Elektromanyetik Alan Teorisi - Fatih Üniversitesi Özet Ders Notları

Vektörel Analiz

Vektörel Analiz

Kartezyen Koordinat Sistemi

VEKTÖREL ANALİZ AB  BA A  (B  C)  (A  B)  C

Yer değiştirebilir Birleştirilebilir

Vektörlerin skalerle çarpımı da yer değiştirebilir yada birleştirebilir

(   )(A  B)   A   B   A   B EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

1

EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

Vektörel Analiz

2

Vektörel Analiz

Kartezyen Koordinat Sistemi

Vektör Bileşenleri ve Birim Vektörleri

r  rxa x  ry a y  rz a z rx , ry , rz

Skaler bileşenler

ax , a y , az

Birim vektörler


FATİH UNIVERSITY

3


Vektörel Analiz

FATİH UNIVERSITY

4

Vektörel Analiz

Vektörün Genliği

r  rx 2  ry 2  rz 2 B vektörü yönündeki birim vektör

aB 

B B

Şayet r konum vektörü ise vektörel alan fonksiyonel notasyonda F(r) ile ve skaler alan T(r) ile ifade edilir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

5


FATİH UNIVERSITY

6

1

Vektörel Analiz

Vektörel Analiz

Noktasal Çarpım:

Bir vektörün skaler bileşenini bulmak için:

A  B  A B cos  AB

Sonuç herzaman skaler

AB  B A

Yer değiştirebilir

By  B  a y

Şayet 0   Ba  90 sonuç positif olur. Şayet 90   Ba  180 sonuç negatif olur.

Üç boyutlu uzayda

A  Ax a x  Ay a y  Az a z

Birim vektörlerin noktasal çarpımları

B  Bxa x  By a y  Bz a z A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz

ax  a y  0

A  A  Ax2  Ay2  Az2  A

ax  ax  1


2

FATİH UNIVERSITY

7


Vektörel Analiz

FATİH UNIVERSITY

8

Vektörel Analiz

Vektörel Çarpım: Sonuç herzaman vektöreldir!

A  B  a N A B sin  AB aN normal vektördür

aN

Vektörel çarpımda yer değiştirilemez

A  B  B  A EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

9


Vektörel Analiz

FATİH UNIVERSITY

10

Vektörel Analiz

Vektörel Çarpım:

A  B  ( Ay Bz  Az By )ax  ( Az Bx  Ax Bz )ay  ( Ax By  Ay Bx )az Vektörel çarpım determinant yardımıyla kolayca bulunur

ax

ay

az

A  B  Ax

Ay

Az

Bx

By

Bz


ax  ax  0 ax  a y  az

FATİH UNIVERSITY

11


FATİH UNIVERSITY

12

2

Vektörel Analiz

Silindirik Koordinat Sistemi:


Vektörel Analiz


Bir dairesel silindir

Bir dairesel silindir

Bir yarım  -düzlemi

Bir yarım  -düzlemi

Bir z -düzlemi

Bir z -düzlemi

FATİH UNIVERSITY

13


Vektörel Analiz


FATİH UNIVERSITY

14

Vektörel Analiz

Silindirik koordinatlarda diferansiyel eleman

dv   d    d  dz    d  d dz Birim vektörler: a  , a , a z

Küpün renkli yüzeyi dS   d  d a z

a   a  a z


FATİH UNIVERSITY

15


Vektörel Analiz

FATİH UNIVERSITY

16

Vektörel Analiz

Kartezyen Koordinat sistemi ile ilişkisi: x   cos  y   sin  zz

yada

  x2  y 2   tan 1

y x

zz EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

17


FATİH UNIVERSITY

18

3

Vektörel Analiz

Vektörel Analiz

Küresel Koordinat Sistemi:

Merkezi orijinde olan bir küre Merkezi orijinde olan bir koni Bir yarım  -düzlemi


FATİH UNIVERSITY

19


Vektörel Analiz

Küresel Koordinat Sistemi:

FATİH UNIVERSITY

20

Vektörel Analiz

Küresel koordinatlarda diferansiyel eleman

Birim vektörler:

a r , a , a

a r  a  a


FATİH UNIVERSITY

21


Vektörel Analiz

FATİH UNIVERSITY

22

Vektörel Analiz

Kartezyen Koordinat sistemi ile ilişkisi: r  x2  y 2  z 2 z

  cos 1   tan 1

x2  y 2  z 2 y x

yada

x  r sin  cos  y  r sin  sin  z  r cos EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

23


FATİH UNIVERSITY

24

4

Vektörel Analiz


FATİH UNIVERSITY

25

5

Coulomb Yasası ve Elektrik Alan Şiddeti


FATİH UNIVERSITY


1



FATİH UNIVERSITY

FATİH UNIVERSITY

FATİH UNIVERSITY

2


3





FATİH UNIVERSITY

4


5


FATİH UNIVERSITY

6

1



Orijinde Olmayan Yüklerin Coulomb Kuvvetleri

Deneysel Coulomb Yasası Q1 +

Q2 +

R

F

Q1Q2 4 0 R 2

F2 

F

Q1Q2 a12 4 0 R122

[N] a12 

Burada

R12 R r r  12  2 1 | R12 | R12 | r2  r1 |

Ortamın serbest uzayda veya boşluktaki elektriksel geçirgenliğidir.


FATİH UNIVERSITY

7



Q yükünü küresel koordinat sistemin merkezine yerleştir, o zaman

Q1’den test yük Qt’ye uygulanan kuvveti düşünün.

E

Q1Qt a1t 4 0 R12t

Q ar 4 0 r 2

E’nin P noktasında sadece radyal bileşeni mevcuttur.

Er  Birim test yükteki kuvvet elektrik alan şiddeti olarak tanımlanmaktadır.

E

8


Elektrik Alan Şiddeti

Ft 

FATİH UNIVERSITY

Ft Q  aR Qt 4 0 R 2

Aynı şeyi kartezyen koordinat sisteminde yazmayı deneseydik:   Q x y z  E ax  ay  az  4 0 ( x 2  y 2  z 2 )  x 2  y 2  z 2 x2  y 2  z 2 x 2  y 2  z 2 

[V/m]


Q 4 0 r 2

FATİH UNIVERSITY

9



FATİH UNIVERSITY

10


Alanların Süperpozisyonu Her iki yükün elektrik alanı doğrusaldır.

E(r ) 

Q1 Q2 a1  a2 4 0 | r  r1 |2 4 0 | r  r2 |2

Şayet n noktasal yük var ise n

E(r )   m 1


Qm am 4 0 | r  rm |2

FATİH UNIVERSITY

11


FATİH UNIVERSITY

12

2


Hacimsel Yük Dağılımı


Diferansiyel Yüzeyler ve Hacim

Küçük bir Δv hacmin içindeki küçük bir ΔQ yükü

Q  v v Burada hacimsel yük yoğunluğu ρv

v  lim

v 0

Q v

Sonlu bir hacim içindeki toplam yük

Q

  dv v

vol EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

13


FATİH UNIVERSITY

15


Örnek: 2006 Final sınav sorusu


FATİH UNIVERSITY

14







FATİH UNIVERSITY

16


Örnek: 2008 Birinci Vize sınav sorusu

FATİH UNIVERSITY

17


FATİH UNIVERSITY

18

3



Örnek: Silindirik elektron kümesi

Çizgisel Yük ve Elektrik Alanı

Aşağıda gösterilen 2-cm uzunluğundaki elektron demetinin hacimsel yük yoğunluğu

ise toplam yükü bulun.

E  0 Ez  0 E  0

E


FATİH UNIVERSITY

19



L a 2 0 

FATİH UNIVERSITY

20


Hacimsel Yük Yoğunluğunun Elektrik Alanı rꞌ noktasında bulunan artımsal bir ∆Q yükünün r noktasında ürettiği artımsal elektrik alanı

sıfıra yakınsarken hacimsel bir yük yoğunluğundan kaynaklanan toplam elktrik alan artımsal elektrik alanın integrali ile elde edilir.


FATİH UNIVERSITY

21



Şayet

Ey  0

E 

y

Ez  0

xa

Şayet

S 2 0

a

x

E = E+ + E- = 0 Şayet

 E  S aN 2 0 FATİH UNIVERSITY

xa

S  a x E   S a x 2 0 2 0

E = E+ + E- = 0

Ex  0


22


Tabaka Yükü ve Elektrik Alan

Ex 

FATİH UNIVERSITY

z

ρs

-ρs

E 

0 xa

S

2 0

ax

E = E + + E- = 23


E  S a 0 x

S

2 0

ax

FATİH UNIVERSITY

24

4



FATİH UNIVERSITY

25

5

Elektrik Akı Yoğunluğu, Gauss Yasası, ve Diverjans


Faraday’ın Deneyi, Topraklamadan Önce

Faraday’ın Deneyi

İç küredeki yük, Q, eşit ve zıt bir yükü, -Q, dış kürenin iç yüzeyinde serbest elektronları pozitif yüke doğru çekerek indükler. Doğal olarak dış kürenin dış yüzünde topraklanmadan önce +Q yükü oluşur.

İki eşmerkezli iletken küre kullanılarak 1. +Q yükünü küçük küreye yükleyin 2. Büyük yarım küre ile kapatın 3. Dışardaki küreyi kısa süreliğine topraklayın 4. –Q yükü dış kürede birikecektir EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

1



FATİH UNIVERSITY

2


Faraday’ın Deneyi, Topraklamadan Sonra

Faraday’ın Deneyi

Dış küre topraklanınca dış kürenin dışındaki pozitif yük nötrleşir. Dış küredeki net yük iç yüzeydeki –Q yüküdür.

Faraday, iç küreden dış küreye doğru bir yük “yerdeğişimi” olduğu sonucun Yerdeğişimi bir akım yada akı,  gerektirmektedir. Dielektrik içerisindeki bu akı “yerdeğiştiren” yük ile eşit miktardadır.

