“EL INFINITO EN LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS”. 1.- EL INFINITO Y LOS NÚMEROS RACIONALES. ¿Qué es el infinito?. Podríamos decir que algo es infinito si no tiene fin. Arquímedes en uno de sus axiomas estab estable leci ció ó que que los los núme número ross natu natural rales es son son infin infinit itos os.. Al fin fin y al cabo cabo,, si pen pensa samo moss en cual cualqu quie ierr núme número ro natu natura ral, l, el más más gran grande de que que podam podamos os imag imagin inar ar,, llamémosle N, siempre podemos construir un número mayor, el N+1. Ya desde la antigua Grecia el concepto matemático de infinito se manejaba (incluso antes que el cero como veremos más adelante) Hemos dicho que el conjunto de números naturales es infinito. Como dije, los números naturales se inventaron (¿o descubrieron?) para contar. En cualquier conjunto que se pueda contar sus elementos podemos asociar a cada uno de ellos un número natural. De este modo incluso podemos ordenarlo. Por ejemplo, si quiero contar los alumnos de mi clase, basta con asociar a cada uno de ellos un número natural, su número de lista. A los conjuntos que podamos numerar cada elemento se les llama numerables. Es claro que todos los conjuntos finitos son numerables porque podemos contarlos, o dicho de un modo más preciso, a cada elemento le podemos asociar un número número natura naturall distin distinto. to. Pero, Pero, ¿exist ¿existen en conjun conjuntos tos no numerab numerables les?. ?. Si existi existieran eran eviden evidentem tement entee tendrí tendrían an que ser infini infinitos tos.. Tendrí Tendríamo amoss que pensar pensar en conjun conjuntos tos de infinitos elementos, por ejemplo algunos conjuntos numéricos. Estudiar Estudiar el concepto concepto de infinito infinito puede puede ser divertido porque atenta directamente directamente contra nuestra intuición matemática. Para empezar, sabemos que los números naturales se componen de pares y de impares. Existen infinitos pares e infinitos impares. Si te pregu pregunta ntara ra ¿qué ¿qué hay, hay, más pares o natura naturales les?, ?, quizás quizás contes contestes tes que aunque aunque los dos conjuntos son infinitos hay el doble de naturales que de pares. Fíjate en el siguiente problema:
1.1.- Problema del hotel de Hilbert.
Supo Supong ngam amos os que que ex exis iste te un hote hotell mate matemá máti tico co con con infi infini nita tass habi habita tacio cione nes. s. Ca Cada da habi habita taci ción ón tien tienee un clie client nte, e, por por cier cierto to muy muy amable, (sí, ya sé que es imposible que exista un hotel con infinitas habitaciones y con infinitos clientes, pero recuerda que el hotel es matemático) matemático).. Imagínate Imagínate que que vas a recepcioni recepcionista sta del hotel hotel y pides pides una habitación. habitación. Éste, que también también es matemático, matemático, como el hotel, te dice dice:: “el “el hotel otel está stá comp comple leto to,, pero ero si quie quiere ress te rese reserv rvo o una habitación sin echar a ningún cliente del hotel”. ¿Cómo lo hace?. (1) Tú que que tamb tambié ién n eres eres mate matemá máti tico co sabí sabías as que que en este este hote hotell siempre hay habitaciones libres aunque esté completo. Traes a tus infinitos amigos y los pretendes instalar cada uno en una habitación sin por supuesto que ningún cliente se vea afectado. Y, atención, en este hotel también esto es posible. ¿Sabrías como hacerlo?. (2) (1) Basta Basta con que cada cliente cliente se desplace desplace a la habitaci habitación ón de al lado, lado, es decir, decir, el cliente de la habitación 1 se vaya a la 2, el del 2 a la 3 y así sucesivamente.
1
(2) Los Los clien cliente tess del hotel hotel podrí podrían an ocupa ocuparr las las habit habitac acion iones es pares pares y por tanto tanto quedarían libres las impares, todas ellas para mí y mis amigos.
Con este problema vemos que los números naturales se pueden encerrar en los números pares. Entonces hay el mismo número de naturales que de pares. Del mismo modo podemos acomodar a los números naturales en las habitaciones impares, por lo que también hay el mismo número de naturales que de impares. Resumiendo, existen los mismos mismos pares que impares que que naturales. naturales. Esto pone pone en evidencia algo que atenta contra la intuición: en conjuntos infinitos, infinitos, aunque un conjunto esté contenido contenido en otro no significa que tenga menos elementos . De camino también observamos que infinito más infinito es infinito (o dicho de otro modo, dos veces infinito es infinito. De igual modo 3 veces infinito es infinito y así sucesivamente) ∞ + ∞ = ∞
k .∞
si k ≠ 0
= ∞
Un resumen esquemático de la resolución del problema de Hilbert es establecer relaciones entre los números naturales con los pares o con los impares del siguiente modo: 1→ 2 2→ 4 3→ 6 4→ 8 ... 1→ 1 2→ 3 3→ 5 5→ 7 ...
