z2 - c 02 t2,

c) x1x2 - c 02 t1t2 ,

d) L2 - c 02 T2.

Burada L ile, (x1,y1,z1,t1) ve (x2,y2,z2,t2) noktaları arasındaki uzaklık, T ile de (t1-t2) farkı gösterilmektedir (Lorentz,1905) . Pr.-3.  - 1/ c 02 2/t2 = 0 dalga denklemi verilmiş olsun. a)Lorentz dönüşümü ile bu denklemin gene kendine dönüştüğünü gösteriniz ve sonucu yorumlayınız. b)Sözü edilen dalga denklemini c0 hızıyla değişmez bırakan lineer dönüşümün Lorentz dönüşümünden ibaret olduğunu gösteriniz. Pr.-4.K’ sisteminde y’ = mx’ + n ve z’ = 0 denklemleri ile belirlenen doğrunun K sisteminden de, değişik t anlarında değişik olmak üzere, bir doğru olarak gözleneceğini gösteriniz ve bu doğrunun denklemlerini bulunuz. Sözü edilen doğruların ’ ve  eğim açılarının zamanla değişmediğini ve, genel olarak, ’ <  olduğunu kanıtlayınız. ’= 0 ve ’ = /2 hallerini tartışınız. Pr.-5.K’ sisteminin z’ = 0 düzlemindeki ’1 ve ’2 doğruları paralel olsunlar. Bunların K sisteminde de paralel doğrular olarak gözleneceğini gösteriniz. Pr.-6. K’ sisteminin z’ = 0 düzlemindeki ’1 ve ’2 doğruları biribirine dik olsunlar. Bunların K sisteminde, genel olarak, dik gözükmeyeceğini gösteriniz.İki doğrunun K da da dik gözükebileceği özel halleri belirtiniz. Pr.-7.K’ sistemindeki R yarıçaplı kürenin K sisteminde bir elipsoit olarak gözüktüğünü ispat ediniz ve elipsoitin eksen uzunluklarını bulunuz.

6.3. Lorentz Dönüşümünün Bazı Sonuçları Lorentz dönüşüm formüllerinin uzay koordinatlarına ek olarak t yi ve ışığın boşluktaki hızını da içermesi, klasik kinematik ve mekanikten öğrenmiş olduğumuz pek çok kavramın ve formülün değişmesine neden olacaktır. Bunların bazısını burada gözden geçirmeyi yararlı buluyoruz. 6.3.1. Limit hız kavramı (6.8c) formüllerinin anlamlı (yani gerçel) olabilmesi için v

168

Yukarıda sözü edilen özellik nedeniyle c0 ın bir limit hız olduğu söylenir. Bu deyim, ardındaki anlam iyice açıklık kazanmadığı takdirde, bazan, düşünce karmaşasına neden olmaktadır. Şöyle ki; fiziksel olaylarla ilişkili olarak; hız, bağıl hız, toplam hız, dalga hızı, faz hızı, grup hızı, enerjinin yayılma hızı v.b. bir takım hızlar tanımlanmaktadır.Bunların bir kısmı, bazan c0 dan büyüktür. Örneğin, Ox eksenine paralel olarak (2/3)c0 hızıyla biri sağa diğeri de sola doğru giden iki cisim bir saniye sonunda biribirinden (4/3)c0 kadar uzaklaşmış olur.Bu uzaklaşma c0 dan büyük bir hızla oluşuyordur. Burada dikkat edilmesi gereken husus şudur ki; c0 dan büyük olan bu değer K daki bir gözlemcinin toplama işlemi ile bulduğu bir değerdir ve, ileride Bölüm 6.3.4 de göreceğimiz gibi, cisimlerle birlikte hareket eden gözlemcilerin birbiri için söyleyecekleri bağıl hız değildir. Sözü edilen bağıl hız (12/13)c0 a eşit olup c0 dan küçüktür (bak. Bölüm 6.3.4 Pr.-1). Yani, cisimlerden birinin üzerinde bulunan bir gözlemci (12/13)c0 < v < c0 bağıntısına uyan bir v hızıyla kendi sisteminde hareket eden bir roket gönderdiği taktirde diğer cisme mesaj iletebilecektir. 6.3.2. Uzunlukların dönüşümü K’ sisteminde O’x’ ekseni üzerine yerleştirilmiş bir çubuğun uçları A’(x’1, 0,0) ve B’(x’2,0,0) olsun (x’2 > x’1 düşünüyoruz). t’ den bağımsız olan ' = x’2-x’1 büyüklüğü bu çubuğun uzunluğu olarak tanımlanır. Aynı çubuğun K sisteminden gözlenen uzunluğunu da şöyle tanımlamak mümkündür: Bir t = sabit anında A’ ve B’ noktaları ile karşı karşıya bulunan K ya ait noktalar A(x 1,0,0) ve B(x2,0,0) olsun.  = x2-x1 ile tanımlanan  değeri söz konusu çubuğun K dan gözlenen uzunluğudur. Buna çubuğun hareketteki boyu adı verilir. Bu halde ' de çubuğun sükunetteki boyu adını alır.  ile ' arasındaki ilişkiyi açığa çıkarmak için (6.8b) formüllerinin ilkini A’ ve B’ için yazmak ve taraf tarafa çıkarmak yetişir. Kolayca

 = ' 1  v 2 / c 02

(6.9a)

bulunur. Bu gösteriyor ki; çubuğun hareket halindeki boyu sükûnetteki boyundan daha küçüktür. Başka bir deyişle, hareket çubuğun büzülmesine neden olmuştur. Kolayca gerçekleyebiliriz ki; O’x’ ye paralel duran her çubuk için (6.9a) daki gibi bir büzülme söz konusudur. Buna karşılık O’y’ ve O’z’ ye paralel duran çubuklar için büzülme söz konusu değildir. Bu bizi şu sonuca götürür: Hareket halindeki cisimler hareket doğrultusunda bir büzülmeye uğrarlar. Büzülme sadece bir boyutta olduğundan, hareketli cisimlerin hacımlarında da (6.9a) daki gibi bir küçülmenin olması gerekir: U = U’ 1  v 2 / c 02 .

