Ejerci Ejercici cios os resueltos r esueltos de d e termod termodin inámica ámica 201 2018 8 Un cilindro tiene un pistón grueso que inicialmente se sostiene mediante un perno como se muestra en la figura. El cilindro contiene dióxido de carbono a 150KPa y a la temperatura ambiente de 290K. El pistón metálico tiene una densidad de 8000 kg/ m3 y la presión atmosférica es de 101 KPa. Se retira el perno y se permite que el pistón se mueva. Al final del proceso el gas vuelve a la temperatura ambiente. ¿Se encuentra el pistón contra los soportes?
Figura del sistema cilindro pistón.
SOLUCION CONTEXTO
En el contexto de los proceso industriales, en los cuales, la termodinámica hace mayor énfasis en aquel campo, el sistema cilindro-pistón siendo un sistema cerrado en el que no existe transferencia de masa pero si transferencia de energía dependiendo de los límites del sistema, es implementado en la industria como una bomba de pistón, la cual es un bomba hidráulica que genera el movimiento en el mismo mediante el movimiento de un pistón. Las bombas de pistones son del tipo
bombas volumétricas, y se emplean para el movimiento de fluidos a alta presión o fluidos de elevadas viscosidades elevadas viscosidades o densidades. Un ejemplo muy cotidiano de las bombas hidráulicas es el gato, aquel herramienta que implementamos para levantar fracción del automóvil aplica termino de las física de fluidos; en el cual; ejercemos una fuerza sobre el pistón, por ende, aumentara la presión del fluido y esa presión ejercerá una fuerza sobre el carro. Si queremos entender el sistema cilindro-pistón al liberar retirar el perno se debe realizar un balance de presiones, la cual, como su nombre refiere nos dará la presión final del sistema y en nuestro caso este balance será: 0=
+
+
METODOLOGIA Y CALCULOS
Suposiciones. Dado al balance de presiones y a la dirección en la que se ejercen, la presión del gas cuando llegue a temperatura ambiente debería ser menor a la presión en el momento uno.
a) ¿Se encuentra con los soportes? Como parte esencial del ejercicio, cabe resalta las mediciones medicion es sea del pistón, la distancia entre el pistón y los soportes y otras medidas ya mostradas en la figura.
¿Qué ¿Qué masa tiene el el pistón? pis tón?
0.1 ∗ ∗ ∗ 0.05 ∗ 2=
=
Despejamos la masa:
=
= 6.2831
7.8539 10
4
3
¿Qué ¿Qué masa tiene el dióxi do de carbo no? Para poder encontrar la masa, debemos implementar la ecuación de gases
∗ ∗ ∗ ∗ =
No obstante, antes de aplicarla debemos verificar si el gas es ideal, por ende, debemos encontrar la presión reducida y temperatura reducida.
Presión Presión reducida:
=
P es la presión del gas.
Pc es la presión crítica del gas.
0.15
=
= 0.020
7.39
Temperatura reducida:
=
T es la temperatura del gas.
Tc es la temperatura crítica del gas.
290
=
= 0. 9533
304,2
Como la presión y la temperatura reducida son menores a uno, en este caso, dióxido de carbono es un gas ideal. Ahora, solo falta encontrar la constante especifica del gas: La constante de los gases o R tiene un valor de:
= 8.314
∗ ∗
Para poder encontrar la constante especifica del gas, debemos dividir la constante de los gases sobre la masa molar del gas.
8.314 =
∗ ∗
= 0.1889
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 7. 8 539 ∗ ∗ ∗ 290
4.
Como deseamos encontrar la masa del gas, despejamos la masa en la ecuación de los gases:
=
104 ^(3)
150
=
0.1889
= 2.1505 10
es su presión final?
¿Cuál
3
Requerimos el valor de la presión final para poder realizar el balance de presiones, por ende, aplicaremos nuevamente la ecuación de los gases, no obstante, falta encontrar el volumen final. El volumen final es la sumatoria de todos los volúmenes antes encontrados:
=
+
= 1.17809 10
3
^(3)
Aplicamos la ecuación ecuación de los gases, despejan despejando do la presión presión
∗ ∗ ∗
Balance de presiones
2.
= 99.99
= 100
≥ ≥
0=
+
+
+
101
∗ ≥ ≥ 108.896 + 101
Análisis de resultados Como podemos observar, el pistón toca los topes ya que la presión del gas es menor a la presión parcial, por ende, la presión que se necesita para que no se toquen los topes debe ser mayor al valor de la presión parcial.
RELEVANCIA DEL PROBLEMA Escogimos este ejercicio, porque abarca en gran medida lo aprendido en el primer corte, como la diferencia de presiones, la ecuación de los gases ideales y el balance, en el cual, lo pudimos aplicar en un ejercicio que en primera instancia parece muy sencillo pero tiene un gran trasfondo teórico y práctico en la industria y en nuestro diario vivir.
Se tiene un recipiente rectangular, en el cual, una membrana separa agua a 228 C y 10 bares y en el otro lago a H20 a un bar y 120 C, si se rompe la membrana cual es la temperatura y la presión final del sistema. El volumen de la sección uno es de un metro cubico y de la segunda sección es de un metro cubico.
SOLUCION CONTEXTO
En este ejercicio, tal vez al principio no se vea el trasfondo que conlleva, pero es una primera instancia de un intercambiador de calor, si deseamos verlo de esta manera arcaica; en la cual; tenemos dos compuestos, en este caso es solo uno que es el agua, en el que estas a diferentes temperaturas separados por una membrana que no deja trasferir el calor de un lado para otro, pero al romperse, veremos un estado final en el que se llegara a un equilibrio térmico. En el ámbito laboral, se debe implementar para encontrar el estado final de esta colisión de compuestos, en el cual, la diferencia de temperatura y de presiones del o de los compuestos puede generar uno nuevo o llegar a un estado deseado del compuesto. Como es un sistema cerrado, en el cual, existe transferencia de energía. Implementaremos la energía interna, que se explicara a medida que avanzamos en el ejercicio. Ahora podemos proceder con el ejercicio.