Con este procedimiento estamos en condiciones de una vuelta de tuerca más. Sabemos que los números enteros (representados por ¢ , del alemán Zahl), son los naturales, los opuestos de los naturales y el cero (el 0 es el número entero que más se tardó en descubrir, doscientos y pico años más que el resto de las cifras que usamos normalmente, 1,2,…9 que datan de alrededor del año 600. Por cierto, todas ellas fueron inventadas por los indios. Los árabes las aprendieron y las extendieron a toda Europa. A estas cifras se les llama dígitos, que viene de “dedo”. Diez cifras, diez dedos ). Obviamente los números enteros también son infinitos, ya que contienen a los naturales. Pero ¿qué hay más enteros o naturales?. Bueno, creo que ya no te fías de tu intuición natural y dirás que los mismos, mismos, aunque por dentro dentro podrás decir (son el doble más uno, ya que hay tantos opuestos como naturales y además el cero). Tu falta de confianza en tu intuición esta vez te da la solución correcta. Basta con asociar los números naturales a los enteros e nteros del siguiente modo:
2
1→ 0 2→ 1 3→ − 1 4→ 2 5→ −2 6→ 3 7→ −3 ...
¿Avanzamos un poquito más?. ¿Ocurre lo mismo con los números racionales?. El conjunto de los números racionales es representado por ¤ , inicial de la palabra quotient, quotient, cociente en inglés, inglés, que descri describe be muy bien sus elemento elementoss ya que éstos éstos son las expres expresion iones es decima decimales les (los (los cocientes) de divisiones indicadas (las fracciones). Fíjate dónde estamos:
1.2.- Problema de la tortuga y de la liebre:
Una tortuga y una liebre se disponen a recorrer un camino en una carrera. ¿Quién ganará?. Por supuesto diremos que la liebre porq porque ue corr corree más. más. Pe Pero ro algu alguie ien n podr podría ía pens pensar ar:: “La “La lieb liebre re ha de recorrer la mitad del camino. Al llegar aquí deberá recorrer la mitad del camino restante, es decir, la mitad de la mitad del camino. Llegado aquí también deberá recorrer la mitad del camino restante, es decir cir, la mitad de la mitad de la mitad del camino y así sucesivamente, infinitamente. Por tanto no podrá llegar a la meta, es decir, que la liebre no puede ganar”. No, esta vez la intuición no falla. La liebre llega a la meta y gana porque como veremos veremos en otro momento momento puede haber sumas infinitas infinitas cuyo cuyo resultado resultado sea finito. finito. Pero este problema lo que pretende ilustrar es que entre 0 y 1 existen infinitas fracciones. Por 1 1 1 1 , , , , ... Entr ejemplo Entree dos dos núme número ross natu natura rale less (o ente entero ros) s),, aunq aunque ue sea sea 2 4 8 16 16 consecutiv consecutivos os existen existen infinitas infinitas fracciones, por tanto, tanto, infinitos infinitos números racionales. racionales. Si te preguntara ahora, ¿qué hay más, racionales o naturales, quizás estés tentado a pensar, “creo que racionales”. Está bien que dudes incluso de tu intuición, porque de nuevo fallarías. Hay exactamente los mismos. Fíjate por qué:
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1→ 2→ 3→ 4→ 5→ 6→ 7→ 8→ 9→
1 2 2 2 1 3 2 3 3 3 1 4 2 4 3 4 4 4
... 0→ 0 −
−
−
−
−
1→ − 2→ − 3→ − 4→ − 5→ −
1 2 2 2 1 3 2 3 3 3
...
A los conjuntos que tienen el mismo número que los naturales se les lla ma aleph cero (aleph es la primera letra del alfabeto hebreo). Además Además podemo podemoss conclu concluir ir que como como existe existen n infini infinitos tos raciona racionales les entre entre dos enteros consecutivos que son infinitos ocurre: ∞ .∞ = ∞
Parece ser que nos vamos familiarizando con el concepto de infinito y vamos adiestrando adiestrando nuestra intuición intuición matemática. matemática. Pero todavía todavía falta bastante. ¿Sabías que hay infini infinitos tos más grande grandess que otros otros?. ?. Pero, Pero, si algo algo es infini infinito, to, es infini infinitam tament entee grande grande ¿cómo puede haber infinitos más grandes que infinitos? Entramos de llenos en los números irracionales, que por algo se llaman así.
