1º BACHILLERATO
NÚMEROS COMPLEJOS
hoja 1
NÚMEROS COMPLEJOS. EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Representar gráficamente los siguientes siguientes números complejos, sus conjugados conjugados y sus opuestos: a) 2 + 4i
b) i
c) -2 - i
d ) 1 - 2i
a) z = 2 + 4i Conjugado, z = 2 - 4i Opuesto, -z = -2 - 4i
Gráficamente
b) z = i
Gráficamente Conjugado, z = - i Opuesto, -z = - i
c) z = -2 - i Conjugado, z = -2 + i Opuesto, -z = 2 + i
Gráficamente
d) z = 1 - 2i Conjugado, z = 1 + 2i Opuesto, -z = -1 + 2i
Gráficamente
e) z = -2 + i Conjugado, z = -2 - i Opuesto, -z = 2 - i
Gráficamente
f) z = -3 Conjugado, z = -3 Opuesto, -z = 3
Gráficamente
e) -2 + i
f) -3
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NÚMEROS COMPLEJOS
hoja 2
2.- Expresar en las distintas formas los siguienes números complejos: a) (0, 1) b) (1, 1) c) -1 d) 3 + i e) 2 (cos 60° + i sen 60°) f) 645o g) 460o h) 830o i) 1 + 3i j) 10 (cos 130° + i sen 130°) Forma componente: (a, b) Forma binómica: a + bi. Forma polar: r " Forma trigonométrica: r (cos " + i sen") a = r A cos " . b = r A sen ". r = + a2 + b2 . a) z = (0, 1). a = 0, b = 1. r = 02 + 12
=
α=
b arctg . a
1 = 1.
α=
arctg
F. componente: (0, 1) F. binómica: 0 + 1 i = i . F. Polar: 1 90 o F. Trigonométrica: 1(cos 90° + i sen 90°) b) z = (1, 1). a = 1, b = 1. r = 12 + 12
2.
=
α=
arctg
F. componente: (1, 1) F. binómica: 1 + i . F. Polar: 2 45 o F. Trigonométrica: 2 (cos 45° + i sen 45°) c) z = - 1. a = -1, b = 0. r = 02 + (−1)2
=
1 = 1.
α=
1 o = 45 1
arctg
F. componente: (-1, 0) F. binómica: -1 + 0 i = -1 F. Polar: 1 180 o F. Trigonométrica: 1(cos 180° + i sen 180°) d) z = 3 + i. a = 3, b = 1. r = 32 + 12
=
10 .
F. componente: (3, 1) F. binómica: 3 + i F. Polar: 10 18 o 26 ' 6 “
α=
1 o = 90 0
arctg
0 o = 180 −1
1 o = 18 26'6" 3
F. Trigonométrica: 10 (cos 18° 26 ' 6 " + i sen 18° 26 ' 6 ") e) z = 2 (cos 60° + i sen 60°). r = 2 . " = 60° . a = 2 A cos 60° = 2 A 0 5 = 1, b = 2 A sen 60° = 2 '
F. componente: (1, 3 ) F. binómica: 1 + 3 i F. Polar: 2 60 o F. Trigonométrica: 2(cos 60° + i sen 60°)
3 2
=
3
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2 2
f) z = 645o . r = 6 . " = 45° . a = 6 A cos 45° = 6 ⋅
=
hoja 3
2 2
3 2 , b = 6 A sen 45° = 6 ⋅
=
3 2
F. componente: ( 3 2 , 3 2 ) F. binómica: 3 2 + 3 2 i F. Polar: 6 45 o F. Trigonométrica: 6(cos 45° + i sen 45°) g) z = 460o . r = 4 . " = 60° . a = 4 A cos 60° = 4 A 0 5 = 2, b = 4 A sen 60° = 4 '
3 2
=
2 3
F. componente: (2, 2 3 ) F. binómica: 2 + 2 3 i F. Polar: 4 60 o F. Trigonométrica: 4(cos 60° + i sen 60°) h) z = 830o . r = 8 . " = 30° . a = 8 A cos 30 = 8
3 2
=
4 3 . b = 8 A sen 30° = 8 A 0 5 = 4 '
F. componente: (4 3 , 4) F. binómica: 4 3 + 4 i F. Polar: 8 30 o F. Trigonométrica: 8(cos 30° + i sen 30°) 2
i) z = 1 + 3i . a = 1 . b = 3 . r = 1
+
( 3)
2
=
1+ 3 = 4 = 2 .
