EJERCICIOS CAPITULO 1
( ) || | √ √ √ || | √ ( ) | | | √√ √√ || || || √ | | | √ || || || ||| | || |
1.1 Dados los vectores
y
, Encontrar:
a) Un vector unitario en la direcc ión de –M+2N; –M+2N
b) La magnitud de
c)
1.2 Los vértices de un triángulo están en A (-1, 2, 5), B (-4, -2,-3) y C (1, 3, -2). a) Encontrar el perímetro del triángulo. t riángulo.
b) Encontrar el vector unitario dirigido desde el punto medio del lado AB al punto medio del lado BC.
| | | C) Demostrar que este vector unitario multiplicado por un escalar es igual al vector de a AC y que, por lo tanto, el vector unitario es paralelo al lado AC.
Si multiplicamos por un escalar= 7.4
EJERCICIOS 1.3 Un vector desde el origen hasta el punto A esta dado por (6,-2.-4) y un vector unitario desde el origen hasta el punto B esta dado por (2,-2,1)/3. Encontrar las coordenadas del punto B
||
Por lo tanto tenemos que:
||
√
Entonces tenemos:
1.4 Un circulo con centro en el origen y un radio de 2 unidades está en el plano xy . Determinar el vector unitario en coordenadas cartesianas que está en el plano xy, es tangente al círculo en el punto ( ) y está en la dirección positiva del eje y.
Solución:
√
Un vector unitario tangente a este círculo es
√ √ √ √ √ ) ( ( || t=
vector unitario en dirección al eje y
Estas componentes x y y son:
En el punto (
),
y entonces
y
Entonces el vector unitario es
1.5 Un campo vectorial está dado por . Dados dos puntos, encontrar: a) G en P; b) un vector unitario en la dirección de G en Q; c) un vector unitario de Q a P; d) la ecuación de la superficie en la que
Solución:
|| ( ) ( ) a)
b)
c)
d)
1.6 Si a es un vector unitario en una determinada dirección, B es un escalar constante y , describir la superficie ¿Cuál es la relación entre el vector unitario a y el escalar B en esta superficie?(PISTA: Considerar un ejemplo sencillo donde a= y B=1 y, posteriormente , cualquier a y B) Si a es un vector unitario entonces:
|| ( ( ) ( ) ( )
Por lo que
Esta es la ecuación de una superficie plana, donde
La relación de a con la superficie se hace evidente e n el caso especial en el que
Entonces tenemos
Por lo que es evidente que
es un vector unitario normal a la superficie
Rta.
|| || || | | | | | | √ || || || √ 1.7 Dado el campo vectorial , y menor a 2, encontrar: a) las superficies en las que ; c) la región en la que .
en la región ; b) la región en la que
a)
Si Si
entonces entonces
Si
entonces
Si
entonces
Si
entonces
Si
entonces
b)
c)
1.8.- Demostrar la ambigüedad que produce cuando se utiliza el producto cruz para encontrar el ángulo entre dos vectores y se obtiene el ángulo formado entre y B= . Se esta ambigüedad cuando se presenta el producto punto
1.9) Dado el campo vectorial
√ | | | √ √ | | | | | | | | | √ ⁄
en la dirección de G en P(3, 4, -2); b) el ángulo entre G y en el plano y=7. SOLUCION
a)
encontrar: a) un vector unitario
en P; c) el valor de la doble integral
⁄ ⁄ ( )
b)
⁄ ⁄ c)
1.11 Dados los puntos
,
a) el vector
b) el producto punto
y
encontrar:
√ √ | | | | || ||| || √ || √ || | √ √ | ||| c) la proyección escalar de
sobre
d) el ángulo entre
1.12
y
Demostrar que los campos vectoriales son ortogonales entre sí en cualquier punto.
y
|| || || (√ ) { } | | | 1.13 a) Encontrar la componente vectorial de
b) encontrar la componente vectorial de
perpendicular a
c) encontrar la componente vectorial de
perpendicular a
que es paralelo a
1.14 demostrar que los campos vectoriales
Son paralelos entre sí en cualquier punto.
Solución:
Muestra que los campos de vectores
Están en todas partes paralelas entre si.
