EK A Daha Önceki Senelerde Vize sınavlarında sorulan sorular ve cevapları EkA1 Daha Önceki Senelerde 1.Vize sınavlarında sorulan sorular ve cevapları EkA1.1 2002-2003 güz yarıyılı MakinaG(1) Dinamik 1.vize soru ve çözümleri Soru1) Bir maddesel nokta bir doğru üzerinde a = −0, 2V 2 ivme –hız bağıntısı ile hareket ediyor. t = 0 da konum s = 0 ve hız V = 20 m / s olduğuna göre t = 2 deki konumu hızı ve ivmeyi hesaplayınız. Çözüm: t V dV dV 1 1 1 2 ⇒ t = 5( )V20 = 5( − ) = −0.2 V ⇒ ∫ dt = −5 ∫ 2 dt V V 20 0 20 V V 1 5 5 5 5 1 = V = ⇒ ⇒ ⇒ t= − =t+ 1 1 5 t+ t+ V 20 V 4 4 4 ds 5 S t 5 ds = dt ⇒ s = 5ln(t + 1/ 4 ) t = V ⇒ dt 1 ⇒ ∫ ds = ∫ 0 t+ t + 1/ 4 dt 0 0 4 20 s = 5[ ln(t + 1/ 4 ) − ln(1/ 4)] ⇒ s = 5ln(4t + 1) , V = 4t + 1 20 t = 2 de s = 5ln 9 , s = 10,99m , V = , V = 2, 22 m , a = −0, 2 (2, 22) 2 9 a = −0,99 m / s 2
Soru 2 ) Şekilde gösterildiği gibi P1 maddesel noktası d1 doğrusu üzerinde π s = 10 + 8 Sin t konum-zaman bağıntısına göre P2 maddesel noktası ise xy düzleminde 12 bulunan R = 12cm. yarıçaplı bir çember üzerinde θ =
π 2 t açı-zaman 27
bağıntısına göre hareket etmektedir. t = 3 için P2 maddesel noktasının P1 maddesel noktasına göre bağıl yer , hız , ivme vektörlerini ve aralarındaki uzaklığı bulunuz. y 20cm. P2
θ C 10cm. O B d1 P1
A
16cm. x
s
z
149
Çözüm: uuur uuur uuur r r r r r r r uuur rP2 / P1 = rP2 − rP1 , rrP = OC + CP2 , OC = 20 i + 16 j , CP2 = R cos θ i + R sin θ j 2 uuur r uuu r r r r r AB r rP2 = (20 + 12 cos θ ) i + (16 + 12sin θ) j rP1 = OA + sU AB , U AB = uuur AB r r r r r 1 r 2 r 1 r r 2 −20 i + 10 k U AB = − i+ k , rP1 = (20 − s)i + sk U AB = , 5 5 5 5 202 + 102 r 1 r 2 r r π rP2 / P1 = (12 cos θ + s) i + (16 + 12sin θ) j − s k , t = 3 de θ = , s = 10 + 4 2 3 5 5 r r r r 1 r r 2 r r rP2 / P1 = (6 + (10 + 4 2) i + (16 + 6 3 ) j − (10 + 4 2) k , rP2 / P1 = 20 i + 26, 4 j − 7 k 5 5 r r r r 1 2 2π 2π π VP2 / P1 = (−12 θ&sin θ + V ) i + 12 θ&cos θ) j − V k , θ&= t , V = cos t 27 3 12 5 5 r r r 2π π 2π 3 2 π 2π 1 r 1 π 2 , VP2 / P1 = (−12 t = 3 de θ&= + 2) i + 12 )j− 2k , V = 9 3 9 2 9 2 53 53 r r r r VP2 / P1 = −5,93 i + 4,19 j − 0, 66 k r r 1 r 2 r aP2 / P1 = (−12 & θ&sin θ −12θ&2 cos θ + a ) i + (12 & θ&cos θ − 12 θ&2 sin θ) j − ak 5 5 2π 2π π2 π π2 & θ&= θ&= , a = − sin t , t = 3 de & , a= 2 27 27 18 12 36 2 2 r r 2π 3 4π 1 2 π2 2π 1 4π 3 r 1 π2 r aP2 / P1 = (−12 −12 + 2) i + (12 − 12 )j− 2k 27 2 81 2 27 2 81 2 5 36 5 36 r su u u r r r suuu r r r aP2 / P1 = −5, 7 i + −3, 7 j + 0,17 k , P1 P2 = rP2 / P1 = 202 + 26, 42 + 72 , P1 P2 = 33,85 cm
SORU 3 )Şekildeki mekanizmada dairesel levhanın merkezinin hızı sola doğru VC = 2 cm / s (sabit) olduğuna göre AB çubuğunun verilen konum için a) açısal hızını b) açısal ivmesini bulunuz R = 10 cm. suur B AB = 24 cm. suur C BC = 46 cm. R θ θ = 600 için A a) ω AB = ? b) α AB = ?
150
Çözüm: I
y
ωBC
B ωD
ϕ VB
VB R
C
D θ
A
x a)
suur sur sur suur suur suur suur sur sur CD VC = IC ωBC , IC = IE − R , IE = AE tan θ , AE = BC cos ϕ + AB cos θ , cos ϕ = suur BC suur suur r suur suur2 suur2 suur suu CD = BC − BD , BD = AB sin θ − R , BD = 10, 785 cm , CD = 44, 718 cm , suur suur sur sur su r su r AE , IA = 113, 436 cm AE = 56, 718 cm , IE = 98, 238 cm , IC = 88, 238 cm , IA = cos θ sur 2 V C r , ωBC = , ωBC = 0, 0227 rad / s IB = 89, 436 cm , ϕ = 13, 6590 , ωBC = su 88, 238 IC sur VB = IB ωBC , VB = 2, 027 cm / s , ω AB = 0, 0845 rad / s
b)
r r r r r aB = aC + aB / C , aC = 0 ( C nin hareketi doğrusal hızının şiddeti sabit old. ) uuu r r r uuur r r r r r r aB = α ΑΒ k ∧ AB + ωΑΒ ∧ VB , aB / C = α ΒC ∧ CB + ωΒC ∧ VB / C r r r r r r r r r r r VB = VB sin θ i − VB cos θ j , VB = 1, 76 i − 1, 01 j , VC = 2 i , VB / C = VB − VC uuur suur r r r r r suu r uuur r r VB / C = −0, 24 i − 1, 01 j , AB = AB cos θ i + AB sin θ j , AB = 12 i + 12 3 j uuu r suur uuu r r suur r r r CB = BC cos ϕ i + BC sin ϕ j , CB = 46 cos 13, 6590 i + 46sin 13, 6590 j uuu r r r CB = 44, 7 i + 10,86 j r r r r r r r aB = α ΑΒ k ∧ (12 i + 12 3 j ) − 0, 0845 k ∧ (1, 76 i − 1, 01 j ) r r r aB = (−12 3 α ΑΒ − 0, 085) i + (12 αΑΒ − 0,149) j r r r r r r r aB / C = α ΒC k ∧ (44, 7 i + 10,86 j ) + 0, 0227 k ∧ ( −0, 24 i − 1, 01 j ) r r r aB / C = (−10,86 α ΒC + 0, 023) i + (44, 7 αΒC − 0, 00545) j r r r r r aB = (−12 3 α ΑΒ − 0, 085) i + (12 αΑΒ − 0,149) j = (−10,86 αΒC + 0, 023) i + (44, 7 αΒC − 0, 00545) j − 12 3 α ΑΒ − 0, 085 = −10,86 αΒ C + 0, 023 +
3 (12 α ΑΒ − 0,149) = 3 (44, 7 αΒ C − 0, 00545)
66,56 α ΒC = −0,3566
⇒
α AB = −0, 00804 rad / s 2
α ΒC = −0, 00544 rad / s 2
151
EkA1.2 2002-2003 güz yarıyılı MakinaG(4) Dinamik 1.vize soru ve çözümleri SORU 1)Bir maddesel nokta bir doğru üzerinde a = 12 s1/ 2 ivme –konum bağıntısı ile hareket eediyor. t = 0 da konum s = 0 ve hız V = 0 olduğuna göre t = 2 deki konumu hızı ve ivmeyi hesaplayınız. Çözüm: V S VdV 1 2 2 1/ 2 a= V = 12 s3 / 2 , ∫ VdV = 120∫ s ds ⇒ ds 2 3 0 0 ds ds ⇒ dt = V = V 2 = 16 s3 / 2 , V = 4 s 3 / 4 , dt V t S 1 −3 / 4 1 ∫0 dt = 4 ∫0 s ds ⇒ t = 4 (4) s1/ 4 ⇒ s = t 4 , V = 4 t 3 , a = 12 t 2 3 2 t = 2 de s = 24 , s = 16 m , V = 4 ∗ 2 , V = 32 m / s , a = 12 ∗ 2 ,
a = 48 m / s 2
SORU 2 ) Şekilde gösterildiği gibi P1 maddesel noktası d1 doğrusu üzerinde π s = 14 + 12 Sin t konum-zaman bağıntısına göre P2 maddesel noktası ise xy düzleminde 12 bulunan R = 16cm. yarıçaplı bir çember üzerinde θ =
π 2 t açı-zaman 27
bağıntısına göre hareket etmektedir. t = 3 için P2 maddesel noktasının P1 maddesel noktasına göre bağıl yer , hız , ivme vektörlerini ve aralarındaki uzaklığı bulunuz. y 24cm. P2
θ C 15cm. O A B d1 P1
20cm. x
s
z Çözüm:
uuu r r r r r r r r rP 2 / P1 = rP 2 − rP1 , rrP = (24 + 16 cos θ) i + (20 + 16sin θ) j , rP1 = OA + sU AB 2 r r r r r r −24 i + 15 k rP1 = (24 − 0,848 s ) i + 0,53 s k U AB = , 242 + 152 r r r r π rP 2 / P1 = (16 cos θ + 0,848 s ) i + (20 + 16sin θ) j − 0,53 s k , t = 3 de θ = , s = 14 + 6 2 3 r r π π r r rP 2 / P1 = [24 + 16 cos + 0,848(14 + 6 2 )] i + (20 + 16sin ) j − 0,53(14 + 6 2) k 3 3 r r r r rP 2 / P1 = 51, 07 i + 33,86 j − 11,92 k r r r r VP 2/ P1 = (−16 θ&sin θ + 0,848 V ) i + 16 θ&cos θ j − 0,53 V k ,
2π π θ&= t , V = π cos t 27 12
152
2π π rad / s , V = π cos t = 3 de θ&= 9 6 r 2π π π r 2π πr πr VP 2/ P1 = (−16 sin + 0,848 π cos ) i + 16 cos j − 0,53 π cos k 9 3 6 9 3 6 r r r r VP 2 / P1 = −7,366 i + 5,585 j − 1, 442 k r r r r aP 2 / P1 = (−16 & θ&sin θ − 16 θ&2 cos θ + 0,848 a ) i + (16 & θ&cos θ − 16 θ&2 sin θ ) j − 0,53 a k 2π π2 π π2 & θ&= 2 , a = − sin t , t = 3 de , a = − 27 12 12 24 r r 2π π 2π π π2 aP 2 / P1 = [−16 sin − 16( ) 2 cos + 0,848 (− 2) ] i + 27 3 9 3 24 r 2π π 2π 2 π r π2 + [16 cos − 16 ( ) sin ] j − 0,53(− 2) k 27 3 9 3 24 r r r r aP 2 / P1 = −7, 62 i − 4,89 j + 0,31 k
SORU 3 )Şekildeki mekanizmada dairesel levhanın merkezinin hızı sola doğru VD = 2 cm / s (sabit) olduğuna göre AB çubuğunun verilen konum için b) açısal hızını , açısal ivmesini bulunuz c) R = 10 cm. B suur C AB = 30 cm. suur BC = 40 cm. R D θ θ = 600 için A a) ω AB = ? b) α AB = ? Çözüm: I ωBC
B VC
ϕ
C
VB VD
D R
E ω AB θ
A
ID 153
suuu r VD = ωD R , VC = ωD I D C ⇒ VC = 2VD , VC = 4 cm / s sur sur suuur suuur suuur VC r , IC = I I D − 2 R , I I D = A I D tan θ VC = ωBC IC ⇒ ωBC = su IC suu r suuur suur suur suu r suur suu r EB A I D = AB cos θ + BC cos ϕ , sin ϕ = suur , EB = AB sin θ − 2 R , EB = 30 sin 600 − 2 ∗ 10 BC suu r 5,981 sin ϕ = 0,14896 ⇒ ϕ = 8,567 0 sin ϕ = , EB = 5,981 cm , 40 suuur suuur suuur A I D = 30 cos 600 + 40 cos 8,5670 , A I D = 54,554cm , I I D = 54,554 tan 600 suuur sur sur 4 I I D = 94, 49cm , IC = 94, 49 − 2 ∗ 10 , IC = 74, 49cm , ωBC = 74, 49 suuur suu r 54,554 suu r suu r suu r suur suu r ωBC = 0, 0537 rad / s , VB = ωBC I B , I B = I A − AB , I A = A I D , I A = , cos 600 cos θ suu r suu r suu r I A = 109,11cm , I B = 109,11 − 30 , I B = 79,11cm. , VB = 0, 0537 ∗ 79,11 suur V 4, 248 VB = 4, 248cm / s , VB = ω AB AB ⇒ ω AB = suBu r , ω AB = , ω AB = 0,142rad / s 30 AB a)
r uuur r r r r r r r r b) aB = aC + aB / C , aB = α ΑΒ k ∧ AB − ωΑΒ ∧ VB , VB = VB sin θ i − VB cos θ j r r r r r r VB = 4, 248sin 600 i − 4, 248cos 600 j , VB = 3, 679 i − 2,124 j uuur suur r uuur r suu r r r uuur r r AB = AB cos θ i + AB sin θ j , AB = 30 cos 600 i + 30sin 600 j , AB = 15 i + 15 3 j r r r r r r r aB = α ΑΒ k ∧ (15 i + 15 3 j ) − 0,142 k ∧ (3, 679 i − 2,124 j ) r r r aB = (−15 3 α ΑΒ − 0,302) i + (15 αΑΒ − 0,522) j r r r aC = R α D i − R ωD2 j α D = 0 ( VD sabit ve dolayısıyla ωD sabit olduğundan ) r V V2 r V2 r r VD = R ωD ⇒ ωD = D , arC = − D j , arC = − D j , aC = −0, 4 j R R R r r uuu r r uuu r suur r suur r r aB / C = α ΒC k ∧ CB + ωΒC k ∧ VB / C , CB = − BC cos ϕ i + BC sin ϕ j uuu r uuu r r r r r CB = −40 cos8,567 0 i + 40sin 8,567 0 j , CB = −39,554 i + 5,959 j r r r r r r r r VB / C = VB − VC , VC = 4 i , VB / C = −0,321 i − 2,124 j r r r r r r r aB / C = α ΒC k ∧ (−39,554 i + 5,959 j ) + 0, 0537 k ∧ (−0,321i − 2,124 j ) r r r aB / C = (−5,959 α ΒC + 0,114) i + (−39,554 αΒC − 0, 00172) j r r r r r aB = (−15 3 α ΑΒ − 0,302) i + (15 αΑΒ − 0,522) j = ( −5,959 αΒC + 0,114) i + (−39,554 αΒC − 0, 40172) j − 15 3 α ΑΒ − 0,302 = −5,959 α Β C + 0,114 +
3(15 α ΑΒ − 0,522) = 3(−39,554 α Β C − 0, 40172) 74, 469 α ΒC = 0,59
α ΒC = 0, 0079 rad / s 2 α ΑΒ = −0, 0142 rad / s 2
EkA1.3 2002-2003 güz yarıyılı MakinaG(7) Dinamik 1.vize soru ve çözümleri 154
π2 s ivme –konum bağıntısı ile hareket 4 ediyor. t = 0 da konum s = 0 ve hız V = 6 m / s olduğuna göre t = 0.5 deki konumu hızı ve ivmeyi hesaplayınız. Çözüm: d2s d 2 s π2 π2 + s = 0 denklemine dönüşür. a yerine yazılırsa a = − s denklemi 4 dt 2 dt 2 4 Bu denklemin genel çözümü π π s = ACos t + B sin t şeklindedir. Buradan A ve B katsayıları bulunur. 2 2 ds π π π π V = = − A sin t + B cos t dt 2 2 2 2 ⇒ ⇒ 0 = A cos 00 + B sin 00 A=0 t = 0 da s = 0 π π 12 ⇒ B= 6 = − A sin 00 + B cos 00 t = 0 da V = 6 ⇒ 2 2 π 12 π π π s = sin t , V = 6 cos t , a = −3π sin t π 2 2 2 12 π π π 6 2 t = 0,5 de s = sin , V = 6 cos , a = −3π sin , s = , s = 2, 7 m . π 4 4 4 π 2 2 π , a = −6, 66 m / s V = 3 2 , V = 4, 24 m / s , a = −3 2 SORU 1)Bir maddesel nokta bir doğru üzerinde a = −
SORU 2 ) Bir t anında xoy düzleminde bulunan OABC dikdörtgen levhası Δ ekseni etrafında ω = 10 Rad / s sabit açısal hızı ile dönüyor. Bu an için C noktasının hız ve ivme vektörlerini ve Δ eksenine olan uzaklığını bulunuz. y Δ C 30cm.