α=
arctg
3 1
=
60o
3)
F. componente: (1,
F. binómica: 1 + 3 i F. Polar: 2 60 o F. Trigonométrica: 2(cos 60° + i sen 60°) j) z = 10 (cos 130° + i sen 130°). r = 10 . " = 130° a = 10 A cos 130° = 10 A (-0 6428) = -6 43 . b = 10 A sen 130° = 10 A (0 7660) = 7 66 '
'
F. componente: (-6 43, 7 66) F. binómica: -6 43 + 7 66 i F. Polar: 10 130 o F. Trigonométrica: 10(cos 130° + i sen 130°) '
'
'
'
'
'
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hoja 4
3.- Realizar las siguientes operaciones con números complejos: a) (2 + 3i) + (2 - 2i) b) (3 - 4i) + (5 + 9i) c) (-2 + i) - (3 - i) e) (5, 6) - (-2, 4) f) (3, 1) + (-3, 2) g) (2 + 3i) A (2 - 2i) i) (5, 6) A (-2, 4) j) (3, 1) A (-3, 2) k) (3, 1) A (2 + i)
d) (6, 4) - (2, -3) h) (3 - 4i) A (5 + 9i) l) (3, 2) + (5 - 3i)
(5,6) (−2,4) (3 − 2i) − (1 − i) p) 1− i
(3,1) −3 + 2i (5 + 4i) + (3 − 2i) q) 2−i
ñ)
3 + 2i (1, −1) (3 + i) + (−2 + i) r) 1 − 2i
o)
t) (2 - i) 4
u) [(2 - i) + (-1 + 3i)] 3
v) (-1 - i) 4
w)
m)
x)
4
3 − 3i
n)
y)
6
64(cos 60o + isen60o )
z)
5
2+i −2 + i (3 + 2i)·(1 − i) s) 1+ i
(
2 + 2i)
4
32(cos120o + isen120o )
a) (2 + 3i) + (2 - 2i) = (2 + 2) + (3 - 2) i = 4 + i b) (3 - 4i) + (5 + 9i) = (3 + 5) + (-4 + 9) i = 8 + 5i c) (-2 + i) - (3 - i) = (-2 - 3) + (1 + 1) i = -5 + 2i d) (6, 4) - (2, -3) = (6 - 2, 4 + 3) = (4, 7) e) (5, 6) - (-2, 4) = (5 + 2, 6 - 4) = (7, 2) f) (3, 1) + (-3, 2) = (3 - 2, 1 + 2) = (1, 3) g) (2 + 3i) A (2 - 2i) = 2 A 2 + 3i A 2 - 2 A 2i - 3i A 2i = 4 + 6i - 4i - 6 A (-1) = 4 + 2i + 6 = 10 + 2i h) (3 - 4i) A (5 + 9i) = 3 A 5 - 4i A 5 + 3 A 9i - 4i A 9i = 15 - 20i + 27i - 36 A (-1) = 15 + 7i + 36 = 51 + 7i i) (5, 6) A (-2, 4) = (5 A (-2) - 6 A 4, 5 A 4 + 6 A (-2)) = (-10 -24, 20 - 12) = (-34, 8) j) (3, 1) A (-3, 2) = (3 A (-3) - 1 A 2, 3 A 2 + 1 A (-3)) = (-9 - 2, 6 - 3) = (-11, 3) k) (3, 1) A (2 + i) = (3, 1) A (2, 1) = (3 A 2 - 1 A 1, 3 A 1 + 1 A 2) = (6 - 1, 3 + 2) = (5, 5) l) (3, 2) + (5 - 3i) = (3 + 2i) + (5 - 3i) = (3 + 5) + (2 - 3) i = 8 - i m)
(5,6) (5,6) ⋅ (−2, − 4) (5 ⋅ (− 2) − 6 ⋅ (− 4),5 ⋅ (− 4) + 6⋅ (− 2) (− 10 + 24,− 20 − 12) = = = = (−2,4) (−2,4) ⋅ (−2,− 4) (− 2)2 + 42 4 + 16 (14, −32) −14 −32 7 − 8 , = = = 10 , 5 20 20 20
n)
(3,1) (3,1) (3,1) ⋅ (−3, − 2) (− 9 + 2,− 6 − 3) − 7 − 9 , = = = = (− 3,2) (− 3,2) ⋅ (− 3,− 2) 9+ 4 −3 + 2i 13 13
ñ)
3 + 2i (3,2) (3,2) ⋅ (1,1) (3 − 2,3 + 2) 1 5 = = = = , 1+ 1 (1, −1) (1, −1) (1, −1) ⋅ (1,1) 2 2
2 + i (2 + i) ⋅ (−2 − i) −4 − 2i − 2i − i2 = o) = (−2 + i) ⋅ (−2 − i) 4 − 2i + 2i − i2 −2 + i
=
−
4 − 4i + 1 − 3 − 4i 3 4 = =− − i 4+1 5 5 5
(3 − 2i) − (1 − i) 2 − i (2 − i) ⋅ (1+ i) 2 − i + 2i − i2 p) = = = 1 − i (1 − i) ⋅ (1+ i) 1− i2 1− i
=
2+ i+ 1 3 1 = + i 2 2 2
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NÚMEROS COMPLEJOS
hoja 5
(5 + 4i) + (3 − 2i) 8 + 2i (8 + 2i) ⋅ (2 + i) 16 + 4i + 8i + 2i2 q) = = = 2−i 2 − i (2 − i) ⋅ (2 + i) 4 − i2 (3 + i) + (−2 + i) 1 + 2i (1 + 2i)(1 + 2i) 1+ 4i + 4i2 r) = = = 1 − 2i (1 − 2i)(1 + 2i) 1− 4i2 1 − 2i (3 + 2i)·(1 − i) 3 + 2i − 3i − 2i2 s) = 1+ i 1+ i
4
=
5)
(
16 − 2 + 12i 14 + 12i 14 12 i = = + 4+1 5 5 5
1+ 4i − 4 −3 + 4i 3 4 = =− + i 1+ 4 5 5 5
3 − i + 2 5 − i (5 − i)(1− i) 5 − 5i − i + i2 = = = = 1+ i 1 + i (1 + i)(1− i) 1− i2
t) (2 - i) 4 = (a + bi) 4 . a = 2, b = -1 , r = 22 + ( −1)2 (2 - i) 4 = ( 5 333o 26'6" )
=
=
4 4⋅333o 26 ' 6 "
=
5.
