Números complejos E
S
Q
U
E
M
A
D
E
L
A
U
N
I
D
A
D
1. Núm Número eross ima imagin ginari arios os.. Números complejos en forma binómica página 115
2. Repres Representa entación ción gráfi gráfica ca de los números complejos página 116
3. Oper Operacion aciones es con númer números os complejos en forma binómica 3.1. Suma de de números números compl complejos ejos
página 118
página 118
3.2. Pro Producto ducto de número númeross complejos complejos página 118
3.3. Coci Cociente ente de números números complej complejos os página 118
3.4. Po Potenci tencias as de números números complejo complejoss página 119
4. For Forma ma polar polar de un númer número o complejo página 120
5. Oper Operacion aciones es con númer números os complejos en forma polar página 123
5.1. Suma de de números números comple complejos jos página 123
5.2. Pro Producto ducto de números números comple complejos jos página 123
5.3. Coci Cociente ente de números números complej complejos os página 123
5.4. Po Potenci tencias as de números números complejos complejos página 124
5.5. Radicación Radicación de númer números os complejos página 125
5. Números complejos
61
SOLUCIONES
DE
Cuestiones previas
LAS
ACTIVIDADES 2
(página 114)
DEL
LIBRO
DEL
ALUMNO
Calcula los valores de las potencias siguientes: a) i 19
1.
Dado el punto P (4, 3), ¿cuáles son las coordenadas del punto P’ simétrico de P respecto del eje de abscisas? ¿Y las del punto P’’ simétrico de P respecto del origen de coordenadas? Dibújalos.
b) i 29 c) i 56 a) Dividimos 19 entre 4 y obtenemos de resto 3; por tanto, 19 3 i i i
Las coordenadas son P’ (4, 3) y P’’ (4, 3).
b) Dividimos 29 entre 4 y obtenemos de resto 1; por tanto, 29 1 i i i
Y P
c) Dividimos 56 entre 4 y obtenemos de resto 0; por tanto, 56 0 i i 1
2
4
O
2
3
2
4
X
2 P’’ 2.
P’
Dados los vectores fijos de origen O y extremos P ( 5, 2) y P’ (5, 2), ¿cuáles son sus módulos? ¿Qué ángulos forman con el semieje positivo de abscisas?
OP 52 2 2 29, el vector OP forma con el semieje OP’ 52 ( 2)2 29, el vector OP’ forma con el se
1
1 2 2 1 12 1 2 1 2 4.
x 9 0
x x 0
h) z
d) 1/ z
i) z ’
e) 1/ z’
j) z z’
c)
3 2i 3 2i 4 i 10 11 i z ’ 4 i 4 i 4 i 17 17
d)
e)
z
1 1 3 2i 3 2i 3 2 i z 3 2i 3 2i 13 13 13 1
z ’
1 4 i 4 i 4 i
4 i 17
4 17
1 17
i
i) z ’ 4 i j) z z’ (3 2i ) (4 i ) 12 3i 8i 2 10 11i 4
Calcula: a) (2 2i )6
2
x 6 x 9 0
b) (3 4i )3
¿Qué tipo de soluciones tiene cada una?
c) z / z’
h) z 3 2i
1 2
2
g) z’
g) z’ 4 i
Indica el discriminante de cada una de estas ecuaciones: 2
b) z z’
f) z 3 2i
Racionaliza la expresión . 1 2 Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: 1
f) z
b) z z’ (3 2i ) (4 i ) 12 3i 8i 2 14 5i
2 mieje positivo de abscisas un ángulo arctg 5 21,801 4° ⇒ 180° 21,801 4° 201,801 4°
3.
a) z z’
a) z z’ (3 2i ) (4 i ) 7 i
2 positivo de abscisas un ángulo arctg 21,801 4° 5
Dados los números complejos z 3 2i y z’ 4 i, calcula:
2
a) (2 2i )6 (2 2i )2 (2 2i )2 (2 2i )2 8i (8i ) (8i ) 512i
2
b) (3 4i )3 (3 4i )2 (3 4i ) (7 24i ) (3 4i ) 21 72i 28i 96 117 44i
x 9 0, su discriminante es 36 ⇒ x 9 3i, dos soluciones complejas.
x x 0, su discriminante es 1 ⇒ x ( x 1) 0, las soluciones son x 0 y x 1, reales.
x 6 x 9 0, su discriminante es 0 ⇒ x 3, solu-
2
5
Expresa los siguientes números complejos en forma polar: a) 3 2i
ción real doble.
b) 4i
Actividades 1
(páginas 115/125)
c) 5 (cos 20° i sen 20°) d) La unidad imaginaria positiva.
Calcula las soluciones de las ecuaciones en el conjunto : b) x 2 8 x 25 0
2 a) 3 2i ⇒ m (3)2 22 13; tg ⇒ 3 13146,3° ⇒ 146,309 9° ⇒
c) x 4 3 x 2 4 0
b) 4i 4270°
a) x 2 16 0 ⇒ x 16 4i ⇒ x 1 4i, x 2 4i
c) 5(cos 20° i sen 20°) 5(cos (20°) i sen (20°)) 520° 5340°
a) x 2 16 0
b) x 2 8 x 25 0 ⇒ x
8
64 100 4 3i 2
x 1 4 3i, x 2 4 3i
c) x 4 3 x 2 4 0, realizamos el cambio x 2 t, obtenemos entonces la ecuación de segundo grado t 2 3t 4 0 ⇒ t 4 y t 1, deshaciendo el cambio, se tiene: x 1 2, x 2 2, x 3 i, x 4 i
62
Trigonometría y números complejos
d) i 190° 6
Expresa el número complejo 3 (cos 150° + i sen 150°) en forma binómica. Sustituyendo sen 150° y cos 150° por su valor se obtiene: 3 3 3 3(cos 150° i sen 150°) i 2 2
7
Calcula el opuesto y el conjugado de los siguientes números complejos, expresándolos en forma polar:
12
El número 32 en forma polar es 32 0°.
