FISICA I
MANUAL PARA EL DESARROLLO DE LA OOO ASIGNATURA ASIGNA TURA DE FISICA I (Ing. AGROINDUSTRIAL)
ROBERTO C. GIL AGUILAR FRANCISCO J. RISCO FRANCO Chimbote – Perú 2018 Roberto C. Gil Aguilar
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FISICA I
Presentación
El presente trabajo tiene por objetivo, de ofrecer una introducción a la Física, con título en la pasta principal. MANUAL PARA EL DESARROLLO DE LA ASIGNATURA DE FISICA I (Ing. AGROINDUSTRIAL), como también ayudar a los estudiantes a desarrollar una intuición de la asignatura y hacerles conocedores y hábiles para resolver problemas. Este aporte monográfico refleja los resultados de la l a experiencia y conocedores de las dificultades y lo que significa aprender Física. Este trabajo es para un curso de un ciclo académico. Se supone que los l os alumnos han estudiado o estudian simultáneamente Álgebra Fundamental, el cálculo diferencial e Integral y como el cálculo vectorial. Hemos intentado escribir este aporte de modo muy en síntesis, abreviado y preciso, para ganar confianza resolviendo algunos de los ejercicios. Al mismo tiempo incluimos problemas de diversos grados de dificultad, como también para alumnos mejor preparados, el texto contiene: Magnitudes Físicas y factor de conversión, magnitud vectorial, escalares, vectores cartesianos, multiplicación de vectores, estática, cinemática, movimiento compuesto, dinámica, movimiento curvilíneo, ecuaciones de movimiento, trabajo, energía, impulso y cantidad de movimiento lineal.
Agradeceremos las comunicaciones de nuestros colegas, estudiantes y público lector sobre todo de los errores o deficiencias que encuentren, usted puede colaborar diciendonos lo que necesita mejorar. Siéntase en confianza de comunicarse, por correo electrónico. Sus comentarios serán serán muy tenidos en cuenta. Email:
[email protected] [email protected]
Chimbote, Setiembre del 2 018
Los autores
Roberto C. Gil Aguilar
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FISICA I
Índice Analítico
Capítulo
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
Capítulo
Magnitudes Vectoriales y Escalares 15
2-1
Cantidad Vectorial 15 2.1.1 Representación Gráfica Gráfica de un Vector 15 Magnitud Escalar 16 Suma de Vectores Vectores 16 2.3.1 Método del Polígono 16 2.3.2 Método Analítico 18 2.3.3 Método del Triángulo 18 Descomposición Vectorial en el Plano 20 Módulo de un Vector en Componentes Componentes Rectangulares 20 Problemas Propuestos 22
2-4 2-5
Capítulo
Magnitud Física 7 Conceptos Fundamentales 7 Magnitudes Fundamentales 10 Magnitudes Derivadas 11 Factor de Conversión 11 Conversión de Unidades 12 Problemas Propuestos 13
2
2-2 2-3
Capítulo
Física medición, magnitudes y Factores de Conversión 4
3
Vectores Cartesianos 26
3-1 3-2 3-3
Vector Unitario 26 Suma de un Vectores Cartesianos 27 Vectores Cartesianos de Posición 28 Problemas Propuestos 29
4
Multiplicación de Vectores 34
4-1
Multiplicación de Vectores 34 Problemas Propuestos 40
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FISICA I
Capítulo
Capítulo
Capítulo
Capítulo
Capítulo
5
Estática 41
5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8
Mecánica 41 Estática 41 Condiciones Para el Equilibrio 41 Equilibrio Cinético 42 Equilibrio Estático 42 Resortes 42 Fuerza 42 Diagrama de Cuerpo Libre 42 Problemas Propuestos 43
6
Cinemática 48
6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6 6-7
Cinemática 48 Vector de Posición 48 Velocidad Media 49 Velocidad Instantánea 49 Aceleración Media 49 Aceleración Instantánea 50 Cinemática utilizando el Cálculo Diferencial e Integral 50 Problemas Propuestos 53
7
Movimiento Compuesto 57
7-1 7-2 7-3
Primer Caso 57 Segundo Caso 58 Movimiento Curvilíneo General 58 Problemas Propuestos 62
8
Dinámica 64
8-1 8-2 8-3 8-4
Dinámica 64 Algunos Conceptos 64 Equivalencias entre Algunas Unidades de fuerza 64 Rozamiento o Fuerza de Rozamiento 65 Problemas Propuestos 69
9
Movimiento Curvilíneo: Componente Normal y Tangencial 76
9-1 9-2
Movimiento Curvilíneo 76 Movimiento en el Plano 76 Problemas Propuestos 79
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FISICA I
Capítulo
Capítulo
Capítulo
10
Ecuaciones de Movimiento: Coordenadas Normal y Tangencial 81
10.1
Ecuaciones del Movimiento 81 Problemas Propuestos 84
11
Trabajo Energía 87
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7
Trabajo de una Fuerza 87 Trabajo de una Fuerza Variable 87 Trabajo de una Fuerza Constante 87 Trabajo debido al Peso 88 Energía Potencial debido a un Resorte 88 Principio de la Conservación de la Energía 90 Problemas y Ejercicios de Aplicación 91 Problemas Propuestos 98
12
Impulso Cantidad de Movimiento Lineal 104
12.1 12.2 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6
Impulso 104 Cantidad de movimiento 104 Colisión 104 Coeficiente de Restitución ( e ) 104 Colisión Elástica ( e = 1) 104 Colisión Inelástico ( e = 0 ) 104 Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento Lineal 107 Problemas Propuestos 109
Bibliografía 114
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FISICA I
Capítulo
1
Física, medición, Magnitudes y Factor de Conversión
Como todas las otras ciencias, la física se sustenta en observaciones experimentales y mediciones cuantitativas. Los objetivos principales de la física son identificar un número limitado de leyes fundamentales que rigen los fenómenos naturales y usarlas para desarrollar teorías capaces de anticipar los resultados experimentales. Las leyes fundamentales que se usan para elaborar teorías se expresan en el lenguaje de las matemáticas, la herramienta que proporciona un puente entre teoría y experimento. Cuando hay discrepancia entre el pronóstico de una teoría y un resultado experimental, es necesario formular teorías nuevas o modificadas para resolver la discrepancia. Muchas veces una teoría es satisfactoria solo bajo condiciones limitadas; a veces una teoría general es satisfactoria sin ciertas limitaciones. Por ejemplo, las leyes del movimiento descubiertas por Isaac Newton (1642 – 1727) describen con precisión el movimiento de los objetos que se mueven con rapideces normales pero no se aplica a objetos que se mueven con rapideces comparables con la velocidad de la luz. En contraste, la teoría especial de la relatividad, desarrollada más tarde por Albert Einstein (1879 – 1955), da los mismos resultados que las leyes de Newton a bajas rapideces pero también hace una descripción correcta del movimiento de los objetos con rapideces que se aproximan a la rapidez de la luz. Por lo tanto, la teoría especial de la relatividad de Einstein es una teoría de movimiento más general que la formada por las leyes de Newton. La física es una ciencia que trata de explicar los acontecimientos que ocurren en la naturaleza, para comprenderla es necesario contar con instrumentos de medición, de ahí que es experimental, es así que al medir nos encontramos con las magnitudes físicas. Es necesario que la asignatura se complemente con la parte experimental, permitiéndonos comprobar las fórmulas encontradas en laboratorio. Bien es sabido que actualmente la física no solo estudia al átomo sino que partículas elementales, pues la física estudia lo más pequeñísimo hasta el universo que nos rodea. El universo que nos rodea está sujeto bajo las leyes que gobierna la naturaleza, esto lo hace fascinante a las ciencias físicas. En tal sentido la física es la base para las aplicaciones que son las ingenierías y la tecnología, no será posible diseñar cualquier estructura si no entendemos bien los principios y leyes en que estamos sujetos por que dependemos de ello. Es necesario considerar que para comprender la asignatura, tener claro los conocimientos previos del álgebra elemental, la geometría, la trigonometría, el cálculo diferencial e integral. En este capítulo conoceremos algunas magnitudes revisaremos los sistemas de medidas tanto el sistema internacional de medida (S.I), como el sistema Inglés o británico. Haremos algunas comparaciones entre ambos sistemas de unidades,
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FISICA I 1.1 Magnitud Física Que entendemos por magnitud física, se entiende por todo aquello que es medible, podríamos coger un instrumento de medición y comparar con un instrumento patrón, podemos medir la longitud, el tiempo, la masa, la fuerza, la intensidad de la corriente eléctrica, entre otros. La palabra medición involucra la precisión que tiene que ver con el instrumento a medir y sea de alta precisión. La exactitud con el experimentador es decir quién va a realizar la medición, prevalecerá la experiencia es decir un buen experimentador por tanto cometerá mínimos errores y expresar correctamente su lectura. En la figura 1.1 se aprecia la toma de Figura 1.1 lectura para una medición del diámetro de la esfera, comúnmente la realizamos en laboratorio de física I, en la Universidad Nacional del Santa.
1.2 Conceptos Fundamentales A continuación algunos conceptos fundamentales que considero importante. a) Longitud, la longitud se usa para localizar la posición de un punto en el espacio. Tan recientemente como 1960, la longitud del metro se definió como la distancia entre dos líneas en una específica barra de platino – iridio que se almacena bajo condiciones controladas en Francia. Sin embargo, los requerimientos actuales de la ciencia y la tecnología necesitan más precisión que la dada por la separación entre las líneas en la barra. En las décadas de los sesenta y setenta del milenio pasado, el metro se definió como 1 650 763.73 longitudes de onda de la luz naranja – rojo emitida de una lámpara de criptón 86. No obstante, en octubre de 1983, el metro se redefinió como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299 792 458 segundos. En efecto, esta última definición establece que la rapidez de la luz en el vacío es precisamente 299 792 458 metros por segundo. Esta definición del metro es válida a través del Universo respecto a la suposición de que la luz es la misma en todas partes. b) Tiempo, el tiempo relaciona los sucesos de secuencias de algún evento y es importante en dinámica. Antes de 1960 el estándar de tiempo fue definido en términos del día solar medio hacia el año 1900. (Un día solar es el intervalo de tiempo entre a pariciones sucesivas del Sol en el punto más alto que alcanza en el cielo cada día.) La unidad fundamental de un segundo (s) fue definida como de un día solar medio.
Figura 1.2
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Ahora se sabe que la rotación de la Tierra varía ligeramente con el tiempo. Debido a eso, este movimiento no proporciona un tiempo estándar que sea constante.
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FISICA I En 1967 el segundo fue redefinido para sacar ventaja de la enorme precisión que se logra con un dispositivo conocido como reloj atómico (figura 1.2), que mide vibraciones de átomos de cesio. Ahora un segundo se define como 9 192 631 770 veces el periodo de vibración de la radiación del átomo de cesio 133. El estándar de tiempo primario en Estados Unidos es un reloj atómico con fuente de cesio desarrollado en los laboratorios del NIST en Boulder, Colorado. El reloj nunca ganara ni perderá un segundo en 20 millones de años. c) La masa, la masa es la unidad fundamental del SI que es el kilogramo (kg), es definido como la masa de un cilindro de aleación platino – iridio específico que se conserva en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sévres, Francia. Esta masa estándar fue establecida en 1887 y no ha cambiado desde esa época porque el platino – iridio es una aleación inusualmente estable. Un duplicado del cilindro de Sévres se conserva en el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST, por sus siglas en ingles), en Gaithersburg, Maryland. (Figura 1.3)
Figura 1.3 d) Fuerza. Es una magnitud vectorial que tiene magnitud, dirección y sentido además se tiene las fuerzas gravitacional, eléctricas, magnéticas y nuclear.
.
La fuerza es considerada como ecuación vectorial y se puede escribir como. Así también la fuerza gravitacional, para dos cuerpos que se encuentran muy lejanos por ejemplo la tierra y la luna, esa fuerza que ejerce la tierra sobre la luna y viceversa está definida por la siguiente ecuación, , donde G, es la constante gravitacional, M es la masa de la tierra, m es la masa de la luna y r es la distancia que separa ambos cuerpos, cuando un cuerpo se encuentra muy cercano a la superficie que por decir la tierra entonces es una fuerza lla mada peso es esa fuerza que ejerce la tierra sobre los cuerpos y que son atraídos hacia el centro de radio del planeta y se expresa así, . Donde m es la masa del cuerpo y g es la aceleración de la gravedad en el sistema Internacional considerándose un valor de 9,81 m/s2.
̅
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FISICA I Fuerza Eléctrica. En electrostática estudiamos la fuerza eléctrica ya sea la de repulsión o de atracción dependiendo de la naturaleza de las cargas electrostáticas producidas en un cuerpo por frotación, cuando las cargas obtenidas por frotación son del mismo signo aparece una fuerza eléctrica de repulsión, y si son de signo contrario una fuerza eléctrica de atracción. En la figura 1.4 se aprecia la atracción de una pequeña esfera de papel de aluminio por la varilla después de frotarla y acercarla a ésta, el experimento se realizó en el laboratorio de física III, de la Universidad Nacional del Santa. Figura 1.4
Fuerza Magnética. La fuerza magnética se puede definir como la fuerza electromagnética total o fuerza de Lorentz que podría medir un experimentador sobre una distribución de cargas en movimiento. Las fuerzas magnéticas pueden producirse por el movimiento de partículas cargadas, como electrones, lo que indica la estrecha relación entre la electricidad y el magnetismo. También las fuerzas magnéticas entre imanes y/o electroimanes es un efecto residual de la fuerza magnética entre cargas en movimiento. Esto sucede porque en el interior de los imanes convencionales existen micro corrientes que macroscópicamente dan lugar a líneas de campo magnético cerradas que salen del material y vuelven a entrar en él. Los puntos de entrada forman un polo y los de salida el otro polo. Si cogemos un iman Ver figura 1.5, podemos apreciar que debido a la fuerza de este es capaz de atraer a cierto metales. Figura 1.5 Fuerza Nuclear. El núcleo de los átomos está formado por los protones, que tienen carga
positiva, y los neutrones, que no están cargados. Las fuerzas repulsivas entre las cargas de los protones harían que el núcleo fuera inestable. Esto no sucede porque la fuerza eléctrica se equilibra con una fuerza atractiva denominada fuerza nuclear, que se caracteriza por lo siguiente:
10−
1.- Es de corto alcance. Su radio de acción es de unos m. Esta longitud se conoce como femtómetro o fermi. Figura 1.6
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FISICA I 2.- Es atractiva y no depende de la carga. Se ejerce entre los protones, entre los neutrones y entre los protones y los neutrones. A distancias muy cortas, mucho menores que las del alcance la fuerza del núcleo, se hace repulsiva. • Su intensidad es muy elevada, cien veces mayor que la fuerza electromagnética. La fuerza
nuclear se desarrolla en el interior del núcleo siendo responsable del equilibrio del átomo, de lo contrario se desencadenaría una fuerza de magnitud muy intensa produciendo partículas radiactivas como se aprecia en la figura 1.7. El núcleo de los átomos está formado por los protones, que tienen carga positiva, y los neutrones, que no están cargados. Las fuerzas repulsivas entre las cargas de los protones harían que el núcleo fuera inestable. Esto no sucede porque la fuerza eléctrica se equilibra con una fuerza atractiva denominada fuerza nuclear Figura 1.7
1.3 Magnitudes Fundamentales Las magnitudes físicas fundamentales son aquellas que sirven de base para describir las magnitudes derivadas, entre ellas tenemos la longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura termodinámica, cantidad de sustancia, intensidad luminosa y dos magnitudes complementarias el ángulo plano y el ángulo sólido. Según el S.I. Hay siete magnitudes fundamentales y dos complementarias. Estas pueden verse a continuación en las tablas correspondientes.
Magnitudes Fundamentales Magnitud Física Longitud Masa Tiempo Intensidad de corriente eléctrica Temperatura termodinámica Cantidad de sustancia Intensidad luminosa
Unidad (L) (m) (t) (I) (T) (n) (J)
Metro Kilogramo Segundo Amperio Celsius Mol Candela
(M) ( kg ) (s) (A) (°C ) ( mol ) ( cd )
Magnitudes Complementarias Magnitud Física Ángulo plano ( ) Ángulo sólido ( )
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Unidad Radián Estereorradián
(rad) (sr)
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FISICA I 1.4 Magnitudes Derivadas Las magnitudes físicas derivadas son aquellas que se escriben en función de las magnitudes fundamentales. Algunas Magnitudes Derivadas Magnitud Derivada Volumen (V) Velocidad (v) Aceleración (a) Fuerza (F) Presión (P) Trabajo (W) Potencia (Po) Densidad (ρ ) Peso
(
W
)
Peso específico ( δ) Caudal Empuje Impulso Energía cinética
(Q) (E) (I) (EK )
Fórmula V = l3 v=l/t a = v/t F = ma P = F/A W = F.l Po = W/t ρ = m/ V
= mg
δ=
/V
Q=AV E=Vδ I = mv EK = mv2/2
Unidad m3 m/s m/s2 Kg.m/s2 N/m2 Nm J/s Kg/m3 Kg m/s2
Nombre
Newton Pascal Joule Watt
(N) (pa) (J) (W)
Newton
(N)
Joule
(J)
N/m3 m3 s-1 N Kg m/s Kg m2/s2
1.5 Factor de Conversión Un factor de conversión es un equivalente de una cantidad con su respectiva unidad, que representa a un sistema de mediadas que bien pudiera ser del sistema internacional (S. I) o del sistema de medida inglés, y es útil para comparar entre sistemas de unidades. A continuación la tabla de prefijos, tabla de sistemas de unidades y la tabla para algunos factores de conversión. TABLA N°01 Prefijos
Factor 1018 1015 1012 109 106 103 102 101
Prefijo Exa Penta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca
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Símbolo E P T G M K H da
Factor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18
Prefijo deci centi mili micro nano pico femto Atto
Símbolo d c m
n p f a
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FISICA I TABLA N°02 Sistema de Unidades Nombre
Longitud
Sistema Internacionales de Unidades (SI) Sistema Ingles (FPS)
Tiempo
Masa
Fuerza Newton (N)
metro (m)
segundo (s)
pie (ft)
kilogramo (kg)
segundo (s)
slug
kg . m 2 s Libra (lb)
lb . s 2 pie
slug .pie 2 s
TABLA N°03 Factores de Conversión
Cantidad
Fuerza Masa Longitud Longitud
Unidades de Medida (FPS) libras slug pies pulgada
Equivale
Unidades de Medida (SI) 4,4482 N 14,5938 kg 0,3048 m 0,0254 m
1.6 Conversión de Unidades.- La conversión de unidades consiste en determinar la relación o equivalencia que existe de una magnitud física correspondiente a un sistema de unidades en que puede ser del S.I al sistema inglés o viceversa.
Ejemplo 1.- Convertir 240 m/h a pies /s Solución.
240 ℎ 36001ℎ 0.13048 0.218 / Ejemplo 2.- Convertir 5 000 lb/in2 a pascales.
4. 4 482 1 5 000 1 0.0254 49249.310 49249.310492.5 Solución.
