Ejercicios Feno A

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

FENÓMENOS DE TRANSPORTE. MECÁNICA MECÁNICA DE FLUIDOS PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA. CAPÍTULO 4: ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS.

Ing. Willians Medina.

Maturín, julio de 2016.

Capítulo 4.

Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos.

CONTENIDO. CONTENIDO........................................................................................................................ 2 PRESENTACIÓN. ............................................................................................................... 4 ..................................................................................................... ........................................ 5 ACERCA DEL AUTOR. ............................................................. 4.1.- ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS. .................... 7 Ejemplo 3.1. Flujo de una película pe lícula descendente. Sección 2.2 del Bird. Página 2-4. 2 -4. ..... 10 Ejemplo 3.2. Flujo a través tra vés de un tubo circular. Sección 2.3 del Bird. Página 2-10. .... 10 4.2.- FLUJO ROTACIONAL. .............................................. .............................................................................................. ................................................ 11 Ejemplo 3.3. ............................................................................................... .................... 11 Ejemplo 3.4. ............................................................................................... .................... 12 Ejemplo 3.5. Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concéntricos. Ejemplo 3.5-1 del Bird. Página 3-25. ........................................................................................... ........................................................................................ ... 12 Ejemplo 3.6. Distribución de velocidad en un viscosímetro de Stormer. Problema 3.F2 del Bird. Página 3-45. .................................................................................................... 13 Ejemplo 3.7. ............................................................................................... .................... 14 Ejemplo 3.8. Distribución de velocidad entre dos cilindros que giran. ......................... 14 Ejemplo 3.9. ............................................................................................... .................... 15 Ejemplo 3.10. ........................................................................................... ...................... 16 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 16 Ejemplo 3.11. Flujo tangencial en tubos concéntricos de un fluido que obedece a la ley de potencias. .................................................. ..................................................................................................... ................................................................. .............. 24 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 24 Ejemplo 3.12. Forma de la superficie de un líquido que gira. ....................................... 28 Caso a) El fluido no se derrama. ....................................................................................... 29 Resumen de ecuaciones. ecuacione s. .................................................... .................................................................................................... ................................................ 34 a) El fluido no se derrama. ................................................................................................ .......................................................................... ...................... 35 Ejemplo 3.13. Problema 5.8 del de l Giles. Tercera Edición. Página 85. ............................. 36 Ejemplo 3.14. Problema 5.26 del d el Giles. Tercera Edición. Página 92. ........................... 36 Caso b) El E l fluido se derrama. ...................................................... ............................................................................................ ...................................... 36 Resumen de ecuaciones. ecuacione s. .................................................... .................................................................................................... ................................................ 42 Ejemplo 3.15. Problema 5.23 del d el Giles. Tercera Edición. Página 91. ........................... 44 Ejemplo 3.16. Problema 5.24 del d el Giles. Tercera Edición. Página 91. ........................... 44 Ejemplo 3.17. ........................................................................................... ...................... 44 c) El recipiente es cerrado. ................................................................................................ 45 El fondo no está descubierto, z (0)  0 . El tope no es mojado z ( R)  H ........................ 45 El fondo está descubierto z 0  0 . El tope no es mojado z ( R)  H : ................................ 46 El fondo no está descubierto z (0)  0 . El tope es mojado, z ( R)  H : ........................... 47 El fondo está descubierto z 0  0 . El tope es mojado, z ( R)  H : ................................... ................................ ... 48 Ejemplo 3.18. Problema 5.11 del Giles. Tercera Edición. Página 88. ........................... 51 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 51 Ejemplo 3.19. Problema 3.C1 del Bird. Página 3-44. .................................................... .... ................................................ 57 Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.

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Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 57 4.3.- FLUJO RADIAL. ................................................ .................................................................................................... ......................................................... ..... 59 Ejemplo 3.20. ........................................................................................... ...................... 59 Ejemplo 3.21. ........................................................................................... ...................... 59 Ejemplo 3.22. ........................................................................................... ...................... 60 Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 61

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.


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PRESENTACIÓN. La presente es una Guía de Ejercicios de Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial, Mecánica, de Petróleo y Química de reconocidas Universidades en Venezuela. El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de algunos ejemplos, la inclusión de las respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos. Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Fenómenos de Transporte en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente en la literatura. Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 58B3CF2D

ó

569A409B,

correo

electrónico:

[email protected]

ó

[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

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ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Fue becado por LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios universitarios y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Desde el año 2010 ha sido autor de video tutoriales para la enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a través del portal Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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http://www.tareasplus.com/ y también es autor de compendios de ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica. En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda, siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2016) ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual cuenta con un promedio diario de 3500 visitas, y en forma privada (versión completa) mediante la corporación kdp.amazon.com/ y www.scribd.com/. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



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4.1.- ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS. Coordenadas rectangulares. Ecuación de continuidad:

      (  v x )  (  v y )  (  v z )  0  t  x  y  z

Ecuación de movimiento. En función de  . Componente x .   v x v v  v   p    x x   y x   z x     g x  v x x  v y x  v z x                t x y z x x y z    

 

Componente y .  v y  v y  v y    v y  p    x y   y y   z y     g y     v x  v y  v z             t x y z y x y z    

 

Componente z .   v z v v  v   p    x z   y z   z z     g z  v x z  v y z  v z z                t x y z z x y z    

 

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de  y  constantes. Componente x .   2 v x  2 v x  2 v x    v x  v x  v x  v x   p    g x     v x  v y  v z    2     2 2       t x y z x    x y z    

Componente y .   2 v y  2 v y  2 v y   v y  v y  v y    v y  p    g y     v x  v y  v z    2     2 2    x  y  z   y  y  z    t   x

Componente z .   2 v z  2 v z  2 v z    v z  v z  v z  v z   p    g z     v x  v y  v z    2     2 2       t x y z z    x y z    

Coordenadas cilíndricas. Ecuación de continuidad:

  1   1   (  r vr )  (  v )  (  v z )  0  t r  r  z r  



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Capítulo 4.


Ecuación de movimiento. En función de  . Componente r .   vr  vr v  vr v 2  v   p  1  1   r       r z      g r  vr    v z r          (r  r r )   r r   r  z   r  r  r  z  r   r   t

Componente  .   v v v vv v  v  1  p  1  1           z     g  (r 2 r  )   vr      r   v z       2   t r r  r z r  r r  r z         r     Componente z .  

  v z v  v  v v  p  1  1    z   z z     g z  vr z   z  v z z       (r  r z )   r r    z   z  r  r  z  r     t

 

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de  y  constantes. Componente r .    1    v r  v r v  v r v 2  v r   1  2 v r 2  v  2 v r   p     v r    v z       r     r  r  r (r v r )   r 2   2  r 2     z 2    g r t r r r z           

Componente  .    1    v  1  2 v 2  vr  2 v   v v  v vr v  v  1  p    (r v )   2  vr    v z      2    g    2 2  t r r r z r r r r               r r z      

Componente z .  1    v z  1  2 v z  2 v z    v z  v z v  v z  v z   p     r   2  vr   v z       g z   2 2  t r r z z r r r           r z       

Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas rectangulares.   v x  v y    y x    

 x y   y x    

  v x  v z    z x    

 x z   z x    

  v y  v z    z y    

 y z   z y    

Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas cilíndricas. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.


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Capítulo 4.


   v  1  vr       r  r  r   

 r     r    r

  vr  v z    z r    

 r z   z r   

  v 1  v z    z r     

  z   z    

Caudal: Q    v d A R Elemento diferencial de área perpendicular al flujo longitudinal: d A  r d  d r Elemento diferencial de área perpendicular al flujo rotacional: d A  d r d z El elemento diferencial de área perpendicular al flujo radial: d A  r d  d z

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.


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Capítulo 4.


Ejemplo 3.1. Flujo de una película descendente. Sección 2.2 del Bird. Página 2-4. Consideremos una superficie plana inclinada. Estas películas se han estudiado en relación con torres de pared mojada, experiencias de evaporación y absorción de gases y aplicación de capas de pintura a rollos de papel. Se supone que la viscosidad y densidad del fluido son constantes y se considera una región de longitud L , suficientemente alejada de los extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están incluidas en L ; es decir, que en esta región el componente v z de velocidad es independiente de z . z

x

v z ( x) 

 x y ( x) L

Dirección de la gravedad



Determinar: a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento. b) Distribución de velocidad. La solución detallada de este ejercicio se encuentra disponible en el libro “Problemas resueltos y propuestos de Fenómenos de Transporte. Capítulo 3: Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos”, del Prof. Willians Willians Medina en la siguiente dirección:

https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Willians Medina.