METODOLOGIA Y CALCULOS
Suposiciones. El ejercicio no ha especificado los límites del sistema, por ende, vamos a suponer que no entra ningún calor al sistema y que solo la trasferencia de calor sucederá después de que la membrana se rompa.
Necesitamos dos c oordenadas termodinámicas para encontrar un a tercera. ¿Cuál es la masa de la secció n 1 del recip iente? Por medio de tablas, encontramos el volumen específico, el cual es
3
= 0.21671
El volumen específico es una relación entre el volumen y la masa, por ende, su ecuación es:
=
Despejamos la masa de la ecuación
=
= 4.614
1
Por medio de tablas, también encontramos la energía interna especifica del recipiente uno, ya que poseemos dos coordenadas termodinámicas, que son temperatura y presión.
∪ 2657.84
¿Cuál es la masa de la secció n dos del recipi ente?
Buscamos el valor del volumen específico y de la energía interna especifica por tablas, dado los valores de la temperatura y presión de esta sección del recipiente.
∪ 2536.88
3
= 1.7922
Despejamos la masa de la ecuación del volumen específica y su valor es = 0.557967
Ahora, como el volumen del recipiente se mantiene constante en todo momento y no existe transferencia de masa, podemos encontrar el volumen especifico en el instante en el que se rompe la membrana.
= 1 + 2 = 2
= 4.614
2
+ 0.557967
^(3)
=
= 0.387
5.17
3
= 5.17
^(3)
Como deseamos encontrar la temperatura y presión final, necesitamos dos coordenadas termodinámicas y solo tenemos una, nos falta encontrar la energía interna específica final, para poder encontrarla primero debemos encontrar la energía interna de cada sección. La ecuación de energía interna específica, es una relación entre la energía interna y la masa, por ende, podremos despejar la energía interna de la ecuación.
∪ ∗ ∪ =
La energía interna de la secció n 1 es
= 2657.54
∗ 4.614
= 12261.88
La energía interna de la secció n 2 es
= 2536.88
∗ 0.5579
= 1415.32
Como pudimos ver en la ecuación del volumen especifico final, es la sumatoria del volumen final sobre la masa total, semejante a aquella ecuación la energía interna especifica es la suma de sus energía internas sobre la masa total.
∪ 1 + ∪ 2
1226.188
=
+ 1415.32
5.1719
= = 2645. 49
Al poseer las dos coordenadas termodinámicas podemos interpolar la temperatura y la presión final: T 241.74 C 163.5 C
U especifico 2707.69 KJ/Kg 2580.72 KJ / Kg
P 0.5 MPa 0.6 MPa
U especifico 2707.69 KJ/Kg 2580.72 KJ/ Kg
Al realizar la interpolación, encontramos la temperatura y presión final.
203.5 ℃
= 0.551
ANALISIS DE RESULTADOS Como era de esperarse, la presión y la temperatura final debía tener un valor entre el intervalo de las dos secciones, ya que, no existía ni transferencia de energía y de masa, por los límites impuestos en el sistema. Existen varias maneras de afrontar este ejercicio, no obstante, este es el método más sencillo ya que es un sistema cerrado.
RELEVANCIA DEL PROBLEMA Elegimos este ejercicio por dos factores, el primero es que nos da un nuevo concepto en la parte de sistemas y es la diferencia entre los sistemas cerrados y abiertos, en el cual, se ejecutan de maneras distintas, en los sistemas cerrados implementamos la energía interna y en los sistemas abiertos la entalpia. El segundo factor, por la interpretación del ejercicio, esta clase de ejercicio es de suposición , por ende, pudimos recortar varias cosas y no extendernos demasiado en un ejercicio relativamente simple, esto nos da a conocer que el análisis del ejercicio y la teoría que nosotros poseemos nos conlleva a disminuir la dificultad del ejerció. Si no hubiéramos supuesto los límites del sistema y que no existiera transferencia de energía y de masa, la dificultad del ejercicio incrementaría sustancialmente, por ende, elegimos este ejercicio, por el nuevo concepto de sistema cerrado y porque la habilidad de analizar. Se tiene una corriente de agua de 500 Kg/s a 5 MPa y 50 ºC la cual debe ser bombeada hasta un tanque que queda a una altura de 1000m. ¿Cuál es la potencia que debe tener la bomba para realizar este trabajo? Si el KJ de potencia cuesta 1000 pesos, ¿Cuál es el costo de tener encendida la bomba durante un día?
Figura 1: Esquema del proceso SOLUCIÓN CONTEXTO Dentro de los procesos químicos e industriales siempre ha existido la necesidad de transportar fluidos de un lugar a otro por medio de la transferencia de energía, para ello se utilizan equipos como bombas. Una bomba es un equipo que requiere energía mecánica proveniente de un motor eléctrico o térmico, toda esta energía es transformada en energía hidráulica y transferida a un fluido, lo cual hace que incremente su velocidad de movimiento y su presión. La mecánica de fluidos siempre se ha interesado por estos procesos, lo interesante es que esta siempre ha trabajado con base en la termodinámica, para la aplicación de estos problemas lo más común es pensar en el teorema de Bernoulli. Este teorema es una aplicación directa de la primera ley de la termodinámica, en pocas palabras es un balance de energía. El teorema considera los tres únicos tipos de energía que posee un fluido, que pueden cambiar de un punto a otro, como son la energía cinética, energía potencial y la energía debida a la presión de flujo (hidroestática).
Por lo cual proceder a solucionar cualquier problema que involucre el transporte de fluidos con un balance de energía, es análogo a utilizar el teorema de Bernoulli.
METODOLOGIA Y CALCULOS
Suposiciones: La presión encontrada debe ser mayor a la que posee la corriente de agua y suficiente para cumplir con la cabeza de presión de 1000m, la densidad es el inverso del volumen específico, la gravedad usada es de 9.8 m/s2, no se manejan cambios de fase durante el proceso.
a) ¿Cuál es la potencia qu e debe tener la bomba? ¿Qué densidad manejar? P
* *g h m
P
*9.8
s2 *1000m
De la tabla termodinámica A-7 para líquido comprimido, a una presión de 5 MPa y temperatura de 50 ºC, se obtiene: m3 v 1,0103 10 x
3
Kg
Por lo tanto: Kg
989,8
m3
La cabeza de presión m ínima que debe satisfacer es de m P P
989,8*9.8
s2 *1000m
9,7 MPa
Ya que la corriente posee una presión de 5 MPa, la bomba debe incrementar en 4,7 MPa para que el líquido comprimido llegue al tanque a 1000 m de altura.