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FISICA I PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 01 TEMA: Unidades de Medición y Cálculos SI 1.- Un auditorio mide 40.0 m x 20.0 m x 12.0 m. La densidad del aire es 1.20 kg/m3. ¿Cuáles son a) el volumen de la habitación en pies cúbicos y b) el peso en libras del aire en la habitación? 2.- Calcule cada una de las siguientes expresiones y represéntelas con el prefijo apropiado en el sistema SI: (a) (50 mN)(6 GN), (b) (400 mm)(0.6 MN)2, (c) 45 MN3/900 Gg. 3.- ¿Cuál es el peso en Newtons de un objeto que posee una masa de (a) 8 kg, (b) 0,04 g y (c) 760 Mg? 4.- La madera tiene una densidad de 4,70 slug/pie3. ¿Cuál es su densidad expresada en unidades SI? 5.- Represente cada una de las siguientes combinaciones de unidades en su forma correcta utilizando el prefijo apropiado del sistema SI : (a) m/ms, (b) s/mg y (d) km . N.
6.- Representar cada una de las siguientes cifras como un número entre 0,1 y 1 000 utilizando el prefijo apropiado: (a) 45 320 kN, (b) 568 (105) mm y (c) 0,00563 mg. 7.- Resuelva y represente con un prefijo apropiado en cada una de las siguientes expresiones: (a) (430 kg)2, (b) (0,002 mg)2, y (c) (230 m)3 . 8.- Represente cada una de las combinaciones de unidades en su forma correcta, en el sistema SI: (a) GN. m, (b) kg/ (c) N/ks2 y (d) kN/ .
9.- Represente cada una de las combinaciones en su forma correcta en el sistema SI: (a) kN/ , (b) Mg/Mn y (c) MN/(kg . ms).
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10.- El pascal (pa) es en realidad una unidad de presión muy pequeña. Para mostrar lo anterior, convierta 1 pa = 1 N/m2 a libras/pie2. La presión atmosférica al nivel del mar es de 14,7 libras/pie2. ¿A cuántos pascales equivale? 11.- Determine el número de milímetros cúbicos contenidos en una pulgada cubica. 12.- Un disco de acero tiene un diámetro de 500 mm y un espesor de 700 mm. Si la densidad del acero es de 7850 kg/m3, determine el peso del disco en libras. 13.- Si un hombre pesa 155 libras en la tierra, exprese (a) su masa en slug, (b) su masa en kilogramos y (c) su peso en Newtons. Si el hombre estuviera en la Luna, en donde la aceleración debida a la gravedad es gL = 5,30 pies/s2, determine (d) su peso en libras y (e) su masa en kilogramos. 14.- Determine la masa en kilogramos de un objeto que tiene un peso de (a) 20 mN, (b) 150 kN, (c) 60 MN. Exprese cada respuesta utilizando el prefijo apropiado. 15.- La masa de Saturno es 5.69 x 1026 kg, y su radio, 6,03 x 107 m. a) Calcule la densidad media de ese planeta en kg/m3, usando notación de potencias de 10 y el número correcto de cifras significativas b) Exprese la densidad se Saturno en g/cm3. Un objeto flota en el agua si su densidad media es menor que la del agua, 1,00 g/cm3. Un objeto con la densidad media de Saturno, ¿flotará en agua? 16.- Suponga que llenar un tanque de gasolina de 30.0 galones tarda 7.00 min. a) Calcule la rapidez a la cual el tanque se llena en galones por segundo. b) Calcule la rapidez a la cual el tanque se llena en metros cúbicos por segundo. c) Determine el intervalo, en horas, que se requiere para
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FISICA I llenar un volumen de 1.00 m3 a la misma rapidez (1 galón = 231 pulg3 ).
superficie de la Tierra, ¿cuántos átomos habría por metro cuadrado?
17.- Un galón de pintura (volumen = 3.78 x 10 -3 m 3 ) cubre un área de 25.0 m 2. ¿Cuál es el grosor de la pintura fresca sobre la pared?
24.- Un ano luz es la distancia que recorre la luz en un año (a una rapidez = 2.998 x 108 m/s). a) ¿Cuántos metros hay en 1.00 año luz? b) Una unidad astronómica (UA) es la distancia promedio entre el Sol y la Tierra, esto es, 1.50 x 10 8 km. ¿Cuántas UA hay en 1.00 año luz? c) ¿Cuál es la rapidez de la luz en UA/h?
18.- Sea la representación de la densidad del aluminio y la del hierro. Encuentre el radio de una esfera de aluminio sólida que equilibra una esfera de hierro solida de radio en una balanza de brazos iguales.
19.- La llanta de un automóvil dura 50 000 millas. En un orden de magnitud, ¿a través de cuantas revoluciones girará? En su solución, establezca las cantidades que midió o estimo y los valores que tomo para ellas. 20.- Suponga que Bill Gates le ofrece $1 000 millones si es capaz de terminar de contarlos usando solo billetes de un dólar. ¿Debe aceptar su oferta? Explique su respuesta. Suponga que cuenta un billete cada segundo y advierta que necesita al menos 8 horas al día para dormir y comer. 21.- Un litro (1000 cm3) de aceite se derrama sobre un lago tranquilo. Si el aceite se dispersa uniformemente hasta que se forma una película de una molécula de espesor, con las moléculas adyacentes apenas tocándose, estime el diámetro de la película de aceite. Suponga que la molécula de aceite tiene un diámetro de 2 x10- 10 m. 22.- El diámetro de la Luna es de 3480 km. ¿Cuál es su volumen? ¿Cuántas Lunas se requerirían para crear un volumen igual al de la Tierra? 23- Un mol de átomos consiste en 6.02 x 1023 átomos individuales. Si un mol de átomos se esparciera uniformemente sobre la
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25.- a) ¿Cuántos segundos hay en 1.00 año? b) ¿Cuántos nanosegundos hay en 1.00 año? c) ¿Cuántos años hay en 1.00 segundo? 26.- Comúnmente el pulmón de un adulto humano contiene cerca de 300 millones de cavidades diminutas llamadas alvéolos. Estime el diámetro promedio de un solo alveolo. 27.- Un angstrom (símbolo: Å) es una de longitud, definida como 10 -10 m, que está en el orden del diámetro de un átomo. a) ¿Cuántos nanómetros hay en 1.0 angstrom? b) ¿Cuántos femtómetros o fermis (la unidad común de longitud en física nuclear) hay en 1.0 angstrom? c) ¿Cuántos angstroms hay en 1.0 m? d ) ¿Cuántos angstroms hay en 1.0 año luz 28.- Una fuerte lluvia descarga 1.0 cm de agua sobre una ciudad de 5 km de ancho y 8 km de largo durante un periodo de 2 horas. ¿Cuántas toneladas métricas (1 tonelada métrica =103 kg) de agua cayeron sobre la ciudad? (1 cm3 de agua tiene una masa de 1 g =10-3 kg.) ¿Cuántos galones de agua fueron?
BIBLIOGRAFIA R. C. HIBBELER Ingeniería Mecánica ESTATICA Decimosegunda Edición 2010
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FISICA I
Capítulo
2
Magnitudes Vectoriales y Escalares
Sabemos que las magnitudes son todas aquellas que pueden ser medibles, entre ellas tenemos las magnitudes vectoriales y escalares.
2.1 Magnitud Vectorial. Es cualquier cantidad física que requiere magnitud, dirección y sentido. Ejemplos, fuerza, velocidad, aceleración, campo magnético, campo eléctrico, etc. Una magnitud vectorial a diferencia de la escalar esta se puede representar gráficamente mediante una línea recta orientada llamado vector, en la figura 2.1 se está aplicando una fuerza a un bloque de pequeña masa siendo orientada y dirigida por tanto se puede representar gráficamente Figura N° 06 Figura 2.1 mediante la flecha o línea recta orientada. La aplicación de esta fuerza fue para determinar la fuerza de rozamiento que existe entre el contacto de la madera y el aluminio, esa fuerza que se oponga a su desplazamiento, realizado en el laboratorio de Física I en la UNS.
2.1.1 Representación Gráfica del Vector ( F )Un vector se representa por una flecha donde la dirección está dado por el ángulo que forma el vector con la horizontal y medido en el sentido anti horario a las manecillas del reloj, el sentido por la flecha y el módulo por la cantidad, en la figura 2.2, está representado gráficamente el vector fuerza F, su dirección está dado por el ángulo medido en sentido anti horario a las manecillas del reloj desde la horizontal hasta la fuerza F , el sentido de nuestro vector está dado por la cabeza del vector o la flecha y su módulo o magnitud está dado por la lectura en el dinamómetro o instrumento de medida.
Figura 2.2
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FISICA I Una cantidad vectorial se representa por un segmento orientado así: OP , ver figura 2.3
Donde: A
: Vector A
A
: Módulo del vector A
: Dirección del vector con la horizontal
: Sentido del vector A
Figura 2.3 2.2 Magnitud Escalar Es cualquier cantidad física que se puede especificar por completo mediante su magnitud. Figura N° 10
Figura 2.4
Figura 2.5
Para determinar una magnitud escalar necesitamos un instrumento patrón con que vamos a medir. En la figura 2.4 se está midiendo la masa, la lectura lo proporciona la balanza analítica, según lectura es de 19 gramos y en la figura 2.5, se está midiendo el espesor de una lámina con el micrómetro y estas son magnitudes escalares. Entonces las magnitudes escalares quedan definidas por una cantidad numérica y su respectiva unidad física. En laboratorio medimos las magnitudes escalares o vectoriales, complementando así la parte teórica, con lo experimental. Entre las magnitudes escalares tenemos algunos de ellos, la masa, tiempo, longitud, temperatura, carga eléctrica, voltaje, etc.
2.3 Suma de Vectores Para sumar vectores existen varios métodos, entre ellos el del polígono, analítico, paralelogramo, del triángulo, entre otros. 2.3.1 Método del Polígono. La suma o la resultante de vectores se obtiene trazando el primer vector, a escala, con su magnitud, dirección y sentido, a continuación el siguiente, haciendo
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FISICA I coincidir el origen del segundo con el extremo del primero, finalmente se une el origen del primero con el extremo del último.
Suma Gráfica. – este método resulta eficaz si se hace en un papel milimetrado, con un transportador y el cuidado debido en cada trazo. Dados los vectores:
Coger cualquiera de los vectores dados y ubicarlo.
Coger otro vector y ubicarlo a continuación del anterior, repetir esto cuantas vectores sean necesarios.
Finalmente unir el punto de partida (inicio) con el punto de llegada (final) y este vector será el vector suma o resultante.
Final
Inicio
Ejemplo 1.- Sumar los vectores: A B C
Ejemplo 2.- Restar los vectores: A B Solución. El vector diferencia se obtiene trazando el vector minuendo, luego el vector sustraendo pero con sentido contrario, finalmente se une el origen del primero con el extremo del segundo.
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FISICA I 2.3.2 Método Analítico. Sean dos vectores A y B Fig. 2.6, que forman un ángulo Determinemos el vector suma
.
R.
Fig. 2.6
Fig. 2.7
Al construir el paralelogramo (Fig. 2.7) se tiene un triángulo rectángulo OPQ de manera, que determinemos R , que representa la suma de los dos vectores cuando forman un ángulo aplicando el teorema de PITAGORAS. 2
2
2
R OP PQ 2
OP PQ
2
A B cos
(2)
2
,
(1) 2
B sen 2
(3)
Reemplazando (2) y (3) en (1): y efectuando: R
A
2
B 2 2 AB cos
(4)
2.3.3 Método del Triángulo. A partir de este triángulo figura 2.8, la magnitud de la Fuerza Resultante puede determinarse con la ley de los cosenos, y su dirección mediante la ley se los senos. Este método es útil cuando un cuerpo está en equilibrio y sobre el actúan tres vectores
Ley de senos
Ley de cosenos
R. C, Gil Aguilar
2cos 2cos 2cos Página 18
FISICA I Cuando deseamos aplicar este método, debemos primero considerar un punto de aplicación es decir donde concurren los vectores, segundo trazar el diagrama de cuerpo libre, tercero construir el triángulo cerrado y cuarto aplicar cualesquiera de las leyes dependiendo el tipo de problema.
Ejemplo 1. - Dos hombres levantan una carga de masa igual a 75 kg, como se indica en la figura 2.9, de terminar las tensiones que se ejercen a través de las cuerdas AB y AC, respectivamente. Solución. Daremos solución a este problema mediante el método del triángulo. Si la masa es de 75 kg, entonces se tendrá un peso de W = mg = 75 kg x 9.81 m/s2 = 736 N. Primero consideremos el punto A, luego tracemos el diagrama de cuerpo libre, ver figura 2.9, a continuación construir el triángulo cerrado ver figura 2.10 y finalmente apliquemos la ley de los senos.
Figura 2.9
Fig. 2.10
TsenAB60 senTAC40 sen73680N
Obteniendo las tensiones respectivamente:
Fig. 2.11
TAB 647 N TAC 480 N
Ejemplo 2.- Determine la magnitud de la fuerza F de la figura 2.12 y la magnitud de la fuerza resultante si está dirigida a lo largo del eje y positivo. Solución
De la figura 2.12 se puede construir primero un paralelogramo, luego trabajar con el triángulo de la derecha y finalmente aplicar la ley de los senos. R. C, Gil Aguilar
Página 19
FISICA I
Fig. 2.12
Fig. 2.13
60 20045 75 20045
Fig. 2.14
245
273 Fcosθ Fsenθ F Fcosθ Fcosθ
2.4 Descomposición Vectorial en el Plano.- Consideremos el vector F Ver Fig.2.15 comprendido entre los ejes x, y además forma un ángulo con la horizontal, nuestro vector tiene dos componentes: y
También se puede escribir:
Fig. 2.15
2.5 Módulo de un Vector en Componentes Rectangulares y
Se puede notar que las componentes rectangulares son los catetos y el vector resultante la hipotenusa de un triángulo rectángulo, por lo tanto, se puede hallar el modulo aplicando el muy útil y famoso teorema de Pitágoras.
Ay Ay
Ax
x
A
2
A X
2
AY
Fig.2.16 R. C, Gil Aguilar
Página 20
FISICA I
⃗
También podemos expresar las componentes rectangulares en función del vector y el ángulo. A x
A cos
y A y A sen
Si queremos hallar la dirección del vector, entonces podemos aplicar
A y A x
arctg
Algunos Triángulos Notables y su Semejanza Tener en cuenta estos triángulos notables es útil para la solución de algunos problemas, permitiendo la simplificación directa.
R. C, Gil Aguilar
Página 21
FISICA I PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 02 TEMA: Vectores de Fuerza – Escalares Escalares y Vectores 1.- (2.1) Si θ = 30o y T = 6 kN, determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la armella roscada y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje positivo. F R
Fu
386 386 lb
Fv
283 283 lb
8,67 kN
Φ = 3,050
2.- (2.3) Si la magnitud de la fuerza resultante debe ser de 9 kN dirigida a lo largo del eje x positivo, determine la magnitud de la fuerza T que actúa sobre la armella roscada y su ángulo θ.
PROB. 3-4 5.- (2.7) Si F B 2 kN y la fuerza resultante actúa a lo largo del eje u positivo, determine la magnitud de la fuerza resultante y el
ángulo θ.
PROB. 1-2 T
6,57 kN θ = 30,6o
3.- (2.4) Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula y su dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje u positivo. F R 216.72 lb
3.050
4.-(2.5) Resuelva la fuerza F1 en componentes a lo largo de los ejes u y v; además, determine las magnitudes de estas componentes.
R. C, Gil Aguilar
F R
3.2 kN
θ = 78,6o
6.- El viento pega en la vela de un bote de tal forma que ejerce una fuerza resultante de F = 110 libras en dirección perpendicular a la vela. Descomponga esta fuerza en sus dos componentes, una paralela y otra perpendicular a la quilla aa del bote. Nota: la habilidad de navegar con el viento se conoce con el nombre de veleo y es posible debido a la fuerza paralela a la quilla del bote. La componente perpendicular tiende a ladear el bote o a empujarlo hacia adelante.
Página 22
FISICA I 9.- (2.14) Determine el ángulo diseño θ (0o ≤ θ ≤ 90o ) para la barra AB de manera que la fuerza horizontal de 400 lb tenga una componente de 500 lb dirigida de A hacia C. ¿Cuál es la componente de fuerza que actúa a lo largo del elemento AB? Considere ϕ = 40o.
7.- Un gancho está soportando las dos fuerzas del cable F1 = 500 N y F 2 = 300 N. Si la resultante de estas fuerzas actúa en dirección vertical hacia abajo y tiene una magnitud de FR = 750 N. Determine los ángulos θ y Ф de los cables.
53.5
o
; FAB 621 lb
10.-(2.16) Descompong F1 en sus componentes a lo largo de los ejes u y v, y determine las magnitudes de estas componentes.
8.- Una fuerza vertical de F = 60 libras l ibras actúa hacia abajo en el punto A de una estructura de dos partes. Determine las magnitudes de las dos componentes de F a lo largo de los ejes de las partes AB y AC. Tome el ángulo θ = 45°
F1v
129 129 N ;
F1u
183 183 N
11.- (2.20) Si ϕ = 45o, F 1= 5 kN y la fuerza resultante es 6 kN dirigida a lo largo del eje y positivo, determine la magnitud requerida de F2 y su dirección θ.
R. C, Gil Aguilar
Página 23
FISICA I
F2
4.31k N
;
55.1o
12.- (2.28) Se va a levantar una viga mediante dos cadenas. Determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que actúan sobre cada cadena para que desarrollen una fuerza resultante de 600 N dirigida a lo l o largo del eje y posiotivo. Considere θ = 450.
o
10.9 ; Fmín
235 lb
14.- (2.31) Tres cadenas jalan un tubo de forma que generan una fuerza resultante con magnitud de 900 lb. Si dos de los cables están sometidos a fuerzas conocidas, como se muestra en la figura, determine el ángulo θ del tercer cable de modo que la magnitud
de la fuerza F en este cable sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x-y. ¿Cuál es la magnitud de F? Sugerencia. Encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas.
FA
439 439 N ;
FB
311 311 N
13.- (2.30) Tres cadenas actúan sobre la ménsula de forma que generan una fuerza resultante con una magnitud de 500 lb. Si dos de las cadenas están sometidas a fuerzas conocidas, como se muestra en la figura, determine el ángulo θ de la tercera cadena,
medido en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo, de manera que la magnitud de la fuerza F en esta cadena sea mínima. Todas las fuerzas se encuentran en el plano x-y. ¿Cuál es la magnitud de F? Sugerencia: Encuentre primero la resultante de las dos fuerzas conocidas. La fuerza F actúa en esta dirección.
R. C, Gil Aguilar
o F 97.4 lb ; 16.2
15.- (2.51) Si F1= 150 N y ϕ = 30o, determine la magnitud de la fuerza que actúa sobre la ménsula y su dirección medida en el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.
Página 24
FISICA I
FR 391 N
16.4
o
16.- (2.58) Exprese cada una de las tres fuerzas que actúan en la ménsula en la forma vectorial cartesiana con respecto a los ejes x e y. Determine la magnitud y dirección θ de
F1, de tal forma que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje positivo de las x! y tenga una magnitud de FR = 600 N
F1 F1 cos i F1 sen j N F2 350 i N F3
100 j N
67.0
F1
o
434 N
BIBLIOGRAFIA
R. C. HIBBELER Ingeniería Mecánica ESTATICA Decimosegunda Edición 2010
R. C, Gil Aguilar
Página 25
FISICA I
Capítulo
3
Vectores Cartesianos
Cuando realizamos operaciones del álgebra vectorial, en la solución de problemas en tres dimensiones, se simplifican si primero representamos los vectores en forma vectorial cartesiana, para mejor comprensión consideremos un vector que actúa comprendidos entre los ejes x, y, z. este vector se representa como un vector cartesiano: Ver Fig. 3.1
| |
3.1 Vector Unitario Este vector y cualquier otro tiene un vector unitario denotado como 1°.-
y se define de dos formas.