Usando la definición del producto cruz encontramos
Como
entonces
y
y
Identificar
y
y por lo tanto
Entonces los campos vectoriales son paralelos porque el ángulo que forman es cero.
1.15 Tres vectores que se extienden desde el origen están dados por Encontrar.
| | || | | | | || | | ||
a) Un vector unitario ortogonal a r1 y r2.
b) Un vector unitario perpendicular a los vectores r1-r2 y r2-r3.
c) El área del triángulo formado por r1 y r2.
d) El área del triángulo que forman las puntas de los vectores r1, r2, r3.
EJERCICIO 1.16
| |
El campo vectorial
, donde B es una constante se desplaza de tal forma que su origen
estará en la línea x=2, y=0. Escribir el desplazamiento de E en c oordenadas cartesianas.
Para la componente X: Por lo tanto
Para la componente Y: Por lo tanto
Entonces tenemos
Como ya obtuvimos el campo en coordenadas cartesianas ahora solo nos quedara desplazarla hasta el punto x=2, y=0;
1.17 Un triángulo lo definen el punto
a)
y los vectores
Encontrar un vector unitario perpendicular al triángulo
| | b) Encontrar un vector unitario coplanar al triángulo y perpendicular a
c) Encontrar un vector unitario coplanar al triángulo que bisecta al ángulo interior en A.
y
EJERCICIO 1.19 a) Expresar con componentes y Variables cilíndricas el Campo
Entonces
Remplazando
( )( )
( ) ( ) ( )
b) Evaluar en el punto donde cilíndricas y cartesianas
,
y
, expresar el resultado en componentes
En coordenadas cartesianas tenemos:
En coordenadas polares tenemos:
Remplazando
( ) ( ) ( )
1.21.- Expresar en componentes cilíndricas:
a) El vector desde C(3,2,-7)hasta D(-1,-4,2)
√ Z=Z
Z=--7
√ Z=Z
Z=2
b) Un vector unitario en D dirigido hacia C.
9
c) Un vector unitario en D dirigido hacia el origen.
1.22.) Una esfera con radio en el origen y radio angular de
, gira con respecto al eje
a una velocidad
en dirrcion opuesta a las manecillas del reloj en la dirección positiva del
eje . a) Escribir una expresión, utilizando componentes esféricas, del campo de velocidad
v ,
que proporciona la velocidad tangencial en cualquier punto de l a esfera.
Tenemos que la velocidad tangencial es el producto de la velocidad angular y la distancia perpendicular situada en el eje de rotación. Con la rotación que indican las manecillas del reloj se obtiene.
b) Convertirle a componentes cartesianas. Para convertir en coordenadas cartesianas tenemos que tomar en cuenta el eje de rotación; es decir, el signo.
Por tabla.
Por tabla
1.23.- Una superficie cerrada está formada por las superficies
a) Encontrar el volumen encerrado.
∭
b) Hallar el área total de la superficie encerrada.
| | |
| | | |
c) Encontrar la longitud total de las doce esquinas de las superficies.
d) Encontrar la longitud de la línea recta más larga que está encerrada dentro del volumen.
A(
)
B(
)
Z=3
Z=4.5
A(
| || | )
B(
)
1.24. Expresar el campo
Fig. 1 en:
a) Coordenadas cartesianas.
Encontramos la componente x:
√ √ Entonces:
Encontramos la componente y:
Encontramos la componente z:
b) Coordenadas cilíndricas.
Encontramos la componente ρ:
Donde:
Encontramos la componente
Encontramos la componente ρ:
:
Donde:
√
ρ
ρ
EJERCICIO 1.25
ρ
Dado el punto P(r=0.8, =30°, =45°) y a) Encontrar E en P.
b) Encontrar |E| en P.
||
| |
c)
||
Hallar un vector unitario en la dirección de E en P.
1.26 Expresar el campo vectorial uniforme F=5a x en: a) Componentes cilíndricas.
b) Componentes esféricas.
