ejercicios resueltos cinética

4

El movimiento Actividades 1. Estás en una nave espacial sin ventanas, junto a una silla y una pelota. a) ¿Cómo sabes si estás en movimiento? b) Se abre una ventanilla y observas acercarse otra nave. ¿Cuál de las dos se b) mueve? a) Si el movimiento de la nave tiene lugar a velocidad constante no es posible detectarlo desde el interior. Si la velocidad no fuese constante entonces observaríamos el efecto de la inercia (la tendencia de los cuerpos a permanecer en reposo o a continuar desplazándose con velocidad constante si sobre ellos no actúa una fuerza exterior; véase la Unidad 5, página 136) sobre nosotros mismos, sobre el balón o, si la aceleración es suficientemente grande, sobre la silla: tanto nosotros como ambos objetos tenderíamos a desplazarnos en dirección opuesta a la de la aceleración. b) Dependerá de donde coloquemos el sistema de referencia: si lo situamos en nuestra nave, observaremos que es la nave que se nos acerca la que se mueve, en tanto que, si el sistema de referencia lo situamos en la otra nave, será la nuestra la que se mueva hacia ella. 2. Identifica cuántas dimensiones necesitas, como mínimo, para describir los siguientes movimientos: a) Un a) Un lanzamiento a canasta. b) El b) El disparo de una bala. c) El c) El vuelo de una mosca. d) Una d) Una carrera de motos. e) Los e) Los 100 metros me tros lisos. f) Un f) Un viaje a Marte. a) Basta con dos dimensiones, ya que el balón se desplaza en todo momento dentro de un plano: el que contiene a la canasta, al pie de la canasta y al jugador. El sistema de referencia podría tener su origen, por ejemplo, en los pies del jugador y los ejes podrían ser: la línea que une los pies del jugador con el pie de la canasta (eje X) y la línea vertical que parte de los pies del jugador (eje Y) [véase la figura de la página 111]. b) Depende de dónde impacte la bala. En un disparo a corta distancia la bala sigue una línea prácticamente recta desde que sale del arma hasta que llega al blanco. En ese caso basta una dimensión para describir su movimiento. Por el contrario, si la bala no alcanza su blanco rápidamente su trayectoria se curva por el efecto de la fuerza de gravedad (como en el caso de la pelota lanzada a canasta). En ese caso, también hacen falta dos dimensiones.

© Mcgraw-Hill Education

1-1

Física y Química 3.º ESO. Solucionario

4

El movimiento c) El vuelo de una mosca requiere, en general, tres dimensiones. Si tiene lugar en el interior de una habitación, por ejemplo, podríamos tomar como origen de nuestro sistema de referencia una de las esquinas de la habitación y, como ejes, las tres aristas que parten de la misma. d) En principio, podríamos decir que, si el circuito en que tiene lugar la carrera es plano, bastan dos dimensiones para describir en cualquier momento la posición de una moto, mientras que, si el circuito tiene relieve, son necesarias tres dimensiones. No obstante, en la práctica lo único relevante en una carrera de motos en un circuito cerrado es el número de vueltas que ha dado cada moto (incluyendo la fracción de la última vuelta, parcialmente completada). Por ejemplo, el líder puede haber recorrido 6,4 vueltas; el segundo clasificado, 6,2 vueltas; el tercero, 5,9; etc. Desde este punto de vista, el movimiento puede ser descrito con una sola dimensión. e) La carrera de 100 metros lisos se disputa en línea recta: basta, por tanto, con una dimensión. f) Dado que un viaje a Marte no tendría lugar en línea recta ni dentro de un plano se precisarían tres dimensiones para describirlo. 3. Bea, Celia y Patricia son hermanas que acuden al mismo instituto. Como tienen diferentes amigas, realizan tres diferentes caminos, denominados A, B y C. a) ¿Han a) ¿Han realizado la misma trayectoria las tres h ermanas? b) ¿Cuál b) ¿Cuál crees que ha sido el desplazamiento en cada caso?

Un día al mediodía, Bea se queda a comer, pero sus hermanas vuelven a casa juntas por el camino c amino C. c) ¿Cuál crees que ha sido el desplazamiento y la distancia recorrida por cada c) hermana desde que salieron? d) ¿Crees d) ¿Crees que en algún caso coinciden desplazamiento y distancia recorrida?


2-1


4

El movimiento a)

Cada hermana ha llegado al Instituto siguiendo una trayectoria distinta.

b) El desplazamiento en los tres casos ha sido el mismo, pues las tres hermanas han partido de su casa (posición inicial) y han acabado en el Instituto (punto final). c) En el caso de Patricia y Celia el desplazamiento es cero, ya que parten de su casa y regresan a ella. En el caso de Bea (que no vuelve a casa, sino que se queda en el instituto) el desplazamiento (!r ) es la longitud del segmento que une su casa con el instituto. Utilizando el teorema de Pitágoras y las distancias indicadas en el mapa: !! !"#

!

!"""

!

!

!

!""

!

!

!

!"#$ ! !

!

Para calcular la distancia recorrida por Patricia basta con sumar las longitudes de todos los segmentos que integran las trayectorias A y C: ! !"#$%&%"

!

!""

!

! !""

!

! !""

!

! !""

!

! !""

!

! !""

!

! !""

!

! !"""

!

!

!"""

!

De la misma manera, para calcular la distancia recorrida por Celia hay que sumar las longitudes de los segmentos que integran las trayectorias B y C: ! !"#

%$!

!"#$ ! !

!

! !""

!

! !"""

!

!

!"#" ! !

!

Por su parte, la distancia recorrida por Bea (que, recordemos, no vuelve a casa) es simplemente la suma de las longitudes de los segmentos que integran la trayectoria C: ! !"#

!

!""

!

! !"""

!

!

!"##

!

d) Como se deduce de las respuestas al apartado anterior, en ningún caso coinciden desplazamiento y distancia recorrida. Solo si consideramos únicamente el trayecto de ida ida de Celia desde su casa hasta el instituto (camino B) coinciden desplazamiento y distancia recorrida, ya que la trayectoria es una línea recta (sin cambios de sentido).

4. En la tabla adjunta puedes leer la velocidad que alcanzan algunos animales en km/h. ¿A qué animal crees que nos referimos en los siguientes casos? a) 20 a) 20 m/s b) 666,6 m/min c) 0,416 c) 0,416 km/min d) 0,028 km/s. animales

Velocidad (km/h)

leopardo

100

gacela

72

oso

25

león

65

perro

40

Como las velocidades de la tabla vienen en km/h hemos de pasar cada una de las velocidades del problema a esas unidades: !

!

!

!

!"

! !"

!

!

!

!"""

!

!"##

!

!!

! !

!"

!" !


3-1


4

El movimiento Esta velocidad corresponde a la gacela. !!

!

!

!!! ! !

! !"

!

!

!"#

!"""

!" !"#

!

!

!!

!

!"

!"

!

Esta velocidad corresponde al perro. !

!

!

!

! !"# !

!" !"#

!" !"#

!

!!

!"

!"

!

!

Esta velocidad corresponde al oso. !!

!

!

! !"#

!" !"## !

!

!

!

!!

!

!""

!" !

Esta velocidad corresponde al leopardo.

5. Observa la tabla y responde. ¿Podrías expresar la velocidad del leopardo en cm/s? !

!

!""

!" !

!

!!

!

!"##

! " !

!

!" !

! !"

!

! !" ! ! "

!"

!

!