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Capítulo 4.


Ejemplo 3.2. Flujo a través de un tubo circular. Sección 2.3 del Bird. Página 2-10. Consideremos el flujo laminar en estado estacionario de un fluido de densidad constante  en un tubo <> de longitud L y radio R . r

p 0

L  R

z

L

 ,  R

p L

Determinar: a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento. b) Distribución de velocidad. La solución detallada de este ejercicio se encuentra disponible en el libro “Problemas

resueltos y propuestos de Fenómenos de Transporte. Capítulo 3: Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos”, del Prof. Willians Medina en la siguiente dirección:

https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos 4.2.- FLUJO ROTACIONAL. Ejemplo 3.3. La varilla de un agitador es un cilindro de radio R y longitud muy larga. Se introduce el agitador en un fluido newtoniano en reposo y se hace girar la varilla alrededor de su eje a una velocidad angular constante, w . Suponga que el tanque donde está contenido el fluido es lo suficientemente grande como para considerar que, lejos de la superficie del cilindro, el fluido permanece en reposo. Determine: La distribución de velocidades del fluido. La distribución de presiones del fluido. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Capítulo 4.


La magnitud y dirección de la fuerza por unidad de longitud que el fluido ejerce sobre el cilindro en la dirección tangencial. La solución detallada de este ejer cicio se encuentra disponible en el libro “Problemas resueltos y propuestos de Fenómenos de Transporte. Capítulo 3: Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos”, del Prof. Willians Medina en la siguiente dirección:

https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos Ejemplo 3.4. Un cilindro de 3 cm de radio rota a 300 rpm en un fluido newtoniano infinito. a) Halle el perfil de velocidad. b) Encuentre y grafique la expresión para el esfuerzo de corte. c) Calcule la velocidad y esfuerzo para r  1 m. d) A qué distancia del cilindro la velocidad es nula? Datos adicionales:   800 kg/m3;   0.01 Pa.s. Desprecie los efectos de borde. La solución detallada de este ejercicio se encuentra disponible en el libro “Problemas

resueltos y propuestos de Fenómenos de Transporte. Capítulo 3: Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos”, del Prof. Willians Medina en la siguiente dirección: https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos Ejemplo 3.5. Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concéntricos. Ejemplo

3.5-1 del Bird. Página 3-25. Determinar las distribuciones de velocidad y de esfuerzo cortante, para el flujo laminar tangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular

0 .

Determine además el par necesario para hacer girar el cilindro exterior. Los efectos finales pueden despreciarse.



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Capítulo 4.


0

R k R

 ,  La solución detallada de este ejercicio se encuentra disponible en el libro “Problemas


https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos Ejemplo 3.6. Distribución de velocidad en un viscosímetro de Stormer. Problema 3.F2

del Bird. Página 3-45. Un viscosímetro de Stormer consta esencialmente de dos cilindros concéntricos, el interior de los cuales gira, mientras que el exterior permanece estacionario. La viscosidad se determina midiendo la velocidad de rotación del cilindro interior por efecto de la aplicación de un par conocido. Deducir una expresión para la distribución de velocidad en este tipo de aparatos, en función del par aplicado, para el flujo laminar de un fluido newtoniano. Despréciense los efectos finales.

R

1

k R

 , 



13

Capítulo 4.


La solución detallada de este ejercicio se encuentra disponible en el libro “Problemas

resueltos y propuestos de Fenómenos de Transporte. Capítulo 3: Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos”, del Prof. Willians Medina en la siguiente dirección: https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos Ejemplo 3.7. Calcule el par torsión ( T ) que se requiere para hacer girar el cilindro de la figura a una velocidad constante de w  30 rpm . El radio del cilindro que se mueve es 2” y el radio de la cavidad es de 2 14 " . El espacio entre el cilindro y la cavidad está lleno con aceite de una viscosidad de 200 cp y densidad 0.80 g/cc. Desprecie el efecto del fluido sobre la cara inferior del cilindro. Determine la presión que ejerce el fluido sobre la pared interna de la cavidad, asumiendo que la presión en la superficie del cilindro es nula. w  30 rpm

2 ft

2”

2 14 "



https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos Ejemplo 3.8. Distribución de velocidad entre dos cilindros que giran. Determinar v (r ) entre dos cilindros coaxiales de radios R y k R que giran con velocidades angulares

0

y

1

, respectivamente. Supóngase que el espacio comprendido



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Capítulo 4.


entre dos cilindros está ocupado por un fluido isotérmico incompresible que se mueve con flujo laminar. Obtenga una expresión para la fuerza ejercida por el fluido sobre el cilindro interno. 0

R 1

k R



https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos Ejemplo 3.9. Dos cilindros concéntricos de longitud L se colocan verticalmente (gravedad en dirección z ) y el espacio que hay entre los dos cilindros se llena con un fluido newtoniano de

densidad  y viscosidad  . El cilindro interno tiene radio R y gira a una velocidad 1

angular w , mientras que el cilindro externo tiene radio R y una velocidad angular w . 1

2

2

Con los datos anteriores calcule: a) El perfil de velocidades. b) El radio donde la velocidad es cero. c) Los torques M 1 y M 2 ( M 1 aplicado al cilindro interno y M 2 al cilindro externo) que hay que ejercer. d) Si w1  w2  w y R2  2 R1 , calcule la proporción M 2 / M 1 calculadas en c) y d). Comente. Nota: Torque = Fuerza  Brazo. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Capítulo 4.




https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos Ejemplo 3.10. Dos tubos concéntricos ( D1  2 cm , D2  10 cm ) verticales (muy largos) giran en direcciones opuestas ( w1  20 rpm , w2  15 rpm ). Un fluido newtoniano se encuentra entre estos dos cilindros. Calcule las fuerzas tangenciales (por unidad de longitud) que se deben aplicar a cada cilindro para mantener las respectivas velocidades. Datos:   1250 kg/m 3 ;   1.0 Pa.s ; Estado estacionario. w2

R2 w1 R1

 , 

La solución detallada de este ejercicio se encuentra disponible en el libro “Problemas resueltos y propuestos de Fenómenos de Transporte. Capítulo 3: Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos”, del Prof. Willians Medina en la siguiente dirección:

https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos Ejercicios propuestos.

1. La varilla de un agitador es un cilindro de radio R y longitud muy larga. Se introduce el agitador en un fluido newtoniano en reposo y se hace girar la varilla alrededor de su eje a una velocidad angular constante, w . Suponga que el tanque donde está contenido el fluido es lo suficientemente grande como para considerar que, lejos de la superficie del cilindro, el fluido permanece en reposo. Determine: Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Capítulo 4.


La distribución de velocidades del fluido. La distribución de presiones del fluido. La magnitud y dirección de la fuerza por unidad de longitud que el fluido ejerce sobre el cilindro en la dirección tangencial. Respuesta: a) v 

w R 2 r

; b) p  p0 ; c) F  ( R)  4   w R L , en sentido opuesto al sentido

de giro de la varilla.

2. Un cilindro de 3 cm de radio rota a 300 rpm en un fluido newtoniano infinito. a) Halle el perfil de velocidad. b) Encuentre y grafique la expresión para el esfuerzo de corte. c) Calcule la velocidad y esfuerzo para r  1 m. d) A qué distancia del cilindro la velocidad es nula? Datos adicionales:   800 kg/m3;   0.01 Pa.s. Desprecie los efectos de borde. w

r

z

L 2 R

Respuesta: a) v 

w R 2 r

; b)  r  

2  w R 2 2

r

; c) v  0.02827 m/s ;  r   5.6556  104 Pa :

d) r   .

3. Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concéntricos. Determinar las distribuciones de velocidad y de esfuerzo cortante, para el flujo laminar tangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


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Capítulo 4.


verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular

0 .

