EjerciciosResueltosNúmerosComplejos I) 3 1. Dados z 1 = -3+4i , z 2 = 5-2i , z 3 = 2 y z 4 =7i , calcular: a) ( z z 1 - z 2) z 3
b) z 1 z 4 + z 3 z 4
f)
g)
z 1 z 2
z
1
z 2
1
c)
z 1 + z 4 - 5 z 2
h) z 12 z 3
d)
-1
z 1 + z 3
z 2
i)
z 1
e) z 2-1 j)
z 1
2 z 3 + z 4
Solución a) Para calcular ( z 1 - z 2) z 3, en primer lugar se calcula la operación del paréntesis y a continuación se multiplica el resultado por z 3: 3 3 3 ( z ) 2 = (-8+6i ) 2 = -12+9i z 1 - z 2) z 3 = (-3+4i – (5-2i )) = (-3-5+(4+2) i 2 b) En primer lugar se calculan z 1 z 4 y z 3 z 4 para después sumar los resultados: = (-3+4i ) 7i = -21i +28 +28i 2 = -28-21i
z 1 z 4
3 21 2 7i = 2 i
z 3 z 4 =
21 21 + z 3 z 4 = -28-21i + 2 i = -28 - 2 i
z 1 z 4
Notar que otra forma de obtener este resultado es sacar factor común z 4 quedando: z 1 z 4
+ z 3 z 4 = ( z z 1 + z 3) z 4 = 3 4i
3
21 21 3 2 i 28 i 28 i 7 i 4i 7 i 2 2 2 2
c) En primer lugar se calcula la operación z 1 + z 4 - 5 z 2 = -3+4i + 7i – 5(5-2i ) = -28+21 i y después se calcula su conjugado, d) El inverso de z 3 es
z 1 + z 4 - 5 z 2
-1
z 3
= -28-21i
1 2 2 -7 = 3 = 3 y, por tanto, z 1 + z 3-1 = -3+4i + 3 = 3 +4i 2
e) Para calcular el inverso de z 2 = 5-2i se puede proceder de dos formas:
5 -2 5 2 mediante la definición: z 2-1 = 52+(-2)2 - 52+(-2)2 i = 29 + 29 i escribiéndolo como un cociente y efectuando la división multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: -1
z 2
=
1
z 2
1 1(5+2i ) 5+2i 5+2i 5 2 = 5-2 = (5-2 )(5+2 = 25-4 2 = 29 = 29 + 29 i i i )(5+2i ) i
f) Teniendo en cuenta que el conjugado del conjugado de un número es el propio número, es decir, z 1 z 2
= z 1 z 2, se tiene
z 1 z 2
= z 1 z 2 = (-3+4 i )(5-2 )(5-2i ) = -15+6 i +20 +20i -8 -8i 2 = -7+26i
g) En primer lugar, se realiza la suma de z 1 y z 2, después se calcula el conjugado de este resultado y finalmente el inverso de éste último: z 1 + z 2 =
II)
-3+4i + 5-2i = -3+5+(4-2) i = 2+2i
7. Determinar el módulo, el argumento, la forma polar y la forma trigonométrica de los siguientes números complejos: 5 a) 2+2i b) -2+2i c) 2-2i d) -2-2i e) - 5 f) 3 i g) 3 + i Solución En todos los apartados se representa el número complejo para ayudar a determinar su argumento. a) El módulo y el argumento de 2+2i son: 22+22 = 8 = 2 2 2 arg(2+2i ) = arctg = arctg 1 = 2 4 l2+2i l =
Por tanto, la forma polar de 2+2i es (2 2) /4 y la forma trigonométrica 2 2 cos 4 + i sen 4 b) El módulo y el argumento de -2+2i son:
(-2)2+22 = 8 = 2 2 3 2 arg(-2+2i ) = arctg -2 = arctg (-1) = 4 l-2+2i l =
Por tanto, la forma polar y trigonométrica de -2+2i son, respectivamente: l-2+2i l = (2 2)3 /4
3 3 l-2+2i l = 2 2 cos 4 + i sen 4
