PRACTICO 1 EJERCICIOS 1.1 En los problemas 1 a 8 establezca el orden de la ecuación diferencial ordinaria dada. Determine si la ecuación es lineal o no lineal, comparando con la ecuación. 1. 1 x y ' '4 xy '5 y cos x 2. x
d 3 y dy dx 3 dx
4
y0
3. t 5 y ( 4 ) t 3 y ' '6 y 0 4.
d 2u du u cos r u dr 2 dr
5.
d2y dy 1 dx 2 dx
6.
d 2R k 2 2 dx R
2
7. sen y ' ' ' cos y ' 2 x2 8. x 1 x x 0 3
En los problemas 9 y 10 establezca si la ecuación diferencial de primer orden dada es lineal en la variable dependiente comparándola don la primera ecuación dada en (7).
9. y 2 1 dx xdy 0 ; en y; en x
10. udv v uv ueu du 0 ; en v; en u
En los problemas 11 a 14, compruebe que la función indicada es una ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo I de definición adecuada para cada solución. 11. 2 y ' y 0 ; y e x 2
12.
dy 6 6 20 y 24 ; y e 20t dt 5 5
13. y ' '6 y '13 y 0 ; y e3 x cos 2 x
14. y ' ' y tan x ; y cos x ln sec x tan x
y x es una En los problemas 15 a18 compruebe que la función indicada solución explícita de la ecuación diferencial de primer orden dada. Proceda como en el ejemplo 2, considerando a simplemente como una función, dando su dominio. Después considere a como una solución de la ecuación diferencial, dando al menos un intervalo I de definición.
15. y x y ' y x 8 ; y x 4 x 2
16. y ' 25 y 2 ; y 5 tan 5 x
17. y ' 2 xy 2 ; y 1 / 4 x 2
18. 2 y ' y 3 cos x ; y 1 senx 1 / 2
En los problemas 19 y 20 compruebe que la expresión indicada es una solución implícita de la ecuación diferencial dada. Encuentre al menos una solución explícita y x en cada caso. Use alguna aplicación para trazar graficas para obtener la grafica de una solución explícita. Dé un intervalo I de definición de cada solución . 19.
dX 2X 1 X 11 2 X ; ln t dt X 1
20. 2 xydx x 2 y dy 0 ; 2 x 2 y y 2 1
En los problemas 21 a24 compruebe que la familia de funciones indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga in intervalo I de definición adecuado para cada solución. t
c1e dP P 1 P ; P 21. dt 1 c1et
22.
dy 2 xy 1 ; y e x dx
23.
d2y dy 4 4 y 0 ; y c1e 2 x c2e 2 x 2 dx dx
24. x 3
2
x
0
2
et dt c1e x
2
2 d2y dy 1 2 2 d y 2 x x y 12 x 2 ; y c1 x c2 x c3 x ln x 4 x 3 3 dx dx dx
25. Compruebe que la función definida en tramos
x 2
y
x 2
,x 0 ,x 0
Es una solución de la ecuación diferencial xy '2 y 0 en , .
26. En el ejemplo 3 vimos que
y 1 x 25 x 2
soluciones de dy / dx x / y en el intervalo definida en tramos
25 x2
y
25 x2
5,5 .
y
y 2 x 25 x 2
son
Explique por qué la función
,5 x 0 ,0 x 5
No es una solución de la ecuación diferencial en el intervalo 5,5 .
En los problemas 27 a30 determine los valores de m tales que la función y e mx sea una solución de la ecuación diferencial dada. 27.
28.
29.
30.
En los problemas 31 y 32 determine los valores m tales que la función una solución de la ecuación diferencial dada. 31. xy ' '2 y ' 0
32. x 2 y ' '7 y '15 y 0
sea
En los problemas 33 a 36 use el concepto de que y c , x , es una función constante si y solo si y ' 0 para determinar si la ecuación diferencial tiene soluciones constantes. 33. 3 xy '5 y 10
34. y ' y 2 2 y 3
35.
y 1 y ' 1
36. y ' '4 y '6 y 10
En los problemas 37 y 38 compruebe que el par de funciones indicado es una solución del sistema dado de ecuaciones diferenciales en el intervalo , . 37.
dx x 3y dt dy 5x 3 y ; dt
x e 2 t 3e 6t , y e 2 t 5e 6 t
38.
d 2x 4 y et dt 2 d2y 4 y et ; dt 2 x cos 2t sen2t
1 t e 5
y cos 2t sen 2t
1 t e 5
Problemas para analizar 39. Construya una ecuación diferencial que no tenga ninguna solución real.
