Ejercicios de aplicación de las propiedades de los fluidos. 201530 Viscosidad, densidad, concentración. 1. Calcular la velocidad U con que desciende una arandela de masa m y área lateral A cuando se pone sobre una capa de pintura de viscosidad y espesor e aplicada en una pared vertical.
Pared vertical
Arandela Capa de pintura
Solución. Se supone que se ha alcanzado el estado estable y se desprecia la fricción del aire. Se toma la arandela como cuerpo libre, se aplica segunda ley de Newton en dirección vertical. Como la velocidad es constante la aceleración es cero, por tanto el peso de la arandela mg es igual a la fuerza viscosa Fv de la pintura: mg = Fv. Se aplica la ley de viscosidad de Newton: =
𝐹𝑣 𝐴
=
𝑚𝑔 𝐴
= 𝜇𝑈/𝑒
Donde A es el área de la superficie de la arandela en contacto con la pintura; e es el espesor de la capa de pintura. Despejando, 𝑈 =
𝑚𝑔𝑒 𝜇𝐴
Para los valores: m = 0,3 gramos; e = 0,1 mm; = 0,3 Pa∙s; A = 1 cm2. Resulta: 𝑈 =
𝑚𝑔𝑒 0,3 ∙ 10−3 ∙ 9,8 ∙ 0,1 ∙ 10−3 = → 𝑈 = 9,8 ∙ 10−3 𝑚/𝑠 𝜇𝐴 0,3 ∙ 10−4
Para pilos: estimar el tiempo que se toma la moneda en alcanzar el 90% de la velocidad de estado estable U, a partir del momento en que parte del reposo [U(0) = 0]. 2. Una lámina plástica de 20 gr de masa y 400 cm2 de área desciende con velocidad constante de 0,5 m/s sobre un plano inclinado 20° con la horizontal lubricado con una delgada capa de aceite de viscosidad = 0,01 Pa∙s. Estimar el espesor e de la capa de aceite. R: e = 3 mm, aprox. 3. Sobre un plano inclinado ° fluye (debido a su propio peso) una capa de aceite de espesor t, densidad y viscosidad . Calcular el esfuerzo cortante e en la superficie del aceite en contacto con el aire, y 0 en la superficie del aceite en contacto con el plano inclinado. R: e = 0 y 0 = ∙t∙ sen.
4. (a) Calcular cuántos litros de agua ( = 1000 kg/m3) se deben agregar a 50 kg de cemento (S = 2,7) y a 150 kg de arena (S = 3) para obtener una mezcla con fracción de masa de cemento de 20%. (b) Calcular la densidad media 𝜌̅𝐻 de la mezcla húmeda. (c) Si la mezcla anterior se seca hasta que la humedad se reduzca al 5%, calcular la densidad de la mezcla seca 𝜌̅𝑆 . Solución. (a). Los valores de S dados entre paréntesis corresponden a la densidad real de los materiales. La 𝑚𝑐 𝑚𝑇
fracción de masa de cemento es: 𝑤𝑐 = El volumen de agua es 𝑉𝑤 =
𝑚𝑤 𝜌𝑤
=
50 1000
→ 0,2 =
𝑚𝑐 𝑚𝑐+ 𝑚𝑎 +𝑚𝑤
50
= 50+150+𝑚 → 𝑚𝑤 = 50 𝑘𝑔 𝑤
= 0,050 𝑚3 → 𝑉𝑤 = 50 𝐿
(b). La densidad de la mezcla húmeda es: 𝜌̅𝐻 =
𝑚𝑇 𝑉𝑇
=
