T R AB A B A JO JO Y E N E R G A E JE RCI CI OS DE TRABAJO Y ENE RGÍ A RESUE RESUE LTOS: LTOS:
Ejemplo 1: Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la constante del muelle es 1000 N/m. La fuerza necesaria para deformar un muelle es F es F =1000· =1000· x N, x N, donde x donde x es la deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral
El área del triángulo de la figura es (0.05·50)/2=1.25 J
Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el desplazamiento. W=F t t·s
Ejemplo 2: Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.
Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo mis mo sentido, el trabajo es positivo Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es negativo Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.
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Ejemplo 3: Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F =1800 =1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g. El trabajo realizado por la fuerza F fuerza F es -1800·0.07=-126 J
La velocidad final v es
Ejemplo 4: Sobre una partícula actúa la fuerza F=2 xyi+ x2 j N Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA.
La curva AB es el tramo de parábola y parábola y= = x2/3. BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y CA es la porción del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)
El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento dW =F·dr=( F F xi+ F y j)·(dx )·(dxi+dy j)= F xdx+F ydy
Las variables x variables x e y se relacionan a través de la ecuación de la trayectoria y=f(x), y=f(x), y los desplazamientos infinitesimales dx y dy se relacionan a través de la interpretación geométrica de la derivada dy= dy= f ’ ’( x) x)·dx. ·dx. Donde f ’ ’( x) x) quiere decir, derivada de la función f función f ( x) x) con respecto a x a x..
Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total en el camino cerrado.
Tramo AB
Trayectoria y Trayectoria y= = x2/3, dy=(2/3) dy=(2/3) x·dx. x·dx.
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Tramo BC
La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una recta de pendiente 2/3 y cuya cuya ordenada en el origen es 1. y=(2/3) y=(2/3) x+1, x+1, dy=(2/3)· dy=(2/3)·dx dx
Tramo CD
La trayectoria es la recta x recta x=0, =0, dx=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el trabajo W CA CA=0
El trabajo total
W ABCA=W AB+W BC +W CA CA=27+(-27)+0=0
Ejemplo 5:
Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular 1. La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y cuando llega al suelo, aplicando las fórmulas del M.R.U.A. 2. La energía cinética potencial y total en dichas posiciones Tomar g Tomar g =10 =10 m/s2
Posición inicial x inicial x=3 =3 m, v=0.
E p=2·10·3=60 J, E J, E k =0, E A= E k k=0, E k +E p=60 J
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Cuando x Cuando x=1 =1 m
E p=2·10·1=20 J, E J, E k =40, E B= E k k=40, E k+E p=60 J
Cuando x Cuando x=0 =0 m
J, E k =60, E p=2·10·0=0 J, E E C k=60, E C = E k k+E p=60 J La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial disminuye y la energía cinética aumenta.
Ejemplo 6: Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30º de inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.16. Determinar:
la longitud x longitud x que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para la velocidad v que tendrá el bloque al regresar a la base del plano
Cuando el cuerpo asciende por el plano inclinado i nclinado
La energía del cuerpo en A es E es E A=½0.2·122=14.4 J La energía del cuerpo en B es E es E B=0.2·9.8·h =0.2·9.8·h=1.96·h =1.96·h =0.98· x x J El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A a B es
W ==- F F r r·x= μ·mg ·cosθ ·cosθ ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30· ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30· x=-0.272· x=-0.272· x x J ·x=- μ·mg De la ecuación del h=x·sen30º h=x·sen30º= =5.75 m
balance
energético
W = E B-E A,
despejamos x=11.5m, x=11.5m,
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Cuando el cuerpo desciende
La energía del cuerpo en B es E es E B=0.2·9.8·h =0.2·9.8·h=1.96·h =1.96·h =0.98· x=0.98·11.5=11.28 x=0.98·11.5=11.28 J 2 La energía del cuerpo en la base del plano E plano E A==½0.2·v ==½0.2·v El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de B a A es
W ==- F F r r·x= μ·mg ·cosθ ·cosθ ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·11 ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·11.5=-3.12 .5=-3.12 J ·x=- μ·mg De la ecuación del balance energético W = E A-E B, despejamos v=9.03 m/s.
Ejemplo 7: Una partícula de masa m desliza sobre una superficie en forma de cuarto de circunferencia de radio R, R, tal como se muestra en la figura. Datos R = 2m, m = 2kg y velocidad final V = 4m/s Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:
El peso mg La reacción de la superficie N superficie N , cuya dirección es radial La fuerza de rozamiento F r r , cuya dirección es tangencial y cuyo sentido es opuesto a la velocidad de la partícula.