Buradan:


FATİH UNIVERSITY

3



4


Noktasal Yük İçin Elektrik Akı Yoğunluğu

Elektrik Akı Yoğunluğu

Şayet iç kürenin yarıçapını yük miktarını sabit tutarak küçültüp bir nokta haline getirirsek ve dış kürenin yarıçapını sonsuza yaklaştırırsak noktasal bir yük elde ederiz. Elektrik akı yoğunluğu tüm uzayda tanımlı olur ve değişmez.

İki küre arasındaki genel bir yarıçap r mesafesinde [C/m2]

FATİH UNIVERSITY

(a ≤ r ≤ b) aralığında tanımlıdır.

C/m2 (0 < r < ∞ ) Serbest uzaydaki elektrik alan şiddeti ile kıyaslarsak:

V/m (0 < r <∞ ) ..görürüzki: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

5


FATİH UNIVERSITY

6

1



Yük Dağılımlarından Alanlar

İkinci ünitede:

Kıyaslayarak:


FATİH UNIVERSITY

7



FATİH UNIVERSITY

8


Gauss Kanunu

Gauss Kanunu

Kapalı bir yüzeyi terk eden elektrik akı yüzeyin içinde barındırdığı toplam yüke eşittir. Buradaki yük noktasal yükler cinsinden olabilir, Diferansiyel bir vektörel alanın tanımı

Burada n yüzeyden dışa doğru olan normal vektördür, ve dS yüzeydeki diferansiyel paranın alanıdır.

Yada sürekli bir yük dağılımından: Çizgisel yük: Yüzeysel yük: Hacimsel yük: Hacimsel bir yük için:


FATİH UNIVERSITY

9



FATİH UNIVERSITY

10


Gauss Kanunu Kullanarak Bir Yüzeyde D Hesabı

Difarensiyel alanlar ve hacim

Gauss kanunu kullanarak bilinen Q ile D’nin çözümü: burada

Seçilen Gauss yüzeyinin aşağıdaki iki şartı sağlamasıyla çözüm kolaylaşır 1. 2.

Seçilen yüzeyde DS yüzeyin heryerinde ya normal yada teğetsel olmalı ki, DS·dS sonucu DSdS yada sıfır olsun. Seçilen kapalı yüzeyde DS·dS sonucunun sıfır olmadığı yerlerde, DS sabit olmalı.

Bu durumda integral basitleşerek: Sonuçta: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

11


FATİH UNIVERSITY

12

2


Gauss Kanunun Noktasal Bir Q Yüküne Uygulanışı Noktasal bir yük için uygun olan Gauss yüzeyi bir küredir


Gauss Kanunun Noktasal Bir Q Yüküne Uygulanışı İntegrand:

Radyal akı yoğunluğu ile başla: ve yarıçapı a olan ve yükü sarmalayan küresel bir yüzey düşünün, burada:

İntegralini alırsak:

= Yüzeydeki diferansiyel alan:

=

dışa doğru olan birim vektör ile vektörel alan:


FATİH UNIVERSITY

13



FATİH UNIVERSITY

14 14


Gauss Yasasının Çizgisel Bir Yüke Uygulanışı Düzgün çizgisel bir yük L z-ekseni boyunca  z  yerleştirilmiştir. Uygun bir Gauss yüzeyi seçmek için öncelikle düşünmemiz gereken : 1. Hangi koordinat sisteminde alan değişmektedir? 2. D’nin hangi bileşenleri mevcuttur?

Çizgisel bir yükten elektrik alanın radyal yönde (z-eksenine normal) olduğunu biliyoruz:

ve bu alan sadece silindirin yarıçapına bağlı: Özetle yarıçapı  ve uzunluğu L olan silindirik bir yüzey seçmeliyiz. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

15



Gauss Yasasının Çizgisel Bir Yüke Uygulanışı

FATİH UNIVERSITY

16


Gauss Yasasının Koaksiyel Bir Kabloya Uygulanışı z-ekseni boyunca yerleştirilmiş iki eş merkezli iletken silindir var. Yüzey yük yoğunluğu S sadece iç silindirin dış yüzeyinde mevcuttur. Yapı itibarı ile -yönünde bir alan beklenmekte ve bu çizgisel yükte olduğu gibi sadece  ile değişkendir. Bu yüzden uzunluğu L ve yarıçapı  olan bir silindiri Gauss yüzeyi olara seçiyoruz. Burada a <  < b. Gauss kanununun sol tarafı:

…ve sağ tarafı:


FATİH UNIVERSITY

17


FATİH UNIVERSITY

18

3


Gauss Yasasının Koaksiyel Bir Kabloya Uygulanışı


Gauss Yasasının Koaksiyel Bir Kabloya Uygulanışı

Şimdi akı youğunluğunu bulabiliriz:

ve elektrik alan şiddeti:


FATİH UNIVERSITY

19



FATİH UNIVERSITY

20


Diferansiyel Bir Hacim Elemanında Elektrik Akı Elektrik akı yoğunluğu D herhangi bir P noktasında kartezyen koordinatlarda, D0  Dx 0a x  Dy 0a y  Dz 0a.z. Kapalı yüzeyimizi merkezi P noktasında ve kenarları ∆x, ∆x, ∆x olan küçük bir kutu seçip Gauss yasasını uygularsak:

Ön yüzeyini incelersek:


FATİH UNIVERSITY

21



Diferansiyel Bir Hacim Elemanında Elektrik Akı Dx , ön



ön

22


Diferansiyel Bir Hacim Elemanında Elektrik Akı

x Dx 0   Dx 'in x ile değişim oranı 2 x Dx Dx 0  2 x

Ön yüzey için:

FATİH UNIVERSITY

Aynı yöntemle:

x Dx   DS  dS  Dx 0   yz 2 x  

ve

Tüm sonuçlar birleştirilince:

Aynı şekilde:

x D   arka DS  dS   Dx 0  2 xx  yz

= Q (Gauss Yasası ile) v

Buradaki eksi işareti arka yüzeyden içeri doğru Dx0 akıdandır.

Burada Q, v hacmi içerisindeki yüktür.

Therefore: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

23


FATİH UNIVERSITY

24

4



Diverjans ve Maxwell’in İlk Denklemi

Diverjans

Bir A vektör alanının bir noktada diverjansı (ıraksaması), nokta etrafındaki hacim sıfıra giderken birim hacim başına A’nın net dışarı akısı olarak tanımlanır ve div A olarak kısaltılır. Matematiksel olarak,

Daha önce elde ettiğimiz sonuçlara uygularsak: div A = ve şayet vektörel alan elektrik akı yoğunluğu ise: = div D Maxwell’in ilk denklemi EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

25



FATİH UNIVERSITY

26


Del Operatörü del operatörü vektörel diferansiyel operatörüdür:

Aslında:

=


FATİH UNIVERSITY

27


= div D


FATİH UNIVERSITY

28


Diverjans Teoreminin Açıklaması

Diverjans Teoremi Maxwell’in birinci denklemi (yada Gauss yasasının noktasal hali) belirtiyorki:

Bir vektör alanının diverjansının (ıraksamasının) hacimsel integrali o vektörün bölgeyi sınırlayan yüzeydeki toplam dışa doğru akısına eşittir.

Gauss Yasasının integral hali (büyük-ölçekli uygulamalarda):

Eşitliği ile Diverjans Teoremini elde ederiz:


FATİH UNIVERSITY

29


FATİH UNIVERSITY

30

5



FATİH UNIVERSITY

31

6

Enerji ve Potansiyel

Harici Bir Alanda Noktasal Yük Bir elektrik alanın aksi yönünde Q yükünü taşımak için o yüke elektrik alandan uygulanan gücü etkisizleştirecek aksi bir güç uygulamak gerekir.


Bir Noktasal Yükü Harici Bir Elektrik Alanın Aksi Yönünde Taşırken Harcanan İş Noktasal bir Q yükünü başlangıç (ilk) noktası B’den varış noktası (son) A’ya diferansiyel bir mesafe dL taşımak için harcanan iş: Elektrik alanın aksi yönünde taşıma olursa sonuç pozitif olur.

.

dW = Fuyg dL = QE dL = -QE dL [J]

Fuyg

A (son)

E

+ Q

B (ilk)

E Fuyg

+

dL

+

dL Elektrik alanı düzgün ve taşımayı elektrik alanın aksi yönünde varsaydık. Elektrik alan ile yol arasında 180° faz farkı vardır.

Fuyg = - Q E EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

1


FATİH UNIVERSITY



Bir Noktasal Yükü Harici Bir Elektrik Alanda Herhangi Bir Yönde Taşımak Uygulanan kuvvetin harekat yönündeki bileşeni sadece etki eder.

Toplam Harcanan İş Yol boyunca harcanan tüm diferansiyel işleri toplarsak :

A +

Kuvvetin genliği Fuyg cos( dL

B

Fuyg = -Q E

+

A (son)

E

+

dL Bir Q yükünü dL mesafesi kadar taşırken harcanan diferansiyel iş:

dW = Fuyg cos( EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

Fuyg = -Q E

B (ilk) +

E

dL = QE .dL FATİH UNIVERSITY




Herhangi Bir Yol Boyunca Harcanan Toplam İş B ve A noktası arasındaki elektrik alanın (E düzgün ise) çizgisel integrali izlenen yoldan bağımsızdır.

