1
Eldi s coA oA t i ene una mas a m=2kg y s e es t á des l i zando haci a elcentr o s obr eunasuper fici el i s acon unavel oci dad V ( m/s ) ,cuandoc hocac on A1=5 el ci l i ndr o B, que s e es t á des l i zando haci a A con una vel oci dad V ( m/s )pr oduci éndoseun choquecent r aldi r ect o.Sielcoefici ent ede B1=2 res ti tuci ón entr el osdosdi scosese se=0 =0. 4,d ,det er mi narl asvel oci dadesdeA yB j ust odespuésdel acol i si ón.
e=
V A 2−V B 2 V B 1−V A A 1
( V B −V A ) e =V A − V B 1
1
2
2
V A 2−V B 2=0.4∗( −2 −( 5 ) ) V A 2−V B 2=−2.8 V A A 2=V B 2−2.8 ( 1) m A V A 1 + mB V B 1= m A V A 2 + mB V B 2 2∗5 + 4∗(−2 ) =2 V A 2 + 4 V B 2 2=2 V A 2 + 4 V B 2 1=V A 2 + 2 V B 2 ( 2)
Remplazo (1 ) en ( 2) 1=V B 2−2.8 + 2 V B 2
2
V B 2= 1.27 ( m / s ) V A 2=V B 2−2.8 V A 2=1.27 −2.8 V A 2=−1.53 ( m / s )
Cadabol ati eneunamasam yelcoefici ent eder es t i t uci ón entr eel l asese. Si l as bol as s e es t án di r i gi endo hac i al a ot r a con una vel oci dad v. Det er mi nar s u vel oci dad común, c uando el l as al canzan el es t ado de máxi madef or maci ón.Nocons i der are lt amañodel asbol as .
e=
V A 2−V B 2 V B 1−V A 1
( V B −V A ) e =V A − V B 1
1
2
2
V A 2−V B 2=e∗(−v −( v ) ) V A 2−V B 2=−2 ev V A 2=V B 2−2 ev ( 1 ) m A V A 1 + mB V B 1= m A V A 2 + mB V B 2 m∗v + m∗(−v )= mV A 2 + m V B 2
3
0 =m V A 2 + m V B 2
mV B 2=−mV A 2 V B 2=−V A 2( 2) Remplazo (1 ) en ( 2) V B 2=−(V B 2− 2 ev ) 2 V B 2=2 ev
V B 2= ev V A 2=V B 2−2 ev V A 2=−ev
Elhombr eA t i ene un pes o de 100( l b)y s al t a des de elr epos o haci al a pl at af or ma P que t i ene un pes o de W P=60( l b) . La pl at af or ma es t á mont adas obr eunr es ort equet i eneunacons t ant edek=200( l b/pi e) .Siel coe fic i ent e de r es t i t uci ón ent r e el hombre y l a pl at af or ma e=0. 6. Det er mi narl a al t ur ar equer i da dels al t o,s il a máxi ma compr ensi ón del r e s o r t ede bes e r2 ( pi e s ) .