(6.9b)

Burada U’ ile cismin sükunetteki hacmı, U ile de hareket halindeyken görünen hacmı gösterilmektedir. Problemler Pr.-1. K’ de duran A’B’ çubuğunun A’(x’1,0,0) ve B’(x’2,0,0) uçlarına bir t’ = sabit anında karşı gelen noktalar A(x1, 0, 0) ve B(x2, 0, 0) olsun. L = x2 - x1 in anlamını ve L ile ' = x’2-x’1 arasındaki ilişkiyi yorumlayınız. Pr.-2. a) t = sabit için (6.8b) nin jacobiyenini hesaplayarak

169

ÖZEL RÖLATİVİTE

dxdydz = dx’dy’dz’ 1  v 2 / c 02 olduğunu gösteriniz ve sonucu yorumlayınız. b)Aynı işlemi t’ = sabit için (6.8a) ile tekrarlayınız ve sonucu yorumlayınız. Pr.-3. K’ sistemindeki düzlemsel bir yüzey parçasının alanı S’ olsun. Aynı alan için K daki gözlemcilerin ölçeceği değer nedir? 6.3.3 Zaman aralıklarının dönüşümü K’ sisteminde sabit bir A’(x’,0,0) noktasında t’1 ve t’2 anlarında iki olay olduğunu düşünelim.İlk olay olduğunda A’ noktası K nın bir A1(x1,0,0) noktası ile karşı karşıyadır ve bu halde A1 deki saat t1 gibi bir değer gösterir. İkinci olay olduğunda A’ noktası K nın bir A2(x2,0,0) noktası ile karşı karşıya bulunacak ve bu noktada saat t2 gibi bir değer gösterecektir. ’= t’2 - t’1 farkı söz konusu iki olay arasında K’ da ölçülen zaman farkıdır. Benzer şekilde,  = t2 - t1 farkı da aynı olaylar arasında K da ölçülen zaman farkını verecektir. (6.8a) nın son formülü A’ noktasında t’1 ve t’2 için yazılıp taraf tarafa çıkarılırsa, =

' 1 - v 2 / c 02

(6.10a)

bulunur. Bu, söz konusu olaylar arasındaki zaman aralığının K sisteminde daha uzun değerlendirildiğini göstermektedir. Yukarıda sözü edilen olaylar A’ de bulunan bir sarkacın minimum konumdan geçişleri olsun. İki geçiş arasındaki zaman farkı K ve K’ de, sırayla,  ve ’ ile gösterilirse, (6.10a) uyarınca  > ’ olur. Bu demektir ki; K daki gözlemciler sarkacın daha yavaş salınım yaptığını söyleyeceklerdir. Sarkaç olayını daha da genelleştirerek şunu söyleyebiliriz: K’ sisteminde belirli bir noktada ’ frekansı ile oluşan bir olay K sisteminde daha alçak bir  frekansıyla oluşuyormuş gibi gözlenir:  = ’ 1  v 2 / c 02

(6.10b)

Frekansın hız nedeni ile farklı gözlenmesi Doppler* olayı olarak bilinir. Problemler Pr.-1. Sabit bir A’ K’ noktasında bulunan bir ışık kaynağı belirli bir renkte ışık yayınlamakta olsun. Bu ışığın rengi K ve K’ deki gözlemcilere göre nasıl gözükür†. Pr.-2. t’ = sabit için t = f(x’) fonksiyonunun değişimini inceleyiniz ve şunları gösteriniz:

* †

Christian Doppler (Salzburg 1803-Venedik 1853). Olayın keşfi 1842 de. Hızla hareket eden hidrojen iyonlarının yaydığı ışıkla yapılan deneyler teoriyi doğrulamıştır. Bak. H.E.Ives and G.R.Stillwell, J.Opt.Soc.Amer., 28, 215 (1938); H.E.Ives, aynı eser, 29, 183 ve 294 (1939); G.Otting, Phys.Z., 40,681 (1939).


170

a) t’ = 0 ise x’>0 olan noktalarda oluşan olayları K daki gözlemciler x’ = 0 da olana göre daha geç; x’<0 olan noktalardaki olayları ise daha erken olmuş gibi yorumlarlar. b) t’>0 ise, x’<0 yarı-ekseninin belirli bir A’ noktasında oluşan olayı K daki gözlemci de aynı t = t’ anında oluşmuş gibi görür. A’ nın solundaki noktalarda oluşan olaylar K daki gözlemcilere göre daha erken, A’ nün sağındaki noktalarda oluşanlar ise daha geç oluşmuş gibidir. c) Sadece bir tek noktada K ve K’ nın saatları aynı sayıyı gösterir. Bir sistemin saatlarına göre diğer sistemin mütekabil saatları daha geridir, eğer ki; bunların bulunduğu noktalar saatların eşit olduğu noktayı geçmiş iseler. Diğer noktalardaki saatlar ise, tersine, daha ileridir. 6.3.4 Hızların toplamı ve dönüşümü K sisteminde yapılmış değerlendirmelerle u1 ve u2 gibi iki hız söz konusu olsun.Bunların toplamı (veya bileşkesi), tanım olarak, u = u1+ u2 den ibarettir. Örneğin, u1 hızıyla hareket etmekte olan bir trenin içinde u2 hızıyla yürüyen bir yolcunun yoldaki birine göre hızı u = u1+ u2 dir. Burada önemle vurgulamak gerekir ki; u1, u2 ve u nun üçü de K da duran bir gözlemcinin yaptığı uzunluk ve zaman ölçmeleri ile değerlendirilmişlerdir.u1 ve u2 nin sabit olmaları gibi bir koşul da söz konusu değildir. Şimdi, yukarıdaki tren ve yolcu örneğini yeniden ele alıp şu problemi ortaya koyalım. Tren K’ Galile sistemini oluştursun ve K ya göre sabit bir v hızıyla Ox ekseni yönünde gitsin. Tren içinde O’x’ yönünde yürüyen bir yolcu, K’ deki değerlendirmelere göre, u’ hızına sahip ise, bu yolcunun hızını K daki gözlemciler nasıl değerlendirir? Dikkat etmek gerekir ki; şimdi söz konusu olan, farklı Galile sistemlerinde değerlendirilmiş iki hızın toplamını (veya bileşkesini) bulmaktır. Hemen söyleyebiliriz ki; sonuç u’ + v den farklıdır. K’ de hareket halinde bulunan bir A’ noktasının konumu t’ ye bağlı olarak, x’ = f1(t’),

y’ = f2(t’),

z’ = f3(t’)