Descomponiendo el peso mg , a lo largo de la dirección tangencial y normal, escribimos la ecuación del movimiento de la partícula en la d irección tangencial mat =mg ·cosθ ·cosθ-- F F r r Donde at =dv/dt es la componente tangencial de la aceleración. Escribimos en forma de ecuación diferencial la ecuación del movimiento
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Calculamos el trabajo W r realizado por la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es de sentido contrario al desplazamiento
Teniendo en cuenta que el deslazamiento es un pequeño arco de circunferencia dl= R·dθ y R·dθ y que
El trabajo realizado por la fuerza no conservativa F conservativa F r vale
Si el móvil parte del reposo v=0, en la posición θ =0. =0. Cuando llega a la posición θ
La energía cinética se ha incrementado en mv2/2. La energía potencial ha disminuido en mgRsen mgRsenθ θ .
El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía final y la energía inicial o bien, la suma de la variación de energía cinética más la variación de energía potencial. El trabajo total de la fuerza de rozamiento cuando la partícula descri be el cuarto de círculo es sustituyendo W r = -24 Julios.
T R AB A B A JO JO Y E N E R G A posición x0 sobre un plano inclinado con velocidad Ejemplo 8: Un bloque parte de la posición x inicial nula. Teniendo en cuenta los siguientes datos: Coeficiente de rozamiento μ rozamiento μ=0.3, =0.3, Masa del bloque, m=1 kg, Angulo del plano inclinado θ =30º, =30º, Constante elástica del muelle, k =50 =50 N/m, Posición inicial del bloque x0 =-1.0 m. Determinar en primer lugar que efectivamente se mueve y después: tiempo que tarda en impactar con el resorte, velocidad con la que impacta, i mpacta, deformación máxima máx ima que le produce al al resorte, velocidad del bloque al volver a pasar por el origen subiendo, altura a la que llega,…. llega ,….
Como tanθ≥μ tanθ≥μ,, tan30≥0.3, el bloque desliza hacia abajo La aceleración del bloque es a+= g (senθ (senθ - μcos μcosθ θ )=9.8·(sen30º-0.3·cos30º)=2.35 )=9.8·(sen30º-0.3·cos30º)=2.35 m/s El tiempo t que tarda en llegar al origen x origen x=0 =0 0=-1.0+a 0=-1.0+a+t 2/2, t =0.92 =0.92 s La velocidad v del bloque v=a+t, v0=2.17 m/s Balance energético La fuerza de rozamiento vale f vale f r r= cosθ =0.3·1.0·9.8·cos30=2.55 0.3·1.0·9.8·cos30=2.55 N μm g cosθ
El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo
T R AB A B A JO JO Y E N E R G A La frecuencia angular ω2=k/m=50 k/m=50 El tiempo que tarda en alcanzar el máximo desplazamiento, v=0, es
El máximo desplazamiento x desplazamiento xm es
Balance energético
Se resuelve la ecuación de segundo grado para calcular x calcular xm=0.357 m
El bloque, en contacto con el muelle, desliza hacia arriba La aceleración a-= g (senθ (senθ + μcos μcosθ θ )=9.8·(sen30º+0.3·cos30º)=7.45 )=9.8·(sen30º+0.3·cos30º)=7.45 m/s 2 El bloque vuelve a pasar por el origen y tarda un tiempo
La velocidad v f del bloque cuando pasa por el origen es
Balance energético
El bloque desliza hacia arriba
T R AB AB A J O Y E N E R G A
v=-1.03 v=-1.03 +7.45 t x=-1.03·t x=-1.03·t +7.45·t 7.45·t 2 / 2 La velocidad v se hace cero, en el instante t =0.14 =0.14 s, x s, x0=-0.072 m El bloque completa un ciclo, y retorna hacia el origen, deslizando por el plano inclinado x= x=0.072+a 0.072+a+t 2/2, v=a +t, cuando pasa por el origen x=0 x=0 , t =0.24 =0.24 s, v0=0.58 m/s
El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo El tiempo que tarda en alcanzar el máximo desplazamiento es
El máximo desplazamiento xm es
En esta posición kxm-mg senθ senθ μ smg cosθ cosθ ,
≤
1.19<2. 55 El bloque permanece definitivamente en reposo en esta posición
T R AB AB A J O Y E N E R G A 9. Un cuerpo se mueve según la trayectoria x trayectoria x = t+1; t+1; y = 2t-2; 2t-2 ; z = t en en m, y la fuerza que actúa sobre él F = t i (3t+1 ) j+2 j+2k en N, calcular el trabajo realizado por la i – (3t+1 fuerza en el intervalo de tiempo de t 1= 2 s 2 s a t 2= 4 s. 4 s. 2 10. Un cuerpo se mueve según la trayectoria x = t +4; y = t-2; z =4 t en m, y la fuerza j+2k en N. calcular el trabajo realizado por la fuerz a que actúa sobre él F = 2ti – (4t+1) (4t+1) j en el intervalo de tiempo de t 1 = 2 s a t 2 = 3 s. 11. Trabajo para detener un automóvil. Un automóvil que viaja a 60 km/h puede frenar y detenerse en una distancia d = 20 m (figura 1a).Si el auto viaja con el doble de rapidez, es decir, a 120 km/h, ¿cuál será la distancia de frenado (figura 1b)? Suponga que la fuerza de frenado máxima es aproximadamente independiente de su rapidez.