1.27 Una superficie cerrada esta definida por las superficies , y . a) Encontrar el volumen encerrado. b) hallar el área de la superficie encerrada; c) encontrar la longitud total de las doce orillas de la superficie; d) hallar la longitud de la lines recta mas larga que se encuentra dentro de la superficie. Desarrollo: a)
laformula de volumen es
∫ +
b)
las áreas de las superficies son
,
y
c)
la distancia entre dos superficies
la distancia entre dos conos generados por los angulos la distancia entre dos planos radiales con angulos
d) si hacemos
Para A
Para B
| | | | | | 1.28) Expresar el campo vectorial
a) Componentes cartesianas
en
Respuesta:
b) Componentes cilíndricas
La componente en (z) es la misma que la encontrada en el inciso ante rior
1.29 Expresar el vector unitario a x, en componentes esféricas en el punto:
a) r=2, Ө=1rad, =0.8rad
b) x=3, y=2, z=-1
() √ √
c)
() ()
=2.5, =0.7rad, z=1.5
1.30 Un campo vectorial tiene el valor en el punto . Encontrar la componente vectorial de A que: a) es perpendicular a la superficie ; b) tangente a la superficie ; c) tangente al cono . D) encontrar un vector unitario que sea perpendicular a A y tangente al cono
Desarrollo: a) si es perpendicular a la superficie radial
b)
la componente vectorial de A será justamente la componente
si es tangente a la superficie tanto sera:
la componente vectorial será aquella que no son normales a A por lo
c) el vector unitario normal para el cono es
d)
por lo tanto la componente vectorial sera
si denotamos como b al vector unitario tenemos
√ +
Si
(1)
Para que un vector unitario sea perpendicular se tiene que cumplir que
Remplazando (2) en (1)
Remplazando en (2)
(2)
√ √
El vector unitario será
√ √ EJERCICIOS CAPITULO 2
2.1) Cuatro cargas positivas de 10nC se ubican en el plano z=0 en las esquinas de un cuadrado de 8cm de lado. Una quinta carga positiva se sitúa en un punto ubicado a 8cm de distancia de las demás. Calcular la magnitud de la fuerza total sobre esta quinta carga para Є= Єo. Z
Q5=10nC Q4=10nC
Q3=10nc
z
Q1=10nc 8cm
8cm
√
8cm
Q2=10nC
X RQ1(4,-4,0) RQ2(4,4,0) RQ3(-4,4,0) RQ4(-4,-4,0) RQ5=
Entonces:
(√ ) √ √
Y
√
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ | | √ || √ √ √ || √ √ √ √ √ √ √ RQ5(0,0,
)
Por lo tanto:
2.3 Cuatro cargas puntuales de 50nC cada una se ubican en el espacio libre en los puntos Encontrar la fuerza total sobre la carga que está en el punto A. Solución:
( ) ( ) ( ) () || √ √ √ (√ ) () (√ ) √ √ (√ ) √ √ (√ ) √ √ (√ ) √ √
EJERCICIO 4:
Ocho cargas puntuales idénticas de se ubican en las esquinas de un cubo de aristas a, con una carga en el origen y las tres cargas más cercanas en , , . Encontrar la expresión de la fuerza vectorial total sobre la c arga en el punto , suponiendo que están en el espacio libre.
De esta manera podemos ver que los puntos del cubo son los siguientes
() () √ √ √ √ √ √ ||
Simplificando la expresión tenemos:
Como sabemos que:
Y su magnitud seria la siguiente:
EJERCICIO 6:
Tres cargas puntuales de están sobre el eje x en en el espacio libre. a) Encontrar E en x=5. b) Determinar el valor y ubicación de una única carga puntual equivalente que produciría el mismo campo a grandes distancias. c) Determinar E en x=5 utilizando la aproximación de b) a) Encontrar E en x=5.
b) Determinar el valor y ubicación de una única carga puntual equivalente que produciría el mismo campo a grandes distancias. Basándonos en el literal a) podemos darnos cuenta que si variamos la distancia también varia el radio por ende podemos utilizar la siguiente expresión:
La misma que va estar ubicada en el punto
.
c) Determinar E en x=5 utilizando la aproximación de b)
Así mismo podemos darnos cuenta que hay una variación de un 7% aproximadamente en relación con el literal a), que es el resultado exacto. 2.7) Una carga puntual de 2 μC está en el espacio libre de en A(4, 3, 5). Encontrar punto P(8, 12, 2).
|| || ⁄ En coordenadas cilíndricas se tiene que:
y
en el
( )( ) ( ) Z=Z
2.8. Un dispositivo para medir cargas consiste de dos pequeñas esferas aisladas de radio a, una de las cuales está fija. La otra se puede desplazar a lo largo del eje y está sujeta a una fuerza restrictiva , donde es la constante del resorte. Las esferas sin carga tienen su centro en =0 y =d ; la última está fija. Si las esferas tienen cargas iguales y opuestas de Q coulombs, obtener la expresión para obtener en función de . Determinar la máxima carga que puede medirse en términos de , y d, y obtener la separación de las esferas. ¿Qué pasa si se aplica una carga mayor?
