Ejercicios de engranajes
Determínese el paso diametral de de un par de engranes cuya distancia entre los centros es de 0,3625 pulg. Los engranes tienen, respectivamente, 32 y 84 dientes.
1.
d 1
=
d 2 pd
32 84 N 1
=
d1
y
d 1
d 2
=
2
32
=
+
=
0, 2
0,36 ,3625 pu lg.
160 dientes
d 1=0,2 pulg.
d 2=0,525 pulg.
pu lg .
Encuéntrese el número de dientes y el paso circular de un engrane con un diámetro de paso de 6 pulg. y cuyo paso diametral es 9. 2.
N
=
Pc
=
pd ⋅ d π
=
dientes. 9 ⋅ 6 = 54 dientes
=
π
0, 35 35 pu lg .
=
9
pd
Determnese el m!dulo de un par de engranes cuya distancia entre los centros es de 5"mm. #os engranes tienen 1" y $0 dientes, respecti%amente.
3.
d 1
=
d 2
18 40
d 1
m=
d1
y
=
N 1
+
d 2
2
36
=
18
2 mm
=
58 mm.
d 1=&6 mm.
d 2="0 mm.
diente.
4. Encuéntrese el número de dientes y el paso circular de un engrane cuyo diámetro es de 200mm, si
el m!dulo es "mm por diente.
d
N
=
Pc
=
=
200
m
8
π ⋅m
→
=
25 dientes.
Pc
=
π ⋅ 8 = 25.1 mm
5. '(uáles son el paso diametral y el diámetro de paso de un engrane de $0 dientes cuyo paso circular
es de &,5 pulg)
pd
d
=
π P c
=
N
π
=
=
3,5 =
pd
40 0,9 0, 9
0,9 0, 9 dientes
=
pu lg. lg .
44, 4 pu lg .
6. #os diámetros de paso de un par de engranes acoplados son & * y " + pulg. respecti%amente. i el
paso diametral es 16, '(uántos dientes -ay -ay en cada engrane)
N1
=
pd ⋅ d1
=
16 ⋅ 3, 5 = 56 dientes dientes.
N 2
=
16 ⋅ 8, 25 = 132 dientes pd ⋅ d 2 = 16 dientes.
7. Encuéntrese el m!dulo y el diámetro de paso de un engrane cuyo paso circular es de $0mm, si el
engrane tiene &6 dientes.
P c
m=
d
=
40
=
π
12,73 mm
=
π
N ⋅m
=
40
=
π
diente.
458, 3 mm.
8. #os diámetros de paso de un par de engranes son de 60 y 100 mm, respecti%amente. i el m!dulo es
2.5 mm por diente, 'cuántos dientes -ay en cada engrane)
N1
=
d 1
=
m
60
=
2,5
24 dientes.
N 2
=
d 2
=
m
100
=
2,5
40 dientes.
9. '(uál es el diámetro de un engrane de && dientes si el paso circular es de 0,"5 pulg)
pd
d
=
π
N
=
0,875
P c
=
π
=
33
=
pd
=
3,59
3,59 dientes
pu lg.
9,19 pu lg .
10. /n ee sostiene un engrane de &0 dientes con paso diametral de &, el cual impulsa a otro engrane
a una %elocidad de $"0 rpm. ' ué %elocidad gira el engrane de &0 dientes si la distancia entre los centros de los ees es de 9 pulg)
d1
=
N 1
=
pd
ω 1
=
30
=
3
d 2
ω 1
→
d 1
ω 2
d1 + d 2
10 pu lg .
=
=
2
480
8 10
=
9 pu lg .
d2
→
=
8 pu lg.
384 rpm.
11. Dos engranes ue tienen una ra3!n de %elocidades angulares de &41 están montados sore ees
cuyos centros están separados 1&6 mm. i el m!dulo de los engranes es $ mm, 'cuántos dientes tiene cada engrane)
d1 + d 2
=
2 N1
=
d 1
136 mm
=
m
68 4
=
1
=
3
d 1
d1
→
d 2
17 dientes.
N 2
=
d 2
=
68 mm
=
m
204 4
d2
=
=
204 mm
51 dientes.