40. Construya una solución diferencial que usted asegure tenga una solución trivial y 0 . Explique su razonamiento.
41. ¿Qué función conoce de cálculo tal que su primera derivada sea ella misma? ¿Qué su primera derivada sea un múltiplo constante k de ella misma? Escriba cada respuesta en la forma de una ecuación diferencial de primer orden con una solución.
42. ¿Qué función conoce de cálculo tal que su segunda derivada sea ella misma? ¿Que su segunda derivada sea el negativo de ella misma? Escriba cada respuesta en la forma de una ecuación diferencial de segundo orden con su solución.
43. Dado que y senx es una solución explicita de la ecuación diferencial de dy 1 y 2 , encuentre un intervalo de definición I. [Sugerencia: I no dx es el intervalo , .] primer orden
44. Analice por qué intuitivamente se supone que la ecuación diferencial lineal y ' '2 y '4 y 5sent tiene una solución de la forma y Asent B cos t donde A y B son constantes. Después determine las constantes específicas A y B tales que y Asent B cos t es una solución particular de la ED.
En los problemas 45 y 46 la figura dada representa la gráfica de una solución implícita G x, y 0 de una ecuación diferencial dy / dx f x, y . En cada caso la relación G x, y 0 implícitamente define varias soluciones de la ED. Reproduzca cuidadosamente cada figura en una hoja. Use lápices de diferentes colores para señalar los tramos o partes, de cada gráfica que corresponda a las gráficas de las soluciones. Recuerde que una solución debe ser una función y derivable. Utilice la curva solución para estimar un intervalo de definición I de cada solución . 45.
46.
47. Las gráficas de los miembros de una familia uni-paramétrica x 3 y 3 3cxy se folium de Descartes. Compruebe que esta familia es una solución implícita de la ecuación diferencial de primer orden
dy y y 3 2 x 3 dx x 2 y 3 x 3
48. La gráfica de la figura 1.1.6 es el miembro de la familia de folium del problema 47 correspondiente a c 1 . Analice: ¿cómo puede la ED del problema 47 ayudar a determinar los puntos de la gráfica de x 3 y 3 3 xy donde la recta tangente es vertical? ¿Cómo saber dónde una recta tangente que es vertical ayuda a determinar un intervalo I de definición de una solución de la ED? Lleve a cabo sus ideas y compare con sus estimaciones de los intervalos en el problema 46.
49. En el ejemplo 3, el intervalo I más grande sobre el cual las soluciones explícitas y 1 x y y 2 x se encuentran definidas en el intervalo abierto 5,5 . ¿Por qué I no puede ser el intervalo cerrado I definido por 5,5 ?
50. E n el problema 21 se da una familia uni-paramétrica de soluciones de la ED P’=P(1-P). ¿Cualquier curva solución pasa por el punto 0,3 ? ¿Y por el punto 0,1 ?
EJERCICIOS 2.1 En los problemas 1 a4 reproduzca el campo direccional dado generado por computadora. Después dibuje a mano, una curva solución aproximada que pase por cada uno de los puntos indicados. Utilice lápices de colores diferentes para cada curva solución. 1.
dy x2 y2 dx a)
y 2 1
c) y 0 2
2.
2 dy e 0.01 xy dx a) y 6 0
b) y 3 0 d) y 0 0
b) y 0 1
c) y 0 4
3.
dy 1 xy dx a) y 0 0 c) y 2 2
d) y 8 4
b) y 1 0 d) y 0 4
4.
dy senxcos y dx
a) y 0 1 b) y 1 0 c) y 3 3
d) y 0
5 2
5. y ' x a) y 0 0 b) y 0 3
6. y ' x y a) y 2 2 b) y 1 3
7.
y
dy x dx
a) y 1 1 b) y 0 4
8.
dy 1 dx y
a) y 0 1 b) y 2 1
9.