Ec P + Ep P = E EB+ EcB 1 2
1
1
2
2
∗m∗V P 2+ m∗g∗h P = ∗k ∗ x 2 + ∗m∗V B 2
4
1 2
1
∗60
1
2
32.2
2
2
∗V P + 60∗2= ∗200∗2 + 2
0.9316 V P
2
∗60
32.2
∗02
=400 −120
V B =17.3359 ( pies / s )
e=
V A 2−V B 2 V B 1−V A 1
( V P −V A ) e =V A −V P 1
1
2
2
V A 2−17.3359 =0.6∗( 0 −√ 2 gh ) V A 2=17.3359 −0.6 √ 2 gh ( 1 ) m A V A 1 + m P V P 1 =m A V A 2 + m P V P 2 100 32.2
∗√ 2 gh +
60 32.2
∗0 =
100 32.2
∗V A 2 +
60 32.2
∗17.3359
24.92 √ h + 0=3.1056 V A 2 + 32.3029 ( 2)
Remplazo (1 ) en ( 2) 24.9222 √ h + 0=3.1056 ( 17.3359−0.6 √ 2 gh )+ 32.3029
24.92 √ h =53.8384 −14.9534 √ h + 32.3029 39.8755 √ h =86.1411
h =4.67 ( pies )
5
Lastr esbol asA,B yC t i enenl ami s mamas am,SiA t i eneunavel oci dad vj us t o ant es delchoque di r ect o con B,det er mi narl a vel oci dad de C despuésdel acol i s i ón.Elcoefici ent ederes t i t uci ón ent recadaunadel as bol asese.Nocons i der arelt amañodel asbol as
e=
V A 2−V B 2 V B 1−V A 1
( V B −V A ) e =V A − V B 1
1
2
2
V A 2−V B 2=e∗ ( 0− v ) V A 2−V B 2=−ev V A 2=V B 2−ev ( 1)
m A V A 1 + mB V B 1= m A V A 2 + mB V B 2 m∗v + m∗0 =mV A 2+ mV B 2 mv =mV A 2+ mV B 2 mV B 2=mv −m V A 2 V B 2= v −V A 2 ( 2)
6
Remplazo (1 ) en ( 2)
V B 2= v −( V B 2 −ev ) 2 V B 2= v −ev
V B 2=
e=
v ( 1 −e ) 2
V C 3−V B 3 V B 2−V C 2
( V B −V C ) e= V C −V B 2
1
3
3
( ( − )− )
V C 3−V B 3=e∗
V C 3−V B 3=
V C 3=V B 3+
v 1 e
0
2
ev ( 1− e ) 2
ev ( 1 −e ) 2
(1 )
mC V C 2 + m B V B 2=mC V C 3 + m B V B 3
m∗0 +
m
m∗v ( 1− e ) 2
v ( 1 −e ) 2
m
=m V B 3 + m
v ( 1 −e ) 2
[
=m V B 3 +
ev ( 1− e ) 2
ev ( 1−e ) 2
=2 mV B 3 + m
7
]+
mV B 3
+ mV B 3
ev ( 1 −e ) 2
v ( 1− e ) 2
=2 V B 3 +
ev ( 1−e ) 2 2
V B 3 =
v ( 1 −e ) 4
V C 3=V B 3+
ev (1 −e ) 2
2
V C 3=
v ( 1 −e ) ev ( 1 −e )
+
4
2 2
V C 3=
v ( 1 −e ) 4
Sedej acaerl abol adeW =1( l b) part i endodelreposoy caeunadi s t anci a de4( pi e s )ant esde gol pearelpl ano l i s o en A.Sie=0. 8,det er mi narl a di s t anci addondegol pear adenuevoelpl anoen B. V 0= √ 2 gh V 0= √ 232.2∗ 4 V 0=16.05 ( pies / s )
e=
V 02−V B 2 V B 1−V 01
( V B −V ) e =V − V B 1
01
02
V 02−0 =0.8∗ (16.05 ) 8
2
V 02=12.84 ( pies / s ) x =V 02 cosα ∗t
1 2
1
2
y =V 02 senα ∗t − g t 2
1
y =V 02
y =tgα ∗ x −
2
(
−3 4
∗32.2∗ x 2
senα ∗ x 2 − V 02 cosα ( V 02 cosα )2 1
∗32.2∗ x 2
12.84∗3 5
4
2
)
2
x = x −0.27 x 3
0.27 x
2
−1.33 x −0.75 x =0
0.27 x
2
−2.08 x =0
x ( 0.27 x − 2.08 )=0 x =0 x =10.49 ( pies )
y =−7.86 ( pies ) d = √ x + y 2
2
d = √ 10.49 +(−7.86 ) 2
2
y =V 02 senα ∗t − g t
2
d =13.8 ( pies )
9
Labol ademA=2kg,s el anzacont r aunbl oques us pendi doB demB=20kg, conunavel oci dadV ( m/s ) . Sielt i empodedur aci ón deli mpact oent r e A=4 l abol a y elbl oqueest =0. 005(s ) , det er mi narl af uer zanor malpr omedi o ej er ci dasobr eelbl oquedur ant ees t et i empo.Tomee=0. 8.
