SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINN
Tabla de Tabla contenido EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO LIBRO ALONSO FINN.... ........ ........ ........ ........ ......2 EJERCICIO 12.1 libro de onda de Alono Finn ..... .......... ...... 2 .2 EJERCICIO 12.! libro de onda de Alono Finn ..... .......... ...... ! .! EJERCICIO 12." libro de onda de Alono Finn ....................................................... ............................................................................................................... ...................................................................................... .............................. # EJERCICIO 12.$ libro de onda de Alono Finn.................................................. ............. ..................... ................ ............ .... % EJERCICIO 12.& libro de onda de Alono Finn.................................................. ........... .................... ................. ........... ... 1' EJERCICIO 12.( libro de onda de Alono Finn.................................................. ................................ 11 EJERCICIO 12.11 libro de onda de Alono Finn ....................................................... ............................................................................... ..........................11 EJERCICIO 12.1! libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 1!
EJERCICIO 12.1" libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 1" EJERCICIO 12.1$ libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 1$ EJERCICIO 12.1& libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 1# EJERCICIO 12.1( libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 1& EJERCICIO 12.2' libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 1& EJERCICIO 12.21 libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 1( EJERCICIO 12.2& libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 2' EJERCICIO 12.!' libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 21 EJERCICIO 12.!1 libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 2$ EJERCICIO 12.!! libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 2# EJERCICIO 12.!% libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 2& EJERCICIO 12.!( libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 2% EJERCICIO 12."( libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 2( EJERCICIO 12.$! libro de onda de Alono Finn............................................... ........... .................... ................. ........... ... !' EJERCICIO 12.$& libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... !1 EJERCICIO 12.$( libro de onda de Alono Alono Finn ............................................... ........... .................... ................. ........... ... !2 EJERCICIO 12.#' libro de onda de Alono Alono Finn ............................................... ........... .................... ................. ........... ... !! EJEMPLO 12.# libro de onda de Alono Finn de lo e)e*+lo ,e-,o +or el *i*o a/or del libro +a0ina!&'................................................... ....................................................... ..................................................................................... .................................... ...... !$ EJERCICIO MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE................................................. ......................... "1 EJERCICIOS DE OSCILACIONES AMORTIUADAS AMORTIUADAS FOR3ADAS ..................... ............................. ................ ............ .... "! EJERCICIO DEL libro de O,anian +a0 "(' 4"&' ................................................... .............. ...................... .............. ...... "!
EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO OSCILATORIO LIBRO ALONSO ALONSO FINN EJERCICIO 12.1 libro de onda de Alono Finn Una rueda de de radio tiene una manigueta en su borde. La La rueda gira a con su eje de posición horizontal. Suponiendo que los rayos del sol incidan vertical sobre la tierra, la sombra de la manigueta esta animada de movimiento armónico simple encontrar: a) l perio periodo do de oscilac oscilación ión de de la sombr sombra, a, b) La !rec !recue uenc ncia ia,, c) Su ampl amplit itud ud,,
EJERCICIO 12.1" libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 1" EJERCICIO 12.1$ libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 1$ EJERCICIO 12.1& libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 1# EJERCICIO 12.1( libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 1& EJERCICIO 12.2' libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 1& EJERCICIO 12.21 libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 1( EJERCICIO 12.2& libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 2' EJERCICIO 12.!' libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 21 EJERCICIO 12.!1 libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 2$ EJERCICIO 12.!! libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 2# EJERCICIO 12.!% libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 2& EJERCICIO 12.!( libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 2% EJERCICIO 12."( libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... 2( EJERCICIO 12.$! libro de onda de Alono Finn............................................... ........... .................... ................. ........... ... !' EJERCICIO 12.$& libro de onda de Alono Finn................................................ ........... .................... ................. ........... ... !1 EJERCICIO 12.$( libro de onda de Alono Alono Finn ............................................... ........... .................... ................. ........... ... !2 EJERCICIO 12.#' libro de onda de Alono Alono Finn ............................................... ........... .................... ................. ........... ... !! EJEMPLO 12.# libro de onda de Alono Finn de lo e)e*+lo ,e-,o +or el *i*o a/or del libro +a0ina!&'................................................... ....................................................... ..................................................................................... .................................... ...... !$ EJERCICIO MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE................................................. ......................... "1 EJERCICIOS DE OSCILACIONES AMORTIUADAS AMORTIUADAS FOR3ADAS ..................... ............................. ................ ............ .... "! EJERCICIO DEL libro de O,anian +a0 "(' 4"&' ................................................... .............. ...................... .............. ...... "!
