Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones Ejercicio 94: Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. ontando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. !demás, si hubiera acudido una mujer más, su número igualar"a al de hombres. a# $lantear un sistema para a%eriguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. b# &esol%er el problema. Solución: !partado a' (i llamamos x, y, ), al número de hombres, mujeres y niños, respecti%amente, *ue +ueron de excursión, tendremos'
x + y + z = 20 x + y = 3 z y + 1 = x
x + y + z = 20 x + y − 3 z = 0 − x + y = −1 ordenamos'
!partado b' $ara estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos escribimos la matri) de los coe-cientes M y la matri) ampliada con los trminos independientes independientes M a'
1 1 − 1
− 3 0
1
1 1 − 1
1
1 1
M/ M
1
1
1
−3
1
0
20
− 1 0
Ma / 1
1
1
1
−1
1
=
1
−3 = 8 ≠ 0 0
omo → rM# / rM a# / 1 → (... &esol%emos &esol%emos el sistema utili)ando la regla de ramer para ello calculamos los %alores de' 20 1 M x
=
0
1
−1
1
1
− 3 = 64
M y
=
1
20
1
0
−1 − 1
0
1
− 3 = 56 0
x
=
M x M
=
64 8
=8
y
=
M z
=
1
1 20
1
1
0
−1
1
−1
M y M
=
56 8
=7
z =
M z M
=
40 8
=5
3uego, habrán asistido 4 hombres, 5 mujeres y 6 niños a la excursión. Ejercicio 94:
= 40
ierto estudiante obtu%o, en un control *ue constaba de 1 preguntas, una cali-cación de 4 puntos. 7n la segunda pregunta sacó dos puntos más *ue en la primera y un punto menos *ue en la tercera. a# $lantear un sistema de ecuaciones para determinar la puntuación obtenida en cada una de las preguntas. b# &esol%er el sistema. Solución: !partado a' (i llamamos x, y, ), a la puntuación obtenida en cada pregunta, respecti%amente, tendremos'
x + y + z = 8 y = x + 2 y = z − 1
x + y + z = 8 − x + y = 2 y − z = −1
, ordenamos' !partado b' $ara estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matri) de los coe-cientes M y la matri) ampliada con los trminos independientes M a'
1 −1 0
1 1 1
1 −1 0
0 − 1 1
M/
1
1
0
1
−1
2 − 1 8
Ma / 1
M
1
= −1 0
1
1
1
0
1
−1
= −3 ≠ 0
rM# / rM a# / 1 → (... &esol%emos el sistema utili)ando la regla de ramer para ello calculamos los %alores de' →
M x
=
8
1
1
2
1
0
−1
1
−1
1
= −3
M y
= −1 0
8
1
2
0
1
= −9
−1 −1
=
M x M
=
−3 =1 −3
y
=
= −1 0
x
M z
1
8
1
2
1
−1
= −12
M y M
=
−9 =3 −3
z =
M z M
=
− 12 =4 −3
3uego, habrá obtenido 8 punto en la primera pregunta, 1 en la segunda y 9 en la tercera. Ejercicio 94 (bis): (ea la matri) ! de coe-cientes asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales y : la matri) de sus trminos independientes'
a − 2 a a − 1
4 4
!/ :/ a# $lantea algebraicamente el sistema indicando las operaciones hechas. b# iscute su compatibilidad e interpreta los resultados obtenidos. Solución: !partado a'
a a
− 2 x 4 ⋅ = a − 1 y 4
7l sistema expresado en +orma matricial, será' 7+ectuando el producto de matrices, y aplicando la de-nición de igualdad de dos
ax − 2 y = 4 ax + (a − 1) y = 4 matrices, obtendremos el sistema pedido' . !partado b' $ara estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matri) de los coe-cientes M y la matri) ampliada con los trminos independientes M a'
− 2 a − 1
a a
a a
−2 a −1
4
4
M/ Ma / !nali)amos los %alores cr"ticos haciendo ;M; / 0 M
=
−2 =0 a −1
a a
a →
a
< (i
≠0
a
2
a ( a + 1)
+a =0 →
a1 = 0
=0 →
≠ −1
a2
= −1
y ;M; ≠ 0 = rM# / rM a# / 2 = (... solución única#.