1 a) z 1 3i b) z (cos 200° i sen 200°) c) z 415° 2
El módulo de las raíces quintas de 32 es 0° 1 0° 5
z 260°, z 2120° 3i 2300° ⇒ a) z 1
1 2
1 2
1 2
⇒ z
, z
160°
1 2
⇒
20°
a) z z’
c) z/z’
e) 1/ z’
g) z’
b) z z’
d) 1/ z
f) z
h) z
a) Para sumar los dos números complejos en forma polar es preciso, en primer lugar, expresarlos en forma binómica: z 375° 3 (cos 75° i sen 75°) 0,78 2,90i
1
z ’
10° 1 z 375° 3
Representa gráficamente estos números complejos e indica cuáles son imaginarios puros y cuáles reales:
3; Reales: Imaginarios puros: 7i y 3y3
55°
1 3 75° 1 10° 1 1 e) z ’ 420° 4 20° 4 d)
1
3 4
0° 1440° 288° 5
1 5 3 4i, 7i, 3, 3, 1 i, 1 i, i, 3 4 2
b) z z ’ 375° 420° 1295°
0° 720° 144° 5
5
Números imaginarios. Forma binómica. Representación gráfica
z z’ (0,78 2,90i ) (3,76 1,37i ) 4,54 4,27i z
3
0° 1080° 216° 5
Ejercicios y problemas (páginas 131/133)
z’ 420° 4 (cos 20° i sen 20°) 3,76 1,37i
375° /420°
0° 360° 72° 5
4
Las raíces quintas de 32 son: 20° , 272° , 2144° , 2216° , 2288°
Dados los números complejos z 375° y z’ 420º , calcula:
c)
2
200°
z 415° , z 4165° c) z 415° 4345° ⇒ 8
1 i
285°
3
3
i
3 1
1 i
340°
1 5 i 4 2
f) z 375° 180° 3255° g) z’ 420° 180° 4200°
3 4i
z 375° 3285° h) 9
Calcula la potencia cuarta del número complejo 3 3i , expresándolo previamente en forma polar. 3 3 3i ⇒ m 32 ( 3)2 18; tg ⇒ 315° 3
7i 2
Escribe los conjugados y los opuestos de: 1 1 3 i, 2 4i, 5i, i 2 3
4
(3 3i )4 18315° 324180° 10
5
32 2.
Y sus argumentos:
Expresamos en primer lugar los números complejos en forma polar:
b) z (cos 200° i sen 200°)
Calcula las raíces quintas de 32.
Calcula (4 2i )5, expresándolo en forma polar.
1 1 Conjugados: 3 i , 2 4i , 5i , i , respectivamente. 2 3
2 22 20; tg ⇒ 4 2i ⇒ m (4)2 4 ⇒ 153,43°
1 1 Opuestos: 3 i , 2 4i , 5i , i , respectivamente. 2 3
5
(4 2i )5 20153,49° 800 547,17° 11
Calcula las raíces cúbicas del número complejo 8 8i .
Representa gráficamente el conjugado y el opuesto de los siguientes números complejos:
Expresamos, en primer lugar, el número 8 8i en forma polar:
a) z 4 3i
c) z 4
e) z 3 4i
8 8 8i ⇒ m 82 ( 8)2 128; tg ⇒ 315°; 8 8 8i 128315°
b) z 7i
d) z 1 2i
f) z 0
3
El módulo de las raíces cúbicas de 8 8i será: 128 128 2 2 3
6
6
Y sus argumentos: 315° 1 105° 3
7i 3 4i 4 3i 1 2i 4
1 2i
i
0
315° 360° 2 225° 3
3 4i
4 1
1 2i
315° 720° 3 345° 3
4 3i
4 3i
3 4i
Las tres raíces cúbicas de 8 8i son: 6
6
6
2 2105° , 2 2225° , 2 2345°
7i
5. Números complejos
63
¿Qué tienen en común los números complejos de afijos (4, 0), (4, 0), (0, 4) y (0, 4)? ¿Por qué?
4
Operaciones con números complejos en forma binómica 8
Están situados sobre los ejes de coordenadas a igual distancia del origen. Su módulo vale 4. 5
a) (2 3i ) (7 4i )
Resuelve las siguientes ecuaciones:
b)
a) x 2 36 0
c) x 3 27 0
c)
b) x 2 36 0
d) x 2 4 x 5 0
2 5i 2 5 5i
b) x 2 36 0 ⇒ x 3 6 ⇒ x 6, las dos soluciones son reales.
c) 2 2 4 5i 9
c) x 3 27 0 ⇒ x 2 7 3, que es una solución real, pero en el campo de los complejos esta ecuación tiene tres soluciones, que son:
b)
30° 3
10
4 4 ⇒ 2 i 2
De forma análoga al último apartado del ejercicio anterior:
Efectúa las siguientes operaciones:
28 42 b) i 13 13 11
Realiza las siguientes operaciones: a) [(3 2i ) (3 i ) (1 2i ) (1 2i )] (5 4i ) 2 b) 3 i
Sus dos soluciones son complejas.