40 cm.
B
R
O Çözüm: r r r uuur r VC = ω ∧ OC , ω = ωU ∆ ,
A
x
r r 40 r 30 4r 3 r U∆ = i + j , ω = i+ 5 5 5 5 r r r r r r 40 r 30 r VC = ( i + j ) ∧ 30 j , VC = 240 k , VC = r ω ⇒ r = 5 5
r uuur r j , OC = 30 j r VC 240 r ,r= 10 ω
r = 24 cm . r uuur r r r aC = α ∧ OC + ω ∧ VC , α = 0 ( ω sabit olduğundan ) r r r 40 r 30 r r r aC = ( i + j ) ∧ 240 k , aC = 1440 i − 1920 j 5 5 SORU 3 ) Şekildeki mekanizmada dairesel levhanın merkezinin hızı sola doğru
155
VD = 2 cm / s (sabit) olduğuna göre AB çubuğunun verilen konum için a) açısal hızını , b) açısal ivmesini bulunuz C R
R = 10 cm. suur BC = 40 cm.
B D
θ A
θ = 600 için a) ω AB = ? b) α AB = ?
Çözüm: I y ωBC
C
B
VC VD x
D R ID
VB
θ A
a)
suuu r VC = I D C ωD
sur VC VD = R ωD ⇒ VC = 2VD , VC = 4 cm / s , VC = IC ωBC , ωBC = su r IC suur 2 R suur 2 ∗ 10 sur suu r suur V r , AB = VB = IB ωBC , VB = AB ωAB , ω AB = suBu , AB = 0 , AB = 23,1 cm. sin θ sin 60 AB suur sur sur sur sur BC sur sur sur 40 0 , IB = IB = 0 , IB = 80 cm. , IC = IB sin θ , IC = 80sin 60 , IC = 69, 282 cm. , cos 60 cos θ 4, 619 4 ωBC = , ωBC = 0, 0577 rad / s , VB = 80 ∗ 0, 0577 , VB = 4, 619 cm / s , ω AB = 69, 282 23,1
ω AB = 0, 2 rad / s , ωD = 0, 2rad / s r r r r r r r r r r r b ) aB = aC + aB / C , aC = aD + aC / D , aD = 0 ( VD sabit olduğundan ), aC = R ∗ ω2D N r r uuu r r r r r r r r r r aC = −0, 4 j , aB / C = α ΒC k ∧ CB + ωΒC k ∧ VB / C , VB / C = VB − VC , VC = 4 i r r r r r r r r VB = VB sin θ i − VB cos θ j , VB = 4 i − 2,31 j , VB / C = −2,31 j r r r r r r r r aB / C = α ΒC k ∧ (−40 i ) + 0, 0577 k ∧ (−2,31 j ) , aB / C = 0,133 i − 40 αBC j r uuur r r uuur suur r r suu r r aB = α ΑΒ k ∧ AB − ωΑΒ k ∧ VB , AB = AB cos θ i + AB sin θ j uuur uuur r r r r AB = 23,1 ∗ cos 600 i + 23,1 ∗ sin 600 j , AB = 11,55 i + 20 j r r r r r r r aB = α ΑΒ k ∧ (11,55 i + 20 j ) − 0, 2 k ∧ (4 i − 2,31 j ) 156
r r r aB = (−20α ΑΒ − 0, 462) i + (11,55 αΑΒ − 0,8) j r r r r r r aB = (−20α ΑΒ − 0, 462) i + (11,55 αΑΒ − 0,8) j = (−0, 4 j ) + (0,133 i − 40 αBC j ) r r r r (−20α ΑΒ − 0, 462) i + (11,55 αΑΒ − 0,8) j = 0,133 i − (40 α BC + 0.4) j −20α ΑΒ − 0, 462 = 0,133
⇒
11,55 α ΑΒ − 0,8 = −40 α BC − 0.4
α AB = −0, 03 rad / s ⇒
α BC = 0, 0014 rad / s 2
EkA1.4 2002-2003 yaz okulu MakinaG(1) Dinamik 1.vize soru ve çözümleri Soru 1: A otomobili otobanda doğrusal bir yolda hareket ederken B otomobilide R = 150 m. Yarıçaplı bir çıkışta hareket ediyor. A nın hızı 1 m/s2 oranında artarken B nin hızı 0.9 m/s2 oranında azalıyor. Şekilde gösterilen konum için a ) A nın Bye göre hızını VA/B , b) A nın B ye göre ivmesini aA/B hesaplayınız. y A B 300
VA = 75 km / h
VB = 40 km / h
R= 150m 0
x
Çözüm : r r r a) VA / B = VA − VB r r r r r r r r VA = 75 i , VB = 40 cos 300 i − 40sin 300 j , VB = 20 3 i − 20 j r r r r r r VA / B = (75 − 20 3 ) i + 20 j , VA / B = 40,36 i + 20 j , VA / B = 45, 04 km / h 20 θ = arctan = 26,360 40,36 r r r b) a A / B = a A − aB r r aA = i r r r aB = (aB )T T + (aB )N N
VB2 R 40 ∗ 1000 (11,11) 2 VB = 40 km / h = m / s , VB = 11,11 m / s , (aB ) N = 60 ∗ 60 150 r r r 2 (aB ) N = 0,823 m / s , aB = −0,9 T + 0,823 N r r r r aB = −0, 9 (cos 300 i + sin 300 j ) + 0,823(− sin 300 i − cos 300 j ) r r r aB = −(0, 45 3 + 0, 4115) i + (0, 45 − 0, 4115 3 ) j r r r aB = −1,191 i − 0, 2627 j r r 0, 2627 r = 6,840 a A / B = 2,191 i − 0, 2627 j , a A / B = 2, 206 m / s 2 , ϕ = arctan 2,191 2 , (aB )T = −0,9 m / s ,
( aB ) N =
157
Soru 2: Şekildeki Krank-Biyel mekanizmasında AB krankı saat ibrelerinin tersi yönünde ω AB = 5 rad / s ( sabit ) açısal hızı ile döndüğüne göre Şekilde gösterilen konum için C pistonunun a) hızını b ) ivmesini bulunuz. y 10 cm
ω AB A
30 cm B
10 cm C
x
Çözüm : a) VB
y
ω AB A
ωBC
I
B
10 cm VC
C
x
suur VB = ω AB AB , VB = 5 ∗ 10 , VB = 50 cm / s sur sur 5 sur VB rad / s r , IB = 302 − 102 , IB = 10 8 cm , ωBC = VB = ωBC IB ⇒ ωBC = su 8 IB sur 50 cm / s , VC = 17, 68 cm / s VC = ωBC IC , VC = 8 r r uuu r r r r r r b) a C = a B + a C / B , a B = α AB k ∧ AB + ωAB k ∧ VB , ω AB sabit olduğundan α AB = 0 dır. r r uuur r r r r r r r r r VB = 50 j , a B = 5 k ∧ 50 j , a B = −250 i , a C / B = α BC k ∧ BC + ωBC ∧ VC / B r r r r r r r r r 5 r ωBC = − k , VC / B = VC − VB , VC = −17, 68 i , VC / B = −17, 68 i − 50 j 8 r r r r r uuur r r 5 r r k ∧ (−17, 68 i − 50 j ) BC = 10 8 i − 10 j , a C / B = α BC k ∧ (10 8 i − 10 j ) − 8 r r r 250 250 r r a C / B = (10α BC − ) i + (10 8 αBC + ) j , aC = aC i 8 8 r r 250 250 r r a C = a C i = (10α BC − − 250) i + (10 8 αBC + )j 8 8 10α BC −
250 8
10 8 α BC +
− 250 = a C
250 8
⇒ =0
α BC = −
25 8 8
= −1,105 rad / s 2
a C = −349, 4 cm / s 2
158
Soru 3: Bir boyama atölyesinde kullanılan şekildeki mekanizmada boya parçacıkları R = 250 mm yarıçaplı bir çembersel tüp içinde çembersel tüpe göre Vbağ = 150 mm / s (sabit ) bağıl hızı ile hareket ediyor. Aynı anda çembersel tüp ABC kolu etrafında ω 1 = 0, 4 rad / s (sabit ) açısal hızı ile dönüyor. Tüp içinde hareket eden boya parçacıklarının hızını ve ivmesini θ = 1200 için sabit sisteme göre bulunuz. y A B z
θ
450 mm
P ω1 C Vbağ = 150 mm / s R G E x
Çözüm : r r r VP = Vbağ . + Vsür . r r uuu r uuur r r 150 Vbağ . = −θ&k ∧ GP , θ&= rad / s , GP = 250 cos 600 i + 250sin 600 j 250 r r r r r r r r uuur 3r Vbağ . = − k ∧ (125 i + 125 3 j ) , Vbağ . = 75 3 i − 75 j , Vsür . = ω1 i ∧ GP 5 r r r r r r r r r r Vsür . = 0, 4 i ∧ (125 i + 125 3 j ) , Vsür . = 50 3 k , VP = 75 3 i − 75 j + 50 3 k r r r r VP = 129,9 i − 75 j + 86, 6 k r r r r aP = abağ . + asür . + acor . r r uuu r r r & &= 0 dır. abağ . = −θ& k ∧ GP − θ&k ∧ Vbağ . , θ&sabit olduğundan θ& r r r r 3r r r abağ . = − k ∧ (75 3 i − 75 j ) , abağ . = −45 i − 45 3 j 5 r r uuur r r r r r asür . = α 1 i ∧ GP + ω1 i ∧ Vsür . , ω 1 sabit olduğundan α 1 = 0 dır. asür . = 0, 4 i ∧ 50 3 k r r r r r r r r r asür . = 20 3 j , acor . = 2 ω 1i ∧ Vbağ. , acor . = 0,8 i ∧ (75 3 i − 75 j ) r r r r r r r r r r acor . = −60 k , aP = −45 i − 65 3 j − 60 k , aP = −45 i − 112, 6 j − 60 k
159
EkA2 Daha Önceki Senelerde 2.Vize sınavlarında sorulan sorular ve cevapları EkA2.1 2002-2003 güz yarıyılı MakinaG(1) Dinamik 2.vize soru ve çözümleri Soru 1: D diski ve ona mafsallı çubuktan oluşan mekanizmada şekilde gösterildiği anda D 2 diskinin açısal hızı ω D = 6rad / s. ve açısal ivmesi α D = 2rad / s dır. Şekilde gösterildiği anda a) AB çubuğunun açısal hızını b) AB çubuğunun açısal ivmesini c) AB çubuğunun orta noktası G nin ivmesini hesaplayınız.