𝑚𝑐 +𝑚𝑎 +𝑚𝑤 𝑉𝑐 +𝑉𝑎 +𝑉𝑤
=
𝑚𝑐 +𝑚𝑎 +𝑚𝑤 𝑚𝑐 𝑚𝑎 + +𝑉𝑤 𝑉𝑐 𝑉𝑎
=
50+150+50 50 150 + +0,050 2700 3000
→ 𝜌̅𝐻 = 2109,4 𝑘𝑔/𝑚3
(c). Si se reduce la humedad al 5% la fracción de masa del agua es 𝑤𝑤 = 0,05 =
𝑚𝑤 𝑚𝑇
→ 0,05 =
𝑚𝑤 𝑚𝑐+ 𝑚𝑎 +𝑚𝑤
=
𝑚𝑤 50+150+𝑚𝑤
→ 𝑚𝑤 = 10,53 𝑘𝑔
La densidad de la mezcla seca es: 𝜌̅𝑆 =
𝑚𝑇 𝑚𝑐 + 𝑚𝑎 + 𝑚𝑤 𝑚𝑐 + 𝑚𝑎 + 𝑚𝑤 50 + 150 + 10,53 = = 𝑚 = → 𝜌̅𝑆 = 2663 𝑘𝑔/𝑚3 𝑚 𝑐 𝑎 50 150 10,53 𝑉𝑇 𝑉𝑐 + 𝑉𝑎 + 𝑉𝑤 + + 𝑉𝑤 𝑉𝑐 𝑉𝑎 2700 + 3000 + 1000
Propiedades térmicas 5. Calcular el calor Qw requerido para calentar un litro de agua líquida desde 30 °C hasta 100 °C, y la potencia de la estufa si la eficiencia es del 50% y el tiempo de calentamiento 10 minutos. Solución Se supone que el calor específico del agua es 4,19 kJ∙kg-1K-1 y la densidad es 1000 kg/m3. La masa en un litro de agua es 1 kg. De la definición de calor específico: 𝑐 =
𝑄𝑤 𝑚∙∆𝑇
Se obtiene 𝑄𝑤 = 𝑚 ∙ 𝑐 ∙ ∆𝑇 = 1 ∙ 4,19 ∙ (100 − 30) = 125,7 𝑘𝐽 Como la eficiencia es 50% el calor que suministra la estufa será: 𝑄𝑒𝑠𝑡𝑢𝑓𝑎 = Potencia es energía por unidad de tiempo, 𝑄̇𝑒𝑠𝑡𝑢𝑓𝑎 =
𝑄𝑒𝑠𝑡𝑢𝑓𝑎 𝑡
251,4
𝑄𝑤
=
125,7 0,5
= 251,4 𝑘𝐽
= 10∙60 = 𝑄̇𝑒𝑠𝑡𝑢𝑓𝑎 → 0,42 𝑘𝑊
6. Estimar la densidad del aire seco en Bogotá si la presión atmosférica es 74660 Pa, en un sitio donde la temperatura es 10 °C. Solución 𝑃
𝑃
Se supone que el aire es un gas ideal. Se aplica la ecuación de los gases perfectos: 𝜌 = 𝑅𝑇 → 𝜌 = 𝑅𝑇 Reemplazando datos (la presión y la temperatura son valores absolutos): 𝜌=
𝑃 74660 = → 𝜌 = 0,919 𝑘𝑔/𝑚3 𝑅𝑇 287 ∙ (273 + 10)
7. Estimar el aumento de temperatura del agua debido a la fricción con la tubería por la que fluye. El agua baja por gravedad de un depósito elevado a otro depósito situado 50 m abajo. Solución Se supone que toda la energía potencial del agua se convierte en calor Energía potencial = energía interna: mgZ = U = mu. Por unidad de masa, 𝑔𝑍 = 𝑢 = 𝑐∆𝑇 Despejando: ∆𝑇 =
𝑔𝑍 𝑐
=
9,8 𝑚∙𝑠−2 ∙50 𝑚 4186 𝐽∙𝑘𝑔−1 𝐾−1
→ ∆𝑇 = 0,117 °𝐶
Propiedades de compresibilidad La presión P de un fluido en reposo varía con la profundidad h de acuerdo con la ecuación: 𝜕𝑃 = 𝜌𝑔 𝜕ℎ La fórmula para la elasticidad volumétrica 𝐸𝑣 = −
𝑉∆𝑃 ∆𝑉
se puede expresar como 𝐸𝑣 =
𝜕𝑃 𝜕
Calcular la densidad del agua de mar a 8000 m de profundidad, si en la superficie 𝜌0 = 1002 𝑘𝑔/𝑚3 . Para el agua Ev = 2,2 GPa Solución De las ecuaciones diferenciales dadas: 𝜕𝑃 = 𝜌𝑔 𝜕ℎ = 𝐸𝑣
𝜕
Separando variables e integrando: 𝜕 𝑔 ℎ 1 1 𝑔ℎ = ∫ 𝜕ℎ → − [ − ] = 2 𝐸𝑣 0 𝜌 𝜌0 𝐸𝑣 𝜌0 𝜌 𝜌
∫
→𝜌=
jhvb
1 1 𝑔ℎ − 𝜌0 𝐸𝑣
=
1 → 𝜌 = 1039 𝑘𝑔/𝑚3 9,8 ∙ 8000 1002 − 2,2 ∙ 109