c)
(1 3i )2 2 (1 3i ) 10 1 6i 9 2 6i 10 0
d)
1 5 i
(1 3i )2 2 (1 3i ) 10 1 6i 9 2 6i 10 0
a) x 2 1 0
c) x 2 4 x 29 0
b) x 4 81 0
d) x 3 5 x 2 4 x 20 0 2
2
b) x 81 0 ⇒ x 81 ( x 9)( x 9) ⇒ x 1 3i , x 2 3i , x 3 3, x 4 3
b)
d)
5
0
20
0
4
0
5 1
2
5 i a b i el inverso de a bi . a b a b
13
a bi a bi a b 1 a bi a bi a b a b a b 3 2i 2 3i Calcula z . i 2 i 1 2i 3 2i 2 3i 2 4i 8 i 10 12i z 3i i 2 i 1 2i 5 5 5
2
2
2
2
1 a bi
14
Dados los números complejos 3 bi y a 2i, calcula a y b para que su producto sea 7 4i. (3 bi )(a 2i ) 7 4i ⇒ 3a 6i abi 2b 7 4i
⇒
3a 2b 7
⇒
El polinomio dado lo podemos factorizar: 3
1 5
2 2 2 2 2 2 i
Primero aplicando Ruffini tenemos: 20
3 5
i
Demuestra que es
d) x 3 5 x 2 4 x 20 0 4
i
12
5
2i c) 1
4 16 1 16 4 10i c) x 2 4 x 29 0 ⇒ x ⇒ 2 2 2 5i , x 2 2 5i
i
a) 42 9i
Determina las soluciones, en el campo de los números complejos, de las siguientes ecuaciones:
1 i a) x 2 1 0 ⇒ x
2
x 5 x 4 x 20 ( x 5)( x 4)
La soluciones de la ecuación polinómica dada son: x 1 5, x 2 2i , x 3 2i
64
2 i
Para comprobar que, efectivamente, son soluciones de la ecuación sustituimos:
1
2
a) 3 3i
2 36 x 2 x 10 0 ⇒ x ⇒ x 1 3i 2
⇒ x 1
d) 2 2i
4 2i b) (2 2i ) 2 3i
Resuelve la ecuación x 2 2 x 10 0 y comprueba que las raíces obtenidas la verifican.
4
a) (3 2i ) (3 i ) (1 2i ) (4 2i )
Por tanto, sus dos soluciones son complejas.
4
3 4
2i
d) 4i
3 3 3 3240° i 2 2
7
c) 4
3 3 3 3120° i 2 2
2
1 2
i
3 i 3 i
19 1 b) i 8 4
3
d) x 2 4 x 5 0 ⇒ x
c)
a) 21 i
x 270°
(2 7 0°)
Calcula los siguientes productos: a) (2 3i ) (3 5i )
3
3
3 2
i
b) 2 4i
3 6 ⇒ x 6i , las dos soluciones a) x 2 36 0 ⇒ x son imaginarias.
x
1 2
3i
a) 5 i
¿A qué campo numérico pertenecen las soluciones?
6
Efectúa las siguientes sumas en forma binómica:
Trigonometría y números complejos
2 6 ab 4 → a b
Sustituyendo tenemos: 6
2b 7 ⇒
b
2b2 7b 6 0 ⇒
b 2 ⇒ a 1 b 3/2 ⇒ a 4/3
15
Calcula:
22
(1 i )2 (1 i )
a)
2
a) 1 16
2
b)
(2 ) (1 2 ) 2
b)
i
i
i
i
7 5
Operando se obtiene: x i 2 i 2 x 1 2 x i 5 2 i 2 i 5
24 5
Calcula: a) i 33
b) i 185
c) i 186
x i Calcula el cociente y determina el valor de x para que 2 i el módulo del complejo resultante sea 2.
d) i 64
Si el módulo debe valer
f) i 2
e) 1/i 5
a) i 33 i
2
b) i 185 i c) i 186 i 2 1 d) i 64 i 0 1 e)
1
1
i
i
i 1
23
5 i
17
1
Sustituyendo: 24
Determina el valor de a para que (a 5i ) sea un número imaginario puro.
Calcula el número real a para que el número complejo 3 2ai z esté situado en la bisectriz del primer cuadrante. 4 3i
3 2ai 4 3i 4 3i 4 3i
⇒
(12 6a) (9 8a)i 25
Forma polar de un número complejo
b) Un número imaginario puro.
25
(3 bi ) (3 5i ) 9 15i 3bi 5b
¿El producto de dos números complejos es un número real?
a) Para que sea real: 9 5b 0 ⇒ b 9/5
a) Si son conjugados, sí.
b) Para que sea imaginario puro: 15 3b 0 ⇒ b 5
b) Si son opuestos, sí.
Halla el valor de k para que el número ginario puro.
c) El producto de dos números complejos nunca puede ser un número real.
4 k i 563 i sea ima3 i
Indica y razona la respuesta correcta.
4 k i Si i 563 es imaginario puro, su parte real debe ser nula. 3 i i 3 i , por lo tanto, si operamos:
4 k i 3 i 3k 4 (k 12)i (i ) 10 3 i 3 i 4 3k 4 0 ⇒ k 3 3 2 xi Calcula el valor de x para que el complejo : 4 3i
a) Si son conjugados, sí, ya que m m m20, que es un número real. 26
b) Tienen módulos proporcionales. c) Su cociente tiene como módulo 1. Indica y razona la afirmación correcta.
c) Tienen el mismo módulo, luego su cociente tiene de módulo 1.
a) Sea imaginario puro. b) Sea un número real.