c) El módulo y el argumento de 2-2i son:
22+(-2)2 = 8 = 2 2 7 -2 arg(2-2i ) = arctg = arctg -1 = 2 4 l2-2i l =
7 + i sen 7 Por tanto, la forma polar de 2-2i es (2 2)7 /4 y la forma trigonométrica 2 2 cos 4 4
II)
8. Determinar la forma binómica de los siguientes números complejos: a)
b) 3 cos + i sen 2 2
3 cos 6 + i sen 6
c) 13 /4
d)
2 /3
Solución a) El número complejo
3 cos 6 + i sen 6 está dado en forma trigonométrica y para obtener su forma binómica basta hacer operaciones, así:
3 cos 6 + i sen 6 =
b) El número complejo 3 cos
3
1 3 3 3 2 + i 2 = 2 + i 2
2 + i sen 2 está dado en forma trigonométrica y para obtener su forma binómica basta hacer operaciones, así:
3 cos 2 + i sen 2 = 3 (0+i 1) = 3i c) El número complejo 1 3 /4 está dado en forma polar, para obtener su forma binómica basta escribir su forma trigonométrica y hacer operaciones, así:
13 /4 = 1 cos d) El número complejo
3 3 - 2 2 + i sen = + 4 4 2 2
i
2 /3 está dado en forma polar, para obtener su forma binómica basta
escribir su forma trigonométrica y hacer operaciones, así: 2 /3 =
II)
2 cos 3 + i sen 3 =
3 2 6 1 2 2 + 2 i = 2 + 2
i
:
9. Dados los números complejos z 1 = 2-i , z 2 = 4 , z 3 = 3 cos 4 + i sen 4 y z 4 = 1 - 3 i , realizar las operaciones que se indican a continuación expresando los resultados en forma binómica: a) z 1
z 2
z 2
e)
z 3
b) z 1 + z 3
c) z 43
d)
f)
g) z 24
h)
z 2
z 1 z 3
3
z 3
Solución En este ejercicio hay que tener en cuenta que para realizar una operación entre dos números complejos, ambos deben estar escritos de la misma forma: binómica, polar o trigonométrica. = 4 = 4(cos+i sen) = 4(-1+i 0) = -4, y z 2 = (2-i )(-4) = -8+4 i .
a) Expresando z 2 en forma binómica se tiene multiplicando este resultado por z 1 se obtiene z 1
z 2
2 3 2 3 2 2 b) Expresando z 3 en forma binómica queda z 3 = 3 cos 4 + i sen 4 = 3 2 + i 2 = 2 + 2 i , y 3 2 3 2 4+3 2 3 2-2 sumando este resultado con z 1 se obtiene z 1 + z 3 = 2 - i + 2 + 2 i = 2 2 i . c) El cálculo de potencias de un número complejo se simplifica si éste se expresa en forma polar o trigonométrica. Para calcular la expresión polar de z 4 = 1- 3 i es necesario calcular su módulo y su argumento: l1- 3 i l =
12+(- 3)2 =
4=2
- 3 5 arg(1- 3 i ) = arctg 1 = 3
y así la forma polar de 1 - 3 i es 25 /3 Por tanto, z 43 =
(25 /3)
3
3
=2
3.5 /3
= 85= 8
Y la expresión binómica del resultado es z 43 = 8 = 8(cos+i sen) = 8(-1+0i ) = -8 d) La forma binómica de z 3, obtenida en el apartado b), es z 3 =
3 2 3 2 2 + 2 i , y multiplicando este
resultado por z 1 se obtiene: z 1 z 3 =
II)
(2-i )
3 2 3 22 9 2 3 2 3 2 3 2 2 + 2 i = 3 2+3 2 i - 2 i - 2 i = 2 + 2 i