a
=0
< (i
0 − 2 0 − 1
0 − 2 0 − 1
4
4
M/ Ma / ;M; / 0 = rM# / 8 y rMa# / 2, puesto *ue es posible encontrar en la matri) M a
−2 −1 un menor complementario de orden 2 y distinto de cero por ejemplo' tanto, (.>. ?o soluciones#. a
4 4
. $or
= −1
< (i
− 1 − 2 − 1 − 2
− 1 − 2 − 1 − 2
4
4
M/ Ma / ;M; / 0 = rM# / 8 y rM a# / 8, puesto *ue no es posible encontrar en la matri) M a un menor complementario de orden 2 y distinto de cero. $or tanto, (..>. >n-nitas soluciones#. Ejercicio 95: Un ama de casa ad*uirió en el mercado ciertas cantidades de patatas, man)anas y naranjas a un precio de 800, 820 y 860 ptas@Ag., respecti%amente. 7l importe total de la compra +ueron 8.8B0 ptas. 7l peso total de la misma, C Ag. !demás, compró 8 Ag. mas de naranjas *ue de man)anas. a# $lantear un sistema para determinar la cantidad comprada de cada producto. b# &esol%er el problema. Solución: !partado a'
(i llamamos x, y, ), al número de Ag. comprados de patatas, man)anas y naranjas, respecti%amente, tendremos'
100 x + 120 y + 150 z = 1160 x + y + z = 9 y + 1 = z
10 x + 12 y + 15 z = 116 x + y + z = 9 y − z = −1 simpli-camos'
!partado b# $ara estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matri) de los coe-cientes M y la matri) ampliada con los trminos independientes M a'
10 1 0
12 15
10 1 0
1 − 1
1 1
M/
12
15 116
1
1
1
−1
− 1 9
Ma / 10 12 15
M
=
1
1
1
0
1
−1
=7≠0
→ rM# / rM a# / 1 → (... omo &esol%emos el sistema utili)ando la regla de ramer para ello calculamos los %alores de'
M x
=
116
12
15
9
1
1
−1
1
−1
10 116
= 14
M y
=
15
10 12 116
= 21
1
9
1
0
−1 −1
x
=
M x M
=
14 7
=2
y
=
M z
=
1
1
9
0
1
−1
= 28
M y M
=
21 7
=3
z =
M z M
=
28 7
=4
$or tanto, habrá comprado 2 Ag. de patatas, 1 Ag. de man)anas y 9 Ag. de naranjas.
Ejercicio 95: 3a matri) de coe-cientes !, asociada a cierto sistema de ecuaciones lineales, as" como la de sus trminos independientes : son las siguientes'
1 1 1 2 − 1 1 5 1 − 2
12 6 2
!/ :/ a# educe las ecuaciones del sistema indicando las operaciones hechas. b# Dbtn, si es posible, la in%ersa de las matrices ! y :. &a)ona las respuestas. Solución: !partado a'
1 1 1 x 12 2 − 1 1 ⋅ y = 6 5 1 − 2 z 2 7l sistema expresado en +orma matricial, será'
7+ectuando el producto de matrices, y aplicando la de-nición de igualdad de dos
x + y + z = 12 2 x − y + z = 6 5 x + y − 2 z = 2 matrices, obtendremos el sistema pedido' !partado b' < eterminación de !E8' A
=
1
1
1
2
−1
1
5
1
−2
= 17 ≠ 0
F calculamos el determinante' omo *ue ;!; ≠ 0, la matri) ! es in%ersible. F calculamos la matri) adjunta !G , reempla)ando cada elemento por el %alor de su menor adjunto' A
*
1 9 7 = 3 − 7 4 2 1 − 3 * T
( A )
1 3 2 = 9 − 7 1 7 4 − 3
F determinamos la matri) traspuesta de la adjunta' A
−1
=
1 A
* T
( A )
1 3 2 = ⋅ 9 − 7 1 17 7 4 − 3 1
F la matri) in%ersa será' < eterminación de :E8' no es posible pues : no es una matri) cuadrada. Ejercicio 96: 7n una con-ter"a en%asan los bombones en cajas de 260 gr., 600 gr. H 8 Ag. ierto d"a se en%asaron B0 cajas en total, habiendo 6 cajas más de tamaño pe*ueño 260 gr.# *ue de tamaño mediano 600 gr.#. (abiendo *ue el precio del Ag. de bombones es 9.000 ptas. y *ue el importe total de los bombones en%asados asciende a 826.000 ptas' a# $lantear un sistema para determinar cuántas cajas se han en%asado de cada tipo. b# &esol%er el problema. Solución: !partado a' Ienemos *ue' F precio de la caja de 260 gr. / 8000 ptas. F precio de la caja de 600 gr. / 2000 ptas. F precio de la caja de 8 Ag. / 9000 ptas. (i llamamos x, y, ), al número de cajas en%asadas de 260 gr. , 600 gr. y 8 Ag., respecti%amente, tendremos'
