El aprendizaje del álgebra escolar desde una perspectiva psicológica Dr. Juan Raúl Delgado Rubí ISP “José Antonio. Echeverría” La Habana
Basado fundamentalmente en el artículo de Kieran, C & Filloy Yagüe, E. (1989) . El aprendizaje del álgebra escolar desde una perspectiva psicológica. Enseñanza de las Ciencias, 7 (3), 229-240.
En el citado artículo de Kieran y Filloy se desglosan las dificultades que enfrentan los estudiantes al pasar de la Aritmética al Álgebra desglosándola en varios aspectos, a saber: •
El marco aritmético del pensamiento del estudiante y los obstáculos que provoca para la conformación del marco algebraico.
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El diferente sentido que t iene el signo de igualdad en la Aritmética y el Álgebra y la resistencia que crea el particular
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significado que brinda la Aritmética. Las diferencias de las convencionesseguidas en Aritmética y las que se siguen en Álgebra.
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La simbolización
El marco aritmético •
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Los adolescentes, al comenzar el estudio del álgebra, traen consigo las nociones y los enfoques que usaban en aritmética. El Álgebra no es simplemente una generalización de la Aritmética. No es solamente que el estudiante descubra y haga explícito lo que estaba implícito en la Aritmética. El álgebra requiere un cambio en el pensamiento del estudiante de las situaciones numéricas concretas a proposiciones más generales sobre números y operaciones.
De hecho, un marco de referencia aritmético da cuenta de: a) su forma de ver el signo igual, b) sus dificultades con la concatenación y con algunas de las convenciones de notación del álgebra, y c) su falta de habilidad para expresar formalmente los métodos y los procedimientos que usan para resolver problemas.
También da cuenta, en gran medida, de su interpretación de las variables.
El signo de igualdad En Aritmética el signo "=" solo se utiliza para separar el resultado de una operación de la parte del proceso operatorio que le precedió, por lo cual su lectura, como regla, solo tiene sentido de izquierda a derecha, bajo el esquema: " → ",
entendiendo por "resultando" la expresión matemática (aritmética en este caso) compuesta por operandos y operadores. El signo de igualdad en este caso hace las veces de la flecha y por tanto solo es unidireccional.
El signo de igualdad El sujeto aritmético no identifica a una igualdad como una relación de equivalencia y por tanto para él no hay que exigir que sea ni simétrica ni transitiva. Es decir: • Evidentemente es reflexiva ( 4=4 ) • Dudo si 3 + 4 = 7 es lo mismo que 7 = 3 + 4 , porque 7 no es una operación. • Dudo del hecho de que si 3 + 4 = 7 y si 7 = 2 + 5 , puede transformarse la suma 3 + 4 en 2 + 5.
El signo de igualdad “El signo "=" (igual) indica que lo que se encuentra a la
izquierda de este signo, primer miembro de la igualdad, y lo que se encuentra a la derecha de este signo, llamado el segundo miembro de la igualdad, son dos maneras de designar al mismo objeto, o dos escrituras diferentes del mismo.” Tomado de: Maurin, C. y Johsua, A. (1993). Les structures numériques à l’école primaire. Paris: Ellipses. (p. 90).
Esta idea es la que permite al probar la validez de una identidad o al hacer transformaciones equivalentes en ambos miembros de una ecuación, arribar a resultados correctos. Pero ya eso pertenece alsujeto algebraico.
El signo de igualdad En resumen: “El niño de primaria tiende a utilizar el signo igual dándole un significado procedimental y no relacional, siendo esta última interpretación la esperada enla enseñanza”
Camici, C.et al (2002), “Uguale è un segno di relazione o un indicatore di procedura?”, L’insegnamento
della matematica e delle scienze integrate, vol. 25, núm. 3, pp. 255-270.
El signo de igualdad Ejemplo: propietario de una papelería compra 12 cajas de bolígrafos. Cada caja contiene 6 bolígrafos y cada bolígrafo cuesta 2 euros. ¿Cuánto debe pagar el propietario por las cajas de bolígrafos?” “El
Algunos niños resolverán el problema anterior de la siguiente forma:
y no así:
12× 6 = 72 × 2 = 144 12 × 6 = 72 72 × 2 = 144
“
=”
indica un procedimiento (Boero, 1986; D’Amore, 1993a).