10.
dy 0.2 x 2 y dx 1 a) y 0 2 b) y 2 1
dy xe y dx a) y 0 2 b) y 1 2.5
11. y ' y cos a) y 2 2 b) y 1 0
12.
x 2
dy y 1 dx x 1 a) y 2 2 3 b) y 0 2
En los problemas 13 y 14 la figura dada representa la gráfica de f ( y ) y de f (x ) , respectivamente. Dibuje a mano un campo direccional sobre una malla adecuada para dy / dx f x (problema 13) y después para dy / dx f y (problema 14). 13.
14.
15. En los incisos a) y b) dibuje isóclinas f x, y c (vea los comentarios de la página 37) para la ecuación diferencial dada usando los valores de c indicados. Construya un campo direccional sobre una malla dibujando con cuidado elementos lineales con la pendiente adecuada en los puntos elegidos de cada isóclina. En cada caso, utilice esta dirección para dibujar una curva solución aproximada para el PVI que consiste en la ED y en la condición inicial y 0 1 . a) dy / dx x y ; c un entero que satisface 5 c 5 1 9 b) dy / dx x 2 y 2 ; c , c 1, c , c 4 4 4
Problemas para analizar 16. a) Considere el campo direccional de la ecuación diferencial dy / dx x y 4 2 2 , pero no use tecnología para obtenerlo. Describa las pendientes de los elementos lineales en las rectas x 0, y 3, y 4 y y 5 . b) Considere un PVI dy / dx x y 4 2 2 , y 0 y0 , donde y0 4 . Analice, basándose en la información del inciso a), ¿sí puede una solución y x conforme x ?
17. Para el ED de primer orden dy / dx f x, y una curva en el plano definido por f x, y 0 se llama ceroclina de la ecuación, ya que un elemento lineal en un punto
de la curva tiene pendiente cero. Use un paquete computacional para obtener un campo direccional para obtener un campo direccional en una malla rectangular de 1 2 x 2 Analice el
puntos dy / dx x 2 2 y y después superponga la gráfica de la ceroclina y sobre
el
campo
direccional.
Analice
el
campo
direccional.
comportamiento de las curvas solución en regiones del plano definidas por y
1 2 x 2
1 2 x . Dibuje algunas curvas solución aproximadas. Trate de generalizar 2 sus observaciones. y por y
18.
a) Identifique las ceroclinas (vea el problema 17) en los problemas 1, 3 y 4. Con un lápiz de color, circule todos los elementos lineales de las figuras 2.1.11, 2.1.13 y 2.1.14, que usted crea que pueden ser un elemento lineal en un punto de la ceroclina. b) ¿Qué son las ceroclinas de una ED autónoma de primer orden?
19. Considere la ecuación diferencial de primer orden dy / dx y y 3 y la condición lineal y 0 y0 . A mano, dibuje la gráfica de una solución típica y x cuando y0 tiene los valores dados. a) y0 1 c) 1 y0 0
b) 0 y0 1 d) y0 1
20. Considere la ecuación diferencial autónoma de primer orden dy / dx y 2 y 4 y la solución inicial y 0 y0 . A mano, dibuje la gráfica de una solución típica y x cuando y0 tiene los valores dados. a) y0 1 c) 1 y0 0
b) 0 y0 1 d) y0 1
En los problemas 21 a 28 determine los puntos críticos y el esquema de fase de la ecuación diferencial autónoma de primer orden dada. Clasifique cada punto crítico como asintóticamente estable, inestable o semiestable. Dibuje a mano curvas solución típicas en las regiones del plano xy determinadas por las gráficas de las soluciones de equilibrio. 21.
dy y2 3y dx
22.
dy y2 y3 dx
23.
dy 4 y 2 dx
24.
dy 10 3 y y 2 dx
25.
dy y2 4 y2 dx
26.
dy y 2 y 4 y dx
29.
27.
dy y ln y 2 dx
28.
dy ye y 9 y dx ey
30.