12. /n engrane ue tiene un m!dulo de $mm por diente y 21 dientes impulsa a otro cuya %elocidad es
de 2$0 rpm. '(on ué rapide3 gira el engrane de 21 dientes si la distancia entre los centros de los ees es de 156 mm)
d1
=
N1 ⋅ m
=
21 ⋅ 4 = 84 mm.
d1 + d 2
2
=
156 mm
→
d2
=
188 mm
ω 1
=
d2
ω1
→
d1
ω 2
=
ω 2
d 2
=
d 1
240
188
=
84
537 rpm.
13. /n pi!n de 2$ dientes con un paso diametral de $ dee impulsar a un engrane de &6 dientes. #os
engranes se cortan en el sistema de in%oluta de 207 y altura completa. (alcúlese y taúlese el addendum, el dedendum, la -olgura, el paso circular, el espesor del diente y los diámetros de los crculos de ase8 asimismo, las trayectorias de aproimaci!n, retroceso y acci!n8 as como la ra3!n de contacto y el paso de ase.
Addendum = 1
pd
=
Dedendum = 1,25
0, 25 pu lg .
pd
=
0, 31 pu lg .
:olgura = 0,&1;0,25 = 0,06 pulg.
Pc
t
π
=
=
P c
=
0,78
2
d1
=
=
4
pd
=
π
=
0, 39 pu lg .
=
6 pu lg.
2
N 1
=
pd
24 4
rb1 = rp1 ⋅ cos ϕ
→
rb1 = 6 rb 2
=
( r1 + a )2 − rb21
ua
=
( r2 + a )2 − rb22
=
ua
+
pb
ur
=
=
9
d2
2 2
=
=
N 2
Pc cos φ = 0, 78 ⋅ cos 20 = 0, 73 pu lg .
=
pd
36 4
9 pu lg .
cos 20º = 2.82 pu lg.
→
⋅
cos 20º = 4, 23 pu lg.
→
r senϕ
− 1⋅
→
r senϕ
− 2⋅
0,62 + 0,59
=
→
db1 = 5, 64 pu lg .
db 2
=
8, 46 mm
2 u r = ( 3 + 0, 25 ) − 2, 82 2
1/ 2
0,73
=
⋅
1/ 2
ur
mc
Pb
0, 78 pu lg .
ua
=
1/ 2
−
( 4, 5 + 0, 25 ) 2 − 4, 23 2
3 ⋅ sen20º = 0, 59 pu lg .
1/ 2
−
4, 5 ⋅ sen20º = 0, 62 pu lg .
1,66
Un uego de engranes tiene un m!dulo de 5 mm por diente, es de dientes de altura completa y un "ngulo de presi!n de 22,5# , y tiene $% y 3$ dientes, respectivamente. &"gase un di'uo de los engranes presentando un diente de cada uno de ellos. (sese $ m para el addendum y $,35 m para el dedendum. &allar el addendum, el dedendum, la )olgura, el paso circular, el espesor del diente, el di"metro del circulo de 'ase, el paso de 'ase y la ra*!n de co ntacto. 14.
d 1
m=
Pc t
=
=
rb1
d1
→
N 1
π ⋅m
P c
2 =
=
→
15,71
=
=
5 ⋅19 = 95mm
=
=
7,85 mm.
→
d2
=
m ⋅ N2
=
5 ⋅ 31 = 155mm
π ⋅ 5 = 15.71mm
Pc
2
rp1 ⋅ cos ϕ
m ⋅ N1
rb1
=
rb 2
47.5 ⋅ cos 22, 5º = 43.88mm
→
77.5 ⋅ cos 22,5º = 71.6mm
→
=
87.77mm db1 = db 2
=
143.2mm
Diámetro círculo Addendum 1 = d1 + 2 ⋅ m ⋅ 1 = 95 + 2 ⋅ 5 = 105mm Diámetro círculo Dedendum 1 = d1 − 2 ⋅ m ⋅1,35 = 95 − 2 ⋅ 5 ⋅1,35 = 81,5mm
Diámetro círculo Addendum 2 = d 2 + 2 ⋅ m ⋅1 = 155 + 2 ⋅ 5 = 165mm Diámetro círculo Dedendum 2 = d 2 − 2 ⋅ m ⋅1, 35 = 155 − 2 ⋅ 5 ⋅1, 35 = 141, 5mm
Pb
=
Pc ⋅ cos ϕ
→
Pb
=
15.71⋅ cos 22, 5º = 14.51mm
Ho lg ura = m ⋅ (1,35 − 1) = 1, 75mm
ua + distancia de aproimaci!n. ur + distancia de retroceso. 2 ua = ( r1 + a ) − rb21
ur
=
1/ 2
( r2 + a ) 2 − rb22
r senϕ
− 1⋅
→
1/ 2
r senϕ
− 2⋅
→
ua
=
( 47, 5 + 5 ) 2 − 43, 88 2
2 u r = ( 77, 5 + 5 ) − 71, 6 2
1/ 2
−
47, 5 ⋅ sen22, 5º = 10, 64 mm
1/ 2
−
77, 5 ⋅ sen 22,5º = 11, 33mm
mc + ra*!n de contacto.