(6.11a)

fonksiyonları ile belirtilsin.Bu noktanın K’de gözlenen u’ hız vektörünün bileşenleri, tanıma göre, şunlardır: u’1 =

dx' , dt'

u’2 =

dy' , dt'

u’3 =

dz' . dt'

(6.11b)

Hareket süresince A’ ile karşı karşıya bulunan A K noktalarının konumu t nin fonksiyonudur. Bunu belirten x(t), y(t) ve z(t) fonksiyonları (6.11a) ve (6.8a) da t’ yok edilerek elde edilir.A noktasının K sistemindeki hızı A’ nün K dan gözlenen hızı, veya, K ya göre bağıl hızı adını alır. Bu hızın u1= dx/dt, u2= dy/dt, u3= dz/dt den ibaret olan bileşenleri, (6.8a) ve (6.11b) yardımıyla şu şekilde hesaplanır: u1 =

u'1  v dx'  dt' dx = = 2 dt'  vdx' /c o 1  u'1 v/c o2 dt

u2 =

u' 2 dy' dy = = dt 1  u'1 v/c o2 (dt'  vdx' /c o2 ) / 1 - v 2 / c o2

(6.12a)

1  v 2 / c 02

(6.12b)

ÖZEL RÖLATİVİTE

171

u' 3 dz 1  v 2 / c 02 . = (6.12c) 2 dt 1  u'1 v/c o Bu formüllerden çıkarılabilecek çok önemli bir sonuç şudur: Eğer K’ de ölçülen u’ hızı sabit ise, K da ölçülen u hızı da sabittir. Bu demektir ki; K’ de eylemsizlik ilkesi geçerli ise, buna göre düzgün doğrusal hareket yapan K sisteminde de geçerlidir. Bu özelliği Bölüm 1.2 de, ispat etmeden, belirtmiştik. (6.12a-c) nin diğer bir önemli sonucu da, K da hareketsiz duran bir noktanın (u = 0), K’ den gözlenen hızının u’ = (- v) olmasıdır. Bu demektir ki; K’ sistemi K ya göre v hızıyla hareket ediyorsa, K sistemi de K’ ye göre (-v) hızıyla hareket ediyormuş gibi görünür (böl.6.2, uyarı-3 ile karşılaştır). u3 =

Problemler Pr.-1.Ox ekseni üzerinde (2/3)c0 a eşit hızlarla biri sağa diğeri de sola doğru giden iki cismin biribirine göre bağıl hızı nedir? Pr.-2.K’ de O’x’ yönünde c0 a eşit bir hızla giden bir parçacığın (foton’un) hızı K da nedir? x dx' dt' x dt' Pr.-3. (6.12a) yı dx/dt = + formülü ile hesaplayınız. x' dt' dt t' dt Pr.-4.K’ sisteminde O’y’ yönünde u’ hızıyla giden bir cismin K daki hızını bulunuz. Pr.-5.a)K’ sistemi K ya göre v1 = vex hızıyla, A’ noktası da K’ ye göre u’1= u’ey’ hızıyla gitsin. Bu halde, A’ nün K dan gözlenen u1 hızını bulunuz. b) Yukarıda sözü edilen hızların rolünü değiştirerek A’ nün K dan gözlenen u2 hızını bulunuz (şimdi K’ nün K ya göre hızı v2 = u’ey’ ; A’ nün K’ ye göre hızı da u’2 = vex’ dir). c) u1 ve u2 yi karşılaştırınız. c0   halini yorumlayınız. Pr.-6.0
*

Bu özellik nedeniyle, Lorentz dönüşümünün bir grup oluşturduğu söylenir.


172

1 1  u' 2 / c 02 1  v 2 / c 02 2 1  u'1 v/c o olduğunu gösteriniz. Burada u2 = u.u ve v2 = v.v konmuştur.

1  u 2 / c 02 =

6.4 Elektromagnetik Alanın Dönüşümü Bir elektromagnetik alanın K sistemindeki bileşenlerini E1(x,y,z,t), E2(x,y,z,t),... vb şeklinde gösterelim.Bu alanı yaratan kaynakların yoğunlukları da (x,y,z,t), J1(x,y,z,t), J2(x,y,z,t,),... vb olsun. Aynı alanın ve kaynakların K’ deki ifadeleri de, benzer şekilde, E’1(x’,y’,z’,t’),..., ’(x’,y’,z’,t’),... vb şeklinde yazılsın.Amacımız K daki ifadelerle K’ dekiler arasında var olan bağıntıyı bulmaktır. Bunu Bölüm 6.2 de çıkarılmış olan sonuçları kullanarak kolayca yapabiliriz. Çünkü, hem (x,y,z,c0t) hem de (A1,A2,A3,V/c0) vektörü dört-boyutlu uzayın elemanlarıdırlar ve, dolayısıyla, (6.8c) denklemi ile belirlenen kurala göre bir sistemden diğerine dönüşürler. Bunu gözönünde bulundurarak E = - A/t – gradV ve B = rotA dan, örneğin,

V A 1 t x

E1 = -

 x'

1

=-[

1 - v 2 / c 02

-v

-[

1 - v 2 /c 02

=-

v/c02 1 - v 2 /c 02

 + x'

v 1  ][ A’1+ V’] t' 1 - v 2 /c 02 1 - v 2 / c 02 1 1 - v 2 / c 02

v/c0 1  ][ A’1+ V’] t' 1 - v 2 /c 02 1 - v 2 / c 02 2

V' A'1 t' x'

= E’1,

(6.13a)

ve

V A 2 y t  v 1 -v 1   =[ A’1+ V’]-[ + ]A’2 y' 1 - v 2 /c 02 1 - v 2 / c 02 1 - v 2 /c 02 x' 1 - v 2 / c 02 t'

E2 = -

==

1 1 - v 2 / c 02 1 1 - v 2 / c 02

[

A' 2 A'1 V' A' 2 v + ]+ [ ] y' y' t' x' 1 - v 2 /c 02

[E’2 + vB’3]

(6.13b)

çıkarırız. Benzer hesaplamalarla da E3 =

1 1 - v 2 / c 02

B1 = B’1

[E’3 – vB’2],

(6.13c) (6.14a)

