1 Un fabricante de muebles muebles tiene 6 unidades unidades de madera y 28 horas horas disponibles, durante durante las Con anter anteriorid ioridad, ad, se han vendid vendido o dos modelo modelos, s, de maner manera a que se limitará limitará a producir producir ést ést Estima que el modelo I requiere 2 unidades de madera y 7 horas del tiempo disponible, mientras el modelo II requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos ¿Cuántos ¿Cuántos biombos biombos de de cada modelo modelo debe debe fabricar fabricar si si desea maximiza maximizarr su ingreso ingreso en en la ven ven
EJ Solución Recursos Madera Horas Disponibles
Modelo I
Modelo II
2 7 120
Disponibilidad
1 8 80
a) Formulación Sea X1 la cantidad a producir del mueble modelo I Sea X2 la cantidad a producir del mueble modelo II Max Z= 120X1+80X2
6 28 b) Método gr R1: 2X1+X2=6 R2: 7X1+8X2=
Sujeto a : 2X1+1X2 <= 6 7X1+8X2 <=28 X1,X2>=0
R1:
R2:
A=(0, 28/8) B=(3,0)
C=(20/9,14/9) Z=120 X1+80X ZA=120*0 + 8 ZB=120*3+80 ZC=120*20/9 C) METODO SIMPLEX Max Z= 120X1+80X2 i) Convertir las inecuaciones en ecuaciones agregando variables de holgura 2X1+X2+X3 2X1+X2+X3=6 =6 7X1+8X2+X4 7X1+8X2+X4=28 =28 BASE X3 ii) Construir siguiente cuadro (iteración 1) X4 Se ponen los valores de Z en negativo-> Z
X1 2 7 -120
Ahora comienza las iteraciones……..
Paso 1) Buscar el elemento más negativo de la fila Z , en este caso corresponde a -120 La columna donde esta el -120 se denomina columna PIVOTE y corresponde a X1 que se co Paso 2) Para determinar que variable sale de la base, debemos identificar la fila PIVOTE, para lo cu entre el valor de la columna PIVOTE, para cada una de las varibles de la Base, de la siguient Para la fila de X3 : 6/2 =3 Para la fila de X4 : 28/7 =4
Dado que 3<4
y que X3 se encuentra en dicha X3 debe salir de la base y permi
Paso 3) Volver a dibujar el cuadro con la variable ingresante y la saliente y hacer los siguientes cálc BASE X1 X4 Z
X1
X2 1
X3 1/2
X4 1/2
SOLUCIÓN 0
3
Toda la fila PIVOTE que corresponde a la variable ingresante (X1) debe dividirse entre la col Calcular nueva fila X4: 7 1 7 0
7* Multiplic Resto:
8 1/2 7/2 9/2
0 1/2 7/2 -7/2
1 0 0 1
28 (anterior fila X 3 (El 7 es el valo 21 7 anterior fila X
-80 1/2 -60 -20
0 1/2 -60 60
0 0 0 0
0 (anterior fila Z 3 (El -120 es el v -360 360 anterior fila Z
Calcular nueva fila Z: -120 1 -120 0
-120 * Multiplic Resto:
TERMINÓ LA PRIMERA ITERACIÓN!!!!!!!!!!!!!!!! BASE X1 X4 Z
X1
X2 1 0 0
Y AHORA REGRESO A EJECUTAR X3
1/2 9/2 -20
X4 1/2 -7/2 60
SOLUCIÓN 0 1 0
3 7 360
Paso 1) Buscar el elemento más negativo de la fila Z , en este caso corresponde a -20 La columna donde esta el -20 se denomina columna PIVOTE y corresponde a X2 que se con Paso 2) Para determinar que variable sale de la base, debemos identificar la fila PIVOTE, para lo cu entre el valor de la columna PIVOTE, para cada una de las varibles de la Base, de la siguient
Para la fila de X1 : 3/1/2 =6 Para la fila de X4 : 7/9/2 =14/9
Dado que 14/9<6
y que X4 se encuentra en dicha X4 debe salir de la base y permi
Paso 3) Volver a dibujar el cuadro con la variable ingresante y la saliente y hacer los siguientes cálc BASE X1 X2 Z
X1
X2 0
X3 1
X4 -7/9
SOLUCIÓN 2/9
14/9
Toda la fila PIVOTE que corresponde a la variable ingresante (X2) debe dividirse entre la col Calcular nueva fila X1 1 0 0 1
1/2 * Multiplic Resto:
1/2 1 1/2 0
1/2 -7/9 -7/18 16/18
0 2/9 1/9 -1/9
3 (anterior fila X 14/9 (El 1/2 es el v 7/9 20/9 anterior fila X
-20 1 -20 0
60 -7/9 140/9 400/9
0 2/9 -40/9 40/9
360 (anterior fila Z 14/9 (El -20 es el va -280/9 3520/9 anterior fila Z
Calcular nueva fila Z: 0 0 0 0
-20 * Multiplic Resto:
BASE X1 X2 Z
X1
X2 1 0 0
X3 0 1 0
X4 16/18 -7/9 400/9
SOLUCIÓN -1/9 20/9 2/9 14/9 40/9 3520/9
cuales fabricará biombos decorativos. s. son $120 y $80, respectivamente. a? .Resuelva mediante el método SIMPLEX. (6 puntos)
X2 R1
fico
6
28 28/8 A X1
X2 0 3
X1
C
R2
6 0
B
X2 0 28/8
28/7=4
o
3
X1
0
C=?