27
c) Tenga su afijo en la bisectriz del primer cuadrante.
28
8 x 9 0 ⇒ x 9/8
12 6 x 8 x 9
⇒ x 21/2
¿Se puede decir que un número complejo es real si su argumento es ? Si su argumento es el número complejo está situado sobre el eje real, en el semieje negativo.
b) Si ha de ser real, su parte imaginaria debe ser nula: c) Si su afijo debe estar en la bisectriz del primer cuadrante, deben ser iguales la parte real y la imaginaria:
¿Qué tipo de gráfica forman los afijos de los números complejos que tienen el mismo argumento? Forman una recta de pendiente la tangente del argumento de los complejos.
12 6 x (8 x 9)i 25
a) Si ha de ser imaginario puro, su parte real debe ser nula: 12 6 x 0 ⇒ x 2
Si dos números complejos tienen el mismo afijo: a) Tienen el mismo argumento.
3 2 x i 4 3i 4 3i 4 3i
⇒
⇒ 12 6a 9 8a ⇒ 14a 3 ⇒ a 3/14
Halla b para que el producto (3 bi )(3 5i ) sea: a) Un número real.
21
2(1 i ) 1 i
Para que un número complejo tenga su afijo en la bisectriz del primer cuadrante, sus partes reales e imaginarias deberán coincidir:
(a 5i )2 a2 10ai 25 Para que sea imaginario puro la parte real a2 25 0 ⇒ a 5, a 5
2 2 i 1 i
2
2
563
Si es real: 2 x 1 x 0 ⇒ x 1
i
2
2 x 5
2
20
5 x 2 5 2 ⇒ 5 x 2 45 0, x 3 25 2 (1 x ) i El número es real, calcúlalo. 1 xi
19
2
2 (1 x )i 1 x i 2 (1 x ) x (2 x 1 x )i 1 x 1 xi 1 x i
6 mi Determina el valor de m para que el cociente sea 1 i igual a 1 5i. 6 mi 6 mi 1 i 6 6i mi m 1 i 1 i 1 i 2 6 m 2 ⇒ m 4 6m 6m i 1 5i ⇒ 6 m 10 ⇒ m 4 2 2
18
2 x 1 5
Operando se obtiene:
1 f) i 2 1 i 1 2
2, tenemos:
29
Si z m , ¿qué relación tienen con z los números comple jos m 180° y m?
z m 180° y z m 5. Números complejos
65
30
¿Qué relación existe entre el argumento de un complejo y el de su conjugado? ¿Y con el de su opuesto?
33
c) 2i
e) 2i
g) 2 2 i
b) 2 2i
d) 2 2i
f) 2
h) 2
3 1 b) 1 /6 cos i sen i 6 6 2 2
1 O
1
2
3 2 3 2 e) 3 /4 i 2 2
34
2i
4 4 d) 84 /3 8 cos i sen 4 4 3i 3 3
2 2i
i
2 2i
e) 3
4
c) 2 2(cos i sen ) 2
2i
2
b) 1
3
6
3 3 3 2 3 2 a) 33 /4 3 cos i sen i 4 4 2 2
2 2i
4 d) 8
c) 2
Calcula el módulo y el argumento de los siguientes números complejos, representándolos previamente: a) 2 2i
3 a) 3 4
El argumento del conjugado difiere en 180° y el del opuesto es el mismo cambiado de signo. 31
Expresa en forma binómica estos complejos:
2 2i
Expresa en forma binómica los siguientes números complejos:
5 5 a) 2 cos i sen 3 3
3 3 b) 3 2 cos i sen 4 4
2 a) z 2 2i ⇒ m 8 2 2, tg (1) ⇒ 2 ⇒ 315°, puesto que su afijo está en el cuarto cuadrante.
c) 3 (cos 3 i sen 3)
2315° 2 27 /4
2, tg
⇒ m2
3 3 b) 3 2 cos i sen 3 3i 4 4
2 1 ⇒ 2
rad, puesto que su afijo está en el primer 4
c) 3(cos 3 i sen 3) = 2,97 0,42i
⇒ 45°
cuadrante.
5 5 a) 2 cos i sen 1 3i 3 3
z 2
b) z 2 2i
245° 2 2 /4
z 2
35
Representa gráficamente estos números complejos: a) 3 2i
c) z 2i ⇒ m 2, 90° rad ⇒ z 290° 2 /2 2
b) 4 2i
5 d) z 2 2i ⇒ m 2 2, 225° rad ⇒ 4 ⇒ z 2 2 2 2 225° 5 /4
d) 4 i
c) 1 3i e) 445°
3 e) z 2i ⇒ m 2, 270° rad ⇒ z 2270° 23 /2 2
f) 3270° g) 2 (cos 150° i sen 150°) h) 2 (cos 45° i sen 45°)
f) z 2 ⇒ m 2, 0° 0 rad ⇒ z 20° 20 2 g) z 2 2i ⇒ m 2 2 , tg 1 ⇒ 2 ⇒ 135°, puesto que su afijo está en el segundo cuadrante.
