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CAPÍTULO 10 Pruebas de hipótesis de una muestra
Ejercicios del capítulo 29. De acuerdo con el presidente del sindicato local, el ingreso bruto medio de los plomeros en el área de Salt Lake City sigue la distribución de probabilidad normal con una media de $45 000 y una desviación estándar de $3 000. Un reportaje de investigación reciente de KYAK TV reveló que el ingreso bruto medio de una muestra de 120 plomeros era de $45 500. ¿Es razonable concluir que el ingreso medio no es igual a $45 000 en el nivel de significancia de 0.10? Determine el valor p. 30. Rutter Nursery Company empaca su aserrín de pino en bolsas de 50 libras. Desde hace tiempo, el departamento de producción informa que la distribución de pesos de las bolsas se rige por una distribución normal y que la desviación estándar del proceso es de 3 libras por bolsa. Al final de cada día, Jeff Rutter, gerente de producción, pesa 10 bolsas y calcula el peso medio de la muestra. En seguida aparecen los pesos de 10 bolsas de la producción de hoy.
45.6
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
47.7
47.6
46.3
46.2
47.4
49.2
55.8
47.5
48.5
a) ¿Puede concluir Rutter que el peso medio de las bolsas es inferior a 50 libras? Utilice el nivel de significancia 0.01. b) Indique en un breve informe la razón por la que Rutter puede utilizar la distribución z como estadístico de prueba. c) Calcule el valor p. Una nueva compañía dedicada al control de peso, Weight Reducers International, anuncia que quienes ingresan perderán, en promedio, 10 libras las primeras dos semanas, con una desviación estándar de 2.8 libras. Una muestra aleatoria de 50 personas que iniciaron el programa de reducción de peso reveló que el peso medio perdido fue de 9 libras. Con un nivel de significancia de 0.05, ¿puede concluir que quienes ingresan a Weight Reducers perderán en promedio más de 10 libras? Determine el valor p. Dole Pineapple, Inc., está preocupada porque supone que las latas de 16 onzas de piña tengan producto en exceso. Suponga que la desviación estándar del proceso es de 0.03 onzas. El departamento de control de calidad tomó una muestra aleatoria de 50 latas y halló que la media aritmética del peso era de 16.05 onzas. ¿Puede concluir que el peso medio es mayor a 16 onzas con un nivel de significancia de 5%? Determine el valor p. De acuerdo con una encuesta reciente, los estadounidenses duermen un promedio de 7 horas por noche. Una muestra aleatoria de 50 estudiantes de West Virginia University reveló que la cantidad media de horas que durmieron la noche anterior fue de 6 horas, 48 minutos (6.8 horas). La desviación estándar de la muestra fue de 0.9 horas. ¿Es razonable concluir que los estudiantes de West Virginia duermen menos que el estadounidense normal? Calcule el valor p. Una agencia estatal de venta de bienes raíces, Farm Associates, se especializa en la venta de granjas en el estado de Nebraska. Sus registros indican que el tiempo medio de venta de una granja es de 90 días. Como consecuencia de las recientes sequías, la agencia cree que el tiempo medio de venta es superior a 90 días. Una encuesta reciente en 100 granjas de todo el estado mostró que el tiempo medio de venta fue de 94 días, con una desviación estándar de 22 días. A un nivel de significancia de 0.10 ¿aumentó el tiempo de venta? De acuerdo con la Oficina del Censo, 3.13 personas residen en un típico hogar estadounidense. Una muestra de 25 hogares de las comunidades de retirados de Arizona mostró que el número medio de residentes por hogar era de 2.86 personas. La desviación estándar de esta muestra es de 1.20 residentes. A un nivel de significancia de 0.05, ¿es razonable concluir que el número medio de residentes en los hogares de las comunidades de retirados es menos a 3.13 personas? Un artículo reciente en la revista Vitality informó que la cantidad media de tiempo de descanso semanal de los estadounidenses es de 40.0 horas. Usted piensa que la cifra es muy alta y decide llevar a cabo sus propias pruebas. En una muestra aleatoria de 60 hombres, descubre que la media es de 37.8 horas de descanso a la semana, con una desviación estándar de la muestra de 12.2 horas. ¿Puede concluir que la información del artículo es incorrecta? Utilice el nivel de significancia 0.05. Determine el valor p y explique su significado. En años recientes, la tasa de interés de los créditos hipotecarios se redujo a menos de 6.0%. Sin embargo, de acuerdo con un estudio llevado a cabo por la Junta de Gobernadores de la Reserva Federal de Estados Unidos, la tasa de los cargos a las tarjetas de crédito es superior a 14%. En la siguiente lista aparece la tasa de los cargos a una muestra de 10 tarjetas de crédito.