BALANCE DE ENERGIA PARA SISTEMAS ABIERTOS
E-S+G=A H 1 W
H 2
0
W H 2 H 1 W
m* h2 h1
De la tabla termodinámica A-7 para líquido comprimido KJ h1
213,655 Kg KJ
h2
217,7 Kg
Así que Kg W
500
KJ
*(217,7 213,655) s
Kg KJ
W
2022,5 s
La potencia que requiere la bomba para cumplir con las especificaciones es de 2022,5 KJ por segundo.
b) Si el KJ de p otencia cu esta 1000 pesos, ¿Cuál es el costo de tener encendid a la bomba durante un dia?
3600s 24horas $1000 2022,5 * * * s 1hora 1dia 1KJ KJ
El costo de funcionamiento de la bomba es de $174.744.000.000.
ANALISIS DE RESULTADOS Observamos que la potencia requerida es muy elevada así como el del costo de funcionamiento del equipo, sin embargo es acorde a las especificaciones ya que se debe subir un fluido 1000 metros, lo ideal sería que para este proceso el encargado de diseño tratara de usar a su favor el movimiento a causa de la gravedad ya que no generara costos, y esta medida disminuye los costos de operación inicial.
RELEVANCIA DEL PROBLEMA Las razones por las que escogimos este problema, es que lo consideramos muy aplicado a nuestro ámbito profesional, como ingenieros y diseñadores de procesos químicos e industriales es de vital importancia para nosotros aprender a calcular diferentes variables de diseño como flujos, presiones y potencias para diferentes equipos , variables que tienen un impacto directo en el fin del proceso, y también por ejemplo, en la empresa donde nos desempeñemos ya que estas variables son las que determinan los costos y por lo tanto la utilidad de ella. Nos reta a pensar en nuevas posibilidades de diseño del problema y a buscar alternativas que no generen costos y optimicen el proceso.
A un intercambiador de calor ingresan 74 Kg/s de Etanol a 0,5 Atm y 30 ºC, para calentarlo se usan 50 Kg/s de agua a 1 MPa y 300 ºC, el cual sale a 200 ºC, asumiendo que dentro del intercambiador no se producen cambios de presión y no hay acumulación, determine la temperatura final del etanol.
Figura 2: Esquema de la maquina térmica SOLUCIÓN CONTEXTO En la industria se utilizan diferentes operaciones de transferencia de calor de unos fluidos a otros. Los fluidos que ceden calor se denominan flujos de servicio y los aparatos donde se realiza la transferencia se conocen como intercambiadores de calor. Los intercambiadores de calor se caracterizan por las funciones que desempeñan en un proceso, aunque todos se usan para la transferencia de calor entre corrientes de flujo. El intercambio de calor entre dos cuerpos consiste en el cambio energético entre moléculas, átomos y electrones libres, también en una disminución de la entalpía de la fuente caliente y el aumento de la entalpía de la fuente fría.
METODOLOGIA Y CALCULOS
Suposiciones: No se manejan cambios de fase en el intercambiador de calor, no hay pérdidas de calor por parte del intercambiador, no hay acumulación.
Propiedades
-
Calor especifico del etanol (Como función de la temperatura)
Cp:19,9 20,96 10 x
-
2
T 10,38 10 x
Peso molecular del etanol Kg PM
46,07 Kmol
-
Cambio entalpico
52
T 20,05 10 X
93
T
a) ¿Cuál es la temperatura fi nal del etanol? BALANCE DE ENERGIA PARA SISTEMAS ABIERTOS E-S+G=A H H H H 1 m h1( 1
3
2
h2)m h3( 3 h4)
40 0
De la tabla termodinámicas A-6 para vapor sobrecalentado
KJ h3
3051,6 Kg KJ
h4
2828,3 Kg
Por lo tanto Kg
74
Kg
303,15ºK
s *(
CpdT ) 50
T
Kg
74
s *(
KJ
s *(3051,6 2828,3)
0
KJ
303,15ºK
T
Kg
CpdT ) 1116574
s
0
Ya que para el etanol no poseemos tablas termodinámicas de referencia, procedemos a calcular la diferencia entálpica por medio de la capacidad calorífica.
2
T
303,15ºK
h1
h2
T
19,9 20,96 10 x
10,38 10 x 5T 2
20,05 X 10 9T dT 3)
22
T 3,46 X 10 5 3T h2 ( 19.9T 10,48 X 10
14742,18) KJ h1
5,0125 X 10
94
T Kmol
Ya que el resultado está en unidades de KJ/Kmol se debe dividir entre el peso molecular del Etanol para conseguir la unidad de KJ/Kg 3
h1
h2 ( 0,4326T
T 2 7,5 X 10 7T 3 1,09 X 10
10
T 4 320,48)
KJ
2,27 X 10 Kg
Despejando el balance energía Kg
KJ
(50 KJ
( 0,4326 T 2,27 X 10 Kg
32
T
7,5 10 X
73
T
1,09 X 10
10 4
T
320,48)
*(3051,6 2828,3) s
Kg
74
Kg
s T 2 7,5 X 10 7T 3 1,09 X 10 2,27 X 10 3
0 ( 0,4326 T
T 4 471,95)
10
KJ Kg
Ya que la temperatura es una incógnita en la ecuación anterior debemos encontrar un método para resolverla.
METODO DE NEWTON-RAPHSON
El método de Newton-Raphson es un método de carácter iterativo que nos permite aproximar la solución de una ecuación del tipo f(x)=0. Se parte de una estimación inicial de la solución X0 y se construye una sucesión de aproximaciones mediante la fórmula.