EJERCICIOS DE CAPITULO 12 MOVIMIENTO OSCILATORIO OSCILATORIO LIBRO ALONSO ALONSO FINN EJERCICIO 12.1 libro de onda de Alono Finn Una rueda de de radio tiene una manigueta en su borde. La La rueda gira a con su eje de posición horizontal. Suponiendo que los rayos del sol incidan vertical sobre la tierra, la sombra de la manigueta esta animada de movimiento armónico simple encontrar: a) l perio periodo do de oscilac oscilación ión de de la sombr sombra, a, b) La !rec !recue uenc ncia ia,, c) Su ampl amplit itud ud,,
d) scribir las ecuaciones ecuaciones que e"presan e"presan su su desplazamiento desplazamiento en !unción !unción del del tiempo. Suponer la !ase inicial cero.
Sol!"i#n Da/o5 Radio6 A*+li/d 6
a) l period periodo o de oscila oscilación ción de de la sombra sombra es: es:
b) La !recuen !recuencia cia de la la sombra sombra es:
c) Su amp ampli litu tud d es: es:
d) scribir las las ecuaciones ecuaciones q e"presan e"presan su desplazami desplazamiento ento en !unción !unción del tiempo. tiempo. Suponer la !ase inicial cero.
Donde la 7ae ini-ial e i0al a -ero 89.
EJERCICIO 12.$ libro de onda de Alono Finn Un o-ilador ar*:ni-o i*+le e/; de-ri/o +or la e-a-i:n Donde /odo la -an/idade e e<+rean en M=S. En-en/re5 a. A*+li/d> A*+li/d> +eriod +eriodo> o> 7re-en-i 7re-en-iaa 4 la 7ae 7ae ini-ia ini-iall del *o?i*i *o?i*ien/o en/o b. Velo-idad Velo-idad 4 a-elera-i:n del *o?i*ien/o -. Cond Condii-io ione ne iniini-ia iale le d. La +oi+oi-i:n i:n>> ?elo-i ?elo-idad dad 4 a-ele a-elerara-i:n i:n +ara +ara e. @a-er el 0r;7i-o 0r;7i-o de la la +oi-i:n> +oi-i:n> ?elo-ida ?elo-idad d 4 a-elera-i: a-elera-i:n n en 7n-i:n 7n-i:n del /ie*+o /ie*+o..
Sol!"i#n Por -o*+ara-i:n -on la e<+rei:n Tene*o Tene*o e> e > a9 A*+li/d> A*+li/d> +eriodo +eriodo>> 7re-en-ia 7re-en-ia 4 la la 7ae ini-ia ini-iall del *o?i*ie *o?i*ien/o. n/o.
A*+li/d5 Fre-en-ia An0lar5 Fae Ini-ial5 Periodo5
6 '.$ rad
Fre-en-ia5
b9 Velo-idad Velo-idad 4 a-elera-i:n del *o?i*ien/o
-9 CondiCondi-ion ione e iniini-ial iale e -and -ando o>
d9 La +oi-i +oi-i:n> :n> ?elo-i ?elo-idad dad 4 a-elera a-elera-i: -i:n n +ara
e9 l 0r;7i-o 0r;7i-o de la la +oi-i:n> +oi-i:n> ?elo-idad ?elo-idad 4 a-eler a-elera-i:n a-i:n en 7n-i:n 7n-i:n del del /ie*+o. /ie*+o.
GRAFICA DE DESPLAZAMIENTO CONTRA CON TRA TIEMPO TIEMPO
GRAFICA DE VELOCIDAD CONTRA TIEMPO
GRAFICA ACELERACION CONTRA TIEMPO
EJERCICIO 12.% libro de onda de Alono Finn Una +ar/-la e/; i/ada en el e
Sol!"i#n
Co*o +aa +or la +oi-i:n de eilibrio /ene*o>
A la el +eriodo e5
la 7re-en-ia5
La e-a-i:n e e<+ree de+laa*ien/o en 7n-i:n del /ie*+o e5
EJERCICIO 12.& libro de onda de Alono Finn Una +ar/-la -4a *aa e de ?ibra -on *o?i*ien/o ar*:ni-o i*+le de a*+li/d de . S a-elera-i:n en el e
Sol!"i#n Da/o > > > La a-elera-i:n de la +ar/-la e5
A la 7re-en-ia e +ede -al-lar>
La ?elo-idad de la +ar/-la e +ede -al-lar> +ar/iendo de la ener0a -inG/i-a>
Co*o +aa +or la +oi-i:n de eilibrio /ene*o>
Cando la elon0a-i:n e de > ?elo-idad e +ede e-ribir>
La 7era e a-/a obre la +ar/-la en 7n-i:n +oi-i:n 4 el /ie*+o e
EJERCICIO 12.' libro de onda de Alono Finn Una +ar/-la e *e?e -on *o?i*ien/o ar*:ni-o i*+le -on na a*+li/d de 4 7re-en-ia 1'' -i-lo +or e0ndo C;l e 7re-en-ia an0lar Cal-lar ?elo-idad> a-elera-i:n 4 7ae -ando de+laa*ien/o e de .
Solución La 7re-en-ia an0lar e>
La ?elo-idad e +ede -al-lar a /ra?G de la ener0a -inG/i-a>
La a-elera-i:n e +ede -al-lar -o*o i0e>
La 7ae ini-ial e +ede -al-lar -o*o i0e> +ara la -ondi-ione ini-iale 8/6'69>
EJERCICIO 12.( libro de onda de Alono Finn Un movimiento armónico simple tiene una amplitud de y un periodo de . #alcular la velocidad y la aceleración despu$s que la part%cula pase por el e"tremo de su trayectoria.
SOLUCI)N* &'(S: ' * + cm -.-+m ( * seg.
La !recuencia angular es,
La velocidad despu$s de , es:
La aceleración despu$s de , es:
EJERCICIO 12.11 libro de onda de Alono Finn Una part%cula cuya masa es de -./ 0g, se mueve con movimiento armónico simple. Su periodo es de -.1/ seg y la 'mplitud de su movimiento es de 1-cm, calcular la aceleración, la !uerza de la energ%a potencia y cin$tica cuando la part%cula est2 a / cm de la posición inicial.
DATOS 3asa: -./ 0g 4eriodo 5(): -.1/ S 'mplitud 5'): 1-cm: -.13 4o: -.-/ 3
SOLUCI)N ')
6) 7* 8 5 9) 5. ;z)* %1.++ ,#)
&)
EJERCICIO 12.1$ libro de onda de Alono Finn Una +lan-,a ,orion/al o-ila -on *o?i*ien/o ar*:ni-o i*+le -on na a*+li/d de 1>$ * 4 na 7re-en-ia de 1$ o-ila-ione +or *in/o. Cal-lar el ?alor *ni*o del -oe7i-ien/e de 7ri--i:n a 7in de e n -er+o -olo-ado obre la +lan-,a no rebale -ando la +lan-,a e *e?e.
Solución
La 7era de 7ri--i:n e Para e la +lan-,a no rebale e debe -*+lir
Para ob/ener el ?alor *ni*o del -oe7i-ien/e de re7ra--i:n /ene*o
EJERCICIO 12.1% libro de onda de Alono Finn Cando n ,o*bre de #'H0 e in/rod-e en n a/o> el -en/ro de 0ra?edad del a/o ba)a '>! -*. C;l e la -on/e de ela/i-idad de lo *elle del a/o S+oniendo e la *aa del a/o e de $''H0> C;l e +eriodo de ?ibra-i:n -ando e/; ?a-o 4 -ando e/; el ,o*bre aden/ro
SOLUCIÓN Re+reen/a-i:n de Fera
6 !<1'!m
a)
C!lculo "# l! con$%!n%# "# #l!$%ici"!" & K) de los muelles del auto.
b)
P#'io"o "# (i)'!ción "#l !u%o (!c*o+
*16$''H0
c)
P#'io"o "# (i)'!ción "#l !u%o con #l ,o-)'# !"#n%'o+
EJERCICIO 12.1& libro de onda de Alono Finn Un bloe de *adera -4a denidad e K /iene di*enione a> b> -. Mien/ra e/; 7lo/ando en el a0a -on el lado a ?er/i-al e le e*+)a ,a-ia aba)o 4 e le el/a. @alle el +eriodo de la o-ila-ione rel/an/e. To*e*o -o*o en/ido +oi/i?o de de+laa*ien/o del bloe ?er/i-al*en/e ,a-ia aba)o. Lla*e*o , a la lon0i/d del bloe deba)o del a0a -ando 7lo/a en eilibrio. En e/a i/a-i:n /endre*o e la 7era ne/a ,a-ia aba)o er; nla5 -./ F#-0u# 3⇒ -. &V sumergido ρ04 . ⇒ -. &bchρ04 . Donde K'e la denidad del a0a. Si realia*o n de+laa*ien/o < del bloe re+e-/o de +oi-i:n de eilibrio> la ne?a lon0i/d del bloe +or deba)o del a0a er; , <. En e/a ne?a i/a-i:n la 7era ne/a ,a-ia aba)o 4a no er; nla5 Fneta -./F 5#-0u# -./ &V 6sumergido ρ04 . -./ &)c [h + x] ρ04 . S/i/4endo en e/a e<+rei:n la rela-i:n en /re el +eo del -ilindro 4 la al/ra ,5 Fneta / &bcρ0 g 4 7 Ve*o e la 7era e de /i+o el;/i-o -on na -on/an/e el;/i-a5 8 bcρ0 g
El periodo de las oscilaciones será:
EJERCICIO 12.1' libro de onda de Alono Finn Encontrar, para un movimiento armónico simple, los valores de donde los promedios se referen. Parte a)
Pero Entonces Parte b)
Pero
Entonces
EJERCICIO 12.1( libro de onda de Alono Finn El Periodo de un péndulo es de 3s. ¿Cuál será su periodo si su lonitud !a) aumenta, !b) disminu"e un #$%& Solución a. El periodo de un péndulo simple está dado por' Si lon0i/d a*en/a n #'> ne?a lon0i/d e5
Le0o.
b. Si el +eriodo di*in4e en n #'> ne?a lon0i/d e5
EJERCICIO 12.2 libro de onda de Alono Finn l p$ndulo de un reloj tiene un periodo de 8s cuando g*<,+- m=s 8. Si la longitud se aumenta en 1mm. >#u2nto se habr2 atrasado el reloj despu$s de 8 horas? T1 6 2( T1 6 2 e0ndo 0 6(.%1 *2
T2 6 2( T2 6 2( T2 6 2( S@ (enemos que T1 6 2(
T2 6 T1 T2 6 8 2 e0ndo9 T2 6 2>'''(((&$ e0ndo
*ora reempla+o T en T- '
4ara conocer cuanto se ha atrasado el reloj entonces: A( * T2 T1 2>'''(((&$ e0ndo 2e0ndo6'>'''(((&$ >#u2nto se habr2 atrasado el reloj despu$s de 8 horas?
n 8 horas el reloj se atraso atraso * 5)" 5 '>'''(((&$)*BB,Bsegundos
EJERCICIO 12.21 libro de onda de Alono Finn C;n/o e ,abr; a/raado el relo) del +ro0ra*a an/erior de+G de 2",ora i e -olo-a en n l0ar donde la 06(>&$ *2 Sin -a*biar la lon0i/d del +Gndlo C;l debe er la lon0i/d -orre-/a del +Gndlo a 7in de *an/ener el /ie*+o -orre-/o en la ne?a +oi-ion L6 1** 6'.''1* g*<,B/ m=s8. T1 6 2( T1 6 2 e0ndo 0 6(.%1 *2
T1 6 2( T2 6 2( T2T1 6 89 896 T2T1 6 '>''1#2$"1112# e0ndo Re0la de !5
'>'#!#!22(1 1""'*e/ro 6 !>#*/
'>''1#2$"1112# e0ndo
L6 1** 6'.''1* g*<,B/ m=s8. T1 6 2 e0ndo T2 L6 L6 L6 L6 '>(%%* EJERCICIO 12.2' libro de onda de Alono Finn stimar el orden relativo de magnitud de los primeros t$rminos correctivos en la serie del periodo de un p$ndulo simple si la amplitud es: a) 1-C b) D-C
Sol!"i#n a) 4ara 1-C 4* 4* 4*
b)
4ara D-C 4* 4*
EJERCICIO 12.$ libro de onda de Alono Finn Solución Para de/er*inar la lon0i/d del +Gndlo i*+le ei?alen/e debe*o -al-lar el +eriodo del +Gndlo e i0alarlo al +eriodo de n +Gndlo i*+le +ara de/er*inar la lon0i/d de e/e +Gndlo i*+le e /iene el *i*o +eriodo e el -o*+e/o Para de/er*inar el +eriodo del +Gndlo -o*+e/o +ri*ero el *o*en/o de iner-ia del di-o -on re+e-/o al -en/ro de *aa el -al e I- 6 *R 2 2 > donde * e la *aa del di-o> +ero debido a e el di-o no 0ira en -en/ro de *aa i no a na di/an-ia , del *i*o> e debe a+li-ar el /eore*a de /einer +ara de/er*inar el *o*en/o de
iner-ia re+e-/o al +n/o de 0iro> e/e /eore*a -oni/e en *arle al *o*en/o de iner-ia del -en/ro de *aa la *aa +or la di/an-ia al -adrado del -en/ro de *aa al +n/o de 0iro> e/o e
/T0 1/02 E 0ES/45E04/
REVISAR FORMULAS : puede *aber un error.. revisar revisar
7 m6 -
El radio de iro 6 se defne 8
m8- m!*-9:-0-) 6 -:-0-9*-.3$ ;n disco solido de radio 0 puede colarse de un e
. Encontrar la posición del e
SOLUCION: Para determinar la lonitud del péndulo simple e=uivalente debemos calcular el periodo del péndulo e iualarlo al periodo de un simple
Para determinar el periodo del péndulo compuesto primero debemos conocer el momento de inercia del disco con respecto al centro de masa
7$ A m0Pero debido a =ue el disco no ira en su centro de masa sino a una distancia * del mismo se debe aplicar el Teorema de Steiner. El teorema de Steiner dice =ue el momento de inercia respecto a el e es 7 8m*-97$ donde 7 $ es el momento de inercia respecto a el disco Entonces, 8 El radio de iro 6 se defne 8
7 m* 9:-m0 m !* 9:-0 ) 7 m6 m8- m!*-9:-0-) 6 -:-0-9*el periodo del péndulo compuesto es
P P!*) P!*) -( B A 0 -9*-:* . ebemos iualar la @órmula de péndulo compuesto con péndulo simple para despe
P reempla+o la P por el valor de'
!
)
!
)- !)-
P!*)
D!) D
4
4
/E
6 -:- 0-9*-
>. Para *allar minimos debemos derivar P en @unción de *
P!*)
erivada de
l valor de h para el cual el periodo es un m%nimo es h * E= B -
C. 0epresentar el periodo en @unción de *.
P!*)
cuando *
P!*) P!*) P!*) P!*) P!*) P!*) P!*) P!*) P!*) - B A 0-9*-:* cuando h * E=B 45h)*- B B -0:
EJERCICIO 12.$1 libro de onda de Alono Finn Una varilla de longitud L, oscila con respecto a un eje horizontal que pasa por el e"tremo, un cuerpo de igual masa que la varilla est2 situado sobre la varilla a una distancia h del eje. a) btener el periodo del sistema en !unción de , y de L. b) >;ay algFn valor de , para el cual el periodo es el mismo como si no hubiera masa?
Solución. a). Lo primero que haremos ser2 encontrar el centro de masa de la masa 8 que en este caso es igual a la masa de la varilla, aplicando la siguiente !ormula. Luego calculamos el momento de inercia con la siguiente ecuación. m !actorizando m quedar%a de la siguiente !orma. "presando el periodo con respecto al momento de inercia y al centro de masa, se tiene la siguiente ecuación:
&onde: b*centro de masa. g*gravedad m*masa Eeemplazando el centro de masa y el momento de inercia se obtiene que:
Simpli!icando:
b). Go hay ningFn valor.
EJERCICIO 12.$$ libro de onda de Alono Finn Un p$ndulo de torsión consiste de un bloque rectangular de madera de +cm " 18cm " Dcm con una masa de -.D 0g, suspendido por medio de un alambre que pasa a trav$s de su centro y de tal modo que el lado corto es vertical. l periodo de oscilación es de 8. s. >#u2l es la constante de torsión K del alambre?
Solución: 'ntes que nada necesitamos conocer el valor del momento de inercia de este objeto en particular 5cubo de madera), para lo cual se utilizar2 la siguiente ecuación. &onde: 3*masa del objeto, -.D0g. * la dimensión horizontal del objeto para este caso +cm*-.-+m * la pro!undidad del objeto en este caso 18cm*-.18m #omo en el ejercicio nos piden encontrar la constante 0*0appa, Utilizamos la siguiente ecuación que relaciona el momento de inercia con la constante. &onde: es igual al periodo de oscilación al cuadrado, siendo @ el momento de inercia y 89 al cuadrado una constante. ;aciendo la relación entre las dos ecuaciones anteriores tenemos que:
Eeemplazando valores tenemos que:
0*D./HG.m IGe7ton por metroJ
(E' KE3' & ESLEL
EJERCICIO 12.$+ libro de onda de Alono Finn En-on/rar la e-a-i:n rel/an/e de la +er+oi-i:n de do *o?i*ien/o ar*:ni-o i*+le +aralelo -4a e-a-ione on5
@a-er n 0r;7i-o de -ada *o?i*ien/o 4 del *o?i*ien/o rel/an/e. Re+reen/ar re+e-/i?o ?e-/ore ro/an/e.
SOLUCIÓN E na +er+oi-ion de M.A.S. Paralelo de i0al 7re-en-ia
Con rel/an/e Donde5 4 Valore
Le0o5
EJERCICIO 12.$( libro de onda de Alono Finn En-on/rar la e-a-i:n de la /ra4e-/oria del *o?i*ien/o rel/an/e de do *o?i*ien/o ar*:ni-o i*+le +er+endi-lare> -4a e-a-ione on < 6 "en/ 4 4 6 !en 8/ Q9> -ando Q 6 '> 2 4 . @a-er n 0r;7i-o de la /ra4e-/oria de la +ar/-la en -ada -ao 4 ealar el en/ido en el -al ?ia)a la +ar/-la.
EJERCICIO 12.%( libro de onda de Alono Finn Un +Gndlo i*+le /iene n +eriodo de 4 n a*+li/d de > de+G de o-ila-ione -o*+le/a a*+li/d ,a ido red-ida a en-on/rar la -on/an/e de a*or/i0a*ien/o .
Sol!"i#n
Da/o5 La e-a-i:n +ara e/e *o?i*ien/o /o*a la 7or*a> donde la a*+li/d del *o?i*ien/o ?iene dada +or> 6
EJERCICIO 12.&$ libro de onda de Alono Finn En el caso de un oscilador amortiuado, la cantidad se denomina tiempo de relajación . a) 5erifcar =ue tiene unidades de tiempo. b) ¿en cuánto *a variado la amplitud del oscilador después de un tiempo & c) EFpresar como una @unción de , el tiempo necesario para =ue la amplitud se redu+ca a la mitad de su valor inicial. d) ¿Cuáles son los valores de la amplitud después de tiempos iuales a dos, tres veces, etc., el valor obtenido en c)&
Sol!"i#n a) 5erifcamos =ue tiene unidades de tiempo *aciendo un análisis dimensional.
b) la amplitud del oscilador después de un tiempo *a variado,
c) EFpresar como una @unción de , el tiempo necesario para =ue la amplitud se redu+ca a la mitad de su valor inicial.
d) ¿Cuáles son los valores de la amplitud después de tiempos iuales a dos, tres veces, etc., el valor obtenido en c)&
EJERCICIO 12.&' libro de onda de Alono Finn scribir la ecuación del movimiento de un oscilador armónico simple sin amortiguamiento al cual se le aplica la !uerza $ Cos G@ t. eri!icar que su solución es [ $ / !G$-HG@ -) I Cos G@ t
Sol!"i#n*
Eeemplazando en la ecuaciMn inicial:
Eeorganizando t$rminos:
Sacando !actor comFn :
/ e "!0le "on la i!aldad lleando la de0o3ra"i#n*
EJERCICIO 12.&( libro de onda de Alono Finn ;na part?cula se desli+a *acia adelante " *acia atrás entre dos planos inclinados sin @ricción a) Encontrar el periodo de oscilación del movimiento si * es la altura inicial b) ¿Es el movimiento oscilatorio& c) ¿Es el movimiento armónico simple&
Sol!"i#n
a) 4a aceleración será' a= g Cos ϴ 4a lonitud del plano L= Partiendo del reposo a la altura * se tiene' 4:- a tt
Para descender del plano " entonces' t T D t T D ! T D ! T D ! Teniendo en cuenta una de las identidades @undamentales de la trionometr?a' - Sen ϴ Cos ϴ = Sen - ϴ
Y operando res!"a: T DF- ! T J !
b) S?, es oscilatorioK c) /, no es armónico simple por=ue no siue una variación senoidal o cosenoidal del tipo' F cos !Gt9delta)
EJERCICIO 12.4 libro de onda de Alono Finn Una +ar/-la de *aa * i/ada en na *ea ,orion/al lia 8Fi0.12"(9 e/a o/enida +or do ala*bre e/irado de lon0i/d l' -4o e 4 le0o e el/a> de/er*inar el *o?i*ien/o bi0ien/e.
En-on/rar 7re-en-ia de o-ila-i:n 4 e-ribir la e-a-i:n de *o?i*ien/o. S+oner e la lon0i/d de lo ala*bre 4 la /eni:n +er*ane-en inal/erable
EJEMPLO 12.4 libro de onda de Alono Finn de lo e5e0lo ,e",o or el 0i0o a!3or del libro aina$' 18. Un anillo de -,1 m de radio esta suspendido de una varilla como se ilustra determinar el periodo de oscilación hallar el equivalente a un p$ndulo simple. a.
4* 89 B N8= gb 08* @=m @c*mE8 (eorema de Steiner
@*@cOma8 @*mE8OmE8 *LmE8 08*8m E8=m 08*8E8
b.
L*N8= b L*8E8=8 L*8E* 8 5-,1)* -,8 m
MOVIMIEN#O ARM$NICO SIM%LE
EJERCICIO 19 Cuando una masa de oscila en un resorte ideal, la @recuencia es de . a) ¿Cuál será la @recuencia si se arean a la masa oriinal, " b) " si se restan de la masa oriinal& 7ntente resolver este problema sin calcular la constante de @uer+a del resorte.
So!c&'n
EJERCICIO 1: ;n oscilador armónico tiene una masa de unida a un resorte ideal con constante de @uer+a de . Calcule a) el periodo, b) la @recuencia " c) la @recuencia anular de las oscilaciones.
So!c&'n
EJERCICIO 1; Sobre una pista de aire *ori+ontal sin @ricción, un desli+ador oscila en el eFtremo de un resorte ideal, cu"a constante de @uer+a es . En la fura, la ráfca muestra la aceleración del desli+ador en @unción del tiempo. Calcule a) la masa del desli+adorK b) el despla+amiento máFimo del desli+ador desde el punto de e=uilibrioK c) la @uer+a máFima =ue el resorte e
Solución
Energ(a en e! o*&&en"o ar'n&co s&p!e EJERCICIO 1< ;na porrista ondea su pompón en 2S con amplitud de " @recuencia de . Calcule a) la manitud máFima de la aceleración " de la velocidadK b) la aceleración " rapide+ cuando la coordenada del pompón es K c) el tiempo =ue tarda en moverse directamente de la posición de e=uilibrio a un punto situado a +,-. c de distancia. d) ¿Cuáles de las cantidades pedidas en los incisos a), b)
So!c&'n
EJERCICIO 1< ;n
So!c&'n
Ap!&cac&ones de! o*&&en"o ar'n&co s&p!e
EJERCICIO 23 ;n orulloso pescador de alta mar cuela un pe+ de de un resorte ideal con masa despreciable, estirando el resorte . a) Calcule la constante de @uer+a del resorte. *ora se tira del pe+ *acia aba
So!c&'n
EJERCICIO 21 Una e7era de 4 o/ra de e +e0an en/re -olo-ando la *; li0era deba)o de la *; +eada. La e7era +erior e -one-/a a n reor/e ideal ?er/i-al> -4a -on/an/e de 7era e de > 4 el i/e*a ?ibra ?er/i-al*en/e -on na a*+li/d de . El +e0a*en/o e ne la e7era e dGbil 4 an/i0o> 4 de re+en/e 7alla -ando la e7era e/;n en la +oi-i:n *; ba)a de *o?i*ien/o. a9 Por G e *; +robable e el +e0a*en/o 7alle en el punto mas bajo> e en al0n o/ro +n/o del *o?i*ien/o b9 Cal-le la a*+li/d 4 la 7re-en-ia de la ?ibra-ione de+G de e la e7era in7erior e de+e0a.