ωD
40cm. D B 100cm. G 300 A
Çözüm: y
ωD
40cm. D B
I G VB
300
ωD A
VA x
a)
sur 240 VB VB = R ωD , VB = 40 ∗ 6 , VB = 240 cm / s , VB = IB ωAB ⇒ ω AB = su r , ω AB = 50 3 IB su r 8 8 ω AB = 3 , ω AB = 2, 77 rad / s , VA = IA ωAB , VA = 50 3 , VA = 80 3 cm / s 5 5 r uuur r r r r r r r r r r r b) aB = aA + aB / A , aB = −α D k ∧ DB − ωD k ∧ VB , aB = −2k ∧ 40 i − 6k ∧ ( −240 j ) r r uuu r r r r r r r r r r r aB = −1440 i − 80 j , a A = aA i , aB / A = α ΑΒ k ∧ AB + ωΑΒ k ∧ VB / A , VB / A = VB − VA uuur r r r r r VB / A = −80 3 i − 240 j , AB = −50 3 i + 50 j , r r r r 8 r r r aB / A = α ΑΒ k ∧ (−50 3 i + 50 j ) + 3 k ∧ (−80 3 i − 240 j ) 5 r r r aB / A = (−50α ΑΒ + 384 3) i + (−50 3 αΑΒ − 384) j r r r r r r aB = −1440 i − 80 j = aA i + [(−50α ΑΒ + 384 3) i + (−50 3 αΑΒ − 384) j ]
160
r r r r −1440 i − 80 j = (−50α ΑΒ + a A + 384 3) i + (−50 3 αΑΒ − 384) j −50α ΑΒ + a A + 384 3 = −1440
⇒ α AB =
α AB = −3,51 rad / s 2
80 − 384
, 50 3 −50 3 α ΑΒ − 384 = −80 a A = −1929, 6 cm / s 2 r uuur r r r r r r r r c) aG = a A + aG / A , a A = −1929, 6 i , aG / A = α ΑΒ k ∧ AG + ωΑΒ k ∧ VG / A uuur 1 uuur uuur 1 r uuur r r r uuur r r VG / A = ωΑΒ k ∧ AG , AG = AB , AG = (−50 3 i + 50 j ) , AG = −25 3 i + 25 j 2 2 r r r r r r r 8 VG / A = 3 k ∧ (−25 3 i + 25 j ) , VG / A = −40 3 i − 120 j 5 r r r r 8 r r r aG / A = −3,51 k ∧ (−25 3 i + 25 j ) + 3 k ∧ (−40 3 i − 120 j ) 5 r r r r r r r aG / A = 420,3 i − 40 j , aG = −1929, 6 i + (420,3 i − 40 j ) r r r r aG = −1509,3 i − 40 j , aG = 1509,8 cm / s 2 Soru 2: Şekilde otomatik kaynak makinesi gösterilmektedir. İki kaynak ucu G ve H nin hareketi D hidrolik silindiri ve BC çubuğu ile kontrol edilmektedir. Silindir düşey düzlemdeki bir plakaya tesbit edilmiştir. Bu plaka Şekilde gösterildiği anda A etrafında pozitif yönde ω = 1,6 rad/s sabit açısal hızı ile dönüyor.Aynı anda kaynak gurubunun EF uzunluğu 300mm/s sabit hızı ile artmaktadır.Bu anda a) G ucunun hızını b) G ucunun ivmesini hesaplayınız. y
G 200mm. D
B
C
E A
F 200mm.
ω
H
x
600mm. Çözüm: r r r r r uuur uuur r r r r a) VG = Vbağ . + Vsür . , Vbağ . = 300 i , Vsür = ω k ∧ AG , AG = 600 i + 400 j r r r r r r r r r r r Vsür = 1, 6 k ∧ (600 i + 400 j ) , Vsür = −640 i + 960 j , VG = 300 i + (−640 i + 960 j ) r r r VG = −340 i + 960 j , VG = 1018, 43 mm / s b)
r r r r r r aG = abağ + asür + acor , abağ . = 0 ( Vbağ . sabit ve bağıl hareket doğrusal olduğundan ) r uuur r r r asür = α k ∧ AG + ω k ∧ VSür , α = 0 ( ω sabit olduğundan) r r r r r r r asür = 1, 6 k ∧ (−640 i + 960 j ) , asür = −1536 i − 1024 j r r r r r r r r acor . = 2ω k ∧ Vbağ. , acor . = 3, 2 k ∧ 300 i , acor . = 960 j r r r r aG = (−1536 i − 1024 j ) + 960 j r r r aG = −1536 i − 64 j , aG = 1537,3 mm / s 2
161
Soru 3: 6kg Kütleli ve l = 20cm. kenar uzunluklu kare şeklindeki homojen malzemeden yapılan aşağıdaki cisim A köşesi etrafında ilk hızsız harekete bırakılıyor. Cismin AB köşegeninin yatayla θ açısı yaptığı anda A mesnetindeki tepki kuvvetini hesaplayınız. l = 20cm.
m = 6kg. θ = 300
A
B θ mg
Çözüm:
(1)
mg
B θ
x h
r r F (2) ∑ = m auGuur r r r r aG = α ∧ AG + ω ∧ VG y suu r uuuur suur r suur r suur r suur AB suur r uuur 2 VG = ω ∧ AG , AG2 = AG cos θ i + AG sin θ j , AG = , AB = 2 l , AG = l 2 2 uuuur uuuur r r 2 2 6 r 2 r AG2 = l cos 300 i + l sin 300 j , AG2 = li + l j 2 2 4 4 suur M ∑ M A = I A α ⇒ α = ∑I A , ∑ M A = mg AG cos θ , ∑ M A = 46 mgl A suur 1 1 1 1 2 2 I A = I G + m ( AG ) 2 , I G = m l 2 + m l 2 , I G = m l 2 , I A = m l 2 + m ( l) 12 12 6 6 2 6 mg l 1 2 2 2 2 2 3 6 9,81 3 6g IA = ml + ml , IA = ml , α = 4 , α= , α= 2 2 6 4 3 8 0, 2 8 l ml 3 2 τ( 1) →( 2) + T1 = T2 , T1 = 0 ( ilk hızlar sıfır olduğundan ) α = 45, 06 rad / s , suur 1 1 2 2 2 τ( 1) →( 2) = mg AG sin θ , τ 1 → 2 = 2 mg l , T2 = I A ω2 , T2 = ml ω ( ) ( ) 2 2 3 4 2 2 2 ml ω , 6
3 2g 3 2 9,81 2 2 , ω= mg l = m l 2 ω2 ⇒ ω = 4l 4 ∗ 0, 2 4 6 r r r r r r r ω = 7, 213 rad / s , V = 7, 213 k ∧ ( 6 l i + 2 l j ) , VG = −0,51 i + 0,883 j G 4 4 r r r r r r 6 2 r aG = 45, 06 k ∧ ( 0, 2 i + 0, 2 j ) + 7, 213 k ∧ (−0,51 i + 0,883 j ) 4 r 4 r r aG = −9,555 i + 1,84 j
T2 =
∑F ∑F
x
= m aG x ⇒ RA x = 6 ∗ (−9,555)
y
= m aG y ⇒ RA y + m g = 6 ∗ 1,84 ⇒
⇒
RA x = −57,3 N . RA y = −47,82 N .
RA = 74, 6 N .
162
EkA2.2 2002-2003 güz yarıyılı MakinaG(4) Dinamik 2.vize soru ve çözümleri Soru 1: AB çubuğunun A ucu sağa doğru sabit VA = 2m / s hızı ile hareket ediyor. Şekilde gösterildiği anda a) AB çubuğunun açısal ivmesini b) AB çubuğunun orta noktası G nin ivmesini hesaplayınız. D 1,25m. 3m. B G 300 A Çözüm: D
ωBD
x I ∞ da VB G
B 300
A
VA
y uuur r uuur r r r r r r r r r r a) aB = aA + aB / A , aB = α BD ∧ DB + ωBD ∧ VB , aB / A = α ΑΒ ∧ AB + ωΑΒ ∧ VB / A r r a A = 0 ( VA sabit ve A noktasının hareketi doğrusal olduğundan ) uuur suu r r 3r r uuur r suur r uuur 3 3i − j DB = 1, 25 j , AB = − AB cos 300 i − AB sin 300 j , AB = − 2 2 r r r r r r r r r I ani dönme merkezi olduğundan ωΑΒ = 0 , VB = VA = 2 i , VB / A = VB − VA = 0 suur 2 V VB = BD ωBD ⇒ ωBD = suBur , ωBD = , ωBD = 1, 6 rad / s 1, 25 BD r r r r r r r r aB = α BD k ∧ 1, 25 j − 1, 6k ∧ 2 i , aB = −1, 25 α BD i − 3, 2 j r r 3r r 3 r 3 3 r r aB / A = α ΑΒ k ∧ ( − 3 i − j ) , aB / A = α ΑΒ i − 3 α ΑΒ j 2 2 2 2 r r r r 3 3 r aB = −1, 25 α BD i − 3, 2 j = α ΑΒ i − 3 α ΑΒ j 2 2 3 α ΑΒ = −1, 25 α BD α ΑΒ = 1, 232 rad / s 2 2 3 α BD = −1, 478 rad / s 2 − 3 α ΑΒ = −3, 2 2 uuu r r uuur r r uuur AB r 3r r r r r 3 b) aG = a A + aG / A , aG / A = α ΑΒ k ∧ AG + ωΑΒ k ∧ VG / A , AG = =− 3i − j 2 4 4 r r r r r 3 3 r r aG / A = 1, 232k ∧ (− 3 i − j) , aG = 0,924 i − 1, 6 j , aG = 1,848 m / s 2 4 4
163
Soru 2: Şekildeki vincin AB ulaşım kolunun uzunluğu 150 mm/s sabit hızı ile artıyor.Aynı anda AB ulaşım kolu 0,075 rad/s. Sabit açısal hızı ile alçalıyor. θ = 300 olduğu bilindiğine göre a) Ulaşım kolunun B uç noktasının hızını b)Ulaşım kolunun B uç noktasının ivmesini hesaplayınız. y B 6m. θ A x Çözüm: r r r r r r r r r a) VB = Vbağ . + Vsür . , Vbağ . = Vbağ . (cos θ i + sin θ j ) , Vbağ . = 75 3 i + 75 j r r uuur r r uuur r r r uuur r Vsür = ω ∧ AB , ω = −0, 075 k , AB = 6000 ∗ (cos θ i + sin θ j ) , AB = 3000 3 i + 3000 j r r r r r r r r r r Vsür = −0, 075 k ∧ (3000 3 i + 3000 j ) , Vsür = 225 i − 389, 71 j , VB = 354,9 i − 314, 71 j VB = 474,3 mm / s r r r r r b) aB = abağ + asür + acor , abağ . = 0 ( Vbağ . sabit ve bağıl hareket doğrusal olduğundan ) r uuur r r r asür = α k ∧ AB + ω ∧ VSür , α = 0 ( ω sabit olduğundan) r r r r r r r asür = −0, 075 k ∧ (225 i − 389, 71 j ) , asür = −29, 23 i − 16,875 j r r r r r r r r r r acor . = 2ω ∧ Vbağ . , acor . = −0,15 k ∧ (75 3 i + 75 j ) , acor . = 11, 25 i − 19, 486 j r r r aB = −17,98 i − 36,36 j , aB = 40,56 mm / s 2
Soru 3: uzunluğundaki çubuk ve / 4 kenar uzunluğundaki kare levhadan oluşturulan Homojen malzemeden yapılan aşağıdaki cisim ilk hızsız harekete bırakılıyor. Cismin yatayla θ açısı yaptığı anda A mesnetindeki tepki kuvvetini hesaplayınız. A
θ
B / 4 D / 4 C
= 40cm. mçubuk = 3kg. mkare = 9kg. θ = 450
164
Çözüm: A
mÇ g mK g B l / 2 GÇ θ
G D
/ 4
GÇ
ϕ
GK (1) C
x
θ+ϕ
G GK (2)
r r ∑ F = m aG
y
uuuuur uuuuuu r r uuur uuuur mÇ AGÇ 1 + mK AGK 1 r VG = ωk ∧ AG , AG1 = mÇ + mK u u u u u r u u u u u u r uuuuur l r uuuuuu r r r r l r l r AGÇ 1 = i , AGÇ 1 = 0, 2 i , AGK 1 = (l − ) i + j , AGK 1 = 0,35 i + 0, 05 j 2 8 8 r r r suur uuur uuuur uuuur 3(0, 2 i ) + 9(0,35 i + 0, 05 j ) r r , AG1 = 0,3125 i + 0, 0375 j , AG = AG AG1 = 3+9 suur 0, 0375 , ϕ = 6,8430 AG = 0,314742 m. , ϕ = arctan 0,3125 uuuur suur uuuur r suur r r r AG2 = AG cos(θ + ϕ) i + AG sin(θ + ϕ) j , AG2 = 0,19445 i + 0, 2475 j suur M ∑ M A = I A α ⇒ α = ∑I A , ∑ M A = (mÇ + mK ) g AG cos(θ + ϕ) A r uuur r r r aG = α k ∧ AG + ωk ∧ VG ,
∑M
= (3 + 9)9,81 ∗ 0,314742 cos(450 + 6,8430 ) , ∑ M A = 22,8912 Nm. suuuuuu r 1 1 l l l I A = ( I A )Çubuk + ( IG )Kare + mKare ( AGKare ) 2 , I A = mÇ l 2 + 2 mK ( )2 + mK [(l − )2 + ( )2 ] 3 12 4 8 8 22,8912 1 1 I A = 3 ∗ 0, 42 + 9 ∗ 0,12 + 9(0,352 + 0, 052 ) , I A = 1,3 kgm 2 , α = 1,3 3 6 2 α = 17, 609 rad / s A
1 T1 = 0 ( İlk hızlar sıfır olduğundan ) , T2 = I A ω2 2 suur = mgh , h = AG[sin(θ + ϕ) − sin ϕ] , h = 0, 21 m.
τ( 1) →( 2) + T1 = T2 τ( 1) →( 2)
,
1 24 ∗ 9,81 ∗ 0, 21 I A ω2 ⇒ ω = , ω = 6,167 rad / s 2 1,3 r r r r r r r VG = 6,167k ∧ (0,19445 i + 0, 2475 j ) , VG = −1,5263 i + 1,1992 j r r r r r r r aG = 17, 609k ∧ (0,19445 i + 0, 2475 j ) + 6,167 k ∧ ( −1,5263 i + 1,1992 j ) r r r aG = −11, 754 i − 5,989 j τ( 1) →( 2) = 12 ∗ 9,81 ∗ 0, 21 =
∑F ∑F
RA x = −141, 05 N .
x
= m aG x
⇒
RA x = 12(−11, 754) ,
y
= m aG y
⇒
RA y + 12 g = 12(−5,989) , RA y = −189,59 N . , RA = 236,3 N .
