v
Reconocimientos La producci´ producci´ on de este folleto incluye como una de sus comon ponentes, el esfuerzo de los profesores del curso MA 1004 Algebra Lineal, que durante mi gesti´on on como coordinador, colaboraron en la elaboraci´on on de ex´amenes amenes y tareas. A Osvaldo Acu˜ na, na, Marco Ma rco Alfaro, A lfaro, Miguel Alp´ Alp´ızar, William Castillo, Adriana Garrido, Jorge Gonz´alez, alez, Elvis Hurtado, Liliana Jim´ enez, enez, Jos´e Jim´enez, enez , Leonard Leon ardoo Marrangh Marr anghello ello,, V´ıctor ıcto r Medina, Medi na, Walter Mora, Mario Murillo, Francisco Quesada, Gabriela Rold´an, an, Al´´ı Sheik, a todos ellos agradezco su colaboraci´on. Al on. Su participaci´ on ha hecho posible que este folleto refleje una visi´on m´as on as colectiva sobre las tareas que enfrenta el curso. A todos muchas gracias y esperemos que el trabajo que se logr´ o resumir en este folleto sea de utilidad para los estudiantes.
Prof. Carlos L. Arce S.
´Indice general Presentaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
1. Sistemas de ecuaciones lineales
1
2. Matrices
9
2.1. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . .
9
2.2. Rango e independencia lineal . . . . . . . . . . . 20 3. Determinantes
29
4. Programaci´ on Lineal
35
5. Vectores, Rectas y Planos
41
5.1. Vectores n dimensionales . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2. Rectas y Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6. Espacios, subespacios, bases y ortogonalidad 6.1. Espacios vectoriales
61
. . . . . . . . . . . . . . . . 61 vii
viii
6.2. Ortogonalidad y proyecciones . . . . . . . . . . . 72 7. Regresi´ on Lineal
79
8. Transformaciones lineales
85
9. Vectores y valores propios
99
10.Ex´ amenes
117
10.1. Ex´amenes I ciclo 1998 . . . . . . . . . . . . . . . 118 10.2. Ex´a menes II ciclo 1998 . . . . . . . . . . . . . . . 123 10.3. Ex´amenes I ciclo 1999 . . . . . . . . . . . . . . . 127 10.4. Ex´a menes II ciclo 1999 . . . . . . . . . . . . . . . 132 10.5. Ex´amenes I ciclo 2000 . . . . . . . . . . . . . . . 138 10.6. Ex´a menes II ciclo 2000 . . . . . . . . . . . . . . . 146 10.7. Ex´amenes I ciclo 2001 . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.8. Ex´a menes II ciclo 2001 . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.Algebra Lineal con Mathematica
165
11.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . 165 11.1.1. RowReduce . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 11.1.2. NullSpace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.1.3. Operaciones elementales . . . . . . . . . . 168 11.1.4. Sistemas con par´a metros . . . . . . . . . . 170 11.1.5. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . 172
ix
11.2. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . 173 11.2.1. Normas, ´a ngulos y ... . . . . . . . . . . . . 173 11.2.2. Construcci´on de bases ortonormales . . . 174 11.2.3. Ortonormalizaci´on paso a paso . . . . . . 176 11.3. Regresi´on Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.3.1. Definici´o n de procedimientos . . . . . . . 177 11.3.2. Ejemplo: regresi´on lineal m´ u ltiple . . . . . 178 11.3.3. Ejemplo: ajuste de una recta . . . . . . . 181 11.3.4. Primitiva Fit . . . . . . . . . . . . . . . . 184 11.3.5. Ejemplo: ajustes por polinomios . . . . . 185 11.4. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . 190 11.4.1. Polinomio caracter´ıstico . . . . . . . . . . 191 11.4.2. Espacios caracter´ısticos . . . . . . . . . . 192 11.4.3. Ortonormalizaci´on de una base . . . . . . 192 11.4.4. Diagonalizaci´on ortogonal de A . . . . . . 1 9 3
xi
Presentaci´ on Este material ofrece a los estudiantes de Algebra Lineal, una colecci´on de problemas resueltos con los ejercicios t´ıpicos del tema, considerando la orientaci´o n que el curso MA 1004 Algebra Lineal de la Universidad de Costa Rica, ha tenido en los u ´ ltimos a˜ nos. Las soluciones a los ejercicios planteados, no s´olo tienen el objetivo de “dar la soluci´on” si no de mostrar una apropiada forma de exponer y organizar las ideas, a fin de promover la formaci´ on de estilos de escritura que hagan buen uso del lenguaje matem´atico. Por otra parte, el material que se presenta —incluyendo ex´ amenes— da una definici´on expl´ıcita de los conceptos y destrezas que el estudiante deber´a adquirir para tener ´exito en el curso de Algebra Lineal. La idea motivadora, al poner a disposici´on del estudiante todos los ex´amenes de los ´ultimos a˜ nos del curso MA 1004, es que ello permite forjar una idea bastante clara de las exigencias hist´oricas del curso. As´ı el estudiante s´olo debe ocuparse de preparar bien los temas del curso, porque las preguntas t´ıpicas de ex´amenes no constituyen un misterio. Finalmente, el material incluye una introducci´on al paquete es de los principales temas del curso. No hay Mathematica a trav´ duda de la creciente importancia de incorporar las computadoras en las tareas de la matem´atica. Con ellas los problemas para los usuarios de la matem´atica no son los de “calcular” sino los
xii
de adquirir conceptos para describir problemas y sus soluciones o construir modelos matem´aticos de diversos fen´omenos. Con los recursos del paquete Mathematica para trabajar los temas del Algebra Lineal, el estudiante podr´a reconocer c´omo se incrementan sus posibilidades de c´omputo o c´alculo, tanto simb´olico o algebraico como num´erico, de manera que su norte en el estudio del Algebra Lineal deber´a ser el dominio de los conceptos y sus aplicaciones, m´as que la habilidad de aplicar manualmente algunos algoritmos de c´alculo.
Cap´ıtulo 1
Sistemas de ecuaciones lineales Ejercicio 1.1 Considere los siguientes sistemas de ecuaciones:
− − − −
1)
3)
2x+ y 5x+ y x+3y
= 1 = 15 = 3
2x+ y = x y/2 = 6x+ 3y =
2)
1 1/2 3
−
4)
− − − − −
2x+ y 5x+ y 3x 2y 2x+y 5x+y 2x y
= = =
1 15 16
−
= 1 = 15 = 3
Haga un representaci´on gr´afica de cada sistema y a partir del gr´afico establezca si tiene soluci´on o no tiene. Cuando tenga soluci´ on, determ´ınela. (No debe utilizar reducci´on gaussiana) Soluci´ on: 1)No tiene soluci´on: no hay puntos que satisfagan las ecuaciones de las tres rectas, simult´aneamente.
2
Sistemas de ecuaciones lineales
15
5x + y = 15 −2x + y = 1
x
+ 3y = 3
5 2
3
2)Tiene soluci´on u ´ nica: (x, y) = (2, 5) es un punto en com´un de las tres rectas. 15
5x + y = 15
8 5
−2x + y = 1 −3x − 2y = −16 2
3
3)Tiene infinitas soluciones: las tres ecuaciones representan la misma recta.
x
y − 2 = −1 2 −2x + y = 1 −6x + 3y = 3
4)No tiene soluci´on: no hay puntos que pertenezcan a las tres rectas simult´aneamente.
3
Sistemas de ecuaciones lineales
15
5x + y = 15 −2x + y = 1
5
2x − y = 3 2
-3
3
Ejercicio 1.2 Determine para qu´e valores de a y b el siguiente sistema:
−
x x x x
+ + + +
ay + aw ay + bz + ( b2 a)w ay + z ay + (b 1)z + b2 w
−
− −
−
− −
= = = =
−a
−a + b2 0 −b2
a) es inconsistente, b) tiene infinitas soluciones que dependen de un par´ametro, y c) tiene infinitas soluciones que dependen de dos par´ametros. Soluci´ on: Transformando la matriz aumentada del sistema a una forma escalonada, teniendo el cuidado de no utilizar operaciones elementales del tipo αf i en las que α dependa de los par´ametros a y b y pueda asumir el valor 0 o indefinirse, se tiene:
− − − − 1 1 1 1
−f 1 + f 2 −f 1 + f 3 f 1 + f 4 −→
a a a a
0 b 1 1 + b
1 a 0 0 0 0 0 0
−a 2 −a 2 −a − b −a + b 0 0 −b2 b2 −a2 −2a 0 b −b −b 1 a a −1 + b −a + b2 −a − b2
4
Sistemas de ecuaciones lineales
−→
f 2 , f 3
−→ −→
bf 2 + f 3 (1 b)f 2 + f 4
−
1 a 0 0 0 0 0 0
−
0 1 b 1 + b
−
1 a 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
1 a 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
f 3 + f 4
−a a −b2 2
−a
a b2 a b2
−a + b − − −a −a a a ab − b2 ab + b2 −ab + b2 −ab − b2 −a −a a a (a − b)b (a + b)b 0
0
Aunque esta ´ultima matriz a´ un no tiene la forma escalonada, representa un sistema sobre el cual ya se pueden establecer condiciones para que tenga o no soluci´on. Espec´ıficamente, se observa que: a)la ecuaci´on 3 es inconsistente si (a b)b = 0 y (a + b)b = 0. Esto s´olo ocurre cuando a = b y b = 0.
− b)si b = 0 y a = b, entonces (a − b)b = 0, en cuyo caso, la 1 operaci´on
(a b)b f 3 transforma
−
1 a 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
−a a 1 0
la ´ultima matriz en:
−a
a (a + b)/(a 0
− b)
La cual es una matriz escalonada que representa un sistema con infinito n´umero de soluciones dependiendo de un par´ ametro. c)la ecuaci´on 3 resulta superflua si b = 0, en cuyo caso el sistema tiene infinitas soluciones que dependen de 2 par´ametros: (No. de variables - No. de filas no nulas en la matriz escalonada).
5
Sistemas de ecuaciones lineales
Ejercicio 1.3 Considere el sistema de ecuaciones en las variables x, y y z:
2ax 3x
− 3y − z − y + az
= =
−4a + 6b −a − b
con a y b en I R
a)Determine el conjunto soluci´on si a = 9/2 y b = 0. Represente las fracciones en forma exacta y no aproximada. b)Encuentre los valores de a y b para que el vector ( 2, 2a b, 3) sea soluci´on del sistema.
−
− −
Soluci´ on: a)Si a = 9/2 y b = 0 el sistema es:
9x 3x
− 3y −9 z − y + 2 z
= =
−189 −2
Y al determinar la forma escalonada de su matriz aumentada se obtiene:
9 3
−3 −1 −18 −1 9/2 −9/2 1 −2 1 −1/3 −1/9 9 f 1 −→ 3 −1 9/2 −9/2 −3f 1 + f 2 1 −1/3 −1/9 −2 0 29/6 3/2 −→ 0 6 −2 1 −1/3 −1/9 29 f 1 0 1 9/29 −→ 0 1 1 −1/3 0 −57/29 9 f 2 + f 1 −→ 0 0 1 9/29
As´ı, el conjunto soluci´on del sistema es infinito y depende de un par´ametro. Si y = t, entonces: x = (1/3)t
− 57/29, y = t, z = 9/29 o sea, S = {((1/3)t − 57/29, t, 9/29)|t ∈ I R}.
6
Sistemas de ecuaciones lineales t
b)Si ( 2, 2a
−
− b, −3) es soluci´on del sistema entonces: −2 −4a + 6b 2a −3 −1 2a − b = 3 −1 a −a − b −3
− ⇒ −− − − − − ⇒ −− − − − − −
10a + 3b + 3 5a + b 6
=
4a + 6b a b
=
6a 3b = 4a + 2b =
=
3 6
Resolviendo este sistema se tiene:
−
6 4
Luego a =
3 2
3 6
...
1 0 0 1
−→
1/2 2
−1/2 y b = 2.
Ejercicio 1.4 Considere la matriz A =
a a
b c b c
−
.
a)Pruebe que A es equivalente por filas a la matriz a 0 c . 0 b 0 b)Determine los valores de a, b y c, para los cuales el sistema de ecuaciones
ax+by ax by
−
= c = c
i)tiene soluci´on u ´ nica. ii)tiene infinitas soluciones que dependen de un par´ametro. iii)tiene infinitas soluciones que dependen de dos par´ametros. iv)es inconsistente. En los tres primeros casos describa el conjunto de soluciones.
7
Sistemas de ecuaciones lineales
Soluci´ on: a)
a 0
−
a a
b c b c
−
b c 2b 0
−
−f 2 + f 1 −→
−f 1 + f 2 −→
−→
es
a a
b c b c
−
a b c 0 b 0
a 0 c 0 b 0
b)La matriz ampliada del sistema
1 2 f 2
.
ax + by ax by
−
= c = c
que es equivalente por filas a
a 0 c 0 b 0
.
Entonces: i)El sistema tiene soluci´on u ´ nica si y solo si a = 0 y b = 0. En este caso el conjunto soluci´on es
S =
c a
0
.
ii)Para que el sistema de ecuaciones dado tenga infinitas soluciones que dependan de un par´ametro, la matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema deben tener rango igual a 1; esto ocurre cuando: b = 0 y a = 0, en cuyo caso el conjunto soluci´on es:
S =
| ∈ c a
t
t
I R ,
o cuando, a = 0 = c y b = 0, en cuyo caso el conjunto soluci´on es:
S =
| ∈ t 0
t
I R .
8
Sistemas Sistemas de ecuaciones ecuaciones lineales lineales
iii)El iii)El sistem sistemaa de ecuaci ecuacione oness dado dado tiene tiene infinit infinitas as solusoluciones que dependan de dos par´ametros ametros si el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada del sistema son ambos cero; esto ocurre cuando: a = b = b = = c c = = 0, en cuyo caso el conjunto soluci´on on es: S =
| ∈ s t
s
I R, t I R .
∈
iv)El sistema sistema de ecuacione ecuacioness dado resulta resulta inconsist inconsisten ente te cuando el rango de la matriz de coeficientes es menor que el de la matriz ampliada; esto es cuando a = 0 y c = 0.
Cap´ıtulo 2
Matrices 2.1. 2.1.
Opera Operaci cion ones es con con matr matric ices es
Ejercicio 2.1 D´ e un ejemplo de una matriz A, 3 3, con todas sus entradas distint distintas as de cero y dos vectores vectores distint distintos os x = (x1 , x2 , x3 )t y y = (y1 , y2 , y3 )t tales que
×
Ax = Ax = Ay Ay.. Soluci´ on: on: Observe que el problema es proponer un sistema de ecuaciones Ax = b = Ay con infinitas soluciones, que permita determinar dos vectores x y y distintos que lo satisfagan. O sea, se requiere que el n´umero umero de filas no nulas de la forma escalonada equivalente a A sea menor que el n´umero umero de columnas de A, (Rng(A (Rng(A) < m, si A si A es n m). Adem´as, as, con tal matriz se debe elegir un vector b vector b apropiado apropiado para que el sistema tenga soluci´on.
×
10
Matrices
Considere, por ejemplo, la matriz A =
− −
1 2 1
−
−2 1 −1
3 2 1
cuya ultima u ´ ltima fila es la suma de las dos primeras, o sea, su rango ser´ a menor que 3. Y b = ( 3, 0, 3)t , cuya ´ultima ultima entrada entrada tambi´ tambi´en en es la suma de las dos primeras. Esto garantiza garantiza que el sistema Ax Ax = = b b tiene tiene infinitas soluciones. Ahora, resolviendo el sistema de ecuaciones correspondiente:
−
− −
1 2 1
−
−2 3 −3 1 −2 0 −1 1 −3
2f 1 + f + f 2 f 1 + f + f 3
−→
.. .
...
−→
1 0 0 1 0 0
1/3 1 4/3 2 0 0
−
Se obtiene que su soluci´on on es S = (1 31 t, 2 + 34 t, t) t I R . Entonces eligiendo t = 0 y t = 3, por ejemplo, se obtienen dos soluciones distintas distintas x x = = (1, (1, 2, 0)t y y = y = (0, (0, 6, 3)t , para las cuales se cumplir´a que Ax Ax = = Ay Ay..
{ −
| ∈ }
Observe que este ejercicio reafirma que en el ´algebra matricial, aunque A no sea la matriz nula, de la proposici´on on Ax Ax = = Ay Ay no se implica que x = y = y.. Ejercicio 2.2
1 e I I la matriz identidad de M (2 M (2,, I R). Use s´olo olo 1 ´algebra de matrices (no sistemas de ecuaciones) para determialgebra nar una matriz X M (2 M (2,, I R) tal que Sea A =
∈ ∈
AAt X = X + I + I..
11
2.1 Operaciones con matrices
Soluci´ on: on:
Luego si (AA (AAt AAt
AAt X = X + I + I t AA X X = I (AAt I )X = I .
⇐⇒ ⇐⇒
−− −
− I ) es invertible X = (AA − I )−1.
− I
=
=
− − − − 1 (1 1) 1 1 1 1 1
Entonces claramente (AA ( AAt (AAt
Sean A =
2 0
−
0 1 1 0
=
.
I ) es invertible y t
1 0 1 1
1 0 0 1
1 0 0 1
− I )−1 = (AA
Ejercicio 2.3
t
0 1 1 0
I ) =
yB=
1 0 2 1 1 2
− −
= X X..
.
a)Verifique que (AB (AB I 2 )−1 = AB. AB . b)Use ´algebra algebra de matrices, (sin transformar la pregunta en el problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales), para encontrar una matriz X X tal tal que
−
ABX
− A = X. − = X.
Soluci´ on: on: a)AB a)AB =
2 0
1 0 1 1
−
y efectivamente: (AB
− − −
− I 2)AB =
1 0 2 1 1 2
0 1 1 1
=
1 0 0 1
0 1 1 1
0 1 1 1
12
=
Matrices
− 1 1 1 0
0 1 1 1
1 0 0 1
=
= I 2
− I 2)−1 = AB. b) ABX − A = X =⇒ ABX − X = A =⇒ (AB − I )X = A =⇒ X = (AB − I )−1 A =⇒ X = ABA Luego (AB
− − 0 1 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 . 2 0 1
= =
Ejercicio 2.4 Sea A M (n, I R).
∈
a)Demuestre que A+At siempre es sim´etrica, pero no A At . b)Demuestre que si AAt
− = I entonces |A| = 1 o |A| = −1.
Soluci´ on: a)Para toda A M (n, I R) se tiene que
∈
(A + At )t = A t + (At )t = A t + A = A + At , luego A + At es sim´etrica. Sin embargo, (A b) = = = = =
t t
−A )
= A t
t t
− (A )
AAt AAt A At A2 1 1)( A + 1) A = 1
⇒ | | ⇒ | || | ⇒ | |− ⇒ (|A| − | | ⇒ | |
= = = = = ´o
= A t
t
− A = A − A .
I I 1 0 0 A =
||
| | −1.
13
2.1 Operaciones con matrices
Ejercicio 2.5 Considere las siguientes matrices: A =
− − − 1 1 1
2 0 1
0 1 3
, B=
1 1 0
y C =
0 1 0 1 0 1 0 1 0
.
Halle una matriz X tal que XAB t = AB t + XC 2 . (Escriba todo el procedimiento.) Soluci´ on: XAB t = AB t + XC 2 = Si AB t AB t =
− C 2
⇒ X [AB − C 2] = AB t
.
es inversible, entonces X = AB t [AB t
− − − − − − − − − − − − − − − −→ − − −→
C 2 =
t
1 1 1
2 0 1
0 1 3 1 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1 0
Claramente AB t
=
0 1 0 1 0 1 0 1 0 3 0 0
C 2 =
2 0 1
3 1 0
−
1 0 1 0 2 0 1 0 1
=
3 3 0
− C 2]−1.
2 3 2
f 2 + f 1 (1/2)f 3
3f 3 + f 2 f 3 + f 1
3 3 0
2 1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1
3 0 0
0 3 0
3 0 0
3 3 3
es una matriz
inversible.
3 0 0
−
1 1 1 0 3 0 1 0 1 0 0 1/2
0 0 1 1 1/2 3 0 0 1 3/2 0 1 0 0 1/2
14
−→
( 1/3)f 1 ( 1/3)f 2
− −
1 0 0 0 1 0 0 0 1
2
Luego (AB − C )−1 = t
X =
=
−1/3 −1/3 −1/6 0 −1/3 −1/2 0
−
1/3 0 0
0
1/2
−1/3 −1/6 −1/3 −1/2 0
1/2
− C 2 ]−1. Esto es: −2 3 3 −1/3 −1/3 −1/6 0 −1 −3 0 −1/3 −1/2
y X = AB t [AB t
Matrices
1
0
2/3 0 1/3
−
3
−1/3 1/3 −1/3
−
1/3 1 4/3
0
0
1/2
.
Ejercicio 2.6 Proponga un ejemplo de matrices A y B cuadradas tales que (A
− B)(A + B) = A2 − B2.
¿Qu´e condici´on deben cumplir A y B para que (A
− B)(A + B) = A2 − B2?
Soluci´ on: En realidad, lo que puede resultar m´as dif´ıcil es encontrar dos matrices A y B cuadradas tales que
− B)(A + B) = A2 + B 2. Como (A − B)(A +B) = A 2 +AB − BA +B 2 , lo que se requiere (A
es que AB = BA, es decir que “A y B conmuten”. Si AB = BA, como ocurre en general, entonces
(A
− B)(A + B) = A2 + B 2.
15
2.1 Operaciones con matrices
Compru´ebelo eligiendo las dos primeras matrices que se le ocurra, por ejemplo: A = en este caso AB =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 5 5 15 15 15 24 24 24
,
,
B=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
BA =
12 15 18 12 15 18 12 15 18
.
Si las que usted se dio conmutan y no son casos triviales como que una de ellas sea la identidad o ambas sean matrices diagonales, entonces su elecci´on es muy afortunada. Por otra parte, observe por ejemplo que si A es invertible, A y A −1 conmutan. Ejercicio 2.7 Una matriz cuadrada A se llama antisim´ etrica si At = A. Sea A una matriz antisim´etrica de dimensi´on n n, con n impar. Pruebe que A no es invertible.
×
−
Soluci´ on: det(A) = det(At ) = det( A) = ( 1)n det(A). Ahora, como n en impar entonces ( 1)n = 1, as´ı que det(A) = det(A); luego 2 det(A) = 0 det(A) = 0 y por lo tanto A no es invertible.
− ⇒
−
−
−
−
Ejercicio 2.8 Sea x I Rn tal que xt x = 1 y A I n 2xxt .
−
∈
∈ M (n, I R) tal que A =
1. Demuestre que A es sim´etrica. 2. Demuestre que A2 = I n . 3. Proponga un ejemplo de una matriz B de la identidad tal que B −1 = B.
∈ M (3, I R) distinta
16
Matrices
Soluci´ on: 1)Basta mostrar que At = A: (I n 2)(I n
t t
− 2xx ) t
− 2xx )(I
n
t t
= I n
t t t
t
− 2(xx ) = I − 2(x ) x = I − 2xx . − 2xx ) = I − 2xx − 2xx + 4xx xx = I − 2xx − 2xx + 4xx = I t
n t
n
t
n
t
t
t
n
t
t
n
3)Observe que AA = I por lo tanto A−1 = A. Luego una matriz B tal que, B = B −1 , puede ser elegida como un caso particular de A: Por ejemplo, con x = As´ı, xxt =
1 3 1 3 1 3
√ √ √
De manera que B = I
t
− 2xx
√ 13 √ 13 √ 13
√ 13
√ 13
=
− −
, se tiene que xt x = 1.
√ 13
1/3 2/3 2/3
=
1 3 1 3 1 3
1 3 1 3 1 3
−2/3 −2/3 1/3 −2/3 −2/3 1/3
es una matriz cuya inversa es ella misma.
1 3 1 3 1 3
.
Ejercicio 2.9 Una matriz A = (aij ), m n, se llama trapezoidal superior si aij = 0 siempre que i > j.
×
−
0 1 2 5 2 5 6 7 , como Exprese (factorice) la matriz B = 2 1 3 2 el producto de una matriz invertible y una matriz trapezoidal
− −
17
2.1 Operaciones con matrices
superior. Soluci´ on: Efectuando operaciones elementales hasta transformar la matriz A en una matriz trapezoidal superior: A =
0 5 2
−1 −5
2 6 1 3
− −→
−→
5 7 2
f 1 , f 3
2 0 0
− 52 f 1 + f 2
2 0 0
−2 f 2 + f 3 15
−→
1
3
−3
−1
2
2
1
3
−15
−3
0
−2 7 5
2 12 5
2 12
2 11 5
− −
1 3 5 6 1 2
− −
−15 2
2
2 5 0
17 5
= T
2 −5 Por tanto, T = E ( − 15 f 2 + f 3 )E ( 2 f 1 + f 2 )E (f 1, f 3 )A
5 2 = E (f 1, f 3 )E ( f 1 + f 2 )E ( f 2 + f 3 )T = A. 2 15
⇒
Esto es:
=
001 010 100
− 0 5 2
−1 −5
2 6 1 3
100 5 2 1 0 001
0 2/15 1 5/2 1 0 1 0 0
2 0 0
5 7 2
=
1 0 0 0 1 0 2 0 15 1
2 1 3 2 0 −215 −23 12 17 0 0 11 5 5
1 15/2 0
−
−
−
3 2 3/2 12 11/5 17/5
−
Observe que T es trapezoidal superior y C invertible.
= C T
18
Matrices
Ejercicio 2.10 Considere las matrices: A =
1 1/2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5
,
B=
1.0 0.5 0.333 0.5 0.333 0.25 0.333 0.25 0.2
.
Observe que la diferencia entre A y B es que en esta ´ultima 1/3 se expresa en forma aproximada. Determine las matrices inversas de A y B y compare los resultados. En el c´alculo de B −1 conserve el mayor n´umero de d´ıgitos decimales que le sea posible (aunque no los escriba en su respuesta) para obtener un resultado lo m´as exacto posible. Soluci´ on: Aplicando el procedimiento para el c´alculo de la inversa, en el caso de la matriz A se obtiene:
( 1/2)f 1 + f 2 ( 1/3)f 1 + f 3
− −
−→
−→
−1f 2 + f 3 12f 2
( 1/2)f 2 + f 1
−
−→
−→
180f 3
1 1/2 1/3 1 0 0 1/2 1/3 1/4 0 1 0 1/3 1/4 1/5 0 0 1
1 1/2 1/3 0 1/12 1/12 0 1/12 4/45
1 0 0 1/2 1 0 1/3 0 1
− −
1 1/2 1/3 1 0 1 1 6 0 0 1/180 1/6
0 0 12 0 1 1
−
−
1 0 1/6 4 0 1 1 6 0 0 1/180 1/6
1 0 0 1 0 0
−6 − 12 −1
−
−1/6 1 1
4 6 30
−
−6
−
0 0 1
0 12 0 180 180
19
2.1 Operaciones con matrices
−f 3 + f 2 (1/6f 3 + f 1 ) −→
1 0 0 0 1 0 0 0 1
9 36 30
−
−36 30 192 −180 −180 180
Y para la matriz B, haciendo las operaciones y preservando el mayor n´ umero de decimales 1 , tenemos:
1.0 0.5 0.333 1.0 0.0 0.0 0.5 0.333 0.25 0.0 1.0 0.0 0.333 0.25 0.2 0.0 0.0 1.0
−0.5f 1 + f 2 −0.333f 1 + f 3 −→
1. 0.5 0.333 0. 0.083 0.0835 0. 0.083 0.0891
1.000 0. 0. 0.500 1. 0. 0.333 0. 1.
− −
1 0.083 f 2
−→
1.0 0.5 0.333 0.0 1.0 1.006024 0.0 0.083 0.089111
1.000 0.0 0.0 6.024 12.048 0.0 0.333 0.0 1.0
− −
( 0.0835)f 2 + f 3 0.5f 2 + f 1
− −
1.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0
−0.1700
1.0060 0.0051
−→ 4.0120 6.0240 0.1700
−
−6.0240 12.0481 −1.0060
0.0 0.0 1.0
1 0.005107 f 3
−→
1
Los c´ alculos se han hecho con la mayor precisi´ on que ofrece el computador disponible, pero al copiar los resultados, se han omitido cifras decimales, para que la respuesta sea m´as compacta.
20
1.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0
1.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 1.0
−0.1700
4.0120 6.0240 33.2835
1.0060 1.0000
−
−6.0240 12.0481 −196.951
0.0 0.0 195.771
−1.006024f 3 + f 2 0.170012f 3 + f 1 −→ −39.5082 33.2836 9.6706 −39.5082 210.186 −196.9511 33.2835 −196.9511 195.7718
Luego
−
9 36 30
A−1 =
y B −1 =
Matrices
−
9.6706 39.5082 33.2835
−36 30 192 −180 , −180 180 −39.5082 33.2836 210.186 −196.9511 −196.9511 195.7718
lo cual refleja diferencias muy importantes, derivadas de haber aproximado 1/3 por 0.333, lo que a primera vista no parec´ıa un error grave. Las matrices que en el c´alculo num´erico refle jan problemas como este se denominan mal condicionadas y afortunadamente, no son las m´as frecuentes.
2.2.
Rango e independencia lineal
Ejercicio 2.11 Sea A = (A1 A2 ), A1 , A2 sus columnas y A =
− 1 2 0 5 2 3
.
1. ¿El vector u = (4, 10, 6)t es combinaci´on lineal de A1 y A2 ? 2. Pruebe que w = (3, 4, 1)t no es combinaci´on lineal de A1 y A2 .
21
2.2 Rango e independencia lineal
3. ¿Para qu´e valores valor es de α, (1, (1, 0, 2), 2), (2, (2, 5, 3), 3), (4, (4, 10 10,, 5 es linealmente independiente?
{
−
− α)}
4. ¿Para ¿Para cu´ al a l o cu´ales ales valores de a, el vector ( 2a, 8a + t 1, 5a 3) es combinaci´ combinaci´on on lineal de los vectores columnas de A?
− −
− −
Soluci´ on: on: 1)u 1)u es combinaci´on on lineal de A1 y A2 : u = 0A1 + 2A 2 A2 . 2)H.q.m. 2)H.q.m. que no existen α, β I R tal que w = αA = αA 1 + βA 2 , as´ı: 3 1 2 α + 2β 2β = 3 4 = α 0 + β 5 5β = 4 1 2 3 2α + 3β 3β = 1 Y al resolver el sistema,
∈ ∈ ⇒ − −→ −→
1 2 3 0 5 4 2 3 1
−
1 2 3 0 5 4 0 7 7
2f 1 + f + f 3
1 2 3 0 1 54 0 7 7
1 5 f 2
+ f 3 −7f 2 + f −→
1 2 3 0 1 4/5 0 0 7/5
se observa que es inconsistente, luego no es posible expresar w como combinaci´on on lineal de A1 y A2 . 3) (1, (1, 0, 2), 2), (2, (2, 5, 3), 3), (4, (4, 10 10,, 5
{
−
α1
− α)} es l.i. si y solo si:
− − 1 0 2
+ α2
2 5 3
4 10
+ α3
5
=
α
= α 1 = α 2 = α 3 = 0.
⇒
0 0 0
22
Matrices
Lo que es equivalente a decir que el sistema anterior debe tener soluci´on on unica. u ´ nica. Resolviendo:
−
1 2 4 0 0 5 10 0 2 3 5 α 0
−
2f 1 + f + f 3
−→
· · · − −→ − − − − 1 2 0 1 0 0
7f 2 + f + f 3
4 2
1
0 0 α 0
.
R/ Los vectores son l.i. s´olo olo si α = 1. 4)Esto 4)Esto ocurre si existen valores α y β tales tales que 2a 8a + 1 5a 3
− − −
Y resolviendo:
−
1 2 0 5 2 3
1 2 0 5 0 7
1 2 0 1 0 7
−−82a+1 5 −9a − 3 a
= α
1 0 2
−
2 + β 5 3
− − − − − − − − − 2a 8a + 1 5a 3
2f 1 + f + f 3
2a 8a + 1 9a 3
−
−→
1 5 f 2
2f 2 + f + f 1 7f 2 + f + f 3
−→
−→
1 0 0 1 0 0
6a 2 5 8a+1 5 11a 22 5 11a 22 = 5
−
−
− −
Luego para que el sistema sea consistente 0, entonces a = 2. R/ Si a = 2, el vector dado es combinaci´on on lineal de A1 y A2 .