Determine además el par necesario para hacer girar el cilindro exterior. Los efectos finales pueden despreciarse. 0

R k R

 , 

 k R r     r k R   ; v   0 R  1   k    k 

Respuesta:

k 2   1   ;  r   2   0 R  2   2  r   1  k  2

 k 2  . T  4    0 R L  2  1 k    2

4. Un cuerpo cilíndrico rota a una velocidad angular constante de 15 rad/s. Una película de aceite de motor separa el cilindro del recipiente que lo contiene. La temperatura promedio de aceite es de 20ºC y el espesor de la película de 210 – 3 cm. ¿Qué torque se requiere para mantener el movimiento del cilindro a la velocidad indicada? Torque = Fuerza  Distancia al eje. Respuesta:   

4  w k 2 R 2 L 1  k 2

.

5. Distribución de velocidad en un viscosímetro de Stormer. Un viscosímetro de Stormer consta esencialmente de dos cilindros concéntricos, el interior de los cuales gira, mientras que el exterior permanece estacionario. La viscosidad se determina midiendo la velocidad de rotación del cilindro interior por efecto de la aplicación de un par conocido. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


18

Capítulo 4.


Deducir una expresión para la distribución de velocidad en este tipo de aparatos, en función del par aplicado, para el flujo laminar de un fluido newtoniano. Despréciense los efectos finales.

R

1

k R

 , 

Respuesta:

v r



1   1  2  2 . 4   L  r R  T

6. Calcule el par torsión ( T ) que se requiere para hacer girar el cilindro de la figura a una velocidad constante de w  30 rpm . El radio del cilindro que se mueve es 2” y el radio de la cavidad es de 2 14 " . El espacio entre el cilindro y la cavidad está lleno con aceite de una viscosidad de 200 cp y densidad 0.80 g/cc. Desprecie el efecto del fluido sobre la cara inferior del cilindro. Determine la presión que ejerce el fluido sobre la pared interna de la cavidad, asumiendo que la presión en la superficie del cilindro es nula. w  30 rpm

2 ft

2”

2 14 "

Respuesta: T  

4   w R12 R22 L R12  R22

.



19

Capítulo 4.


7. Se tienen dos cilindros verticales concéntricos separados por un fluido de propiedades constantes. Se aplica un par torsor al cilindro interior y por transferencia de cantidad de movimiento gira el cilindro exterior. Determine el perfil de velocidades en función de las velocidades angulares y los radios. Si w1  30 rpm ,   492 cp y v  5 g/s 2 , cuál es la velocidad del cilindro exterior en rpm? w  30 rpm

2 ft

2”

2 14 "

8. El cojinete de una máquina está formado por un eje cilíndrico giratorio de 0.025 m de diámetro, alojado en un orificio vertical también cilíndrico de 0.0252 m de diámetro interno y 0.2 m de longitud. Entre ambos cilindros se dispone de un aceite lubricante de 800 kg/m3 de densidad de 0.1 kg/m.s de viscosidad. Despreciando los efectos finales, determinar: a) La ecuación de distribución de velocidades. b) La ecuación de distribución de flux de momento. c) La ecuación de distribución de presiones. d) La potencia necesaria para hacer girar el eje del cojinete.

9. Momento de torsión necesario para hacer girar un cojinete de fricción. Calcular el momento de torsión en lbf .ft, y la potencia en caballos que se necesitan para hacer girar el eje del cojinete de fricción que se muestra en la figura. La longitud de la superficie de fricción sobre el cojinete es 2 pulg, el eje gira a 200 rpm, la viscosidad del lubricante es 200 cp, y su densidad es 50 lbm/pie3. Despreciar el efecto de la excentricidad.



20

Capítulo 4.




w

R

Datos:

R  2.54 cm ,   0.0051 cm .

Sugerencia:

T  F  r ; P  T  w

Respuesta: T  0.32 lbf .ft ; P  0.012 hp .

10. Pérdidas por fricción en cojinetes. Cada una de las dos hélices en una gran embarcación de motor es impulsada por un motor de 4000 hp. El eje que conecta el motor y la hélice mide 16 pulg de diámetro y reposa en una serie de cojinetes de manguito que proporcionan un espacio libre de 0.005 pulg. El eje gira a 50 rpm, el lubricante tiene una viscosidad de 5000 cp y hay 20 cojinetes, cada uno de 1 pie de longitud. Estimar la fracción de potencia del motor que se gasta para hacer girar los ejes en sus cojinetes. Despreciar el efecto de la excentricidad. Respuesta: 0.115.

11. Distribución de velocidad entre dos cilindros que giran. Determinar v (r ) entre dos cilindros coaxiales de radios R y k R que giran con velocidades angulares

0

y

1

, respectivamente. Supóngase que el espacio comprendido

entre dos cilindros está ocupado por un fluido isotérmico incompresible que se mueve con flujo laminar. Obtenga una expresión para la fuerza ejercida por el fluido sobre el cilindro interno.



21

Capítulo 4.

Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos. 0

R 1

k R

 , 

  k 2 R 4 2 2 2 r ( R k R ) ( ) Respuesta: v  2        0 1 0 1   R (1  k 2 )  r  1

F  (k R) 

4   (1   0 ) k R L k 2  1

.

12. Dos cilindros concéntricos de longitud L se colocan verticalmente (gravedad en dirección z ) y el espacio que hay entre los dos cilindros se llena con un fluido newtoniano de densidad  y viscosidad  . El cilindro interno tiene radio R y gira a una velocidad 1

angular w , mientras que el cilindro externo tiene radio R y una velocidad angular w . 1

2

2

Con los datos anteriores calcule: a) El perfil de velocidades. b) El radio donde la velocidad es cero. c) Los torques M 1 y M 2 ( M 1 aplicado al cilindro interno y M 2 al cilindro externo) que hay que ejercer. d) Si w1  w2  w y R2  2 R1 , calcule la proporción M 2 / M 1 calculadas en c) y d). Comente. Nota: Torque = Fuerza  Brazo.



22

Capítulo 4.

Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos. w2

R2 w1 R1

 , 

Respuesta: a) v   c) M 1  

w1 R12  w2 R22 R22  R12

4   L ( w1  w2 ) R12 R22 R2  R1 2

2

r 

; d)

( w1  w2 ) R12 R22 1 R22  R12 M 2 M 1

r

; b) r  R1 R2

w1  w2 w1 R12  w2 R 22

;

 1.

13. Dos tubos concéntricos ( D1  2 cm , D2  10 cm ) verticales (muy largos) giran en direcciones opuestas ( w1  20 rpm , w2  15 rpm ). Un fluido newtoniano se encuentra entre estos dos cilindros. Calcule las fuerzas tangenciales (por unidad de longitud) que se deben aplicar a cada cilindro para mantener las respectivas velocidades. Datos:   1250 kg/m 3 ;   1.0 Pa.s ; Estado estacionario. w2

R2 w1 R1

 , 

Respuesta:

F  ( R1 ) L

 9.60 N/m ;

F  ( R2 ) L


 1.92 N/m .


23

Capítulo 4.


Ejemplo 3.11. Flujo tangencial en tubos concéntricos de un fluido que obedece a la ley de potencias. Volver a trabajar el ejemplo 3.5 para un fluido que obedece a la ley de potencias. 0

R k R




14. Flujo tangencial en tubos concéntricos de un fluido que obedece a la ley de potencias. Volver a trabajar el ejercicio 3 para un fluido que obedece a la ley de potencias. 2/ n

 k R  1   v r   Respuesta:  2/ n  0 r 1  k

 2 0  ; T  2  m k R L  2/n   n (1  k )  2

n

2

15. Un fluido que sigue el modelo de la potencia se encuentra entre dos cilindros concéntricos, tal como se muestra en la figura. El cilindro interno posee una velocidad angular w . Determine el perfil de velocidades y de presiones si se sabe que el esfuerzo cortante según el modelo de la potencia es:  r 

 d v / r   m  r   d r  

n



24

Capítulo 4.


16. Flujo tangencial de un plástico de Bingham en tubos concéntricos. Determinar las distribuciones de velocidad y esfuerzo, para el flujo de un plástico de Bingham en el espacio comprendido entre dos cilindros verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular

0 ,

en función del par T comunicado al

cilindro exterior. Supóngase flujo laminar incompresible y despréciense los efectos finales.