e=
V A 2−V B 2 V B 1−V A 1
( V B −V A ) e =V A − V B 1
1
2
2
V A 2−V B 2=0.8∗( 0 − 4 ) V A 2−V B 2=−3.2 V A 2=V B 2−3.2 ( 1 ) m A V A 1 + mB V B 1= m A V A 2 + mB V B 2 2∗4 + 20∗0 =2 V A 2 + 20 V B 2 8 =2 V A 2 + 420 4 =V A 2 + 10 V B 2 ( 2)
Remplazo (1 ) en ( 2) 4 =V B 2−3.2 + 10 V B 2
10
V B 2= 0.6545 ( m / s ) mB∗v B 1+
∑∫ F ∗dt =m ∗v B
B 2
20∗0 + F ∗t =20∗0.6545 0.005 F =13.09
F =2618.18 ( N )
Laspl acasA yB t i eneunamas am=4kg,cadaunay es t án res t ri ngi dosa movers eal ol argodel asguí asl i s as.Sielcoefici entederes ti tuci ón entr e l aspl acasese=0. 7.Det er mi nar :a)l a vel oci dad deambasj us t o des pués del acol i s i ón,b)l amáxi macompr es i ón delre s ort e.Lapl aca A t i eneuna vel oci dad de V ( m/s ) j us t o ant es de gol pear a B.La pl ac a B e s t a A=4 ori gi nal menteenreposoyelr es ort ees t aNO def ormado.
e=
V A 2−V B 2 V B 1−V A 1
( V B −V A ) e =V A − V B 1
1
2
2
V A 2−V B 2=0.7∗( 0 −4 ) V A 2−V B 2=−2.8 V A 2=V B 2−2.8 ( 1) m A V A 1 + mB V B 1= m A V A 2 + mB V B 2 4∗4 + 4∗0 =4 V A 2 + 4 V B 2 16= 4 V A 2 + 4 V B 2
11
4 =V A 2 + V B 2 ( 2 )
Remplazo (1 ) en ( 2) 4 =V B 2−2.8 + V B 2
V B 2= 3.4 ( m / s ) V A 2=V B 2−2.8 V A 2=3.4 −2.8 V A 2= 0.6 ( m / s ) Ec B + EpB = E EC + Ec C 1 2
1
1
2
2
∗m∗V B 22 + m∗g∗h P= ∗k ∗ x 2+ ∗m∗V C 2 1 2
1
1
2
2
∗4∗3.4 2+ 60∗0 = ∗500∗ x 2 + ∗4∗02 23.12 =250 x
2
x =0.3041 (m )
Labol aA depes oW ( l b) ess ol t adades deelr eposodes deunaal t ura A=8 deh=10( pi es )medi dos des de l a pl ac a que t i ene un pes o de W ( l b) . P=6 Det er mi nar l a máxi ma c ompr ens i ón del r es or t e, si el i mpac t o es perf ect ament eel ást i co.
V A = √ 2 gh
12
V A =√ 2∗32.2∗10 V A =25.3771 ( pies / s )
e=
V A 2−V B 2 V B 1−V A 1
( V B −V A ) e =V A − V B 1
1
2
2
V A 2−V B 2=1∗( 0−25.3771 ) V A 2− V B 2=−25.3771 V A 2=V B 2−25.3771 ( 1 )
m A V A 1 + mB V B 1= m A V A 2 + mB V B 2 8 32.2
∗25.3771 +
6 32.2
∗0 =
8 32.2
V A 2+
6 32.2
V B 2
6.3049= 0.2484 V A 2 + 0.1863 V B 2 (2 )
Remplazo (1 ) en ( 2) 6.3049= 0.2484 ( V B 2−25.3771)+ 0.1863 V B 2
V B 2= 28.79 ( pies / s ) Ec B + EpB = E EC + Ec C 1 2
1
1
2
2
∗m∗V B 22 + m∗g∗h P= ∗k ∗ x 2+ ∗m∗V C 2
13
1 2
1
∗6
32.2
1
2
2
2
∗28.79 + 6∗0= ∗36∗ x + 2
∗6
32.2
∗02
2
77.22 + 6 x =18 x 2
18 x
− 6 x −77.22
x =2.2446 ( m )
La bol a de pi ngpong t i ene una mas a de m=2( g) .Siesl anzada con l a vel oci dad v=18( m/s ) ,det er mi narl aal t ur ah al canzal uego derebotare n eltabl erol i s o.Tomee=0. 8.