ÖZEL RÖLATİVİTE

173

1

B2 =

1- v

B3 =

2

/ c 02

1 1 - v 2 / c 02

[B’2 -

v E’3] c 02

(6.14b)

[B’3 +

v E’2]. c 02

(6.14c)

olduğunu görürüz. (6.13a)-(6.14c) bağıntıları elektrik alanla magnetik indüksiyonun, kaynak dağılımından bağımsız olarak, biribirine dönüşmekte olduğunu göstermektedir. Bunların yanı sıra D = 0E ve H = B/0 bağıntıları da gözönüne alınırsa, 00 = 1/ c 02 olduğundan, 1

D1 = D’1, D2 =

1- v

2

/ c 02

[D’2 +

v v 1 H’3], D3 = [D’3 - 2 H’2], (6.15a) 2 2 2 c0 c0 1- v / c0

ve 1

H1 = H’1, H2 =

1 - v 2 / c 02

[H’2 -vD’3],

H3 =

1 1 - v 2 / c 02

[H’3 +vD’2]

(6.15b)

yazılır. Şimdi, dönüşüm kuralları (6.13a)-(6.15b) denklemleri ile belirlenen alan bileşenlerine J = rotH - D/t ve  = divD denklemleri ile bağlı olan kaynak yoğunluklarını gözönüne alalım ve bunların nasıl dönüşeceğini belirlemeye çalışalım.Gereken hesapları açıkça yaparak,    H3 H2 - D1 z y t   1 1 = [H’3 +vD’2] [H’2 -vD’3] 2 2 y' 1 - v / c 0 z' 1 - v 2 / c 02

J1 =

-v

-[

1- v

=

1 1- v

2

[ / c 02

v 2

1- v / c

=

1 1 - v 2 / c 02 1 1 - v 2 / c 02

/c 02

1   + ]D’1 2 2 t' x' 1- v / c0

   H’3- H’2- D’1] t' y' z'

+ =

2

J’1+

v 1 - v 2 / c 02

[ J’1+ ’v]

2 0

[

   D’1+ D’2+ D’3] y' x' z'

divD’ (6.16a)

ve J2 = J’2 ,

(6.16b)

J3 =J’3 ,

(6.16c)


174

 = divD 1

= [

1- v

2

/ c 02

 x'

+ =

1

[

1 - v 2 / c 02

 y'

 ]D’1 t'

v/c02 1- v

2

/c 02

1 1 - v 2 / c 02

1 1 - v 2 / c 02

v v  1 H’3] + [D’3 - 2 H’2] 2 c0 c0 z' 1 - v 2 / c 02

   D’1+ D’2+ D’3] y' x' z' +

=

[D’2 +

[’ +

v/c02 1 - v 2 /c 02

[

   H’3- H’2- D’1] t' y' z'

v J’1]. c 02

(6.17)

buluruz.(6.16a)-(6.17) dan açıkça anlaşılıyor ki; bileşenleri (J1, J2, J3, c0) olan vektör de (6.8c) ile belirlenen dönüşüm kuralına uymaktadır, yani bu vektör de dört boyutlu uzay-zamanın bir elemanıdır. Yukarıdaki incelemenin sonuçlarına bakarak diyebiliriz ki; elektromagnetik alanın elektrik ve magnetik alanlar şeklinde ikiye ayrılması tamamen yapaydır. Bir gözlemcinin saf elektrik alan şeklinde gözlediği bir olay bir başka gözlemci için magnetik alan da içeriyor olabilir.*Aynı şekilde, bir gözlemcinin saf yük yoğunluğu şeklinde gözlediği bir kaynak dağılımında bir başka gözlemci akım yoğunlukları da bulabilir.

Problemler Pr.-1.a) E = - A/t – gradV ve B = rotA denklemlerinin  t  K=  0  0

0  t 0

0 0  t

 x    y  ,  z 

 0  L =  z  y 

 z 0  x

 y  x

 0

0  0 0

operatörleri aracılığı ile E = KР ve B = LР şeklinde yazılabileceğini gösteriniz. Burada Р ile, (A1, A2, A3,V/c0) vektörü gösterilmektedir. b)T, (6.8c) deki dönüşüm matrisi; M ve N ise

M=

*

1 0  2 2 0 1 / 1  v / c 0  0 0

  , 2 2 1 / 1  v / c 0  0 0

N=

0 0  0 0  2 2 0  v/ 1 - v / c 0

 0  v/ 1 - v 2 / c 02   0 

Rowland çarkı bu türden olayların ilk deneysel kanıtını oluşturur. Bak. H.A.Rowland, Sitzber. Akad. Wiss.Berlin, s:211, 1876.

ÖZEL RÖLATİVİTE

175

ile tanımlı olmak üzere KT  MK’+ NL’ olduğunu gösteriniz ve bundan yararlanarak (6.13a,b,c) yi çıkarınız. d) LT  PL’ + QK’ olacak şekilde P ve Q matrislerinin bulunabileceğini gösteriniz ve bundan yararlanarak (6.14a-c) yi çıkarınız. Pr.-2. (6.13a)-(6.17) formüllerinin vektörel biçimde aşağıdaki gibi yazılabileceğini gösteriniz: 1

E’ =

1- v

/ c 02

1

D’ =

1

E + [1-

2

1- v

1- v

2

1- v

1- v 1 1- v

2

2

](J.v) / c 02

[ / c 02

1 c 02

v

2

1 v

2

v+

v

2

vB

1 - v 2 / c 02 1

v+

vH

1 - v 2 / c 02

v2

1

1

v +

1

](H.v) ](B.v)

1

1 v2

/ c 02

1 - v 2 / c 02 1

J’ = J - [1-

2

1

B + [1-

1 - v 2 / c 02

’ =

1

H + [1-

/ c 02

1

B’ =

](D.v)

1 - v 2 / c 02

1

H’ =

/ c 02

1

D + [1-

1 - v 2 / c 02

](E.v)

2

1

v+ 1

v+

1

vD ??

1 - v 2 / c 02

vE ??

1 - v 2 / c 02

v ??