Ya que poseemos una expresión para la temperatura del tipo f(x)=0, procedemos a aplicar el método de Newton-Raphson.
f t ( )
0,4326T
2,27 X 10
32
T
7,5 X 10
73
T
1,09 X 10
10 4
T
471,95
)
Derivamos la expresión
f t ( )'
0,4326
0,00454T
2,25 X 10
62
T
4,36 X 10
10 3
T
Para una primera aproximación de la temperatura para iterar, obtenemos un valor de T con la ecuación semi-empírica Kg
74
Kg
*(T 30ºC ) 50 *((300 200)ºC ) s s T 97,57ºC 370,72ºk
Luego aplicamos la iteración Tsup 370,72 401,13 384,2 394 388,5 391,7 389,8 390,88
Tnew 401,13 384,2 394 388,5 391,7 389,8 390,88 390,28
La temperatura final es aproximadamente 390,28 grados kelvin.
ANALISIS DE RESULTADOS La temperatura de salida del etanol es coherente con el ejercicio, ya que a grandes rasgos cumple con la ley de la conservación de la energía además de que la aproximación encontrada no es tan desviada de la obtenida con la ecuación semiempirica donde a través del flujo másico y la temperatura se halla una aproximación de la temperatura final.
RELEVANCIA DEL PROBLEMA La razón por la que escogimos este problema, es que consideramos que condensa muy bien uno de los problemas o retos a los que se enfrenta un ingeniero de planta
a diario, el desconocer el resultado de una variable de proceso, la cual no se puede determinar por medio de tablas termodinámicas y tener por esto que usar diferentes métodos matemáticos para resolver el problema. Es de vital importancia saber qué condiciones presentan los fluidos al salir de las maquinas térmicas luego del proceso, así se sabe si este fue ejecutado para cumplir con las especificaciones previamente establecidas.
A un tanque de almacenamiento de 30 metros cúbicos con pérdidas de calor de 40 Kg/h que inicialmente se encuentra vacío, se alimenta con una corriente de 53 Kg/h de vapor de agua a 5Mpa y 600 ºC. Si el tanque por razones de diseño se estalla cuando la presión y la temperatura son 2 MPa y 400 ºC respectivamente, ¿Cuánto tiempo le tarda al tanque llegar a estas condiciones? ¿Qué medidas podría tomar para alargar este tiempo?
Figura 3: Esquema del tanque
SOLUCION CONTEXTO Un sistema cerrado es uno que no tiene intercambio de masa con el ambiente, también es conocido como masa de control. El sistema cerrado puede tener interacciones de trabajo y calor con sus alrededores, así como puede realizar trabajo a través de su frontera. Cuando el sistema cerrado evoluciona del estado inicial A al estado final B pero por un proceso no adiabático, la variación de la energía debe ser la misma.
Esta definición suele identificarse con la ley de la conservación de la energía y, a su vez, identifica el calor como una transferencia de energía. Es por ello que la ley de la conservación de la energía se utilice, fundamentalmente como uno de los enunciados de la primera ley de la termodinámica.
METODOLOGIA Y CALCULOS
Suposiciones: El flujo de entrada en constante, el tanque está bien aislado no posee fugas y no recibe calor de los alrededores.
a) ¿Cuánto tiempo le tarda al tanque llegar a estas cond icio nes? BALANCE DE ENERGIA PARA SISTEMAS CERRADOS E-S+G=A E-S=A
E
u
Q t
m final *u final minicial *( 1)h
Q t
De la tabla termodinámica A- la entalpia del flujo de entrada es 3666,9 KJ/Kg Reemplazando Kg
53
KJ
*(3666,9 h t
Kg
) 40
KJ
194305,7
Expresión para el tiempo
m final *u final h Kg
m final *u final h t
m final *u final t KJ 194305,7 h
Ahora, de la tabla termodinámica A- a una presión de 2 MPa y una temperatura de 400 ºC Volumen
Volumen masa
; masa
v v
30m3
m3 v@2 MPa
0,15122
; masa final
3
Kg
198,38Kg
m
0,15122 Kg
De la tabla termodinámica A- a una presión de 2 MPa y una temperatura de 400 ºC KJ u final
2945,9
Kg
Reemplazando en la expresión para el tiempo KJ
198,38Kg*2945,9 Kg t KJ 194305,7 h
t 3horas b) ¿Qué medidas pod ría tomar para reducir este tiempo ? En cuanto a medidas, lo primero que se debería hacer para alargar el tiempo es aumentar las pérdidas de calor que tiene el tanque y obviamente disminuir el flujo másico de la corriente de entrada, y en cuanto al diseño se debería abrir eliminar la acumulación de agua que se genera dentro de él dando paso a una porción de la
corriente de entrada, ya que tarde o temprano se alcanzaran las condiciones críticas en las que el tanque estalla.
ANALISIS DE RESULTADOS Los resultados nos sugieren que el encargado debe replantear el diseño del tanque ya que la corriente de entrada genera en tres horas o menos que el tanque estalle, podría tomar medidas para alargar el tiempo pero tarde o temprano dentro del tanque se alcanzaran las condiciones críticas, lo cual es preocupante, ya que manejar en cualquier planta un equipo con este riesgo es muy peligroso.
RELEVANCIA DEL PROBLEMA Las razones por las que escogimos este problema son debido a la visión que nos provee acerca del plano profesional, por como proyecta la importancia y la precisión en el uso de la termodinámica en los procesos industriales. Nos da a entender la responsabilidad de cada ingeniero a la hora de tomar decisiones en una planta, decisiones que si no son las incorrectas pueden ser fatales para el capital de la empresa y peor aún para la vida de las personas.
ENTROPÍA
En un intercambiador de calor entra por un lado un flujo de 200Kg/h de Nitrógeno a 200 C a presión atmosférica y se necesita calentar hasta 400 C para esta operación se emplea una corriente de agua que entra a 600C y una presión de 4Mpa y sale a 400 C y una presión de 2Mpa (a) ¿cuál es flujo necesario de agua para calentar en nitrógeno? (b) ¿la maquina existe?