El signo de igualdad Porque consideran que el signo = significa “da” (“resulta”), es decir, que el signo = indica un procedimiento (Boero, 1986; D’Amore, 1993a).
El signo de igualdad Cuando se pasa al terreno del Álgebra y más aun a las Matemáticas Superiores, donde el lenguaje simbólico es el algebraico, el significado del signo de igualdad trasciende el significado que anteriormente el sujeto aritmético tenía de él y de ahí una parte de las dificultades de aprendizajes que presenta en estas parte de la Matemática.
Convenciones diferentes El problema de la yuxtaposición Kieran y Filloy utilizan el término concatenación para referirse a la yuxtaposición. Es preferible el término yuxtaposición, pues según el Diccionario de la RAE: (Del lat. concatenāre). tr. Unir o enlazar unas cosas con otras. iuxta
(Del lat. a otra, cerca y ponĕrea, poner). tr. Poner algo junto cosa ode, inmediata ella. Aunque pudiera considerarse que el enlace entre dos cosas presupone la contigüidad de ambas, en una cadena de inferencias lógicas, por ejemplo, se establece una concatenación de ideas y sin embargo, no parece adecuado decir que tales ideas están yuxtapuestas.
Convenciones diferentes El problema de la yuxtaposición Así, la yuxtaposición de expresiones en Aritmética, denota adición (quizás herencia del sistema de numeración romana que era aditivo y de las cantidades de magnitudes con representación no decimal): 125=100+20+5 3⅗=3+⅗ 15⁰3'26''=15⁰+3'+26"
En Álgebra, la yuxtaposición de expresiones, denota multiplicación: 4 = 4 ×
Convenciones diferentes El uso de los signos de agrupación Investigaciones realizadas desde la década del 80 del pasado siglo (Küchemann, 1981;Booth 1981 y otras) refieren que los estudiantes de secundaria básica generalmente no emplean paréntesis y en general signos de agrupación en el planteamiento de sus expresiones, considerando innecesarias tales agrupaciones para organizar el orden de realización de las operaciones. Parecería que en su aritmética escolar no eran utilizadas, realizando las operaciones en la secuencia en que aparecían.
Convenciones diferentes El uso de los signos de agrupación Se refiere que ante el siguiente ejercicio: Determinar el área del rectángulo que se muestra en la figura 1
Se obtuvieron respuestas tales como: 10e, 5e2, e+10 o e10
Convenciones diferentes El uso de los signos de agrupación También se destaca que puede existir el caso de estudiantes que usen correctamente una notación convenida y no sean capaces de discriminar entre representaciones correctas e incorrectas. Esto sugiere, según Booth (1983), que la comprensión de las notaciones puede avanzar por etapas.
La simbolización Dificultades detectadas • •
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Los niños usan métodos informales para resolver problemas sin tener que ser muy específicos sobre los procedimientos que usan. Su confianza en métodos intuitivos no enseñados y en que centran su atención en encontrar la respuesta, va en contra en que presten atención al método. Los estudiantes que se inician en el Álgebra no logran darse cuenta de que el procedimiento es a menudo la respuesta.
La simbolización Nueva situación al iniciarse en el Álgebra • •
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El álgebra les fuerza a formalizar procedimientos por los que puede que antes nunca se hayan preocupado. Los estudiantes deben superar el dilema "proceso-producto" (Matz y Davis) y adquirir la "aceptación de la falta de cierre" (Collis) Los estudiantes tienen que debilitar sus expectativas aritméticas, o sea que una respuesta es un número (Matz, 1980, p.132)
Variables Experiencia en la escuela primaria con el uso de términos literales • •
Empleo de fórmulas, por ejemplo: = × ℎ , y Relaciones entre unidades de medida, por ejemplo 10 mm=1 cm La letra evaluada En el empleo de fórmulas se supone reemplazar las letras por valores diferentes para calcular la magnitud solicitada (letra evaluada) y si bien ya aparece el germen de la letra como número generalizado en tanto las letras pueden asumir disímiles valores numéricos, aún no aparece ante los estudiantes en toda su connotación, pues el estudiante evaluará solamente para los datos concretos del problema y después se manifestará la operatoria aritmética y la obtención del resultado (producto) a la derecha, "como era de esperar".
Variables Experiencia en la escuela primaria con el uso de términos literales El uso de las letras como etiquetas, como en el caso de la relación cuantitativa de centímetros y milímetros, es el que interfiere a menudo con la forma como los estudiantes llegan a entender el significado de los términos variables en las ecuaciones Es usual quealgebraicas. los estudiantes no sólo lean las letras como etiquetas, sino que además el signo igual se lee como una preposición: "hay 10 milímetros en 1 centímetro". Adaptado del comentario presentado en el artículo de Kieran y Filloy, página 231.
Variables Experiencia en la escuela primaria con el uso de términos literales Küchemann (1981) encontró que la mayoría de los estudiantes trataban las letras en expresiones y ecuaciones como incógnitas específicas más que como números generalizados o como variables. Por ejemplo, el 55% de los niños de 13 años encuestados afirmaron que L+M+N=L+P+N nunca es verdad.
Variables Experiencia en la escuela primaria con el uso de términos literales Harper (1981) sugirió la existencia de etapas en la comprensión de un término literal como variable, y señaló que los estudiantes usan los términos literales mucho antes de que sean capaces de conceptualizarlos como variables -esto es, de percibir lo general en lo particular.
Variables Experiencia en la escuela primaria con el uso de términos literales En un experimento de enseñanza diseñado específicamente para favorecer la adquisición de la noción de letra como número generalizado, Booth (1982, 1983) encontró una fuerte resistencia por parte de los alumnos a asimilar esta parte del álgebra. Booth sugiere que "la obtención de este nivel de conceptualización está relacionada con el desarrollo de estructuras cognitivas de orden más alto" (Booth 1984, p. 88).
Expresiones y Ecuaciones Sobre las expresiones Muchos estudiantes de álgebra presentan dificultades en atribuir significado a expresiones algebraicas, tales como 2 + 5 o + 3, porque no están incorporadas a una igualdad. Ese quizás es una dificultad fundamental para poder modelar situaciones donde exista un dato desconocido que haya que representarlo como variable o incógnita.
Expresiones y Ecuaciones Sobre las expresiones La modelación geométrica de ecuaciones algebraicas de segundo grado, al estilo de los antiguos griegos, puede ayudar en esta dirección, porque se produce el proceso inverso, o sea se asigna significado a variables o incógnitas las cuales interactúan en la ecuación con cantidades constantes y expresiones que tienen significado geométrico "área de cuadrado", "área de rectángulo", "longitud de un lado", cantidad de cuadrados, cantidad de rectángulos, "perpendicularidad de los lados contiguos". Claro está deben seleccionarse adecuadamente las ecuaciones para que sean resolubles por ese método.
Expresiones y Ecuaciones Sobre las ecuaciones • En la escuela elemental, los niños "resuelven" ecuaciones sencillas como 3 + ⎕ = 8 3 + = 8 -que a veces se llaman proposiciones de "sumando faltante", pero estas generalmente aparecen descontextualizadas y no permiten la interpretación de la ecuación como modelo de una situación real. • Los procesos que usan los niños para resolver las proposiciones de sumando desconocido incluyen "contar hacia adelante", "contar hacia atrás", "substitución" y "uso de hechos numéricos conocidos" (Booth 1987, Nesher 1980).
Expresiones y Ecuaciones •
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Sobre las ecuaciones Los niños casi nunca usan ecuaciones para representar los problemas aritméticos verbales y, si se les pide una ecuación, los niños resuelven primero el problema y luego intentan dar la ecuación, la cual representa por regla general las operaciones que habían usado para resolver el problema, no contienen incógnitas y el resultado del cálculo está usualmente en el lado derecho del signo de igualdad. Los niños que son capaces de resolver problemas verbales no pueden escribir las ecuaciones que representan las relaciones cualitativas de la situación del problema.