14.6
16.7
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17.0
17.8
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Ejercicios del capítulo
¿Resulta razonable concluir que la tasa media es superior a 14%? Utilice el nivel de significancia 0.01. 38. Un artículo reciente de The Wall Street Journal informó que en la actualidad la tasa hipotecaria a 30 años es inferior a 6%. Una muestra de ocho bancos pequeños de la región central de Estados Unidos reveló las siguientes tasas (porcentuales) a 30 años: 4.8
5.3
6.5
4.8
6.1
5.8
6.2
5.6
Con un nivel de significancia de 0.01, ¿puede concluir que la tasa hipotecaria a 30 años de los bancos pequeños es inferior a 6%? Calcule el valor p. 39. De acuerdo con la Coffee Research Organization (http://www.coffeeresearch.org), el bebedor estadounidense habitual de café consume un promedio de 3.1 tazas al día. Una muestra de 12 personas de la tercera edad reveló que el día de ayer consumieron las siguientes cantidades de café, expresadas en tazas: 3.1
3.3
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2.6
2.6
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4.4
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3.1
4.1
3.1
3.2
¿Los datos sugieren que existe una diferencia entre el promedio nacional y la media de la muestra tomada de las personas de la tercera edad, con un nivel de significancia de 0.05? 40. Hace poco se amplió el área de recuperación del hospital St. Luke, de Maumee, Ohio. Se esperaba que con la ampliación la cantidad media de pacientes al día fuera mayor de 25. Una muestra aleatoria de 15 días reveló las siguientes cantidades de pacientes. 25
27
25
26
25
28
28
27
24
26
25
29
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27
24
Con un nivel de significancia de 0.01, ¿puede concluir que la cantidad media de pacientes al día es mayor a 25? Calcule el valor p e interprételo. 41. eGolf.com recibe un promedio de 6.5 devoluciones al día de compradores en línea. En el caso de una muestra de 12 días, recibió el siguiente número de devoluciones: 0
4
3
4
9
4
5
9
1
6
7
10
¿Puede concluir que la cantidad media de devoluciones es inferior a 6.5, con un nivel de significancia de 0.01? 42. En temporadas recientes, la Liga Mayor de Béisbol ha sido criticada por la duración de los juegos. Un informe indica que el juego promedio dura 3 horas, 30 minutos. Una muestra de 17 juegos reveló los siguientes tiempos de juego (observe que los minutos se convirtieron en fracciones de hora, de manera que un juego que duró 2 horas, 24 minutos, se expresa como 2.40 horas). 2.98 2.38
2.40 3.75
2.70 3.20
2.25 3.27
3.23 2.52
3.17 2.58
2.93 4.45
3.18 2.45
2.80
¿Puede concluir que el tiempo medio de un juego es menor de 3.50 horas? Utilice el nivel de significancia de 0.05. 43. Watch Corporation de Suiza afirma que, en promedio, sus relojes jamás se atrasan o adelantan durante una semana. Una muestra de 18 relojes arrojó los siguientes adelantos () o atrasos ( ) en segundos por semana. 0.38 0.37
0.20 0.61
0.38 0.48
0.32 0.47
0.32 0.64
0.23 0.04
0.30 0.20
0.25 0.68
0.10 0.05
¿Es razonable concluir que el adelanto o atraso medio de tiempo de los relojes es de 0? Utilice el nivel de significancia 0.05. Calcule el valor p. 44. En la tabla siguiente aparecen los índices de recuperación (porcentual) de un año de una muestra de 12 fondos mutualistas clasificados como fondos gravables del mercado monetario. 4.63
4.15
4.76
4.70
4.65
4.52
4.70
5.06
4.42
4.51
4.24
4.52
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CAPÍTULO 10 Pruebas de hipótesis de una muestra
Con un nivel de significancia de 0.05, ¿es razonable concluir que los índices de recuperación son de 4.50%? 45. Muchos supermercados y grandes tiendas de menudeo, como Wal-Mart y K-Mart, instalaron sistemas de autopago con el fin de que los clientes registren sus artículos y los paguen. ¿Les gusta este servicio a los clientes? ¿Con qué frecuencia lo utilizan? En seguida aparece la cantidad de clientes que utilizan el servicio en una muestra de 15 días en la tienda Wal-Mart en la carretera 544 en Surfside, Carolina del Sur.
