8-4. Diseñar con el método de Coe y Clevenger un espesador para procesar 1200 toneladas por día de carbonato de calcio. Se desea una concentración de descarga de 52.4% de sólidos en peso. La tabla siguiente muestra los resultados de pruebas de sedimentación. Tabla 8.4: Datos experimentales pruebas de sedimentación.
X
v
% 49,3 47,4 22,3 10,3 4,1
m/s 1,22E-06 1,44E-06 3,07E-05 7,97E-05 1,43E-04
Solución: Coe y Clevenger establecen que la concentración dentro del espesador no es la misma de la alimentación y que, en la zona II se establecerá una suspensión de tal concentración que tenga la mínima velocidad de sedimentación. Es así como la concentración de alimentación DF pasa por distintas concentraciones DK hasta llegar a la concentración de descarga DD. De modo que es necesario calcular la superficie, para cada una de las concentraciones con que realizaron experiencias de sedimentación. La superficie máxima es la escogida por este método. Los resultados, se muestran en la tabla: Tabla 8.5: Resultados obtenidos método de Coe y Clevenger.
XF
XD
F
fracción 0,493 0,474 0,223 0,103 0,041
fracción 0,524 0,524 0,524 0,524 0,524
TPD 1200 1200 1200 1200 1200
DK 1,03 1,11 3,48 8,71 23,39
DD 0,91 0,91 0,91 0,91 0,91
v
S
m/s 1,22E-06 1,44E-06 3,07E-05 7,97E-05 1,43E-04
m 1366,13 1941,63 1165,36 1359,32 2183,55
2
La máxima área encontrada corresponde a la superficie que debe tener el espesador, S=2183.55m2. El área unitaria básica calculada por el método de Coe y Clevenger:
= AU o max(
1 1 − ρ sσ I (ϕ K ) ϕ K ϕ D 1
(8.11)
Donde σ I (ϕ K ) corresponde a un salto de discontinuidad, es decir, la velocidad de la interfase. El área unitaria básica obtenida es:
AU o = 1.82 ( m 2 / TPD )
(8.12)
8-6. Diseñar con el método de Kynch un espesador para procesar 1200 toneladas por día de carbonato de calcio, de densidad 2.5t / m3 con una concentración de alimentación de 49.3% de sólidos en peso. Se desea una concentración de descarga de 52.4% de sólidos en peso. Se dispone de una curva de sedimentación para la concentración de 10.3% de sólidos en peso. Solución: Para la confección de la curva de sedimentación, se utilizó los datos experimentales correspondientes al ejercicio 8-1, para una concentración 10.3% de sólidos en peso. El método de kynch, se basa en considerar la sedimentación de una suspensión batch de concentración inicial ϕo , trazar tangentes a esta curva desde
ϕo a ϕk para determinar el par (ϕk , vs (ϕk ) ) . Conocidos los valores de concentración y velocidad de sedimentación se puede aplicar la ecuación de Coe y Clevenger (8.11) para diseñar el espesador. Dada concentración ϕ k , la altura se obtiene desde:
Zk = L
ϕo ϕk
(8.15)
El tiempo, Tk se obtiene al trazar la tangente a la curva de sedimentación desde el punto Z k . Los resultados obtenidos, se muestran en la tabla y el grafico siguiente. Tabla 8.7: Resultados obtenidos diseño espesador por el método de Kynch.
Zk
Tk
vs
AUo 2
S
m
seg
ϕo
ϕk
m/s
m /TPD
m2
0,34 0,30 0,25 0,20 0,15 0,14
3000 3600 4400 5700 8400 10000
0,04 0,04 0,04 0,04 0,04 0,04
0,04 0,05 0,06 0,07 0,10 0,11
1,13E-04 8,31E-05 5,67E-05 3,50E-05 1,78E-05 1,40E-05
0,80 0,94 1,11 1,35 1,77 2,04
961,58 1128,84 1326,36 1614,25 2124,88 2442,70
Curva de sedimentación, ϕ=0.044
Altura de la interfaz, m
0,400 0,350
Z1
0,300
Z2 Z3
0,250
Z4 0,200 Z5 0,150 Z6
0,100 0,050
T1
T2
T3
T5
T4
T6
0,000 0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
Tiempo de sedimentación, s
Grafico 8.8: Curva de sedimentación método de Kynch.