Expresiones y Ecuaciones •
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Sobre las ecuaciones Se presume que las concepciones primitivas de los niños de lo que es una ecuación no contienen, en general, la idea de que tengan términos literales a ambos lados del signo igual. Las ecuaciones de ese estilo carecen probablemente de sentido, a la vista de la presunta concepción ingenua de los niños de una ecuación como un hecho numérico ligeramente disfrazado con la falta de algún componente. Sin embargo, es posible cambiar la percepción de las ecuaciones como algo unidireccional hacia el lado derecho, debido a investigaciones con niños de 12 y 13 años
Resolución de Ecuaciones "Muchas investigaciones sobre álgebra hechas en el marco del PME se han centrado en la manera como los estudiantes enfocan la resolución de ecuaciones. Los enfoques usados se pueden clasificar en tres tipos: a)intuitivo, b) sustitución por tanteo, y c) formal."
Resolución de Ecuaciones Enfoque intuitivo Los enfoques de resolución intuitivos incluyen el uso de hechos numéricos conocidos, técnicas de recuento, y métodos de recubrimiento.
Resolución de Ecuaciones Enfoque intuitivo
Resolución de Ecuaciones Enfoque intuitivo El denominado Método de "recubrimiento" por Bell, O'Brien y Shiu (1980) se acerca al pensamiento algebraico de simplificar la expresión algebraica que contiene la incógnita, manteniendo el equilibrio entre ambos miembros de la ecuación, o sea sin que se altere la igualdad. Pero está descrito que este método intuitivo no se generaliza por el estudiante. Petitto (1979) señaló que las técnicas intuitivas a menudo no se generalizan -como en las ecuaciones en que aparecen números negativos.
Resolución de Ecuaciones Método de sustitución por tanteo La sustitución por tanteo es un método que no todos los estudiantes utilizan. Los que lo usan poseen una noción más desarrollada del equilibrio entre los lados izquierdo y derecho de una ecuación y del papel del signo igual como equivalencia, que la que poseen los estudiantes que nunca usan la substitución como un método de resolver ecuaciones (Kieran, 1988). Paraa Kieran (1985), tan pronto como estudiantes de álgebra aprenden manejar un método formal de los resolución de ecuaciones, tienden a abandonar el uso de la substitución y para Lewis (1980), parece que también lo abandonan como un mecanismo para verificar la corrección de su solución.
Resolución de Ecuaciones Métodos formales Los métodos formales de resolución de ecuaciones incluyen la transposición de términos ("cambiar de lado -cambiar de signo") y ejecutar la misma operación en ambos lados de la ecuación. Según Kieran (1988) los estudiantes principiantes de Álgebra perciben de forma bastante diferente esos dos métodos de resolución de ecuaciones, aunque trasposición es en una forma abreviada delecuación. procedimiento de realizar lalamisma operación ambos miembros de la El procedimiento de ejecutar la misma operación en los dos lados de una ecuación pone el énfasis en la simetría de una ecuación; este énfasis está ausente en el procedimiento de transposición.
Estructura y resolución Principales dificultades en el conocimiento estructural de los estudiantes sobre las ecuaciones: •
No perciben la estructura superficial o forma de las expresiones algebraicas cuando se trata de expresiones con muchos términos. (Wagner, Rachlin y Jensen, 1984) Ejemplo: No reconocen la igual estructura superficial de la expresiones 4(2r+1)+7=35 y 4x+7=35
Estructura y resolución Principales dificultades en el conocimiento estructural de los estudiantes sobre las ecuaciones: •
No identifican la relación entre las operaciones y sus inversas y las expresiones equivalentes de esas relaciones. (Kieran y Filloy, 1989) Ejemplos: En el error "intercambio de sumandos" identifican como equivalentes las ecuaciones: x+37=150 y x=37+150 En el error "redistribución" se juzga que tienen la misma solución: x+37=150 y x+37-10=150+10.
Estructura y resolución Principales dificultades en el conocimiento estructural de los estudiantes sobre las ecuaciones: •
No son consistentes en la descomposición de expresiones algebraicas en sus partes constitutivas. (Greeno, 1982) Ejemplo: Una expresión como esta 4(6x-3y)+5 puede ser simplificada como 4(6x-3y+5x) en una ocasión, pero hacer algo distinta en otra ocasión.