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2.- EL INFINITO Y LOS NÚMEROS IRRACIONALES. Los números irracionales tuvieron un descubrimiento tortuoso. Un discípulo de Pitágoras, Hipp intentó ó medir medir la hipote hipotenus nusaa de un triáng triángulo ulo Hippassu assuss de Metantopo Metantopo intent 2 2 2 rectángulo de catetos una unidad. Según el Teorema de Pitágoras, h = 1 + 1 = 2 . Ahora habría que buscar un número racional de modo que al cuadrado diera dos. Hasta ese momen momento to los número númeross se consid considerab eraban an todos todos racion racionales ales porque porque su expres expresión ión decimal se consideraba “bella”: o era exacta o decimal exacta o periódica. Los números periódicos periódicos eran particularmen particularmente te bellos, bellos, porque porque es tentador tentador pensar pensar que su expresión expresión decimal tiene un porqué, un patrón llamado periodo. Pero introducir el concepto de belleza, algo subjetivo, en algo tan objetivo como las Matemáticas a la fuerza tiene que causar problemas. El número que buscaba Hippasus de Metantopo era el que hoy representamos por 2 . Pero pronto se dio cuenta que éste es un nuevo tipo de número que no es racional. Fíjate en la siguiente demostración por reducción al absurdo, un método muy empleado por los griegos y que se basa en suponer que 2 es número racional. Si hubiera alguna contradicción con respecto a esta suposición, entonces concluiríamos que 2 no sería racional. Esta demostración es moderna, pero lleva el modo de reducción al absurdo que ya emplearon los matemáticos griegos y que tanto gustaba a Euclides:
Si: 2 ∈ ¤ ⇒ ∃ , p ∈q ¢ , 2=
p
≠q 0 /
2=
2
2
2q = p ⇒ 2q = p
⇔
q
p
irreducib.le
q
2 En consecuencia consecuencia p sería un número par. Como el cuadrado de un número impar es 2 2 2 2 un número impar ( 1 = 1; 3 = 9; 5 = 25; ... ), y p es par entonces p debería ser también par, es decir p = 2n (pertenece a la tabla de multiplicar del 2)
p es par ⇒ 2
2
p = 2 n ⇒ 2 q2 2
2 q = 4n ⇒ q =
4n 2
=
( 2 n)
2
=
2
4n .
2
=
2n
2
2
Por tanto tanto q tambi también én es par. par. Razona Razonando ndo igual igual que antes, antes, entonc entonces es q deber debería ía ser ser también par. p Pero si p es par y q es par entonces la fracción no sería irreducible, ya que al menos q podríamos simplificar numerador y denominador entre dos. Hemos entrado en una p contradicción ya que es irreducible. La contradicción procede de suponer que 2 q es un número racional. Este descubrimiento matemático revolucionó la teoría de conjuntos numéricos que creía Pitágoras que la tenía cerrada con los números racionales. A Pitágoras no le quedaba más remedio que aceptar esta nueva clase de números, pero su biografía se 5
verá manchada manchada por recurrir a la fuerza antes de admitir admitir que estaba estaba equivocado equivocado.. Mandó matar a su pupilo atándole a una estaca hasta que la marea subiera. Con la muerte de Hippassus Hippassus un universo universo numérico basado en los “bellos” números racionales estaba asegurado, de no ser que se pudieron rescatar los ecos de tal descubrimiento. A partir de Hippassus existen los números irracionales que son aquellos que tienen infinitas cifras decimales y no periódicas. En otro apartado hablaremos de números irracionales famosos por su utilidad o por su curiosidad. Pero de momento mi pregunta es ¿cuántos hay?. Como son raros quizá pensemos que pocos. También podríamos decir, que como los conjuntos vistos hasta ahora son infinitos, quizá haya infinitos. La respuesta es que también hay infinitos. Podemos Podemos considerar considerar 0, a1a2a 3a 4a 5a 6a 7 ... dond dondee cada cada ai es una cif cifra. Las combinaciones son infinitas, por lo que los números irracionales son infinitos. Hasta aquí apenas nada nos ha inquietado ni ha atentado contra nuestra intuición. Pero ¿sabías que aunque hay infinitos, este infinito es más grande que el infinito de los números racionales?. Quizá razones: pero si algo es infinito entonces no tiene tamaño ya que sería infinitamente grande, ¿cómo un infinito puede ser más grande que otro si el tamaño no tiene sentido en el infinito?. Presta atención para saber por qué:
Supongamos que podemos listar todos los números decimales comprendidos entre 0 y 1 así: 0, a11 a12 a13a14a15a16a17 ... 0, a21a22 a23 a24 a25a 26a 27 ... 0, a31a32 a33a34a35a 36a 37 ... 0, a41a42 a43 a44 a45a 46a 47 ... ...