6. La ciudad de Valencia está separada de la de Castellón 90 km. A 30 km de Valencia hay una gasolinera desde la que sale un coche, en sentido hacia Castellón, que tarda 50 minutos en llegar. Calcula la velocidad a la que se mueve, considerando el origen en la gasolinera. Repítelo colocando el origen en Valencia. El objetivo del problema es que el alumno se dé cuenta de que, independientemente de qué sistema de referencia escojamos para describir el movimiento, la velocidad debe ser la misma. En ambos casos usamos un sistema de referencia de una sola dimensión. En el primer caso (en que el origen está situado en la gasolinera), la posición inicial (la gasolinera) está situada en 0 km y la posición final (Castellón) está situada en 60 km. Obsérvese que, puesto que el sistema de referencia es unidimensional, basta una única coordenada para describir la posición. (La ciudad de Valencia está en "30 km, pero no interviene en el cálculo.) Por tanto, el desplazamiento es: !!

!

!!"#

%$! !!"!#!

%$!

!" !"

! ! !"

!

!" !"

Así pues, la velocidad es: !" !"

!! !

!

!!

!

!" !"#

!" !" !

!" !"#

!! !"#

!

!!

!

!"

!" !

En el segundo caso (en que el origen está situado en Valencia), la posición inicial (la gasolinera) está situada en 30 km y la posición final (Castellón) está situada en 90 km. Por tanto, el desplazamiento es: !!

!

!!"#

%$! !!"!#!$!

!

!" !"

! !" !"

!

!" !"

Así pues, la velocidad es, como era de esperar, la misma: 72 km/h.


4-1


4

El movimiento 7. Busca información y determina la velocidad del récord del mundo masculino y femenino de los 100 metros lisos, en km/h y en m/ s. En el caso de los hombres el record del mundo, que posee Usain Bolt, está en 9,58 segundos. La velocidad es, por tanto: !""

!! !

!

!

!!

!

! !" !

!

!

!" !!

!

!

!

En km/h su valor es: !""

!! !

!

!!

!

! !" !

! !"

!

!

!

!"""

!"##

!

!

! !

!!

!" !"

!

!

!

Entre las mujeres el record del mundo de los 100 metros lisos, que posee Florence Griffith Joyner, está en 10,49 segundos. La velocidad es, por tanto: !""

!! !

!

!!

!

!

!" !" !

!

! !"

!

!

!

!

En km/ h su valor es: !""

!! !

!

!

!!

!" !" !

! !"

!

!

!

!"""

!"##

!

!

!!

! !

!" !"

!

!

!

8. En un mercado, un ladrón te roba la cartera y sale corriendo a una velocidad de 20 m/s. Diez segundos después, cuando vas a pagar lo que estabas comprando, te das cuenta del robo. ¿Podrías situar la posición del ladrón? Razona mediante un diagrama tu respuesta. Es imposible situar la posición exacta del ladrón ya que no conocemos su velocidad, sino únicamente el módulo de la misma, es decir, su rapidez o celeridad. El ladrón podría encontrarse en cualquier punto de una circunferencia de radio 200 metros en torno al punto en que cometió el robo, ya que ese es su desplazamiento: !! !

!

!!

!

!!

!

!

! !!

!

!"

!

!

! !" !

!


!""

!

5-1


4

El movimiento 9. Haz una tabla donde expreses la celeridad y la velocidad a la que te mueves para recorrer las siguientes distancias: 10 m E, 40 m S, 30 m O y 40 m N, si tardas 3 s, 12 s, 14 s y 15 s, respectivamente. ¿A qué distancia de tu punto de partida has terminado tu movimiento? Dibuja el recorrido realizado. Tramo 1

Celeridad !" !

!

!

! !

! !!

Velocidad !

!

!

!

Dirección: E-O Sentido: E Módulo: ! !!

!

!

2

!" !

!

!"

! !

! !!

!

!

!

!

Dirección: N-S Sentido: S Módulo: ! !!

!

!

3

!" !

!

!"

! !

!

! !"

!

!

!

4

!

!

!"

! !

!

! !"

!

!

!

!

Dirección: E-O Sentido: O Módulo: ! !"

!

!

!"

!

!

Dirección: N-S Sentido: N Módulo: ! !"

!

!

!

El movimiento termina 20 m al Oeste del punto de partida.


6-1


4

El movimiento 10. ¿Puede ser la velocidad instantánea diferente de la velocidad media? Naturalmente: siempre que, a lo largo de un movimiento, se produzcan cambios en el módulo o la dirección de la velocidad, habrá momentos en que la velocidad instantánea difiera de la velocidad media en el conjunto del movimiento. 11. ¿Podrías decir en qué tipo de movimiento coincide siempre la velocidad media con la velocidad instantánea? Para que la velocidad instantánea coincida en todo momento con la velocidad media es preciso que el movimiento tenga lugar con celeridad constante y, además, que no cambie nunca la dirección, es decir, que el movimiento sea rectilíneo. 12. Un ciclista ha recorrido 10 km en 15 minutos, otro ha recorrido 12 km en 16 minutos y un tercero, 1 000 metros en 90 segundos. ¿Cuál de los tres se ha movido con mayor celeridad? Para resolverlo hemos de pasar las celeridades de los tres ciclistas a magnitudes homogéneas para poder comparar. !" !" !!

!

!!

!

!" !"#

!"""

!

!" !" !" !"#

!

! !" !"""

!

!

!"

!"

!! !!

!

!

! !

!

!"

!

!" !"

!

! !

!

!

!! !!

!

!

! !"#

!

! !"

!""" !!

! !"#

!

!

!

!

!

El segundo ciclista es el que se ha movido con mayor celeridad. 13. Un camión ha recorrido los 16 km que separan la fábrica del almacén en 12 minutos por una carretera cuyo límite es de 80 km/h. ¿Ha incumplido el límite de velocidad? La velocidad media del camión ha sido: !" !" !

!

! " !"#

!" !"#

!

!

!!

!"

!" !

Que la velocidad media sea 80 km/h no implica que el camión haya respetado el límite de velocidad en todo momento. De hecho, dado que inicialmente ha tenido que acelerar desde 0 km/h hasta 80 km/h, es decir, dado que durante un cierto tiempo su velocidad instantánea ha sido inferior a 80 km/h, debe haber habido otro tramo en que su velocidad instantánea ha superado este límite. 14. Un guepardo asiático es capaz de pasar de 0 a 100 km/h en 3,5 segundos, más rápido que muchos coches deportivos. ¿Qué aceleración máxima posee? Expresamos primero la velocidad final en m/s: !!"#

%$!

!""

!" !""" ! !

!

! !"

!!

!

!"##

!

!" !"

!


!

!

!

7-1


4

El movimiento 17. Una moto se mueve de acuerdo a la gráfica siguiente. Determina la aceleración de cada tramo.

En el primer tramo (desde 0 s hasta 20 s) la moto pasa de 0 m/s a 30 m/s. Por tanto: !

!

!!

!

!"

!!

! !

!"

!

!!

!

! !

!!!

!

!! !

!

!

En el segundo tramo (entre 20 s y 30 s) la moto pasa de 30 m/s a 25 m/s. Por tanto: !"

!! !

!

! !

!!

!

!"

!

! !"

!

! !

! !" !

!! !

!

!

!

!

18. Un coche que circula a 54 km/h acelera a 2 m/s 2 durante 5 segundos. Representa la gráfica v-t que se obtendrá en dicho tiempo. La gráfica v-t de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es una línea recta cuya pendiente es la aceleración del movimiento. En este caso, la velocidad inicial, expresada en m/s, es: !

!

!"

!" !""" !

!

!

! !"

!!

!

!"##

!

!"

!

!

!

Par calcular la velocidad al cabo de 5 segundos utilizamos la fórmula: !