Ejercicio 2.12 Sea A Sea A = = (A1 A 2 ), con A con A1 y A y A2 sus columnas y A y A = =
−
1 0 2 0
− − 3 1 0 1
.
23
2.2 Rango e independencia lineal
a)¿Par a)¿ Paraa qu´e valores valor es de a, si existen, el conjunto t
t
(0, 0, 1, a) , (0, (0, 0, a , a) a) } {A1, A2, (0, es linealmente dependiente? b)¿Para cu´al al o cu´ales ales valores de a de a,, si existen, (a, ( a, 2, 4, 2a)t es combinaci´on on lineal de las columnas de A? Soluci´ on: on: a)Si a)Si el conjun conjunto to A1 , A2 , (0, (0, 0, 1, a)t , (0, (0, 0, a , a) a)t es l.d. se tiene que la ecuaci´on: on:
{
x1
− 1 0 2 0
+ x2
}
− − 3 1 0 1
+ x3
0 0 1 a
+ x4
0 0 a a
=
0 0 0 0
debe tener soluciones diferentes de la trivial, o sea, su con junto soluci´on on es infinito. Al plantear y resolver el sistema se tiene: 1 3 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 1 a 0 0 1 a a 0
− − − − − − −→ − − − 1 0 2 0
f 1 f 2
1 0 0 0
3 0 0 1 0 0 6 1 a 1 a a
−
Observe que:
0 0 0 0
3 0 0 1 0 0 0 1 a 1 a a
0 0 0 0
−→
3f 2 + f + f 1 6f 2 + f + f 3 + f 4 f 2 + f
− 1 0 0 0
2f 1 + f + f 3
−→
0 0 0 1 0 0 0 1 a 0 a a
0 0 0 0
Si a = 0, el rango de la matriz asociada al sistema es 3, entonces hay infinitas soluciones.
24
Matrices
Si a = 1, tambi´ tambi´ en en el rango rango de la matriz matriz asociada asociada al sistema es 3 y hay infinitas soluciones. Si a = 0 y a = 1, el rango de la matriz asociada al sistema es 4, luego el sistema tiene una ´unica unica soluci´on. on.
Luego si a = 0 ´o a = 1 el conjunto propuesto es l.d. b)Para que el vector (a, ( a, 2, 4, 2a)t sea combinaci´on on lineal de las columnas de A, el sistema x1 A1 + x2 A2 = (a, 2, 4, 2a)t debe ser consistente.
− − − − − ⇐⇒ − − − − − − −→ − − − − − − −→ −→ − − − − − − − −→ − a 2 4 2a
= x 1
1 0 2 0
3 1 0 1
+ x2
x1 + 3x 3 x2 x2 2x1 x2
= a = 2 = 4 = 2a
Resolviendo:
−
1 0 2 0
3 a 1 2 0 4 1 2a
+ f 3 −2f 1 + f
1 0 0 0
−3
f 1
1 0 0 0
a 1 2 6 4 + 2a 1 2a
−
1 0 2 0
3 1 0 1
3 a 1 2 6 4 + 2a 1 2a
6f 2 + f + f 3 f 2 + f + f 4
a 2 4 2a
f 2
1 0 0 0
3 1 0 0
a 2 16 + 2a 2 + 2a 2a
Observe que el sistema es consistente s´olo si, simult´aneaaneamente 16+2a 16+2a = 0 y 2 + 2a = 0, lo cual nunca se cumple. Entonces para ning´un un valor de a el vector (a, (a, 2, 4, 2a)t es combinaci´on on lineal de A1 y A2 .
−
25
2.2 Rango e independencia lineal
Ejercicio 2.13 Sean u1 , u1 , u3 vectores de I R3 tales que u1 + u2 u3 = 0.
−
{u1, u2} es l.i. y
1. ¿Es el conjunto
{−u1, 2u2} l.i.? Justifique su respuesta. 2. ¿Es el conjunto {u1 , u2 , u3 } l.i.? Justifique su respuesta. 3. Sea A la matriz con columnas −u1 , −u2 , u3 .
a ) ¿Cu´al es el rango de A? Razone su respuesta. b) Demuestre que si x0 es soluci´on de Ax = 0, entonces tx0 tambi´en es soluci´on. c ) Determine el conjunto soluci´on de Ax = 0.
Soluci´ on: 1)El conjunto u1 , 2u2 si es l.i porque α( u1 )+β (2u2 ) = 0 = αu1 +2βu 2 = 0 y como u1 , u2 es l.i = α = 0, 2β = 0 = α = 0 y β = 0.
{−
−
⇒−
}
⇒−
{
⇒
2) u1 , u2 , u3 es l.d. porque u1 = u3
{
3)A =
−
}
u1
−u2
u3
}
− u2 .
a)ρ(A) = 2, porque u1 y u2 son l.i. y u3 = 1( u1 )+ 1( u2 ). b)Si x0 es soluci´on del sistema Ax = 0 se tiene que Ax0 = 0. Ahora t I R, A(tx0 ) = t(Ax0 ) = t0 = 0, luego tx0 tambi´en es soluci´on de Ax = 0. c)Como ρ(A) = 2 y A tiene 3 columnas el sistema tiene infinitas soluciones que dependen de un par´ametro. Adem´ as ( 1, 1, 1) es soluci´on de Ax = 0, porque 1( u1 ) + 1( u2 ) + 1(u3 ) = 0, dado que u 1 + u2 u3 = 0. Por lo tanto el conjunto soluci´on del sistema Ax = 0 es S = ( t, t, t) t I R .
− −
−
−
− −
∀ ∈
− −
− − − − − − {− − − | ∈ }
−
26
Matrices
Ejercicio 2.14 Si u1 , u2 , u3 es un conjunto de vectores en I Rn linealmente independiente, determine los valores de α y β para que
{
}
{u1 − αu2, αu2 − u3, u3 − βu2} tambi´en sea linealmente independiente. Soluci´ on: Consideremos una combinaci´on lineal del conjunto de vectores u1 αu2 , αu2 u3 , u3 βu 2 que de como resultado el vector cero. Entonces,
{ −
−
x1 (u1
−
}
− αu2) + x1(αu2 − u3) + x3(u3 − βu2) = 0
implica, reagrupando, que x1 u1 + ( αx1 + αx2
− βx3)u2 + (−x2 + x3)u3 = 0. Ahora, como el conjunto de vectores {u1 , u2 , u3 } es linealmente −
independiente,
x1 αx1 + αx2 βx3 x2 + x3
−
−
−
= = =
0 0 0
De donde se sigue que x1 = 0, x2 = x3 y (α
− β )x2 = 0. Se concluye, entonces que {u1 − αu 2 , αu2 − u 3 , u3 − βu2 } es un conjunto de vectores linealmente independiente, si y s´olo si, α = β . Ejercicio 2.15 Considere la siguiente matriz A cuyos vectores columnas se denotan por A1 , A2 , A3 . A =
√ −
2 2 0 1
√ √ −3 2 −2 2 1 5 3
3 5 2
27
2.2 Rango e independencia lineal t
(i)Exprese u = ( 0 7 5 0 ) como combinaci´on lineal de los vectores columna de A. (ii)Observe que A3 = A1 + A 2 . Sin hacer m´a s c´alculo, deduzca la respuesta a las siguientes preguntas y justifique. a) ¿Ax = 0 tiene soluciones no nulas? b) ¿ Ax = b tiene soluci´ on para todo b I R4 ?
∈
Soluci´ on: (i)
⇐⇒ ⇐⇒
u es combinaci´on lineal de A1 , A2 , A3 existen escalares α1 , α2 , α3 tales que u = α 1 A1 + α2 A3 + α3 A3 Ax = u, con x = (α1 , α2 , α3 )t , tiene soluci´on.
Resolviendo este sistema:
√ − √ − √ − − − − −→ −→ − − − − − −→ − −→ 2 2 0 1
1 2 0 1
1 f 2 1
√
1 0 0 0
3 7 5 0
3 2 1 5 3
2 7 5 0
0 7 5 0
5f 2 + f 3 3f 2 + f 1
2 2 0 3 7 5 5 2 0
3 1 5 3
2 3 5 2
1 0 0 0
1 7 f 2
1 0 0 0
0 7 5 0
0 1 0 0
1 1 0 0
2f 1 + f 2 f 1 + f 4
3 1 5 0
3 1 0 0
2 1 5 0
0 1 5 0
28
As´ı, para todo s y por lo tanto:
u =
0 7 5 0
Matrices t
∈ I R, (3 − s, 1 − s, s) es soluci´on del sistema √ 2 √ √ −3 2 −2 2
− −
= (3 s)
∀ s ∈ I R.
(ii) a) A3 = A 1 + A2
2 0 1
− 1 5 3
+(1 s)
= =
⇒ ⇒
3 1 2
+s
,
A1 + A2 A3 = 04 A(1, 1, 1)t = 04 ,
−
−
o sea, x = (1, 1, 1)t es una soluci´on no nula de Ax = 04 , luego este sistema tiene soluciones no nulas.
−
Otra forma de responder: como A 3 = A 1 + A2 y se observa que A1 y A2 son l.i. entonces Rng (A) = 2. As´ı: Rng(A) = Rng (A 0) = 2 < No. de variables,
|
luego Ax = 0 tiene infinitas soluciones y por lo tanto tiene soluciones no nulas. (ii) b) Ax = b no tiene soluci´on para todo b I R4 , porque Rng(A) = 2 y si se elige b de forma tal que A1 , A2 , b sea l.i. entonces 2 = Rng (A) = Rng(A b) = 3,
{
∈
|
por lo cual Ax = b no tendr´ıa soluci´on en estos casos.
}
Cap´ıtulo 3
Determinantes Ejercicio 3.1 Sean A, Q M (n, I R), n impar, tales que A = At (A es antisim´etrica) y Q−1 = Q t (Q es ortogonal), y sea α I R, α = 0.
∈
− ∈
(i)Demuestre que A no es invertible.
| | ±1 y calcule |(αQ2)−1|.
(ii)Pruebe que Q = Soluci´ on:
(i)A = At = A = At = ( 1)n At = 1 A , de donde 2 A = 0, luego A no es invertible. (ii) Q = Qt = Q−1 = 1 , Q 2 de donde Q = 1, luego Q = 1. (αQ2 )−1 = 1 2 = n 1 2 = 1n = α −n . α 1 αQ α Q
−
⇒| | |− | − | | − | | | | | | | | | | | | | | | | ± | | | | | |
Ejercicio 3.2 Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que de-
30
Determinantes
pende del par´ametro α.
x+ 4y z x+αy + z 2x +3z
−
= 1 = 0 = 1
i)Use determinantes a fin de establecer los valores del par´ametro α, para los cuales el sistema tiene soluci´on. ii)Calcule la soluci´on del sistema, mediante la Regla de Cramer. Soluci´ on: i)Considere el sistema dado como Aw = b, con A =
− − −− − −
1 4 1 α 2 0
1 1 3
,
b =
1 0 1
| | − x y z
y w =
.
Entonces Aw = b tiene soluci´on ´unica si y solo si A = 0.
|A|
1 4 1 1 4 1 α 1 = 0 α 4 = 2 0 3 0 8 = 5(α 4) + 16 = 5α 4.
1 2 5
Luego Aw = b tiene soluci´on u ´ nica si y solo si α = 4/5.
ii)El c´alculo de la soluci´on del sistema usando Cramer, cuando α = 4/5 es: 1 4 1 0 α 1 1 0 3 4, x = = 4α + |A| 5α 4 1 1 1 1 0 1 2 1 3 y= = 5α 3 4 , |A| 1 4 1 1 α 0 2 0 1 α 4 . z= = 5α |A| 4
−
−
−
−−
− −−
31
Determinantes
Ejercicio 3.3 a)Considere dos matrices A y B , de dimensi´on n n y tales que det(A) = 2 y det(B) = 3 . Calcule det( A−1 B t ). b)Determine el valor de z en el siguiente sistema de ecuaciones lineales simult´aneas
−
−
ax bx bx cx
×
+ ay + by + ay + ay
+ bz + cz + dz + ez
+ bw + dw + ew + aw
= = = =
a + 2b b + c + d a + d + e 2a + e
sabiendo que el determinante de la matriz de coeficientes es 42. Soluci´ on: a) det( A−1 B t ) = ( 1)n det(A−1 )det(B t ) ( 1)n det(B t ) = = 23 ( 1)n+1 . det(A) b)Aplicando la regla de Cramer,
−
− −
−
a a a + 2b b b b b + c + d d b a a + d + e e c a 2a + e a z = 42 Ahora calculamos el numerador de esta fracci´on:
a a a + 2b b b b b + c + d d b a a + d + e e c a 2a + e a
−C 2 + C 3 =
Luego z = 1.
−
C 4 + C 3 =
a a b b b b c d b a d e c a e a
a a a + b b b b b + c d b a a + d e c a a + e a
= 42.
32
Determinantes
Ejercicio 3.4 Sean A = (A1 , A2 , A3 , A4 ) y B = (B1 , B2 , B3 , B4 ) matrices 4 4 tales que B = 3 y las columnas de A satisfacen:
×
| | A1 = −B1 ,
A2 = B 3 , A3 =
−B2,
A4 = 2B1
− B2 .
En cada caso, justifique su respuesta. a)Deduzca el valor del rango de A. b)Determine: i) det(A) ii) det(B2 , B1 , 2B3 , B4 )
iii) det((2B)−1 ).
c)Determine el conjunto soluci´on del sistema Ax = 0, x I R4 .
∈
Soluci´ on: a)Como B = 3 las columnas de B son l.i. luego el conjunto B1 , B2 , B3 es l.i., de lo que se deduce que A1 , A2 , A3 es l.i. y como
{
| |
}
{
A4 = 2B1
}
− B2 = −2A1 + 0A2 + A3
entonces el m´aximo n´ umero de columnas l.i. de A es 3. As´ı Rng (A) = 3. b)i) det(A) = 0, porque A es una matriz 4 4 de rango 3, esto es, A no es invertible. ii) det(B2 , B1 , 2B3 , B4 ) = 2det(B1 , B2 , B3 , B4 ) = 2(3) = 6. iii) det((2B)−1 ) = 1/ (2B) = 2 1|B | = 213 = 1/48.
×
|
|
− − 4
−
4
c)Ax = 0 se puede expresar como:
( B1 , B3 ,
−
=
−B2, 2B1 − B2)
x1 x2 x3 x4
=
0 0 0 0
⇒ −x1B1 + x2B3 − x3B2 + x4(2B1 − B2) = 0
33
Determinantes
= ( x1 + 2x4 )B1 + ( x3
⇒− − − x4 )B2 + x2B3 = 0 y como {B1 , B2 , B3 } es l.i. −x1 + 2x4 = 0 x1 = 2x4 −x3 − x4 = 0 =⇒ x3 = −x4 =⇒
x2
= 0
⇒
=
x1 x2 x3 x4
= = = =
x2
=
0
2t 0 t t
−
Luego la soluci´on al sistema es S = (2t, 0, t, t) t I R .
{
− |∈ }
Ejercicio 3.5
− −
1 0 1 1 2 1 y b ij = ( 1)i+j Aij , donde A ij es Sea A = 0 4 1 la matriz que resulta de quitar a A la fila i y la columna j.
−
− −
−
| |
1. Calcule la matriz B = (bij ). 2. Verifique que AB t = A I 3 .
| |
3. Deduzca cu´al es la matriz A−1 . Soluci´ on: 1. b11 = b13 = b22 =
− − − − − − −
2 1 = 2, 4 1
b12 =
1 0
2 = 4, 4
b21 =
1 0
1 = 1
b23 =
−1,
− − − − − − − −
1 1 = 1, 0 1 0 4
1 = 4, 1
1 0
0 = 4
−4,
34
b31 =
− −
Determinantes
− − −− − − − − − − − − − − − − − − − −
0 2
1 = 1
1 1
b32 =
1 1
b33 =
2 4 2
Luego B =
2,
1 1 2
4 4 2
1 = 2, 1
0 = 2. 2
.
2. Tenemos que:
1 1 0
t
AB =
0 2 4
6 0 0
=
1 1 1
0 6 0
−
Por otra parte: 1 0 1 1 2 1 = A = 0 4 1 = 1( 2 + 8) = 6. Entonces se verifica que AB t
− | | − − −
− − − −
3. Como AB t = tanto
2 1 4
0 0 6
=
−
−
1 0 0
=
0 2 4
− −
4 1 4
−6I 3.
− 1 2 1
−6I 3 = |A|I 3.
−6I 3 = |A|I 3, entonces A | 1 | B
A− 1 =
A
−
1 t 1 B = A 6
| |
2 2 2
2 1 4
− −
4 1 4
−2 2 2
t
= I 3 , por lo
.
Cap´ıtulo 4
Programaci´ on Lineal Ejercicio 4.1 Considere el programa lineal: min z = 6x1 + 4x2 + 15 sujeto a las restricciones:
x1
≥ 0 y x2 ≥ 0.
x1 + 2x2 60 3x1 + 10x2 180 3x1 + 2x2 60
≤ ≤ ≥
(i)Grafique la regi´on de soluciones factibles. Especifique claramente las coordenadas de los puntos donde hay intersecciones. (ii)¿Es posible eliminar una de las restricciones sin alterar la regi´ on de soluciones factibles? Si este es el caso, ¿diga cu´al de ellas? Justifique. (iii)Calcule el valor m´ınimo de la funci´on z sujeto a las restricciones dadas. Use el m´etodo gr´afico.
36
Programaci´ on Lineal
(iv)D´ e tres soluciones factibles distintas donde la funci´on z alcanza su valor m´ınimo. Soluci´ on: (i) En el gr´afico siguiente se identifican con 1, 2 y 3 las rectas correspondientes a las fronteras de los semiplanos asociados a las restricciones 1, 2, y 3 respectivamente: 1) La recta x1 + 2x2 = 60, por los puntos (60, 0) y (0, 30). 2) La recta 3x1 + 10x2 = 180, que contiene los puntos (0, 18) y (60, 0). 3) La recta 3x1 + 2x2 = 60, que contiene los puntos (0, 30) y (20, 0). 30 25 20 15
2
10 5
3
1
0 -5 0
10
20
30
40
50
60
70
El punto intersecci´on de las rectas frontera para las restricciones 2 y 3 es: (10, 15). (ii) Es evidente del gr´afico anterior que se puede eliminar la 1 a restricci´ on, pues toda soluci´on factible que satisfaga la 2 a restricci´ on necesariamente satisface la 1 a . (iii) Haciendo z = 255 (elegido arbitrariamente al evaluar la funci´on objetivo en el punto (40, 0) de la regi´on de soluciones factibles), y trazando la recta 255 = 6 x1 + 4x2 + 15 observamos todos los puntos de la regi´on de soluciones factibles tales que z = 255. Repitiendo este proceso para z = 160, se observa que la respectiva recta se desplaza a la izquierda, es decir, conforme el valor de la funci´on objetivo sea menor los puntos (soluciones factibles) donde z alcanza estos valores
37
Programaci´ on Lineal
son m´as cercanos a la frontera determinada por la restricci´on 3, (3x1 + 2x2 = 60).
z = 255
30
20 2 10 3
1
0
z = 160 0
10
20
30
40
50
60
70
Se observa tambi´en que para z constante la recta z = 6x1 + 4x2 + 15 = 2(3x1 + 2x2 ) + 1 5, tiene la misma pendiente que la correspondiente a la frontera de la restricci´on 3. Luego la funci´ on z alcanza el valor m´ınimo (sujeta a las restricciones dadas) en todos los puntos de la frontera de la regi´on de soluciones factibles determinada por la restricci´on 3, esto es, el segmento de recta con extremos (10 , 15) y (20, 0). As´ı el valor m´ınimo de z sujeto a las restricciones dadas es: z = 6(20) + 4(0) + 15 = 6(10) + 4(15) + 15 = 135 . (iv) Como se observ´o, el valor m´ınimo z se alcanza sobre cualquier punto (x1 , x2 ) del segmento que va desde el v´ ertice (20, 0) hasta el v´ertice intersecci´on de las rectas 3x1 + 2x2 = 60 y 3x1 + 10x2 = 180, que es el punto (10, 15). Todos estos puntos (soluciones ´optimas) son de la forma: (x1 , x2 ) = (20, 0) + t[(10, 15) con 0
− (20, 0)] = (20, 0) + t(−10, 15),
≤ t ≤ 1. As´ı por ejemplo, tres soluciones ´optimas son: (20, 0), (10, 15) y (15, 7.5)
La tercera soluci´on ´optima elegida corresponde a t = 1/2, o sea, el punto medio del segmento dado.
38
Programaci´ on Lineal
Ejercicio 4.2 Considere el programa lineal: Maximizar: z =
−2x2 + x3.
Sujeto a las restricciones: 3x1 + x2 2x3 10 2x1 + x2 3x3 = 4 x1 0, x2 0, x3 0.
− −
≥
≤
≥
≥
a)Exprese el problema en la forma can´onica y d´e una primera soluci´ on b´asica factible que no corresponda a la soluci´on ´optima. b)Si en otros dos problemas de programaci´on lineal, similares al dado, se obtienen las siguientes tablas, al aplicar el m´etodo simplex: i) 1 0 0 1 6 2 1 4 0 8 2 0 1 0 z + 10
− −
ii)
−
1 0 1 1 6 2 1 4 0 4 2 0 2 0 z + 10 ¿Cu´al es la soluci´on del problema, en cada caso? 1
− −
−
Soluci´ on: a)Aplicando las siguientes dos operaciones elementales, la formulaci´on del problema adquiere la forma can´onica: 3 1 2 1 0 2
−f 2 + f 1 1 −2f 2 + f 3 2 −→ −4 1
−2 −3 −1 0 1 0
1 0 0
10 4 z
−
1 1 3 0 5 0
−
−z −
6 4 8
Observe que en 6.a) se pide expl´ıcitamente no calcular la soluci´on optima y para responder 6.b) no requiere hacer ning´un c´ ´ omputo.
39
Programaci´ on Lineal
De lo que se deduce que (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (0, 4, 0, 6) es una soluci´ on b´asica factible. Tambi´ en, si en la primera tabla se aplican las operaciones 1 3f 2 +f 1 , o se usa la t´ecnica de variables artificiales, 2 f 2 y se obtiene la siguiente tabla en la forma can´onica:
−
0 1 0
−1/2 1/2 2
5/2 1 3/2 0 1 0
−
−
−
4 2 z
de lo que se deduce que (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (2, 0, 0, 4) es una soluci´ on b´asica factible. b)
i)En este caso no hay una soluci´on ´optima, o la funci´ on objetivo no es acotada, porque el problema tiene la forma can´onica y hay un coeficiente negativo en la funci´ on objetivo (tercera columna), para el que los restantes elementos de la columna son negativos o cero. ii)En este otro caso, la funci´on objetivo alcanza el ´optimo, z = 10, en el punto (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (0, 4, 0, 6). Porque esta formulaci´on tiene la forma can´onica y todos los coeficientes de la funci´on objetivo son positivos o cero.
Ejercicio 4.3 Un inversionista puede comprar dos tipos de bonos A y B, hasta por un total de $6000. Est´a sujeto a un reglamento que le prohibe invertir m´as de $4000 en bonos de tipo B y menos de $1500 en bonos de tipo A. Adem´as la cantidad invertida en bonos de tipo B no puede ser mayor que la mitad de la cantidad invertida en bonos de tipo A. Los bonos de tipo A dan dividendos del 8 %, mientras que los de tipo B dan dividendos del 10 %. Formule el problema de programaci´on lineal correspondiente y establezca ¿c´omo debe proceder dicho inversionista para obtener el rendimiento m´aximo?
40
Programaci´ on Lineal
Soluci´ on: Sean x = inversi´on en bonos de tipo A. y = inversi´on en bonos de tipo B. El rendimiento z es entonces z = 0.08x + 0.10y y las restricciones son: Inversi´ on total: Inversi´ on en bonos de tipo B: Inversi´ on en bonos de tipo A: Relaci´ on entre las dos inversiones:
x + y y x y
≤ 6000 ≤ 4000 ≥ 1500 ≤ 21 x
As´ı, el problema puede plantearse de la siguiente forma: Maximizar z = 0.08x + 0.10y Sujeto a: x + y 6000 y 4000 x 1500 x + 2y 0 x 0, y 0
−
6000
≥
≤ ≤ ≥ ≤
≥
3
5000 4000
2
3000
1
2000 4 1000 0 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000
La regi´on de factibilidad, que se muestra en la figura de arriba, tiene por v´ertices: (1500, 0), (1500, 750), (4000, 2000), (6000, 0). En los cuales la funci´on objetivo z toma los valores z = 120, z = 195, z = 520 y z = 480, respectivamente. Luego para obtener el rendimiento m´aximo ( z = 520 ) se deben invertir $4000 en bonos de tipo A y $2000 en bonos de tipo B.
Cap´ıtulo 5
Vectores, Rectas y Planos 5.1.
Vectores de I Rn
Ejercicio 5.1 Sean A = (2, 1, 1), B = (1, 2, 0), C = (3, 1, 2) y u = (1, 1, 2).
√ −
−
a)Determine el ´area del tri´angulo en el espacio cuyos v´ertices son los puntos A, B y C . b)Sean ı = (1, 0, 0), = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1). Calcule los ´angulos que forma el vector u con cada uno de los vectores ı, y k. Soluci´ on: a) Una forma de expresar el ´area de este tri´angulo es: Medida del ´area =
1 −→ 2
AB
−→
× AC
, donde:
42
Vectores, Rectas y Planos
−→
−→
AB = B
− A = (−1, 3, −1), AC = C − A = (1, 0, 1) y −→ −→ 3 −1 −1 −1 + −1 3 k = (3, 0, −3). AB × AC = ı −
Luego: ´area =
0
1
1 −→
AB
2
−→
1
× AC
1
=
10
√
1 3 2 (3, 0, 3) = . 2 2
−
−→
El ´area tambi´en puede calcularse usando los vectores BA y
−→
−→
−→
BC o CA y CB, o sus opuestos. b) Si θ 1 , θ2 y θ 3 son respectivamente los ´angulos entre u y ı, u y y u y k, entonces: cos(θ1 ) = =
⇒
cos(θ2 ) = =
⇒
u ı = 1 = 1 (2)(1) 2 u ı θ1 = cos−1 (1/2) = π/3
·
u = 1 = 1 (2)(1) 2 u θ2 = cos−1 (1/2) = π/3
·
√
√
u k = 2 cos(θ3 ) = = 22 (2)(1) u k = θ3 = cos−1 ( 2/2) = π/4
⇒
·
√
Ejercicio 5.2 Suponga que A = (1, 0, 3), B = ( 1, 2, 1), C = ( 4, 4, 2)
−
− −
son los v´ertices de un tri´angulo. Verifique, usando vectores, que las medianas1 del tri´angulo se intersecan en un ´unico punto P y que P divide cada mediana en la raz´on 1:2. 1
una mediana de un tri´angulo es un segmento de recta que une uno de sus v´ ertices con el punto medio del lado opuesto.
43
5.1 Vectores n dimensionales
B M 1 m3
m2
P
C
M 2 m1
M 3
A Figura 5.1: Medianas del tri´angulo A, B,C . Soluci´ on: De la figura 5.1, note que: M 1
= B + 21 (C B) = ( 1, 2, 1) + 21 [( 4, 4, 2) 5 3 = , 1, 2 2
−
( 1, 2, 1)]
−− − − − − − − − − − − − − − − − − − − 3 2,
An´ alogamente: M 2 = (0, 1, 2) y M 3 =
2, 25 .
Luego, la mediana m1 es un segmento de la recta: m1 : (x,y,z) = A + t1 (M 1 y similarmente:
7 2 t1 ,
A) = 1
t1 , 3
3 2 t1
,
m2 : (x,y,z) = C + t2 (M 2
C ) = ( 4 + 4t2 , 4 + 5t2 , 2)
m3 : (x,y,z) = B + t3 (M 3
B) =
1
1 2 t3 , 2
4t3 , 1 + 23 t3 .
Igualando las dos primeras tripletas, se obtiene un sistema de ecuaciones cuya soluci´o n es t1 = t2 = 32 , que corresponde al punto de intersecci´on entre m1 y m2 : P =
−
4 , 3
−
2 ,2 . 3
Por otra parte, con t3 = 32 , se observa que P tambi´en es un punto de m3 , as´ı P es el punto donde se intersecan las tres rectas.
44
Vectores, Rectas y Planos
Finalmente, observe que para m2 , por ejemplo, se obtiene que:
√ M 2 − C = (4, 5, 0) = 41, √ M 2 − P = (4/3, 5/5, 0) = 31 41, √ 8 10 2 P − C = , , 0 = 41.
3
Es decir:
3
y
3
M 2 − P = 13 M 2 − C = 1 . P − C 23 M 2 − C 2
Ejercicio 5.3 Verifique que las alturas del tri´angulo de v´ertices P = ( 1, 1, 2), Q = (5, 1, 1) y R = (1, 1, 0), se intersecan en un punto S , llamado ortocentro.
−
−
−
S
Q
R P
Soluci´ on: El t´ermino “alturas” se refiere a rectas, en el plano determinado por P , Q, y R, que contienen un v´ertice y son perpendiculares al lado opuesto a este v´ertice. Para determinar las ecuaciones vectoriales de estas rectas (alturas), observe primero que:
−→
P Q = Q
− P = (6, 0, −3)
−→
y P R = R
− P = (2, −2, −2),
luego un vector normal al plano que contiene el tri´angulo dado
−→
es P Q
−→
× P R = −6(1, −1, 2). Si se elige
N = (1, 1, 2), las
−
45
5.1 Vectores n dimensionales
direcciones de las alturas son vectores perpendiculares a N y al lado opuesto al v´ertice. Recta 1 : altura que contiene el v´ertice P .
−→
Lado opuesto:
RQ = Q
direcci´ on : Ecuaci´ on vectorial:
−−→R = (4, 2, −1), v = N × RQ = (−3, 9, 6). X = P + rv = (−1 − 3r, 1 + 9r, 2 + 6r).
Recta 2 : altura que contiene el v´ertice Q.
−→
Lado opuesto:
P R = (2, 2, 2),
direcci´ on:
u = N
Ecuaci´ on vectorial:
X = Q + su = (5 + 6s, 1 + 6s, 1).
− −
−→
× P R = (6, 6, 0). −
Recta 3 : altura que contiene el v´ertice R.
−→
Lado opuesto:
P Q = (6, 0, 3),
direcci´ on:
w = N
Ecuaci´ on vectorial:
−
−→
× P Q = (3, 15, 6). X = R + tw = (1 + 3t, −1 + 15t, 6t).
La intersecci´on entre las alturas 1 y 2 es un punto que satisface las ecuaciones: ( 1
− − 3r, 1 + 9r, 2 + 6r) = (5 + 6s, 1 + 6s, −1). Resolviendo se obtiene r = −1/2, s = −3/4 y el punto de intersecci´on:
1 S = ( , 2
− 72 , −1).
Por otra parte, se puede verificar que S tambi´en es un punto de la altura 3 , puesto que con t = 1/6:
−
1 (1 + 3t, 1 + 15t, 6t) = ( , 2
−
− 72 , −1) = S.
46
Vectores, Rectas y Planos
Luego S es el punto de intersecci´on de las tres alturas 1 , 2 y 3 . Ejercicio 5.4 Sean u y v vectores de I Rn . a)Verifique que u + v 2 u v 2 = 4u v. b)Demuestre que u v u + v = u v . c)Explique en forma breve y concisa la interpretaci´on geom´etrica de la proposici´on en b). Ilustre este resultado con un gr´afico de vectores.
− − · ⊥ ⇐⇒ −
Soluci´ on:
u + v2 − u − v2 = (u + v) · (u + v ) − (u − v ) · (u − v ) = u · u + u · v + v · u + v · v − u · u + u · v +v · u − v · v = 2u · v + 2v · u = 4u · v b) u ⊥ v ⇐⇒ u · v = 0 ⇐⇒ 4u · v =20 ⇐⇒ u + v − u − v2 = 0 ⇐⇒ u + v2 = u − v2 ⇐⇒ u + v = u − v a)
c)Interpretaci´on geom´etrica: “los lados adyacentes de un paralelogramo son perpendiculares s´ı y s´olo s´ı sus diagonales tienen igual magnitud”. o “un paralelogramo es un rect´angulo s´ı y s´olo s´ı sus diagonales tienen la misma magnitud”.