Problemas para analizar 31. Considere la ED autónoma dy / dx 2 / y seny . Determine los puntos críticos de la ecuación. Proponga un procedimiento para obtener un esquema de fase de la ecuación. Clasifique los puntos críticos como asintóticamente estable, inestable o semiestable.
32. Un punto crítico c de un ED de primer orden autónoma se dice que está aislada si existe algún intervalo abierto que contenga a c pero no otro punto crítico. ¿Puede existir que ED autónoma de la forma dada en la ecuación (1) para la cual todo punto crítico no esté aislado? Analice no considere ideas complicadas.
33. Suponga que y x es una solución no estable de la ecuación diferencial
dy / dx f y y que c es un punto crítico de la ED. Analice. ¿Por qué no puede la
gráfica de y x cruzar la gráfica de la solución de equilibrio y c ? ¿Por qué no puede f y cambiar de signo en una de las regiones analizadas de la página 38? ¿Por qué no puede y x oscilar o tener un extremo relativo (máximo o mínimo)?
34. Suponga que y x es una solución de la ecuación autónoma dy / dx f y y está acotada por arriba y por debajo por dos puntos críticos consecutivos c1 c2 , como una región R2 de la figura 2.1.6b. Si f ( y ) 0 en la región, entonces lím x y x c2
. Analice por qué no puede existir un número L c2 tal que límx y x L . Como parte de su análisis, considere qué pasa con y’(x) conforme
x
.
35. Utilizando la ecuación autónoma (1), analice cómo se puede obtener información respecto a la ubicación de puntos de inflexión de una curva solución.
EJERCICIOS 2.2 En los problemas 1 al 22 resuelva la ecuación diferencial dada por separación de variables.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
En los problemas 23 a 28 encuentre una solución explicita del problema con valores iniciales dado. 23.
24.
,
,
25.
26.
27.
28.
,
,
,
,
En los problemas 29 y 30 proceda como en el ejemplo 5 y determine una solución explícita del problema con valores iniciales dado. 29.
,
30.
,
a) Encuentre una solución al problema con valores iniciales que consiste en la ecuación diferencial del ejemplo 3 y de las condiciones iniciales ,y
,y
.
Encuentre la solución de la ecuación diferencial en el ejemplo 4 cuando se utiliza como la constante de integración del lado izquierdo en la solución y 4 sustituye por en el inciso a).
se
. Después resuelva los mismos problemas con valores iniciales que
32. Encuentre una solución de
que pase por los puntos indicados.
a) b)
c)
d)
33. Encuentre una solución singular del problema 21 y del problema 22.
34. Demuestre que una solución implícita de
Está dada por
. Determine las soluciones constantes si se
perdieron cuando se resolvió la ecuación diferencial.
Con frecuencia, un cambio radical en la forma de la solución de una ecuación diferencial corresponde a un cambio muy pequeño en la condición inicial o en la ecuación misma. En los problemas 35 a 38 determine una solución explícita del problema con valores iniciales dado. Utilice un programa de graficación para dibujar la gráfica de cada solución. Compare cada curva solución en una vecindad de
.
35.
,
36.
,
37.
,
38.
,
39. Toda ecuación autónoma de primer orden soluciones explícitas
es separable. Encuentre las
de la ecuación diferencial
,
que satisfagan, respectivamente las condiciones iniciales y
. Utilice un programa de graficación para
cada solución. Compare estas gráficas con las bosquejadas en el problema 19 de los ejercicios 2.1. Dé el intervalo de definición exacto para cada solución.
40. a) La ecuación diferencial autónoma de primer orden
no tiene
puntos críticos. No obstante, coloque 3 en la recta de fase y obtenga un esquema de fase de la ecuación. Calcule
para determinar dónde las curvas solución
son cóncavas hacia arriba y dónde son cóncavas hacia abajo (vea los problemas 35 y 36 de los ejercicios 2.1). Utilice el esquema de fase y la concavidad para que, a mano, dibuje algunas curvas solucio típicas.
Encuentre las soluciones explícitas
de la ecuación diferencial
del inciso a) que satisfagan, respectivamente las condiciones iniciales y
. Trace la gráfica de cada solución y compare
con sus dibujos del inciso a). Indique el intervalo de definición exacto de cada solución.