FATİH UNIVERSITY

Çizgisel İntegralin Hesaplanması Amacımız çizgisel integrali hesaplamak: burada ve

Düzgün bir E için:

W  QE  L BA


FATİH UNIVERSITY

kullanarak:


FATİH UNIVERSITY

1



Örnek: Çizgisel Yük

E

L a 2  Örnek: Birinci vize sınav sorusu 2008

a)

W  Q 

son

ilk

L a   1d a 2 1

b)

W 0

W  Q 

b

a

W 


L

2 

a  d  a

QL b ln 2 a

FATİH UNIVERSITY

7


FATİH UNIVERSITY



Örnek

Örnek (devamı)

Verilen bir elektrik alanı: Amacımız Q = 2 C olan noktasal bir yükü aşağıda verilen dairenin kısa yayı boyunca taşırken harcanan işi bulmak. B(1, 0, 1) başlangıç noktası ve A(0.8, 0.6 ,1) varış noktası ise:

W ve birinci integralde y’nin x’e bağımlılığını ve ikinci itegralde x’in y’ye bağımlılığını eklemek zorundayız. Dikkat edin üçüncü integral z yönünde bir harekat olmadığı için sıfırlanıyor. Verilen dairesel yol bilgisini, yeniden yazalım:

kullanarak integrali

Temel kurguyu bu şekilde yapmalıyız. Henüz yola ait bilgileri kullanmadık! EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY



Noktasal Bir Yük Alanında Potansiyel Fark

Potansiyel Fark Bir Q yükünü ilk noktadan son notaya taşırken harcanan işi biliyoruz. Bu aslında yükün konumunu değiştirirken kazandığı potansiyel enerjidir.

Amacımız noktasal bir Q yükünün alanında pozitif bir birim yükü B’den A’ya taşırken harcanan işi bulmak.

.A

Potansiyel fark (yada kazanılan potansiyel enerji) birim yük başına harcanan iş olarak tanımlanmıştır. Birim olrak Joules/Coulomb, yada volt:

rA

.B

Burada

rB

+ Q

Aslında elektrik alanın sadece radyal bileşeni olduğundan A’dan B noktasına takip edilen yol önemsizdir.

Nihayetinde: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

2


Noktasal Bir Yük Alanında Potansiyel Fark


Noktasal Bir Yükün Potansiyel Alanı İki nokta arasındaki potansiyel fark:

Problemi tamamlamak için: Noktasal yük için: Potansiyeli bir noktada bulmak için referans noktasında potansiyelin sıfır olduğu başka bir noktayı seçmeliyiz. Bu referans noktası örneğin sonsuzda olabilir:

.A r + Q

.B

ve

rB

A

Bu sonuç tanımlı bir uzayda herhangi bir noktada bir potansiyel fonksiyon yada potansiyel alandır. Şayet noktasal yük dışında herhangi bir dc alan (C1) var ise bunu eklemeliyiz:


FATİH UNIVERSITY



Orijin Dışındaki Noktasal Yükün Potansiyel Alanı Daha önce elektrik alan hesaplamasında Yaptığımız gibi yük ile konum noktasını vektörler ile ifade etmeliyiz.

FATİH UNIVERSITY


İki Yada Daha Fazla Noktasal Yükün Potansiyel Alanı Doğrusallık özelliği kullanılarak katkıları toplanır:

P

Genellersek n yükü için:


FATİH UNIVERSITY



Sürekli Yük Dağılımlarının Potansiyelleri Şayet her noktasal yük küçük bir hacimdeki küçük sürekli yük dağılımı olarak temsil edilirse, doğrusallık özelliği kullanarak:

v v

FATİH UNIVERSITY


Yük Dağılımlarına Göre Potansiyel Fonksiyonlar Çizgisel Yük:

Tabaka Yük:

Şayet küçük hacimler sıfıra giderken eleman sayısı sonsuza gider ve toplamlar integrale dönüşür:

Hacimsel Yük:

Daha önce elektrik alan için bulduğumuz formül ile kıyaslayın


FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

3


Örnek: Halka şekindeki düzgün bir yük yoğunluğunun potansiyel alanı


Örnek: Halka şekindeki düzgün bir yük yoğunluğunun potansiyel alanı

Amaç halka şekinde x-y düzleminde orijinde yerleşik çizgisel bir yükün potansiyelini zekseninde herhangi bir noktada bulmak.

Formülümüz Bilinmeyenleri yerine koyarsak:

Formülümüz:

burada

burada



FATİH UNIVERSITY

FATİH UNIVERSITY



Enerjinin Korunun Özelliği

Eşpotansiyel Yüzeyler

Bir yükün herhangi bir kapalı çevrim yol üzerinde hareketi ile yapılan iş sıfırdır.

• Noktasal bir yükün potansiyeli sadece r’ye bağlı bir fonksiyondur.

 E  dL  0

• r’deki küresel bir yüzey eşpotansiyel yüzeyi temsil eder.

Örnek: Bir DC-devresi

• Eşpotansiyel yüzey elektrik alan çizgilerine diktir.

Bir birim yükün A noktasından R2, R3 ve R1 üzerinden tekrar A noktasına hareketi sırasında harcanan toplam iş sıfırdır. (Kirchhoff)


FATİH UNIVERSITY

21



Artımsal Bir Mesafe Boyunca Voltajda Değişim

FATİH UNIVERSITY

22


Potansiyel Alan ve Elektrik Alan Arasındaki İlişki Potansiyeldeki maksimum artış hızı elektrik alanın zıddı yönde olur:

Potansiyeldeki L yolu boyuncaki değişim bu vektör ve elektrik alan arasındaki açıya bağlıdır; örneğin, alanın yola izdüşümü:

birim vektör eş potansiyel yüzeye dik ve artan potansiyel yönündedir.

Eş potansiyel yüzeyleri

yada buradan: aN

Maksimum değer:

E

E maximum azalma hızı yönündedir, yani, V’nin negatif değişim (gradyant) yönündedir.

şayet yol vektörü elektrik alanı ile paralel ise. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

4



Kartezyen Kordinatlarda Elektrik Alanın V İle İfadesi Diferansiyel voltaj değişimi V’nin üç yöndede değişimin toplamı şeklinde yazılabilir:

Elektrik Alan ve Potansiyel Gradiyent E ve V arasındaki ilişki:

İntegral halinden biliyoruz ki: Del operatörünü V üzerinde kullanarak elde edebiliriz., Böylece:

Daha gönel ve kısa ifadesiyle:

Özdeşlersek: Gradyantın yön skaler alanın maksimum artış hızı yönündedir ve eş potansiyel yüzeylere diktir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi


FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY


Skaler Bir Alanın Gradyantı

Elektrik Alan ve Potansiyel Gradyant

E  V


FATİH UNIVERSITY

27



FATİH UNIVERSITY


Uzak-Alan Yaklaşımı

Elektriksel Dipole Amaç her iki yükten kaynaklanan potansiyeli P noktasında bulup sonrada potansiyelden elektrik alanın bulunması.

Şayet r >>d ise üç konum vektörü birbirine paralel kabul edilebilir. Bu durumda şu yaklaşımları kullanabiliriz:

ve

Her yüke ait olan potansiyelin toplamı: Sonuçta: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

5



Dipol İçin Elektrik Alan ve Eş Potansiyel Çizgileri

Dipolün Elektrik Alanı Bulduğumuz potansiyel alan:

Elektrik alanı potansiyelin negatif gradyantını alarak bulabiliriz:

yada..

Sonuçta:


FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY


32


Elektrik Dipol Momenti Dipol moment vektörü negatif yükten pozitif yük yönündedir:

P’nin yönü az yönünde olduğundan:

O zaman: Yada daha genel bir ifade ile, dipol orijin dışında herhangi bir noktada ise:


FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY


İki Noktasal Yük Sisteminde Potansiyel Enerji Q1 +

R2,1

Q1 şayet izele ise sıfır enerjisi vardır.

Q2 + Q2 yükü sonsuzlukdan bulunduğu noktaya getirildi.


Üç Noktasal Yük Sisteminde Potansiyel Enerji Q1 +

R2,1

Q2 + R3,2

R3,1

Q3 yükü sonuzlukdan bulunduğu konumuna getiriliyor, burada Q1 ve Q2 bulundukları konumdalar.

+ Q3

Q2’yi bulunduğu konuma getirirken harcanan iş:

Buradaki sistem enerjisi daha önceki 2-yük enerjisine ilaveten Q3 yükünü Konumuna getirirken harcanan iştir.

Bu sistemdeki bir araya getirilen iki yükün depolanan enerjisidir. burada EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


ve FATİH UNIVERSITY

6



Dört Noktasal Yük Sisteminde Potansiyel Enerji Aynı şekilde Q4 yükü sonsuzluktan bulunduğu konuma getirilir. Q1, Q2, ve Q3 bulundukları yerdedirler. Q1 Q2 R2,1 + + Olay karmaşıklaşıyor! R4,1 Q4 R4,2 R R3,1 3,2 + R4,3 + Q3 Sistem enerjisi daha önceki 3-yükün enerjisine ilaveten Q4 yükünü bulunduğu Konuma getirirken harcanan iştir:

Burada:

Enerji İçin Eşdeğer İfade Dört yük için depolanan enerji: Joule Şayet Vnm potansiyel tanımlarına bakarsak yukarıdakine benzer bir ifade buluruz:

İki ifadeyi toplayarak daha simetrik ifade elde edebiliriz:

Her bir yük diğer yüklere ait potansiyellerle çarpılmakta ve verilen yükün konumunda hesaplanmaktadır.

ve

Burada dikkat edilecek husus bu yükler aynı anda bulundukları konuma getiriliyorlar. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY



FATİH UNIVERSITY


Dört Ayrık Noktasal Yük Sisteminde Depolanan Enerjinin Genel İfadesi

n-Yük Yük Topluğu İçin Depolanan Enerji Bir önceki sonucu genişletere n yüke uyguladığımızda:

Daha önce:

Yerel potansiyelleri tanımla: Burada m noktasındaki yükün yerel yerel potansiyeli: ..buradan


Aslında bu m noktasında ki yük hariç diğer tüm yüklerin m noktasında hesaplanan potansiyelidir. FATİH UNIVERSITY



FATİH UNIVERSITY


Bir Elektrik Alanında Depolanan Enerji

Sürekli Yük Dağılımında Depolanan Enerji

Maxwell denklemini kullanarak hacimsel yük yoğunluğunu D cinsinde yazmalıyız:

Şayet sürekli bir yük yoğunluğu cinsindek yük verilmiş ise aşağıdaki ifadeyi dolaylı olarak kullanmalıyız.