Ejercicio 5.5 Encuentre el ´angulo entre los vectores a y b, si ninguno de ellos es el vector cero y
× · a
b
2
= a b
2
.
47
5.1 Vectores n dimensionales
Soluci´ on: Si θ es el ´angulo formado por los vectores a y b, entonces de las relaciones:
a × b2 = a2 b2sen2θ
· × · a b
Con la hip´otesis a
b
2
2
= a
2
= a b
sen2 θ
b 2 cos2 θ 2
se obtiene que:
− cos2θ = 0,
siempre que a y b sean no nulos. Luego senθ = se obtiene que θ es π4 o 34π .
±cosθ, de donde
Ejercicio 5.6 Demostrar que para dos vectores a y b de I Rn se tiene la identidad: 2 2 a + b a b = 4a b
− − · · −
y por lo tanto a b = 0 si y s´olo si a + b = a
b .
Interpretar este resultado geom´etricamente en I R2 . Soluci´ on: Note que: a+ b 2 a b
− − 2 = a2 + b2 +2a· b−a2 − b2 +2a· b = 4a· b Luego, a + b = a − b ⇒ 4a · b = 0 ⇒ a · b = 0. Rec´ıprocamente, si a · b = 0 ⇒ a + b2 = a − b2 ⇒ a + b = a − b.
Interpretaci´on geom´etrica: “las diagonales de un paralelogramo son iguales si y s´olo si el paralelogramo es un rect´angulo”
48
Vectores, Rectas y Planos
Ejercicio 5.7 Demostrar que para dos vectores cualesquiera a y b de I Rn , se tiene: 2 2 2 2 a + b + a b = 2 a + 2 b
−
¿Qu´e teorema geom´etrico acerca de los lados y diagonales de un paralelogramo se puede deducir de esa identidad? Soluci´ on: En forma similar al desarrollo hecho en el ejercicio 5.4.a.:
= =
a + b2 + a − b2 a2 + b2 + 2a · b + a2 + b2 − 2a · b 2a2 + 2 b2
El resultado que se deduce de la anterior identidad es: “la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual al doble de la suma de los cuadrados de las longitudes de sus lados”. Ejercicio 5.8 En geometr´ıa de s´olidos existe un teorema que establece que el volumen de cualquier pir´amide (tetraedro) es 13 de la base por la altura.
(i)Use este resultado para demostrar que el volumen V del tetraedro cuyos lados son vectores l.i. a, b y c, es: V =
c b
1 (a 6
| × b) · c| a
49
5.1 Vectores n dimensionales
(Sugerencia: puede usar la interpretaci´ on geom´etrica conocida para la norma del producto cruz de dos vectores) . (ii)Utilice (i) para hallar el volumen del tetraedro P QRS con v´ertices P ( 1, 2, 0), Q(2, 1, 3), R(1, 0, 1), S (3, 2, 3).
−
−
−
Soluci´ on: (i)Partimos de que a b es el ´area del paralelogramo de lados a y b. As´ı el ´area B de la base triangular del tetraedro formada por los vectores a y b es:
|| × ||
B=
1 a 2
|| × b||
y la altura h del tetraedro, sobre esta base, ser´a la norma de la proyecci´on del vector c sobre un vector normal a la base (por ejemplo a b) esto es:
×
b) c · (a × b)| · × | × h = Proy × c = a b = ||a × b||2 ||a × b|| c (a
a b
por lo que el volumen V del tetraedro es: 1 1 1 V = Bh = ( a 3 3 2
c (a b) 1 b ) = (a 6 a b
|| × || | · × | || × ||
| × b) · c|.
(ii)Tomando
−→ a = P Q = Q − P = (2, 1, −3) − (−1, 2, 0) = (3, −1, −3), −→ b = P R = R − P = (1, 0, 1) − (−1, 2, 0) = (2, −2, 1), −→ c = P S = S
− P = (3, −2, 3) − (−1, 2, 0) = (4, −4, 3),
y dado que (a
× b)
− · − − − − − − − 4 3 2
c =
=
1 2
4 1 2
4 3
4 1
3 3 1
4 3 0
−4 −1
=
=
1 (8) = 2
0
−4
− − 3 3 1/2
50
Vectores, Rectas y Planos
se tiene seg´un el punto (i) que el volumen del tetraedro es: V =
1 (a 6
| × b) · c| = 16 | − 4| = 23 .
Ejercicio 5.9 ¿Qu´e puede decirse de los vectores a y b si para toda pareja de escalares α y β no nulos, los vectores α a + β b y βa α b son ortogonales?
−
Soluci´ on: Como (αa + β b) (βa
·
− α b) = αβ (a2 − b2) + (β 2 − α2)a · b = 0
para toda pareja de escalares α y β no nulos. Entonces, eligiendo α = β = 1 por una parte y α = 1 y β = 2 por otra, se tiene que a y b deben satisfacer el siguiente sistema:
− a 2 2( a
b
2
= 0 b 2 ) + 3a b = 0
2 − · Luego a = b y a · b = 0. Es decir, a y b deben ser ortogonales y con igual magnitud.
5.2.
Rectas y Planos
Ejercicio 5.7 Sea π el plano: 3x
− 2y + 4z = 5.
a) Establezca un sistema de ecuaciones param´etricas y una ecuaci´ on vectorial, para la recta que contiene Q(2, 3, 1) y es perpendicular al plano π.
−
b) Establezca la ecuaci´on cartesiana (ax+by+cz = d) del plano que contiene a los puntos A( 2, 1, 3), B(3, 0, 2) y C (1, 3, 1).
−
−
51
5.2 Rectas y Planos
Soluci´ on: a) Si la recta es perpendicular a π entonces un vector director es: n = (3, 2, 4). Luego las ecuaciones param´etricas ser´ıan:
−
x = y = z =
2 + 3t 3 2t ; t I R 1 + 4t
− −
∈
Y una ecuaci´on vectorial es: (x,y,z) = (2, 3, 1) + t(3, 2, 4),
−
−
t I R.
∈
b) Dos vectores directores para este plano pueden ser:
−→
u = AB = (5, 1, 1)
− −
y
−→
v = AC = (3, 2, 4)
−
y un vector n normal al plano es cualquiera ortogonal a u y v , en particular: n = u
× v =
− − − − − − 1 2
1 ı 4
5 3
1 + 4
= (6, 17, 13)
− 5 3
1 k 2
Entonces la ecuaci´on es del tipo: 6x + 17y + 13z = d, y al evaluarla en un punto cualquiera del plano, p.e. ( 2, 1, 3), se obtiene que d = 6( 2) + 17(1) + 13(3) = 44.
−
−
As´ı la ecuaci´on es: 6x + 17y + 13z = 44. Ejercicio 5.8 Sean las rectas de I R3 1 : α I R,
∈
x = 1 + α y = 2 2α , z = 3 + α
−
β I R.
∈
y 2 :
x = 2 β y = 3β , z = 1
−
52
Vectores, Rectas y Planos
(i)Demuestre que 1 y 2 son rectas alabeadas, esto es, no son paralelas ni se intersecan entre s´ı. (ii)Determine las ecuaciones vectorial y cartesiana del plano π1 que contiene a 1 y es paralelo a 2 . (iii)Calcule d(1 , 2 ), la distancia m´ınima entre 1 y 2 . (Sugerencia: Observe que d(1 , 2 ) = d(π1 , 2 )). Soluci´ on: (i) Los vectores directores de 1 y 2 son respectivamente v = (1, 2, 1) y u = ( 1, 3, 0),
−
−
los cuales evidentemente no son paralelos y por lo tanto las rectas tampoco lo son. Para ver que no se intersecan, observe que un punto ( x,y,z) est´ a en la intersecci´on de las rectas 1 y 2 existen escalares α y β tales que:
⇐⇒
1 + α = x = 2 β 2 2α = y = 3β 3 + α = z = 1
−
−
⇐⇒ el sistema Ahora como:
−
α + β = 2α 3β = α =
−
− − − − − −→ − 1 2 1
1 0 0
− −
1 1 1
−
1 0 3
1 3 0
1 2 2
f 2 + f 3
1 2 2
tiene soluci´on.
− −
2f 1 + f 2 f 1 + f 3
−→ 1 0 0
−
1 1 0
− 1 0 3
se observa que el sistema anterior no tiene soluci´on, lo que significa que las rectas no se intersecan.
53
5.2 Rectas y Planos
(ii) Las ecuaciones vectoriales de las rectas son: 1 :
(x,y,z) = (1, 2, 3) + α(1, 2, 1), α I R,
−
∈ (x,y,z) = (2, 0, 1) + β (−1, 3, 0), β ∈ I R.
2 :
As´ı, una ecuaci´on vectorial para el plano π1 es: π1 : (x,y,z) = (1, 2, 3) + α(1, 2, 1) + β ( 1, 3, 0), α,β I R.
−
−
∈
Una forma de obtener la ecuaci´on cartesiana de π 1 es calculando un vector N normal a π1 , por ejemplo si v y u son los vectores directores del plano π1 , N = v
× u = (1, −2, 1) × (−1, 3, 0) = (−3, −1, 1)
y como el punto P = (1, 2, 3) de l1 , tambi´en es un punto de π1 , entonces X = (x,y,z) es un punto de π1 (X P ) N = 0 X N = P N 3x y + z = (1, 2, 3) ( 3, 1, 1) 3x y + z = 2.
⇐⇒ − · ⇐⇒ − − ⇐⇒ − −
⇐⇒ · · ·− − − As´ı la ecuaci´on cartesiana de π1 es: 3x + y − z = 2. 2, entonces en alg´un punto 2 (iii) Dado que 1 ⊂ π 1 l 2 y 1
“pasa sobre” 1 y define los puntos de 1 y 2 con distancia m´ınima, la que corresponde tambi´ en a la distancia entre un punto cualquiera de 2 y el plano π1 . (no se exige explicar esta situaci´on). Q 2
π1
N
1 P
54
Vectores, Rectas y Planos
Se conoce que P = (1, 2, 3) π 1 y Q = (2, 0, 1)
∈
∈ 2, luego −→
d(1 , 2 ) = d(π1 , 2 ) = d(π1 , Q) = ProyN P Q
−→
y P Q = Q
− P = (2, 0, 1) − (1, 2, 3) = (1, −2, −2).
Adem´ as:
−→
ProyN P Q = = =
−→
P Q N N N N (1, 2, 2) ( 3, 1, 1) ( 3, 1, 1) ( 3, 1, 1) ( 3, 1, 1) 3 ( 3, 1, 1). 11
· −· − · − − − − ·− − − − −
− −
Entonces: d(1 , 2 ) = =
−→
= −113 (−3, −1, 1) 3 . 11 = √
Proy √ 3 11
N P Q
11
Ejercicio 5.9 Considere las rectas en I R3 : L1 :
L2 : y el plano π : 3x
x = y = z =
3 + 2t 1 + t ; t I R 5 t
−
−
∈
x = 6 + s y = 2 + 2s ; s I R z = 3 s
−
∈
− 2y + 4z = 5.
a) Determine, si existe, el punto de intersecci´on entre L1 y L2 . b) Determine, si existe, el punto de intersecci´on entre L1 y el plano π.
55
5.2 Rectas y Planos
c) Calcule la distancia entre la recta L1 y el plano π. Utilice proyecciones para hacer este c´alculo y haga un dibujo explicativo. Soluci´ on: a) L1 y L2 se intersecan si existen t y s tales que:
− − − − ⇒ − − − − − − −→ − 3 + 2t = 6 + s 1 + t = 2 + 2s = 5 t = 3 s
s 2t = 2s t = s + t =
−3 −3 2
Resolviendo el sistema: 1 2 1
2 1 1
3 3 2
1 0 0 1 0 0
...
− 1 1 0
Luego hay un u ´ nico punto de intersecci´on determinado por s = 1 o t = 1. O sea, el punto de intersecci´on es: (x,y,z) = (5, 0, 4).
−
b) Un punto de intersecci´on entre L1 y π es un punto de la recta L1 : (x,y,z) = (3 + 2t, 1 + t, 5 t), que satisface la ecuaci´ on del plano π : 3x 2y + 4z = 5, o sea:
−
−
− 3(3 + 2t) − 2(−1 + t) + 4(5 − t) =⇒ 9 + 6t + 2 − 2t + 20 − 4t =⇒ 31
= 5 = 5 = 5
Se produce una inconsistencia: Entonces no existe t tal que (3 + 2t, 1 + t, 5 t) sea un punto del plano π. Luego la recta L1 no interseca al plano π, o sea L1 es paralela a π.
−
−
c) Como L1 es paralela a π, entonces d(L1 , π) = d(R, π), donde R es cualquier punto de L1 . Para calcular d(R, π) usando proyecciones, se requiere: elegir R, por ejemplo: R = (3, 1, 5). elegir un punto S de π, por ejemplo: S = (1, 1, 0).
−
−
56
Vectores, Rectas y Planos
dar un vector normal al plano π, n = (3, 2, 4).
−→
−
Reconocer que d(R, π) = Proyn SR . Lo cual se puede visualizar del gr´afico siguiente.
R
1
−→
Proyn SR
n S π1
Finalmente: d(R, π) = = = =
−→
Proy SR −→ −→ ·2n n = |SR · n| SR n n |(2, √ 0, 5) · (3, −2, 4)| 9 + 4 + 16 √ 26 . n
29
Ejercicio 5.10 Considere el plano Π : x + y + 2z = 1 y A = ( 1, 1, 21 ), B = (1, 1, 12 ), y C = (0, 0, 21 ) puntos de Π. Encuentre D (en Π!) tal que A,B,C,D sea un paralelogramo. Haga un dibujo.
−
− {
}
Soluci´ on: Sean A, B,C los tres puntos de Π dados, (A = v1 , B = v2 y C = v 3 ) y D = v 4 el punto en Π a determinar, de manera que A,B,C,D sean los v´ertices de un paralelogramo.
{
}
57
5.2 Rectas y Planos
P B D
C A Q Π O
−→
−→
Si v = CB = B C y w = CA = A vectorial para el plano Π es
−
− C entonces una ecuaci´on
X = C + tv + sw, y D = C + v + w Π. Adem´as, A,B,C,D son los v´ertices de
∈
{
−→
}
−→
−→
−→
un paralelogramo en Π ya que v = CB = AD y w = CA = BD. Como A = ( 1, 1, 21 ), B = (1, 1,
− −→
−→
− 12 ), y C = (0, 0, 21 ), entonces
D = C + CA + CB = (0, 2, 1/2).
−
−→
−→
Tambi´en se observa que Q = B + BA + BC = ( 2, 0, 23 ), y
−→
−→
−
P = A + AB + AC = (2, 0, −21 ), son otras soluciones. Ejercicio 5.11 Considere el tri´angulo con v´ertices en: A = ( 1, 1, 21 ), B = (1, 1, 12 ), y C = (0, 0, 21 ).
−
− a. Muestre que si ||v || = ||w|| entonces v + w biseca el ´angulo formado por v y w.
b. D´e una ecuaci´on vectorial de la recta L1 que pasa por B y biseca el ´angulo de v´ertice B (L1 ser´ıa una bisectriz). c. Calcule el incentro del tri´angulo (el incentro es el punto donde se intersecan las bisectrices)
58
Vectores, Rectas y Planos
Soluci´ on: a. Sea u = v + w entonces Si v = w = v v = w w = v v + w v = w w + w v = (v + w) v = (v + w) w = u v = u w. Luego, si θ1 = ∠ v, u y θ2 = ∠ w, u entonces
|| || || || ⇒ · ⇒ · cos θ1 =
· ·
⇒ · ⇒ ·
·
·
·
·
u v u w = = cos θ2 . u v u w
· ·
b. y c. Nuevamente, denominamos A = v1 , B = v2 y C = v3 , los v´ertices del tri´angulo dado.
−→
−→
−→
Sean v = CA = A C , w = CB = B C y u = BA = A B entonces: v y ||||wv|||| w tienen la misma norma, as´ı que su suma
−
−
−
•
vL1 = v +
|| v|| w ||w||
biseca al ´angulo entre v y w (el ´angulo de v´ertice C ).
− |||| |||| w tienen la misma norma, as´ı, su suma ||u|| w v 2 = u − ||w|| biseca al ´angulo entre u y −w (el ´angulo de v´ertice B). • la recta L1 : C + tv 1 biseca al ´angulo con v´ertice en C . • la recta L2 : B + sv 2 biseca al ´angulo con v´ertice en B. • L1 L2 = {(0, 2/3, 1/6)}. As´ı, el incentro es •
u w
uy
L
L
L
P = (0, 2/3, 1/6).
Ejercicio 5.12 El plano Π : z + y = 2 es intersecado por otros tres planos Π1 : y + x = 2, Π2 : z + x = 2 y Π3 : x = 2.5.
59
5.2 Rectas y Planos
Estas intersecciones determinan un tri´angulo en Π. Calcule el ´area de este tri´angulo. Soluci´ on: Sean L1 , L2 , L3 las rectas de intersecci´on entre los planos Π y Π1 , Π y Π 2 y Π y Π3 , respectivamente. Si tomamos a z como par´ ametro obtenemos que: L1 : (0, 2, 0) + t(1, 1, 1) L2 : (2, 2, 0) + t( 1, 1, 1) L3 : (2.5, 2, 0) + t(0, 1, 1)
{
− − − −
Luego L1 L2 = (1, 1, 1) , L1 L3 = (5/2, 1/2, 5/2) y L2 L3 = (5/2, 5/2, 1/2) . Entonces los v´ertices del tri´angulo son: A = (1, 1, 1), B = ( 52 , −21 , 25 ), C = ( 52 , 25 , −21 ), y el ´area es: (B A) (C A) 3 = 2 2
{
} − }
{
−
}
√ || − × − ||
Ejercicio 5.13 Considere las rectas L1 : ( 1, 4, 1) + t(2,
−
− 83 , − 23 ),
L2 : (1, 3, 0) + t( 2, 1, 1).
−
−
a. Encuentre la ecuaci´ on cartesiana de un plano Π L que contenga a la recta L1 y que a la vez sea paralelo a L2 . b. Sea Q = (a,b,c) L2 . Muestre que la distancia de Q a ΠL 2 es √ 3 . 1
∈
1
Soluci´ on: a. Un vector ortogonal a los vectores directores de L1 y L2 es (2, 8/3, 2/3)
−
−
× (−2, 1, −1) = (10/3, 10/3, −10/3),
luego N = (1, 1, 1) es ortogonal a L1 y L2 , y la ecuaci´on del plano ΠL que contiene a L1 y es paralelo a L2 es dada por
−
1
[( 1, 4, 1)
−
− (x,y,z)] · N = 0
o sea,
x + y
− z = 2.
60
Vectores, ectores, Rectas y Planos
b. Observe que este plano es paralelo a las rectas L1 y L2 , y como contiene a ( 1, 4, 1) entonces contiene a L1 . Dado que L que L2 es paralela al plano, la distancia de cualquiera de sus puntos al plano plan o es la misma (tambi´en en es la distanci dist anciaa m´ınima ınim a entre las rectas L1 yL2 ). Entonces tomando Q = (1, (1, 3, 0) L2 y P = ( 1, 4, 1) Π L , obtenemos:
−
−
∈
∈
1
−→
(Q − P ) P ) · N | 2 | √ ||N || = 3 .
d(Q, ΠL ) = ProyN P Q = 1
Cap´ıtulo 6
Espacios, subespacios, bases y ortogonalidad 6.1. 6.1.
Espa Espaci cios os vecto ectori rial ales es
Ejercicio 6.1 Sean V = M 2×2 y
H 1
=
H 2
=
{A ∈ M 2×2|a11 = 0}, {A ∈ M 2×2|A = −ab
a b
}
.
a) Muest Muestre re que H 1 y H 2 son subespacios de V. b) Descri Describa ba el conjun conjunto to H = H 1 subespacio subespacio de V.
∩ H 2 y muestre que es un
Soluci´ on: on: a) H 1 es subespacio de V : : Sean A = (aij ), B = (bij ) tales que A H 1 y B H 1 , luego a11 = 0 y b11 = 0. Y sea α I R. Entonces A + αB + αB =
∈
∈
∈
62
Espacios, Espacios, subespacios, subespacios, bases y ortogonalidad ortogonalidad
(aij + αbij ) y como a11 = b11 = 0, A + αB + αB = ((a ((a + αb + αb))ij ) con (a (a + αb + αb))11 = a 11 + αb + αb11 = 0 A A + + αB αB H 1 . Luego H 1 es subespacio de V.
⇒
∈
H 2 es subespacio de V : :
− − ∈ ∈ − − − ∈ ∩ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ c1 c2
Sean C y D matrices en H 2 , luego C = D =
d1 d2
d2 d1
c2 c1
y
. Y sea γ I R. c1 γd 1 c2 + γ + γd d2
Entonces C Entonces C + + γD =
c2 + γ + γd d2 c1 + γ + γd d1
, y si hacemos k1 k2
c1 + γ + γd d1 = k1 y c2 + γ + γd d2 = k2 , C + γ + γD D=
k2 k1
,
0 c c 0
.
de manera que C + γ + γD D H 2 . Luego H 2 es subespacio de V.
0 a . a 0 0 b Si M Si M 1 y M y M 2 est´an an en H en H , M 1 = y M 2 = b 0 Luego si M 1 H , H , M 2 H y γ I R,
b) H = H 1
H 2 =
A M 22 22 /A =
M 1 + γ + γM M 2 =
y haciendo b + γ + γcc = d = d,,
0 b + γ + γcc b + γ + γcc 0
M 1 + γ + γM M 2 =
,
0 d d 0
H . H .
Luego H H es es subespacio de V . . Ejercicio 6.2
Hallee una Hall una base base para para S , el espa espaci cioo solu soluci ci´´on on del del sist sistem emaa hohomog´eneo: x 3y + z + z + w = 0 2x + 2y 2 y 3z 2w = 0 4x 8y + 5z 5 z + 4w 4w = 0
−
− − − −
Y determine una matriz B , que permita describir S como: como: B x, para alguna x ∈ I R2 }. { ∈ I R4 | y = Bx,
S = y
63
6.1 Espacios vectoriales
Soluci´ on: on: Haciendo las operaciones elementales necesarias para resolver el sistema y determinar S , tenemos:
−
1 2 4
−3 1 1 2 −3 −2 −8 5 4
−→ −→
+ f 3 −4f 1 + f 2f 1 + f + f 2
f 2 + f + f 3
f 2 + f + f 1
−→ As´ı x = 7y la forma:
−w
0 0 0
1 0 0
−3 1 −4 −1
1 0 0
−3 1 −4 −1
1 0 0
−7 0 −4 −1
1 0 0 0 1 0 0
4
1 0 0 0 0 0 0
0
1 0 0 0 0 0 0
0
y z=
−4y, y toda soluci´on on del sistema es de −1 7y − w 7 1 0 y = y + w −4y −4 0
w
−
−
0
1
Entonces (7, (7, 1, 4, 0)t , ( 1, 0, 0, 1)t genera el conjunto conjunto S S solu soluci´ on del sistema y como sus vectores son l.i., es una base para on S .
{
−
−
}
Por otra parte, como:
− − 7y
w
y 4y w
= y
− 7 1 4 0
+ w
1 0 0 1
=
7 1 4 0
−1 0 0 1
y w
64
Espacios, subespacios, bases y ortogonalidad
la matriz B =
−
7 1 4 0
− 1 0 0 1
, permite describir S como:
{ ∈ I R4 | y = Bx, para alguna x ∈ I R2}.
S = y
Ejercicio 6.3 Sean A M (m,n, I R) y S A = x I Rn Ax = 0 .
∈
{ ∈
|
}
a)Pruebe que S A es un subespacio de I Rn . b)Considere la matriz A =
1 2 0
1 1 -1
-1 1 3
2 3 -1
-1 0 2
i)Determine una base para S A y establezca su dimensi´ on. ii)Determine una base para el subespacio E generado por las columnas de la matriz A y establezca su dimensi´on. Soluci´ on: a) Si
x, y S A y α I R = Ax = 0 y Ay = 0 Ahora, A(αx + y) = αAx + Ay = α0 + 0 = 0, entonces αx + y S A . Luego S A es un subespacio de I Rn .
⇒
∈
∈
∈
b) i) El problema es equivalente a encontrar una base del espacio soluci´on del sistema homog´eneo Ax = 0, para lo cual se debe resolver el sistema:
1 2 0
1 1 1
−
−1 1 3
2 3 1
−
−1
0 0 0 2 0
65
6.1 Espacios vectoriales
− − − − − −→ − − − − − − − −→ − − − − − −→ − − − − − − − − 2f 1 + f 2
f 2
f 2 + f 1 f 2 + f 3
1 0 0
1 1 1
1 3 3
2 1 1
1 0 2 0 2 0
1 0 0
1 1 1
1 3 3
2 1 1
1 0 2 0 2 0
1 0 0 1 0 0
2 1 3 1 0 0
1 0 2 0 0 0
Luego
x1 x2 x3 x4 x5
x1 x2 As´ı x3 = r x4 x5 Claramente
2 3 1 0 0
= = = = =
+ s
2r s t 3r s+2t r s t
1 1 0 1 0
1 2 0 . 0 1
+ t
t
t
t
{(−2, 3, 1, 0, 0) , (−1, −1, 0, 1, 0) , (−1, 2, 0, 0, 1) } es un conjunto l.i. que genera S A , luego una base de S A es:
− − − − 2 3 1 0 0
,
1 1 0 1 0
,
1 2 0 0 1
.
Y dim(S A ) = 3.
ii) El espacio que generan las filas de una matriz es igual al espacio que generan las filas de cualquier otra matriz equi-
66
Espacios, subespacios, bases y ortogonalidad
valente a esta. Luego al reducir por filas la matriz At :
− −
1 1 1 2 1
1 0 0 0 0
− −
2 1 3 1 2
2 1 1 3 0
− − 0 1 3 1 2
− − − − 0 1 3 1 2
f 1 + f 2 f 1 + f 3 2f 1 + f 4 f 1 + f 5
− −→ f 2
−→ 1 0 0 0 0
−
2 1 3 1 2
− 0 1 3 1 2
1 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 se obtiene una matriz cuyas filas no nulas generan el mismo espacio que las filas de At . O sea:
−3f 2 + f 3 f 2 + f 4 −2f 2 + f 5 −→
E = (1, 2, 0)t , (0, 1, 1)t .
C{
}
As´ı se obtuvo un conjunto de vectores l.i. que generan E . Luego una base para E (el espacio generado por las columnas de A) es:
1 2 0
,
0 1 1
.
Otra soluci´ on:
Claramente dim(E ) = 2.
− 1 0 2
,
0 1 1
.
Ejercicio 6.4 a) Halle una base para el espacio generado por las columnas de la matriz 1 1 2 1 1 0 1 2 A = 1 2 5 4 2 1 1 1
−
− − −
−
67
6.1 Espacios vectoriales
b) Determine una base para el subespacio T de vectores de I R4 que son ortogonales a cada vector de la base obtenida en a). c) Sea B la matriz cuyas filas son los vectores de la base obtenida en b) transpuestos. Resuelva el sistema Bx = 0, donde x I R4 .
∈
d) Muestre que el espacio soluci´on del sistema en c) es igual a el espacio generado por las columnas de A. Soluci´ on:
a) At =
−
1 1 2 1
−1 0 1 2
− − − − − − −→ − − − − −→ − − −→ 1 2 5 4
2 1 1 1
−f 1 + f 4 f 1 + f 2 −2f 1 + f 3
1 0 0 0
3f 2 + f 3 3f 2 + f 4
−f 2 + f 1
1 1 3 3
1 1 3 3
2 1 3 3
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 0 0
2 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
2 1 0 0
1 1 0 0
Base para el espacio de columnas de A: t
t
{(1, 0, 2, 1) , (0, −1, −1, 1) }. b) Un vector x = (x1 , x2 , x3 , x4 )t es ortogonal a (1, 0, 2, 1)t y a (0, 1, 1, 1)t si satisface que:
− −
(1, 0, 2, 1)t (x1 , x2 , x3 , x4 )t = 0 y (0, 1, 1, 1)t (x1 , x2 , x3 , x4 )t = 0,
− −
·
·
68
Espacios, subespacios, bases y ortogonalidad
o sea, es soluci´on del sistema cuya matriz aumentada es la siguiente: 1 0 2 1 0 0 1 1 1 0
− −
Y claramente, toda soluci´on de este sistema es de la forma:
− −
2x3 x4 x3 + x4 x3 x4
−
= x 3
− − 2 1 1 0
+ x4
de manera que una base para T es t
− 1 1 0 1
t
{(−2, −1, 1, 0) , (−1, 1, 0, 1) }. c) Resolviendo el sistema homog´eneo Bx = 0 indicado: 1 1 0 1 0 f 1 1 1 0 1 0 2 1 1 0 0 2 1 1 0 0 2f 1 + f 2 1 1 0 1 0 ( 1/3)f 2 0 3 1 2 0 1 1 0 1 0 f 2 + f 1 1 0 −31 −31 0 0 1 −31 23 0 0 1 −31 23 0 Luego, las soluciones del sistema son de la forma:
− − − − − −→ − − − − − − −→ − − − −→ −→ − − 1 3 x3 + 1 3 x3
x3 x4
1 3 x4 2 3 x4
= x 3
1/3 1/3 1 0
−
1/3 2/3 0 1
+ x4
con lo que el conjunto soluci´on es
S = (1, 1, 3, 0)t , (1, 2, 0, 3)t .
C{
−
}
d) Observe que los vectores de la base de S dada en c) son combinaci´on lineal de los vectores de la base en a):
1 1 3 0
=
− − − 1 0 2 1
0 1 1 1
y
− 1 2 0 3
=
1 0 2 1
+2
− − 0 1 1 1
69
6.1 Espacios vectoriales
Luego los vectores de la base de S pertenecen al espacio generado por las columnas de la matriz A, y como este espacio tiene dimensi´on 2, son una base de este espacio (el generado por las columnas de A). Luego las bases en a) y c) son bases de un mismo espacio. Es decir, S y el espacio generado por las columnas de A son el mismo. Ejercicio 6.5 Sea S = A M (2, I R).
{ ∈ M (2, I R)|(−1, 4)A = (0, 0)} un subespacio de
a)Muestre que
4t 4k t k
matrices en S .
b)Encuentre una base
∀
∈ I R, y
t, k
0 0 0 0
son
B para S .
Soluci´ on: a)Para todo t y k en I R se tiene: ( 1, 4)
−
luego
4t 4k t k
4t 4k t k
∈
= ( 4t + 4t, 4k + 4k) = (0, 0)
−
−
S .
4t 4k 0 0 = , con t k 0 0 lo que se muestra que la matriz nula 2 2 est´a en S . Adem´as, para t = 0 = k,
∈ − −−
b)Base para S : si A =
( 1, 4)
−
a b c d
⇒ −
=
×
−
a b c d
S entonces
= ( a + 4c, b
4d) = (0, 0)
a + 4c = 0 = a = 4c y b = 4d. b + 4d = 0
⇒
70
Espacios, subespacios, bases y ortogonalidad
As´ı A = tiene que
4c 4d c d
= c
4 0 1 0
B =
4 0 1 0
,
+ d
0 4 0 1
y se
0 4 0 1
es un conjunto generador de S . Adem´as claramente este conjunto es l.i. (ninguna de las matrices se puede expresar como un escalar por la otra), por lo que es una base de S . Ejercicio 6.6 Determine si el conjunto dado es un espacio vectorial. Si su respuesta es afirmativa, determine la dimensi´on y una base para el espacio. a) El conjunto S de vectores (x,y,z) de I R3 que satisfacen x + 2y z = 0.
−
b) El conjunto M 1 de matrices A = (aij ), 3 2 con a12 = 0 y las operaciones de adici´on matricial y multiplicaci´on por un escalar.
×
c) El conjunto M 2 de matrices como en el ejercicio anterior, pero con a12 = 0.
Soluci´ on: Como los conjuntos dados son subconjuntos de I R3 en a) y de M (3, 2, I R) en b) y c), y es conocido que estos son espacios vectoriales, el reconocer si los propuestos son espacios vectoriales o no, es equivalente a reconocer si son o no subespacios vectoriales de I R3 y M (3, 2, I R). a) S es el conjunto soluci´on de un sistema homog´eneo, un sistema con una sola ecuaci´on, y es conocido que estos conjuntos son subespacios vectoriales de I Rn , donde n es el n´umero de variables del sistema.