Donde:
| | | | | | | |
Por lo tanto nuestro vector unitario se escribe correctamente del siguiente modo:
Fig. 3.1
2°.- La otra forma de definir el vector unitario es:
Cuando se trabaja el espacio es útil considerar la siguiente identidad trigonométrica. Nuestro vector A lo podemos escribir entonces teniendo en cuenta las dos formas de los vectores unitarios como. A=A
= A cos i + A cos j + A cos k
Falta por escribir los ángulos o la dirección del vector con los respectivos ejes rectangulares, para ello definamos los llamados cosenos directores. Fig. 3.2 Para determinar la dirección del vector A con el eje x, y, z o el ángulo que forma con los ejes recurrimos a las expresiones.
R. C, Gil Aguilar
Página 26
FISICA I
| | | | | | ,
,
Fig. 3.3
Fig. 3.4
Fig. 3.5
En las figuras 3.3, 3.4 y 3.5 se aprecian las direcciones del vector A con los respectivos ejes.
3.2 Suma de Vectores Cartesianos.- Para la suma de vectores cartesianos tridimensional se escriben en sus componentes cartesianas y luego se agrupan en sus componentes rectangulares y se suman algebraicamente así:
Sean Los Vectores: La suma vectorial es:
A A X i
ˆ
AY j A Z k ˆ
ˆ
y
B B X i
ˆ
BY j B Z k ˆ
ˆ
A B ( A X
B X )i ˆ
( AY
BY ) j ˆ
( A Z
B Z )k ˆ
Ejemplo 01.- Exprese la fuerza F como un vector cartesiano. Solución
El vector F se puede escribir así: F = F = F cos i + F cos j + F cos k …(1) Determinemos el ángulo Usando la identidad trigonométrica. cos2 β = = 600 Reemplazando datos en ecuación (1):
{ }
F= F = {100 i + 100 j + 141.4 k}N
R. C, Gil Aguilar
N
Página 27
FISICA I 3.3 Vectores Cartesianos de Posición r.- Los vectores de posición son aquello que están orientados desde el origen de coordenadas, y sirven para localizar un punto en el espacio comprendido, ver la figura 3.6 a) El vector de posición r está orientado desde el origen hasta el punto P de coordenadas (x, y, z). Y se expresa como: r = xi + yj + zk
Fig. 3.6
b) Vector de posición dirigido de dos puntos cualesquiera veamos el vector dirigido desde el punto A hasta el punto B, ver figura 3.7 En este caso el el vector r está orientado de A a B, por tanto se puede escribir del modo siguiente: r = rAB = (xB i + yB j+ zB k) + (xB i + yB j + zB k) rAB = (xB - xA)i + (yB - yA) j + ( zB -zA)k
Fig. 3.7
Ejemplo 02.- El techo está sostenido por cables como se muestran en la figura. Si los cables ejercen fuerzas FAB = 100 N y FAC = 120 N sobre el gancho de pared en A como se muestra en la figura determinar la fuerza resultante que actúa en A. Exprese el resultado como un vector cartesiano. Solución Determinemos los vectores unitarios para cada una de las fuerzas: r AB = (4-0)i + 0j + (0 – 4)k = (4i – 4k) m = = 5.66 m Su vector unitario: uAB = = 0.706 i – 0.706 luego:
| | | | {..} {. . } { } { } FAB =
FAB = Lo mismo para la fuerza FAC = Por tanto la fuerza resultante: FR = FAB + FAC =
R. C, Gil Aguilar
Página 28
FISICA I PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 03 TEMA: Vectores Cartesianos de Posición
1.- (2.59) Determine el ángulo coordenado γ para y después exprese cada fuerza que actúa sobre la ménsula como un vector cartesiano.
̅ {90 113 42 } F1 -159i 276 j 318k N ; F2
424i 300 j - 300k N
{ 300 650 250 } 4.- (2.69) Si la fuerza resultante que actúa sobre el soporte es , determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de F.
2.- (2.61) Exprese cada fuerza que actúa sobre el ensamble de tubos en forma vectorial cartesiana
F 1154.78 N ;
480 i 360 k N F 2 200 i 283 j - 200 k N F1
131o , 70.5o , 47.5o
5.- (2.71) Si α = 1200, β < 900, ϒ = 600 y F = 400 lb, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa sobre el gancho.
3.- (2.68) El engrane recto está sometido a las dos fuerzas causadas por el contacto con otros engranes. Determine la resultante de las fuerzas y exprese el resultado como un vector cartesiano.
R. C, Gil Aguilar
Página 29
FISICA I 8.- (2.78) Si la fuerza resultante que actúa sobre la ménsula está dirigida a lo largo del eje y positivo, determine la magnitud de la fuerza resultante y los ángulos directores coordenados de F de modo que β < 90 0.
F R
718 lb ,
0 86.8
, 13.30 ,
0
103
6.- (2.73) El eje S ejerce tres componentes de fuerza sobre el dado D. Encuentre la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante. La fuerza F2 actúa dentro del octante mostrado.
F R
754 N ,
0 121
0
0
, 52.5 , 53.1
9 30 ф
45
9.- (2.80) Si , y , determinar la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa sobre la junta de rótula. F R
615 N ,
0
26.6
, 85.10 ,
0
64.0
7.- (2.76) Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de F2 de manera que la resultante de las dos fuerzas actúe a lo largo del eje x positivo y tenga una magnitud de 500 N.
9.63 115,97, 154 ,
10.- (2.83) Tres fuerzas actúan sobre el anillo. Si la fuerza resultante FR tiene la magnitud y la dirección que se muestran en la figura, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza F3. F 2 363 N ;
2 15.8o , 2 104o , 2 82.6o
R. C, Gil Aguilar
Página 30
FISICA I FB FC
400 i - 400 j - 200 k lb lb 250 i 500 j - 500 k
FR 960 lb
47.4o , 84.0o , 137o
13.- (2.90) Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante.
F3
166 N ,
0 97.5
0
0
, 63.7 , 27.5
11.- (2.86) Determine el vector de posición r dirigido desde el punto A hasta el punto B y la longitud de la cuerda AB. Considere z = 4 m.
o o o FR 821.64 822 N, 72.8 , 83.3 , 162
14.- (2.91) Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante que actúa en A. r AB - 3i 6j 2k m , r AB
7 m
12.- (2.89) Determine la magnitud y los ángulos directores de la fuerza resultante que actúa en A.
o o o FR 1377.95 N 1.38 kN, 82.4 , 125 , 144
15.- (2.93) El candelabro está sostenido por tres cadenas que son concurrentes en el punto O. Si la fuerza en cada cadena tiene una magnitud de 60 lb, exprese cada fuerza como un vector cartesiano y determine la R. C, Gil Aguilar
Página 31
FISICA I magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante.
FA
17.- (2.97) La puerta se mantiene abierta por medio de dos cadenas. Si las tensiones en AB y CD son F A = 300 N y FC = 250 N, respectivamente, exprese cada una de estas fuerzas en forma vectorial cartesiana.
28.8 i - 16.6 j - 49.9 k lb ,
F B 28.8 i - 16.6 j - 49.9 k lb ,
FC
33.3 j - 49.9 k lb ,
0
90
F R
,
90
FA
,
149.8 k lb
0
,
180
0
16.- (2.96) La torre se mantiene en su posición mediante tres cables. Si la fuerza de cada cable que actúa sobre la torre es como se muestra en la figura, determine la magnitud y los ángulos directores coordenados α, β, ϒ de la fuerza resultante. Considere x = 20 m, y = 15 m.
(285 j - 93.0 k )N ,
FC
(159 i 183 j - 59.7 k )N
18.- (2.98) Los cables de retén se utilizan para dar soporte al poste telefónico. Represente la fuerza en cada cable en forma de vector cartesiano. Pase por alto el diámetro del poste.
FA
77.6
0
R. C, Gil Aguilar
,
90.6 0 , 168
0
(- 43.5 i 174 j - 174 k )N ,
FB
(53.2 i - 79.8 j - 146 k)N
Página 32
FISICA I 19.- (2.102) Si la fuerza en cada cadena tiene una magnitud de 450 lb, determine la magnitud los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante.
1.46 i 5.82 k kN , FB 0.970 i 1.68 j 7.76 k kN , FC 0.857 i 0.857 j 4.85 k kN
F A
F R
18.4548 kN 18.5 kN,
88.8 o , 92.6 o , 2.81o
o o o FR 1240.85 N 1.24 kN, 90 , 90 , 180
20.- (2.109) La placa cilíndrica está sometida a las fuerzas de tres cables que concurren en el punto D. Exprese cada fuerza ejercida por los cables sobre la placa como un vector cartesiano, y determine la magnitud y los ángulos directores coordenados de la fuerza resultante.
BIBLIOGRAFIA
R. C. HIBBELER Ingeniería Mecánica ESTATICA Decimosegunda Edición 2010 R. C, Gil Aguilar
Página 33
FISICA I
Capítulo
4
Multiplicación de Vectores
4.1 Multiplicación de vectores.- De la misma manera que se suman los vectores, del mismo modo se multiplican, tenemos el producto escalar y el producto vectorial. En las aplicaciones de los productos de vectores tenemos. a) Producto escalar w.- el producto escalar es el trabajo que realiza una fuerza F al trasladar una carga una distancia r. La ecuación será w = r. F Donde:
w: es el trabajo r. F: Producto escalar Por ejemplo en la figura 4.1, la máquina levanta una carga aplicando una fuerza F mediante los cables para trasladar una distancia r, diríamos está realizando un trabajo, y ¿cómo calculamos ese trabajo realizado por la máquina?. Lo calculamos determinando el producto escalar en otra palabras para entender mejor multiplicando Fig. 4.1 los vectores r y F escalarmente. De ahí lo útil que es estudiar el producto escalar, en nuestra vida cotidiana nos encontramos con situaciones que sin querer hacemos física.
Producto Escalar.- El producto escalar de dos vectores A y como el producto de la magnitud de B y la proyección de
A
B se
define geométricamente
sobre B ver figura 4.2
A B A B cos 0 B
Si:
A A X i
A B
A
A X B X
Y j
A
Z K
y B B X i
B
Y j
B Z K
AY BY A Z B Z
Fig. 4.2
R. C, Gil Aguilar
Página 34
FISICA I Algunas propiedades 1)
A B
Porp. Conmutativa
B A
2
2) A A A 3) i i j j k k 1
4) i j j k k i 0
b) Producto vectorial.- El producto vectorial en la ingeniería se la define como momento flexionante que puede producirse cuando una fuerza F actúa sobre un cuerpo cualquiera con respecto a un punto, en la figura 4.5, una fuerza F es capaz de producir un momento flexionante con respecto al punto D y se puede calcular determinando el producto vectorial, en este caso será: Si
F = Fx i + Fy j + Fz k y
r = r x i+ r y j + r z k Entonces: el momento de fuerza con respecto al punto D será Fig. 4.5
MD = r x F El producto vectorial es otro vector, consideremos dos vectores A y B ver figura N° 4.6
Fig. 4.6
OBSERVACIÓN: Si se desea calcular el ángulo al despajar, sen
A x B A B
se tendrá en cuenta la siguiente expresión ya que el ángulo es un escalar sen
R. C, Gil Aguilar
A x B
A B
Página 35
FISICA I Si A A X i AY j A Z K y B B X i BY j B Z K Entonces el producto vectorial está dado por:
A xB
i
j
k
A X
AY
A Z
B X BY B Z AxB
AY B Z A Z BY i A Z B X A X B Z j A X BY AY B X k
Propiedades 1) A x B B xA 2) A x B B xA 3) A x A 0 4) i x i j x j k xk 0
No goza de la Prop. Conmutativa
5) i x j k , j xk i , k xi j
Ejemplo 01.- Dados los vectores: A 3 i 4 j k y B 2 j 5 k . Hallar el ángulo formado por A y
B
Solución Primer Método “Producto Escalar”
cos
A B
3 I 2
A B
A B cos
A B
(1 )
A B
4 j k 2 j 5 k (3)(0) (4)(2) (1)(-5) 3 2
A
3
4
B
22
(5) 2
2
1
(3 )
26
(2 )
(4 )
29
(2), (3) y (4) en (1): cos
A B A B
3
(26)(29)
0,1092
1
cos (0,1092) 83,73º
(5)
Segundo Método “Producto Vectorial” A x B A B sen sen
sen sen
A x B
A B
(6) R. C, Gil Aguilar
Página 36
FISICA I
AxB
i
j
k
3
4
1
0
2
5
A x B 20 2 i 0 15 j 6 0k
(7)
A x B 22 i 15 j 6k A x B
(-22)2
(15) 2
(6) 2
(8)
745
(3), (4) y (8) en (6): A x B
sen sen
A B 1
sen
745
(26)(29)
0,994
(0,994 994) 83,73º
Ejemplo 02.- Hallar: (a) ( 2 i ) x (-4 j ) (b)
k x (2 j )
Solución (a)
( 2 i ) x (-4 j ) (2)(-4) k
(b)
k x (2 j )
-2 j x k
8k
2i
Ejemplo 03.- Dados los vectores: A i 2 j; ˆ
ˆ
B 3i
ˆ
4 j y ˆ
C 2i
ˆ
3
j . ˆ
Calcule: C.(AxB)
Solución: i
j
k
A x B 1
2
0
3
4
0
ˆ
ˆ
ˆ
(4 6)k 2k ˆ
ˆ
C .( A x B) (2i
ˆ
3 j ). 2k 0
ˆ
ˆ
C .( A x B )
0
Ejemplo 04.- Se tiene el vector: A 5i 7 j y el vector B 5i 7 j 3k ¿Cuál es el ángulo que ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
forma el vector A B con el eje Z.
R. C, Gil Aguilar
Página 37
FISICA I Solución:
Hallamos el vector A B , luego haciendo uso del producto escalar se calcula el ángulo que este vector forma con el eje Z para el cual lo representamos por un vector unitario en la dirección de Z.
A B
3k ˆ
y
Z ˆ
( A B). Z
cos
A B
arccos 1
ˆ
Z ˆ
k ˆ
3k .k ˆ
ˆ
3 x1
1
180º
180 º
Ejemplo 05.- Sean los vectores: A 3i 2 j ˆ
ˆ
y B 2i
ˆ
3
j
ˆ
Halle el vector: A B x A B
Solución:
A B i 5 j ˆ
A B 5i j
ˆ
ˆ
ˆ
i
ˆ
j
k
5
0 26 k
ˆ
A B x A B 1
ˆ
ˆ
5 1 0
A B x A B 26k
ˆ
Ejemplo 06.- Dados los vectores A 5i 3 j 2k y B i 3 j 2k . Halle un vector unitario perpendicular al vector suma. ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Solución: Hallamos el vector suma
A B 6i 6 j ˆ
(1)
ˆ
El vector a determinar debe ser unitario xi y j x 2
y2
(2)
6 x 6 y 0 x y
(3)
ˆ
ˆ
ˆ
1
y perpendicular al vector suma
(A B). 0 ˆ
Reemplazando (3) en (2) se obtiene: R. C, Gil Aguilar
Página 38
FISICA I
x
2
y
2
2 2
ˆ
2
i
ˆ
2
2
j
ˆ
2
Ejemplo 07.- Dados los vectores: A mi 2 j k y B 2mi m j 4k ¿Para qué valores de ˆ
"
m"
los vectores
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A y B son perpendiculares?
Solución: Para que
A
y
B
formen 90º, el producto escalar de los dos vectores debe ser nulo (0).
A B cos A, B 2
A.B 0 2m
0
2m 4
0
Las soluciones a la ecuación cuadrática encontrada, son los valores para m. ( m 2)(m 1) 0 m 2 m 1
m 2 m 1
R. C, Gil Aguilar
Página 39
FISICA I PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 04 TEMA: Producto Escalar y Vectorial 1)
A i 3k
y B 5 i 2 j 6 k . Determinar el ángulo
2)
Dados: P 2 i k ,
AB
Q 2 i j 2 k y R 2 i 3 j k
Determinar:
3)
4)
5)
a) P Q
b) P Q
c) ( P Q) x( P Q)
d) P Q
e) Q R
f)
2 R
g) P x Q
h) Q x R
a) j x k
b)
i x k
c) k x j
f) j x
g) j x i
h) 2 j x
a) i j
b) j i
c) k i
f)
g) 3 k 4 k
- k
2 i k
6)
7)
-i
i) 4 j x - 2 i
i
d) i k
e) j j
a) A 2 B
B 3 i 4 j y C i j k
b)
A 5 C
Para los vectores: A 2 i 5 j 4 k , Calcule:
e) k x
k x - i
Sean: A 2 i 5 j - 3 k , Determine:
d)
a) A B
y
c)
( A x B) ( A B)
B 3 i j 5 k y C i 6 k
b) A x B
c)
A
B - C d) A x B
C
Tres cantidades de campo están expresadas por: P i
- 5 j 3 k ,
Determine:
R. C, Gil Aguilar
Q 3 i 2 j 4 k y R i j
a) P Q
b) cos PQ
c) Q x R
d) sen QR
Página 40
FISICA I
Capítulo
5
Estática
5.1 Mecánica.- La mecánica se puede definir como la rama de las ciencias físicas que estudia el estado de reposo o movimiento de cuerpos que están sujetos a la acción de fuerzas. 5.2 Estática Estudia las leyes y condiciones que deben cumplir las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio. Primera Ley de Newton “Una partícula que se encuentra originalmente en reposo, equilibrio
o moviéndose en línea recta con velocidad constante, permanecerá en este estado siempre y cuando una fuerza externa no actué so bre ella”
Ejemplo.- Consideremos tres fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido, ver figura 5.1, sumando los vectores de fuerzas se construye el triángulo cerrado, por lo tanto la suma es cero y se escribe:
F
R
F1 F 2 F3 0
i 1 a 3
Fig. 5.1
5.3 Condiciones para el Equilibrio 5.3.1 Primera condición (Equilibrio de Traslación).- La suma de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero. Ver Fig. 5.1, este caso puede considerarse como la primera condición del equilibrio.
F
i
0
i
F1 F2 F3 0
i
3
F
(1)
i 1
5.3.2 Segunda condición (Equilibrio Rotacional) La suma de todos los momentos de fuerzas o torques con respecto a cualquier punto debe ser igual a cero. Ver Fig. 5.2
i
0
i
2
i
- r 1 x F1 r 2 x F 2 0
i 1
R. C, Gil Aguilar
r 1 F1 sen
r 2 F2 sen
0
(2)
Página 41
FISICA I
Fig. 5.2 5.4 Equilibrio Cinético Se produce cuando un cuerpo tiene movimiento rectilíneo uniforme MRU.
5.5 Equilibrio Estático Se produce cuando un cuerpo está en reposo.
5.6 Resortes Si un resorte elástico lineal de longitud no deformada se usa como soporte de una partícula, su longitud cambiará en proporción directa a la fuerza F que actúe sobre él. Una característica que define la elasticidad de un resorte es la costante de rigidez k. La magnitud de la fuerza ejercida en un resorte elástico lineal que tiene una rigidez k y está deformado una distancia , medida desde su posición sin carga es: Fig. N° 5.3
5.7 Fuerza Es la medida de la interacción que se manifiesta entre dos cuerpos. 5.8 Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) Hacer el diagrama de un cuerpo libre, consiste en aislar totalmente a este del entorno que lo rodea y representar sobre este todas las fuerzas que actúan sobre el y no así las fuerzas que ejerce este cuerpo sobre el entorno.
Reglas para hacer el DCL 1°.- Después de aislar el cuerpo, represente el peso, p en la misma dirección y sentido de la aceleración de la gravedad, con punto de aplicación en el centro geométrico del cuerpo (exactamente debe ser en el centro de gravedad). 2°.- Representar las fuerzas de comprensión: N y fuerzas de fricción f . Cuando un cuerpo está en movimiento la fuerza de fricción es siempre en sentido contrario al sentido de la velocidad y si el cuerpo está en reposo, el sentido de f es contrario hacia donde el cuerpo tienda a moverse. 3°.- Representar las fuerzas de tracción T . 4°.- Completar las otras fuerzas que intervienen en el problema.
Ejemplo En la siguiente figura hacer el Diagrama del cuerpo libre
R. C, Gil Aguilar
Página 42
FISICA I
PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 05 TEMA: Estática y Momentos de Fuerza Primera Parte 1.- (3.2) Si la cuerda AB de 1,5 m de largo puede soportar una fuerza máxima de 3 500 N, determine la fuerza en la cuerda BC y la distancia y de modo que se pueda sostener la caja de 200 kg.
un remolcador. Determine la fuerza en cada una de las retenidas BC y BD, si el barco se mueve hacia delante con velocidad constante.
TBC
F BC
y
2,90 kN
841 mm
2- (3.4) Si los cables BD y BC pueden soportar una fuerza de tensión máxima de 20 kN, determine la viga con la masa máxima que puede colgarse del cable AB de forma que ninguno de los cables falle. El centro de masa de la viga se localiza en el punto G.
22.3 kN
,
TDB
32.6 kN
4.- Determine la longitud de la cuerda AC que se requiere en la figura para que la lámpara, de 8 kg de masa, permanezca suspendida en la posición mostrada en la figura. La longitud indeformable del resorte AB es lAB = 0,4 m, y tiene una rigidez de k AB = 300 N/m.
l AC
m
2,78 Mg
3.- (3.7) El suspensor de remolque AB está sometido a la fuerza de 50 kN ejercida por R. C, Gil Aguilar
1.32 m
5.- El arreglo de cuerdas se utiliza para soportar un cilindro que tiene un peso de 900 libras. Determine la fuerza en las cuerdas AB y AC para el equilibrio. Tome el valor de θ = 20° Página 43
FISICA I
6.- Determine el estiramiento de cada uno de los resortes para alcanzar el equilibrio del bloque de 2 kg. Los resortes que se muestran se encuentran en posición de equilibrio.
7.- El motor en B enrolla la cuerda unida a la carga de 65 libras con una velocidad constante. Determine la fuerza en la cuerda
8.- El bloque tiene un peso de 20 libras y está siendo elevado con una velocidad uniforme. Determine el ángulo θ para el equilibrio y la
fuerza que se requiere en cada cuerda.
9.- Un tornillo mantiene a la tubería en su posición. Si este tornillo ejerce una fuerza de 50 libras en la tubería en la dirección mostrada, determine las fuerzas FA y FB que los contactos suaves de A y B ejercen en la tubería.
CD que soporta la polea y el ángulo θ para el
equilibrio. Desprecie el tamaño de la polea en el punto C.
10.- Determine el peso máximo W que se puede soportar en la posición mostrada si cada cable AC y AB puede soportar una
R. C, Gil Aguilar
Página 44
FISICA I tensión máxima de 600 libras antes de que se rompa.
Segunda Parte 11.- (4.8) El mango del martillo está sometido a la fuerza de F = 20 lb. Determine el momento de esta fuerza respecto del punto A.
13.- El cable de grúa ejerce una fuerza de P = 4 kN en el extremo de la pluma de la grúa de 20 metros de longitud. Si θ = 30°,
determine la ubicación x del gancho, en el punto A, para que esta fuerza produzca un momento máximo con respecto al punto O ¿Cuál es ese momento?
MA
362 lb.in
12.- Si el momento resultante, con respecto al punto A, es de 4800 N.m en el sentido de las manecillas del reloj. Determine la magnitud de F3 si F1 = 300 N y F2 = 400 N.
R. C, Gil Aguilar
14.- La canastilla transporta a un trabajador cuyo peso es de 230 libras y cuyo centro de masa está ubicado en el punto G. Determine el momento de esta fuerza con respecto a (a) el punto A y (b) el punto B.
Página 45
FISICA I 17.- La herramienta de corte en el torno ejerce una fuerza F sobre la flecha en la dirección mostrada. Determine el momento de esta fuerza con respecto al eje y de la flecha.
15.- La palanca de hierro se encuentra sujeta a una fuerza vertical de P = 25 libras en la empuñadura, mientras que es necesaria una fuerza de F = 155 libras en la uña para sacar el clavo. Determine el momento de cada fuerza con respecto al punto A y determine si P es suficiente para sacar el calvo. La palanca hace contacto con el tablero en el punto A.
16.- Dos fuerzas actúan sobre el par oblicuo. Determine el momento resultante de estas fuerzas con respecto al punto A y con respecto al punto B.
R. C, Gil Aguilar
18.- La fuerza F 600i 300 j 600k N actúa en el extremo B de la viga. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto 0
19.- (4.34) Con el propósito de sostener la carretilla en la posición mostrada, la fuerza F debe producir un momento con sentido inverso al de las manecillas del reloj de 200 N.m con respecto al eje A. Determine la magnitud requerida de la fuerza F.
Página 46
FISICA I F
115 N
20.- (4.43) Determine el momento producido por cada fuerza respecto del punto O localizado sobre la punta del taladro. Exprese los resultados como vectores cartesianos.
Mx
MA
137 N.m
151 lb.in
M FA O 18i 9 j 3k N.m MFB O 18i 7.5 j 30k N.m 21.- (4.50) Al maneral de la llave de torsión se aplica una fuerza horizontal de 20 N en forma perpendicular. Determine la magnitud y los ángulos directores coordenados del momento producido por esta fuerza con respecto al punto O.
o
o
o
MO 4.27 N.m, 95.2 , 110 , 20.6
22.- (4.60) Determinar la magnitud del momento producido por la fuerza de F = 200 N con respecto al eje que contiene las bisagras de la puerta (eje x).
23.- (4.66) La llave de cabeza flexible está sometida a una fuerza P = 16lb, aplicada R. C, Gil Aguilar
BIBLIOGRAFIA R. C. HIBBELER Ingeniería Mecánica ESTATICA Decimosegunda Edición 2010 perpendicularmente como se muestra en la figura, determinar el momento o el par de Página 47
FISICA I torsión aplicado a lo largo del eje vertical del perno ubicado en A.
Capítulo
6
Cinemática
6.1 Cinemática.- Cinemática es una parte de la mecánica, que estudia el movimiento de los cuerpos sin indagar en el ¿Por qué?, es decir solo evalúa variables de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. En este capítulo es muy importante conocer la posición del móvil en función del tiempo, de allí se puede predecir las posiciones sucesivas para cualquier tiempo. Si estamos en tres dimensiones y conocemos la posición x(t), y(t), z(t), podremos determinar la trayectoria de la partícula. Por ejemplo en astronomía si se conoce la ecuación de trayectoria del Sol y la tierra se puede predecir los eclipses que van a ocurrir a futuro. Para abordar el desarrollo, debemos precisar algunas definiciones previas:
Sistema de Referencia Es un eje de coordenadas espaciales a partir del cual se toman medidas del movimiento, este sistema de referencia debe ser Inercial, es decir estar en reposo o con velocidad constante MRU. Un ejemplo real de sistema de referencia lo constituye una torre de control en un aeropuerto. Los móviles en estudio son los aviones que tienen que aterrizar, para este fin los técnicos en la torre de control toman datos de altura, velocidad, etc. y buscan las óptimas condiciones para un aterrizaje exitoso.
Móvil Es el objeto de estudio, del cual se va a describir su movimiento, medidos a partir del sistema de referencia elegido.
z
O
R. C, Gil Aguilar
Fig. 6.1
x z
6.2 Vector Posición Es un vector trazado desde el origen de coordenadas del sistema de referencia hacia la ubicación instantánea del móvil. Movimiento
y
y
O
x
Fig. N° 6.2 Página 48
FISICA I Si el vector posición cambia con el tiempo, entonces decimos que hay movimiento Trayectoria z Las continuos cambios del vector posición dan origen a la trayectoria descrita por el móvil (líneas punteadas). Esta trayectoria da origen al nombre del movimiento. Así por ejemplo: Movimiento Rectilíneo – trayectoria línea recta, Movimiento Parabólico – trayectoria parábola, Movimiento Circular – trayectoria circunferencia, etc. O
y
Fig. 6.3
x
Desplazamiento Es un vector independiente de la trayectoria descrita por un móvil, se traza entre dos posiciones sucesivas en un intervalo de tiempo dado. 6.3 Velocidad Media Es una cantidad vectorial que mide como cambia el vector posición con relación al tiempo.
z
vm
r t
Presenta las características siguientes: 6.3.1 6.3.2 6.3.3
y
O
Tiene la misma dirección que el vector desplazamiento. Se mide en un intervalo de tiempo. Su unidad es el m/s.
Fig. 6.4 x
6.4 Velocidad Instantánea Es un vector tangente a la trayectoria, que se deriva de la velocidad media, cuando el intervalo de tiempo se hace tender a cero. Como se puede ver, si z el intervalo de tiempo lo hacemos tender a cero, matemáticamente t 0. Observamos como el vector desplazamiento se aproxima cada vez más a ser tangente a la trayectoria.
v Lim v m Lim t 0
t 0
r t
d r dt
Presenta las características siguientes: - Es tangente a cualquier punto de la trayectoria. - Se mide en un instante de tiempo. - Su unidad es el m/s.
y
O
Fig. 6.5 x
z
6.5 Aceleración Media R. C, Gil Aguilar
Página 49 O
y
FISICA I Es una cantidad vectorial que mide como cambia el vector velocidad con relación al tiempo.
am
v
Fig. 6.6
t
Presenta las características siguientes: - Tiene la misma dirección que el vector cambio de velocidad. - Se mide en un intervalo de tiempo. - Su unidad es el m/s2. 6.6 Aceleración Instantánea Z
Es un vector hacia adentro de la concavidad de la trayectoria, que se deriva de la aceleración media, cuando el intervalo de tiempo se hace tender a cero. Como se puede ver, si el intervalo de tiempo lo hacemos tender a cero, matemáticamente t 0. Observamos como el vector cambio de la velocidad se aproxima cada vez más hacia la concavidad de la trayectoria.
Y
O
Fig. 6.7 X
v d v a Lim a m Lim t t t dt
0
0
d d r d r dt dt dt 2
2
Presenta las características siguientes: - Es hacia adentro de la concavidad a cualquier punto de la trayectoria. - Se mide en un instante de tiempo. - Su unidad es el m/s2. De lo anterior podemos llegar a lo siguiente, muy útil en la solución de problemas, utilizando la derivada y la integral.
v
d r
y
dt
a
d v dt
2
d r dt 2
Si se conoce la posición
r (t )
de una partícula, entonces por derivación de la posición podemos
obtener la velocidad la v (t ) y con la derivada de la velocidad tendremos la aceleración a (t ) . Sin
embargo si conocemos la aceleración, a (t ) , de una partícula, por integración de la aceleración
obtendremos la velocidad v (t ) e integrando de nuevo la velocidad obtendremos la posición r (t ) . En el proceso de integración es necesario conocer condiciones iniciales para poder encontrar las constantes que resultan de la integración. R. C, Gil Aguilar
Página 50
FISICA I
6.7 Cinemática utilizando el Cálculo Diferencial e Integral Se tiene: 1.- Conocida el desplazamiento en función del tiempo x(t) Si se dan la posición en función del tiempo, podríamos calcular la velocidad y la aceleración por derivación.
y
2.- Conocida la velocidad en función del tiempo v(t) Cuando la velocidad está en función del tiempo, puede hallarse la aceleración por derivación y la posición se obtiene por integración.
∫ ∫ ∫
Por integración tenemos
3.- Conocida la aceleración en función del tiempo a(t) Cuando se conoce la aceleración en función del tiempo, podemos determinar la velocidad por integración. Siempre debemos empezar por la definición.
∫ ∫ ∫
Y por integración se obtiene También
La posición se determina integrando la velocidad.
4.- Conocida la aceleración en función de la posición a(x) Cuando se conoce la aceleración en función de la posición, debemos aplicar la regla de la cadena
?
Aplicando la regla de la cadena:
z
Integrando y por separación de variable
O
R. C, Gil Aguilar
x
Página 51
y
FISICA I
O sea
∫ ∫ − ∫
Ahora se conoce la velocidad en función de la posición y podemos hallar ésta en función del tiempo por integración la ecuación
Lo cual nos da
∫ ∫
5.- Conocida la aceleración en función de la velocidad a(v) Cuando se trata de este caso la velocidad se puede determinar en función del tiempo integrando la ecuación Lo que nos da
Una vez conocida la velocidad en función del tiempo, podemos integrarla para obtener la posición en función del tiempo. De otra manera, se puede hallar la velocidad en función de la posición integrando la ecuación
Lo cual da
∫ ∫
6.- Conocida la aceleración constante (a) Cuando la aceleración es constante, las integraciones son inmediatas
Y
∫
Análogamente, la integración da:
R. C, Gil Aguilar
Página 52
FISICA I Para este caso será muy sencillo resolver los problemas ya que no se tendrá que integrar ni derivar.
PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 06 TEMA: Cinemática Primera Parte 1.- Un móvil tarda 80 s en subir una pendiente. ¿Qué tiempo tardara en bajar, si la velocidad de bajada es 8/5 de la subida? a) 12,8 s d) 64 s
b) 50 s e) 25 s
c) 28 s
a) 2 s
2.- Un tren de 100 m de longitud puede recorrer 36 km en media hora. Si demora 20 s para atravesar íntegramente un túnel, calcule la longitud del túnel. a) 100m d) 250 m
b) 150 m e) 300 m
c) 200 m
3.- Dos móviles parten al mismo tiempo y en el mismo sentido con velocidades uniformes de 30 km/h y otro a 200 pies/s. ¿Qué distancia lo separa al cabo de 10 s en metros? a) 33 m d) 24 m
b) 18 m e) N.A.
c) 20 m
4.- Se golpea un riel de hierro y el sonido llega a un observador tanto por el riel como por el aire, con una diferencia de 7 s, el tiempo que tardara el sonido en llegar por el riel es de. Considere la velocidad del sonido por el riel de 240 m/s. a) 23,8 s d) 30 s
b) 20,5 s e) 22 s
R. C, Gil Aguilar
5.- Un auto viaja directamente hacia una gran montaña con una velocidad de 60 m/s, cuando se encuentra a una distancia a un kilómetro de la montaña toca el claxon. Determinar al cabo de que tiempo va a escuchar el eco, si el auto siguió moviéndose.
c) 25,4 s
b) 3 s c) 4 s d) 5 s
e) 6 s
6.- Un tren de 150 m de largo viaja directamente hacia un túnel de ½ kilómetro de longitud con una velocidad constante de 50 m/s. ¿Calcular el tiempo en segundos que requiere el tren para cruzar completamente el túnel? a) 11 s d) 14 s
b) 12 s e) 15 s
c) 13 s
7.- Un auto que se mueve con MRUV triplica su velocidad en un determinado momento de su trayectoria recorriendo 80 m en 10s ¿Cuál es la aceleración del móvil? a) 0,6 m/s2 d) 0,9 m/s2
b) 0,7 m/s2 e) 1,8 m/s2
c) 0,8 m/s2
8.- Que espacio va a recorrer un móvil que parte del reposo con MRUV en los 10 primeros segundos si se observa que después de 4 s de haber iniciado su movimiento la velocidad es de 12 m/s a) 150 m
b) 140 m
c) 160 m Página 53
FISICA I d) 170 m
e) 180 m
9.- Un ciclista que parte del reposo recorre 50 m en los 5 primeros segundos con MRUV Calcular ¿Cuál será su velocidad 5s después? a) 40 m/s d) 70 m/s
b) 50 m/s e) 80 m/s
c) 60 m/s
10.- Un móvil se mueve con velocidad uniforme a 23 m/s. Entra a una bajada que le imprime un M.R.U.V. con una aceleración de 0,25 m/s2 y la recorre en 33 s. Calcular la longitud de la bajada. a) 895,125 m d) 899,49 m
b) 599,40 m e) 924,0 m
c) 247,0
11.- Un auto parte del reposo y recorre 50 m en 3 s, con aceleración uniforme, en que tiempo recorrerá 100 m. a) 5,24 s d) 9,24 s
b) 6,04 s e) 7,44 s
c) 4,24 s
12.- Un camión parte del reposo. Hallar su velocidad cuando han transcurrido 40 s sabiendo que en este tiempo ha recorrido un espacio de 3200 m con aceleración constante. a) 40 m/s d) 120 m/s
b) 80 m/s e) 160 m/s
c)100 m/s
13.- Un cuerpo con M.R.U.V. parte del reposo con aceleración de 2 m/s2 hasta alcanzar una velocidad de 16 m/s; mantiene constante esta velocidad durante 2 s para luego desacelerar y detenerse en medio segundo. Calcular la distancia total recorrida. a) 60 m d) 90 m
b) 70 m e) 100 m
c) 80 m
14.- Un avión recorre 420 m en una pista antes de despegar; parte del reposo, se mueve con aceleración constante y está en el aire en 16 s. ¿Cuál es su rapidez en m/s cuando despega? R. C, Gil Aguilar
a) 23 m/s d) 52,5 m/s
b) 45 m/s e) N.A
c) 60 m/s
15.- Un automóvil que viaja con una rapidez constante de 45.0 m/s pasa por donde un patrullero en motocicleta está oculto detrás de un anuncio espectacular. Un segundo después de que el automóvil pasa el anuncio, el patrullero sale de su escondite para detener al automóvil, que acelera con una aceleración constante de 3.00 m/s2. ¿Cuánto tiempo tarda en dar alcance al automóvil? t = 31 s 16.- Usted diseña un aeropuerto para aviones pequeños. El tipo de avión que podría usar este aeropuerto puede acelerar a 2.00 m/s2 y debe alcanzar una rapidez, antes de despegar, de por lo menos 27.8 m/s (100 km/h). a) Si la pista tiene 150 m de longitud, ¿puede este avión alcanzar la rapidez mínima que se requiere para despegar? b) En caso negativo, ¿qué longitud mínima debería tener la pista? v = 24.5 m/s, d = 193 m Una roca se suelta desde el reposo en un pozo. a) El sonido de la salpicadura se escucha 2.40 s después de que la roca se libera desde el reposo. ¿Cuán lejos abajo de lo alto del pozo es la superficie del agua? La rapidez del sonido en el aire (a temperatura ambiente) es 336 m/s.
Segunda Parte 17.- Una bola que pende del extremo de un hilo elástica tiene una aceleración proporcional a su posición pero de signo contrario a ( y)
3y m/s 2
Determinar la velocidad de la bola cuando y = 1 m si se suelta partiendo del reposo en y = - 2m Página 54
FISICA I Determinar la velocidad máxima de la bola si tiene una velocidad v = - 4m/s cuando x = 1m. 22.- Un carrito está sujeto entre dos resortes cuyas espiras están muy apretadas. En este caso, la aceleración viene dada por a (x )
x - 3x 3 m/s 2
Determinar la posición máxima del carrito si tiene una velocidad v = 2 m/s cuando x = 1 m. 18.- Un carrito unido a un resorte se mueve con una aceleración proporcional a su posición pero de signo contrario a (x )
2x m/s
23.- La aceleración de una astronave lanzada verticalmemete vien dada ( una vez parados los motores ) por
2
Determinar la velocidad del carrito cuando x = 3 m si su velocidad era v = 5 m/s cuando x =0
19.- La bola del problema 1 pasa por el punto y = 1 m con velocidad positiva cuando t = 5 s. Determinar la posición, velocidad y aceleración de la bola en función del tiempo. 20.- El carrito del problema 2 pasa por el punto x = 3 m con velocidad positiva cuando t = 3 s. Determinar la posición, velocidad y aceleración del carrito en función del tiempo. 21.- Una bola está suspendida entre dos cintas elásticas que están ambas estiradas hasta cerca de su límite de elasticidad. La aceleración, en este caso, no es lineal sino que está dada por
a
-g
R 2 (R h ) 2
Donde g es la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre (9.81 m/s2 ), R es el radio de la tierra (6370 km) y h es la altura de la astronave sobre la superficie terrestre. Determinar la altura máxima que alcanzará aquella si se paran los motores a una altura h = 32 km y su velocidad a esa altura es de 19 300 km/h. 24.- La aceleración de una astronave lanzada verticalmemete vien dada ( una vez parados los motores ) por a
-g
R 2 (R h ) 2
Donde g es la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre (9.81 m/s2 ), R es el radio de la tierra (6370 km) y h es la altura de la astronave sobre la superficie terrestre. Determinar la velocidad de escape (velocidad necesaria cuando se apaguen los cohetes, a h = 30 km, para que la altura máxima a que llegue tienda al infinito) 25.- Una bola que cae en el aire tiene una aceleración a(v)
2
9.81- 0.003 v m/s
2
a(x) 3x - 5x 3 m/s 2
R. C, Gil Aguilar
Página 55
FISICA I Donde la velocidad se expresa en metros por segundo y el sentido positivo es hacia abajo. Determinar la velocidad de la bola en función de la altura si lleva una velocidad hacia debajo de 3 m/s cuando y = 0. Determinar también, la velocidad de régimen de la bola.
26.- Una bola lanzada hacia arriba verticalmente en el aire tiene una aceleración a (v) 9.81 - 0.003 v 2 m/s 2
Donde la velocidad se expresa en metros por segundo y el sentido positivo es hacia arriba. Determinar la velocidad de la bola en función de la altura si se ha lanzado hacia arriba con una velocidad inicial de 30 m/s cuando y = 0. Determinar también, la máxima altura que alcanza la bola. 27.- El aire frena a los objetos que se mueven a través suyo con una fuerza que aumenta como el cuadrado de la velocidad. A causa de ello, la aceleración de un ciclista que baja por una pendiente resulta ser a( v)
0.122 - 0.0007 v 2 m/s 2
Donde la velocidad se expresa en metros por segundos. Derterminar la velocidad del ciclista en función de ladistancia si la velocidad es nula cuando x = 0. Detyerminar también la máxima velocidad que alcanza el ciclista. R. C, Gil Aguilar
Página 56
FISICA I
INGENIERIAMECANICA DIMANICA William F. Riley Leroy D. Sturges Ingeniería Mecánica DINAMICA Decimosegunda Edición. R. C. HIBBELE R 2010
Bibliografía
Capítulo
7
Movimiento Compuesto
El movimiento parabólico es un movimiento compuesto por dos tipos de movimientos: Movimiento vertical (MRUV en eje y) y movimiento horizontal (MRU en el eje x).
7.1 Primer Caso Trayectoria de un cuerpo lanzado con velocidad inicial v0 y un ángulo θ sobre la horizontal con resistencia del aire insignificante. La distancia R es el alcance horizontal, y H es la altura Algunas ecuaciones: x
y
v
0
(1)
cos t
v 0 sen t - 12 g t 2
v 0x
v 0y
(2)
v 0 cos
(3)
v 0 sen
(4) Fig. 7.1 Mov. Parabólico 1° caso
Ecuaciones para el eje Y. (MRUV) vy v2y
h
(5)
v 0y - gt
2 v0y - 2gh
(6)
v0y t - 12 g t 2
(7)
Ecuaciones para el eje X. (MRU)
x
v0x - t
(8)
Determinemos el Tiempo total El tiempo que demora un cuerpo en llegar al alcance máximo R, es desde su salida de un nivel de referencia hasta volver a ese mismo nivel, igualando a cero la ec (7) h
v0y t - 12 g t 2 = 0 ,
v0 sen t - 12 g t
2
0
de donde obtenemos:
R. C, Gil Aguilar
Página 57
FISICA I tt
2 v 0 sen g
(9)
Este tiempo es cuando el cuerpo se encuentra en el punto C y el tiempo en el punto B será la mitad entonces:
t
v0sen
(10)
g
Determinemos la Altura Máxima H Usando la ec.(7) y ec.(10): h
1
v 0y t - 2 g t
2
2
H
v 0 sen
2
v sen 1 v 0 sen - 2 g H v 0 sen 0 g g
Altura máxima
2
(11)
2 g
Determinemos el Alcance Máxima R Usemos la ce. (8), usando el tiempo total ec (9)
x
v0x t
R v 0
2 v sen cos g 0
2
v 0 sen2
(12)
g
7.2 Segundo Caso.- Un cuerpo es lanzado desde una altura H con velocidad inicial v0 horizontal. Se debe calcular x: El tiempo que demora el cuerpo en llegar al punto B es el mismo que emplearía en llegar al punto C usando la ec (7) h
v0y t - 12 g t 2
, la velocidad en el eje y es
cero por tanto: H
1 2
g t
2
t
2H
(13)
g
Finalmente calculemos x: de ec. (1) y ec (13): x
v 0x t
x = v0
2H g
(14)
Fig. 7.2 Mov. Parab. 2° caso
7.3 Movimiento Curvilíneo General. El movimiento curvilíneo es cunado una partícula experimenta un desplazamiento a lo largo de una curva.
R. C, Gil Aguilar
Página 58
FISICA I
Posición.- para determinar la posición de una partícula, se debe considerar un sistema referencial, luego trazar el vector de posición, designará la posición de la partícula, como la dirección y la posición, este vector cambiará a medida que la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria s. Ver Fig. 7.3
Fig. 7.3
∆
Desplazamiento.- Desplazamiento está dado por el vector , ver figura 7.4 este representa el cambio de posición de la partícula, determinado por los vectores de posición y mientras que es la trayectoria. Si inicialmente la partícula se encuentra en la posición definida por y cuando se desplaza por la trayectoria S, cambia de posición denotado por el vector entonces el desplazamiento de la partícula o la nueva posición será luego su desplazamiento será Fig. 7.4
′
∆
′ ∆ ′ ∆ ∆ ∆∆
Velocidad.- Durante un determinado intervalo de tiempo es.
′
la velocidad promedio de la partícula
(15)
Velocidad instantánea.- La velocidad instantánea se determina llevando al límite la ecuación (15) es decir.
∆→ ∆∆
o lo que es lo mismo derivando
Fig. 7.5
∆
Y cuando se lleva al límite la función, el vector desplazamiento que corta en dos puntos a la curva ahora cortará en un solo punto pasando de una secante a una recta tangente que representa la velocidad instantánea.
′
Aceleración.- Para definir la aceleración debemos partir de la velocidad, si la velocidad de la partícula es para un determinado tiempo entonces para otro tiempo será ver figura 7.6 R. C, Gil Aguilar
Página 59
FISICA I
entonces la velocidad
∆
′ ∆
en el instante
∆
luego la aceleración promedio de la partícula durante el intervalo es.
. ∆∆ ∆ ′
Fig. 7.8
Donde y llevando al límite como en el caso anterior siendo una secante ver figura 7.7 se convierte en una recta tangente, desde luego después de llevar al límite, pero debemos tener en cuenta que esta línea representa la aceleración tangencial, ya que cuando una partícula describe una trayectoria circular, la partícula Fig. N° 7.8 experimenta una aceleración tangencial que representa la rapidez en función del tiempo y otra aceleración llamada normal dirigida hacia el centro de radio de curvatura y que representa el cambio de dirección de la partícula en función del tiempo por lo tanto el módulo de la aceleración bien está representado por la figura 7.8 Fig. 7.8
, donde t está en segundos, define la posición Ejemplo 01.- En cualquier instante horizontal del globo atmosférico de la figura 7.9 Si la ecuación de la trayectoria es , determinar la magnitud y dirección de la velocidad y aceleración cuando .
Solución Velocidad.- La componente de la velocidad en el eje x es
/ ̇ . /
Fig. 7.9
Y las componente de la velocidad en el eje y
Luego el módulo de la velocidad: R. C, Gil Aguilar
Página 60
FISICA I
. . / − − . .
La dirección es tangente a la trayectoria, figura 7.10
Fig. 7.10
Aceleración.- la relación entre los componentes de la aceleración se determina derivando las respectivas velocidades.
̇ ̇ ̇ ̈ . / . . / − − .
Fig. 7.11
Por lo tanto el módulo de la aceleración:
La dirección es tangente a la trayectoria, figura N° 7.11
Ejemplo 02.- La pista para este evento de carreteras se diseñó para que los corredores salten la pendiente a 300, desde una altura de 1 m, durante una carrera se observó que el corredor de la figura 7.12 permanecía en el aire durante 1.5 s. Determine la rapidez a la cual estaba saliendo de la rampa, la distancia horizontal que recorre antes de chocar con el suelo y la altura máxima que alcanza. No tome en cuenta el tamaño de la motocicleta ni del corredor. Solución. Movimiento Vertical
. . . . / .. . (. ) . Fig. 7.12
Despejando
Movimiento Horizontal
Para calcular la altura h consideremos AC
R. C, Gil Aguilar
Página 61
FISICA I
. PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 07 TEMA: Movimiento Compuesto
0.05 1.5 /
1.- (12.76) La caja se desliza por la pendiente descrita por la ecuación , donde x está en metros. Si los componentes x de la velocidad y aceleración de la caja son y , respectivamente, cuando x = 5 m, determine los componentes y de la velocidad y aceleración de la caja en este instante.
3 /
vA = 6.49 m/s t = 0.890 s 4.- (12.89) Se lanza la pelota desde la azotea del edificio. Si golpea el suelo en B en 3 s, determine la velocidad inicial y el ángulo de inclinación al cual fue lanzada. También, determine la magnitud de la velocidad de la bola cuando golpea el suelo.
vy 1.5 m/s, ay 0.15 m/s
10− 15
2.- (12.80) La vagoneta viaja por la colina descrita por [-1.5 ( ) ] pies. Si tiene una rapidez constante de 75 pies/s, determine los componentes x y y de su velocidad y aceleración cuando x = 50 pies.
2.42 ft/s2 ay = -16.1 ft/s2
ax = -
3.- (12.87) El patinador deja la rampa en A con una velocidad inicial a un ángulo de 3 . Si golpea el suelo en B, determine y el tiempo de vuelo.
0
R. C, Gil Aguilar
v A = 30.71 ft/s , v B = 76.0 ft/s
5.- (12.94) Se observa que el tiempo para que la bola golpee el suelo en B es de 2.5 s. Determine la rapidez y el ángulo a que se arrojó.
Página 62
FISICA I la pelota para que alcance su altura máxima en C . También, determine la distancia d donde el muchacho debe pararse para hacer el lanzamiento.
30 23.2 / ,
6.- (12.95) Si el motociclista deja la rampa a 110 pies/s, determine la altura h que la rampa B debe tener de modo que la motocicleta aterrice a salvo.
VA = 18.23 m/s d = 12.7 m
h = 14.7 ft
0
7.- (12.98) La pelota de golf es golpeada en A con una rapidez = 40 m/s y dirigida a un ángulo de 3 con la horizontal como se muestra. Determine la distancia d donde la bola golpea la pendiente en B.
10.- (12.108) Pequeños paquetes que se desplazan sobre la banda transportadora caen en el carro de carga de 1 m de largo. Si la transportadora se desplaza a una rapidez constante de determine la distancia más corta y más larga R donde pueda colocarse el extremo A del carro con respecto a la transportadora para que los paquetes entren al carro.
2 /
d = 94.1 m 8.- (12.102) Una bola de golf es golpeada con una velocidad de 80 pies/s como se muestra. Determine la distancia d donde aterrizará. R = 1.19 m R = 0.189 m
d = 166 ft, t = 3.568 s 9.- (12.106) El muchacho parado en A intenta lanzar una pelota sobre el techo de un granero a un ángulo . Determine la velocidad mínima a la cual debe lanzar R. C, Gil Aguilar
40
25
11.- (12.110) Se observa que el esquiador deja la rampa en A a un ángulo con la horizontal. Si golpea el suelo en B , determine su rapidez inicial y el tiempo de vuelo .
Página 63
FISICA I
. / . Bibliografía Ingeniería Mecánica DINAMICA Decimosegunda Edición. R. C. HIBBELE R 2010
Capítulo
8
Dinámica
Introducción En capítulos anteriores se han estudiado el movimiento de partículas y de cuerpos rígidos sin considerar las fuerzas necesarias para originar dichos movimientos, en ello se desarrollaron la velocidad y la aceleración de un cuerpo con el tiempo o con un cambio de posición. El movimiento que experimenta un cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas no equilibrado se puede establecer: 1.- método de fuerza, masa y aceleración 2.- método de trabajo y energía y 3.- método impulso y cantidad de movimiento El método más útil para la solución del problema depende de la naturaleza de la FUERZA
8.1 Dinámica.- Es la parte de la mecánica que estudia las causas del movimiento y la manera como los cuerpos influyen en el movimiento de otros. 8.2 Algunos Conceptos: Inercia.- Es el estado de reposo o estado de movimiento de un cuerpo. Fuerza ( F ).- Es todo aquello que modifica el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Masa.- Es la cantidad de materia que hay en un cuerpo Peso.- Es la fuerza que la tierra hace para atraer la masa que tiene un cuerpo.
8.3 Equivalencias de algunas Unidades de Fuerza Unidad
Equivalencia
Equivalencia
1 kp
9,8 N
980 000 dynas
1N
0,102 kp
105 dynas
1 dyna
0,102x10-5 kp
10-5 N
R. C, Gil Aguilar
Página 64
FISICA I Segunda Ley de Newton “Una partícula sobre la cual actúa una fuerza F externa es proporcional a la
velocidad con
que cambia el momento lineal de la partícula o adquiere una aceleración a . FR
0,
F R
d p dt
=
d dt
m v ,
FR
=
m
dv dt
v
dm dt
(1)
Como la masa no es una cantidad absoluta sino relativa que varía con velocidad cercana a la velocidad de la luz, por tanto para propósitos de la mecánica clásica se puede despreciar el segundo término de (1), luego queda: FR
=
dv
(2)
m
dt
Pero, sabemos que FR
=
dv dt
a
, luego (2) quedará de la forma: (3)
ma
8.4 Rozamiento o Fuerza de Rozamiento ( f ) Definición.- Es una fuerza tangencial que está presente entre dos superficies de contacto y que se opone al movimiento. Se calcula así: f = N. Donde:
=
coeficiente de rozamiento (constante) y N = Normal.
Rozamiento Estático Es la fuerza tangente entre dos cuerpos en contacto cuando ambas están en reposo y que se manifiesta cuando una se va ha desplazar con respecto a otro. Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) Hacer el diagrama de un cuerpo libre, consiste en aislar totalmente a este del entorno que lo rodea y representar sobre este todas las fuerzas que actúan sobre el y no así las fuerzas que ejerce este cuerpo sobre el entorno. Reglas para hacer el DCL 1°.- Después de aislar el cuerpo, represente el peso, P en la misma dirección y sentido de la aceleración de la gravedad, con punto de aplicación en el centro geométrico del cuerpo (exactamente debe ser en el centro de gravedad). 2°.- Representar las fuerzas de comprensión: N y fuerzas de fricción f . Cuando un cuerpo está en movimiento la fuerza de fricción es siempre en sentido contrario al sentido de la velocidad y si el cuerpo está en reposo, el sentido de f es contrario hacia donde el cuerpo tienda a moverse. 3°.- Representar las fuerzas de tracción
T .
Ejemplo En las siguientes figuras son algunos ejemplos de hacer el DCL del cuerpo A en movimiento.
R. C, Gil Aguilar
Página 65
FISICA I
Fig. 8.1
Fig. 8.2
Fig. 8.3
Fig. 8.4
En muchos problemas de cinética conviene expresar la aceleración de la partícula en función de su posición (x, y, z), tenemos los siguientes casos:
( ) ̈ ̈ ̈ ̈ ̈ ̈ ̈
Las componentes escalares de esta ecuación son:
En el caso del movimiento rectilíneo a lo largo del eje x, las ecuaciones para la partícula será:
Existen cuatro tipos de problemas referentes al movimiento rectilíneo para la partícula.
Primer caso R. C, Gil Aguilar
Página 66
FISICA I Cuando la fuerza F es constante. En los problemas de movimiento rectilíneo en los que la fuerza sea constante, la segunda ley de Newton es.
̈ ̇
(4)
Integrando la ecuación (4) dos veces con respecto al tiempo t se tiene.
Las constantes C1 y C2 se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales del problema Segundo caso Cuando la fuerza está en función del tiempo, en los problemas del movimiento rectilíneo en que la fuerza varíe con el tiempo, la aplicación de la segunda ley de Newton da.
̈
(5)
Cuando se conoce la función F(t), se puede integrar dos veces respecto al tiempo para obtener las expresiones de la velocidad y de la posición x, en dichas expresiones, aparecerán dos constantes de integración C1 y C 2 que se determinan a partir de las condiciones iniciales del problema en cuestión
Tercer caso Cuando la fuerza está en función de la posición, en los problemas de movimiento rectilíneo en lo que la fuerza varíe en función de su posición, la aplicación de la segunda ley de Newton da:
̈ ̈ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇
(6)
A esta ecuación (6) le podemos dar una forma más útil si observamos que
Y esto se puede expresar
(7)
Cuando se conozca la función F(x), se podrá integrar la ecuación (7) para obtener la velocidad en función de x además conocida la velocidad se integra para obtener la posición en función del tiempo, constantes de integración C1 y C2 que se determinan a partir de las condiciones iniciales del problema en discusión.
Cuarto caso En los problemas de movimiento rectilíneo en los que la fuerza varíe en función de la velocidad, la aplicación de la segunda ley de Newton dará.
̈ ̇ ̇ ̈ ̇ ̇ ̇
(8)
O bien.
Cuando se busque una relación entre la velocidad y el tiempo, la ecuación (8) da R. C, Gil Aguilar
(9)
Página 67
FISICA I
̇ ̇ ̇̇ ̇
(10)
Cuando se busque una relación entre velocidad y la posición, la ecuación (9) da
En uno y otro caso constantes de integración C1 y C2 que se determinan a partir de las condiciones iniciales del problema en discusión.
Ejemplo 01.- Se dispara verticalmente un proyectil de 10 kg de masa desde el suelo, con una velocidad inicial de 50 m/s, ver figura 01. Determine la altura máxima a la que llegará si (a) se ignora la resistencia atmosférica y (b) la resistencia atmosférica se mide como , donde v es la rapidez del proyectil en cualquier instante, medida en m/s.
.
Solución a) En ambos casos la fuerza que actúa en el proyectil puede relacionarse por medio de la ecuación del movimiento.
. . / . . . . . . (. . ) ( )⌉ / . . donde
Fig. 01
Por medio de la cinemática.
;
b) D.C. L Ahora la fuerza es figura 03
H = 127 m
Fig. 02 tiende a retardar el movimiento hacia arriba ver
; La aceleración no es constante depende de la velocidad, podemos relacionar la aceleración a con la posición mediante.
R. C, Gil Aguilar
Fig. 03 Página 68
FISICA I
PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 08 TEMA: Dinámica Primera parte 1.- Los sistemas que se muestran en las figuras están en equilibrio. Si las balanzas de resorte se calibran en newtons, ¿Qué lectura indica en cada caso? Ignore las masas de las poleas y cuerdas, y suponga que las poleas y el plano inclinado en el inciso d) no tienen fricción.
2.- Un objeto de masa m1 sobre una mesa horizontal sin fricción se conecta a un objeto de masa m2 por medio de una polea muy ligera P1 y una polea fija ligera P2, como se muestra en la figura, a) Si a1 y a2 son las aceleraciones de m1 y m2, respectivamente, ¿cuál es la relación entre dichas aceleraciones? Exprese b) las tensiones en las cuerdas y c) las aceleraciones a1 y a2 en términos de g y de las masas m1 y m2. R. C, Gil Aguilar
3.- Una mujer en un aeropuerto jala su maleta de 20.0 kg con rapidez constante al jalar de una correa en un ángulo ɵ sobre la horizontal (figura P. 3). Ella jala de la correa con una fuerza de 35.0 N. La fuerza de fricción sobre la maleta es 20.0 N. Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la maleta. a) ¿Que ángulo forma la correa con la horizontal? b) ¿Que fuerza normal ejerce el suelo sobre la maleta?
4.- La tabla entre otras dos tablas en la figura P.4 pesa 95.5 N. Si el coeficiente de fricción entre los tableros es 0.663, ¿Cuál debe ser la magnitud de las fuerzas de compresión Página 69
FISICA I (supuestas horizontales) que actúan sobre ambos lados del tablero central para evitar que se deslice?
5.- Un niño inventivo llamado Niels quiere alcanzar una manzana pendiente en un árbol sin escalar. Sentado en una silla unida a una soga que pasa sobre una polea sin fricción (figura P.5), Niels jala sobre el extremo suelto de la soga con tal fuerza que la balanza de resorte lee 250 N. El verdadero peso de Niels es 320 N y la silla pesa 160 N. a) Dibuje diagramas de cuerpo libre para Niels y la silla considerada como sistemas separados, y otro diagrama para Niels y la silla considerados como un sistema. b) Muestre que la aceleración del sistema es hacia arriba y encuentre su magnitud. c) Encuentre la fuerza que Niels ejerce sobre la silla.
6.- Un objeto de masa M se mantiene en lugar mediante una fuerza aplicada F y un sistema de polea como se muestra en la figura P.6 Las poleas no tienen masa ni fricción. Encuentre a) la tensión en cada sección de cuerda, T 1, T 2, T 3, T 4 y T 5 y b) la R. C, Gil Aguilar
magnitud de F. Sugerencia: Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada polea.
7.- Un bloque de masa m = 2.00 kg se libera desde el reposo en h = 0.500 m sobre la superficie de una mesa, en lo alto de un plano inclinado de ɵ = 30.0°, como se muestra en la figura P.7. El plano sin fricción esta fijo sobre una mesa de altura H = 2.00 m. a) Determine la aceleración del bloque mientras se desliza por el plano. b) ¿Cuál es la velocidad del bloque cuando deja el plano? c) ¿A qué distancia de la mesa el bloque golpeara el suelo? d) ¿Que intervalo de tiempo transcurre entre la liberación del bloque y su golpe en el suelo? e) ¿La masa del bloque afecta alguno de los cálculos anteriores?
8.- En la figura P.8, las poleas y las cuerdas son ligeras, todas las superficies son sin fricción y las cuerdas no se estiran. a) ¿Cómo se compara la aceleración del bloque 1 con la aceleración del bloque 2? Explique su Página 70
FISICA I razonamiento. b) La masa del bloque 2 es 1.30 kg. Encuentre su aceleración dependiente de la masa m1 del bloque 1. c) Evalué su respuesta para m1 = 0.550 kg. Sugerencia: Puede encontrar más fácil hacer el inciso c) antes que el inciso b). ¿Qué sucedería...? d) ¿Que predice el resultado del inciso b) si m1 es mucho menor que 1.30 kg?
Segunda parte 1.- (F13.1) El malacate enrolla el cable con una aceleración constante de modo que el embalaje de 20 kg se mueve una distancia s = 6 m en 3 s, a partir del reposo. Determine la tensión desarrollada en el cable. El coeficiente de fricción cinética entre el embalaje y el plano es μs= 0.3.
9.- ¿Que fuerza horizontal se debe aplicar al automóvil que se muestra en la figura P.9 de modo que los bloques permanezcan fijos en relación con el carretón? Suponga que todas las superficies, ruedas y poleas no tienen fricción. Observe que la fuerza que ejerce la cuerda acelera m1.
10.- Una van acelera hacia bajo de una colina (figura P.10), y va desde el reposo a 30.0 m/s en 6.00 s. Durante la aceleración, un juguete (m = 0.100 kg) cuelga mediante una cuerda del techo de la van. La aceleración es tal que la cuerda permanece perpendicular al techo. Determine a) el ángulo ɵ y b) la tensión en la cuerda.
R. C, Gil Aguilar
2.- (F13.3) Un resorte de rigidez k = 500 N/m está montado contra el bloque de 10 kg. Si éste se somete a la fuerza de F = 500N. Determine su velocidad en s = 0.5 m. Cuando s = 0, el bloque está en reposo y el resorte no está comprimido. La superficie de contacto es lisa.
3.- (F13.5) La rigidez del resorte es k = 200 N/m y no está estirado cuando el bloque de 25 kg está en A. Determine la aceleración del bloque cuando s = 0.4m. La superficie de contacto entre el bloque y el plano es lisa.
Página 71
FISICA I falla. Si la masa del remolque es de 250 kg y recorre 45 m antes de detenerse, determine la fuerza horizontal constante F creada por la fricción de rodamiento que hace que el remolque se detenga.
4.- (13.1) La pieza fundida tiene una masa de 3 Mg. Suspendida en una posición vertical e inicialmente en reposo, se le imprime una rapidez de levantamiento de 200 mm/s en 0.3 s por medio del gancho de una grúa H. Determine la tensión en los cables AC y AB durante este intervalo si la aceleración es constante.
5.- (13.2) El tren de 160 Mg viaja con una rapidez de 80 km/h cuando comienza a subir la pendiente. Si la máquina ejerce una fuerza de tracción F de 1/20 del peso del tren y la resistencia al rodamiento FD es igual a 1/500 del peso del tren, determine su desaceleración.
7.- (13.20) El bloque A de 10 lb se desplaza hacia la derecha a vA = 2 pies/s en el instante mostrado. Si el coeficiente de fricción cinética es μk = 0.2 entre la superficie y A, determine la velocidad de A cuando se ha desplazado 4 pies. El bloque B pesa 20 lb.
8.- (13.14) El motor de 3.5 Mg está suspendido en una viga AB cuya masa no se toma en cuenta y es izado por una grúa que le imprime una aceleración de 4 m/s2 cuando su velocidad es de 2 m/s. Determine la fuerza en las cadenas CA y CB durante el izamiento.
6.- (13.7) La vagoneta viaja a 20 km/h cuando el acoplamiento del remolque en A R. C, Gil Aguilar
Página 72
FISICA I 3.- (15.8) Se empuja un bloque de masa 20 kg hacia arriba por un plano inclinado con una fuerza horizontal F de 200 N, según se indica en la figura. El coeficiente de rozamiento cinético μk entre el plano
inclinado y bloque vale 0,10, si v = 0 y x = 0 cuando t = 0, determinar a. La aceleración del bloque b. El tiempo que tarda el bloque en recorrer 15 m c. La velocidad del bloque cuando haya recorrido 10 m.
Tercera parte 1.- (15.1) Una caja de masa 100 kg descansa sobre el suelo de un montacargas. Determinar la fuerza que la caja ejerce sobre el suelo si el montacargas a. Arranca hacia arriba con una aceleración de 3 m/s2. b. Arranca hacia abajo con una aceleración de 2 m/s2. 4.- (15.9) Los bloques A y B pesan, respectivamente, 150 N y 300 N y están conectados mediante una cuerda, según se indica en la figura. Los coeficientes de rozamiento cinético son 0,20 para el bloque A y 0,15 para el bloque B, si la fuerza F aplicada a la cuerda es de 200 N, determinar a. La aceleración del bloque B. b. La velocidad del bloque A al cabo de 5 s. 2.- (15.2) Determinar la fuerza constante F que se necesita para acelerar un automóvil (m = 1000 kg), por una carretera llana, desde el reposo hasta 20 m/s en 10 s
R. C, Gil Aguilar
5.- (15.10) Un montacargas contiene tres bultos, según se indica en la figura, la masa de la caja del montacargas es de 750 kg y las masas de los bultos A, B y C son, respectivamente, 300 kg, 200 kg y 100 kg. Durante un corto intervalo de tiempo el montacargas experimenta una aceleración
Página 73
FISICA I hacia arriba de 8 m/s2. Durante dicho intervalo, determinar a. La tensión del cable del montacargas. b. La fuerza que el suelo del montacargas ejerce sobre A. c. La fuerza que B ejerce sobre C.
7.- (15.15) El plano inclinado de la figura tiene una longitud de 6 m y se utiliza para bajar cajas de la calle al sótano de un almacén. El coeficiente de rozamiento cinético μK entre caja y plano vale 0,25. El coeficiente de rozamiento cinético μK entre caja y suelo del sótano vale 0,40. Si a una caja que pesa 150 N se le da una velocidad inicial de 3 m/s en lo alto del plano inclinado, determinar a. La velocidad de la caja cuando abandone el plano inclinado. b. La distancia que recorre la caja por el suelo del sótano después de abandonar el plano inclinado. 6.- (15.14) Dos cuerpos, A (mA = 50 kg) y B (mB = 25 kg) están unidos mediante un cable según se indica en la figura. Cinco segundos después de soltar los cuerpos partiendo del reposo, el cuerpo B lleva una velocidad de 10 m/s hacia abajo. Determinar a. La aceleración del cuerpo A. b. La tensión del cable.
8.- (15.16) El carrito representado en la figura tiene una masa de 200 kg y se mueve hacia la derecha con una velocidad de 5 m/s. Determinar
c. El coeficiente de rozamiento cinético μk
para el cuerpo A.
a. La aceleración del carrito en su subida por el plano inclinado. b. La distancia d que ascenderá por el plano inclinado hasta llegar a detenerse.
R. C, Gil Aguilar
Página 74
FISICA I
9.- (15.23) Dos bloques A y B, conectados mediante un cable flexible, se sueltan partiendo del reposo en las posiciones representadas en la figura. El coeficiente de rozamiento cinético μK entre el bloque A y el plano inclinado vale 0,15. El bloque B choca con la superficie horizontal 3 s después de soltarlo. Si el bloque A pesa 250 N, determinar a. La aceleración del cuerpo B b. El peso del cuerpo B c. La tensión del cable mientras los bloques están en movimiento.
10.- (15.26) En la figura se han representado dos cuerpos A y B de masas 40 kg y 30 kg, respectivamente. El coeficiente de rozamiento cinético μK para el cuerpo A vale 0,25 y el sistema se libera partiendo del reposo. Durante el movimiento de los cuerpos, determinar a. La aceleración del cuerpo A. b. La tensión del cable que une los cuerpos. c. La velocidad del cuerpo B al cabo de 5 s de movimiento.
R. C, Gil Aguilar
11.- (15.35) Los bloques A y B de la figura pesan 125 N y 250 N, respectivamente. Los bloques están en reposo y el resorte ( k = 417 N/m, está indeformado cuando los bloques se hallen en la posición representada. Determinar la velocidad y la aceleración del bloque B cuando esté 0,3 m por debajo de su posición inicial.
12.- (15.37) La cadena flexible representada en la figura pesa 8,3 N/m. El coeficiente de rozamiento cinético entre la cadena y el plano horizontal vale 0,20. Si se suelta la cadena partiendo del reposo en la posición representada, determinar su velocidad en el instante en que toda ella alcance la posición vertical y el tiempo que tardará el extremo A en abandonar el plano horizontal.
Página 75
FISICA I 13.- (15.39) La bola representada en la figura tiene una masa de 0,15 kg. La longitud natural del resorte ( k = 1 kN/m) es de 50 cm. Si la bola se suelta a partir del reposo en la posición representada y se desprecia el rozamiento entre bola y tubo, determinar A. La velocidad de la bola cuando sale del tubo. B. El tiempo que tarda la bola en salir del tubo.
Capítulo
9
BIBLIOGRAFIA R. C. HIBBELER Ingeniería Mecánica DINÁMICA Decimosegunda Edición 2010
Movimiento Curvilíneo: Componentes Normal y Tangencial
9.1 Movimiento Curvilíneo Consideremos una partícula que se desplaza por la curva ver figura 9.1, y si conocemos la trayectoria, entonces conviene describir su movimiento teniendo en cuenta las componentes normal n y tangencial t, de, manera tal que actúan perpendicular. 9.2 Movimiento en el plano La partícula que inicialmente se encuentra en la posición s para un determinado tiempo a medida que se desplaza describe pequeños arcos diferenciales ver figura 9.2, de radios de curvatura que va cambiando dependiendo de la posición de la partícula pero siempre dirigido hacia el centro de curvatura.
Fig. 9.1
Velocidad Como la partícula se mueve siguiendo la trayectoria, s en función del tiempo la velocidad de la partícula siempre es tangente a la trayectoria ver figura 9.3 donde.
R. C, Gil Aguilar
Fig. 9.2 Página 76
FISICA I
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ́ ́ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Consideremos le velocidad vectorialmente
Aceleración Determinemos la aceleración derivando
Para calcular tendremos en cuenta: Primero.- de la figura 9.4
(1)
(2)
Fig. 9.3
Segundo.- en la figura 9.5 Donde: Los vectores infinitesimal.
(3)
los cuales forman un arco
es un vector unitario
Obteniendo
Fig. 9.4
Entonces
define su dirección, de la ecuación (2)
Fig. 9.5
Luego
(4)
Al sustituir ec (4) en ec (1):
Finalmente Aceleración tangencial, representa el cambio de la magnitud de la velocidad en función del tiempo.
O
̇
Aceleración normal, representa el cambio de la dirección de la velocidad y dirigida hacia el centro de radio de curvatura. R. C, Gil Aguilar
Fig. 9.6 Página 77
FISICA I
Esto puede verse en la figura 9.6
La magnitud de la aceleración a
Si la trayectoria esta expresada mediante una función matemática no se conoce entonces se determina mediante la ecuación (5)
/ +
y el radio de curvatura
(5)
Ejemplo 01.- Cuando el esquiador llega al punto A a lo largo de la trayectoria parabólica en la figura 9.7, su rapidez es de 6 m/s, la cual se incrementa a 2 m/s2. Determine la dirección de su velocidad y la dirección y magnitud de su aceleración en este instante. Al hacer el cálculo, pase por alto la estatura del esquiador. Ver figura 9.7 Solución
Determinemos la velocidad Como
Cuando
− /
Fig. 9.7
Por lo tanto Por tanto
Determinemos la aceleración
R. C, Gil Aguilar
Página 78
FISICA I
̇ + = . . { .}/ . . / ɸ− . . . .
(1)
Como:
Entonces:
Fig. 9.8
Reemplazando en la ec. (1)
Ver figura (8)
Luego
Por lo tanto
es la dirección encontrada. PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 09 TEMA: Movimiento Curvilíneo Comp. Normal y Tangencial
1.- (12.116) En el punto A la rapidez del automóvil es de 80 pies/s y la magnitud de la aceleración de aes de 10 pies/s2 y actúa en la dirección mostrada. Determinar el radio de curvatura de la trayectoria en el punto A y el componente tangencial de la aceleración.
8.66 / 1280 ,
R. C, Gil Aguilar
2- (12.118) A partir del reposo el bote se desplaza alrededor de la trayectoria circular, , ρ = 50 m, a una rapidez donde t está en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleración del bote en el instante t = 3s.
0.2/
1.80 / 1.20 / ,
Página 79
FISICA I 3.- (12.122) El tren pasa por el punto A con una rapidez de 30 m/s, la cual comienza a reducirse a un ritmo constante de . Determine la magnitud de su aceleración cuando llega al punto B donde
0.25 / 412
6.- (12.128) El avión vuela a lo largo de una trayectoria circular horizontal AB en 60 s. Si su rapidez en el punto A es de 400 pies/s, la cual se reduce a razón de , determine la magnitud de su aceleración cuando llegue al punto B.
0.1 /
0.309 / 250.15 /
4.- (12.123) Si el automóvil pasa por el punto A con una rapidez de 25 m/s, después de lo cual su velocidad se define como , determine la magnitud de su aceleración cuando llega al punto B, donde s = 51.5 m.
6.49 /
7.- (12.130) Si la montaña rusa empieza del reposo en A y su rapidez se incrementa en , determine la magnitud de su aceleración cuando pasa por el punto B donde .
6 0.06 / 40
2.75 /
5.- (12.126) Cuando el automóvil pasa por el punto A su rapidez es de 25 m/s. Si se aplican los frenos, su rapidez se reduce en . Determine la magnitud de su aceleración un poco antes de que llegue al punto C.
0.001 1/
6.03 /
0.730 / R. C, Gil Aguilar
8.- (12.145) El avión de reacción vuela a una rapidez constante de 110 m/s a lo largo de una trayectoria curva. Determine la
Página 80
FISICA I magnitud de su aceleración cuando llega al punto A ( y = 0).
26.9 / Bibliografía Ingeniería Mecánica DINAMICA Decimosegunda Edición. R. C. HIBBELE R 2010
Capítulo
10
Ecuaciones de Mov: Coordenadas Normal y Tangencial
10.1 Ecuaciones del Movimiento Cuando una partícula cualquiera describe una trayectoria curva siendo ésta conocida ya sea mediante una expresión matemática entonces su movimiento, puede expresarse en las direcciones tangencial, normal y binomial, observe la figura 10.1, la partícula no se mueve en la coordenada binomial (b), está limitada a moverse a lo largo de la trayectoria en el plano. Como la partícula está expuesto a fuerzas, apliquemos la segunda ley de Newton.
Fig. 10.1
Es decir sobre la partícula experimenta fuerzas en dirección de las coordenadas normal (n) y tangencial (t), luego la fuerza resultante será:
∑ ∑ ∑
R. C, Gil Aguilar
(10.1) Página 81
FISICA I
Esta ecuación (10.1) se cumple cuando:
∑ ∑ ∑
Recuerde que:
y
/ +
(10.2)
Estudiar las ecuaciones de movimiento en coordenadas normal, tangencial y binomial, tiene gran importancia en la aplicaciones en la ingeniería especialmente en ingeniería civil, porque para la construcción de curvas en carreteras es vital determinar el ángulo de inclinación que deberá de tener precisamente en la curva y de ello se determina la velocidad que tendrá que señalarse, evitando accidentes fatales y esto permitirá que la fuerza tangencial sea nula y aumentando la fuerza normal y que la, mantiene en la carretera. Siempre que se desee construir una carretera de calidad entonces debemos obtener los cálculos correspondientes.
