UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Tarea n° 1 Luciano Radrigán.
Concepción, octubre de 2016
1. Teorema de muestreo y filtro anti-alias ...................................................................... 3 Desarrollo .......................................................................................................................... 4 2. Taxonomía de señales.................................................................................................. 10 3. Sistemas de adquisición y teorema de muestreo ....................................................... 11 Anexo código ....................................................................................................................... 12
Considere el sistema de procesamiento de señales de la Figura 1. Los periodos de muestreo de los convertidores A/D y D/A son TA=D = TD=A =1/1200 s. Grafique el espectro de magnitud de la señal de entrada análoga, xa(t), y determine de manera analítica la salida análoga del sistema, ya(t) = LPFfy(t)g =LPFfx[tfD=A]g, si:
= cos2 ∗ ∗ 500 ∗ + cos2 ∗ ∗ 800 ∗ y LPF corresponde al filtro de salida que, una vez que reconstruye la señal, le aplica un pasabajos con frecuencia de corte Fc =700 Hz. Determine también las frecuencias discretas (o frecuencias normalizadas) de las señales muestreadas. Responda ahora las siguientes preguntas: >existe aliasing?, ¿qué valor tiene la folding frequency? cual es la frecuencia aparente si es que existe aliasing? Finalmente, dibuje el espectro de magnitud de la salida análoga del sistema. Si ahora tanto el convertidor A/D como el D/A operan con un periodo de TA=D = TD=A = 1=2000 s, repita todos los cálculos anteriores, responda a las mismas preguntas y gra_que los espectros resultantes para esta nueva condición. NOTA: Recordar que la señal muestreada se obtiene mediante la definición: x[n] , xa(nTA=D). Además, para este problema considerar que la reconstrucción se realiza mediante la definición: y(t) , x[fD=At].
Figura 1: Sistema de procesamiento digital de señales del Problema 1.
Tenemos la siguiente función
Y nos entregan
= cos2 ∗ ∗ 500 ∗ + cos2 ∗ ∗ 800 ∗ / = / = = 700
Tenemos las graficas
Figura 1. Señal de Entrada
Figura 2. Espectro
Figura 3. Espectro Centrado
Ahora de manera analítica, establecemos las siguientes igualdades
Por lo que rescribimos t como
Remplazamos nuestro t en X(t)
= ∗ TA/D 1 = ∗ 1200
1 ) + cos2 ∗ ∗800 ∗ ∗ 1 = cos(2 ∗ ∗ 500 ∗ ∗ 1200 1200 → = cos2 ∗ ∗ ∗ 0.41 + cos2∗ ∗ ∗ 0.66 Transformamos el 0.41 y 0.66 en forma de fracciones
= cos(2 ∗ ∗ ∗ 125 ) + cos2∗ ∗ ∗ 23 Analizamos si el x(n) esta normalizado, es decir Si se cumple
Otra manera de verlo es
− 12 < 125 < 12 −0.5 < 0.41 < 0.5
Nos damos cuenta que si se cumplen las desigualdades por lo que la expresión nos queda
Ahora verificamos si se cumple
cos(2 ∗ ∗ ∗ 125 ) − 12 < 23 < 12
Otra manera de verlo
−0.5 < 0.66 < 0.5
Esta desigualdad no se cumple, por lo que debemos rescribir la expresión
cos2∗ ∗ ∗ 23
→ cos2 ∗ ∗ ∗ (1 − 13) Así obtenemos una ecuación de la forma de
cos + → cos + = cos ∗ cos − ∗ Por lo que rescribimos
cos2 ∗ ∗ ∗ (1 − 13) → cos2 ∗ ∗ ∗ 1 ∗ cos(2 ∗ ∗ ∗ 13) − 2 ∗ ∗ ∗ 1 ∗ (2 ∗ ∗ ∗ 13) → 1∗ cos(2 ∗ ∗ ∗ 13) − 0 ∗ (2 ∗ ∗ ∗ 13) → cos(2 ∗ ∗ ∗ 13)
Por lo que obtenemos
= cos(2 ∗ ∗ ∗ 125 ) + cos(2 ∗ ∗ ∗ 13)
Al principio usamos la siguiente expresión
= ∗ TA/D Lo cual es equivalente
= → TA/D → = ∗1200 Por lo que finalmente obtenemos la expresión
= cos(2 ∗ ∗ ∗ 1200 ∗ 125 ) + cos(2 ∗ ∗ ∗ 1200 ∗ 13) → = cos2 ∗ ∗ ∗ 500 + cos2 ∗ ∗ ∗ 400