Estructura y resolución Principales dificultades en el conocimiento estructural de los estudiantes sobre las ecuaciones: •
No perciben las restricciones de equivalencia en la resolución de ecuaciones (Greeno, 1982), o sea, de que solo una solución correcta da srcen a valores iguales en ambos miembros de cualquiera de las ecuaciones equivalentes de la cadena de ecuaciones y que una solución incorrecta producirá el efecto contrario, por lo que la comprobación de una solución mediante evaluación en la ecuación inicial es el procedimiento que establece una condición necesaria y suficiente para verificar la validez de una solución.
Funciones y sus gráficas Principales dificultades presentadas por los estudiantes: •
No comprender el significado de las representaciones gráficas, (Clement, 1985; Janvier,1981; Kerslake, 1977; Ponte, 1985 entre otras muchísimas investigaciones)
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No establecer conexión entre los datos numéricos y los datos gráficos en el plano cartesiano, La concepción de los estudiantes sobre una función es lineal, independiente del contexto, representándola por segmentos de recta, reportó un estudio (Markovits, Eylon y Bruckheimer;1983) La mayoría de los estudiantes concebían las funciones como un proceso más que como un constructo estático, según reportó un estudio (Sfard, 1987), o sea tienen una concepción operativa más que una concepción estructural.
Funciones y sus gráficas Dreyfus y Eisenberg (1981) investigaron las bases intuitivas de los conceptos relacionados con la funciones, tanto en contextos abstractos como concretos y obtuvieron como resultado que los estudiantes más capaces preferían el formato gráfico para todos los conceptos, mientras que los estudiantes menos capaces preferían el formato de tablas. Kieran y Filloy sugieren que en base a la investigación anterior, didácticamente los subconceptos de función deberían introducirse: • En formato gráfico para los estudiantes de alto nivel • En formato de tablas para los estudiantes de bajo nivel
Funciones y sus gráficas Dreyfus y Eisenberg (1981) investigaron las bases intuitivas de los conceptos relacionados con la funciones, tanto en contextos abstractos como concretos y obtuvieron como resultado que los estudiantes más capaces preferían el formato gráfico para todos los conceptos, mientras que los estudiantes menos capaces preferían el formato de tablas.
Funciones y sus gráficas Observación de Kieran y Filloy: Los símbolos y las definiciones que se enseñan en la escuela son claramente estructurales, no operacionales -en el sentido de Sfard. Según Sfard, "si una concepción operacional es verdaderamente el primer escalón necesario en la adquisición de una idea matemática nueva, podemos probablemente precipitar el aprendizaje favoreciendo la comprensión por parte de los estudiantes de los procesos y algoritmos, antes de traducirlos a definiciones estructurales; esto puede hacerse incorporando la programación de computadoras en los cursos de matemáticas" (Sfard 1987, p. 168).
Funciones y sus gráficas A favor del uso de software de representación múltipleGoldenberg en tan temprana fecha como 1987 decía: "El sentido común apoya la idea de que el uso de más de una representación de las funciones ayudará a los aprendices a entender lo que queda menos claro cuando se usa sólo una representación. Presentadas meditadamente, representaciones múltiples y ligadas aumentan la redundancia y pueden reducir así las ambigüedades que podrían ser inherentes a una representación única. Las expresiones algebraicas especifican la relación exacta, pero no dan ni ejemplos particulares ni una gestalt visual. • Las gráficas proporcionan una gestalt dentro de los límites de la gráfica, pero dejan poco claros los detalles menudos. • Las tablas proporcionan ejemplos de la aplicación función, pero no especifican su naturaleza. •
Funciones y sus gráficas A favor del uso de software de representación múltipleGoldenberg en tan temprana fecha como 1987 decía: Dicho de otra manera, cada representación bien escogida ve una función desde una perspectiva particular que captura bien algún aspecto de la función pero deja otros menos claros. Múltiples representaciones, tomadas conjuntamente, deberían mejorar la fidelidad de la totalidad del mensaje. Estos argumentos teóricos son bastante razonables, pero puede que no sean válidos"
(Goldenberg, 1987, p.197) Observación: Esta apreciación de Goldenberg sobre el uso de representaciones múltiples está en consonancia con el punto de vista de Raymond Duval defenderá posteriormente.