1 - v 2 / c 02

(J.v)]

Pr.-3.Pr.-2 deki sonuçlara dayanarak E.v = E’.v, D.v = D’.v , H.v = H’.v , B.v = B’.v olduğunu gösteriniz. Pr.-4. Ox yönünde sabit v hızıyla hareket eden bir noktasal q yükünün yarattığı alana ilişkin alan çizgilerinin zamanla değişimini inceleyiniz.Eş-potansiyel yüzeyleri belirtiniz. Pr.-5. K ya göre sabit u hızıyla hareket eden bir noktasal q2 yüküne, K ya göre göre hızı v (=sabit) olan bir noktasal q1 yükünün etki ettirdiği kuvveti bulunuz. Pr.-6.Ox ekseni üzerinde sağa doğru sabit v’ hızıyla giden bir q’ yükü ile sola doğru sabit v’’ hızıyla giden bir q’’ yükü vardır.Bunların O noktasında bulunan bir q yüküne etki ettirdiği kuvveti bulunuz. q’= q’’ özel halinde v’’= v’ ve v’’= (-v’) durumlarını tartışınız. Pr.-7.Ox ekseni üzerinde, yoğunluğu ’ = sabit olan bir yük dağılımı vardır ve bu yük, bütünüyle, sabit bir v hızıyla Ox boyunca kaymaktadır. a)Görünen yük ve akım yoğunluklarını bulunuz. Bunlardan yararlanarak, doğrudan doğruya, elektromagnetik alanın açık ifadesini yazınız. bYükle birlikte hareket eden K’ sisteminde alanın ifadesini yazınız ve bunu K ya dönüştürerek (a) daki sonuçları yeniden bulunuz.

6.5. Elektromagnetik Alanın Bağıl Görünümünün Bazı Sonuçları Belirli bir elektromagnetik alanın K ve K’ sistemlerindeki ifadeleri arasında var olan ilişkilerin bilinmesi, bu büyüklüklerle ifade edilen diğerleri arasındaki ilişkilerin de


176

açığa çıkarılmasına yardımcı olacaktır. Bunlar arasında en büyük öneme sahip bulunan kuvvet ve kütledir. Aşağıda bunlara değineceğiz. 6.5.1.Elektrik yükünün değişmezliği (gereksiz) K sistemine göre sabit v hızıyla hareket eden elektriklenmiş bir U’ cismini göz önüne alalım. U’ önceki bölümlerde sözü edilen K’ referans sisteminin yerini alacaktır. U’ deki elektrik yükün yoğunluğu t’ den bağımsız olsun. Bu yoğunluğun K daki ifadesi, (6.17) uyarınca, (x,y,z,t) =

 ' (x' , y', z' )

(6.18a)

1 - v 2 / c 02

den ibarettir. Bu halde, aynı zamanda dxdydz = dx’dy’dz’ 1  v 2 / c 02 olduğundan (bak. Böl.6.3.2, Pr.-2), (x,y,z,t)dxdydz = (x’,y’,z’) dx’dy’dz’

(6.18b)

yazılır. Bu eşitliğin bütün uzaya yayılmış integrali sağ tarafta U’ hacmının içine, sol tarafta da U’ nün K dan gözlenen eşiti olan U hacmına indirgenir. Ilk integral, tanım uyarınca, cismin sahip olduğu toplam yükün K’ den gözlenen değeri olan Q’ ye, ikinci integral ise aynı yükün K dan gözlenen değeri olan Q ye eşittir. Apaçık bir şekilde Q = Q’ (6.18c) dir.Bu, izole bir cimin üzerindeki elektrik yükünün bütün Galile sistemlerinde aynı değere sahip olduğunu (yani hızla değişmediğini) ifade eder*. Pr.-1.O’K’ noktasında bir noktasal q yükü bulunsun. Buna ait yoğunluğun K ve K’ deki ifadelerini açıkça yazınız. Bu yoğunlukları bütün uzayda integre ederek toplam yükün değerini bulunuz. 6.5.2. Kuvvetin dönüşümü (özel hal) Bir elektromagnetik alanda serbest halde hareket edebilen bir noktasal q yükünü göz önüne alalım. Bu yükün K ve K’ sistemlerindeki hızı, sırayla, u ve u’ ile gösterilirse, etkisi altında bulunduğu kuvvetin K ve K’ deki ifadeleri, (3.1) ve (6.18c) uyarınca, F = q [E + u  B]

(6.19a)

F’= q [E’+ u’  B’]

(6.19b)

şeklinde yazılır.(6.13a)-(6.15b) bağıntılarını göz önüne alarak (6.19a,b) de E, E’, B ve B’ yü yok edebilirsek, F ile F’ arasında bir lineer bağıntı elde ederiz. u ve u’ ye bağlı olarak ortaya çıkacak olan bu bağıntı herhangi bir kuvvet alanının K ve K’ deki ifadelerini biribirine dönüştüren genel bir bağıntı olacaktır. Biz burada bu genel hali göz önüne almak istemiyoruz. Göz önüne almak istediğimiz özel hal, yükün K’ siste*

Böl.1.5, formül (1.9) ve Böl.6.5.3 formül (6.22) ile karşılaştır.

ÖZEL RÖLATİVİTE

177

mindeki hızının sıfıra eşit olduğu haldeki F ve F’ değerlerini biribirine dönüştüren bağıntıdır. Yukarıda sözü edilen özel halde u’= 0 ve, dolayısıyla, u = v olacaktır.Bu halde E’ nün Böl.6.4 Pr.-2 deki ifadesi (6.19b) ye taşınırsa, F’ = q{

1 1- v

2

E + [1/ c 02

1 1- v

2

](E.v) / c 02

1 v

2

1

v+

1 - v 2 / c 02

vB} (6.19c)

yazılır. (6.19a) nin v ile skaler çarpılmasından elde edilen F.v = qE.v bağıntısını ve bizzat (6.19a) nın kendisini kullanarak (6.19b) ile (6.19c) arasında E ve B yi yok edebiliriz. Sonuçta F’ =

1

1

F + [1-

1 - v 2 / c 02

](F.v)

1 - v 2 / c 02

1 v2

v

(6.19d)

bulunur. Bu, K’ sistemindeki hızı sıfır olan bir noktaya etki eden kuvvetin dönüşüm formülüdür. (6.19d) nin iki yanının v ile skaler çarpımı F’.v = F.v

(6.19e)

olduğunu gösterir. Bunu gözönünde bulundurarak (6.19d) den F yi çözecek olursak, F = 1  v 2 / c 02 F’ + [1- 1  v 2 / c 02 ](F’.v)