x =V ox∗t
t =
2.25 18cos30
t =0.1443 ( s )
V =Vo +¿
V =18 sen 30 + 9.8∗0.1443 V =10.4141 ( m / s )
e=
V A 2−V B 2 V B 1−V A 1
( V B −V A ) e =V A − V B 1
1
2
14
2
V A 2− 0=0.8∗( 0 −10.4141 ) V A 2=−8.3313
1
2
h =V A 2 senα ∗t − g t 2
1
h =V A 2
∗9.8∗ x 2
senα ∗ x 2 − V A 2 cosα ( V A 2 cosα )2 1
h =tg 28.12∗0.75 −
2
∗9.8∗0.752
(18cos30∗cos28.12 )2
h =0.4008 −0.0149 h =0.3862 ( m)
Sie ldi s c oA sedesl i zaal ol argodel at angent ealdi scoB y gol peaaB conunavel oci dadv,det ermi narl avel oci dad deB despuésdel acol i si óny cal cul arl a perdi da de energí a ci nét i ca durant el a col i s i ón.Elcoefici ent e derest i tuci ón ese.Eldi scoB est aori gi nal menteen r eposoy cadadi s co t i enee lmi s mot amañoyl ami s mamas am.
e=
V A 2−V B 2 V B 1−V A 1 15
( V B −V A ) e =V A − V B 1
1
2
2
V A 2−V B 2=e∗( 0− vcos 30 ) V A 2−V B 2=−evcos 30 V A 2=V B 2−evcos 30 m A V A 1 + mB V B 1= m A V A 2 + mB V B 2 mvcos 30 + m∗( 0 )=m ( V B 2−evcos 30)+ m V B 2 mvcos 30=2 m V B 2− emvcos 30 2 V B 2= vcos 30 + evcos 30
V B 2=
vcos 30 (1 + e ) 2
V B 2=
√ 3 ( 1 + e ) v 4
V A 2=V B 2−evcos 30
V A 2=
√ 3 4
V A 2=
(1+ e ) v − evcos 30 v 4
√ 3 e 2−6 e + 7
Unaes f er ademas am1) 5kgcuel gadeunacuer dade2met r osdel ongi t ud f ormando un angul o de60 con l avert i cal ,y als ol t ars edeest aposi ci ón, c hocacon ot r aes f er ademas am2=20kgques ehal l aenr epos o.Sie=0, 5 entr el asesf erasyUk=0, 3;hal l ar: 16
Eles paci oquerecor rel aesf er am2hast adet ener s e Quet i empoempl eoe ndet ener s e Cualeselmáxi moangul oquef ormal aes f er am1conl avert i cal Cualeselporcentaj edeener gí aper di do
h =cos60− 2
h =1 m
h1=2 −h → h1−1 m
v 1= √ 2 gh
v 1= √ 2 ( 9,8 ) .1
v 1= 4,43 m / s
e=
v ´ 2− v ´ 1
v 2=2,215 + v ´ 1
e 1 = 4,43 =v ´ 2− v ´ 1
v 1− v 2
5 ( 4,43 )= v ´ 1 + 20 ( 2,215 + v ´ 1 )
m 1 v 1=m 1 v ´ 1 + m 2 v ´ 2 22,15= 5 v 1 + 44,3 + 20 v ´ 1
∑ x= m 2 a 2
v 2=1,329 m / s
−22.15 =25 v ´ 1
−!N = m 2 a 2
−0.3.20.9.8 20
v 1=−0,886 m / s
=a 2
2
a 2=−2,94 m / s
−( 1.324 )2 =d 2 2 ( −2,94 )
v 2= v ´ 2+ 20 d 2
2
d 2= v ´ 2 t +
at 2
d 2=0.3
−2,94 2
2
t + h 329 t −0,30 =0
v 1=√ 2 gh 2
h 2=
(−0,886 )2 2.9,8
t 1= 0,445
h 2=0,040 m
17
t 2= 0,475
h 3=2 −0,040
h 3=1,96 m
cos " =
h3
"= arccos
2
1,96 2
"=11,478
2
Eo=
m1 v 1 2
Eo=
2
E =m 1.