=
arctg
α=
=
4 − 6i = 2 − 3i 2
1 o = 333 26' 6" 2
−
251333o 44'24 " = 25253o 44 ' 24 " =
= 25 (cos 253° 44' 24" + i sen 253° 44' 24") = 25 A (-0 28) + 25 i A (-0 96) = -7 - 24 i '
u) [(2 - i) + (-1 + 3i)] 3 = (1 + 2i) 3 . a = 1 , b = 2 , r = 12 + 22
(
(1 + 2i) 3 =
5 63o 26' 6 " )
3
=
5)
(
3 3⋅63o 26 ' 6 "
'
5.
=
α=
arctg
2 o = 63 26'6" 1
125 190o18 '18 " = 5 5 190o18'18 " =
=
= 5 5 (cos 190° 18' 18" + i sen 190° 18' 18") = 5 5 A (-0 9839) + 5 5 i A (-0 1789) = -11 - 2i '
v) (-1 - i) 4 . a = -1, b = -1 , r = ( −1)2 + (−1)2 (-1 - i) 4 = w)
x)
z)
(
4
(
=
2)
4 4⋅225o
=
α=
4
(
(
2 + 2i)
4
4
=
( 245o )
4
=
(2)4 4 45o
=
i
16180o
=
1 o = 225 −1 −
−
3 . r = 32 + ( 3)2
3 − 3i = 4 12 250o
4
12 250o
360⋅k 4
+
2+ 2 = 4 = 2.
=
9 + 3 = 12 = 2 3 .
=
Si k = 1 , 8 12 152o30'
Si k = 2, 8 12 242o30'
Si k = 3 , 8 12 332o30'
64(cos 60o + isen60o ) = 6 6460o
=
α=
arctg
6
64 600
+
360o ⋅k = 6
2 600
+
Si k = 1 , 270o
Si k = 2 , 2130o
Si k = 3 , 2190o
Si k = 4 , 2250o
Si k = 5 , 2310o
32(cos120o + isen120o ) = 5 32120o
Si k = 0 , 2 24° Si k = 3 , 2 240°
2 2
3
−
3
=
, con k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
360o ⋅k 6
Si k = 0 , 210o
5
arctg
, con k = 0, 1, 2, 3.
Si k = 0 , 8 12 62o30 '
6
α=
=
5
=
45o
16 cos 180° + 16 i A sen 180° = 16 (-1) + 16 i A 0 = -16
3 − 3i . a = 3 , b = =
arctg
4900o = 4 A cos 900° + 4 i A sen 900° = -4 +0 i = - 4
2 + 2i) . a = 2 , b = 2 . r = ( 2)2 + ( 2)2
4
y)
2 225o )
2.
=
'
32 120o
Si k = 1 , 2 96° Si k = 4 , 2 312°
360o ⋅k = 5
+
2120o
360o ⋅k 5
+
, con k = 0, 1, 2, 3, 4. Si k = 2 , 2 168°
150o
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NÚMEROS COMPLEJOS
hoja 6
4.- Calcular el valor de a para que las siguientes operaciones den como resultado un número real: a) (a + i) (3 - 4 i)
b)
a+i 1− i
- Un número real. Ha de ser nula la componente imaginaria. a) (a + i) (3 - 4i) = 3a + 3i - 4ai - 4i 2 = (3a + 4) + (3 - 4a) i.
Ha de ser 3 - 4a = 0 , a =
3 4
a + i (a + i)(1 + i) a + i + ai + i2 a + (1+ a)i − 1 a − 1 1+ a i b) = = = = + 1 − i (1 − i)(1 + i) 1− i2 1+ 1 2 2 1+ a = 0 , 1 + a = 0 , a = -1 Ha de ser 2 5.- Calcular el valor de imaginario puro:
a
para que las siguientes operaciones den como resultado un número
a) (a + i) (3 - 4 i)
b)
a+i 1− i
- Un número imaginario puro. Ha de ser nula la componente real. a) (a + i) (3 - 4i) = 3a + 3i - 4ai - 4i 2 = (3a + 4) + (3 - 4a) i.