1 v2

v

(6.19f)

bulunur. (6.19d) ve (6.19f) kullanılırken, F’ nün ölçüldüğü sistemde ölçü yapıldığı anda noktanın hızının sıfıra eşit olduğunun varsayıldığı unutulmamalıdır. Problemler Pr.-1. F’// v ve u’ = 0 ise F = F’ olduğunu gösteriniz. Pr.-2. Fv ve u’ = 0 ise F’ = F / 1  v 2 / c 02 olduğunu gösteriniz. Pr.-3. K da duran noktasal q1 yükünün noktasal q2 yüküne uyguladığı F12 kuvvetinin, q2 nin hareketli olup olmamasından bağımsız olduğunu gösteriniz. 6.5.3. Kütlenin hızla değişimi Sükûnetteki kütlesi m0 olan ve belirli bir kuvvet alanının etkisinde bulunan bir maddesel nokta gözönüne alalım. Kuvvet alanının etkisi ile bu nokta harekete geçecek ve hız kazanacaktır. Kuvvet ile hız arasındaki bağıntı Newton hareket yasasıdır (bak. Böl.1.5): F=

d (mu). dt

Buradaki m, u hızının henüz bilinmeyen bir fonksiyonudur ve Böl.6.1 uyarı-4a ya uygun olarak belirlenecektir. m(u) yu oldukça basit bir hesapla bulabilmek için F//Ox ve v//Ox olan özel hali gözönüne alalım.K ya göre sabit bir v = vex hızıyla hareket etmekte olan K’ sistemin-


178

de söz konusu noktanın hızı u’ = u’ex ise, Böl.(6.1) uyarı-4a uyarınca* F’ =

d [m(u’)u’] dt

yazılacaktır. Şimdi m(u)u = f(u) koyalım ve, u’ =

u-v , 1  uv/c o2

t’ =

t  (v/c 02 )x 1 - v 2 / c 02

(6.20)

olduğunu göz önüne alarak F’ =

d df(u' ) du' du dt f(u’) = dt du' du dt dt' =

vu v2 df(u' ) du {1- 2 }3 / 2{1- 2 }-3 c0 c0 du' dt

(6.21a)

yazalım.Hareket süresince x = x(t) olduğundan (veya, bilindiğinden), (6.20) deki ikinci eşitliğin sağ yanı sadece t nin fonksiyonudur ve dt’/dt = (1-vu/ c 02 )/ 1  v 2 / c 02 dir. Benzer şekilde, d df(u) du F= f(u) = (6.21b) dt du dt dır. Şimdi, K’ nün v hızının öyle seçilmiş olduğunu düşünelim ki; belirli bir t anında u(t) = v olsun. Bu anda, (6.20) uyarınca u’ = 0 dır ve durum Böl.6.5.2. Pr.-1 de sözü edilen özel hale uygundur. Bu demektir ki; söz konusu andaki değerler için F = F’, veya daha açık olarak, 2 d df(u' ) f(u) = [ ]u’=0 {1- v 2 }- 3/2 c0 dt du'

(6.21c)

dir. Bu bağıntıdaki u tamamen keyfidir. v yi uygun seçerek her u için bu eşitliğin sağlandığı gösterilebilir. Başka bir deyişle, (6.21c) her u için sağlanan bir diferansiyel denklemden başka bir şey değildir. Bunun integrasyonu ile, hemen, f(u) = C

u 1 - u 2 / c 02

+ C1,

(C = [df(u)/du]u=0 )

yazılır.C ve C1 belirlenecek iki sabittir.u 0 için f(u) 0 ve f(u)/u m0 olduğundan, C1= 0 ve C = m0 olur ve

*

Aşağıda sadece Ox ve O’x’ üzerindeki bileşenler gözönüne alınıyor

ÖZEL RÖLATİVİTE

179

m(u) =

m0

(6.22)

1 - u 2 / c 02

yazılır. Bu formül, sükûnetteki kütlesi m0 olan bir maddesel noktanın, hızı u ya eriştiği zaman sahip olacağı kütleyi verir ve böl.6.1 uyarı- 4a da sözü edilen varsayımın en önemli sonuçlarından birini oluşturur*.

Problemler Pr.-1. Sükûnetteki kütlesi m0 olan bir elektron bir elektromagnetik alan içinde bulunsun ve v hızına sahip olsun.Bu halde d (mc02) = - ev.E dt olduğunu gösteriniz. Pr.-2.Sükûnetteki kütleleri m1 ve m2 olan iki maddesel noktanın elastik çarpışması şu özelliklerle belirlidir: i) Çarpışmadan sonra iki nokta birbirinden ayrılmıştır, ii) noktaların sükûnetteki kütleleri değişmemiştir, iii)kinetik enerjilerin toplamı değişmemiştir. Şunları ispat ediniz: Bir elestik çarpışmada a) toplam kütle (veya, toplam enerji) değişmez, b) toplam momentum değişmez. 6.5.4 Görünen bünye bağıntıları K sistemine göre sabit bir v hızıyla hareket halinde bulunan bir basit U’ hacmının U’ ye bağlı bir K’ sisteminde yazılan bünye denklemleri D’ = E’,

B’ = H’, J’ = E’

(6.14)

olsun.Bu cismin bünyesinin, K sisteminde duran gözlemcilere göre nasıl göründüğünü bulmaya çalışalım. Önce (6.14) deki son bağıntıyı göz önüne alalım. Bölüm 6.4 Pr.-2 deki beşinci bağıntı ters çevrilirse, ’ = 0 olduğu için, 1

J = J’ - [1-

1- v

2

/ c 02

](J’.v)

1 v2

v

yazılır. Burada J’ = E’ konduktan sonra, E’ yerine Bölüm 6.4 Pr.-2 deki ifade konursa, apaçık gözüken sadeleştirmeler yapıldıktan sonra J=

*

 1 - v 2 / c 02

[ E + vB]

(6.15a)

Bu formülüm doğruluğu deneylerle de kanıtlanmıştır. Bak. W.Gerlach, Handbuch der Phys.,22, 61 (1926). Elektronun kütlesinin hızla değiştiği Einstein postülasının ortaya atılmasından önce farkedilmiştir.Bak. W.Kaufman, Gött. Nach. Math.-nat. Kl., 143 (1901).