SOLUCIÓN METODOLOGIA Y CALCULOS
Suposiciones: las perdidas y entradas de calor no entran en el balance gracias a que el calor que necesita el nitrógeno es igual al calor que desprende el agua mientras cambia su temperatura
a) ¿cuál es flujo necesario de agua para calentar en nitrógeno ?
Proceso •
Para empezar a desarrollar este ejercicio primero debemos determinar en qué estado se encuentran las corrientes que entran y salen de nuestro sistema
Nitrógeno: está en estado gaseoso gracias a su punto de ebullición es de -195.8 C
Agua: entra y sale como vapor sobrecalentado •
Después de saber el estado de nuestras corrientes hacemos un balance de energía para identificar los datos que conocemos, los que podemos buscar en tablas y cual es valor de la incógnita
BALANCE DE ENERGIA
De la anterior expresión despejamos el flujo másico que necesitamos y remplazamos los valores que podemos encontrar en tablas
En el caso del delta de entalpias del nitrógeno nos toca resolver la integral de la capacidad calorífica del nitrógeno para conocer su valor
Para el Cp dentro de la integral usamos el polinomio Cp=a+bT+cT 2+dT3; los valores de (a,b,c,d) se encuentran en la tabla A-2 a: 28.90 KJ/Kg*K b: 1.15714e-2 KJ/Kg*K c: 0.8081e-5 KJ/Kg*K d: -2.873e-9 KJ/Kg*K
El resultado de la integral lo dividimos por el peso molecular para dejar el valor en las unidades correspondientes (Kg)) para poder continuar los cálculos
Remplazamos los valores conocidos en el despeje de m2 y los valores del agua los buscamos en tablas (tabla A-6 v.s.c) h4@600 : 3674.9 KJ/Kg h3@400 : 3240 KJ/Kg
(b)¿la maquina existe?
BALANCE DE ENTROPIA
Despejamos Sg
Para la entropia hacemos la integral de cp pero esta ves se le agrega un nuevo factor
Pero como el nitrógeno entra y sale a la misma presión el ln(1)=0 y la parte después de la integral vale 0 y los valores del polinomio son los mismo pero esta vez divididos por T
ahora reemplazamos en el despeje de Sg
La máquina existe gracias a que los menos se cancelan
ANALISIS DE RESULTADOS El resultado encontrado nos dice la cantidad de flujo de agua necesaria para calentar los 200 kg/h de nitrógeno que está entrando y este valor no viola ninguna de las dos leyes de la termodinámica entonces la maquina puede existir si ya se quisiera mejorar se calcularía el calor total perdido para poder mejorar la eficiencia de la máquina.
RELEVANCIA DEL PROBLEMA Este ejercicio es importante porque se emplean dos sustancias diferentes si estar en mezcla estas vienen en corrientes diferentes y se utiliza la integral para poder determinar el delta de entropía y entalpia que no sufren cambio de fase porque se centra más en el balance de entropía que en de entalpia entonces el cambio de fase sirve para practicar pero hacer el ejercicio más tedioso y largo, si se está empezando a practicar las maquinas térmicas con balances de entropía es un buen ejercicio por qué se necesita tener en cuenta cosas fundamentales como que si la presión se mantiene media ecuación del delta de entropía equivale a 0.
En una turbina entra un flujo másico de 700 Kg/h a una temperatura de 500 C y una presión de 10 MPa, en la salida el flujo másico se encuentran a una temperatura de 300 C y 5 MPa la temperatura de los alrededores es de 300k (a) ¿cuál es el trabajo generado por la turbina?, (b) ¿la maquina puede existir?, si no existe qué medidas tomaría para que exista, (c) ¿cuál es la eficiencia de la turbina?
SOLUCIÓN METODOLOGIA Y CALCULOS a) ¿cuál es el trabajo generado po r la turbina? Proceso •
Para empezar a desarrollar este ejercicio primero debemos determinar en qué estado se encuentran las corrientes que entran y salen de nuestro sistema
Estado 1: Tsis (500C)>Tsat(311 C) = vapor sobrecalentado; la temperatura de saturación se busca a 10Mpa o 10000Kpa, también se puede determinar con presiones
Estado 2: Tsis (300C)>Tsat(263.94) C) = vapor sobrecalentado; la temperatura de saturación se busca a 5Mpa o 5000Kpa, también se puede determinar con presiones •
Después de saber el estado de nuestras corrientes hacemos un balance de energía para identificar los datos que conocemos, los que podemos buscar en tablas y cual es valor de la incógnita
BALANCE DE ENERGIA
Ese es nuestro balance general del cual conocemos el flujo másico (m 1), las entalpias las podemos conocer por tablas (tabla A-6 v.s.c) y el trabajo es nuestra incógnita (W)
h1@500c= 3375.1 KJ/Kg h2@300C= 2925.7KJ/Kg
Ese es el valor del trabajo que hace la turbina la respuesta (a)
b) ¿la maquina puede existir?
Para iniciar a resolver este punto tenemos que hacer el balance de entropía porque la segunda ley de la termodinámica dice que la entropía del universo siempre está en aumento entonces para que la maquina pueda existir esta debe generar entropía a los alrededores
BALANCE DE ENTROPIA
En un balance de entropía siempre se genera entropía (Sg) y los valores de las entropías las buscamos en tablas (tabla A-6 v.s.c) y para que el dispositivo pueda existir nuestra Sg tiene que ser positiva
S1@500C= 6.5995 KJ/Kg*k S2@500C= 6.2111 KJ/Kg*k
La máquina no puede existir porque viola la segunda ley de la termodinámica Para que esta maquila logre existir toca que genere perdidas de calor al ambiente entonces en nuestro balance le agregamos las pérdidas de calor dividido por la temperatura de los alrededores y hacemos que nuestra entropía generada tienda a 0 para saber el valor mínimo de calo que nuestra maquina debe liberar para que pueda existir
Despejamos "Q" y remplazamos valores
Ese el calor mínima que necesita perder la turbina para poder existir.