Ha de ser 3a + 4 = 0 , a = −
4 3
a + i (a + i)(1 + i) a + i + ai + i2 a + (1+ a)i − 1 a − 1 1+ a i b) = = = = + 1 − i (1 − i)(1 + i) 1 − i2 1+ 1 2 2 a −1 Ha de ser =0, a -1=0, a =1 2 6.- Resolver en C las siguientes ecuaciones: a)
z 1+ i
−
(2 + 3i) = 0
d) z 4 + 2 z 2 - 24 = 0 a)
b) z (2 - i) - (3 + i) A(1 + i) = (1 + i) A z e) (2 − i) − (3 + i)z + iz =
z 1+ i
z z 2 − (2 + 3i) = 0 , = 2 + 3i , z = (1 + i) (2 + 3i) = 2 + 2i + 3i + 3i = 2 + 5i - 3 = -1 + 5i 1+ i 1+ i
b) z (2 - i) - (3 + i) A (1 + i) = (1 + i) A z z (2 - i) - (1 + i) z = (3 + i) A (1 + i) z (2 - i - 1 - i) = (3 + i) (1 + i)
2 + 4i (2 + 4i)(1 + 2i) 2 + 4i + 4i + 8i2 z= = = 1 − 2i (1 − 2i)(1 + 2i) 1− 4i2 c)
z
− (3 + i) = 1 + 4i 2−i 2−i f) = (1 + 4i) − (3 + i) z
c)
z 2 −i
=
=
2 + 8i − 8 − 6 + 8i 6 8 = = − + i 1+ 4 5 5 5
(1 + 4i) + (3 + i) = (4 + 5i)
z = (2 - i) (4 + 5i) = 8 - 4i + 10i - 5i 2 = 8 + 6i + 5 = 13 + 6i
1º BACHILLERATO
NÚMEROS COMPLEJOS
hoja 7
d) z 4 + 2 z 2 - 24 = 0 . Ecuación bicuadrada. Hacemos z 2 = x , z 4 = x 2 , queda x 2 + 2x - 24 = 0
x=
Resolvemos, obteniendo
2 ± 4 + 96 2
=
2 ± 10 6 = 2 −4
Si x = 6 , z = ± 6
4 = ± 4 ⋅ (−1) = ± 4 ⋅
Si x = -4 , z = ±
−
e) (2 − i) − (3 + i)z + iz =
−
1 = ± 2i .
Soluciones: z =
6 , - 6 , 2i, -2i
z 1+ i
(1 + i) (2 - i) - (3 + i) (1 + i) z + (1 + i) i z = z (1 + i) (2 - i) = (3 + i) (1 + i) z - (1 + i) i z + (1 + 0i) z (1 + i) (2 - i) = [(3 + i) (1 + i) - (1 + i) i + (1 + 0i)]z (1 + i) (2 - i) = 2 + 2i - i - i 2 = 2 + i + 1 = 3 + i (3 + i) (1 + i) = 3 + i + 3i + i 2 = 3 + 4i - 1 = 2 + 4i (1 + i) i = i + i 2 = -1 + i queda (3 + i) = [(2 + 4i) - (-1 + i) + (1 + 0i)] z = (4 + 3i) z
z= f)
3+i (3 + i)(4 − 3i) 12 + 4i − 9i − 3i2 = = 4 + 3i (4 + 3i)(4 − 3i) 16 − 9i2
=
12 − 5i + 3 15 − 5i 3 1 = = − i 16 + 9 25 5 5
2−i = (1 + 4i) − (3 + i) z 2 2−i (2 − i)(−2 − 3i) − 4 + 2i − 6i + 3i z= = = (−2 + 3i)(−2 − 3i) (− 2)2 − 9i2 −2 + 3i
=
−
4 − 4i − 3 − 7 − 4i 7 4 i = =− − 4+ 9 13 13 13
7.- Escribir una ecuación de segundo grado que tenga por raíces: a) z1 = 2 + 2i , z2 = 2 − 2i b) z1 = (cos30o + isen30o ) , z2
(
a) z − ( 2 + 2i) =
) (z ( ⋅
z2 − 2 2z + ( 2 )
=
(cos330o + isen330o )
−
2 − 2i)) = z2 − ( 2 + 2i) z − ( 2 − 2i) z + ( 2 + 2i) ⋅ ( 2 − 2i) =
−
2i)
2
(
2
=
z2 − 2 2z + 2 − 2i2 = z2 − 2 2 + 4
3 1 3 1 + i , b = sen 30° = . Es 2 2 2 2 3 1 3 cos 330° + i sen 330° . r = 1 , " = 330° . a = cos 330° = , b = sen 30° = − . Es 2 2 2
b) cos 30° + i sen 30°. r = 1 , " = 30° . a = cos 30° =
La ecuación queda : 3 z − 2
−
1 i 2
1 3 1 2 3 1 3 1 3 1 3 1 + i ⋅ z − − i = z − + i z− − i z+ + i ⋅ − i = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 2 z + = z −2 2 2
2
1 − i 2
2
=
z2 − 3z +
3 1 3 1 2 2 − ⋅ (− 1) = z − 3z + + = z − 3z + 1 4 4 4 4
1º BACHILLERATO
8.- Hallar x e y que cumplan:
NÚMEROS COMPLEJOS
hoja 8
a) (x + i) A (2 - y i) = 6 - y i
b) (1 + x i) A (4 - y i) = 4 + 16 i
a) (x + i) A (2 - y i) = 6 - y i 2x + 2i - xy i - y i 2 = 6 - y i 2x + (2 - xy) i + y = 6 - y i 2x + y + (2 - xy) i = 6 - y i Igualando componentes obtenemos un sistema de ecuaciones,
2x + y = 6 2 − xy = − y
Despejando en la primera ecuación, y = 6 - 2x Sustituyendo en la segunda ecuación, 2 - x (6 - 2x) = -(6 - 2x) Queda 2 - 6x + 2x 2 = -6 + 2x 2x 2 - 8x + 8 = 0 . x 2 - 4x + 4 = 0 . x =
4 ± 14 − 16 2
=
4 = 2 . y = 6 - 2 A 2 = 6 - 4 = 2 2
Solución: x = 2, y = 2 b) (1 + x i) A (4 - y i) = 4 + 16 i 4 + 4x i - y i - xy i 2 = 4 + 16 i 4 + (4x - y) i + xy = 4 + 16 i (4 + xy) + (4x - y) i = 4 + 16 i Igualando componentes obtenemos un sistema de ecuaciones,
4 + xy = 4 4x − y = 16
xy = 0 4x − y = 16
Despejando en la segunda ecuación, y = 4x - 16 Sustituyendo en la primera ecuación, x (4x - 16) = 0. Obtenemos x = 0 , x = Si x = 0, y = 4 A 0 - 16 = -16 Si x = 4, y = 4 A 4 - 16 = 16 -16 = 0
16 = 4 4
Soluciones: x = 0, y = -16. x = 4, y = 0 9.- ¿Qué números complejos verifican:
a) z = − z
b) z + z = 4 c) z = z .
Pongamos que es z = a + bi, entonces z = a - bi , -z = -a - bi a) z = − z . a - bi = -a - bi . a = -a . a = 0. b) z + z = 4 . a - bi + a + bi = 4 . 2a = 4 . a = 2. c) z = z . a - bi = a + bi . -bi = bi . -b = b . b = 0.
Todos los números imaginarios puros. Los que tienen por primera componente 2. Todos los números reales.
10.- El producto de dos números complejos conjugados da como resultado 2. ¿Qué números son?. (a + bi) A (a - bi) = a 2 - b 2 i 2 = a 2 + b 2 = 2. Son todos los números complejos que están en la circunferencia de centro 0 y radio 2. Todos los números complejos cuyo afijo está a distancia 2 del origen de coordenadas. Gráficamente,
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NÚMEROS COMPLEJOS
hoja 9
11.- ¿Qué relación deben cumplir dos números complejos, z 1 = a + b i, z 2 = c + d i, para que: a) z 1 A z 2 sea un número real. b) z 1 A z 2 sea un número imaginario puro. z 1 A z 2 = (a + b i) (c + d i) = ac + bc i + ad i + bd i 2 = (ac - bd) + (bc + ad) i a) Para que sea un número real ha de ser cero la componente imaginaria, bc + ad = 0. b) Para que sea un número imaginario puro ha de ser cero la componente real, ac - bd = 0.
2 + 2i.
12.- Un hexágono regular con centro en el origen tiene un vértice en el afijo del complejo Calcular los otros vértices. Los vértices del hexágono son las raíces sextas de un número complejo.
2 + 2i = 1 41 + 1 41 i
El número complejo es
a= 2, b= 2, r=
'
(
2)
2 +
(
2)
'
2
2+ 2 = 4 = 2,
=
α=
2 2
arctg
=
45o . 2 45 o .
Por ser el argumento menor que 60°, ese número es la primera de las seis raíces, para k = 0.
360o Por otra parte, 6
=
60o . El argumento siguiente se calcula sumando 60° al anterior.
2º vértice, 45° + 60° = 105°, en 2 105 o = 2 cos 105° + 2 sen 105° i = -0 52 + 1 93 i '
'
3er. vértice, 105° + 60° = 165°, en 2 165 o = 2 cos 165° + 2 sen 165° i = -1 93 + 0 52 i '
'
4º vértice, 165° + 60° = 225°, en 2 225 o = 2 cos 225° + 2 sen 225° i = -1 41 - 1 41 i '
'
5º vértice, 225° + 60° = 285°, en 2 285 o = 2 cos 285° + 2 sen 285° i = 0 52 - 1 93 i '
'
6º vértice, 285° + 60° = 345°, en 2 345 o = 2 cos 345° + 2 sen 345° i = 1 93 - 0 52 i '
'
13.- El cociente de dos números complejos es el número 480o . Si el numerador es 20120o , calcular el denominador. Llamando z 1 = 20 120o , z 2 = 4 80o , tenemos la igualdad de donde = 204 120o - 80o = 5 40º z=
z1 z
=
z2
El denominador es 5 40º
z1 z2
14.- Un triángulo equilátero con centro en el origen de coordenadas tiene un vértice en el afijo del número complejo (2 + 2 i). Calcular los otros tres vértices. Ese número es 2 + 2 i. a = 2, b = 2, r = 22 + 22
=
8
=
2 2,
α=
arctg
2 o = 45 2
2 2 45o
Por ser el argumento menor que 120°, ese número es la primera de las tres raíces, para k = 0.
360o Por otra parte, 3
=
120o . El argumento siguiente se calcula sumando 120° al anterior.
