Electromagnetismo
Pedagogía en Física
R. Lagos.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. La cantidad de carga q (en Coulomb) que pada por una superficie de 2 [cm2] de área que varía con el tiempo de acuerdo con 43 5 6, donde t está en segundos. a) ¿Cuál es la corriente instantánea que pasa a través de la superficie en t = 1s? b) ¿Cuál es el valor de la densidad de corriente eléctrica?
DATOS
ANÁLISIS Y FÓRMULAS A USAR d d
I( ) A = 2 ∙ 10−4 m2
43 t = 1[s]
5
6
;
I
J
A
a) Para encontrar la corriente eléctrica, solo basta con utilizar su definición: d(4 3 5 6) I(1) d I(1)
12
2
5
b) La densidad de corriente eléctrica es simplemente la razón entre la corriente eléctrica y el área por donde circula: J
RESULTADO a) 17 𝐴 b) 85 kA m2
12
2
5
2 ∙ 10−4
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2. La figura representa una sección de un conductor circular de diámetro no uniforme que conduce una corriente de 5 [A]. El diámetro de la sección transversal A1 es de 0.8 [cm]. a) ¿Cuál es la densidad de corriente a través de A1? b) Si la densidad de corriente a través de A2 es un cuarto del valor de A1, ¿cuál es el radio del conductor en A2? DATOS
ANÁLISIS Y FÓRMULAS A USAR J
I 5A d1 = 8 ∙ 10−3 m J2 J1 4
I A
a) Al igual que en el ejercicio anterior, calcularemos la densidad de corriente a través de su definición: I A
J1
4∙I π ∙ d1 2
b) Para encontrar el radio de A2, se utilizará es la igualdad que nos entrega el problema:
J2 I π ∙ r2 2
r2
RESULTADO a) 99.5 kA m2 b) 8 [mm]
J1 4 J1 4 4∙I 𝜋 ∙ J1
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3. La barra de la figura está hecha de dos materiales. Ambos tienen una sección transversal cuadrada de 3 [mm] de lado. El primer material tiene una resistividad de 4 10−3 ∙ m y a una longitud de 25 [cm], en tanto que la resistividad del segundo material es igual a 6 10−3 ∙ m y su longitud es de 40 [cm]. ¿Cuál es la resistencia entre los extremo de la barra?
DATOS
ANÁLISIS Y FÓRMULAS A USAR R
𝜌1 𝜌2 L1 L2 h
4 ∙ 10−3 Ω ∙ m 6 ∙ 10−3 Ω ∙ m 2.5 ∙ 10−1 m 4 ∙ 10−1 m
ρ
L A
La resistencia en los extremos será la suma de la resistencia de cada material: R
3 ∙ 10−3 m (ancho)
R Donde el área: A1
A2
ρ1
R1
R2
L1 A1
ρ2
L2 A2
h2
Por lo tanto la resistencia en los extremos de la barra es:
R
RESULTADO 378 Ω
(ρ1 L1
ρ2 L2 ) h2
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4. Un alambre delgado, de longitud L y área de sección transversal A, está orientado en dirección “x”, y es de un material cuya resistividad varía a lo largo de él, de acuerdo con la ley empírica ∙ − . a) Describa como varía el campo eléctrico dentro del alambre, en función de la posición, si el extremo en x = 0 tiene un potencial, V0 mayor que el del extremo x = L. b) ¿Cómo varía el potencial al recorrer la longitud del alambre? c) ¿Cuál es la resistencia total del alambre? DATOS 𝝆𝟎 , L, A, 𝑽𝟎
ANÁLISIS Y FÓRMULAS A USAR L Φ ; ∆Φ − 𝐸 ∙ 𝑑𝑥 ; R A I Por comodidad, se resolverán las preguntas en orden contrario: c) Si calculamos la resistencia de un pequeño segmento del alambre, entonces la ecuación que relaciona la resistencia y la resistividad queda: dx dR 𝜌 ∙ 𝑒 −𝑥 𝐿 ∙ A
R
ρ
R
𝐑
ρ A
L
e−x
−𝛒𝟎 𝐋 −𝐱 𝐞 𝐋 𝐀
L
dx
(Evaluar entre 0 y L)
b) Con la ley de Ohm podremos calcular la variación del potencial eléctrico. dΦ I ∙ dR (1) La corriente eléctrica es constante, la cual podemos calcular por medio de la ley de Ohm, para tal caso llamaremos a la diferencia de potencia entre los extremos del conductor Φ , entonces: Φ I R Remplazamos I en (1): dΦ
Φ ∙ 𝜌 ∙ 𝑒 −𝑥 R
𝐿
∙
dx A
La variación del potencial eléctrico es. 𝐝𝚽 𝐝𝐱
𝚽𝟎 ∙ 𝝆 ∙ 𝒆−𝒙 𝐀∙𝐑 𝟎
𝑳
a) El capo eléctrico lo calculamos, con la definición de potencial: 𝑬
−
𝐝𝚽 𝐝𝐱
RESULTADO 𝐱
𝐱
𝚽𝟎 ∙ 𝐞−𝐋 𝚽𝟎 ∙ 𝐞−𝐋 𝛒𝟎 ∙ 𝐋 (𝟏 − 𝟏 𝐞) 𝐚) − ; 𝐛) ; 𝐜) 𝐋(𝟏 − 𝟏 𝐞) 𝐋(𝟏 − 𝟏 𝐞) 𝐀
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5. Un material con resistividad ρ se forma como una coña de la manera indicada en la figura. Determine la resistencia eléctrica entre las caras A y B en función de ρ, L, y1, y2, ω. DATOS
ANÁLISIS Y FÓRMULAS A USAR
ρ, L, y1, y2, ω
R
ρ
L A
Para poder resolver este problema de una forma más simple, visualizaremos el objeto de costado, tal como lo muestra la figura 2, por los tanto la resistencia es: 𝑑𝑥 dR ρ (1) A
