• En la compañía de inversiones North Star, las funciones de depósito de cierto producto de inversión se asignan a un empleado y el retiro a otro. Los f ormularios de depósito llegan al escritorio de Aleandra a una tasa media de !" por hora #proceso $oisson%. Las formas de retiro llegan al escritorio de Solange a una tasa media de !& por hora #proceso $oisson%. El tiempo 'ue se re'uiere para procesar cual'uier transacción tiene distri(ución e)ponencial con tasa media de * minutos. $ara reducir el tiempo esperado de espera en el sistema de am(as formas los actuarios recomiendan+ !% capacitar a las dos empleadas para manear epósitos y retiros -% poner los dos tipos de transacciones en una sola cola con acceso a am(as Empleadas. a% etermine el t iempo esperado de espera en el sistema de c ada tipo de llegada c on el proceso actual. om(ine los resultados y calcule el tiempo esperado de espera en el sistema de una llegada de cual'uier /ipo.
b) Si se adoptan las recomendaciones, determine el tiempo esperado de espera en el sistema de las transacciones transacciones que llegan. Al adoptar las recomendaciones este sistema corresponde a un modelo M/M/2 con:
c) Suponga que, si se adoptan las recomendaciones, el resultado sería un pequeño aumento en el tiempo esperado de proceso. A través de un programa en !"#$, determine, por prueba % error, el tiempo esperado de proceso &dentro de '.''( oras) que aría que el tiempo esperado de espera en el sistema de una llegada aleatoria *uera en esencia el mismo de los procesos actuales % con las recomendaciones.
+or lo tanto, el tiempo esperado de proceso o de servicio corresponde a ,-( minutos para que 01',2(( oras o (2,34 minutos. 2) 5onsidere un sistema tele*6nico con tres líneas. as llamadas siguen un proceso de +oisson con una tasamedia de 3 por ora. a duraci6n de las llamadas tiene distribuci6n e7ponencial con media de ( minutos. Si todas las líneas est8n ocupadas, las llamadas se ponen en espera asta que esté disponible una línea. a) 5alcule las medidas de desempeño de este sistema.
b) 5alcule la probabilidad de estado estable que una llamada sea tomada de inmediato &sin quedar en espera).
c) 5alcule las probabilidades de estado estable del n9mero de llamadas en espera.
5omo 1 % s1, evaluando en la e7presi6n anterior, q1'
d) 5alcule las nuevas medidas de desempeño si las llamadas se pierden cuando todas las líneas est8n ocupadas. ;tilice el modelo M/M/s/
) dison, tiene que tomar una decisi6n de compra. ?l tiene que elegir entre dos tipos de equipos de mane=o de materiales, un pequeño tren tractor @ remolque % una carretilla elevadora de alta resistencia, para el transporte de mercancías pesadas entre determinados centros productores en la *8brica. +ide a una unidad de manipulaci6n de materiales para mover una carga que ocurre seg9n un proceso de +oisson a una tasa media de - por ora. >l tiempo total requerido para mover una carga tiene una distribuci6n e7ponencial, donde el tiempo de espera sería de (2 minutos para el tren tractor@remolque % minutos para la carretilla elevadora. >l costo por ora uni*orme total equivalente &costo de recuperaci6n de capital m8s el costo de operaci6n) sería de B ' para el tren tractor@ remolque % B (' para la carretilla elevadora. >l costo estimado de la inactividad de los bienes &en espera de ser trasladado o en tr8nsito) debido al aumento en el proceso de inventario es de B 2' por carga por ora. val9e qué tan bien estas medidas cumplen con los criterios anteriores
$btener las diversas medidas de desempeño si el tren tractor@remolque ser8 elegido. >val9e qué tan bien estas medidas cumplen con los criterios anteriores. >l porcenta=e de tiempo para completar el movimiento dentro de una ora es:
a) $btener las diversas medidas de desempeño si el tren tractor@remolque ser8 elegido. >val9e qué tan bien estas medidas cumplen con los criterios anteriores. >l porcenta=e de tiempo que no m8s de tres cargas est8n esperando para iniciar su movimiento &m8s uno que actualmente est8 siendo movido) es:
$or lo tanto, el tren tractor0remol'ue no cumple ninguno de los criterios.