Ejemplo 10.1.- Determine el ángulo de inclinación de la pista para que las llantas de los autos de carrera mostrados en la figura 10.2, no dependan de la fricción para que no se deslicen hacia arriba o hacia abajo de la pista. Suponga que el tamaño de los automóviles es insignificante, que su masa es y que se desplazan alrededor de la curva de radio a una rapidez constante .
Solución Tracemos el diagrama de cuerpo libre ver figura 10.3
Ecuaciones de Movimiento: Con los ejes , mostrados:
R. C, Gil Aguilar
Fig. 10.2
Página 82
FISICA I
∑ −
(10.3)
(10.4)
Dividiendo ec. (10.3) y ec. (10.4):
Fig. 10.3
Ejemplo 10.2.- El diseño de la rampa de salto de esquíes que se muestra en la figura 10.4 requiere conocer el tipo de fuerzas que se ejercerán en la esquiadora y su trayectoria aproximada. Si en este caso el salto se puede representar de forma aproximada por la parábola de la figura 10.4, determine la fuerza normal en la esquiadora de 150 lb en el momento en que llega al extremo de la rampa, punto A, donde su velocidad es de 65 pies/s. Además ¿Cuál es su aceleración en este punto?
Fig. 10.4
Solución Diagrama de cuerpo libre ver figura 10.5 Dado que , cunado
→ ∑ . ∑ . Ecuaciones de movimiento ;
;
(10.5) (10.6)
El radio de curvatura de la trayectoria en el punto A(0, -200 pies) Aquí
R. C, Gil Aguilar
;
;
Fig. 10.5 Página 83
FISICA I
/ +
[ +]/
, al sustituir se obtiene
Teniendo en cuenta las ecuaciones de la cinemática: A partir se la ec. (10.6) Por lo tanto :
.
PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 10 TEMA: Ecuaciones de Mov: Coordenadas Normales y Tangenciales 1.- (13.50) En el instante mostrado, el proyectil de 50 kg viaja en el plano vertical a una rapidez de . Determine el componente tangencial de su aceleración y
40 /
el radio de curvatura ρ de su trayectoria en
este instante.
4.905 / 188 ;
2.- (12.53) La masa del auto deportivo es de 1700 kg y viaja horizontalmente a lo largo R. C, Gil Aguilar
Página 84
FISICA I
20 0.2
de una pista inclinada
la cual es circular
y tiene un radio de curvatura ρ = 100 m. Si
el coeficiente de fricción estática entre las llantas y la pista es , determine la rapidez máxima constante a la cual puede viajar el automóvil sin que se deslice cuesta arriba. Ignore el tamaño del auto.
. 24.4 /
3.- (12.69) Determine la rapidez máxima a que el automóvil con masa m puede pasar por el punto superior A de la carretera curva vertical y seguir en contacto con la carretera. Si el automóvil mantiene esta rapidez, ¿Cuál es la reacción normal que la carretera ejerce en el automóvil cuando pasa por el punto B de la carretera.
;2
4.- (13.70) Un avión de 5 Mg vuela a una rapidez constante de 350 km/h a lo largo de una trayectoria circular horizontal de radio . Determine la fuerza de elevación L que actúa en el avión y el ángulo de alabeo. Ignore el tamaño del avión.
3000
R. C, Gil Aguilar
51.5
5.- (13.72) Un automóvil de 0.8 Mg viaja sobre la colina que tiene la forma de una parábola. Si el conductor mantiene una rapidez constante de 9 m/s, determine tanto la fuerza de fricción resultante que todas las ruedas del carro ejercen en la carretera en el instante en que llega al punto A. Ignore el tamaño del automóvil.
3.51 6.73 ;
6.- (13.75) Demuestre que si se suelta el bloque del punto de reposo B de una trayectoria lisa de forma arbitraria, la rapidez que alcanza cuando llega al punto A es igual a la que alcanza cuando cae libremente una distancia h; es decir, .
2ℎ
Página 85
FISICA I
7.- (13.76) Un tobogán y su conductor de 90 kg de masa total se desliza cuesta abajo a lo largo de una pendiente (lisa) definida por la ecuación . En el instante , la rapidez del tobogán es de 5 m/s. En este punto, determine la tasa de incremento de la rapidez que la pendiente ejerce en el tobogán. Ignore el tamaño el tamaño del tobogán y la estatura del conductor en el cálculo.
0. 0 8 10
1.02
9.- (13.80) La motocicleta de 1.8 Mg viaja cuesta arriba a una rapidez constante de 80 km/h. Determine la fuerza normal que la superficie ejerce en sus ruedas cuando llega al punto A. Ignore su tamaño.
7.69
10.- (13.81) El automóvil de 1.8 Mg viaja cuesta arriba a una velocidad de 80 km/h. Determine la reacción normal de la carretera en el automóvil cuando llega al punto A. Ignore su tamaño.
8.32 / 522 ;
8.- (13.77) La esquiadora parte del punto de reposo en A (10 m, 0) desciende la pendiente lisa, la cual puede ser representada de forma aproximada por una parábola. Si su masa es de 52 kg, determine la fuerza normal que el sujeto ejerce sobre la esquiadora en el instante en que llega al punto B. Ignore la estatura de la esquiadora. Sugerencia use el resultado del problema 6.
R. C, Gil Aguilar
Página 86
FISICA I
BIBLIOGRAFIA R. C. HIBBELER Ingeniería Mecánica DINÁMICA Decimosegunda Edición 2010
Capítulo
11
Trabajo Energía
11.1 Trabajo de una Fuerza
R. C, Gil Aguilar
Página 87
FISICA I Cuando actúa una fuerza sobre una partícula, ésta se moverá cambiando de posición a lo largo de la trayectoria que describe, a medida que pasa el tiempo es decir la fuerza aplicada está realizando un trabajo .
Consideremos la fuerza aplicada sobre una partícula, ver figura 11.1 que hace que cambie de posición a
través de la trayectoria “s” denotado por el vector que
representa el desplazamiento , además forma un ángulo entonces el trabajo realizado por la fuerza F es el producto escalar de los vectores y F siendo una cantidad escalar y, definido por: W = F.dr = Fds cos
(11.1)
11.2 Trabajo de una Fuerza Variable Si la fuerza está expresada mediante una función matemática , tal como el caso de la figura 11.2, ésta fuerza hace cambiar de posición a la partícula desde s1 hasta s2 el trabajo efectuado se determina por integración así:
∆ ∫ . ∫
(11.2)
Fig. 11.1
Fig. 11.2
∆ ∫
11.3 Trabajo de una Fuerza Constante Consideremos una fuerza F que forma un ángulo con la horizontal, además constante hace que se mueva la partícula en línea recta, ver figura 11.3, el trabajo neto realizado por esta fuerza desde la posición s1 hasta la posición s2 es:
R. C, Gil Aguilar
Página 88
FISICA I Fig. 11.3
11.4 Trabajo debido al peso El trabajo debido al peso es considerado como la energía potencial gravitacional . Consideremos la figura 11.4, la energía potencial se determina del modo siguiente:
∆
U = - mg(y2 – y1 ) = - mg
∆
(11.3)
Fig. 11.4
11.5 Energía Potencial debido a un Resorte ( U) Si en un resorte actúa una fuerza comprimiéndola o estirándola, entonces se produce un trabajo efectuado por dicha fuerza que es equivalente a la energía potencial debido a la fuerza elástica restauradora del resorte, ver figura 11.5 y se calcula del siguiente modo:
∆ U=-
(11.4)
Fig. 11.5
R. C, Gil Aguilar
Página 89
FISICA I Ejemplos 11.1.- El bloque de 10 kg de la figura 11.6, descansa sobre el plano inclinado. Si el resorte originalmente está alargado 0.5 m, determine el trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúan en el bloque cuando una fuerza horizontal P = 400 N lo empuja cuesta arriba s = 2 m Solución. Fig. 11.6
Diagrama de cuerpo libre. D. C. L
1.- Trabajo debido a la fuerza P El trabajo se determina mediante el producto escalar
. . . . ∆ . .
2.- Trabajo o energía potencial debido al resorte U Se calcula mediante la ecuación:
U=-
3.- Trabajo o energía gravitatoria debido al peso W Como el peso actúa en el sentido opuesto a su desplazamiento vertical, el trabajo o energía potencial es negativo Trabajo total
R. C, Gil Aguilar
(. ) .
Página 90
FISICA I 11.6 Principio de la Conservación de la Energía “Esta ni se crea ni se destruye, lo que equivale a decir que la energía total de un sistema se conserva invariable”
Principio de la Conservación de la Energía, para explicar este principio consideremos un resorte y un bloque de masa m que está conectado a dicho resorte, si se aplica una fuerza al bloque de
Fig. 11.7 modo que estire el resorte entonces la fuerza que hace desplazar al bloque entonces se origina un trabajo debido e la fuerza aplicada, si no existiera un rozamiento entre la superficie de contacto con el bloque ver Fig. 11.7, entonces el resorte oscilaría siempre, entonces existirá una energía total E que será igual a la suma de la energía potencial U debido al resorte y la energía cinética del cuerpo de masa m con movimiento armónico simple. Esta energía total se representa mediante la función de la parábola ver Fig. 11.8, la parte superior representa la energía cinética de la masa en movimiento y la parte inferior de la curva la energía potencial del resorte, por tanto la energía mecánica total será una constante que se conserva en el tiempo. Veamos cuando la partícula se encuentra en tres posiciones:
Primer Caso: Fig. 11.8
; ; á La energía total será.
Segundo Caso:
(11.5)
(11.6)
;
Reemplazando ec. (11.7) en ec. (11.6)
R. C, Gil Aguilar
<<
(11.7)
Página 91
FISICA I
± ;; á,á. á. á. Despejando
(11.8)
Tercer Caso:
Despejando:
(11.9) (11.10)
Las ecuaciones (11.7) y (11.9) son iguales:
á. Despejando la velocidad máxima:
á.
(11.11)
Finalmente el pricipio de la conservación de la energía se puede escribir mediante la ecuación:
∆∆∆
∆∆ ∆
Donde: : Trabajo neto realizado por la fuerza. : Energía cinética debido al movimiento de la partícula. : Energía potencial debido al resorte.
11.7.- Problemas y Ejercicios de Aplicación
Caso 1
El bloque comprime el resorte ¿Cuál será la velocidad del bloque en el instante del choque, si existe fuerza de rozamiento
R. C, Gil Aguilar
Página 92
FISICA I Solución Para resolver este problema, consideremos la posición inicial tanto para el bloque y el resorte, ver figura 1. Se considera la etapa inicial, ubicando las posiciones y se traza el diagrama de cuerpo libre.
En la segunda etapa ver figura 2 se representa la posición final para el sistema, indicando nuevamente los parámetros y se escribe la ecuación del principio de la conservación de la energía.
Caso 2 Un bloque se empuja contra un resorte comprimiéndolo y al soltarse el bloque se mueve sobre la superficie horizontal sin fricción y luego sube por el plano inclinado, determinar h
R. C, Gil Aguilar
Página 93
FISICA I Solución El bloque viaja con velocidad constante puesto que no hay rozamiento, para comprimir el resorte ver figura N° 1.
Consideremos la etapa inicial como se ve la figura 2, es decir el resorte comprimido.
A partir de la posición inicial Fig. 2, el resorte se estira desplazando el bloque con MRU, desde la posicón A hasta la posición B. ver figura 3.
Cuando el bloque llega a la posición B, a partir de este punto el bloque se mueve con MRU, recorriendo la horizontal, llegando al borde del plano inclinado alistándose para subir por la R. C, Gil Aguilar
Página 94
FISICA I pendiente, su movimiento ahora es MRUV, hasta llegar hasta la máxima altura H, esto se determina por la ecuación de la energía mecánica. Ver figura 4.
Caso 3 Un bloque se empuja contra un resorte comprimiéndolo, al soltarse, el bloque se mueve una distancia “D” ¿cuál es el coeficiente de fricción U?
Solución El bloque avanza, comprimiendo el resorte ver figura 1
R. C, Gil Aguilar
Página 95
FISICA I Cuando el resorte está comprimido almacena una energía potencial, de modo que el bloque parte desde el reposo hasta detenerse siendo su energía cinética cero, por lo tanto en este caso solamente habrá trabajo debido al rozamiento y energía potencial debido al resorte.
Consideremos la posición final cuando el resorte se estiró totalmente y el bloque se detuvo, siendo su velocidad final cero. Ver figura 3 y finalmente las ecuaciones para este caso es.
Caso 4 Un bloque comprime el resorte y al soltarse se mueve sobre la superficie horizontal sin rozamiento, colisionando en la parte más baja como indica la figura, calcular el valor de la constante de rigidez del resorte.
R. C, Gil Aguilar
Página 96
FISICA I Solución Consideremos la posición indicando los parámetros correspondientes ver figura 1. El bloque se mueve con MRU
En esta posición el bloque comprime el resorte y a partir de esa posición se considera inicialmente, ver figura 2. En un instante el bloque parte del reposo , acelerado pero como no hay rozamiento este movimiento será MRU. Las ecuaciones considera solamente energía cinética y la energía potencial debido al resorte.
En la figura 3 el bloque avanza con velocidad constante MRU, manteniendo ésta velocidad durante su recorrido por la horizontal hasta llegar al borde.
R. C, Gil Aguilar
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FISICA I En la figura 4 cae con movimiento compuesto, se determina el tiempo para remplazar en la siguiente ecuación.
∆ ∆
R. C, Gil Aguilar
Página 98
FISICA I PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 11 TEMA: Trabajo Energía y Principio de la Conservación de la Energía Primera parte 1.- (17.1) Un camión que pesa 37,5 kN va por una carretera a 100 km/h cuando el conductor ve, de pronto, una res parada en su camino a 60 m delante de él. Si el conductor tarda 0,4 s en pisar el freno y el coeficiente de rozamiento entre ruedas y calzada vale 0,5. a. ¿Puede evitarse el atropello sin desviarse a un lado? b. ¿En qué posición relativa a la res quedaría detenido el camión? c. Si el conductor debiera desviarse a un lado determinar la la velocidad que llevaría el camión al pasar junto a la res.
2.- (17.3) Un Boeing 747 totalmente cargado tiene un peso en el despegue de 3300 kN y sus motores desarrollan un empuje total de 1000 kN . Si se desprecian la resistencia del aire y el rozamiento entre los neumáticos y la pista, determinar qué longitud ha de tener ésta para que la velocidad en el despegue sea de 225 km/h
3.- (17.5) Se captura catapulta un avión F15, que pesa 125 kN, desde la cubierta de un portaaviones mediante un ariete hidráulico. Determinar la fuerza media que ejerce el ariete sobre el avión si en 90 m lo acelera desde el reposo hasta 257 km/h.
R. C, Gil Aguilar
4.- (17.6) Una bala de masa 10 g lleva una velocidad horizontal de 400 m/s cuando incide sobre un blanco de madera de 25 mm de grosor. Aun cuando el blanco la frena, lo atraviesa y cae en un estanque a 50 m. Determinar la fuerza media que el blanco ejerce sobre la bala.
5.- (17.8) Una bala de masa 10 g lleva una velocidad horizontal de 400 m/s cuando incide en un bloque de madera de 2,5 kg incrustándose en él. El bloque se halla inicialmente en reposo, la masa del tope B es despreciable y el suelo es liso, En el movimiento posterior al impacto, la compresión máxima del resorte resulta ser de 73 mm. Determinar a. El tanto por ciento de la energía cinética inicial de la bala que se pierde en el impacto b. La velocidad de bloque y bala en el instante en que el bloque entra en contacto con el tope.
Página 99
FISICA I
6.- (17.18) Un punto material está unido a un resorte alineal (endurecedor) para el cual la relación entre fuerza y deformación es
120010
Donde F se expresa en newton y δ en metros.
Determinar el trabajo que el resorte efectúa sobre el punto cuando su alargamiento pasa de δ = 150 mm a δ = 50 mm.
7.- (17.26) Un bloque de 5 kg se desliza por el interior de un canjilón cilíndrico, según se indica en la figura. El radio del cilindro es de 3 m. Si el bloque parte del reposo cuando θ = 300, determinar su velocidad cuando θ =
900 .
8.- (17.27) Los dos bloques representados en la figura están unidos mediante un hilo inextensible y sin peso. Se sueltan, Partiendo del reposo, siendo d = 45 cm. Sus pesos son WA = 25 N y WB = 50 N y el resorte ( k = 333 N/m) se halla informado en la posición inicial. Determinar qué velocidad lleva el bloque B cuando alcanza el suelo
R. C, Gil Aguilar
9.- (17.28) Los dos bloques representados en la figura anterior están unidos mediante un hilo inextensible y sin peso. Se sueltan, partiendo del reposo, siendo d = 500 mm. Las masas de los bloques son mA = 6 kg y mB = 4 kg y el resorte está indeformado en la posición inicial. Determinar el mínimo valor que ha de tener la constante del resorte para que el bloque B no choque contra el suelo en el ulterior movimiento. 10.- (17.29) Los bloques representados en la figura están unidos mediante un hilo inextensible y sin peso. Se sueltan, partiendo del reposo, cuando el resorte está indeformado. Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico valen 0,2 y 0,1, respectivamente. Para el ulterior movimiento, determinar a. La máxima velocidad de los bloques y el alargamiento que, en esa condición, sufre el resorte. b. La máxima caída del bloque de 25 N.
Página 100
FISICA I Segunda parte 1.- (17.44) Una masa de 0,5 kg se desliza sin rozamiento por una varilla vertical según se indica en la figura. La longitud natural del resorte es l0 = 200 mm y la distancia d = 300 mm. Si se suelta la masa partiendo del reposo cuando b = 0, determinar la constante del resorte que haga bmáx. = 400 mm
m/s hacia la derecha en la posición B,
determinar su velocidad en la posición A y en la posición en que b = 225 mm. 4.- (17.52) Un saquito que contiene 1,5 kg de bolitas está sujeto al extremo de un hilo de 800 mm de longitud, según se indica en la figura. La máxima tensión que puede resistir el hilo es Pmáx. = 30 N. Si el muchacho saca lentamente el saco del estante, determinar el ángulo θ que girará el saco antes de romperse
el hilo.
2.- (17.46) Una masa de 0,5 kg se desliza por una varilla exenta de rozamiento y situada en un plano vertical, según se indica en la figura. La longitud natural del resorte es l0 = 250 mm, la constante del resorte es k = 600N/m y la distancia d = 800 mm. Si se suelta dicha masa partiendo del reposo cuando b = 300 mm, determinar su velocidad en las posiciones A y B.
3.- (17.47) Un peso de 2,5 N se desliza por una varilla exenta de rozamiento y situada en un plano vertical, según se indica en la figura del problema 2. La longitud natural del resorte es l0 = 150 mm, la constante del resorte es k = 83 N/m y la distancia d = 450 mm. Si el peso lleva una velocidad de 0,6 R. C, Gil Aguilar
5.- (17.55) Una cajita se desliza por una superficie horizontal exenta de rozamiento y llega a una rampa circular, según se indica en la figura. Si la velocidad inicial de la caja es v0 = 1,5 m/s y r = 375 mm, determinar el ángulo θ al cual la caja perderá el contacto
con la rampa.