RESPUESTA: De nuevo tratamos el automóvil como si fuera una partícula. Como la fuerza neta F para detenerlo es aproximadamente constante, el trabajo necesario para detenerlo, Fd, es proporcional a la distancia recorrida. Aplicamos el principio del trabajo y la energía, notando que y tienen sentidos opuestos y que la rapidez final del automóvil es cero: Wnet = F.d cos 180° = – Fd. Fd. De manera que: –Fd = ɅK = 1/ 2 mv22 – 1/2 1/2 mv21 = 0 - 1/2 mv12. Entonces, como la fuerza y la masa son constantes, observamos que la dista ncia de frenado d se incrementa con el cuadrado de la rapidez: d α v2 . Si se duplica la rapidez inicial del automóvil, la distancia de frenado es (2) 2 = 4 veces mayor: 80 metros.
12. Un resorte comprimido . Un resorte horizontal tiene una constante k = 360 N/m. a) ¿Cuánto trabajo se requiere para comprimirlo a partir de su longitud natural (x = 0) hasta x =11.0 cm? b) Si se coloca un bloque de 1.85 kg contra el resorte y éste se suelta, ¿cuál será la rapidez del bloque cuando éste se separe del resorte en x = 0? Desprecie la fricción. c) Resuelva el inciso b) suponiendo que el bloque se mueve sobre una mesa como en la figura 2 y que algún tipo de fuerza de arrastre constante FD = 7.0 N actúa para desacelerarlo, como la fricción (o tal vez su dedo).
FIGURA 2
SOLUCIÓN:
T R AB AB A J O Y E N E R G A a) El trabajo requerido para comprimir el resorte una distancia x = 0.110 m es W = 1/2 (360 N/m)(0.110 m) 2 = 2.18 J, WD = – = – FD x = – = – (7.0 (7.0 N).(0.110 m) = – = – 0.77 0.77 J. donde convertimos todas las unidades al SI. b) Al regresar a su longitud no comprimida, el resorte efectúa 2.18 J de trabajo sobre el bloque [mismo cálculo que en el inciso a), sólo que al revés]. De acuerdo con el principio del trabajo y la energía, el bloque adquiere energía energía cinética de 2.18 J. Como K = ½ m V 2. LA rapidez del bloque debe ser
= 22 = √ ,(,)) =1,54 /
(c) Hay dos fuerzas sobre el bloque: la ejercida por el resorte y la ejercida por la fuerza de arrastre FD, El trabajo efectuado por una fuerza como la fricción es complicado. Para empezar, se produce calor (o mejor dicho, “energía térmica”): intente frotar sus manos fuertemente entre sí. No obstante, el producto FD.d para la fuerza de arrastre, aun cuando implique fricción, puede utilizarse en el principio del trabajo y la energía para obtener el resultado correcto considerando al objeto como una partícula. El resorte efectúa 2.18 J de trabajo sobre el bloque. El trabajo hecho por la fuerza de fricción o de arrastre sobre el bloque, en la dirección x negativa, es WD = – = – FD. x = – = – (7.0 (7.0 N)(0.110 m) = – = – 0.77 0.77 J.
Este trabajo es negativo porque la fuerza de fricción es en sentido opuesto al desplazamiento x. El trabajo neto efectuado sobre el bloque es W net = 2.18 J – 0.77 J = 1.41 J. Del principio del trabajo y la energía, la ecuación 7-11 (con v 2 = v y v1 = 0), tenemos
= 22 = = 2(1,1,8541) = 1,2323 / /
para la rapidez del bloque en el momento en que se separa del resorte (x = 0). 13.