c) ¿cuál es la eficiencia de la turbina? La eficiencia de las turbina la encontraremos con la siguiente formula
Para poder aplicarla tenemos que calcular el trabajo real de la turbina gracias a que esta tiene perdidas de calor para que pueda existir
Ahora si podemos calcular la eficiencia de nuestra turbina
ANALISIS DE RESULTADOS En este ejercicio se pudo observar cuanta es la eficiencia máxima de una turbina a condiciones ideales y para esto necesitamos ver la primera ley de la termodinámica en el punto a y confirmar que fuera posible tener este sistema en la vida real y para ello se confirmó con la segunda ley aunque se tuvieron que hacer algunas modificaciones a la turbina
RELEVANCIA DEL PROBLEMA Este ejercicio lo escogimos porque tiene involucrado las dos leyes de la termodinámica vistas en clase y no solo eso también toco pensar analíticamente para ver cómo se lograba hacer que la maquina existiera aplicando conocimientos de teoría aunque es un ejercicio simple está muy completo para poder entender como se hace el balance de entropía y considerar cosas muy importantes como que toda máquina existente libera calor a sus alrededores aunque sea muy poco, también que el trabajo no entra en el balance de entropía y se encontraba lo fundamental de este curso aprender a definir estados buscar en tablas y hacer el balance necesario para encontrar la cantidad que no conocemos es un ejercicio práctico con buena cantidad teórica que reúne los 3 cortes
En un evaporador entra una corriente de propano (liquido) con flujo de 70 kg/h a una temperatura de 100C a 1 atm, este se evapora hasta una temperatura de 500 C a 1 atm, para este proceso se usa una corriente de agua en vapor que entra a una presión de 2 MPa y 500C y vapor de agua a 1 MPa y 200 C el ingeniero conoce que el evaporador tiene perdidas de calor de 100 kJ/h y la temperatura ambiente es de 300k (a) que cantidad de agua se necesita para que se logre la temperatura requerida? (b) es posible que esta máquina exista? –
SOLUCIÓN METODOLOGIA Y CALCULOS a) ¿cuál es el trabajo generado po r la turbina? Proceso
Como ya conocemos los estados de nuestros flujos empezamos con el balance de energía
BALANCE DE ENERGIA
Para determina el delta de entalpias se usa la siguiente formula
Colocamos el menos al inicio por que como nuestra temperatura 2 es mayor que la uno nuestra entalpia 2 va a ser mayor que la 1 entonces este delta nos tiene que dar un valor negativo. El delta de evaporación se calcula con la siguiente formula:
Las unidades para calcular este delta de evaporación deben estar en kg,kj y k En el caso del delta de entalpias del propano nos toca resolver la integral de la capacidad calorífica del propano para conocer su valor
Para el Cp dentro de la integral usamos el polinomio Cp=a+bT+cT 2+dT3; los valores de (a,b,c,d) se encuentran en la tabla A-2 a: -4.04 KJ/Kg*K b 30.48e2: KJ/Kg*K c:-15.72e-5 KJ/Kg*K d:31.74e-9 KJ/Kg*K
Ahora que conocemos los valores necesarios para calcular el delta de entalpias remplazamos en el despeje
Ahora remplazo en el despeje del flujo másico
b) ¿La maquina puede existir?
Para iniciar a resolver este punto tenemos que hacer el balance de entropía porque la segunda ley de la termodinámica dice que la entropía del universo siempre está en aumento entonces para que la maquina pueda existir esta debe generar entropía a los alrededores
BALANCE DE ENTROPIA
Despejamos Sg
Para el delta de entropías se usa la siguiente formula
Ahora encontramos el valor de la integral y del delta de vaporización
Los valores del polinomio son los mismo pero esta vez divididos por T
Remplazamos en el delta de entropía
Para determinar si la maquina puede existir calculamos el Sg
La máquina existe gracias a que los menos se cancelan
ANALISIS DE RESULTADOS En el ejercicio se puede notar que para calentar hasta esa temperatura el propano se necesita casi 3 veces el mismo flujo pero en agua y es muy difícil hacer subir tanto la temperatura porque en ese rango de diferencia la efectividad de la maquina se puede ver afectado negativamente.
RELEVANCIA DEL PROBLEMA Este ejercicio lo escogimos porque implica todo lo visto en el curso de termodinámica es un sistema el cual tiene un cambio de fase tiene varios flujo con pérdidas de calor, también es una máquina que está bien diseñada y con esas características es fácil hacer que exista además con estas máquinas térmicas (evaporador) en clase fue el más usado y el que nos ayudó a comprender más fácil las implicaciones de cada caso y como hacer el balance general y no el individual.
1. Se requiere comprimir una corriente de 5000kg/s de R134a a 0.2Mpa y 20°c. Para alimentar la potencia del compresor(B) se dispone de una turbina(A) que es alimentada por agua a 4Mpa y 500°c, el cual sale de la turbina a 1Mpa y 250°c. Se desea saber cuánto debe ser la temperatura de salida del refrigerante si este sale a 1Mpa y de ser necesario cuál es la potencia que se le es suministrado al compresor. Las pérdidas de calor de cada elemento son las siguientes:
Escogemos como nuestro sistemas A y B por aparte. 1. Se hace el balance de energía para la turbina:
+ ̇ ̇ 0 ̇̇ ℎ ̇ ̇ ̇ ℎ ̇̇ ̇ 0 ̇ ̇ℎ ℎ ̇ ̇ 0 ̇ ̇̇ℎ ℎ̇ ̇
E: Flujo de agua(H1), S: flujo de agua(H2), calor y Potencia, G: no hay generación, A:no hay acumulación.
Al no haber acumulación
Despejando
obtenemos
̇
Tenemos el valor de el cual es 100KJ/h, ahora para hallar los valores de las entalpías especificas nos dirigimos a las tablas de agua saturada y a las condiciones de entrada del agua(T=500°c y P=4Mpa) observamos que : P=4Mpa>Tsat=250.35°c entonces Tsat< T. quiere decir que es vapor sobrecalentado. Entonces en las tablas de vapor sobrecalentado a 500°c y 4Mpa la entalpia especifica es 3446 KJ/kg. A las condiciones de salida del agua (T=250°c y P=1Mpa) observamos que: P=1Mpa->Tsat=179.88°c entonces Tsat< T. quiere decir que es vapor sobrecalentado. Entonces en las tablas de vapor sobrecalentado a 250°c y 1Mpa la entalpia especifica es 2946.1 KJ/kg.
