El Monopol Monopolio io
SOLUCIONARIO PROBLEMAS
Profesor Guillermo Pereyra
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1)
Una empresa posee la función de producción Q = 6K 0.5L 0.5, enfrenta la demanda de mercado Q = 100 100 – 5p y paga por c ada unid ad de insumo Pk = 8, Pl = 18. Determine el precio que cobrará si actúa como monopolista. Para Para determinar el precio d el monop olista oli sta aplicamos l a regla IMg IMg = CMg. La funci ón de Ingreso Margi Marginal nal se obtiene directamente de la funci ón inversa invers a de demanda demanda del mercado. Q = 100 – 5P P = 20 – Q/5. Q/5. Multip Mult iplilicando cando ambos lados de la ecuación ecuaci ón por el niv el de producc pro ducción ión Q, obtenemos la funció n de Ingreso Ingreso Total, IT 2 = PQ IT = 20Q – Q /5. El Ingreso Margi Marginal nal es el el cambio cambi o en el el ingreso in greso to tal result ante del del incremento en la producción y en la venta de una unidad: ∂ IT ∂Q
= IMg = 20 – 2Q/5.
La funci ón de cos to marginal m arginal es del ti po CMg = f(Q). f(Q). Para Para determi determinarla narla vamos a emplea emplearr la funci ón de producció n y los precios de los factores. factor es. Se Se sabe sabe que la funció n de costo s de largo plazo es una función de los cost os más eficientes para para obtener obtener cualquier niv el de producci ón. En consecuencia, consecuencia, los elementos elementos de la función de costos respond en a la relación: TMgST TMgST = PL /PK. Como se sabe, la TMgST es igual ig ual a PMg L /PMg K . PMg L =
∂Q ∂ L
= 3(K/L)1/2; PMg K =
∂Q ∂K
= 3(L/K)1/2
TMgST = K/L
K/L
= PL /PK K/L = 18/8
K = 9L/4.
Podemos Podemos r eescribi eescribi r la func ión de pro ducción aprovechando aprovechando esta relación: Q = 6K 0.5L 0.5 = 6(9L/4) 0.5L 0.5 = 9L
Q = 9L
L = Q/9.
La funci ón de costo s de largo plazo del del monopol mon opolist ista a es es : CT = LPL + KP K CT = 18L + 8K CT = 18(Q/9) + 8(9L/4) CT = 2Q + 18L CT = 2Q + 18(Q/9) CT = 4Q. En consecuenci a el el costo co sto marginal margin al es CMg CMg = 4.
Igualando el Ingr eso Marginal co n el Cost o Marginal: 20 – 2Q/ 2Q/5 5=4 Q* = 40. Para Para hallar el el precio d el monop olista, oli sta, empleamos empleamos la func ión inversa i nversa de demanda del mercado: merc ado: P = 20 – Q/5 P* = 12. El grafico en la página que sigue ilustra la solución bajo el modelo de monopol mono polio. io. El monopo lista lis ta iguala el el IMg con el el CMg CMg y determina el nivel de prod ucci ón (en el el grafico, grafi co, parte de la intersecci ón de estas curv as y baja hasta intersectar el eje de cantidades). Determin Determin ada la cantidad que maximi za el beneficio del mo nopolis nopo lista, ta, se fij a el el precio pr ecio de acuerdo a éste éste nivel de pro ducción ducc ión (en el grafico , el el monopol mono polist ista a sube desde el eje eje de canti cantidades dades hasta encon encontrar trar la la func ión de d e demanda). demanda).
2)
La demanda de un producto está dada por Q = 250 – P/2. El bien es prod ucid o por una empresa cuya funció n de cost o tot al es CT CT = 200 200 + 2 20Q + 5Q . Determine Determine el precio y la cantid ad de equi equilib librio rio s i la empresa actúa como un monopol ista.
La función inversa de demanda del mercado es: P = 500 – 2Q. En el problema anterior anterior hallamos hallamos l a función d e ingreso marginal a partir partir de la función de ingreso total, la que a su vez, vez, la obtuvimos de la función inversa inv ersa de demanda. Pero Pero tratándose t ratándose de func iones ion es inversa de demanda lineales lineales se puede seguir un camino más corto . La función de Ingreso Marginal Marginal ti ene el mismo mis mo intercepto in tercepto co n el eje eje de precios precio s y su pendiente es el el dobl e de la pendiente de la funció n inversa inv ersa de demanda. demanda.
P = 500 – 2Q
IMg = 500 – 4Q.
La función de CMg es: CMg = 20 + 10Q. Aplicando la regla: IMg = CMg : 500 – 4Q = 20 + 10Q 2(34.29) = 431.42 3)
Q* = 34.29. El precio es: P = 500 – 2Q = 500 –
Si un m onopolis ta maximizador de beneficios enfrenta una curva de demanda lineal, cobra $10 por unidad vendida vendi endo 100 unidades, siendo sus c ostos variables unitarios $8 y los costos fijos totales $100, ¿cuál será el precio más bajo que el gobierno po drá fijarle compatibl e con una producción positi va?
Si el monopolista está maximizando beneficios, entonces aplicando la regla IMg = CMg Q* = 100 y P* = 10. Si el CVMe = 8
CV = 8Q
CMg =
∂CV ∂Q
= 8. El precio más bajo pos ible
que el gobierno pu ede impo nerle al Monopol ista es el precio bajo competencia. El gobierno buscando regular al monopol io l e impone saltar del punto de la curva de demanda donde P > CMg a un precio donde P = CMg. Como hemos encont rado que la funci ón de costo marginal es CMg = 8 P = 8 es el precio más bajo para que el mono poli sta mantenga una producci ón posi tiva. El gr afico que sigue muestra este comport amiento. 4)
la demanda).
¿Por qué se argumenta que un monopolio con costos medios i guales a los marginales fijará su margen de ganancia en relación inversa a la elasticidad de la demanda? (Demuestre que, bajo dicho supuesto, puede deducirse una fórmul a sencilla que liga el margen de ganancias con la elasticidad de
Si CMe = CMg y el monop olio bus ca maximizar el beneficio, enton ces: IMg = CMg IMg = CMe. Ahora bi en, el IMg =
P (1 +
Q ∂P P ∂Q
CMe − P =
∂ IT ∂Q
=
1 ) = P (1 + )
∂PQ ∂Q
CMe − P
ε
P
∂P ∂Q
IMg = P + Q
∂P
P
∂Q
P
=
1 P CMe = P (1 + ) = CMe = P + =
ε
P
= P + Q
ε
=
1
P − CMe
ε
P
ε
=−
1
.
ε
Se encuentr a que para el monop olista, cuando el CMg = CMe, entonces su margen de gananci a (P – CMe)/P es igual al n egativo d el inverso de la elasticidad precio de demanda. El signo negativo convierte en un valor posi tivo el lado derecho de la ecuación (recuerde que la elasticidad precio de demanda es matemáticamente un valor negativo). Si el monopo lista está operando sobre un tr amo de la curva de demanda del mercado don de la elasti cidad es -3 (P – CMe)/P = 33.33%. Pero si opera sobre un tramo donde la elsticidad es -6 (P – CMe)/P = 16.67%. Mientras más elástica la demanda del monopo lista menor su margen de ganancias; mient ras menos elástica la demanda del monopol ista mayor el margen de ganancias. 5)
Si se produce un in cremento en la demanda dirigida a un monopol ista, no será posible descartar como p redicción nin guna combinación de variación de precio y variación de cantidad como resultado de éste incr emento en la demanda, ya que podr á tener lugar cualqui er configur ación. Ante idénticas circunst ancias –incremento en la demanda- en competencia perfect a sólo cabría esperar una configur ación posible: inc remento en el precio y en la cantidad.” Comente.
Supongamos un mercado en competencia perfecta. Existe un precio y una cantidad de equilib rio. Ahora se produce un incremento en la demanda. El resultado es un i ncremento del precio y de la cantidad de equilibrio. ¿Qué ocurri ría en este mercado si la curv a de oferta no fuera resultado de la presencia de muchos empresarios competitivos, sino que la misma curva representa ahora la función de costo marginal de una sola empresa, un monopolio? El grafico de la izquierda muestra los r esultados en el caso del monopolio . La curv a de oferta de la industria competitiva ahora es la curv a de cost o marginal del monopol io (no se ha cambiado el nombre en el grafico, para que pueda comparar con el modelo comp etitivo). Se puede apreciar que en el monopolio los precios son mayores y las cantidades son menores, comparativ amente al modelo competitivo. Si la demanda se in crementa, se encuentra que el precio es mayor y la cantidad es mayor que cuando l a demanda no se había incrementado. Sin embargo el precio sig ue siendo mayor y la cantidad menor que en el caso competitivo cu ando la demanda se ha incrementado. Sin embargo, los modelos que se han presentado ti enen una restricción. Se refieren a
situaciones de mercado don de las funciones de demanda se desplazan paralelamente a sí mismas. Es decir qu e mantienen su pendi ente constante. ¿Qué sucedería si las f unci ones de demanda se desplazaran pero modi ficando su pendiente? ¿Por ejemplo si s e incrementa la demanda pero a su vez la pendiente gir a en el sentido de las manecillas del reloj? En el grafico de la izquierda se aprecia esta situación. La demanda inicial es D. Luego se prod uce un inc remento de D a D’ pero también un c ambio en la pendiente. Esto signif ica que existe un inc remento de la demanda hasta el nivel de prod ucci ón donde ambas func iones de demanda se int erceptan. A parti r de este nivel de produ cció n la demanda es menor a la origin al. Las funci ones de ingreso marginal son IMg y IMg’ respectivamente. Observe que el nivel de producción maximizador del beneficio se produce, inicialmente cuando IMg = CMg. Esto determina el precio de monopol io P* y la cantidad de monopol io Q*. Ahora observe que cuando la d emanda salt a a D’ l a rel ación IMg’ = CMg determina el mis mo ni vel de producci ón, es decir, Q* = Q**. ¿Pero qué pasa con el precio? P** > P*. En consecuencia un in cremento en la demanda no siempre impl ica que el precio y la cantidad se incrementan. Para este caso el incremento en la demanda incrementa el precio pero no la cantidad. Este resultado se explica porqu e en mon opolio los beneficios dependen tanto de los c ostos (la función de costo marginal) como de la demanda. Por esta razón no s e habla de una funci ón de oferta en monop oli o. Un solo nivel de produ cción puede tener precios di ferentes dependiendo de la demanda. Puede ocur rir también al revés. Que para demandas diferentes exista un solo precio de monopolio pero dos cantidades di stintas de producción. El grafico de la izquierda muestr a esta situación. La demanda gira ahora en sentido contr ario a las manecillas del reloj para pasar de D a D’. Las funciones de ingreso marginal son IMg y IMg’.
Inicialmente bajo la condic ión IMg = CMg, el mon opol ista produce Q* al precio P*. Cuando la demanda salta a D’ la condición IMg’ = CMg ll eva al mono poli sta a producir Q**, más que antes, más que Q*, pero el precio n o cambia. P** = P*. En consecuencia, si la demanda del monopo lista cambia podrían cambiar los p recios o no, podr ían cambiar las canti dades o no. Esto depende de la función de demanda. Por lo t anto, a diferencia del modelo competitivo dond e se pueden predecir los r esultados de un inc remento en la demanda, en el caso del mon opol io esto no se puede hacer. Por eso se afirma que el monopolio no tiene una funci ón de oferta. Pueden haber precios iguales para cantidades diferentes o cantidades iguales para precios diferentes. 6)
La librería de la Universidad es la única autori zada para func ionar dentro d el campus uni versit ario. Se trata de saber si l a librería está maximizando beneficios. Se conoce la siguiente info rmación:: a) El costo marginal de la librería es de $30 por lib ro b) La librería vende 100 libr os por d ía al pr ecio de $60 La curva de demanda del mercado es una cur va lineal c) d) Si la librería reduce su precio en 40 centavos entonces podría vender un libro más diariamente.
La curva de demanda del mono poli o es del tip o P = a – bQ. Como la librería vende un libro m ás si reduce su pr ecio en 40 centavos, se puede conc luir que b = 0.4 P = a – 0.4Q. Ahor a bien, como la librería vende 100 libro s al día al pr ecio de 60 cada uno, entonc es se debe cumplir que: 60 = a – 0.4(100) a = 100. En consecuencia la fu nció n de demanda de la libr ería es: P = 100 – 0.4Q. La función de i ngreso marginal es: IMg = 100 – 0.8Q. Ahora podemos det erm inar cuántos li bros debe vender di ari os para maximi zar el beneficio y también el precio al qu e se tienen que vender. Aplicando la c ondi ción IMg = CMg 100 – 0.8Q = 30 Q* = 87.5 y P* = 100 – 0.4(87.5) Q* = 65. En consecuenci a la librería no está maximizando el benefici o. Debe reducir el número de libros vendidos e incrementar su p recio. 7)
Su empresa se dedica a la venta de “ Tortugas Ninja” , un popular juego entre los chicos. El administrador de otra empresa está pensando en introdu cir u n nuevo perso naje anfi bio de fantasía que se llamaría Tai Chi Frogs. Ud. debe tener en cuenta los s igui entes hechos: a) El costo m edio de producció n es constante al precio de $2
b)
c)
d)
e)
Al preci o corriente del monopoli o de $3.50 Ud. vende 120 juegos diariamente Ud. puede evitar el ing reso de una segunda empresa incr ementando la produ cció n a 200 juegos diarios y r educiendo el pr ecio a $2.50 Si la segunda empresa ingresa al mercado, su pr ecio (de la primera empresa) disminuiría a $3 y vendería únic amente 80 juegos al día. ¿Debe evitar la entrada de la s egunda empresa? ¿Cuál sería su respuesta si p ara disuadir el i ngreso d e la segunda empresa el precio requerido fuera de $2.25? (Asuma que la cu rva de demanda es lineal).
Si el CMe de producción es constante e igual a 2, entonces: CT = (CMe)*Q CT = 2Q CMg = 2. Si la sol ución bajo monopolio es P* = 3.5, Q* = 120 y la demanda es lineal, entonces la función de demanda es del tipo P = a – bQ. Además sabemos que si el monopoli sta busca impedir el ingreso de una segunda empresa en el mercado bajaría su precio a 2.5 y vendería 200 unidades. Entonces tenemos un segund o punt o de la función d e demanda lineal. Considerando estos dos punt os (3.5, 120) y (2.5, 200) podemos enco ntrar los valores de la pendiente y del intercepto de la funció n de demanda: 3.5 = a - 120b; 2.5 = a -200b a = 5 y b = 0.0125. Entonces P = 5 – 0.0125Q es la funci ón de demanda del monopolio (o más precisamente, la función inversa de demanda por que es del tipo P = f(Q) y no Q = f(P)). La función de ingreso m arginal es IMg = 5 – 0.025Q. Para conf irm ar la solució n bajo mono poli o hacemos IMg = CMg 0.025Q = 2 Q* = 120 y P* = 3.5.
5–
Bajo la solución de monopolio p odemos estimar el beneficio: = IT – CT = 3.5*120 – CMe*Q
= 420 – 240
= 180.
Si el monopol ista busca impedir el ingr eso de una segunda empresa al mercado, enton ces baja su precio a 2.50 y vende 200 unidades. En este caso el beneficio obtenido es: = 2.5*200 – 2*200 = 420 – 240 = 100. En consecuencia, impedir el ingreso de un com petidor al mercado implica un cos to para el mono poli sta de 80 nuevos soles. Si el competidor ingresara al mercado, el monopolista (la primera empresa) vendería 80 unidades a un p recio de 3, en este caso su beneficio será: = 3*80 – 2*80 = 240 – 160 = 80. Comparando este ingreso con el in greso com o mono poli sta, se estaría dejando de percibir 100 nuevos soles.
Entre impedir el ingr eso de un competidor y obtener un menor beneficio de 80 o permitir el ingreso del competidor y obtener un menor beneficio de 100, es preferible la primera estrategia. El monopolis ta debe impedir el ingreso de un competidor bajando su precio a 2.5 y vendiendo 200 unidades. Si para impedir el i ngreso del competidor al mercado, el monopoli sta debiera bajar su p recio no a 2.5 sino a 2.25 entonces t endríamos que estimar el nivel ópt imo de producción a ese precio. Para ello uti lizamos la funci ón de demanda que encontramos más arriba, P = 5 – 0.0125Q Q = 400 – 80P Q* = 400 – 80*2.25 Q* = 220. El beneficio en este caso será: = 2.25*220 – 2*220 = 55. Resulta claro que en este caso es preferible permitir el i ngreso de un comp etidor al mercado. El siguiente grafico ayuda a comprender l a situación La solución de equilibrio bajo monopolio se obtiene al nivel de producción de 120 unidades, donde el IMg se hace igual al CMg. Si el monopol io quiere impedir el ingreso del comp etidor, baja su precio a 2.5 y vende 200 unid ades. Observe que al hacer esto el monopol ista llega al nivel de produc ción donde el IMg es igual a cero. Quiere decir qu e este es el niv el de producc ión donde el IT tiene su valor máximo. Si el mo nopolista bajara más el pr ecio, hasta 2.25, vendería 220 unidades de acuerdo c on su f unci ón de demanda, pero se encuentra en el nivel de producci ón donde el ingr eso marginal es negativo. Por eso no es conv eniente bajar el precio hasta este punto. En este caso es mejor aceptar el ingr eso del competid or. Si el competidor ingresa al mercado, el precio del monop olista (de la pri mera empresa en el mercado) sería de 3 y las v entas llegarían a 80 unidades. Observe que este punt o no pertenece a la función de demanda inicial. ¿Por qué?