Uniendo los puntos

!

!!

!"

!

!

!

y

!!

!

!

!!

!

! !

!"

!

!

!

!"

!

!

!!

!

!

! ! ! !

!

!"

!

!

se obtiene la gráfica v-t del movimiento:


9-1


4

El movimiento

Puede comprobarse fácilmente que la pendiente es la aceleración, 2 m/s 2. 19. Un avión que aterriza a 360 km/h debe detenerse en 20 segundos. ¿Qué aceleración posee? Representa la gráfica velocidad frente al tiempo La velocidad inicial es: !!"!#!

%$!

!"#

!" !""" !

!

!!

!

!

! !"

!"##

!

!""

!

!

!

Puesto que el avión se detiene su velocidad final es 0 m/s. Por tanto: !!

!

! !"#

%$! !!"!#!

%$!

!

!

!

! !""

! !

!

!!""

!

!

Así pues, la aceleración es: !!""

!! !

!

!!

!

!"

La gráfica v-t se obtiene uniendo los puntos recta de pendiente -5 que parta del punto

!

! !

!

! !!

!

!!

!!

!""

!""

!

! !

!

!

!

!

y

!"

!!

!

!

!

(o bien, trazando una

):


10-1


4

El movimiento

20. Con qué velocidad llegará al suelo un cuerpo que cae desde 50 m de altura y con una masa de: a) 20 kg b) 50 kg c) ¿Qué crees que ocurriría si hiciéramos ese mismo experimento en la superficie lunar? a) Los datos del problema son: x 0 = 50 m; v 0 = 0 m/s (el cuerpo parte del reposo a 50 m de altura); x = 0 m (estamos interesados en la velocidad del cuerpo al llegar al suelo, v ). Utilizamos la ecuación: !

!

!

!!

!

! ! ! ! ! !

En este caso, como el cuerpo desciende, e es negativo: !

!

!

! !!

!

!

!

! !" !

!

!!" !

Entonces: !

!

!

!

!

!

! ! ! ! !

!

!

!

!

!

! !!" !

!

!"#

!

!

!

!

Así pues: !

!

!

!"#

!

!

!

!

!

!!" !"

!

!

!

Tomamos la raíz negativa porque el cuerpo desciende. b) Como puede verse, las fórmulas utilizadas no incluyen la masa. Por tanto, la solución del apartado b es la misma que la del apartado a.


11-1


4

El movimiento c) En la Luna las ecuaciones son las mismas, pero el valor de g (la aceleración debida a la fuerza de gravedad) es menor (ya que la masa de la Luna es mucho menor que la de la Tierra). Por tanto, los cuerpos llegarían a la superficie con una velocidad menor.

Experimenta 1. Velocidad, espacio y tiempo Para afianzar el concepto de velocidad, te proponemos la siguiente actividad: Ve a tu centro escolar o instituto por un mismo camino, pero de tres formas diferentes: caminando, corriendo y en bicicleta. En los tres casos, obviamente, la distancia que recorres es la misma; sin embargo, el tiempo que tardas en recorrerla varía sustancialmente. El primer día, ve en bicicleta, dotada de cuentakilómetros. Marca siete puntos de referencia y determina la distancia (en metros) desde tu casa a cada uno de ellos. De esa forma, conocerás tanto la distancia total al centro escolar como las parciales de diferentes puntos de referencia. Durante los tres días siguientes, realiza el mismo recorrido de diferente forma, tomando medidas de los tiempos que tardas al pasar por cada uno de los puntos de referencia. Con ellos rellenarás una tabla e spacio-tiempo. Distancia (m)

Día 1 t (s)

Día 2 t (s)

Día 3 t (s)

Para concluir, representa los datos de la tabla en un mismo gráfico, indicando el espacio recorrido en las ordenadas y el tiempo empleado en las abscisas. Por último, responde a las siguientes cuestiones: a) ¿Qué tipo de gráficas has obtenido? Ajusta cada una, obtén la función que la describe y di qué conclusiones obtienes de ellas? b) ¿A qué atribuyes que el primer punto de la primera gráfica se desvíe de la recta que ha salido? c) ¿A qué magnitud del movimiento crees que puede corresponder la pendiente de las rectas? En el caso de que te sea imposible realizar el experimento,¡ toma la siguiente tabla como resultado del mismo.

Distancia (m)

Día 1

Día 2

Día 3

t (s)

t (s)

t (s)

150

34

50

125

350

74

117

292


12-1


4

El movimiento 500

104

167

417

700

144

234

584

950

194

317

792

1 200

244

400

1 000

En esta tarea aplicamos lo aprendido en la Unidad 1 sobre representación gráfica de datos y funciones a un problema de movimiento. La gráfica correspondiente a la tabla de datos que da el texto es:

Las gráficas que se obtienen, en los tres casos, son rectas que pasan por el origen. Las funciones que las describen son del tipo (véase la sección 3.1. de la Unidad 1): !

!

! ! !

En este caso, deberíamos escribir más bien: !

!

! ! !

Para determinar el valor de k seguimos el procedimiento propuesto en la sección 3.1. de la Unidad 1 del libro. Por ejemplo, en el caso del Día 1 (bicicleta), añadimos a las dos columnas de la tabla, t y x , la columna: !

!

!

!


13-1


4

El movimiento Así, obtenemos: t (s)

34

74

104

144

194

244

x (m)

150

350

500

700

950

1200

k = x/t

4,41

4,73

4,81

4,86

4,90

4,92

El valor medio de los términos de la última fila es: !

!

! !!

!

!

!

Repitiendo los mismos cálculos con los datos de los otros días obtenemos, para el Día 2 (corriendo): !

!

! !!

!

!

!

Y para el Día 3 (andando): !

!

! !"

!

!

!

Evidentemente, la magnitud a la que corresponde la pendiente de las rectas, k , es la velocidad del movimiento. Es más apropiado, por tanto, escribir la función de la siguiente forma: !

!

!

! !

El hecho de que el primer valor de v en la gráfica del Día 1 (4,41 m/s) sea significativamente menor que los otros puede atribuirse a que, durante los primeros segundos, la velocidad media de la bicicleta es algo menor que en los intervalos posteriores, ya que parte del reposo y debe acelerar hasta alcanzar la “velocidad de crucero” de 4,8 m/s. 2. Siente la aceleración Sube a un coche con un adulto y, con la ayuda de un cronómetro, anota los datos del cambio de velocidad y el tiempo empleado durante esos cambios, de manera que, en cada variación de 10 km/h, anotes el tiempo em pleado. Con los datos anotados, y repetidos en varias ocasiones, decides construir una tabla de doble entrada, velocidad-tiempo, que podría ser como esta: velocidad (km/h)

0

20

40

60

80

100

120

tiempo (s)

0

4

8

12

16

20

24

Contesta y razona las siguientes cuestiones: a) Construye la misma tabla con la velocidad expresada en metros por segundo frente al tiempo en segundos. b) Representa los datos de la tabla del apartado a) en un sistema de ejes cartesianos, colocando la velocidad en o rdenadas y el tiempo, en abscisas.


14-1


4

El movimiento c) ¿Qué tipo de gráfica has obtenido? d) ¿A qué magnitud se corresponde el valor de la pendiente de la recta? a) v (m/s)

0

5,56

11,11

t (s)

0

4

8

16,67 22,22 27,78 33,33 12

16

20

24

b)

c) La gráfica es la de una recta que pasa por el origen, es decir, se trata de una función proporcional (ver sección 3.1. de la Unidad 1). d) La pendiente de la recta corresponde a la aceleración. En este caso, a = 1,39 m/s 2.