Las características del espesador obtenidas, utilizando el método de Kynch:
AU o = 2.04 ( m 2 / TPD )
S = 2442.70 ( m 2 )
8-10. Usando el modelo fenomenológico, diseñar un espesador para procesar 1200tpd de carbonato de calcio, de densidad 2.5t / m3 con una concentración de alimentación de 49.3% de sólidos en peso. Se desea una concentración de descarga de 52.4% de sólidos en peso. Se dispone de la densidad de flujo del material. Solución: La curva densidad de flujo de este material es la detallada en los cálculos del ejercicio 8.1. y corresponde a la ecuación (8.2). El área unitaria básica para el modelo fenomenológico, esta dada por:
= AUo (ϕ ; ϕ D )
ϕ − 1 ρ s fbk (ϕ ) ϕ D 1
(8.21)
Reemplazando en (8.21):
2.69 ⋅10−2 ϕ = AUo (ϕ ; ϕ D ) − 1 15.6 ϕ (1 − ϕ ) 0.306
(8.22)
Si se gráfica (8.22) en función de la fracción volumétrica. Determinación AUO 4 3,5
2 AUO m /tpd
3 2,5 2
AUo=1.75m /tpd
2 1,5 1 0,5 0 0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
Fracción volumétrica ϕ
Grafico 8.10: Determinación máxima área unitaria básica.
Del gráfico 8.10, se obtiene que el área unitaria básica máxima entre la concentración conjugada y la concentración de descarga, es
1.75 ( m 2 / tpd )
correspondiente a la fracción volumétrica de sólidos de ϕ = 0.248 . La superficie obtenida por el modelo fenomenológico es:
S = 2100 ( m 2 )
(8.23)
Por lo tanto, la densidad de flujo de la alimentación es:
= fF
FF = 2.65 ⋅10−6 ( m / s ) ρs S
Para confirmar los resultados encontrados, se debe evaluar el estado estacionario, el flujo y la concentración de descarga. En la gráfica siguiente, se muestran los resultados encontrados.
Estado estacionario 0,00E+00 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
-5,00E-07
Densidad de flujo m/s
-1,00E-06 q=8.65E-6
-1,50E-06
ϕ=0.306
-2,00E-06 -2,50E-06 -3,00E-06 -3,50E-06 -4,00E-06 -4,50E-06
Fracción volumétrica ϕ
Grafico 8.11: Condición estacionario para diseño empleando modelo fenomenológico.
8-11. Supongamos que tenemos una pulpa cuyos parámetros de espesamiento son:
−6.05 ⋅10−4 ϕ (1 − ϕ ) fbk (ϕ ) =
12.50
(m / s)
para ϕ ≤ ϕc = 0.23 0 0.23 5.35exp (17.9ϕ ) para ϕ > ϕc =
σ e (ϕ ) =
Alimentamos un espesador con 60m de diámetro y 6m de altura con los siguientes flujos másicos de sólidos, en tph, de FF=152.5, 178.1 y 203.5 a una concentración de
XF=21.7%
de
sólidos
en
peso.
Calcular
los
correspondientes
estados
estacionarios, la concentración de la descarga y sus respectivos niveles de sedimento, manteniendo el flujo volumétrico de descarga constante 203.54m3/hrs. La densidad del sólido es 2.5t/m3. Solución: La superficie del espesador, esta dada por:
= S π= (φespesador / 2 ) 2826 ( m2 ) 2
Se calcula la densidad de flujo sólido para cada una de las alimentaciones al espesador, como:
fF =
FF ρs S
La velocidad volumétrica de descarga se calcula a partir del flujo volumétrico de descarga y la superficie del espesador:
q=
QD S
La concentración de la descarga, se obtiene a partir del estado estacionario. Se gráfico cada una de las alimentaciones. Los resultados encontrados se muestran en el gráfico y la tabla siguiente. Solo para el mayor tonelaje, no se cumple el estado estacionario. La densidad de flujo de alimentación esta levemente bajo la curva fbk. Análisis condición estacionaria 0,00E+00 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
-2,00E-06 ϕD=0.35
F=152.5TPH estacionario Densidad de flujo m/s
ϕD=0.40
ϕD=0.30
-4,00E-06 -6,00E-06 F=178.1TPH -8,00E-06
F=203.5TPH
-1,00E-05 -1,20E-05 -1,40E-05 -1,60E-05 -1,80E-05 -2,00E-05 Fracción volumétrica ϕ
Grafico 8.12: Análisis estado estacionario para diferentes alimentaciones al espesador. Tabla 8.9: Resultados obtenidos para diferentes alimentaciones al espesador.