165
EkA2.3 2002-2003 güz yarıyılı MakinaG(7) Dinamik 2.vize soru ve çözümleri Soru 1A: Şekilde gösterildiği anda AB çubuğunun A ucu sola doğru VA = 0.75m / s hızı ve a A = 0.54m / s 2 ivmesi ile hareket ediyor. Şekilde gösterildiği anda a) D diskinin açısal hızını b) AB çubuğunun açısal ivmesini c) AB çubuğunun orta noktası G nin ivmesini hesaplayınız. 40cm. D
B
100cm. G VA 300
A
Çözüm: y
ωD
VB
40cm. D B
I G VA 300
ω AB A x
a)
su r su r su r suur 0, 75 VA r , IA = AB sin 300 , IA = 0,5 m. , ω AB = VA = IA ωAB , ω AB = su 0,5 IA sur sur sur suur ω AB = 1,5 rad / s , VB = IB ωAB , IB = AB cos 300 , IB = 3 m. , VB = 0, 75 3 m / s 2 V 0, 75 3 VB = R ωD ⇒ ωD = B , ωD = , ωD = 1,875 3 rad / s ωD = 3, 2476 rad / s R 0, 4 r uuur r r uuur r r r r r r r b) aB = aA + aB / A , aB = α D k ∧ DB + ωD k ∧ VB , DB = 0, 4 i , VB = 0, 75 3 j r r r r r r r r aB = α D k ∧ 0, 4 i + 1,875 3 k ∧ 0, 75 3 j , aB = −4, 21875 i + 0, 4 αD j r r uuu r r r r r r r r r r a A = −0, 54i , aB / A = α ΑΒ k ∧ AB − ωΑΒ k ∧ VB / A , VB / A = VB − VA , VA = −0, 75 i uuur r r r r r VB / A = 0, 75 i + 0, 75 3 j , AB = −0,5 3 i + 0,5 j r r r r r r r aB / A = α ΑΒ k ∧ (−0,5 3 i + 0,5 j ) − 1,5 k ∧ (0, 75 i + 0, 75 3 j ) r r r aB / A = (−0,5α ΑΒ + 1,125 3) i + (−0,5 3 αΑΒ − 1,125) j r r r r r r aB = −4, 21875 i + 0, 4 αD j = −0,54i + [( −0,5α ΑΒ + 1,125 3) i + (−0,5 3 αΑΒ − 1,125) j ] r r r r −4, 21875 i + 0, 4 α D j = (−0,5α ΑΒ + 1,125 3 − 0,54) i + (−0,5 3 αΑΒ − 1,125) j
166
−0,5α ΑΒ + 1,125 3 − 0,54 = −4, 21875 −0,5 3 α ΑΒ − 1,125 = 0, 4 α D
⇒
α AB = 11, 255 rad / s 2 α D = −27,18 rad / s 2
r uuur r r r r r r r r c) aG = a A + aG / A , a A = −0,54i , aG / A = α ΑΒ k ∧ AG − ωΑΒ k ∧ VG / A uuur 1 uuur uuur 1 r uuur r r r VG / A = −ωΑΒ k ∧ AG , AG = AB , AG = (−0,5 3 i + 0,5 j ) 2 2 r uuur r r r r r VG / A = −1,5 k ∧ (−0, 25 3 i + 0, 25 j ) AG = −0, 25 3 i + 0, 25 j , r r r VG / A = 0,375 i + 0,375 3 j r r r r r r r aG / A = 11, 255 k ∧ ( −0, 25 3 i + 0, 25 j ) − 1,5 k ∧ (0,375 i + 0,375 3 j ) r r r r r r aG / A = −1,8395 i − 5, 43606 j , aG = −2,3795 i − 5, 4361 j aG = 5,934 cm / s 2
Soru 1B: Şekilde gösterildiği anda AB çubuğunun A ucu sola doğru VA = 0.75m / s hızı ve a A = 0.54m / s 2 ivmesi ile hareket ediyor. Şekilde gösterildiği anda a) AB çubuğunun açısal ivmesini b) AB çubuğunun orta noktası G nin ivmesini hesaplayınız.
40cm. 100cm. D
B
G 300 A
Çözüm: VB
y 40cm. D
B
ωD
ω AB
I
G VA 300
A x
167
a)
su r su r su r suur 0, 75 VA r , IA = AB sin 300 , IA = 0,5 m. , ω AB = VA = IA ωAB , ω AB = su 0,5 IA sur sur sur suur ω AB = 1,5 rad / s , VB = IB ωAB , IB = AB cos 300 , IB = 3 m. , VB = 0, 75 3 m / s 2 V 0, 75 3 VB = R ωD ⇒ ωD = B , ωD = , ωD = 1,875 3 rad / s ωD = 3, 2476 rad / s R 0, 4 r uuur r r uuur r r r r r r r b) aB = aA + aB / A , aB = α D k ∧ DB + ωD k ∧ VB , DB = 0, 4 i , VB = 0, 75 3 j r r r r r r r r aB = α D k ∧ 0, 4 i + 1,875 3 k ∧ 0, 75 3 j , aB = −4, 21875 i + 0, 4 αD j r r uuu r r r r r r r r r r a A = −0, 54i , aB / A = α ΑΒ k ∧ AB − ωΑΒ k ∧ VB / A , VB / A = VB − VA , VA = −0, 75 i uuur r r r r r VB / A = 0, 75 i + 0, 75 3 j , AB = −0,5 3 i + 0,5 j r r r r r r r aB / A = α ΑΒ k ∧ (−0,5 3 i + 0,5 j ) − 1,5 k ∧ (0, 75 i + 0, 75 3 j ) r r r aB / A = (−0,5α ΑΒ + 1,125 3) i + (−0,5 3 αΑΒ − 1,125) j r r r r r r aB = −4, 21875 i + 0, 4 αD j = −0,54i + [( −0,5α ΑΒ + 1,125 3) i + (−0,5 3 αΑΒ − 1,125) j ] r r r r −4, 21875 i + 0, 4 α D j = (−0,5α ΑΒ + 1,125 3 − 0,54) i + (−0,5 3 αΑΒ − 1,125) j −0,5α ΑΒ + 1,125 3 − 0,54 = −4, 21875 −0,5 3 α ΑΒ − 1,125 = 0, 4 α D
⇒
α AB = 11, 255 rad / s 2 α D = −27,18 rad / s 2
r uuur r r r r r r r r c) aG = a A + aG / A , a A = −0,54i , aG / A = α ΑΒ k ∧ AG − ωΑΒ k ∧ VG / A uuur 1 uuur uuur 1 r uuur r r r VG / A = −ωΑΒ k ∧ AG , AG = AB , AG = (−0,5 3 i + 0,5 j ) 2 2 r uuur r r r r r VG / A = −1,5 k ∧ (−0, 25 3 i + 0, 25 j ) AG = −0, 25 3 i + 0, 25 j , r r r VG / A = 0,375 i + 0,375 3 j r r r r r r r aG / A = 11, 255 k ∧ ( −0, 25 3 i + 0, 25 j ) − 1,5 k ∧ (0,375 i + 0,375 3 j ) r r r r r r aG / A = −1,8395 i − 5, 43606 j , aG = −2,3795 i − 5, 4361 j , aG = 5,934 cm / s 2
168
Soru 2: Şekilde otomatik kaynak makinesi gösterilmektedir. İki kaynak ucu G ve H nin hareketi D hidrolik silindiri ve BC çubuğu ile kontrol edilmektedir. Silindir düşey düzlemdeki bir plakaya tesbit edilmiştir. Bu plaka Şekilde gösterildiği anda A etrafında pozitif yönde ω = 1,6 rad/s sabit açısal hızı ile dönüyor.Aynı anda kaynak gurubunun EF uzunluğu 300mm/s sabit hızı ile artmaktadır. a) H ucunun hızını b) H ucunun ivmesini hesaplayınız. y G 200mm. D B
C
E
F 200mm.
A
H
x
600mm. Çözüm: a) r r r r r uuur r r r r VH = Vbağ . + Vsür . , Vbağ . = Vbağ . i , Vbağ . = 300 i , Vsür = ω k ∧ AH r uuur r r r r r r r r AH = 600 i , Vsür = 1, 6 k ∧ 600 i , Vsür = 960 j , VH = 300 i + 960 j VH = 1005,8 mm / s b)
r r r r r r aH = abağ + asür + acor , abağ . = 0 ( Vbağ . sabit ve bağıl hareket doğrusal olduğundan ) r uuur r r r asür = α k ∧ AH + ω k ∧ VSür , α = 0 ( ω sabit olduğundan) r r r r r asür = 1, 6 k ∧ 960 j , asür = −1536 i r r r r r r r r acor . = 2ω k ∧ Vbağ. , acor . = 3, 2 k ∧ 300 i , acor . = 960 j r r r aH = −1536 i + 960 j , aH = 1811,3 mm / s 2
Soru 3: 9kg Kütleli dikdörtgen şeklindeki homojen malzemeden yapılan aşağıdaki cisim ilk hızsız harekete bırakılıyor. Cismin yatayla θ açısı yaptığı anda A mesnetindeki tepki kuvvetini hesaplayınız. A
θ
= 40cm.
B / 4
m = 9kg . θ = 300
169
Çözüm:
mg mg
A
B ϕ
h1 h
h2
G1 θ G2
r
θ+ϕ
r
∑ F = m ar
G
uuur r r r uuur r suur r aG = α k ∧ AG + ωk ∧ VG , VG = ωk ∧ AG , AG = (l / 2) 2 + (l / 8)2 , uuuur suur suur r suur r suur AG = 0, 22 + 0, 052 , AG = 0, 20616 m. , AG2 = AG cos(θ + ϕ) i + AG sin(θ + ϕ) j uuuur r r l /8 ϕ = arctan , ϕ = 14, 040 , AG2 = 0, 20616 cos 44, 040 i + 0, 20616sin 44, 040 j l /2 uuuur r r ∑MA AG2 = 0,1482 i + 0,1433 j , ∑ M A = I A α ⇒ α = IA suur ∑ M A = mg AG cos(θ + ϕ) , ∑ M A = 9 ∗ 9,81 ∗ 0, 20616 ∗ cos 44, 040 , ∑ M A = 13, 085 Nm. 1 1 l 1 1 17 I A = m l 2 + m( )2 , I A = m l 2 (1 + ) , I A = 9 ∗ 0, 42 , I A = 0,51 kg m 2 3 3 4 3 16 48 13, 085 2 α= , α = 25, 66 rad / s , τ( 1) →( 2) + T1 = T2 , τ( 1) →( 2) = mgh , h = h2 − h1 0,51 suur suur h2 = AG sin(θ + ϕ) , h2 = 0, 20616 ∗ sin 44, 040 , h2 = 0,143314 m. , h1 = AG sin(ϕ) h1 = 0, 20616 ∗ sin14, 040 , h1 = 0, 050014 m. , h = 0, 0933 m. , τ( 1) →( 2) = 9 ∗ 9,81 ∗ 0, 0933 1 1 2 ∗ 8, 237 τ( 1) →( 2) = 8, 237 Nm. , T1 = 0 , T2 = I A ω2 , T2 = 0,51ω2 = 8, 237 ⇒ ω = 2 2 0,51 r r r r r r r ω = 5, 68 rad / s , VG = 5, 68k ∧ (0,1482 i + 0,1433 j ) , VG = −0,814 i + 0,842 j r r r r r r r r r r aG = 25, 66k ∧ (0,1482 i + 0,1433 j ) + 5, 68k ∧ (−0,814 i + 0,842 j ) , aG = −8, 46 i − 0,82 j
∑F
x
= m aG x ⇒ RA x = 9 ∗ (−8, 46) ,
RA x = −76,14 N .
∑F
y
= m aG y ⇒
RA y + m g = m ∗ ( −0.82) , RA y = −9 ∗ ( 9,81 + 0.82) , RA y = −95, 67 N . RA = R 2A + R 2A x
y
,
RA =
( −76,14 )
2
+ ( −95, 67 )
2
RA = 121,9 N .
EkA2.4 2002-2003 yaz okulu MakinaG(1) Dinamik 2.vize soru ve çözümleri 170
Soru 1: Verilen mekanizmadaki doğrusal hareket yapan A bileziğinin Şekilde gösterildiği anda hızı sağa doğru VA = 2.5 m /s , ivmesi aA = 1.5 m /s2 olduğuna göre BC krankının açısal hızını ve açısal ivmesini θ = 300 için bulunuz. y C 1,25 m
3m B θ
A
a A = 1,5 m / s 2 VA = 2,5 m / s x
I sonsuzda Ani dönme merkezi I sonsuzda olduğundan ω AB = 0 ve VA = VB suur 2,5 V VB = ωBC BC ⇒ ωBC = suBur , ωBC = , ωBC = 2 rad / s 1, 25 BC r r r r a A = 1, 5 i = aB + aA / B r r r uuu r r r uuu r r r r aB = α BC k ∧ CB + ωBC k ∧ VB , a A / B = α AB k ∧ BA + ωAB k ∧ VA / B r 3 uuu r r r 3r r uuu r 3i − j CB = −1, 25 j , VB = 2,5 i , BA = 2 2 r r r r r r r r aB = α BC k ∧ (−1, 25) j + 2 k ∧ 2,5 i , aB = 1, 25α BC i + 5 j r 3 r 3r r 3 r 3 r r a A / B = α AB k ∧ ( 3 i − j ) , a A / B = α AB i + 3 α AB j 2 2 2 2 r r 3 r 3 r a A = 1, 5 i = (1, 25α BC + α AB )i + ( 3 αAB + 5) j 2 2 3 1, 25α BC + α AB = 1,5 2 3 3 α AB + 5 = 0 2
⇒
dir.
α AB = −1,92 rad / s 2 α BC = 3,51 rad / s 2
171
Soru 2: Dikdörtgen şeklindeki OABC plakası xoy düzleminde kalarak o noktası etrafında x den y ye doğru dönmektedir.Aynı anda bir P maddesel noktası A dan C ye doğru Vbağ . = 6 cm / s (sabit ) bağıl hızı ile hareket ediyor. Plaka şekildeki konumdan geçerken açısal hızı ω = 8 rad / s (sabit) olup P maddesel noktası AC köşegeninin ortasındadır. Bu an için P maddesel noktasının sabit eksen sistemine göre hız ve ivme vektörlerini hesaplayınız. O
C
ω
x
P Vbağ .
30 cm.
A 40 cm
B
y Çözüm : r r r VP = Vbağ . + Vsür . r r r r r 4r 3 r 4r 3 r 24 r 18 r Vbağ . = Vbağ .U AC , U AC = i − j , Vbağ . = 6 i − 6 j , Vbağ . = i− j 5 5 5 5 5 5 r uuur r uuur r r r r r r r r r Vsür . = ω k ∧ OP , OP = 20 i + 15 j , Vsür . = 8 k ∧ (20 i + 15 j ) , Vsür . = −120 i + 160 j r r r r r 24 18 r VP = ( − 120 i + (160 − ) j , VP = −115, 2 i + 156, 4 j 5 5 r r r r aP = abağ . + asür . + acor . r r r r abağ . = abağ .U AC , Vbağ . sabit olduğundan abağ . = 0 dır. r r uuu r r r r r r r asür . = α k ∧ OP + ω k ∧ Vsür , ω sabit olduğundan α = 0 dır. asür . = 8k ∧ (−120 i + 160 j ) r r r asür . = −1280 i − 960 j r r r 24 r 18 r r r r r r acor . = 2 ω k ∧ Vbağ. , acor . = 16k ∧ ( i − j ) , acor . = 57, 6 i + 76,8 j 5 5 r r r aP = −1222, 4 i − 883, 2 j
Soru 3 : 6 kg kütleli homojen bir çubuğun A ucu yatay düzlemle temas halinde iken B ucu düşey düzlemde hareket edebilen bir bileziğe mafsallıdır. Ve bu bileziğe bir P kuvveti uygulanarak bileziğe yukarı doğru VB = 0,5 m / s (sabit ) hız verilmektedir. Sürtünme kuvvetlerini ihmal ederek A mesnedindeki tepki kuvvetini θ = 300 için bulunuz.