4 2i
2135° 2 23 /4
i
z 2
h) z 2 ⇒ m 2, 180° rad ⇒ z 2180° 2 32
Expresa en forma polar y trigonométrica los siguientes complejos: a) 2 2 2 2i
c) 4 4 3i
b) 4i
d) 3 3i
O
1
3 2i 1 3i
445°
5 5 a) z 2 2 2 2i 45 /4 4 cos i sen 4 4
2
4 i
2 (cos 150° i sen 150°) 2150°
b) z 4i 4 /2 4 cos i sen 2 2
1
5 5 c) z 4 4 3i 85 /3 8 cos i sen 3 3
3
4
5
2 (cos 45° i sen 45°) 2315°
d) z 3 3i 3 2 /4 3 2 cos i sen 4 4
66
2
Trigonometría y números complejos
3270°
36
Calcula el conjugado, el opuesto y el inverso de los números complejos del ejercicio anterior.
Operaciones con números complejos en forma polar 38
Resuelve los siguientes productos:
a) z 3 2i a) (3)3 (2)
z 3 2i
4
z 3 2i
1
3
3
i 13 13 z
c)
b) z 4 2i
c)
2
1
1
z 1 3i
d) 4 /12 25 /18
1
39
a)
1 4
315°
40
z 390°
270°
1 3
90°
c)
6 250°
30°
d)
12 i 30°
z 2(cos
Calcula:
b) 3 i
b)
1
(cos ( 150°) i sen (150°)) 2 z
1 (cos 210° i sen 210°) 2
c)
(cos 135° i sen 135°)
m2 1 6
25
50
2
4
2
⇒ m
9 ⇒ m 3
Por tanto, los números complejos serían 3 4i y 3 4i .
2
2
3 16i
1
1
2
2
1
2
i 3
d) (2 i )
1
2 5 5 dulo de i . Mediante este procedimiento obtene2 2 mos el valor de m:
2
d) (2 i )3
5
16
z 2 (cos 45° i sen 45°)
2 5 5 tenga el mismo módulo que i . 2 2 Hallamos primero el módulo de m 4i y lo igualamos al mó-
4
1 2
3 i 3 i 3 i 3 i 3 2 3i 13 2 3i 1 3 i 2 2 2 3i 3 i 8 8 3 i 3 i
h) z 2(cos 45° i sen 45°) 2(cos 315° i sen 315°)
Calcula el valor de m para que el número complejo m 4i
5
1 2
i
2
330° i sen 330°)
1 (cos (315°) i sen (315°)) 2 z 1 (cos 45° i sen 45°) 2
c)
(3 2i )2(3 2i )2 (9 12i 4)(9 12i 4) (5 12i ) 25 120i 144 119 120i
a) (3 2i )
z 2(cos 150° i sen 150°) 2(cos 210° i sen 210°)
2
2 2
a) (3 2i )4
g) z 2(cos 150° i sen 150°)
37
b)
i
z 390°
z 2
3
1230° d) 1260° 12300°
z 3270°
1
49 /36
630° c) 320° 3340° 250°
45°
8 3
2 b) 10 2
4315°
z 4225°
z
10 /3 a) 50 2 /3
z 445°
1 3
1 3
3
4 i 17 1 7 z
1
10
1
z
12 10
Calcula los siguientes cocientes:
z 4 i
1 4
5 /3
f) 6 215° 60° 215° 1215°
3
z 4 i
1
3
3 545° 3180° 545° 15225°
d) z 4 i
45°
e) (2 2i ) 2 /3 2 2 /4 2 /3 47 /12
i z 10 10
z 4
3
f) 6 215°
c)
1
18
1
2 e) (2 2i )
5 3
3 545°
i i 20 20 5 10 z
z 1 3i
f)
2 2
z 1 3i
e)
2 b) 2 /3 2
z 4 2i
4
12
a) 33 /4 2 /6 611 /12
z 4 2i 1
6
2 b)
2
d) (4) (2)5
i
2
(2 i )
2
(2 i ) (4 4i 1)(2 i ) 6 3i 8i 4 2 11i
(3 4 i )(2 i )
41
Calcula:
a) (1 2i )52 b)
c)
1 i 3
12
3 3 d) 3 i 5
1 i 52
a) (1 2i )
4
81i
5296,57°
52
526296,57° 52 526301,64°
b)
c)
81270° ⇒ 367,5°; 3157,5°; 3247,5°; 3337,5° 81i
d)
3 30 3 i 3
1 i 3 1 i
4
12
2
0° 6 2315°
12
26(60° 315°) 12 26180° 64
4
5
5
18,43° ⇒
10
⇒
10
10
10
10
303,69°; 3075,69°; 30147,69°; 30219,69°; 30291,69°
5. Números complejos
67
Calcula el módulo y el argumento de:
42
3
45
4
1 3i 3 i 3 i i 31
3 b) i c) 2 2i d) 625 e) 8 i f) 2 4 3 a)
Calculamos cada factor paso a paso, trabajando en forma polar: ( 1 ) 3i ⇒ m 3 4 2 tg 3 ⇒ 120°, puesto que el afijo está en el se2
z 1 1
Calcula las siguientes raíces:
2
( 3)
4 3
gundo cuadrante.
5
Por tanto:
60°
3
1 3i z 2
3
(2120°) 8360° 80°
3 i ⇒
a) Hay dos raíces con módulo 3 1 2 6
m 2
1 tg ⇒ 30°, puesto que el afijo está en el primer 3 cuadrante. Por tanto:
3 i z 3
4
7 2 6
2
m 2
Por tanto, las raíces son:
1 tg ⇒ 330°, puesto que el afijo está en el cuar 3 to cuadrante.