So!c&'n
EJERCICIO 22 ;n disco metálico delado con masa de -.$$ 3 $ -3 8 " radio de -.-$ cm se une en su centro a una fbra lara como se ve en la fura. Si se tuerce " suelta, el disco oscila con un periodo de .$$ s. Calcule la constante de torsión de la fbra.
So!c&'n
EJERCICIO 2= 7maine =ue =uiere determinar el momento de inercia de una pie+a mecánica complicada, con respecto a un e
So!c&'n
E! p/nd!o s&p!e EJERCICIO 2> En San 1rancisco un edifcio tiene aditamentos lieros =ue consisten en bombillas pe=ueNas de con pantallas, =ue cuelan del tec*o en el eFtremo de cordones lieros " delados de .M$ de lonitud. Si ocurre un terremoto leve, ¿cuántas oscilaciones por seundo *arán tales aditamentos&
So!c&'n
EJERCICIO 29
Un p/nd!o en Mar"e- En la Tierra cierto péndulo simple tiene un periodo de .#$ s. ¿Lué periodo tendrá en 2arte, donde &
So!c&'n
E! p/nd!o 0(s&co EJERCICIO 2: ;na biela de de un motor de combustión pivota alrededor de un flo de nava
So!c&'n
EJERCICIO 2; Do +Gndlo /ienen la *i*a di*enione 8lon0i/d L9 4 *aa /o/al 8m9. El +Gndlo A e na e7era *4 +eea e o-ila en el e la *i/ad de la *aa e/; en la e7era 4 la o/ra *i/ad en la ?arilla ni7or*e. Cal-le el +eriodo de -ada +Gndlo +ara o-ila-ione +eea. C;l /arda *; /ie*+o en na o-ila-i:n
So!c&'n
EJERCICIO MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Una *aa m=1kg ?ibra ?er/i-al*en/e a lo lar0o de n e0*en/o de 20cm de lon0i/d -on MAS 4 n +erodo de = ! s" De/er*inar5
!4 Velo-idad 4 a-elera-i:n del -er+o en el +n/o *edio de /ra4e-/oria. )4 La ?elo-idad 4 a-elera-i:n en lo e
de la /ra4e-/oria. En e /ie*+o la +ar/-la e en-en/ra en %-*
SOLUCION 6 2 "
6 2 A61' -*6 '>1*
!4 Velo-idad 4 a-elera-i:n del -er+o en el +n/o *edio de /ra4e-/oria. a6 < i <6' a6 8 298'*9 6 ' * 2
! 3 -? $2 V*a<6 A V*a<6 8'>1* 98 2 9 6 3@1>: -?$
)4 La ?elo-idad 4 a-elera-i:n en lo e1 *9 a6 82 "9 8'>1 *9 6 '>2"#& * 2
c4 La 7era re/aradora -ando +aa +or el +n/o *edio de /ra4e-/oria. en lo e1 * F 6 F 8 7 6 2 6H*
8 2 F 8 7 F 82 *9 8'>1*96 F & 82 "9 81 H09 9 8'>1*96
'>2"&
"4 En e /ie*+o la +ar/-la e en-en/ra en %-* A6 % -*6 '>%* 6 2 6A Sen8 /9
8'>%*96 8'>%*9 Sen88 2 9 / 8'>%*98'>%*9 6Sen88 2 9 / 16Sen88 2 9 / Sen1 819 8 2 9 6 / 8 2 9 8 2 9 6 / /6 1 e0ndo
#4 En e l0ar e/a la +ar/i-la +ara n /ie*+o de /6"e0ndo 6 2 A61' -*6 '>1* 6A Sen8 /9 6 8'>1*9 Sen88 2 9 8" e0ndo99 6 8'>1*9 Sen88 2 9 8" e0ndo99 6 8'>1*9 8" 9 6 '>"*