15-1


4

El movimiento El laboratorio en el aula 1. Sistemas de referencia Aparta todas las mesas del aula y _ jate en las baldosas del suelo. Cinco alumnos se sitúan sobre la baldosa que deseen. Vamos a localizar sus posiciones en dos SR. a) Toma como origen la baldosa del extremo de la puerta y, como ejes, las paredes. b) Toma como origen una de las baldosas del centro del aula y, como ejes, la fi la y columna que, pasando por el origen, son paralelas a las paredes. Toma el sentido positivo de cada eje como el que se aleja de la puerta. Localiza las posiciones de los compañeros en cada uno de los SR. ¿Son las mismas? c) Cada uno de esos cinco alumnos se toma a sí mismo como origen y escoge los ejes como quiera, pero perpendiculares entre sí. Con ese SR, localiza al resto de compañeros. d) De todos los SR, ¿cuál es el mejor? ¿Hay alguno que consideres privilegiado? Con esta actividad se pretende que el alumno sepa lo que es un sistema de referencia de forma experimental y motivadora. Así mismo, se pretende que interiorice que, si bien el punto del espacio que ocupa un cuerpo es invariante, la posición (descrita por las coordenadas) depende del sistema de referencia elegido. En el apartado d) debe insistirse en que ningún sistema de referencia es “mejor” que otro. No obstante, un sistema de referencia puede considerarse preferible a otros si, por ejemplo, la forma matemática que adopta alguna ley física es más sencilla en él. 2. Miniolimpiadas Con la ayuda de vuestro profesor de Educación Física, vamos a organizar unas miniolimpiadas de atletismo con carreras de 100 metros. En grupos de cuatro o cinco alumnos, con la ayuda de un cronómetro, anotad el tiempo que tardáis cada uno en recorrer los 100 m. a) Calcula la velocidad (en m/s) a la que cada uno recorre los 100 m. b) Calcula la velocidad en km/h. c) Busca información de las velocidades del récord del mundo y del récord de España de 100 m. Compáralas con las obtenidas por todos los componentes de vuestro grupo. ¿A quién elegiríais como representante de vuestras miniolimpiadas? d) Haz una representación gráfica de las velocidades obtenidas en la carrera por todos los alumnos de tu grupo.


16-1


4

El movimiento El objetivo es que los alumnos interioricen el concepto de velocidad como cociente entre el desplazamiento efectuado en un movimiento y el tiempo invertido en realizarlo, aplicándolo a una actividad cotidiana y en un entorno lúdico. La representación del apartado d) es de carácter distinto a la mayor parte de las representaciones de la Unidad. No se trata de un gráfico x-t o v-t. El alumno puede poner en juego su competencia matemática y dibujar, por ejemplo, un histograma, tratando la velocidad (con sus valores agrupados en intervalos de clase) como una variable estadística continua, y el número de alumnos en cada intervalo, como las frecuencias.

Mapa conceptual Copia este mapa en tu cuaderno y añade las fórmulas para calcular velocidad, aceleración y espacio recorrido. Incluye también algunos ejemplos de movimientos.

Bajo la caja de Movimiento rectilíneo uniforme, el alumno debe copiar la fórmula: !

!

!!

!

!

! !!

Bajo la caja de Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado el alumno debe copiar las fórmulas:


17-1


4

El movimiento !

!

!

!!

!

!

!

!

!

!!

! ! !

!!

!!

!

!

!

!!

! !

!

! ! !

! !

! ! ! !

Como ejemplos de movimientos el alumno añadirá, bajo la caja de Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la “caída libre de cuerpos”, los “lanzamientos verticales ascendentes” y las “situaciones de frenado”.

Mira a tu alrededor. Cuestiones a) Busca en internet información sobre los trenes magnéticos y localízalos en un mapa usando Google Earth, Google Maps o dipity. ¿Cómo imaginas que serán los trenes dentro de 150 años? b) En muchas películas futuristas, los coches flotan sobre la carretera. ¿Crees que sería viable este tipo de vías? ¿Qué dificultades tiene su construcción? ¿Qué pasaría con los peatones si los coches viajaran a velocidades tan elevadas? c) Muchos trenes que circulaban con máquinas diésel están siendo sustituidos por trenes eléctricos para reducir la contaminación atmosférica. Teniendo en cuenta que en España un alto porcentaje de la electricidad que consumimos procede de centrales termoeléctricas, ¿crees adecuada la afirmación del texto en cursiva? Con esta lectura se pretende que el alumno reflexione sobre el impacto del desarrollo científico y tecnológico en nuestra sociedad y que aprenda a hacer uso de las numerosas fuentes de información que ofrece internet, pero manteniendo en todo momento una actitud crítica ante los contenidos. En particular, el apartado c) alerta sobre la confusión habitual entre fuentes de energía primarias y secundarias, un aspecto tratado en la Unidad 7.


18-1


4

El movimiento Práctica de laboratorio

ESTUDIO DE UN MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO El alumno debe acostumbrarse a trabajar con esmero y rigor en el laboratorio. Esta práctica ofrece una excelente oportunidad para fomentar el trabajo en equipo. En esta práctica resulta crucial llevar a cabo una medida precisa de los tiempos de paso de la bola por las marcas del carril. Para ello, el carril debe ser suficientemente largo y el ángulo de inclinación, tan reducido como sea posible.

Actividades finales Actividades básicas 1. Define qué es un sistema de referencia. Un sistema de referencia es un conjunto integrado por un punto, considerado fijo (al que se denomina origen), y una o varias direcciones en el espacio (a las que se denomina ejes). Decimos que un objeto se mueve si su posición, medida en relación a un sistema de referencia dado, varía con el tiempo. 2. ¿Qué diferencias existen entre el desplazamiento y el espacio recorrido por un móvil? El desplazamiento es la longitud del segmento que une las posiciones inicial y final de un móvil, mientras que el espacio recorrido es la longitud de la trayectoria descrita por el móvil al trasladarse desde la posición inicial a la final. Por tanto, el espacio recorrido es siempre mayor que el desplazamiento (excepto si el movimiento sigue una trayectoria rectilínea sin cambios de sentido). 3. ¿Cómo definirías la trayectoria de un móvil? La trayectoria es el conjunto de posiciones sucesivas por las que pasa un móvil. 4. ¿Qué magnitud permanece constante en el movimiento rectilíneo uniforme? ¿Y en el movimiento uniformemente acelerado? La velocidad, en el MRU. La aceleración, en el MRUA.


19-1


4

El movimiento 5. ¿Por qué cuando vuelas en avión sobre el océano, en un día sin nubes, no puedes demostrar que el avión está en movimiento? Porque no podemos identificar ningún sistema de referencia respecto del cual pueda observarse que el avión cambia de posición. 6. La representación gráfica del movimiento de un cuerpo es la que aparece en la figura adjunta. Contesta a las siguientes cuestiones: a) Explica razonadamente los movimientos que el móvil ha seguido desde el principio. b) ¿Cuál ha sido la velocidad que ha llevado el móvil en cada tramo? c) ¿Qué espacio ha recorrido mientras ha durado el movimiento? d) ¿Cuál ha sido el desplazamiento del móvil? e) Calcula la velocidad media del recorrido.

a) En el primer intervalo (de 0 a 2 segundos) el móvil se ha movido con MRU con una velocidad constante de 15 m/s, que es el valor de la pendiente de la recta inicial: !"

!! !

!

!!

!!! !!!!!

!

!

!

!"

!

!

En el segundo intervalo (de 2 a 3 segundos) el móvil también se ha movido con MRU, pero en sentido opuesto al seguido en el primer intervalo, con una velocidad de "10 m/s, que es el valor de la pendiente de la segunda recta: !"