Si al mercado entra un comp etidor, enton ces ahora la demanda de la pri mera empresa es igual a la demanda del mercado menos lo qu e coloca en el mercado el comp etidor. Es decir la demanda de la pri mera empresa es ahora una demanda resid ual (DR). Este concepto es im portante porqu e ayuda a comprender, más adelante, el modelo de oligopolio . 8)
En 1945 Reynolds International Pen Corpo ration i ntroduj o un revolucionario pr oducto, el lapicero a boli ta, el b olígrafo. El n uevo lapicero po día ser pr oducido con una muy sencilla tecnología de producci ón. Por tres años, Reynolds obtuvo enormes beneficios. En 1948, Reynolds detuvo la prod ucci ón de lapiceros y sali ó totalmente del mercado. ¿Qué pasó?
Cuando Reynolds Internacional Pen Corpor ation empezó a vender sus lapiceros a bolita el precio por unidad fue de 12.50 dólares y sól o el pri mer día logró ventas de más de 100000 dólares. Sin embargo lo sencillo de la tecnología de producción provocó el ingreso de una fuerte comp etencia al mercado y se desató una guerra de precios. El precio descendió en 1948 a 50 centavos y en 1951 se vendía al precio de 29 centavos. La lección de esta experiencia es que sin barreras de entrada el monopoli o no puede permanecer mucho tiempo. Sin embargo es necesario precisar que Reynolds Internacional Pen Corporation no inventó el boli grafo ni tampoco adquirió la patente para su explotación. En Junio de 1945 Milton Reynolds estaba en Argentin a y descubr ió los lapiceros a boli ta, el bolígrafo, en una tienda. Compr o varios de ello s y reconoció de inmediato su enorme potencial de ventas. Retornó a los EEUU y copi ó el invento qu e fue desarroll ado por Ladisl o Biro un obrero Húngaro emig rado a la Argentin a en 1940. Sin embargo Ladislo Biro ya no tenía los derechos del lapicero pues los h abía vendido a Eversharp Co. y Eberhard-Faber quienes tuvieron los derechos exclusivos de explotación. Ladislao Biro había patentado su i nvento en 1938 en Europa y luego en 1943 en Argenti na. Eran los tiempos de la segunda guerr a mundial. La Fuerza Aérea Británica recono ció el valor del invento para la guerra (escribi r en altura, sin derramar, era muy i mportante) y compró los derechos de autor . Sin embargo pasada la guerra el invent o tendría una azarosa trayectoria. Ladislao Biro no registró su patente en los EEUU. Cuando Reynolds cop ió el inventó (lo p irateó), Eversharp tenía los derechos adquiri dos a Ladislao Biro. Posterior mente se desata la guerra de precios e ingresan nuevos competidores al mercado con product os de mayor cali dad y a precios más bajos, el caso de la marca BIC del Barón Francés Bich. En este ambiente, la empresa de Reynol ds desapareció.
En consecuencia, se puede concluir que la permanencia del monopolio depende de la impor tancia de las barreras de entr ada al mercado. Es posi ble, por ejemplo, que alguien pueda cocinar un cevic he de manera especial y dist inta a toda otr a forma de preparar este plato. Estamos ante el nacimiento de un monopo lio. Sin embargo, es claro que este producto tendría muchos cercanos susti tutos y, entonces, la competencia terminaría con su sit uación como mono polio. 9)
Observe el sigui ente gráfico que corresponde a un m onopolist a de precio único: ¿Qué canti dad debe produci r para maximizar el beneficio? b) ¿Cuál es el beneficio a este nivel de producción? c) Identifique el área del excedente d el consumidor d) Si en vez de maximizar el beneficio la empresa quiere maximizar el ingreso, ¿cuál será la cantidad a prod ucir ? ¿Cuáles serán los benefic ios a este nivel de producci ón? Muestre en el gráfico la perdida de bienestar de la sociedad por la presencia del monopo lio. a)
e) f)
La producción para maximizar el beneficio se encuentra cuando hacemos IMg = CMg Q* en el grafic o que sigue. Para determinar el nivel de beneficio, p rimero estimado el beneficio unitario, que es l a diferencia entre el ingr eso medio y el cost o medio. El ingr eso medio es II/Q PQ/Q = P. En consecuenci a el benefici o por unid ad es P – CMe. Multiplicando el beneficio por un idad por Q* tenemos el beneficio tot al del monopolis ta: El área del rectángulo amarillo. El excedente del con sumi dor es el área debajo de la fun ción de demanda y por enci ma del precio del monop olista. El área del triángulo naranja. Si lo que quiere la empresa es maximi zar el ing reso total en vez del beneficio, entonces bus cará produ cir al nivel do nde el IMg = 0. De esta manera estará aplicando las CPO a la funci ón del IT; la derivada de la función IT con r elación a la producc ión l a igualamos a cero. El área del IT obtenida es el área del rectángulo color verde en la grafica.
Observe que en este caso, al produ cirs e donde el IMg es cero, el cost o medio es mayor al precio determinado por la demanda. En consecuencia el beneficio es negativo. El mon opolista no puede seguir el objetivo de maximi zar el beneficio. En la tabla de la izquierda se cuenta con información correspondiente a un monopoli sta de precio único. Complete el cuadro. a) ¿Qué canti dad será producid a para maximizar el beneficio? b) ¿Cuál será el beneficio a este nivel de producción? En el cuadro se han añadido con l etra roja los valores estim ados del IMg, CT, CMg y CMe. 10)
Para hallar el niv el de prod ucci ón que maximiza el beneficio, buscamos aproximarnos lo más posible P Q IT IMg CT CMg CMe a la condición IMg = CMg. Esto se 30 1 30 15 15 prod uce cuando la produ cció n es Q* = 5 27 2 54 24 20 5 10 y el precio es P* = 18. 24 3 72 18 24 4 8 21 4 84 12 29 5 7.25 El benefic io se obtiene de la diferencia 18 5 90 6 35 6 7 entre el IT y el CT: = 55. 15 6 90 0 45 10 7.5 12 7 84 -6 56 11 8 11) La empresa ABC tiene un cost o variable medio cons tante de $6. La 9 8 72 -12 70 14 8.75 empresa estima su curva de demanda 6 9 54 -18 92 22 10.22 en P = 23 - 0.025Q. Su costo fijo es de 3 10 30 -24 120 28 12 $1700. Ud. es el consul tor económi co de la empresa, ¿qué precio recomendaría? ¿Cuánto b eneficio espera alcanzar?
Como CVMe = 6
CV = CVMe*Q
CV = 6Q
CMg =
∂CV ∂Q
= 6. Como la
función inversa de demanda del mono poli o es: P = 23 - 0.025Q IMg = 23 – 0.05Q. En c onsecuen cia, par a maximizar el benefi cio l a empresa debe igualar IMg = CMg 23 – 0.05Q = 6 Q* = 340 y P* = 14.5. El beneficio qu e obtiene la empresa será: IT – CT 14.5*340 – 6*340 – 1700 = 1190.
12)
La empresa DEF tiene un cost o variable medio constante de $2.50. Los cost os fijos ascienden a $242000. Durante un t iempo la empresa ofreció el produ cto al pr ecio de $8 y vendió 50200 unid ades. En otro m omento vendió 42800 unidades al pr ecio de $9. Encuentr e el precio que maximiza el beneficio, el nivel de pr oducción, el i ngreso tot al, el co sto total y e benefici o para la empr esa DEF.
CVMe = 2.5 CV = CVMe*Q CV = 2.5Q CMg = 2.5. Si asumimos que la func ión i nversa de demanda de la empresa representa las combinaciones P y Q que maximizan su beneficio en distinto s momentos del tiempo, entonces podemos emplear la infor mación de los d os punt os que conocemos de la función inversa de demanda y asumir que la función es lineal. La funci ón in versa de demanda lineal será del tipo: P = a – bQ. Aplicando a los dos pun tos o btendríamos las ecuaciones: 8 = a – 50200b, y, 9 = a – 42800b. Resolviendo este sistema de ecuaciones encontramos: a = 14.78, b = 0.00014. En consecuencia la función inversa de demanda será: P = 14.78 – 0.00014Q. La función de ingreso marginal es IMg = 14.78 – 0.00027Q. Igualando el IMg con el CMg tenemos : 14.78 – 0.00027Q = 2.5 Q* = 45454. El precio será P = 14.78 – 0.00014*45454 P* = 8.64. El beneficio alcanzado por la empresa es: IT – CT 2.5*45454 – 242000 = 37087.56. 13)
8.64*45454 –
Una agencia de publ icidad ofrece dos campañas de publ icidad alternativas y excluyentes- a un maximizador de beneficios que enfrenta una curva de demanda lineal con pendiente negativa por su prod ucto . Una de las estrategias asegura que duplic ará el precio para cada posi ble nivel de demanda mientras que la otra prom ete dupl icar la cantidad demandada para cada posible nivel de precio. Si el costo d e cualqui era de las campañas es el mismo, ¿Cuál de ellas será elegida si: a) los costos m edios son constantes? b) los cos tos medios son decrecientes?
Anali cemos la primer a alt ernati va que ofrece la agencia de publicidad: dupl icará el precio para cada posibl e nivel de demanda. Por ejemplo, al precio al cual l os co nsumidor es están di spuestos a demandar c ero antes de la publicidad, ahora estarían dispuestos a demandar cero pero para un precio duplicado. Es decir el intercepto de la func ión inversa de demanda saltaría una cantidad igu al al anterior intercepto. De otro lado, al precio donde los consumid ores están di spuestos a demandar l a cantidad máxima del mercado, cero antes de la publ icidad, ahora estarían
dispuestos a demandar la misma cantidad al mismo precio, pues el doble de cero es cero. En consecuencia, con la pri mera alternativa de publici dad la demanda rota en sentido horario a partir del intercepto de la función inversa de demanda con el eje horizontal y hasta que el precio máximo se duplica. Como la función inversa de demanda es lineal, lo que ocurra con ella ocurrirá con la función de ingreso marginal. Asumamos que los cos tos m edios de la empresa son constantes. Esto i mplica que CMe = CT = CMe* CMg = . Observe el grafico de arriba que representa la primera alternativa de publicidad. Se puede apreciar que dados los CMg constantes al duplicarse los precios para cada nivel de publici dad, la empresa maximiza sus beneficios con una mayor producción y con
un mayor precio. Como el CMg es igual al CMe se puede estimar el beneficio alcanzado por el monopolista. Este benefici o es igual al área del rectángul o con altura igu al al beneficio m edio (P – CMe) y cuya base es la producci ón ópt ima. En este caso, la publicidad bajo publici dad es mucho mayor que sin publ icidad. En el caso alternativo que el monopoli o enfrente costos medios decrecientes, el mo nopolis ta optarí igual por la estrategia que duplica lo s precios. Si los co stos m edios son decrecientes, la curva del costo m arginal tendría un tr amo decreciente y uno creciente. Tiene form a de U. Cuando el CMe está en el nivel de producción donde su valor es mínim o, es igu al al CMg, pero a partir de este nivel de produ cció n el CMe es creciente. Por lo tanto la empresa se ubic a en un ni vel de producció n menor al CMe mínimo. Como el monopol ista busca maximizar su beneficio co mparando el IMg (que es si empre decreciente) con el CMg que es decreciente y luego creciente, enton ces se ubicará en el tramo dond e el CMg es creciente para maximizar el beneficio. El grafico de más arri ba muestra esta situación . Se ha mantenido l a curva de CMg constante para hacer las comparacion es. El nivel de produc ción óptimo con publ icidad ahora es menor qu e antes pero el precio es mayor. El área con color marrón no es el beneficio del monop olio. Es el beneficio variable del mon opol io. Es el área debajo de la línea del precio con la estrategia publici taria y por encima del costo marginal (incluye el tr apecio de color celeste). El área del triángulo de color amaril lo vi ene a ser el costo variable del mo nopolist a. Lo que no co nsidera el área del beneficio variable es el nivel del costo fi jo. Con los beneficio s variables la empresa debe cubrir su s costos fijo s. El área del trapecio de color celeste es el área del benefici o variable sin publici dad. Se aprecia que sin considerar el costo fijo, l os ni veles de beneficio variable son mayores con p ublicid ad que duplica precios que sin ella. ¿Qué pasaría ahora si l a estrategia publicitaria elegida fuera la segunda, duplicar cantidades para cada precio? En este caso, la canti dad máxima a ser demandada es aquella que se demanda al precio cero, es el int ercepto de la funci ón in versa de demanda con el eje de cantidades. Con la segunda estrategia de publi cidad, al precio cero la cantidad demandada será el doble. Al precio máximo de la función inversa de demanda la cantidad demandada es cero. Con la segunda estrategia de publi cidad será también cero (2*0 = 0). As umimos primero que la f unción de costos medios es constante. Este caso se puede analizar con l a ayuda del gr afico que sigue.
Observe que como la función inversa de demanda es lineal, la curva del ingreso marginal intercepta el eje de cantidades a la mitad de la intersección de la función i nversa de demanda con ese mismo eje. Por esta razón, con esta estrategia publi citaria se verifi ca que la funci ón inversa de demanda sin publici dad es igu al a la función in greso marginal con pu blicidad. Por esta mism a razón se cump le que el nivel de producci ón óptim o con publici dad es el doble del óptimo sin publi cidad aunque el precio permanece constante. Finalmente, por la misma razón, el beneficio con publ icidad es el doble del beneficio sin pub licidad. Tenga en cuenta que en el caso de la primera estrategia de publi cidad, que duplica precios y no cantidades, el beneficio con pub licidad es más del doble del beneficio s in pub licidad. Observe el gráfico para establecer las propor ciones del inc remento del beneficio resultante de hacer publicidad. ¿Qué sucede ahora si con CMe decrecientes? La curv a del costo margin al tendría pendiente posit iva. Analizaremos el caso en base al grafico que sigue. Comparando el beneficio variable (sin considerar los costos f ijos) de la alternativa con publici dad versus la alternativa sin publici dad, se prefiere la pri mera. Observe que en cualquier caso siempre es mejor una estrategia publici taria que no hacer pu blicidad.