>l porcenta=e de tiempo para completar el movimiento dentro de una ora es:
>l porcenta=e de tiempo que no m8s de tres cargas est8n esperando para iniciar su movimiento &m8s uno que actualmente est8 siendo movido) es:
+or lo tanto, la carretilla cumple todos los criterios. &c) 5omparar las dos alternativas en términos de su costo total esperado por ora &inclu%endo el costo de inactividad de los bienes).+ara el tren tractor@remolque, calculamos costo total esperado por ora 1 B 2' F B ' 1 B 2' &-) F B ' 1 B ('. +ara la carretilla elevadora, obtenemos costo total esperado por ora 1 B 2' F B (' 1 B 2' &(,) F B (' 1 B ('. Propuestos:
() "eGell %
Kepresenta el numero promedio de clientes en la tienda, inclu%endo aquellos que sea est8n cortando el pelo.
b) >n el caso de cada valor posible del n9mero de clientes en el sistema, especiCque cu8ntos clientes a% en la cola. Lespués calcule q. I56mo describiría el signiCcado de q a "eGell %
q1 (',2 F 2 ','32 q1 '.4 representa el numero promedio de cliente en la cola esperando el corte de pelo. c) Letermine el n9mero esperado de clientes que estar8n siendo atendidos.
d) Lado que llega un promedio de - clientes por ora % esperan el corte, determine 0 % 0q. Lescriba estas cantidades en términos que "eGell %
2) a tienda de alimentos Mom@and@+opNs tiene un estacionamiento pequeño con tres espacios reservados para los clientes. Si la tienda est8 abierta los autos llegan % usan un espacio con una tasa media de 2 por ora. +ara n 1 ', (, 2, , la probabilidad +n de que a%a e7actamente n espacios ocupados es +o1 '.(, +(1'.2, +21'.-, +1 '.. a) Lescriba la interpretaci6n de este estacionamiento como un sistema de colas. >n particular, identiCque los clientes % los servidores. I5u8l es el servicio que se proporcionaJ .Oue constitu%e el tiempo de servicioJ I5u8l es la capacidad de la colaJ K/.;n pequeño estacionamiento es un sistema de colas que provee estacionamiento con los autos como clientes % espacios de estacionamientos como servidos. >l tiempo de servicio es la cantidad de tiempo que un auto usa un espacio. a capacidad de la cola es '. b) Letermine las medidas de desempeño b8sicas: , q, 0 % 0q de este sistema de colas.
c) ;se los resultados de b) para determinar el tiempo promedio que un auto permanece en el espacio. K/. ;n auto utiliPa un promedio de - minutos en un espacio estacionamiento. % E)pli'ue por 'u1 el factor de utili2ación del 3nico servidor del sistema de(e ser igual a ! 4 $o, donde $o es la pro(a(ilidad de tener 5 clientes en el sistema.
K/ >l *actor de utiliPaci6n p representa la *racci6n de tiempo que el servidor esta ocupado, el servidor esta ocupado e7cepto cuando a% cero personas en el sistema, +o es la probabilidad de tener ' clientes en el sistema entonces, +1(@+o
-) Se tienen dos sistemas de colas, O( % O2. a tasa media de llegadas de los clientes, la tasa media de servicio por servidor ocupado % el n9mero esperado de clientes en el estado estable de O2 duplican los valores correspondientes de O(. Sea 0i 1 el tiempo esperado de espera en el sistema en estado estable de Oi, para i 1 (, 2. Letermine 02/0(.
) ;na gasolinera cuenta con una bomba de gasolina. os autom6viles que desean cargar llegan seg9n un proceso de +oisson a una tasa media de ( por ora. Sin embargo, si la bomba esta en operaci6n, los clientes potenciales pueden desistir &ir a otra gasolinera). >n particular, si a% n autos en ella, la probabilidad de que un cliente potencial que llega desista es n/ para n 1 (, 2, . >l tiempo necesario para servir un auto tiene distribuci6n e7ponencial con media de - minutos. a) 5onstru%a el diagrama de tasas del sistema de colas.
b) Lesarrolle las ecuaciones de balance.
c) Kesuelva estas ecuaciones para encontrar la distribuci6n de probabilidad de estado estable del n9mero de autos en la gasolinera. QeriCque que la soluci6n sea la misma que la soluci6n general del proceso de nacimiento % muerte.
d) >ncuentre el tiempo de espera esperado &incluido el servicio) de los autom6viles que se quedan.