Ama burada Q yükünü dq = v dv ile değiştirmeliyiz ve toplama yükün hacmi üzerinden integrale dönüşür:

Burada,

vektör özdeşliğini kullandık.

Sonra, birinci terimde ki hacimsel integrali diverjans teoremi kullanarak o hacim üzerindeki yüzeysel integrale çeviririz:

Burada V yükün bolunduğu hacimde konum bağımlı potansiyeldir..


FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

7


Bir Elektrik Alanında Depolanan Enerji (Devamı) Denklemimiz:


Elektrik Alan Enerjisi ve Enerji Yoğunluğu Alan enerji ifadesi:

Burada integral bölgesi tüm uzayı kapsamakta, diğer bir tabirle alan ve potansiyelin olduğu her yer. Bu yüzden yüke ait olan hacimle sınırlı değil. Diğer bir tabirle yüzey integrali sonsuz bir yarıçapta alınmalıdır. Sonsuz mesafede potansiyel ve D alanları noktasal bir yükün alanlarına benzer:

ama biliyoruz ki:

Buradan nihai sonuca varırız:

Buradan:

Burada elektrik alanda enerji yoğunluğu aşağıdaki gibi tanımlanır: İntegrand yarıçapın küpü ile değişirken integral yüzey üzerinden (yarıçapın karesi) ile değişecektir. Buradan integralin sonsuzda sıfıra gittiği aşikardır.


FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY



FATİH UNIVERSITY

8

İletkenler ve Dielektrikler


Akım ve Akım Yoğunluğu Pozitif yüklerin harekatına Akım diyoruz. aN

Konveksiyon (Taşınım) Akımı

dQ I dt

[ A]

Artımsal bir akım artımsal bir yüzeyden geçerse

Bir v hacmi içerisindeki hızıyla hareket ediyor:

Q yükünü düşünün, yük pozitif x yönünde vx

Q  v v  v S L Şayet

t zamanında yük x = L = vx t mesafesi hareket ederse

Q  v S x

I  J  S

Q x   v S t t I  v S vx I 

Burada J [A/m2] akım yoğunluğudur. Toplam akım ise

J x   v vx

I   J  dS

J  v v

S


FATİH UNIVERSITY



FATİH UNIVERSITY


Akımın Sürekliliği

Örnek: İkinci vize sınav sorusu 2008

Qi yükü kapalı bir yüzey S ile tanımlı hacimden dışarı çıkarak akım yoğunluğu J’yi oluşturduğunu varsayalım. Toplam yük: Qi(t) Burada eksi işareti dışarı doğru pozitif akı oluşması için içerideki yükün azaldığını simgeler. Şimdi diverjans teoremini uygularsak:

Son ifadedeki integrandlar eşit olacağından Akımın Süreklilik Denklemini elde ederiz.

buradan

yada EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY



Enerji Bant Yapıları

FATİH UNIVERSITY


Metalik İletkenler Serbest elektronlar elektrik alanın tesiriyle hareket ederler. Bir elektron yükğ Q = -e’ye uygulanan kuvvet

Elektron zorunlu olarak ivmelenerek dengedeki sürüklenim hızına ulaşır:

İletkenler: dış yörüngedeki elektronlar çekirdeğe gevşek bağlıdırlar ve iletken bandına kolaylıkla geçebilirler. Çok sayıda serbest elektron vardır ve enerji seviyeleri arasında boşluk yoktur. Yalıtkanlar: dış yörüngedeki elektronlar bile çekirdeğe çok güçlü bağlıdır. Serbest elektronlar yoktur ve enerji seviyeleri arasında büyük boşluk vardır. Dışarıdan uygulanan bir alan dahi elektronları harekat ettiremez. Yarıiletkenler: Göreceli olarak az sayıda serbest elektronlara sahiptir ve enerji seviyeleri arasındaki boşluk azdır. Dışarıdan uygulanan elektrik alanı serbest elektronların hareketini sağlayabilir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

burada e elektron devingenliğidir (hareketliliği) ve birimi m2/V-s. Sürüklenim hızını kullanarak akım yoğunluğunu buluruz:

Burada elektron akışı için ilektkenlik:

Ohm Yasasının noktasal hali

S/m Yarı iletkenlerde delik akımıda olacağından EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

1



Direnç

İletkenlik Çizelgesi

Her iki ucuna bir V voltajı uygulanan bir silindirik iletken düşünelim. Akım şekildeki yönde S kesit yüzeyinde düzgün dağılmış bir şekildedir. Öncelikle, silindirdeki alan niceliği cinsinden akım ve voltajı yazabiliriz:

Ohm Yasasını kullanarak:

Silindirdeki direnci buluruz:

b

a EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi


FATİH UNIVERSITY

FATİH UNIVERSITY



İletkenlerin Elektrostatik Özellikleri

Direnç İçin Genel İfade

Bir iletken üzerine fazladan bir yük konulduğunu düşünelim

E

1. 2. a


b

FATİH UNIVERSITY

3.

+ + + ++ ++ + + İletken + + İçeride E = 0 + + + + + + + + ++

Yüzeydeki elektrik alan normal yöndedir.

Yük sadece yüzeyde yüzeysel yük yoğunluğu s şeklinde var olabilir, içeride yük yoktur. Elektrik alan içeride olamayacağı gibi yüzeyde de teğetsel bileşeni yoktur (sonraki slaytlarda gösterilecek). İletken bir yüzeyin alında eşpotansiyel bir yüzey olduğunu 2. koşuldan anlıyoruz. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi


FATİH UNIVERSITY


Sınır Koşulları

Sınır Koşulları

Birinci sınır koşulunu  E  dL  0 denklemini a→b→c→d→a yolu ile çözerek bulabiliriz. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

s

FATİH UNIVERSITY

İkinci sınır koşulunu  D  dS  Q denklemini silindirik S Gauss yüzeyi üzerinde çözerek bulabiliriz. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

2


Sınır Koşulları


Örnek:

Dt  Et  0 DN  EN   S EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY



FATİH UNIVERSITY


Görüntüleme Metodu

Görüntüleme Metodu

Metal plakayı kaldırıp yerine mevcut yüklerin negatifini simetrik mesafede yerleştirin. Bu yük orjinal yükün görüntüsüdür. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY



Örnek: İletken bir düzlemin üzerinde çizgisel yük

FATİH UNIVERSITY


Örnek: İletken bir düzlemin üzerinde çizgisel yük P noktasındaki elektrik alanı bulduk: ve yük yoğunluğunu bulmak için sınır koşulunu kullanalım : burada n = az P noktasındaki yüzeysel yük yoğunluğu:

İki alanı toplayarak toplam alanı buluruz:


n

D

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

3





FATİH UNIVERSITY



Dielektrik Malzemelerin Özelliği

Genellikle (istisnalar var) dielektrik malzemeler nötr yüklüdürler. Elektron bulutunun merkezi çekirdek ile örtüşür. Harici bir alan uygularsak yüklerde atomik boyutta kayma oluşur ve elektronların merkezi çekirdeğinkisine göre kayar ve bir dipol oluşturur. Bu yüklere biz bağıl yükler diyoruz. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


Dielektrikler Atomlar elektrik alanın mevcudiyetinde elektrik dipoller oluştururlar. Tüm dipoller elektrik alanı ile hizalanırlar. Hizalanan dipoller negatif bir elektrik alanı oluşturur ve orjinal alanı azaltır.



Elektrik Dipol ve Dipol Momenti

FATİH UNIVERSITY


Polarizasyon Alanı Dipol sayısı yoğunluk olarak ifade edilir, birim hacimdeki n dipolü.

Dielektriklerde yükler yörüngelerinde bağlı haldedirler ve serbest yük gibi hareket edemediklerinden akım oluşmaz. Atomlar ve moleküller kutupsal olabilir (pozitif ve negatif yükler ayrışmış), yada elektrik alanın mevcudiyetinde kutuplaşmış olabilir. Böyle bir atom yada molekülü düşünün, bir dipol momenti p’ye sahip, pozitif ve negatif yük ayrım mesafesi d ile yük miktarı Q’nun çarpımı olarak tanımlanmış. Dipol momenti negatif yükten pozitif yüke doğru olan bir vektördür.

FATİH UNIVERSITY

Ortamın Polarizasyon Alanı aşağıdaki gibi tanımlıdır: v

Q d


[dipol momenti/hacim] yada [C/m2]

p = Qd az

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

4



Polarizasyon Alanı (Uygulanan Elektrik Alanıyla)

Bağlı Yükün Göç Etmesi Şekildeki gibi yüzey normalinden açısıyla bir elektrik alan uygulandığını düşünelim. Bağlı yüklerdeki ayrışma (yada hizalanma) artı bir bağlı yükün S yüzeyinden yukarı doğru ve negatif bağlı yükün ise yüzeyden aşağı doğru yönelmesine sebep olur.

Bir elektrik alanın mevcudiyetinde her bir dipoldeki yük ayrımı artabilir, ve tüm dipolleri hizalar. Etki gerçekte küçüktür ve burada abartılarak çizilmiştir!

E Etki P’yi arttıracaktır.