x + y + z = 60 x = y + 5 1000 x + 2000 y + 4000 z = 125000
x + y + z = 60 x − y = 5 1 x + 2 y + 4 z = 125 simpli-camos'
!partado b'
$ara estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matri) de los coe-cientes M y la matri) ampliada con los trminos independientes M a'
1 1 1 − 1 1 2
1
1 1 1 − 1 1 2
0 4
M/ M
=
1 0 4
60
125 5
Ma / 1
1
1
1
−1
0
1
2
4
= −5 ≠ 0
omo → rM# / rM a# / 1 → (... &esol%emos el sistema utili)ando la regla de ramer para ello calculamos los %alores de'
=
M x
60
1
1
5
−1
0
125
2
4
= −125
M y
=
1
60
1
1
5
0
1 125
= −100
4
x
=
M x M
=
− 125 = 25 −5
y
M z
=
1
1
60
1
−1
5
1
2
125
= −75
=
M y M
=
− 100 = 20 −5
z =
M z M
=
− 75 = 15 −5
$or tanto, se habrán en%asado 26 cajas pe*ueñas, 20 medianas y 86 grandes. Ejercicio 96 (R): 7l precio de entrada a cierta exposición es de 200 ptas. para los niños, 600 para los adultos y 260 para los jubilados. 7n una jornada concreta, la exposición +ue %isitada por 200 personas en total, igualando el número de %isitantes adultos al de niños y jubilados juntos. 3a recaudación de dicho d"a ascendió a 51.600 ptas. a# $lantear un sistema de ecuaciones para a%eriguar cuántos niños, adultos y jubilados %isitaron la exposición ese d"a. b# &esol%er el problema. Solución: !partado a' (i llamamos x, y, ), al número de niños, adultos y jubilados, respecti%amente, *ue %isitaron ese d"a la exposición, tendremos'
x + y + z = 200 y = x + z 200 x + 500 y + 250 z = 73500
x + y + z = 200 x − y + z = 0 20 x + 50 y + 25 z = 7350 simpli-camos'
!partado b' $ara estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matri) de los coe-cientes M y la matri) ampliada con los trminos independientes M a'
1 1 1 −1 20 50 M/
1 1 1 −1 20 50
1 25 1
Ma /
1 1 25
0 7350 200
=
M
1
1
1
1
−1
1
20
50
25
= −10 ≠ 0
rM# / rM a# / 1 → (... &esol%emos el sistema utili)ando la regla de ramer para ello calculamos los %alores de' →
M x
=
200
1
1
0
−1
1
7350
50
25
= −300
M y
=
1
200
1
1
0
1
20
7350
25
= −1000
x =
M x M
=
− 300 = 30 − 10
y
=
M z
=
1
1
200
1
−1
0
20
50
7350
= −700
M y M
=
− 1000 = 100 − 10
z =
M z M
=
− 700 = 70 − 10
3uego, a la exposición, habrán acudido 10 niños, 800 a dultos y 50 jubilados. Ejercicio 96: ado el siguiente sistema de ecuaciones'
x + y + z = 6 x − 2 y + 2 z = 5 2 x − y + z = 11 a# Dbtn su matri) de coe-cientes. b# alcula el determinante de la matri) anterior. c# (in resol%er el sistema, ra)onar si tendrá solución única. Solución: !partado a'
1 1 1 − 2 2 −1
1
2
1
(u matri) de coe-cientes será' M / !partado b' M
=
1
1
1
1
−2 −1
2
2
1
7l determinante de dicha matri) será' / E2 E 8 J 9 J 9 J 2 E 8 / B !partado c' $ara estudiar la compatibilidad del sistema, escribimos la matri) de los coe-cientes M y la matri) ampliada con los trminos independientes M a'
1 1 1 − 2 2 −1 M/
1
1 1 1 − 2 2 −1
2 1 Ma /
1
6
2
5
1 11
1
1
1
M = 1
−2
2 =6≠0
2
−1
1
omo → rM# / rM a# / 1 → (... $or lo *ue el sistema tendrá una única solución.