P VB = 0,5 m / s ( sabit )
1,2 m B A
θ 172
Çözüm :
y P mg
ω AB
I
RB G
A
B VB = 0,5 m / s ( sabit )
θ x RA
r r F ∑ = maG ,
∑M
G
= IG
r r r r r aG = aB + aG / B , VB sabit olduğundan aB = 0 dır. r uuur r r r uuur uuur r r r r aG / B = α AB k ∧ BG + ωAB k ∧ VG / B , BG = −0,3 3 i − 0,3 j , VG / B = ω AB k ∧ BG r r uuu r r r r r r r r r r a A = aB + aA / B , a A = a A i , aB = 0 , a A / B = α AB k ∧ BA + ωAB k ∧ VA / B r uuu r r r r r r su r r r r BA = −0, 6 3 i − 0, 6 j , VA / B = VA − VB , VB = 0,5 j , VA = IA ∗ ωAB i r sur VB 0,5 5 1 r i VB = IB ∗ ω AB ⇒ ω AB = sur = , ω AB = , VA = IB 0, 6 3 6 3 2 3 r r r r r r 1 r 5 r 1 r 1r VA / B = i − 0, 5 j , VG / B = k ∧ (−0,3 3 i − 0,3 j ) , VG / B = i− j 4 2 3 6 3 4 3 r r r r r r 5 1 r a A i = α AB k ∧ (−0, 6 3 i − 0, 6 j ) + k ∧( i − 0,5 j ) 6 3 2 3 r r α AB = 0,13365 rad / s 2 5 5 r a A i = (0, 6 α AB + ) i + (−0, 6 3 αAB + )j ⇒ 12 ∗ 3 12 3 a A = 0,32075 m / s 2 r r r 5 r 1 r 1r r aG = 0,13365k ∧ (−0,3 3 i − 0,3 j ) + k ∧( i − j) 4 6 3 4 3 r r r r r −11 aG = 0,160375 i − 3, 22 ∗ 10 j , aG = 0,160375 i
∑ F = ma ∑ F = ma ∑M = I x
x
⇒ RB = 6 ∗ 0,160375 ,
RB = 0,96 Newton
y
y
⇒ P + RA − mg = 0 , P + RA = 6 ∗ 9,81 , P + RA = 58,86 Newton
⇒ 0, 6 3 P − 0, 6 ∗ RB − 0, 6 3 RA = 1 m ∗ L2 ∗ α AB 2 2 2 12 0, 6 3 0, 6 0, 6 3 1 P − 0,96 ∗ − RA = 6 ∗ 1, 22 ∗ 0,13365 2 2 2 12 2 P − RA = 0,384225 ∗ ⇒ RA = 29, 06 Newton 0, 6 3 P + RA = 58,86 G
G
173
EkA3 Daha Önceki Senelerde 3.Vize sınavlarında sorulan sorular ve cevapları EkA3.1 2002-2003 güz yarıyılı MakinaG(1) Dinamik 3.vize soru ve çözümleri Soru 1) Şekildeki mekanizmada B bileziği yukarı doğru 1,5 m/s sabit hızı ile hareket ediyor. θ = 500 için a) AB çubuğunun açısal hızını ve AB çubuğunun uç noktası A nın hızını b) AB çubuğunun açısal ivmesini ve AB çubuğunun uç noktası A nın ivmesini bulunuz. 1,2m
B θ
A 250 y
Çözüm: VB I
B 65
0
0
40
500 75 A
0
15
VA
x
0
250
400
sur su r sur sur su r VB 1, 2 IB IA ⇒ IB = 1, 279 m IA = 0,851 m = = a) VB = ωAB IB ⇒ ω AB = sur , IB sin 650 sin 750 sin 400 su r 1,5 ω AB = , ω AB = 1,173 rad / s , VA = ωAB IA , VA = 1,173 ∗ 0,851 , VA = 0,998 m / s 1, 279 r r r r r b) a A = aB + aA / B , aB = 0 ( B noktasının hareketi doğrusal ve hızının şiddeti sabit) uuu r r r r r r r r a A / B = α ΑΒ ∧ BA + ωΑΒ ∧ VA / B , VA / B = VA − VB r r r r r r r r VA = 0,998(cos 250 i + sin 250 j ) , VA = 0,9045i + 0, 4218 j , VB = 1,5 j r r r r r r r VA / B = 0,9045i − 1, 0782 j , ω AB = 1,173 k , α AB = α AB k uuu r uuu r r r r r BA = −1, 2 cos 400 i − 1, 2sin 400 j , BA = −0,9193 i − 0, 7713 j r r r r r r r a A / B = α ΑΒ k ∧ ( −0,9193 i − 0, 7713 j ) + 1,173 k ∧ (0,9045i − 1, 0782 j ) r r r r r r a A / B = (0, 7713 α ΑΒ + 1, 2647) i + (−0,9193 αΑΒ + 1, 061) j , a A = aA (cos 250 i + sin 250 j ) a A cos 250 = 0, 7713 α ΑΒ + 1, 2647 , a A sin 250 = −0,9193 α ΑΒ + 1, 061 0,9063a A − 0, 7713 α ΑΒ = 1, 2647 +( −
0,9063 ) ∗ (0, 4226a A + 0,9193 α ΑΒ = 1, 061) 0, 4226
α AB = 0,3685 rad / s a A = 1, 709 m / s 2
− 2, 7428 α AB = −1, 0107
174
Soru 2) P pimi AE ve BD çubuğu üzerindeki kanallarda hareket edebiliyor. AE çubuğu A pimi etrafında saat akrebi yönünde ωA=4rad/s sabit açısal hızı ile dönüyor.BD çubuğu ise hareketsiz duruyor. Şekilde verilen konum için a) P piminin hızını , b) P piminin ivmesini bulunuz. 250mm. A
B 600
ωA
P E D
Çözüm: uuu r r r r r r r r r r a) VP = Vbağ . + Vsür . , VP = Vp j , Vbağ . = Vbağ .U AE , Vsür = ω A ∧ AP suu r r uuur suur r suu rr suu r r BP ω A = 4 k , AP = AB i + BP j , = tg 300 ⇒ BP = 144,338 mm 250 uuur r r r r r r r r AP = 250 i + 144,338 j , U AE = sin 600 i + cos 600 j , Vbağ . = 0,866 Vbağ . i + 0,5Vbağ . j r r r r r r r Vsür = 4k ∧ (250 i + 144,338 j ) , Vsür = −577,352 i + 1000 j r r r r r r VP = Vp j = (0,866Vbağ . i + 0,5Vbağ . j ) + ( −577,352 i + 1000 j ) r r r V p j = (0,866Vbağ . − 577,352 )i + (0,5Vbağ . + 1000) j 0,866Vbağ . − 577,352 = 0 0, 5Vbağ . + 1000 = Vp
⇒
Vbağ = 666, 688 mm / s VP = 1333,344 mm / s
r r VP = 1333,344 j
b)
r r r r r r r r a p = abağ + asür + acor , a p = a p j , abağ . = abağ .U AE uuu r r r r r r r r r r r acor . = 2ω A ∧ Vbağ . , abağ . = 0,866 abağ . i + 0,5 abağ . j asür = α Α ∧ AP + ωΑ ∧ VSür , r r r r r r r asür = α Α k ∧ (250 i + 144,338 j ) + 4 k ∧ (−577,352 i + 1000 j ) r r r asür = (−144,338 α Α − 4000) i + (250 αΑ − 2309, 41) j α A = 0 ( ω A sabit olduğundan) r r r r r r r Vbağ . = 577,352i + 333,344 j acor . = 8k ∧ (577,352i + 333,344 j ) r r r acor . = −2666, 752 i + 4618,816 j r r r r r r a p = a p j = (0,866 abağ . i + 0,5 abağ . j ) + [(−144,338 α Α − 4000) i + (250 αΑ − 2309, 41) j ] r r + (−2666, 752 i + 4618,816 j ) r r r a p j = (0,866 abağ . − 4000 − 2666, 752) i + (0,5 abağ . − 2309, 41 + 4618,816) j 0,866 abağ . − 6666, 752 = 0 0, 5 abağ . + 2309, 41 = ap
⇒
abağ . = 7698,3 mm / s 2 aP = 6158, 6 mm / s 2
r r aP = 6158, 6 j
175
Soru 3) Şekildeki mekanizmada 3kg kütleli homojen AB çubuğunun hareketi, kütleleri ile sürtünme kuvveti ihmal edilebilen düşey doğrultuda hareket eden A ve yatay doğrultuda hareket eden B bileziği yardımı ile kontrol ediliyor. θ =150 de sistem ilk hızsız harekete bırakıldığına göre θ = 600 olduğu anda a) AB çubuğunun açısal hızını b) AB çubuğunun açısal ivmesini bulunuz. A 36cm θ B Çözüm: y
I ω
RA
A
VA
G θ x VB
a)
τ( 1) →( 2) + T1 = T2
,
T1 = 0 ,
B RB
τ( 1) →( 2) = mgh
l (cos150 − cos 600 ) , h = 0, 233 l , τ( 1) →( 2) = 0, 233 mg l 2 sur l sur suur 1 1 l T2 = mVG2 + I G ω2 , VG = IG ω , IG = , l = AB , VG = ω 2 2 2 2 2 4 1 l 1 1 T2 = m l 2 ω2 T2 = m ω2 + m l 2 ω2 , 24 2 4 2 12 h=
T2 =
1 2 2 m l ω = 0, 233 mg l ⇒ 6
ω=
6 ∗ 0, 233 g , l
ω=
6 ∗ 0, 233∗ 9,81 0,36
ω = 6,172 rad / s
b)
r r = I G α , ∑ F = m aG r r r r r r r r r r aG = aB + aG / B , a A = aB + aA / B , a A = aA j , aB = aB i
∑M
G
176
r r r su rr r r r r r r r uuu r a A / B = α ∧ BA + ω ∧ VA / B , VA / B = VA − VB , VA = −ω IA j VA = −192, 424 j sur r r r r r r r VB = ω IB i , VB = 111, 096 i , VA / B = −111, 096 i − 192, 424 j r r r r r r r a A / B = α k ∧ ( −31,178 i + 18 j ) + 6,172 k ∧ (−111, 096 i − 192, 424 j ) r r r a A / B = (−18 α + 1187, 641) i + (−31,178 α − 685, 68) j r r r r r a A = aA j = aB i + [(−18 α + 1187, 641) i + (−31,178 α − 685, 68) j ] aB − 18 α + 1187, 641 = 0 aB = 18 α −1187, 641 = 0 ⇒ −31,178 α − 685, 68 = a A a A = −31,178 α − 685, 68 uuu r r r r uuur r uuur BA r uuur r aG / B = α ∧ BG + ω k ∧ VG / B , VG / B = ω k ∧ BG , BG = 2 r uuur r r r r r BG = −15,589 i + 9 j , VG / B = 6,172 k ∧ (−15,589 i + 9 j ) r r r VG / B = −55,548 i − 96, 215 j r r r r r r r aG / B = α ∧ (−15,589 i + 9 j ) + ω k ∧ (−55,548 i − 96, 215 j ) r r r aG / B = (9α + 593,84) i + (−15,589α − 342,84) j r r r r aG = (18 α −1187, 641) i + [(9α + 593,84) i + (−15,589α − 342,84) j ] r r r aG = (27 α − 593,8) i + (−15,589α − 342,84) j ⇒ aGx = (27 α − 593,8) cm / s 2 m aG y = (−15,589α − 342,84) cm / s 2 Buradaki ivmelerin birimleri 2 cinsinden yazılırsa s 2 2 aGx = (0, 27 α − 5, 938) m / s , aG y = (−0,15589α − 3, 4284) m / s elde edilir. R = 0,81 α −17,814 ∑ F = m a ⇒ R = m(0, 27 α − 5, 938) , ∑ F = m a ⇒ R − m g = m(−0,15589α − 3, 4284) , R = −0, 4677α + 19,1448 l l 1 ∑ M = I α ⇒ R 2 sin θ − R 2 cos θ = 12 ml α x
x
y
y
A
A
B
B
2
G
G
B
A
l l 1 (−0, 4677α + 19,1448) sin θ − (0,81 α −17,814) cos θ = ml 2 α 2 2 12 (−0, 4677α + 19,1448) 3 − (0,81α −17,814) = 0,36α 1, 98α = 50, 974
⇒ α = 25, 744rad / s 2
RA = 3, 04 N .
RB = 7,1N .