Existe además una diferencia muy importante entre ambas estrategias publicitarias. Pasajero Precio Demanda Pasajero Precio Demanda La estrategia que duplica de del de del No. Reserva Mercado No. Reserva Mercado precios tiende a 1 0 48 25 24 24 “ parar” la 2 1 47 26 25 23 curv a de 3 2 46 27 26 22 demanda 4 3 45 28 27 21 haciéndole 5 4 44 29 28 20 más 6 5 43 30 29 19 inelástic a. La 7 6 42 31 30 18 estrategia 8 7 41 32 31 17 que duplica 9 8 40 33 32 16 las 10 9 39 34 33 15 cantidades 11 10 38 35 34 14 tiende a 12 11 37 36 35 13 “echar” la 13 12 36 37 36 12 curv a de demanda 14 13 35 38 37 11 haciéndola 15 14 34 39 38 10 más elástica. 16 15 33 40 39 9 17 16 32 41 40 8 Para el 18 17 31 42 41 7 monopolista 19 18 30 43 42 6 la estrategia 20 19 29 44 43 5 más 21 20 28 45 44 4 adecuada es 22 21 27 46 45 3 la que le 23 22 26 47 46 2 permite 24 23 25 48 47 1 operar sobre el tramo más inelástico de su f unci ón de demanda. Es decir la estrategia que dupl ica precio s. Y dentr o de esta estrategia se alcanzan mejores resultados si l a empresa opera con costo s medios d ecrecientes que si lo hace con costos medios constantes. 14)
En la estación " Vivito s" , distante 10 Km de la ciudad homón ima, cada domingo arriba por ferrocarril un nuevo con tingente de 48 pasajeros que desea llegar a la ciudad cuanto antes. Cada uno de los p asajeros t iene un cartelito en la solapa con un número entero ent re 0 y 47 que indi ca el precio máximo que cada pasajero está dispuesto a pagar para llegar cuanto antes a la ciudad. Resulta curioso observar que jamás número alguno se repite entre los distin tos pasajeros. El único medio de transporte disponi ble cuando arriba el nom brado conting ente es el ómni bus de 50 asientos " El Rapidito " cuyo dueño es un maximizador de beneficios notori o y quien está autor izado por las autorid ades municipales a solo r ealizar un viaje diario y c obrar un boleto único por pasajero a la ciudad. Es sabido que
el costo fi jo de " El Rapidito" es de $100 por vi aje y que su costo variable es de $8 por pasajero tr ansport ado. ¿Cuántos pasajeros transportará "El Rapidito" y a qué precio por pasajero? (Este problema forma parte del conjun to de cuestionarios que el Profesor Fernando Tow de la Facult ad de Ciencias Económ icas de la Universid ad de Buenos Aires ha publicado en su sitio w eb como soport e de su asignatura. Es muy c reativo y permite fort alecer los conceptos de optimi zación del mono polista y de discri minación de precios.) La demanda para viajar en El Rapidi to hacia la ciudad de vivitos se presenta como un co njun to de valores disc retos. La tabla de arri ba se ha cons truido en base a la infor mación del precio de reserva de cada pasajero. Los pr ecios se mueven en un i ntervalo de 0 a 47. Aprecie q ue considerando l os preci os de r eserva de cada pasajero s e puede estimar la demanda del mercado. Así, al pr ecio 47 sólo un pasajero está dispuesto a tomar El Rapidito para llegar a la ciud ad de vivi tos. Sin embargo al precio 0 existe sól o un pasajero con ese precio d e reserva pero si este fuera el precio para viajar a la ciudad de Vivitos es claro q ue todos los pasajeros estarían dispuestos a viajar. En consecuencia la tabla nos brinda la inf ormación suf iciente de la función de demanda del mercado. De ella podemos obt ener la función de ingreso margin al. Basta hallar el ing reso total y luego el cambio en el ingreso total resultante de vender un pasaje más. La misma tabla puede mostrar la infor mación del costo marginal. Como el costo variable medio es constante, entonces es igual al costo marginal. La información completa se puede apreciar en el cuadro que sigu e a continuación. P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Q 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34
IT 0 47 92 135 176 215 252 287 320 351 380 407 432 455 476
IMg CMg 8 47 8 45 8 43 8 41 8 39 8 37 8 35 8 33 8 31 8 29 8 27 8 25 8 23 8 21 8
P 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
Q 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10
IT 576 575 572 567 560 551 540 527 512 495 476 455 432 407 380
IMg 1 -1 -3 -5 -7 -9 -11 -13 -15 -17 -19 -21 -23 -25 -27
CMg 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
15 33 495 19 8 39 9 351 -29 8 Como se trata de variable discreta, para encontrar el 16 32 512 17 8 40 8 320 -31 8 número d e pasajeros que 17 31 527 15 8 41 7 287 -33 8 viajará en El Rapidito y el 18 30 540 13 8 42 6 252 -35 8 precio del boleto, que 19 29 551 11 8 43 5 215 -37 8 maximi zan el benefici o del 20 28 560 9 8 44 4 176 -39 8 dueño de la empresa, 21 27 567 7 8 45 3 135 -41 8 buscaremos el nivel de 22 26 572 5 8 46 2 92 -43 8 boletaje donde el IMg >= 23 25 575 3 8 47 1 47 -45 8 CMg. En este caso no se encuentra una combi nación do nde el IMg = CMg; por lo tanto buscamos l a relación IMg > CMg más cercana a la condic ión IMg = CMg. Esto se pro duce cuando el precio del bo leto es 20 y hay 28 pasajeros disp uestos a pagarlo . Estos son los pasajeros dis puestos a pagar el precio de
reserva 20, 21, 22, …, 47. 15)
Si apenas partido " El Rapidito" llegara otro ómn ibus -denominado " El Lentito" - de igual envergadura que el anterior y con idéntica autorización mun icipal que "El Rapidito" pero pudiendo cobrar un boleto único distint o a éste -y cuyos costos por vi aje son $150 fijos y $4 por pasajero tr ansport ado y quien también maximi za beneficios, ¿En cuánto estima Ud. que "El Lentito" fijará el valor del boleto y cuántos pasajeros transportará?
Cuando sale El Rapidito en el mercado qu edan 20 pasajeros. Son los pasajeros cuyo precio d e reserva es menor al precio del bo leto de El Rapidito, PR < 20. Aquí están todos l os pasajer os di spuestos a s ubir a El Lent it o si el b ol eto que tienen que pagar fu era 19, 18, 17, …, ó 0. P 15 0 16 1 17 2 18 3 19 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Q 5 420 319 218 117 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6
IT 75 0 64 19 51 36 51 19 64 75 84 91 96 99 100 99 96 91 84
IMg -9 -11 19 -13 17 -15 15 -17 13 11 9 7 5 3 1 -1 -3 -5 -7
4CMg 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Es decir, la demanda de El Lentit o es la demanda del mercado menos la demanda efectiva de El Rapidi to. El cuadro de la izquierda presenta la Tabla de Demanda de El Lentito. El precio del bo leto que debe cobrar el dueño de El Lentit o es 8 y la cantidad de pasajeros que viajarán a la ciudad de Vivito s es de 12.
Observe que es pos ible que entr e al mercado u na tercera empresa, después de la salid a de El Rapidi to y después de la salida de El Lentito, que pueda atender la demanda residual del m ercado. Esto es, los pasajeros con precios de reserva menor es a 8.
Esta posibi lidad se hace viable si esta tercer empresa, llamémosl a La Tortuguita tuvi era costos variables por p asajero, de digamos, 2 y costos fij os de, digamos 150 por vi aje. El lector puede estimar la demanda residual para La Tortuguita, el precio que maximiza el beneficio y la cantidad de pasajeros que trasladaría a la ciudad de Vivitos. 16)
Si ambos ómnibus estuv ieran bajo el contro l de una sola empresa -y no existiera econo mía de costos algu na por dicha razón, ¿quién llegaría primero a la estación de " Vivitos" , cuánto cobraría por b oleto cada ómnibus y cuántos pasajeros tr ansportaría?
Se tienen dos alternativas, primero llega El Rapidit o y luego El Lenti to, o, al revés, primero El Lentito y l uego El Rapidit o. P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Q 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
IT 0 21 40 57 72 85 96 105 112 117 120 121 120 117 112 105 96 85 72 57 40 21
IMg CMg 8 21 8 19 8 17 8 15 8 13 8 11 8 9 8 7 8 5 8 3 8 1 8 -1 8 -3 8 -5 8 -7 8 -9 8 -11 8 -13 8 -15 8 -17 8 -19 8
En el pri mer caso, primero l lega El Rapidi to y luego El Lentito , la empresa obtendría los siguientes ingresos por la venta de boletos: ITER = 20*28 = 560; ITEL = 8*12 = 96; IT = 656. Los cost os serían: CTER = 100 + 8*28 = 324; CTEL = 150 + 4*12 = 198; CT = 522. En consecuencia el benefici o obt enido será 134. Veamos qué sucede si la empresa decidiera operar sus ómnibu s ingresando primero El Lentito y luego El Rapidito. El Lentito se enfrenta a la misma infor mación de ingr eso marginal que El Rapidito. Pero las enfr enta con un cost o marginal menor. Si se reemplaza en el cuadro de la pregunta 14, en la columna de cost o margin al el valor 8 por el valor 4, se encontrará que el nivel de producci ón donde se cumple de manera más aproxi mada la relación IMg = CMg es 26 pasajeros al p recio de 22 el boleto. El precio del boleto sería más caro y viajarían menos pasajeros.
El beneficio que genera este ómnibus a la empresa es: 22*26 – 150 – 4*26 = 318. Una vez que ha salido de la Estación El Lenti to i ngresa El Rapidito y se enfrenta a la demanda residual. En la estación de vivi tos quedan los pasajeros con precios de reserva menores a 22. Estos son 22 pasajeros. Los que están dispuestos a pagar 21, 20, 19, …, y 0. La siguiente tabla muestr a la funci ón de demanda, IMg y CMg.
El precio que cob raría El Rapidit o será de 7 y 15 pasajeros pagarán el boleto.
El benefi cio que genera este ómnibus a la empresa es: 7*15 – 100 – 8*15 = -115. El benefi cio total será: 318 – 115 = 203. En consecuencia, si una sola empresa asume la administración de los dos óm nibus y entra primero El Rapidito y luego El Lentito, se obtienen beneficios ascendentes a 134. Si primero entra El Lentito y después El Rapidito se obtienen beneficios ascendentes a 203. Por lo tanto s e concluy e que pri mero debe entr ar El Rapid ito.
Observe que a pesar de la pérdida que genera El Rapidito cuando entra después de El Lentito, los beneficios que obtiene El Lentito son tan altos que cubr en esa pérdida. Esto es así porque los pasajeros están dispuestos a mayores precios con tal de salir c on el primer ómn ibus y l legar pri mero a la ciudad de Vivitos. Observe que el precio sube de 20 a 22, un 10% mientras el nú mero de pasajeros disminuye de 28 a 26, un 7%. De otro lado, para los pasajeros del segundo ómni bus el pr ecio pasa de 8 a 7, dis minuye 12.5% y el nú mero de pasajeros pasa de 12 a 15, un 25%. La demanda que enfrenta El Rapidito es más elástica pero sus costos variables son el dob le de El Lentito. 17)
¿Cuál sería la indemnización mínima por lucro cesante que la Municipalidad de "Vivitos" deberá abonar a la empresa si quisiera impo nerle un precio c ompetitivo y la ley le reconoce a la empresa el derecho a operar el trayecto estación-ciudad monopólicamente?
Para responder esta pregunt a primero asumi mos que la empresa opera la combinación más eficiente de turno de sus ómnibus, pri mero El Lentito y después El Rapidit o. El beneficio que obtiene es de 203. Si la Municipalidad quiere impon erle el precio bajo competencia, tendrá que cubrir el costo d e oportunidad de la empresa. Al salir primero El L entit o, el preci o del boleto sería ig ual al costo margin al, P = 4. La demanda a este precio es de 44 pasajeros. El benefici o sería: 4*44 – 150 – 4*44 = -150.
Luego entra El Rapidit o, el precio d el boleto sería igual al costo marginal, P = 8. La demanda residual a este precio sería de cero, por que los únicos pasajeros que quedan en la estación s on los cuatro que tienen precios de reserva de 3, 2, 1 y 0. En consecuencia, El Rapidito no tendría pasajeros y sus b eneficios serán ig uales a sus costos fijos : -100. El b eneficio total será entonces -100 -150 = -250. En consecuencia si la empresa tuviera que cobr ar el precio b ajo comp etencia, se tendrían pérdid as acumuladas de 250. A esto se añade el beneficio no perci bido , 203. El costo de opor tunidad tot al asciende a 453. La indemni zación mínima por lucr o cesante asciende a 453.
18)
Asumiendo una pasividad total p or parte d e lo s demandantes en el caso que la empresa decidiera discriminar precios, ¿A cuánto ascendería el canon máximo (pago fi jo) por d omin go que la empresa estaría dispuesta a pagar a la Municipalidad por el privilegio de no estar sujeta a cobrar un precio únic o por viaje y en cons ecuencia poder actuar como u n discri minador de precios perfecto?
Si la empresa pudiera disc rim inar precio s, cobraría el precio d e reserva de cada pasajero hasta llegar al pasajero cuyo precio de reserva es igual al costo marginal. En este caso los ingresos de El Lentito serían: 47+46+45+44+43+42+41+40+39+38+37+36+35+34+33+32+31+30+29+28+27 +26+25+24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+ 4 = 1122. Los cost os por est os 44 pasajeros son: 4*44 + 150 = 326. El beneficio obtenido es: 796. En el caso de El Rapidi to, el empresario no está dispuesto a llevar a pasajeros pues su CMg es mayor al p recio d e reserva de cada pasajero de la demanda residual. Considerando q ue sin d iscrim inación de precios, la empresa puede obt ener 203 de beneficio, y c on di scr imi nación el b eneficio s e eleva a 796, el canon máximo que estaría dis puesto a pagar por ob tener el derecho de dis cri minar precios será: 796 – 203 = 593.
Nota: El probl ema de la Estación de Vivitos admi te una segunda form a de llegar a las respuestas que se solici tan. Como l os precios de reserva van de unidad en unid ad, la func ión de demanda se puede representar por una función lineal. Tenga en cuenta que si al pr ecio cero l a demanda es de 48 pasajeros, y al precio 47 la demanda es de 1 pasajero, entonces se puede concluir que al precio 48 la demanda es cero. Una funci ón in versa de demanda que representa a los precios de reserva de la primera tabla, en el problema 14, es: P = 48 – Q. La funci ón de ingreso margin al correspond iente sería: IMg = 48 – 2Q. Si prim ero entra El Rapidit o, la
con dició di ció n IMg IMg = CMg será: 48 – 2Q = 8 Q* = 20. El precio será: P = 48 – 20 P* = 28. 28. Estos result ados coincid coi nciden en con los obtenidos obteni dos más arriba. Invitamos al lector a seguir este procedimiento para resolver resolver los problemas pro blemas 15, 15, 16, 16, 17 y 18. Pero Pero recuerde qu e la info rmación rmació n es discr di screta eta y no cont inua. 19)
Si las funcio nes de costo tot al y de demanda son respectivamente: CT = 50 + 15Q + Q/100, P = 215, 215,4 4 - 5Q 5Q Indi Indique que el precio y cantidad cantid ad de equil equil ibrio ibr io en lo s siguientes casos: a) La empresa se comporta como una industria perfectamente competitiva. b) La empresa empresa se comporta como un monopoli o maximizador maximizador d e beneficios. La empr empresa esa se compor ta como un maxi mizador de ventas sujeto a c) una restr icción icc ión de generar un benefici o de $1933 $1933,9 ,96. 6.
Si la indust ria es competiti va apli aplicamos camos la condi ción P = CMg. CMg. CT = 50 50 + 15Q + Q/100 CMg = 15 – 100/Q 2. Enton Ent onces ces:: 215,4 -5Q = 15 – 100/Q2 Q* = 41.05 P* = 215.4 – 5*41.05 P* = 10.13. Si la empresa empresa se comporta como un mono polista maximizador maximizador d e beneficio s, aplicamos la condic con dición ión IMg IMg = CMg. Como P = 215, 215,4 4 - 5Q IMg = 215.4 215.4 – 10Q. 10Q. En En cons c ons ecuenci a: 215.4 – 10Q = 15 – 100/Q 2 Q* = 20.99 P* = 110.43. ¿Qué ¿Qué pasa si la empresa se comport com port a como un maximi zador zador d e ventas, es es decir del in greso total, sujeto a una restricci ón de generar generar un beneficio beneficio de $1933,96? La función beneficio estará dada por = IT – CT = P*Q – 50 – 15Q – Q/10 Q/100. 0. La restri cción cci ón ti ene la forma: for ma: = P*Q – 50 – 15Q – Q/100 Q/100 = 1933.96 1933.96 (215.4 – 5Q)*Q – 50 – 15Q – Q/100 1933.96 = 200.4Q – 5Q2 – Q/100 – Q* = 22.2 22.22 2 ó Q* Q* = 17.86 17.86 (la ecuaci ecuaci ón t iene dos so lucio lu cio nes. Como la la 50
función beneficio beneficio es del tipo = f(Q), la restricc ión del benefici o a 1933. 1933.96 96 determina dos niv eles de producc ión salvo qu e 193 1933. 3.96 96 sea el el benefici o máximo que se pueda alcanzar alcanzar en este mercado. Es decir la funci ón benefici o es de forma for ma U invertida. invert ida. Tiene Tiene un primer tramo cr eciente y otro decreciente. La empresa obtiene un benefic beneficio io de 1933.9 1933.96 6 con una un a producc prod ucc ión d e 17.8 17.86 6 o con una de 22.22 22.22.. Para cada nivel niv el de producció n existe un pr ecio determinado determinado por la función de demanda demanda.. Como se busca maximizar las ventas, el ingreso po r ventas, buscamos el valor de las ventas para cada nivel de producc pro ducción. ión. Si Q = 17.86
P = 126.1
IT = 2252.15.
Si Q = 22.22
P = 104.3
IT = 2317.55.
En consecuenci a Q = 22. 22.22 22 es el nivel de prod ucci ón qu e maximiza las ventas suj eto a la restri cció n del b eneficio a 1933 1933.9 .96. 6.
Observe que en en este caso se escog escoge e un nivel de prod ucci ón mayor al correspond cor respond iente al al benefici o máximo . El El ingreso ing reso margin al en en este caso caso es negativo. El lector puede verifi car esto y que el el ingreso ing reso margin al para el nivel niv el de prod ucci ón 17.8 17.86 6 es es positiv posi tiv o. Aquí el el objetivo obj etivo de maximi zar zar el ingreso ing reso tot al impide impi de a la empr empresa esa alcanzar alcanzar un benefici o mayor. 20)
Suponiendo Suponiendo qu e la curva de costos del monopo lista fuera la misma que la suma agregada de las de las empresas competi tivas, tiv as, determi determine ne el efecto efecto de un imp uesto de suma fij a por una u na parte y el de un impuesto im puesto por un idad de venta por la otra, en en los siguientes casos: a) Un mercado perfectamente competitivo. mercado hubiera sido monopoli zado zado po r un maximizador maximizador de b) Si este mercado ventas. Si este mercado mercado hubiese sido monopoli zado zado por un m aximizador aximizador de c) beneficios. (Asuma demandas lineales y costos medios constantes)
Si los costos del monopo lista son un múl tiplo d e los costos de cada empresa competit iva, ento entonces nces se consid era la función funci ón de CMg CMg del monopoli o como la función de oferta de las las empresas empresas comp etitivas. Asum As um iendo ien do que qu e el mercado es perfectamente competitivo, el impuesto por unidad específica se presenta como un desplazamiento, arriba a la izquierda, de la función de oferta. La cantidad de equilibrio será menor y el precio mayor después del impuesto. Observemos el comportamiento de la industria competitiva fr ente a estos estos dos t ipos
de impuestos, en el grafico q ue sigue a continu ación. Si en en lugar lug ar de aplicar un im puesto específico po r uni dad de venta se aplicara un im puesto de suma fija, entonces entonces el nivel de producc ión do nde la oferta es igual a la demanda demanda no se modif ica porq ue el el imp uesto de suma fija actúa actúa como un cost o fijo. En otras palabras, si la func ión de d e oferta es es del ti po P = f(Q), f(Q), la función fun ción de oferta ofert a con un im puesto d e suma fija es: P = f(Q). f(Q). No No se prod uce ning ún cambio. Sin embargo, si el mon to del im puesto de sum a fija es de tal naturaleza que provoca que los vendedores obtengan una pérdida mayor al costo fij o sin impuest i mpuestos, os, entonces saldrán en el el mercado en el el cor to plaz pl azo. o. Si Si las empresas han ajus ajustado tado sus i nversi ones de manera manera eficiente y el gobierno imp one el el imp uesto de suma fija provocando pérdidas económicas, entonces también saldrán del mercado. Solo si las empresas empresas si guen obteniendo beneficios beneficios el impuesto de sum a fij a no prov ocará el cierre de las las empresas. Las empresas empresas seguirán seguirán pro duciendo al mismo nivel y al mi smo pr ecio. El El excedente excedente de los consumi dores no se modifica, tampoco el beneficio operativ op erativo o de la empr esa (IT (IT – CV). CV). En consecuenci a, en el el grafico gr afico de arriba no h ay cambi cambi os en el precio y cantidad cantid ad de equilibri equili brio o si se aplica un imp uesto de suma fija. Pero Pero para que esto su ceda, el impu esto de sum a fija debe ser de tal naturaleza naturaleza que no pr ovoque ovoq ue la salid salida a de las empresas del mercado. En el caso del del im puesto específico, específico, la producción disminu ye y el precio sube. En consecuencia se produ ce una inefici encia en en el mercado. Disminuye el excede excedente nte del consumid or y el del producto r. En el caso caso en que el monop olista oli sta actúa como maxi mizador de ventas, entonces el el niv el de producción queda determinado determinado por la función de demanda. demanda. El El mon opolist a no considera la función de costos. Para Para maximi zar zar las ventas el mo nopolis nopo lista ta aplica las CPO a la funció n de ingreso marginal: ∂ IT ∂Q
= IMg =
iguales al al 0 Como los cos tos medios son constantes e iguales
costo marginal, asumimos que la empresa está operando sobre un nivel de prod ucci ón do nde P> CMg CMg = CMe. CMe. La dist ancia entre el precio (ing reso medio) y el costo medio, es es el beneficio beneficio medio: Me = P – CMe.
Si el gobierno aplica un impuesto específico entonces la curva de CMg se desplaza verticalmente hacia arriba una distancia igual al imp uesto, digamos t . Si t es menor que el beneficio medio, la empresa seguirá operando sobre el mismo n ivel de producción. Si t es igual o mayor al beneficio medio la empresa sale del mercado. ¿Qué ocurr e si el impuesto no es un impuesto especifico por uni dad vendida sino un im puesto de monto fijo?. El CMg no se ve afectado porque el imp uesto se aplica como un incremento en los cos tos fijos de la empresa. Además la función de CMg no partici pa en la determinación del nivel de producci ón por que la empresa es maximi zadora de ventas. Aquí si el b eneficio total después de pagar el i mpuesto de suma fi ja es positi vo l a empresa seguirá operando. Pero si los beneficios son negativos la empresa sale del mercado. Observemos la situación en el grafico que sigue. El nivel de produc ción que maximiza las ventas se encuentra cuando hacemos IMg = 0 que es la co ndición donde el IT se maximiza. Observe que la producció n queda determinada exclusivamente por l a función d e demanda. Cuando se aplica el i mpuesto específico, la cur va de CMg se desplaza verticalmente hacia arri ba en el mont o del impuesto. Pero esto n o afecta la producci ón de equilibr io encontrada antes. El grafico ind ica que el beneficio con la aplicación del i mpuesto es aún positivo y la empresa continúa en el mercado. Si el impuesto fuera mayor y el beneficio f uera enton ces negativo, la empresa sale del mercado.
Si en vez de un impuesto específico se fijara un impuesto de suma fij a, el nivel de producción no cambia porque la demanda no cambia. La conclusi ón es que la empresa saldrá del mercado sól o si el impuesto de suma fija transforma los beneficios económicos en pérdidas. En el caso de la empresa monopólica maximizadora del beneficio, si se aplica un impuesto específico, la funció n de CMg se desplaza como antes, verticalmente hacia arrib a. El precio sube y l a cantidad dism inuye. (Nota: Si la func ión de demanda no fuera lineal es factibl e esperar un int eresante resultado, la aplicación de un impuesto específic o puede dar como r esultado un incremento en el precio por encima del mont o del impuesto. Dejamos al lector hacer el análisis correspondiente que explique esta posibilidad.) Si en vez del impuesto específico se aplicara un impu esto de suma fij a, ni el precio ni la producción se modifica pero se ve afectado el beneficio en el monto del impuesto. Si este es mayor al beneficio sin i mpuestos la empresa sale del mercado. 21)
Considere un monopoli sta que enfrenta dos mercados separados con las siguientes funciones de demanda: Q 1 = 24 - P1; Q2 = 24 - 2P2. Los costos de producc ión del monopol ista son CT(Q1, Q2) = 6(Q1 +Q2). a)
b)
Determine el precio y la cantidad que maximiza el benefici o del monopolista para cada mercado. Suponga que el mon opolista está prohibido por la ley para practicar la discriminación de precios. Determine el precio y la cantidad que maximiza el b eneficio del monopo lista.
c)
d)
e)
f)
Estime el excedente del consum idor, el beneficio del m onopolis ta y la perdida de bienestar encont rados en las part es (a) y (b) y escriba un com entario comentando ambas situacio nes. ¿Debe consid erar el Gobierno pr ohibir la práctica de la discrimi nación de precios? Explique. Resuma los resultados encon trados en las partes (a), (b), y (c) en un gráfic o. Identif ique punt os sobre él, grafique y sombree las áreas correspondientes al excedente del co nsumidor y el beneficio del monopolista. Suponga que el monopolist a es permitido discri minar como en la parte (a), pero los cons umid ores son c apaces de revender el producto entre los mercados incu rriendo en un cost o de $3 por unid ad. ¿Cuál será el pr ecio y la cantidad en cada Mercado dada esta posibilidad de actuar de los consumid ores. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar el monop olista para convencer al gobierno de aprobar una ley que prohibiera a los consumi dores la reventa del pr oducto? Explique su razonamiento. Si hacemos Q 1 + Q2 = Q CT = 6Q CMg = 6. Como el monopolista enfrenta mercados separados, la condic ión IMg = CMg se convierte en: CMg = IMg 1, CMg = IMg 2 CMg = IMg1 = IMg 2. El monopolis ta distribuye las ventas entre los disti ntos mercados que enfrenta de acuerdo con el principi o IMg = CMg. La primera venta la realizará allí donde el IMg > CMg. Si el IMg1 > IMg 2 entonces el monopo lista venderá la primera unidad en el primer mercado. Si con la segund a unidad el IMg 1 > IMg 2 seguirá vendiendo en este mercado. Pero tenga en cu enta que el IMg es decreciente. En consecuencia en algún momento el IMg 2 > IMg 1 y el monopolist a venderá en el mercado 2. Este procedimiento si gue hasta que se cumpla CMg = IMg1 = IMg 2. Como Q1 = 24 - P1 P1 = 24 - Q1 IMg 1 = 24 – 2Q1. Como Q2 = 24 - 2P2 P2 = 12 – Q2/2 IMg 2 = 12 – Q2. Haciendo CMg = IMg 1 24 – 2Q1 = 6 Q1* = 9 P1* = 15. Haciendo CMg = IMg 2 12 – Q2 = 6 Q2* = 6 P2* = 9. El grafico de la izquierda muestra los resultados encontrados.
Se iguala el IMg de cada mercado con el CMg del mono poli o y quedan determinados Q* 1 y Q* 2. Luego se sube hasta la función de demanda de cada mercado y quedan determinados P* 1 y P* 2. Observe que el precio más alto se obtiene en el mercado 1 dond e los pr ecios de reserva siempre son más altos que en el caso de los consumidores en el mercado 2. En este caso el monopol ista cobra más donde los consumid ores están di spuestos a pagar más. Lo co ntrario su cede en el mercado 2. Los cons umidores ti enen precios de reserva menores y el monop olista cobr a allí un p recio menor. Supongamos ahora que el monopolist a no puede discriminar precios. Es decir q ue es un monopoli sta de precio único. En este caso la condici ón para maximizar el beneficio es IMg = CMg. Pero la func ión IMg se deriva de la func ión i nversa de demanda del monopolio. ¿Cuál es la func ión inversa de demanda del monopol io? El monopolio enfrenta dos mercados di ferentes, pero com o no puede explo tar esa diferencia discri minando p recios, debe vender a cada mercado al mis mo precio. El probl ema es entonces obtener la demanda del mon opol ista en cada mercado para cada precio. Esto es, la suma hor izontal de las dos f unci ones de demanda. El resultado será la función de demanda del monop olio que es una func ión qu ebrada. Tenga en cuenta que los cons umidores están disp uestos a com prar hasta el pr ecio 24 en el mercado 1 pero en el mercado 2 están dis puestos a comprar hasta el precio 12. Por lo tanto l a demanda del monopol ista a precios a partir d e 24 y hasta 12 es la demanda del mercado 1. A parti r del precio 12 hacia abajo la demanda del monopol ist a es igu al a la suma de las canti dades demandadas en cada mercado. El punto de quiebre se pro duce al nivel del pr ecio 12. A partir de este precio la demanda del monopoli sta es más “ echada” . Q1 = 24 - P, Q2 = 24 - 2P
Q1 + Q2 = Q
Q = 48 – 3P es la fun ció n de demanda del monop oli o para precios a partir d e P = 12 hacia abajo. Q = 24 – P es la fun ció n de demanda del monop oli o para precios entre P = 24 y P = 12..
Observe que como CMg = 6 entonces empl earemos l a demanda del monopolio para los preci os de 12 hacia abajo. Ahora obten emos l a fu nción i nvers a de demanda del m onopol io: Q = 48 – 3P P = 16 – Q/3 IMg = 16 – 2Q/3, haciendo CMg = IMg 6 = 16 – 2Q/3 Q* = 15 P* = 11.
El siguiente grafico muestra la situación cuando el monopo lista no puede discriminar precios. La demanda del mercado es una demanda quebrada. El tramo de color azul corresponde a la func ión de demanda del mercado 1. Para estos precios no demandan los consumid ores del mercado dos. El tramo de color v erde corresponde a la suma horizontal de las demandas del mercado 1 y del mercado 2. Por esta razón esta demanda es más “ echada” que en el caso del primer tramo. Anotamos como un r esultado i nteresante el h echo q ue l a curva de IMg es una curva “ rota” que resulta de una curva de demanda quebrada. Al nivel de la produ cción Q = 12 la función IMg del mercado presenta una disconti nuidad, un “ hueco” . Esto por que a ese nivel de pro ducción el IMg correspondi ente a la demanda del mercado de altos pr ecios, sólo el mercado 1, es igual a 0, mientras que la curva de IMg del mercado cor respond iente al tramo más “ echado” tiene un valor igual a 8. La longitud del “ hueco” es 8 - 0 = 8. Igualando el IMg co n el CMg se encu entra Q* = 15 y P* = 11. Observe que la producción c uando el mono polista no di scrimin a es igual a la producci ón cuando discri mina precios en dos mercados. Vamos a estimar ahora el excedente del con sumi dor (EC), el beneficio del monopolist a ( ) y la pérdi da de bienestar soc ial (PBS) por l a presencia del monopoli o, en el caso de la discrimi nación de precios. El grafico qu e sigue nos ayudará a hacer estos cálculos. El excedente del consumidor es el área del polígono debajo de la función de demanda y encima del precio del monopol ista de precio único: (24-12)(12)/2 + (12-11)(12) + (12-11)(15-12)/2 = 85.5.
El beneficio del monopolista de precio único es el área del rectángulo debajo del precio y arriba del costo m edio. Tenga en cuenta que si el CMg es constante entonces CT = CMgQ y el CMe = CT/Q = CMgQ/Q = CMg. El área de este rectángulo es: (11-6)(12) = 60. La pérdida de bienestar soc ial es el área del triángulo debajo de la función de demanda y arriba de la función de cost o marginal limit ada por el precio único del monopol ista y por la intercepción de la demanda con el CMg. Tenga en cuenta qu e es el área que se pierde por no estar bajo la solución del modelo com petitivo. En nuestro caso esta área es: (11-6)(30-15)/2 = 37.5. ¿Cómo son todos estos valores en el caso que el monopolista discrimina precios? Los gráficos que siguen nos ayudarán a estimar el EC, el y la PBS cuando el monopolista discrimin a precios. En el caso del primer mercado se alcanzan los siguientes resultados: EC = (24-15)(9)/2 = 40.5. = (15-6)(9) = 81.
PBS = (15-6)(9)/2 = 40.5. Observemos ahora el comport amiento en el segundo m ercado. Tenga en cuenta que en este mercado el p recio m áximo d e reserva de los c onsumidor es es de 12: EC = (12-9)(6)/2 = 9. = (9-6)(6) = 18. PBS = (9-6)(6)/2 = 9. Ahora considerando los dos mercados, los resultados s erán: EC = 49.5; = 99; PBS = 49.5.
En el siguiente cuadro se puede observar de manera comparativ a la situación de la empresa, cuando discrim ina precios y cu ando fija un precio único.
Excedente del Consumidor Beneficio Pérdida Bienestar Social
Monopolio de Precio Único 85.5
Discriminador de Precios 49.5
60 37.5
99 49.5
Se puede concluir, desde el punto de vista del mono poli sta, que si se puede discrim inar precios entonces los beneficios son mayores. El incremento de los b eneficios provoca la disminuc ión del excedente del cons umid or y el incremento de la PBS. Desde el punto de vis ta de la sociedad para este mercado, es claro que es mejor el monopol io de precio único que permitir la discri minación de precios. Finalmente, antes que la discr iminación de precios o el monopolio de precio único, es mejor el modelo comp etitivo dond e la PBS es cero. En consecuencia el Gobierno debería considerar la prohibición de la discrimi nación de precios. Ahora supongamos q ue el Gobierno no i nterv iene en el mercado y que el costo d e transacción entr e los mercados es de 3. Bajo esta nueva circun stancia, parece conv eniente comprar en el mercado donde el precio es más bajo y vender en el mercado donde
el precio es más alto, siempr e que la diferencia de precios cubra el costo de transacción entre mercados. Así, si c ompramos al preci o 9 en el m ercado 2 y vendemos al precio 15 en el mercado 1 incur riendo en un cos to de 3 por r ealizar esta transacción, tendríamos un beneficio d e 15 – 9 – 3 = 3. Para el consumi dor del mercado 1 le es indiferente compr ar al monopolista al precio 15 o a un revendedor del mercado 2 al mismo precio. Pero para el mon opol ista esta diferencia sí exist e. El monopoli sta podría evitar esto o freciendo un pr ecio de 14 al consumidor del mercado 1. En este caso el consumidor preferiría comprar al monopol ista. Pero si esta fuera la conduct a del monopol ista, el revendedor del mercado 2 estaría dispuesto a vender al consumidor del mercado uno al precio 13. Ahor a el consumi dor del mercado 1 preferiría al revendedor en vez del monop olista. Si ahora el mon opol ista vende al precio 12, que es igual al precio en el mercado 2 más los costos de transacción para los revendedores, los revendedores no tendrían ningún estímulo para su actividad. En consecuencia la discri minación de precios no generaría todos lo s beneficios que espera el monopolista. En esta situación P1 = 12, Q1 = 12, P2 = 9, Q2 = 6. Observe que esta situación s e produce porq ue el cost o de transacción es menor a la diferencia de precios entre los mercados. Si el monopolist a lleva esta discriminación al niv el donde la diferencia de precios es igual al cost o de transacció n, desaparece la reventa. Más aún, si los cost os de transacci ón fueran cero, la diferencia de precios entre los mercados desaparecería y desaparecería la discriminación de precios. Podríamos encontr ar estos m ismos result ados de esta otra manera. Como P1 – P2 > 3 enton ces se estimula la presencia de revendedores que prov ienen del mercado 2. Podemos restringir la formación de precios de tal manera que P 1 – P2 = 3 ó que P1 = P2 + 3. La función inversa de demanda del mercado 2 es: P2 = 12 – Q2/2 IMg 2 = 12 – Q2. Pero IMg 2 = CMg 12 – Q2 = 6 Q2 =6 P2 = 12 – 6/2 = 9
P1 = 9 + 3
P1 = 12
Q1 = 24 – 12
Q1 = 12.
En consecuencia si en el mercado existe la posi bilidad de reventa porq ue el cost o de transacción es menor a la diferencia de precios entre los mercados, el m onopolist a se ve obligado a reducir el
precio en el mercado do nde el precio es más alto hasta que la diferencia de precios sea igual al cost o de transacción . En este caso los beneficios del mo nopolist a disminuyen. En el mercado 1 se venden 12 uni dades al precio de 12, IT = 144, CT = 12*6 = 72 = 72. En el mercado 2 se venden 6 unidades al pr ecio 9, IT = 54, CT = 6*6 =36 = 18. En consecuenci a el benefici o tot al es de = 90. Pero el beneficio alcanzado discr iminando precio s y sin reventa es igual a = 99. En consecuencia, el pago máximo que estaría disp uesto a realizar el mono poli sta para que el Gobierno proh íba legalmente a los consumidores la reventa sería de 9. 22)
Considere ahora un monopolist a que publicita su produ cto. La demanda depende del precio P y de los gastos en publi cidad: P = 100 – 3Q + 4A 1/2. Los costos son CT = 4Q2 + 10Q + A. a) Encuentre el precio y l a cantidad que maximiza el benefici o del monopoli sta si éste no emplea publicidad. b) Ahora encuentre la solución cuando la empresa puede fi jar el precio y la publici dad; encuentre el precio óptimo, la produc ción y el niv el de public idad. c) ¿Ha cuánto asciende el beneficio adic ional del monopol ista a consecuencia de la publicidad? d) Evalúe la elasticidad pr ecio de la demanda y la elastic idad publ icidad de la demanda en la solución ó ptima de la parte (b) y verifique que se mantiene la condición Dorfman-Steinner.
Si el monopolis ta no emplea publici dad entonces A = 0 P = 100 – 3Q IMg = 100 – 6Q. El costo marginal es: CMg = 8Q + 10. En consecuencia, el volumen de producción que maximiza el beneficio para el monopol ista, cuando no hace publ icidad, se encuentra mediante: 100 – 6Q = 8Q + 10 Q* = 6.43 P* = 80.71. El beneficio que se obtiene es: 6.43*80.71 – 4(6.43)2 – 10(6.43) = 518.97 – 229.68 = 289.29.
En el grafico de la izquierda, el área del rectángulo celeste es el beneficio del
monopoli sta cuando no hace publicidad. Observe que en este caso el área arriba del CMg y d ebajo del precio del monopol ista sí representa todo el beneficio. Esto es así porque la func ión del CT depende del volumen de producc ión y no se presentan cost os fijos. Esta situación cambia cuando se considera el gasto pu blicit ario que actúa como un cost o fijo. ¿Qué sucede ahora si A > 0? La func ión de demanda con pu blicidad es: P = 100 – 3Q + 4A1/2. La función del ingreso total: IT = 100Q – 3Q 2 + 4A 1/2Q; la función de CT con publi cidad: CT = 4Q2 + 10Q +A = 100Q – 3Q 2 + 4A 1/2Q - 4Q2 10Q - A . Aplic ando las CPO: ∂π ∂Q
=
0
100 – 6Q + 4 A 1/2 – 8Q -
10 = 0 (I) ∂π ∂ A
=0
2Q/ A 1/2 –1 = 0 (II)
Resolviendo el si stema de ecuaciones (I) y (II) se encuentra Q* = 15 y A* = 900 . Reemplazando estos v alores en
la ecuación d e demanda, se obtiene P *= 175. El grafico de la izquierda combi na la situación d e la empresa cuando hace publicidad y cuando no la hace. Con publicidad el beneficio asciende a: = (100 – 3Q + 4A 1/2)*Q - 4Q2 - 10Q – A = 675. Este es un beneficio much o mayor que el que alcanzaba la empresa sin hacer publi cidad. Sin embargo el área del beneficio co n publici dad del grafico no considera el gasto en publ icidad. Este beneficio variable asciende a 1575 que descontado el gasto publ icitario nos da el mismo r esultado d e antes, 675. Observe que la demanda con publ icidad tiene la misma pendiente que la demanda sin publicidad pero está mucho más a la derecha que esta. Una lectura sencilla del im pacto de la publicidad es que ahora los consumid ores están disp uestos a un precio d e reserva mucho m ayor que antes por las mis mas cantidades del produ cto. Al expandir se la demanda por el efecto de la public idad se expande la producc ión qu e maximiza el beneficio y el precio al que se vende. Observe también que la función de CMg con publici dad y sin publici dad es la misma. Esto porque el gasto publicitario es independiente del volumen de la producción. A = 900 es el monto ó ptimo de gast o p ublicitar io que m aximi za lo s beneficios del monopoli sta. Veamos si se cumple la condición Dorfman-Steinner. Esta condición establece que el gasto publicitario es eficiente (en el sentido de maximizar el beneficio), cuando su peso sob re los in gresos por ventas de la empresa es igual a
−
ε
, donde
A
A es
la elasticidad del g asto publi citario.
ε
La elasticid ad del gasto publici tario se define como la variación porcentual en la cantidad demandada resultante de la variación porcentual en el gasto publ icitario continua:
ε
A
=
∂Q
A
∂ A
Q
Para nuestro caso,
ε
A
=
∆ %Q ∆ % A
. En términos de una variable
. ∂Q
=
∂ A
precio de demanda es:
ε
2
A =
3 A1 / 2 =
2
900
3(900)1 / 2 15
∂Q
P
∂Q
∂P
Q
∂P
=−
1 3
ε
= 1.33 .
=−
1 175 3 15
La elasticidad = −3.88 .
En
consecuencia, aplicando la condició n Dorfman-Steinner, el mono polista está maximizando beneficios cuando invierte A en gasto publi citario si se cumple que:
A PQ
=−
ε
A
ε
900
=−
175 * 15
1.33 3.88
0.34.29 = 0.3428.
En consecuencia sí se cump le la condición Dorfm an-Steinner. Cuando el mono poli sta gasta un 34.39% de sus ventas en publi cidad, entonces el beneficio alcanzado es el máximo p osib le. Usted vende dos bienes, 1 y 2, a un Mercado for mado por tres consumido res cuyos precios de De 2 reserva son lo s que se aprecian en el 70 cuadro de la izquierda. El co sto u nitario 40 de cada product o es de 20 dólares. 10 a) Calcule los pr ecios y los beneficios ópti mos en el caso que (I) los bi enes se venden po r separado, (II) se vendan sólo en paquete, y (III) se vendan por separado o en paquete. ¿Qué estrategia es más r entable? ¿Por qué?
Precio de Reserva Consumi dor De 1 A 10 B 40 C 70
b)
23)
Como el CMe es de 20 dólares para el bien 1 c omo para el bien 2, el mono poli sta bajo la estrategia de venta por separado estará interesado en vender si empre y cuando cubra sus co stos y obtenga el máximo beneficio . Tenga en cuenta que la venta por separado, en paquete, o la estrategia mixta (por separado o por paquete9, se aplican cuando el monopoli sta no puede discrimi nar precios. Entonces, en la venta por separado el monopolist a actúa como un monopoli sta de precio úni co. Sólo ti ene tres opciones de precio, 10, 40 ó 70. Al precio m ás bajo no se cubr en los cost os. Al precio 40 el beneficio medio es 20 y las ventas serían 4 unid ades (2 del bien 1 y dos del bi en 2. Las ventas correspond en a los consumi dores di spuestos a pagar 40 o 70). Enton ces el beneficio tot al es 20*4 = 80. Si el monopolista escoge el precio máximo de reserva, tendría una demanda de 1 unidad por cada bien, el beneficio medio será 70 – 20 = 50 y el benefi cio total 50*2 = 100. En cons ecuencia, en la estr ategia de venta por separado, el pr ecio sería P1 = P2 = 70, Q1 = Q2 = 1 y = 100.
Si la estrategia de precios fuera la venta conjunt a pura o venta en paquete, observamos que los c onsumidor es tienen un solo precio de reserva para el paquete: 80. En consecuencia, el mon opol ista vendería tres paquetes y obtendría un benefici o medio por paquete de 80 –40 = 40. (Tenga en cuenta que como el paquete está integrado po r una unidad de cada bien, el costo medio por paquete será 20 + 20 = 40). En consecuenci a, en la estrategia de venta con junt a pura, el pr ecio del paquete es PP = 80, QP = 3 y = 120.
Si la estrategia de precios fuera la venta conjunt a o por separado, se busc aría un precio atractivo p ara aquellos que tienen un alto pr ecio de reserva por un b ien y, simul táneamente, un bajo precio de reserva por el otr o. Por ejemplo, el consum idor A o C muestran precios de reserva que se correlacion an negativamente. A está dispuesto a pagar un precio muy bajo por el bien 1 pero un o muy alto por el bien 2. C está disp uesto a pagar un precio muy alto por el bien 1 pero un o muy bajo por el bien 2. Observe que los precios de reserva bajos son inferiores al costo medio. Si tanto A co mo C están dispuesto s a pagar un pr ecio por paquete de 80, podríamos estimularlos a comprar por separado ofreciendo un pr ecio ligeramente menor al pr ecio máximo de reserva. Por ejemplo v ender a los precios P1 = P2 = 69. En este caso el beneficio medio será 49 y se venderán dos uni dades (uno de cada bien) con un b eneficio total de 98. De otro lado, el consumi dor B aprecia por i gual ambos bienes. Está dispuesto a un pr ecio por paquete de 80 y compraría un paquete. Al precio por separado de P1 = P2 = 69, no compr aría nada pues sus pr ecios de reserva por cada bien ll egan sól o a 40. En este caso el mon opol ista fij aría un pr ecio por paquete de PP = 80, con u n beneficio medio de 40 y beneficio total de 40. (Se vende un paquete, los co stos son 20 + 20 y el ingreso 80). El beneficio total con esta estrategia será 40 + 98 = 138. En consecuenci a, en la estrategia de venta con junt a o por s eparado, el precio del paquete es PP = 80 y los pr ecios po r separado: P1 = P2 = 69, el beneficio tot al asciende a 138.
Como conclusión , si el monopolista no puede discriminar precios, su mejor opció n es la venta por paquete o por separado. Aquí el con sumidor tiene la opción de compr ar el paquete (caso de b) o comprar por separado (caso de A y C). Este resultado d epende de la presencia de una correlación negativa de precios. Si los consum idores están dispuestos a precios de reserva altos por un bien y bajos por el otro, de manera cruzada, la venta conjun ta pura es la mejor opción. Si los co nsumidor es tienen una corr elación de precios negativa, pero un grupo de ellos muestra indiferencia en sus precios de reserva por uno u otro bien y sus precios de reserva están por encima del cost o medio, entonces l a estrategia de la venta mixt a es la más apro piada. En este caso, los consu mido res que no establecen mayores diferenci as de precios entr e uno y otro bi en, prefieren comp rar el paquete, mientras que los que dif erencian fuertemente sus precios d e reserva, preferir án el precio por separado. Por ejemplo, el consumidor A debe optar entre comp rar el paquete a 80 ó el bi en 1 o el bien 2 a 69 por separado. Si bien está dispuesto a pagar 80 por el paquete, la apreciación q ue tiene del bien 1 es de 10 y si compra el paquete estaría pagando 40 en pr omedio por este bien. Al contrario si co mpra por separado a 69 compra a un precio menor que su propio precio de reserva.
24) Su empresa produce dos p roductos , Precio de cuyas demandas son ind ependientes. Reserva Los dos se producen con un c oste Consumi dor De 1 De 2 marginal nulo. Usted se enfrenta a A 30 90 cuatro consumid ores (o grupos de B 40 60 consumido res) que tienen los C 60 40 siguientes precios de reserva: D 90 30 a) Considere tres estrategias de precios distintas: (I) la venta de los b ienes por separado; (II) la venta conjunta pura; (III) la venta conjunta mixta. Averigüe los precios óptimos que deben cobr arse y los beneficios resultantes en el caso de cada una de las estrategias. ¿Cuál es la mejor? b) Suponga ahora que la prod ucci ón de cada bien tiene un cost e marginal de 35 dólares. ¿Cómo cambia su respuesta a la pregunta (a) con este supuesto?
Si el cost o marginal es nulo entonces la función de costos del monopoli sta es del ti po CT = , donde este parámetro cor responde a los costos fijos de la empresa. Asumiremos que este valor es nulo. Tomaremos la función ingreso tot al como la funci ón beneficio para el mono poli sta. (Si CF > 0 entonces el beneficio será IT – CF. Cualquier estimació n del beneficio no c ambiará el orden de preferencias de acuerdo a la magnitud del beneficio total real). En el caso de la venta po r separado, nos interesa el precio m ás bajo posi ble. Este es P1 = P2 = 30. A este precio se venden 8 unidades (4 del bien 1 y 4 del bien 2). El beneficio alcanzado es 8*30 = 240. El mismo resultado se alcanza si el p recio f uera 40 o 60, porque se venden 6 y 4 unidades qu e dan un beneficio de 240.
Precio de Reserva Consumidor De 1 De 2 PP A 30 90 120 B 40 60 100 C 60 40 100 D 90 30 120
En consecuenci a con la estrategia de ventas por s eparado se venden 4 uni dades de 1, 4 unidades de 2, los p recios s on P1 = P2 = 30, el beneficio es = 240.
En el caso de la venta conju nta pura, el precio por paquete sería el menor (de nuevo por que no se consid eran cost os) P P = 100 y se venderían 4 paquetes. En consecuenci a con la estrategia de la venta conjun ta pura se venden 4 paquetes, el recio es PP =100 y el beneficio es = 400.
En el caso de la venta conjunt a mixta los consu midores tienen la opción de compr ar el paquete o cada bien por separado. Si por separado se fij a un precio lig eramente menor al precio máxim o de reserva, P1 = P2 = 89, se
venderían 2 unidades; al precio por paquete PP = 100, se venderían 2 paquetes, los beneficios serían 89*2 + 100*2 = 378. En este caso no tiene sentido excluir al cons umidor A y D de comprar el bien 1 y 2 respectiv amente. Tenga en cuenta que los cos tos marginales son nu los. Si elevamos el precio del paquete a 120 venderíamos dos paquetes con un beneficio de 240. ¿Cuál sería el precio p or separado? El pr ecio máxim o de reserva en estas cond iciones, nos daría P1 = 60 = P2, se venderían do s unidades con un beneficio de 120 y el beneficio t otal sería 360. En consecuenci a la presencia de CMg nulos hace que la venta conjunt a pura sea más r entable. ¿Qué pasa si asumi mos un cost o margin al de 35 por cada bien? En este caso el precio por separado no puede ser de 30. Asumiendo CF nulo s, entonces CMg = 35 = CMe. Al precio P1 = P2 = 40, se venderían 6 unidades (3 de 1 y 3 de 2) con u n beneficio medio de 40 – 35 = 5, y un benefici o total de 30. Pero al precio P1 = P2 = 60, se venderían 4 uni dades con u n benefici o medio de 25 y un beneficio total de 100. Pero al preci o P1 = P2 = 90, se venderían 2 uni dades con u n benefici o medio d e 55 y un benefici o to tal de 110. En consecuenci a con la estrategia de venta por separado, el precio d el bien 1 y del bien 2 serían de 90. Con la estr ategia de venta conj unta p ura, se vendería el p aquete a 100, se venderían cuatro paquetes con un c osto de 70 y un beneficio m edio de 30, y s e alcanzaría un beneficio tot al de 120.
Con la estrategia de venta conjunta mixta el precio por separado sería P1 = P2 = 89, se venderían dos un idades con un benefici o medio de 54 y un beneficio total de 108. El precio po r paquete sería de 100 y se venderían dos paquetes con un cos to de 70 cada uno y un benefic io medio de 30, y un benefic io total de 60. El beneficio result ante de esta estrategia sería 168. Una alternativa sería elevar el precio del paquete a 120, se venderían dos paquetes con un c osto medio de 70 y un benefici o medio de 50, beneficio total 100. El pr ecio po r separado sería 60, se venderían dos unidades con un beneficio medio de 25 y un beneficio total de 50. El resultado aquí sería de un benefici o total de 150. 25)
Un monopolista enfrenta la siguiente función inversa de demanda: P = 12 -Q. Sus cost os son CT = 6Q. Si se le permite emplear una po lítica de precios para formar una tarifa en dos tramos, ¿cuál deberá ser el precio por unidad establecido y el derecho de ingr eso (tarifa), a fin de maximizar el beneficio? Expl ique la lógica de su respuesta empleando un gráfico.