FF 1 fF 1 ϕD 1
152,5 6,00E-06 0,30
FF 2 fF 2 ϕD 2
178,1 7,00E-06 0,35
FF 3 fF 3 ϕD 3
203,5 8,00E-06 0,40
TPH m/s
Para obtener la altura del sedimento, se debe emplear:
Zc = ∫
ϕC
ϕD
σ e, (ξ ) fbk (ξ ) dξ ∆ρξ g z ( qϕ D − qξ − fbk (ξ ) )
(8.24)
La concentración crítica es la concentración a la cual comienza el proceso de consolidación, ϕC = 0.23 . El nivel de sedimento, se obtiene desarrollando: Para el tonelaje de alimentación F=152.5TPH:
−0.0578 ⋅ exp (17.9ξ ) ξ (1 − ξ )
12.5
Zc =
∫
0.23
(
14700ξ −6 ⋅10−6 + 2 ⋅10−5 ξ + 6.05 ⋅10−4 ξ (1 − ξ )
0.3
12.5
)
dξ = ∞
Para el tonelaje de alimentación F=178.1TPH:
−0.0578 ⋅ exp (17.9ξ ) ξ (1 − ξ ) d ξ 0.931 ∫= 12.5 0.35 14700ξ −7 ⋅10−6 + 2 ⋅10−5 ξ + 6.05 ⋅10−4 ξ (1 − ξ ) 12.5
Zc
0.23
(
)
Para el tonelaje de alimentación F=203.5TPH:
−0.0578 ⋅ exp (17.9ξ ) ξ (1 − ξ ) = ∫0.40 14700ξ −8 ⋅10−6 + 2 ⋅10−5 ξ + 6.05 ⋅10−4 ξ (1 − ξ )12.5 dξ 0.33 12.5
Zc
0.23
(
)
8-13. Supongamos que tenemos una pulpa cuyos parámetros de espesamiento, son:
−6.05 ⋅10−4 ϕ (1 − ϕ ) fbk (ϕ ) =
12.50
(m / s)
0.23 para ϕ ≤ ϕc = 0 0.23 5.35exp (17.9ϕ ) para ϕ > ϕc =
σ e (ϕ ) =
Alimentamos un espesador de 60m de diámetro y 6m de altura con un flujo másico de sólidos, en TPH, de FF=178.1 y 196 a una concentración de XF=21.7% de sólidos en peso, obteniéndose una concentración de descarga de 57.4 a 61.0% de sólidos en peso. La densidad material del sólido es 2.5 t/m3. Calcular el inventario de sólidos en el espesador en los dos estados estacionarios indicados y graficar las curvas densidad de flujo y los perfiles de concentración. Solución: Se denomina inventario del espesador al tonelaje de pupa almacenada en su interior. Este inventario consiste una suspensión de concentración conjugada ϕ L y un sedimento de concentración variable entre ϕC ≤ ϕ ≤ ϕ D . Entonces el inventario ésta dado por:
{
ME = ∆ρ S ( L − Z C ) ϕ L + ∫ ϕ ( Z ) dZ ZC
0
}
(8.26)
Se determina las densidades de flujo para cada uno de los flujos másicos de alimentación y la velocidad volumétrica de descarga. En la tabla siguiente, se resumen las variables calculadas. Tabla 8.10: Variables obtenidas.
FF 1 fF 1 ϕL1 XF XD 1 ϕD 1 q1
178,1 7,00E-06 0,01 21,7 57,4 0,35 2,00E-05
TPH m/s
FF 2 fF 2 ϕL2 ϕF XD 2 ϕD 2 q2
% % m/s
196 7,71E-06 0,02 0,10 61 0,38 2,00E-05
TPH m/s
% m/s
La curva densidad de flujo para los estados estacionarios: Estado Estacionario 0,1
0
0,2
0,3
0,6
0,5
0,4
0,00E+00 -2,00E-06
Densidad de flujo m/s
-4,00E-06 -6,00E-06
fF1
-8,00E-06 fF2 -1,00E-05 -1,20E-05 -1,40E-05 -1,60E-05 -1,80E-05 -2,00E-05 Fracción volumétrica ϕ
Grafico 8.14: Estados estacionarios posibles.
Para calcular el inventario dentro del espesador, es necesario conocer la altura crítica, por ello se debe resolver para cada flujo másico de alimentación la ecuación (8.24), la altura para cada alimentación es:
Z c1
−0.0578 ⋅ exp (17.9ξ ) ξ (1 − ξ ) d ξ 0.931 ∫= 12.5 0.35 14700ξ −7 ⋅10−6 + 2 ⋅10−5 ξ + 6.05 ⋅10−4 ξ (1 − ξ )
Zc2
0.23 −0.0578 ⋅ exp (17.9ξ ) ξ (1 − ξ ) = ∫0.38 14700ξ −7.71⋅10−6 + 2 ⋅10−5 ξ + 6.05 ⋅10−4 ξ (1 − ξ )12.5 dξ 3.91
12.5
0.23
(
)
12.5
(
)
El perfil de concentración, para cada alimentación, se detalla en la figura siguiente.
Perfil de Concentración 7
6
5
Altura m
F2 4
3
2
F1 1
0 0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
Fracción volumétrica ϕ
Grafico 8.15: Perfil de concentración.
Donde,
∫
Zc
0
ϕ ( z )dz
(8.27)
Puede ser determinado del perfil de concentración del gráfico 8.15, de modo: Para FF=178.1TPH, (8.27) tiene una magnitud de 0.27m. Para FF=196TPH, (8.27) tiene una magnitud de 1.20m. Reemplazando los valores obtenidos para cada una de las alimentaciones en (8.26), se obtiene el inventario del espesador.
M E1 = 2422.82 ( ton ) M E1 = 8733.83 ( ton ) 8-14. Para los datos de los ejemplos anteriores, determinar la capacidad máxima Fmax, en tph, del espesador de 60m de diámetro para las concentraciones de descarga 57.4 y 61% de sólidos en peso. Solución: El tonelaje unitario máximo que puede ser tratado por un espesador, se obtiene del valor mínimo de la función TU (ϕ , ϕ D ) para los valores ϕ L ≤ ϕ ≤ ϕ D . La función TU (ϕ , ϕ D ) , esta dada por:
TU (ϕ , ϕ D ) =
ρ s fbk (ϕ ) ϕ − 1 ϕD
(8.29)
Entonces el tonelaje unitario máximo es:
Fmax = S ⋅ TU (ϕ , ϕ D ) ;
ϕL ≤ ϕ ≤ ϕD
(8.30)
La curva TU v/s fracción volumétrica muestra el mínimo para esta función para las dos alimentaciones que estableces el estado estacionario en el espesador. Tonelaje unitario TU 3,00E-01
Tonelaje unitario TU TPH/m
2
2,50E-01
2,00E-01
1,50E-01
1,00E-01
5,00E-02
0,00E+00 0,01
TU min=4.5E-2
0,06
0,11
0,16
0,21
0,26
0,31
Fracción volumétrica ϕ
Grafico 8.16: Determinación TU mínimo.
Para ambas alimentaciones al espesador, se establece el mismo mínimo de la
(
)
función TU (ϕ , ϕ D= ) 4.5 ⋅10−2 TPH / m2 .Entonces, el tonelaje unitario máximo para ambas alimentaciones es el mismo, Fmax = 127.17TPH .