Universidad Universid ad Andr´ es es Bello Departamento Depar tamento de Matem´ aticas aticas Facultad de Ciencias Exactas FMM 290 - Matem´ aticas aticas II EJERCIOS EJERCIOS RESUELTOS RESUELTOS PARA SEGUNDA SEGUNDA SOLEMNE
1. Considere Considere las funciones funciones h(x) =
−x2 + x + 8
y g (x) = x + 4 .
(a) Calcular el area a´rea encerrada por las gr´aficas aficas de h y g . Soluci´ on: on: Calculemos los puntos de intersecci´ on on de ambas curvas
−x2 + x + 8 = x + 4 ⇔ −x2 = −4 ⇒ x = 2 ∨ x = −2 Adem´ as as en el intervalo [−2; 2], la par´ par´ abola va por sobre la recta con lo que el ´area abola area encerrada por
las curvas es
2
A =
−
( x2 + x + 8)
−2
2
− (x + 4) =
−
x2 + 4 =
−2
−
x3
3
+ 4x
Evaluando en 2 y
−2, se obtiene A =
− − − 8 + 8 3
8 3
8 =
− 163 + 16 = 323
(b) Calcular el volumen del s´ olido olido de revoluci´ o n que se obtiene al girar el area on a´rea encerrada por las gr´ aficas aficas de h y g alrededor de y = 2 . Soluci´ on: on: El volumen en torno a la recta y = 2, viene dado por p or el m´etodo etodo de los discos por p or 2
V = π
−
( x2 + x + 8
−2
− 2)2 − (x + 4 − 2)2
Desarrollando e integrando 2
V = π
(x4
−2
− 2x3 − 12x2 + 8x + 32) = π
x5
5
−
x4
2
− 4x3 + 4x2 + 32x
Evaluando entre 2 y
−2 se llega a V = π
2. Considere Considere la regi´ regi´ on on limitada por y = 2 (a) El area a´rea de la regi´on. on. Sol:
232 152 384π + = 5 5 5
− x2 ; y = x (x > 0) y el eje Y. Se pide calcular
7 6.
(b) El volumen volumen del cuerpo si gira alrededor alrededor del eje Y. Sol: 85π (c) El volumen del cuerpo si la regi´ on gira alrededor de la recta y = on
−1.
3. Considere la funci´ on f (x) definida por: f (x) =
x2 , si x < 0 x2 , si x 0
−
≥
(a) Calcule el a´rea de la regi´ on R, limitada por la funci´ on f (x), las rectas x = 16 Sol: 3
−2; x = 2 y el eje X .
(b) Determine el volumen del s´ olido al hacer rotar la regi´ on R en torno del eje X . Sol: 64π 5 4. Calcule el a´rea encerrada por y = e x ; y = Sol:
−x + 1 ; x = 1. Grafique la situaci´on planteada.
La gr´afica correspondiente es:
Luego, el area solicitada viene dada por: 1
A =
0
x
e
1
−− − − ( x + 1) dx =
x
e +x
0
=
e+
1 2
1
1 = e
− 1) dx =
x
e +
x2
− 32 ≈ 1.21[u2] x2
2
− x
1 0
5. Calcule el area de la regi´on R limitada por abajo por la par´abola y = y por arriba por las rectas 4 y = x ; y = 2. Grafique el area pedida. Sol: El area a calcular se parecia en la siguiente figura:
El area pedida viene dada por:
2
A =
x
=
x2
2
x3
− 12
2 0
+ 2x
√
x3
2 2
12
2
⇒
d x +
4
0
√
2 2
x2
x2
− − − − √ − √ − − 2
2
=
√
8 2 A = 3
2
8 12
+
4
dx
4 2
4 2 3
4
− 6 [u2] ≈ 1.77[u2]
6. Sean f (x) y g (x) dos funciones tales que 4
[5f (x) + 2 g (x)] dx = 7
−2
4
[3f (x) + g (x)] dx = 4
−2
Se pide determinar: 4
(a)
4
f (x) dx
(b)
−2
g (x) dx
−2
Sol: 4
Llamando a
−2
4
f (x) dx = A y
4
g (x) dx = B , y aplicando propiedades se llega a:
−2 [5f (x) + 2 g (x)] dx = 7
−2
⇔ 5A + 2B = 7
4
[3f (x) + g (x)] dx = 4
−2
⇔ 3A + B = 4
Resolviendo el sistema, se llega a que A = 1 y B = 1; es decir: 4
f (x) dx = 1
−2 4
g (x) dx = 1
−2
7. Hallar el area de la regi´on limitada por la curva y = x 3 + 2x2 y la recta y = 3x.
8 12
Sol: Calculemos los puntos de intersecci´ on: x3 + 2x2 = 3x
⇔ x(x2 + 2x − 3) = 0 ⇔ x(x + 3)(x − 1) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = −3 ∨ x = 1
Luego, el area encerrada por las curvas viene dada por: 0
A =
3
2
(x + 2 x
−3
A =
x4
2 x3 + 4 3
1
− 3x) dx +
−
3x2 2
Evaluando se llega a: A =
0
−3
142 71 = 12 6
+
(3x
0
3x2 2
− (x3 + 2x2)) dx −
x4
4
−
2x3 3
1 0
≈ 11.83[u2]
8. (a) Encuentre el area de la regi´ on R del primer cuadrante, acotada por la izquierda por y = 2 2 por la derecha por y = x , y por arriba por y = 2. Sol El area a calcular se aprecia en la siguiente figura:
De esta forma, el area se obtiene como:
√
1
A =
(2
− (2 − x) dx + 0 1 √ (√ 2)3 1 A = + 2 2 − − 2 3
2
x2
1
x3
− x2) dx = 2 0 + 2x − 3 √ 1 4 2 7 2− = 0.718[u2 ] − ≈ 3 3 6
(2
√
2
1
− x,
(b) Calcule el volumen del s´ olido formado al rotar la regi´ on R de la parte (a), en torno del eje X . Sol: El volumen viene dado por: 1
V = π
(22
0
− (2 − x)2) dx + π
V = π
2
2x
−
x3
3
1 0
√
2
(22
1
1
x4 ) dx = π
(4x
x2 ) dx + π
0
+ π 4x
√
− − √ − − · ≈ √
x5
2
5
1
(4
1
16 2 5
=
2
32 15
π
− x4) dx
7.51[u3 ]
9. Eval´ ue la integral, utilizando alg´ un m´etodo de integraci´ on: 1
x cos(πx) dx
·
0
Sol: Utilizando integraci´ on por partes con u = x forma: 1
0
. → du = dx; dv = cos(πx)dx → v = sin(πx) π
x sin(πx) x cos(πx) dx = π
·
·
= 0+
1
1
1
0
π
1
−
sin(πx)dx
0
1 −2 πx π cos( ) = (cos cos0) = · · − π2 π2 π2 0
1
10. Utilice descomposici´ on en fracciones parciales para demostrar que 4
x
−9
(x + 5)(x
3
− 2)
d x = ln
81 128
Sol: x
−9
(x + 5)(x Si x = 2
− 2)
=
A x+5
+
A(x − 2) + B (x + 5) ⇔ (x + 5)(x − 2) x−2 B
⇒ 7B = −7 → B = −1. Si x = −5 ⇒ −7A = −14 → A = 2.
Finalmente:
4
3
x
−9
(x + 5)(x = 2ln9
4
− 2)
d x = 2
· 3
1 x+5
4
− 3
1 x
−2
= (2ln(x + 5)
= ln81
− ln 128 = ln
81 128
4
− ln(x − 2)) 3
− ln 2 − (2ln8 − ln1) = ln81 − ln 2 − 6 ln2 = ln 81 − 7 l n 2
De esta
11. Encuentre el valor de la constante a de modo que a
x ex dx = 4e5
·
1
Sol: Utilizando, integraci´ on por partes con u = x a
→ du = dx; v = ex, se tiene:
x ex dx = (xex
·
1
a
− ex) 1 = ea(a − 1) = 4e5
con lo que se deduce que la constante vale a = 5.
12. La par´ abola y = x2 , la recta tangente a la par´abola en el punto (1, 1) y el eje X , determinan una regi´ on R. Calcule: (a) El area de la regi´on R. La gr´afica que ilustra la regi´on R se muestra a continuaci´ on:
De esta forma el area es: 1
A =
1
2
x dx
0
−
recta dx
1/2
Como la recta es tangente a la par´ abola en el punto (1, 1), la pendiente se obtiene como m = 2 m = 2. Luego, la ecuaci´ (x ) = 2x y evaluada en x = 1 on de la recta tangente es y = 2x 1. Finalmente:
→
1
A =
0
2
−
1
x dx
−
(2x
1/2
− 1) dx =
x3
3
1
− 0
2
(x
− x) 1/2 = 121 [u2]
(b) El volumen generado al rotar la regi´ on R en torno del eje Y . Sol: Utilizando el m´etodo de los discos se llega a:
− √ − 1
y + 1
V y = π
2
0
= π
y3
12
+
2
y2
4
+
( y )2
y
y2
1
4
2
0
=
π
12
dy
[u3 ]
1
13. Demostrar que la longitud de la curva 9(x + 2)2 = 4(y
− 1)3 desde y = 1 a y = 2 es L = 143 .
1 14. Calcular la longitud de la curva x2 = (2y + 3) 3 , desde y = 1 hasta y = 2.Sol: 27 (643/2
·
15. Hallar la longitud de la curva y = x 3 +
1 , desde x = 1, hasta x = 2. Sol: 339 48 12x
16. Calcular la longitud del arco de la curva 9ay 2 = x (x
− 3a)2 desde x = 0 hasta x = 3a.
− 463/2)