,
177
EkA3.2 2002-2003 güz yarıyılı MakinaG(4) Dinamik 3.vize soru ve çözümleri Soru 1) Şekildeki mekanizmada BE çubuğu saat ibreleri tersi yönünde 4rad/s sabit açısal hızı ile E pimi etrafında dönüyor. Mekanizma şekilde gösterilen konumdan geçerken a) AD çubuğunun A noktasının hızını b) D bileziğinin ivmesini bulunuz. A
E 192mm B 300
240mm
D
360mm Çözüm: A
E B I
x 192mm VB 300 ω AD
D VD
y suu r sur V a) VB = ωBE BE , VB = 4 ∗ 192 , VB = 768 mm / s , VB = ωAD IB , ω AD = suBr , IB sur sur suur sur 1 768 IB = BD sin 30 , IB = 360 ∗ , IB = 180 mm , ω AD = , ω AD = 4, 267 rad / s 2 180 su r su r su r suu r 2 sur2 suu r sur VA = IA ωAD , IA = AB + IB − 2 ∗ AB ∗ IB cos120 0 , IA = 364, 966 mm VA = 364,966 ∗ 4, 267 , VA = 1557,3 mm / s r r uuu r r r r r r α BE = 0 ( ωBE sabit olduğundan ) b) aD = aB + aD / B , aB = α ΒΕ k ∧ EB − ωΒΕ k ∧ VB r r r r r r r r r VB = 768 i , aB = −4k ∧ 768 i , aB = −3072 j , aD = aD j r uuur r r uuur r r r r r r aD / B = α Α / D k ∧ BD + ωΑD k ∧ VD / B , BD = 311, 77 i + 180 j , VD / B = VD − VB sur sur suur sur 3 sur VD = ωAD ID , ID = BD cos 300 , ID = 360 ∗ , ID = 311, 769 mm 2 r VD = 4, 267 ∗ 311, 769 , VD = 1330,32 mm / s , VD = 1330,32 j r r r VD / B = −768 i + 1330,32 j r r r r r r r aD / B = α Α / D k ∧ (311, 77 i + 180 j ) + 4, 267k ∧ (−768 i + 1330,32 j ) r r r aD / B = (−180 α Α / D − 5676, 48) i + (311, 77αΑ / D − 3277, 056) j r r r r r aD = aD j = −3072 j + ( −180 α Α / D − 5676, 48) i + (311, 77αΑ / D − 3277, 056) j r r r aD j = (−180 α Α / D − 5676, 48) i + (311, 77αΑ / D − 6349, 056) j −180 α Α / D − 5676, 48 = 0 311, 77α Α / D − 6349, 056 = aD
⇒
α AD = −31,536 rad / s 2 aD = −16181,3 mm / s
2
r
, aD = −16181,3 j
178
Soru 2) Şekilde gösterilen Sabit disk mekanizmasında D diski saat ibreleri yönünde ωD = 10rad/s sabit açısal hızı ile D pimi etrafında dönmektedir. Aynı anda okuyucu elemanı bulunduran parça A etrafında saat ibreleri yönünde ωA=0,5rad/s sabit açısal hızı ile dönmektedir.P okuyucu elemanının diske göre bağıl hızını ve bağıl ivmesini bulunuz. y ωD
ωA D
P
A
X
7cm 9cm
Çözüm: r r r r r r VP = Vbağ . + Vsür . ⇒ Vbağ . = VP − Vsür . uuu r r r uuur r r r r r r VP = ω A ∧ AP , ω A = −0,5 k , AP = −7 i , VP = −0,5 k ∧ (−7 i ) uuur r uuur r r r r r r VP = 3,5 j , Vsür = ωD ∧ DP , ωD = −10 k , DP = 2 i r r r r r Vsür = −10 k ∧ 2 i , Vsür = −20 j r r r r r Vbağ . = 3,5 j + 20 j , Vbağ . = 23,5 j r r r r r r r r a p = abağ + asür + acor ⇒ abağ = a p − asür − acor uuu r r r r r r r aP = α Α ∧ AP + ωΑ ∧ VP , α A = 0 ( ω A sabit olduğundan ) r r r r r aP = −0,5 k ∧ 3,5 j , aP = 1, 75 i uuur r r r r r r asür = α D ∧ DP + ωD ∧ VSür , α D = 0 ( ωD sabit olduğundan ) r r r r r asür = −10 k ∧ −20 j , asür = −200 i r r r r r r r r acor . = 2ωD ∧ Vbağ. , acor . = −20 k ∧ 23,5 j , acor . = 470 i r r r r r r abağ . = 1, 75 i + 200 i − 470 i , abağ . = −268, 25 i
Soru 3) Aşağıdaki mekanizmada gösterilen homojen çubuklardan AB çubuğu 3kg ve BC çubuğu 8kg kütlelidir.C bileziğinin kütlesi ise 4kg dır. Sistem ilk hızsız şekildeki konumdan harekete bırakılırsa AB çubuğunun 900 döndükten sonraki açısal hızını bulunuz. 15cm B A 36cm C
Çözüm:
179
mAB g B A
A h1
mBC g
B h2
G
mC g h3
C
τ( 1) →( 2) + T1 = T2
C
I
T1 = 0 ( ilk hızlar ve açısal hızlar sıfır olduğundan) 0,15 τ( 1) →( 2) = mAB gh1 + mBC gh2 + mC gh3 , h1 = , h1 = 0, 075 m. 2 0,39 0,36 h3 = 0,15 m h2 = (0,15 + )−( ) , h2 = 0,165 m , 2 2 τ( 1) →( 2) = (3 ∗ 0, 075 + 8 ∗ 0,165 + 4 ∗ 0,15) g , τ( 1) →( 2) = 2,145 g 1 1 1 1 T2 = I A ω2AB + mBC VG2 + IG ω2BC + mC VC2 2 2 2 2 0 AB çubuğu 90 döndüğünde C noktası Ani dönme merkezi olacağından bu noktanın hızı sıfır olur. suu r suur 5 VC = 0 , VB = ωAB AB , VB = ωBC BC ⇒ 15 ω AB = 39 ωBC ⇒ ωBC = ωAB 13 sur 0,39 sur 0,39 5 ωAB , VG = 0, 075ωAB VG = ωBC IG , IG = , VG = 2 2 13 11 2 1 1 1 5 T2 = 3ω AB + 8 ∗ 0, 0752 ω2AB + 8 ∗ 0, 392 ∗ ( )2 ω2ΑΒ 23 2 2 12 13 2,145 g ⇒ ω AB = T2 = 0, 04125 ω2ΑΒ = 2,145 g , ω AB = 22,59 rad / s 0, 04125
,
EkA3.3 2002-2003 güz yarıyılı MakinaG(7) Dinamik 3.vize soru ve çözümleri Soru 1) Şekilde görülen disk saat ibreleri yönünde 8 rad/s lik sabit bir açısal hızla dönmektedir. Şekilde verilen konum için a) BC ve CD çubuğunun açısal hızını b) BC ve CD çubuğunun açısal ivmesini bulunuz. 10cm
A
B 24cm D
C 20cm Çözüm:
y
180
a)
10cm ωΑ A
B r VB
C
24cm
I ∞ da
D
x
20cm r VC Ani dönme merkezi sonsuzda olduğundan BC çubuğunun açısal hızı sıfır dır. Bundan dolayı C noktasının hızı B noktasının hızına eşittir. suu r r r VB = 8 ∗10 , VB = 80cm / s VC = VB , ωBC = 0 VB = ω A AB , suur V 80 VC = 80 cm / s VC = ωCD CD ⇒ ωCD = suCur , ωCD = , ωCD = 4 rad / s 20 CD uuu r r r r r r r r r r ω A sabit olduğundan α A = 0 b) aB = aB + aB / C , aB = α A ∧ AB + ωA k ∧ VB r r r r r r r VB = −80 j , aB = −8k ∧ (−80 j ) , aB = −640 i r uuur r r uuur r r r r r aC = αCD k ∧ DC + ωCD k ∧ VC , DC = −20 i , VC = VB = −80 j r r r r r r r r aC = αCD k ∧ ( −20 i + 4k ∧ ( −80 j ) , aC = 320 i − 20αCD j r r uuu r r r aB / C = α BC k ∧ CB + ωBC k ∧ VBC I ∞ olduğundan ωBC = 0 dır. r r r r r r r aB / C = −24α BC i + 10 αBC j aB / C = α BC k ∧ (10 i + 24 j ) , r r r r r −640i = (320 i − 20αCD j ) + (−24α BC i + 10αBC j ) r r r −640i = (320 − 24α BC ) i + (10α BC − 20αCD ) j 320 − 24α BC = −640 ⇒ α BC = 40 rad / s 2 , α CD = 20 rad / s 2 10α BC − 20αCD = 0 Soru 2) Şekildeki disk O noktası etrafında saat ibrelerinin ters yönünde sabit 300 dev/dak açısal hızı ile dönmektedir. r = 6cm ve R=12cm olduğuna göre θ = 600 için BCD elemanının a) hızını b) ivmesini hesaplayınız. B r P θ O
D
R C Çözüm:
181
a)
y
r B Vbağ .
r VP r VSür .
P r
ωO
O
D
x
R C r r r r r VP = Vbağ . + Vsür . , Vsür . = VBCD i uuur r r 2πrad r r ωO = 300dev / dak . ∗ VP = ωO ∧ OP , , ωO = 10π rad / s , ωO = 10π k 60 uuur uuur r r r r OP = r c os θ i + r sin θ j , OP = 3 i + 3 3 j uuur r r r r r r r r r VP = ωO ∧ OP , VP = 10 πk ∧ (3 i + 3 3 j ) , VP = −30 3π i + 30π j uuu r r uuur r r r Vbağ = ωbağ ∧ AP , AP = R c os ϕ i + R sin ϕ j r 6 3 = R sin θ 12 2 3 3 13 bulunur. cos ϕ = 1 − sin 2 ϕ , cos ϕ = 1 − , cos ϕ = sin ϕ = 16 4 4 r r uuur r r r r AP = 3 13 i + 3 3 j , Vbağ = ωbağ k ∧ (3 13 i + 3 3 j ) r r r Vbağ = −3 3ωbağ i + 3 13 ωbağ j r r r r r r VP = −30 3π i + 30π j = ( −3 3ωba ğ i + 3 13 ωbağ j ) + VBCD i P nin y koordinatı için yazılan R sinϕ = r sin θ eşitlikten sin ϕ =
−3 3ωbağ + VBCD = −30 3π 3 13 ωbağ = 30π
⇒ ωbağ =
10 13
π , ωbağ = 8, 713 rad / s VBCD = −117,967 cm / s
b)
r r r r a p = abağ + asür + acor r r r r asür = aBCD i acor = 0 ( ωsür = 0 olduğundan ) , uuu r r r r r r aP = α 0 ∧ OP + ω0 k ∧ VP , α 0 = 0 ( ω0 = sabit olduğundan) r r r r r r r aP = 10πk ∧ (−30 3π i + 30π j ) , aP = −300π2 i − 300 3π2 j uuur r r r r abağ = αbağ ∧ AP + ωbağ ∧ Vbağ r r r r r 10 r r abağ = αbağ k ∧ (3 13 i + 3 3 j ) + πk ∧ ( −45, 275 i + 94, 248 j ) 13 r r r abağ = (−3 3 αbağ − 821, 203) i + (3 13 αbağ − 394, 49) j
182
r r r r r aP = −300π2 i − 300 3π2 j = ( −3 3 αba ğ − 821, 203 + aBCD ) i + (3 13 αbağ − 394, 49) j −3 3 αbağ − 821, 203 + aBCD = −300π2 3 13 α bağ − 394, 49 = −300 3π
2
⇒ α bağ = −437, 65 rad / s 2 , aBCD = 134, 42 cm / s 2
Soru 3) 9kg kütleli homojen AB çubuğu A ve B deki pimler ile iki ayrı homojen diske tutturulmuştur. Disklerin her birinin kütlesi 6kg dır. Sistem θ = 600 iken ilk hızsız harekete bırakılırsa, θ = 1800 olduğunda disklerin açısal hızını bulunuz. θ
θ 150mm
A
B 200mm
200mm
150mm
Çözüm : mç g θ
θ 150mm
A h
B 200mm
200mm
150mm
τ( 1) →( 2) + T1 = T2 iş ve enerji ilkesi T1 = 0 ( ilk hızlar ve açısal hızlar sıfır olduğundan ) Burada iş yapan kuvvet sadece çubuğa etki eden ağırlık kuvvetidir. τ( 1) →( 2) = mç g h , h = 0, 275m. h = 200 + 150 cos 600 , h = 275mm , τ( 1) →( 2) = 9 ∗ g ∗ 0, 275 τ( 1) →( 2) = 2, 475 g 1 1 1 mçVç2 + 2 ( mD VG2 + IG ω2 ) 2 2 2 1 I G = mR 2 , VG = 0, 2 ω , Vç = VA = 0,15 ω 2 1 1 11 2 2 T2 = 9(0,15) 2 ω2 + 2[ 6 ( 0, 2 ) ω2 + 6 ( 0, 2 ) ω2 ] 2 2 22 2, 475 ∗ 9,81 T2 = 0, 46125 ω2 = 2, 475 g ⇒ ω= , 0, 46125 T=
ω = 7, 255 rad / s
183
EkA3.4 2002-2003 yaz okulu MakinaG(1) Dinamik 3.vize soru ve çözümleri Soru 1: 60 mm yarıçapındaki bir A tekerleği AB çubuğuna A ucundan mafsallıdır. AB çubuğu da C de sabit mafsallı olan BC çubuğuna B ucundan mafsallıdır. Şekilde gösterildiği anda A tekerleğinin merkezi sola doğru 300 mm/s (sabit) hızı ile hareket ediyor. Bu anda çubukların , a) açısal hızlarını b) açısal ivmelerini bulunuz. 175mm
70mm B
180mm 240 mm VA A 60mm
C
Çözüm : I
su r a) VA = IA ω AB ⇒
su r sur V ω AB = surA , IA = IK − 60 IA sur sur 240 , IK = 840 mm IK = 245 tan θ , tan θ = 70 su r 300 15 , ω AB = , ω AB = 0,385 rad / s IA = 780 mm , ω AB = 78 39 sur suur sur sur suur suur VB = IB ω AB , IB = IC − BC , BC = 702 + 2402 , BC = 250 mm sur sur IC 245 ⇒ sur IC = 875 mm , IB = 625 mm , VB = 240, 4mm / s = 250 su 70 ur suur VB = BC ωBC ⇒ ωBC = VB / BC , ωBC = 75 / 78
y
ω AB
VB
B
ωBC
VA A
θ
C
ωBC = 0,96 rad / s
x r r uuu r r r b) aB = α BC k ∧ CB − ωBC k ∧ VB r r r r r aB = aA + aB / A , A noktasının hareketi doğrusal hızı ve hızı VA sabit olduğundan a A = 0 dır. r uuur r r r Bu durumda aB = α AB k ∧ AB + ωAB k ∧ VB / A yazılabilir. r r uuu r r r r r r r uuu r r uuur r r VB = −ωBC k ∧ CB , VB / A = VB − VA , VA = 300 i , CB = 70 i + 240 j , AB = −175 i + 180 j r r r r r r r r r 75 r VB = − k ∧ (70 i + 240 j ) , VB = 230, 77 i − 67,31 j , VB / A = −69, 23 i − 67,31 j 78 r r r 15 r r r r aB = α AB k ∧ (−175 i + 180 j ) + k ∧ (−69, 23 i − 67,31 j ) 39 r r r aB = (−180 α AB + 25,89) i + ( −175 αAB − 26, 63) j r r r 75 r r r r aB = α BC k ∧ (70 i + 240 j ) − k ∧ (230, 77 i − 67,31 j ) 78
184
r r r aB = (−240α BC − 64, 72) i + (70αBC − 221,89) j r r r r r aB = (−240α BC − 64, 72) i + (70αBC − 221,89) j = ( −180 αAB + 25,89) i + (−175 αAB − 26, 63) j −240α BC − 64, 72 = −180 α AB + 25,89 180 α AB − 240α BC = 90, 61 ⇒ ⇒ 70α BC − 221,89 = −175 α AB − 26, 63 175α AB + 70α BC = 195, 26
α AB = 0,97 rad / s 2 α BC = 0,35 rad / s 2
Soru 2: Merkezinden R/2 mesafesinde mafsallı olan bir eksantrik A etrafında ω = 30 rad / s ( sabit ) açısal hızı ile dönüyor . Aynı anda P rulmanı ve itici yay tarafından eksantriğe sürekli temasta olan PB çubuğu doğrusal öteleme hareketi yapıyor. Şekilde gösterildiği anda PB çubuğunun , a) hızını b) ivmesini bulunuz. y ω
R
A
x G R/2
P
B
R = 8 cm.