ℎ
ℎ 1000 (3446 2946.1 )100 ̇ → ̇ + + ̇ ̇ 0 ̇̇ ℎ ̇ ̇ ̇ ℎ ̇+̇ ̇ 0 ̇ ̇ℎ ℎ+ ̇ ̇ 0 ℎ ̇ + ℎ ̇ ̇ +ℎ ̇ ̇
Reemplazando los valores obtenemos:
2. Se hace el balance de energía para el compresor:
E: Flujo de R134a(H1) y Potencia, S: flujo de agua(H2) y calor, G: no hay generación, A:no hay acumulación.
Al no haber acumulación
Para hallar la temperatura final debemos despejar obtenemos
Tenemos el valor de el cual es 200KJ/h, ahora para hallar los valores de las entalpías especificas nos dirigimos a las tablas de R134a saturada y a las condiciones de entrada del agua(T=50°c y P=0.2Mpa) observamos que : P=0.2Mpa>Tsat=-10.09°c entonces Tsat< T. quiere decir que es vapor sobrecalentado. Entonces en las tablas de vapor sobrecalentado a 50°c y 0.2Mpa la entalpia especifica es 270.18 KJ/kg.
ℎ
Reemplazando los valores obtenemos:
200 +502800 +270.18 → . ℎ 5000
Para hallar la Temperatura final conocemos que el estado es constante es decir sigue siendo Vapor sobrecalentado a 1Mpa entonces en las tablas encontramos lo siguiente: h 3 6 6 . 6 9 3 7 0 . 7 3 7 7 . 4 0 Interpolamos para saber la incógnita y el resultado es
T=133.74°c
Lo interesante de este ejercicio es que si escogemos A y B como un solo sistema el ejercicio es más simple:
+
E: Flujo de agua(H1) y flujo de R134a(H3), S: flujo de agua(H2), flujo de R134a(H4) y calores Q1 y Q2, G: no hay generación, A:no hay acumulación.
+ ̇ 0 ̇ ̇ ℎ ̇ ̇ℎ +̇ ̇ ℎ ̇ ̇ℎ ̇ ̇ 0
̇ ̇ ̇ ̇ ̇̇ℎ ℎ+̇ ̇ℎ ℎ ̇ ̇ 0 ℎ̇ ̇ℎ ℎ̇ ̇ ̇ +ℎ ̇ ℎ
Como no hay acumulación de ningún tipo, entonces
Despejando
Reemplazando los valores que hemos hallado en el caso anterior nos da exactamente que la entalpia especifica 4 es igual (370.7 KJ/Kg). Entonces podemos concluir que la potencia se puede suprimir para llegar al mismo estado final y que de acuerdo al sistema escogido el balance puede cambiar.
2. Se quiere llevar una mezcla de etanol y agua a las condiciones iniciales en el estado A hasta llevarlo 150°C. ¿Cuánto se demorará?
1. Se hace el balance de energía en el estado A:
+
E: Flujo de vapor de agua(H1), S: flujo de vapor de agua(H2) y calor, G: no hay generación, A: Sí hay acumulación debido a que la mezcla cambia con el tiempo.
̇ ∆ ̇ℎ ℎ ̇ ∆
Para hallar el cambio de energía interna en la sustancia A se toma en cuenta que es un cambio en energía interna, que se puede expresar mediante la siguiente ecuación:
° °°, ∶ °
Para hallar las constantes del Cp se sabe que es una mezcla de etanol y agua, entonces se deben buscar las constantes Cp para cada compuesto y utilizar la fracción molar de cada uno (etanol 0.8 y agua 0.2). la constante R es la constante de los gases ideales
0.819.9 +0.232.29 22.36
0.820.9610−−+0.20.192310− −0.1681 − 0.810.3810− +0.21.05510 −8.03910− 0. 820.0510 +0.23.59510 1.532110 423. 1 5 K 423. 1 5 K 303.15 K Cp-RdT 303.15 K 22.36+0.1681T-8.039x10-5T2 +1.5321x10-8T3-8.314dT 7809.03/
Para pasarlo a KG lo que se hace es dividir por el peso molecular de la mezcla: P M mezcla = (0.8*46)+(0.2*18)=40.4 Kg/Kmol Entonces
193.29/
En el cálculo de las entalpias, se utilizan las tablas donde sabemos que en ambos casos es vapor sobrecalentado y tenemos temperatura y presión entonces obtenemos que h1=3666.9KJ/Kg y h2=3051.6KJ/Kg Despejando el tiempo obtenemos que
1000193. 2 4 20 ℎ 3666.9 3051.6 15.72
Para poder aumentar este tiempo se debería tomar en cuenta la idea de aumentar el flujo del vapor de agua para que este transfiera más calor y se condiga la condición deseada más rápido.
3.
+
E: Flujo de Benceno (H1) y flujo de Vapor de agua (H3), S: Flujo de Benceno (H2) y flujo de Vapor de agua (H4) y calores Q1, G: no hay generación, A:no hay acumulación. 1. El balance de energía:
+ ̇ 0 ̇ℎ ̇ℎ +̇ℎ ̇ℎ ̇ 0 ̇ ̇ ̇ ̇ ̇̇ℎ ℎ+̇ ̇ℎ ℎ ̇ 0
Como no hay acumulación de ningún tipo, entonces
Despejamos m3:
̇ℎℎℎℎ+ ̇ ̇
∆
2. Para hallar la diferencia de entalpia del be nceno, como hay cambio de fase en el benceno se dice que el cambio de entalpía pasa por el calor latente,
473. 1 5 K ℎ ° ℎ ° ∆+303.15 K Cpg dT
∆
Para hallar del benceno se busca en las tablas, sin embargo este dato no aparece a 30°c sino a 80.2°c, para hallar a 30°c se utiliza la fórmula de Watson:
∆ . ° 1 ∆ 30° ∆ 80.2° 1. .° 303. 1 5 1 394 1 357.56256215 427.63 ∆ 30° ∆ 80.2° ∆ 473. 1 5 K 473. 1 5 K 303.15 K Cp dT 303.15 K -36.22+48.4x10-2T-31.53x10-5T2 +77.62x10-9T3dT 235.33 ℎ ° ℎ ° 427.63 +235.33 663.36 Es
normal
que el sea mayor que el porque si se mira en el diagrama termodinámica, a temperaturas menor es va a ser mayor.