Dipol merkezleri (kırmızı noktalar) (1/2)d cos yüzeyin üstü ve altı aralığında yükü yüzey boyunca transfer edecektir. E

= np Burada tüm dipolleri aynı kabul ettik. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY


Polarizasyon Akısı Olarak Bağlı Yükün Hareketi


Kapalı Bir Yüzey Boyunca Polarizasyon Akısı Pozitif bağlı yüklerin kapalı bir yüzey içerisinde toplanması polarizasyon vektörünün içeri doğru olduğu sonucunu doğurur. Bu nedenle: -

Yüzeyi geçen toplam bağlı yük miktarı:

S volume S -

P

E

+ +

+ + qb

P

-

-


FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY



Serbest Yük İçin Gauss Yasası

Serbest Ve Bağlı Yük Şimdi kapalı bir yüzey içerisinde bağlı yükler qb ve serbest yükler q olduğunu düşünelim. Toplam yük serbest ve bağlı yüklerin toplamına eşittir. Gauss Yasasını toplam yük QT cincinden yazarsak:

Elimizde olanlar: ve

burada

E

QT = Qb + Q

QT

S

q+ + + + + +++

P

Birleştirip yeniden yazarsak:

qb

serbest yük

Burada

Özdeşleştirerek:

QT = Qb + Q

Gauss Yasasındaki bilinen şekliyle yeniden yazabiliriz:

bağlı yük EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

5



Elektrik Hassasiyet Ve Dielektrik Sabiti

Yük Yoğunlukları Bir önceki sonucu alıp Diverjans Teoremini uygularsak yük yoğunlukları için noktasal ifadeleri elde ederiz:

Daha kuvvetli bir elektrik alan ortamda daha büyük bir polarizasyona sebebiyet verir. Doğrusal bir ortamda, P ve E arasındaki ilişkide doğrusaldır ve şöyle tanımlıdır:

burada Bağlı Yük:

e

ortamın elektrik hassasiyetidir.

Şimdi şöyle yazabiliriz: burada dielektrik sabiti, yada bağıl geçirgenliği şöyle tanımlanmıştır:

Toplam Yük: Ortamın toplam elektrik geçirgenliğini

Serbest Yük:

olarak tanımlarsak

Genel ifadeyle: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY



Sınır Koşulları

Birinci sınır koşulunu

FATİH UNIVERSITY


Sınır Koşulları

 E  dL  0 denklemini a→b→c→d→a

yolu ile çözerek bulabiliriz. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY



Sınır Koşulları

FATİH UNIVERSITY


Sınır Koşulları



D  dS  Q denklemini silindirik İkinci sınır koşulunu S Gauss yüzeyi üzerinde çözerek bulabiliriz. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

6



Sınır Koşulları

Sınır Koşulları Dielektrik malzemelerde yüzey yük yoğunluğu yoktur,  s  0

DN 1  D1 cos 1

DT 1  D1 sin 1

DN 2  D2 cos  2

DT 2  D2 sin  2

DN 1  DN 2 sınır koşulunu kullanırsak

D1 cos  2  D2 cos 1

ET 1  ET 2 DN 1  DN 2

 2 DT 1  1DT 2 sınır koşulunu kullanırsak

tan 1 1  tan  2  2 EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY



FATİH UNIVERSITY

7

Kapasitans

Kapasitans

Kapasitansın Tanımı

Paralel Plaka Kapasitörü

İki zıt yüklü iletken düzgün bir dielektrik ile çevrili ise basit bir kapasitör oluşturur. Q’de herhangi bir katsayıyla artış E ve D’de artışa sebep olur.

Yatay durumdaki plaka boyutlarını plakalar arasındaki mesafa d’den çok büyük kabul edelim. Bu durumda elektrik alan sadece z yönündedir, ve potansiyel sadece z ile değişir.

hatırlayalım:

Plaka yüzeyi = S

Sonuçta, iletkenler arasındaki potansiyel fark: S

Q .A aynı katsayıyla artışa sebep olur. Diğer bir ifade ile Q ve V0 arasındaki katsayı sabittir. Buradan yapının kapasitansını depolanan yükün uygulanan potansiyele oranı olarak tanımlıyoruz, yada

Alt Plaka: -Q

.

E, D

B

Her durumda aynı sonuç!

Üst Plaka:

Plakalar arasındaki toplan alanı bulmak için sınır koşulunu sadece bir plaka yüzeyinde uygulamak yeterli.

Plakalar arasındaki elektrik alan:

birimi C/V yada Farad’dır. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

Mükemmel iletken yüzey üzerinde D için sınır koşullarını uygularsak:

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

Kapasitans

Kapasitans

Paralel Plaka Kapasitörünün Kapasitansı

Kapasitörde Depolanan Enerji Kapasitör içerisindeki elektrik alanın enerji yoğunluğunun hacimsel integralini alarak kapasitörde depolanan enerjiyi bulabiliriz:

Plaka yüzeyi = S yada kullanarak plakalar arası voltaj bulunabilir: S C

V02

Enerjiyi üç farklı şekilde yazabiliriz: sonra

kullanarak:


FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

Kapasitans

Kapasitans

Örnek: Koaksiyel İletim Hattı

Örnek: Küresel Kapasitör Yarıçapları a ve b olan iki eşmerkezli küre düşünün. Eşit miktarda fakat zıt Q yükleri iç ve dış küre yüzeyinde var.

Daha önce Gauss Yasasını kullanarak bulduğumuz:

diğer yerlerde ise E = 0, iç ve dış iletkenlerde eşit miktarda zıt yükler var.

Gauss Yasası bize elektrik alanın sadece küreler arası bölgede olacağını anlatıyor:

S

E

Q

a

-Q b

E 1

İletkenler arasındaki potansiyel fark:

z‘de birim uzunluk al

İç ve dış küre arasındaki potansiyel fark:

Ve kapasite:

…ve iç iletkendeki birim uzunluk için yük miktarı:

Şayet

(yalıtılmış küre)

Sonuçta: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

1

Kapasitans

Kapasitans

Dielektrik İle Kaplanmış Yalıtılmış Küre  a Q

 E1

E2

Yarıçapı a olan bir iletken kürede Q yükü var. İletken küreyi yarıçapı r1 - a olan ve elektriksel geçirgenliği 1 olan bir dielektrik çevrelemiştir. Her iki bölgede elektrik alan Gauss Yasası ile:

İki Katmanlı Dielektrik Kapasitör Bu durumda, sınır koşulunu kullanırsak iki dielektrik arasında D’nin normal bileşeni sürekli olacağından (dielektrik arayüzeyde yüzeysel yük olmadığını varsayarak): ve İki iletken plaka arasındaki potansiyel fark: sınır koşulu kullanarak:

r1

Alt iletken plakada yüzeysel yük yoğunluğu:

Sonsuzda sıfır refarnsı kullanarak iletken küredeki potansiyel:

= V0 ve kapasitansı:

DN2

E2

DN1

E1

Sonuçta kapasitans:


FATİH UNIVERSITY


Kapasitans

Poisson’s ve Laplace Denklemlerinin Türetilmesi Şayet sınırlarda potansiyel değerleri biliniyorsa bu denklemler kullanarak herhangi bir bölgede potansiyel hesaplanabilir.

FATİH UNIVERSITY

Kapasitans

Poisson’s ve Laplace Denklemlerinin Türetilmesi Daha önce diverjansı tanımlamıştık:

Maxwell’in birinci denklemi ile başlarsak: …ve gradyantı: burada ve

Beraber uygularsak:

Kullanarak

Sonuçta:


  FATİH UNIVERSITY

kısaltılarak  2 olarak yazılır ve Laplasyan operatorü olarak adlandırılır.


Kapasitans

Poisson Ve Laplace Denklemleri

FATİH UNIVERSITY

Kapasitans

Laplasyan Operatörü

Bildiğimiz:

Diğer bir ifadeyle: Poisson denklemi olarak kartezyen kordinatlarda adlandırılır. Şayet hacimel yük yoğunluğu sıfır ise , denklemin sağ tarafı sıfır olur, ve:

Laplace denklemi


FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

2

Kapasitans

Kapasitans

Paralel Plaka – İçerdeki Ponsiyel Alan

Kapasite Problemleri Şayet sınır koşulları biliniyorsa Poisson (v  0 ) yada Laplace ( v  0 ) denklemini kullanarak potansiyeli bulabiliriz.

x Laplace denkleminden:

V = V0

d Sınır koşulu 1 uygula:

Sonra aşağıdaki aşamaları takip ederek kapasiteyi buluruz

Eş potansiyel yüzeyler

0 = A(0) + B

0

1. V biliniyor ise , E  V ’yi kullanarak E’yi bul.

V=0 Sınır koşulu 2 uygula:

2. D   E’yi kullanarak D’yi bul.

Sınır koşulları:

V0 = Ad

3. D’yi kapasitörün her iki plakasında incele, D  DS  DN a N .

1. x = 0’da V = 0 2. x = d’de V = V0

4. Hatırla,  S  DN 5. Q ’yü yüzey integrali ile kapasitör üzerinde bul, Q    S dS s Q 6. Kapasiteyi C  ile bul V EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

Bu fonksiyon kapasitördeki eş potansiyel yüzeyler olarak çizilmiştir. Birbirine komşu eş potansiyel yüzeylerde sabit potansiyel farkı vardır.