multiplico R1 * 8 para eliminar variable X2 2X1+X2=6 ---> 16X1+8X2=48 7X1+8X2=28 Restando: 9X1=20X1=20/9 Reemplazo X1 en R1 y obtengo: 2*20/9 +X2 =6 , X2=6-40/9 <---------------------------------------X2=14/9 2 *28/8 =280 0 = 360 + 80*14/9
X2
3520 9
X3 1 8 -80
X4 1 0 0
SOLUCIÓN 0 1 0
6 28 0
6/2=3 28/7=4 DEBO ITERAR HASTA QUE EN LA FILA Z NO HAYA ELEMENTOS NEGATIVOS
nvierte en la variable que ingresa a la base l debemos dividir el valor de la columna SOLUCIÓN e forma: fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE, tir que ingrese X1 (columna PIVOTE)
los:
Toda esta fila resulta de dividir la FILA PIVOTE entre la columna pivote del cuadro anterior (QUE CORRESPONDE AL VALOR 2)
umna PIVOTE
4, MENOS...) r de X4 que está en la Columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar. - 7*(nueva fila X1)
, MENOS...) alor de Z que está en la columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar. - 120*(nueva fila X1) PASO 1 PARA LA SEGUNDA ITERACIÓN, TODO ES IGUAL
3/1/2=6 7/9/2= 14/9
9*7 /7*4
vierte en la variable que ingresa a la base l debemos dividir el valor de la columna SOLUCIÓN e forma:
fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE, tir que ingrese X2 (columna PIVOTE)
los: Toda esta fila resulta de dividir la FILA PIVOTE entre la columna pivote del cuadro anterior (QUE CORRESPONDE AL VALOR 9/2)
umna PIVOTE
1, MENOS...) lor de X1 que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar. - 1/2*(nueva fila X2)
, MENOS...) lor de Z que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar. - -20*(nueva fila X2)
La función se maximiza en este valor de X1 La función se maximiza en este valor de X2 Este valor es el Z máximo y ya no se itera más Dado que los elementos de Z son todos positivos :)
2 Una compañía tiene una división que produce dos modelos de braseros, el A y el B. Para p y 6 minutos de trabajo, mientras que para cada modelo B, 4 onzas de hierro forjado y 3 m La ganancia por cada modelo A es $2 y $1.50 por cada B. Si se dispone de 1000 onzas de hi para la producción diaria de braseros, ¿cuántas piezas de cada modelo debe producir la di
Solución Recursos Hierro Forjado Minutos de Trabajo
Modelo A Modelo B Disponibilidad 3 4 1000 6 3 1200 minutos 2 1.5
a) Formulación
b) Método grá
Sea X1 la cantidad a producir del mueble modelo A Sea X2 la cantidad a producir del mueble modelo B Max Z= 2X1+1.5X2
R1: 3X1+4X2= R2: 6X1+3X2=
Sujeto a : 3X1+4X2 <= 1000 6X1+3X2 <=1200 X1,X2>=0
R1:
R2:
A=(0,250) B=(200,0)
C=(120,160) Z=2X1+1.5X2 ZA=2*0 + 1.5* ZB=2*200 +1. ZC=2*120+1.5 C) METODO SIMPLEX i) Convertir las inecuaciones en ecuaciones agregando variables de holgura 3X1+4X2+X3=1000 6X1+3X2+X4=1200 BASE X3 ii) Construir siguiente cuadro (iteración 1) X4 Se ponen los valores de Z en negativo-> Z
X1 3 6 -2
Ahora comienza las iteraciones……..