Çözüm : r r r r r a) VP = Vbağ . + Vsür . , VP = VP i uuur 3 r r uuur r uuur r r r r r r Vsür . = ω k ∧ AP , AP = R i , AP = 12 i , Vsür . = 30k ∧ 12 i , Vsür . = 360 j 2 r uuur uuur r r r r Vbağ . = ωbağ . k ∧ GP , GP = 8 i , Vbağ . = 8 ωbağ . j r r r VP = VP i = (8 ωbağ . + 360) j ⇒ VP = 0 , (8 ωbağ . + 360) = 0 ⇒ ωbağ . = −45 rad / s r r r r r r b) aP = abağ . + asür . + acor . , aP = aP i r uuur r r r r r r r r abağ . = αbağ . k ∧ GP + ωbağ . k ∧ Vbağ . , Vbağ . = −360 j , abağ . = 8αbağ . j − 2880 i r r uuu r r r asür . = α k ∧ AP + ω k ∧ Vsür , ω sabit olduğundan α = 0 dır. r r r r r asür . = 30k ∧ 360 j , asür . = −10800 i r r r r r r r r acor . = 2 ω k ∧ Vbağ. , acor . = 60k ∧ −360 j , acor . = 21600 i r r r r aP = aP i = (−2880 − 10800 + 21600) i + 8αba ğ . j aP = −2880 − 10800 + 21600 8α bağ . = 0
⇒
aP = 7920 mm / s 2
α bağ . = 0
185
Soru 3: 1,5 kg kütleli bir yarım çember şeklindeki çubuğun A ucuna bağlana bilezik düşey bir kanalda , B ucuna bağlanan bilezik ise yatay kanalda hareket ediyor. Bileziklerin kütleleri ihmal edildiğine göre B bileziğine yatay doğrultuda değişken bir P kuvveti uygulanarak B nin sağa doğru 5 m/s sabit hızı ile hareketi sağlanırsa , Şekildeki konum için a) P kuvvetinin şiddetini b) B deki tepki kuvvetini bulunuz. y RA A
R=200 mm
C
G R
P
x B RB
Çözüm r :
r
∑ F = ma , ∑ M G
G
= I Gα kinetik denklemlerini uygulayabilmek için çubuğun
açısal hızı ve kütle merkezinin ivmesi ile ilgili kinematik bağıntıları kullanmak gerekir. r r r r r r aG = a A + aG / A , aB = aA + aB / A r r uuur r r r uuu r r r r aG / A = α k ∧ AG + ω k ∧ VG / A , aB / A = α k ∧ AB + ω k ∧ VB / A VB sabit olduğundan aB = 0 dır . Ani dönme merkezi A da ki mafsalın üzerinde olduğundan VA = 0 dır. suu r 5 V VB = AB ω ⇒ ω = suBur , ω = , ω = 12,5 rad / s 0, 4 AB uuur 2R r r uuur r r r r r r uuur r r i −R j VB / A = VB − VA , VB / A = 5 i , AB = −2 R j , VG / A = ω k ∧ AG , AG = π r r r r r r r r r aB / A = α k ∧ −0, 4 j + 12,5 k ∧ 5 i , aB / A = 0, 4 α i + 62,5 j = −aA j ⇒ α = 0 r a A = −62,5 m / s 2 , a A = −62,5 j r uuur r r r r r r r r AG = 0,127 i − 0, 2 j , VG / A = 12,5 k ∧ (0,127 i − 0, 2 j ) , VG / A = 2,5 i + 1,5915 j r r r r r r r aG / A = −19,89 i + 31, 25 j aG / A = 12,5 k ∧ (2,5 i + 1,5915 j ) , r r r aG = −19,89 i − 31, 25 j r r r r r r F = maG ⇒ ( P + RA ) i + ( RB − mg ) j = m (−19,89 i − 31, 25 j ) ⇒
∑
P + RA = −19,89 m RB − mg = −31, 25
∑M
G
⇒
P + RA = −29,84 Newton RB = −32,16 Newton
= I Gα , α = 0 olduğundan
P − RA = −20, 47 P + RA = −29,84
∑M
G
=0 ⇒ P ∗ R − RB
2R − RA R = 0 π
⇒ P = −25,16 Newton , RA = −4, 68 Newton
186
EK B Daha Önceki Senelerde Final sınavlarında sorulan sorular ve cevapları EkB1 2002-2003 güz yarıyılı MakinaG(1) Dinamik Finali soru ve çözümleri Soru 1) Şekildeki krank biyel mekanizmasında AB krank kolu saat ibreleri tersi yönünde 360 dev/dak ile dönmektedir. θ = 00 , b) θ = 900 , c) θ =1800 değerlerinde BC kolunun açısal hızı ile pistonun hızını bulunuz. C 30cm
B θ A 10cm
10cm
Çözüm: a) θ = 0 ωBC = 0 ( ani dönme merkezi sonsuzda olduğundan.)
VC
VB = VC ( ωBC = 0 olduğundan ) suur VB = ω AB AB 2π ω AB = 360 rad / s , ω AB = 12 π rad / s 60
C VB
I ∞ da A
B
VC = 377 cm / s
10 cm b) θ = 900 VC C
ωBC I
VB
VB = 120 π cm / s , VC = 120 π cm / s
B 10cm A
suur VB = ωAB AB , VB = 120 π cm / s sur VB VB = ωBC I B , ωBC = sur IB suu r suu r I B = 302 − 102 , I B = 10 8 120π ωBC = , ωBC = 13,329 rad / s 10 8 suu r VC = ωBC I C , VC = 13,329 ∗ 10 VC = 133, 29 cm / s
187
c) θ =1800 ωBC = 0 ( ani dönme merkezi sonsuzda olduğundan.) VB = VC ( ωBC = 0 olduğundan ) suur VB = ωAB AB , VB = 120 π cm / s
C VC I ∞ da ω AB B
VC = 377 cm / s A
VB 10 cm Soru 2) Şekilde gösterilen yarım çember şeklindeki tüp x ekseni etrafında pozitif yönde ω = 8 rad/s sabit açısal hızı ile dönmektedir.Aynı anda tüp üzerinde bir P bileziği θ = (π / 54) t2 bağıntısı ile hareket etmektedir. t = 3 de tüp xoy düzleminde olduğuna göre bu an için P bileziğinin a) hızını b) ivmesini hesaplayınız. ( R=12cm.) y P R θ x ω
G
r uuur r r r r & V = V + V V = −θ k ∧ GP a) P , bağ . sür . bağ π π θ&= t , t = 3 de θ = rad , θ&= 27 6 uuur uuur r r GP = − R cos θ i + R sin θ j , GP = −6
r
r
uuur
, Vsür = ω i ∧ GP
π rad / s 9 r r r r r πr 3 i + 6 j , Vbağ = − k ∧ (−6 3 i + 6 j ) 9 r r r r r = 8 i ∧ (−6 3 i + 6 j ) , Vsür = 48 k
r r r 2 r 2 Vbağ = π i + 3 π j , Vsür 3 3 r r r r r r r r 2 2 VP = π i + 3 π j + 48 k , VP = 2, 09 i + 3, 63 j + 48 k 3 3 r r uuu r r r r r r r & &k ∧ GP − θ&k ∧ V b) a p = abağ + asür + acor , abağ . = −θ bağ . r r r r r r π r & & &k ∧ (−6 3 i + 6 j ) − θ&k ∧ ( 2 π i + 2 3 π j ) θ&= abağ . = −θ , 27 3 3 r r r r r r π π 2 2 r abağ . = − k ∧ ( −6 3 i + 6 j ) − k ∧ ( π i + 3 π j) 27 9 3 3 r 2 2 2 2 2 r r abağ . = ( π + 3π2 ) i + (− 3π − π )j 9 uuu 27 9 27 r r r r r asür = α ∧ GP + ω i ∧ VSür α = 0 ( ω sabit olduğundan ) r r r r r asür = 8 i ∧ 48 k , asür = −384 j r r 2 r 2 r r r 32 r r r acor . = 2ω ∧ Vbağ . , acor . = 16 i ∧ ( π i + 3 π j ) , acor . = 3 πk 3 3 3
188
r r r 2 2 2 2 2 r 32 r a p = [( π + 3π2 ) i + (− 3π − π ) j ] + (−384 j ) + ( 3 πk) 9 27 9 27 3 r r r 2 2 2 2 2 32 r ap = ( π + 3π2 ) i + (− 3π − π − 384) j + 3 πk 9 27 9 27 3 r r r r a p = 1,964 i − 266,14 j + 58, 04 k Soru 3) Kütleleri m = 10 kg ve boyları l = 2m. olan iki ince çubuk şekilde görüldüğü gibi birbirine C noktasında mafsalla bağlanmış olup B noktası zemin üzerinde serbestçe kayabilmektedir. Sistem θ = 600 de ilk hızsız olarak harekete bırakılıyor. θ = 300 de çubukların açısal hızları ile B noktasının hızını bulunuz. C
θ A
B
Çözüm: C
mg
y
mg
I
mg G1 θ A
G2
C
mg
h VC
h1 B
h2
A
θ
VG 2
VB B x
τ( 1) →( 2) + T1 = T2
, T1 = 0 ( ilk hızı sıfır olduğundan ) , τ( 1) →( 2) = 2mgh l l h = h1 − h2 , h = sin 600 − sin 300 , h = (sin 600 − sin 300 ) , h = 0,366 m. 2 2 1 1 1 τ( 1) →( 2) = 2∗ 10 ∗ 9,81 ∗ 0,366 , τ( 1) →( 2) = 71,81 Nm. , T2 = I A ω2AC + mVG2 + IG ωBC 2 2 2 2 2 2 su u r suur suur sur sur su r suur VG 2 = ωBC IG2 , VC = ωAC AC VC = ωBC IC ⇒ ωBC = AC sur ωAC , IC = IA − AC , IC suur su u r su r su r su r su r 2 AB , AB = 2 l cos θ , IA = 2 l , IA = 4m. , IC = 2m. , ωBC = ωAC ⇒ ωBC = ωAC IA = 2 cos θ suur uuur uur uuuur uur sur r sur su r sur uur r IG2 = IG2 = IB + BG2 , IB = − IB j , IB = IA sin θ , IB = 4sin 300 , IB = −2 j uuuur r l r uuuur r r uuuur l 3r 1r BG2 = − cos θ i + sin θ j BG2 = − cos 300 i + sin 300 j , BG2 = − i+ j 2 2 2 2
189
suur uuur suur 3r 3r IG2 = IG2 = − i − j , IG2 = 2 2
suur 3 9 , IG2 = 3 m. , VG 2 = 3 ωAC + 4 4 11 2 2 1 1 1 2 2 40 2 30 40 T2 = ml ω AC + m ∗ 3 ω2AC + ml ωAC , T2 = ω AC + ω2AC + ω2AC 23 2 2 12 6 2 24 sur 140 2 71,81* 6 T2 = ω AC = 71,81 ⇒ ω AC = , ω AC = ωAB = 1, 754 rad / s , VB = ωBC IB 6 140 VB = 1, 754 ∗ 2 , VB = 3,51 rad / s
EkB2 2002-2003 güz yarıyılı MakinaG(4) Dinamik Finali soru ve çözümleri Soru 1) Şekilde görülen 3 çubuk mekanizmasında AB kolu saat ibrelerinin tersi yönünde 360 dev/dak ile dönmektedir. Sistem şekilde gösterilen konumdan geçerken C noktasının hızını ve çubukların açısal hızlarını bulunuz. 15cm A
D
10cm C B
Çözüm:
30cm
ωBC
I 10cm
ωCD
A 15cm D
ω AB
10cm
15cm B
suu r VB = AB ωAB ,
VC
15cm
VB ω AB = 360
C
2π rad / s , 60
ω AB = 12 π rad / s , ω AB = 37, 7 rad / s sur VB = IB ωBC ⇒
VB r ωBC = su IB su r sur sur su r suu r 377 , ωBC = 18,85 rad / s IB = 20 cm , ωBC = IB = IA + AB , IA = 10 cm ⇒ 20 sur suur sur sur suur sur suur VC = IC ωBC , IC = CD + ID , CD = 102 + 152 , CD = ID = 18, 03 cm sur IC = 36, 06 cm , VC = 36, 06 ∗ 18,85 , VC = 679, 65 cm / s suur 679, 65 V VC = CD ωCD ⇒ ωCD = suCur , ωCD = , ωCD = 37, 7 rad / s 18, 03 CD VB = 37, 7 ∗ 10
, VB = 377 cm / s ,
190
Soru 2 ) Yarıçapı r = 12 cm olan AB dörttebir dairesel çubuğu üzerinde bir P bileziği θ = (π/16)t2 bağıntısı ile hareket etmektedir. Çubuk AO ekseni etrafında saat ibreleri tersi yönünde ω = 6 rad/s sabit açısal hızı ile dönmektedir. t = 2 için a) P bileziğinin hızını b) P bileziğinin ivmesini hesaplayınız. y O
B r θ
P
A
x ω
z Çözüm: r r r a) VP = Vbağ . + Vsür . r r uuu r Vbağ = θ&k ∧ OP ,