Sonuçta:

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

Kapasitans

Kapasitans

Elektrik Alan, Yük Ve Kapasitans Hesaplaması Başlarken: x Sonra:

d

Yüzey Alanı = S V = V0 + + + + + + + + + + + + + +

n kullanarak:

0

Koaksiyel İletim Hattı Koaks içerisinde V sadece yarıçap ile değişir, bu durumda Laplace denklemi:

E

V0

Eş potansiyel yüzeyler

(  0’da geçerli değil)

- - - - - - - - - - - - - -

L

V=0 Alt plaka yüzeyinde (x = 0): Sonra:

V=0

E

ve

Amacımız potansiyel fonksiyonu (a <   b) bölgesinde bulmak:

n = ax

Bir kere integral alırsak:

kullanarak

.. ikincisinde:

Alt tabakadaki yük:

Sınır koşulları: .   b’de V = 0 2.   a’da V = V0

ve kapasitans


FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

Kapasitans

Kapasitans

Koaksiyel İletim Hattı Kapasitansı

Koaksiyel İletim Hattı

İletkenler arasındaki potansiyel alanı bulmuştuk:

Bildiğimiz: Sınır koşulu 1 uygularsak:

V0

V=0

Sonra:

E

V0

İç iletkendeki yüzeysel yük yoğunluğu:

Sınır koşulu 2 uygularsak:

Sonuçları birleştirirsek:


Sınır koşulları: .   b’de V = 0 2.   a’da V = V0

FATİH UNIVERSITY

V=0

E

L

İç iletkendeki toplam yük:


L

…ve sonuçta kapasitans:

FATİH UNIVERSITY

3

Kapasitans

Kapasitans

Eşmerkezli Küresel Geometri

Eşmerkezli Küresel Kapasitör

V sadece yarıçap ile değişeceğinden Laplace denklemi:

V=0

V=0 yada:

E

V0

Bildiğimiz: İletkenler arasındaki elektrik alan:

a

E

V0

a b

b integralini alırsak:

(a < r < b)

İç iletkendeki yük yoğunluğu:

..ve bir daha: Sınır koşulları: 1. r = b’de V = 0 2. r = a’da V = V0

Sınır koşulu 1:

İç iletkendeki toplam yük:

Sınır koşulu 2: Sonuçta:


Kapasitans: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

Kapasitans

Açılı Plaka Geometrisi

FATİH UNIVERSITY

Kapasitans


Silindirik koordinatlar kullanarak potansiyelin sadece  ile değiştiğini varsayalım. Bu durumda Laplace denklemi:

İntegral alırsak: x …ve bir daha: Sınır koşulları: .   0’da V = 0 2.   ’da V =V0

Birinci sınır koşulu: İkinci sınır koşulu:

Sonuçta:

Sonra:


FATİH UNIVERSITY


Kapasitans

FATİH UNIVERSITY

Kapasitans

Örnek: Final sınav sorusu 2008


FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

4

Kapasitans


FATİH UNIVERSITY

5

Kalıcı Manyetik Alan


Oersted’ın Deneyi

Manyetik Alanlar

İletken telden geçen akım manyetik alanlar üretiyor ve bu alanlar iletkenin etrafında döngü oluşturuyor.

• Manyetik Alan Şiddeti H (A/m) (Elektrik alan şiddeti ile benzer, E (V/m) • 1820 – Oersted – Tel deki akım manyetik alan üretiyor EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY



Biot-Savart Yasası


Döngüsel Bir Akımdan Kaynaklanan Manyetik Alan Diferansiyel IdL akım elemanından kaynaklanan P noktasındaki manyetik alan:

Biot-Savart Yasası diferansiyel uzunluktaki noktasal bir akım elemanından kaynaklanan manyetik alan H’yı belirler.

H’nın birimi [A/m] Dikkat edilirse mesafe ile ters ilişki var ve vektörel çarpımdan dolayı manyetik alanın yönü sağ el kuralı ile sayfaya doğrudur.

Coulomb’s Yasası ile bezerlikler var. Noktasal bir dQ1 yükü konum 1’den konum 2’ye doğru oluşturduğu elektrik alan:


FATİH UNIVERSITY

FATİH UNIVERSITY

Toplam alanı bulmak için tüm diferansiyel elemanların katkısını toplamalıyız. Diğer bir ifade ile integralini almalıyız.



İki ve Üç Boyutlu Akımlar

FATİH UNIVERSITY


Sonsuz Uzunluktaki Düz Bir Filaman İçin Manyetik Alan Bu örnekte, z-ekseninde yerleştirilmiş sonsuz bir akım filamanından kaynaklan manyetlik alan şiddetini y-ekseninde (yada xy-düzleminde) inceleyeceğiz

Yüzeyde düzgün bir K [A/m] yüzey akım yoğunluğu var ise, b genişliğindeki akım:

Şekilden: Biot-Savart Yasasındaki diferansiyel akım elemanları yerine aşağıdaki ilişkiyi yazarsak:

ve Bir tabaka akımından kaynaklanan manyetik alan iki boyutlu Biot-Savart Yasası ile bulunabilir: Sonuçta: Aynı şekilde hacimsel bir akımdan kaynaklanan manyetik alan üç boyutlu Biot-Savart Yasası ile bulunabilir: EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

1


Sonsuz Uzunluktaki Düz Bir Filaman İçin Manyetik Alan


Magnetic Field Intensity for infinitely long strait filament

Elimizde olan: Elimizde: Vektörel çarpımı yapıp filaman boyunca integralini alırsak:

Akım sayfaya doğrudur. Manyetik alan çizgileri eşmerkezli olup eksenden uzaklaştıkça azalır.

Sonuçtta:


FATİH UNIVERSITY



Sonlu Bir Akım Elemanından Kaynaklanan Alan Bu durumda alan xy-düzleminde konum 2’de bulunabilir. Biot-Savart integrali tel boyunca alınır:

FATİH UNIVERSITY


Örnek: Çember filamandaki akım H

IdL  a R 4 R 2

IdL  Iada R  aa   ha z R  a 2  h2 , a R 

Bir kaç işlem yaptıktan sonra (Problem 7.8’e bakınız) manyetik alanı buluruz:

2

H

 

0


FATİH UNIVERSITY

a h a  az R R

Iad a   ha z  aa  



4 h 2  a 2



3

2



FATİH UNIVERSITY


Örnek: Çember filamandaki akım (devamı)

H



2

Ia 2a z

4 h  a 2

2



3

2

 d  0

Ia 2



2 h  a2 2

At h = 0, H  EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi



3

2

az .

I az 2a FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

2


Döngüsel Ampere Yasası


Ampere Yasasının Sonsuz Bir Filamana Uygulanışı

Döngüsel Ampere Yasası H’nın herhangi bir kapalı yol üzerinden çizgisel integralinin içinde barındırdığı akıma eşit olduğunu ifade eder.

H’nın dairesel olduğunu ve filamandan herhangi bir yarıçap uzaklığında sabit olduğunu biliyoruz.

Simetri özelliğinin kullanılabilmesi için seçilen yol öyle seçilmeliki H ya yol boyunca sabit olmalı (teğetsel) yada sıfır olmalı (yola dik).

H’nın integralini  yarıçapına sahip ve akımı içinde barındıran bir yol üzerinden alırsak:

H’nın kapalı a ve b yolları üzerinden itegrali toplam akım I’yı verirken, c yolu üzerinden alınan integral ise yolun kapsadığı kadar akım oranını verir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

Daha öncede buluduğumuz gibi:



Örnek: Silindir’deki akım

FATİH UNIVERSITY


Örnek: Silindir’deki akım (devamı)

I kaps 

 H  dL

Silindiri birçok filamandan oluşmuş varsayalım. ρ bileşenleri simetriden dolayı birbirini götürür.

Silindirin içerisinde ve dışarısında H’yı bulmak için iki yol kullanmalıyız.


FATİH UNIVERSITY



Örnek: Silindir’deki akım (devamı)

FATİH UNIVERSITY


Örnek: Koaksiyel kablo

I (   a) 2 a 2 I H  ( a    b) 2 H 

I c2   2 (b    c) 2 c 2  b 2 H  0 (   c) H 


FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

3


Bir Yüzeysel Akımdan Kaynaklanan Manyetik Alan Simetriden dolayı y-yönündeki düzgün bir düzlemsel akımdan x-yönünde bir H alanı beklemekteyiz. Dairesel Ampere yasasını 1-1’-2’-2-2 yoluna uygularsak: yada


Bir Yüzeysel Akımdan Kaynaklanan Manyetik Alan Şayet yukarıdaki 1-1’ yolu 3-3’ konumuna kaydırılırsa döngünün içerisindeki akım değişmeyecektir. Buradan şu sonuca varabiliriz. Bu çıkarımla alanın yüzey üzerinde ve altında sabit olduğu sonucu çıkar.

Diğer bir ifade ile yüzey akım yoğunluğundan oluşan manyetik alan akım yüzeyi boyunca sürekli değildir.


FATİH UNIVERSITY

Simetrik özellik bize manyetik alanın yüzey üzerinde ve altında genlik olarak aynı olduğu sonucunu verir. Yönler döngüden dolayı zıtdır.


FATİH UNIVERSITY


Bir Yüzeysel Akımdan Kaynaklanan Manyetik Alan Şekilde de gösterildiği gibi manyetik alanlar genlik olarak eşit fakat zıt yöndedirler. Genel bir ifade ile alanı herhangi bir bölgede (yukarı yada aşağı) formülize edersek:


İki Yüzeysel Akımdan Kaynaklanan Manyetik Alan Aşağıda paralel plaka iletim hattındaki gibi iki eşit miktarda fakat zıt yönde plaka akımları var. Şayet plakalar arası mesafe plaka yüzeyinden çok küçük ise manyetik alan plakalar arasında mevcut olup dışarıda ise neredeyse sıfırdır (plakalar sonsuz olursa kesin sıfırdır). Hx2 (z > d/2 ) Hx1 (z > d/2 )

Bu alanlar plakalar sonsuz büyüklükte olursa birbirini götürür.

K1 = -Ky ay Hx1 (-d /2 < z < d/2 ) Hx2 (-d /2 < z < d/2 ) burada aN yüzey akımına normal olan birim vektördür ve alanı hesaplayacağımız konuma yöneliktir.


FATİH UNIVERSITY

H = K x aN (-d/2 < z < d/2 )

K2 = Ky ay Hx1 (z < -d/2 ) Hx2 (z < -d/2 )

burada K ya K1 yada K2 olabilir. Bu alanlar plakalar sonsuz büyüklükte olursa birbirini götürür.



Döngüsel Akımın Alanı Daha önce Biot-Savart Yasasını kullanarak dairesel bir akım elemanından oluşan manyetik alanı z-ekseninde bir noktada hesaplamıştık:

Bu alanlar aynı yönde toplanır:

FATİH UNIVERSITY


Sarmal Bobin İçerisindeki Eksenel Alan Tek sarımlık alanın katkısını diferansiyel katkı olarak değerlendirip N kadar çok sıkı sarmalın oluşturduğu alan için kullanalım. Sarmalda I akımı vardır. Sarmalın genişliği d ise sarmal yoğunluğu N/d olur. Şimdi döngüdeki diferansiyel bir uzunluk dz’deki akım: Bunu diferansiyel “döngüsel akım” kabul edelim.