120 112
108 97
120 118
114 108
118 117
91
118
92
104
104
¿Es razonable concluir que la cantidad media de clientes que utiliza el sistema de autopago supera los 100 diarios? Utilice el nivel de significancia 0.05. 46. En un año reciente, la tarifa media para viajar en avión de Charlotte, Carolina del Norte, a Seattle, Washington, con un boleto de descuento fue de $267. El mes pasado, una muestra aleatoria de tarifas de descuento para viajes redondos en esta ruta arrojó los siguientes datos:
$321
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
$286
$290
$330
$310
$250
$270
$280
$299
$265
$291
$275
$281
A un nivel de significancia 0.01 ¿Puede concluir que la tarifa media se incrementó? ¿Cuál es el valor p? El editor de Celebrity Living afirma que las ventas medias de revistas de personalidad en las que aparecen personajes como Angelina Jolie o Paris Hilton venden 1.5 millones de ejemplares a la semana. Una muestra de 10 títulos comparables arroja ventas medias semanales de la semana pasada de 1.3 millones de ejemplares, con una desviación estándar de 0.9. ¿Estos datos contradicen lo que afirma el editor? Utilice un nivel de significancia 0.01. Un informe de Naciones Unidas muestra que el ingreso medio familiar de inmigrantes mexicanos en Estados Unidos es de $27 000 al año. Una evaluación del FLOC (Farm Labor Organizing Committee) de 25 familias mexicanas reveló una media de $30 000, con una desviación estándar de $10 000. ¿Esta información discrepa con el informe de Naciones Unidas? Aplique un nivel de significancia 0.01. En la mayoría de los deportes se acostumbra lanzar una moneda para decidir qué equipo obtiene la pelota primero. Esto requiere de poco esfuerzo y se cree que concede la misma oportunidad a ambos equipos. En los juegos del Súper Tazón 43, la National Football Conference ha ganado estos “volados” 29 veces, mientras que la American Football Conference sólo ha ganado 14 veces. Utilice el procedimiento de cinco pasos de prueba de la hipótesis y un nivel de significancia de 0.01 para probar si estos datos sugieren que es justo lanzar la moneda. a) ¿Por qué es posible emplear z como el estadístico de prueba? b) Establezca las hipótesis nula y alternativa. c) Elabore un diagrama de la regla de decisión. e) ¿Cuál es el valor p y qué es lo que implica? De acuerdo con un estudio de la American Pet Food Dealers Association, 63% de las familias estadounidenses tiene mascotas. Se prepara un informe para una editorial del San Francisco Chronicle. Como parte del editorial, una muestra aleatoria de 300 familias mostró que poseía mascotas. ¿Estos datos contradicen los de la Pet Food Dealers Association? Aplique un nivel de significancia 0.05. Tina Dennis es contralora de Meek Industries y cree que el problema actual de flujo de efectivo en Meek es consecuencia de la tardanza en el cobro de cuentas. Dennis cree que la liquidación de más de 60% de las cuentas tarda más de tres meses. Una muestra aleatoria de 200 cuentas reveló que 140 tenían más de tres meses de antigüedad. Con un nivel de significancia de 0.01 ¿puede concluir que más de 60% de las cuentas permanece sin cobrarse tres meses? La política de la Suburban Transit Authority consiste en añadir una ruta de autobús en caso de que más de 55% de los pasajeros potenciales indiquen que la utilizarán. Una muestra de 70 pasajeros reveló que 42 utilizarían una ruta propuesta que va de Bowman Park al área del centro de la ciudad. ¿La ruta de Bowman al centro cumple con el criterio de la STA? Aplique el nivel de significancia 0.05. La experiencia en Crowder Travel Agency indicó que 44% de las personas que le solicitaron planear sus vacaciones deseaba ir a Europa. Durante la temporada de vacaciones reciente, se eligió una muestra aleatoria de 1 000 planes vacacionales archivados. Se descubrió que 480 personas
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Ejercicios del capítulo
