Simplificar:
Como
y
se tiene
6) Simplificar SOLUCIÓN:
Por esto,
Tenemos ahora,
Por lo que
7) Demostrar
SOLUCIÓN:
=
Tenemos que
Ademas
Por lo tanto
=
8) Para subir a una ventana que está situada a 4m de altura del suelo disponemos de una escalera de 5 m de longitud. ¿A qué distancia de la base de la pared habrá que situar la base de la escalera para subir con facilidad?
SOLUCIÓN:
El seno del ángulo dibujado es 4/5. Aplicando la fórmula fundamental de la trigonometría, el coseno es 3/5.
La longitud de la base del triángulo dibujado es
(También se podía haber usado simplemente Pitágoras).
9) Un plano inclinado tiene una longitud de 8m. Desde la base la altura máxima es de 2m. Si se desea que la altura máxima sea de 2,5 m. ¿cuántos metros hay que alargar el plano inclinado sin cambiar el ángulo de inclinación?
Solución:
El seno del ángulo del dibujo es una magnitud constante, tanto en un triángulo como en otro tiene que tener el mismo valor.
Por eso tenemos De la segunda igualdad así obtenida se calcula que x=2 Se observa la cima de una montaña con un ángulo de elevación de 62º. Si nos alejamos 400m. el ángulo de elevación es ahora de 32º. Calcular la altura de la montaña.
Se tiene:
Resolviendo el sistema de ecuaciones que se forma , se tiene x =199'026 h = 374'31 m.
12) Desde un cierto punto se observa la copa de un árbol bajo un ángulo de 40º. Desde el mismo punto y a una altura de 2 m. Se observa la copa del mismo árbol bajo un ángulo de 20º. Calcular la altura del árbol y a qué distancia nos encontramos del mismo.
SOLUCIÓN: Del dibujo tenemos:
Haciendo las operaciones pertienentes: x = 4'21 x = 4'21 y h = 3'53 Desde un punto A se observa un pájaro volando con un ángulo de elevación de 24º. Desde otro punto B (situado al otro lado del pájaro y a 300 m del anterior) se observa el mismo pájaro con 30º de elevación. Calcular la altura del pájaro y la distancia, en línea recta, desde el punto B al pájaro.
SOLUCIÓN:
En el dibujo observamos: Resolviendo el sistema: x = 130'6193 y h = 75'4131 m. (Altura del pájaro)
por eso, d = 2h = 150'82 m. (Distancia desde B).
15) Calcular el área y el perímetro de un eneágono regular (9 lados) inscrito en una circunferencia de 12 cm de radio.
SOLUCIÓN:
1º) Cálculo del área: Consideramos el polígono regular dividido en tantos triángulos (iguales entre sí) como lados tiene (9 en este caso). El ángulo central correspondiente será: 360º/9 = 40º. Cada uno de los triángulos en que hemos dividido el polígono tiene por área
(Para calcular el área del triángulo hemos utilizado la
fórmula forman)
en la que se utilizan dos lados y el seno del ángulo que
El polígono regular (eneágono) tiene por área
EJERCICIO 5:
Resolver el triángulo del que se conocen los datos siguientes A=45º ; a=8cm. ; b=10cm.
Para calcular el ángulo B comenzamos utilizando el teorema del seno.
En nuestro caso Este resultado nos da dos posibles soluciones para el ángulo B (puesto que los ángulos suplementarios tienen el mismo seno);
Lo cual nos arroja dos valores posibles para el ángulo C (Estos dos valores se calculan haciendo uso simplemente - del hecho de que la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo vale 180º).
Tenemos, por tanto, dos posibles soluciones para nuestro problema. (Estas soluciones están ilustradas en la figura del margen). En ambas nos falta calcular el lado c:
Solución 1: A=45º B=62º6'52" C=72º73'8" ; a=8 b=10
Para calcular el lado c aplicamos de nuevo el teorema de los senos:
Solución 2: A=45º B=117º53'8" C=17º6'52" ; a=8 b=10
Para calcular el lado c aplicamos de nuevo el teorema de los senos:
EJERCICIO 6:
Resolver el triángulo en el que se conocen los siguientes datos: a=23m. B=53º C=84º
SOLUCIÓN:
Calculamos, primero el ángulo A. A=180º-(53º+84º) = 43º
Aplicamos el teorema del seno para calcular el lado b
Aplicamos ahora el teorema del seno para calcular el lado c
EJERCICIO 7:
Resolver el triángulo en el que se conocen los siguientes datos: a=12m. b=9m A=96º
SOLUCIÓN:
Aplicamos, en primer lugar, el teorema de los senos para calcular el ángulo B
Como el ángulo B también puede ser obstuso (ver ejercicio 5) tenemos que otra posible solción es
Como el ángulo A es superior al recto y el B (en el caso 2) también lo es, la solución que corresponde a este caso es imposible (los ángulos de un triángulo sólo pueden sumar 180º)
Calculamos ahora el ángulo C para el caso 1 del ángulo B (que es el único posible)
C=180º-(96º+48º14'9")=35º45'51"
Para terminar, el lado c se calcula aplicando el teorema del seno
EJERCICIO 8:
Resolver el triángulo en el que se conocen los siguientes datos: a=5m. b=4m. C=47º
SOLUCIÓN:
Aplicamos el teorema del caseno para calcular el lado c
Ahora calculamos el ángulo A utilizando el teorema del seno:
El cálculo de B es solamente una diferencia y hace que B=51º46'2"
EJERCICIO 9:
Resolver el triángulo en el que se conocen los siguientes datos: a=23m. B=53º C=84º
SOLUCIÓN:
Aplicamos el terorema del coseno para calcular el ángulo A
Aplicamos ahora el teorema del seno para calcular el ángulo B
y el ángulo C, como antes, es simplemente calcular una diferencia:
C=34º2'52"
1.-
2.3.-
4.-
5.6.-
7.-
8.9.10.11.-
SISTEMAS DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
1.-
2.-
3.-
SOLUCIONES
1.SOLUCIÓN:
Por el coseno del ángulo doble:
Por la fórm. fundamental:
Operando: Sacando factor común: Posibilidades y resultados:
a)
b)
(Por ser suplementario del anterior)
2.-
SOLUCIÓN:
Reagrupando y sacando factor común:
Posibilidades y resultados:
a) b)
3.SOLUCIÓN:
Aplicando el valor de la secante:
Reagrupando:
Sacando raíces: Posibilidades y resultados:
a)
(Por que los ángulos que difieren 360º tienen el mismo coseno)
b)
(Por la razón anterior) En resumen, y sólo en este caso, podemos reunir las cuatro soluciones
anteriores en la expresión siguiente:
4.SOLUCIÓN:
Aplicando definiciones:
Quitando denominadores: (En el resultado, habrá que controlar si se han introducido soluciones "extrañas" a la ecuación, puesto que hemos multiplicado por una función en ambos miembros)
Ecuación fund. trigon.