41. a) Determine una solución explícita del problema con valores iniciales
,
.
b)Utilice un programa de graficación para dibujar la gráfica de la solución del inciso a). Use la gráfica para estimar el intervalo I de definición de la solución.
b) Determine el intervalo I de definición exacto mediante métodos analíticos.
42. Repita los incisos a) al c) del problema 41 para el PVI que consiste en la ecuación diferencial del problema 7 y de la condición inicial
.
Problemas para analizar 43. a) Explique por qué el intervalo de definición de la solución explícita del problema con valores iniciales en el ejemplo 2 es el intervalo abierto
.
c) ¿Alguna solución de la ecuación diferencial puede cruzar el eje x? ¿Usted cree que iniciales
44. a) Si
es una solución implícita del problema con valores ,
?
analice las diferencias, si existen, entre las soluciones de los
problemas con valores iniciales que consisten en la ecuación diferencial de cada una de las soluciones iniciales
,
,
c) ¿Tiene una solución el problema con valores iniciales
d) Resuelva esta solución.
,
y
y
.
,
?
e indique el intervalo de definición exacto de
45. En los problemas 39 y 40 vimos que toda ecuación diferencial autónoma de primer orden es separable. ¿Ayuda este hecho en la solución del problema con valores iniciales
,
Analice. A mano, dibuje una posible curva solución del problema.
46. Sin usar tecnología. ¿Cómo podría resolver Lleve a cabo sus ideas.
47. Determine una función cuyo cuadrado más el cuadrado de su derivada es igual a 1.
48. a) La ecuación diferencial del problema 47 es equivalente a la forma normal
en la región cuadrada del plano
definida por
,
. Pero la
cantidad dentro del radical es no negativa también en las regiones definidas por ,
. Dibuje todas las regiones del plano
para las que esta ecuación
diferencial tiene soluciones reales.
b) Resuelve la ED del inciso a) en las regiones definidas por
,
. Después
determine una solución implícita y una explícita de la ecuación diferencial sujeta a .
EJERCICIOS 2.3 En los problemas 1 a24 determine la solución general de la ecuación diferencial dada. Indique el intervalo
más largo en el que está definida la solución general.
Determine si hay algunos términos transitorios en la solución general.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
En los problemas 25 30 resuelva el problema con valores iniciales. Indique el intervalo 25.
26.
más largo en el que está definida la solución. ,
,
27.
28.
29.
,
,
;
constantes
,
,
y
constantes
30.
,
En los problemas 31 a 34 proceda como en el ejemplo 6 para resolver el problema con valores iniciales dado. Utilice un programa de graficación para trazar la función continua
31.
.
,
, donde
32.
33.
34.-
,
,
, donde
, donde
35.- proceda de manera análoga al ejemplo 6 para resolver el problema de valor inicial
donde
P(x) Por medio de un programa de graficación trace la función
36.- Considere el problema de valor inicial
37.- Exprese la solución del problema de valor inicial
en
términos de la ertf(x)
PROBLEMAS DE PROYECTO Y PARA DISCUSION 38. Lea de nuevo la descripción siguiente del ejemplo 2. Construya una ecuación diferencial lineal del primer orden para la cual las soluciones no constantes se aproximan a la asíntota horizontal y=4 cuando x→
39.- Vuelva a leer el ejemplo 3 y luego analice, con referencia al Teorema 1.1 la existencia y unicidad de una solución del problema de valor inicial que consiste en y la condición inicial que se proporciona
40.- Revise el ejemplo 4 y luego determine la solución general de la ecuación diferencial en intervalo (-3,3).
41.- Lea de nuevo la explicación después del ejemplo 5. Obtenga la ecuación diferencial lineal de primer orden para la cual las soluciones son asintóticas a la recta
42 .- Examine otra vez el ejemplo 6 y luego explique por qué es incorrecto afirmar que la función de la ecuación (13) es una solución del PVI en el intervalo
43.- (a) Obtenga una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma . Provea un intervalo en el cual es la solución general de la ED.