Paso 1)
Buscar el elemento más negativo de la fila Z , en este caso corresponde a -2 La columna donde esta el -2 se denomina columna PIVOTE y corresponde a X1 que se convi
Paso 2)
Para determinar que variable sale de la base, debemos identificar la fila PIVOTE, para lo cual entre el valor de la columna PIVOTE, para cada una de las variables de la Base, de la siguient Para la fila de X3 : 1000/3 =333.33 Para la fila de X4 : 1200/6 =200
Paso 3)
Dado que 200<333.33 y que X4 se encuentra en dicha X4 debe salir de la base y permi
Volver a dibujar el cuadro con la variable ingresante y la saliente y hacer los siguientes cálcul BASE X3 X1 Z
X1
X2 1
X3 1/2
X4 0
SOLUCIÓN 1/6
200
Toda la fila PIVOTE que corresponde a la variable ingresante (X1) debe dividirse entre la colu Calcular nueva fila X3: 3 1 3 0
3* Multiplico-> Resto:
4 1/2 3/2 5/2
1 0 0 1
0 1/6 1/2 -1/2
1000 (anterior fila X 200 (El 3 es el valo 600 400 anterior fila X
-1.5 1/2 -1 -0.5
0 0 0 0
0 1/6 -1/3 1/3
0 (anterior fila Z 200 (El -2 es el val -400 400 anterior fila Z
Calcular nueva fila Z: -2 1 -2 0
-2 * Multiplico-> Resto:
TERMINÓ LA PRIMERA ITERACIÓN!!!!!!!!!!!!!!!! BASE X3 X1 Z
X1
X2 0 1 0
Y AHORA REGRESO A EJECUTAR X3
5/2 1/2 -0.5
X4 1 0 0
SOLUCIÓN -1/2 400 1/6 200 1/3 400
Paso 1)
Buscar el elemento más negativo de la fila Z , en este caso corresponde a -0.5 La columna donde esta el -0.50 se denomina columna PIVOTE y corresponde a X2 que se co
Paso 2)
Para determinar que variable sale de la base, debemos identificar la fila PIVOTE, para lo cual entre el valor de la columna PIVOTE, para cada una de las varibles de la Base, de la siguiente
Para la fila de X3 : 400/5/2 =160 Para la fila de X1 : 200/1/2 =400 Paso 3)
Dado que 160<400
y que X3 se encuentra en dicha X3 debe salir de la base y permi
Volver a dibujar el cuadro con la variable ingresante y la saliente y hacer los siguientes cálcul BASE X2 X1 Z
X1
X2 0
X3 1
X4 2/5
SOLUCIÓN -1/5 160
Toda la fila PIVOTE que corresponde a la variable ingresante (X2) debe dividirse entre la colu Calcular nueva fila X1 1 0 0 1
1/2 * Multiplico-> Resto:
1/2 1 1/2 0
0 2/5 1/5 -1/5
1/6 -1/5 -1/10 4/15
200 (anterior fila X 160 (El 1/2 es el v 80 120 anterior fila X
-0.5 1 -0.5 0.75
0 2/5 -0.2 0.5
1/3 -1/5 0.1 0.083
400 (anterior fila Z 160 (El -0.5 es el v -80 480 anterior fila Z
Calcular nueva fila Z: 0 0 0 0
-0.5 * Multiplico-> Resto:
BASE X2 X1 Z
X1
X2 0 1 0
X3 1 0 0.75
X4 2/5 -1/5 0.5
SOLUCIÓN -1/5 160 4/15 120 0.083 480
oducir cada modelo A se necesitan 3 onzas de hierro forjado inutos de trabajo. erro forjado y 20 horas de trabajo visión para maximizar las ganancias de la compañía?
400
250 A
fico
C
1000 1200
R2
X1
X2 0 1000/3
X1
R1
250 0
B
X2 0 200
400 0
1000/3
200
C=?
multiplico R1 * 2 para eliminar variable X1 3X1+4X2=1000 ---> 6X1+8X2=2000 6X1+3X2=1200 Restando: 5X2=800 X2=160 Reemplazo X2 en R1 y obtengo: 3X1+4*160=1000 , X1=120 <----------------------------------------
250 =375 *0 = 400 *160=
240
X2
X3 4 3 -1.5
240
X4 1 0
SOLUCIÓN 0 1000 1 1200
1000/3 333 1200/6 200 DEBO ITERAR HASTA QUE E
NO HAYA ELEMENTOS NEGA
rte en la variable que ingresa a la base debemos dividir el valor de la columna SOLUCIÓN e forma: fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE, tir que ingrese X1 (columna PIVOTE) os:
Toda esta fila resulta de dividir la FILA PIVOTE entre la columna pivote del cuadro anterior (QUE CORRESPONDE AL VALOR 6)
mna PIVOTE
3, MENOS...) r de X3 que está en la Columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar. - 3*(nueva fila X1)
, MENOS...) r de Z que está en la columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar. - 120*(nueva fila X1) PASO 1 PARA LA SEGUNDA ITERACIÓN, TODO ES IGUAL
400/5/2 200/1/2
160 400
vierte en la variable que ingresa a la base
debemos dividir el valor de la columna SOLUCIÓN forma:
fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE, tir que ingrese X2 (columna PIVOTE) os: Toda esta fila resulta de dividir la FILA PIVOTE entre la columna pivote del cuadro anterior (QUE CORRESPONDE AL VALOR 5/2)
mna PIVOTE
1, MENOS...) lor de X1 que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar - 1/2*(nueva fila X2)
, MENOS...) lor de Z que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar. - -0.5*(nueva fila X2)
La función se maximiza en este valor de X1 La función se maximiza en este valor de X2 Este valor es el Z máximo y ya no se itera más Dado que los elementos de Z son todos positivos :)
LA FILA Z
TIVOS
.
.