71
6.1 Espacios vectoriales
Los vectores del conjunto S dado satisfacen x + 2y o sea x = 2y + z, de manera que son de la forma:
−
− − 2y + z y z
2 1 0
= y
1 0 1
+ z
− z = 0,
.
Luego S = ( 2, 1, 0)t , (1, 0, 1)t y como estos vectores generadores de S son l.i. entonces constituyen una base de S . La dimensi´on de S es 2. b) El conjunto M 1 de matrices A = (aij ), 3 2 con a 12 = 0, es un subespacio de M (3, 2, I R). Observe que si A y B pertenecen a M 1 y α I R,
C{−
}
×
A + αB
∈
∈ ∈ =
=
a11 0 b11 0 a21 a22 b21 b22 + α a31 a32 b31 b32 a11 + αb11 0 a21 + αb21 a22 + αb22 M 1 . a31 + αb31 a32 + αb32
Luego M 1 es subespacio vectorial de M (3, 2, I R). Adem´as, toda matriz A M 1 se puede escribir en la forma:
a11 a21 a31
0 a22 a32
= a11
a22
1 0 0 0 0 0 + a21 1 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 + a31 0 0 0 0 1 0 0 0 +a32 0 0 0 1
Por lo tanto, el conjunto
1 0 0 0 0 0
,
0 0 1 0 0 0
,
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
,
,
0 0 0 0 0 1
72
Espacios, subespacios, bases y ortogonalidad
es un conjunto de matrices en M 1 que lo generan y que es l.i., luego es una base de M 1 . La dimensi´on de M 1 es 5. c) M 2 no es subespacio vectorial de M (3, 2, I R), porque la suma no es cerrada en ´el. Por ejemplo,
− − ∈ 2 1 0 2 0 1
y
2 1 0
1 0 1
son matrices en M 2 , pero 2 1 0 2 0 1
+
2 1 0
1 0 1
=
4 0 1 2 0 2
M 2 .
Tambi´ en se puede reconocer que no es subespacio vectorial, observando que el cero de M (3, 2, I R) no pertenece a M 2 .
6.2.
Ortogonalidad y proyecciones
Ejercicio 6.7 Sean v1 = (0, 1, 2)t y W = v1 :
C{ }
a. Determine W ⊥ . b. Determine bases ortonormales para W y W ⊥ . c. Sea v2 = (2, 0, 1)t . Determine: i) ProyW v2 d. Encuentre x1
ii) ProyW v2 . ⊥
∈ W y x2 ∈ W ⊥ tales que v2 = x1 + x2.
Soluci´ on: a. W ⊥ en un hiperplano de I R3 al que v1 es ortogonal. Podemos escribir:
W ⊥ = (x,y,z) I R3 y + 2z = 0 .
∈ |
73
6.2 Ortogonalidad y proyecciones
B1 para W : B1 = {(0, √ 15 , √ 25 ) }. Base B2 para W ⊥ : dos vectores que generan W ⊥ son: (1, 0, 0) y (0, −2, 1) , ya de por s´ı ortogonales, por lo que t
b. Base
t
t
podemos escribir:
B2 = {(1, 0, 0) , (0, − √ 25 , √ 15 ) }. t
t
1 √ 2 t 1 √ 2 t √ c. ProyW v2 = ((2, 0, 1)t (0, √ , ) )(0, , ) 5 5 5 5 2 1 √ 2 t 2 4 t √ = √ (0, , ) = (0, , 5) . 5 5 5 5
·
ProyW v2
= v2 ProyW v2 = (2, 0, 1)t (0, 52 , 54 )t = (2, d. Por construcci´ on:
−
⊥
−
x1 = ProyW v2
y
− 25 , 51 ) . t
x2 = ProyW v2 . ⊥
Ejercicio 6.8 Sean v1 = (1, 1, 0, 0)t , v2 = (0, 2, 2, 0)t , v3 = (0, 0, 3, 3)t vectores de I R4 y W = v1 , v2 , v3 .
C{
}
a. Construya una base ortonormal para W . b. Construya una ecuaci´on que describa a W. (Sugerencia: W es un hiperplano). c. Encuentre W ⊥ . d. Si x = (0, 1, 2, 3)t encuentre ProyW x. Soluci´ on: a. Tomemos muy inmediatamente: u1 = (
√ 12 , √ 12 , 0, 0)
y usando el m´ etodo de ortonormalizaci´on de Gram-Schmidt tendremos que con S 1 = u1 :
C{ }
u2 =
v2 v2
− Proy − Proy
S 1 v2 S 1 v2
=(
− √ 16 , √ 16 , √ 26 , 0).
74
Espacios, subespacios, bases y ortogonalidad
Y similarmente con S 2 = u1 , u2 ,
C{
u3 =
v3 v3
− Proy − Proy
S 2 v3 S 2 v3
=(
}
√ 112 , − √ 112 , √ 112 , √ 312 ).
b. Como W es un hiperplano, puede ser descrito como el con junto soluci´on de una ecuaci´on de la forma: a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 = 0, donde (a1 , a2 , a3 , a4 )t I R4 es un vector ortogonal a W. Un vector que cumple esta condici´on es a = (1, 1, 1, 1)t . Por lo tanto, la ecuaci´on es:
∈
−
−
x1
− x2 + x3 − x4 = 0 Y W = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ I R|x1 − x2 + x3 − x4 = 0}.
c. Como W tiene dimensi´on 3, W ⊥ tiene dimensi´on 1. Adem´as a = (1, 1, 1, 1)t es ortogonal a v1 , v2 y v3 luego es ortogonal a cualquier combinaci´on lineal de los vectores v1 , v2 y v3 , es decir, a W ⊥ , luego W ⊥ = (1, 1, 1, 1)t .
−
− ∈ C{ − − } x = (x · u1 )u1 + (x · u2 )u2 + (x · u3 )u3 = ( 12 , 21 , 25 , 25 ),
d. ProyW donde u1 , u2 y u3 son los vectores de la base ortonormal para W obtenidos en a). Ejercicio 6.9
1 1 1 Sea: A = , 2 2 6 W 1 el espacio generado por las filas de A, y W 2 = x I R3 Ax = 0 .
−
{ ∈ |
− }
a. Determine bases para W 1 y W 2 . b. Compruebe que W 1 y W 2 son ortogonales. c. Determine bases ortonormales para W 1 y W 2 . d. Sea x = (3, 2, 4)t . Calcule dos vectores ortogonales, a W 1 y b W 2 , tales que x = a + b.
∈
−
e. Represente a x, a, b, W 1 y W 2 gr´aficamente.
∈
75
6.2 Ortogonalidad y proyecciones
Soluci´ on: a. Como W 1 = (1, 1, 1), (2, 2, 6) , y claramente se observa que las filas de A son vectores l.i. entonces
C{ −
− }
t
t
B1 = {(1, −1, 1) , (2, 2, −6) }. Tambi´ en es cierto que cualquier otra pareja de vectores l.i. de W 1 constituyen una base para W 1 , en particular, reduciendo la matriz da A obtenemos:
1 0 0 1
1 2
−
con lo que u1 = (1, 0, 1)t y u2 = (0, 1, 2)t y 1 = u1 , u2 forman otra base para W 1 . W 2 es el espacio de soluci´on de Ax = 0. Al resolver el sistema, se produce la misma matriz reducida ya obtenida, es decir: 1 0 1 0 0 1 2 0
−
−
B {
}
t
siendo x = (x1 , x2 , x3 ) , entonces x1 = t, x2 = 2t, x3 = t, por lo que el espacio de soluci´on ser´a:
−
W 2 = t( 1, 2, 1)t t I R
{ − |∈ } haciendo u3 = (−1, 2, 1) , B = {u3 } es una base de W 2 . b. Puesto que todo vector x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ W 2 satisface que t
t
Ax = 0, entonces cumple:
x1 x2 + x3 2x1 + 2x2 6x3
−
−
= 0 = 0
Es decir, x = (x1 , x2 , x3 )t W 2 es ortogonal a los vectores fila de A, luego es ortogonal a cualquier combinaci´on lineal de ellos. De esta manera, todo vector en W 2 es ortogonal a todo vector en W 1 . Entonces W 1 y W 2 son espacios ortogonales.
∈
76
Espacios, subespacios, bases y ortogonalidad
W 1⊥ = W 2
W 1
Figura 6.1: Ejercicio 6.9.e Se puede observar tambi´en que W 1⊥ = W 2 , lo cual establece no solo que W 1 y W 2 son espacios ortogonales sino tambi´ en que uno es el complemento del otro:
= = = = = =
W 1⊥ x x x x x W 2
∈ I R33|x ⊥ y, ∀ y ∈ W 1} ∈ I R3|x ⊥ (1, −1, 1) y x ⊥ (2, 2, −6)} ∈ I R3|x · (1, −1, 1) = 0 y x · (2, 2, −6) = 0} ∈ I R3|x1 − x2 + x4 = 0 y 2x1 + 2x2 − 6x3 = 0} ∈ I R |Ax = 0}
{ { { { {
c. Para W 1 : eligiendo dos vectores ortogonales de W 1 , co1 1 mo (1, 0, 1) y (1, 1, 1), se tiene que v1 = √ , 0, √ , 2 2
− 1 √ 1 1 √ y v2 = √ , , − 3 3 3 B = {v1, v2} .
, forman una base ortonormal, as´ı:
Para W 2 , inmediatamente: v 3 = es una base ortonormal de W 2 .
−
√ 16 , √ 26 , √ 16 y B = v3
d. a = ProyW x = (x v1 ) v 1 + (x v2 ) v = b = x ProyW x = ( 12 , 1, 12 ).
−
1
e. Ver figura 6.1.
1
{} −
· · − −
· ·
5 2,
1, 29 , y
77
6.2 Ortogonalidad y proyecciones
Ejercicio 6.10 Sea = v1 , v2 , v3 , v4 , una base ortonormal de I R4 , y los subespacios de I R4 :
B {
}
S 1 = v1 , v2 ,
C{
S 2 = v3 , v4 .
}
C{
}
a. Compruebe que S 1 y S 2 son ortogonales. b. Justifique que S 2 = S 1⊥ . c. Si x = v 1 + 2v2 + 3v3 + 4v4 : i) Determine x1 S 1 y x2 S 2 tales que x = x1 + x2 . ii) Calcule ProyS x y ProyS x.
∈
∈
1
2
Soluci´ on: a. Sean x S 1 y y S 2 , luego x = α 1 v1 + α2 v2 , y y = β 1 v3 + β 2 v4 . Entonces x S 1 y y S 2
∈
∈
∀ ∈
x y
·
∀ ∈
= (α1 v1 + α2 v2 ) (β 1 v3 + β 2 v4 ) = α1 β 1 (v1 v3 ) + α2 β 2 (v1 v4 ) +α2 β 1 (v2 v3 ) + α2 β 2 (v2 v4 ) = α1 β 1 (0) + α2 β 2 (0) + α2 β 1 (0) + α2 β 2 (0) = 0
·
·
·
·
·
Esto porque vi v j = 0 para i = j, dado que los vectores vi pertenecen a una base ortonormal. Luego S 1 y S 2 son espacios ortogonales. b. Como ya se vio en a. S 1 y S 2 son subespacios ortogonales y adem´ as dim(S 1 )+dim(S 2 ) = dim(I R4 ), luego uno es el complemento ortogonal del otro. Tambi´en se puede establecer que: S 1⊥ = x I R4 x y, y S 1 = x I R4 x v 1 y x v 2 = v3 , v4 = S 2
·
{ ∈ | ⊥ ∀ ∈ } { ∈ | ⊥ ⊥ } C{ }
Esto porque dim(S 1⊥ ) = 4
− dim(S 1) = 2, y v3 ⊥ v 1 , v3 ⊥ v 2 =⇒ v 3 ∈ S 1⊥
78
Espacios, subespacios, bases y ortogonalidad
v4
⊥ v1, v4 ⊥ v2 =⇒ v4 ∈ S 1⊥
y dado que v3 , v4 son l.i. al ser ortogonales. c.
i) Como v1 , v2 y v3 , v4 son bases de S 1 y S 2 , respectivamente, sin demora se puede escribir:
{
} { x1 x2 x
}
= v1 + 2v2 S 1 , = 3v3 + 4v4 S 2 , = x1 + x2 .
∈ ∈
ii) Sencillamente: ProyS x = v 1 + 2v2 = x1 ProyS x = 3v3 + 4v4 = x 2 . 1 2
y
Cap´ıtulo 7
Regresi´ on Lineal Ejercicio 7.1 Se ha observado que en una granja, la producci´on de huevos que denominamos y depende de la cantidad suministrada de dos tipos de alimentos: x1 , y x2 . Suponga que la relaci´on entre estas variables se explica apropiadamente por el modelo: y = ax1 + bx2 + , y que para la tabla de datos siguiente (que se muestra parcialmente: faltan los valores observados para y), x1 1 x2 0 y
0 1
1 1
2 1
1 2
se estimaron los par´ametros a, b utilizando regresi´ on lineal m´ ultiple, y se calcul´o yˆ (y estimado) y R. a)Haga una ilustraci´on gr´afica de W = x1 , x2 , y y yˆ. b)Sabiendo que el vector y estimado result´o ser
C{
yˆ = (2, 2, 4, 6, 6)t ,
}
80
Regresi´ on Lineal
calcule los par´ametros a, b que se obtuvieron. c)Si con estos datos, el coeficiente de regresi´on es R = 0.902. ¿Cu´al es la norma del vector y? d)Estime la producci´on de huevos si las cantidades de los dos tipos de alimentos son: x1 = 1 y x2 = 2. Soluci´ on: a)
y = y
−y
y = ax 1 + bx2
W = x1 , x2
C{
}
a y como y es conocido, enb tonces para determinar a y b es suficiente resolver el anterior sistema:
b)y = ax1 + bx2 = (x1 x2 )
1 0 1 2 1
0 1 1 1 2
2 2 4 6 6
− −−
−→
f 1 + f 3 2f 1 + f 4 f 1 + f 5
−→
−f 2 + f 3 −2f 2 + f 4 −2f 2 + f 5 Luego a = b = 2. y c)R = = 0.902, as´ı y
1 0 0 0 0
√
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 2 2 0 0 0
0 1 1 1 2
y = 96 = 10.8625. y = 0.902 0.902
2 2 2 2 4
81
Regresi´ on Lineal
d)y = ax1 + bx 2 = 2x1 + 2x2 = 2(1) + 2(2) = 6, luego la producci´on ser´a de 6 huevos.
Nota: observe que en este caso x 1 , x 2 y y son las variables que involucra el modelo de regresi´on lineal y y el valor estimado para la variable y que produce este modelo. Pero en a), b) y c) los s´ımbolos x1 , x2 y y representaron los vectores de datos observados de las variables con los mismos nombres y, similarmente, y es el vector de valores estimados por el modelo para los datos observados.
Ejercicio 7.2 Se desea estimar los valores a,b,c y d del polinomio c´ubico y = a +bx+cx2 +dx3 que mejor ajusta los datos de la siguiente tabla: x 3 0 1 2 1 y 2 3 2 2 2
−
−
−
a)Formule este problema como un problema de regresi´on lineal m´ ultiple. Detalle los vectores y matrices que se involucran. b)Plantee en forma matricial los c´alculos a realizar para determinar la soluci´on. NO REALICE LOS CALCULOS. c)Si los valores estimados para los par´ametros resultaran ser: a = 3, b = 1/2, c = 2 y d = 1/2, calcule R, el ´ındice de calidad del ajuste.
−
−
Soluci´ on: a)El modelo de regresi´on lineal m´ultiple es: y = a + bx1 + cx2 + dx3 + e donde: x1 = x, x2 = x2 , x3 = x3 y es el error en el ajuste. Describiendo vectorialmente los datos observados, seg´ un la tabla dada, se tiene que:
82
y=
− − −
x3 =
o sea:
Regresi´ on Lineal
−
2 3 2 ; x1 = 2 2 27 0 1 y e = 8 1 y
3 0 1 ; x2 = 2 1 e1 e2 e3 e4 e5
9 0 1 4 1
;
= a15 + bx1 + cx2 + dx3 + a b = (15 x1 x2 x3 ) + c d = Xβ +
Donde X =
1 1 1 1 1
3 0 1 2 1
−
b)β = (X t X )−1 X t y = t 1 3 1 3 9 27 1 0 1 00 0 1 -1 1 -1 1 -1 1 24 8 1 2 1 11 1 1 1
c)Si β = (a,b,c,d) = (3, R = yyˆ
9 0 1 4 1
27 0 -1 8 1
−
9 0 1 4 1
27 0 1 8 1
−1
.
1 3 1 0 1 -1 1 2 1 1
9 0 1 4 1
− 12 , −2, 21 ) entonces:
27 0 -1 8 1
Xβ = (−3,3,1,−2,1) y (−2,3,2,−2,2) √ 24 2√ 6 = √ 25 = 5 ≈ 0.9798
=
t
-2 3 2 -2 2
83
Regresi´ on Lineal
Ejercicio 7.3 Considere el modelo y = a + bx + de regresi´on lineal y las f´ormulas b =
(y
− y1 ) · (x − x1 x − x1 2 n
n)
y
a = y
n
− bx
para estimar los par´ametros a y b, en las que se supone que x = (x1 , . . . , xn )t y y = (y1 , . . . , yn )t son los vectores de datos observados de las variables x y y respectivamente. Demuestre que b tambi´en se puede calcular con las f´ormulas: b = Soluci´ on:
n i=1 xi yi n 2 i=1 xi
− nxy = Cov (x, y) . Var (x) − nx2
Observe que x 1n =
·
xi = nx
i=1
y similarmente para y: y 1n =
·
Luego, b =
(y
i=1 yi
= ny.
− y1 ) · (x −2 x1 ) = (y − y1 ) · (x − x1 ) (x − x1 ) · (x − x1 ) x − x1 y · x − x(y · 1 ) − y(1 · x) + yx(1 · 1 ) x · x − x(x · 1 ) − x(1 · x) + x2 (1 · 1 ) y · x − x(ny) − y(nx) + yxn x · x − x(nx) − x(nx) + x2 n n
n
n
= =
n
n
n
n
n
n
n
· − nxy2 = · − nx
− −
nxy
i=1 n
x2i
i=1
Por otra parte,
n
n
xi yi
y x x x
n
n
n
=
n
nx2
.
84
Regresi´ on Lineal
n
Cov(x, y) Var (x)
− − − − − − − − − − − − − − − − − − (xi
=
i=1
x)(yi
n
x)2 )/n
(xi
n
i=1
(xi yi
=
i=1
xi y
n
xyi
2xi x + x2 )
i=1
n
n
xi yi
i=1
i=1
n
i=1
n
xi
i=1
i=1
n
=
n
i=1
xi + nx2
i=1
ynx
xny + nxy
2xnx + nx2
i=1
xi yi
nxy
i=1 n
= b.
x2i
i=1
i=1
yi + nxy
n
x2i
x2
x
2x
i=1
xi yi
n
nx2
xy
i=1
n
2xi x +
x2i
=
i=1
n
y
n
n
xyi +
i=1 n
xi yi
i=1
n
xi y
x2i
=
xy)
n
(x2i
=
y)/n
Cap´ıtulo 8
Transformaciones lineales Ejercicio 8.1 a)Pruebe que s´olo existe una transformaci´on lineal T , T : I R4 I R2 tal que:
−→ T (1, 1, −2, −1) = (1, 0) T (1, −1, 1, 2) = (0, 0)
y
T (1, 2, 3, 0) = (1, 1) T (1, 1, 1, 1) = (0, 1).
−
−
−
b)Determine una base para la imagen de la transformaci´on lineal indicada en el punto anterior. c)Determine una base para el n´ucleo de dicha transformaci´ on lineal. Soluci´ on: a) Determinemos el rango de la matriz cuyas filas son los vectores (1, 1, 2, 1), (1, 2, 3, 0), (1, 1, 1, 2) y (1, 1, 1, 1):
− −
−
−
−
−
86
Transformaciones lineales
1 1 1 1
1 2 1 1
−2 −1 −3 0 − 1 2 − 1 −1
− − −
−→
f 1 f 2 2f 2 + f 3 2f 2 + f 4
f 1 f 2 f 3 f 3 + f 4
−
f 1 f 1 + f 2 f 1 + f 3 f 1 + f 4
−→
−→
1 0 0 0
1 1 2 2
− −
3 3
3 0
− −
1 0 0 0
1 1 0 0
−2 −1 −1 1
1 0 0 0
1 1 0 0
−2 −1
1 1
−2 −1 −1 1
5 2
1 0
1 1 5 3
Vemos que el rango de la matriz considerada es 4 y por lo tanto el conjunto de vectores
B = { (1, 1, −2, −1), (1, 2, −3, 0), (1, −1, 1, 2), (1, −1, 1, −1)} es l.i. y constituye una base para I R4 . Como una transformaci´on lineal queda determinada en forma ´unica por su acci´on sobre los elementos de una base, se concluye que s´olo hay una transformaci´on lineal T : I R4 I R2 tal que:
−→
T (1, 1, 2, 1) = (1, 0) T (1, 1, 1, 2) = (0, 0)
−
− −
y
T (1, 2, 3, 0) = (1, 1) T (1, 1, 1, 1) = (0, 1)
−
−
−
b) La imagen de T es: Img(T ) = =
1)} C{(1, 0), (1, 1), (0, 0), (0, C{(1, 0), (0, 1)} = I R2.
Luego una base para Img (T ) es cualquier base de I R2 .
87
Transformaciones lineales
c) Ahor Ahoraa n´ otese otese que un vector v I R4 , con [v [v ]B = (α , β , γ , δ), ) , pertenece al Nuc(T Nuc( T )) si y s´olo olo si
∈
α(1, (1, 0) + β + β (1, (1, 1) + γ + γ (0, (0, 0) + δ + δ (0, (0, 1) = (0, (0, 0) La soluci´on on de este sistema de ecuaciones es α = δ = δ , β = con δ y γ como como par´ametros ametros libres. Tenemos entonces que v Nuc(T Nuc(T )) si y s´olo olo si
v = δ = δ
−− 1 1 2 1
∈
− − − 1 2 3 0
+ ( δ )
= δ
1 2 2 2
− − 1 1 1 2
+ γ
+ (γ (γ )
+ δ
1 1 1 2
−δ ,
− − 1 1 1 1
− Puesto que {(1, (1, −2, 2, −2), 2), (1, (1, −1, 1, 2)} es l.i., l.i., ´este est e conju con junto nto constituye una base para el n´ucleo ucleo de T . T .
Ejercicio 8.2 Defina una transformaci´on on lineal T : I R3 tal que T ( T (L1 ) = L2 ; siendo: L1 L2
= =
−→ I R3, inyectiva y
(1, 1, 1) + t + t(2 (2,, 1, 3)|t ∈ I R} {(1, {(1, (1, 0, 1) + t + t(1 (1,, 3, 4)|t ∈ I R}
y
Soluci´ on: on: Observe que si L1 = x = p + tv + tv t entonces, para todo punto x L1 :
{
∈
| ∈ I R} es una cierta recta
T ( T (x) = T ( T ( p + p + tv tv)) = T ( T ( p) p) + tT + tT ((v) Luego el conjunto de im´agenes agenes por la transformaci´on on T de T de los puntos en la recta L1 , definen una nueva recta: = q + tu + tu|t ∈ I R}, donde {x = q
q = T ( T ( p) p) y u = T = T ((v ).
88
Transformaciones lineales
Por otra parte, debe recordarse que para definir una transformaci´ on lineal es suficiente definir las im´agenes on agenes de los vectores de una base del espacio de partida de la transformaci´on. Como el conjunto de vectores (1, (1, 1, 1), 1), (2, (2, 1, 3) es l.i. y puede completarse a una base de I R3 , por ejemplo
{
}
B = {(1, (1, 1, 1), 1), (2, (2, 1, 3), 3), (0, (0, 0, 1)}, definiendo T definiendo T : I R3 −→ I R3 por T por T (1 (1,, 1, 1) = (1, (1, 0, 1), T 1), T (2 (2,, 1, 3) =
(1, (1, 3, 4) y T (0 T (0,, 0, 1) = (0, (0, 0, 1), se obtiene una transformaci´on on linea lineall que env´ env´ıa la l´ınea ıne a recta rec ta L1 en la l´ınea recta rect a L2 ; adem´as as resulta inyectiva, pues (1, (1, 0, 1), 1), (1, (1, 3, 4), 4), (0, (0, 0, 1) es es tamb ta mbi´ i´en en 3 base para I R (en particular es un conjunto l.i.).
{
}
Ejercicio 8.3 Considere el plano: W = (a,b,c) a,b,c) I R3 a + c + c = = 0 , y T : I R3 I R3 la transformaci´on on lineal tal que x I R3 T ( T (x) = ProyW x (la proyecci´on on ortogonal sobre W ). W ).
{
−→
∈ |
}
∀ ∈
a)Determine una base ortonormal para W y W y una base para ⊥ W (el complemento ortogonal de W ). W ). b)Halle una f´ormula ormula para T . T . c)Veri c)Verifiqu fiquee que Nuc (T ) T ) = W ⊥ . d)Sin hacer m´as as c´alculo alc ulo d´e expl exp l´ıcita ıcitament mentee el conj co njunto unto Img ( T ). T ). ¿Es T invertible? T invertible? Justifique. Soluci´ on: on:
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ − C{ }
a) (a,b,c) a,b,c) W
∈
Luego W =
a + a + c c = = 0 1 0 1
,
0 1 0
.
a = b = c =
−c c
b
89
Transformaciones lineales
Adem´ as as de generar W generar W ,, v 1 y v y v 2 son l.i. por lo que constituyen una base para W para W .. Como estos vectores son ortogonales, basta normalizarlos para dar una base ortonormal para W : W :
B = {v1, v2} =
−1 √ 2 0
0 1 0
,
1 2
√
.
Como dim(W dim(W )) = 2, el complemento ortogonal de W W tiene dimensi´ on 1 y por lo tanto cualquier vector ortogonal a v 1 y on v2 genera W ⊥ . As´ı (1/ (1/ 2, 0, 1/ 2)t es una base ortonormal para W ⊥ . x b) T y = ProyW (x,y,z) x,y,z )t z −1 −1 √ √ x x 0 0 2 2 y 0 0 + y 1 1 = 1 1 √ 2 √ 2 z z 0 0
{ √
=
√ }
· − √ x + z + z 2
−1 √ 2 0
√ 12
+ y
· 0 1 0
− √ 2
x z
y
=
−√ x+z 2
x,y,z ) · v1 = 0 { ∈ I R3|(x,y,z) y (x,y,z) x,y,z) · v2 √ = 0} √ = {(x,y,z) x,y,z ) ∈ I R3 |(x,y,z) x,y,z ) · (−1/ 2, 0, 1/ 2) = 0 y (x,y,z) x,y,z)√ · (0, (0, 1, 0) = 0} = {(x,y,z) x,y,z ) ∈ I R3 |(−x + z + z))/ 2 = 0 y y = 0.}
c) W ⊥ = (x,y,z) x,y,z )t
t
t
t
t
t
t
t
t
Por otra parte, Nuc(T Nuc(T )) = (x,y,z) x,y,z)t I R3 T ( T (x,y,z) x,y,z )t = 0 −z , y, −√ x+z t t = (x,y,z) x,y,z)t I R3 ( x√ ) = (0, (0 , 0 , 0) 2 2 t 3 = (x,y,z) x,y,z) I R ( x + z + z))/ 2 = 0 y y = 0. Luego W ⊥ = Nuc (T ). T ). 1 0 0 , 1 . d) Img (T ) T ) = W = 1 0 Como Como Img (T ) T ) = I R3 , T no es sobreyectiv sobreyectiva a luego no es biyectiva y por lo tanto no es invertible.
{ { {
∈ | ∈ | ∈ |−
− C{ }
}
√
}
}
90
Transformaciones lineales
Ejercicio 8.4 (1, 1) , (−1, 1) } base de I R2 . D = {(1, t
Sea
t
C , [I ]D donde es la a)Calcule las matrices de transici´on on [I ]D C 2 base can´onica onica de I R .
C
b)Sea T : I R2
−→ I R2 una transformaci´on on lineal tal que: [T ] T ]D =
2 6
4 2
−
Calcule [T [T ]]C y determine una f´ormula ormula para T
x . y
Soluci´ on: on:
− − − − − − − − − −
C = ([(1, a) [I ]D ([(1, 1)t ]C [( 1, 1)t ]C ) =
−1
C )− 1 = 1 1 [I ]D = ([I ([ I ] C D 1 1 C [T ] b) [T ] T ]C = [I ]D T ]D [I ]D C 1 1
= = Luego T
x y
1 1 5 1 3 5
2 6
1 1
=
1/2 1/2 1/2 1/2
4 2
.
.
1/2 1/2 1/2 1/2
.
5 1 3 5
=
1 1
x y
=
5x + y + y . 3x + 5y 5y
Ejercicio 8.5 Suponga que T : I R2
x T 1 x2
=
−→ I R2 se define por:
x1 x2 2x1
−
y
[I ]B C=
2 1
−
es la matriz de transici´on on de la base a la base 2 base de I R y la base can´onica onica de I R2 .
C
C
−1 1
B, con B una
91
Transformaciones lineales
a)Halle [T ]C la matriz est´andar de T .
b)Determine [T ]CB la matriz de T de la base c)Encuentre la base
B.
B a la base C.
Soluci´ on: a) Matriz est´ andar de T =
1 2
− 1 0
= [T ]C
− − − − − → − − → − − − − → − −
2 1 b) Si [I ]B = entonces [I ]CB = C 1 1 Haciendo el c´omputo: 2 1
1 1 0 1 0 1
1 0
1 0 1 1
se obtiene que [I ]CB = [T ]CB = [T ]C [I ]CB = c) Si
1 2
1 2
1 0 1 1
−1
1 1
1 0
1 0 1 1 0 1 1 2
1 1 1 2
1 2
2 1
,
. Entonces
1 0
1 1 1 2
0 2
=
1 2
B = {v1, v2} entonces [I ]CB = (v1v2) luego B =
1 1
,
1 2
Ejercicio 8.6 a) Determine una transformaci´on lineal T : I R3 I R3 , tal que [T ]CB = I 3 ; donde es la base can´ onica de I R3 y = (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) .
−→
B {
C
}
b) Determine [T ]C para la transformaci´on lineal T , obtenida en el punto anterior.
92
Transformaciones lineales
c) Pruebe que dicha transformaci´on lineal T es inversible y escriba, en coordenadas cartesianas, T −1 (x,y,z). Soluci´ on: a) Para que [T ]CB = I 3 , debe cumplirse que: T (1, 0, 0) = (1, 0, 0), T (1, 1, 0) = (0, 1, 0), T (1, 1, 1) = (0, 0, 1). b) Determinemos el vector de coordenadas respecto de la base , de un vector (x,y,z) de I R3 , dado en coordenadas cartesianas (coordenadas respecto de la base can´onica, ). As´ı, procedemos a resolver el sistema de ecuaciones lineales
B
C
A
α β γ
=
x y z
;
siendo A la matriz que tiene por columnas a los vectores de la base :
B
1 1 1 x 0 1 1 y 0 0 1 z
−
−
f 1 f 3 + f 2 f 3
f 2 + f 1 f 2 f 3
−→
1 0 0 x 0 1 1 0 0 1
1 0 0 x 0 1 0 y 0 0 1
1 0 0
−
−y −z
−y y z
z −→ luego [(x,y,z)]B = (x − y, y − z, z). En particular, [e1 ]B = (1, 0, 0), [e2 ]B = (−1, 1, 0) y [e]B = (0, −1, 1). As´ı, llamando id : I R3 −→ I R3 a la transformaci´on identidad de I R3 , se cumple que
[id]B C =
−1 1 0
0 1 1
B B [T ]C = [T ]CB [id]B C = I 3 [id]C = [id]C =
y
− − 1 0 0
1 1 0
0 1 1
.
93
Transformaciones lineales
La multiplicaci´on [T ]C (x,y,z)t = (x que T (x,y,z) = (x y, y z, z).
−
−
t
− y, y − z, z)
muestra
c) Adem´ as, puesto que [T ]C es claramente una matriz inversible, 1 1 1 − 1 0 1 1 . T lo es y [T −1 ]C = ([T ]C ) = 0 0 1 En coordenadas cartesianas,
T −1 (x,y,z) = (x + y + z, y + z, z). Ejercicio 8.7 Sea W el plano en I R4 que contiene al origen y a los puntos P (1, 1, 2, 1) y Q(2, 1, 0, 1).