(b)Proporcione una condición inicial
para la ED que se encontró en el
inciso (a) de modo que la solución del PVI sea si la solución es
Repita el procedimiento
Proporcione un intervalo de definición de cada una
de estas soluciones . Grafique la curva solución ¿hay un problema de valor inicial cuya solución esta definida en
?
(c) ¿Cada PVI del inciso (b) es único? es decir ¿ puede haber mas de un PVi ? para el cual. Por ejemplo,
en el intervalo I es la solución ?
44.- En la determinación del factor integrante (5), no se utilizó una constante de integración en la evaluación de
explique por q utilizar
no
tiene efecto en la solución de (2)
45.- Suponga que P(x) es continua en algún intervalo I y a es un numero en I.¿ que se puede decir acerca de la solución del problema de valor inicial
MODELOS MATEMÁTICOS 46.- Series de decaimiento radiactivo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales se encontró en el estudio del decaimiento de un tipo especial de series elementos radiactivos:
Donde
son constantes. Analice como resolver este sistema sujeto a Ponga en práctica sus ideas
47.- Marcapasos : un marcapasos consiste en un interruptor, batería de voltaje constante E˳ , un capacitor con capacitancia constante C y el corazón como resistor con resistencia constante R . Cuando se cierra el interruptor, se carga el capacitor; cuando se abre el interruptor, se descarga el capacitor, enviando un estímulo eléctrico al corazón. Durante el tiempo que el corazón está siendo estimulado, el voltaje E en el corazón satisface la ecuación diferencial lineal.
Resuelva la ED sujeta a E(4)=E˳
TAREAS DE LABORATORIO PARA COMPUTADORAS 48.-(a) Exprese la solución del problema de valor inicial
,
en el término de erfc(x).
(b) Utilice tablas o un CAS grafique la curva solución para el PVI en (
).
49.- (a) la función integral seno se define por medio de donde el integrando se define como 1 en t =0. Exprese la solución y(x) del problema de valor inicial
en términos de Si
(x). (b) Utilice un CAS para graficar la curva solución del PVI para (c) Utilice un CAS para encontrar el valor del máximo absoluto de la solución y(x) para
50.-(a) La integral seno de Fresnel se define mediante
Del problema de valor inicial
en términos de S(x).
(b) Utilice un CAS para graficar la curva solución del PVI en
(c) Se sabe que
, a que solución
tiende y(x) cuando ¿Cuándo
?
(d) Utilice una CAS para hallar los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de la solución y(x).
3 Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli Ejercicios Propuestos libro ECUACIONES DIFERENCIALES (Eduardo Espinosa Ramos) del 1 al 20 pag. 133 1.-
2.-
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4. Ecuaciones Diferenciales Exactas EJERCICIO 2.4 libro ECUACIONES DIFERENCIALES CON VALORES DE FRONTERA (Dennis G. Zill) DEL 1 AL 44 1.-
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9.-
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12.-
13.-
14.-
15.-
16.-
17.-
18.-
19.-
20.-
EN LOS PROBLEMAS DEL 21 AL 26 RESUELVA EL PROBLEMA DE VALOR INICIAL 21.-
22.-
23.-
24.-
25.-
26.-
EN LOS PROBLEMAS 27 Y 28 DETERMINE EL VALOR DE K DE MODO QUE LA ECUACION DIFERENCIAL QUE SE PROPORCIONA SEA EXACTA. 27.-
28.-
EN LOS PROBLEMAS 29 Y 30 COMPRUEBE QUE LA ECUACION DIFERENCIAL QUE SE PROPORCIONA NO ES EXACTA. MULTIPLIQUE LA ECUACION
DIFERENCIAL POR EL FACTOR INTEGRANTE INDICADO µ(x,y) Y COMPRUEBE QUE LA NUEVA ECUACION SEA EXACTA. RESUELVA. 29.-
30.-
EN LOS PROBLEMAS 31 AL 36 RESUELVA LA ECUACION DIFERENCIAL MEDIANTE LA DETERMINACION, COMO EN EL EJEMPLO 4 , DE UN FACTOR INTEGRANTE ADECUADO.