querían ir a Europa de vacaciones. ¿Hubo un incremento significativo en el porcentaje de personas que quieren ir a Europa? Lleve a cabo la prueba con un nivel de significancia de 0.05. 54. Una investigación en la industria del juego reveló que 10% de las máquinas tragamonedas en Estados Unidos deja de funcionar cada año. Short’s Game Arcade tiene 60 de estas máquinas y sólo 3 fallaron el año pasado. Utilice el procedimiento de cinco pasos de la prueba de hipótesis con un nivel de 0.05 para probar si estos datos contradicen el reporte de la investigación. a) Por qué es posible emplear z como el estadístico de prueba? b) Establezca las hipótesis nula y alternativa. c) Evalúe el estadístico de prueba y tome la decisión. d ) ¿Cuál es el valor p y qué es lo que implica? 55. Un planeador urbano afirma que, en todo el país, 20% de las familias que rentan condominios se muda en el lapso de un año. Una muestra de 200 familias que rentan condominios en Dallas Metroplex reveló que 56 se mudaron el año pasado. Con un nivel de significancia de 0.01 ¿sugieren estas evidencias que una proporción mayor de propietarios de condominios se mudaron en el área de Dallas? Determine el valor p. 56. El costo de las bodas en Estados Unidos se disparó en los últimos años. Como resultado, muchas parejas optan por casarse en el Caribe. Un centro vacacional caribeño anunció en Bride Magazine que el costo de una boda caribeña era inferior a $10 000. En seguida aparece una lista del costo total en miles de dólares de una muestra de 8 bodas caribeñas.
9.7
57.
58.
59.
60.
61.
62.
9.4
11.7
9.0
9.1
10.5
9.1
9.8
Con un nivel de significancia de 0.05 ¿Es razonable concluir que el costo medio de una boda es inferior a $10 000? De acuerdo con una encuesta realizada por ABC News, 40% de los estadounidenses no desayuna. Una muestra de 30 estudiantes universitarios reveló que 16 no lo habían hecho ese día. Utilice un nivel de significancia de 0.01 para verificar si los estudiantes universitarios son más propensos a no desayunar. Después de perder una temporada, hay un gran clamor para que se despida al director técnico. En una muestra aleatoria de 200 alumnos universitarios, 80 están de acuerdo en conservarlo. Utilice un nivel de significancia de 0.05 para probar si la proporción de alumnos que apoyan al director técnico es menor a 50%. En la década de los noventa, el índice de mortalidad por cáncer de pulmón era de 80 por cada 100 000 personas. A la vuelta del siglo y el establecimiento de nuevos tratamientos y ajustes en la publicidad de salud pública, una muestra aleatoria de 10 000 personas exhibe sólo seis muertes debidas al cáncer de pulmón. A un nivel de 0.05, pruebe si los datos comprueban una reducción del índice de mortalidad de ese tipo de cáncer. La American Water Works Association reporta que el uso de agua per cápita en una casa familiar es de 69 galones por día. Legacy Rancho es un desarrollo residencial relativamente nuevo de cien viviendas. Los constructores instalaron artefactos para utilizarla de forma más eficiente, como sanitarios de bajo consumo, y posteriormente condujeron una encuesta de las residencias. Respondieron 36 hogares, y la media muestral del consumo de agua por día fue de 64 galones, con una desviación estándar de 8.8 galones diarios. A un nivel de significancia de 0.10, ¿se tiene suficiente evidencia para concluir que los residentes de Legacy Rancho usan menos agua en promedio? Una máquina expendedora de refresco de cola está programada para despachar 9.00 onzas de refresco por vaso, con una desviación estándar de 1.00 onza. El fabricante de la máquina desea establecer el límite de control de manera que para una muestra de 36, 5% de las medias de la muestra sea superior al límite de control superior, y 5% de las medias de las muestras, inferior al límite de control inferior. a) ¿En qué valor se debe programar el límite de control? b) ¿Cuál es la probabilidad de que si la media de la población cambia a 8.9, el cambio no se detecte? c) ¿Cuál es la probabilidad de que si la media de la población cambia a 9.3, el cambio no se detecte? Los propietarios del centro comercial Franklin Park desean estudiar los hábitos de compra de sus clientes. De acuerdo con estudios anteriores, los propietarios tienen la impresión de que un comprador común invierte 0.75 horas en el centro comercial, con una desviación estándar de 0.10 horas. Hace poco, los propietarios del centro comercial incluyeron algunos restaurantes de especialidades diseñados para que los clientes pasen más tiempo en él. Se contrató a la empresa de consultoría Brunner and Swanson Marketing Enterprises para que evaluara los efectos de los res-