Sugerencia: Para un fluido de Bingham:  r    0   0 r Respuesta:

d  v 





d r  r 

  r 0  2   0  r  v  1     ln   para k R  r  r 0 ,    para 2  r r 4  L  0 r 0   r    0  r 0 

v

T

r 0  r  R

17. Se planea producir y comercializar una excelente y nueva pasta de dientes de brillo cegador denominada <


25

Capítulo 4.


10 cm

9.9 cm 10.1 cm

Se encuentra que la capa es capaz de girar solamente cuando el par de torsión excede  / 10 N.m ; y la capa gira a 3.8 r.p.m cuando el par de torsión es  / 5 N.m . ¿Qué clase de

fluido es <> y cuáles son los valores de sus parámetros de flujo?

18. Encuéntrense las propiedades de flujo de una carga de 5 toneladas de un excelente chocolate caliente, después de 72 horas de mezclado, a partir de los siguientes datos obtenidos

en

un

viscosímetro

rotatorio

de

separación

estrecha

( R1  25 mm , R2  28 mm , L  76.4 mm ) Par de torsión (N.m) Velocidad de rotación (r.p.m)

0.0051

0.0077

0.0158

0.0414

Empieza justo a girar

0.39

2.62

14.81

19. Se sumerge un cilindro ( R  0.95 cm , L  4 cm ) en un recipiente de zumo de naranja concentrado a 0ºC, se hace girar y se mide el par de torsión, con los siguientes resultados: Velocidad de rotación (s – 1) Factor de torsión (N.m)

0.1

0.2

0.5

1.0

42 106

63106

107 106

152 106

Encuéntrense las características de flujo de esta muestra de zumo de naranja.

20. Se tienen dos cilindros concéntricos de longitud L y radios R y R respectivamente 1

2

como puede verse en la figura. El cilindro interior (de radio R ) gira a una velocidad 1

angular w , mientras que el cilindro exterior permanece fijo. Si el espacio entre estos dos cilindros se llena con un fluido tipo Bingham, determine:



26

Capítulo 4.


a) El perfil de velocidades (aquí no calcule las constantes de integración, sólo plantee las ecuaciones necesarias para su solución). b) El torque que el fluido ejerce sobre el cilindro interno. c) El torque que el fluido ejerce sobre el cilindro externo y compárelo con el calculado en el apartado anterior. ¿Qué ocurre? Comente.

21. Se tienen dos cilindros concéntricos, como se muestra en la figura. Entre ambos cilindros se encuentran dos fluidos dispuestos de forma concéntrica, siendo el fluido más interno un fluido tipo Bingham (   3 cp ,   800 kg/m 3 ;  0  5000 Pa ) y el más externo un fluido newtoniano (   5 Pa.s ,   1000 kg/m 3 ). Si se aplica al cilindro interno una fuerza de 2000 N/m para hacerlo rotar y se mantiene el cilindro externo fijo, determine en estado estacionario: i. El perfil de velocidades de los dos fluidos. ii. La fuerza por unidad de longitud que ejerce el fluido newtoniano sobre el cilindro externo. iii. La velocidad angular del cilindro interno.

R1  4 cm , R2  8 cm , R3  12 cm



27

Capítulo 4.


Ejemplo 3.12. Forma de la superficie de un líquido que gira. Un fluido de densidad y viscosidad constantes está contenido en un recipiente cilíndrico de radio R , tal como se indica en la figura. El recipiente rota alrededor de su eje con una velocidad angular

.

El eje del cilindro es vertical, de forma que g r  g   0 y g z   g .

Hallar la forma de la superficie libre, una vez alcanzado el estado estacionario. 

H

z i

z 0

z R

r



https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos La altura de la superficie, medida como la diferencia de altura en las paredes (con respecto a la altura inicial, z i ) y la altura del vórtice z es: 0

 z 

 2 R 2 2 g

De tal manera que para saber si el recipiente se derrama o no, o si parte del fondo queda descubierto o no, es necesario conocer el umbral de aplicación de esta altura. La diferencia de altura se distribuye equitativamente entre el tope ( H ) y el fondo ( z ), 0

quedando el criterio como sigue: Si z i 

 2 R 2 4 g

 H , el fluido se derrama.



28

Capítulo 4.

Si

 2 R 2


 z i , parte del fondo queda descubierto.

4 g

Estas dos ecuaciones son válidas para el caso de un recipiente abierto. Si el recipiente es cerrado, el primer criterio sirve para determinar si el fluido moja o no el tope del recipiente. Para un recipiente cerrado se tiene entonces: Si z i 

 2 R 2

 H , el fluido moja el tope del recipiente.

4 g

A continuación se desarrollan cada uno de los casos citados.

Caso a) El fluido no se derrama. Cálculo de z (Altura del vórtice). 0

Volumen de fluido en reposo (volumen inicial): V i   R 2 z i

(3.12-19)

R

Volumen del fluido en movimiento: V   d V

(3.12-20)

0

R

Volumen de fluido en reposo = Volumen de fluido en movimiento:  R 2 z i   d V . 0 La integral corresponde al volumen de un cuerpo de revolución determinado mediante el método de las capas cilíndricas.



r 2



r 2

V  2 

V  2 

r 1

r 1

(Radio de giro ) (Altura)(Elemento diferencia l de radio ) r z (r ) d r



 R 2 z i  2

R

0

r z (r ) d r

(3.12-21)

Al sustituir la ecuación (3.12-18) en la ecuación (3.12-21):    2  2   r  d r  R z i  2   r  z 0   0 2 g     2

R

   2  3   r  d r  R z i  2    z 0 r   0 2 g     2

R

La integración conduce a: Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


29

Capítulo 4.


 r 2   2  r 4    R z i  2   z 0  2  2 g  4  2

   0 

R

 R 2   2  R 4      R z i  2   z 0  2 2 g   4   2

 R z i   z 0 R  2

2

  2 R 4 4 g

  2 R 2    R z i   R  z 0  4 g   2

2

z i  z 0  z 0  z i 

 2 R 2 4 g

 2 R 2

Altura del vórtice.

4 g

(3.12-22)

Altura de la superficie del fluido. Al sustituir la ecuación (3.12-22) en la ecuación (3.12-18):   2  2  r z  z i    4 g 2 g    2 R 2

z  z i 

 2 R 2 4 g



2 2 g

2

r

 2 R 2  r 2 1   z  z i    2 g  R 2 2 

(3.12-23)

La ecuación (3.12-23) proporciona la altura de la superficie del fluido en función de la altura inicial ( z i ). Si el vórtice toca el fondo: Para r  0 , z  0 . Al sustituir en la ecuación (3.12-23):  2 R 2  (0) 2 1  (0)  z i     2 g  R 2 2



30

Capítulo 4.


 2 R 2  1  0  z i    2 g  2  0  z i 

z i 

 2 R 2 4 g

 2 R 2 4 g

(3.12-24)

- Altura mínima del recipiente. Para r  R , z  H min . Al sustituir en la ecuación (3.12-18): H min

  2  2  R  z 0   2 g  

H min  z 0 

 2 R 2 2 g

(3.12-25)

En función de la altura inicial ( z i ). Al sustituir la ecuación (3.12-22) en la ecuación (3.12-25): H min  z i  H min  z i 

 2 R 2 4 g

 2 R 2 4 g



 2 R 2 2 g

(3.12-26)

La ecuación (3.12-26) proporciona la altura mínima del recipiente para que el fluido no se derrame. - Velocidad angular mínima. Para r  R , z  H . Al sustituir en la ecuación (3.12-18):   2min  2  R H  z 0   2 g     2min  2   R  H  z 0  2 g  Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


31

Capítulo 4.

 2min 2 g



 2min 


H  z 0 R2 2 ( H  z 0 ) g R 2 2 ( H  z 0 ) g

 min 

R

(3.12-27)

En función de la altura inicial ( z i ). Para r  R , z  H . Al sustituir en la ecuación (3.12-23):  2min R 2  R 2 1   H  z i    2 g  R 2 2   2min R 2  1  H  z i  1   2 g  2  H  z i 

 2min R 2

 min 

4 g

 H  z i

4 g

 2min 

 2min R 2

4 ( H  z i ) g R 2 2

( H  z i ) g R

(3.12-28)

La ecuación (3.12-28) proporciona la velocidad angular mínima del recipiente para que el fluido no se derrame. Relación entre H , z i y z cuando la velocidad angular es la mínima requerida para que el 0

fluido no se derrame. Al igualar las ecuaciones (3.12-27) y (3.12-28): 2 ( H  z 0 ) g R



2

( H  z i ) g R



32

Capítulo 4.