Resolución:
a) F=
F=
=
=
= 2(
)
|| ||
2.9 Una carga puntual de de todos los puntos encuentra en dicho lugar a)
esta en en los que
en el espacio libre. a) Encontrar la ubicación . b) Encontrar si se
b) para cumplir la condición del inciso a tenemos para e l punto
√ √ √ √ ⁄ ⁄ ⁄ √ ⁄
2.10 Una carga de prueba positiva se utiliza para obtener el campo que produce una carga puntual positiva Q en . Si la carga de prueba se coloca en el origen, la fuerza sobre ella se presenta en la dirección , y cuando la carga de prueba se desplaza al punto , la fuerza está en la dirección . Encontrar a, b y c .
Para
En
:
√ √ √
Observamos que última ecuación
O
. En la siguiente ecuación
Con estos valores obtenemos los valores de de y ecuaciones anteriores.
, y por lo tanto
. Utilizando la
. Obteniendo las posibles coordenadas . El segundo valor cumple las condiciones de las
2.11
|| || Una carga
que esta en el Origen Genera un campo cuyo valor
en el punto
.
a) Encontrar
.
F/m
Como solo tenemos intensidad de campo en la direcc ión de z podemos resolver de la siguiente manera:
Encontrar E en
en:
b) Coordenadas Cartesianas.
| | c) Coordenadas Cilíndricas. Para M tenemos en coordenadas cilíndricas:
√ Z=5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) Coordenadas Esféricas. Para M tenemos en coordenadas esféricas:
√ ( ) ( )
Ahora, dado que la carga está en el origen, esperamos obtener sólo una componente radial de la EM. Este será:
∭ ∭ |
2.12 En una determinada región del espacio hay electrones moviéndose aleatoriamente. En cualquier intervalo de , la probabilidad de encontrar un electrón en una subregión de volumen es . ¿Qué densidad volumétrica de carga se debe asignársele a esa subregión para dicho intervalo? La probabilidad finita reduce eficazmente la cantidad de carga neta en la probabilidad
2.13
Una densidad volumétrica de una carga uniforme de está en una concha esférica que se extiende de a . Si en cualquier otro otra parte, encontrar: a) la carga total presente en la concha , y b) el valor si la mitad de la carga total esta en l a región .
|
como para los cálculos no se considero el exponente de la carga inicial se aplicara en este paso por tanto
b) tomando en cuenta los cálculos del inciso a podemos empezar por
EJERCICIO 2.14
En un sistema de coordenadas cilíndricas la densidad de carga varia en función del radio de acuerdo con
. A que distancia del eje z se encuentra la mitad de la carga total.
⬚
ρ
≤≥ ( ) ( ) ⋮ ∞
Para que sea un cilindro la altura mínima debe ser z=1 y
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
La carga total se da cuando ρ
ρ
ρ
Igualo las cargas para encontrar la distancia: ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
2.16) Una densidad de carga está dada por
a son constantes. Encontrar la carga total dentro: a) La esfera, r≤a;
en una región del espacio libre donde
y
∫ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤
Donde:
Entonces:
b) El cono,
c) La región,
,
;
,
,
2.17 Una Carga Lineal Uniforme de 16 nC/m se ubica a lo largo de la l ínea definida por Si
|| a) Encontrar E en
,
Donde
b) Encontrar E en ese punto sobre el plano z=0 donde la dirección de E esta dada por
Necesitamos
EJERCICIO 2.18
Una carga lineal uniforme e infinita
se ubica a lo largo del eje x en el espacio
libre a la vez que cargas puntuales de 8nC se localizan en (0, 0, 1) y (0, 0, -1).
a) Encontrar E en (2, 3, -4).