>7plique los conceptos de matriP de ad%acencia % matriP de incidencia, e7plicando la importancia de la utiliPaci6n de este tipo de matrices. >speciCque adem8s los espacios vectoriales en donde e7isten estas matrices. Rinalmente, e7plique el signiCcado de cada una de las componentes de las matrices, mostrando los valores posibles de dicas componentes de las matrices. K: a importancia que tienen este tipo de matrices es la representaci6n, en términos matem8ticos, la topología de las redes. >specíCcamente la matriP de ad%acencia muestra si dos nodos de una red son o no ad%acentes, es decir, e7iste una cone7i6n directa, dirigida o no, entre ellos, por lo mismo las componentes de este tipo de matrices pueden tomar valores ' % (, en donde ' signiCca que no e7iste dica cone7i6n % ( que si e7iste dica cone7i6n, esta es una matriP cuadrada que tiene la misma dimensiones que la cantidad de nodos de la red. +or otra parte, la matriP de incidencia muestra la, como su nombre lo dice, la incidencia o direccionalidad que tiene un nodo de una red, esta matriP contrapone nodos % arco en sus Clas % columnas respectivamente. >n ésta matriP se tiene que las componentes tiene posibilidad de ser ', ( o @(, en donde el cero muestra que no e7iste relaci6n entre el nodo % el arco respectivo, el ( muestra que el nodo es el origen de ese arco % @( que dico nodo es el destino de ese mismo arco. Lesde este tipo de matrices se pueden realiPar distintas conclusiones de c6mo es la topología % conectividad de las redes que representan, esto dado que se pueden interpretar los resultados matem8ticos a partir de las propiedades que presentan cada una de estas matrices. I5u8l es la importancia del concepto de rbol #enerador dentro de los problemas de Du=o en redesJ 5omience especiCcando qué es un 8rbol generador, para luego e7plicar la relevancia de este tipo de gra*os. K: ;n 8rbol generador es, como dice su nombre, un 8rbol, es decir, es un sub@gra*o del gra*o original que no presenta sub@tours, o ciclos, adem8s es generador, es decir, contiene a todos los nodos de la red. >ste tipo
de gra*os es importantísimo en el conte7to de algunos modelos de redes, especíCcamente en el +RM5, en donde cada una de las soluciones b8sicas de ese problema se condice unívocamente con un 8rbol generador. as propiedades presentes en este tipo de gra*os da pie a la *ormulaci6n del algoritmo de Simple7 en su *orma especialiPada a redes, en donde se TsimpliCcanU las iteraciones de dico algoritmo, basada en la propiedades del 8rbol generador, como el eco de que al agregar un arco cualquiera al 8rbol generador se genera autom8ticamente un ciclo, lo que permite encontrar la variable saliente del algoritmo de Simple7 a empresa de artículos para el ogar om% S.A. en su departamento de abastecimiento desea elaborar un plan de envío a todos sus clientes de los distintos productos que o*rece tipos de productos, para los pr67imos Eperiodos. +ara poder solucionar esto se le solicita a usted, elaborar una red que busque minimiPar el costode las plantas que se deber8n construir en el primerperiodo a un costo por planta de Ri. >7iste un n9mero m87imo de plantas a construir +en el total de los periodos t, que se deber8 respetar por asuntos de presupuesto.5ada cliente tiene asociado una demanda por cada producto V, para cada periodo t, el cual deber8 ser satis*eca. Al igual que la decisi6n de instalar las plantas, se deber8 decidir que rutas conectar8n a los clientes encada periodo t, con un costo asociado a cada ruta de Ki=t. Se deber8 tomar en cuenta que dos plantas o m8s en un mismo periodo, no pueden satis*acer la demanda del producto Vdel cliente al mismo tiempo. >n otras palabras, la demanda de un cliente por el producto Ven el periodo tdeber8 ser satis*eca por solo una planta. os camiones que transportan los productos de la empresa tienen una capacidad de envío de 5Vpara cada producto V, como también una capacidad 5topara el total de los productos cargados.Eambién se conoce el costo de traslado por la ruta &i, =)por cada unidad de producto Ven el periodo t, que asciende a la suma de 5Ei=Vt.Se pide modelar los requerimientos de departamento de abastecimiento de om% S.A. para minimiPar el costo antes mencionado. Sea claro en la *ormulaci6n, describiendo par8metros, variables, *unci6n ob=etivo % restricciones.