2 ( H  z 0 ) g  2

( H  z i ) g

2 ( H  z 0 ) g  4 ( H  z i ) g H  z 0  2 ( H  z i ) H  z 0  2 H  2 z i z 0  2 z i  H

(3.12-29)

Radio del fondo descubierto. Para z  0 , r  r 0 . Al sustituir en la ecuación (3.12-18):   2  2  r 0 0  z 0   2 g     2  2   r 0   z 0 2 g   2 2 g

r 0   z 0 2

r 0  

2 g z 0

r 0 



2

2

2 g z 0

2

(3.12-30)

(3.12-31)

En función de la altura inicial ( z i ). Al sustituir la ecuación (3.12-22) en la ecuación (3.12-31):   2 R 2   2 g  z i  4 g   2 r 0   2    2 R 2   z i  2 g   4 g  2 r 0  2 



33

Capítulo 4.


 2 R 2 r  r  2 0

r 0 

 2 g z i

2

2 0

2 R 2 2



R 2 2

2 g z i

2 

2 g z i

2

(3.12-32)

(3.12-33)

Área del fondo descubierta. A   r 02

(3.12-34)

Al sustituir la ecuación (3.12-30) en la ecuación (3.12-34):   2 g z 0   2   

A   

A 

 2  g z 0 2

(3.12-35)

En función de la altura inicial ( z i ). Al sustituir la ecuación (3.12-32) en la ecuación (3.12-34):  R 2 2 g z i   A     2  2    A 

 R 2 2



2  g z i

2

(3.12-36)

Resumen de ecuaciones. 

H

z i

z 0

z R


r www.slideshare.net/asesoracademico/

34

Capítulo 4.


Altura de la superficie del fluido:

  2  2  r z  z 0    2 g 

(3.12-18)

Volumen inicial:

V i   R 2 z i

(3.12-19)

Volumen final:

V f 



R

0

  2 R 2   2 r z d r , V f   R  z 0  4 g   2

a) El fluido no se derrama.  2 R 2

Altura del vórtice:

z 0  z i 


 2 R 2  r 2 1     z  z i  2 g  R 2 2 

Si el vórtice toca el fundo:

z i 

4 g

 2 R 2

H min  z i 

Velocidad angular mínima:

 min 

Área del fondo descubierto:

r 0  A 


 2 R 2 4 g

(3.12-26)

R

2

 R 2

 

(3.12-23) (3.12-24)

( H  z i ) g

2

R 2

2

(3.12-22)

4 g

Altura mínima del recipiente:

Radio del fondo descubierto:

2 g z i

2

2  g z i

2

(3.12-27) (3.12-33)


(3.12-36)

35

Capítulo 4.


Ejemplo 3.13. Problema 5.8 del Giles. Tercera Edición. Página 85. Un depósito cilíndrico abierto, de 2 m de altura y 1 m de diámetro, contiene 1.5 m de agua. Si el cilindro gira alrededor de su eje geométrico, a) ¿qué velocidad angular se puede alcanzar sin que se derrame nada de agua? b) ¿Cuál es la presión en el fondo del depósito en C y D cuando w  6.00 rad/s ?

2m 1.5 m C

D

1m La solución detallada de este ejercicio se encuentra disponible en el libro “Problemas


https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos Ejemplo 3.14. Problema 5.26 del Giles. Tercera Edición. Página 92. Un recipiente abierto de 45.72 cm de diámetro y lleno de agua está girando alrededor de su eje vertical a tal velocidad que la superficie del agua a 10.16 cm del eje forma un ángulo de 40º con la horizontal. Calcular la velocidad de rotación. La solución detallada de este ejercicio se encuentra disponible en el libro “Problemas resueltos y propuestos de Fenómenos de Transporte. Capítulo 3: Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos”, del Prof. Willians Medina en la siguiente dirección:

https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos Caso b) El fluido se derrama. - Cálculo de z . 0



36

Capítulo 4.


Para r  R , z  H . Al sustituir en la ecuación (3.12-18):   2  2  R H  z 0   2 g   H  z 0 

z 0  H 

 2 R 2 2 g

 2 R 2 2 g

(3.12-37)

Altura de la superficie del fluido. Al sustituir la ecuación (3.12-37) en la ecuación (3.12-18):   2  2  r   z  H  2 g 2 g    2 R 2

z  H 

2 2 g

(r 2  R 2 )

 2 R 2  r 2    1 z  H  2 g  R 2  2   2 R 2  r  z  H  1     2 g  R  

(3.12-38)

Si el vórtice toca el fondo: Para r  0 , z  0 . Al sustituir en la ecuación (3.12-38): 2   2 R 2  0   (0)  H  1     2 g  R  

0  H 

0  H 

 2 R 2 2 g

(1)

 2 R 2 2 g



37

Capítulo 4. H 


 2 R 2 2 g

(3.12-39)

Radio del fondo descubierto. Para r  r 0 , z  0 . Al sustituir en la ecuación (3.12-38): 2   2 R 2  r 0  0  H     1 2 g  R   2  2 R 2   r 0   0  H  1     2 g   R   2  2 R 2   r 0   1      H 2 g   R   2

2 g H  r  1  0   2 2  R  R  2

2 g H  r 0     1 2 2  R  R  r 02 R 2

 1

2 g H

 2 R 2

 

r 02  R 2 1  r 0 

1

2 g H 

  2 R 2 

2 g H

 2 R 2

(3.12-40)

R

(3.12-41)

Área del fondo descubierta. A   r 02

(3.12-42)

Al sustituir la ecuación (3.12-40) en la ecuación (3.12-42): 

 

A    R 1 



2

2 g H 

  2 R 2 



38

Capítulo 4.


 

A   R 2 1 

2 g H 

  2 R 2 

(3.12-43)

- Volumen que permanece en el recipiente. R

Si el vórtice no toca el fondo: V f   d V . 0

R

Si el vórtice toca el fondo: V f   d V r 0

Partiendo de la premisa que el vórtice no toca el fondo: V f 



R

0

2 r z d r

(3.12-44)

Al sustituir la ecuación (3.12-18) en la ecuación (3.12-44):    2  2   r  d r V f  2   r  z 0   0 2 g     R

   2  3   r  d r V f  2    z 0 r   0 2 g     R

La integración conduce a:  r 2   2  r 4    V f  2   z 0 2 2 g    4 

   0 

R

 R 2   2  R 4   V f  2   z 0    2 2 g 4     V f   z 0 R  2

  2 R 4 4 g

  2 R 2   V f   R  z 0  4 g  

(3-12-45)

2

En función de la altura del recipiente ( H ). Al sustituir la ecuación (3.12-37) en la ecuación (3.12-45):   2 R 2  2 R 2   V f   R  H   2 g 4 g   2



39

Capítulo 4.


  2 R 2   V f   R  H  4 g  

(3.12-46)

2

Volumen derramado. V d  V i  V f

(3.12-47)

Al sustituir las ecuaciones (3.12-19) y (3.12-46) en la ecuación (3.12-47):   2 R 2   V d   R z i   R  H  4 g   2

2

   2 R 2 V d   R  z i   H  4 g  

(3.12-48)

2

Si inicialmente en cilindro está lleno: z i  H . Al sustituir en la ecuación (3.12-48): V d 

  2 R 4 4 g

(3.12-49)

Partiendo de la premisa que el vórtice toca el fondo: V f 



R

r 0

2 r z d r

(3.12-50)

Al sustituir la ecuación (3.12-18) en la ecuación (3.12-50):    2  2   r  d r V f  2   r  z 0   r 2 g     R 0

   2  3   r  d r V f  2    z 0 r   r 2 g     R 0

La integración conduce a:  r 2   2  r 4  V f  2   z 0   2  2 g  4 

   r 

R

o

 ( R 2  r 02 )   2  ( R 4  r 04 )     V f  2   z 0  2 2 g 4      z 0 2    2  4 2  ( R  r 04 )  V f  2   ( R  r 0 )    8 g  2  Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

(3.12-51) www.slideshare.net/asesoracademico/

40

Capítulo 4.