Tenemos las graficas
Figura 4. Señal de Entrada
Figura 5. Espectro
Figuera 6. Espectro Centrado
Aplicamos nuestro filtro antialiasing (filtro pasa bajo, que limpia la señal antes de hacer una Conversión analógica-digital). la cual tiene una frecuencia de corte de , pero podemos ver que las frecuencias obtenidas en el modelo son menores a
= 700
Por lo que no existe ariasing
Si ahora se tiene un
400 < 500 < 700 = / = / =
Y se mantiene un
= 700
Hacemos el procedimiento de forma análoga de cuando teníamos el
/ = / =
Reemplazamos nuestro nuevo t
1 = ∗ 2000
En nuestra ecuación
1 ) + cos2 ∗ ∗800 ∗ ∗ 1 = cos(2 ∗ ∗ 500 ∗ ∗ 2000 2000 → = cos(2 ∗ ∗ ∗ 14) + cos2 ∗ ∗ ∗ 25 Podemos observar que
− 12 < 14 < 12
∧ − 12 < 25 < 12
Tanto como cumplen las desigualdades, por lo que no se tiene que normalizar. Por lo que ahora remplazamos En nuestra ecuación x(n)
→ = ∗2000
→ = cos(2 ∗ ∗ ∗2000 ∗ 14) + cos2 ∗ ∗ ∗ 2000 ∗ 25 → = cos2 ∗ ∗ ∗ 500 + cos2 ∗ ∗ ∗ 800 Aplicamos nuestro filtro antialiasing (filtro pasa bajo, que limpia la señal antes de hacer una Conversión analógica-digital). la cual tiene una frecuencia de corte de . Por lo que obtenemos
= 700
̂ = cos 2 ∗ ∗ ∗ 500
Así se elimina la señal que está por sobre 700 hz.
Tenemos las graficas
Figura 7.Señal de entrada
Figuera 8. Espectro
Figura 9. Espectro Centrado
Considere las siguientes categorías para las señales: monocanal o multicanal, unidimensional o multidimensional, tiempo continuo o discreto, cuantizadas o análogas en amplitud. Clasifique las siguientes señales en una o más de las categorías anteriores: (i) precio de cierre de las acciones de la bolsa de Santiago; (ii) una película cinematográfica; (iii) la posición del volante de un automóvil con respecto a un eje de referencia situado dentro del automóvil; (iv) la posición del volante de un automóvil con respecto a un eje de referencia situado en el suelo; y (v) el peso y la altura de un niño(a) tomadas mensualmente. Monocanal Multicanal Unidimensional Multidimensional I
Precio de cierre de las acciones de la bolsa de Santiago
II
Una película cinematográfica
III
La posición del volante de un automóvil con respecto a un eje de referencia situado dentro del automóvil
IV
V
La posición del volante de un automóvil con respecto a un eje de referencia situado en el suelo
X
X
X
X
X
X
X
X
El peso y la altura de un niño(a) tomadas mensualmente.
X
T. Continuo
X
T. Discreto
Cuantizadas Análogas
X
X
I
Precio de cierre de las acciones de la bolsa de Santiago
II
Una película cinematográfica
X
X
III
La posición del volante de un automóvil con respecto a un eje de referencia situado dentro del automóvil
X
X
La posición del volante de un automóvil con respecto a un eje de referencia situado en el suelo
X
X
IV
V
El peso y la altura de un niño(a) tomadas mensualmente.
X
X
Considere una señal sísmica cuyo rango dinámico es de 1 volt. Si esta señal se muestrea a una tasa de 20 muestras por segundo y se usa un conversor A/D de 8 bits. Determine: (i) el bit rate de la señal digital, es decir, determine la velocidad de la señal digitalizada y cuantizada; (ii) la resolución, en volts, que tiene la señal digital; y (iii) la frecuencia máxima que aparece en la señal digitalizada.
I)
Sabemos que la formula del Bit rate es
] = = 8 ∗ 20 = 160[ II)
Sabemos que Escalón está dado por
∆= −− 1 = 8 −1 1 = 0.143 III) IV)
Del teorema de Nyquist, sabemos que
= 2 = 10[ ]
El código adjunto es para utilizar todas las gráficas, solo cambian las ecuaciones que ingresan al principio en #Definimos la Ecuacion