−
a)Determine una base ortonormal,
B0, para W . b)Determine una base ortonormal. B1 , para W ⊥ . c)Pruebe que T : I R4 −→ I R4 , definida por T (x) = Proy
W x
es una transformaci´on lineal.
d)Determine Img(T ). e)Pruebe que Nuc(T ) = W ⊥ .
B B0 ∪B1 es base para I R4 y determine [T ]B .
f)Pruebe que = Soluci´ on:
a) W = (1, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 1) y, siendo (1, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 1) l.i., este conjunto es base para W . Ortonormalizando esta base, se obtiene
C { − { −
}
}
1 (12, 9, −4, 5)} B0 = { √ 17 (1, −1, 2, 1), √ 266 una base ortonormal para W . b) Dada la base para W , se sigue que (x,y,z,w) pertenece al subespacio W ⊥ si y s´olo si
x y 2x + y
−
+ 2z
+ w + w
= 0 = 0
94
Transformaciones lineales
Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales se obtiene que W ⊥ = (2, 4, 3, 0), (2, 1, 0, 3)
C { − − − − } y {(2, −4, −3, 0), (2, −1, 0, −3)} es base para W ⊥ . Aplicando el proceso de ortonormalizaci´on, se obtiene
1 (42, 3, 24, −87)} B1 = { √ 129 (2, −4, −3, 0), 3√ 1102 una base ortonormal para W ⊥ . c) En general, si = u1 , , ur es una base ortonormal para un subespacio W de un espacio vectorial V , v1 y v2 son vectores en V y α I R, entonces, aplicando propiedades del producto interno, se tiene que
B
{ ··· } ∈
r ProyW (αv1 + v2 ) = i=1 αv1 + v2 , ui ui = α ri=1 v1 , ui ui + ri=1 v2 , ui ui = α ProyW (v1 ) + ProyW (v2 )
Lo cual prueba que para cualquier espacio vectorial V con producto interno y para cualquier subespacio W de V , la funci´ on ProyW : V V , es una transformaci´on lineal.
−→
d) Adem´ as, para cualquier v V , ProyW (v) W y puesto que ProyW (ui ) = ui , para todo i = 1, , r, se sigue que W = Img(ProyW ).
∈
···
e) Por otra parte, como u1 ,
∈
{ ··· , u } es l.i., r
r
ProyW (v) =
i=1
si y s´olo si
v, u = 0 i
v, ui ui = 0
para todo i = 1,
lo que resulta equivalente a afirmar que v ba que W ⊥ = Nuc(ProyW ).
··· , r;
∈ W ⊥ . Esto prue-
f) Finalmente, = 0 1 consiste de cuatro vectores no–nulos de I R4 , mutuamente ortogonales(y unitarios); lo cual implica que es base ortonormal de I R4 . Tambi´en resulta claro que
B B ∪B
B
95
Transformaciones lineales
1 0 0 0 1 0 [ProyW ]B = 0 0 0 0 0 0 para u 0 y ProyW (u)
∈B
0 0 , puesto que Proy W (u) = u 0 0 = 0 para u 1.
∈B
Ejercicio 8.8 Sean: W = S =
C{(3, 0, −4, 0), (0, 3, 0, 4)} C{(4, 0, 3, 0), (4, 4, 3, −3)}.
a)Determine W ⊥ . b)Determine tivamente.
B1 y B2 bases ortonormales para W y S respec-
c)Sea v = (25, 50, 75, 100). Calcule ProyW v.
−
d)Sea T : I R4 I R4 tal que T (v) = ProyW v. Sin hacer m´ as c´alculo determine Nuc (T ) e Img (T ).
−→
Soluci´ on: a) W ⊥ = x I R4 x y y W = x I R4 x (3, 0, 4, 0) y x (0, 3, 0, 4) = x I R4 x (3, 0, 4, 0) = 0 y x (0, 3, 0, 4) = 0 Esto porque (3, 0, 4, 0), (0, 3, 0, 4) es una base de W y cualquier vector ortogonal a los vectores de la base es ortogonal a todo vector del espacio. Por otra parte, se observa que: (4, 0, 3, 0) (3, 0, 4, 0) = 0 = (4, 0, 3, 0) W ⊥ (4, 0, 3, 0) (0, 3, 0, 4) = 0
{ ∈ | ⊥ ∀ ∈ } { ∈ | ⊥ − { ∈ | · − { − · ·
−
−
}
⇒ ⇒
(4, 4, 3, 3) (3, 0, 4, 0) = 0 (4, 4, 3, 3) (0, 3, 0, 4) = 0
− · − ·
⊥
}
·
}
∈
= (4, 4, 3, 3) W ⊥ .
− ∈ Adem´ as dim(W ⊥ ) = dim(I R4 ) − dim(W ) = 4 − 2 = 2 y como {(4, 0, 3, 0), (4, 4, 3, −3)} es l.i. entonces genera a W ⊥, por lo tanto: W ⊥ = C {(4, 0, 3, 0), (4, 4, 3, −3)} = S.
96
Transformaciones lineales
b) Base ortonormal 1 para W : Como (3, 0, 4, 0) = (0, 3, 0, 4) = 5, (3, 0, 4, 0) (0, 3, 0, 4), y estos vectores forman una base para W , entonces
B
− − ⊥
B1 = {(3/5, 0, −4/5, 0), (0, 3/5, 0, 4/5)} es una base ortonormal para W . Base ortonormal 2 para S : En este caso, la base disponible de S es
B
B = {(4, 0, 3, 0), (4, 4, 3, −3)} = {v1, v2} y como no es una base ortogonal, aplicando el proceso de ortonormalizaci´ on de Gram-Schimdt se obtiene: u1 = v 1 / v1 = (4, 0, 3, 0)/5 = (4/5, 0, 3/5, 0). Proyu v2 = (v2 .u1 )u1 =[(4, 4, 3, 3) (4/5, 0, 3/5, 0)](4/5, 0, 3/5, 0) =(16/5 + 9/5)(4/5, 0, 3/5, 0) =5(4/5, 0, 3/5, 0) = (4, 0, 3, 0). v2 Proyu v2 = (4, 4, 3, 3) (4, 0, 3, 0) = (0, 4, 0, 3). v Proyu v2 u2 = 2 v2 Proyu v2 (0, 4, 0, 3) (0, 4, 0, 3) = = 5 (0, 4, 0, 3) = (0, 4/5, 0, 3/5). La base ortonormal para S es
1
−
− ·
1
− − − − −
− −
−
1 1
−
B2 = {u1, u2} = {(4/5, 0, 3/5, 0), (0, 4/5, 0, −3/5)}. c) Si B1 = {w1 , w2 } = {(3/5, 0, −4/5, 0), (0, 3/5, 0, 4/5)} es la base ortonormal para W obtenida en b), entonces:
ProyW v = (v w1 )w1 + (v w2 )w2 =25(1, 2, 3, 4) (3/5, 0, 4/5, 0)w1 +25(1, 2, 3, 4) (0, 3/5, 0, 4/5)w2 =25( 9/5)w1 + 25(10/5)w2 = 5(9)(3/5, 0, 4/5, 0) + 5(10)(0, 3/5, 0, 4/5) = ( 27, 0, 36, 0) + (0, 30, 0, 40) = ( 27, 30, 36, 40).
·
− − −
−
−
−
·
−
·
·
−
97
Transformaciones lineales
d) Img (T ) = W porque:
∀ v ∈ W , v = Proy v = T (v) ∀ v ∈ I R4, T (v) = Proy v ∈ W . W
W
Nuc(T ) = S porque: S = W ⊥ =
⇒ ∀ u ∈ S , u ⊥ w, ∀ w ∈ W , por lo tanto, ∀ u ∈ S, u ∈ Nuc(T ) porque T (u) = Proy u = 0. W
dim(Nuc(T )) = 2, dado que dim(Nuc(T )) + dim( Img (T )) = dim(I R4 ) = 4, y dim( Img (T )) = dim(W ) = 2. y dim(S ) = 2. Ejercicio 8.9 Considere un vector unitario, v, fijo en I Rn . Se define T , T : I Rn I Rn por T (x) = 2Proyv x x.
−→
−
a)Pruebe que T es una transformaci´on lineal, que preserva la norma y los ´angulos. b)Muestre que [T ]C es una matriz ortogonal. c)Interprete la acci´on de T sobre los vectores de I R4 geom´etricamente. Soluci´ on: a) Las siguientes igualdades muestran que T es una transformaci´ on lineal: T (αx1 + x2 ) = 2 αx1 + x2 , v v (αx1 + x2 ) = α(2 x1 , v v x1 ) + (2 x2 , v v = αT (x1 ) + T (x2 ).
−
−
− x1)
98
Transformaciones lineales
Consideremos dos puntos arbitrarios, x y y de I Rn . Veamos que T preserva la norma: = = =
T (x)2 = T (x), T (x) 2x, v2v − x, 2x, vv − x 4x, v v, v − 2x, v v, x − 2x, v x, v + x, x x, x = x2
Veamos ahora, que T preserva ´angulos: ,T (x) cos(∠(T (x), T (y))) = T T ((xx)) T (x)
= = =
2x, vv − x, 2y, vv − y xy 4x, v y, v v, v − 4x, v v, y + x, y xy x, y = cos(∠(x, y)). xy
b) Las columnas de la matriz [T ]C son los vectores T (e1 ), T (e2 ),
··· , T (e
n ).
Estos vectores son unitarios puesto que T preserva la norma. Tambi´en, como T preserva ´angulos,
T (e ), T (e ) = 0 i
j
siempre que i = j. Luego las columnas de [T ]C forman un conjunto de vectores ortonormales y en consecuencia
([T ]C )t ([T ]C ) = I n ; es decir, [T ]C es una matriz ortogonal.
c) Para una interpretaci´on gem´etrica, consulte el problema 21 en la p´agina 313 del LIBRO TEXTO (Segunda Edici´on). La misma interpretaci´on hecha all´ı en I R2 se puede generalizar a I Rn .
Cap´ıtulo 9
Vectores y valores propios Ejercicio 9.1 Decida si la matriz A es o no diagonalizable (Justifique). A = Soluci´ on:
−
1 0 0 1 0 1 1 1 0
El polinomio caracter´ıstico de A es:
− | − | − − − − − − − − λ
P (λ) =
λI
= (λ = (λ
1
1 1 λ 1 1) 1 λ 2 1)(λ 1) = (λ A =
0 λ 1
− 0 1 λ
1)2 (λ + 1)
Para que A sea diagonalizable dim(V λ=1 ) debe ser 2, ya que dim(V λ=−1 ) es 1 necesariamente. V λ=1 es el conjunto soluci´on
100
Vectores y valores propios
de (I
− A)x = 0, o sea, V =1 = Nuc (I − A). La matriz λ
−
I
− A =
0 1 1
−
0 1 1
0 1 1
−
tiene rango 1 y por lo tanto
dim(V λ=1 ) = dim( Nuc (I
− A)) = 2.
En consecuencia A es diagonalizable. Ejercicio 9.2
Sea A =
−
3 α 1 6 1 2
3 3 1
a)Calcule los valores propios de A ( dependientes de α). b)Compruebe que para α =
−3, A no es diagonalizable.
c)Obtenga un valor de α para el cual A posea tres valores propios distintos, enteros positivos. En este caso calcule la matriz P que diagonaliza A y la matriz diagonal D. Es decir, A = P DP −1 . Soluci´ on: a) Haciendo sucesivamente las operaciones a la matriz A λI 3 , se obtiene:
−
p(λ) = A
| − λI 3| = =
3
−λ 1 0
3
−λ 1 1
α 6 λ
− −
−f 2 + f 3 y c2 + c3
α
3 6 λ 3 2 1 λ
−
3 + α λ 3 λ 4 0
−
− −
101
Vectores y valores propios
Luego:
− √ − − − −
− (λ − 4) (3 λ)2 (3 + α) √ = − (λ − 4) 3 λ 3 + α 3 λ + 3 + α , suponiendo que α ≥ −3. As´ı, los valores propios de A son: √ √ λ1 = 4, λ2 = 3 + 3 + α, λ3 = 3 − 3 + α. p(λ) =
b) Para α = 3 tenemos λ2 = λ 3 = 3 y λ1 = 4. La dimensi´on del espacio propio V λ=3 es la dimensi´on del espacio soluci´on del sistema (A 3I 3 ) x = 0. Es decir:
−
−
0 1 1
−3 3 2
− − 3 3 2
x1 x2 x3
=
0 0 0
Este sistema es equivalente a x 1 = 0 y x 2 = x 3 . Por lo tanto cualquier vector soluci´on tiene la forma: (x1 , x2 , x3 ) = (0, x3 , x3 ) = x 3 (0, 1, 1) . Es decir, V λ=3 = (0, 1, 1) y dim(V λ=3 ) = 1. Por un procedimiento similar se comprueba que dim( V λ=4 ) = 1. Luego:
C{
}
dim(V λ=3 ) + dim (V λ=4 ) = 2 < dim I R3 por lo tanto A no es diagonalizable.
c) Se escoge α tal que λ2 = λ3 y λ2 = λ1 = λ3 . Si α = 1, se tiene λ2 = 3 + 4 = 5 y λ3 = 3 4 = 1. Resolviendo los sistemas (A 4I 3 ) x = 0, (A 5I 3 ) x = 0 y (A I 3 ) x = 0, se obtienen los vectores propios de A. Estos son: para λ1 = 4, v1 = (3, 0, 1)t , para λ2 = 5, v2 = (2, 1, 1)t y para λ3 = 1, v3 = ( 2, 1, 1)t . Luego 3 2 2 4 0 0 0 1 1 0 5 0 P = (v1 , v2 , v3 ) = y D = . 1 1 1 0 0 1
√ −
−
−
√ −
−
−
102
Vectores y valores propios
Ejercicio 9.3 Determine si las siguientes matrices son diagonalizables o no (Justifique). En cada caso, si es diagonalizable, halle una matriz P invertible y una matriz D diagonal tales que A = P DP −1 .
i) A =
3 4
4 3
−
Soluci´ on: i) det(A
− λI ) =
− − 3
ii) A =
λ
− − − − −
3 0 0 0 2 0 0 1 2
4
4 3 λ = (3 λ)( 3 λ) 16λ = 9 + λ2 16 = λ2 25 = (λ 5)(λ + 5) A es diagonalizable porque es 2 2 y tiene dos valores propios distintos, lo que garantiza la existencia de una base de vectores propios. Para determinar la matriz P se calculan los respectivos espacios caracter´ısticos:
−
8 4 0 4 2 0
1 2
As´ı, V λ=−5 = C V λ=5 :
4 0 8 0 2 1
Luego V λ=5 = C As´ı,
P =
ii) P A (λ) = A
P A (λ) =
2 1 1
−→
1 0
−2
...
...
y
D =
λI , o sea: λ
0 0
8 0
1 2
0 0 0
0 0 0
.
1 2
3
−→
.
1
2 4
−
×
− − − − | − | − − −
V λ=−5 :
−
−
0
2
0 0
λ
1
2
λ
−
= (3
5 0 0 5
− λ)(2 − λ)2
103
Vectores y valores propios
V λ=2 :
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
...
−→
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 Luego V λ=2 = C . 1 Entonces A no es diagonalizable porque dim (V λ=2 ) = 1 = 2 = multiplicidad algebraica de λ = 2. O sea, no existe una base para I R3 de vectores propios de A.
Ejercicio 9.4
Sea A =
1 a 1 a 1 b 1 b 1
.
a)Pruebe que si cero es un valor propio de A, entonces a = b. b)Si cero es valor propio de A, entonces: b.1)Calcule los otros valores propios de A. b.2)Calcule los valores de a para los cuales A tiene un espacio propio de dimensi´on 2. b.3)Si a = 1, obtenga una base ortonormal de I R3 , formada por vectores propios de A. b.4)Si a = 1, obtenga una matriz P ortogonal tal que 0 0 0 0 0 0 P t AP = . 0 0 3
− −
Soluci´ on:
a)El polinomio caracter´ıstico de A es p (λ) = A λI . Si λ = 0 es valor propio de A, entonces p (0) = A = 0. Haciendo ciertas operaciones elementales (que no modifican el valor de A ) se verifica que A es equivalente por filas a
| − | | |
| |
B=
1 a 0 1 a2 0 b a
− −
1 b
−a 0
.
104
Vectores y valores propios
− a)2 = 0. Por lo tanto a = b. b.1Se debe calcular p (λ) = |A − λI 3 | . Haciendo operaciones Luego A = B = (b
| | | |
elementales se llega a
− | − −
|A − λI 3 = =
λ 0 1 1
λ λ2
3λ
0 λ a
2
− −a
− 2a2 + 2
− 0 aλ
2
λ
.
Los otros valores propios de A son los ceros de la ecuaci´on λ2 Es decir,
− 3λ − 2a2 + 2 = 0.
√ ± 1 + 8a2.
3 2
1 2
√ b.2)Sea λ1 = 0, λ2 = + 1 + 8a2 . 3 = − Para que A tenga un espacio propio de dimensi´o n 2, es necesario que λ1 = λ3 ya que λ1 = λ2 y λ2 = λ3 para todo a. Luego λ1 = λ 3 ⇔ a = 1 o a = −1. 3 2
1 2
√ 1 + 8a2, λ
3 2
1 2
b.3)Una base ortonormal de I R3 formada por vectores propios de A es = 1 2 con 1 = v1 , v2 y 2 = v3 bases ortonormales de los espacios propios V λ=0 y V λ=3 , respectivamente. C´ alculo de 1 : como a = b = 1, entonces se debe resolver el sistema
B
B ∪ B
B
{
} B
{ }
B
−
1 1 1
−1 1 x 0 1 −1 y 0 = −1 1 z 0 el cual es equivalente a x − y + z = 0. Luego:
,
(x,y,z) = (x, x + z, z) = (x,x, 0) + (0, z , z) = x (1, 1, 0) + z (0, 1, 1) . Ortonormalizando el conjunto tiene: 1 t v1 = √ (1, 1, 0) y 2
{(1, 1, 0) , (0, 1, 1)} se ob-
105
Vectores y valores propios
v2 =
− B − 2 3(
− − − − − − − −
1 1 t 2 , 2 , 1) 2 :
C´ alculo de
2 1 1
−
1 √ = ( √ , 16 , 6
2 t 3) .
se resuelve el sistema (A 1 2 1
1 1 2
x y z
=
3I 3 ) v = 0:
0 0 0
el cual es equivalente a:
x z=0 y + z = 0
Un vector soluci´on gen´erico es (x,y,z)t = (z, z, z)t = t 1 z(1, 1, 1)t . Se define v3 = √ (1, 1, 1) . 3
−
−
−
b.4)Se sabe = v1 , v2 , v3 es una base ortonormal de vectores propios de A, entonces P = (v1 , v2 , v3 ) es ortogonal y P t AP = D, con D la matriz de los valores propios. Por tanto
B {
P =
√ 12 √ 12 0
}
− √ 16 √ 16 √ 2 √ 3
√ 13 − √ 13 √ 13
y D =
0 0 0 0 0 0 0 0 3
.
Ejercicio 9.5 Considere la c´onica de ecuaci´on
√
x2 2 2x1 + x2 = 4. a)Haga un cambio de variables apropiado para transformar la ecuaci´on de la c´onica a su forma can´onica. b)D´e una representaci´o n gr´afica (en t´ erminos de los ejes can´onicos) del nuevo sistema de coordenadas, es decir, de los nuevos ejes. Calcule el coseno del ´angulo de la rotaci´on de ejes. c)Trace el gr´afico aproximado de la c´onica indicando los ejes rotados y as´ıntotas (si hay).
106
Vectores y valores propios
Soluci´ on: a) La ecuaci´ o n de la c´onica se escribe en la forma xt Ax = 4 0 2 con xt = (x1 , x2 ) y A = . Los valores pro2 1 pios de A son 2 y -1 y los vectores propios ortonormados correspondientes son:
√ √
v1 =
√ 13 (1, √ 2)
t
y v2 =
√ 13 (−√ 2, 1) . t
Por lo tanto las matrices P =
− √ 13
2 3
2 3
√ 13
y D =
2 0
0 1
−
permiten escribir A como: A = P DP t ,
o equivalentemente P t AP = D.
Luego con el cambio de variable y = P t x (o equivalentemente x = P y), y suponiendo que y t = (y1 , y2 ) se transforma la ecuaci´on a: xt Ax yt P t AP y yt Dy 2y12 y22
−
= = = =
4 4 4 4
Entonces la ecuaci´o n de la c´onica con respecto a los ejes (rotados) determinados por v1 y v2 se escribe finalmente, como: y12 y22 = 1. 22 ( 2)2
√ −
Observe que las columnas de P , son los vectores v1 y v2 elegidos en el orden apropiado para que P = 1 y garantizar con esto que el cambio de variable se interpreta como una rotaci´ on de ejes (dejando fijos los puntos de la c´onica).
| |
107
Vectores y valores propios
b) El cambio de variable y = P t x, cambia coordenadas en la base can´onica a coordenadas en la base = v1 , v2 , formada por valores propios de A, es decir, P = (v1 , v2 ) = ([v1 ]C [v2 ]C ) = [I ]CB , as´ı
B {
}
P t = [I ]B C. Entonces v 1 y v 2 determinan los ejes rotados, como se muestra en el siguiente gr´afico. x2 y1 y2
√ 13
√ 2 ( √ √ 3 ) 1 , 3
−√ √ 2 3
x1
El ´angulo de rotaci´on θ de los ejes es el ´angulo agudo deter1 minado por los vectores e1 = (1, 0) y v1 = √ 1, 2 . Por 3 lo tanto
√
cos(θ) =
e1 v1 1 = e 1 v1 = . e1 v1 3
·
√
·
c) La c´onica es una hip´erbola con ecuaci´on y12
√ − 2
2
y22 =1 22
respecto de los ejes determinados por v1 y v2 . Las as´ıntotas tienen ecuaciones, (en t´erminos de coordenadas en los nuevos ejes) 2 y2 = y1 = 2y1 y y2 = 2y1 . 2 La hip´erbola “abre” en la direcci´on del eje determinado por v1 . Su gr´afica aproximada es:
√
√
−
√
108
Vectores y valores propios
x2 y 1 y
2
√ 2 1 −
2
x1
As´ıntotas: recta de l´ıneas punteadas y eje x1 . Ejercicio 9.6 Considere la c´onica cuya ecuaci´on es: 5x21
− 4x1x2 + 8x22 − 36 = 0.
a)Transforme esta ecuaci´on, mediante un cambio de variable que corresponda a una rotaci´on de los ejes x1 , x2 , hasta obtener la ecuaci´on de la c´onica en su forma can´onica en los nuevos ejes y1 , y2 . Adem´as identif´ıquela. b)Indique la matriz que permiti´o cambiar de las variables (x1 , x2 ) a las variables (y1 , y2 ). c)En un solo gr´afico utilizando el sistema de ejes cartesianos x1 , x2 , represente los ejes y 1 , y2 (se˜ nale las coordenadas de los vectores que los generan) y trace el gr´afico de la c´onica (incluya as´ıntotas, si es el caso). d)Calcule el coseno del ´angulo de rotaci´on. Soluci´ on: a) La ecuaci´on 5x21 4x1 x2 + 8x22 forma matricial como:
− 36 = 0 se escribe en su
−
xt Ax
− 36 = 0,
con
x =
x1 x2
y A =
−
5 2
−2 8
.
109
Vectores y valores propios
Luego
| − | −− −− − − − ⇒ ∈ − √ C { } C { √ } − − ⇒ ∈ −− √ C { − } C { − √ } √ − √ √ √ B { } √ √ − √ √
P (λ) = A
5
λI =
λ 2 8
2 = (λ λ
9)(λ
4) = 0.
As´ı los valores propios de A son λ = 4 y λ = 9. El espacio propio V λ=4 se obtiene de: 1 2 2 4
x1 x2
0 0
=
x1 x2
=
2 2/ 5 = 1 1/ 5 Similarmente, V λ=9 se obtiene de: Entonces V λ=4 =
4 2 2 1
x1 x2
0 0
=
=
= t
.
−1 2
, t I R.
1
1/ 5 . 2/ 5 2/ 5 1/ 5 As´ı = v1 , v2 = , es una base 1/ 5 2/ 5 ortonormal de vectores propios de A, 2/ 5 1/ 5 y definiendo P = , una matriz ortogonal 1/ 5 2/ 5 tal que det(P ) = 1, permite escribir A como: Luego V λ=9 =
1/2 1
x1 x2
2 , t I R. 1
= t
A = P DP t
=
con
D =
4 0 0 9
.
Sustituyendo A = P DP t en xt Ax y = P t x se obtiene:
− 36 = 0 y definiendo
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒
xt Ax 36 = 0 xt P DP t x 36 = 0 y t Dy 36 = 0 4 0 y1 (y1 , y2 ) 0 9 y2 4y12 + 9y22 36 = 0 y12 y22 + 2 =1 32 2
− − −
− −
36 = 0
110
Vectores y valores propios
que corresponde a la ecuaci´on de una elipse centrada en el origen. b) El cambio de variable es y = P t x, donde P t =
√ 2/√ 5 −1/ 5
√ 1/√ 5 2/ 5
.
El cual cambia coordenadas en la base can´onica a coordenadas en la nueva base determinada por los vectores columna de P . En el siguiente gr´afico se muestran los ejes y1 y y2 correspondientes a esta nueva base. x2
y2
√ 25
y1 2 √ ( √ , 15 ) 5
−1 √ 5
x1
c) Finalmente se traza sobre los nuevos ejes la elipse obtenida. x2 y
2
2
y 1 3
x1
3
−
−
2
d) cos(θ) = e1 v1 =
·
· √ √ 1 0
2/ 5 1/ 5
√ = 2/ 5.
111
Vectores y valores propios
Ejercicio 9.7
∈ I R2 es un
Considere la curva: xt Ax = 6, donde xt = (x1 , x2 ) vector expresado en sus coordenadas can´onicas y
− −
A =
2 2
2 5
.
Considere que A se puede escribir como: A =
√ 15 −2 √ 5
√ 25 √ 15
√ 15 √ 25
6 0 0 1
−2 √ 5 √ 15
= P DP t
a)D´e la matriz del cambio de variables de (x1 , x2 )t a (y1 , y2 )t (correspondiente a una rotaci´on de ejes), que permite transformar la ecuaci´on de la c´onica a su forma can´onica. Obtenga dicha forma can´onica. b)En un solo gr´afico utilizando el sistema de ejes cartesianos x1 , x2 , represente los nuevos ejes y 1 , y2 (se˜ nale los vectores que los generan) y represente el punto R = (y1 , y2 ) = (0, 6) (dado por sus coordenadas en los nuevos ejes).
√
c)Reproduzca el dibujo en b), sin el detalle de los vectores generadores de los ejes y1 y y2 y trace el gr´a fico de la c´ onica (incluya as´ıntotas, si es el caso).
√ d)Verifique que el punto R = (y , y ) = (0, 6) (dado por 1
2
sus coordenadas en los nuevos ejes) es un punto de la curva y obtenga sus coordenadas (x1 , x2 ) en los ejes originales. Soluci´ on: a) Con el cambio de variable:
y1 y2
t
= P
x1 x2
=
1 5 2 5
√ √
−2 √ 5 1 √ 5
x1 , x2
se obtiene: xt Ax = 6
t
t
t
⇒ x P DP x = 6 ⇒ y Dy = 6
112
Vectores y valores propios
⇒ (y1, y2)
6 0 0 1
y1 y2
=6
⇒ 6y12 + y22 = 6.
Luego la forma can´onica de la c´onica es: y12 +
y22 = 1, 2 ( 6)
√
lo que corresponde a una elipse. Por otra parte, el cambio de variable anterior es equivalente a realizar una rotaci´on de ejes puesto que det(P t ) = 1. b) La matriz P t del cambio de variable anterior es la matriz de cambio de base de la can´onica a la base
B = {v1, v2} =
√ 15 √ 25 −2 , √ 1 √ 5 5
.
As´ı los ejes del nuevo sistema de coordenadas para representar la elipse est´an determinados por los vectores v1 y v2 , mostrados en el siguiente gr´afico. x2
R
y 2
√ 6
v 2 2 √ ( √ , 15 ) 5
√ 15 −2 √ 5
v
1
y
1
c) Trazo del gr´afico de la c´onica.
x1
113
Vectores y valores propios
x2
√ 6 y 2
−
1
x1 1
√ 6 −
y 1
√ d) El punto R = (0, 6) satisface: y 2 + 1
√ ( 6) 2 0 + (√ 6) = 1.
2 2
y √ = 1 porque : ( 6) 2
2 2
Dado que y = P t x
⇒ x = P y =
√ 15 −2 √ 5
√ 25 √ 15
y1 y2
En particular las coordenadas del punto R en la base can´onica son: x = P
√ 0 6
=
1 5 2 5
√ − √
2 5 1 5
√ √
√ 0 6
=
√ √ √ √
2 6 5 6 5
Ejercicio 9.8 Sea A una matriz 3 3, sim´etrica, con vectores propios ortonormados v 1 , v2 , v3 y valores propios correspondientes 1, 4, 1. Sea x I R3 tal que [x]tB = (1, α, 1) con = v1 , v2 , v3 . Calcule los valores de α tales que x pertenece a la superficie definida por la ecuaci´on xt Ax = 0.
×
∈
−
B {
− }
Soluci´ on: Sea P la matriz cuyas columnas son los vectores v1 , v2 , v3. Es decir P = (v1 , v2 , v3 ). Haciendo el cambio de variable x = P y,
114
Vectores y valores propios
o lo que es lo mismo y = P t x, tenemos: t
x Ax = y
t
t
t
P AP y = y Dy = 0 donde
D =
− 1 0 0
00 40 01
.
Ahora, si y t = (y1 , y2 , y3 ), en el cambio de variable x = P y, se tiene que y=
y1 y2 y3
= [x]B , porque x = P y = y 1 v1 + y2 v2 + y3 v3 .
En nuestro caso y = [x]B = (1, α, 1)t , entonces x pertenece a la superficie solo si
−
(1, α, 1) D
−
− 1 α 1
1 O sea α = √ o α = 2
Ejercicio 9.9
= 0. Es decir, 1 + ( 4) α2 + 1 = 0.
−
− √ 12 .
A1 0 es una matriz en bloques con 0 A2 A1 y A2 matrices cuadrados, entonces A = A1 A2 . Se sabe que si A =
| | | || |
a)Pruebe que λ es valor propio de A si y solo si λ es valor propio de A1 y de A2 . b)Si x es un vector propio de A 2 , encuentre un vector propio de A. Soluci´ on: a) Es claro que A
− λI =
A1
− λI 1 0
0 A2
− λI 2
115
Vectores y valores propios
donde I 1 e I 2 son matrices identidad de tama˜no igual al de A1 y A2 respectivamente. Luego
|A − λI | = |A1 − λI 1||A2 − λI 2| . Por lo tanto, λ es valor propio de A A λI = 0 A1 λI 1 A2 λI 2 = 0 A λI 1 = 0 o A λI 2 = 0 λ es valor propio de A1 o de A2 .
⇔ | − | ⇔ | − || − | ⇔ | − | | − | ⇔
b) Si x es un vector propio de A2 , entonces existe λ I R tal t que A2 x = λx. Definimos y = (0, x) donde 0 es un fila de ceros de longitud igual al tama˜no de A1. Luego
∈
Ay =
A1 0 0 A2
0 x
=
0 A2 x
=
0 λx
= λ
0 x
.
Por lo tanto y = (0, x)t = 0 es un vector propio de A.
Ejercicio 9.10 Sea A una matriz n n, ortogonalmente diagonalizable, que tiene exactamente un valor propio. Pruebe que existe α I R tal que A = αI n .
×
∈
Soluci´ on: Como A es ortogonalmente diagonalizable, entonces existe una matriz ortogonal P tal que P t AP = D donde D es la matriz diagonal de los valores propios de A. Si A tiene solo un valor propio α, entonces D = αI n y P t AP = D
t
⇒ A = P DP
= αI n .