Esta lista los constituyen infinitos números decimales que hemos puesto en una lista que es infinita, tantos como números naturales hay. Pero siempre podemos encontrar otro número decimal que no está en esta lista, por ejemplo podemos construir el número 0, b1b2b3b4b5b6b7 ...
de modo que b1 ≠ a11 ; b2 ≠ a22 ; b3 ≠ a33 , etc. No está en la lista porque difiere en el primer decimal para el primer número de la lista, en el segundo decimal para el segundo número de la lista, etc. De este modo vemos que el conjunto de los números decimales (que ya incluyen los irracionales) no es numerable. Existen números que no están en la lista, es decir, hay infinitos números, pero más que naturales, que también son infinitos. Esta idea la tuvo George Cantor y con ella vemos que existen infinitos más grandes que otros infinitos. La vuelta vuelta de tuerca tuerca la incluy incluyó ó el matemá matemático tico David Hilbert en su célebre discurso de París de 1900 en el que enumeró veintitrés problemas matemáticos que esperaban a ser resueltos. El primero se llamaba la hipótesis del continuo en el que se
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pretende saber si existen infinitos intermedios entre el infinito de los números naturales y el infinito de los números irracionales. A la unión de estos dos conjuntos numéricos se les llama números reales. Como hemos hemos visto visto existe existen n muchos muchos más número númeross reales reales irracio irracional nales es que racion racionales ales.. Algo Algo intuitivo nos podría ayudar: Imagínate que tienes un dado con diez caras numeradas cada una con un dígito distin distinto. to. Lanzas Lanzas el dado dado infini infinitas tas veces. veces. ¿qué ¿qué es más probab probable, le, que los result resultado adoss aleatorios tengan un patrón de comportamiento, por ejemplo sale 145614561456… o que no?. no?. Creo Creo que esta vez nuestr nuestraa intuic intuición ión no falla. falla. Existe Existen n tantís tantísimo imoss número númeross irrac irracio iona nale less más más que que racio raciona nale less que que si los los pudi pudiés ésem emos os visu visual aliza izarr en la rect rectaa y prescindiéramos de los racionales (que incluyen a los naturales y a los enteros), apenas si se notarían los huecos que faltan. Pero el conjunto de los números reales encierra más sorpresas.
EL INFINITO Y LOS NÚMEROS REALES. Si te preguntara preguntara qué distancia hay entre el 0 y el 1 dirías sin vacilar vacilar que es 1. Y del mismo modo, dirías que la distancia entre 0 y 100 es 100. Sin embargo el concepto de distan distancia cia es indepe independi ndiente ente de la cantid cantidad ad de puntos puntos (que son son número númeross reales reales)) comprendidos entre los extremos de un segmento real. Exactamente hay infinitos puntos entre 0 y 1, lo mismo que entre 0 y 100, pero… ¡estos infinitos son iguales!, es decir, hay exactamente los mismos números decimales comprendidos entre 0 y 1 que entre 0 y 100 (¡lo creo y no lo veo!). Algo sorprendente pero fácil de comprobar. Basta Basta con establ establece ecerr relacio relaciones nes entre entre los número númeross del segmen segmento to 0,100 0,100 con números del segmento 0,1 del siguiente modo:
Observa que cada valor comprendido entre 0 y 100 podemos asociarlo a un valor comprendido entre 0 y 1 (único) mediante una corre spondencia representada por la recta que va al punto A. Por tanto el segmento segmento que mide la anchura anchura del folio que estás leyendo contiene contiene exactamente el mismo número de puntos que el segmento que va desde aquí a la Luna,
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o desde aquí hasta hasta el confín de la galaxia, exactamente infinitos puntos, un infinito que es infinitamente más grande que el número de números naturales que hay o de enteros o de racionales, que también es infinito. Y aquí termino, con este trabalenguas final, que no por por ser ser difí difíci cill de leer leer o cont contra rari rio o a nues nuestr traa intu intuic ició ión n deja deja de ser ser cier cierto to y comprensible.
Francisco Javier Pérez Martínez
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