Universidad de Baja California DOCTORADO EN EDUCACIÓN TAREA
Reporte de lectura: El surgimiento de las teorías no euclidianas y su influencia en la filosofía de la ciencias del siglo XX”
ASIGNATURA FILISOFIA DE LA IE!IA
NOMBRE DEL ALUMNO
Harold Jean NOMBRE DEL CATEDRTICO Dr" Marco Rodolfo López Ortiz
!"er#o !rin$i%e& !rin$i%e& Hai#i' Mar(o )* de +),-.
Introducci#n
El artículo se escribe de forma histórica, hacer una grande descripción de una forma compleja
del inicio y el fin de los dos grandes tipos de geometrías no
euclidianas, durante el siglo XX! el le"antamiento #ue pro"ocó en el mundo matem$tico y la desen"ol"imiento a otras $reas de la ciencia basadas en el empirismo! la concepción de la Metamatem$tica como instrumento
de
formalización% El surgimiento de las teorías no euclidianas tu"o una gran influencia sobre la filosofía de la ciencia del siglo XX
La re$oluci#n euclideoclasta
La primera persona #ue desarrolló de manera consciente una geometría no euclidiana, entendi&ndola precisamente como una nue"a geometría, fue el matem$tico ruso 'icolai "ano"ic Lobatche"s(i )*+-.*/012 #ue en */- publicó en el 3azan 4ulletin un artículo #ue desplegaba una nue"a geometría siguiendo la misma dirección #ue había trabajado 5accheri un siglo antes, afirmando la pluralidad de paralelas por un punto e6terior a una recta% 7asi simult$neamente en */8-. pero en forma independiente, el h9ngaro :$nos 4olyai )*/;-.*/1;2 escribió un ap&ndice al libro de su padre,
esta geometría se la conoce hoy como hiperbólica o geometría de 4olyai. Lobatche"s(i en honor a los dos pioneros, pero en los a?os 8; del siglo XX estos trabajos no tu"ieron ninguna repercusión% 4olyai no "ol"ió a escribir sobre el tema, en cambio el ruso siguió insistiendo el resto de su "ida, publicando desarrollos de su sistema en franc&s )*/8+2 y alem$n )*/@;2, tratando in9tilmente de superar la barrera idiom$tica% >ntes de morir y sufriendo de ceguera, Lobatche"s(i publica en */00 su Aangeometría en franc&s y ruso%
=inalmente entre los a?os */1/ y */+-, 4eltrami y el alem$n =&li6 3lein logran probar definiti"amente la consistencia de las nue"as geometrías, usando entre otros procedimientos, un m&todo de sustituciones basado en correlaciones tipo Bdiccionario C, parecida a la estrategia #ue Ddel utilizar$ en su famoso teorema de incompletud en *8*% La "ieja geometría euclidiana sigue "igente, pero reducida a ser sólo un caso especial en el marco de una "isión generalizada de la geometría% Esto conlle"ar$ al debilitamiento de la "isión intuicionista de las matem$ticas y a la crisis de fundamentos, de la cual hablaremos m$s adelante%
%undos e&tra'os La mejor manera de captar la lógica de los sistemas de geometrías cur"as es a tra"&s de modelos cotidianos e6traídos de nuestro entorno de apariencias tridimensionales euclidianas% >sí el modelo ideal para la m&trica riemanniana es la superficie de un balón, si se #uiere ser un to#ue m$s abstracto, la superficie de una esfera% 7laro #ue este modelo alude sólo a un caso especial de esta geometría donde la superficie en consideración tiene una cur"atura igual en todos los puntos%
5i tratamos de aplanar la superficie de un balón o incluso de medio balón )o cual#uier otra porción2 tendremos #ue romperla o hacerle unos cortes radiales como hace el cirujano sobre la córnea del ojo con el bisturí.l$ser al operar la miopía Fun reto similar tendría un modisto al dise?ar unos calzones inel$sticos para una mujer esteatopigia, es decir, de prominentes gl9teos% . En cambio sí tratamos de aplanar una montura e#uina "eremos #ue &sta se arruga como si le BsobraraC $rea% 5i #ueremos coser un pedazo de tela plano en un balón "eremos #ue sobra tela y en el caso de la silla del jinete #ueda faltando tela%
Aodemos "er tambi&n de manera sencilla cómo el #uinto postulado no se cumple en la superficie de un balón si consideramos la línea recta como la circunferencia de un círculo m$6imo en la superficie de la pelota , pues tal línea es la distancia m$s corta entre dos puntos de una superficie esf&rica % . 7írculos m$6imos )como el ecuador y los meridianos2 son a#uellos cuyo centro es el mismo centro de la esfera% maginemos #ue la línea L es el BecuadorC de la bola o mejor a9n si los pintamos y luego pintamos un punto unos centímetros arriba o abajo, por fuera de la línea ecuatorial%
Implicaciones cosmol#gicas
Las nue"as geometrías, aparentemente estrafalarias y ajenas al mundo real asombrosamente se con"ertirían en las llamadas a describir la ar#uitectónica del cosmos al iniciarse el siglo XX% 5in embargo, en *;;, el astrónomo 3arl 5chGarzchild utilizó las posiciones de ciertas estrellas para BtrazarC un tri$ngulo celeste y comparar sus propiedades con las de un tri$ngulo euclídeo% 5eg9n su e6perimento el espacio sideral era euclidiano% 5eg9n las mediciones actuales el uni"erso es abierto y la muerte t&rmica lo espera al e6pandirse infinitamente% Aero es posible #ue e6ista lo #ue se ha dado en llamar la materia oscura o masa perdida )missing mass2 la cual constituye uno de los principales objeti"os del trabajo astronómico presente% Hay muchos candidatos a sumar masa en esta b9s#uedaI desde planetas hasta agujeros negros, partículas e6óticas de alta o de baja energía )como las llamadas