v 1 2
2
2
2
+ m 2.
v 2
Eppe# = Eo− E
Unaes f er aA de v A
5.4,43
E =
2
Eo = 49,06
5 ( 0,886 ) 2
¿ 49.06 −19,67
% A
2
+
30 (1,329 ) 2
2
¿ 1,9 t + 17,66
¿ 29,44 # $ E p =
29,44 49,06
E =19,62
∗100
¿ 60
=2l bs emuevehaci al ai zqui er daconunavel oci dad
=40f t /s,cuandogol peal as uper fici edelbl oqueB de
% B
= 5l bque
s eencuentr aen r epos o.Elbl oques eaopoyaenr odami ent osyes t auni do a un r es ort e de k=12 l b/f t .Sie=0. 75 ent r el a es f er a y elbl oque,y des prec i ando el r ozami ent o det er mi nar l a maxi ma def or mac i on del r e s o r t e . v A& = 4 cos 60' =2 P0= P
18
−m A v (A cos60 ' + mB v oB=−m A& v A& cos60 ' + m AN v AN cos60 '−mB v B
( ) =−( ) ∗
−
2
32.2
2
4
32.2
. 0 74 5 =0 . 0 5 4
v A N
( )
2 cos60 ' +
0 . 1 5 5
vB
2
32.2
( )
cos30 ' −
v AN
5
32.2
vB
( 1 )
−v BN sen 60 ' −v AN e= - v (B−(−v (AN )en 60 ' ) 0.65= 0.87 v B + v AN
( 2)
2en1 0 . 7 4 5 =0 . 0 5 4 ( vB
0.65 − 0.87 v B
) -0 . 1 5 5
vB
=3 . 9f t / s
Cuer poB ( c uandoes t as i ne lcuer poA)
Cuer poB ( c uandoes t acon e l
c uer poA)
F * =¿ ma
FCos 60 °+ % A )en 60 '
∑¿
% B )en 60 ' =ma 5
F= 32.2 2 32.2 ⟹
−
a
( 3 )
FCo s 6 0 ° +6 . 0 6 =(
5 32.2
) a ⟹
F=6 . 5 7 9l b
0 . 0 7 7 a +6 . 0 6 =0 . 2 2 a
a =4 2 . 3 7f t /s
F/ k=x x =6 . 5 7 9 / 1 2 =0 . 5 4 8f t
19
2
+
Unaes f er ade v A
m A
=1. 2kgsemuevehaci al ai zqui er dacon unavel oci dad
=2m/sgol peal as uper fic i ei ncl i nada delbl oqueB de
mB
= 4. 8kg.