EJERCICIOS DE OSCILACIONES AMORTI6UADAS / FOR7ADAS EJERCICIO DEL libro de O,anian a %( 8%' 1. S+on0a e n a/rona/a /iene na *aa de #'H0> in-lido del di+oi/i?o de illa al e e a*arra. El 4 la illa e *e?en ba)o la in7len-ia de la 7era de n reor/e -on =6!.1 < 1' 2 N*. No ,a4 o/ra 7era a-/an/e. El de+laa*ien/o *;2''* . S+on0a e debido a la 7ri--i:n la a*+li/d n -i-lo *; /arde e de '>1%$*. C;l e el 7a-/or de -alidad +ara e/e o-ilador ar*:ni-o a*or/i0ado
M6 #'H0 H 16!>1<1' 2 N*
A6'>2''* A 6'>1%$ *
E E6
WE6
6
En el de+laa*ien/o *; la ener0a /o/ale /oda ener0a +o/en-ial5
Si A6'>2''*
6 #>2 Jlio Si A 6'>1%$ *
6 "!>2 o-ila-ione El 7a-/or de -alidad e5 6"!>2 o-ila-ione
2. Una *aa *61 H0 -el0a de n reor/e de -on/an/e de rei/i?idad H62'' N*. La -on/an/e de a*or/i0a*ien/o e X61 H0. En el in/an/e /6' -o*iena a a-/ar obre la *aa na 7era F6 F' Sen87 /9 -on F' 62N 4 7 61' rade0ndo. Si en /6' <8'96' 4 ?8'96'. En-en/re la +oi-i:n de la +ar/-la en 7n-i:n del /ie*+o +ara /61 e0ndo> /61' > /61'' > /61''' . SOLUCION5
M1 61 H0 =6 2'' N* X61 H0 7 ' 62N 7 6 1' rad /6' <6' <8/96 / 61 >1' >1'' > 1'''
6 1">1"2
LA ECUACION DIFERENCIAL E+D
SOLUCION A LA ECUACION DIFERENCIAL E+D
En/on-e5
!. De*e/re +or /i/-i:n dire-/a e la 7n-ione5 1 6 A1 Sen 81 / Q1 9 4 2 6 A1 Sen 81 / Q1 9 Para n o-ilador a-o+lado on ol-ione de la e-a-ione de *o?i*ien/o
Sie*+re e5
". Conidere el i/e*a dela 7i0. La +iarra 3> de *aa $'' 0 -el0a de n reor/e -4a -/e. el;/i-a e =6$'N*. Se abe ade*; e la -/e. de a*or/i0a*ien/o B6$ 1 .
En n -ier/o *o*en/o> e /ira de la +iarra ,a-ia aba)o> ,a-iendo e el reor/e e e/ire !-* > 4 e a-er-a la +n/a en/in/ada P a la +iarra. A -on/ina-i:n> la +iarra e el/a. Conidere e/e in/an/e -o*o el ini-ial 4 anali-e el *o?i*ien/o de la +n/a re+e-/o al -en/ro de la +iarra YoZ. A +ar/ir de la -ondi-ione ini-iale> -al-le la e-a-i:n e de-ribe el *o?i*ien/o de la +n/a re+e-/o a YOZ dire--i:n del e)e YO4Z.
M 6 $''0 = 6 $' N* B 6 $ 1 6 !< 1' 2 6 '>'! *e/ro 6 A eB/ Sen 8/ [ 9
6 A eB/ Sen 8/ [ 9 Deri?a*o la e-a-ion <5
? 6 A eB/ Co 8/ [ 9 ? 6 A eB8'9 Co 8/ [ 9 ? 6 A 819 Co 8/ [ 9 ? 6 A Co 8/ [ 9 i ?6' ' 6 A Co 8/ [ 9 ' 6 A8%># rade09 Co 8 8%># rade09 / [ 9
A,ora +ara la e-a-ion > *ien/ra5 Si /6' <6'>''! *e/ro
6 A eB/ Sen 8/ [ 9 8'>''! *e/ro9 6 A e8$98'9 Sen 88%># rade098' e09 [ 9 8'>''! *e/ro9 6 A819 Sen 88' 9 [ 9
8'>''! *e/ro9 6 A Sen 88' 9 [ 9 Debe*o ,allar la a*+li/d> +or lo e debe*o en-on/rar +ri*ero del/a [ 6 6 A eB/ Sen 8/ [ 9
Si ?6'
B6$
/6'
6 %># rade0
Co*o 4a en-on/ra*o del/a ree*+laa*o 5
6 A eB/ Sen 8/ [ 9 8'>''! *e/ro9 6 A e8$98'9 Sen 88%># rade098' e09 [ 9 8'>''! *e/ro9 6 A819 Sen 88' 9 [ 9 8'>''! *e/ro9 6 A Sen 88' 9 [ 9