116
Vectores y valores propios
Cap´ıtulo 10
Ex´ amenes Este cap´ıtulo ofrece la colecci´on de ex´amenes parciales realizados en el curso MA 1004 Algebra Lineal —ofrecido para unas diez carreras en la Universidad de Costa Rica—, durante los a˜ nos 1998, 1999, 2000 y 2001. Adicionalmente, los ex´amenes correspondientes a los a˜nos 1996 y 1997 se presentan en el libro Algebra Lineal de Arce, Castillo y Gonz´alez. En los a˜nos 1998 y 1999 la evaluaci´on del curso involucraba 4 ex´amenes parciales. Sin embargo, los parciales I y III los formulaba cada profesor para su grupo y s´olo los parciales II y IV eran ex´amenes de c´atedra. Por su naturaleza, en este material s´ olo se incluyen los ex´amenes parciales II y IV, adem´as, estos dos ex´amenes comprenden toda la materia del curso. En los a˜nos 2000 y 2001, la evaluaci´on del curso estuvo basada en tres ex´amenes parciales de c´atedra. Por lo cual, los ciclos lectivos de estos a˜nos, incluyen tres ex´amenes parciales. Por otra parte, algunos de los ex´amenes planteados tienen soluci´ on, la que podr´an encontrar diseminada entre los ejercicios resueltos siguiendo la respectiva referencia.
118
10.1.
Ex´ amenes
Ex´ amenes I ciclo 1998
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica I ciclo lectivo de 1998
16 de Mayo de 1998
Examen Parcial II MA 1004 Algebra Lineal 1. (17 pts) Usando solamente ´algebra matricial (no sistemas de ecuaciones) encuentre la matriz X que satisface la ecuaci´on A (X t + C ) = D A =
1 0 0
−1 1 0
0 0 3
, C =
1 2 3 4 0 5
, D =
1 1 3 0 1 3
2. (17 pts) Una refinadora de petr´oleos compra dos tipos de crudos: ligero y pesado. El costo, por barril, para estos dos tipos de crudos es $11 y $9, respectivamente. En el proceso de refinaci´ on del crudo ligero se produce un 40 % de Gasolina, un 20 % de Diesel, un 35 % de Super y hay una p´erdida del 5 %. Los porcentajes correspondientes al crudo pesado son 32 %, 10 %, 50 % y 8 %. Las demandas m´ınimas para dichos tipos de combustibles son: 1 mill´on de barriles de Gasolina, 400 000 barriles de Diesel y 250 000 barriles de Super. Formule un modelo de Programaci´on Lineal para determinar el n´umero de barriles de petr´oleo crudo de cada tipo que debe comprar la refinadora para satisfacer la demanda m´ınima al menor costo; luego resuelva el problema. 3. (16 pts) Sean A, B matrices de tama˜no 4 4 tales que A−1 = At , B1 , . . . , B4 son las columnas de B y det B = 4. Calcule:
×
a) [DetA]2 c)
Det
5BA 2
−1
b) Det ( B1 + B2 , B3 , B2 , 2B4 )
−
d) Rango de C = (A, B)4×8
119
10.1 Ex´ amenes I ciclo 1998
4. (17 pts) Considere el paralelogramo de v´ ertices A, B,C, D con A = ( 1, 2, 3) , B = ( 1, 1, 5) , C = ( 1, 3, 8) .
−
−
− −
D
C
A
B
Encuentre: a) El v´ertice D.
−−→
b) La longitud de la diagonal DB. c) El coseno del ´angulo del v´ertice B. d) La longitud de la altura sobre el lado AB. 5. (17 pts) Sea S = v1 , v2 , v3 , v4 donde v1 = (1, 1, 2) , v2 = (1, 1, 0) , v3 = (1, 5, 4) , v4 = (1, 3, 4)
C{
}
−
− − a) Encuentre una base B para S.
b) Calcule t de modo que v = (4, 0, t) pertenezca al subespacio S y luego encuentre [v]B (coordenadas de v en la base ).
B
6. (16 pts) Sean S = A M (2, 2) At =
A
{∈ ∈ | − }
W = A M (n, n) A2 = A
a) Asuma que S es un subespacio y encuentre una base para S
B.
b) Justifique la afirmaci´on: W no es un subespacio de M (n, n)! Para ello indique en forma precisa que propiedad de subespacio no se verifica.
120
Ex´ amenes
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica
I ciclo lectivo de 1998
Examen Parcial IV MA 1004 Algebra Lineal 1.) (20 pts) Sea π el plano con ecuaci´on x
− 2y − z = 3
a) Verifique que la recta L de ecuaci´on: (x,y,z) = t (0, 1, 2) , t I R es paralela al plano π.
−
∈
b) Encuentre la ecuaci´on de un plano que contenga a la recta L y sea perpendicular a π. 2.) (20 pts) Sea S el subespacio de I R4 definido por S = ( 1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0)
C{−
}
a) Para v = (1, 1, 0, 2) calcule la proyecci´on del vector v sobre el subespacio S , (ProyS v). b) Determine una base para S ⊥ , el subespacio ortogonal a S . c) Calcule la proyecci´on de los vectores ( 1, 1, 0, 1) (1, 1, 1, 1) sobre S ⊥ .
−
∈ S y
3) (20 pts.) Considere la siguiente tabla de valores de las variables x, y : x -2 y 1
-1 0
0 -2
1 -1
2 0
Se desea estimar los par´ametros a0 , a1 y a2 de la funci´on cuadr´ atica y = a 0 + a1 x + a2 x2 que mejor ajusta los datos de la tabla.
121
10.1 Ex´ amenes I ciclo 1998
a) (10 pts.)Utilizando el modelo de regresi´on lineal m´ultiple: y = X b + e Calcule la estimaci´o n de los par´ametros a0 , a1 y a2 . Puede utilizar que
0 5
b) (5 pts.) ¿Cu´al es el valor y estimado para x =
−1?
5 0 10 0 10 0 10 0 34
−1
1 = 70
−
34 0 0 7 10 0
−10
.
c) (5 pts.) Calcule el coeficiente de calidad de la regresi´on R y comente. Nota: escriba todas las operaciones necesarias (no los c´ alculos) para obtener los resultados.
B = {u1, u2, u3} base de I R3 y C base can´onica
4. (20 pts.) Sea de I R3 .
Considere la transformaci´on lineal T : I R3 como:
→ I R3 definida
T (u1 ) = (1, 1, 1) , T (u2 ) = (0, 1, 0) , T (u3 ) = (0, 0, 0) a) Encuentre una base para Img(T ) y para Nuc(T ). b) Determine [T ]CB c)
i) Encontrar una base que
E en t´erminos de la base B , tal
[T ]CE = ii) Pruebe que es base.
E
0 1 1 0 2 1 0 1 1
(Note que (1, 2, 1) = (1, 1, 1) + (0, 1, 0)). d) Calcule la matriz P tal que: [T ]CB = [T ]CE P
122
5) (20 pts) Sea A =
Ex´ amenes
4 2 2 2 4 2 2 2 4
a) (15 pts) Encuentre una matriz P ortogonal y una matriz D diagonal tal que: D = P t AP b) (5 pts) Indique las transformaciones lineales y las bases asociadas a cada una de las matrices A, P, D.
123
10.2 Ex´ amenes II ciclo 1998
10.2.
Ex´ amenes II ciclo 1998
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica II ciclo lectivo de 1998
10 de Octubre de 1998
Examen Parcial II MA 1004 Algebra Lineal 1. (20 Pts) Considere un n´ umero real α, distinto de 0 y distinto de 1 y las matrices
A =
1 0 0 1 1 0 1 1 1
0 1 1 0 0 1 0 0 0
, B=
y C =
1. Encuentre la inversa de αA + B.
αα 1 1 0 α 0
−
.
2. Encuentre X en la ecuaci´on matricial (αA + B)X = C. 2. (20 Pts) 1. Encontrar el m´ ax z = 6x
− y. Sujeto a las restricciones 2x − y ≤ 2 x ≤ 4 x, y ≥ 0
2. ¿Existe minz = 6x y, sujeto a las mismas restricciones anteriores? Si su respuesta es afirmativa, encu´entrelo.
−
3. (24 Pts) Sea A =
2 1 + a 1
1 1 a a 1 2a 1
−
−
donde A1 , A2 , A3 denotan las columnas de A.
124
Ex´ amenes
a) Demuestre que el conjunto A1 , A2 es linealmente independiente, para cualquier valor de a.
{
}
b) Use determinantes para encontrar los valores a tales que el rango de la matriz A es 2. c) Sea B la matriz que se obtiene al hacer a = 1 en la matriz A y sean B1 , B2 , B3 las columnas de B. (1) Exprese B3 como combinaci´on lineal de B1 y B2 . (2) Use (1) para encontrar una soluci´on particular del sistema Bx = 0 y luego escriba (sin hacer c´alculos) la soluci´on general del sistema Bx = 0. Justifique. 4. (16 Pts) Sean A, B,C y D los v´ertices de un cuadril´atero cualquiera, y M 1 , M 2 , M 3 y M 4 los puntos medios de los lados de este cuadril´atero como se muestra en el dibujo. Demuestre que M 1 , M 2 , M 3 y M 4 son los v´ertices de un paralelogramo. B M 2 C M 1 M 3
D M 4 A
5. (20 Pts) Sean v1 , v2 , v3 vectores linealmente independientes de un espacio vectorial V . Decida si los siguientes con juntos son linealmente independientes. Justifique.
{
}
S = v1 +v2 , v2 +v3 , v3 +v1
{
}
R = v1
{ − v2, v2 − v3, v3 − v1}
125
10.2 Ex´ amenes II ciclo 1998
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica II ciclo lectivo de 1998
1 de diciembre de 1998
Examen Parcial IV MA 1004 Algebra Lineal 1) (20 pts) Sea π el plano con ecuaci´on x 1.
− 2y − z = 3 Verifique que la recta L: (x,y,z) = t(0, −1, 2), t ∈ I R es paralela al plano π
2. Obtenga la ecuaci´on de un plano que contenga a la recta L y se perpendicular con π. 2) (20 pts) Sea B = u, v, w una base ortonormal y W = u, v un subespacio de R3 . Considere la transformaci´on
{
C{ }
}
T : I R3 x
−→ I R3 −→ T (x) = Proy
W x
a) Determine Img (T ) y Nuc (T ) . b) ¿T es inyectiva? ¿T es sobreyectiva? Justifique. c) Justifique que 0 y 1 son valores propios de T y determine los espacios caracter´ısticos V λ=0 , V λ=1 . d) ¿Es T un operador diagonalizable? (Justifique). 3) (20 pts) Sean u = (1, 1, 2), v = (2, 3, 0) vectores de I R3 y W = u, v .
C{ }
−
(a) Construya una base de
B ortonormal para W . (b) Si x = (1, 1, 2) encuentre w ∈ W y p ∈ W ⊥ tal que x = w + p. Haga el dibujo correspondiente.
126
Ex´ amenes
4) (20 pts.) Sean base de I R2 . y T : I R2 maci´ on lineal tal que:
B
− [T ]B =
a) Si [T (v)]B =
b) Si = v1 , v2 tal que:
B {
240 23
}
y
0 1
80 7
−
→ I R2 una transfor.
, encuentre [v]B
C = {e1, e2} base can´onica de I R2
e1 = v 1 , e2 = v 1 + v2 . Encuentre la matriz de T en la base can´onica. 5) (20 pts) Considere la superficie determinada por la ecuaci´on 4x2 + 4y 2 + 4z 2 + 4xy + 4xz + 4yz
−5=0
a) Calcule su ecuaci´on can´onica y d´e su nombre. b) Indique las las ecuaciones de cambio de variables, esto es la ligaz´on entre los ejes x, y, z y los nuevos ejes x , y , z . c) Cual es el ´angulo entre los ejes: x, x .
127
10.3 Ex´ amenes I ciclo 1999
10.3.
Ex´ amenes I ciclo 1999
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica MA 1004 Algebra Lineal I ciclo lectivo de 1999 15 de mayo de 1999
Examen Parcial II 1. (15 Pts) Considere el sistema de ecuaciones lineales:
α2 x + 7y + 16z x + y + z x + z
= 37 = α + 8 = 1
Determine todos los valores del par´ametro α, si existen, tales que el sistema: a) No tenga soluci´on. b) Tenga soluci´on u ´ nica. c) Tenga infinitas soluciones que dependen de un par´ametro. d) Tenga infinitas soluciones que dependen de dos par´ametros.
2. (15 Pts) Sea A =
−
1 0 2 0
3 1 0 1
y A1 , A2 sus columnas.
a) ¿Para qu´e valores de α, el conjunto t
t
{A1, A2, (0, 0, 1, α) , (0, 0, α , α) } es linealmente independiente? b) ¿Para cu´al o cu´ales valores de a, el vector (a, 2, 4, 2)t es combinaci´on lineal de los vectores columnas de A?
128
Ex´ amenes
3. (15 Pts) a) Si
a 1 b b 1 c c 1 a
= 1999, calcule el valor de
b) Sean A M (4, I R) y B y det(B) = 4.
∈
a b c
−b −c −a
3 a 3 b . 3 c
∈ M (4, I R) tales que det(A) = 3 ii) det((2B)−1 AB).
Calcule: i) det(ABAt )
4. (15 Pts) Considere el siguiente problema de programaci´on lineal: Minimizar z = x y.
Sujeto a: 2x y 2x + 4y 5x + y x 0 y y 0.
−
−
− ≥
≥
≤ ≥ ≥
8 22 11
a) Grafique la regi´on de soluciones factibles, indicando : i) la intersecci´on de las rectas con los ejes y ii) la intersecci´on de las rectas en el cuadrante positivo. b) Resuelva el programa lineal utilizando el m´etodo gr´afico. 5. (15 Pts) Determine si el conjunto S M (2, I R), formado por a a + b todas las matrices del tipo , es un espacio a b b vectorial, con la suma y el producto por un escalar conocidos para M (2, I R). Justifique su respuesta y si es afirmativa, determine una base y la dimensi´on del espacio S .
⊂
−
6. (15 Pts) Considere las rectas L1 = (1
{ − t, 2t, 5 + t)|t ∈ I R}
y L2 = (2, 1
{
− t, t)|t ∈ I R}.
a) Encuentre una ecuaci´on cartesiana del plano Π que contiene a L1 y es paralelo a L2 . b) Sea Q = (a,b,c) L2 . Muestre que la distancia de Q a Π es √ 111 . Ilustre su procedimiento con un gr´afico.
∈
129
10.3 Ex´ amenes I ciclo 1999
7. (10 Pts) Si x = (1, 1, 1), determine el rango de la matriz
−
9I 3
t t
− xx x x.
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica I ciclo lectivo de 1999
Examen Parcial IV MA 1004 Algebra Lineal
− −
1 1 0 2 2 1 , 1. (18 Pts) Sean A = F el subespacio 1 1 1 vectorial generado por las filas de A, y N el n´ ucleo de A: N = x I R3 Ax = 0 .
{ ∈ |
−
}
a) Compruebe que F y N son subespacios ortogonales de I R3 . b) Determine bases ortonormales para F y N . c) Exprese x = (1, 1, 1)t , como la suma de un vector en el n´ ucleo de A y otro en F . 2. (10 Pts.) Una cierta variable y se explica, aproximadamente, por la variable x, en t´erminos del siguiente modelo exponencial: y = αe−βx+ donde es un error desconocido y α, β son los par´ametros que se desean estimar. Si dispone de los siguientes datos observados: 2 x y 1.07
4 1.88
6 2.26
12 2.78
18 2.97
24 2.99
130
Ex´ amenes
a) Establezca el cambio de variable necesario para resolver el problema utilizando un modelo de regresi´on lineal. b) Determine la tabla de datos transformada, que utilizar´a el modelo de regresi´on lineal. Calcule s´olo las dos primeras columnas. c) Escriba la f´ormula para calcular las estimaciones para α y β . No efect´ue los c´alculos. 3. (18 Pts) Defina una transformaci´on lineal T : I R3 tal que T (L1 ) = L 2 , donde L1 es la recta : y L2 es :
−→ I R3,
{(1, 0, −2) + t(1, 1, 2)|t ∈ I R} {(1, 1, 1) + t(2, 1, 3)|t ∈ I R}
Es decir, el conjunto de im´agenes de los vectores de la recta L1 es L2 . Adem´a s, el n´ucleo de T debe ser la reta L3 = (t,t, 0) t I R .
{
|∈ }
Determine la f´ormula general para T [(x,y,z)].
{ ∈ I R3|3x − 6y + 3z = 0}. a) Muestre que B = {(1, 0, −1) , (2, 1, 0) } es una base de
4. (18 Pts) Sea S = (x,y,z)t
t
t
S . b) Con x = (x,y,z)t , calcule ProyS x. c) Si T : I R3 I R3 es la transformaci´on lineal tal que:
−→
T (x) = 2ProyS x
− x,
determine una matriz A, tal que T (x) = Ax. d) Si A es ortogonal muestre que T (x) = x .
5.
(18 pts) Considere una matriz A, 4 × 4, cuyo polinomio ca-
racter´ıstico es
| − λI | = −(λ − 2)3(λ + 1) 1 1 1 1 − − √ √ √ y V =2 = C {( √ , 0, , 0) , (0, , 0, ) }, es el espacio ca2 2 2 2 P (λ) = A
λ
t
t
racter´ıstico asociado al valor propio 2. Especifique si las siguientes afirmaciones son ciertas, falsas o no tiene suficiente informaci´ on para decidir y justifique su respuesta.
131
10.3 Ex´ amenes I ciclo 1999
a) 0 no es valor propio de A por lo tanto el n´ucleo de A es (0, 0, 0, 0)t .
{
}
1 − 1 − 1 √ 1 t √ √ b) ( √ , , , ) es un vector propio de A. 2 2 2 2
c) Existe un vector x I R4 , x = 0, tal que Ax = 3x.
∈
d) A es diagonalizable.
e) A es diagonalizable ortogonalmente. 6. (18 Pts) Considere la c´onica de ecuaci´on
√ − x2 ( 2 2x1 + x2 ) = 4. Si x = (x1 , x2 )t , y y = (y1 , y2 )t : a) Determine la matriz P del cambio de variable y = P t x, que elimina el t´ermino cruzado de la ecuaci´on anterior y adem´as corresponde a una rotaci´on. b) Obtenga la ecuaci´ on can´onica de esta c´onica. c) Determine el coseno del ´angulo de rotaci´on. d) En el sistema de coordenadas de las variables x1 y x2 , trace el gr´afico aproximado de la c´onica, indicando los vectores que generan los nuevos ejes (los rotados).
132
10.4.
Ex´ amenes
Ex´ amenes II ciclo 1999
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica MA 1004 Algebra Lineal II ciclo lectivo de 1999 16 de octubre de 1999
Examen Parcial II
1 e I la matriz identidad de M (2, I R). Use s´olo 1 ´algebra de matrices (no sistemas de ecuaciones) para determinar una matriz X M (2, I R) tal que
1) Sea A =
∈
AAt X = X + I Soluci´ on: ver ejercicio 2 en p´agina 10. 2) Considere la siguiente matriz A cuyos vectores columnas se denotan por A1 , A2 , A3 .
A =
√ −
√ √ −3 2 −2 2
2 2 0 1
1 5 3
3 5 2
(i) Exprese u = ( 0 7 5 0 )t como combinaci´on lineal de los vectores columna de A. (ii) Observe que A3 = A 1 + A2 . Sin hacer m´as c´alculo, deduzca la respuesta a las siguientes preguntas y justifique. a) ¿Ax = 0 tiene soluciones no nulas? b) ¿Ax = b tiene soluci´ on para todo b I R4 ?
∈
Ver soluci´on en ejercicio 15, p´agina 26. 3) Sean A, Q M (n, I R), n impar, tales que A = At (A es antisim´etrica) y Q−1 = Qt (Q es ortogonal), y sea α I R, α = 0.
∈
(i) Demuestre que A no es invertible.
−
∈
133
10.4 Ex´ amenes II ciclo 1999
| | ±1 y calcule |(αQ2)−1|.
(ii) Pruebe que Q =
Ver soluci´on en ejercicio 1, p´agina 29. 4) Sean las rectas de I R3 1 :
x = 1 + α y = 2 2α , z = 3 + α
α I R,
∈
−
y
β I R.
∈
2 :
x = 2 β y = 3β , z = 1
−
(i) Demuestre que 1 y 2 son rectas alabeadas, esto es, no son paralelas ni se intersecan entre s´ı. (ii) Determine las ecuaciones vectorial y cartesiana del plano π1 que contiene a 1 y es paralelo a 2 . (iii) Calcule d(1 , 2 ), la distancia m´ınima entre 1 y 2 . (Sugerencia: Observe que d(1 , 2 ) = d(π1 , 2 )). Ver soluci´on en ejercicio 8, p´agina 51. 5) Considere el programa lineal: sujeto a las restricciones:
x1
≥ 0 y x2 ≥ 0.
minz = 6x1 + 4x2 + 15
x1 + 2x2 60 3x1 + 10x2 180 3x1 + 2x2 60
≤ ≤ ≥
(i) Grafique la regi´on de soluciones factibles. Especifique claramente las coordenadas de los puntos donde hay intersecciones. (ii) ¿Es posible eliminar una de las restricciones sin alterar la regi´on de soluciones factibles? Si este es el caso, ¿diga cu´ al de ellas? Justifique. (iii) Calcule el valor m´ınimo de la funci´on z sujeto a las restricciones dadas. Use el m´etodo gr´afico. (iv) D´e tres soluciones factibles distintas donde la funci´on z alcanza su valor m´ınimo.
134
Ex´ amenes
Ver soluci´on en ejercicio 1, p´agina 35. 6) En geometr´ıa de s´olidos existe un teorema que establece que el volumen de cualquier pir´amide (tetraedro) es 13 de la base por la altura.
(i) Use este resultado para demostrar que el volumen V del tetraedro cuyos lados son vectores l.i. a, b y c, es:
c b
1 V = (a 6
| × b) · c| a
(Sugerencia: puede usar la interpretaci´ on geom´etrica conocida para la norma del producto cruz de dos vectores) . (ii) Utilice (i) para hallar el volumen del tetraedro PQRS con v´ertices P ( 1, 2, 0), Q(2, 1, 3), R(1, 0, 1), S (3, 2, 3).
−
−
Ver soluci´on en ejercicio 8, p´agina 48.
−
135
10.4 Ex´ amenes II ciclo 1999
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica II ciclo lectivo de 1999 30 de noviembre de 1999
Examen Parcial IV MA 1004 Algebra Lineal 1. Sea S = A M (2, I R) ( 1, 4)A = (0, 0) un subespacio de M (2, I R).
{ ∈
|−
a) (6 Pts) Muestre que y
0 0 0 0
}
4t 4k t k
∀
t, k
∈ I R,
son matrices en S .
b) (6 pts) Encuentre una base
B para S .
Soluci´ on: ver ejercicio 5 en p´agina 69. 2. Sean: W = S =
C{(3, 0, −4, 0), (0, 3, 0, 4)} C{(4, 0, 3, 0), (4, 4, 3, −3)}.
a) (5 Pts) Determine W ⊥ . b) (5 Pts) Determine 1 y y S respectivamente.
B B2 bases ortonormales para W
c) (4 Pts) Sea v = (25, 50, 75, 100). Calcule ProyW v.
−
d) (6 Pts) Sea T : I R4 I R4 tal que T (v) = ProyW v. Sin hacer m´as c´alculo determine Nuc (T ) e Img (T ).
−→
Soluci´ on: ver ejercicio 8 en p´agina 95. 3. Se ha observado que en una granja, la producci´on de huevos que denominamos y depende de la cantidad suministrada de dos tipos de alimentos: x1 , y x2 . Suponga que la relaci´on entre estas variables se explica apropiadamente por el modelo: y = ax 1 + bx2 + ,
136
Ex´ amenes
y que para la tabla de datos siguiente (que se muestra parcialmente: faltan los valores observados para y), x1 1 x2 0 y
0 1
1 1
2 1
1 2
se estimaron los par´ametros a, b utilizando regresi´on lineal m´ ultiple, y se calcul´o yˆ (y estimado) y R. a) (4 pts) Haga una ilustraci´on gr´afica de W = x1 , x2 , y y yˆ.
C{
}
b) (5 pts) Sabiendo que el vector y estimado result´o ser yˆ = (2, 2, 4, 6, 6)t , calcule los par´ametros a, b que se obtuvieron. c) (3 pts) Si con estos datos, el coeficiente de regresi´ on es R = 0.902. ¿Cu´al es la norma del vector y? d) (4 pts) Estime la producci´on de huevos si las cantidades de los dos tipos de alimentos son: x1 = 1 y x2 = 2. Soluci´ on: ver ejercicio 1 en p´agina 79.
D = {(1, 1) , (−1, 1) } base de I R2. t
4. Sea
t
a) (10 pts) Calcule las matrices de transici´on [I ]CD , [I ]D C 2 donde es la base can´onica de I R .
C
b) (10 pts) Sea T : I R2 lineal tal que: [T ]D =
−→ I R2 una transformaci´on
2 6
4 2
−
Calcule [T ]C y determine una f´ormula para T Soluci´ on: ver ejercicio 4 en p´agina 90. 5. Considere la c´onica cuya ecuaci´on es: 5x21
− 4x1x2 + 8x22 − 36 = 0.
x . y
137
10.4 Ex´ amenes II ciclo 1999
a) (10 pts) Transforme esta ecuaci´on, mediante un cambio de variable que corresponda a una rotaci´on de los ejes x1 , x2 , hasta obtener la ecuaci´on de la c´onica en su forma can´ onica en los nuevos ejes y 1 , y2 . Adem´as identif´ıquela. b) (3 pts) Indique la matriz que permiti´o cambiar de las variables (x1 , x2 ) a las variables (y1 , y2 ). c) (5 pts) En un solo gr´afico utilizando el sistema de ejes cartesianos x1 , x2 , represente los ejes y1 , y2 (se˜ nale las coordenadas de los vectores que los generan) y trace el gr´ afico de la c´onica (incluya as´ıntotas, si es el caso). d) (2 pts) Calcule el coseno del ´angulo de rotaci´on. Soluci´ on: ver ejercicio 6 en p´agina 108. 6. (12 pts) Decida si la matriz A es o no diagonalizable (Justifique). 1 0 0 1 0 1 1 1 0
−
Soluci´ on: ver ejercicio 1 en p´agina 99.
138
10.5.
Ex´ amenes
Ex´ amenes I ciclo 2000
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica I ciclo lectivo del 2000
15 de abril del 2000
Examen Parcial I MA 1004 Algebra Lineal 1. Considere el sistema de ecuaciones en las variables x, y y z:
2ax 3x
− 3y − z − y + az
= =
−4a + 6b −a − b
con a y b en I R
a) (8 Pts) Determine el conjunto soluci´on si a = 9/2 y b = 0. Use aritm´etica exacta. b) (8 Pts) Encuentre los valores de a y b para que el vector ( 2, 2a b, 3) sea soluci´on del sistema.
−
− −
Soluci´ on: ver ejercicio 3 en p´agina 5. 2. Sean A =
2 0
1 0 1 1
−
− − yB=
a) (8 Pts) Verifique que (AB
1 0 2 1 1 2
.
− I 2)−1 = AB.
b) (8 Pts) Use ´algebra de matrices, (sin transformar la pregunta en el problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales), para encontrar una matriz X tal que ABX
− A = X.
Soluci´ on: ver ejercicio 3 en p´agina 11.
3. Sea A =
−
1 0 2 0
− − 3 1 0 1
y A1 , A2 sus columnas.
139
10.5 Ex´ amenes I ciclo 2000
a) (10 Pts) ¿Para qu´e valores de a, si existen, el conjunto t
t
{A1, A2, (0, 0, 1, a) , (0, 0, a , a) } es linealmente dependiente? b) (10 pts) ¿Para cu´al o cu´ales valores de a, si existen, el vector (a, 2, 4, 2a)t es combinaci´on lineal de las columnas de A? Soluci´ on: ver ejercicio 12 en p´agina 22. 4. Sea A M (n, I R).
∈
a) (6 Pts) Demuestre que A+At siempre es sim´etrica, pero no A At .
−
b) (6 Pts) Demuestre que si AAt = I entonces A = 1 o A = 1.
| |
| | −
Soluci´ on: ver ejercicio 4 en p´agina 12. 5. Sean A = (A1 , A2 , A3 , A4 ) y B = (B1 , B2 , B3 , B4 ) matrices 4 4 tales que B = 3 y las columnas de A satisfacen:
×
| |
A1 =
−B1,
A2 = B 3 , A3 =
−B2,
A4 = 2B1
− B2.
En cada caso, justifique su respuesta. a) (5 pts) Deduzca el valor del rango de A. b) (9 pts) Determine: i) det(A) ii) det(B2 , B1 , 2B3 , B4 )
iii) det((2B)−1 ).
c) (6 pts) Determine el conjunto soluci´on del sistema Ax = 0, x I R4 .
∈
Soluci´ on: ver ejercicio 4 en p´agina 32. 6. Considere el programa lineal: Maximizar: z =
−2x2 + x3.
Sujeto a las restricciones: 3x1 + x2 2x3 10 2x1 + x2 3x3 = 4 x1 0, x2 0, x3 0.
≥
− −
≤
≥
≥
140
Ex´ amenes
a) (8 Pts) Exprese el problema en la forma can´onica y d´e una primera soluci´o n b´asica factible que no corresponda a la soluci´on ´optima. b) (8 pts) Si en otros dos problemas de programaci´on lineal, similares al dado, se obtienen las siguientes tablas, al aplicar el m´etodo simplex: i) 1 0 0 1 6 2 1 4 0 8 2 0 1 0 z + 10
− −
ii)
1 0 2 1 2 0
−
−1 −4
1 0 2 0
6 4 z + 10
−
¿Cu´al es la soluci´on del problema, en cada caso? 1 Soluci´ on: ver ejercicio 2 en p´agina 38.
1
Observe que en 6.a) se pide expl´ıcitamente no calcular la soluci´on optima y para responder 6.b) no requiere hacer ning´un c´ ´ omputo.
141
10.5 Ex´ amenes I ciclo 2000
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica I ciclo lectivo del 2000
20 de mayo del 2000
Examen Parcial II MA 1004 Algebra Lineal 1. Sean A = (2, 1, 1), B = (1, 2, 0), C = (3, 1, 2) y u = (1, 1, 2).
− √
−
a) (8 Pts) Determine el ´area del tri´angulo en el espacio cuyos v´ertices son los puntos A, B y C . b) (9 Pts) Sean ı = (1, 0, 0), = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1). Calcule los ´angulos que forma el vector u con cada uno de los vectores ı, y k. Soluci´ on: ver ejercicio 1 en p´agina 41. 2. Sean u y v vectores de I Rn .
2 − u − v2 = 4u · v. b) (6 Pts) Demuestre que u ⊥ v ⇐⇒ u + v = u − v. a) (6 Pts) Verifique que u + v
c) (6 Pts) Explique en forma breve y concisa la interpretaci´ on geom´etrica de la proposici´on en b). Ilustre este resultado con un gr´afico de vectores.
Soluci´ on: ver ejercicio 4 en p´agina 46. 3. Sea π el plano: 3x
− 2y + 4z = 5.
a) (6 Pts) Establezca un sistema de ecuaciones param´etricas y una ecuaci´on vectorial, para la recta que contiene el punto Q(2, 3, 1) y es perpendicular al plano π.
−
b) (8 Pts) Establezca la ecuaci´on cartesiana (de la forma ax + by + cz = d) del plano que contiene a los puntos A( 2, 1, 3), B(3, 0, 2) y C (1, 3, 1).
−
−
142
Ex´ amenes
Soluci´ on: ver ejercicio 7 en p´agina 50. 4. Considere las rectas en I R3 : L1 :
L2 : y el plano π : 3x
x = y = z =
3 + 2t 1 + t ; t I R 5 t
−
∈
−
x = 6 + s y = 2 + 2s ; s I R z = 3 s
− 2y + 4z = 5.
∈
−
a) (6 Pts) Determine, si existe, el punto de intersecci´on entre L1 y L2 . b) (6 Pts) Determine, si existe, el punto de intersecci´on entre L1 y el plano π. c) (9 Pts) Calcule la distancia entre la recta L1 y el plano π. Utilice proyecciones para hacer este c´alculo y haga un dibujo explicativo. Soluci´ on: ver ejercicio 9 en p´agina 54. 5. Sean A M (m,n, I R) y S A = x I Rn Ax = 0 .
∈
{ ∈
|
}
a) (6 Pts) Pruebe que S A es un subespacio de I Rn . b) Considere la matriz A =
1 2 0
1 1 -1
-1 1 3
2 3 -1
-1 0 2
i) (12 Pts)Determine una base para S A y establezca su dimensi´on. ii) (12 Pts) Determine una base para el subespacio E generado por las columnas de la matriz A y establezca su dimensi´on. Soluci´ on: ver ejercicio 3 en p´agina 64.