2º vértice, 45° + 120° = 165°, en 2 2
165
3er. vértice, 165° + 120° = 285°, en 2 2
o
= 2 2 cos 165° + 2 2 sen 165° i = -2 73 + 0 73 i '
285
o
'
= 2 2 cos 285° + 2 2 sen 285° i = 0 73 - 2 73 i '
'
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NÚMEROS COMPLEJOS
hoja 10
15.- Expresar en las distintas formas los siguienes números complejos: a) 7120o
2
b) 3 - 2i
c)
2
,
2 2
1 3
d) , 2 2
e) 5 (cos 26°36' + i sen 26°36')
F. componente: − ,
1 7 3 , b = 7 A sen 120° = 7 ⋅ =− 2 2 2 7 7 3 i F. binómica: − + 2 2
F. Polar: 7 120°
F. Trigonométrica: 7(cos 120° + i sen 120°)
a) z = 7 120° . r = 7 , " = 120° . a = 7 A cos 120° = 7 A 7 7 3 2 2
b) z = 3 - 2i . a = 3 , b = -2 , r = 32 + (−2)2 F. componente: (3,-2) F. Polar: 13 326° 18' 36" 2
c) z =
2
,
=
−
13 .
α=
F. binómica: 3 - 2i F. Trigonométrica:
arctg
=
7 3 2
2 o = 326 18'36" 3
−
13 (cos 326° 18' 36" + i sen 326° 18' 36")
2 2 2 , b= . . a = 2 2 2 2 2
r=
2
F. componente:
2
,
2
2 + 2
2
2 2
α=
2
arctg
F. binómica:
F. Polar: 1 45 o 1 3
2 2 + = 1. 4 4
=
2
:
2 o = 45 2
2 2 + i 2 2
F. Trigonométrica: 1(cos 45° + i sen 45°)
1
3
d) z = , . a = , b = 2 2 2 2 1 2
. r=
2
3 + 2
2 =
1 3
F. componente: , 2 2 F. Polar:
5 2
1 9 + 4 4
=
5 . 2
α=
F. binómica:
3 1 arctg : = arctg3 = 71o 33'54" 2 2
1 3 + i 2 2
F. Trigonométrica:
71° 33' 54"
5 (cos 71° 33' 54" + i sen 71° 33' 54") 2
e) z = 5 (cos 26°36' + i sen 26°36'). r = 5 , " = 26° 36' . a = 5 A cos 26° 36' = 5 A 0 8942 = 4 47. b = 5 A sen 26° 36' = 5 A 0 4478 = 2 24 '
'
F. componente: (4 47, 2 24) F. Polar: 5 26° 36' '
'
'
'
F. binómica: 4 47 + 2 24 i F. Trigonométrica: 5(cos 26° 36' + i sen 26° 36') '
'
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hoja 11
16.- Realizar las siguientes operaciones con números complejos: a) (3, -2) A (-2, 4)
2 + 3i 2 − 2i −2 + i i) 3−i e)
m) (1 + i) 3 p)
b) (1, 5) A (2, -3)
c) (-2 + i) A (3 - i)
d) (6, 4) A (2, -3)
f) (2 - i) A (3 + 2i)
g) (-4 - 2i) A (2 + 2i)
h)
j)
(6,4) (2, −3)
n)
(
k)
3 150o )
6
[ 4i − (3 + 2i)]·(1 − i) 2 − 2i
l) (2 - 2i) 3
ñ) (1 - i) 8
[(5 + 4i) − (3 + 2i)]·(1− 2i) 2−i
q)
4
81i
3 − 4i 5 + 9i
o)
3
27i
−
r) 2(cos 30o + isen30o )
5
a) (3, -2) A (-2, 4) = (-6 + 8, 12 + 4) = (2, 16) b) (1, 5) A (2, -3) = (2 + 15, -3 + 10) = (17, 7) c) (-2 + i) A (3 - i) = -6 + 3i + 2i - i 2 = -6 + 5i + 1 = -5 + 5i d) (6, 4) A (2, -3) = (12 + 12, -18 + 8) = (24, -10)
2 + 3i (2 + 3i)(2 + 2i) 4 + 6i + 4i + 6i2 = = e) 2 − 2i (2 − 2i)(2 + 2i) 22 − (2i)2
=
4 + 10i − 6 − 2 + 10i 1 5 = = − + i 4+ 4 8 4 4
f) (2 - i) A (3 + 2i) = 6 - 3i + 4i - 2i 2 = 6 + i + 2 = 8 + i g) (-4 - 2i) A (2 + 2i) = -8 - 4i - 8i - 4i 2 = -8 - 12i + 4 = -4 - 12i
3 − 4i (3 − 4i)(5 − 9i) 15 − 20i − 27i + 36i2 = = h) 5 + 9i (5 + 9i)(5 − 9i) 52 − (9i)2 2 +i i) 3 −i −
j)
(−2 + i)(3 + i) −6 + 3i − 2i + i2 = = (3 − i)(3 + i) 3 2 − i2
=
−
=
15 − 47i − 36 − 21− 47i 21 47 i = =− − 25 + 81 106 106 106