3
y 37 /6
/6
b) Existen dos raíces cuadradas de i:
Por tanto:
1 i
3 i 2
270°
330°
31
3
2
(230°)4 16120°
3 i ⇒
3, y argumentos:
1135°
3
z 4 i i i
1 270°
Sustituyendo y realizando las operaciones que se indican, se obtiene:
1315° 4
z 1 z 2 z 3 z 4 80° 16120° 2330° i 256450° i 25690° i 256i i 255i
c) 2 2 i
Por tanto: m 255, 90°
8157,5°
( 8 ) 315°
4
8337,5° 5 /4 53 /4 55 /4 57 /4
Resuelve las siguientes potencias:
43
a)
4
3
b) cos i sen 6 6
3
4
6 2 5 6 2 5 π d)
3
4
50
c) 13 2
4
3 /3 94 /3 a)
b) cos i sen 6 6
3
3
2 /6 25 /6 29 /6
3
8 i 8 /2 e)
cos i sen 2 2
c) (13 /2)50 175 1 Representa gráficamente las seis primeras potencias del número z 2 2i.
44
1
2
2
5
z 128
315°
2
945°
1 575°
2135° 128
6
z 8630° 8270° z 16
60°
z 641 260° 64180°
2 3
5
2 4 3
4
z 2 2i z 2
f)
312° 384° 3156° 3228° 3300°
z 5121 890° 51290°
46
Calcula: a)
2225° 16
1 3i 5
b) (1 i )5/4
3
51290º
c)
d) a)
1 i 1 3i
3 3 3 i
1 2 3i 5
5
b) (1 i )5/4
⇒
5/4
68
5
8
2 2 1 1 i ⇒ 8 4 (2 ) 1 3i ⇒ 1/2 ; 1/2 ; 1/2 ; 1/2 ; 1/2 ; 1/2 6
2
6
135°
6
3
3
3
6
270°
90°
180°
3
3
75°
3
135°
195°
255°
3
2 2315º 8270º
5
; 2228°; 2300°
156°
393,75°
15°
16 2225º
5
84°
60°
128 2135º
64360º
5
12°
315°
3
c)
5
2 ; 2 ; 2 2 32 60°
315°
Trigonometría y números complejos
d)
3 3 3
i
4
4
4
6 ⇒ 6 ; 6 60°
15°
4
4
; 6195°; 6285°
105°
47
Problemas de aplicación
Resuelve las siguientes ecuaciones: 4
a) z
2
d) ( z 1)
81 0
4
2
2 z 1 0
e) z
6
32 z 0
f) z
b) z
c) z
25 0
2
(3 i ) (2 2i ) 0
3
z 15 z 17 0
48
a) 5/4
2
a) z 81 0 debe tener cuatro soluciones en el campo de 4
4
2
49
2 ± 4 4 1, que es 2
32) 0 ⇒ z 0 y z 3 2. Calculamos las raíces quintas de 32, expresando previamente este número en
2
50
( z 1)2 25 ⇒ z 1 2 5 ⇒ z 1 ± 5i
, sustituyendo tenemos:
360° 2
1
m
2
:
1 8
30°
2
⇒
1 2 y 360° 2 30° 270° 8
m
m
m’
m’
⇒
60°
m 3m’
5 3i , por lo que: z ( 5 3 i )
Expresamos el radicando en forma polar y averiguamos las dos raíces que serán las soluciones de la ecuación.
m2
y 30° k
⇒
m m’ 4
30°, 30°
m’ 1, m 3
Los números son 3 30° y 130°. 51
Calcula dos complejos cuyo cociente es 4, sus argumentos suman 40° y la suma de sus módulos es 14.
Sean los complejos m y n. Su cociente es 4, es decir 4 0°, por lo que tenemos: m
4
3 474,52° 0,64 2,33i
4 y 0° n
4
3 4254,52° 0,64 2,33i
La suma de sus argumentos es 40°, por lo que tenemos: 40°
Así pues, las dos soluciones de la ecuación son: 0,64 2,33i y 0,64 2,33i 2
f) z z 15 z 17 0, esta ecuación debe tener tres solu-
ciones complejas. Por Ruffini obtenemos la primera solución: z 1 10° 2
El cociente, z 2 z 17 0, debe tener dos soluciones. 2 64
2 8i z 1 4i 2
2270°
0°
e) z 5 3i 0. Debe tener dos soluciones complejas.
3
360° 180°
Determina dos números complejos z 1 y z 2 sabiendo que su cociente es 3, que la suma de sus argumentos es /3 y que la suma de sus módulos es 4.
1 5i y 1 5i
m
3 ⇒ 3 y 0°
Es decir, las dos soluciones son:
( 5 3 ( i ) 3 4 14 9,0 4°)
2
1
Así pues, los complejos son: 230° k 360° ,
campo de los complejos.
3 3 4, tg ⇒ 149,04°, pues su afijo está en 5 el segundo cuadrante. Por tanto:
2270° .
m180°
de lo que se obtiene:
2
m
1
:
m
d) ( z 1) 25 0. Esta ecuación tiene dos soluciones en el
z
2
2
1
⇒
30°
360° 2
236° 2108° 2180° 2252° 2324°
2 1 1 : 8 (m)
2
m
forma polar: 32180°.
2
1 (m)
1
Las seis soluciones son 0, 236°, 2108°, 2180°, 2252° y 2324°.
315°
5
5
1
Halla los complejos que cumplan que el cuadrado del inverso del opuesto dividido entre (1/8) 30° dé 2i.
Como
los complejos.