Si e=² ent r el a es f er a y el bl oque y des pr ec i ando el r oz ami ent o, det er mi narl asvel oci dadesdeA yB i nmedi at ament edes puésdeli mpact o.
v A& =2Cos60° =1 Po= P -
m A v oA + mB v oB=−m A v A& cos60 ' + m A v AN cos60 ' − m B v B
1 . 2( 2) =0 . 6 1 . 8 =1 . 0 4
v A&
v AN
+1 . 0 4
4 . 8
vB
v AN
4 . 8
vB
( 1 )
−v BN )en 60 '− v AN e= - v (BN −(−v (AN )en 60 ' ) 1.732 =0.87 v BN + v AN
( 2 )
2en1 1 . 8 =1 . 0 4( vB ⟹
v A
1.732 −0.87 v BN ¿
-4 . 8
vB
=0. 63 15 9m/s 1 . 8 =1 . 0 4 -
v AN
-4 . 8 ( 0.63159 )
=1. 2m/ s
Unapel ot ade90gl anza daconunavel oci dadVogol peaunapl acade720g fij aaunapar edver t i ca launaal t ur ade90mm Seobs er vaquedes puésde r ebotargol peaelpi s o aunadi s t anci ade 480 mm del apar ed cuando l a pl ac a es t a fij ar í gi dament e a es t a figur a y a una di s t anci a de 220mm cuando ent r el a pl aca y l a par ed s e col oca un col c hón de ca uc ho fij o Det er mi nar Elcoefici ent ederes ti tuci ón“e”entr el apel otayl apl aca 20
Lavel oci dadVodel apel ota
x =V o t
e=
1.12
V oA
0.48 = V 0 t
x =V ox t 1
2
y =V oy t + g t
0.22 =V A t
2
0.9= 0 +
1 2
1
∗9.8∗t 2
2
y =V oy t + g t 2
t =0.429 s
0.9= 4.9∗ t
0.48
t = 0.429 s
V A =
2
0.429
V A =0.513 m / s
V A =1.12 m / s
e=
m A V oA + m B V Bo =m A V A + m B V B
V B −V A V oA−V (B
e=
−0.09 V oA =0.09∗0.513 + 0.72 V B
0−V A
−0.09 V oA =0.0461 + 0.72 V B
V oA− 0
e=
e=
V A V oA
e=
V B −V A V (A 21
V B −V A V oA−V (B
−1.12 V B−V A =
e =e
V oA
V (A
−1.12 =V B−0.513 Unapel ot agol peaelpi s oenA conunavel oci daddeVo=16pi es /sconun ángul ode60.Sabi endoquee=0, 6ent r el apel ot ayelpi s oy quedes pués de r ebot arl a pel ot a al canzar a elpunto B con una vel oci dad hori zont al Det er mi nar Lasdi s t anci as“h”y“d” Lavel oci daddel apel ot acuandoal canzaB
V o=16 pies / s V ot = 8 pies / s V oN = 13.86 pies / s
e=
V V 0
V =0.6∗13.21 V =8.316 pies / s
22
2
V 0 h= 2g
h=
8.316
2
2∗32.2
h =1.023 pies 1
2
h =V o t − g t 2
1.023 =8.316 t −
1 2
∗32.2 t 2
2
16.10 t − 8.316 t + 1.023 = 0
t 1 =0.265 s t 2 =0.753 s
1 La es f er a B de W , 75l b cuel ga de una cuer da es t ando B=0 i ni ci al ment een r epos o cuandoesi mpact adaporl aes f er a A W , 375l b. Cons i der ando un c hoque per f ec t ament e el ás t i co, A=0 det er mi narl amáxi maal t ur a“h”quepuedeal canzarl aes f er a B des puésdeli mpact osis es abequel avel oci dad deA ant es deli mpact oesdeVA=4, 8pi es /s
23
e=
V B−V A V oA−V oB
( 4.8 )∗1=V B−V A V A =−4.8 + V B cos30 ' V AN =−2.18 pies / s Po= P m A V A= m A V AN + mB V B 0.375∗4.8∗cos 30 ' =0.375 ∗cos30∗( 4.8 + V B cos30 ' ) + 0.75 V B 1.55 =−1.558 + 0.281 V B + 0.75 V B 3.112=1.031 V B
V B =3.023
mB ghhh+ =
+ =
mB V B
3.023
2 2
32.2∗2
+ =0.1419
2