mc
=
ua
+
pb
ur
=
10, 64 + 11,33 14,51
=
1,51
-"lculo de la distancia de aproimaci!n y la distancia de retroceso.
'
d 1'
=
' 2
19
d '
d1
31 =
'
y
'
d1 + d 2 '
95, 76 mm
d2
=
=
95 + 155 + 2
156, 24 mm
Las circunerencias 'ases no cam'ian. /l nuevo "ngulo de presi!n es ϕ '
=
arc co s
r b1 d 1'
=
arc cos
2
43,88 95,76 2
=
23, 6º
15. /n engrane con un m!dulo de 10 mm tiene 1 dientes, un ángulo de presi!n de 207, un addendum
de 1.0 m y un dedendum de 1,25 m. Determnese el espesor de los dientes en el crculo de ase y el de addendum. '(uál es el ángulo de presi!n correspondiente al crculo de addendum)
d p
=
m⋅ N
raden
=
Pc
π ⋅m
=
rp
+
=
10⋅ 17 = 170 mm
rb
1 ⋅ m = 85 + 10 = 95 mm
→
Pc
=
rb
=
r
rp ⋅ cos ϕ
= aden ⋅
π ⋅10 = 31, 4 mm
t p
=
cos θ
P c
→
2
→
=
85 ⋅ cos 20º = 79.87 mm
θ = ar cos
→
tp
rb
=
r b
=
r aden
32, 7º
15,7 mm
/n el círculo adendo el espesor del diente es
Env (φ ) = tan φ − φ
→
Env (ϕ ) = tan ϕ − ϕ
→
t = 2⋅r ⋅(
t p
+
2 ⋅ r p
Env (φ ) = tan 20º − π Env (ϕ ) =
= 0, 0149 9 tan 32, 7º − 0,18 ⋅ π = 0, 072
15,7 + 0, 0149 − 0, 072) = 6, 69 mm Env(φ ) − Env (ϕ )) = 2 ⋅ 95 ⋅ ( 170
/n el circulo de la 'ase el espesor del diente es tb
=
2 ⋅ rb ⋅ (
t p 2 ⋅ r p
+
15,7 + 0, 0149 − 0) = 17,13 mm Env(φ ) − Env (ϕ )) = 2 ⋅ 79,87 ⋅ ( 170
16. /n pi!n de 15 dientes tiene 1,5 de paso diametral y dientes de altura completa de 207. (alcúlese
el espesor de los dientes en el crculo de ase. '(uáles son el espesor y el ángulo de presi!n en el crculo de addendum)
d p
N
=
=
pd
raden
=
Pc
π
=
rp
15
=
10 pu lg .
=
5+ 1 = 5, 67 pu lg rb 1, 5
1,5 1
+
pd
Pc
→
pd
=
rb
=
rp ⋅ cos ϕ
rb
→
r
= aden ⋅
π = 2,1 pu lg 1,5
t p
=
=
5 ⋅ cos 20º = 4, 7 pu lg
cos θ
P c
→
→
2
tp
θ = ar cos
=
r b r aden
=
34º
1, 05 pu lg
/n el círculo adendo el espesor del diente es
Env (φ ) = tan φ − φ Env (ϕ ) = tan ϕ − ϕ t = 2⋅r ⋅(
t p
→
→
Env (φ ) = tan 20º − π
=
9
0, 0149
Env (ϕ ) = tan 34º − 0,189 ⋅ π
=
0, 08
1,05 + 0, 0149 − 0, 08) = 0, 452 pu lg Env(φ ) − Env (ϕ )) = 2 ⋅ 5, 67 ⋅ ( 10
+
2 ⋅ r p
/n el circulo de la 'ase el espesor del diente es tb
=
2 ⋅ rb ⋅ (
t p
+
2 ⋅ r p
1,05 + 0, 0149 − 0) = 1,127 pu lg Env(φ ) − Env (ϕ )) = 2 ⋅ 4, 7 ⋅ ( 10
/n diente tiene un espesor de 0,"5 pulg. un radio de " pulg. un ángulo de presi!n de 257. '(uál es el espesor en el crculo de ase) 17.
rb
=
r ⋅ cos θ = 8 ⋅ cos 25º = 7, 25 pu lg
Env (φ ) = tan φ − φ Env (ϕ ) = tan ϕ tb
=
2 ⋅ rb ⋅ (
t p 2 ⋅ r p
+
−
ϕ
→
→
Env (φ ) = tan 25º − 5π
36
=
0, 0299
Env (ϕ ) = tan 0º − 0 = 0
Env (φ ) − Env (ϕ )) = 2 ⋅ 7, 25 ⋅ (
0,785
+
16
0, 0299 − 0) = 1,146 pu lg
18. /n diente tiene 1,5 pulg de espesor en el radio de paso de 16 pulg, y un ángulo de presi!n de 207
' ué radio se -ace puntiagudo el diente)
Env (φ ) = tan φ − φ
→
Env (φ ) = tan 20º − π
9
=
0, 0149
0 = 2 ⋅ rb ⋅ (
Env( ϕ ) =
t p
Env(φ ) − Env(ϕ ))
+
2 ⋅ r p
1,57
+
32
0, 0149
→
0=
tan ϕ − ϕ
=
t p
+
2 ⋅ r p
Env(φ ) − Env(ϕ )
0, 06396
→
ϕ
=
31, 65º
19. Disee un tren de engranes cilndricos rectos de tipo simple para una relaci!n de ;941 y paso
diametral de ". :aga el diseo e%itando inter>erencias. Especi>iue los diámetros de paso y el número de dientes.
1mero de dientes mínimo en pi!n para ue no se produ*ca intererencia. N P =
2k 2
(1 + 2m) sen φ
(m + m 2 + (1 + 2m) ⋅ sen 2φ ) =
2 ⋅1 2
(1 + 2 ⋅ 9) sen 20
(9 + 9 2 + (1 + 2 ⋅ 9) ⋅ sen 2 20) = 16,3
ara un pi!n con $6 dientes el nmero m"imo de dientes en engrane es de $0$ por lo ue tan solo nos permite una relaci!n de 6. &allemos el m"imo de dientes para un pi!n de $ dientes. /l mayor nmero de dientes de un engrane con un pi!n especiicado ue est" li're de intererencias es N G =
$%+$53 d piñón
=
N
N P 2 sen 2φ − 4 k 2 2 4k − 2 N P sen φ
17 2 sen 2 20 − 4(1) 2
=
2
=
1309 7suiciente
=
19,125 pu lg .
4(1) − 2 ⋅17 ⋅ sen 20
i!n de $ dientes y engrane de $53 =
17
pd
8
=
2,125 pu lg .
d engrane
=
N pd
=
153 8
20. Disee un tren de engranes cilndricos rectos de tipo compuesto, re%ertido, para una relaci!n de
&041 y paso diametral de 10. Especi>iue los diámetros de paso y el número de dientes.
Dividimos el tren en dos etapas con la misma relaci!n 30
=
no supera la relaci!n $0$ por lo tanto es suiciente con dos etapas.
5,47723
Una soluci!n puede ser una etapa de 6 y otra de 5 cuyas dimensiones son parecidas y se pueden adaptar a una caa de transmisiones. -omo el tren es de tipo revertido se )a de cumplir la igualdad r1 + r2
r
r
= 3 + 4 =
k
→
N1 + N 2
=
N 3 + N 4 = k
De la relaci!n de transmisiones tenemos
6 ⋅ N1
5 ⋅ N3
N 2
=
9ustituyendo en
=
N 4
N1 + N 2 = N3 + N 4 = k
7 ⋅ N1
→
=
y
k
6 ⋅ N3
=
k
9oluciones N1 = 6 N 3 N1
=
d1
=
d3
=
=
12 N 3
N 1
=
pd
7
=
N2
14
12
=
10
=
N2
36 =
N 4
72
35
=
N 4
1, 2 pu lg.
1, 4 pu lg .
=
/legimos la segunda soluci!n
70
d2
=
7, 2 pu lg .
d4
=
7 pu lg.
21. e desea conseguir, con ruedas cilndrico rectas, una relaci!n de transmisi!n n=221?1005. (alcular
la relaci!n de transmisi!n necesaria para otener, con una parea de ruedas de las disponiles, un error asoluto menor de 0,0001 respecto a la dada. @Aomar una precisi!n de " decimalesB.
ara )allar la relaci!n de transmisi!n con una parea de ruedas y un error a'soluto menor de $0 :4 se usa el m;todo de descomposici!n en racciones continuas )asta o'tener una reducida ue cumpla las especiicaciones.
R 1
=
E1
=
R 2
=
1
=
4
E2
=
R 3
=
i
−
+
i
−
R1
4
1
3
5
1005
221
121
100
21
16
5
1
121
100
21
16
5
1
0
0 , 2 1 99 00 4 9
=
=
1
1
i
=
5
−
0,25
=
0 , 0 3 00 9 95 1 > 1 0
−
4
0, 20
1
R2
=
−
+
R3
0 , 2 19 9 00 4 9 1
=
1
+
1 =
1
1 4
E3
1
0,25
1 4
4
1
4
+
1
=
2
−
=
9
0,20
=
0 , 0 1 99 0 04 9
>
10
−
4
)
0, 2
2
1 =
0 , 2 1 9 90 0 4 9
−
0 , 2 2 2 22 2 2
=
0 , 0 0 2 32 1 7 3
>
10
−
4
R 4
1
=
4
1
+
1
4
1
+
=
R 5
=
i
−
R4
1
0 , 2 1 9 90 0 4 9
=
=
1
+
−
11
−
0 , 2 1 9 51 2 1 9
=
0, 22
−
0, 2 2
=
0 , 0 0 0 38 8 3
>
10
−
4
1 4
i
5
1 1+
=
4
50
1+
E5
0, 2 1 9 5 1 2 1 9
=
41
4
1 4
+
9
=
1
+
1
1+
E4
1
=
R5
+
1 1
0 , 2 1 9 90 0 4 9
=
0 , 0 0 0 0 9 9 51
=
10
<
−
4
La racci!n ue cumple la especiicaci!n es $$=50 /legimos un pi!n de $$ dientes y un engrane de 50 dientes.
22. /n par de engranes -elicoidales paralelos tiene un ángulo de presi!n normal de 1$,57, 6 de paso
diametral y un ángulo de -élice de $57. El pi!n tiene 15 dientes y el engrane 2$. (alcúlese el paso circular trans%ersal y normal, el paso diametral normal, los diámetros de paso y los números eui%alentes de dientes.
p ct
N d
P
=
π
=
t d
P
π 6
P d t
=
=
t d
=
15
P
d engrane
=
=
cos 4 5º
N p iñ ó n
=
6
=
c o s ψ
d p iñ ó n
0 , 5 2 3 6 p u lg .
=
6
N e n g r a n e t d
=
P
24 6
N
p c
=
t p c c o s ψ
N
e p iñ ó n
8, 4 8
2 , 5 p u lg .
=
N
=
e engrane
0, 523 6 ⋅cos 45
=
N p iñ ó n 3
=
c o s ψ =
N e n g r a n e 3
c o s ψ
15 cos3 45º =
=
=
24 3
cos 45º
0 , 3 7 0 p u lg .
4 2 , 4 d ie n t e s .
=
6 7 , 8 d ie n te s.
4 p u lg .
23. /n par de engranes -elicoidales paralelos se cortan con un ángulo de presi!n normal de 207 y un
ángulo de -élice de &07. Aienen un paso diametral de 16 y, respecti%amente, 16 y $0 dientes. e dee encontrar el ángulo de presi!n trans%ersal, el paso circular normal, el paso aial y los radios de paso de los engranes rectos eui%alentes.
cosψ
=
tan φ n tan φ t
→
tan 20º φ t = arctgt cos 30º
=
22,8º
p ct
=
N
p c d1
1
re
π
=
P d t
N 1
16
=
t d
P
16 16
r 1
=
=
2
c o s ψ
d2
=
re2
=
N 2
=
t d
P
40 16
r 2
=
2
c o s ψ
0 ,1 9 6 ⋅ c o s 3 0
=
=
p c x
0 ,1 9 6 p u lg .
=
t p c c o s ψ
=
=
π
1 p u lg
0, 5 cos2 30º =
r1
→
=
=
2
cos 30 º
=
0,1 96
=
t a n ψ
0 , 3 4 p u lg .
=
cos 30 º
0 , 1 7 p u lg .
0 , 5 p u lg .
=
0 , 6 7 p u lg .
2 , 5 p u lg 1, 2 5
=
p ct
r2
→
=
1, 2 5 p u lg
1, 6 7 p u lg .
24. e %a a cortar un par de engranes -elicoidales para ees paralelos cuya distancia entre los centros
dee ser de aproimadamente &,5 pulg. para otener una ra3!n de %elocidades de 1," aproimadamente. #os engranes se deen cortar con una >resa maestra con un ángulo de presi!n estándar de 207 cuyo paso diametral es de ". (on un ángulo de -élice de &07, determnense los %alores trans%ersales del paso diametral y del circular, as como los números de dientes, los diámetros de paso y la distancia entre los centros.
d1 d 1
t
Pd
N 1
d 2
+
2 d 2 =
=
2
=
3 , 5 p u l g .
d1
2 , 5 p u lg .
d2
π
π
4 , 5 p u lg .
=
1, 8
n
p ct
P d ⋅ cosψ = 8 ⋅ cos(30) = 6, 93
=
=
Pd
⋅
d 1 = 6 , 9 3 ⋅ 2 , 5
=
1 7 d i e n te s .
=
=
t d
P
N
=
6,93 2
=
Pd
⋅
d2
0 , 4 5 3 p u lg .
=
6, 93 ⋅ 4, 5
=
3 1 d ie n te s .
25. /n pi!n -elicoidal de 16 dientes %a a girar a 1"00 rpm e impulsara a un engrane -elicoidal sore
un ee paralelo a $00 rpm. #os centros de los ees deen tener una separaci!n de 11pulg. /tili3ando un ángulo de -élice de 2&7 y un ángulo de presi!n de 207, determnense %alores para los números de dientes, diámetros de paso , paso circular y diametral normales.
n1
N 2
=
n2 d1 d 2
→
N 1 2 d 1
+
=
d 2
2
4, 5
=
N
2
=
1800 4 00
1 1 p u lg .
16
d1
=
=
72 dientes.
4 p u lg a d a s .
→
d2
=
1 8 p u lg a d a s .
Pd t =
N 1
n d =
P
N
p c
=
16
d 1
4
P d t
=
pct
4 dientes / pu lg .
4
=
cosψ
=
=
cos 23
t
p c c o s ψ
=
=
π
=
P d t
π
=
4
0, 78 pu lg .
4,34
0, 7 8 ⋅ co s 2 3
=
0 , 7 2 3 p u lg .
26. Croponer un tren de engranaes con una relaci!n de transmisi!n eacta de %alor i
=
769
2 36 0
(onsiderar ue ma = 5 y el número de dientes estará incluido en el rango 1" F 200.
Los trenes de engranaes epicicloidales son una 'uena )erramienta para conseguir relaciones de transmisi!n irreduci'les donde alguno de sus t;rminos presenta un valor primo superior al nmero m"imo de dientes admisi'les. /l nmero 6% es un nmero primo superior a los 200 dientes permitidos. 9e propone como soluci!n un tren epicicloidal simple.
/l tren epicicloidal simple tiene la primera rueda ia
ω a
=
0
µ a
=
ωs
µ =
−
ωb
µ
0 − ωb Z2 ⋅ Z4
−
=
Z1 ⋅ Z 3
Z 2 ⋅ Z 4
ω s ω b =
=
1 − µ a
⇒
Z 2 ⋅ Z 4
=
59 ⋅ 40
Luego 59 ⋅ 40 − Z1 ⋅ Z 3
=
59 ⋅ 40
769 2360
9e cumple la condici!n Z 1 Z2
=
43 59
<
5
Z 3 Z 4
=
37 40
<
5
⇒ 1591 = Z1 ⋅ Z 3
=
43 ⋅ 37
Z 1 Z 3 ⋅ − Z Z 4 2
1− −
769 2360
>actori*amos 2360 para 'uscar dos nmeros ue cumplan los reuisitos. Z2 ⋅ Z 4 = 2360
=
2360 = 23 ⋅ 5 ⋅ 59
27. En una planta industrial se utili3an tres reductores de %elocidad4
/n reductor consistente en un tren epicicloidal simple con una relaci!n de transmisi!n
µ
1
=
300
/n reductor consistente en un tren compuesto ordinario recurrente con una relaci!n de transmisi!n µ
=
1
30
En el primer montae diuar un tren epicicloidal simple recurrente y especi>icar el número de dientes de cada rueda, Gusti>icar por ué se pre>iere el tren epicicloidal a uno ordinario En el segundo montae se sae ue relaci!n entre los dos montaes es de m 2 ?m1 = 1,25. (alcular el número de dientes de cada rueda. Hota. Deido a condiciones de diseo4 #a relaci!n de transmisi!n de cada engrane indi%idual no puede sorepasar el %alor I= y el número máimo de dientes por rueda de F ma = 100 y el mnimo de F Jin = 1$.
/l tren epicicloidal permite con un nmero limitado de ruedas dentadas unas relaciones de transmisiones muy elevadas, ue para euipararlas con los trenes ordinarios )arían alta muc)os engranaes. /l tren epicicloidal simple tiene la primera rueda ia
ω a
=
µ a
=
µ a
=
0 ωs
−
ωb
µ
0 − ωb
299
=
300
ω s
=
ω b
=
1 − µ a ⇒ µ a
=
23 ⋅13 2 2 ⋅ 3 ⋅ 52
/l tren epicicloidal simple recurrente.
ara ue se cumpla la condici!n de recurrencia se de'e cumplir r1 + r2
r
r
= 3 + 4
→
m1
2
( Z1 + Z 2 ) =
m2
2
( Z 3 + Z 4 ) →
m2 m1
=
Z 1 + Z 2
Z 3 + Z 4
9ustituyendo /isten dos posi'les soluciones con la siguiente relaci!n de m!dulos. m2 m1
=
26 + 30 23 + 20
=
56 43
→
m2 m1
=
26 + 24 23 + 25
=
25 24
1−
1 300
=
299 300
ara o'tener una relaci!n de engrane de $=30 se puede utili*ar la siguiente relaci!n parcial µ =
1
=
30
1 1 ⋅
=
Z 1 Z 3
con lo ue
⋅
Z 2 Z 4
6 5
Z2
=
6 ⋅ Z1
y Z4
=
5 ⋅ Z3
-onociendo la relaci!n entre m!dulos se puede esta'lecer la siguiente relaci!n m2
Z1 + Z 2
=
m1
Z2
=
=
Z 1 + 6 ⋅ Z1
7 ⋅ Z1
=
Z 3 + 5 ⋅ Z 3
Z3 + Z 4
6 ⋅ Z 1
Z3
=
6 ⋅ Z3 7
=
7,5
⋅
1,25 ⇒ Z 3
Z 1
Z4
=
7
=
35 7,5
7,5 ⋅
⋅
Z 1
Z 1
&ay ue 'uscar un valor de ? $ ue cumpla las especiicaciones. La nica soluci!n posi'le es Z1 = 15
Z2
=
90
Z3
=
14
Z4
=
70
28. En una aplicaci!n industrial se desea conseguir, con ruedas cilndrico rectas, una relaci!n de
transmisi!n µ
=
22 1
1005
e pide4 •
(alcular el número de dientes de cada rueda para otener la relaci!n de transmisi!n dada con un tren de engranaes ordinario. Especi>icar la disposici!n de las ruedas y la condici!n ue dee cumplir para ue el tren sea recurrente. /tili3ar ruedas con un número de dientes mayor ue 1$.
•
Ktener la relaci!n de transmisi!n dada con un tren de engranaes epicicloidal de alancn y especi>icar el número de dientes de cada rueda.
•
(alcular la relaci!n de transmisi!n necesaria para otener, con una parea de ruedas de las disponiles, un error asoluto menor de 0,0001 respecto a la dada. @Emplear una precisi!n de " decimalesB
Hota. Deido a condiciones de diseo4 #a relaci!n de transmisi!n de cada engrane indi%idual no puede sorepasar el %alor I=5 y el número máimo de dientes por rueda de F ma = "0 y el mnimo de F Jin = 10.
>actori*amos el numerador y el denominador. µ = Z1 = 17
221
=
1005 Z2
=
67
13 ⋅17
=
3 ⋅ 5 ⋅ 67 Z 3
=
Z 1 Z 3 ⋅
Z 2 Z 4
13
Z 4
=
15
ara cumplir la condici!n de ruedas mayores ue $4 multiplicamos la ltima etapa por 2. Z1
17
=
r1 + r2
Z2 r
=
r
= 3 + 4
67
Z 3 m1
→
2
=
26
Z 4
( Z1 + Z 2 ) =
=
m2
2
30 m2
( Z 3 + Z 4 ) →
Z 1 + Z 2
=
m1
Z 3 + Z 4
-on lo ue la relaci!n de m!dulos es m2
=
m1
17 + 67
=
26 + 30
84 56
=
1,5
ara o'tener la relaci!n de transmisi!n para un tren epicicloidal utili*amos la !rmula de @illis. µ a
=
µ a
=
ωs
−
ωe
−
ωb ωb
1 1−
1
para ω s
=
1 1005
−
=
µ
1−
=
0 µa 221
0 − ωb
=
1
→
ω e − ωb
→
784
µ a
=
=
µa
1−
ω0
=
ωb
1 − µ
13 ⋅17 24 ⋅ 72
221
Una soluci!n sería Z1 = 13
Z2
=
28
Z 3
=
17
Z 4
=
28
Z 3
=
17
Z 4
=
49
A otra soluci!n sería Z1 = 13
Z2
=
16
Ber eemplo 2$.
29. Determinar la %elocidad de la rueda del tren epicicloidal de la >igura. aiendo ue la rueda 1 gira
a 2500rpm y ue4 F 1=&", F 2=$5, F &=$1, F $=&", F 5=&9, y F 6=$0
ω1 ⋅ z1 = −ω 2 ⋅ z2 ω2
ω
=− 1
z1
2500 ⋅
=−
z2
38
=−
1900
45
9
ω2 =ω b µa =
ω6 −ωb
→
0−ωb
ω 6 =10,97 rpm
µ a =1−
ω6 ωb
→
z ⋅ z 41⋅39 1 3 5 =1− = −0,05197 ω b z4 ⋅ z6 38⋅40 ω6
= −
30. El pi!n 1 del tren epicicloidal de la >igura gira a L6 %ueltas. e pide -allar las %ueltas ue gira la
rueda 1& y la relaci!n de transmisi!n ue proporciona el tren. F 1=&0, F 2=$0, F &=90, F $="0, F 5=&0, F 6=200, F = F "=50, F 9=&0, F 10=&0, F 11=60, F 12=90, F 1&=&0 50,
ω1 ⋅ z1 = −ω2 ⋅ z2
z 30 45 ω2 = ω3 = −ω1 1 = −6 ⋅ =− z2 40 10
ω2 ⋅ z2
=−
ω4 ⋅ z4
z ω4 = ω6 = −ω2 2 z4
ω5 ⋅ z5
=−
ω3 ⋅ z3
ω5
=
ωb
z ω3 3 z5
=−
=−
9 4
=
27 2
µ a
=
µ a
=
z6 ⋅ z9 z7 ⋅ z11 ω11 − ω b ω6 − ω b
ω 11 − 27
2 − 9 − 27 4 2 ω13 ⋅ z13 = −ω12 ⋅ z12 µ =
ω 13 ω 1
=−
108 6
ω 13 = −108 36
=−
=
=−
z6 ⋅ z9 z7 ⋅ z11
200⋅ 30 50⋅ 60
ω11 = ω 12
=
36