) ( ρ
Entonces
ρ
porque se anulan las componentes
Entonces:
Entonces:
b) A que valor se debe modificar ρ para provocar que E sea cero en (0, 0, 3) ρ ρ Donde :
ρ
R R
ρ
| | ||
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
2.20) la porción del eje z para que y
a) (0,0,4)
ρ
ρ
conlleva una densidad de carga lineal no uniforme de
en cualquier otro lugar. Determinar E en el espacio libre en
| | || ||
b) (0,4,0)
| |
√ √ √
2.21) dos cargas lineales uniformes del mismo valor con espacio libre en
estan ubicadas en el
. ¿Qué fuerza por unidad de longitud ejerce cada una de
las cargas lineales sobre la otra?
Las cargas son paralelas al eje z y separadas 0.8m
La fuerza de atracción es la misma en ambos casos, desde que va de
hasta
⁄
⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ∫ ∫ ⁄ | ⁄ (√) ⁄ ⁄
2.22 Dos láminas de cargas uniformes idénticas tienen el valor y están ubicadas en el espacio libre en ¿Cuál es la fuerza por unidad de área que una hoja ejerce sobre la otra?
El campo de la lámina superior es V/m. La fuerza diferencial producido por este campo en la hoja inferior es la densidad de carga en los tiempos de lámina inferior de la zona diferencial, multiplicado por el campo eléctrico de la hoja superior: . La fuerza por unidad de área es entonces solo 2 N/m .
2.23. Dada la densidad de carga de superficie = 2 y tiene el valor de cero en cualquier otro punto, encontrar
, en la región en:
a)
Resolución: =2 r=
Primero integramos con respecto a
Reemplazando
8.3
0btenemos:
//
b)
Reemplazamos
en la ecuación obtenida en el literal a) tenemos:
,
(√) ⁄ ⁄ -8.3
//
2.24 Para el caso del disco del problema 2.23, demostrar que:
⁄ ⁄ ∫ ∫ ⁄ | ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ √ √ √ √ √ =2
r=
Integramos con respecto a
a) El campo a lo largo del eje z se reduce al correspondiente de una lámina de carga infinita para valores pequeños de z;
Lo cual queda demostrado que el campo se reduce al correspondiente de una lámina de carga infinita b) El campo en el eje z se reduce al correspondiente de una carga puntal para valores grandes de z
√ √
Es el punto de campo de carga donde vemos que sobre el disco que se ve como un punto.
que es la carga total
⁄ ⁄ ( ) ( ) ( ⁄ ) ()⁄ ()() () ( ) ⁄
2.25. Encontrar el valor de en el origen si las distribuciones de carga siguientes están presentes en el espacio libre: carga puntual, 12 en P(2,0,6); densidad de carga lineal uniforme, 3 en ; densidad de carga uniforme 0.2 en . Resolución:
+
+
-
-
+
-
+
-
//
2.26) Un dipolo eléctrico (estudiado en la sección 4.7), consta de dos cargas puntuales de la misma magnitud pero con signos contrarios
a una distancia
cargas se encuentran sobre el eje z en los puntos
entre sí. Cuando las
(estando la carga positiva en la
posición positiva z), el campo eléctrico en coordenadas esféricas esta dado por , donde
. Determinar las expresiones de la fuerza
vectorial
en
un
punto
de
carga
utilizando
coordenadas
cartesianas
a) En el punto
Tenemos que:
Por lo tanto la fuerza es;
b) En el punto
Por lo tanto la fuerza es;
2.27) Dado el campo eléctrico a) La ecuación de la línea que pasa por el punto P(2,3,-4)
(Aplicando la ecuación sobre líneas de flujo del Capítulo 2.6)
, encontrar:
a)
en
( )
Evaluando en P(2,3,-4) para despejar C2, obtenemos:
La ecuación de la línea que pasa por P es:
2.28 Un campo esta definido por línea que pasa por el punto (1, 3, -1) Desarrollo:
|| || || ||
Evaluando en el punto para hallar C tenemos
Por lo tanto la ecuación será
. Encontrar la ecuación de la
|| || || ||
2.29) Si
: a)
en
;b) un vector
unitario en la dirección de E en P; c) La ecuación de la línea que pasa por P. a)
b)
c)
||