Bu sonucu kullanarak z-ekseni boyunca aynı boyuttaki akım döngülerinin üst üste dizilmesi ile oluşan sarmal bobindeki alanı hesaplayalım.

Öyleki H için bir önceki tek sarımdan oluşan sonuç:

Şuna dönüşür: burada z telin merkezinden hesaplanır. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

4


Sarmal Bobin İçerisindeki Eksenel Alan z-eksenindeki toplam alan z = 0’da tüm sarımların alan katkıları toplanarak, diğer bir ifade ile integrali alınarak bulunabilir.


Uzun Bir Bobin Sarmalı için Yaklaşım Sarmal bobin içerisindeki eksen boyunca (z = 0)’daki manyetik alan:

Şayet bobin sarmalı çok uzun olursa sonuç basitleşerek:

(


FATİH UNIVERSITY

,

)



Bir Başka Yorum: Sürekli Yüzey Akımı Bir önceki örnekte sarmal bobin bir diferansiyel uzunlukta, dz, birbirine çok sıkı sarılı döngülerden oluştuğunu varsaymıştık. Böyle bir modeli aslında sürekli bir yüzey akım yoğunluğuyla K = Ka a A/m modelleyebiliriz.

FATİH UNIVERSITY


Ampere Yasasının Küçük Kapalı Bir Döngüye Uygulanışı Şekildeki gibi manyetik alan, H, verilen noktada biliniyor olsun. Manyetik alanı 1-2-3-4 yolu üzerinde yaklaşımla bulabiliriz.

Bundan dolayı:

Diğer bir ifade ile, akım z-ekseninde dönüyor ve silindirin uzunluğu yarıçapından çok daha büyük ise eksenel manyetik alan yüzey akım yoğunluğuna eşittir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

Bu örnekteki amacımız Amper Yasasını verilen yol üzerinde uygulayarak noktasal halini bulmaktır. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi


H’nın 1-2 Yolu Üzerindeki Yaklaşımı

FATİH UNIVERSITY


y-Yönündeki Yol Parçalarının Katkıları Ön yolun katkısı:

1-2 yolu üzerinde şöyle yazabiliriz:

burada

Arka yolun katkısı:

Bu nedenle: Formüllerdeki işaretler şekildeki yönlere göre alınmıştır.


FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

5


x-Yönündeki Yol Parçalarının Katkıları


Net Kapalı Yol İntegrali İntegralin tamamı tüm yol katkılarının toplamıdır:

Sağ yolun katkısı:

Bir önceki elde ettiğimiz sonuçları kullanarak:

Sol yolun katkısı:

Bir sonraki aşamada tüm yolların katkılarını toplamalıyız. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY



Akım Yoğunluğu İle İlişkisi Amper Yasası H’nın kapalı yol integrali içinde barındırdığı akıma eşittir diyor. Biz yaklaşımla akım yoğunluğunu merkezde bulup yüzey alanı ile çarptık.

FATİH UNIVERSITY


Diğer Döngü Yönleri Bir önceki yaklaşımımızı diğer ortogonal döngü yönlerinede uygulayabiliriz, sonuçta:

yz-düzlemindeki döngü: Döngünün alanına bölersek: xz-düzlemindeki döngü: Bu yaklaşım yüzey alanın limiti durumunda kesin sonuca gider:

xy-düzlemindeki döngü:

Bu akım yoğunluğunun üç bileşeninide verir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY



Bir Vektör Alanının Döneli-Rotasyoneli (Curl) Kartezyen koordinatlarda yapılan bir önceki alıştırma ile H’nın rotasyonunu (curl) bulmuştuk. Genelleştirirsek, bir vektör alanının rotasyonu orjinal alana normal yönde başka bir vektör alanıdır.

FATİH UNIVERSITY


Kartezyen Koordinatlarda Rotasyonel Daha önceki alıştırmamızdaki H’nın rotasyonel sonuçlarını birleştirirsek:

İntegral döngü düzlemine normal N yönündeki rotasyon bileşeni : Bunu ezberlemektense determinan şeklinde daha kolay buluruz:

Burada ∆SN integral düzlemindeki döngünün alanıdır. N’nin yönü sağ el kuralı ile bulunur: Sağ elimizin parmakları integral yönündeyken baş parmağımız normal yöndeki rotasyon yönünü gösterir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

Aslında bu 𝛁 ile H vektörünün vektörel çarpımıdır:


FATİH UNIVERSITY

6



Rotasyonelin Canlandırılması

Diğer Koordinat Sistemlerinde Rotasyonel (Dönel)

Şekildeki gibi su akıntısı içerisine bir kanatlı çark yerleştirelim. Çark ekseni ekrana doğru olsun ve su hızı derinleştikçe azalıyor olsun. Çark saat yönünde dönecektir ve sağ el kuralına göre ekrana doğru yönü olacaktır.

Çarkı diğer ortogonal yönlerde de yerleştirerek rotasyonun tüm bileşenlerini ölçebiliriz. Dikkat ederseniz rotasyon hem alan (hız) hemde değişim yönüne (derinlik) dik yöndedir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY


Bir Başka Maxwell Denklemi


Bir Başka Maxwell Denklemi Daha Daha önce statik elektrik alanlar için biliyoruz ki:

Daha önce bulduğumuz:

Diğer hali ile:

Bu aslında statik alanlar için Maxwell denklemlerinden birisidir:

Diğer bir ifade ile Amper yasasının noktasal halidir.


FATİH UNIVERSITY

Alanın korunum şartını hatırlayalım, döngüsel integrali her zaman sıfırdır.

Bu nedenle bir alan için korunum kanunu var ise o alanın tanımlı olduğu tüm noktalarda döneli (rotasyoneli) sıfırdır.



Büyük Yüzey Parçalarına Dönel Uygulanması S yüzeyi küçük ∆S yüzeylere parçalanmıştır. Yüzey elemanına normal olan dönel bileşenini dönelin tanımından şöyle yazabiliriz:

(statik elektrik alanlar için geçerli)

FATİH UNIVERSITY


Tüm Yüzeylerin Katkılarını Toplayalım Tüm yüzey elemanlarının dönel katkılarını toplayalım. Aradaki ortak çizgilerin katkıları birbirini götüreceğinden sadece büyük yüzeyin çevresel katkıları kalır.

yada: Daha önceki sonuçları kullanarak şöyle yazabiliriz: Aynı mantığı yüzeyin tüm elemanlarına uygulayıp toplayalım. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

7


Stokes Teoremi Daha öne elte ettiğimiz sonuçlara limit ∆S→0 uygularsak:


Döngüsel Amper Yasasının İntegral Halinin Stokes Teoremi Kullanarak Bulunması Statik alanlar için Ampere yasasının noktasal haliyle başlayalım:

Her iki tarafın S yüzeyi üzerinden integralini alalım: Limit alındığında bu taraf H’nın S yüzeyinin dış çevre İntegraline dönüşür.

Limit alındığında bu taraf S yüzeyi üzerinde H’nın dönelinin integraline dönüşür.

Burada integral yolunu sağ-el kuralına göre uyguluyoruz.

Böylece Stokes Teoremini elde ederiz:

Ortadaki ifade S yüzeyinin kapsadığı net akımı ifade eder. Diğer bir ifade ile Ampere Yasasının integral hali: Bu aslında diverjans teoremindekine benzer, fakat şimdi çizgisel integrali yüzey integraline çeviren önemli bir eşitliktir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY



Örnek 7.3: Stokes teoreminin her iki tarafını hesaplayın

FATİH UNIVERSITY


Örnek: Final sorusu 2007-2008Güz

H  6r sin  ar  18r sin  cos  a


FATİH UNIVERSITY



Manyetik Akı ve Akı Yoğunluğu

FATİH UNIVERSITY


B’nin Önemli Bir Özelliği

Elektrik akısının ne olduğunu biliyoruz: Şayet elektriksel akı kapalı bir yüzeye uygulanırsa Gauss Yasasını elde ederiz : C

Burada elektrik akı yoğunluğu serbest uzayda: ve serbest uzayın elektriksel geçirgenliği:

Aynı formülasyonu manyetik akı yoğunluğuna uygularsak:

Aynı şekilde manyetik akıyı şöyle tanımlarız: Wb (Weber) burada manyetik akı yoğunluğu (yada manyetik endüksiyon) serbest uzayda: Bu aslında manyetik bir yük kaynağının olmadığının göstergesidir. Manyetik alanlar döngüsel özelliği sebep olmaktadır. ve burada serbest uzayın manyetik geçirgenliği: Bu Amper Yasası ile ilişkili tanımlı bir niceliktir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

8


Manyetik Alan Çizgileri


Bir Başka Maxwell Denklemi

Manyetik kutuplar izole edilemiyor

Diverjans Teoremini B’nin kapalı yüzey integraline uygularsak:

Sonucun sıfır olması ancak integrantın sıfır olmasıyla mümkündür:

Bu aslında Gauss Yasasının manyetik alan için noktasal uygulamasıdır.


FATİH UNIVERSITY



Statik Alanlar İçin Maxwell Denklemleri Şimdi statik alanlar için tüm Maxwell Denklemlerini türettik. Noktasal halde:

FATİH UNIVERSITY


Maxwell Denklemlerinin İntegral Hali Bir önceki denklemlere Ampere ve Diverjans Teoremleri uygulanarak statik alanlarda Maxwell denklemlerinin integral hali bulunur:

Elektrik alanlar için Gauss Yasası

Elektrik alanlar için Gauss Yasası

Statik elektrik alanın korunum özelliği Döngüsel Ampere Yasası

Statik elektrik alanın korunum özelliği

Manyetik alanlar için Gauss Yasası Döngüsel Ampere Yasası Yukarıdaki denklemler zamana göre değişen alanlar için değişecektir. Bunlar elektrostatikte geçerlidir.