!! !

!

!!

!

! !" ! !!!!! !

!

!

!!"

!

En el tercer intervalo (de 3 a 5 segundos) el móvil ha permanecido en reposo (v = 0 m/s) en la posición alcanzada a los 3 segundos (a 20 m del punto de partida): !"

!! !

!

!!

! !" ! !!!!!

!

!

!

!

!

!

En el cuarto intervalo (de 5 a 10 segundos) el móvil ha regresado con MRU hacia su punto de origen, es decir, se ha desplazado en sentido opuesto al seguido en el primer intervalo, a una velocidad de "4 m/s, que es el valor de la pendiente de la cuarta recta: !

!! !

!

!!

!

! !" ! !" ! ! ! ! !

b)

Las velocidades han sido: 15 m/s,

"10

c)

El espacio recorrido en cada tramo ha sido:

!

!!

!

!

m/s, 0 m/s, y


"4

m/s.

20-1


4

El movimiento Primer tramo: !

!

!

! !

!

! !

!

!"

!

!

! ! !

!

!"

!

! ! !

!

!"

!

! ! !

!

!

Segundo tramo: !

!

!

!"

!

!

Tercer tramo: !

!

!

! !

!

!

!

!

!

Cuarto tramo: !

!

!

! !

!

!

!

!

! ! !

!

!"

!

El espacio total recorrido por el móvil ha sido: !"

!

! !"

!

!!

!

! !"

!

!

!"

!

d) El desplazamiento ha sido de 0 metros, pues el móvil ha vuelto a su posición inicial. e) La velocidad media es el cociente entre el desplazamiento y el tiempo invertido en el movimiento. Puesto que el desplazamiento es 0, también la velocidad media es 0 m/s. 7. De las siguientes gráficas, deduce razonando tus respuestas: a) ¿Cuáles corresponden a un m.r.u y cuáles a un m.r.u.a.? b) ¿Hay alguna gráfica que no corresponda a ninguno de los movimientos estudiados?


21-1


4

El movimiento a) La gráfica a) es la gráfica e-t de un MRU que parte del origen. La pendiente de la recta es la velocidad. La gráfica d) es la gráfica v-t de un MRU. La ordenada en el origen es el valor de la velocidad. También la gráfica b) es la gráfica e-t de un MRU. Se trata de un caso particular, en que la velocidad (la pendiente de la recta) es 0, es decir, el móvil está en reposo respecto al sistema de referencia considerado. La ordenada en el origen indica la posición (respecto al origen del SR) que ocupa el móvil. La gráfica c) es la gráfica v-t de un MRUA. La pendiente de la recta es la aceleración. La ordenada en el origen es la velocidad inicial del móvil. La gráfica f) es la gráfica a-t de un MRUA. La ordenada en el origen es el valor de la aceleración. b) La gráfica e) no corresponde a ninguno de los movimientos estudiados en la Unidad. Correspondería a un móvil cuya aceleración aumentase a un ritmo constante. 8. Un vehículo circula a 54 km/h en dirección este durante diez minutos. Después a 72 km/h en dirección sur durante diez minutos más, por último, retorna a su casa a 90 km/h. Calcula: a) El espacio recorrido y el tiempo empleado en cada tramo. b) La velocidad media del recorrido. c) El desplazamiento realizado. a) En el primer tramo el espacio recorrido es: !

!

!

! !

!

!"

!" !

! !" !"# !

!! !" !"#

! !"

!

En el segundo tramo: !

!

!

! !

!

!"

!" !

! !" !"# !

!! !" !"#

!

!" !"

Dado que en el primer tramo el vehículo se ha desplazado 9 km hacia el Este y, en el segundo tramo, se ha desplazado 12 km hacia el Sur, antes de iniciar el tercer tramo se encuentra en la posición (9 km, "12 km) en un SR con origen en el punto de partida y ejes alineados en las direcciones E-O (eje x ) y N-S (eje y ). Si, en el tercer tramo el vehículo regresa en línea recta hacia el origen lo hará siguiendo la línea de trazos indicada en la siguiente figura.


22-1


4

El movimiento

La longitud de esta línea puede calcularse utilizando el teorema de Pitágoras: !

!

! !"

!

!

!" !"

!

!

!" !"

El tiempo necesario para recorrer esta distancia, a una velocidad de 90 km/h, es: !" !" !" !"#

! !

!

!

! !

! !

!

!

!

!"

! !

!

!!

!

!" !"#

!

Por tanto, el espacio total recorrido por el vehículo en 30 minutos ha sido: 36 km. La velocidad media se define como el cociente entre el desplazamiento y el tiempo invertido en el movimiento. Como el desplazamiento total ha sido 0 km, ya que el vehículo ha regresado al origen, la velocidad media también es 0 km/h. b)

c)

El desplazamiento es 0 km, ya que el vehículo ha regresado al punto de partida.

9. Contesta las siguientes cuestiones: a) ¿Cómo varía la velocidad de caída de un cuerpo que se deja caer desde la cima de una montaña hacia abajo? b) ¿Qué variación sufre la velocidad de caída de un cuerpo que se lanza hacia arriba? a) La velocidad de caída será la correspondiente a un movimiento uniformemente acelerado cuya aceleración tiene el valor de la gravedad, que en la Tierra es de 9,81 m/s 2, es decir, la velocidad aumenta en 9,81 m/s cada segundo. b) Exactamente al contrario que en el caso de caída libre, un cuerpo lanzado hacia arriba tiene que vencer en cada instante el valor de la gravedad y, por tanto, su velocidad disminuirá en 9,81 m/s cada segundo hasta detenerse en el punto más alto. A partir de ese momento, comienza a caer por efecto de la gravedad, como en el apartado a).


23-1


4

El movimiento 10. Cuando los cuerpos caen en caída libre: a) ¿A qué aceleración están sometidos? b) ¿Cuál es su valor? a) Están sometidos a la aceleración debida a la fuerza de atracción gravitatoria, g. b) El valor de la aceleración gravitatoria es: g = 9,8 m/s 2 (si consideramos un sistema de referencia con un eje vertical. 11. Indica cuerpos o sistemas materiales que se muevan a tu alrededor continuamente, desde las nubes hasta el mar. Todo a nuestro alrededor está en movimiento. Incluso los objetos inanimados, si consideramos que, al estar sobre la Tierra, se desplazan en torno al Sol, están también en movimiento. 12. En la gráfica de la figura adjunta se representa la gráfica del movimiento de dos coches. a) ¿Cuál ha circulado a mayor velocidad? b) ¿Qué tipo de movimiento han tenido?

a) Circula a mayor velocidad aquel cuya recta tiene una pendiente mayor, pues la velocidad es la pendiente de la recta que se obtiene al representar el espacio recorrido frente al tiempo en un MRU. Por tanto, la respuesta es que el coche cuyo movimiento está representado por la recta 1 es el que ha circulado a mayor velocidad. Otra forma de deducir que el coche cuyo movimiento está representado por la recta 1 ha circulado a mayor velocidad que el de la recta 2 consiste en trazar una recta vertical en cualquier valor de t > 0. La intersección de esta recta vertical con la recta 1 corresponde a un valor de e mayor que la intersección con la recta 2: esto significa que, en un tiempo t cualquiera, el coche 1 ha recorrido una distancia mayor que el coche 2. Por tanto, su velocidad ha sido mayor. b) Ambos coches se han desplazado con MRU pues a este tipo de movimiento le corresponde una recta en la representación e-t : e = v t !

(donde v es la pendiente).