6.- (17.56) Una cajita se desliza por una superficie horizontal exenta de rozamiento y llega a una rampa circular, según se indica en la figura. Del problema 5. Si el radio de la rampa es r = 750 mm y la caja pierde contacto con ella cuando θ = 25o, determinar
la velocidad inicial vo de la caja. 7.- (17.58) Un cochecito de juguete desciende por una rampa y sigue luego por Página 101
FISICA I un rizo vertical, según se indica en la figura. La masa del cochecito es m = 50 g y el diámetro del rizo vertical es d = 300 mm. Si se suelta el cochecito partiendo del reposo, determinar: a. La mínima altura h desde la que hay que soltar el cochecito para que recorra todo el rizo. b. La fuerza que el cochecito ejerce sobre la pista cuando se halla en el punto B (un cuarto del ri zo)
8.- (17.67) El par de bloques representado en la figura está conectado mediante un hilo inextensible y sin peso. El resorte tiene una constante k = 1200 N/m y una longitud natural lo = 30 cm. El rozamiento es despreciable. Si se suelta el sistema a partir del reposo cuando x = 0, determinar a. La celeridad de los bloques cuando x = 10 cm. b. El máximo desplazamiento x que alcanzará en el ulterior movimiento.
9.- (17.79) En un almacén de carga, los paquetes descienden por una rampa y caen al suelo según se indica en la figura. El R. C, Gil Aguilar
coeficiente de rozamiento entre paquete y rampa es μk = 0,40 y θ = 20o . Si un paquete
pesa 25 N y lleva una celeridad de 2,4 m/s en A, determinar a. La celeridad del paquete cuando llega al suelo. b. La distancia d entre el pie de la rampa y el punto en que el paquete incide sobre el suelo.
10.- (17.81) Un bloque que pesa 50 N está unido a un resorte de k = 800 N/m y longitud natural lo = 45 cm, según se indica en la figura. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre el bloque y el piso horizontal valen 0,5 y 0,4, respectivamente. Si el bloque tiene una velocidad inicial de 2,1 m/s cuando el resorte está indeformado, determinar la posición x a la que se detendrá el bloque y la fuerza F s del resorte en esta posición en el caso en que a. El movimiento inicial vaya hacia la izquierda. b. El movimiento inicial vaya hacia la derecha.
11.- (17.82) En un juego de habilidades, los jugadores hacen que se deslicen monedas Página 102
FISICA I por una superficie de madera, según se indica en la figura. Para ganar, la moneda ha de detenerse entre las líneas C y D de la superficie inferior. El coeficiente de rozamiento entre las monedas de 5 g y el suelo vale 0,2, las aristas son bruscas pero lisas y el punto desde el cual el jugador hade soltar la moneda se halla a 1 m de la arista B. Determinar el campo de velocidades iniciales correspondientes a tiros ganadores.
3.- (14.19).- Determine la altura h de la rampa D a la que llegará el carro de 200 kg de la montaña rusa, si se lanza en B con una rapidez apenas suficiente para que llegue a la parte superior del rizo en C sin que pierda el contacto con los rieles. El radio de curvatura en C es
.
Tercera Parte 1.- (14.5) El bloque de 1.5 kg se desliza a lo largo de un plano liso y choca con un resorte no lineal con una rapidez de . El
/
resorte se denomina “no lineal” porque su
resistencia es , donde k = 900 2 N/m . Determine la rapidez del bloque después de que comprime el resorte s = 0.2 m.
2.- (14.7).- El bloque de 6 lb se suelta del punto de reposo en A y se desliza hacia debajo de la superficie parabólica lisa. Determine la compresión máxima del resorte.
R. C, Gil Aguilar
4.- (14.21).- La bola de 0.5 kg cuyo tamaño no importa, se lanza hacia arriba de la rampa circular vertical lisa por medio de un émbolo de resorte. Éste mantiene el resorte comprimido 0.08 m cuando s = 0. Determine qué distancia se debe jalar s y soltar de modo que la bola comience a perder el contacto con la rampa cuando .
Página 103
FISICA I
5.- (14.25) El esquiador parte del punto de reposo en A y desciende por la rampa. Si la fricción y resistencia del aire puede omitirse, determine su rapidez cuando llega a B. Además, determine la distancia s donde hace contacto con el suelo en C, si salta cuando se desplaza horizontalmente en B. Ignore la estatura del esquiador. Su masa es de 70 kg.
7.- (14.29) El hombre de 120 lb actúa como bala de cañón humana al ser disparado con el cañón que es accionado por el resorte que se muestra. Si la aceleración máxima que puede experimentar es , determine que rigidez requiere el resorte, el cual se comprime 2 pies en el momento del disparo. ¿Con qué velocidad saldrá del cañón, cuando el cañón se dispare?. Cuando el resorte se comprime , entonces ignore la fricción y suponga que el hombre se mantiene en una posición rígida durante todo el movimiento.
10 8 , 2 8 ,
322/
6.- (14.28) Las montañas rusas se diseñan de modo que los usuarios no experimentan una fuerza normal de más de 3.5 veces su peso contra el asiento del carro. Determine el radio de curvatura mínimo de la rampa en su punto más bajo si la rapidez es de 5 pies/s en la cresta de la caída. Ignore la fricción.
BIBLIOGRAFIA R. C. HIBBELER Ingeniería Mecánica DINÁMICA Decimosegunda Edición 2010
R. C, Gil Aguilar
Página 104
FISICA I
Capítulo
12
Impulso Cantidad de Movimiento Lineal
“Conservación de la Cantidad de Movimiento”
La cantidad de movimiento de un sistema de partículas es constante, cuando la impulsión de las fuerzas externas es nula.
12.1 Impulso.- Es la fuerza que actúa por unidad de tiempo durante un choque entre dos cuerpos. 12.2 Cantidad de Movimiento.-Es el producto de la masa por el vector velocidad durante una colisión de dos cuerpos. 12.3 Colisión.- es la colisión simultánea entre dos o más cuerpos durante un tiempo muy pequeño. Este choque puede ser frontal si la dirección y línea de acción del vector velocidad de ambas partículas son coincidentes (Ver Fig.12.1) o puede ser perpendicular como en la Fig.12.2
Fig. 12.2
Fig. 12.1
12.4 Coeficiente de Restitución (e).- Se le llama así a la relación entre la velocidad relativa de las partículas después del choque, y la velocidad relativa antes del choque, se le denomina coeficiente de restitución “e”
e
v A2 - v B2 v A1 - v B1
(12.1)
Evidentemente, para un choque elástico e = 1 y para choque inelástico e = 0
12.5 Colisión Elástico (e = 1) Un choque elástico en un sistema aislado es aquel en el que se conserva la energía cinética (además de la cantidad de movimiento). Ver Fig. 12.3
Fig. N° 12.3 R. C, Gil Aguilar
Página 105
FISICA I Estos choques ocurren cuando las fuerzas entre los cuerpos que chocan son conservativas, si chocan dos bolas de acero, se aplastan insignificantemente cerca del punto de contacto, pero luego rebotan. Parte de la energía cinética se almacena temporalmente como energía potencial elástica, pero al final se convierte en energía cinética. Examinemos un choque elástico entre dos cuerpos A y B. Como el de la Fig.12.3 Llamemos v A1 y v B1 a las componentes x de las velocidades antes del choque, y v A2 y v B2 después del choque.
Por la conservación de la energía cinética tenemos. 1
1
2
2
m A v A1
2
1
2
m B v B1
2
m A v A2
2
1
2
(12.2)
2
m B v B2
y para la conservación de la cantidad de movimiento da mA v A1 mB v B1
mA v A2
mB v B2
(12.3)
Si conocemos las masas y las velocidades iniciales, podemos resolver la ecuaciones simultaneas para obtener las velocidades finales v A2 y vB2 . Esta solución es complicada, así que nos concentraremos en el caso especial en que el cuerpo B esta en reposo antes del choque. Para tal efecto consideremos entonces la siguiente Fig. 12.4
Fig. N° 12.4 Ahora las ecuaciones para la conservación de la energía cinética y de la cantidad de movimiento se convierte en 1 2
mAv
1
2
mA v
2
1
2
mA vA
mA vA
2
2
mBvB
(12.4)
mB vB
(12.5)
Multiplicando por 2 a la ecuación (4) se tendrá mA v 2
mA v 2A
(12.6)
mB v 2B
Factor izando mA en la ec (6): 2
mB v B
2
2
mA v - mA v A 2
mBvB
2
2
mA v - vA
mA v - vA
v v A
mA v - v A
v v A
(12.7)
Ahora trabajando con ec (5) R. C, Gil Aguilar
Página 106
FISICA I mA v
mA v A
mBvB
=
mA v - mA vA
=
mB vB
mB vB
(12.5)
mA v - vA
mA v - vA
(12.8)
Dividiendo ec(7) y ec (8) 2
mBvB mBvB
v v v - v
mA v - vA
VB VVA
mA
A
Donde finalmente nos queda
A
(12.9)
Sustituimos esto en ec (8) para eliminar vB y luego despejamos vA: mB (v + vA) = mA (v – vA) vA
mA - mB mA
mB
v
(12.10)
Por Último, sustituimos este resultado en Ec. (9) vB
12.6
2m A mA
mB
v
(12.11)
Colisión Inelástico (e = 0)
En este tipo de choque los cuerpos quedan adheridos uno sobre otro como en la Fig. 12.5
Fig. N° 12.5 La conservación de la cantidad de movimiento:
mA vA
mB v B
mA mB v
Donde se puede despejar la velocidad común v de las dos partículas
V +
R. C, Gil Aguilar
(12.12)
Página 107
FISICA I 12.7.- Principio de Impulso y cantidad de movimiento lineal En ésta sección integraremos la ecuación de movimiento con respecto al tiempo para obtener el Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento.
∑ ∑ ∫ ∫
Integrando esta ecuación será o también
∑ ∫
Esta ecuación se conoce como Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento Lineal. Esta ecuación proporciona un método directo de obtener la velocidad final de la partícula después de un lapso de tiempo conocido cuando la velocidad inicial se conoce y las fuerzas que actúan en ella son constantes. Cantidad de Movimiento Lineal
∫ ∫ Impulso Lineal
Si la fuerza se expresa en función del tiempo se desarrolla la integral y si es constante en cuanto en magnitud y dirección el impulso resultante es: Para resolver problemas la ecuación principio de impulso y cantidad de movimiento se escribirá:
Esto expresa. La cantidad de Movimiento inicial más la suma de todos los Impulsos aplicados a la partícula es igual a la Cantidad de movimiento Final de la partícula. Ejemplo 12.1.- La piedra de 100 kg que se muestra en la figura está originalmente en reposo sobre la superficie horizontal lisa. Si se aplica una fuerza de remolque de 200 N, que actúa a un ángulo de 45 0, a la piedra durante 10 s, determine la velocidad final y la fuerza normal que la superficie ejerce en la piedra durante este intervalo. Solución Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento
∑ ∫ . / R. C, Gil Aguilar
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FISICA I
∑ ∫
, / .
Ejemplo 12.2.- En el embalaje de 50 lb, actúa una fuerza de magnitud variable donde t está en segundos. Determine la velocidad del embalaje 2s después de que se aplica P. La velocidad inicial es hacia abajo del plano y el coeficiente de fricción cinética entre el embalaje y el plano es
Solución.
Principio de Impulso y Cantidad de Movimiento.
∑ ∫ . . / ./ .. . ../ La ec. De equilibrio puede aplicarse en el eje y
Al resolver:
R. C, Gil Aguilar
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FISICA I PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 12 TEMA: Impulso Cantidad de Movimiento Lineal Primera Parte 1. Una esfera A de 1 Kg. de masa parte del reposo, desde una altura de 10 m, luego se produce un choque perfectamente elástico con la esfera B de 2 Kg. de masa, el conjunto se desplaza y comprime al resorte. Si la constante elástica del resorte es 300 N/m. Calcular. a) La velocidad de A instantes antes del choque b) La velocidad del sistema después del choque c) La longitud de compresión del resorte (x).
masa del conjunto (m + M) se desplaza hasta una altura h. Encuentre la velocidad de la bala en función de m, M y H.
a) m M m
d) m M m
a) 2 m/s; 4 m/s; 4 m b) 1 m/s; 5 m/s; 6m c) 3 m/s; 6 m/s; 5 m d) 9 m/s; 8 m/s; 2m e) N.A 2. En la figura mostrada el bloque A es lanzado horizontalmente y choca con una esfera B que se encuentra en reposo, después del choque la esfera sube hasta una altura de 20 cm. ¿Calcular la energía antes y después del choque?
b)
2gh
gh
e) M m
m M c) 2gh m
2Mgh m
2gh
4. Se dispara una bala de 20 gr. en dirección horizontal hacia el bloque A, y se introduce en el bloque B. La bala comunica a los bloques A y B velocidades de 5m/s y 4m/s respectivamente. Calcular: a) La velocidad inicial v0 de la bala. b) La velocidad de la bala en el espacio comprendido entre ambos bloques.
a) 854 m/s; 604 m/s b) 850 m/s; 800 m/s c) 660 m/s; 229 m/s d) 544 m/s; 504 m/s e) N.A
a) 16 J; 11 J d) 28 J; 17 J
b) 26 J; 10 J c) 40 J; 14 J e) N.A
3. Una bala de masa m se dispara contra un bloque de masa M como se muestra en la figura. Después de la colisión, el centro de R. C, Gil Aguilar
5. El bloque A de la figura es de 1 Kg. y el bloque B de 2 Kg. se obliga a los bloques a aproximarse comprimiendo el resorte de constante k situado entre ellos. El sistema se abandona partiendo del reposo sobre una superficie horizontal lisa. El resorte no está sujeto a ninguno de los bloques; se desprende y cae a la superficie una vez extendido. El bloque B adquiere una Página 110
FISICA I velocidad de 0,5 m/s. ¿Qué cantidad de energía potencial elástica se halla almacenada en el resorte comprimido?
a) 0,75 J d) 0,30 J
b) 0,50 J e) N.A
c) 0,40 J
6. En la figura mostrada, la pista es lisa, las masas (m y M) están inicialmente en reposo y el choque es elástico. Si M m Calcular: a) La altura alcanzada por el bloque de masa “M”, después del choque
b) La altura alcanzada por el bloque de masa “m”, después del choque.
a) h M b) h M c) h M
2
2
m - M H ; hm H m M m M 4m
m
2
m M
H;
2
0,31 m 0,22 m 0,44 m 0,65 m
8. Se efectúa un disparo contra un bloque de 5 Kg.; la bala de 20 gr. tiene una velocidad de 600 m/s. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie de apoyo es de 0,30. Calcular: a) El desplazamiento del bloque b) El porcentaje de la pérdida de energía cinética debida al rozamiento entre el bloque y la superficie.
m - M H m M 3
2
m - M d) h H ; h m 2 H m M m M e) N.A 4m
a) 2,5 m/s; 4N; b) 1,5 m/s; 5N; c) 5,5 m/s; 6N; d) 6,8 m/s; 9N; e) N.A
hm
m - M H ; hm H m M m M 2m
a) La velocidad de B inmediatamente después del choque. b) La tensión máxima que soporta el hilo del que pende B. c) La altura máxima a que se levantará B.
a) 0,97 m; 0,4% c) 0,87 m; 0,9% e) N.A
b) 0,68 m; 0,6% d) 0,26 m; 0,8%
M
7. Se deja en libertad el bloque A en la posición mostrada, y desliza sin fricción, hasta chocar con la bola B. Sabiendo que e = 0,90 (Coeficiente de restitución) Calcular:
R. C, Gil Aguilar
9. Se muestra un péndulo balístico para medir la rapidez de una bala. La bala, con masa m, se dispara contra un bloque de madera de masa M que cuelga como un péndulo, y tiene un choque totalmente inelástico con el. Depuse del impacto, el bloque oscila hasta una altura máxima “y”.
Dados los valores de y, m y M. ¿Qué rapidez inicial v0 tiene la bala en? Página 111
FISICA I a) d)
a) c)
mM m mM 2m
2gy
b)
gy
d)
mM m mM 3m
gy 5gy
e) N.A 10. Una bala de 10,0 g se incrusta en un bloque de 0,990 Kg. que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción sujeto a un resorte espiral. El impacto comprime el resorte 15,0 cm. La calibración del resorte indica que se requiere una fuerza de 2,00 N para comprimirlo 0,250 cm. Calcule: a) La rapidez del bloque justo después del impacto. b) ¿Qué rapidez tenia inicialmente la bala?
2 mv t 2mv 5t
b)
mv t
c)
mv 2t
e) N.A
12. Una bala pesa 0,01 lb. Se dispara horizontalmente contra un bloque de madera de 4 lb., que está en reposo en una superficie horizontal. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es 0,20 la bala se encaja en el bloque que se mueve 6 pies. ¿Encontrar la velocidad de la bala?
a) 3 510 pies/s b) 3 620 pies/s c) 8 522 pies/s d) 7 518 pies/s e) N.A
Segunda Parte
a) 2,5 m/s; 4 m/s c) 5,5 m/s; 4 m/s e) N.A
b) 1,5 m/s; 2 m/s d) 6,8 m/s; 9 m/s
11. Una bola de masa m y velocidad v, pega contra una pared perpendicular y rebota sin disminuir su velocidad. Si el tiempo que dura el choque es t. ¿Cuál es la fuerza ejercida por la bola sobre la pared?
R. C, Gil Aguilar
1.- (15.2) El “jump jet” de 12 Mg es capaz de despegar verticalmente desde la cubierta de un buque. Si sus turborreactores ejercen una fuerza vertical constante de 150 kN en el avión, determine su velocidad y qué tan solo sube en t = 6 s, a partir del punto de reposo. Ignore la pérdida de combustible durante el despegue.
Página 112
FISICA I 2.- (15.4) El tractor nivelador de 28 Mg originalmente está en reposo. Determine su rapidez cuando t = 4 s si la tracción horizontal F varía con el tiempo como se muestra en la gráfica.
3 2
3.- (15.8) El jeep de tracción en las cuatro ruedas de 1.5 Mg se utiliza para empujar dos embalajes idénticos, cada uno de 500 kg de masa. Si el coeficiente de fricción estática entre las llantas y el suelo es, , determine la rapidez máxima posible que el jeep puede alcanzar en 5 s, sin que las llantas patinen. El coeficiente de fricción cinética entre los embalajes y el suelo es
0.6 0.3
4.- (15.9) El buque tiene una masa de 130 Gg. Si originalmente está en reposo, determine su rapidez cuando, t = 10 s. El empuje horizontal provisto por su hélice varía con el tiempo como se muestra en la gráfica. Ignore el efecto de la resistencia del agua.
R. C, Gil Aguilar
5.- (15.10) El gabinete de 20 lb se somete a la fuerza , donde t está en segundos. Si el gabinete inicialmente se mueve hacia abajo del plano con una rapidez de 6 pies/s, determine cuánto tiempo le lleva a la fuerza detener el gabinete. F siempre actúa paralela al plano.
6.- (15.13) El ensamble del elemento de combustión de un reactor nuclear pesa 600 lb. Suspendido en posición vertical de H e inicialmente en reposo, se le imparte una velocidad hacia arriba de 5 pies/s en 0.3 s. Determine la tensión promedio en los cables AB y AC durante este intervalo.
Página 113
FISICA I
7.- (15.31) La combinación de motor y cable que se muestra en la figura sube el bloque de 50 kg por el plano inclinado. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es, Si el bloque inicialmente se mueve hacia arriba por el plano a y en este instante el mtor desarrolla una tensión en la cuerda de , donde está en segundos, determine la velocidad del bloque cuando .
0.4 2 / (300120 √ ) 2
0
BIBLIOGRAFIA
R. C. HIBBELER Ingeniería Mecánica DINÁMICA Decimosegunda Edición 2010
R. C, Gil Aguilar
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