En el caso de la tarifa de dos tr amos, si el monopolist a enfrenta un solo ti po de consumidor es la tarifa o d erecho de ingr eso al mercado es el excedente del consumido r. El precio por u nidad es igual al costo marginal. En este caso, el precio por unid ad sería 6 y la tarifa: (12-6)(6)/2 = 18. Para este caso como el mon opol ista no enfrenta costos fij os, CMg = CMe = 6. En consecuencia el precio p or u nidad es apenas suficiente para cubrir lo s cost os medios. El benefici o será íntegramente el excedente del consumidor. Si la empresa no empleara la tarifa de dos tr amos y actuara como u n monopolista de precio único, el beneficio que obtendría sería menor. En el grafico que sigue se puede apreciar el precio y la produ cción en este caso. Al grafico anterior se ha añadido l a función de ingreso margi nal. La cantidad maximizadota de beneficio s es ahora de 3 unidades y el precio d e 9. El beneficio es el área del rectángulo de color azul. El beneficio medi o es (9 – 6) = 3, y el beneficio total: 3 * 3 = 9. Es obvio qu e la tarifa de dos t ramos genera un benefici o bastante mayor al monopoli sta. Con esta estrategia de precios se apodera del excedente del consumidor, que en el caso del monopolista de precio ú nico,es, (12 – 9)(3)/2 = 4.5. Pero además se apodera del área debajo de la curva de la demanda y arrib a del costo marginal entre los niveles de producc ión de 3 y 6 unidades. El área de este triángulo es de 4.5. 26)
Existen dos tipos d e consumidores en el mercado de un cierto bien y una sola empresa que lo prod uce; sin embargo la empresa debe venderles a todo s al mismo precio. Las funci ones de demanda son las siguientes: Q A= 130 – P (demanda alta); Q B= 100 – P (demanda baja). La empresa enfrenta un costo margin al const ante igual a $10. a) Calcule el beneficio para la empresa si fija un pr ecio de dos tramos de la siguiente manera: P = $10 y T = Excedente del Consumi dor de demanda baja, como un derecho fij o para acceder a la comp ra de cualquier cantid ad de unidades.
b)
c)
Calcul e el beneficio de la empresa si fija un preci o de dos tramos de la siguiente manera: P= $15 y T = Excedente del Consumid or de demanda baja, como un derecho f ijo para acceder a la compra de cualquier cantidad de unidades. ¿Cuál de las anterior es estrategias de precios es más rentable? Si el precio es i gual al CMg y la tarifa es igual al Excedente del Consumi dor d e demanda baja, entonces el beneficio será: (100 – 10)(90)/2 + (130 – 10)(120)/2 = 4050 + 7200 = 11250. (Nota: no estamos considerando el CF en la estimación del beneficio; es decir, estamos estimando el beneficio variable)
Si el precio fuera 15, es decir mayor al costo variable medio (recuerde que si CMg = 15 CV = 15Q CVMe = 15) y la tari fa fuera el excedente del consumi dor d e demanda baja (ver el grafico que sigue más abajo), el beneficio s erá: (100 – 15)(85)/2 + (130 – 15)(115)/2 + (15 – 10)(85) + (15 – 10)(115) = 11225. Se puede concluir que la estrategia de precios más rentable es la tarifa en dos tramos con u na tarifa igual al excedente del consumid or de demanda baja y un precio igual al costo marginal. De esta manera se obtiene un beneficio de 11250. Cuando se fija un pr ecio por encima del CMg se pierde parte del excedente del cons umidor para ambos t ipos de consumi dores. Esta pérdida se recupera en parte por que ahora el pr ecio es mayor al CMg = CVMe, pero siempre se pierde el área de los tri ángulos de colo r rojo en el grafico . Esta área es (15 – 10)(90 – 85)/2 + (15 – 10)(120 – 115)/2 = 12.5 + 12.5 = 25.
25 es la diferencia de beneficio entre la primera estrategia de precios y l a segunda. 27)
SEDAPAL ha decidido f ijar una tarif a de ingreso a sus nuevas inst alaciones en la Carretera Central. El Parque de Atracci ones y Zoológico recibe las siguientes demandas de parte de la población: PB= 2 – 0.001Q B (durante la semana); P A= 20 – 0.01Q A (los fines de semana). El CMg que enfrenta SEDAPAL es: CMg = 1 + 0.004Q. a) Si SEDAPAL se decidiera por adoptar l a estrategia de precios por demanda pico, halle el precio y l a cantidad de famili as que visitan el Parque de acuerdo a sus respecti vas demandas; b) Explique el impacto del cambio de esquema de precios si originalmente se tenía pensado emplear un precio úni co. ¿Cómo se ve afectado el excedente del consu mido r, el excedente del product or, el beneficio y el bienestar?
La discrimi nación de precios por demanda pico bu sca cargar con pr ecios más altos a los consumido res con d emanda alta. Sin embargo implic a también que para atender a la demanda alta se enfrentan cost os marginales crecientes. En el grafico de la izquierda se observa que existe una sol a curva de CMg y que es creciente a medida que se incr ementa la producción. Para encontrar la solución de equilibrio, se iguala el CMg del monopolista con el IMg en cada uno de los mercados. Obteniendo las funci ones de IMg de sus respecti vas funciones inversas de demanda, se igual con la función CMg y s e obtiene: P A = 12.083; Q A = 791.66; PB = 1.83 QB = 166.66 .
Durante la semana la demanda es baja, acuden sólo 166.66 familias y pagan un precio b ajo 1.83; pero el costo margin al de atender a la 166.66 ava familia también es bajo, 1.66. Los fin es de semana la demanda es alta, acuden 791.66 familias y pagan un precio alto 12.083; pero el costo marginal de atender a la 791.66 ava familia también es alto, 4.17. Si SEDAPAL tenía pensado originalmente emplear un so lo pr ecio, es decir si por alguna razón SEDAPAL no puede discriminar precios, entonces debe consi derar la demanda como una sola. Tomar el IMg de esa demanda e igualarlo con el CMg. De esta manera esti maría la cantidad de familias que maximizan su benefici o y el precio que debería cobrar para todas estas familias. Para obtener la demanda del mercado sum amos horizontalmente las demandas alta y baja. Observe que el resultado s erá una curva de demanda quebrada. Tenga en cuenta que el precio de reserva máximo d e las famil ias de demanda baja es 2, mientras q ue el precio de reserva máximo de las famil ias de demanda alta es 20. Enton ces en el precio 2 se quiebra la curva de demanda del mercado. Entre el precio 2 y el precio 20 la curva de demanda del mercado es la cur va de demanda alta. Del pr ecio 2 hacia abajo la demanda del mercado es la suma hor izontal de las demandas alta y baja. P = 2 – 0.001Q para las familias de demanda baja, Q = 2000 – 1000P. P = 20 – 0.01Q para las fami lias de demanda alta, Q = 2000 – 100P. La suma horizont al de estas funciones de demanda nos da: Q = 4000 – 1100P P = 3.6363 – Q/1100
IMg = 3.6363 – 2Q/1100
3.6363 – 2Q/1100 = 1 +
0.004Q Q* = 453.11; P* = 3.22.
Sin embargo la combinación P = 3.22, Q = 453.11, no forma parte de la función de demanda del mercado precis amente porque ésta es una función quebrada de demanda. En el tramo donde el pr ecio es mayor a 2 y hasta 20 la función de demanda del mercado es la función de demanda alta. Observe el grafic o que sigue.
La curv a de demanda del mercado se quiebra al pr ecio P = 2. A este precio la demanda es ig ual a Q = 1800. Para valor es mayores a 1800 la demanda del mercado es la suma de las demandas alta y baja. Para valores menores la demanda del mercado es l a demanda alta. En consecuencia la solució n que maximiza el beneficio para SEDAPAL si tiene que fijar un solo precio es P = 12.083, Q = 166.66 y quedan exclui dos del mercados l as familias de demanda baja. En el caso del precio ún ico el excedente del consu midor de las familias de demanda alta permanece inalterable. Sin embargo l as famili as de demanda baja quedan expulsadas del mercado. Su excedente del consumidor desaparece. La pérdida de bienestar social disminuye marginalmente porque ahora no existe la pérdida de bienestar soc ial de la demanda baja. El benefic io de SEDAPAL tambi én dismi nuye margin almente porque pierde el benefici o que obtenía con las famil ias de demanda baja. Tenga en cuenta que con la form ación de precios por demanda pico, las familias de demanda baja pagan un precio por encima del CMg. En consecuencia aquí el monopolista está obteniendo un beneficio aunque pequeño. 28)
El productor de Televisión Mich ael Gómez ha terminado la edició n de su serie “ Qué tal raza!!” y la reedición de “ La rica Vicky” . En base a un estudio de mercado sobre los potenciales compradores de estas series se ha llegado a estimar los si guientes precios de reserva:
Canal 4 Frecuencia Latina Qué tal raza!! 100,000 120,000 La rica Vicky 15,000 8,000 a) Si Michael Gómez decide fijar p recios por separado, ¿cuáles serían esos pr ecios si él es un conocido maximizador de beneficio? b) Si fuera a vender sus produccion es en conj unto , ¿cuál sería el precio? (Asuma que Michael Gómez no puede discrimi nar precios y que enfrenta cost os marginales nulos). Se aprecia que los pr ecios de reserva de cada uno de los c lientes de Michael Gómez muestran una corr elación negativa. Ambos están de acuerdo con pagar precio s altos por Qué tal raza!! Y precios bajo s por La rica Vicky. Sin embargo el precio d e reserva más alto por Qué tal raza!! l o ti ene Frecuencia Latina y por La rica Vicky lo ti ene Canal 4. Considerando que los co stos marginales son nulos asumiremos el ingreso total como u n indicador del beneficio (el ingr eso total representa el beneficio variable porque no se tiene información de los costos fij os). El precio de reserva más bajo por Qué tal raza!! es 100000 y el beneficio alcanzado es de 200000 (compraría Canal 4 y Frecuencia Latina). El precio d e reserva más bajo por La rica Vicky es 8000 y el beneficio alcanzado es de 16000 (compraría Canal4 y Frecuencia Latina). El benefic io to tal con la estrategia de precio s por s eparado es 216000 . En el caso de la venta conju nta el precio d e reserva por paquete para Canal 4 sería de 100000 + 15000 = 115000. El pr ecio de reserva por paquete para Frecuencia Latina sería de 120000+ 8000 = 128000. Si se opta po r el pr ecio por paquete más bajo, 115000 se venderían dos paquetes. El benefic io to tal con l a estr ategia de venta conju nta es de 230000 . Cliente
Crema Bloqueador Humectante Solar
1 2 3 4 5
20 18 12 9 4 consumidores:
5 12 18 21 24
29)
Una empresa de cosm éticos está introdu ciendo un nuevo rubro para el cuidado de la piel: Crema Humectante y Bloqu eador Solar. La crema humectante tiene un costo de prod ucci ón de $3 la unidad y el bloqueador solar un costo de prod ucci ón de $7 la unidad. A continuación se presentan los precios de reserva de un grupo d e
a)
b)
Halle los precios que maximizan el beneficio s i la empresa vende los productos separadamente. Halle el precio que maximi za el beneficio si la empresa vende los product os en conjunto.
En la estrategia de venta por separado cuando el CMg > 0 se debe cons iderar P > CMg. Como los precios de reserva por l a crema humectante son siempre mayores que su CMg buscaremos un precio q ue maximi ce el beneficio variable. Al precio 20 el beneficio po r uni dad es 17 y el total 17 (a este precio so lo compr a el cl iente 1). Al precio 18 el beneficio por unidad es de 15 y el beneficio total 30 (compra el cliente 1 y 2). Al precio 12 el beneficio po r uni dad es de 9 y el beneficio tot al 27 (compr a el cl iente 1, 2 y 3). Al precio 9 el beneficio t otal sería 24 y al precio 4 el beneficio tot al sería 5. En el caso del bloqueador solar con un CMg de 7 queda exclui do el cliente 1. Al precio 24 el benefici o por unidad es 17 y el benefici o tot al 17. Al precio 21 el benefi cio p or unidad es 14 y el benefi cio t otal 28. Al precio 18 el benefic io por uni dad es 11 y el beneficio tot al 33. Al pr ecio 12 el beneficio por unidad es 5 y el benefici o tot al 20. Con la estr ategia de venta por separado los p recios q ue maximizan el beneficio son PCH = 18, PBS = 18 con un beneficio tot al de 63.
En el caso de la venta conjun ta se tiene en cuenta el precio por paquete (PP) de cada cliente. Si PP 1 20 5 25 = 25 se venden cinco paquetes 2 18 12 30 con un beneficio d e: 5*25 – 5*3 – 3 12 18 30 5*7 = 75. Al PP = 28 se venden cuatro paquetes con un beneficio 4 9 21 30 de: 4*28 – 4*3 – 4*7 = 72. Al PP = 5 4 24 28 30 se venden tres p aquetes con un beneficio de: 3*30 – 3*3 – 3*7 = 60. En consecuencia el precio po r paquete PP = 25 maximi za los beneficios del monopol ista, vendiendo 5 unidades de cada producto con un benefic io total de 75 mayor al beneficio de la venta por separado de 63. Cliente
Crema Bloqueador PP Humectante Solar
¿Es posi ble una estrategia de precios diferente que permit a obtener mayores beneficios ? El grafico q ue sigue muestra el comport amiento de los p recios de reserva de los cinco clientes.
Observe que sólo el cli ente 1 tiene un precio de reserva menor al costo medio del bloqueador sol ar. Todos los otr os precios son siempre mayores al cost o medio de produ cción. La recta de color verde se ha constru ido sob re la base de PP = PCH + PBS = 25 PCH = 25 - PBS . Sobre esta recta están todas las combi naciones de precios d e ambos b ienes con un p recio por paquete de 25. Observe que todos l os cli entes tienen precios por paquete iguales (cliente 1) o mayores (cli entes 2, 3, 4 y 5) al precio por paquete de 25. Sin embargo como l os cli entes 1 y 5 tienen altos pr ecios de reserva por l a crema humectante y el bloqueador soci al, respectivamente, podr íamos estimularlos a comp rar estos bi enes por separado mediante un precio lig eramente inferior a su precio de reserva. De otr o lado como l os cli entes 2, 3 y 4 tienen un precio de reserva por paquete de 30 podríamos permit irl es adqui rir el paquete a ese precio. Con una estrategia mixta de formación de precios, donde el cliente puede optar en comprar po r paquete o por s eparado, se puede incrementar el beneficio . La estr ategia de venta mixt a sería la siguiente: P BS = 23; PCH = 19; PP = 30. Al pr ecio por paquete de 30 se venden 3 paquetes. El cos to por paquete es 3 + 7 =10, el beneficio por paquete: 30 – 10 = 20, el beneficio total es 20 * 3 = 60. Al precio de 23 se vende un bloqueador s ocial. El costo es 7, el beneficio medio, 16, el benefici o total 16. Al precio 19 se vende una crema humectante. El cos to es 3, el beneficio medio 16, el beneficio tot al 16. El benefici o total por la venta por separado es 32, que sumados a la venta por paquete nos da 92.
El beneficio de la estrategia de venta mixt a es de 92. Superior a la estrategia de venta pura qu e es a su vez superior a la estrategia de venta por separado. 30)
La empresa Great Fish acaba de desarrollar un nuevo t ipo de enlatado de atún que vende en Uruguay y Paraguay. Debido a restricciones en las exportaciones e importaciones, las compras hechas por u n mercado no pueden ser revendidas al otro. Las sigui entes son las curvas de demanda en ambos mercados: P P= 90,000 – 40QP; PU= 60,000 – 50QU. La función de producción Great Fish presenta retornos constantes a escala y le cu esta $1,000,000 producir 100,000 lotes (TM) de Enlatados de Atún. a) ¿Cuál es el CMe y el CMg de Great Fish? b) ¿Cuánto debe prod ucirse en cada mercado y a qué precios? Estime las elastici dades de demanda y el Índice de Lerner para c) cada mercado d) Si se suscri biera un tratado de Lib re Comercio entre Paraguay y Uruguay y, en consecuencia, se eliminaran todas las restri cciones al comercio , ¿cuál sería el nuevo precio y canti dad de equil ibrio?.
El CMe de producción es igual a CMe =
1000000 100000
= 10 .
Como l a función d e
producción de largo pl azo de Great Fish pr esenta retorn os constantes a escala, su funci ón de CT es del tipo CT = AQ, donde A es el cost o medio constante. Una función de producci ón de este tipo es, por ejemplo, la función de producción de propor ciones fijas o función de Leontief. En consecu encia CMe = CMg =10. Para determinar el nivel de producción y precios que maximizan los beneficio s de Great Fish hacemos CMg = IMg P = IMg U. Como PP= 90,000 – 40QP
IMg P = 90000 – 80Q P PP = 45005.
Q*P = 1124.875
Como PU= 60,000 – 50Q U
PP = 30005.
Q*P = 599.9
IMg U = 60000 – 100Q U
90000 – 80QP =10 60000 – 100Q U =10
La elasticid ad de demanda en cada mercado es: ε
=
∂Q ∂P
∂Q
P
∂P
Q
=−
⇒ ε P =
1 40
⇒
ε
P
∂Q
45005
∂P
1124 .875 1
=−
45005
40 1124 .875
= −1;
ε
U
=−
1 30005 50 599.9
= −1
L
=−
1 ε
L P = - 1/1 = -1 = L U . Se aprecia que el índice de Lerner es el mismo en cada uno d e los mercados e igual a 1. Esto implica un alto pod er sobre el mercado. Téngase en cuenta que Lerner se define, in extenso com o
L
=
P − CMg P
=−
1
. En Paraguay el precio es 45005 y el CMg 10 mientras
ε
que en Uruguay el precio es 30005 y el CMg 10. En ambos casos la distancia entre el precio y el cos to margi nal es enorm e. Pero ¿qué sucede si desaparecen las restricciones al comerci o entre ambos países?. Un acuerdo de lib re comercio permit iría la reventa del enlatado de atún desde el mercado con menor pr ecio al mercado con el precio mayor. Si los costos para realizar la reventa del enlatado de Atún fueran nulos se desataría un proceso de compras y reventas conocido como arbitraje. Si en un mercado se dan las condic iones para el arbitraje, costos de transacción pequeños o nulos, no es posible mantener la discrim inación de precios. El arbitraje conduce a un sol o precio qu e sería el precio m ás bajo. En este caso el pr ecio luego del arbi traje se fijaría en 30005. 31)
Recientemente se descubri ó una fuente de agua medicinal en el desierto d e Ventanilla cerca de la desembocadura del Río Chillón. Los estudios realizados demuestran que la fuente puede producir cualquier cantidad de agua medicinal co n un costo marginal cero. Sin embargo son necesarios equipamientos especiales para la extracción del líquido debido a la prof undidad de la fuente de agua. Estos equip os ti enen un cos to de $7,000. En consecuencia: CT= 7,000. La demanda se ha estimado en Q = 200 – P (litros por famili a). El prob lema que se enfrenta es cómo inducir a inversionistas pot enciales para que proporc ionen los equipos y que reciban un retorno ju sto sobre su inversión. a) Si ingresara una empresa y actuara como Monopol ista, halle la solución de equilibr io. Grafique la solución. b) El gobierno encuentra que la solución monopóli ca es ineficiente, que los benefici os son d emasiado altos , que el precio es demasiado alto y que las familias no recib en sufici ente agua medicinal. En cons ecuencia ordena a la empresa a actuar como un competidor perfecto. Encuentre la solución de equilibrio. Grafique la solución. c) El gobierno se encuentr a frente a un dilema. Ni el monopol io ni la solución competitiva (por diversas razones) son aceptables. Entonces decide regular el preci o de tal manera que la empresa obtenga “ un razonable retorno de su inversión” . Encuentre la solución como Monopolio regulado. Grafique la solución. d) ¿Cuál de los escenarios anteriores puede ser consi derado un monopolio natural?
En el caso del monopolio: Q = 200 – P P = 200 – Q IMg = 200 – 2Q 200 – 2Q = 0 Q* = 100 P* = 100. En el grafico que sigue se muestr an las funciones de demanda D e ingr eso marginal IMg del mono poli sta; el CMg aparece confun dido con el eje de cantidades (CMg = 0). Como la funci ón de costos es CT = 7000 CMe = 7000/Q que es una fun ción
decreciente, es decir a medida que aumenta la producción los costos medios tienden a ser cada vez menores. A n ivel d e la sol ución bajo m onopol io el monopolista obti ene un beneficio medio d e 100 – 7000/100 = 30 y un beneficio t otal de 30*100 = 3000. Si el precio 100 se estima demasiado alto, el benefici o del mono poli sta 3000 se estima demasiado alto y l a atención a los consumidores 100 demasiado baja, el gobierno puede decidir intervenir en el mercado. Si el gobierno exige que el monopolist a fije los precios como si l a industria fuera competitiva, entonces, P = CMg P* = 0 Q* = 200. Ahora al n ivel d e la sol ución b ajo monopolio el m onopol ista o btiene un beneficio medi o de 0 – 7000/200 = -35 y un beneficio total de -35*200 = 7000. Hasta aquí resulta claro que la solución bajo monopol io no satisface al gobierno pero l a solución bajo competencia no satisface al monopolio . Tampoco conviene al g obierno alejar l a inversión del mo nopolio pues se asume que el gobierno no está en cond ición de invertir 7000. Si el gobierno regula al monopolio estableciendo un precio qu e implique para el monopolista obtener “ un razonable retorno de su inversión” , entonces: P = CMe 200 – Q = 7000/Q Q* = 154.77 P* = 45.23. Ahora al n ivel d e la sol ución b ajo monopolio regul ado el monopolista obtiene un beneficio medio de 45.23 – 7000/154.73 = 0 y un beneficio total de 0*154.77 = 0. Sin embargo el c osto de oportunidad de la inversión se encuentra en la curva de costos del monopolista precisamente bajo la for ma de un costo. Es decir, al recibir un pr ecio que cubre exactamente el costo de la inversión se cubre también el costo de opor tunidad que es el retorn o esperado de la inversió n. Es por eso que cuando se menciona un beneficio económico cero se sostiene que el i nversionista está obteniendo un beneficio normal. Se cons idera monopolio natural al tercer escenario, el escenario marcado por l a regulación d el gobierno. Sin embargo el monopol io natural no se identifica porq ue sea regulado. Puede o no serlo. El mono polio natural tiene su característica pri ncip al en el hecho de operar siempre sobre el tramo decreciente de la curva de costos medi os de largo plazo y para niveles de prod ucci ón que cubr en toda la demanda del mercado.
32)
Un monopolio puede discrimin ar entre dos grupos de consumidores. Su costo marginal de producción es 2. El grup o de consumido res A tiene una elastici dad cons tante de demanda de –4 y el grupo B de –2. ¿Qué precios establecerá el monopolio para estos dos grupos?
Para maximizar el beneficio el mono poli sta hace que CMg = 2 = IMg A = IMg B . Pero IMg
=
P (1 +
1 ε
2 = P A (1 +
IMg B
=
1 −4
) ⇒ IMg A
=
P A (1 +
ε
2
=
(1 + 1 ε
⇒
1 −4
1 −2
=
) ⇒ IMg B
=
) ⇒ P B
P B (1 +
2
=
(1 +
P A
1 −2
=
P A (1 +
1 −4
).
Pero
como IMg A
=
2.66. Hacemos lo mismo para B :
)
B
2 = P B (1 +
) ⇒ IMg A
A
) ⇒ P A
P B (1 +
1
⇒
1 −2
P A
=
).
Pero
como IMg B
=
2⇒
4.
)
Observe que el monopolista fija un precio mayor, 4 a los consumidores con una elasticidad menor, -2 y un precio menor, 2.66 a los consumidores con una elasticidad mayor, -4. 33)
La discrim inación de precios requiere tener capacidad para distingui r a los clientes e impedir l a reventa. Explique cómo pueden func ionar las siguientes estrategias como sistemas de discrimin ación de precios, y analice tanto la dist inción como l a reventa: a) Obligar a lo s pasajeros de las líneas aéreas a pasar al menos el sábado por la noche fuera de casa para poder acceder a una tarifa baja.
2⇒
b)
c)
d)
e)
Insistir en entregar el cemento a los compradores y basar los precios en el lugar de residencia de éstos. Vender procesadores de alimentos junto co n vales que pueden enviarse al fabricant e para obtener un reembolso de 10 dólares. Ofrecer reducciones temporales de los precios del papel higiénico. Cobrar más a los pacientes de ingresos altos qu e a los de ingresos b ajos.
Si el mono polista no pu ede discrimi nar precios le quedan dos alternativas. La primera es fij ar un precio ún ico para todas las unid ades que logre vender. La segunda es emplear la estrategia de venta conjunt a (mixta o pura). En este último c aso necesit a que los clientes cuenten con precios de reserva que guarden una correlación i nversa para los bi enes que const ituyen el paquete. Es decir que un cliente tenga un alto precio de reserva por el bien 1 y uno bajo po r el bien 2. Pero si el monopoli sta puede discriminar precios es por que se cumplen las sigui entes características: i ) Conocimiento más o m enos perfecto de los c onsumidor es; ii) Que se fijen precios di ferentes para consumidores porque tienen elasticid ades diferentes, y iii) Que no sea posi ble la reventa. En este último caso los costos de la reventa deben ser iguales o mayores a la diferencia de precios entr e los bienes. Las líneas aéreas acostumbran a discriminar precios estableciendo tarifas bajas a pasajeros que no demandan estar en un si tio en un momento determinado. Este es el caso de los t uristas. Como están de vacaciones pueden esperar un bol eto barato, por ejemplo el fin de semana. Si se quiere viajar a Cuzco desde Lima, el turis ta podría optar por un bo leto barato en Aerocontinente pero sujeto a dispo nibili dad de espacio. Aer oconti nente acostumbrar a dest inar el 5% de su s asientos a este t ipo de pasajeros. Naturalmente esto im plica una espera. Pero lo s hombres de negocios que tienen que viajar a Cuzco y estar en la ciudad el Lunes temprano, no están dis puestos a esperar y pagan una tarifa más alta accediendo al 95% de los asientos por vuelo. La elastic idad precio de los hombres de negocios es inelástica en el tramo elástico donde opera el monopolista. (Tenga en cuenta que los monopolistas sólo actúan en el tramo elástico de la func ión i nversa de demanda). Al contrario, la elasticidad precio de lo s tur istas es muy elástica en ese tramo elástico de la func ión inversa de demanda. Podría ser que un pasaje de turist a se quiera vender a un hombr e de negocio s y acá func ionaría el arbitraje. Pero los boletos son di ferentes y supo nen just amente la espera. Esto hace imposi ble la reventa. En consecuencia este tipo de discrimi nación de precios es funci onal. En el caso de la venta de cemento, el monopo lista establece precios alt os para el comp rador en la distri buidora y pr ecios menores para el
cons umid or en la obra. Lo que busca es desincentivar la compra en la distri buidora para obtener un beneficio adicional fijando un precio superior a los co stos del tr ansporte. Para el cliente es prácti co que el cemento l legue directamente a la obra pero solo cuando las compr as son grandes e implic an un costo de transporte. Pero en la medida que exista un mercado más o menos competitivo de distri buidoras de cemento y, en consecuencia el m ercado tenga un espacio más local y, de otr o lado, las compras de cemento no son grandes, enton ces no es posible mantener este sistema. En el caso de las ciudades en crecimiento en el Perú, existe un mercado competi tivo de distribui doras y un mercado más competitivo aún de transportist as en trici clo con costo muy bajos. En consecuencia la fijació n de precios para estimular al cliente a recibi r el cemento en obra no elimi na la posibil idad del arbitraje. El pr ecio del cemento será el precio en la distri buidora y el cl iente asume los co stos del transp orte a la obra. La venta de procesadores de alim entos con un vale de reembol so por diez dólares estimula la demanda de los compradores con mayor elasticidad. El comprador con mayor elasticidad generalmente tiene precios de reserva más bajos y está dispuesto a comprar para hacer efectivo el vale de descuento. Tenga en cuenta que para hacer efectiv o el reembol so d ebe enviarse el vale al fabricante y esperar un ti empo para recibir lo. Este tramite no está dispuesto a hacerlo q uienes tienen mayores precios de reserva y son menos elásticos. La reducción temporal de precios del papel higiénico también tiene por objetivo estimular a los c onsumidor es de demanda baja. En los supermercados tipo Metro o Plaza Vea, el cliente de mayor elastici dad está muy atento a las ofertas de precios r ebajados. Esto im plica la disposi ción p ara ir al supermercado para comprar sólo si hay ofertas, o juntar vales de descuento, etc. El cliente que es i nelástico considera que el gasto en papel higiénic o es pequeño y no se preocup a de si paga un menor o un mayor precio. Cobrar precios altos a quienes tienen ingresos alto s y bajos a quienes tienen ingresos bajos es una práctica muy com ún de discrim inación de precios. La practican los médicos co n sus pacientes, los abogados con sus clientes, las universidades privadas con sus estudiantes. La práctica es viable porque el mono polist a tiene conocimiento de los ingr esos del consumid or o p uede reunir esa información sin enfrentar altos costos. Es posi ble segmentar el mercado en demanda alta, media y baja, etc. Cada segmento del mercado tiene su propia elasticidad precio. 34)
Aeroc onti nente s ól o hace una r uta: Lima-Iquit os. La d emanda de cada vuelo de esta rut a es Q = 500 – P. El cost e de cada vuelo es de 30,000 dólares m ás 100 por pasajero.
¿Cuál es el precio m aximizador de los benefici os que cobr ará Aerocontinent e? ¿Cuántas pers onas habr á en cada vuelo? ¿Cuántos beneficios obtendrá Aerocontinente por cada uno? b) Aer oconti nente se enter a de q ue los costes f ijos por vuelo son, en realidad de 41,000 dólares en lugar de 30,000. ¿Permanecerá mucho t iempo en el sector? Ilustre su respuesta utilizando un gráfico de la curv a de demanda a la que se enfrenta Aeroconti nente y su curva de coste m edi o cuando los c ostos f ij os son de 30,000 y 41,000 dólares. ¡Espere! Aerocontinente averigua que vuelan dos tipos diferentes c) de personas a Iquitos. Las de tipo A son personas de negocios cuya demanda es Q A = 260 – 0.4P. Las de ti po B son estu diantes cuya demanda total es Q B = 240 – 0.6P. Es fácil di stingui r a los estudiantes, por lo que Aerocontinente decide cobrarles precios diferentes. Represente gráficamente estas cur vas de demanda y su suma horizontal. ¿Qué precio cobra Aerocontinente a los estudiantes? ¿Qué precio cobra a los demás clientes? ¿Cuántos hay de cada tipo en cada vuelo? a)
Si Q = 500 – P P = 500 – Q IMg = 500 – 2Q. El CVMe = 100 CMg ) 100 500 – 2Q = 100 Q* = 200 P* = 300. El beneficio obtenido será: = P*Q – CVMe*Q – CF = 300*200 – 100*200 – 30000 = 10000. Si el cost o fij o por vuelo cambia, no cambia la curva del costo marginal y tampoco los resultados esti mados antes. Sólo cambi a el beneficio. Q* = 200, P* = 300, = P*Q – CVMe*Q – CF = 300*200 – 100*200 – 41000 = - 1000. La función de costo s de Aerocont inente es: CT = 30000 + 100Q. En el segundo caso es: CT = 41000 + 100Q. El cost o medio será: CMe = caso y CMe =
41000 Q
+ 100
30000 Q
+ 100 en
el primer
en el segundo caso. En el grafi co que sig ue se
muestr a la curv a de demanda, de ingreso margin al y de cost o margin al. Se puede apreciar la solución de equilibr io bajo m onopolio de precio único. Se aprecian también las fun cion es del costo m edio. El área del rectángul o celeste es el beneficio q ue se obtiene con la func ión de CMe correspond iente al cost o fij o de 30000. El cost o medio cuando se venden 200 boletos por viaje es: CMe =
30000 200
+ 100 =
250 . Si
el CF fuera 41000, el
CMe para la misma canti dad de boletos, 200 por viaje, es: CMe =
41000 200
+ 100 =
305 . En
este últi mo caso la cantidad de boletos qu e
maximi za el beneficio no cambi a ni cambia el precio , pero ahora el CMe está por encima del precio y pro voca una pérdida que se puede apreciar por el área del rectángul o azul.
Si ahora Aeroco ntinente descubre que exist en segmentos dif erentes en su m ercado, podría practicar la discr iminación de pr ecios de tercer grado. La funci ón de demanda de las personas de negocio s es Q A = 260 – 0.4P P = 650 – 2.5Q A IMg A = 650 – 5Q A 650 – 5Q A = 100 Q* A = 110 y P* A = 375. La funci ón de demanda de los estu diantes es Q B = 240 – 0.6P 5 3
P = 400 –
Q B
IMg B = 400 –
10 3
Q B
400 –
10 3
Q B = 100
Q* B = 90 y P*B = 250.