24-1


4

El movimiento Actividades de consolidación 13. Si tu viaje al instituto en bicicleta lo haces con una rapidez media de 20 km/h y tardas 13 minutos en llegar, ¿a qué distancia de tu casa se encuentra el instituto? El desplazamiento ha sido: !! !

!

!!

!

!!

!

!

! !!

!"

!"

!

!

! ! " !"# !

!! !" !"#

!

! !! !" !

14. Un amigo y tú hacéis una carrera. Le das 50 metros de ventaja. Ambos vais en la misma dirección y el mismo sentido, pero la rapidez de tu amigo es de 18 km/h y la tuya es de 25 km/h. a) ¿Cuánto tiempo tardas en coger a tu amigo? b) Espacio recorrido hasta ese instante. c) Representa la gráfica espacio/tiempo de los dos. d) ¿Qué significa el punto de corte de las dos rectas? a) Situemos el origen del sistema de referencia (unidimensional) en el punto desde el que sale el alumno. Su movimiento es un MRU con velocidad v 1 = 25 km/h. Por tanto, la ecuación que lo describe es: !!

!" ! ! ,

!

donde t es el tiempo (en horas) y x 1 es la posición del alumno, es decir, su distancia al origen del sistema de referencia (en km). El amigo del alumno se desplaza también con MRU, pero su velocidad es: v 2 = 18 km/h y su posición inicial está situada a 50 m = 0,05 km del origen del SR. Por tanto, la ecuación que describe su movimiento es: !!

!

! !" ! !" ! ! !

El alumno alcanza a su amigo cuando las posiciones de ambos coinciden, es decir, cuando: !!

!

!!

Sustituyendo las expresiones anteriores para las posiciones obtenemos una ecuación de primer grado en la variable t : !" ! !

!

! !" ! !" ! ! !

La solución es: ! !" !

!

!

!"

! !"

! !"

!

!

!

!

!"##

! !

! !

!!

!" ! !

!

b) Para obtener el espacio recorrido por ambos corredores basta con sustituir el tiempo en las ecuaciones que describen su movimiento: !!

!

!"

!" ! !" !

!

!

!

!"""

! !

!

! !"

!

!"# ! !


!

25-1


4

El movimiento O bien: !!

!

!" ! !" !

! !" !" ! !" !

!

!

!

!"""

!

!

!

! !"

!

!"# ! !

!

Naturalmente, ambas posiciones coinciden, pero conviene recordar que, mientras que el alumno ha recorrido esos 178,6 m, su amigo ha recorrido solamente 128,6 m, ya que partía desde una posición adelantada 50 m. c) La gráfica e-t de los dos MRU (con t en segundos y x en metros) es:

La recta roja representa el movimiento del alumno y la recta azul, el de su amigo. La pendiente de la recta roja es mayor que la de la recta azul porque el alumno corre más deprisa que su alumno. La recta roja parte del punto (0 s, 0 m), ya que hemos tomado el origen del SR en el punto desde el que él inicia la carrera. Sin embargo, la recta azul parte del punto (0 s, 50 m), ya que el amigo parte con una ventaja de 50 m. d) El punto en que se cortan las dos rectas, (25,7 s, 178,6 m) indica el tiempo en que el alumno alcanza a su amigo y la posición de ambos en ese momento, como calculamos en los apartados a) y b). 15. Los datos de e, v y t, correspondientes al inicio de un recorrido que ha realizado un coche con m.r.u.a., se han recogido en la siguiente tabla de forma incompleta. Tiempo (s)

0

5

10

Velocidad (m/s)

0

40

80

Espacio (m)

0

400

700

a) Copia y completa la tabla. b) Calcula la aceleración del coche. c) Representa las gráficas e

t , v

!

t y a

!

t.

!


26-1


4

El movimiento a) La ecuación que describe la velocidad en un MRUA es: !

!

!!

!

!

! !

De las dos primeras filas de la tabla podemos deducir, utilizando esta ecuación, los valores de v 0 y a. Por ejemplo, de acuerdo a la tabla, cuando t = 0 s, v = 0 m/s. Sustituyendo estos valores en la ecuación tenemos que: !

!

!

!

!!

!

!

! ! !

!!

!

Así pues, v 0 = 0 m/s y la ecuación se reduce a: !

!

!

! !

Asimismo, de acuerdo a la tabla, cuando t = 5 s, v = 40 m/s. Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior tenemos que: !"

!

!"

! !

!

!

! ! ! !

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

La ecuación de la velocidad es, por tanto: !

! ! !

!

(donde t debe expresarse en segundos y v en m/s). Esta ecuación es consistente con los datos de la siguiente columna de la tabla: t = 10 s, v = 80 m/s. La ecuación que describe la posición de un móvil con MRUA es: !

!

!!

!

!!

!

! !

! !

!

! ! !

Como antes, de los datos de la primera columna se deduce que x 0 = 0 m. Sabiendo que v 0 = 0 m/s y a = 8 m/s2, esta ecuación adopta la forma: !

!

! ! !

!

(donde t debe expresarse en segundos y x en m). Así pues, el valor de x en la segunda columna (cuando t = 5 s), debe ser: !

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!

!""

!

La ecuación es consistente con los datos de la siguiente columna de la tabla: t = 10 s, x = 400 m. Por último, en la cuarta columna tenemos que x = 700 m. Usando la última ecuación podemos hallar el valor de t : !""

!

!

!

!

!

! ! ! !

!"" ! !

!

!

!

!

!

!

!" !" !

!

!

Y usando la ecuación de la velocidad: !

!

!

!

! !" !" ! ! !

!

!

!"# !"

!

!

!


27-1


4

El movimiento Así pues, la tabla completa es:

b)

Tiempo (s)

0

5

Velocidad (m/s)

0

40

Espacio (m)

0

100

10

13,23

80 105,83 400

700

La aceleración, como calculamos en a), es: a = 8 m/s2.

c) La gráfica a-t en el MRUA es una recta horizontal, ya que la aceleración tiene un valor constante en el tiempo (8 m/s 2, en este caso):

La gráfica v-t en el MRUA es una recta cuya pendiente es la aceleración (8 m/s 2, en este caso) y cuya ordenada en el origen es la velocidad inicial (0 m/s, en este caso):


28-1


4

El movimiento La gráfica e-t en el MRUA es una parábola (véase la sección 3.2. de la Unidad 1):

16. El movimiento de un cuerpo responde a la gráfica de la siguiente figura.

Contesta: a) ¿Qué movimiento lleva en cada tramo? b) Calcula el espacio recorrido cuando el tiempo transcurrido ha sido de 30 s. a) En el primer tramo (entre 0 y 20 s) el movimiento es MRUA, ya que, para este movimiento, la gráfica v-t es una recta cuya pendiente es la aceleración. En nuestro caso, la velocidad inicial (cuando t = 0 s) es v 0 = 0 m/s y la aceleración es: !

!

!!

!

!"

!!

! !

!"

!

!!

!

!

!!!

!

!

!

!

!

En el segundo tramo (entre 20 y 30 s) el movimiento es MRU, ya que, para este movimiento, la gráfica v-t es una recta horizontal. En este tramo el móvil se desplaza con velocidad constante v = 40 m/s. En el tercer tramo (entre 30 y 40 s) el móvil se desplaza con MRUA. La aceleración es, en este caso: !

!! !

!

!!

!

! !

!"

! !"

!

!

!

! !" !

!

!!

!

!

!

b) Para calcular el espacio recorrido por el móvil durante los primeros 30 s, debemos considerar por separado los dos tramos.


29-1


4

El movimiento En el primero, como vimos en a), el movimiento es MRUA. Para calcular el espacio recorrido podemos utilizar la ecuación: !

!