31.-
32.-
33.-
34.-
35.-
36.-
EN LOS PROBLEMAS 37 Y 38 RESUELVA EL PROBLEMA DE VALOR INICIAL AL DETERMINAR, COMO EN EL EJEMPLO 4, UN FACTOR INTEGRANTE APROPIADO.
37.-
38.-
39.- (a) demuestre que una familia uniparametrica de solución de la ecuación
(b)Muestre que las condiciones iniciales y(0)= -2 y y(1)=1 determinar la misma solución implícita. (c)Encuentre soluciones explicitas inciso (a) tal que
de la ecuación diferencial del utilice CAS para graficar
PROBLEMAS DE PROYECTO Y PARA DISCUSION 40.-Considere el concepto de un factor integrante en los problemas 29 al 38.¿las ecuaciones M dx + N dy =0? Y µM dx + µN dy =0 son necesariamente equivalentes en el sentido de que una solución de la otra? Explique .
41.- Vuelva a leer el ejemplo 3 y luego explique por que se concluye que el intervalo de definición de la solución explicita del PVI (la curva gris de la figura 2.29) es (-1,1)
42. Analice como se obtiene las funciones M(x,y) y N(x,y) de modo que cada ecuación diferencial sea exacta. Ponga en practica sus ideas.
0
43.- En ocasiones las ecuaciones diferenciales se resuelven si se tiene una idea ingeniosa. El siguiente es un ejercicio de ingenio: si bien la ecuación diferencial no es exacta, demuestre como la posición y la observación
44.- Verdadero o falso: toda ecuación separable de primer orden .
EJERCICIOS 2.5 Cada una de las ED de los primeros 1-14 es homogénea. En los problemas 1 a 10 resuelva la ecuación diferencial dada usando las sustituciones adecuadas. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
,
En los problemas 11 a 14 resuelva el problema con valores iniciales dado. 11.
12.
,
,
13.
14.
,
,
Cada una de las ED de los problemas 15 a 22 es una ecuación de Bernoulli. En los problemas 15 a 20 resuelva la ecuación diferencial dada usando una sustitución adecuada.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
En los problemas 21 y 22 resuelva el problema con valores iniciales dado. 21.
,
22.
,
Cada una de las ED de los problemas 23 a 30 es de la forma dada en la ecuación (5). En los problemas 23 a 28 resuelva la ecuación diferencial dada usando una sustitución adecuada.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
En los problemas 29 y 30 resuelva el problema con valores iniciales dado. 29.
30.
,
,
Problemas para analizar 31. Explique por qué es posible expresar cualquier ecuación diferencial homogénea
en la forma
Podría comenzar por demostrar que
32.Ponga la ecuación diferencial homogénea dada en el problema 31.
y
.
en la forma
33.a) Determine dos soluciones singulares de la ED en el problema 10 b) Si la condición inicial ¿cuál es el intervalo
es como se indicó para el problema 10, entonces
de definición más grande en el cual está definida la solución?
Utilice un programa de graficación para obtener la gráfica de la curva solución para el PVI.
33.En el ejemplo 3 la solución embargo, curva conforme
es asintótica
es no acotada conforme una curva conforme
. Sin
y una diferente
, ¿cuál son las ecuaciones de estas curvas?
35. La ecuación diferencial
se conoce como la ecuación de
Ricatti. a) Una ecuación de Ricatti se puede resolver por dos sustituciones consecutivas, siempre y cuando conozcamos una solución particular, que la sustitución Bernoulli (4) con
, de la ecuación. Muestre
reduce la ecuación de Ricatti a una ecuación de . La ecuación de Bernoulli s puede entonces reducir a una
ecuación lineal sustituyendo
.
b) Determine una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial donde
es una solución conocida de la ecuación.
PRACTICO 3 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli Resolver las siguientes Ecuaciones diferenciales. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
,
=0
13.
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19.
20.
Ecuaciones diferenciales de grado superior Resolver los siguientes ejercicios
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Ecuaciones diferenciales de LaGrange y Clairaut Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Ecuaciones diferenciales de Riccati Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1.
, una solución es
2.
, una solución es
3.
, una solución es
4.
5.
, una solución es
, una solución es
6.
7.
, una solución es
, una solución es
8.
9.
, una solución es
, una solución es
10.
, una solución es