180

bulunur. Bu, K daki gözlemcinin ölçtüğü toplam akımdır. K daki gözlemci U’ cisminin içinde, sıfırdan farklı bir  yoğunluğuyla yayılı bir yük de gözlediği için, J yi, J = Ji + v şeklinde düşünmek gerekir. İletimden ileri gelen ve U’ nün K dan görünen bünyesinin bir sonucu olan akım Ji dir. Bölüm 6.4 Pr.-2 deki altıncı satırın ters çevrilmesiyle bulunan =

1

1

c 02

1 - v 2 / c 02

= =

(J’.v)

1



c 02

1 - v 2 / c 02

1



c 02

1 - v 2 / c 02

(E’.v) (E.v)

bağıntısı da göz önünde bulundurulursa (burada ’ = 0 olduğu gözönüne alınmıştır), Ji = J - v veya Ji =

 1 - v 2 / c 02

[ E + vB -

1 c 02

(E.v)v]

(6.15b)

bulunur. Bu, bulmak istediğimiz bünye bağıntısıdır. Şimdi de (6.14) deki ilk bağıntıyı ele alalım. D’ ve E’ yerine Bölüm 6.4 Pr.-2 deki ifadeler konursa ve D.v = D’.v = E’.v = E.v

(6.16)

olduğu da göz önünde bulundurulursa, D+

1 c 02

vH = [E + vB]

(6.17a)

yazılır.Benzer şekilde, B’ = H’ dan da H -vD =

1 

[B -

1 c 02

vE]

(6.17b)

çıkar. Bu bağıntılar U’ cisminin K dan gözlenen bünye bağıntılarıdır. Bu bağıntılarda elektromagnetik alanın dört temel büyüklüğü birlikte yer aldığı için, bunlar yoruma pek elverişli değildirler. Bu nedenle, daha uygun ifadeler elde etmek amacıyla, (6.17a) da gözüken H yerine (6.17b) den çıkarılacak olan ifadeyi, (6.17b) de gözüken D yerine de (6.17a) dan çıkan ifadeyi koyalım ve sonuçları aşağıdaki gibi düzenleyelim: 1 1 1 D = E + [ ] vB + 2 v[ 2 vE - vD] 2 c0 c0 μc 0

ÖZEL RÖLATİVİTE

181

1 1 1 B + [ ] vE + v[vB - 2 vH]. 2 μ c0 μc 0

H=

Buradaki iki katlı vektörel çarpmaları v(vE) = (v.E)v – v2E gibi açtıktan sonra (6.16) yı ve buna benzer şekilde çıkarılabilecek olan H.v =

1 B.v 

(6.18)

yi kullanacak olursak, bu bağıntıları D=



{(1-

1 - v 2 / c 02 H=

1/  1 - v 2 / c 02

v2 c 04

)E + (1-

1 c 02

{(1-v2)B + ( -

1 c 02

)[vB -

1 c 02

(E.v)v]}

)[vE + (B.v)v]}

(6.19a)

(6.19b)

şeklinde yazabiliriz. Bunlar, U’ cisminin K dan gözüken bünye bağıntılarının ikisini oluştururlar ve D ile H yı E ile B cinsinden yazmak olanağını verirler.


182

YEDİNCİ BÖLÜM EK

BAZI MATEMATİK HATIRLATMALAR

7.1. Egrilerin Parametrik Gösterilimi t, sonlu veya sonsuz bir aralıkta değişen herhangi bir parametre olmak üzere, t nin sürekli fonksiyonları olan f(t), (t) ve (t) fonksiyonlarını gözönüne alalım.(x,y,z) kartezyen koordinatları, sırayla, f(t), (t) ve (t) ye eşit olan P(x,y,z) noktası, t değiştikçe uzayda sürekli bir biçimde konum değiştirir ve, genellikle, sadece uzunluğu söz konusu olan bir bölgeyi doldurur.Bu bölge bir eğri adını alır. x = f(t),

y = (t),

z = (t)

(7.1)

denklemleri söz konusu eğrinin parametrik denklemleridir.Biz, aksi söylenmedikçe, f(t), (t) ve (t) fonksiyonlarının türevlerinin de var ve sürekli olduklarını düşüneceğiz. Şimdi, parametrik denklemleri (7.1) şeklinde verilen bir C eğrisi üzerinde birbirine çok yakın P ve P’ noktalarını göz önüne alalım. P noktası parametrenin t değerine, P’ noktası ise t + t değerine karşı gelsin. PP’/t vektörünün bileşenleri

f (t  t )  f (t ) (t  t )  (t ) , , t t

ψ(t  t )  ψ(t ) t

(7.2)

dir. t0 yapılarak P’ noktası P ye yaklaştırılacak olursa, PP’/t vektörü C ye P noktasında teğet olan bir vektör haline gelir (bak. Şekil-7.1). Bu halde (7.2) nın limiti de f’(t), ’(t) ve ’(t) olur. Bu demektir ki; bileşenleri f’(t), ’(t) ve ’(t) olan t vekt

C

P (t)

P’ (t+t)

Şekil-7.1

ÖZEL RÖLATİVİTE

183

törü C eğrisine P(f, , ) noktasında teğettir ve t nin yönü t parametresi arttıkça C üzerinde P nin ilerleyeceği yöndür. C üzerinde belirli bir P0 noktasından itibaren ölçülen yay uzunluğu s olsun. C nin parametrik denklemleri s aracılığı ile de yazılabilir. Bu halde, yukarıda sözü edilen t teğet vektörü de birimsel bir vektör olur: 2

2

2

 dx   dy   dz  t.t =   +   +   .  ds   ds   ds 

(7.3)