Burada bünye denklemleri (serbest uzayda):


FATİH UNIVERSITY

Manyetik alanlar için Gauss Yasası



Örnek: Koaksiyel Bir Hat İçerisindeki Manyetik Alan Şekildeki gibi d uzunluğundaki koaksiyel içerisindeki manyetik alan:

FATİH UNIVERSITY


Skaler Manyetik Potansiyel Skaler potansiyel ile elektrik alan arasındaki bağı biliyoruz:

Burada amacımız skaler manyetik potansiyel için benzer bir ilişkinin sorgulanmasıdır:

ve: Manyetik akı B’nin şekildeki gibi düzlem üzerinde a ve b yarıçapları arasında ve d uzunluğunda integrali alınarak bulunur:

Böyle bir ilişkiyi kabul edersek bu Maxwell denklemleri içinde geçerli olmalı:

Fakat vektör özelliklerinden biliyoruz ki herhangi bir fonksiyonun gradyentinin döneli sıfırdır. Bu nedenle skaler manyetik potansiyel akım yoğunluğunun sıfır olduğu yerler için geçerlidir (serbest uzay). Sonuç: Aslında koaksiyel hat manyetik akıyı iletkenler arasında depolar. Bu endüktans için önemli bir özelliktir. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY

Bu nedenle skaler manyetik potansiyeli bir şartla tanımlarız:


FATİH UNIVERSITY

9



Örnek: Koaksiyel İletim Hattı

Skaler Manyetik Potansiyel İçin Diğer Koşullar

İç iletkenden ekran dışına doğru bir akım var ise, iletkenler arası manyetik alan: Manyetik alan ile ilgili diğer Maxwell denklemleri içinde geçerli olması lazım: Serbest uzayda Formüle uygularsak: Bu nedenle: Çözmemiz gereken: ve böylece akım yoğunluğunun sıfır olduğu yerlerde Laplace denklemlerini de sağlamış oluyor: sonuçta: Burada integral sabitini sıfır kabul ettik EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY



Belirsizliğin Giderilmesi

Skaler Potansiyeldeki Belirsizlikler

Belirsizliği gidermek için  ’nin herhangi bir değerinde matematiksel bir bariyer yerleştirelim. Açısal bölge hiçbirzaman bu bariyeri geçemesin. Bu durumda biz bariyeri    ’de yerleştirelim.

Bulduğumuz skaler potansiyel:

burada potansiyel P noktasında (

’da sıfırdır. ) potansiyel Bu durumda P noktasındaki potansiyel tek değerli olur:

Fakat şayet artarak olursa aynı konuma gelmemize rağmen değeri –I olur. Bu durumda bir ikilik olur. Genelde P notkasındaki potansiyel çok değerli olup xy-düzleminde her bir turda yeni bir değer oluşur:


FATİH UNIVERSITY

Skaler potansiyel ikiliğe sebep olduğu için tercih etmiyoruz. Bu nedenle vektörel bir manyetik potansiyelin mevcudiyetini araştıralım.

Bariyer:



Vektörel Manyetik Potansiyel

FATİH UNIVERSITY


Vektör Potansiyel İçin Denklem

Bu Maxwell denklemini kullanalım: Vektör özelliklerinden biliyoruzki herhangi bir vektörün dönelinin diverjansı herzaman sıfırdır:

Bununla başlayalım: Vektör Laplasyanı tanımlayan vekör özdeşliğini sunalım:

Bir önceki denklemle özdeşleştirirsek manyetik vekörel alanı, A, tanımlarız: Bölüm 7.7’de anlatılan prosedürü uygularsak gösterebilirizki: Formülde yerine koyunca:

Buradan: Noktasal Ampere yasası:


FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

10



A’nın Yönü

Potansiyel İçin İfadeler Şekildeki diferansiyel elamanları düşünelim. Solda noktasal bir yük diferansiyel uzunluktaki çizgisel bir yük ile temsil edilmektedir. Sağda ise diferansiyel bir akım elemanı vardır. Her iki durumda da potansiyeli elde etmek için aynı kurgu vardır.

Şimdi elimizde: Kartezyen koordinatlarda: (diğer koordinat sistemlerinde bu kadar kolay değil!)

Çizgisel Akım

Çizgisel Yük

Denklemi ayrıştırırsak:

Buradan A’nın yönü J’nin yönü ile aynı olduğu sonucuna varırız. Skaler Elektrostatik Potansiyel

Vektör Manyetik Potansiyel

Vektörel alan, A, tüm uzayda mevcut, bazen kendisini oluşturan akım yoğunluğunun “bulanık görüntüsü” olarakta adlandırılır. EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY




Vektör Potansiyeller İçin Genel İfadeler Büyük ölçekli yük yada akım dağılımları için tüm diferansiyel katkıların integrali alınarak toplam potansiyel blunur, sonuçta:

FATİH UNIVERSITY

Örnek Şekildeki gibi diferansiyel bir akım elamanı için devam edelim: Bu durumda

ve P noktasında: Kapalı yol integrali akımın kendini kapatarak (döngü) tam bir devre oluşturması içindir. Yüzey ve hacim akım yoğunlukları için sırasıyla :

Şimdi döneli silindirik koordinatlarda alırsak:

or Bu beklediğimiz gibi daha önce Biot-Savart Yasası ile bulduğumuz sonuç ile aynı! EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

11

Manyetik Kuvvetler, Malzemeler, ve Endüktans


Diferansiyel akım elemanda kuvvet

Manyetik Kuvvetler

dF  dQ v  B F  QE

Elektrik alan'da

F  Qv  B

Manyetik alan'da

Hall etkisi

F  Q(E  v  B) Elektromanyetik alan'da Lorentz Kuvvet Denklemi


FATİH UNIVERSITY


dQ  v dv

dF  dQ v  B


FATİH UNIVERSITY


Örnek: Tel döngüdeki toplam kuvveti bulunuz

J  v v

dF  J  B dv dF  K  B dS

Diferansiyel akım elemanı

Jdv  KdS  IdL

dF  IdL  B F

 IdL  B  I  B  dL


FATİH UNIVERSITY



FATİH UNIVERSITY


Örnek: İki filaman iletken arasındaki kuvveti bulunuz

Tork

F   I  B  dL

T  RF


FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

1


Örnek: Manyetik bir B alanında diferansiyel çevri

dF  IdL  B dT  IdS  B dm  IdS Manyetik dipol momenti dT  dm  B

Manyetik dipol momenti

m  I b dS nv

mtotal   mi i 1

Mıknatıslama Vektörü

Düzgün bir B alanında

T  IS  B  m  B EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi


FATİH UNIVERSITY


1 nv mi  v 0 v i 1

M  lim


FATİH UNIVERSITY


Çekirdek yörüngesinde dönen elektron

Elektronun çekirdek yörüngesindeki davranışı • Yörüngesel manyetik dipol momenti • Spin manyetik dipol momenti • Nükleer manyetik dipol momenti (ihmal edilebilir) Bu momentlerin katkı dereceleri malzemenin cinsini belirler EEM 285 – Elektromanyetik Alan Teorisi

FATİH UNIVERSITY



FATİH UNIVERSITY


Manyetik Malzemeler Birçok malzemede: Yörüngesel manyetik dipol momenti spin manyetik dipol momentini götürüyor, ve μr ≈1 • Diamanyetik malzemeler: Yörüngesel manyetik dipol momenti spin manyetik dipol momentinden biraz az; (örnek: Bismut μr= 0.99983)

I b   M  dL

• Paramanyetik Malzemeler: Momentler eşit değil, momentlerin dizilişleri gelişi güzel ama manyetik alan olursa hizalanabilirler

B  0 ( H  M )

• Ferromanyetik Malzemeler: Değiştirme kuplajları ve alan oluşumlarından dolayı kuvvetli olarak manyetiklerdir

M  mH


FATİH UNIVERSITY

I

 H  dL

B  H


FATİH UNIVERSITY

2



Değişim kuplajı ve alanları

Manyetik Malzemeler B  0 ( H  M )

burada

Böylece

M  mH

Mıknatıslık vektörüdür

B  0 (1   m )H  0 r H   H

burada r  1   m Manyetik geçirgenliğidir Diamagnetic

Paramagnetic

Ferromagnetic (nonlinear)

Material bismuth gold silver copper water air aluminum platinum cobalt nickel iron (99.8% pure) iron (99.96% pure) Mo/Ni supermalloy

• değişim kuplajı – bitişik atomlardaki elektron dönüşleri hizalanma eğilimindedirler • alanlar – dipollerin hizalandığı bölgeler – gelişi güzel hizalanma sistem enerjisini minime eder

r 0.99983 0.99986 0.99998 0.999991 0.999991 1.0000004 1.00002 1.0003 250 600 5000 280,000 1,000,000


FATİH UNIVERSITY

Gelişi güzel hizalanma

Tam hizalanma



Belirli alanlarda hizalanma FATİH UNIVERSITY


Sınır Koşulları Sınır Koşulları

I kaps 

 H  dL

denklemini a→b→c→d→a döngüsüne uygula

BN 1  BN 2 H t1  H t 2  K


FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY


Sınır Koşulları

Sınır Koşulları



FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

3



Manyetik alanda toplam depolanan enerji

WH 


FATİH UNIVERSITY


Manyetik Devre


1 1 B  H dv    H 2 dv  vol 2 2 vol


FATİH UNIVERSITY


Manyetik Devre

FATİH UNIVERSITY


FATİH UNIVERSITY

4

Elektromanyetik Alan Teorisi - Fatih Üniversitesi Özet Ders Notları

Recommend Documents