!!

!

! !

! !

!

! ! !

Sustituyendo los valores: v 0 = 0 m/s y a = 2 m/s2 obtenemos: ! !

!

!

! !

!

!

!

!"

!

!

!

!

!""

!

Otra forma de calcular e es utilizar la ecuación:

!

!

!

!!

!

!

! ! ! ! ! ! !

!

!

!

! !! ! ! !

!

!"

!

!

!

!

! !

!

! !

!

! ! !

!

!

!""

!

!

En el segundo tramo, como el movimiento es MRU, la distancia recorrida viene dada sencillamente por: !

!

!

! !

Como, en este caso, v = 40 m/s y t = 10 s (los transcurridos entre t = 20 s y t = 30 s), tenemos:

!

!

!"

!

!

! !" !

!

!""

!

Así pues, el espacio total recorrido en los primeros 30 s ha sido: !

!

!""

!

! !""

!

!

!""

!

17. Desde qué altura ha caído un cuerpo que llega al suelo con una velocidad de 20 m/s? Utilizando la ecuación de la caída libre: !

!

!

!!

!

! ! ! ! ! ! !

Tenemos: !

!

!

!

! !! ! ! !

!"

!

!

!

!

!

!

! ! ! ! !

!

!

!

! !

!

!

!" ! !

!

!

Actividades avanzadas 18. El movimiento, sobre una línea horizontal, correspondiente a un móvil viene dado por la expresión: e = 10 + 20 t, donde el espacio viene en metros y el tiempo en segundos. Calcula: !

a) La posición del objeto a los 30 segundos. b) El tiempo transcurrido hasta que el móvil se encuentre a 500 metros del origen.


30-1


4

El movimiento c) ¿Cuál es la velocidad del móvil? d) Representa la gráfica del movimiento. a)

Basta con sustituir t = 30 s en la ecuación: !

!

!"

!

! !"

!

!

b)

! !" !

!

!"#

!

En este caso debe sustituirse e = 500 m en la misma ecuación: !""

!

!

!"

!

! !"

!""

!

!

! !

! !

!

!

! !" !

!"

!

!

!" ! !

!

!

c)

La ecuación del MRU tiene la misma forma que la considerada aquí: !

!

!!

!

!

! !

En esta ecuación la velocidad es el coeficiente del tiempo. Por tanto, en el problema que nos ocupa, la velocidad es: v = 20 m/s. d) La gráfica e-t de un MRU es una recta cuya pendiente es la velocidad (20 m/s en este caso) y cuya ordenada en el origen es la posición inicial del móvil (10 m en este caso). Así pues:

19. Dos familias van en coche a visitar una ciudad que se encuentra a 450 km de su lugar de origen. Una de ellas va a 100 km/h de media, mientras que la otra va a 120 km/h. a) ¿Cuánto tiempo antes debe salir el más lento para encontrarse en una gasolinera a 240 km del punto de partida? b) Si el coche que marcha a mayor velocidad sale 15 minutos más tarde, ¿cuánto tiempo tardará en alcanzar al otro y qué distancia han recorrido ambos en ese momento? c) Representa ambos movimientos en la misma gráfica.


31-1


4

El movimiento a) La ecuación que describe el MRU de la primera familia es: !!

!

!"" ! !

!

donde t se expresa en horas y x 1 se expresa en km. La segunda familia sale más tarde que la primera: llamemos T a este retraso. Cuando la primera familia lleve t horas viajando, la segunda familia sólo llevará ( t " T ) horas haciéndolo. La ecuación que describe su MRU es, por tanto: !!

!"# ! !

!

!!

Calculemos el tiempo que necesita la primera familia para alcanzar la gasolinera situada a 240 km del punto de partida: !!

!

!""

!" !

! !

!

!"# !"

!"# !"

! !

!

!""

!"

!

!!! !

!

Ahora podemos calcular el valor que debe tener T para que x 2 = 240 km al cabo de 2,4 h: !!

!

!"#

!"#

!" !

!

!!! !

!!

!

!"# !"

!

!

!" !

!

! ! ! ! ! !"# !" !

!"#

!"

!

!!! !

!

La segunda familia debe salir 0,4 h (o, lo que es lo mismo, 24 min) más tarde que la primera. b) En este caso, T = 15 min = 0,25 h. Por tanto, las ecuaciones de los coches son: !! !!

!

!

!"" ! !

!"# ! !

!

! ! !" !

El segundo coche alcanzará al primero cuando x 1 = x 2, es decir, cuando: !"" ! !

!

!"# ! !

! ! !" !

La solución de esta ecuación es: !"# !

!

!"#

!"

! !" !

! ! !" ! !

! !""

!"

!

!!! !

!

Es decir, 1,5 h después de haber salido el primer coche (o 1,25 h después de haber salido el segundo), el segundo alcanza al primero. Tarda, por tanto, 1 h y 15 min en alcanzar al primer coche. El espacio que han recorrido ambos en ese momento es: !!

!

!""

!" !

! ! ! ! !

!

!"# !"

(el mismo resultado se obtiene para x 2, naturalmente).


32-1


4

El movimiento c) La gráfica correspondiente al apartado b) es la siguiente:

La recta roja corresponde al coche que sale en primer lugar (la recta parte de t = 0 h). La recta azul corresponde al coche que sale en segundo lugar, cuando t = 0,25 h). La pendiente de la recta roja es la velocidad del primer coche (100 km/h). Es menor que la pendiente de la recta azul, la velocidad del segundo coche (120 km/h). Las dos rectas se cortan en el punto (1,5 h, 150 km). Esto significa que lo hacen 1,5 h después de haber salido el primer coche (o 1,25 h después de haber salido el segundo coche), a 150 km del punto de partida. 20. La ecuación de velocidad de un móvil viene dada por la siguiente expresión: v = 30 + 3 t !

Donde la velocidad está expresada en m/s y el tiempo en segundos. Contesta a las siguientes cuestiones: a) El tipo de movimiento que lleva: b) ¿Cuál es la velocidad inicial del móvil? c) ¿Cuál será su velocidad a los 5 segundos? d) ¿Cuál es su aceleración? e) El espacio recorrido en 50 segundos. f) El tiempo necesario para que el móvil tenga una velocidad de 3 5 m/s. g) Construye una gráfica v

t , que represente el movimiento.

!

a) La ecuación corresponde a un MRUA. !

!

!!

!

!

! !

b) Comparando la ecuación del enunciado con la ecuación general del MRUA (apartado a) se deduce que v 0 = 30 m/s.


33-1


4

El movimiento c) Basta con sustituir t = 5 s en la ecuación: !

!

!

!"

!

!!

!

!

! ! ! !

!"

!

!

!

d) Comparando la ecuación del enunciado con la ecuación general del MRUA (apartado a) se deduce que a = 3 m/s2. e) El espacio recorrido por un móvil que se desplaza con MRUA viene dado por: !

!

!!

! !

!

! !

!

! ! !

En este caso, como v 0 = 30 m/s y a = 3 m/s 2, tenemos: !

!

!" ! ! ! ! ! ! !

!

!

Sustituyendo t = 50 s en la ecuación: !

!

!"

!

! !" ! ! ! ! ! !

!

!"

!

!

!

!"!#

!

f) Para determinar el tiempo necesario para que el móvil adquiera la velocidad de 35 m/s basta con sustituir v por este valor en la ecuación del enunciado y despejar t : !"

! !

!

!"

!

!

!!

!

!

!

!"

! !

! !

!

! !

!

! !" !

!

!

! !

! !" !

!