143
10.5 Ex´ amenes I ciclo 2000
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica I ciclo lectivo del 2000
26 de junio del 2000
MA 1004 Algebra Lineal
Examen Parcial III 1. Considere el plano: W = (a,b,c) I R3 a + c = 0 , y T : I R3 I R3 la transformaci´on lineal tal que x I R3 T (x) = ProyW x (la proyecci´on ortogonal sobre W ).
{
−→
∈ |
}
∀ ∈
a) (6 Pts) Determine una base ortonormal para W y una base para W ⊥ (el complemento ortogonal de W ). b) (8 Pts) Halle una f´ormula para T . c) (8 Pts) Verifique que Nuc (T ) = W ⊥ . d) (5 Pts) Sin hacer m´as c´alculo d´e expl´ıcitamente el con junto Img (T ). ¿Es T invertible? Justifique. Soluci´ on: ver ejercicio 3 en p´agina 88. 2. Se desea estimar los valores a, b, c y d del polinomio c´ubico y = a + bx + cx 2 + dx3 que mejor ajusta los datos de la siguiente tabla: x y
3 0 2 3
−
−1 2
2 1 2 2
−
a) (10 Pts) Formule este problema como un problema de regresi´ on lineal m´ ultiple. Detalle los vectores y matrices que se involucran. b) (5 Pts) Plantee en forma matricial los c´alculos a realizar para determinar la soluci´on. NO REALICE LOS CALCULOS. c) (5 Pts) Si los valores estimados para los par´ametros resultaran ser: a = 3, b = 1/2, c = 2 y d = 1/2, calcule R, el ´ındice de calidad del ajuste.
−
−
144
Ex´ amenes
Soluci´ on: ver ejercicio 2 en p´agina 81. 3. Suponga que T : I R2 T
x1 x2
=
−→ I R2 se define por:
x1 x2 2x1
−
y
[I ]B C=
2 1
− 1 1
− es la matriz de transici´on de la base C a la base B, con B una base de I R2 y C la base can´onica de I R2 . a) (3 Pts) Halle [T ]C la matriz est´andar de T . b) (8 Pts) Determine [T ]CB la matriz de T de la base base .
C
c) (4 Pts) Encuentre la base
B a la
B.
Soluci´ on: ver ejercicio 5 en p´agina 90. 4. (18 Pts) Determine si las siguientes matrices son diagonalizables o no (Justifique). En cada caso, si es diagonalizable, halle una matriz P invertible y una matriz D diagonal tales que A = P DP −1 .
i) A =
3 4
4 3
−
ii) A =
Soluci´ on: ver ejercicio 3 en p´agina 102.
3 0 0 0 2 0 0 1 2
5. Considere la curva: xt Ax = 6, donde xt = (x1 , x2 ) I R2 es un vector expresado en sus coordenadas can´onicas y
∈
− −
A =
2 2
2 5
.
Considere que A se puede escribir como: A =
√ 15 −2 √ 5
√ 25 √ 15
6 0 0 1
√ 15 √ 25
−2 √ 5 √ 15
= P DP t
145
10.5 Ex´ amenes I ciclo 2000
a) (8 pts) D´e la matriz del cambio de variables de (x1 , x2 )t a (y1 , y2 )t (correspondiente a una rotaci´on), que permite transformar la ecuaci´o n de la c´onica dada a su forma can´ onica. Obtenga dicha forma can´onica. b) (4 pts) En un solo gr´afico utilizando el sistema de ejes cartesianos x1 , x2 , represente los nuevos ejes y1 , y2 (se˜ nale los vectores que los generan) y represente el punto R = (y1 , y2 ) = ( 0, 6) (dado por sus coordenadas en los nuevos ejes).
√
c) (3 Pts) Reproduzca el dibujo en b), sin el detalle de los vectores generadores de los ejes y 1 y y 2 y trace el gr´afico de la c´onica (incluya as´ıntotas, si es el caso).
√ R = (y , y ) = (0, 6)
d) (5 pts) Verifique que el punto 1 2 (dado por sus coordenadas en los nuevos ejes) es un punto de la curva y obtenga sus coordenadas (x1 , x2 ) en los ejes originales. Soluci´ on: ver ejercicio 7 en p´agina 110.
146
10.6.
Ex´ amenes
Ex´ amenes II ciclo 2000
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica II ciclo lectivo del 2000 27 de setiembre del 2000
Examen Parcial I (Reposici´ on) MA 1004 Algebra Lineal 1. (20 Pts) Considere las siguientes matrices: A =
− − − 1 1 1
2 0 1
, B=
0 1 3
1 1 0
y C =
0 1 0 1 0 1 0 1 0
.
Halle una matriz X tal que XAB t = AB t + XC 2 . (Escriba todo el procedimiento.) Soluci´ on: ver ejercicio 5 en p´agina 13. 2. (20 Pts) Considere la matriz A =
a a
b c b c
−
.
a) Pruebe que A es equivalente por filas a la matriz a 0 c . 0 b 0
b) Determine los valores de a, b y c, para los cuales el sistema de ecuaciones
ax+by ax by
−
= c = c
i) tiene soluci´on u ´ nica. ii) tiene infinitas soluciones que dependen de un par´ametro. iii) tiene infinitas soluciones que dependen de dos par´ ametros. iv) es inconsistente.
147
10.6 Ex´ amenes II ciclo 2000
En los tres primeros casos describa el conjunto de soluciones. Soluci´ on: ver ejercicio 4 en p´agina 6. 3. (15 Pts) Si u1 , u2 , u3 es un conjunto de vectores en I Rn linealmente independiente, determine los valores de α y β para que u1 αu2 , αu2 u3 , u3 βu 2 tambi´en sea linealmente independiente.
{ { −
}
−
−
}
Soluci´ on: ver ejercicio 14 en p´agina 26. 4. (15 Pts) a) Considere dos matrices A y B , de dimensi´on n tales que det(A) = 2 y det(B) = 3 . Calcule det( A−1 B t ).
−
−
×n y
b) Determine el valor de z en el siguiente sistema de ecuaciones lineales simult´aneas
ax bx bx cx
+ ay + by + ay + ay
+ bz + cz + dz + ez
+ bw + dw + ew + aw
= = = =
a + 2b b + c + d a + d + e 2a + e
sabiendo que el determinante de la matriz de coeficientes es 42. Soluci´ on: ver ejercicio 3 en p´agina 31. 5. (10 Pts) Una matriz cuadrada A se llama antisim´ etrica t si A = A. Sea A una matriz antisim´etrica de dimensi´on n n, con n impar. Pruebe que A no es invertible.
×
−
Soluci´ on: ver ejercicio 7 en p´agina 15. 6. (20 Pts) Un inversionista puede comprar dos tipos de bonos A y B, hasta por un total de $6000. Est´a sujeto a un reglamento que le prohibe invertir m´as de $4000 en bonos de tipo B y menos de $1500 en bonos de tipo A. Adem´as la cantidad invertida en bonos de tipo B no puede ser mayor que la mitad de la cantidad invertida en bonos de tipo A. Los bonos de
148
Ex´ amenes
tipo A dan dividendos del 8 %, mientras que los de tipo B dan dividendos del 10 %. Formule el problema de programaci´on lineal correspondiente y establezca ¿c´omo debe proceder dicho inversionista para obtener el rendimiento m´aximo? Soluci´ on: ver ejercicio 3 en p´agina 39.
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica II ciclo lectivo del 2000
21 de octubre del 2000
Examen Parcial II MA 1004 Algebra Lineal 1. (24 pts) Pregunta de respuestas breves. a) Sea v1 , v2 , v3 un conjunto ortonormal de vectores de I Rn . Calcule :
{
}
||v1 + v2 + v3||2 ii) (v1 − v2 ) · (v2 + v3 ) b) Sea B = {(1, −1, 2) , (1, 1, −1) , (0, 0, 1) } es una base de 3 i)
t
t
t
I R .
i) Si las coordenadas de v en la base son [v]B = ( 1, 2, 1)t , encuentre v. ii) Encuentre las coordenadas de u = (1, 3, 6)t en la base .
−
B
−
B
c) Sea el paralelogramo de v´ertices A, B, C, D con A = ( 1, 2, 3), B = (0, 1, 5), C = (7, 3, 8). Encuentre D.
−
−
d) Si u, v son vectores no nulos de I Rn . Encuentre el coseno del ´angulo entre: i) u y v Proyu v ii) u y Proyu v.
−
149
10.6 Ex´ amenes II ciclo 2000
2. (16 pts) Considere un c´ırculo con centro en O = (0, 0) y P
−→
un punto de este c´ırculo. Sea A = (3, 4) tal que el vector AP
−→
−→
es tangente al c´ırculo en P , (AP es perpendicular a OP ) y adem´ as A P = 9. Determine:
·
−→
−→
a) el coseno del ´angulo formado por los vectores OA y OP b) el radio del c´ırculo. 3. (20 pts) Sean u1 , u2 vectores ortonormales y u3 = 2u1 +20u2 . a) ¿Cu´al es la dimensi´on del subespacio W = u1 , u2 , u3 ?
C{
}
b) Calcule el ´area del paralelogramo cuyos lados no paralelos son u1 y u3 .
c) Si (1, 3, 2)t es perpendicular a los vectores u1 , u2 , encuentre la ecuaci´on cartesiana del plano W. d) D´e una base para el subespacio W ⊥ e identif´ıquelo geom´etricamente. 4. (20 pts) Sea B una matriz de 2
×2 y W = {A ∈ M (2, I R)|AB = 0}.
a) Demuestre que W es un subespacio de M (2, I R), las matrices 2 2. 2 2 b) Si B = encuentre una base para W. 1 1
×
−
−
5. (20 pts) Sea W = (1, 2, 1)t , (1, 0, 1)t , (3, 2, 3)t y P = (2, 3, 5)t .
−
C{
a) Obtenga una base b) A partir de
}
B para W . Justifique.
B construya una base ortonormal para W.
c) Calcule la distancia del punto P al subespacio W.
150
Ex´ amenes
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica II ciclo lectivo del 2000 27 de noviembre del 2000
Examen Parcial III MA 1004 Algebra Lineal 1. Sea T : I R3 x por T y = z
I R2 una transformaci´on lineal definida
−→
x + y . y + z
a) (3 Pts) Determine la matriz est´andar (can´onica) para T . b) (5 Pts) Determine una base para el Nuc (T ) y d´e la dimensi´on de este espacio. c) (5 Pts) D´e la dimensi´o n de Img(T ) y deduzca cu´al es el subespacio que corresponde a Img (T ). d) (5 Pts) ¿Es T inyectiva? ¿Es T sobreyectiva? Justifique. 2. Sean = v1 , v2 una base de I R2 , la base can´onica de B I R2 , [I ]B C la matriz de cambio de base de a 2 y [T ]B = [T ] B 2 la matriz de la transformaci´on lineal T : I R I R en la base . Si se conoce que:
B { B
[I ]B C=
}
C
− − 2 1
3 2
y
C B
[T ]B =
−→
2 1 3 4
a) (8 Pts) Determine [T ]C , la matriz est´andar de T .
b) (7 Pts) Calcule T (v1 ).
3. (10 Pts) Si π es el plano de I R3 con ecuaciones param´etricas: x = 4t, y = 3 3t y z = s, con t, s I R, determine la transformaci´ on lineal T : I R3 I R3 que asigna como imagen a todo punto del plano π el mismo punto (1, 1, 1). (Debe determinar T (x,y,z)).
−
−→
∈
151
10.6 Ex´ amenes II ciclo 2000
4. Sea A =
1 0 0 0 1 a2 0 1 1
a) (8 Pts) En el caso particular cuando a = 0, determine los valores propios de A y bases para los correspondientes espacios propios o caracter´ısticos. ¿Si a = 0, es A diagonalizable? Justifique. b) (5 Pts) Determine todos los valores de a I R para los cuales A es diagonalizable ortogonalmente.
∈
c) (7 Pts) Determine todos los valores de a I R para los cuales A es diagonalizable pero no es diagonalizable ortogonalmente.
∈
5. Considere la c´onica en I R2 con ecuaci´on 4xy = 1. a) (3 Pts) D´e la matriz sim´etrica A asociada a la respectiva forma cuadr´atica. b) (5 Pts) D´ e el cambio de variable, que corresponde a una rotaci´on de ejes y cambia coordenadas de la base can´ onica a la nueva base, para transformar la ecuaci´on a su forma can´onica. c) (4 Pts) Determine la ecuaci´on can´onica de la c´onica e indique su nombre. d) (5 Pts) Grafique la c´onica en el sistema de ejes originales y los nuevos. e) (3 Pts) Si las coordenadas en la base can´onica de un punto de la c´onica son (1, 1/4), calcule las coordenadas de este punto en la nueva base. 6. (17 Pts) Use regresi´on lineal m´ultiple en las variables x1 = x y x2 = x2 para estimar los valores de a y b del polinomio cuadr´ atico y = ax+bx2 que mejor ajusta los datos de la tabla siguiente. Calcule el ´ındice de calidad y d´e una interpretaci´on del resultado obtenido. ¿Cu´al es el valor estimado para y, por este modelo, cuando x = 2?
152
x y
Ex´ amenes
−2 −1 8
0 3 0
1 1
−
Sugerencia: en este problema (X t X )−1 =
10.7.
1 11
9/2 2 2 3/2
.
Ex´ amenes I ciclo 2001
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica I ciclo lectivo del 2001
Examen Parcial I MA 1004 Algebra Lineal 1. (20 Pts) Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende de los par´ametros a y b.
4x 2x 2x
− ay + z + 4 − y + z − 1 − y + 2bz + 4
= 0 = 0 = 0
D´e todos los posibles valores que pueden asumir los par´ametros a y b para que el sistema: a) no tenga soluci´on. b) tenga soluci´on u ´ nica. c) tenga infinitas soluciones.
× n tal que A2 − A − I = 0. a) (7 Pts) Muestre que (A − I )−1 = A.
2. Sea A una matriz n
153
10.7 Ex´ amenes I ciclo 2001
b) (7 Pts) Si adem´as X es una matriz n se conoce que:
× n para la cual
(XAt )t = X t + A, exprese X en t´erminos de la matriz A. c) (6 Pts) Para la siguiente matriz B calcule B 2 B y use el resultado en a) para deducir el valor de B −1 .
−
B=
3. Considere los vectores u1 =
yv=
−
1 1 . 2
− 0 1 0 0
1 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 1
1 0 , u2 = a
0 1 , u3 = 1
a 1 0
a) (10 Pts) ¿Para qu´e valor o valores de a, los vectores u 1 , u2 y u3 son l.i.? b) (10 Pts) ¿Para qu´e valor o valores del par´ametro a, el vector v no es combinaci´on lineal de u1 , u2 y u3 ? 4. (20 Pts) Considere una matriz A = (A1 , A2 , A3 ), 3 3, cuyos vectores columna se denotan por A1 , A2 y A3 y para la cual se conoce que A = 2. Sea u I R3 un vector tal que u = 2A1 3A3 . En cada caso responda en forma breve.
×
−
| | −
∈
a) La u ´ nica soluci´on del sistema de ecuaciones Ax = u es: b) El determinante de la matriz (A1 , A2 , u) es: c) El rango de la matriz (A1 , u , A3 ) es igual a: d) El valor de (2A)−1 es:
|
|
e) Seg´ un Cramer la soluci´on del sistema Ax = A 2 es:
154
Ex´ amenes
5. Considere el siguiente problema de programaci´on lineal: Maximizar: z = 2x1 + 10x2
− 8x3.
Sujeto a las restricciones: x1 + 2x2 x2
= 100 − 4x3 − x3 + x4 = 30 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 y x4 ≥ 0.
a) (10 Pts) Escriba una primera tabla del simplex que represente una formulaci´on de este problema en la forma can´ onica y d´e una soluci´on b´asica factible. b) (10 pts) Aplique el Simplex para resolver el problema.
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica I ciclo lectivo del 2001
Examen Parcial II MA 1004 Algebra Lineal
1) (20 Pts) Considere el tri´angulo de v´ertices A = (0, 0), B = (6, 0), C = (2, 4). Encuentre el centro y la medida del radio del c´ırculo que lo circunscribe. C
P A
B
155
10.7 Ex´ amenes I ciclo 2001
Sugerencia: Las rectas perpendiculares, levantadas en el punto medio de cada lado del tri´angulo, se intersecan en un punto equidistante a los v´ertices del tri´angulo. 2) (15 Pts) En cada caso calcule: v = ( 1, 2, 3, 1) , u I R4 : Proyu v 2 + v Proyu v 2 b) u, v I R3 y α, β I R : (u v) (αv βu) c) u,v,w I R3 : (u v) [(w v)v (w u)u] a)
− ∈ || || || − || ∈ ∈ × · − ∈ × · · − ·
= = =
3) (20 Pts) Considere las rectas: L1 : (3 + 2t, 1 + t, 5
−
− t);
L2 : (6 + t, 2 + 2t, 3
− t).
a) Encuentre la intersecci´on entre ambas rectas. b) Encuentre una ecuaci´on para el plano Π que contiene ambas rectas. c) Encuentre una ecuaci´on para el plano que contiene la recta L1 y es perpendicular al plano Π. 4) (9 Pts) Diga en cada caso si el conjunto S es un subespacio vectorial de I R4 o no. Cuando sea subespacio establezca si se trata de una recta, un plano o un hiperplano y en caso de que no sea, justifique porqu´e no es subespacio vectorial. a) S = (x,y,z,w) I R4 2x 3y = z 1 . b) S = y I R4 y = Bx, para alg´ un x I R3 , con B M (4, 3, I R) y Rng(B) = 3. c) S = (x,y,z,w) I R4 x = 0 ´o z = 0 .
{ ∈ | − { ∈ | ∈ { ∈ |
− } ∈ } }
5) (15 Pts) Sean α, β I R y W = Ax x I R4 , donde
∈
A =
{ | ∈ } 1 3 0 −1 1 4 α 0 −2 −7 −2 1 −1 −8 −10 −4 0 −2 β − α −2
.
156
Ex´ amenes
Calcule la dimensi´on de W , para todos los posibles valores de α y β . En cada caso, d´e un conjunto de vectores que generen el subespacio W . 6) (21 Pts) Sean S = U =
t
t
t
t
C {(1, 2, 0, 1, 0) , (0, 1, 1, 0, 0) } C {(0, 1, 0, 0, 0) , (0, 0, 1, 1, 0) , (1, 0, 2, 0, 1) } t
subespacios vectoriales de I R5 . a) Calcule la dimensi´on de S ⊥ . b) Encuentre una base para S ⊥ . c) Calcule la distancia del vector v = (2, 2, 0, 2, 0)t al subespacio U.
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica I ciclo lectivo del 2001
Examen Parcial III MA 1004 Algebra Lineal 1) (20 Pts) Considere la transformaci´on lineal f : I R3 dada por f (x,y,z) = (x y + 2z, x + z, 3x 2y + 5z).
−
−
−→ I R3
a) Escriba una matriz que represente a f (en las bases que usted elija). b) Calcule bases para el n´ucleo y el recorrido (imagen) de f . c) Diga si f es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Justifique.
157
10.7 Ex´ amenes I ciclo 2001
2) (15 Pts) Sean la base can´onica de I R2 y = (1, 1)t , (2, 1)t ) otra base. Considere T : I R2 I R2 una transformaci´on lineal de la cual se conoce:
C
T
B { −
−→
1 1
−
=
0 , 1
T
2 1
=
3 . 1
C a) Calcular las matrices de cambio de base [I ]B C y [I ]B . b) Calcular la matriz est´andar de T : [T ]C . 3) (15 Pts) Sea A =
1 1 0 0 1 0 0 0 1
a) Calcular los valores propios de A y bases para los respectivos espacios propios (o caracter´ısticos). b) ¿Es A diagonalizable? (justifique). En caso de ser diagonalizable d´e la matriz que la diagonaliza. 4) (20 Pts) Sea la c´onica 2x2 + 6xy + 10y 2 = 11. a) Mediante un cambio de coordenadas conveniente reduzca dicha ecuaci´on a la forma can´onica e identifique el tipo de c´onica. b) Dar vectores en la direcci´on de los nuevos ejes coordenados x , y y calcular el ´angulo entre los ejes x y x de ambos sistemas. c) Graficar la c´onica, mostrando ambos sistemas de coordenadas. d) Calcule las coordenadas, respecto al sistema de ejes original x, y, de los puntos donde la c´onica interseca a los nuevos ejes x , y . 5) (15 Pts) Considere la siguiente tabla de valores observados para las variables x, y: 3 5 7 9 11 x 1 y 15 17 23 34 34 48
}
158
Ex´ amenes
a) Si se considera que el modelo y = mx + b + explica apropiadamente la variable y, estime los valores de los par´ ametros m y b del mejor ajuste lineal. b) Calcular el ´ındice de calidad de dicho ajuste. c) ¿Cu´al es el valor estimado de y, seg´ un el modelo, para x = 9? Puede utilizar los siguientes valores, en los que x, y son los vectores de datos observados y X = (16 , x). Tenga en consideraci´ o n que se da m´as informaci´on de la necesaria para resolver el problema. x = 6.0, y = 28.5. (x (y (x
− x16) · (x − x16) − y16) · (y − y16) − x16) · (y − y16)
(X t X )−1 =
= 70.0 = 785.5 = 227.0
0.68100 0.08571
−
−0.08571 0.01429
x x = 286.0 y y = 5659.0 x y = 1253.0
· · ·
X t y =
171 . 1253
6) (15 Pts) En cada caso, justifique de modo conciso si la proposici´on dada es cierta o falsa. a) f : I R3
−→ I R dada por f (x,y,z) = xyz es lineal. b) Si A es una matriz 3 × 3 cuyo polinomio caracter´ıstico es P (λ) = λ(λ2 − 1), entonces A es diagonalizable. c) Con x = (x1 , x2 , . . . , x ), 1 = (1, 1, . . . , 1) ∈ I R y x =
n i=1 xi /n se
n
n
n
tiene que Proy 1 x = x1n . n
159
10.8 Ex´ amenes II ciclo 2001
10.8.
Ex´ amenes II ciclo 2001
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica
II ciclo lectivo del 2001
Examen Parcial I MA 1004 Algebra Lineal 1. Considere la matriz A =
−
2 0 1 2
0 1 0 0
1 2 1 1
,
cuyos vectores columna se denotan por A1 , A2 y A3 . a) (5 Pts) Exprese u = (3, 1, 3, 3)t como combinaci´on lineal de A1 , A2 y A3 . b) (5 Pts) Sin hacer m´ as c´alculos, determine si A1 , A2 , A3 es l.i. o l.d.; razone su respuesta. c) (5 Pts) ¿Es u = (3, 1, 3, 3)t combinaci´on lineal de A 1 y A2 ? d) (5 Pts) Si B1 , B2 , B3 es un conjunto l.i., determine si B1 + B3 , 2B2 , B2 + B3 es l.i. o l.d.
− −
{
}
− −
{
{
2. Sean A =
2 0
}
1 0 1 1
−
}
− − yB=
1 0 2 1 1 2
.
a) (5 Pts) Verifique que (AB I 2 )−1 = AB. b) (10 Pts) Use ´algebra de matrices, (sin transformar la pregunta en el problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales), para encontrar una matriz X tal que
−
ABX
− A = X.
160
Ex´ amenes
3. (20 Pts) Considere el sistema de ecuaciones lineales:
− −
αx α2 y + (5α + 4)z x + αy + αz 4αz αx + 4αy +
−
= = =
−16 α 4α
Determine todos los valores del par´ametro α, si existen, tales que el sistema: a) No tiene soluci´on b) Tiene soluci´on u ´nica. c) Tiene infinitas soluciones dependiendo de: i) un par´ametro, ii) dos par´ametros. 4. Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende de los par´ametros a y b.
x + 3y + (a + 2)(a + 3)z x + 4y + (a + 3)(a + 4)z x + 5y + (a + 4)(a + 5)z
= = =
b b b
−
a) (5 Pts) Calcule el determinante de la matriz de coeficientes. b) (5 Pts) Determine para cu´ales valores de a y b el sistema tiene soluci´on u ´ nica. c) (5 Pts) Use regla de Cramer para determinar el valor de z. 5. Sea A = (A1 , A2 , A3 ) una matriz 3 denotan como A1 , A2 y A3 .
× 3 cuyas columnas se
a) (5 Pts) Si B es la matriz con columnas A1 , 8A2 + A3 y A1 A3 , exprese el determinante de B en t´erminos del determinante de A.
−
b) (5 Pts) Si C es una matriz 3 3 invertible y AC = 2C , determine el valor del determinante de A.
×
161
10.8 Ex´ amenes II ciclo 2001
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica II ciclo lectivo del 2001
Examen Parcial II MA 1004 Algebra Lineal 1) (21 Pts) Considere los puntos A = (1, 1, 4), B = (1, 0, 3), C = (0, 2, 6) y D = (0, 4, 4).
−
−→
−→
−→
a) Encuentre escalares t y s tales que AD = t AB + sAC y haga una ilustraci´on gr´afica de estos vectores con indicaci´ on de los puntos A, B, C y D. b) Observe que A, B,C y D son puntos de un mismo plano. ¿El cuadril´atero A, B,C, D es un paralelogramo? c) Calcule el ´area del cuadril´atero de v´ertices A, B,C y D. 2) (24 Pts) Sean las rectas: 1 :
1
− x = z , y = 4; 2
3
2 : (x,y,z) = ( 1+2t,t, 1+3t).
−
a) Encuentre la ecuaci´ on normal del plano π que contiene a 1 y es paralelo a 2 . b) Obtenga el punto de intersecci´o n de 1 y 2 , si estas rectas se intersecan. c) Determine la distancia de 1 a 2 . 3) (15 Pts) En cada caso, justifique si S es un subespacio vectorial de V . Si respuesta es afirmativa, encuentre una base para S . a) S = A M (2, I R) At = A , con V = M (2, I R).
{ ∈ | } b) S = {(x,y,z) ∈ I R3 |(x,y,z) = (2, −2, 4)+t(1, −1, 2), t ∈ I R}, con V = I R3 .
162
Ex´ amenes
− −√ 2),
4) (20 Pts) Sean u1 = (1, 1, W = u1 , u2 .
C{
}
√ −√ 2, −2)
u2 = ( 2,
y
B para W ⊥. √ b) Si a = (2, −6, 4 2), muestre que a ∈ W ⊥ y calcule [a]B . √ c) Con v = (4, 4, 3 2), determine x1 ∈ W y x2 ∈ W ⊥ , a) Encuentre una base ortonormal
tales que x1 + x2 = v.
5) (20 Pts) Sean = u1 , u2 , u3 , u4 una base ortonormal de I R4 y los subespacios y S = u1 , u2 y T = u3 , u4 .
B {
C{
}
}
C{
}
a) Demuestre que T y S son subespacios ortogonales. b) Si a = 2u1 + 3u2 y b = 12u2 + 5u4 , calcule Proya b. c) Si x = 2u1 4u3 + 2u4 , calcule d(x, S ), la distancia de x a S .
−
Universidad de Costa Rica Escuela de Matem´ atica II ciclo lectivo del 2001
Examen Parcial III MA 1004 Algebra Lineal 1 (20 Pts.) Sean = ( 1, 1), (3, 0) = u1 , u2 base de I R2 y T : I R2 I R2 una transformaci´on lineal con matriz en la base igual a:
B
B { − −→
[T ]B =
} {
}
− 1 3 2 0
a) (5 Pts) Encuentre T (u1 ) y T (u2 ). b) (5 Pts) Calcule la matriz [I ]CB , donde es la base can´onica. c) (10 Pts) Calcule T (x, y).
C
163
10.8 Ex´ amenes II ciclo 2001
2 (20 Pts) Sean = u,v,w una base ortonormal de I R3 , S = u, v , y T : I R3 I R3 la transformaci´on lineal definida por: T (x) = ProyS x.
C { }
B
{
} −→
a) (10 Pts) Determine bases para el N´ucleo y la Imagen de T . b) (2 Pts) Decida si u +v y u +v +w pertenecen a Img (T ). c) (3 Pts) ¿Es T inyectiva? ¿Es T sobreyectiva? d) (5 Pts) Determine [T ]B . 3 (15 Pts) Considere la superficie determinada por 2xy + z 2 = 4z. Determine un cambio de variables que elimine el t´ ermino “xy” en la ecuaci´on anterior. D´e la ecuaci´on de la superficie en las nuevas variables e indique su nombre. 4 (20 Pts) Considere la c´onica con ecuaci´on 2x2 4xy y 2 +6 = 0.
− −
a) (8 Pts) Haga un cambio de variables, que corresponda a una rotaci´o n de los ejes, de modo que la ecuaci´on en las nuevas variables tenga la forma can´onica. D´e su ecuaci´on can´onica. b) (4 Pts) Indique los vectores directores = u1 , u2 de los nuevos ejes y el coseno del ´angulo de rotaci´on.
B {
}
c) (4 Pts) D´e la matriz del cambio de base, de la base can´ onica a la base .
B
d) (4 Pts) Haga un gr´a fico de la c´onica e incluya ambos sistemas de ejes. 5 (20 Pts) Supongamos que en un pa´ıs el ingreso promedio anual (en miles de d´olares), var´ıa aproximadamente de acuerdo con el n´ umero de a˜nos de escolaridad, seg´un la relaci´on: y = a 0 + a1 x +
164
Ex´ amenes
donde las variables representan: x : a˜nos de escolaridad y : ingreso anual (miles de d´olares) y : error. Se desea estimar a0 y a1 a partir de los siguientes datos observados: x 5 y 8 xc -6.25 yc -5.5
10 12 -1.25 -1.5
13 15 1.75 1.5
17 19 5.75 5.5
con xc , yc los vectores de observaciones centradas para las respectivas variables. a) Considerando el problema en general, con x = (x1 , . . . , xn ) y 1n = (1, . . . , 1) I Rn .
∈
i) (3 Pts) Justifique que x, la media de la variable x, es igual a: x = n1 (x 1n ). ii) (5 Pts) Demuestre que el vector centrado xc = x x1n es ortogonal al vector de unos 1 n .
·
−
b) Usando los datos del problema: i) (6 Pts) Calcule la proyecci´on ortogonal de y sobre el subespacio W = 14 , xc . ii) (6 Pts) Utilice el resultado en b.i) para estimar a0 y a1 . Si usted tiene dificultades en seguir este procedimiento, utilice otra v´ıa para estimar a0 y a1 .
C{
}
Observaci´ on: algunos resultados que usted podr´ıa utilizar son: y xc = 70.5, xc xc = 76.75, y¯ = 13.5, x ¯ = 11.25,
·
·
4 45 45 583
−1
=
1.899 0.1466 0.01303
−
−0.1466
.
Cap´ıtulo 11
Algebra Lineal con Mathematica El paquete Mathematica provee procedimientos de c´alculo simb´olico, num´erico y graficaci´on, aplicables a todos los temas de la matem´atica. Aqu´ı se presentar´an algunas de sus aplicaciones al Algebra Lineal, que por supuesto, s´olo constituyen una breve introducci´on a Mathematica y al Algebra Lineal. Para obtener mayor informaci´on sobre Mathematica , sus desarrolladores y otros materiales se puede visitar la p´agina web: www.wolfram.com.
11.1.
Sistemas de ecuaciones lineales
Considere, por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales:
3x + 2y z 6x + 3y + 2z 3x + y + 3z 6x + 4y 2z
−
−
= = = =
15 26 11 30
166
Algebra Lineal con Mathematica
Hay varias v´ıas para obtener una soluci´on de este sistema, con ermino, se pude utilizar el comando Mathematica . En primer t´ Solve, que permite resolver en forma exacta ecuaciones y sistemas de ecuaciones algebraicas —lineales y no lineales—. Para ello se requiere definir el sistema y usar Solve en la siguiente forma:
{{3,2,-1}, {6,3,2}, {3,1,3}, {6,4,-2}}; b = {15,26,11,30} Solve[A.{x,y,z} == b,{x,y,z}] A=
Solve::svars Equations may not give solutions for all “solve” variables.
{{x → 37 − 37 z, y → 4z + 4}} Observe que para proponer el sistema de ecuaciones Ax = b, en Solve, se usa un signo de igualdad doble. Por otra parte, antes de dar la respuesta Mathematica produce un mensaje de advertencia, en el sentido de que no hay suficientes ecuaciones para determinar una soluci´on independiente para cada variable, es decir, hay infinitas soluciones. Un procedimiento m´as espec´ıfico para resolver sistemas de ecuaciones lineales lo proporciona el comando RowReduce.