Örneğin, a,a0, ... , c0 sabit sayılar olmak üzere, parametrik denklemleri x = at + a0,

y = bt + b0,

x = ct + c0,

t( - , )

olan eğri t(a,b,c) ye paralel olan ve P0(a0, b0, c0) dan geçen bir doğru çizgidir.Benzer şekilde, a>0 bir sabit olmak üzere, x = acos,

y = asin,

z=c,

( 0, 2)

denklemleri ile tanımlı olan eğri, z = c düzleminde, a yarıçaplı bir dairedir. Buna,  = 0 a karşı gelen P0 noktasında teğet olan bir vektör t (-asin0, bsin0, 0) dır.  arttıkça P(x,y,z) noktası t nin gösterdiği yönde, yani saat ibrelerinin döndüğü yönün tersine, ilerler. Problemler Pr.-1. Parametrik denklemleri x = acos, y = bsin, z = 0 , ( 0, 2) olan eğriyi çiziniz. Bunun,  = 0 daki teğetinin denklemini yazınız. Pr.-2. Parametrik denklemleri x = acos, y = bsin, z = c , ( 0, ) olan eğrinin bir gösterilimini çiziniz. Bir  = 0 noktasındaki teğetinin denklemini yazınız. 7.2. Egri boyunca türev ve gradyant kavramı Bir f(x,y,z) fonksiyonu ve parametrik denklemleri x = x(s),

y = y(s),

z = z(s)

olan bir C eğrisi göz önüne alalım. S, C üzerindeki yay uzunluğudur. C üzerindeki noktalarda f(x,y,z) fonksiyonunun sahip olduğu değer sadece s nin verilmesi ile belirtilmiş olur. Başka bir deyişle, f(x,y,z) fonksiyonu C üzerinde s nin bir fonksiyonudur ve F(s) ile göstereceğimiz değeri F(s) = f(x(s),y(s),z(s))

(7.4)

Den ibarettir. F(s) nin s ye göre türevine f(x,y,z) fonksiyonunun C boyunca alınmış türevi adı verilir. Örneğin, C eğrisi, denklemleri x = t, y = 0, z = 0 olan apsis ekseninden ibaret ise, s = x dir. Bu halde F(s) = f(x,0,0) olup bunun F’(s) türevi f(x,y,z)


184

fonksiyonunun (x,0,0) noktasında alınmış f/ kısmi türevinden başka bir şey değildir. (7.4) ün türevi, bilinen türetme kuralları ile hesaplanırsa F’(s) =

f z f y f x + + z s y s x s

(7.5)

Bulunur.Sağ yanda, C nin t birim teğet vektörünün bileşenleri apaçık gözükmektedir. Bu vektör, bileşenleri (f/x, f/y, f/z) olan vektör ile skaler çarpılmıştır.Bu sonuncu, f fonksiyonunun gradyantı adını alır ve gradf ile gösterilir: gradf =

f f f ex + ey + ez . z y x

(7.6)

f(x,y,z) fonksiyonunun bir C eğrisi boyunca alınmış türevi, genellikle, f/s şeklinde yazılır. Yukarıdaki açıklamalara göre f df (x(s), y(s), z(s)) = = gradf . t s s

(7.7)

dir. Şimdi, bir P0(x0, y0 ,z0) noktasından geçen ve f(x,y,z) = f(x0, y0 ,z0) = 0, (0 = sabit) denklemi ile belirli olan S yüzeyini göz önüne alalım. Bu yüzey üzerinde bulunan ve gradf t S P0

L

Şekil-7.2 P0 dan geçen herhangi bir L eğrisinin parametrik denklemleri de L : x = x(s), y = y(s), z = z(s) olsun (bak. şek.-7.2). L eğrisi S üzerinde bulunduğundan, s nin her değeri için, özdeşleyin f(x(s),y(s),z(s))  0

ÖZEL RÖLATİVİTE

185

dır.Bunun s ye göre alınmış türevi de özdeşleyin sıfır olacağından, (7.7) uyarınca, gradf . t  0 yazılır. Bu eşitlik L nin her noktasında, özellikle de P0 da sağlanır ve gradf nin t ye dik olduğunu gösterir. Şimdi, P0 dan geçen değişik L eğrilerini düşünelim. Gradf vektörü bunların hepsinin teğetlerine dik olmak zorundadır. Bu ise, gradf vektörünün S yüzeyine dik olması demektir. Başka bir deyişle, bir f(x,y,z) fonksiyonunun bir P 0 noktasındaki gradyant, P0 dan geçen f = sabit yüzeyinin P0 daki normal’ine paraleldir. Şimdi, (7.7) bağıntısına tekrar dönelim.Orada sözü edilen C eğrisi bir f = sabit yüzeyi üzerinde bulunmasın. (7.7) nin sol yanı f(x,y,z) fonksiyonunun s artttıkça nasıl arttığını, daha doğrusu, C üzerindeki artış hızını ifade etmektedir. Eşitliğin ikinci yanında bulunan t vektörünün birim vektör olduğunu göz önünde bulundurarak diyebiliriz ki; bir P0 C noktasında t vektörü gradf ye paralel ve aynı yönde ise, P0 noktasında f fonksiyonu s ile aynı yönde artar ve artış hızı maksimumdur. Gradyant vektörünün bu özelliği bazı fizik büyüklüklerin yorumu bakımından çok önemlidir. Problemler Pr.-1. grad(fg) = fgardg + ggradf olduğunu gösteriniz. Pr.-2. gradf(g) = (f/g) gradg olduğunu gösteriniz. Pr.-3. (,,z) dairesel silindirik koordinatlar, (r,,) de küresel koordinatlar olsun ve bu sistemlerin birim koordinat vektörleri e, e, ... ile gösterilsin.Aşağıdaki bağıntıların doğru olduğunu gösteriniz: A) gradr = er, grad = e, grad = e / r, grad = e /  B) grad f(,,z) = (f/)e + (f/)(e / ) + (f/z)ez C) grad f(r,,) = (f/r)er + (f/)(e / r) + (f/)e . Pr.-4. Gradyantın özelliklerinden yararlanarak gösteriniz ki; odakları A ve B olan bir elipsin bir P noktasındaki narmalı APB açısının ortayıdır. Hiperbol halinde P deki teğet APB açısını ortalar.Bu özelliklere sahip bulunan başka eğriler yoktur. Pr.-5. A1 ve A2 gibi sabit iki noktaya uzaklıklarının oranı sabit olan P noktalarının geometrik yeri  dairesi olsun. A1P ve A2P ye, sıra ile, A1 ve A2 den çizilen dikmelerin kesişme noktası C olduğuna göre, PC doğrusunun  ya teğet olduğunu gösteriniz (Roberval yöntemi).



P A1

A2

C


7.3. Bir vektörün diverjans ve rotasyoneli

186

Elektromagnetik Alan Teorisi - Mith=WluLnBkZg=-2_2.pdf

Recommend Documents