Continuando con la diferencia de entalpia del benceno:
3. Para hallar la diferencia de entalpia del Vapor de agua, hay dos formas: mediante las tablas o por el recorrido termodinámico como en el ejemplo del benceno. En esta ocasión lo haremos mediante el segundo caso, como NO hay cambio de fase en el Vapor de agua se dice que el cambio de entalpía no pasa por el calor latente, es decir,
∆0
ℎ °573.1ℎ5 K ° 573.15 K 473.15 K Cpg dT 473.15 K 32.24+0.1923T+1.055x10-5T2-3.595x10-9T3dT 197.9
4. Volviendo al paso 1:
117 (663.36 )+700 ̇ 359.72 197.9
4. Se tiene un tanque con una mezcla de metanol y agua, se desea saber cuál es el flujo másico que pasa por el serpentín.
Además, se sabe que: Tf=16 horas Se hace el balance de energía:
+ ̇ ̇ ̇− ̇ ̇ ℎ ̇ ̇ℎ ̇ ̇ ̇−
E: Flujo de agua(H1), S: flujo de agua(H2), calor, G: no hay generación, A: si existe acumulación.
Para las diferencias de energía interna de utiliza la integral de Cv
, ̇ ∫ ̇̇ℎ ℎ ̇ , CV dT
Pero como en las tablas termodinámicas no tenemos ese valor, utilizamos la siguiente formula.
, ̇ ∫ ̇ ̇ℎ ℎ ̇ , Cp -R dT , ̇ ∫ ̇ , ℎ ̇ ℎCp-R dT + ̇
Ahora despejamos la masa 1:
Para hallar las constantes del Cp se sabe que es una mezcla de metanol y agua, entonces se deben buscar las constantes Cp para cada compuesto y utilizar la fracción molar de cada uno (metanol 0.8 y agua 0.2). la constante R es la constante de los gases ideales Am=
∑=
Am= (0,8) (19,0)+(0,2) (32,24)=21,66
10--52 x10 -9 10
10-5-2 -6 10 -9 x10 -10 10 10
Bm= (0,8) (9,152x
)+(0,2) (0,1923x
Cm= (0,8) (-1,22
)+(0,2) (1,055
Dm= (0,8) (-0,039x
)+(0,2) (-3,595x
)=0,0736
)=-7,65
)=-7,502
Seguidamente se realiza la integran con las constantes y la dependiente de T:
423. 1 5 K 423. 1 5 K 303.15 K Cp - R dT 303.15 K 21.66+0,0736T -7.65x10-6T2 -7.502x10-10T3- 8.314 dT
423. 1 5 K 303.15 K Cp - R dT 4682,2661/ Como el valor de la integral esta en kj/kmol, debemos hallar el PM, para pasarlo a kj/kg
Pm= 0.8(32,042) +0,2(18) =29,2336kg/kmol
4682. 2 661 kj / kmol 29.2336 / 160.1672/
En el cálculo de las entalpias, se utilizan las tablas donde sabemos que en ambos casos es vapor sobrecalentado y tenemos temperatura y presión entonces obtenemos que h1=3666.9KJ/Kg y h2=3051.6KJ/Kg
Finalmente reemplazamos los datos en la fórmula para despejar la masa 1 :
1000160. 1 672 ̇ 17 ℎ 3666.9 3051.6 +30 ℎ 45.3122 ℎ 45.3122
Con las condiciones dadas en el ejercicio el valor del flujo másico de agua que pasa por el serpentín es de: . 5. Se necesita saber que compresor puede llevar vapor de agua con las condiciones iniciales a las finales como lo muestra la siguiente figura y para esto se desea saber cuánta potencia se le debe subintrar. Sin embargo, se tiene que en el mercado existen compresores con limitaciones de 30Kg/s y potencia de 5000Kw, ¿Cuántos compresores y cómo se deben conectar para poderle suministrar la potencia al compresor?
Se hace el balance de energía:
+
E: Flujo de agua(H1), potencia, S: flujo de agua(H2), G: no hay generación, A: no existe acumulación.
̇ + ̇ 0 ℎ̇ ̇ℎ +̇ 0 ℎ ℎ̇
En las tablas de vapor sobrecalentado a las Temperaturas dadas obtenemos que h1=3051.6KJ/Kg y h2=3625.8KJ/Kg Entonces:
100 3625.83051.6 ̇ 57420
Limitaciones por caudal: 30Kg/s. -> paralelo
Limitaciones por potencia: 5000KJ/S -> serie
Primero miro las limitaciones por caudal: como debo usar un flujo de 100 y tengo que los compresores solamente soportan 30 entonces conecto 4 en paralelo y que por cada uno se suministre 25Kg/s de caudal así logro suprimir la limitación por caudal.
Como el flujo se dividió en 4 compresores, la potencia también se divide en 4, es decir que es decir que la potencia de cada compresor es de 14355 kw, y los compresores del mercado no deben tener una potencia mayor de 5000kw, entonces para poder cumplir esta capacidad se deben contactar las misma línea de 4 compresores en serie al mismo sistema de 4 compresores. Por lo cual si junto 2 lineas mas en serie eso nos daría una potencia 15 kw en total para las 3 lienas. Como lo muestra la suigueinte imagen:
Entonces cada potencia de línea se divide en 3, y resulta que la potencia que necesita cada compresor es de 4785Kw, siendo menor a a que está en el mercado. Por lo que el ejercicio queda terminado siendo que para poder cumplir con las condiciones finales y las restricciones del mercado se necesitan 12 compresores que cumplan con el objetivo. Por último, para saber la eficiencia de cada maquina se divide la potencia de cada compresor por su capacidad, es decir:
4785 5000 95.7%