!

g) La gráfica v-t de un MRUA es una recta cuya pendiente es la aceleración (3 m/s 2, en este caso) y cuya ordenada en el origen es la velocidad inicial (30 m/s, en este caso):


34-1


4

El movimiento 21. Calcula la profundidad de un pozo, sabiendo que al tirar una piedra tardas 4 segundos en oír el ruido que esta hace al chocar contra el agua. (Dato: velocidad del sonido 340 m/s). Los 4 segundos son la suma de dos tiempos: el que la piedra tarda en llegar a la superficie del agua (t 1) y el que el sonido tarda en llegar, desde allí, a la boca del pozo (t 2). En ambos casos, el espacio recorrido es la profundidad del pozo ( h), pero, mientras el primer movimiento, el de caída libre, es un MRUA, el segundo, el del sonido, es un MRU. Sus ecuaciones son, respectivamente: !

! !

! ! ! ! !! ! !

!

!

!

! ! ! ! !

!

!

!

!"# ! ! !

Así pues, debe cumplirse que: ! ! ! ! !

!

!

!"# ! ! !

!

Si añadimos la ecuación mencionada al principio: ecuaciones con dos incógnitas: ! ! ! ! !

!

!

!

!! ! !!

!! ! !!

!

!,

tenemos un sistema de dos

!"# ! ! ! !

!

Despejando t 2 en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera nos queda: ! ! ! ! !

!

!

! ! ! ! !

!

!

!

!

!"# ! !

! !"# ! ! !

! !!

!

! !"#$

!

!

De las dos soluciones de esta ecuación de segundo grado, una es negativa (y, por tanto, no válida). La solución válida es: !! ! !" !. Si sustituimos este tiempo en la ecuación de la caída libre obtenemos que la profundidad del pozo es: !

!

!

!

!!

!

!

!

!

! !"

!

!

El mismo resultado obtenemos sustituyendo !

!

!"#

!

!

!

!!

!

!

!

! ! !" !

!

!

!" !" !

!

! !! en la ecuación del MRU:

!

!

!" !" !

!

Pon en marcha tus habilidades Don Juan Tenorio Seguro que conocéis la historia del intrépido Don Juan Tenorio, personaje ideado por José Zorrilla a mediados del siglo XIX. En él se narran las desventuras de Don Juan, un galán que, tras una apuesta, ha de seducir a la mayor cantidad de doncellas, en ocasiones, teniendo que huir o batirse en duelo. En esta ocasión, localizamos a Don Juan en el siglo XVII y, en previsión de la ocasión, se ha provisto de un cinturón antigravedad último modelo. Dice el texto:


35-1


4

El movimiento «Encontrábase Don Juan junto a su amada en la azotea del piso ochenta y seis, cuando súbitamente fue sorprendido por el padre de la doncella. Sacóse este la espada láser y de igual forma respondió Don Juan. Empero hubo olvidado recargarla la noche anterior, por lo cual no encendiose. Sorprendido por el hecho y recordando su última adquisición, sonrió a su amada y lanzose por el balcón. Dos segundos después del salto, el cinturón accionó y la gravedad ya no le afectó.»

Sabrías contestar las preguntas: Pregunta 1 ¿Cómo piensas que finaliza la historia? Escoge la respuesta y razona tu contestación: a) Al activar el cinturón, Don Juan queda suspendido en el aire, ya que carece de la aceleración de la gravedad. En consecuencia, el padre de la doncella le da alcance y acaba con él. b) Al activar el cinturón, Don Juan comienza a ascender, ya que, al no haber gravedad, la Tierra no le atrae y sale despedido hacia el espacio exterior. c) Al activar el cinturón, Don Juan queda liberado de la aceleración de la gravedad, pero sigue descendiendo y se fractura una pierna. d) Al activar el cinturón, Don Juan queda flotando, puede volar como un pájaro y, meneando los brazos, escapa. Si, como da a entender el texto, el poder del cinturón consiste en hacer que su portador no experimente la fuerza de atracción gravitatoria, lo que sucede es lo siguiente: 1. Durante los 2 primeros segundos Don Juan cae por efecto de la atracción gravitatoria, ya que todavía no ha activado el cinturón. Su movimiento es un MRUA, con aceleración g = 9,8 m/s2. Al final de esos 2 segundos su velocidad es: !

!

!!

!

!

!

! ! ! !

!

!" !

!

!

!

Esta es una velocidad considerable: !

!

!" !

! !"

!

!

!

!

!"""

!

!"##

!

!!

! !

!" !" !


!" !

36-1


4

El movimiento 2. A partir de los 2 segundos, Don Juan activa el cinturón, de manera que ya no experimenta la atracción gravitatoria: su aceleración es nula. Pero esto no significa que se detenga (como sugieren los apartados a y d) o que salga despedido hacia el espacio (como sugiere el apartado b). Según veremos en la siguiente Unidad (página 136), la ley de inercia nos dice que un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza se mantiene en reposo o con velocidad constante. Don Juan, que había alcanzado 70,56 km/h, seguirá moviéndose a esta velocidad en la misma dirección y sentido en que lo hacía justo antes de activar el cinturón. Lo más probable, por tanto, es que, al estrellarse contra el suelo a más de 70 km/h, se rompa una pierna, como indica el apartado b. Pregunta 2 Representa la gráfica de movimiento del personaje.

velocidad

frente

a

tiempo

correspondiente

al

Como se señaló en la pregunta 1, el movimiento es: •

MRUA (con a = g), entre t = 0 s y t = 2 s.

•

MRU (con v = 70,56 km/h), a partir de t = 2 s.

La gráfica v-t es, por tanto:

Pregunta 3 Imagina cómo sería la vida en ausencia de la aceleración de la gravedad. Escribe un texto de diez líneas donde relates una historia semejante a la anterior y donde aparezcan al menos tres efectos diferentes de la realidad, consecuencia de la falta de esta aceleración. Aunque también es importante apreciar la fantasía del alumno y la calidad literaria de su microrrelato, el profesor debe valorar especialmente que, en las situaciones imaginadas, el alumno aplique con corrección las leyes de la física: no todo es posible, como se ha visto al ponderar las distintas consecuencias de activar un “cinturón antigravedad” en la pregunta 1.


37-1


4

El movimiento Tarea competencial

El peligro del suelo mojado

Descriptor Competencia

Subcompetencia Nivel bajo

Competencia matemática y básica en ciencia y tecnología

Nivel medio

Nivel alto

Obtención de los datos experimentales

Sigue las instrucciones y No sigue las toma todos los instrucciones datos, pero estos adecuadamente. son de baja No reúne todos calidad (mala los datos reproducibilidad experimentales de la velocidad o solicitados. de las condiciones del suelo mojado, etc.).

Realiza todos los experimentos correctamente y obtiene datos de alta calidad.

Manipulación de los datos experimentales

No sabe calcular las velocidades o las medias de los datos experimentales. No hace las comparaciones solicitadas (distancias de frenado en seco y mojado para una misma velocidad, etc.).

Calcula correctamente las velocidades y las medias, pero pasa por alto, sin revisión crítica, anomalías en los resultados: gran dispersión de las velocidades o las distancias de frenado, etc.

Hace los cálculos correctamente. Cuando los resultados muestran anomalías, es capaz de hacer un análisis crítico y apuntar las posibles causas de las mismas.

No presenta conclusiones basadas en los datos, sino simples afirmaciones generales.

Utiliza los datos para hacer recomendaciones sobre la conducción, pero no extrae todas las conclusiones posibles del experimento.

Utiliza los datos de manera exhaustiva y rigurosa para argumentar a favor de la necesidad de límites de velocidad

Presentación de las conclusiones


38-1


ejercicios resueltos cinética

Recommend Documents