risis de Fundamentos
>cabamos de "er las implicaciones #ue en la 7osmología tu"o la re"olución científica #ue acabó con una perspecti"a milenaria y restringida del sistema a6iom$tico de la geometría% Aues bien, en lo #ue se refiere a la concepción de las
matem$ticas y, en general, de los sistemas formales, las implicaciones no serían menos radicales y asombrosas% Jesde luego, es menester aclarar #ue otros admirables desarrollos de la matem$tica y la lógica en el siglo XX, tambi&n fueron causa del impacto #ue estremeció las propias bases de estos sectores de la cultura% K es #ue fue "erdaderamente e6traordinario el despliegue del conocimiento matem$tico en el siglo XX a tra"&s de la in"enti"a y genialidad de hombres como =ourier, Dauss, Hamilton, Drassmann, Aeirce, 7auchy, >bel, Dalois,
Jesde la física, Einstein asestaría entonces el golpe definiti"o al espacio absoluto euclidiano.neGtoniano% 7omo aseguraría Aopper muchas d&cadas m$s tarde, el Bdesliz lógico de 3antC no estaba en el apriorismo sino en la infalibilidad del apriorismo% > fines del siglo XX la obra de JarGin tenía ya @; a?os de haberse publicado, pero el darGinismo a9n no había llegado a la epistemología para propiciar otra manera de pensar el apriorismo desde una perspecti"a histórico. biológica% La "isión intuicionista de la matem$tica, aun#ue no desapareció del todo, tu"o #ue ceder el paso a dos nue"as concepcionesI la lógica.matem$tica y la línea formalista a6iom$tica% Estos desarrollos tendrían, en primera instancia, una notable influencia en la filosofía y a largo plazo tendrían un impacto tremendo en la tecnología y, por ende, en la economía y forma de "ida de todo el mundo, a tra"&s de la computación%
La l#gica(matem)tica
5inta6is, 5em$ntica y Aragm$tica, pueden entenderse como los tres componentes del an$lisis lingístico, pero tambi&n podrían ser"ir en la perspecti"a histórica para caracterizar etapas% >sí, mientras hoy la pragm$tica est$ en el centro de las preocupaciones metacientíficas, hace *;; a?os lo prioritario era el enfo#ue sint$ctico tanto en "ersión logicista como en "ersión formalista, #ue en el fondo son dos caras de la misma moneda%
El primer camino fue e6plorado por =rege y luego por Russell, intentando fundamentar la matem$tica en la lógica% K aun#ue no podemos decir #ue haya sido un &6ito en cuanto al objeti"o propuesto, sus logros son nada despreciables, pues .como ya dijimosestos trabajos est$n en la base de la lógica moderna, mucho m$s rigurosa, correcta y potente #ue la heredada de >ristóteles, y hoy ramificada en m9ltiples y feraces "ertientes%
La matem)tica es un *uego
La concepción de las matem$ticas y los sistemas formales #ue lo usaron tambi&n cambiaron como causa de estas aportaciones, #ue combinados con otros desarrollos de la matem$tica y lógica, acabaron con la perspecti"a restringida del sistema a6iom$tico de la geometría% 5e incrementó el rigor para reconstruir o replantear las bases antiguamente establecidas% 5e analizaron cuidadosamente, el lenguaje, los a6iomas y reglas% La influencia de haber demostrado la e6istencia de teorías no euclidianas, genero una crisis de confianza tal #ue las mentes m$s brillantes de final del siglo XX, se preocuparon por los fundamentos de las diferentes $reas de las matem$ticas% 4ertrand Rusell empirista, considera en oposición a 3ant #ue los a6iomas euclidianos son producto de las mediciones pr$cticas de nuestro espacio real, sin sospechar #ue pocos a?os despu&s la Neoría Deneral de la Relati"idad afirmaría todo lo contrario, esto es, #ue nuestro espacio real es no.euclidiano%
La crítica con"encionalista, arremetió contra el apriorismo de 3ant, y contra el empirismo% La "isión intuicionista del matem$tico, cedió el paso a dos nue"as concepciones, la lógica matem$tica y la línea formalista a6iom$tica, influencia notablemente en la filosofía y en la tecnología%
onclusi#n
El artículo se encuentra redactado en un lenguaje cercano a todo tipo de lectores, aun#ue tiene la consecuencia de #ue los títulos de las secciones pueden generar una e6pectati"a distinta al contenido% 7ontiene algunos descuidos sutiles, pero #ue al adentrarse en su contenido desenfocan el conte6to >l ser un artículo cuyo elemento de estudio es la geometría, hicieron falta algunas representaciones gr$ficas como los #ue se encuentran en el Nratado Elementos de Euclides% Es un contenido bastante completo para la longitud del artículo, se satisface el objeti"o de mostrar cual ha sido la influencia de las geometrías no euclidianas en la filosofía de la ciencia en el 5iglo XX, las rele"antes se citan a continuaciónI *.7oncepción del mundo contin9o espacio.tiempo -.Neoría Deneral de la relati"idad de Einstein 8.'acimiento de la Metamatem$tica @. 'acimiento de dos nue"as concepciones lógica matem$tica y formalismo a6iom$tico, las #ue influyeron en la filosofía, tecnología, economía y forma de "ida del mundo%
+i,liografía 5enior, Martínez, :orge Enri#ue% )-;;*2% El surgimiento de las teorías no euclidianas y su influencia en la filosofía de la ciencia del siglo XX% Re"ista 7olombiana de =ilosofía de la 7iencia, % @0.18%