Reagrupando:
Despejando: Las soluciones, como en el caso anterior (se puede comprobar) corresponden,
una vez agrupadas, a Igualmente se puede comprobar que no se han introducido soluciones extrañas.
Otra forma de resolver la misma ecuación:
Sumando y restando 3:
Sacando factor común:
Aplicando otra fórm. fundamental:
Reagrupando:
Despejando:
Calculando inversos en ambos miembros:
Despejando: Es evidente que esta ecuación tiene las mismas soluciones que usando el otro camino (ver problema anterior)
5.SOLUCIÓN:
Valor del coseno de 2x:
Reagrupando y "abriendo" el sen:
Reagrupando:
Despejando:
Solución 1:
Solución 2:
Solución 3:
Solución 4:
6.SOLUCIÓN:
Pasando senx al otro miembro: Transformando el segundo miembro en producto:
Simplificando: (En este punto conviene que tengamos en cuenta que hemos podido eliminar las soluciones que sean cosx=0)
Despejando:
Esta ecuación tiene por soluciones:
Solución 1:
Solución 2: Solución 3: Ahora debemos comprobar si las soluciones de cosx=0 son tambièn soluciones de nuestra ecuación.
1) Si consideramos
tenemos:
(lo cual es cierto)
2) Si consideramos
tenemos:
(lo cual es también es cierto) Por todo locual, estas dos últimas soluciones lo son también de la ecuación dada.
7.SOLUCIÓN:
Valor de coseno 2x:
"Abriendo el coseno":
Operando:
Despejando:
Despejando:
Solución 1:
Solución 2:
(Ángulos suplementarios)
Solución 3:
Solución 4:
(Ángulos suplementarios)
(No hace falta poner los ángulos que difieran vueltas completas puesto que el enunciado, precisamente, hace referencia a que las soluciones pertenezcan a la "primera vuelta")
8.SOLUCIÓN:
Aplicando "seno del ángulo mitad": Quitando denominadores: Operando: Solución única:
9.SOLUCIÓN:
Aplicando "seno del ángulo doble": Sacando factor común: Tenemos ahora dos números cuyo producto es 0. Uno de ellos, al menos, debe ser cero, es decir:
Solución 1:
Solución 2:
10.SOLUCIÓN:
Un posible camino para esta ecuación consiste en aplicar de una manera ingeniosa las fórmulas de conversión a productos. (Por supuesto, siempre podemos "abrir el sen(3x)")
Preparamos para utilizar la fórmula: Aplicamos la fórmula de conversión de la diferencia de senos en producto:
Dividimos por senx sen x = 0)
(Habrá que tener en cuenta las soluciones de
Solución 1: Solución 2:
11.PROCEDIMIENTO GENERAL:
En las ecuaciones de la forma
vamos a dividir siempre por
(Expresión que recuerda al módulo de un vector)
De esta forma obtendremos Utilizaremos en este punto un ángulo auxiliar de modo que
(Evidentemente, este ángulo auxiliar siempre va a existir, puesto que basta aplicarle la ecuación fundamental de la trigonometría para comprobar que la cumple con los valores propuestos). Sustituyendo en la ecuación anterior, se tiene:
Es decir:
Y esta última ecuación es muy fácil de resolver. SOLUCIÓN:
En nuestro caso,
; hemos de dividir por
Dividiendo por el módulo:
El ángulo auxiliar en nuestro caso es aquel que cumple , es decir,
Sustituyendo en la ecuación
Aplicando el seno de la suma: De aquí tenemos que:
Solución 1:
Solución 2:
1.SOLUCIÓN:
Sumando las dos ecuaciones obtenemos:
Restando las dos ecuaciones: (Estas dos ecuaciones forman un sistema equivalente al anterior).
Aplicando coseno de la diferencia:
Aplicando coseno de la suma:
De donde
Además Resolviendo este sistema: x = 57'6665º ; y = 20.7966º, es decir: x = 57º39'59" ; y = 20º47'48"
2.SOLUCIÓN:
Despejamos en la segunda ecuación:
Sustituimos en la primera:
Desarrollamos en la ec. anterior: Es decir: senx+cosx=1 Para resolver esta ecuación podemos recurrir al siguiente artificio. Nos basamos en que el coseno de un ángulo es igual al seno de 90º+x. De esta forma, la ecuación queda: senx + sen (90º+x) = 1 Transformando en producto la suma de senos:
Haciendo operaciones:
Con esto tenemos:
También tenemos: logicamente de la "simetría" del sistema original)
(Como se deducía