Figura 1
Con 𝐴 𝜔 ∙ 𝑦, donde ω es el ancho del objeto e “y” es la altura a una distancia x cualquiera, esta altura es igual a: y
y1
y′
y‟ se obtiene utilizando el teorema de tales entre los dos triángulos superiores de la figura 2: y′ x y′
y2 − y1 L (y2 − y1 ) ∙ 𝑥 𝐿
Entonces “y” queda: 𝑦
𝑦1
𝑦2 − 𝑦1 𝑥 𝐿
Remplazamos Y en (1). 𝐿
R
ρ∙
Figura 2
RESULTADO R
ρL y2 ∙ ln ω ∙ (y2 − y1 ) y1
EJERCICIOS PROPUESTOS
𝜔 ∙ 𝑦1
𝑑𝑥 𝑦2 − 𝑦1 𝐿 𝑥
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1- Una corriente eléctrica está dada por I( ) 100 n(120 ), donde I está en amperes y t en segundos. „Cuál es la carga total conducida por la corriente desde t = 0 s hasta 1/240 s? 2- Un resistor se construye con una barra de carbón que tiene un área de sección transversal uniforme de 5[mm2]. Cuando se aplica una diferencia de potencial de 15 [V] entre los extremos de la barra, hay una corriente de 4 10−3 A en la barra. Encuentre a) la resistencia de la barra y b) su longitud. 3- Una barra de aluminio de sección cuadrada tiene 5mm de lado y 1 m de largo. Si la barra se estira de modo que su nueva longitud sea tres veces mayor que la original, y suponiendo que la resistividad y la densidad del material no cambian, hallar la razón entre la resistencia de la barra estirada y la original. 4- Un alambre de cobre un y un alambre de hierro de la misma longitud tienen la misma diferencia de potencial aplicada a ellos. a) ¿Cuál debe ser la razón de sus radios si la corriente ha de ser la misma? b) ¿Puede hacerse que la densidad de corriente sea la misma eligiendo apropiadamente los radios? 1.69 10− ∙m y 9.68 10− ∙m . 5- Los devanados de cobres de un motor tienen una resistencia de 50[Ω] a 20°C cuando el motor esta sin carga. Después de funcionar durante varias horas la resistencia se eleva a 58[Ω]. ¿Cuál es la resistencia de los devanados? No considere los cambios de las dimensiones de los devanados. 1.69 10− ∙m y 4.3 10−3 1 . 6- La temperatura de una muestra de tungsteno se incrementa mientras una muestra de cobre se mantiene a 20°C. ¿A qué temperatura la resistividad de la muestra de tungsteno será custro veces la de la muestra de cobre? 5.25 10− ∙m , 4.5 10−3 1 . 7- Una bobina de alambre de nicromo mide 25[m]de longitud. El alambre tiene un diámetro de 0.4 [mm] y está a 20°C. Si alambre porta una corriente de 0.5 [A], ¿Cuáles son a) la magnitud del campo eléctrico en el mismo y b) la potencia que se le agrega? Si la temperatura aumenta 340°C y la diferencia de potencial a través del alambre permanece constante, ¿cuál es la potencia entregada? 8- Dos cáscaras esféricas concéntricas de radios a y b están separadas por un material de resistividad constante ρ como indica la figura. Si las cáscaras están cargadas a una diferencia de potencial V, calcular la densidad de corriente j como función de r.
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9- Una definición más general del coeficiente de temperatura de resistividad es: 1 d Donde ρ es la resistividad a temperatura T. a) Suponiendo que α es constante, demuestre que: ∙ ( − ) Donde es la resistividad a temperatura T0. b) Utilizando la expresión en serie ( 1 ( para 1), muestre que la resistividad está dada por la expresión 1 − para ( − ) 1.
)
10- Cuando un alambre se calienta, su resistencia está dada por la expresión 1 ( − ) , donde α es el coeficiente de temperatura de resistividad. a) Muestre que un resultado más preciso, uno que incluya el hecho que la longitud y el área del alambre cambian cuando se caliente es 1
( − ) 1 1 2 ( −
( −
)
)
Donde α‟ es el coeficiente de expansión lineal. b) Compare estos dos resultados para un alambre de cobre de 2 [m] de largo a 0.1 [mm] de radio, inicialmente a 20°C y después calentado hasta 100°C. 11- Un material de resistividad ρ se forma como un cono truncado del altitud h, según se indica en la figura, el extremos del fondo tiene un radio b y el extremo superior un radio a. Suponiendo que la corriente está distribuida de manera uniforme sobre cualquier sección transversal particular del cono, de modo que la densidad no es una función de la posición radial (aunque si varíe con la posición a lo largo del eje cónico), muestre que la resistencia entre los dos extremos está dada por la expresión:
