Problemas de matemática aplicada a la administración y economía César A. Yépez
Diciembre 2013
Ejercicios y problemas resueltos del texto: Matemática para la Administración y Economía – HAEUSSLER-PAUL-WOOD. Decimosegunda edición.
1
2
Presentación
El presente trabajo tiene por objeto proporcionar métodos de solución de problemas aplicados a diversas áreas, en especial a la administración y economía. Está dirigido a estudiantes del bachillerato ya que cubre gran parte de las destrezas y contenidos que propone el Ministerio de Educación, para estudiantes de primeros años de educación superior en las carreras de Administración, Economía, Marketing, etc. Y especialmente para estudiantes y docentes de modalidades a distancia. Comprende ejercicios y problemas de algebra, funciones, rectas, parábolas, matrices, funciones logarítmicas y exponenciales, límites, derivadas e integración y, sus aplicaciones correspondientes al texto: Matemática para la Administración y Economía – HAEUSSLER-PAUL-WOOD. Decimosegunda edición.
César A. Yépez
3
Índice de contenidos CAPÍTULO 0 REPASO DE ALGEBRA 0.7 0.8
7
Ecuaciones, en particular ecuaciones lineales. Ecuaciones Cuadráticas
CAPÍTULO 1 APLICACIONES Y MÁS ALGEBRA
10
1.1 1.2 1.3
Aplicaciones de ecuaciones Desigualdades lineales Aplicaciones de las desigualdades
CAPÍTULO 2 2.1 2.2 2.3 2.5
FUNCIONES Y GRÁFICAS Funciones Funciones especiales Combinaciones de funciones Gráficas en coordenadas rectangulares
17
CAPITULO 3
RECTAS PARÁBOLAS Y SISTEMAS DE ECUACIONES
27
3.1 3.2 3.3 3.6
Rectas Aplicaciones y funciones lineales Funciones cuadráticas Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones
CAPITULO 4 4.1 4.2 4.3 4.4
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS Funciones exponenciales Funciones logarítmicas Propiedades de los logaritmos Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
36
CAPÍTULO 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
ÁLGEBRA MATRICIAL Matrices Suma de matrices y multiplicación por un escalar Multiplicación de matrices Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices (continuación)
45
4
Índice de contenidos CAPÍTULO 7 PROGRAMACIÓN LINEAL 7.1 Desigualdades lineales en dos variables 7.2 Programación lineal
51
CAPÍTULO 10 10.1 10.2 10.4
LÍMITES Y CONTINUIDAD Límites Límites (continuación) Continuidad aplicada a desigualdades
59
CAPÍTULO 11 11.1 11.3 11.4 11.5
DIFERENCIACIÓN La derivada La derivada como una razón de cambio La regla del producto y la regla del cociente La regla de la cadena y la regla de la potencia
63
CAPÍTULO 12 12.1 12.2 12.4 12.5 12.7
TEMAS ADICIONALES DE INTEGRACIÓN Derivada de funciones logarítmicas Derivada de funciones exponenciales Diferenciación implícita Diferenciación logarítmica Derivadas de orden superior
69
CAPÍTULO 13 TRAZADO DE CURVAS 13.1 Extremos relativos 13.3 Concavidad 13.4 Prueba de la segunda derivada 13.6 Aplicación de Máximos y mínimos
79
CAPÍTULO 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.7 14.9 14.10 14.11
90
INTEGRACIÓN Diferenciales La integral indefinida Integración con condiciones iniciales Más fórmulas de integración Teorema fundamental del cálculo integral Área Área entre curvas Excedente de los consumidores y de los productores
5
6
CAPÍTULO 0 0.7
REPASO DE ALGEBRA Ecuaciones, en particular ecuaciones lineales.
Problemas 0.7 Páginas: 34 – 35. Ejercicios: 10, 15,25, 89,96 En los problemas 7 a 16 determine qué operaciones se aplican a la primera ecuación para obtener la segunda. Establezca si las operaciones garantizan o no que las ecuaciones sean equivalentes. No resuelva las ecuaciones 10. Se divide ambos lados para dos, la equivalencia si se garantiza ya que se divide por un valor constante.
15. Se multiplican ambos lado por sabemos el valor de .
; la equivalencia no se garantiza debido a que no
Resuelva las ecuaciones 17 a 80 25.
En los problemas 81 a 92, exprese el símbolo indicado en términos de los símbolos restantes 89.
96.
;
Ingreso. El ingreso mensual total de una guardería por concepto del cuidad de x niños está dado por , y sus costos mensuales totales son ¿Cuántos niños necesitan inscribirse mensualmente para alcanzar el punto de equilibrio? En otras palabras ¿Cuándo los ingresos igualan a los costos?
7
Ingreso:
Costos:
Equilibrio:
Se necesitan 50 niños para alcanzar el punto de equilibrio.
0.8
Ecuaciones Cuadráticas
Problemas 0.8 Páginas: 42 – 43 Ejercicios: 23, 31, 37, 73, 79 Resuelva por factorización los problemas 1 a 30. 23.
En los problemas 31 a 44, encuentre todas las raices reales con el uso de la fórmula cuadrática 31. 2
24
√
√
√
37. Si Luego,
4 √
√
√
√
Resuelva por cualquier método los problemas 55 a 76 73. 0 √ √ 8
No existen raíces reales
√
√
√
√
√ √ √ ⟺
,
79. Geometría. El área de un dibujo rectangular, que tiene un ancho de 2 pulgadas menor que el largo, es de 48 pulgadas cuadradas. ¿Cuál son las dimensiones del dibujo?
El largo es
y el ancho es 6
9
CAPÍTULO 1 1.1
APLICACIONES Y MÁS ALGEBRA Aplicaciones de ecuaciones
Problemas 1.1 Páginas: 51- 52 – 53 Ejercicios 1, 5, 7, 9, 16, 31, 35, 41 1. Cercado. Se colocará una cerca alrededor de un terreno rectangular de modo que el área cercada sea de 800 pies cuadrados y el largo del terreno sea el doble de su ancho. ¿Cuántos pies de cerca se utilizarán?
√
√
Luego, las dimensiones son:
5. Acabado de muebles. De acuerdo con The Consumer’s Hand book [Paul Fargis, ed. (Nueva York: Hawthoun, 1974)], un buen aceite para el acabado de muebles de madera contiene dos partes de aceite de linaza hervido y una parte de aguarrás. Si debe prepararse una pinta (16 onzas líquidas) de este producto. ¿Cuántas onzas líquidas de aguarrás se necesitan? Cantidad de Aguarrás: Cantidad de Linaza: Contenido de una pinta: 7. Vereda de jardín. Se va usar un terreno rectangular de 4m. por 8m. para plantar un jardín. Se decide construir un corredor pavimentado en todo el borde, de manera que queden 12 metros cuadrados del terreno para cultivar flores. ¿Cuál debe ser el ancho del corredor?
El ancho del corredor debe ser terreno es apenas de 4 metros.
. El valor
10
se descarta debido a que el ancho del
9. Utilidad. Una compañía de refinación de maíz produce gluten para alimento de ganado, con un costo variable de $82 por tonelada. Si los costos fijos son $120 000 al mes y el alimento se vende a $ 134 la tonelada, ¿cuántas toneladas deben venderse al mes para que la compañía obtenga una utilidad mensual de $560000? Sea : Costo por tonelada: Costos Fijos: Precio de venta: Utilidad: Número de toneladas: Costo total: Costo de venta: 16. Negocio. Una compañía determina que si produce y vende q unidades de un producto, el ingreso total por las ventas, en dólares, será 100 √ . Si el costo variable por unidad es de $2 y el costo fijo de $1200, encuentre los valores de q para los que ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo
√ √
√
√
√
31. Ingreso. El ingreso mensual de cierta compañía está dado por R=800p-7p2, donde p es el precio en dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿A qué precio el ingreso será de $10000, si el precio debe ser mayor de $50? Ingreso mensual:
Condición:
11
si
De los datos se tiene: Resolviendo la ecuación cuadrática tenemos:
El ingreso mayor que 50 es
35. Cerca de seguridad. Por razones de seguridad, una compañía cercará un área rectangular de 11200 pies cuadrados en la parte posterior de su planta. Un lado estará delimitado por el edificio y los otros tres lados por la barda (vea la figura 1.4). Si se van a utilizar 300 pies de cerca, ¿cuáles serán las dimensiones del área rectangular? Del área se obtiene: Reemplazando en la fórmula del perímetro tenemos:
41. Bienes raíces. Una compañía fraccionadora compra un terreno en $ 7200. Después de vender todo, excepto 20 acres, con una ganancia de $30 por acre sobre su costo original, recuperó el costo total de la parcela. ¿Cuántos acres se vendieron?. Sea
el número de acres comprados,
Compra de Venta de
el precio por acre comprado, entonces:
acres al precio : acres: 1) en 2) (
)
12
El número de acres debe ser un valor positivo, por lo tato: Número de acres comprados:
acres.
Número de acres vendidos:
1.2
acres.
Desigualdades lineales
Problemas 1.2 página 58 Ejercicios 7, 19, 21,35, 38 Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 34. Dé su respuesta en notación de intervalo y represéntela en forma geométrica sobre la recta de los números reales 7.
Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 34. Dé su respuesta en notación de intervalo y represéntela en forma geométrica sobre la recta de lo s números reales: 19.
21.
13
] 35. Ahorros: Cada mes del año pasado, Brittany ahorro más de $50 pero menos de $150. Si S representa sus ahorros totales del año, describa S con el uso de desigualdades.
38. Gasto. Una estudiante tiene $360 para gastar en un sistema estereofónico y algunos discos compactos. Si compra un estéreo que cuesta $219 y el costo de los discos es de $18,95 cada uno, determine el mayor número de discos que puede comprar. Sea
el número de discos entonces:
Luego
1.3
discos
Aplicaciones de las desigualdades
Problemas 1.3 páginas 60 – 61 Ejercicios 1, 3, 5, 8, 11 1 . La compañía Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $600000, determine el número de unidades que deben venderse para que la empresa tenga utilidades. Número de unidades: Ingresos: Costo de producción: Costos fijos: Utilidad: Existen utilidades cuando
, entonces:
. Luego, el número de unidades que deben venderse es 12001 o más
3. Arrendamiento versus compra. Una mujer de negocios quiere determinar la diferencia entre el costo de comprar un automóvil y el de arrendarlo con opción a compra. Puede rentar un automóvil por $420 al mes (cotizado anualmente). Bajo este plan el costo por milla (gasolina y aceite) es $0.06. Si comprara el automóvil, el gasto fijo anual sería $4700, y los otros costos 14
ascenderían a $0.08 por milla. ¿Cuál es el mínimo de millas que tendría que conducir por año para que el arrendamiento no fuese más caro que la compra? Sean: número de millas recorridas por año Costo anual por rentar el automóvil: Costo anual por comprar el automóvil: Condición:
5. El costo unitario de publicación de una revista es de $0.55. Cada revista se vende al distribuidor en $0.60, y la cantidad que se recibe por publicidad es 10% de la cantidad recibida por todas las revistas vendidas por arriba de las 30000. Encuentre el número mínimo de revistas que pueden publicarse sin pérdida –esto es, tal que la utilidad ≥0 - suponiendo que se venderán 90%de los ejemplares. Utilidad = ingresos – costos ≥0
Para los ingresos menores de 30000 unidades
Utilidad= ingresos –costos ≥0
Para los ingresos mayores de 30000 Utilidad= ingresos –costos ≥0
Se deben imprimir más de 40910 revistas para no obtener pérdidas. 8. Razón de circulante. La razón de circulante de Precisión Machine Products es 3.8. Si sus activos circulantes son de $570 000. ¿Cuáles son sus pasivos circulantes? Para elevar sus fondos 15
de reserva, ¿Cuál es la cantidad máxima que puede pedir prestada a corto plazo si quiere que su razón de circulante no sea menor que 2.6? Sea L= Pasivo circulante R=razón de circulante=3.8
Sea x= la cantidad de dinero que puede pedir prestado, donde
11. Sueldo por hora. Con frecuencia se paga a los pintores por hora, o bien por trabajo terminado. El tipo de pago que reciben puede hacer variar la velocidad a la que trabajan. Por ejemplo, suponga que pueden trabajar por $9 la hora, o bien, por $320 más $3 por cada hora trabajada por debajo de 40, si completan el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el trabajo les toma t horas. Si t≥40, resulta claro que el sueldo por hora es mejor. Si t<40, ¿para qué valores de t el salario por hora es mejor? Sea
16
CAPÍTULO 2 2.1
FUNCIONES Y GRÁFICAS Funciones
Problemas 2.1 Páginas 81, 82. Ejercicios: 7, 21, 43, 46, 48 En los problemas 5 a16, obtenga el dominio de cada función. 7.
√ Para que
√
exista, se necesita que
, por lo que
[ Determinar los valores de la función para cada una de las funciones de los problemas 17 a 28 21. ; ; ;
En los problemas 29 a36 encuentre (a)
y (b)
; simplifique sus respuestas
35. a.) b.) 43. La fórmula para el área de un circulo de radio r es
¿Es el área una función del radio?
Si debido a que para cada valor de r corresponde un único valor 46. DEPRECIACION. Si una máquina de $ 30.000 se deprecia 2% de su valor original cada año, determine una función “f” que exprese el valor “v” de la maquina después que han transcurrido “t” años. La depreciación al final del año es de 0.02 × t ×(30.000), por lo que el valor de la máquina es: ,o 17
, 48. FUNCION DE DEMANDA. Suponga que la función de demanda anual para que cierto actor protagonice una película es
, donde “g” es el número de películas que protagoniza
durante el año 1. Si el artista actualmente cobra $ 6’000.000 por película ¿Cuántas protagonistas cada año? Si quiere protagonizar cuantas cintas por año ¿Cuánto cobra por esto? Carga de 6’000.000 dólares por película corresponde a:
Para protagonizar cuatro películas por año el actor debería cobrar: por película.
2.2
Funciones especiales
Problemas 2.2 Páginas: 85 – 86 Ejercicios: 3,15, 29, 30, 31, 33 En los problemas 1 a 4 determine si la función dada es una función polinomial 3. No es una función polinomial Establezca (a) el grado y (b) el coeficiente principal de la función polinomial dada en los problemas 13 a 16 15. Grado: 7 Coeficiente: 1 29. Viaje en Tren. Un boleto de viaje redondo en tren a la ciudad cuesta $ 4.50. Escriba su costo como función del ingreso del pasajero ¿Qué tipo de función es?
18
Esta es una función constante. 30. Geometría. Un prima rectangular tiene una longitud tres veces mayor que su ancho y altura; una unidad menor que el doble del ancho. Escriba el volumen del prisma rectangular como una función del ancho. ¿Qué clase de función es?
Formula del volumen del prisma rectangular:
Es una función cúbica. 31. Función de costo. En la fabricación de un componente para una máquina, el costo inicial de un dado es de $ 850, y todos los otros costos adicionales son de $ 3 por unidad producida (a) exprese el costo total c (en dólares) como una función lineal del número q de unidades producidas (b) ¿Cuántas unidades se producen si el costo total es de $ 1.600? a) b)
33. Ventas. Para estimular las ventas A grupos grandes, un teatro cobra dos precios si su grupo es menor de 12 cada boleto cuesta $ 9,50. Si un grupo es de 120 o más, cada boleto cuesta $ 8,75. Escriba una función definida para presentar el costo de comprar n boletos. El costo de la compra de n por entrada es: {
2.3
Combinaciones de funciones
Problemas 2.3 Páginas: 90 -91 Ejercicios: 1, 3, 7, 17, 18, 19 1.
Si
y
encuentre
19
a)
b)
c)
d)
e)
f)
( )
( )
(
g)
h) 20
)
i)
j)
3.
Si
y
, encuentre lo siguiente:
a)
b)
c)
(
)
(
)
(
)
d)
21
(
)
e) ( )
( )
f)
( )(
)
( ) [(
)
]
( ) [( ( )
)
(
)]
( )
g)
h)
i)
7.
Si
y
, encuentre 22
y
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
17. Utilidad. Cierto expendio de café vende una libra de café por $ 9,75. Los gastos mensuales son $ 4.500 más $ 4,25 por cada libra vendida. a) Escriba una función r(x) para el ingreso mensual total como una función del número de libras vendidas. b) Escriba una función c(x) para los gastos mensuales totales como una función del número de libras de café vendidas. c) Escriba una función (r – c)(x) para la utilidad mensual total como una función del número de libras vendidas. a) El ingreso es de $ 9,75 por libra de café vendida r(x) = 9,75 x b) Los gastos son e(x) = 4.500 + 4,25 x c) Los beneficios son: (r-c)(x) = 9,75 x – (4.500 + 4,25 x) (r-c)(x) = 5,50 x –4.500 18. Geometría. Suponga que el volumen de un cubo es: , exprese v como una composición de dos funciones y explique que representa cada función. , puede escribirse como:
Donde ,y
23
Entonces representa la longitud de los lados del cubo, mientras que volumen de un cubo.
es el
19. Negocio. Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día q, es una función del número de empleados m, donde
. El ingreso
total , , que se recibe por la venta de unidades, está dado por la función , donde . Determine . ¿Qué es lo que describe esta función compuesta? ( (
)
)
Esta función representa los ingresos totales recibidos por la venta de q unidades producidas por m empleados.
2.5
Gráficas en coordenadas rectangulares
Problemas 2.5 Páginas: 101 – 102 Ejercicios: 1, 4, 29, 31 En los problemas 1 y 2, localice y marque cada uno de los puntos dados y, si es posible, indique al que pertenece cada punto. 1.
,
,(
),
2. En la Figura 2.27 (b) se muestra la gráfica de y = f(x)
24
a) Estime f(0) y f(2) f (0) = 2, f (2) = 0 b) ¿Cuál es el dominio de f ? Dominio: todo x ≥ 0 c) ¿Cuál es el rango de f ? Rango: todo y ≥ 2 d) ¿Cuál es una raíz real de f ? f (x) = 0, para x = 2. Así que un cero real es 2. En los problemas 21 a 34, grafique cada función y determine su dominio y rango. También determine las intersecciones 29.
√ Si Graficando la función se tiene
Calculamos el dominio La función existe si , entonces: | | Si | | ⟺ ] [ Así se tiene: Calculamos el recorrido A partir del dominio se tiene:
En consecuencia el recorrido es: 25
[
Calculamos las intersecciones Las intersecciones se presentan cuando √
, Las intersecciones son: (-3,0), (3,0)
31.
| | Graficando la función se tiene:
Calculamos el dominio: No existe restricción para los valores que puede tomar , entonces:
Calculamos el recorrido Los valores que puede tomar
son solo positivos, entonces:
Calculamos las intersecciones | Si Si
|
|
|
Los puntos de intersección son : (
26
),
CAPITULO 3 3.1
RECTAS PARÁBOLAS ECUACIONES
Y
SISTEMAS
DE
Rectas
Problemas 3.1 Páginas: 123 -124 Ejercicios: 9, 17,55, 69, 71 En los problemas 9 a24, encuentre una ecuación lineal general (Ax + By + C = 0) de la recta que tiene las propiedades indicadas, y haga el bosquejo de cada recta. 9.
Pasa por (-1,7) y tiene pendiente -5 Ecuación punto-pendiente:
17.
Tiene pendiente 2 y su intersección y es 4. Ecuación pendiente y ordenada al origen (función lineal)
En los problemas 51 a 60 encuentre una ecuación de la recta que satisfaga las condiciones dadas. Si es posible, dé la respuesta en la forma pendiente-intersección. 55. Es perpendicular a y = 3x – 5 y pasa por (3,4). L1: L2:
la pendiente
27
69. Geometría. Muestre que los puntos A(0,0), B(0,4), C(2,3) y D(2,7) son los vértices de un paralelogramo (los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos) Indeterminada Indeterminada
71. Ecuación de costo. El costo diario promedio, C, de un cuarto en un hospital de la ciudad se elevó $59.82 por año, durante la década de 1990 a 2000. Si el costo promedio en 1996 fue $1128.50. ¿cuál es una ecuación que describe el costo promedio durante esta década como una función del número de años, T, desde 1990? .50) -
-
3.2
-
Aplicaciones y funciones lineales
Problemas 3.2 Páginas: 129-130 Ejercicios: 15, 16, 17, 21, 25, 34 15. Ecuación de demanda Suponga que los clientes demandarán 40 unidades de un producto cuando el precio es de $12.75 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $18.75 cada una. Encuentre la ecuación de la demanda, suponga que es lineal. Determine el precio unitario cuando se demandan 37 unidades. Sea , entonces se tienen los puntos. ) ) Calculamos la pendiente
Utilizamos la ecuación de la recta
28
Ecuación de demanda
Calculamos el precio cuando se demandan 37 unidades
16. Ecuación de demanda. La demanda semanal para un CD es de 26000 unidades cuando el precio es $12 cada una, y de 10000 cuando el precio unitario es de $18. Encuentre una ecuación de demanda para el CD, suponga que es lineal. Se tienen los puntos: ) y )
Calculamos la pendiente que une los puntos
Calculamos la ecuación de la recta
Ecuación de demanda
17. Ecuación de oferta. Un fabricante de refrigeradores producirá 3000 unidades cuando el precio sea de $940 y 2200 unidades cuando el precio sea $740. Suponga que el precio, p, y la cantidad producida, q, están relacionadas de manera lineal Encuentre la ecuación de oferta. Se tienen los puntos correspondientes ) y 740) Calculamos la pendiente de la recta que une esos puntos
Calculamos la ecuación de la recta
Ecuación de la oferta 21. Tarifa de electricidad. Una compañía de electricidad cobra 12.5 centavos por kilowatt-hora más un cargo base mensual a los clientes residenciales. La factura mensual de un cliente es 29
de $51.65 por 380 kilowatt-hora. Encuentre una función lineal que de describa el monto total por concepto de electricidad, si x es el número de kilowatt-hora utilizados en un mes. Para la función lineal se tiene la pendiente y el punto )
Reemplazando tenemos:
Luego,
es la función de monto por concepto de consumo.
25. Apreciación. Un nuevo edificio de departamentos se vendió por $960000 cinco años después de que se compró. Los propietarios originales calcularon que el edificio se apreciaba $45000 por año, mientras ellos fueron los propietarios. Encuentre una función que describa la apreciación del inmueble, si x es el número de años desde la compra original. Para la función lineal se tiene y el punto ) luego:
Función de apreciación 34. Dieta para cerdos. Tras las pruebas realizadas con una dieta experimental para cerdos, se determinó que el peso (promedio) w (en kilogramos) de un cerdo, de acuerdo con las estadísticas, era una función lineal del número de días, d, después de haber iniciado la dieta, donde 0 d 100. Si el peso del cerdo al inicio del régimen fue de 21 kg, y a partir de entonces ganó 6.3 kg cada 10 días, determine w como una función de d y calcule el peso de un cerdo 55 días después de que inició la dieta. Sea el peso (w) y el número de días (d), entonces se tiene la relación ( La pendiente sería Luego la función lineal será
El peso a los 55 días será:
30
)
3.3
Funciones cuadráticas
Problemas 3.3 Páginas: 136-137. Ejercicios: 13, 17, 29, 33, 37 Grafique cada función de los problemas 13 a 22. Obtenga el vértice y las intersecciones y determine el rango. 13. Se tienen los valores
Calculamos el vértice (
) (
Calculamos la intersecciones Intersección con el Eje X Si
)
Intersección con el Eje Y Si
(
Calculamos el recorrido ; a partir del vértice se tiene:
[
17. Se tienen los valores
Calculamos el vértice (
) (
31
)
Calculamos la intersecciones Intersección con el Eje X Si
Intersección con el Eje Y Si
Calculamos el recorrido ; a partir del vértice se tiene:
[
29. Ingreso. La función de demanda para el fabricante de un producto es p = f(q) = 200-5q, donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana). Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determine este ingreso. El valor máximo o mínimo en una función cuadrática, lo determina el vértice, entonces:
Calculando el vértice se tiene: ( (
) )
Así se tiene: . Lo cual significa que el nivel de producción que maximiza los ingresos es 20 unidades, y el ingreso máximo es 2000. 33. Utilidad. La utilidad diaria proveniente de la venta de árboles en el departamento de jardinería de una tienda está dada por P(x) = -x2 + 18x + 144, donde x es el número de árboles vendidos. Determine el vértice y las intersecciones de la función y grafique la función.
32
(
(
)
)
Intersección con el Eje Y Si Intersección con el Eje X Si
37. Tiro con arco. Un muchacho que está parado en una colina, tira una flecha directamente hacia arriba a una velocidad inicial de 85 pies por segundo. La altura, h, de la flecha en pies, t segundos después de que se lanzó, se describe mediante la función h(t) = —16t2+ 85t + 22. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la flecha? ¿Después de cuántos segundos de ser disparada alcanza esta altura?
El vértice nos da el valor máximo de la altura, entonces: (
) segundos
(
) pies. 33
3.6
Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones
Problemas 3.6 Páginas: 156-157 Ejercicios: 15, 16, 18,20, 23 15. Negocios. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son: (1) y (2) respectivamente, donde p representa el precio por unidad en dólares y q el número de unidades vendidas por periodo. (a) Encuentre algebraicamente el precio de equilibrio y dedúzcalo mediante una gráfica. (b) Encuentre el precio de equilibrio cuando se fija un de impuesto de 27 centavos por unidad al proveedor. a) El precio de equilibrio se calcula igualando las funciones de oferta y de demanda Oferta = demanda
El precio para que se mantenga el equilibrio es de 12. Reemplazando en la ecuación (1) se tiene:
b)
Establecemos la función de oferta cuando se carga el impuesto:
La función de oferta sin impuesto es: 34
Luego, la función de oferta con impuesto será:
Calculamos la función de demanda:
𝟑𝒒 𝟏𝟎𝟎
𝒑
𝟏𝟖
Igualamos la oferta y la demanda: 𝟑 𝒒 𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟖 𝟑 𝒒 𝟏𝟖 𝟏𝟎𝟎
Reemplazando se tiene:
35
CAPITULO 4
4.1
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
Funciones exponenciales
Problemas 4.1 Páginas: 173 – 174 Ejercicios: 7, 15, 19, 27, 29, 35 En los problemas 1 a 12 grafique la función 7. A partir de la función
se obtiene la función
La función tiene la forma
donde
.
La gráfica de se obtiene desplazando la gráfica de unidades hacia la izquierda. 15.
.
,
⁄ Población La población proyectada de una ciudad está dada por donde t es el número de años a partir de 1995. ¿Cuál es la población que se pronostica para el año 2015?
Número de años transcurridos:
La población para
es:
En los problema 19 a 27 encuentre (a) el monto compuesto y (b) el interés compuesto para la inversión y la tasa anual dadas. 19.
$4000 durante 7 años al 6% compuesto anualmente 36
El monto compuesto S del capital P al final de n años a una tasa de r compuesta anualmente está dado por:
a) Si
entonces:
b) Interés compuesto:
27. $ 8000 durante 3 años a
% compuesto diariamente (suponga que hay 365 das en un año).
El monto acumulado S de un capital P al final de n períodos de interés a una tasa periódica de r está dada por:
a) Si
entonces: (
)
b) Interés compuesto 29.- Inversión: se copra un certificado de depósito por $ 6.500 y se conserva durante seis meses. Si gana 4% compuesto trimestralmente ¿Cuál es el valor del certificado al cabo de seis meses años? El monto acumulado S de un capital P al final de n períodos de interés a una tasa periódica de r está dada por: Si n=6años por 4 trimestres =24 Entonces: S
(
)
Los problemas 35 y 36 involucran una población que declina. Si una población disminuye a una tasa de r por período, entonces la población P después de t períodos está dada por donde es la población inicial (la población cuando t=0). 35. Población A causa de una recesión económica, la población de cierta área urbana disminuye a razón de 1,5% anual. Al inicio había 350000 habitantes ¿Cuántos habrá después de tres años? De su respuesta al entero más cerrado. Si
entonces:
37
4.2
Funciones logarítmicas
Problemas 4.2 Página 180. Ejercicios: 1, 11, 29, 49, 57, 59 En los problemas 1 a 8, exprese cada forma logarítmica de manera exponencial y cada forma exponencial de manera logarítmica. 1. ⟺
Por definición se tiene: ⟺
Luego,
En los problemas 9 a 16 grafique las funciones 11.
Transformamos la función a la forma exponencial equivalente ⟺ Luego, haciendo un cambio de variable se tiene:
Graficamos la función x y
-2 16
-1,5 8
-1 4
-0,5 2
⇒
38
0 1
0,5 0,5
1 2 0,25 0,0625
Graficamos la función a la función
intercambiando los valores correspondientes
, así:
x 16 8 4 2 1 0,5 0,25 0,0625 y -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 2 Se observa que las dos gráficas se reflejan respecto al la recta y=x Encuentre x en los problemas 29 a 48 29. Aplicando la definición se tiene: ⟺
entonces
Encuentre x en los problemas 49 a 52 además exprese su respuesta en términos logaritmos de logaritmos naturales. 49. Aplicando la definición se tiene ⟺ El logaritmo natural es:
57. Apreciación. Suponga que una antigüedad incrementa su valor en 10% cada año. Haga una gráfica del número de años que cierto propietario la conserva como una función del aumento multiplicativo de su valor original. Marque la gráfica con el nombre de la función. Sean: = valor inicial de de alguna antigüedad 1+10%=1.1 = Factor de incremento = valor de la antigüedad al final de t años
Calculamos el valor de la antigüedad para 1,2,3,….t años.
Tiempo valor (años) 1 2 3 t Establecemos la función del valor de la antigüedad en función del número de años:
39
El valor inicial puede ser cualquier valor, supongamos que vale 1 unidad, entonces la función será:
Graficamos esta función dando valores a t y se obtiene la gráfica siguiente:
Graficamos la función inversa, intercambiando los valores que están el EjeX por los valores del EjeY. Se obtiene la gráfica de color rojo siguiente:
59. Ecuación oferta. La ecuación de oferta de un fabricante es
(
) Donde q es el
número de unidades al precio unitario p. ¿A qué precio el fabricante ofrecerá 1980 unidades?
Reemplazamos el valor de q=1980 unidades en la función de oferta: (
)
(
)
40
4.3
Propiedades de los logaritmos
Problemas 4.3 Páginas 185 – 186. Ejercicios: 5, 20, 31, 32, 42, 45 En los problemas 1 a 10 se establece que indicado en términos de a , b y c.
,
y
. Exprese el logaritmo
5.
En los problemas 1 a 20 exprese el valor de la expresión sin el uso de calculadora 20.
En los problemas 21 a 32, escriba la expresión en términos del 31.
(
(
√
)
√
)
[
32.
(
) )
(
]
√
√ [
]
41
,
,
.
[
]
[
]
En los problemas 41 a 44 determine los valores de las expresiones sin utilizar calculadora. √
[
42.
√
[
√
√
√
√
√
]
√ ]
[ ] Encuentre x en los problemas 45 a 48.
[
[
√
√
]
45.
4.4
Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Problemas 4.4 Páginas 190 – 191 Ejercicios: 1, 7, 32, 33, 35, 45 Encuentre x en los problemas 1 a 36. Redondee sus respuestas a tres decimales 1. ⟺ 7.
⟺ ⟺
32. Por la definición de logaritmos se tiene: [
] √
⟺
[
]
√ es el úmico valor que satisface la ecuación 42
√
√ ]
33.
⟺
√
Luego, 35.
√
√
es la solución ya que safisface la ecuación. ( ) ( ) ( ) ⟺
45. Ventas. Después de t años el numero de unidades de un producto vendidas en un año está dada por
. Tal ecuación se llama ecuación de Gompertz, y describe el
crecimiento natural en muchas áreas de estudio. Resuelva esta ecuación para t de la misma manera que en el ejemplo 4 y muestre que (
)
También para cualquier A y para las b y a apropiadas, resuelva porque la solucion previa es un caso especial.
para x y explique
Aplicando las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales se tiene: ( )
( )
43
Si
(
)
La solución previa es un caso especial en el que
,
44
,
,
,
CAPÍTULO 6
6.1
ÁLGEBRA MATRICIAL
Matrices
Problemas 6.1 Páginas 231-232. Ejercicios: 14, 19, 25 14. Lista la diagonal principal de
(a) [
]
(b) [
]
La diagonal principal es la diagonal que se extiende desde la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha. a.
b.
En los problemas 17 a 20 encuentre 19) A= [
]
[
]
[
]
En los problemas 24 a 27 resuelva la ecuación matricial 25) [
] 6=6
[
]
2=2 7= 7
45
6.2
Suma de matrices y multiplicación por un escalar
Problemas 6.2 Páginas 237-238. Ejercicios: 21, 37, 42
En los problemas 13 a 24 calcule las matrices requeridas si: [
]
[
]
[
]
[
]
[
]
21. 2B - 3A + 2C
[
]
[
]
[
]
[
]
[
[
] ]
[ [
] ]
[
[
]
]
En los problemas 37 a 40 resuelva las ecuaciones matriciales [ ]
37. [
]
[ [
] ]
[
] ] ⇒[
[
]
]⇒
[
⇒
42. Sea A la matriz que representa las ventas (en miles de dólares) de una compañía de juguetes para tres ciudades en 2003 y sea B la matriz que representa las ventas para las mismas ciudades en el 2005, donde A y B están dadas por: [
]
[
]
Si la compañía compra un competidor, y en 2006 duplica las ventas conseguidas en el año 2005, Cuál es el cambio de las ventas entre 2003 y 2006? [ [
] ]
[ [
] ]
[ [
46
] ]
[
]
6.3
Multiplicación de matrices
Problemas 6.3 Páginas 248-249. Ejercicios: 24, 39, 63 Realice las operaciones indicadas en los problemas 19 a 36 24.
[
][
]
[
][
]
[
]
En los problemas 37 a 44 encuentre las matrices indicadas si: [
]
[
]
[
]
39. 3A - 2BC [
[
]
[
]
[
][
[
]
]
[
]
[
]
]
63. Una tienda de mascotas tiene 6 gatitos, 10 perritos y 7 loros en exhibición. Si el valor de un gatito es de $55, el de cada perrito es de $150 y el de cada loro es de $35, por medio de la multiplicación de matrices, encuentre el valor total del inventario de mascotas. [
M x C=[
]
[
][
]⇒
]
47
6.4
Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices
Problemas 6.4 Páginas 257-259. Ejercicios: 13, 22, 27, 31 Resuelva los sistemas de los problemas 13 al 26 mediante el método de reducción 13.
{
[
|
]
[
[
22.
|
|
⁄
]
[
]
[
|
|
] ⁄ ⁄
]
{
A partir del sistema de ecuaciones construimos la matriz aumentada [
[
|
|
]
]
[
[
|
|
]
[
|
] luego,
]
[
|
]
y
Resuelva los problemas 27 al 33 con el uso de reducción de matrices 27. IMPUESTOS. Una compañía tiene ingresos gravables por $3120000. El impuesto federal es 25% de la parte que queda después de pagar el impuesto estatal. El impuesto estatal es 10% de la parte que queda después de pagar el impuesto federal. Encuentre el monto el impuesto federal y estatal. Sea x el impuesto federal, y el impuesto estatal, luego: Impuesto federal {
Impuesto estatal
48
[
|
]⇒[
|
]⇒[
|
]⇒[
|
]
Luego, 31. VITAMINAS. Por prescripción del doctor, cierta persona debe tomar diariamente 10 unidades de vitamina A, y 9 unidades de vitamina D y 19 de vitamina E; y puede elegir entre tres marcas de píldoras vitamínicas. La marca X contiene 2 unidades de vitamina A, 3 de vitamina D y 5 de vitamina E, la Y tiene 1,3y4 unidades respectivamente; y la marca Z tiene 1 unidad de vitamina A, ninguna de vitamina D y 1 de vitamina E. (a) Encuentre todas las combinaciones posibles de píldoras que proporcionen de manera exacta las cantidades requeridas. (b) Si cada píldora de la marca X cuesta 1 centavo, de la marca Y, 6 centavos y de la marca Z 3 centavos ¿existe alguna combinación del inciso (a) que cueste exactamente 15 centavos por día? (c) ¿Cuál es la combinación menos cara del inciso (a)? ¿Y la más cara? La cantidad de unidades de vitaminas A, D y E se representa en el sistema de ecuaciones siguiente: { Resolviendo el sistema de ecuaciones mediante el método de reducción de matrices se tiene: ⁄ [
]⇒
|
⁄ ⇒
[
⁄
[
|
]⇒
[
⁄ ⁄ ⁄
⁄ ⁄ | ⁄
⁄ |
]⇒
[
|
]
⇒ a) La solución es posible únicamente para los valores de
49
.
]
Reemplazando en la solución tenemos: Si
⇒
Si
⇒
Si
⇒
Si
⇒
b) 3 unidades de la marca x más 4 unidades de la marca z cuestan 15 centavos c) La combinación más barata es 3 unidades de X y 4 unidades de Z (15 centavos), mientras la más cara es 3 unidades de Y y 7 unidades de z (39 centavos).
6.5
Resolución de sistemas mediante la reducción de matrices (continuación)
Problemas 6.5 Páginas 231-232. Ejercicio 21 Resuelva cada uno de los siguientes sistemas
21.
{
[
| ]⇒
| ]⇒
[
Entonces
50
[
| ]⇒
CAPÍTULO 7
7.1
PROGRAMACIÓN LINEAL
Desigualdades lineales en dos variables
Problemas 7.1 Página 284. Ejercicios: 19, 23, 27 Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 24.
19. {
Primer paso: Graficamos las rectas relacionadas al sistema de desigualdades es decir las rectas {
Segundo paso: Ubicamos la región que forma la solución de cada desigualdad, a un lado o a otro de las rectas, comprobando con el punto (0,0) en cada desigualdad. Por ejemplo para la desigualdad 1) ⇒ 2(0)+4 por lo tanto el lado derecho de la recta es la solución de la desigualdad. La solución de la desigualdad 2) derecho de la recta La solución de la desigualdad 3) de la recta
es el lado
es hacia abajo
Tercer paso: Ubicamos la región general de la solución que es la intersección de las soluciones de las desigualdades. En este caso la solución es la parte marcada de color.
23. {
Primer paso: Graficamos las rectas relacionadas al sistema de desigualdades es decir las rectas:
{
Segundo paso: Ubicamos la región que forma la solución de cada desigualdad, a un lado o a otro de las rectas, comprobando con el punto (0,0) en cada desigualdad. 51
Por ejemplo para la desigualdad 1) ⇒ por lo tanto el lado derecho de la recta es la solución de la desigualdad. La solución de la desigualdad 2) lado derecho de la recta La solución de la desigualdad 3) región hacia la derecha de la recta
es el
es la
Tercer paso: Ubicamos la región general de la solución que es la intersección de las soluciones de las desigualdades. En este caso la solución es la parte marcada con color 27. Si un fabricante desea comprar un total de no más de 100 libras de producto Z de los proveedores A y B, establezca un sistema de desigualdades que describa las combinaciones posibles de las cantidades que pueden comprarse a cada proveedor. Haga el bosquejo de la solución en el plano. Sea A, y
la cantidad comprada a un proveedor la cantidad comprada a B. El sistema
de desigualdades es:
{
Luego resolviendo el sistema de desigualdades se tiene la siguiente gráfica. La región que representa todas las combinaciones posibles se encuentra entre los ejes y la recta inclinada y que tiene como vértices a los puntos (0,100), (0,0), (100, 0).
52
7.2
Programación lineal
Problemas 7.2 Páginas 291-293. Ejercicios: 2, 7, 13, 17
2. Maximizar
Sujeta a: {
Resolviendo el sistema de desigualdades se tiene la región que se indica en la figura. Esta región esta limitada por los dos ejes y la recta . Los vértices de esta región son (0,0) ( (
Luego analizamos el valor que toma la función objetivo puntos: Punto
)
en cada uno de los
Función objetivo (0,0) (
)
(
)
Se observa que
( (
)
Valor Máximo
)
alcanza un máximo valor
.
53
cuando
y
)
7. Maximizar Sujeta a
Al resolver gráficamente el sistema de se tienen algunas consideraciones: Las desigualdades ( ) indican que la región que cumple estas condiciones es el primer cuadrante.
La solución de las desigualdades
,
junto con la recta
se
indica en las siguientes figuras:
La intersección de las cuatro desigualdades y la recta es el segmento de recta que une los puntos
y
, los cuales se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones: ⇒(0,1)
{
{
⇒(4,5)
Luego analizamos el valor que toma la función objetivo puntos: Punto
en cada uno de los
Función objetivo (0,1)
Se observa que Z
Valor mínimo alcanza un mínimo valor Z=3 cuando
54
y
.
13. Producción para utilidad máxima. Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevo artículos, camiones y perinolas, con base en la información concerniente a sus tiempos de ensamblado dados en la tabla que sigue: Maquina A Maquina B Acabado 2h 3h 5h Camión 1h 1h 1h Perinola Por ejemplo, cada camión requiere de 2 horas en la maquina A. Las horas que los empleados tienen disponibles por semana son: para operación de la maquina A, 80 horas; para la B, 50horas; para acabado, 70 horas. Si las utilidades en cada camión y cada perinola son de $7 y $2, respectivamente, ¿Cuántos juguetes de cada uno deben producirse por semana con el fin de maximizar la unidad?¿ Cuál es la utilidad máxima? Sean x el número de camiones, y sea “y” el número de perinolas. Entonces la utilidad que se obtiene por la venta de estos juguetes es: . Se requiere: Maximizar
{ Resolvemos el sistema de desigualdades mediante las siguientes consideraciones. Las rectas asociadas al sistema de desigualdades son:
{
Las regiones que cumplen con las desigualdades son:
55
Las desigualdades
(
) indican que la región que cumple estas
condiciones es el primer cuadrante.
La región factible es la que se indica en la figura, acotada por los puntos (0.0), (0,50), (10,20) y (14,0)
Luego analizamos el valor que toma la función objetivo
en cada uno de los
puntos: Punto
Función objetivo (0,50) Valor máximo
Se observa que 10 camiones y 20 trompos generan la utilidad máxima de $110 17. Extracción de minerales. Una compañía extrae minerales de una mina. En la tabla siguiente se indica el número de libras de los minerales Ay B que pueden obtenerse de cada tonelada de la mina I y II, junto por los costos por tonelada: Mina I Mina II 100lb 200lb Mineral A 200lb
50lb
$50
$60
Mineral B Costo por tonelada 56
Si la compañía debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B, ¿Cuántas toneladas de cada mina deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo? Sean x el número de toneladas de la mina I y sea y el número de toneladas de la mina II. La función de costo es . Luego se tiene el siguiente problema: Minimizar Sujeta a las condiciones:
{
Resolvemos el sistema de desigualdades mediante las siguientes consideraciones. Las rectas asociadas al sistema de desigualdades son:
{
Las regiones que cumplen con las desigualdades son:
57
Las desigualdades
(
) indican que la región que cumple estas
condiciones es el primer cuadrante.
La región factible es la que se indica en la figura, acotada por los puntos (0.50), (10,10), (30,0).
Luego analizamos el valor que toma la función objetivo
en cada uno de los
puntos: Punto
Función objetivo (0,50) Valor mínimo
Se observa que 10 toneladas de la mina I y 10 toneladas de la mina II minimiza el costo, el cual alcanza $1100.
58
CAPÍTULO 10
10.1
LÍMITES Y CONTINUIDAD
Límites
Problemas 10.1 Página 457-458. Ejercicios: 6, 21, 34 En los problemas 5 a 8 utilice su calculadora para completar la tabla, y use los resultados para estimar el límite dado. 6. -3.1 -6.1
-3.01 -6.01
-3.001 -6.001
-2.999 -5.9
-2.99 -5.99
-2.9 -5.999
Si f(−3.1) = −6.1 f(−2.9) = −5.9 S f(−3.01) = −6.01 f(−2.99) = −5.99 Si f(−3.001) = −6.001 f(−2.999) = −5.999 El límite estimado es
Encuentre los límites en los problemas 9 a 34. 21. =
(
34.
= -2
) (
) =
(
) =
=4
59
=
(
)=
= 0+4
10.2
Límites (continuación)
Problemas 10.2 Páginas 465-466. Ejercicios: 25, 37,46 En los problemas 3 a 54 encuentre el límite. Si no existe, especifique, o utilice el símbolo ∞ 0 ∞ donde sea apropiado
25.
-
37.
(
46.
) (
Para el límite: (
Así:
10.4
) como:
, entonces
)
Continuidad aplicada a desigualdades
Problemas 10.4 Páginas 475. Ejercicios: 11, 22, 27 En los problemas 1 al 26 resuelva las desigualdades por medio de la técnica estudiada en esta sección. 11.
Establecemos
Encontramos los extremos de cada intervalo haciendo ⇒
60
, asi:
Ubicamos estos números en la recta numérica y encontramos los intervalos correspondientes (-4,0)
(- 4)
(0,5)
-4
Comprobamos el signo de
(5,+
0
5
en cada intervalo. La solución son los intervalos donde
, así: Intervalo
Un valor del intervalo -5 -1 1 6
Signo de +(-)(-) > 0 +(-)(+) < 0 -(-)(+) >0 -(+)(+) <0
Solución
Establecemos
Encontramos los extremos de cada intervalo haciendo ⇒
,
,
, asi:
,
Ubicamos estos números en la recta numérica y encontramos los intervalos correspondientes (-
-5)
(-5,-2)
-5
Comprobamos el signo de
-2
(1,+
(-1,1)
(--2,-1)
-1
1
en cada intervalo. La solución son los intervalos donde
, así: Intervalo
Un valor del intervalo ] -6
Signo de > 0 61
[
-3
<0
-1.5 ] [
>0
0
<0
2
>0
Solución [
]
27. Ingresos: Suponga que los consumidores compran q unidades de un producto cuando el precio de cada uno es de dólares ¿Cuántas unidades deben venderse para que el ingreso sea al menos de $750? Datos: Número de unidades: Precio unitario: Ingreso: R = q(28-0.2q)
Se tiene una ecuación cuadrática respecto q, luego: √
⇒
√
√ √
Deben venderse entre 37 y 104 unidades para tener un ingreso de al menos $750 62
CAPÍTULO 11
11.1
DIFERENCIACIÓN
La derivada
Problemas 11.1 Páginas 488-489. Ejercicios: 12, 21, 28
En los problemas 3 a18 emplee la definición de la derivada para encontrarla en cada caso. 12.
[
]
[
]
21. Encuentre la pendiente de la curva Si
entonces la pendiente m es [
Si
⇒
63
]
[
]
En los problemas del 23 al 28 encuentre la ecuación de a recta tangente a la curva del punto dado 28.
[ [ [ [
]
] [
]
[
]
]
]
Si La ecuación de la recta tangente es:
11.3
La derivada como una razón de cambio
Problemas 11.3 Páginas 504-505. Ejercicios: 16, 21, 26, 39 En los problemas 13 a 18 se dan funciones de costo, donde c es el costo de producir q unidades de un producto. Para cada caso encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal para el valor o valores dados de q?
16. Si
el costo marginal es
Si En los problemas 19 a 22, ̅ representa el costo promedio por unidad, que es una función del número q de unidades producidas. Encuentre la función de costo marginal y el costo marginal para los valores indicados de q.
64
21. ̅ Si ̅ es el costo promedio entonces el costo es:
̅
̅ ⇒
En los problemas 23 a 26, r representa el ingreso total y es una función del número q de unidades vendidas. Encuentre la función de ingreso marginal para los valores indicados de q. 26. Si
es la función de ingreso, entonces el ingreso marginal es: (
)
Si q=10; Si q=20;
39. Función de costo Para la función de costo ¿Qué tan rápido cambia c con respecto a q cuando q=10? Determine la razón de cambio porcentual de c con respecto a q cuando q=10. Si
es la función de costo, entonces la derivada
cambia c con respecto a q.
si La razón de cambio porcentual es:
65
indica qué tan rápido
11.4
La regla del producto y la regla del cociente
Problemas 11.4 Páginas 513-515. Ejercicios: 13, 30, 51, 71
Diferencie las funciones de los problemas 1 a 48 13.
Utilizando la fórmula de la derivada del producto
se tiene:
30.
En el siguiente problema encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado: 51. La pendiente de la recta es
si x=3 La recta tangene es
66
71. Costo marginal. Si la función de costo total de un fabricante está dada por 0 Encuentre la función de costo marginal. El costo marginal es la derivada
11.5
La regla de la cadena y la regla de la potencia
Problemas 11.5 Páginas 521-522. Ejercicios: 10, 29, 61, 71 En los problemas 9 a 52, encuentre y’. (
10.
29.
)
√
(
√
)
En los problemas 59 a 62, encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado
61)
√
(
) ( )
√
√ √
( )( )
67
71.- Función de costo. El costo de producir q unidades de un producto está dado por
Si el precio de p unidades está dado por la ecuación
Utilice la regla de la cadena para encontrar la razón de cambio del costo con respecto al precio unitario cuando Regla de la cadena: Si Si
Luego cuando Así:
|
68
CAPÍTULO 12
12.1
TEMAS ADICIONALES DE INTEGRACIÓN
Derivada de funciones logarítmicas
Problemas 12.1 Páginas 533-534. Ejercicios: 12,13, 17,20, 28,30, 49,50
Diferencie las funciones en los problemas 1 a 44. Si considera adecuado, utilice primero las propiedades de los logaritmos para simplificar la ecuación dada. 12. ( )
13.
[
] [
[
]
]
17.-
[
]
[
]
20. [
]
[ 69
( )
]
28 .
(
30.
√
)
[
] [
]
[
]
49. Costo marginal. La función de costo total está dada por el costo marginal cuando q=6.
. Encuentre
Si 50.
Costo marginal. La función en dólares del costo promedio de un fabricante, está dado
por ̅
. Encuentre el costo marginal (redondeado a dos decimales) cuando Calculamos el costo total ̅
Calculamos la función de costo marginal [
]
[ ] Calculamos el costo marginal cuando q=50
70
.
[ |
12.2
] [
]
Derivada de funciones exponenciales
Problemas 12.2 Páginas 537-538. Ejercicios: 14,23, 24, 32, 35, 36
Diferencie las funciones en los problemas 1 a 28 14.
[
]
[ ]
[ ]
[
23.
24.
71
]
[ ]
[
]
32. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva
Cuando
Luego,
,
en el punto
entonces, aplicando la ecuación punto pendiente se tiene:
es la ecuación de la recta tangente.
En los problemas 35 y 36, ̅ es el costo promedio de producir q unidades de un producto. Encuentre la función de costo marginal para los valores dados de q. Interprete su respuesta. ̅
35.
El costo total es:
̅ (
La función de costo marginal es: El costo de producir q=350 unidades es:
|
El costo de producir q=700 unidades es:
|
)
En los problemas 35 y 36, ̅ es el costo promedio de producir q unidades de un producto. Encuentre la función de costo marginal y el costo marginal para los valores dados de q. interprete su respuesta.
̅
36.
Calculamos la función de costo:
̅ Calculamos la función de costo marginal 72
(
12.4
)
Calculamos el costo marginal para los valores de q=97 y q=197
Diferenciación implícita
Problemas 12.4 Páginas 548-549. Ejercicios: 12, 17, 28, 29
En los problemas 1 a 24 ,encuentre dy/dx mediante diferenciación implícita. 12.
Se considera constante a la variable x, calculando la derivada de “y”.
73
28. Encuentre la pendiente de la curva (
)
en el punto (0,2)
La pendiente de una curva en un punto dado es la derivada de la ecuación de la curva, así la derivada de la función implícita es:
Luego, en el punto (0,2) la pendiente es: 29. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva
, en el punto (-1,1)
Calculamos la derivada, la cual es la pendiente de la tangente en el punto considerado.
Calculamos el valor de la pendiente, reemplazando el punto (-1,1)
Calculamos la ecuación de la recta mediante la ecuación Punto-pendiente. [
74
]
12.5
Diferenciación logarítmica
Problemas 12.5 Páginas 552-553. Ejercicios: 11, 12, 18, 19, 23, 24
En los problemas 1 a 12, encuentre y´ por medio de la diferenciación logarítmica. 11.
√
√
(
)
(
)
[
√
12.
√
(
]
[
]
)
En primer lugar aplicamos las propiedades de los logaritmos
√
[
[
]
[
]
]
[
]
Ahora calculamos la derivada
75
[
]
[
]
[
√
]
[
]
En los problemas del 13 a 20, determine y’. 18.
[
] [
]
19. Aplicando las propiedades de los logaritmos se tiene:
Calculamos la derivada de la función logarítmica [ ( )
]
23. Encuentre una ecuación de la recta tangente a donde x=0.
en el punto
Aplicando las propiedades de los logaritmos a la función
se tiene:
. Calculando la derivada de las funciones logarítmicas tenemos:
[ Calculamos el punto por donde pasa la recta: Si 76
]
Calculamos la pendiente m: [
Si
]
Por último aplicando la ecuación punto-pendiente se tiene:
24. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de
Calculamos la derivada
Calculamos la pendiente Si
12.7
y
. En el punto en donde
⇒
Calculamos la ecuación de la recta mediante la forma Punto- pendiente Ecuación punto-pendiente
Derivadas de orden superior
Problemas 12.7 Página 560. Ejercicios:7, 14
En los problemas de 1 a 20, encuentre las derivadas indicadas. 7. ( )
77
( )
14.
78
CAPÍTULO 13
13.1
TRAZADO DE CURVAS
Extremos relativos
Problemas 13.1 Páginas 576-578. Ejercicios: 15, 38, 68 En los problemas 9 a 52, determine cuando la función es creciente o decreciente, y determine la posición de los máximos y mínimos relativos. No trace la gráfica. 15.
Calculamos la derivada (
)
Calculamos los valores extremos de los intervalos con
, , Establecemos los intervalos correspondientes a los valores extremos (-1,0)
(- 1)
(0,1)
0
(1,+
1
Establecemos los signos de la función para cada intervalo. -1
.
0
-
-
-
+ +
1 + + -
+ + + +
Establecemos las conclusiones en base a los resultados anteriores: -
es decreciente en
y
-
es creciente en
-
tiene máximo relativo en
y
. y mínimo relativo en
38.
Calculamos la derivada
79
y
.
Calculamos los valores extremos de los intervalos con ,
,
Establecemos los intervalos correspondientes a los valores extremos (-
)
(
, 0)
(
(0, )
)
0
-
.
Establecemos los signos de la función para cada intervalo. 0
+
+
+ + +
+ + +
+ + -
+ + -
Establecemos las conclusiones en base a los resultados anteriores: -
es decreciente en (
)y (
-
es creciente en (-∞,
)y(
-
tiene máximo relativo en
68. Costo marginal. Si costo marginal?
)
es una función de costo. ¿Cuándo es creciente el
Calculamos la función de costo marginal:
Calculamos la derivada de la función de costo marginal:
El costo marginal es creciente si :
(
esto es cuando
80
)
.
13.3
Concavidad
Problemas 13.3 Páginas 586-587. Ejercicios: 17, 25, 28, 55, 56 En los problemas 7 a 34, determine la concavidad de f y los valores de x en los que se presentan puntos de inflexión. No trace la gráfica. 17.
Calculamos los posibles puntos de inflexión mediante la segunda derivada Se encuentra la concavidad y los posibles punto de inflexión cuando
Comprobamos la concavidad en los intervalos correspondientes - ∞
∞
+
+ ∩
+ + +
La función es Cóncava hacia arriba en [
] y [
La función es Cóncava hacia abajo en [ cambia de concavidad en
]
]
entonces existe punto de inflexión cuando
x toma estos valores.
25.
(
(
Calculamos la segunda derivada : )
=
)
= =
=
√
Establecemos los posibles puntos de inflexión, sus intervalos y la concavidad : √
81
√
√
,
√
√
√
-
+
√
+ + ⋂
+ + + ⋃
+ + ⋂
Observando los resultados de la tabla anterior se concluye: f es cóncava hacia abajo en los intervalos
y(
√
f es cóncava hacia arriba en el intervalo (
√
√
√
.
Luego, por los cambios de concavidad, existen puntos de inflexión cuando
√
28.
Calculamos los posibles puntos de inflexión mediante la segunda derivada Se encuentra la concavidad y los posibles punto de inflexión cuando √ √ ( )( ) ( √
(
)(
) √
√
√
)
Comprobamos la concavidad en los intervalos correspondientes √
- ∞ ( (
√ √
) )
√
-
-
+
-
+
+
+
∩
+ √
La función es Cóncava hacia arriba en [ La función es Cóncava hacia abajo en [ cambia de concavidad en
∞
√
√
cuando x toma estos valores.
82
√
√
] y [
√
]
]
entonces existe punto de inflexión
En los problemas 35 a 62 determine los intervalos en los que la función crece, decrece, es cóncava hacia arriba, es cóncava hacia abajo; máximos y mínimos relativos; puntos de inflexión; simetría y aquellas intersecciones que puedan obtenerse de manera conveniente. Después bosqueje la gráfica. 55.
Calculamos la primera y segunda derivada ( [
)
]
(√
√
√
) (√
)
Calculamos los valores extremos de los intervalos con
, √ , √ √ √ Establecemos los intervalos correspondientes a los valores extremos (
(-
) √
(√
0
.
( √
)
√
Establecemos los signos de la función para cada intervalo. 0
√ √ √
-
-
+ +
+ + -
83
√
+ + + +
+ + -
Establecemos las conclusiones en base a los resultados anteriores: -
es creciente en (
-
es decreciente en ( √
-
tiene máximo relativo en
√ )y
√
)y √ √ y
√
f tiene mínimo relativo en
Calculamos los posibles puntos de inflexión, intervalos y concavidad con (√
) (√
√ ,
)
√ (√
(√
)
√
√
+
+
-
-
+
+
⋂
+ ⋃
⋂
)
Observando los resultados de la tabla anterior se concluye: √
f es cóncava hacia abajo en los intervalos f es cóncava hacia arriba en el intervalo ( √
y(√
√ . √
Luego, por los cambios de concavidad, existen puntos de inflexión cuando
Calculamos los puntos de intersección: Si Si
(
Comprobamos la simetría:
; por lo tanto es simétrica respecto al eje Y. Construimos la gráfica
84
)
como
,
,
f es función par,
56.
Puntos de intersección Si
Si Valores y Puntos críticos Los valores críticos se calculan con (√ )(√ ) √
√ √
Intervalos donde la función es creciente o decreciente -∞ (√ (√
) )
0
√
√
∞
-
+ -
+ + -
+ + +
-
+
-
+
La función es decreciente en [ La función es creciente en [
√
√
√
]y [
]y [
√
]
]
√
Valores máximos y mínimos Existe valores mínimos relativos en
√
Existe un valor máximo relativo en
85
√
Concavidad y puntos de inflexión
√
Se encuentra la concavidad y un posible punto de inflexión cuando (√ )(√ )
√
√ - ∞ (√
)
(√
)
√
+ ∩
+ + +
La función es Cóncava hacia arriba en [ La función es Cóncava hacia abajo en [
∞
√
+
cambia de concavidad en
√
√
√
√ √
√
] y [
]
√
]
entonces existe punto de inflexión
cuando x toma estos valores. Puntos de inflexión Si Si
√ √
(
√
( ) √
)
(
√ √
√
( )
)
( (
√
√
86
)
√
)
13.4
Prueba de la segunda derivada
Problemas 13.4 Página 589. Ejercicios: 12, 14 Realice la prueba para máximos y mínimos en los problemas 1 a 14. En caso de ser posible, use la prueba de la segunda derivada. En los problemas 1 a 4, establezca si los extremos relativos son también extremos absolutos 12.
Calculamos la primera derivada
Calculamos los valores extremos mediante
Calculamos la segunda derivada
Comprobamos el signo de ( ( )
)
(
en los valores extremos.
)
Existe un máximo relativo cuando
( )
Existe un mínimo relativo cuando
14.
Calculamos la primera derivada:
Hallamos valores extremos:
Calculamos la segunda derivada:
Aplicamos el criterio de la segunda derivada:
Mínimo relativo
cuando Máximo relativo cuando
13.6
Aplicación de Máximos y mínimos
Problemas 13.6 Páginas 607-611. Ejercicios: 5, 13, 16, 20 En esta serie de problemas, a menos que se especifique otra cosa, p es el precio por unidad y q la producción por unidad de tiempo. Los costos fijos se refieren a costos que permanecen constantes bajo todo nivel de producción en un período dado (un ejemplo es la renta)
87
5. Costo promedio. Un fabricante determina que el costo total, c, de producir un artículo está dado por la función de costo . ¿Para qué nivel de producción será mínimo el costo promedio por unidad?
Determinamos el costo promedio por unidad: ̅
Calculamos la derivada del costo por unidad para determinar valores extremos: ̅
̅
El único valor será negativo.
, ya que el número de unidades producidas no puede ser
Calculamos la segunda derivada para determinar valores máximos o mínimos. ̅
̅ ̅
Si
̅ es mínimo cuando se producen 100 unidades.
13. Utilidad. Para el producto de un monopolista la ecuación de demanda es función de costo promedio es ̅
y la
. Encuentre el precio que maximiza la utilidad.
Calculamos el costo total:
Calculamos la función de utilidad:
̅
(
)
Utilidad = ingreso total- costo total
Calculamos la derivada de la utilidad:
Los valores extremos se presentan cuando
Mediante la segunda derivada establecemos si se trata de valor máximo o mínimo. es un valor máximo.
Calculamos el precio que maximiza la utilidad:
16. Costo: Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en dólares por unidad) está dado por ̅
. Donde
.
(a) ¿A que nivel dentro del intervalo [ ] debe fijarse la producción para minimizar el costo total? ¿Cuál es el costo total mínimo? Calculamos el costo total y su derivada para encontrar valores extremos: ̅
(
) luego, aplicando la fórmula cuadrática:
88
√
Evaluamos
o tambien
√
para los valores calculados de , dentro del intervalo [
Se observa que el costo mínimo ocurre cuando
]
√
(b) Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo [ ], ¿Qué valor de minimizara el costo total? Comprobamos para los valores dentro del intervalo [ ], por ejemplo: La producción sigue siendo mínima cuando la producción es de 10 unidades. 20. Utilidad. Un fabricante de un producto encuentra que para las primeras 600 unidades que produce y vende, la utilidad es de $40 por unidad. La utilidad por cada unidad producida más allá de 600 disminuye en $0.05 por cada unidad adicional producida. Por ejemplo, la utilidad total cuando produce y vende 602 unidades es 600(40)+2(39.90).¿qué nivel de producción maximizara la utilidad?
Establecemos la utilidad(U) como función del número de unidades producidas(q): Utilidad por los 600 unidades: 600(40)=24000 Utilidad adicional: (40-0.5q)q
Calculamos la primera derivada para calcular valores extremos:
Utilizamos el criterio de la segunda derivada para verificar si el valor obtenido es máximo o mínimo: se tiene una utilidad máxima cuando
Por último, el número total de unidades será 600+400=1000
89
CAPÍTULO 14
14.1
INTEGRACIÓN
Diferenciales
Problemas 14.1 Páginas 622-623. Ejercicios: 4, 10, 37, 38 En los problemas 1 a 10, encuentre la diferencial de la función en términos de x y dx. 4.
√
10.
Expresamos la función en forma más conveniente:
Calculamos la derivada:
37. Utilidad Suponga que la utilidad (en dólares) al producir unidades de un producto es . Por medio de diferenciales, encuentre el cambio aproximado en la utilidad, si el nivel de producción cambia de a . Encuentre el cambio verdadero.
Calculamos el cambio aproximado si Por definición se tiene: Luego, para ,
, (
,
)
Calculamos el cambio verdadero
38. Ingreso. Dada la función de ingreso . Use diferenciales para encontrar el cambio aproximado en el ingreso, si el número de unidades se incrementa de q=40 a q=41. Encuentre el cambio verdadero.
Cambio aproximado Si
90
Cuando
,
Cambio verdadero
14.2
La integral indefinida
Problemas 14.2 Páginas 628-629. Ejercicios: 9, 15, 22, 33, 37, 39, 41, 49. En los problemas 1 a 52, encuentre las integrales indefinidas. 9.
∫ ∫
15.
)
∫(
∫(
22.
∫(
∫
)
∫
)
∫(
33.
∫
)
∫ 91
∫
∫
∫ 37.
∫
∫ √
(
∫
)
√ ∫ √
∫
√ ∫
39.
∫(
∫(
41.
∫( ∫
√ √ √ √
)
)
= ∫(
)
∫
) =∫
= 49.
∫
=
∫
∫
∫(
)
∫
(
)
92
∫
∫
14.3
Integración con condiciones iniciales
Problemas 14.3 Página 633. Ejercicios: 5, 7, 10, 12, 14, 15
En los problemas 5 a 8, encuentre y sujeta a las condiciones dadas 5.
Calculamos la primera derivada integrando la función
∫ ∫ Calculamos el valor de la constante
, así:
:
Si Luego,
Calculamos la función ∫
integrando la función ∫
Calculamos el valor de la constante
:
Si Luego,
7.
,
∫
,
,
∫
Como Luego se tiene: ∫
∫
Como Luego se tiene: ∫
∫ 93
:
Como Así resulta
En los problemas 9 a 12 , dr/dq es una función de ingreso marginal, encuentre la función de demanda. 10.
Función de ingreso ∫ Si
∫
luego, la función de ingreso es:
Función de demanda Si
12.
Calculamos la función de ingreso a partir del ingreso marginal ∫
∫
Calculamos el valor de la constante , asignando la condición inicial ingreso de
unidades es
, es decir el
.
Si
Calculamos la función de demanda a partir de la función de ingreso, así:
En los problemas 13 a 16,
es una función de costo marginal y los costos fijos están indicados
entre llaves. Para los problemas 13 y 14, encuentre la función de costo total. En los problemas 15 y 16 encuentre el costo total para el valor indicado de q.
14. 94
Función de Costo marginal
Función de costo total ∫ ∫
Si
entonces .
[
15.
Calculamos la función de costo a partir del costo marginal : ∫
]
∫
Calculamos el valor de la constante C1 con la condición inicial
Luego,
Calculamos el costo total si
14.4
Más fórmulas de integración
Problemas 14.4 Páginas 639-640. Ejercicios: 14, 26, 34, 44, 49, 52, 57 68
En los problemas 1 a 80, encuentre las integrales indefinidas 14.
∫
√
∫
√
∫
[
]
95
(costo fijo)
26.
∫ ∫ |
34.
[
∫ [
|
(
[
)∫ |
∫
∫
49.
|
∫
√
∫
∫ [
∫
|
]
|
∫ ∫
57.
]
√
∫
52.
]
∫ ∫
44.
]
[
∫
∫(
)(
)
∫(
)(
)
[
∫
96
]
]
68
∫[ (
]
)
∫[
] (
14.7
)
∫
|
∫
|
|
|
Teorema fundamental del cálculo integral
Problemas 14.7 Páginas 657-658. Ejercicios: 13, 15, 20, 25, 31, 37
En los problemas 1 a 43, evalúe la integral definida. 13.
15.
∫
√
∫
√
|
∫
|
∫⁄ ( ) ∫
| ⁄
20.
∫ ∫
25.
⁄
|
∫ ∫
[
∫
]
[
] 97
[
]
√
∫
Expresando en forma exponencial:
∫
√
∫
Sea ∫
∫
∫
(
[
[
]
[
)
]
]
Reemplazando
[
37.
∫
(
]
) ∫
(
(
)
98
(
)|
)
14.9
Área
Problemas 14.9 Páginas 667-668. Ejercicios: 7, 10, 12, 18, 24, 26
En los problemas 1 a 34, use una integral definida para encontrar el área de la región limitada por la curva, el eje x y las líneas dadas. En cada caso, primero haga el bosquejo de la región. Tenga cuidado con las áreas de las regiones que están debajo del eje x.
∫
|
10.
∫
(
)|
12.
[
∫
]
[ [
99
] ]
[
]
18.
∫
∫
|
24.
Área = ∫ (
26.
∫
(
(
)|
)
100
)|
(
)|
14.10
Área entre curvas
Problemas 14.10 Páginas 673-675. Ejercicios: 9, 10, 13, 14, 21, 24, 29
En los problemas 9 a 32, encuentre el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Asegúrese de encontrar los puntos de intersección requeridos. Considere si el uso de franjas horizontales hace más sencilla la integral que el uso de franjas verticales 9.
Calculamos los puntos de intersección:
⟺ Realizamos un bosquejo de la gráfica y calculamos el área
,
∫
( (
10.
Graficamos las ecuaciones:
101
)| )
Calculamos la intersección de las dos rectas
Calculamos el área mediante franjas verticales:
∫
∫
| [
( ]
[(
)| )
)
13.
Calculamos las intersecciones:
√ Realizamos un bosquejo de las gráficas y calculamos el área:
Área
∫
∫
√ [ √
]
√ √
(
( √
)| √ √ √
)
( √
102
√
√
)
14.
Graficamos las ecuaciones
Calculamos las intersecciones Si entonces
Luego: Calculamos el área
√
√ √
√
[
∫
]
(
)|
√
√
√
( √
)
(
√
√
)
√
21.
Calculamos las intersecciones:
⟺
,
Realizamos un bosquejo de las gráficas y calculamos el área Sean:
∫ [(
103
)
(
)]
∫ (
)
(
)|
(
)
(
(
)|
)
24.
Graficamos las funciones
Calculamos las intersecciones igualando las dos funciones, así:
y
⇒
Calculamos el Área mediante la fórmula: Área ∫ [
]
∫ [
] (
29.
∫ [
] (
)
,
Calculamos los puntos de intersección:
⟺ , , Realizamos un bosquejo de las gráficas y calculamos el área:
104
)|
∫ [
]
∫ [
]
∫ [
]
(
)| [
14.11
(
∫ [
( )]
]
)| [(
)
]
Excedente de los consumidores y de los productores
Problemas 14.11 Páginas 677- 678. Ejercicios: 4, 5, 8, 10 En los problemas 1 a 6, la primera ecuación es una ecuación de demanda y la segunda es una ecuación de oferta de un producto. En cada caso, determine el excedente de los consumidores y de los productores, bajo equilibrio del mercado.
4. Ecuación de demanda: Ecuación de oferta:
Calculamos el punto de equilibrio
: ⟺
unidades debe ser positivo. Luego, si Así tenemos
Calculamos el excedente de consumidores
105
ya que el número de
∫ [
]
∫ [
(
]
)| (
)
Calculamos el excedente de productores ∫ [
]
∫ [
] |
5.
Establecemos la funciones de demanda y de oferta respectivamente como:
Graficamos las funciones
106
Calculamos el punto de equilibrio Función de demanda = Función de oferta
Luego: (
)
Calculamos el excedente de productores con la fórmula alterna ∫ [
]
∫
[
[
]
|
]
Calculamos el excedente de consumidores con la fórmula alterna ∫ [
]
∫
|
[
]
107
8. La ecuación de demanda de un producto es
. Y la ecuación de oferta es
. Encuentre el excedente de los productores y de los consumidores bajo equilibrio del mercado. Función de demanda:
√
Función de oferta:
Calculamos el punto de equilibrio
El precio por artículo es siempre positivo entonces:
Así es punto de equilibrio es: Calculamos el excedente de consumidores ∫ [
∫
]
[√
]
∫
∫ [ [ [
Calculamos el excedente de los productores ∫ [
] ∫
(
[ ∫ [
)]
[
] ]
108
[
] ] ]
[
]
] [
]
10. La ecuación de demanda para un producto es oferta es
Y la ecuación de
a) Verifique, por sustitución, que el equilibrio del mercado ocurre cuando
Reemplazamos los valores de
y
b) Determine el excedente de los consumidores bajo equilibrio del mercado. Despejamos P de la ecuación de demanda:
Calculamos el excedente de consumidores: ∫ [
]
∫
[
)
[(
]| [ (
]
)
( )
109
.
en la ecuación de demanda y la ecuación
de oferta, así:
y
]