Al sustituir la ecuación (3.12-40) en la ecuación (3.12-51):  z V f  2   0  2

2  2 2 g H    2   4 2 g H     2  4   R  R 1   2 R 2    8 g   R  R 1   2 R 2             

 z 0  2 g H    2   4 g R 2 H 4 g 2 H 2       V f  2        2 2 4 2 8 g              g H   1   2 g 2 H 2     g R H    V f  2   z 0  2    2 2 g             g H  R 2 H g H 2   V f  2   z 0  2   2  2  2      R 2 H g H  H   V f  2    2  z 0    2      2 V f 

 R 2 H



2

 g H

2

(2 z 0  H )

(3.12-52)

En función de la altura del recipiente ( H ). Al sustituir la ecuación (3.12-37) en la ecuación (3.12-52): V f 

V f 

V f 

V f  V f 

  g H    2 R 2    2 H H      2 g   2   

 R 2 H 2

  g H   2 R 2  2 H    H  2 g   

 R 2 H 2

 g H   2 R 2   H    g   2 

 R 2 H 2

 R 2 H



2  H 2 g

2

 g H 2

2



 R 2 H 2

(3.12-53)

Volumen derramado. V d  V i  V f Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.

(3.12-54) www.slideshare.net/asesoracademico/

41

Capítulo 4.


Al sustituir las ecuaciones (3.12-19) y (3.12-53) en la ecuación (3.12-54): V d   R z i  2

 H 2 g

2

(3.12-55)

Si inicialmente en cilindro está lleno: z i  H . Al sustituir en la ecuación (3.12-55): V d   R H  2

 H 2 g

2

(3.12-56)

Resumen de ecuaciones.  2 R 2

Altura del vórtice:

z 0  H 

Altura de la superficie de fluido:

2   2 R 2  r   z  H  1    2 g  R  

2 g

 2 R 2

Si el vórtice toca el fundo:

H 

Radio del fondo descubierto:

r 0 

Área del fondo descubierto:

A   R 2 1 

2 g

(3.12-38) (3.12-39)

 2 R 2

 

(3.12-37)

2 g H

1

R

(3.12-41)

2 g H 

  2 R 2 

(3.12-43)

Volumen que permanece en el recipiente cuando cuando z 0  0 :   2 R 2   V f   R  H  4 g  

(3.12-46)

2

Volumen que permanece en el recipiente cuando cuando r 0  0 : V f 

 H 2 g

2

(3.12-53)

   2 R 2  H  Volumen derramado cuando z 0  0 : V d   R  z i  4 g   2

Volumen derramado cuando r 0  0 : V d   R z i  2

 H 2 g

2

(3.12-48) (3.12-55)

Volumen derramado cuando el recipiente está inicialmente lleno y z 0  0 : Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


42

Capítulo 4. V d 


  2 R 4 4 g

(3.12-49)

Volumen derramado cuando el recipiente está inicialmente lleno y r 0  0 : V d   R H  2

 H 2 g

2


(3.12-56)


43

Capítulo 4.


Ejemplo 3.15. Problema 5.23 del Giles. Tercera Edición. Página 91. Un depósito abierto cilíndrico de 122 cm de diámetro y 183 cm de profundidad se llena de agua y se le hace girar a 60 rpm. ¿Qué volumen de líquido se derrama y cuál es la profundidad del eje? La solución detallada de este ejercicio se encuentra disponible en el libro “Problemas


https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos Ejemplo 3.16. Problema 5.24 del Giles. Tercera Edición. Página 91. ¿A qué velocidad debe girar el depósito del ejemplo anterior para que en el centro del fondo del depósito la profundidad del agua sea nula? La solución detallada de este ejercicio se encuentra disponible en el li bro “Problemas resueltos y propuestos de Fenómenos de Transporte. Capítulo 3: Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos”, del Prof. Willians Medina en la siguiente dirección:

https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos Ejemplo 3.17. Se hace girar un cilindro lleno de agua según se muestra en la figura a una velocidad de 115 rpm. Determine si el agua se derrama y en caso afirmativo calcule la cantidad de agua que se pierde en kg. Propiedades del agua:   1000 kg/m 3 y   1 cp .

700 mm 300 mm

350 mm

Sugerencias: Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


44

Capítulo 4.


a) Determine el perfil de presiones. b) Halle la expresión para la curva que describe la superficie del fluido. c) Calcule el volumen final del fluido. d) Compare con el volumen inicial. La solución detallada de este ejercicio se encuentra disponible en el libro “Problemas


https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos c) El recipiente es cerrado. Si el recipiente es cerrado, el volumen de aire dentro del mismo es constante. Volumen de aire en reposo:

V i   R 2 ( H  z i )

(3.12-57)

Volumen de aire en movimiento. Depende si el fondo está descubierto o no, y si la parte superior del recipiente es mojada o no. En todos los casos se cumple la ecuación (3.12-18).   2  2  r z  z 0   2 g  

Se define:

(3.12-18)

r 0 : Radio del fondo descubierto. r s : Radio del tope mojado.

El fondo no está descubierto, z (0)  0 . El tope no es mojado z ( R)  H . Criterios:  2 R 2 4 g z i 

 z i

 2 R 2 4 g

 H

Se trata del mismo caso en que el fluido no se derrama. Altura del vórtice:

z 0  z i 


 2 R 2 4 g


(3.12-22) 45

Capítulo 4.


 2 R 2  r 2 1   2   z  z i  2 g  R 2 


(3.12-23)

El fondo está descubierto z 0  0 . El tope no es mojado z ( R)  H : Criterios:  2 R 2 4 g z i 

 z i

 2 R 2 4 g

 H

Radio del fondo descubierto. De la ecuación (3.12-18): r 0 



2 g z 0

2

(3.12-31)

Volumen de aire en el recipiente: V   r 02 H 



R

r 0

2  r [ H  z (r )] d r

(3.12-60)

Al sustituir la ecuación (3.12-18) en la ecuación (3.12-53) y resolver la integral: V   R ( H  z 0 )  2

  2 R 4 4 g



 g z 02

2

(3.12-61)

Al igualar las ecuaciones (3.12-57) y (3.12-60):  R ( H  z i )   R ( H  z 0 )  2

2

R ( H  z i )  R ( H  z 0 )  2

2

2

 R z i  R z 0   2

2

 2 R 4 4 g



4 g

 2 R 4 4 g

R ( H  z i )  R ( H  z 0 )   2

  2 R 4



 2 R 4 4 g



 g z 02

2

g z 02

2 

g z 02

2

g z 02

2



46

Capítulo 4. g z 02




 R z 0  2

2

 2 R 4 4 g

 R 2 z i  0

Al resolver la ecuación de segundo grado anterior: z 0  

 2 R 2 2 g

  R

z i g

(3.12-62)

El fondo no está descubierto z (0)  0 . El tope es mojado, z ( R)  H : Criterios:  2 R 2

 z i

4 g

 2 R 2

z i 

4 g

 H

Radio del tope mojado. Para z  H , r  r s . Al sustituir en la ecuación (3.12-18):   2  2  r s H  z 0   2 g     2  2  r s H  z 0   2 g   r s  2

2 g ( H  z 0 )

2 2 g ( H  z 0 )

r s 

2

Volumen de aire en el recipiente: V 



r s

0

2 r [ H  z (r )] d r

(3.12-63)

Al sustituir la ecuación (3.12-18) en la ecuación (3.12-53) y resolver la integral: V 

 g ( H  z 0 ) 2

2

(3.12-64)

Al igualar las ecuaciones (3.12-57) y (3.12-64): Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


47

Capítulo 4.

Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos.  g ( H  z 0 ) 2

 R ( H  z i )  2

R ( H  z i )  2

2

g ( H  z 0 ) 2

2

 2 R 2 ( H  z i ) g

 ( H  z 0 ) 2

 2 R 2 ( H  z i ) g

 H  z 0

 2 R 2 ( H  z i )

z 0  H 

g

(3.12-65)

El fondo está descubierto z 0  0 . El tope es mojado, z ( R)  H : Criterios:  2 R 2 4 g z i 

 z i

 2 R 2 4 g

 H

Radio del fondo descubierto. r 0 



2 g z 0

2

(3.12-31)

Radio del tope mojado. r s 

2 g ( H  z 0 )

2

Volumen de aire en el recipiente. V   r 02 H 



r s

r 0

2  r [ H  z (r )] d r

(3.12-66)

Al sustituir la ecuación (3.12-18) en la ecuación (3.12-66) y resolver la integral: V 

 g H ( H  2 z 0 )

2

(3.12-67)

Al igualar las ecuaciones (3.12-50) y (3.12-57): Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


48

Capítulo 4.


 R 2 ( H  z i )  R 2 ( H  z i ) 

2

g H

z 0 

H 2



2

g H ( H  2 z 0 )

 2 R 2 ( H  z i )

2 z 0  H 

 g H ( H  2 z 0 )

 H  2 z 0

 2 R 2 ( H  z i ) g H

 2 R 2 ( H  z i ) 2 g H

(3.12-68)

Altura de la superficie del fluido. Al sustituir la ecuación (3.12-68) en la ecuación (3.12-18): z 

2 2 H R  ( H  z i )

2



2 g H

  2  2  r    2 g 

r 0  r  r s

(3.12-69)

Área del fondo descubierta. Al sustituir la ecuación (3.12-68) en la ecuación (3.12-35): A  

2 2 2  g  H R  ( H  z i ) 

   2  2

A  

 g H

A  

 g H

A  

 g H

2 2 2

2 g H



 R 2 ( H  z i )



 R 2 H   R 2 z i

 

H

H

  R  2

 R 2 z i H

  g H  R 2 z i    A   R   2 H    2

 g H R 2 z i   A   R    2  H   

(3.12-70)

2



49

Capítulo 4.




50

Capítulo 4.


Ejemplo 3.18. Problema 5.11 del Giles. Tercera Edición. Página 88. Un depósito cilíndrico cerrado de 1.8 m de altura y 0.9 m de diámetro contiene 1.40 m de agua. Cuando gire a una velocidad angular constante de 20.0 rad/s, ¿qué área del fondo quedará descubierto? La solución detallada de este ejercicio se encuentra disponible en el libro “Problemas



22. Forma de la superficie de un líquido que gira. Un fluido de densidad y viscosidad constantes está contenido en un recipiente cilíndrico de radio R , tal como se indica en la figura. El recipiente rota alrededor de su eje con una velocidad angular

.

El eje del cilindro es vertical, de forma que g r  g   0 y g z   g .

Hallar la forma de la superficie libre, una vez alcanzado el estado estacionario. 

H

z i

z 0

z R

r

  2  2 Respuesta: z  z 0    r . Forma parabólica.  2 g 

23. Se hace girar un cilindro lleno de agua según se muestra en la figura a una velocidad de 115 rpm. Determine si el agua se derrama y en caso afirmativo calcule la cantidad de agua que se pierde en kg. Propiedades del agua:   1000 kg/m 3 y   1 cp . Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


51

Capítulo 4.


700 mm 300 mm

350 mm

Sugerencias: a) Determine el perfil de presiones. b) Halle la expresión para la curva que describe la superficie del fluido. c) Calcule el volumen final del fluido. d) Compare con el volumen inicial. Respuesta: Se derraman 0.0203 m3 de agua.

24. [GE] Un depósito abierto cilíndrico de 122 cm de diámetro y 183 cm de profundidad se llena de agua y se le hace girar a 60 rpm. ¿Qué volumen de líquido se derrama y cuál es la profundidad del eje? Respuesta: 0.4376 m3; 1.0813 m.

25. [GE] ¿A qué velocidad debe girar el depósito del problema 24 para que en el centro del fondo del depósito la profundidad del agua sea nula? Respuesta: 9.82 rad/s.

26. [GE] Un depósito cilíndrico abierto, de 2 m de altura y 1 m de diámetro, contiene 1.5 m de agua. Si el cilindro gira alrededor de su eje geométrico, a) ¿qué velocidad angular se puede alcanzar sin que se derrame nada de agua? b) ¿Cuál es la presión en el fondo del depósito en C y D cuando w  6.00 rad/s ?



52

Capítulo 4.


2m 1.5 m C

D

1m

Respuesta: a) 8.8588 rad/s; b) P C  10215.15 Pa ; P D  19620 Pa .

27. [GE] Considere el depósito del problema 26 cerrado y con el aire sobre la superficie libre a una presión de 1.09 kp/cm2. Cuando la velocidad angular es de 12.0 rad/s, ¿cuáles son las presiones, en kp/cm2, en los puntos C y D de la figura? Respuesta: P C  113266.81 Pa ; P C  129447.78 Pa .

28. [GE] A qué velocidad debe girar el depósito del problema 26 para que el centro del fondo tenga una profundidad de agua igual a cero? Respuesta: 17.7 rad/s.

29. [GE] Un depósito cilíndrico cerrado de 1.8 m de altura y 0.9 m de diámetro contiene 1.40 m de agua. Cuando gire a una velocidad angular constante de 20.0 rad/s, ¿qué área del fondo quedará descubierto? Respuesta: A  0.002686 m 2 .

30. [GE] Un recipiente cerrado, de 1 m de diámetro, está totalmente lleno de agua. Si el recipiente está girando a 1200 rpm, ¿qué incremento sufrirá la presión en la circunferencia de la parte superior del depósito? Respuesta: 19319.10 Pa.

31. [GE] Un recipiente abierto de 45.72 cm de diámetro y lleno de agua está girando alrededor de su eje vertical a tal velocidad que la superficie del agua a 10.16 cm del eje forma un ángulo de 40º con la horizontal. Calcular la velocidad de rotación. Respuesta: 9.00 rad/s. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


53

Capítulo 4.


32. Si el sistema mostrado gira con una velocidad angular w  30 rpm . ¿Cuál será la altura h de los tubos capilares, después de alcanzar el estado estacionario? No considere los

efectos de capilaridad.

Respuesta: 0.6654 m en la pared externa y 0.6628 m en la pared interna. En el tubo interior la altura máxima en las paredes es 0.6011 m.

33. Forma de una superficie libre en flujo anular tangencial. a) Un líquido se encuentra en el espacio anular entre dos cilindros verticales de radios k R y R , y el líquido está abierto a la atmósfera en la parte superior. Demostrar que cuando el cilindro interior gira con velocidad angular

i

y el cilindro exterior permanece fijo, la

superficie libre del líquido tiene la forma z R  z 0 

2 1  k R  i 

2

  ( 2  4 ln    2 ) 2  2 g  1  k 

donde z R es la altura del líquido en la pared del cilindro exterior, y   r / R . b) Repetir el inciso a) pero con el cilindro interior fijo y el cilindro exterior girando a una velocidad angular z R  z 0 

0 .

Demostrar que la forma de la superficie del líquido es

2 1  k R  0 

2

  [( 2  1)  4 k 2 ln   k 4 ( 2  1)] 2  2 g  1  k 

34. Un fluido newtoniano está contenido en un tanque cilíndrico que rota con una velocidad angular w alrededor del eje central (ver figura). Halle la ecuación que describe la posición 0

de la superficie libre como función de la coordenada radial r . Suponga que el flujo es Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


54

Capítulo 4.


unidimensional en la dirección  en todo punto y que los efectos de tensión superficial son despreciables. La altura cuando el fluido está en reposo es h . ¿Cómo sería la forma de la 0

interfase si el fluido siguiera el modelo de Bingham?

35. Forma de una superficie libre en flujo anular tangencial. a) Un líquido se encuentra en el espacio anular entre dos cilindros verticales de radios k R y R,

y el líquido está abierto a la atmósfera en la parte superior. Demostrar que cuando el

cilindro interior gira con velocidad angular

i

y el cilindro exterior permanece fijo, la

superficie libre del líquido tiene la forma z R  z 

2 1  k R  i 

2

  (  2  4 ln    2 ) 2  2 g  1  k 

(3B.15-1)

donde z R es la altura del líquido en la pared del cilindro exterior y   r / R . b) Repetir el inciso a) pero con el cilindro interior fijo y el cilindro exterior girando a una velocidad angular z R  z 

0 .

2 1  k R  0 

Demostrar que la forma de la superficie del líquido es 2

  [( 2  1)  4 k 2 ln   k 4 ( 2  1)] 2  2 g  1  k 

(3B.15-2)

c) Trazar un dibujo en el que se comparen estas dos formas de la superficie del líquido.

36. Flujo laminar en un ducto cuadrado. a) Un ducto recto se extiende en la dirección z una longitud L y su sección transversal es cuadrada, limitada por las rectas x   B y y   B . Un colega comenta al lector que la distribución de velocidad está dada por Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


55

Capítulo 4.


2 2 ( P 0  P L ) B 2   x     y   v z  1     1     4  L   B     B  

(3.B.3-1)

debido a que este colega a veces le ha malinformado en el pasado, usted se siente obligado a comprobar el resultado. ¿El resultado satisface las condiciones límite relevantes y la ecuación diferencial relevante? b) Según el artículo de revisión escrito por Berker, la velocidad de flujo másico en un ducto cuadrado está dada por w 

0.563 ( P 0  P L ) B 4 

 L

Comparar el coeficiente de esta expresión con el coeficiente que se obtiene a partir de la ecuación 3.B.3-1. Respuesta: a) Se satisfacen las condiciones de borde. No se satisface la ecuación de movimiento; b) w 

1 9

( P 0  P L ) B 4 

 L

.



56

Capítulo 4.


Ejemplo 3.19. Problema 3.C1 del Bird. Página 3-44. 3.A.3.- Efecto de la altitud sobre la presión del aire. En la desembocadura del río Ontonagon en la orilla sur del lago Superior (602 pies sobre el nivel medio del mar), un barómetro portátil indica una presión de 750 mmHg. Usar la ecuación de movimiento para calcular la presión barométrica en la cima del Government Peak (2023 pies sobre el nivel medio del mar) en las cercanas montañas Porcupine. Supóngase que la temperatura al nivel del lago es 70ºF y que ésta disminuye, al aumentar la altitud, a razón constante de 3ºF por 1000 pies. La aceleración de la gravedad en la orilla sur del lago Superior es aproximadamente igual a 32.19 pies/s2, y su variación con la altitud puede despreciarse para este problema. La solución detallada de este ejercicio se encuentra disponible en el libro “ Problemas



37. Efecto de la altitud sobre la presión del aire. En la desembocadura del río Ontonagon en la orilla sur del lago Superior (602 pies sobre el nivel medio del mar), un barómetro portátil indica una presión de 750 mmHg. Usar la ecuación de movimiento para calcular la presión barométrica en la cima del Government Peak (2023 pies sobre el nivel medio del mar) en las cercanas montañas Porcupine. Supóngase que la temperatura al nivel del lago es 70ºF y que ésta disminuye, al aumentar la altitud, a razón constante de 3ºF por 1000 pies. La aceleración de la gravedad en la orilla sur del lago Superior es aproximadamente igual a 32.19 pies/s2, y su variación con la altitud puede despreciarse para este problema. La variación de la densidad del aire en función de la temperatura se muestra en la tabla siguiente. T (º C)

 (kg/m 3 )

T (º C)

 (kg/m 3 )

– 25 – 20

1423 1395

10 15

1247 1225



57

Capítulo 4.

Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos. – 15 – 10 – 5

0 5

1368 1342 1317 1292 1269

20 25 30 35 40

1204 1184 1165 1146 1127

Respuesta: P  711.47 mmHg .



58

Capítulo 4.


4.3.- FLUJO RADIAL. Ejemplo 3.20. Se tiene un espacio anular de radio interno R y radio externo 2 R lleno de un fluido newtoniano que fluye dentro de él en forma radial (ver figura). La superficie exterior ( r  2 R ) se mantiene a una presión 2 p 0 , mientras que la superficie interior se mantiene a una presión p , provocando que el fluido se mueva de afuera hacia adentro. Despreciando 0

los efectos de gravedad y suponiendo propiedades conocidas, calcule: a) El perfil de velocidades, b) La distribución de presiones, c) El caudal que pasa por el espacio anular.

2 p 0

2 R

p0

R



https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos Ejemplo 3.21. Se establece un flujo en la dirección radial en un espacio anular entre dos cilindros concéntricos de longitud L (ver figura). El fluido se introduce al cilindro interior y pasa a través de una placa porosa al espacio anular, para luego salir a través de la pared del cilindro exterior, que es también porosa. Determine el perfil de velocidades radiales, sabiendo que el flujo volumétrico de fluido desde el cilindro interior al espacio anular es Q . Halle también el gradiente de presión en la dirección radial (  P /  r ). El fluido es

newtoniano, el flujo es incompresible y estacionario. Suponga que el flujo es unidimensional en la dirección radial y que existe simetría angular y axial. Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


59

Capítulo 4.




https://es.scribd.com/doc/317160712/04-Ecuaciones-de-Variacion-Para-SistemasIsotermicos Ejemplo 3.22. Se tiene un espacio anular de radio interno R y radio externo R lleno de un fluido 1

2

newtoniano que fluye dentro de él en forma radial (ver figura). La superficie exterior se mantiene a una presión p y se induce un caudal radial Q constante de adentro hacia 0

afuera. Despreciando los efectos de gravedad, calcule: a) El perfil de velocidades. b) La distribución de presiones.



60

Capítulo 4.


p0

L R1 R2

La solución detallada de este ejercicio se encuentra disponible en el libro “Problemas resueltos y propuestos de Fenómenos de Transporte. Capítulo 3: Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos”, del Prof. Willians Medina en la siguiente dirección:


37. Se tiene un espacio anular de radio interno R y radio externo 2 R lleno de un fluido newtoniano que fluye dentro de él en forma radial (ver figura). La superficie exterior ( r  2 R ) se mantiene a una presión 2 p 0 , mientras que la superficie interior se mantiene a una presión p , provocando que el fluido se mueva de afuera hacia adentro. Despreciando 0

los efectos de gravedad y suponiendo propiedades conocidas, calcule: a) El perfil de velocidades, b) La distribución de presiones, c) El caudal que pasa por el espacio anular.



61

Capítulo 4.


2 p 0

2 R

p0

Respuesta: v r 

R

 8 p 0  R   R    ; p  13 p 0 7  4   3   r   r  

2

  ; Q  4  R L 

2 p 0 3 

38. Se establece un flujo en la dirección radial en un espacio anular entre dos cilindros concéntricos de longitud L (ver figura). El fluido se introduce al cilindro interior y pasa a través de una placa porosa al espacio anular, para luego salir a través de la pared del cilindro exterior, que es también porosa. Determine el perfil de velocidades radiales, sabiendo que el flujo volumétrico de fluido desde el cilindro interior al espacio anular es Q . Halle también el gradiente de presión en la dirección radial (  P /  r ). El fluido es

newtoniano, el flujo es incompresible y estacionario. Suponga que el flujo es unidimensional en la dirección radial y que existe simetría angular y axial.

Respuesta: vr 

Q 2  r L

;

d p d r



 Q 2 4  2 r 3 L2

.

39. Se tiene un espacio anular de radio interno R y radio externo R lleno de un fluido 1

2

newtoniano que fluye dentro de él en forma radial (ver figura). La superficie exterior se Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina.


62

Capítulo 4.


mantiene a una presión p y se induce un caudal radial Q constante de adentro hacia 0

afuera. Despreciando los efectos de gravedad, calcule: a) El perfil de velocidades. b) La distribución de presiones.

p0

L R1 R2

  R2  2  Respuesta: vr  ; ; p  p0  2 2 2 1      2  r L d r 4  2 r 3 L2 8  R2 L   r   Q

d p

 Q 2

 Q 2

40. Un fluido newtoniano fluye entre dos cilindros concéntricos en dirección angular. El fluido tiene una densidad  , una viscosidad  , y fluye en flujo estacionario e incompresible. Ambos cilindros están fijos. El fluido entra a través de la sección 1 y sale a través de la sección 2 (Ver figura). Las presiones en dichas secciones son P y P , 1

2

respectivamente ( P 1  P 2 ). Suponga que el flujo es unidimensional en la dirección angular. Los ejes de los cilindros están alineados con el vector aceleración de gravedad (dicho vector apunta en dirección perpendicular al plano de la figura). Utilice el sistema de coordenadas cilíndricas ( r , , z ) . Los cilindros tienen longitud L .



63

Ejercicios Feno A

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