6 + i − 1 −7 + i 7 1 i = =− + 9+1 10 10 10
(6,4) (6,4)(2,3) (12 − 12,18 + 8) (0,26) (0,26) 0 26 , = (0,2) = = = = = (2, −3) (2, −3)(2,3) (4 + 9,6 − 6) (13,0) 13 13 13
[4i − (3 + 2i)] ⋅ (1− i) (− 3 + 2i)(1− i) − 3 + 2i + 3i − 2i2 − 3 + 2 + 5i − 1+ 5i (− 1+ 5i)(2+ 2i) = = = = = = k) 2 − 2i 2 − 2i 2 − 2i 2 − 2i 2 − 2i (2 − 2i)(2 + 2i) 2 3 −2 + 10i − 2i + 10i − 2 + 8i − 10 − 12 + 8i = = = = − +i 2 2 4+4 8 2 2 − (2i) l) (2 - 2i) 3 = (2 - 2i) A [(2 - 2i) A (2 - 2i)] = (2 - 2i) A[4 - 4i - 4i + 4i 2] = (2 - 2i) A(4 - 8i - 4) = (2 - 2i) A(0 - 8i) = = (0 - 0i - 16i + 16i 2) = -16 - 16i m) (1 + i) 3 = (1 + i) A [(1 + i) A (1 + i)] = (1 + i) A [1 + i + i + i 2] = (1 + i) A (1 + 2i - 1) = (1 + i) A 2i = = 2i + 2i 2 = -2 + 2i n)
(
3 150o )
6 =
(
3)
6 150o ⋅6
=
27900o
=
27180o
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NÚMEROS COMPLEJOS
ñ) (1 - i) 8 . a = 1, b = -1, r = 12 + (−1)2 (1 - i) 8 = o)
(
2 315o )
8
2,
=
−
3
−
27i = 3 27270o
arctg
1 o = 315 1
−
8
=
( 2 ) 8 315o = 162520o = 16 ⋅ cos 2520o + 16 ⋅ cos 2520o i = 16 A 1 + 16 A 0 i = 16 ⋅
27i . a = 0 , b = -27 . r = 02 + (−27)2
3
α=
hoja 12
=
3
27 270o
360o k = 3
+
i
390o
729 = 27 .
=
arctg
27 o = 270 0
−
, con k = 0, 1, 2.
120o k
+
α=
i
1ª raíz, para k = 0 . 3 90° 2ª raíz, para k = 1 . 3 210° 3ª raíz, para k = 2 . 3 330°
[(5 + 4i) − (3 + 2i)] ⋅ (1− 2i) (2 + 2i)(1− 2i) 2 + 2i − 4i − 4i2 2 − 2i + 4 6 − 2i = = = = = p) 2−i 2−i 2−i 2−i 2−i (6 − 2i)(2 + i) 12 − 4i + 6i − 2i2 12 + 2i + 2 14 + 2i 14 2 = = = = = + i 2 2 (2 − i)(2 + i) 4 1 5 5 5 + 2 −i q) 4 81i . a = 0 , b = 81 , r = 02 + 812 4 81i
= 4
8190o
=
4
8190o
+
360o k = 4 i
1ª raíz, para k = 0 . 3 22° 30' 3ª raíz, para k = 2 . 3 202° 30'
=
322o30'
+
812 90o k
=
81.
α=
arctg
81 o = 90 0
, con k = 0, 1, 2, 3
i
2ª raíz, para k = 1 . 3 112° 30' 4ª raíz, para k = 3 . 3 292° 30'
r) [2(cos 30° + i sen 30°)] 5 = 2 5 (cos 5 A 30° + i sen 5 A 30°) = 32(cos 150° + i sen 150°) 17.- Calcular el valor de a para que las siguientes operaciones den como resultado un número real: a) (a + i) A (2 - i) b) (a - 2i) 3 Un número real. Tiene que ser cero la componente imaginaria. a) (a + i) A (2 - i) = 2a + 2i - ai - i 2 = (2a + 1) + (2 - a). Tiene que ser 2 - a = 0 . a = 2 b) (a - 2i) 3 = (a - 2i) A [(a - 2i) A (a - 2i)] = (a - 2i) A (a 2 - 2ai - 2ai + 4i 2) = (a - 2i) A (a 2 - 4ai - 4) = = (a - 2i) A (a 2 - 4 - 4ai) = a 3 - 4a - 4a 2i - 2a 2i + 8i + 8ai 2 = a 3 - 4a - 6a 2i + 8i - 8a = = (a 3 - 4a - 8a) + (-6a 2 + 8)i . Ha de ser -6a 2 + 8 = 0 . 18.- Calcular el valor de imaginario puro:
a
a=±
8 6
=±
4 3
para que las siguientes operaciones den como resultado un número
a) (a + i) A (2 - i)
b)
a+i 2−i
Un número imaginario puro. Tiene que ser cero la componente real. a) (a + i) A (2 - i) = 2a + 2i - ai - i 2 = (2a + 1) + (2 - a) Tiene que ser 2a +1 = 0 .