π π π θ&= t , t = 2 de θ = rad , θ&= rad / s 8 4 4 r uuur u u u r r r r r r r πr OP = r sin θ i − r cos θ j , OP = 6 2 i − 6 2 j , Vbağ = k ∧ (6 2 i − 6 2 j ) 4 u u u r r r r r r r r r 3 3 r Vbağ = 2 πi − 2 π j , Vsür = ωsür ∧ OP , Vsür = 6 j ∧ (6 2 i − 6 2 j ) 2 2 r r r r r 3 r 3 2 π j ) + (−36 2 k ) Vsür = −36 2 k , VP = ( 2 π i − 2 2 r r r r VP = 6, 66 i − 6, 66 j − 50,91 k r r r r b) a p = abağ + asür + acor r uuur r r π r abağ . = & θ&k ∧ OP + θ&k ∧ Vbağ . , & θ&= 8 r r r r r 3 r π π 3 r abağ . = k ∧ (6 2 i − 6 2 j ) + k ∧ ( 2 π i − 2 π j) 8 4 2 2 r r 3 3 3 3 r abağ . = ( 2 π + 2 π2 ) i + ( 2 π + 2 π2 ) j 4 uuu 4 8 r 8r r r r r r r asür = α sür ∧ AP + ωsür ∧ VSür α sür = 0 ( ωsür sabit olduğundan ) r r r r r asür = 6 j ∧ (−36 2 k ) , asür = −216 2 i r r r 3 r 3 r r r r r acor . = 2ωsür . ∧ Vbağ. , acor . = 12 j ∧ ( 2 π i − 2 π j ) , acor . = −18 2 π k 2 2 r r r r 3 3 3 3 r a p = [( 2 π + 2 π2 ) i + ( 2 π + 2 π2 ) j ] + (−216 2 i ) + (−18 2 π k ) 4 8 4 8 r r r 3 3 3 3 r a p = ( π + π2 − 216) 2 i + ( π + π2 ) 2 j − 18 2 π k 4 8 4 8 r r r r a p = −296,9 i + 8,57 j − 80 k
191
Soru 3 ) Bir kenarı 30 cm ve ağırlığı 100N olan homojen bir kare levha A ve B noktalarından asılmıştır. B noktası serbest bırakıldığında AC köşegeni düşey konuma geldiği andaki levhanın a) açısal hızını b) A noktasındaki tepki kuvvetini bulunuz. A
B 30cm
D
C
Çözüm:
y A θ
B
mg G G
A
x mg
B
h G
D a)
C
τ( 1) →( 2) + T1 = T2
suur suur suur suur AC suur T1 = 0 , τ( 1) →( 2) = mgh , h = AG − AG cos ϕ , AG = , AC = 30 2 2 suur 2 0 ) , h = 6, 213 cm , h = 0, 06213 m AG = 15 2 , ϕ = 45 , h = 15 2 (1 − 2 1 1 1 2 2 T2 = I A ω2 , I A = m(0,3) 2 + m ( 0,3) , I A = m(0,3) 2 2 3 3 3 0, 06213 ∗ 9,81 T2 = 0, 03m ω2 = 0, 06213 mg ⇒ ω = , ω = 4,51 rad / s 0, 03 r r b) ∑ F = m aG ⇒ ∑ Fx = m aGx , ∑ Fy = m aGy suuu r aGx = AG α , ∑ M A = I A α , ∑ M A = 0 ⇒ α = 0 , aGx = 0
∑ Fsuu=urm a x
Gx
aGy = AG ω2 ,
⇒
RAx = 0
2 aGy = 0,15 2 ( 4,51) , aGy = 4,31 m / s 2
∑F
= m aGy
RAy =
100 (4,31 + g ) , g
y
⇒
RAy − mg = m ∗ 4,31 ⇒ RAy = m (4,31 + g ) , m =
100 g
RAy = 143,9 N
192
EkB3 2002-2003 güz yarıyılı MakinaG(7) Dinamik Finali soru ve çözümleri Soru 1) A ve B de sabit mafsal ile tesbit edilen disklere C ve D noktalarından CD çubuğu mafsallanmıştır. A da mafsallı disk A etrafında saat ibreleri tersi yönünde 720 dev/dak ile dönmektedir. Şekilde verilen konumda için a)CD çubuğunun açısal hızını b) B de mafsallı olan diskin açısal hızını bulunuz. ωA
r1 = 10 cm. r2 =18 cm. d =52 cm. θ = 500
D r1 A
r2 B
θ
C d Çözüm:
I
ωCD
VD ωA r1 A
r2
θ B VC
C a) VC = r1 ωA 2π ω A = 720 rad / s 60
ωB
D
d , ω A = 24 πrad / s
sur VC VC = 240 π cm / s , VC = ωCD IC ⇒ ωCD = su r IC sur su r su r sur su r su r IC = IA + r1 , IA = d ∗ tan θ , IA = 52 ∗ tan 500 , IA = 61,971 cm. , IC = 71,971 cm. 240 π ωCD = , ωCD = 10, 476 rad / s 71,971 sur sur sur sur sur sur d 52 b) VD = ωCD ID , ID = IB − r2 , IB = , IB = , IB = 80,898 cm. cos θ cos 500 sur ID = 62,898 cm. , VD = 10, 476 ∗ 62,898 , VD = 658,92 cm / s VD = r2 ωB ,
ωB =
VD r2
,
ωB =
658,92 , 18
ωB = 36, 61 rad / s
193
Soru 2) Şekilde gösterilen iki çubuktan oluşan rijid cisim y ekseni etrafında dönerken bir p bileziği x yatay konumda dönen kol üzerinde hareket ediyor. Verilen konum ve değerler için P bileziğinin a) hızını b) ivmesini bulunuz. y α = 20rad/s2 ω = 10rad/s 5m O
P
x
V= 10m/s a = 4m/s2
Çözüm: r r r a) VP = Vbağ . + Vsür . r r r r uuur Vbağ . = 10 i , Vsür = ω ∧ OP , r r r r r Vsür = −50 k , VP = 10 i − 50 k
uuur r r r r r r ω = 10 j , OP = 5 i , Vsür = 10 j ∧ 5 i
r r r r b) a p = abağ + asür + acor r r r r r r r uuu r r abağ . = −4 i , asür = α ∧ OP + ω ∧ VSür , α = −20 j r r r r r r r r asür = −20 j ∧ 5 i + 10 j ∧ −50 k , asür = −500 i + 100 k r r r r r r r r acor . = 2ωsür . ∧ Vbağ. , acor . = 20 j ∧ 10 i , acor . = −200 k r r r a p = −504 i − 100 k
Soru 3) 3kg kütleli ve 75 cm uzunluğundaki AB kolu şekilde gösterildiği gibi C de sabit mafsal ve B de bir ip yardımı ile tesbit edilmiştir. İp kesilip kol harekete bırakılıyor kol düşey konuma geldiği anda C mesnetindeki tepki kuvvetini hesaplayınız.
¼L A
B C L
Çözüm: 194
y ¼L
¼L
½L mg
A
x C mg
G
B h
G r
r
∑F = ma ∑ F = ma ∑ F = ma
G
x
Gx
y
Gy
L α 4
aGx =
∑M
C
aG y =
,
= IC α
τ( 1) →( 2) + T1 = T2
,
∑M
L 2 ω 4 C
=0 ⇒
α = 0 , aGx = 0 ,
∑F
x
= maGx ⇒ RC x = 0
, T1 = 0 ( ilk hızlar sıfır olduğundan)
L L , τ( 1) →( 2) = mg 4 4 1 L 1 1 7 T2 = I C ω2 , I C = I G + m ( ) 2 , I C = mL2 + m L2 , I C = mL2 2 4 12 16 48 24 ∗ 9,81 1 7 L 24 g ⇒ ω= T2 = mL2 ω2 = mg , ω= , ω = 6, 697 rad / s 2 48 4 7 ∗ 0, 75 7L 0, 75 24 ∗ 9,81 2 aG y = , aGy = 8, 41 m / s 4 7 ∗ 0, 75 τ( 1) →( 2) = mgh , h =
∑F
y
= maG y
RC y − mg = m ∗ 8, 41 ⇒ RC y = m ( g + 8, 41) , RC y = 54, 66 N .
⇒
RC = 54, 66 N ↑ .
EkB4 2002-2003 yaz okulu MakinaG(1) Dinamik Finali soru ve çözümleri
Soru 1: BHDF İstavrozu AB ve DE çubukları ile bağlanmıştır. AB Çubuğu ω AB = 4 rad / s sabit açısal hızı ile saat ibreleri yönünde dönüyor. Şekilde gösterildiği anda istavrozun a) açısal hızını b) açısal ivmesini c) G merkez noktasının ivmesini bulunuz. 150 A
150
150
150
F
ω AB
E
200
G B
D H
( Ölçüler mm cinsindendir.)
Çözüm : 195
150
150
150
150 x
A
VD
F
ω AB
B
E ωED
G
200
D VB
ωBHDF y
H I
suu r suur suur a) VB = AB ω AB , AB = 1502 + 2002 , AB = 250 mm , VB = 1000 mm / s sur sur su r VB r , IB = IA ⇒ ω BHDF = ω AB = 4 rad / s VB = IB ωBHDF ⇒ ωBHDF = su IB VD = VB = 1000 mm / s , ωBD = 4 rad / s r r r r r r b) aG = aB + aG / B , aG = aD + aG / D r r uuu r r r uuur r r aB = α AB k ∧ AB + ωAB k ∧ VB , VB = ω AB k ∧ AB , ω AB sabit olduğundan α AB = 0 dır. r uuur r r r r r r r r AB = 150 i + 200 j , VB = 4k ∧ (150 i + 200 j ) , VB = −800 i + 600 j r r r r r r r aB = 4k ∧ ( −800 i + 600 j ) , aB = −2400 i − 3200 j r uuur r r r r r r r r aG / B = α BHDF k ∧ BG − 4k ∧ VG / B , VG / B = −4k ∧ 150 i , VG / B = −600 j r r r r r r r r aG / B = α BHDF k ∧ 150 i − 4k ∧ −600 j , aG / B = −2400 i + 150 α BHDF j r uuur r r r r r r r r r r aD = α ED k ∧ ED + 4k ∧ VD , VD = 4k ∧ ( −150 i + 200 j ) , VD = −800 i − 600 j r r r r r r r aD = α ED k ∧ (−150 i + 200 j ) + 4k ∧ ( −800 i − 600 j ) r r r aD = (−200 α ED + 2400) i + (−150 αED − 3200 ) j r uuur r r r uuur uuur r r r aG / D = α BHDF k ∧ DG − 4k ∧ VG / D , VG / D = −4k ∧ DG , DG = −150 i r r r r r VG / D = −4k ∧ −150 i , VG / D = 600 j r r r r r r r r aG / D = α BHDF k ∧ ( −150 )i − 4k ∧ 600 j , aG / D = 2400 i − 150α BHDF j r r r r r aG = (−2400 i − 3200 j ) + (−2400 i + 150 αBHDF j ) = r r r r [(−200 α ED + 2400) i + (−150 αED − 3200 ) j ] + (2400 i − 150αBHDF j ) r r r aG = −4800 i + (150 α BHDF − 3200) j = ⇒ r r (4800 − 200 α ED ) i + (−150 α ED − 3200 − 150αBHDF j ) 4800 − 200 α ED = −4800 −150 α ED − 3200 − 150α BHDF = 150 αBHDF − 3200 r r r c) aG = −4800 i + (150 α BHDF − 3200) j r r r aG = −4800 i + 400 j , aG = 4816, 6 mm / s 2 ,
⇒
α ED = 48 rad / s 2 α BHDF = 24 rad / s 2 aG = 4,8 m / s 2
Soru 2: P pimi bir plaka içinde bulunan çembersel bir kanalda Vbağ . = 400 mm / s (sabit) bağıl hızı ile hareket ediyor. Şekilde gösterildiği anda plakanın açısal hızı ω = 6 rad / s dir ve 196
20 rad / s 2 oranı ile artmaktadır. ve θ = 900 olduğuna göre P piminin hızını ve ivmesini bulunuz. y P Vbağ .
θ
x
ω A
100
150 ( Ölçüler mm. cinsindendir. ) Çözüm : r r r VP = Vbağ . + Vsür . r r r uuur uuur r r r r r Vbağ . = Vbağ . i , Vbağ . = 400 i , Vsür . = ω k ∧ AP , AP = 150 i + 100 j r r r r r r r r r r Vsür . = −6k ∧ (150 i + 100 j ) , Vsür . = 600 i − 900 j , VP = 1000 i − 900 j r r r r aP = abağ . + asür . + acor . 2 dVbağ . dVbağ . r Vbağ 4002 r r r . r V , sabit olduğundan , = 0 a = − j abağ . = i− j bağ . bağ . dt 150 dt 150 3200 r r abağ . = − j 3 uuur r r r r r r r r r r r asür . = −α k ∧ AP − ω k ∧ Vsür , asür . = −20k ∧ (150 i + 100 j ) − 6k ∧ (600 i − 900 j ) r r r r r r r r asür . = −3000 j + 2000 i − 3600 j − 5400 i , asür . = −3400 i − 6600 j r r r r r r r r acor . = −2 ω k ∧ Vbağ. , acor . = −12k ∧ 400 i , acor . = −4800 j r r r 3200 r r r aP = −3400 i − (11400 + ) j , aP = −3400 i − 12466, 7 j 3 Soru 3: 12 kg kütleli AB çubuğunun uçları şekildeki kanallar doğrultusunda hareket etmektedir. Düşey kanalda hareket eden A ucuna katsayısı k = 120 N/m olan bir yay bağlıdır. Bu yay θ = 0 da doğal uzunluğundadır. Eğer çubuk θ = 0 da ilk hızsız harekete bırakılırsa θ = 300 de A ucunun hızını bulunuz.
B θ A
750 mm
Çözüm:
197
VA
B
θ G A
ω AB I
VB
τ 1→2 + T1 = T2 0, 75 1 2 sin θ − k ( ∆y ) , ∆y = 750sin θ 2 2 1 1 1 T1 = 0 , T2 = mVG2 + IG ω 2 , I G = m ∗ 0, 752 2 2 12 sur 0, 75 sur VG = ω IG , IG = , VG = 0,375 ω m / s 2 1 0, 752 2 1 1 2 2 T2 = 12 ω + 12 ∗ 0, 752 ω 2 , T2 = 2 ∗ 0, 75 ω 2 4 2 12 2 0, 75 1 1 1 2 τ 1→2 = 12 g − 120 0, 75 , τ 1→2 = 3 g ∗ 0, 75 − 15 ∗ 0, 75 2 2 2 2 τ 1→2 = 13, 635 kgm , τ 1→2 = 13, 635 = 2 ∗ 0, 752 ω 2 ⇒ ω = 12,12 , ω = 3, 481 rad / s su r su r su r 3 3 VA = IA ω , IA = 0, 75 ∗ cos θ , IA = 0, 75 ∗ , VA = 0, 75 ∗ ∗ 12,12 2 2 VA = 2, 26 m / s
τ 1→2 = m g
198