11.1.1.
RowReduce
La primitiva RowReduce[A] permite calcular la forma escalonada reducida, equivalente a la matriz A. En el siguiente ejemplo se redefine la matriz A para que corresponda a la matriz aumentada del sistema dado anteriormente, y se calcula la forma escalonada reducida.
167
11.1 Sistemas de ecuaciones lineales
{{3,2,-1,15}, {6,3,2,26}, {3,1,3,11}, {6,4,-2,30}};
A=
RowReduce[A]
1 0 0 0
0 1 0 0
7 3
−4 0 0
7 3
4 0 0
Observe entonces que se obtienen las ecuaciones x + 37 z = 37 y y 4z = 4, de donde se deduce que todas las soluciones del sistema son de la forma:
−
(
7 3
− 73 z, 4 + 4z, z),
donde z es un par´ametro en I R que se elige libremente.
11.1.2.
NullSpace
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales homog´ eneos, se dispone de una herramienta espec´ıfica: NullSpace. Este comando parte de la matriz del sistema y produce una nueva matriz cuyas filas son los vectores que generan el conjunto soluci´on, es decir, las soluciones son todas las combinaciones lineales de los vectores filas de la matriz obtenida. Ejemplo 11.1.1 Resolver el siguiente sistema homog´eneo:
−
x 3y + z + w 2x + 2y 3z 2w 4x 8y + 5z + 4w
− − − −
= 0 = 0 = 0
168 A =
Algebra Lineal con Mathematica
{{1, −3, 1, 1}, {−2, 2, −3, −2}, {4, −8, 5, 4}};
NullSpace[A]
{{−1, 0, 0, 1}, {−7, −1, 4, 0}} As´ı toda soluci´on de este sistema es de la forma:
x y z w
= t
− 1 0 0 1
+ s
− − 7 1 4 0
donde t y s son par´ametros en I R a elegirse libremente. Aunque los recursos vistos son eficientes para resolver, en forma exacta, sistemas de ecuaciones lineales bien determinados, presentan algunos problemas para resolver aquellos que dependen de par´ametros. Por otra parte, desde un punto de vista did´ actico, resulta importante resolver sistemas de ecuaciones lineales paso a paso, es decir, aplicando operaciones elementales.
11.1.3.
Operaciones elementales
Mathematica no
dispone de procedimientos para aplicar operaciones elementales por filas a un matriz, sin embargo, permite que sean definidas con relativa facilidad. A continuaci´on se utiliza el comando OpE para este prop´osito, cuya definici´on es dada en el archivo OpElem.m y no se transcribe en esta notas para no hacer un ´enfasis innecesario en aspectos t´ecnicos de la programaci´ on en Mathematica . El archivo ser´a disponible para cualquier interesado, a trav´ es del profesor C. Arce. El primer paso requerido para usar OpE, es cargar el procedimiento mediante los dos comando siguientes:
11.1 Sistemas de ecuaciones lineales
169
SetDirectory["C:\ma1004\math"]; <
Estas dos ´ordenes suponen que C:\ma1004\math es el nombre del directorio donde se trabajar´a y que en este directorio se encuentra el archivo OpElem.m. El objetivo del procedimiento OpE es permitir la aplicaci´on de operaciones elementales filas a una matriz. Para ello se usa una sintaxis que se espera resulte clara en la exposici´on del siguiente ejemplo.
Ejemplo 11.1.2 Obtener la forma escalonada reducida de la siguiente matriz A.
{{3,2,-1,15}, {6,3,2,26}, {3,1,3,11}, {6,4,-2,30}};
A=
A1 = OpE[A,(1/3)f[1]]
1 6 3 6
2 3
−
3 1 4
1 3
5 2 26 3 11 2 30
−
A2 = OpE[A1, -6f[1]+f[2], -3f[1]+f[3], -6f[1]+f[4]]
1 0 0 0
2 3
−1 −1
0
−
1 3
4 4 0
− − 5 4 4 0
A3 = OpE[A2, -f[2]]
170
1 0 0 0
Algebra Lineal con Mathematica 2 3
1 1 0
−
1 3
− 5 4 4 0
− −4 4 0
A4 = OpE[A3, f[2]+f[3],
1 0 0 0
0 1 0 0
11.1.4.
7 3
−4 0 0
7 3
4 0 0
− 2 3
f[2]+f[1]]
Sistemas con par´ ametros
A continuaci´on se utiliza el procedimiento OpE, para resolver un sistema de ecuaciones lineales que depende de un par´ametro a. Observe adem´as, que en su soluci´on se emplea el s´ımbolo % para hacer referencia al resultado obtenido en el paso anterior. Ejemplo 11.1.3 Determinar la soluci´on del siguiente sistema de ecuaciones lineales que depende de un par´ametro a:
H =
x 3y + z 2x + y z 5x 8y + (a2 2)z
− − −
{{1, −3, 1, 1}, {2, 1, −1,2−1}, {5, −8, a − 2, a}};
OpE[H,-2f[1]+f[2]]
1 0 5
−3 7 −8
− a2 −
1 3 2
− 1 3 a
−
= = =
1 1 a
−
11.1 Sistemas de ecuaciones lineales
OpE[ %,-5f[1]+f[3]]
1 0 0
−3
7 7 a2
− −
1 3 7 a
− − 1 3 5
OpE[ %,(1/7)f[2]]
1 0 0
−3
1
1 7 a2
1
3 7
3 7
− −7
− a−5
OpE[ %,-7f[2]+ f[3], 3f[2]+ f[1]]
1 0 0 1 0 0 a2 Si a2
− 273 −7 −4
− 273 −7 a−2
− 4 = 0 entonces la reducci´on contin´ua:
1 OpE[ %, −4+ f[3]] a 2
1 0 0 1 0 0
− 273 −7
1
− 273 −−27
a a2
−4
Simplifique[ %]
1 0 0 1 0 0
− 273 − 273 − 7 −1 7 1
a+2
OpE[ %,(2/7)f[3]+f[1],(3/7)f[3]+f[2]]
171
172
Algebra Lineal con Mathematica 2 7(a+2) 3 7(a+2) 1 a+2
1 0 0 0 1 0 0 0 1
− −
2 7 3 7
Simplifique[ %]
1 0 0 0 1 0 0 0 1
− −
2(a+1) 7(a+2) 3(a+1) 7(a+2) 1 a+2
Observe que RowReduce produce el mismo resultado, sin embargo, no alerta que es v´alido s´olo cuando a = 2 y a = 2.
−
RowReduce[H]
1 0 0 0 1 0 0 0 1
11.1.5.
− −
2(a+1) 7(a+2) 3(a+1) 7(a+2) 1 a+2
Determinantes
El c´alculo de determinantes con Mathematica usa la primitiva Det. Considere la siguiente matriz B y calcule su determinante. B =
{{1, −3, 1, 1}, {2, 1, −1,2−1}, {5, −8, a − 2, a}, {2, −1, 2, 1}};
Det[B]
8a2
− 15a − 2
173
11.2 Operaciones con vectores
Adicionalmente se puede factorizar el resultado: Det[B]//Factor
(a
− 2)(8a + 1) Como |B | = 0 si a = 2 o a = −1/8, se concluye que en estos
casos el sistema Bx = 0 tiene infinitas soluciones, sin embargo, Mathematica no toma en cuenta esta particularidad al dar la soluci´ on usando Solve:
{ } == {0, 0, 0, 0}, {x, y, z, w}] {{x → 0, y → 0, z → 0, w → 0}} Solve[B. x, y, z, w
11.2.
Operaciones con vectores
En esta secci´on se introducen algunos procedimientos para operar con vectores en I Rn . Naturalmente, estas definiciones deben ser transmitidas antes de ser utilizadas.
11.2.1.
Normas, a ´ngulos y proyecci´ on ortogonal sobre un vector
A continuaci´on se definen para Mathematica cuatro funciones con un significado claro. En todas ellas se supone que x, y, u y v son vectores. Norma[x ] :=
√ x.x;
x Normaliza[x ] := Simplify ; Norma[x]
Angulo[x ,y ]: = ArcCos
x.y ; Norma[x]Norma[y]
Proy[u ,v ]: = Simplify
u.v v v.v
;
174
Algebra Lineal con Mathematica
Ejemplo 11.2.1 Considere el vector a = (2, 3, 1, 2) y calcule: su norma, un vector unitario en su direcci´on, la proyecci´on ortogonal de a sobre (1, 1, 1, 1) y el ´angulo entre a y la proyecci´on anterior.
−
{
}
a = 2,3,-1,2 ; Norma[a]
√ 3 2 La primitiva N que se usa a continuaci´on produce una aproximaci´ on num´erica, N[Norma[a]]
4.24264 Normaliza[a]
√ 2 3
1 1 √ , √ , , − 2 3 2
√ 2
{
3
}
b = Proy [a, 1,1,1,1 ] 3 3 3 3 2, 2, 2, 2
Angulo[a,b]
π
4
{
}
Angulo[a-b, 1,1,1,1 ] π
2
11.2.2.
Proyecciones sobre subespacios y construcci´ on de bases ortonormales
El siguiente procedimiento ProyS supone que las filas de la matriz S son una base ortonormal, del espacio sobre el que se
175
11.2 Operaciones con vectores
desea calcular la proyecci´on del vector u. Si la base disponible no es ortonormal, primero debe ortonormalizarse usando el procedimiento BaseOrto que se define posteriormente. ProyS[u ,s ]: = Simplify[Apply[Plus, Map[(#1.u #1)&,s]]]; BaseOrto supone que las filas de B son una base y produce
una nueva matriz cuyas filas son la base ortonormal correspondiente.
{ }
BaseOrto[B ]: = Module[ GS , GS[ ,B2 ] := B2; GS[ v ,B1 ,B2 ] := GS[ B1 ,Append[B2,Normaliza[v-ProyS[v,B2]]]]; GS[Rest[B], Normaliza[First[B]] ]]
{} {
} { } {
}
Ejemplo 11.2.2 Obtener una base ortonormal para el siguiente subespacio W :
W = ( 1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0) .
C{−
}
Observe que los vectores que generan W son una base de W , puesto que son l.i. B1 =
{{-1,1,0,1},{2,1,0,1},{0,1,1,0}};
Bo = BaseOrto[B1] 1 1 1 , , 0, 3 3 3
{{− √
√
}{
√ ,
2 1 1 3 , 6 , 0, 6
1 , 6
}, {0, √
− }} 2 3,
1 6
El procedimiento BaseOrto construye una base ortonormal a partir de la base formadas por las FILAS de B1, y la base ortonormal resultante se compone de las FILAS de la matriz Bo.
176
Algebra Lineal con Mathematica
11.2.3.
Ortonormalizaci´ on de una base, paso a paso
El procedimiento de ortonormalizaci´on de una base tambi´en puede ser realizado paso a paso en la siguiente forma:
{v1,v2,v3} = B 2 = {{1,1,0,0},{0,-1,1,0},{0,1,2,1}}; u1 = v1/Norma[v1]
√ 12 , √ 12 , 0, 0
u2p = v2 - (v2.u1)u1 //Simplify
{− 12 , 21 , 1, 0} u2 = u2p/Norma[u2p]
√ 16 , − √ 16 ,
2 3, 0
u3p = v3 - (v3.u1)u1 - (v3.u2)u2//Simplify
{−1, 1, 1, 1} u3 = u3p/Norma[u3p]
−
1 1 1 1 2, 2, 2, 2
Observe entonces que u1,u2,u3 es la base ortonormal resultante, que tambi´en puede ser obtenida directamente:
{
}
B2o = BaseOrto[B2]
{{− √ 12 , √ 12 , 0, 0}, { √ 16 , − √ 16 ,
} {− 2 3, 0
,
1 1 1 1 2, 2, 2, 2
}}
Para el c´alculo de las proyecciones sobre subespacios puede usarse el procedimiento ProyS definido arriba, o tambi´ en efectuar su c´alculo usando su f´ormula expl´ıcita. En ambos casos require de una base ortonormal. w =
{1,1,1,1};
11.3 Regresi´ on Lineal
177
x = ProyS[w,B2o]
{ } −− 5 7 7 1 6, 6, 6, 2
(w.u1)u1 + (w.u2)u2 + (w.u3)u3 5 7 7 1 6, 6, 6, 2
y = 1 6,
1,1,1,1 -x
1 6,
1 1 6, 2
Observe que:
Norma[x]^2 + Norma[y]^2
4 Norma[w]^2
4
11.3.
Ajuste de curvas mediante Regresi´ on Lineal
Como se muestra m´as adelante, las operaciones que se involucran al estimar los par´ametros de mejor ajuste de una cierta curva por regresi´on lineal, pueden ser dadas expl´ıcitamente en Mathematica sin requerir de procedimientos especiales. Sin embargo, para obtener la representaci´on gr´afica de la curva de mejor ajuste y puntos simult´aneamente, se define el procedimiento PlotRL, para simplificar el proceso.
11.3.1.
Definici´ on de procedimientos
Norma[x ] :=
√ x.x
178
Algebra Lineal con Mathematica
Media[x ] := Apply[Plus,x]/Length[x]; Centra[x ]: = x - Media[x];
{
}
{
PlotRL[Pts ,curva , t ,a ,b ,Opc ] := Module[ g1,g2, ejes,marco,estilo , ejes,marco,estilo = Axes,Frame,PlotStyle /. Opc /. Axes->False,Frame->True,PlotStyle-> AbsolutePointSize[3],RGBColor[1,0,0] ; g2 = Plot[curva, t,a,b ,DisplayFunction ->Identity, Axes ->ejes]; g1 = ListPlot[Pts,DisplayFunction ->Identity, Axes->ejes, Frame->marco, PlotStyle->estilo,Opc]; Show[g1,g2,DisplayFunction ->$DisplayFunction]]
{
{ } { {
11.3.2.
{
} } {
}
} }}
Ejemplo: regresi´ on lineal m´ ultiple
Ejemplo 11.3.1 Ejemplo tomado del libro: Algebra Lineal, de Arce, Castillo y Gonz´alez, Secci´on 9.2. Si y es el rendimiento del cultivo de trigo por hect´area y se hacen experimentos para medir c´omo inciden en ´el las variables citadas abajo. Adem´as, si suponemos que el efecto de cada una de estas variables en la producci´on de trigo es aditivo y que el modelo y = b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + b4 x4 + b5 x5 + permitir´a explicar la variable y en t´erminos de dichas variables: x1 : x2 : x3 : x4 : x5 :
Potasio y f´osforo(kg/Ha) Nitr´ogeno(kg/Ha) Acidez del suelo,PH Promedio de lluvia(cm2 ) Temperatura promedio.
Se desea estimar los par´ametros b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , para que el modelo: y = b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + b4 x4 + b5 x5 +
179
11.3 Regresi´ on Lineal
se ajuste lo mejor posible a los datos observados. Definici´ on de los datos observados y X
= =
{30,20,40,25,35,45,30,25,35,40}; {{1100,300,6.0,5,10}, {1000,200,4.0,7, 8}, {1200,350,6.7,8,10}, {1000,300,5.0,6, 8}, {1100,300,5.5,7, 9}, {1200,350,8.0,6,11}, { 900,300,4.0,5, 8}, { 700,400,3.5,3, 7}, {1200,350,6.0,7, 7}, {1300,350,7.0,6.5,10}};
A continuaci´on se define Xt como la matriz transpuesta de X , para que la f´ormula (X t X )−1 X t y resulte m´as f´acil de escribir. Xt = Transpose[X];
El siguiente paso en innecesario, pero con ´el se pretende reconocer la matriz X t X que debe invertirse, al calcular los par´ ametros b del modelo. Xt.X
7
6
1.173 10 3.425 10 3.425 106 1.05 106 61640. 18045. 66450. 19125. 95600. 28200.
× ×
× ×
61640. 66450. 95600. 18045. 19125. 28200. 329.39 346.1 505. 346.1 384.25 538. 505. 538. 792.
b = N[Inverse[Xt.X].Xt.y]
{−0.0146885, 0.0366669, 5.26194, 1.16539, 0.0201419} Luego (b1 , b2 , b3 , b4 , b5 ) = (−0.0146885, 0.0366669, 5.26194,
1.16539, 0.0201419). Por otra parte, la calidad de este ajuste es dado por:
180
Algebra Lineal con Mathematica
R = N[
Norma[X.b] ] Norma[y]
0.996714 En el siguiente gr´afico se representan los puntos (yi , ˆ yi ), donde yˆi = b 1 x1 +b2 x2 +b3 x3 +b4 x4 +b5 x5 , adem´as la recta identidad (la diagonal). As´ı se puede tener una idea geom´etrica de lo errores observados —distancia de los puntos a la diagonal— y reconocer que cuando un punto est´a muy cerca de la diagonal es porque yˆi es muy cercano a yi . Para construir el gr´afico observe que y,yˆ = y,X.b es una matriz cuyas dos filas son los vectores y y yˆ, la cual cuando se transpone produce una matriz con filas yi , ˆ yi , o sea la lista de puntos que se desean graficar.
{ } { { }
{
}
}
Puntos = Transpose[ y,X.b ];
{
}
PlotRL[Puntos,t, t,19,46 ]; 45 40 35 30 25 20 20
25
30
35
40
45
En el comando anterior Puntos es la lista de puntos a graficar, on de la funci´on identidad y = t (la curva t es una especificaci´ a graficar) y t,19,46 indica el rango de variaci´on para t.
{
}
181
11.3 Regresi´ on Lineal
11.3.3.
Ejemplo: ajuste de una recta
Ejemplo 11.3.2 Determinar la recta, y = a + bx, que mejor ajusta los puntos (x, y) en la tabla siguiente: x y
3 12
5 10
8 15
10 20
12 26
15 18
17 28
20 32
22 24
25 26
Ilustraci´ on gr´ afica del problema
{{
}{ }{ }{ }{
}{ }{
}{ }}
}{
}
Pts = 3,12 , 5,10 , 8,15 , 10,20 , 12,26 , 15,18 , 17,28 , 20,32 , 22,24 , 25,26 ;
{
g1 = ListPlot[Pts, Axes ->False, Frame ->True, PlotRange-> 2,26 , 8,34 , FrameTicks-> 3,5,8,10,12,15,17,20,22,25 , Automatic , PlotStyle-> AbsolutePointSize[3],RGBColor[1,0,0] ];
{{ {
{{
}{
}}
}
}
}
30 25 20 15 10 3
5
8 10 12
15 17
20 22
25
Se trata de encontrar la recta que mejor aproxima los puntos de este gr´afico, en el sentido de regresi´on lineal. C´ alculo de a y b usando regresi´ on lineal m´ ultiple:
{x,y} = Transpose[Pts]; X = Transpose[{Table[1,{10}],x}];
182
Algebra Lineal con Mathematica
Xt = Transpose[X]; TableForm[ %]
1 3
1 5
1 8
1 10
1 12
1 15
1 17
1 20
1 22
1 25
{a,b} = N[Inverse[Xt.X].Xt.y] {10.117, 0.80168} Norma[X.{a, b}] ] R = N[ Norma[y]
0.983305 Representaci´ on gr´ afica
{
}
g2 = Plot[a + b t, t,2,26 ]; ... el gr´ afico resultante fue omitido
Utilizando el gr´afico g1 definido anteriormente. Show[g1,g2]
30 25 20 15 10 3
5
8 10 12 15 17 20 22
25
C´ alculo de a y b usando regresi´ on lineal simple:
183
11.3 Regresi´ on Lineal
Los vectores de datos x y y fueron definidos arriba:
{
}
N[ Media[x], Media[y] ]
{13.7,21.1} Xc = N[Centra[x]]
{-10.7, -8.7,
}
-3.7, -1.7, 1.3, 3.3, 6.3, 8.3, 11.3
Yc = N[Centra[y]]
{−9.1, −11.1, −6.1, −1.1, 4.9, −3.1, 6.9, 10.9, 2.9, 4.9} .Xc b = Yc Xc.Xc 0.80168 a = Media[y]- b Media[x]
10.117 El ´ındice de calidad del ajuste, en este caso es: R = N[
Norma[bXc] ] Norma[Yc]
0.811039 Lo cual difiere del calculado con la estimaci´on por regresi´on lineal m´ ultiple, dado que en este los datos no est´an centrados y m´as bien corresponde a: R = N[
Norma[a + bx] ] Norma[y]
0.983305
{ }{
}
PlotRL[Pts, a + b t, t, 2, 26 , PlotRange-> 2,26 , 8,34 , FrameTicks -> 3,5,8,10,12,15,17,20,22,25 ,Automatic , PlotStyle-> AsolutePointSize[3], RGBColor[0,0,1] ];
{{
{{ {
}}
}
}
}
184
Algebra Lineal con Mathematica
30 25 20 15 10 3
11.3.4.
5
8 10 12
15 17
20 22
25
Primitiva Fit
Mathematica incluye
una funci´on denominada Fit que permite ajustar cualquier curva a un cierto conjunto de datos. Por ejemplo, para determinar la recta y = a 1 + bt que mejor ajusta los datos del ejemplo 11.3.2 (P´agina 181), basta transmitir el comando:
{ }
Fit[Pts, 1,t , t]
0.80168t + 10.117 En este caso se supone que Pts es la lista de coordenadas de los puntos involucrados seg´un se definieron en el ejemplo 11.3.2. Por otra parte, para resolver el problema de regresi´on lineal m´ ultiple en el ejemplo 11.3.1, se debe construir una matriz que denominaremos Datos, cuyas primeras columnas corresponden a las variables explicativas y la ´ultima a la variable a explicar (y). En este caso suponemos que la matriz X y el vector y fueron definidos como en el ejemplo 11.3.1: Datos = Transpose[Append[Transpose[x],y]]; Transpose[Datos]
185
11.3 Regresi´ on Lineal
1100 1000 1200 1000 1100 1200 900 700 1200 1300 300 200 350 300 300 350 300 400 350 350 6 4 6.7 5 5.5 8 4 3.5 6 7 5 7 8 6 7 6 5 3 7 6.5 10 8 10 8 9 11 8 7 7 10
Observe que esta matriz es la matriz Datos pero en forma transpuesta y se muestra as´ı para economizar papel al imprimir estos materiales. Dada esta matriz, el problema se resuelve con la orden:
{
}{
}
Fit[Datos, x1,x2,x3,x4,x5 , x1,x2,x3,x4,x5 ]
−0.0146885x1 + 0.0366669x2 + 5.26194x3 + 1.16539x4 + 0.0201419x5
11.3.5.
Ejemplo: ajustes por polinomios
Ejemplo 11.3.3 Ejercicio 6, Algebra Lineal, Arce, Castillo y Gonz´ alez: Los datos de la tabla siguiente representan el caudal promedio del R´ıo Macho, para cada mes, medidos en la Estaci´ on de Bel´en, en un estudio que abarc´o 10 a˜ nos.(Datos suministrados por el ICE). Mes Caudal (m3 /s) Mes Caudal (m3 /s)
May 1 1.88
Jun 2 3.5
Jul 3 3.84
Ago 4 4.61
Set 5 5.2
Oct 6 4.89
Nov 7 3.89
Dic 8 3.38
Ene 9 2.02
Feb 10 1.35
Mar 11 1.02
Abr 12 1.14
Determine la funci´on cuadr´atica del mes(como enteros del 1 al 12)que mejor explica el caudal del r´ıo.
186
Algebra Lineal con Mathematica
Primera soluci´ on: x y
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}; {1.88,3.5,3.84,4.61,5.2,4.89,3.89,3.38, 2.02,1.35,1.02,1.14};
= =
Ajuste de los datos por un polinomio de 2do. grado: y = a 0 + a1 x + a2 x2 + X = Transpose[ 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 ,x,x2 ];
{{
}
}
Xt = Tanspose[X]; TableForm[Xt]
1 1 1
1 2 4
{
1 3 9
1 4 16
1 5 25
1 6 36
1 7 49
1 8 64
1 9 81
1 10 100
1 11 121
1 12 144
}
a = a0,a1,a2 = N[Inverse[Xt.X].Xt.y]
{1.67636, 1.01319, −0.096039} R = N[
Norma[X.a] ] Norma[y]
0.98187 Representaci´ on gr´ afica:
{ }
Puntos = Transpose[ x,y ]; PlotRL[Puntos, a0 + a1t + a2t2 , t,0,13 , PlotStyle-> AbsolutePointSize[3],RGBColor[1,0,0] , Frame->False, Axes->True];
{
{
}
}
187
11.3 Regresi´ on Lineal
5 4 3 2 1
2
4
6
8
10
12
-1
Segunda soluci´ on La numeraci´on de los meses comenzando con mayo igual a 1 es un tanto arbitraria, podr´ıamos escoger el mes 1 como setiembre (el m´as lluvioso) y hacer el estudio avanzando el tiempo de la ´epoca m´as lluviosa a la ´epoca seca hasta llegar a la m´as lluviosa nuevamente: x y
= =
{8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7}; {1.88,3.5,3.84,4.61,5.2,4.89,3.89,3.38, 2.02,1.35,1.02,1.14};
Al ajustar ahora por un polinomio de 2do. grado y = a + bx + cx2 + se obtiene: X = Transpose[ 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 ,x,x2 ];
{{
}
}
Xt = Tanspose[X]; TableForm[Xt]
1 8 64
1 9 81
{
1 10 100
1 11 121
}
1 12 144
1 1 1
1 2 4
1 3 9
1 4 16
a = a0,a1,a2 = N[Inverse[Xt.X].Xt.y]
1 5 25
1 6 36
1 7 49
188
Algebra Lineal con Mathematica
{6.43045, −1.58322, 0.127762} R = N[
Norma[X.a] ] Norma[y]
0.990792 Observe que a. 1,t,t2 produce el polinomio buscado, lo cual se usar´a en el siguiente comando PlotRl para obtener la representaci´on gr´afica.
{
}
a. 1,t,t2
{
} 0.127762t2 − 1.58322t + 6.43045 Pts = Transpose[{x,y}] PlotRL[Pts, a .{1, t, t2 },{t, 0, 13}, PlotStyle->{AsolutePointSize[3],RGBColor[1,0,0]}, Frame->False, Axes->True]; 7 6 5 4 3 2 1
2
4
6
8
10
12
Tercera soluci´ on Por otra parte, en el primer gr´afico, tambi´en se observa que comenzando la numeraci´ on en el mes de Junio (o Julio), mes de transici´on de verano a invierno, los datos parecen explicarse mejor mediante un polinomio de tercer grado.
189
11.3 Regresi´ on Lineal
x y
= =
{11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; {1.88,3.5,3.84,4.61,5.2,4.89,3.89,3.38, 2.02,1.35,1.02,1.14};
Ajuste por un polinomio de 3er.grado: y = a 0 + a1 + a2 x2 + a3 x3 + Xt = Transpose[ 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 ,x,x2 ,x3 ];
{{
}
1 111 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 121 144 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 1331 1728 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
X = Transpose[Xt]
}
a = N[Inverse[Xt.X].Xt.y]
{1.79939, 2.51239, −0.565196, 0.0306605} R = N[
Norma[X.a] ] Norma[y]
0.999247 Luego el polinomio resultante es: a. 1,t,t2 ,t3
{
0.0306605t3
}
− 0.565196t2 + 2.51239t + 1.79939
Representaci´on gr´afica:
{ }
Puntos = Transpose[ x,y ]; PlotRL[Puntos,a. 1,t,t2 ,t3 , t,0,13 , PlotStyle-> AbsolutePointSize[3],RGBColor[1,0,0] , Frame->False, Axes->True];
{
{
} {
}
}
190
Algebra Lineal con Mathematica
6 5 4 3 2 1
2
4
6
8
10
12
Soluci´ on utilizando la primitiva Fit La siguiente es la soluci´on de la primera y tercera versi´on de este problema, utilizando el comando Fit.
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}; {1.88,3.5,3.84,4.61,5.2,4.89,3.89,3.38, 2.02,1.35,1.02,1.14}; Fit[Transpose[{x,y}],{1,t,t2 },t] −0.096039t2 + 1.01319t + 1.67636 x = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}; y = {1.88,3.5,3.84,4.61,5.2,4.89,3.89,3.38, 2.02,1.35,1.02,1.14}; Fit[Transpose[{x,y}],{1,t,t2 ,t3 },t] −0.0306605t3 − 0.565196t2 + 2.51239 + 1.79939 x y
= =
11.4.
Valores y vectores propios
Mathematica dispone
de las primitivas Eigenvalues[A] y
191
11.4 Valores y vectores propios
Eigenvector[A] para calcular los vectores y valores propios
de una matriz A. Sin embargo nosotros, por inter´es did´actico, hemos preferido efectuar paso a paso todo el proceso de c´omputo de ´estos. Para este prop´osito al definir la matriz A conviene, en primer t´ermino, dar un nombre m´as corto a la matriz identidad del orden correspondiente, en este caso 3 3:
×
I3 = IdentityMatrix[3]; A =
− −
1 2 4
11.4.1.
−2 4 −4 −2 −2 −1
;
Polinomio caracter´ıstico
El c´alculo del Polinomio caracter´ıstico de la matriz A y su factorizaci´on, permite conocer las ra´ıces de este que corresponden a los valores propios de A: Det[A - λ I3 ]
−λ3 − 6λ2 + 15λ + 100 %//Factor
−(λ − 4)(λ + 5)2 Naturalmente, el proceso anterior se efect´ua en un solo paso con la orden Det[A - λ I3 ]//Factor. Por otra parte, este procedimiento de b´usqueda de ceros para el polinomio caracter´ıstico, s´olo tiene inter´es did´actico, porque en la pr´actica con frecuencia los valores propios de una matriz no son n´umeros enteros y este fallar´ıa. Para determinar aproximaciones num´ericas a ra´ıces reales de una ecuaci´on, se recomienda usar el procedimiento FindRoot, aunque para ecuaciones polin´omicas NSolve tambi´en produce buenos resultados. La ayuda en l´ınea de Mathon sobre la forma de usar estos comanematica provee informaci´
192
Algebra Lineal con Mathematica
dos.
11.4.2.
Espacios caracter´ısticos
El espacio caracter´ıstico asociado al valor propio λ = 5, corresponde a la soluci´on del sistema homog´eneo (A+5I )x = 0:
−
RowReduce[A + 5I3 ]
1 0 0
−
1 2
1 0 0 0 0
Luego las soluciones del sistema homog´eneo (A + 5I 3 )x = 0 son de la forma: ( 12 t s,t,s) para cualquier t I R y s I R. Dos vectores que generan este espacio son: ( 1, 0, 1) y (1, 2, 0).
−
−
∈
∈
Tambi´en el procedimiento NullSpace da una base del espacio caracter´ıstico, directamente: NullSpace[A + 5I3 ]
−
1 0 1 1 2 0
C´ alculo de una base para el espacio caracter´ıstico asociado al valor propio λ = 4: NullSpace[A + 4I3 ]
{2, −1, 2 } 11.4.3.
Ortonormalizaci´ on de una base
Si el proceso de diagonalizaci´on de la matriz es ortogonal (require que la matriz A sea sim´etrica), se deben obtener bases ortonormales para cada subespacio caracter´ıstico. Observe que la base obtenida para el espacio propio asociado a λ = 5 no
−
193
11.4 Valores y vectores propios
es ortonormal, por lo que se requiere, a partir de ´esta, obtener una que lo sea.
{u1,u2} = NullSpace[A −1 0 1
1 2 0
√
+ 5I3 ]
v1 = u1/ u1.u1
{− √ 12 , 0, √ 12 } v2p = u2 -(u2.v1)v1
{ 12 , 2, 21 }
√
v2 = v2p/ v2p.v2p
1
√
2 2 1 , , 3 3 2 3 2
√
11.4.4.
√
Diagonalizaci´ on ortogonal de
A
Seg´ un la teor´ıa conocida, la matriz P ortogonal tal que A = P DP t , donde D es matriz diagonal de los valores propios, es construida a partir de las bases ortonormales de los espacios caracter´ısticos. Espec´ıficamente, los vectores columna de la matriz P que diagonaliza ortogonalmente a A, son una base ortonormal compuesta por la union de las bases ortonormales de los respectivos espacios propios:
{
{
} }
P = Transpose[ v1,v2, 2,-1,2 /3 ]
−
√ 12 0
√ 12
1 √ 3√ 2 2 2 3 1
√
3 2
−
2 3 1 3 2 3