(3 2 18 0°)
1
6
z
90°
2 2i 8 8315°
cumplen que
c) z 32 z 0, debe tener seis soluciones en el campo de 5
1 6
Si z m , el enunciado pide averiguar los complejos z que
Pero z 1, con lo que las soluciones de la ecuación son: i y i , ambas dobles.
z ( z
Los módulos de un número complejo y de su inverso son inversos y los argumentos opuestos.
2
z
1 690°
1
c)
ro en el campo de los complejos. Hacemos x z 2, con lo que x una solución doble.
/4
b)
345° 3135° 3225° 3315°
b) z 2 z 1 0, trabajamos como con las bicuadradas, pe-
1 5
1 6i
con lo que las soluciones son las raíces cuartas de este número complejo:
8 1180°
c) 2 2i
a)
8 1. Escribimos 81 en forma polar, esto es, 81180°,
z
1 5 /4
los complejos.
4
b) 6i
¿Qué relación hay entre los módulos de un número complejo y los de su inverso? ¿Y entre los argumentos?
4
z
Calcula el inverso de estos números complejos:
2
Así pues, las tres soluciones de la ecuación son: 1, 14i y 14i
La suma de sus módulos es 14: m n 14 Agrupando las ecuaciones deducidas del enunciado en función de sus incógnitas, se obtiene: 56 14 m /n 4 ⇒ m , n m n 14 5 5
0° 40°
⇒
20°, 20°
Por lo que los complejos buscados son: m
56 5
20°
14 y n 5
20°
5. Números complejos
69
52
Calcula dos números complejos tales que su producto sea 8i y uno de ellos sea el cuadrado del otro.
56
Calcula todos los números complejos que cumplan que el cuadrado de su inverso sea el opuesto de su conjugado. Hay que encontrar la expresión de z , tal que:
Sean los complejos m y n. Su producto es 8i , es decir, 8 /2:
z
2
2
1
m (n) (n )2 ⇒ m n y 2
m
Agrupando las ecuaciones deducidas del enunciado en función de sus incógnitas, se obtiene:
mn8 2 mn
⇒ m 4, n 2
/2 2
⇒
2
(m360° ) m180°
1 2 y, como:
m
1
2 m
2(360° )
2
3
m 1 n 3
z 1180° k 360°, k 57
3
m 1 ⇒ y 3 0 0° n 3
3
(a bi ) 2 2i 4(cos 315° i sen 315°)
Dos números complejos tienen el mismo módulo, sus argumentos suman 50° y uno de ellos es el conjugado del cuadrado del otro. Calcúlalos.
m 2, tg 1 ⇒ 135°, puesto que el afijo está en el
segundo cuadrante. 3
Por tanto: 2 2i (2135°)3 8405° 845° 8(cos 45° i sen 45°)
Sean los complejos m y n. Del enunciado se deduce: m n, 50° 2
2
Aislando el complejo buscado:
2
m [(n) ] [(n )2] (n )360° 2 ⇒ m n , 360° 2
a bi 4(cos 315° i sen 315°) 8(cos 45° i sen 45°)
Agrupando las ecuaciones deducidas del enunciado en función de sus incógnitas, se obtiene:
mn 2 mn
50° 360° 2
4 2 2
⇒ m 1, n 1
2
2 2
2
2
b 4 sen 315° 8 sen 45° 4 8 6 ⇒ 260° 100°,
310°
Buscamos el módulo m 4 5 tg 3 ⇒ 251,57°. Con esto el número complejo buscado es:
Determina los números complejos que cumplan que el cubo de su conjugado coincida con su opuesto. Hay que hallar la expresión de los complejos tales que el cubo de su conjugado coincida con el opuesto, es decir: 3 z ) z ( Si z m , el enunciado se traduce en: (m360° )3 m180° ⇒ m 3 m y 3(360°) 180° m 1, puesto que no consideramos la solución trivial m 0, y m 0.
3(360° ) 180° ⇒ 225° k 360°, k Por tanto los complejos buscados son: z 1225° k
360°
2
Es decir: a bi 2 2 6 2i
m 1100° , n 1310°
70
8 2 2
a 4 cos 315° 8 cos 45° 2
Con lo que los complejos son:
55
3
Primero se calcula la potencia del binomio 2 2 i , para lo cual es conveniente usar notación polar:
m 1 /8, n 33 /8
2
3
Encuentra el número complejo que sumado a 2 i 2 da como resultado 4 (cos 315° i sen 315°). Expresa la solución en forma polar, binómica y trigonométrica. Dado que hay que sumar, es conveniente trabajar en notación binómica o trigonométrica.
Con lo que los complejos son:
Una de las raíces cúbicas de un número complejo es 8 i . Calcula dicho número y las otras raíces. Dado que 8 i 890° es una de las raíces cúbicas, z (890° )3 512270°, y haciendo uso de la interpretación gráfica de la radicación en los complejos, se puede deducir que las otras dos raíces son: 8210° y 8330°
58
⇒ m 1, n 3
k
Por tanto, los complejos buscados son:
3 2 ⇒ , 8 8 3 0
54
m
m 1 y 180° k 360° ,
Agrupando las ecuaciones deducidas del enunciado en función de sus incógnitas, se obtiene: mn3
1 m180° ⇒ 2 m
de lo que se deduce que:
m n 3 /2 ⇒ m n 3 y
2(360° )
y 720° 2 180°
Sean los complejos: m y n. Del enunciado se deduce que:
1 n 3
m
360°
El producto de dos números complejos es 3 i, y el cubo de uno de ellos dividido por el otro es 1/3. Calcúlalos.