Se puede apreciar que, dadas las func iones inversas de demanda de cada segmento, el precio m áximo de reserva para las personas d e negocios es de 650 mientr as que es de 400 para los estudiantes. Esto significa que para precios mayores a 400 solo demanda los hombres de negocios . Al precio 400 se prod uce el quiebre de la curva de demanda del mercado. De 400 para arriba la demanda del mercado es la demanda de las personas de negocios, de 400 para abajo la demanda del mercado es la demanda de los hombres de negocios más la demanda de los estudi antes. En este tramo la curva de demanda se hace más elástica. 35)
Suponga que un fabri cante de galletas
enfrenta la situació n que se presenta en el gráfico de la siguiente página, correspon diente a cada uno de sus clientes. a) Si la empresa puede fijar sól o un precio p or sus g alletas, ¿qué precio maximi zará el beneficio d e la empresa? ¿a cuánto ascenderán sus beneficios? b) Ahora suponga que la em presa puede di scriminar p erf ectamente fij ando un pr ecio dif erente para cada galleta adici onal. ¿Cuántas galletas debe vender la empresa? ¿Cuánto c obrará por cada una de las galletas? ¿Cómo podría obtener la empresa los mismos beneficios que c) obtuvo en la pregunta anterior, si ahora decide emplear una tarifa de dos tramos en vez de un precio diferente por cada una de las galletas que vende? En otras palabras, ¿cuánto debería cobrar como un derecho fijo p or comprar sus g alletas? ¿Cuál debería ser el precio de cada galleta? d) Suponga que la empresa puede fijar un p recio de 60 centavos por las primeras 4 galletas y un precio menor por l as siguientes. ¿Podrá la empresa incrementar sus beneficios? e) Si Ud. piensa, en relación a la pregun ta anterior, que sí se puede incrementar el beneficio, entonces fije un segundo precio para las galletas y estime el inc remento del beneficio . La información del gr afico nos ayuda para obtener la solu ción b ajo monopolio de precio ún ico. Siguiendo l as líneas de la cuadrícula se puede apreciar que el IMg = CMg al nivel de una produ cció n de 4 unidades y un p recio de 0.60. ( Siga con una regla las l íneas de la cuadrícula para asegurarse del resul tado). Si la empresa puede emplear la discr imi nación perfecta enton ces venderá la primera uni dad a 0.9, la segund a a 0.8, la tercera a 0.7, la cuarta a 0.6, la qui nta a 0.5, la sexta a 0.4, la sétima a 0.3 y la oct ava a 0.2. Aquí se detiene porq ue el monopo lista no va más allá del niv el de prod ucci ón donde P = CMg. Como en este caso CMg = CMe entonces el beneficio del monopol ista discrim inador perfecto será: = 0.8 – 0.2 + 0.7 – 0.2 + 0.6 – 0.2 + 0.5 – 0.2 + 0.4 – 0.2 + 0.3 – 0.2 + 0.2 – 0.2 = 2.1. En el caso que el monopolista no pudiera realizar la discriminación de precios puede fijar una tarifa en dos tramos para obtener el mis mo beneficio. Si vende cada galleta a su CMg y c omo CMg = CMe, entonces
cubrirá todos sus cost os y venderá 8 unidades. Ahora el monop olista buscará quedarse con todo el excedente del con sumi dor. El excedente del consumid or es el área del rectángulo arri ba del precio 0.2 y debajo del precio de reserva del cons umidor. Este excedente disminuye de unid ad en uni dad y es igual a 0.8 – 0.2 + 0.7 – 0.2 + 0.6 – 0.2 + 0.5 – 0.2 + 0.4 – 0.2 + 0.3 – 0.2 + 0.2 – 0.2 = 2.1. Si cada uno de los consumido res compra una unidad entonces la tarifa sería igual a 2.1/8 = 0.2625. Así cada cliente pagaría una tarifa fija de 0.2625 y el precio de 0.2 por cada unidad que consuma. Como se consu men 8 unidades los ingresos por la venta serán 8*0.2 = 1.6. A esta cantidad le sumamos los ingresos por la tarifa fija que son iguales a 0.2625*8 = 2.1. Con los 1.6 por las ventas se cubren los co stos y el benefici o result ante es 2.1. Al ter nativamente, la em presa puede pract icar l a di scriminación de precios de segundo gr ado. Esto es, vender por v olum en. Se sabe que en este caso ha fijado un precio de 0.6 por l as primeras cuatro unid ades. El beneficio medio es 0.6 – 0.2 = 0.4 y el beneficio total por este lote es 0.4*4 = 1.6. Ahora si vende las siguientes unidades en 0.5, 0.4, 0.3 y 0.2, respectivamente, obtend rá benefi cios d e: 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0 = 0.6 que sumados a lo s primeros 1.6 nos dan 2.2 que es el beneficio máximo que se puede logr ar en este caso. (El lector puede comprobar esto prob ando, por ejemplo, el beneficio que se obtiene si se venden las siguientes dos uni dades al precio 0.4 y las dos últ imas a su respectivo precio de reserva. En cualquier caso el beneficio será inferior a 2.1). 36. El Museo Antro poló gico de Pueblo Libre normalmente cobra 4 dólares por admisión. Suponga que el nú mero de estudiantes uni versitarios que visitan este Museo está determinado por la sigui ente ecuación: Q = 6000 - 1000P y además, suponga que el costo marginal de un estudiante adici onal es cero. a) Grafique la curv a de demanda al Museo y señale la soluc ión de equilibrio al precio regular de admisión de 4 dólares. b) ¿Por qué es razonable asumir que el CMg = 0? c) Considere las siguientes opciones alternativas para que los estudiantes ingresen al Museo: i) Pagar el precio no rmal de 4 dólares; ii) Que su Universidad pague 9,000 al Museo y los estudiantes tengan libre acceso al mismo. Explique, intuitivamente, cómo es posible que la segunda opción provoque que tanto los estudiantes como el Museo
se encuentren mejor que con l a primera opción. El museo no está cobrando el precio q ue maximiza su beneficio. Como la funci ón de demanda es: Q = 6000 - 1000P P = 6 – Q/1000 IMg = 6 – Q/500 6 – Q/500 = 0 Q* = 3000 P* = 3. Observe que con CMg nulo el ú nico costo del Museo es el CF que desconocemos. Podemos estimar el ingreso tot al como ind icador de beneficio . Al pr ecio 4, el IT es 8000 (observe el gr afico). Pero al p recio que maximiza el benefi cio, al precio 3 el IT se eleva a 9000. En consecuencia el Museo debería bajar su precio en un 33% para llevarlo a 3. La función de produ cción d el Museo implica una gran inversión para obtener l os obj etos de exposición, para su mantenimiento y para la infraestructura de exposició n. Todos estos const ituyen costos f ijos. Cuando los estu diantes acuden al Museo no afectan mayorm ente estas inversiones. Ver una obra protegido por u n escaparate no afecta a esta obra. En con secuencia es corr ecto asumir cos tos m arginales nul os. Sin embargo esto es valido hasta el límite de la capacidad de atención del Museo. Si esta capacidad fuera, por ejemplo, de 6000 personas a la vez y están visi tando el Museo 3000 personas, que entre una persona más no afecta los costos. Al precio d e 4 el excedente del consumidor es: (6 – 4)*(2000)/2 = 2000. Si la Universid ad asumiera el pago de 9000 y el Museo permi te el libre acceso de los estudiantes, el Museo obtendría el máximo ingreso pos ible dada la demanda y los estudi antes pueden asistir al Museo al precio cero. Se presume que en esta situació n la cantidad de estudiant es que visitan el museo puede aumentar. Mientras el núm ero no supere el límite de capacidad, por ejemplo 6000, los costo s del Museo no se modi ficarán. Al precio c ero y asumiendo que asisten 3000 estudiantes al Mu seo (la cantidad que maximi za el beneficio del Museo), el excedente del cons umid or sería el excedente del c onsumido r al precio 3, (6 – 3)*(3000)/2 = 4500 más el área equiv alente al ingreso to tal del mus eo: 3*3000 = 9000 el excedente del con sumi dor total sería 13500. Esta cifr a aumentaría a medida que aumenta el número de asist entes al Museo. 37. Laboratorios Pfizer vendió 23.8 millones de cajas de 100 unidades de Antal gi na AntiGri p, un m edi camento p atentado, al preci o de 12 dólar es la caja. En otro momento Pfizer pudo vender 28.2 millones de cajas pero al precio de 10 dólares la caja. Pfizer tiene un co sto variable
medio de producción const ante e igual a 1.28 dólares por caja. Encuentre el precio y l a cantidad que maximizan el beneficio. Si conocemos dos puntos de la curva de demanda de Pfizer y asumimos que se trata de una función lineal, entonces podemos determinar l a ecuación de la demanda: P = A – bQ. 12 = A – 23.8b; 10 = A – 28.2b. Resolviendo est e sist ema de ecuaciones se encuent ra que A = 22.8181y b = 0.4545. Entonces la función de demanda de Pfizer es P = 22.8181 – 0.4545Q IMg = 22.88181 – 0.909Q 22.88181 – 0.909Q = 1.28 Q* = 23.76 y P* = 12.08. 38. Plásticos Harti nger piensa vol ver a vender para la Navidad su jug uete de cubos pl ásticos para armar disti ntas figuras. Este juguete tuvo un éxito enorme la pasada Navidad. En base a su experiencia, Harting er estima que la elastici dad precio de demanda de su pr oduc to es –1.84 en las tiendas de venta minori sta, -2.25 en los distribuidor es que atienden pedidos p or el servicio d e correo y de –2.71 para los distri buidores mayoristas. El costo variable medio de producción es constante e igual a 2.92 dólares. Encuentre el precio o lo s precio s que maximicen el benefici o para Harting er. 1
Sabemos que IMg = P(1 + ) y en equilibrio IMg = CMg
⇒
CMg
=
1 P (1 + )
ε
P
=
CMg 1 (1 + )
⇒
ε
el precio en las tiendas min oristas ⇒ P
2.92 1
=
(1 +
ε
⇒
el precio en los distribuid ores ⇒ P
=
(1 + ⇒
el precio en los distribuid ores mayoristas
2.92 1
⇒
− 2.25 ⇒
P
P
=
⇒
− 1.84
P
=
6.396
)
5.256
)
=
(1 +
2.92 1 − 2.71
⇒
P
=
4.267
)
39. Un monopol ista enfrenta la cu rva de demanda P = 20 - Q y opera con dos plantas, A y B con l os sigui entes costos : CMg A = 2Q A; CMg B = 4QB . Determin e el ni vel de prod ucci ón en cada planta. ¿Cuál es el pr ecio que el mo nopolist a debe cargar a su producto ?
En el caso del monop olio multiplanta la empresa trabaja con tantas funcion es de costo marginal como plantas tenga, y una sola funci ón de demanda. La función d e demanda le proporci ona la función de ingreso marginal. Primero determina el ni vel de producción y precio al que maximiza el beneficio y luego debe distribuir la producción entre sus plantas de acuerdo con el pr inci pio IMg = CMg. Metodo lógi camente el pro blema se solucion a de manera simétr ica al problema de discrimin ación de precios de tercer grado. Aquí el monopoli sta enfrenta dos mercados, entonces dos funciones de ingr eso marginal y tiene una sola planta, una sola función de costo marginal. Estima el ingr eso marginal del monopol io, lo iguala con el costo marginal y determina el nivel de produc ción q ue maximiza el beneficio. Luego for ma precios en cada mercado de acuerdo con el prin cipio IMg = CMg. Estimamos primero el costo m arginal del monopo lio: CMg A = 2Q A Q A = CMg/2. CMg B = 4QB QB = CMg/4. Sumando horizont almente las funcion es de costo marginal: Q = Q A + QB Q = 3CMg/4 CMg = 4Q/3. Com o P = 20 – Q IMg = 20 – 2Q 20 – 2Q = 4Q/3 Q* = 6 P* = 14. El mon opolist a debe producir 6 unidades y venderlas al precio de 14. Ahora el problema es distri buir la producci ón entre las dos plantas. El ingreso marginal al nivel de la producci ón que maximiza el beneficio es: IMg(Q = 6) = 8 IMg = CMg A = CMg B 8 = 2Q A Q A * = 4. 8 = 4QB QB* = 2.
En el grafic o de la izquierda se puede apreciar cómo el mon opol ista determina el precio y la producci ón de equilibrio. El costo m arginal del monopoli o es la suma horizontal de las funciones inversas de costo marginal Q = f(CMg). La producc ión que maximiza el beneficio es 6 y el precio únic o maximi zador d e beneficios es 14. Ahora se trata de saber cómo d istri buir la producción de 6 entre las plantas A y B. Se determina el ingreso marginal p ara el ni vel de producci ón que maximiza el beneficio, IMg = 8 y se lleva este valor a la planta A igualándol o con l a funció n de CMg de A, esto permit e obtener el nivel de producci ón para A de cuatro unidades. Se hace lo mismo para la planta B, y se obti ene 2 unid ades.
40. Un mo nopolista detecta q ue cuando su nivel de producci ón llega a 2300 unid ades la elasticidad de su cur va de demanda se hace igual a 1, ¿cuál será el valor de su ingreso marginal en esta situación? ¿qué pasará con lo s ingr esos totales del monopolio s i se produjeran 4000 unidades? ¿cuál es el nivel de producción máximo a que podr ía llegar esta empresa mono póli ca sin que se afecte el ingreso total? Si la elasticidad precio de demanda es igual a la unid ad, enton ces la variación porcentual en la cantidad es igual a la variación porcentual en el precio y el ingreso total no cambia. Es decir el ingr eso marginal es igual a cero. Esto ocurr e cuando el monopolist a está produciendo 2300 unid ades. Si la produ cció n se incrementa el monopolista empieza a operar sobr e el tramo inelástico de la curva de demanda, en este caso al bajar el precio la cantidad demandada no reaccion a de manera sufici ente para incrementar l os i ngresos. Los in gresos totales caen, el ingreso marginal es negativo. En consecuencia el nivel de pro ducción máximo al qu e se puede llegar sin afectar el ingr eso total es precis amente el nivel donde la elastici dad es la unidad, 2300 unid ades. En el grafico asum imos que la función de demanda es lin eal. Se aprecia que el IT es máximo al niv el de producción dond e la elasticidad es la unidad. Para niveles de produ cció n mayores el IT desciende. Observe que al nivel del precio m áximo de demanda el IT es cero y a la cantidad máxima de demanda el IT es cero. Si la produ cción es cero, a medida qu e la producción se incrementa el monopolis ta debe disminu ir sus precios (la curva de demanda tiene pendiente negativ a) y la cantidad se incrementa a una velocidad mayor q ue la disminu ción del precio (la elasticidad es elástica en este tramo de la curv a de demanda), esto provoca que el IT crezca. Pero cuando la producci ón ll ega al nivel donde la elasticidad es 1, el IT no pu ede crecer más. A partir de aquí la empresa verá disminuir el IT. Es esta la razón por la cual los monopoli os no operan sobr e el tramo inelástico de su curva de demanda.
41. Considere un mo nopo lio que enfrenta la siguiente fun ción de demanda P = 10Q-1. Obtenga la funci ón de ingreso margi nal y estime la elasticid ad precio de demanda. Haga un breve comentario sobr e esta curv a de demanda comparándola con u na funci ón li neal de demanda. ¿Es factible esta funció n de demanda? Encuentre el precio y el nivel de producción que maximiza los beneficios del monopolio si su func ión de costo s es CT = 5Q. Como P = 10Q-1 Q = 10/P (para valores posit ivos de P). Para estimar la elasticidad precio de demanda hacemos: ε
=
∂Q
P
∂P
Q
=−
10 P 2 P Q
=−
10 PQ
=−
10 10 P P
= −1 .
Observe que este resultado imp lica
una elasticid ad unitaria constante en la curva de demanda para cualquier nivel de producción. La función de ingreso t otal es IT = PQ = (10Q-1)*(Q) = 10 IMg = 0. El ingr eso marginal es constante e igual a cero para todo nivel de producción. El grafico muestra la función de demanda. Se aprecia que es asintótica a los ejes de precios y de cantidades. En cualquier combinación P, Q el ingreso total es el mismo, PQ = 10. La elasticidad es constante en todo el recorrido de la función. En el caso de la funci ón de demanda lineal (observe el grafico de la página anterior correspondiente al problema 45) la elasticidad es variable a lo largo de todo el recorrido de la función. Por eso la func ión de IT es variable, tiene un tramo creciente, llega a un máxim o y luego tiene un tramo decreciente. En esta función de demanda, que es de hiperbólico, la elasticidad es cons tante, el IT es const ante y el IMg es cero. Como la funci ón CMg = 5 enton ces para cualqui er nivel de produc ción el CMg > IMg y el monopolio no puede operar sobre este mercado dada esta demanda. ¿Qué sucedería si los costo s marginales fueran cero? En este caso el IMg = CMg para cualquier ni vel de prod ucci ón y l a empresa estaría en condi cion es de cobrar el precio qu e quisiera. Pero cualqui era que sea ese precio el IT nunca será mayor de 10.
42. Demuestr e que L = -1/ El índice de Lerner mide el grado de poder de monop olio de una empresa y se define como: L
=
IMg
P − CMg P =
pero recordamos que IMg
CMg
⇒
P (1 +
P − CMg
Primera Tonelada Segunda Tonelada Tercera Tonelada Cuarta Tonelada Quinta Tonelada
P(1 +
1
)
si el monopolist a max imiza beneficios
ε
1
) = CMg
ε
⇒ L =
=
P
=−
1
⇒
P+
P ε
=
CMg
⇒
P − CMg
=−
P ε
⇒
P − CMg
1
=−
P
ε
.
ε
43. Ud. ha produci do ci nco t oneladas de Atún y quiere venderlas to das. Suponga que el costo m arginal es cero y que dos cli entes 12000 están interesados en comp rar el atún. La tabla de demanda para cada uno d e ellos es 8000 idéntica y se presenta en el cuadro de la izquierda. Suponga ahora que Ud. determina 6000 un precio único por t onelada de Atún. ¿Cuál es ese precio si se quiere maximizar el 4000 beneficio? 16000
Como la prod ucci ón está limi tada a 5 toneladas y se deben vender las cinco toneladas a un precio úni co este será el que correspond e al precio de reserva de cada cli ente por la tercera ton elada. Se venden 5 toneladas a 8000 generando un ingreso de 40000. Observe que si el precio se fijara en 12000 se venderían 4 toneladas y s e obtendría un ingreso de 48000. En este caso es mejor la dis criminación de precios que el precio único . Tenga en cuenta que el ingreso total es una medida del beneficio po rque los cost os marginales son nul os. 44. Resuelva el prob lema anterio r aplicando la dis criminación perfecta de precios. ¿Qué precios deben fijarse y ha cuánto ascendería el IT? Las dos p rimeras toneladas se venden a 16000, las siguientes dos toneladas a 12000 y la qui nta ton elada a 8000. El ingr eso tot al obtenido es 64000. 45. Una tercera opció n para el empr esario de la pregunt a 44 es vender el atún en unidades de 2 toneladas de tal manera que el compr ador tendría el derecho de ofertar el precio por una tercera tonelada. ¿A qué precio debe venderse la unidad de 2 toneladas de atún para maximizar el benefici o y ha cuánto ascendería el IT?