a=−
1 2
a + i (a + i)(2 + i) 2a + 2i + ai + i2 = = b) 2 − i (2 − i)(2 + i) 22 − i2 1 Tiene que ser 2a - 1 = 0 . a = 2
=
2a + (2 + a)i − 1 (2a − 1) + (2 + a)i 2a − 1 2 + a i = = + 4+1 5 5 5
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hoja 13
19.- Resolver en C las siguientes ecuaciones: a) z 4 - 2z 2 - 15 = 0 b) z (2 - i) - (3 + i) A i = 1 + i
c) z5 + (16 2 + 16 2i) = 0
a) z 4 - 2z 2 - 15 = 0 . Es una ecuación bicuadrada. Hacemos z 2 = x , z 4 = x 2 . Queda la ecuación x 2 - 2x -15 = 0 Resolvemos, x =
2 ± 4 + 60 2
=
2 ± 64 2
=
2 ± 8 5 = 2 −3
Si x = 5 , z 2 = 5 , z = ± 5 Si x = -3 , z 2 = -3 , z = ± Soluciones: z =
5,
±
±
3 = ± 3 ⋅ (−1) = ± 3
−
−
1 = ± 3i
3i
b) z (2 - i) - (3 + i) A i = 1 + i z (2 - i) = 1 + i + (3 + i) A i = 1 + i + 3i + i 2 = 1 + 4i - 1 = 4i
4i 4i ⋅ (2 + i) 8i + 4i2 z= = = 2 − i (2 − i)(2 + i) 22 − i2
=
8i − 4 4 8 =− + i. 4+1 5 5
Solución: z = −
4 8 + i 5 5
c) z5 + (16 2 + 16 2i) = 0
z5 r=
=−
16 2 − 16 2i . z = 5 −16 2 − 16 2i . 2
( −16 2 ) + ( −16 2)
z = 5 32225o
=
5
32 225o
2 =
360 k = 5
+
Para k = 0, 2 45°. Para k = 3, 2 261°
i
a = −16 2 , b = −16 2 .
512 + 512 = 1024 = 32 . 245o
+
72o k
α=
arctg
16 2 −16 2 −
=
225o
, con k = 0, 1, 2, 3, 4
i
Para k = 1, 2 117° Para k = 4, 2 333°
Para k = 2, 2 189°
Soluciones: z = 2 45° , 2 117° , 2 189° , 2 261° , 2 333° 20.- Encontrar un número complejo que al sumarle (1 - i) dé como resultado el complejo 290o . 2 90° = 2(cos 90° + i sen 90°) = 2(0 + i) = 2i El número buscado será z . Ha de cumplirse z + (1 - i) = 2i ,
z = 2i - (1 - i) = -1 + i .
Solución: -1 + i
21.- El producto de un número complejo por su conjugado es 2. Calcular esos números?. Serán z = a + bi , z = a - bi z ⋅ z = (a + bi) (a - bi) = a 2 - (bi) 2 = a 2 + b 2 Ha de valer 2 , por tanto, a 2 + b 2 = 2 . b = ± 2 − a 2 Solución: Son los números a ± 2 − a2
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NÚMEROS COMPLEJOS
hoja 14
22.- El producto de un número complejo de argumento 60° por otro de módulo 5 nos da como resultado el número complejo z = −6 + 6 3i . Hallar el módulo del primero y el argumento del segundo. Esos números serán p 60° y 5 $ Para z, r = ( −6)2 + ( 6 3 ) Es el número complejo 12
2
=
120°
36 + 108 = 144 = 12 .
α=
. Entonces, (p 60°) A (5 $) = 12 120°
(p A 5) 60° + $ = 12 120° . de donde 5p = 12 , p = Soluciones: módulo =
arctg
6 3 −6
=
arctg ( − 3 ) = 120o
12 . 60° + $ = 120°, $ = 60° 5
12 , argumento = 60° 5
23.- Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) El producto de dos números complejos nunca puede ser un número real. b) El producto de dos números complejos es igual al producto de sus opuestos. c) Dado un número complejo z, el módulo de su conjugado es igual al módulo de su opuesto. d) Los complejos que verifican *z* = 2 tienen sus afijos situados en una circunferencia de radio 2 y centro el origen de coordenadas. a) Falso. Por ejemplo, (2 + i) A (2 - i) = 4 + 2i - 2i - i 2 = 4 + 1 = 5 El producto de un número complejo por su conjugado siempre es un número real. b) Falso. Ejemplo:(2 + i) A (2 - i) = 5 (2 + i) A (-2 - i) = -4 - 2i - 2i - i 2 = -4 - 4i + 1 = -3 - 4i . Resultados distintos. c) Si es z = a + bi , z = a - bi
| z |= + a2 + b2 , z
= +
a2 + (−b)2
=+
a2 + b2 . Son iguales. Verdadero.
d) Verdadero. El módulo de un número complejo es el valor de la distancia de su afijo al origen de coordenadas, que es el radio de la circunferencia con centro en el origen y radio el módulo del complejo. 24.- Sabemos que el número 2 20o es la raíz sexta de un cierto número complejo. Calcular las otras cinco raíces sin hallar el número complejo del que son raíces. Representarlas gráficamente. Las raíces de ese número son Las raíces son
2 20o
+
360o k 6 i
, con k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
2 20° + 60°k , con k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 2 20° , 2 80° , 2 140° , 2 200° , 2
260°
,
25.- ¿Cómo son los complejos tales que su cuadrado es?:
2
320°
a) real
b) imaginario puro.
(a + bi) 2 = a 2 + 2abi + i 2 = (a 2 - 1) + 2abi . a) Para que sera real han de cumplir 2ab = 0. Al menos una de las componentes ha de ser nula. b) Para que sea imaginario puro han de cumplir a 2 - 1 = 0 , a = ± 1. 1ª componente = 1 ó -1