3
1 2
tenemos:
m 4 /3 y n 2 /6
m
2
1
m
, 3 6 Con lo que los dos complejos buscados son:
53
z
Si z m, esta igualdad se traduce en:
Uno de ellos es el cuadrado del otro: 2
2
1
2
m n 8 /2 ⇒ m n 8 y
, k
Trigonometría y números complejos
2 6 2i (4 5)
a bi 2
251,57°
5(cos 251,57° i sen 251,57°) 4 59
Dados tres números complejos, z 1, z 2 y z 3, sabemos que z 2 es el conjugado de z 1 y que z 3 es el conjugado del opuesto de z 2. ¿Cómo son entre ellos z 1 y z 3? La transcripción del enunciado es: z 2 z 1
z ( z ) 3
2
Se deduce que la relación entre z 3 y z 1 debe ser:
z 3 [( z 1 )] z 1
60
Calcula sen 4 y cos 4 utilizando la fórmula de De Moivre.
63
La fórmula de De Moivre es: (cos i sen )n cos n i sen n
Los afijos de los puntos z 1 y z 2 forman un triángulo equilátero con el origen de coordenadas. Calcula z 2, sabiendo que z 1 4 5i :
Aplicamos la fórmula a una potencia de exponente cuatro:
Y
z 2
4
(cos i sen ) cos 4 i sen 4
z 1
Desarrollamos el primer miembro y se obtiene: (cos i sen )4 (cos i sen)2 (cos i sen)2 (cos2 2i cos sen sen2 ) (cos2 2i cos sen sen2 ) cos4 2i cos3 sen cos2 sen2 2i cos2 sen 4 cos2 sen2 2i cos sen3 sen2 cos2 2i cos sen3 sen4
O
Las coordenadas polares del punto (4, 5) son las siguientes:
4 1
51,34°
4 1
sen 4 4 cos3 sen 4 cos sen3
51,34°
Comprueba las fórmulas del seno y el coseno del ángulo doble demostradas en la UNIDAD 4 empleando la fórmula de De Moivre.
64
4 18,66° ⇒ (6,33, 0,96) 160°
Un hexágono centrado en el origen tiene un vértice en el punto (3, 3). Calcula los otros vértices.
De forma análoga al ejercicio anterior:
A partir de un vértice de un hexágono se pueden obtener los otros cinco multiplicando el complejo correspondiente al vértice dado por 1 60° .
(cos i sen )2 cos2 2 cos (i sen ) (i sen )2 cos2 (2 cos sen )i sen2
Por comodidad, en este ejercicio trabajaremos con notación polar:
Igualando:
(3, 3) es el afijo correspondiente al complejo 1 845° . Por tanto:
2
(cos i sen ) cos 2 i sen 2
2
1 8 1 8 1 8 1 8 1 8
2
cos 2 i sen 2 cos (2 cos sen )i sen
45°
con lo que: 2
2
cos 2 cos sen sen 2 2 cos sen 62
4 1111,34° ⇒ (2,33, 5,96) 160°
Observa que existe otro triángulo equilátero cuyo tercer vértice se obtendría imponiendo un giro de 60°:
4
cos 4 cos 6 cos sen sen
61
2
Imponiendo un giro de 60°, tenemos:
Por lo que: 2
2
5 tg ⇒ 51,34° 4
cos 4 i sen 4 cos4 6 cos2 sen2 sen4 (4 cos3 sen 4 cos sen3 )i 2
5 4 1 4
m
Igualando:
4
X
Tenemos un triángulo de vértices A(1, 1), B(2, 1) y C (3, 2), y lo giramos un ángulo de 30° con centro el origen de coordenadas. Calcula los vértices del triángulo girado.
65
1 8105° 160°
⇒ (1,1,
4,1)
105°
1 8165° 160°
⇒ (4,1,
165°
1 8225° 160°
⇒ (3,
3)
225°
1 8285° 160°
⇒ (1,1,
4,1)
285°
1 8345° 160°
⇒ (4,1,
1,1)
1,1)
Considera las siguientes aplicaciones en el plano:
Los vértices del triángulo son los afijos de los siguientes números complejos:
: giro de centro el origen y de amplitud 30°.
A(1, 1) ⇒ 1 i
: simetría respecto del eje de abscisas.
B(2, 1) ⇒ 2 i
: giro de centro el origen y de amplitud 60°.
C (3, 2) ⇒ 3 2i
3
Halla las coordenadas del punto que se obtienen al aplicar sucesivamente , , , , al punto (2, 3).
1 Girar 30° es multiplicar por 1 30° i . 2 2 Multiplicando los complejos que representan los vértices por
3
1 i , se obtienen complejos cuyos afijos son los vérti2 2 ces del triángulo resultado de girar 30°.
3
⇒
3 1 3 1
1 2
A’ (1 i ) i
2
3 1 , 2
i
3 2
1 2
1 356,31° 130° 1 386,31° ⇒ 1 3266,31° ⇒ 1 393,69° ⇒ 1 393,69° 60° 1 3153,69° (3,23, 1,59) ⇒
⇒
2 31 2 3 i 2 2
⇒
2 3 1 2 3 , 2 2 3 2
1 2
C’ (3 2i ) i ⇒
2
(2, 3) ⇒ 1 356,31°
31 2
B’ (2 i ) i ⇒
2
: simetría respecto del origen de coordenadas.
2 33 3 3 2 i 2 2
⇒
3 3 2 2 3 3 , 2 2
5. Números complejos
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